Montessori Magazine 44 - 2 thema gecijferdheid

montessori MAGAZINE

Jaargang 45 nummer 2 maart 2022

Gecijferdheid Effectiviteit van montessori-rekenonderwijs Rekengebouw dat traditie en toekomst verbindt Rekenen-wiskunde in digitale spagaat

‘ We shall walk together on this path of life, for all things are a part of the universe, and are connected with each other to form one whole unity.’

‘Maria Montessori’s rekenmaterialen zijn niet altijd concreet, eerder symbolisch; het wiskundig concept ligt “verborgen” in het materiaal.’

Inhoud

dr. Maria Montessori To Educate the Human Potential 2

Lief en leed

15

Floor Vermeulen

Digitale ondersteuning bij het materiaal

24

Sam de Vlieger 3

Column: Laat het rekenmateriaal niet verstoffen

16

Anne Schiereck 4

Rekengebouw dat traditie en toekomst verbindt Paul Op Heij

8

Effectiviteit van montessorirekenonderwijs

Rekenen-wiskunde in digitale spagaat Paul Op Heij

De kunst van wiskunde

De kwestie: Maken rekenen en wiskunde op mijn school voldoende contact met overige vakken?

Manja Haze Annemieke Eshuis Dé Matthijssen Sam de VLieger

Jaap de Brouwer 12

Paul Op Heij

27

Sandra Veenstra 20

Leerlijn niet kennen, vergroot verschillen

Goochelen met grote getallen Esther Sandbergen

28

Boekrecensie De vrucht van kritische zelfreflectie Bert Kraai

31

Boekrecensie Vrijheid en medeverantwoordelijkheid Paul Op Heij

23

Mits adequaat ingericht en begeleid…

Symen van der Zee

32

Boekrecensie De thuiszittersklas Paul Op Heij

‘Het zou mooi zijn als we in de kunst meer handvatten zouden kunnen vinden om de acceptatie van abstracte wiskundige problemen op school te helpen vergemakkelijken.’

Hoera !

We zetten met liefde haar werk voort NMV leidinggevenden Jonge kind & Basis & Vakbekwaam Coaching & begeleiding Inspiratie studiedagen

Van de redactie Paul Op Heij Hoofdredacteur Montessori Magazine Tijdens corona hoorde je regelmatig dat er teveel gewicht toegekend wordt aan cijfers en wiskundige modellen en te weinig geluisterd naar de samenleving. Als nooit tevoren wordt in de media gegoocheld met percentages en getallen, waarmee het publieke debat wordt gefrustreerd. Wat niet wil zeggen dat grafieken en tabellen in publieke communicatie niet beter inzicht kunnen bieden dan alleen maar woorden – denk aan de evenwichtige mix in de tv-reeks Scheefgroei.

Maar doordat we voor alles vaste standaarden hebben bedacht (IQ-punten, CO2-uitstoot, bbp-groei) werden cijfers de meest gesproken taal ter wereld, schrijft Sanne Blauw in Het best verkochte boek ooit.1 We verzamelen steeds meer cijfers en proberen daarmee ons gelijk te halen.

Daarom is het belangrijk dat we de taal van cijfers beter leren doorgronden, dat we meer ‘gecijferdheid’ (tegenhanger van geletterdheid) nastreven. Zie daar een schone taak voor rekenen-wiskunde. Maar het is ook een reden temeer de discussie binnen dat vak eens aan te halen, tussen wetenschappelijk onderzoekers en vakdidactici, de ene groep 1

2

www.montessoriopleiding.com

Blauw, Sanne (herziene herdruk 2021), Het best verkochte boek ooit. Hoe cijfers ons leiden, verleiden en misleiden, Uitgeverij de Correspondent.

Aldus Bijzonder Hoogleraar Domeinspecifieke Onderwijstheorieën Rekenen-Wiskunde Koeno Gravemeijer onlangs in vakblad Didactief (2022-01-13). Hij bekritiseert onderzoekers die vergelijkend kwantitatief onderzoek naar verschillende leerstof en leerlingen bijeenbrengen en daar conclusies uit trekken over wat voor iedereen hét beste onderwijs zou zijn, alsof er één beste onderwijs voor iedereen zou bestaan.

Montessori Magazine

voorstander van het klassieke rekenen, de andere van meer getallenbegrip en ‘onderliggend wiskundig begrip.’2 In dit nummer daarom aandacht voor die discussie en daaraan gekoppeld de zoektocht naar een betere aanpak op montessorischolen. Basisschoolleerkracht Pink van de Hel legt uit hoe zij met haar Rekengebouw een transparante leerlijn ontwikkelde, ook voor kinderen dus. Jaap de Brouwer evalueert het materiaal en het montessorirekenonderwijs in bredere zin. Lector Wiskundig en Analytisch Vermogen Kees Hoogland belicht de rol van het Freudenthal Instituut, benadrukt het belang van gecijferdheid en draagt tussendoor ook nog een oplossing aan voor al te talige contextsommen.

