mates by AURORA PCPI M

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Índice 1 Los números pág. 2 Sistema de numeración romano. Suma y resta de números naturales. Sumas y restas combinadas. Producto de números naturales. Cociente de números naturales. Jerarquía de operaciones. Uso de paréntesis. Potencias. Operaciones con potencias. Números enteros. Suma de números enteros. Resta de números enteros. Sumas y restas combinadas. Multiplicación y división de números enteros. Operaciones combinadas. Números decimales. Clases de números decimales. Operaciones con números decimales. Aproximación de los números decimales.

2 Divisibilidad y fracciones pág. 18 Múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos. Descomposición factorial. Mínimo común múltiplo. Máximo común divisor. Problemas. Significado de fracción. Fracciones y decimales. Fracciones equivalentes. Fracciones irreducibles. Ordenación de fracciones. Suma y resta de fracciones. Multiplicación de fracciones. División de fracciones. Operaciones combinadas. Problemas con fracciones.

3 Los porcentajes pág. 44 Razón de proporcionalidad. Proporción. Propiedades de las proporciones. Proporcionalidad directa. Proporcionalidad inversa. Proporcionalidad compuesta. Porcentajes. Porcentaje y regla de tres. Descuentos y aumentos porcentuales. Repartos proporcionales.

4 Magnitudes y medidas pág. 58 Magnitudes y medidas. Medida de longitud. Notación científica. Medida de masa. Medida de capacidad. Medida de superficie. Medida de volumen. Equivalencia entre medidas de volumen y capacidad. Unidades de tiempo. Operaciones con unidades de medida.

5 Ecuaciones pág. 70 Expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado. Resolución de problemas.

6 Geometría pág. 82 Representación de un punto en el plano. Puntos, rectas y planos. Ángulos. Clasificación de ángulos según su amplitud y su posición. Clases de triángulos. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones del Teorema de Pitágoras. Polígonos. Polígonos regulares. Cuadriláteros. Paralelogramos. Medidas del cuadrado y del rectángulo. Medidas del triángulo. Medidas del rombo. Medidas del trapecio. Medidas de los polígonos regulares. Poliedros. Cubo y ortoedro. Volumen del cubo y ortoedro. Prismas. Volumen del prisma. Pirámides. Volumen de la pirámide. Elementos de la circunferencia. Círculo. Longitud de la circunferencia y del arco. Área del círculo y de las figuras circulares. Cilindros. Volumen del cilindro. Conos. Volumen del cono. Esferas. Volumen de la esfera. Escalas.

7 Estadística pág. 116 Elementos estadísticos. Tablas de frecuencias. Tablas de frecuencias de datos agrupados. Diagramas de sectores. Diagramas de barras. Histogramas. Medidas de centralización.

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1 Los números SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO Equivalencias I=1

V=5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1.000

Reglas básicas • • • • • •

Los valores de las letras I, X, C se suman. Las letras I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces seguidas. Las letras V, L, D solo se pueden poner una vez. Si una letra está a la derecha de otra mayor, se suman sus valores. Si una letra está a la izquierda de otra mayor, se restan sus valores. Una raya colocada encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por mil.

Ejemplos • DXLIII = D XL III = 543 500 + 50 − 10 + 3 • CDX = CD X = 410 500 − 100 + 10 • MCCCXIV = M CCC X IV = 1.314 1.000 + 300 + 10 + 5 − 1 • XVIDXXII = XVI D XX II = 16.522 16.000 + 500 + 20 + 2 1 Escribe las siguientes cantidades en el sistema de numeración romano: a) 42 =

d) 713 =

b) 315 =

e) 1.942 =

c) 651 =

f) 28.406 =

2 Escribe el valor de los siguientes números romanos: a) MMCCXXXIV =

e) CXLIII =

b) DCCXII =

f) MDL =

c) LXVII =

g) CMLXXXI =

d) DCCCXX =

h) XLVIICCI =

3 Suma las siguientes cantidades (pasándolas al sistema decimal) y expresa el resultado en el sistema de numeración romano:

a) XI + IV = 11 + 4 =

c) VIII + XXI =

b) XL + L =

d) LX + XLII =

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SUMA Y RESTA DE NÚMEROS NATURALES Suma los números 14.529 + 944 + 3.895. 1. Sumamos las unidades 9 + 4 + 5 = 18 = 18 Unidades = 1D + 8U. 2. Sumamos las decenas 2 + 4 + 9 + 1 = 16 Decenas = 1C + 6D. 3. Sumamos las centenas 5 + 9 + 8 + 1 = 23 Centenas = 2UM + 3C. 4. Sumamos las unidades de millar = 4 + 3 + 2 = 9UM. 5. Sumamos las decenas de millar = 1DM.