Wiskundeleraar en fotograaf Erik Schilt zoekt de oplossing ook in de kunst. En onderwijsadviseur Henk van de Hoef legt uit wat (tot nu toe) de zwakke en sterke punten van digitale adaptieve rekenmethodes zijn.

Vaak levert uitzoomen beter overzicht op en daarmee een andere kijk, maar hetzelfde kan gelden voor inzoomen: misschien maakt beter begrijpen van wat er binnen één vak speelt, ook duidelijker wat er speelt in het onderwijs in bredere zin.

nummer 2 | jaargang 45

1

Column

L

Column

Lief en leed Floor Vermeulen

l

Laat rekenmateriaal niet verstoffen Anne Schiereck1

Deze editie is er weer hard gewerkt aan het Montessori Magazine. Met een uitdagend

2

thema: ‘gecijferdheid’ en wat we daarmee kunnen en misschien wel moeten voor

Ooit wilde ik wiskundeleraar worden.

de bovenbouw van veel scholen is het

montessori rekenen en wiskunde. Paul Op Heij, hoofdredacteur, leidt het themanum-

Mijn vader was dat en waarschijnlijk

knopjesbord favoriet; buitenstaanders

mer in en de verschillende bijdragen mogen er weer zijn, uit het montessoriveld zelf

heb ik daardoor een fascinatie voor

zien vaak het nut niet van het laten

en van daarbuiten. Interessant om te lezen tijdens maartse regenachtige dagen -

complexe puzzels en rekenopgaven

zien van de opbouw van een kwadraat

namens het bestuur veel dank aan de redactie. Inspireren en in verbinding staan met

ontwikkeld. Via omzwervingen kwam

of een wortel. Op de middelbare

de vereniging, dat lukt op deze manier steeds goed. En zo blijven we als NMV ook

ik terecht op de montessoripabo in

school is hier geen tijd meer voor.

nadenken hoe te motiveren, bij de tijd te blijven en de communicatie nog verder te

Amsterdam. Eerlijk gezegd had ik geen

Kinderen weten wat de wortel uit 81 is

verbeteren.

idee waar ik terecht was gekomen,

en de rest kan met de rekenmachine.

maar vond het al snel geweldig! Elke

Zonde vind ik dat.

De scholen gingen weer open en een nieuwe minister heeft aangegeven dat wat hem

week kwamen meerdere montesso-

betreft vanaf nu er ook alles aan gedaan zal worden om die open te houden, hoe dan

rimaterialen voorbij en telkens was

Breukenkegels

ook. Dat is voor iedereen belangrijk om te weten, maar in het bijzonder natuurlijk

ik onder de indruk over hoe knap ze

Op de pabo was ik het meest onder de

voor de kinderen. Mijn complimenten trouwens voor alle teams in de scholen, hoe

bedacht waren. Maria Montessori heeft

indruk van de breukenkegels: mate-

die keihard gewerkt hebben en werken om het onderwijs in welke vorm dan ook

eindeloos tussen de kinderen gezeten

riaal (we noemen het materiaal, ook

mogelijk te houden. Laten we van deze minister verwachten dat hij ruimte geeft aan

en geobserveerd en daar haar materia-

als er meerdere zijn) om te leren hoe

professionaliteit op de werkvloer en niet van achter zijn bureau van alles bedenkt wat

len op ontwikkeld. Voor elke behoefte

je moet delen door een breuk. Ik was

dan maar even in praktijk moet worden gebracht.

een materiaal.

altijd goed in rekenen en wiskunde,

Hoe beter ik de materialen leerde ken-

maar niemand had mij uit kunnen leg-

Tijdens de ledenvergadering stonden we (helaas weer digitaal) stil bij een aantal

nen, des te meer ontdekte ik de geniali-

gen waarom je bij het delen door een

belangrijke ontwikkelingen binnen de NMV: het Lectoraat Vernieuwingsonderwijs is

teit er van. In de onderbouw zijn er die

breuk moet vermenigvuldigen met het

deel 0,25 is, kun je dat heus aan veel

in ontwikkeling en we mogen trots zijn op lector Patrick Sins en de bijdragen die hij

misschien alleen maar lijken op mate-

omgekeerde. Ik moest het trucje maar

kinderen prima uitleggen, maar als je

afgelopen jaren met zijn collega’s heeft geleverd aan de kennisontwikkeling binnen

riaal om mee te tekenen (de tekenfigu-

gewoon uitvoeren.

een vierde van de breukencirkels in je

montessori. Patrick gaat verder met zijn werk vanuit Rotterdam, maar blijft actief be-

ren), maar in werkelijkheid ontwikkelen

De breukenkegels gaven mij voor het

honderddelige boog legt, kan daar echt

trokken. Symen van der Zee, de nieuwe lector bij Saxion, hij stelt zich voor in dit num-

ze ook motorisch de schrijfvaardigheid.

eerst echt inzicht in het delen door

geen uitleg tegenop.

mer, zal binnenkort met de vereniging kennis komen maken. We kijken er naar uit!

Het zijn zorgvuldig gekozen geometri-

een breuk. In de kroeg kon ik het met

Een paar jaar geleden leerde ik van

sche vormen en ook geen toeval: het

behulp van asbakken en bierdoppen

een collega hoe je gemakkelijk met het

Egbert de Jong heeft vanuit het bestuur een uitgebreide toelichting gegeven op de

zijn er precies tien, net als de cilinders,

aan vrienden uitleggen. De asbakken

fichesspel een staartdeling kunt uitleg-

voor de vereniging geformuleerde visie op de toekomst - ik heb hem daar namens

de rode stokken, de bruine trap en de

werkten wellicht niet zo verduidelijkend

gen. Ik maakte wel eens een deelsom

iedereen voor gecomplimenteerd. Egbert maakt een tour langs de netwerken om zo

roze toren. En die laatste heeft dan

als de kegels, maar mijn enthousiasme

met het decimale fichesspel (niet door

ook precies te kunnen weten wat er speelt, van ouders tot opleiders en ontwikkelaars

weer exact de afmeting van een liter

maakte veel goed.

Montessori zelf bedacht), maar voor

en langs de hele doorlopende leerlijn van 0 tot 18. Als u vragen of ideeën heeft, weet

oftewel een kubieke decimeter. Niet

Sindsdien reken ik zelf delen door een

grote deelsommen gebruikte ik het

hem te vinden! Egbert is altijd bereid daarover met u te communiceren. Klasse!

dat de peuters die er mee werken, dat

breuk anders uit en al zal een wiskun-

gewone fichesspel nooit. Maar ik zag

allemaal weten, maar later in de mid-

dige mogelijk zeggen dat het hetzelfde

direct hoe handig het was, het werkte

Helaas hebben we soms ook verdrietig nieuws. In de eerste plaats hebben we stilge-

den- en bovenbouw werken kinderen er

is, nu weet ik wat ik doe en waarom.

fantastisch. Sindsdien leg ik aan al

staan bij het overlijden van de nestor van montessori onderwijs in Nederland, Nico

wel verder mee en doen er berekenin-

In mijn klas werken we daarom altijd

mijn zesde groepers uit hoe het werkt.

van Ewijk. We hebben als bestuur namens de NMV ons medeleven overgebracht aan

gen en ontdekkingen mee. Als je hen

met materialen - ik gebruik ze eigenlijk

Sommigen blijven daarna wekenlang

zijn nabestaanden. En we zullen Nico blijven herinneren om zijn grote bijdragen aan

er aan helpt herinneren, hebben ze een

bij al mijn uitleg. Ik zie steeds meer

met het materiaal werken en andere

dat wat voor ons van zo grote waarde is. Onze penningmeester en daarmee steun en

prachtig referentiekader.

scholen waar ze verstoffen of alleen

begrijpen snel hoe ze verder kunnen

toeverlaat bij de NMV, Miguel Delcour, beleeft een spannende tijd vanwege ziekte. We

Mensen die onbekend zijn met mon-

worden gebruikt als kinderen vastlo-

op papier. Hoe meer ik met materialen

wensen Miguel een voorspoedig herstel toe en alle kracht, ook voor zijn gezin.

tessorimaterialen, kunnen zich weinig

pen. Ik probeer collega’s binnen en

werk, hoe meer ik ontdek en hoe meer

voorstellen bij de kubussen van de

buiten mijn school te stimuleren om

de kinderen leren.

roze toren en dat je dan met behulp

juist altijd te beginnen met materia-

van prisma’s met diezelfde kubussen

len. Ze zitten zó goed in elkaar! Als je

(A+B) maakt en eventueel berekent. In

moet duidelijk maken dat één vierde

Floor Vermeulen, voorzitter

Montessori Magazine

3

nummer 2 | jaargang 45

Montessori Magazine

1 Anne Schiereck is leerkracht Montessorischool Leidschenveen

nummer 2 | jaargang 45

Thema

R

Thema

Rekengebouw dat traditie en toekomst verbindt

Op de pabo werd rekenen sterk benaderd vanuit de basis, wat volgens haar heel goed is, omdat veel mensen in het onderwijs trauma’s met rekenenwiskunde oplopen en tegen de tijd dat ze leerkracht willen worden denken dat ze het niet (meer) kunnen. Veel kinderen en ook volwassenen hebben