2 1 1

14529 944 + 3895 19368

Resta los números 4729 – 634. 1. Restamos las unidades: 9 − 4 = 5 = 5 Unidades. 2. Restamos las decenas: como 2 es menor que 3, llevamos una centena a la columna de las decenas, y la añadimos también en la columna de las centenas 12 − 3 = 9 Decenas. 3. Restamos las centenas: añadiendo una centena al 6, 7 − 7 = 0. 4. Restamos las unidades de millar: 4 − 0 = 4UM.

47 129 − 6+1 3 4 4095

4 Calcula: a)

2 +

3 4

4 6

7 7

8 0

b) +

3 2

−

8 6

1 2

5 0

0 4

7 2

6 5

7 4

2 1

5 1

1 +

9 8

5 4

7 3

0 9

5 6

−

5 1

4 6

6 5

3 4

0 1

5 Resuelve las siguientes restas: a)

3 3 5 2 9 − 2 1 2 3 7

6 Escribe las cifras que faltan en las siguientes operaciones: a)

2 +

4 7

5 2

7 Calcula las siguientes sumas y restas: a) 58 + 72 =

e) 56 − 28 =

i) 1.507 + 2.304 =

b) 140 + 51 =

f) 74 − 52 =

j) 9.720 + 12.050 =

c) 320 + 45 =

g) 64 − 45 =

k) 369 − 211 =

d) 505 + 726 =

h) 75 − 27 =

l) 7.348 − 2.123 =

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SUMAS Y RESTAS COMBINADAS Si en la misma operación hay sumas y restas, hacemos las operaciones de izquierda a derecha. 6−4+7−5+2=2+7−5+2=9−5+2=4+2=6

8 Calcula: a) 5 + 7 − 8 + 3 − 2 + 1 =

e) 4 + 6 + 1 − 9 + 3 =

b) 6 + 9 + 1 − 10 − 5 + 3 =

f) 1 + 7 + 4 − 8 − 2 =

c) 3 − 2 + 7 − 5 + 3 − 1 =

g) 10 + 2 − 8 − 1 + 3 =

d) 5 + 3 + 1 − 5 − 3 − 1 =

h) 8 − 6 + 3 + 1 − 5 =

Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a

9 Comprueba si el resultado es el mismo en ambos casos a) 45 + 50 =

c) 70 + 15 =

b) 50 + 45 =

d) 15 + 70 =

10 Calcula el valor de las letras: a) 20 − 12 + a = 10 ⇒ 8 + a = 10 ⇒ a = 2

d) 12 + 15 − 20 − d = 2;

b) 6 − 3 − b = 0;

e) 8 + e − 6 + 5 = 10;

c) 7 + 3 − c = 5;

f) 15 − f − 6 + 5 = 8;

11 Coloca en los puntos los números del 1 al 7, de manera que los que están sobre una misma línea sumen lo mismo:

12 Completa cada línea para sumar un total de 30:

−

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PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES Multiplica 23.570 por 21. 23570 × 21 23570 +47140 494970

1. Multiplicamos 23.570 × 1 = 23.570. 2. Multiplicamos 23.570 × 2 = 47.140. 3. Dejamos un hueco cada vez que se pase a multiplicar el siguiente número. 4. Sumamos los resultados anteriores. En realidad la operación realizada es: 23.570 × 1 + 23.570 × 20

13 Comprueba si el resultado es el mismo: a)

1 4 5 x 3 1

b) x 1

3 4

1 5

14 Calcula: a)

2 3 4 7 8

x 3 5

5 1 3 2 6 x 4 2

3 1 2 0 5 x 6 0

15 Realiza las siguientes multiplicaciones: a) 275 · 10 =

c) 320 · 1.000 =

b) 451 · 100 =

d) 500 · 20 =

16 A una exposición acuden 1.352 personas en un día, de las cuales 48 son menores de 12 años, 215 estudiantes y 120 mayores de 65 años. Si el precio de la entrada es de 6 y el precio reducido de 3 (para estudiantes, mayores de 65 años y menores de 12), calcula cuánto se ha recaudado.