Paul Op Heij

het idee dat rekenen moeilijk en ingewikkeld is, zegt ze, terwijl dat helemaal niet het geval hoeft te zijn, als je maar goed bij de basis begint: rekenen als

4

Basisschoolleerkracht Pink van de Hel bouwt met haar achtergrond in de ICT

opgaven gaan toevoegen. Om alle

vaardigheid om te ordenen, nog niet

aan het Rekengebouw dat de montessorileerlijn verbindt met SLO-tussendoelen

doelen te ordenen plaatsten we die van

het ‘realistisch rekenen’ voor het echte

en de volgorde in volgsysteemtoetsen. Dat bovendien een verbeterde versie

gelijk niveau naast elkaar en moeilij-

leven van het Freudenthal Instituut.

van digitale adaptieve rekenmethodes wil zijn. ‘Ik heb lang genoeg in de ICT

kere boven makkelijkere. Dat groeide

Pink van de Hel: ‘Als je eerst goed leert

gewerkt om te weten dat je pas precies weet wat je nodig hebt als je een systeem

uit tot het Rekengebouw, waarmee we

ordenen met cijfers valt dat bewerken

eenmaal gebruikt.’

kinderen van de ene naar de volgende

later heel erg mee. Dat ordenen heeft

verdieping laten werken, ieder in een

weinig met intelligentie te maken, vrij-

eigen tempo. Dus leerlijnordening in

wel iedereen moet dat kunnen. Daarbij

nog met liefde gebruikt, maar met

waarmee ze leerlingen regelmatig op

de vorm van een gebouw.’

is het voor mij als leerkracht, met

alleen die materialen krijg je kinderen

pad stuurt. En zo’n Viktor Mids van

mijn bredere ervaring, makkelijker om

niet aan het rekenen, meent zij. ‘Naast

Mindfuck op tv. - oud-leerling trouwens

Om de groei bij kinderen qua rekenen-

konden en een verdieping hoger kwa-

wiskunde aanschouwelijk en tastbaar

men, omdat het helpt bij het opbou-

te maken, ontwikkelt Pink van de Hel

wen van vertrouwen en motivatie. Ons

Vanuit de basis

kinderen mee te nemen, omdat ik meer

de lesjes wil je als docent ook een

van het Haags Montessori Lyceum, en

van Openbare Montessorischool Jan

was opgevallen dat bij gezamenlijke

Op basisscholen loopt rekenen minder

overzicht heb en vreemde gedachten-

aanleiding hebben waarom kinderen

een Ionica Smeets met haar reken-

Vermeer in Delft met collega’s het

tempotoetsen kinderen die het goed

het gevaar dan wiskunde op de middel-

kronkels van kinderen makkelijker kan

iets moeten uitrekenen. En er moet ge-

wiskundecolumns in de Volkskrant,

zogenoemde Rekengebouw. Dat is een

deden, plezier hadden, meer oefenden

bare om een geïsoleerd vak te worden

herkennen. Toen ik 10 jaar geleden in

oefend worden. De materialen die we

vindt ze heel inspirerend, al kan ze hun

website waarop voortgang zichtbaar

en snel vooruitgingen. Goed voor het

in het curriculum, zegt Pink van de

het onderwijs begon, moest ik me wel

op school hadden, waren wat morsig

ideeën en ideetjes zelden direct meen-

wordt, in een bouwwerk met etages

klassengemiddelde, maar wat heb je

Hel. Dit omdat op basisscholen bijna

bepaalde didactische vaardigheden

geworden en we konden het niet ge-

nemen in lessen, vertelt ze.

voor moeilijkheidsgraden en kamers

daaraan als kinderen die het niet goed

alle leerkrachten alle vakken geven,

nog eigen maken, maar daarbij heb ik

makkelijk eens worden over hoe ze te

voor de aparte rekenonderdelen. Ze

kunnen, weinig oefenen en nauwelijks

‘ook al leggen ze hun eigen accenten.’

veel steun gehad van ervaren collega’s

vervangen. Bij ons op school, toen nog

Marcel Schmeier

noemt het voor de afwisseling ook

vooruitgaan. Door die laatsten te laten

Zelf studeerde ze Industrieel Ontwer-

als Anne Schiereck van Montessori-

twee locaties, koos de ene locatie voor

Maar er is ook Marcel Schmeier met

wel lasagne, omdat er geen ramen in

oefenen en toetsen op een beperkt

pen aan de Technische Universiteit

school Leidschenveen, net als ik een

de methode Getal en Ruimte Junior, de

zijn Hoe leer je kinderen rekenen? 3, zegt

zitten. Kinderen vergeten gemakkelijk

aantal tafelsommen tegelijk, boekten

rekenfreak. Hoewel ik al bijna vier jaar

andere wilde zonder methode verder

ze, die zich juist sterk afzet tegen al dat

hun eigen ontwikkeling, licht ze toe,

ook zij meer vooruitgang en werden

Delft en ontwikkelde 10 jaar software bij TNO 1 voordat ze in de avonduren

in Delft werk, werken we nog steeds

en koos voor AVE-Ik. Maar eigenlijk wil

moderne realistische rekenen, waarbij

en zo’n gebouw met verdiepingen

gemotiveerder. Ik programmeerde

de pabo ging doen en een montes-

goed samen.’

je een systeem dat niet alleen voor de

alles moet kunnen worden beleefd,

helpt niveaus zichtbaar maken. ‘Zeker

daartoe toetsen op maat. Daarna zijn

soriomscholing. Als ingenieur op de

leraren, maar ook voor de leerlingen de

terwijl er nauwelijks nog geoefend en

kinderen die wat moeilijker leren, wil je

we aan die maatwerktoetsen naast

basisschool legt zij het accent allicht

Behoorlijk in beweging

leerlijn transparant maakt. Want het is

geautomatiseerd wordt. ‘Veel mensen

eraan herinneren dat ze iets eerder niet

tafelsommen steeds meer soorten

bij rekenen-wiskunde, zegt ze, al wil

Op veel scholen is het rekenonderwijs

hartstikke leuk om leerlingen indivi-

lijken te denken dat abstractie en jonge

dat niet zeggen dat ze andere onderde-

behoorlijk in beweging, vertelt Van de

dueel lesjes te geven, maar je hebt er

kinderen niet samengaan, maar ik denk

len niet met plezier doet. Toen ze voor

Hel, en daarbij lopen de ideeën van

wel 27 in de klas. Je wil dus een goed

dat abstract denken ook gewoon een

het onderwijs koos, zaten haar twee

collega’s vaak flink uiteen. Zeker ook

voorbereide omgeving met niet alleen

vaardigheid is die je met onderwijs kan

kinderen op de basisschool. ‘Wat ik het

op montessorischolen. De materialen

die materialen, maar ook alles wat ze

allerleukste vind is als je bij kinderen

van Maria Montessori worden er vaak

nodig hebben om individueel voldoen-

het kwartje ziet vallen, hoe ze enthou-

de te kunnen herhalen en geïnspireerd

siast kunnen uitroepen: hé nu snap

te raken.’

ik het.’ Voorlopig zal ze dus nog wel in het basisonderwijs werken, ook al ziet ze zichzelf al wel eens bij een Lego Education Centre of het Freudenthal Instituut.2

1 Nederlandse Organisatie voor toegepastnatuurwetenschappelijk onderzoek (TNO) werd in 1932 opgericht en werkt aan onderzoeken en innovaties die direct kunnen worden toegepast door bedrijven en overheden.

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

Je hebt niet altijd een aanleiding nodig 2

Het Freudenthal Instituut aan de Universiteit Utrecht draagt al 50 jaar het zogenaamde ‘realistische rekenen’ uit waarbij kinderen leren vanuit praktijksituaties, om vanuit de fysieke werkelijkheid tot de abstractie van formules te komen, in plaats van andersom.

3 Schmeier, Marcel (2017), Effectief rekenonderwijs op de basisschool 2.0, Uitgeverij Pica. Pink van de Hel over Schmeier: ‘Ik heb de indruk dat de extreme variant van het “realistische rekenen” een beetje op zijn retour is. Marcel Schmeier maakt steeds meer tromgeroffel om terug te keren naar de Pink van de Hel basisvaardigheden.’

Montessori Magazine

om iets te kunnen uitleggen of uit te laten rekenen, maar praktijkvoorbeelden en -situaties, ‘soms een bijzonder getal uit het Jeugdjournaal’, maken het wel makkelijker om de aandacht van kinderen vast te houden, meent ze.

Dus vraagt ze haar leerlingen, zeker bij groepsactiviteiten, hoe lang zij denken dat de gang is of hoe breed het speelplein. Ze heeft bijvoorbeeld een touw van honderd meter in haar lokaal