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COCIENTE DE NÚMEROS NATURALES Divide los números 2.550 : 21. 2550 21 45 121 30 9

1. Dividimos las dos primeras cifras 25 : 21= 1. 2. Multiplicamos 21 × 1 y restamos el resultado a 25; sobran 4 unidades. 3. Bajamos la cifra siguiente, el 5, y dividimos 45 entre 21. Cabe a 2. 4. Multiplicamos 21 × 2 y restamos el resultado a 45; sobran 3 unidades. 5. Bajamos la cifra siguiente, el 0, y dividimos 30 entre 21. Cabe a 1. 6. Multiplicamos 21 × 1 y restamos el resultado a 30; sobran 9 unidades, que es el resto de la división.

La división es exacta si el resto es cero. En este caso se cumple: D = d x c. La división es entera si el resto es distinto de cero. En este caso se cumple: D = d x c + r.

17 Comprueba que en el ejemplo se cumple la propiedad D = d × c + r.

18 Realiza las siguientes divisiones y di si son exactas o enteras: a) 450 : 9 =

b) 613 : 5 =

c) 816 : 2 =

d) 550 : 3 =

19 Completa: a) 342 : 21 342 = 21 · 16 +

b) 648 : 11 648 =

c) 967: 16 · 58 + 10

967 = 16 ·

20 En un instituto se van de excursión dos autocares con todos los grupos de CPI. En CPI A hay 26 alumnos, en CPI B hay 25 alumnos, en CPI C hay 20 alumnos y en CPI D hay 19 alumnos. Si el precio de cada autocar es de 405 , ¿cuánto tendrá que pagar cada alumno?

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JERARQUÍA DE OPERACIONES Se opera de izquierda a derecha según el siguiente orden: 6:2−1+2·7−3= = 3 − 1 + 14 − 3 =

1. Los productos y las divisiones. 2. Las sumas y las restas.

= 2 + 14 − 3 = 16 − 3 = 13

21 Opera: a) 3 · 5 + 1 − 6 =

c) 8 − 6 : 2 + 3 =

b) 5 + 6 : 2 + 1 =

d) 12 : 2 − 2 · 3 =

22 Calcula teniendo en cuenta el orden de prioridad de las operaciones: a) 2 · 5 − 8 + 6 : 2 =

c) 2 · 4 − 6 + 2 · 5 =

b) 3 · 2 + 6 : 2 + 6 =

d) 6 − 12 : 3 + 4 · 2 =

23 Realiza las siguientes operaciones: a) 2 · 5 + 6 − 3 · 4 + 1 =

c) 5 + 1 · 6 + 1 − 2 · 3 =

b) 5 · 3 + 5 − 9 · 2 + 3 =

d) 5 − 2 · 2 + 3 · 4 − 6 =

24 En un autobús viajan 5 personas y cada una de ellas lleva una bolsa. En la primera parada del autobús suben tres personas llevando dos bolsas cada una, y bajan dos personas con una bolsa cada una. En la siguiente parada sube una persona con tres bolsas y bajan dos personas con dos bolsas cada una. ¿Cuántas bolsas hay en ese momento en el autobús?

25 Un equipo de fútbol sala tiene 13 jugadores, cada uno cobra al mes 2.000 euros. Por partido ganado pagan 75 euros de prima a los convocados (van 11). Por empate en campo visitante, 50 euros. ¿Cuánto se gastarán este mes con 3 victorias, 2 empates fuera de casa y 2 derrotas? Todo lo pagan entre 5 socios. ¿Cuánto pone cada uno? ¿Sobra algo?