nummer 2 | jaargang 45

5

Thema

Thema

helpen ontwikkelen. Je moet dus niet

gen het al een tijd niet meer gedaan

dat wat in het regulier pas in groep 5-6

te lang in het realistische rekenen en

hebben, vragen ze er soms zelf om. En

op het programma staat. En ook de

dat toepassen blijven hangen. Marcel

als het hun lukt om een rijtje op tijd

overstap naar de algebra en het wortel-

Schmeier vindt zelfs dat je eerst moet

te maken, hoor je de succeservaring,

trekken gaat prima met die materialen,

leren bewerken en oefenen en dan pas

omdat leerlingen dan letterlijk 1000

toepassen, dus eerst kilometers ma-

zegt ze: ‘ Yes!’ Wat ons spontaan bij kinderboek De telduivel4 brengt, waarin

ken, niet anders dan dat nodig is voor

Robert ’s nachts zijn dromen leert

len zijn zo opgebouwd dat getalbegrip

het opbouwen van spieren. Ik denk ook

opvrolijken door veel te leren over reke-

ook echt een beeld in je hoofd kan

dat automatiseren belangrijk is om dat

nen-wiskunde, van de telduivel die bij

worden. Maar leerlingen leren het

abstracte uiteindelijk aan te kunnen.

hem op bezoek komt. Van de Hel heeft

berekenen uiteraard ook op papier,

Want als het rekengedeelte van een

met dat boek nog een tijd freelance les

want dat is het uiteindelijke doel. Op

talige contextsom te moeizaam gaat en

gegeven in de groepen 5 en 6, vertelt

papier werken gaat ook veel sneller dan

teveel tijd kost, gaat op een gegeven

ze enthousiast. Ze las dan telkens een

met materialen. Die gebruik je vooral

moment ook weer de context verloren.

passage voor en koppelde daar reken-

voor het inzicht en begrip krijgen. Hoe

En zit de leerling dus met twéé proble-

kundige of wiskundige opgaven op het

meer zintuigen je daarbij betrekt, hoe

men. Om plezier aan contextsommen

juiste niveau aan.

sterkere herinneringen je aanmaakt.’

te kunnen beleven, moet je ook de

6

kralen in handen hebben. De materia-

Van de leerlijn op haar basisschool

nodige rijtjes kunnen. Natuurlijk heb

Leerlijn bewaken

heeft zij aardig overzicht, zegt ze: ze

je daarbij nog het onderscheid tussen

Ze zegt niet te weten of docenten het

weet wat leerlingen als ze bij haar in

memoriseren, dat je je de uitkomst van

leren rekenen altijd net zo systema-

de bovenbouw aankloppen, moeten

een som gewoon herinnert, en automa-

tisch opbouwen als ze dat bij taal

kunnen en wat ze moeten beheersen

tiseren, dat je weet welke handeling

doen. ‘Kijk, in het regulier onder-

als ze naar de middelbare gaan. Maar

vereist is om tot een juiste berekening

wijs bewaakt de gebruikte methode

ze heeft geen goed beeld, zegt ze, van

te komen, maar het moet in ieder geval

een leerlijn, bij montessori moeten

wat ze doen in de brugklas, al weet

hebben er ook al alle tussendoelen

en duidelijk maken dat onderdelen als

wil als je iets hebt. Door het systeem

een beetje snel en vanzelf gaan om bij

docenten die zelf bewust neerzetten

ze, ook van haar eigen kinderen, dat

van het SLO in gebouwd. Ons bouw-

worteltrekken echt de extra’s zijn. ‘Als

te gebruiken, weet je steeds preciezer

die uitkomst te komen. Je kan best een

en aanhouden. Ze beginnen met de

leerlingen op de basisschool veel leren

werk is iets heel anders dan digitale

je aan zo’n onderdeel niet toekomt,

wat je wilt. Ik heb lang genoeg in de

algoritme leren uitvoeren zonder te

wat ze later nooit meer gebruiken.

adaptieve rekenmethodes als Snap-

ligt niemand daar wakker van. Als een

software ontwikkeling gewerkt om te

begrijpen hoe het werkt. Begrip daar-

gouden materialen, de kraaltjes, 10 aan 105, heel concreet. Daarna wordt

‘Op de montessorischool leren ze

pet en Gynzy. Het adaptieve ervan zit

leerling meer tijd nodig heeft bij klok-

weten dat het zo werkt. We kennen dat

van is mooi maar niet noodzakelijk.

het abstracter en worden er afspraken

de staartdeling als vanouds – het is

ook in ons systeem, maar het is zeker

kijken, kan hij beter daar iets meer tijd

fenomeen ook van de overheid waar

Routine zonder begrip is noodzakelij-

gemaakt: de groene kraal staat voor

trouwens heel verwarrend als kinderen

niet de bedoeling dat onze kinderen

aan besteden. De extra’s voor meer

softwareprojecten altijd helemaal uit

ker dan begrip zonder routine.’