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USO DE PARÉNTESIS Cuando en una operación combinada aparecen paréntesis se opera de izquierda a derecha siguiendo el orden siguiente: 5 · (4 − 3 + 7) − 3 = =5·8−3= = 40 − 3 =

1. El interior de los paréntesis. 2. Los productos y las divisiones. 3. Las sumas y las restas.

= 37

26 Efectúa las siguientes operaciones en el orden adecuado: a) (4 · 6) : (5 + 3) = 24 : 8 = 3

d) 50 : (2 + 3 + 5) =

b) 4 · (6 : 3) − 2 =

e) 8 : 2 + 2 · (6 − 4) =

c) 15 − 2 · (6 − 4) =

f) 12 − (3 · 2) · 2 =

27 Opera y asocia los apartados que den el mismo resultado: a) (5 − 1) + 6 : 3 − 1 =

d) 3 · (22 − 7) − 10 · 2 + 2 − 5 =

b) (6 + 2) + (5 − 2) · 4 =

e) 12 − 2 · (3 + 2) + 6 : 2 =

c) 3 · (9 − 5) : (6 − 3) =

f) 2 + (12 − 5 + 3) : 5 =

28 ¿Obtienes el mismo resultado en los casos siguientes con y sin paréntesis? ¿Por qué? a) (10 − 5) · 2 = 10 − 5 · 2 = b) 4 + 3 · (6 − 2) = 4+3·6−2=

c) (9 − 3 − 2) · 2 = 9−3−2·2= d) (6 : 3) + 1 + (4 · 2) = 6:3+1+4·2=

29 Calcula teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones: a) (6 − 2 + 3) · 2 − (2 · 2) + 5 − (6 : 2) = 7 · 2 − 4 + 5 − 3 = 14 − 4 + 5 − 3 = 12 b) (11 − 8 + 1) − (8 − 2) : 3 + 4 · (7 − 4 − 1) = c) 10 − (7 − 3 + 2) : 2 + 6 : (2 + 5 − 4) = d) (10 − 4 + 3) : 3 + 2 · (5 − 4 + 3 ) + (6 − 2) = 8

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POTENCIAS Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. n veces

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅…⋅ a Toda potencia está formada por una base y un exponente: base → an ← exponente • La base, a, es el factor que se está multiplicando. • El exponente, n, es el número de veces que se multiplica el factor. La potencia de exponente 2 se llama cuadrado de un número. La potencia de exponente 3 se llama cubo de un número. Cuando el exponente sea 4, 5, 6… leeremos a elevado a la cuarta, a la quinta, a la sexta... Casos especiales: 1n = 1; 0n = 0; a1 = a; a0 = 1

30 Desarrolla como producto y calcula: a) 34 = 3 · 3 · 3 · 3 =

g) 102 =

b) 52 =

h) 05 =

c) 24 =

i) 81 =

d) 72 =

j) 150 =

e) 18 =

k) 2301 =

f) 43 =

l) 230 =

31 Escribe en forma de potencia: a) 9 · 9 · 9 = 93

e) 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 =

b) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 =

f) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =

c) 4 =

g) 3 · 3 · 3 · 3 =

d) 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 =

h) 0 · 0 · 0 =

32 Completa la tabla: Potencia

Base

Exponente

Resultado

Se lee… Siete (elevado) al cuadrado

14 23 Tres (elevado) al cubo 5

25 9

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OPERACIONES CON POTENCIAS Producto de potencias de la misma base La base es la misma y el exponente es la suma de los exponentes. an · am = an + m 5 veces

2 veces 2

7 veces

3 ⋅3 = 3⋅3 ⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3 = 3

2+ 5

= 37

Cociente de potencias de la misma base La base es la misma y el exponente es la diferencia de los exponentes. an : am = an – m 105 :103 =

10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 10 ⋅ 10 ⋅ 10

=10 ⋅ 10=102

Potencia de una potencia Es igual a la base elevada al producto de los exponentes. (an)m = an · m

33 Expresa en forma de una única potencia: a) 51 · 53 = 54

e) 102 · 103 =

b) 32 · 32 =

f) 40 · 45 =

c) 95 · 96 =

g) 28 : 23 =

d) 74 : 73 =

h) 610 : 64 =

34 Expresa en forma de una única potencia: a) (23)2 = 26

e) (53)3 =

b) (34)3 =

f) (42)0 =

c) (103)5 =

g) (14)3 =

d) (72)4 =

h) (92)2 =

35 Resuelve:

a) 52 · 51 = 53

f) 43 : 43 =

b) 34 · 33 : 32 =

g) 22 · 23 =

c) 55 : 52 · 53 =

h) 82 · 83 · 81 =

d) 72 · 71 =

i) 202 · 205 · 203 =

e) 27 : 25 =

j) 757 : 753 =

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Producto de potencias de distinta base e igual exponente Se multiplican las bases y se deja el exponente. an · bn = (a · b)n Potencia del producto Es el producto de las potencias que tienen como base cada factor y como exponente el del producto. (a · b)n = an · bn Cociente de potencias de distinta base e igual exponente Se dividen las bases y se deja el exponente. an : bn = (a : b)n Potencia del cociente Es el cociente de las potencias en las que el dividendo y el divisor están elevados al mismo exponente. (a : b)n = an : bn

36 Escribe como un cociente de potencias: a) (5 : 3)7 = 57 : 37

f) (7 : 9)10 =

b) (3 : 1)5 =

g) (12 : 7)3 =

c) (10 : 2)4 =

h) (5 : 9)6 =

d) (8 : 3)2 =

i) (80 : 5)3 =

e) (12 : 4)1 =

j) (3 : 7)12 =

37 Escribe como un producto de potencias: a) (6 · 2)4 = 64 · 24

f) (2 · 9)3 =

b) (5 · 3)2 =

g) (4 · 10)4 =

c) (8 · 2)5 =

h) (5 · 3)6 =

d) (7 · 4)3 =

i) (10 · 2)2 =

e) (0 · 10)3 =

j) (2 · 15)22 =

38 Expresa como una sola potencia: a) (10 : 2)4 = 54

f) (28 : 7)3 = 43

b) (3 · 4)5 =

g) (12 : 4)3 =

c) (6 · 4)3 =

h) (25 : 5)6 =

d) (9 : 3)2 =

i) (8 · 2)3 =

e) (1 · 40)12 =

j) (100 : 5)3 = 11

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NÚMEROS ENTEROS Un número entero es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta numérica: –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

+5 > +2 > 0 > –2 > –7 mayor que,

mayor o igual que,

menor que,

menor o igual que

• El opuesto de –2 es +2.

• El valor absoluto de –2 es I–2I = 2.

• El opuesto de +2 es –2.

• El valor absoluto de +2 es I+2I = 2.

39 Representa en la recta los siguientes números y ordénalos de mayor a menor: –6

+10

–8

–3

40 Describe mediante un número entero: a) Una temperatura de 7 ºC bajo cero → b) La segunda planta por debajo del suelo de un parking → c) La planta séptima por encima del suelo → d) Una deuda de 300

→

41 Completa la siguiente tabla:

Opuesto +2 –3 –1 0 +9

Valor absoluto

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42 Coloca los signos >, < ó = según corresponda: a) 0

–3

d) –1

–3

b) +2

–3

e) +5

c) –7

–3

f) –5

43 Resuelve numéricamente las siguientes situaciones: a) Un ascensor está en la planta segunda. Si baja al sótano en la segunda planta por debajo del suelo, ¿cuántas plantas ha bajado en total?

b) Cuando me faltan por pagar aún 3.000 de un crédito, pido un nuevo crédito para comprarme un coche de 12.000 . ¿A cuánto asciende el total que debo al Banco?

c) En un pueblo de la sierra, la temperatura llega a bajar hasta 12 ºC bajo cero. Si a las 9 de la mañana la temperatura es de 3 ºC bajo cero, ¿cuánto ha aumentado?

44 Asocia cada situación con el signo correspondiente: Temperaturas bajo cero Ganar dinero

Positivo

Deber dinero Bucear Subir a una montaña

Negativo

Volar 45 ¿A qué distancia se encuentran los siguientes números? Puedes dibujarlos en la recta para que te resulte más fácil: a) +2 y –3

c) +4 y +7

b) –5 y +5

d) –8 y –3

46 ¿Verdadero o falso? a) –3 > –5

c) –2 < –6

e) –8 > –4

g) 0 > –10

b) +4 < +7

d) +3 > –6

f) +2 < –2

h) –7 > –5 13