1, de blauwe voor 10 en de rode voor

op reguliere basisscholen leren delen

steeds via de website op computers

uitdaging zitten door het hele gebouw

de hand lopen, omdat ze ontwikkeld

Te vaak denken volwassenen ook dat

100. Alvast abstracter, maar je hebt

met kolomsommen of met happen

werken, al moeten ze dat uiteindelijk

heen, maar het bovenste deel is geheel

worden door externe ontwerpers en

kinderen rijtjes leren saai vinden,

nog steeds iets in handen. Omdat het

nemen en dat dat dan ook staartdeling

ook wel kunnen. Wij hebben boekjes

gevuld met extra’s voor kinderen die

ontwikkelaars, omdat het heel moeilijk

meent zij. ‘Natuurlijk is teveel niet

aanschouwelijk en tastbaar maken van

wordt genoemd. Vandaar dat wij onze

met sets opgaven, werkjes, en kinderen

daar nog aan toe komen.’

is om te bedenken wat de gebruiker,

goed, maar kinderen vinden het ook

rekenen-wiskunde zo voor de hand

aanpak de klassieke staartdeling zijn

pakken daar dan gewoon de materia-

gewoon fijn als ze merken dat ze iets

ligt, gebruiken tegenwoordig ook veel

gaan noemen. Maar in de derde van

len bij. Maar ook al werken ze vooral

Persoonlijke QR-code

gebruiker als ontwikkelaar en heb nauw

zeker zijn gaan beheersen. In ons

reguliere scholen materialen, meer

de middelbare school zijn leerlingen

vanaf het papier, ze zijn het toch al vrij

Ze probeert met haar collega’s het

contact met collega-gebruikers waar-

Rekengebouw zitten dan ook gewoon

dan alleen een telraam. Bij ons werken

het allemaal weer kwijt, omdat er op

snel levels gaan noemen. We volgen

Rekengebouw voor zowel kinderen als

door we geleidelijk toe groeien naar

rijtjes en we doen ze ook regelmatig,

kinderen in de onderbouw met de

de middelbare school niet meer met

weliswaar de montessorileerlijn, maar

andere docenten dus zo transparant

steeds beter. Uiteraard horen we ook

ieder op een eigen niveau.’ Als leerlin-

materialen al met sommen van 10.000,

klassieke staartdelingen wordt gewerkt.

we hebben die lijn ook al zo afgestemd

mogelijk te maken. Leerlingen loggen

van de kinderen wat niet en wel werkt,

Daar mogen leerlingen trouwens ge-

dat leerlingen, wanneer ze een landelijk

in met een persoonlijke QR-code en

maar de belangrijkste feedback van hen

woon de rekenmachine gebruiken.’

genormeerde toets maken, ook via het

zien hun eigen versie van het gebouw,

is toch als het hen lukt om elkaar te

Rekengebouw goed voorbereid zijn.

zoals de leerkracht het op basis van

helpen om te leren, zonder afhankelijk

Digitale methodes

Het is immers niet fijn om aan ouders

wat die signaleerde voor hen persoon-

te zijn van de leerkracht, en je aan hen

Aangezien Van de Hel toch kon

uit te moeten leggen dat hun kinderen

lijk heeft voorbereid en klaargezet. ‘Ik

ziet dat ze ervan genieten als het lukt.’

programmeren, zocht ze de oplossing

wel veel geleerd hebben, meer dan

geef keuzevrijheid door een beperkte

voor een goede en ook voor leerlingen

nodig zelfs, maar dat ze voor die toets

keus te geven. We willen hen niet

transparante, doorlopende leerlijn via

teveel keus geven, omdat ze dan al

haar website Rekengebouw: van elke

toch niet goed gescoord hebben.’ 6 Omdat het in het onderwijs belangrijk

leerling en van elk rekenonderdeel

is opgebouwde materialen ook te kun-

wat vooral zal frustreren. We overleg-

de voortgang duidelijk zichtbaar. ‘We

nen overdragen aan minder ervaren

gen daarbij dus ook regelmatig met

leerkrachten, zou de hoeveelheid

onze collega’s in Leidschenveen. We

sommen in het Rekengebouw een pro-

geven elkaar feedback en we groeien

bleem kunnen zijn. Toch is dat niet het

samen mee met het gebruik van het

geval, legt Pink van de Hel uit, omdat

systeem. Daarom is het ook prettig dat

zij en haar collega’s juist de logische

het niet door een derde partij ontwik-

opbouw in de rekenlijn benadrukken

keld wordt. Je weet pas precies wat je

4 Enzensberger, Hans Magnus (1999), De telduivel. Een hoofdkussenboek voor iedereen die bang voor wiskunde is, De Bezige Bij. 5 https://www.heutink.nl/artikel/alles-vanheutink/100_590538

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

Montessori Magazine

de klant dus, precies wil. Ik ben zowel

gauw iets kiezen wat nog niet lukt en

6 Enkele concrete voorbeelden hierbij: ‘Bij montessori leren kinderen in de middenbouw, soms onderbouw, al cijferend optellen en aftrekken met getallen boven de 1000. Dat wordt pas in groep 6 getoetst in de LVS toetsen.

Andersom komen er ook dingen in toetsen die in het montessoricurriculum wat later worden aangeboden, juist in de LVS toetsen van groep 4 of 5 voorbij. Zo kan of kon het gebeuren dat kinderen bepaalde vaardigheden die nog niet getoetst worden goed beheersen, maar toch slecht scoren op een toets.’

nummer 2 | jaargang 45

7

Thema

E

Thema

Effectiviteit van montessorirekenonderwijs

laat een genuanceerder beeld zien. Zij stellen dat ontwikkelingsmaterialen wel degelijk kunnen bijdragen aan het leerproces van kinderen, mits toegepast onder een viertal voorwaarden. Ten eerste dat kinderen langere tijd met de materialen moeten hebben gewerkt voordat het bijdraagt – beves-

Jaap de Brouwer

tigt en verduidelijkt door onder andere Elida Laski en collega’s: hoe langer je

Van oudsher werken veel scholen in kleutergroepen met ontwikkelingsmaterialen

werkt met materialen, hoe effectiever het wordt.3 Dit omdat kinderen de tijd

vanuit het idee dat concreet materiaal de eerste stap is om zich abstracte reken- en

nodig hebben om de relatie te leggen

wiskunde concepten eigen te maken. Dat gebeurt ook op montessorischolen. Maar

tussen materialen en abstractere

is het werken met montessorimaterialen wel zo effectief voor het verzorgen en

wiskundige concepten. Het is als een

leren van rekenen en wiskunde onderwijs?

iteratief proces: door het werken met materialen een basaal idee krijgen van hoe een wiskundig concept in elkaar

8

De inzet van ontwikkelingsmateriaal

zit. Dat leidt tot een beter begrip van

komt voort uit het idee dat kinderen

het wiskundige concept. Hierdoor

eerst concreet moeten handelen,

begrijpt het kind ook weer beter hoe dit

voordat ze abstract kunnen redeneren.

wiskundige concept zich verhoudt tot

Eerst leren we kinderen om te tellen

het materiaal dat het gebruikt. En dat

met stenen, kralen en vingers om ze

leidt weer tot een beter gebruik van het

dig de relatie leggen tussen materialen

van werken met materialen die Carbon-

dit vervolgens, naar mate getallen

materiaal, wat weer leidt tot een beter

en abstractere wiskundige concepten.

naueau en collega’s stellen. Leraren

groter worden, zonder concrete onder-

begrip van het wiskundige concept,

Het vraagt tijd, instructie en oefening

moeten daarom hun denkstappen,

steuning van materialen te laten doen.

enzovoorts. Verwacht dus niet, aldus

om deze relaties te leggen.

handelingen en denkprocessen hardop

Zo bekeken stellen de ontwikkelings-

Laski, dat kinderen al na een enkele

materialen voor rekenen een abstracter

keer werken met het gouden materiaal

Relaties en verbindingen

ties met het materiaal.

wiskundig concept voor. Het gouden

het decimale stelsel kennen. Ze stelt

Dat leraren kinderen expliciete bege-

Dat vraagt ook, als derde voorwaarde,

dat het zelfs met het best ontworpen

leiding bieden om de relatie te leggen

een heldere materiaallijn van concreet

ontwikkelingsmaterial niet realistisch is

tussen het materiaal en het wiskundige

naar steeds abstracter.

te denken dat jonge kinderen zelfstan-

concept is ook de tweede voorwaarde

Hoe concreter de overeenkomst is

materiaal als voorstelling van het

uitleggen tijdens het geven van instruc-

decimale stelsel, het kralendecanoom

kinderen om te komen tot abstractie,

kelingsmaterialen. Maar wie die voor

van de tafels van vermenigvuldiging

of door het gebrek van materialen om

rekenen en wiskunde goed bekijkt, ziet

of het machtsverheffen. Toch zit hier

een abstract wiskundig concept over

dat ze nogal verschillen, qua uiterlijk,

tussen een ontwikkelingsmateriaal en

een tegenstrijdigheid: het vraagt van

te brengen. Ze gaat uit van het laatste

maar ook qua gebruik: positie binnen

het wiskundige concept, hoe makkelij-

kinderen immers al abstract te kunnen

en probeerde in haar zelf ontwikkelde

de leerlijn, doelstelling, maar bovenal

ker het voor kinderen is om de relatie

denken om een wiskundig concept

materialen abstracte, wiskundige con-

de bruikbaarheid om effectief bij te

tussen deze twee te begrijpen. Dat

af te leiden uit een concreet ontwik-

cepten te ‘materialiseren’. Niet door ze

dragen aan het leren van rekenen en

klinkt simpel bij tellen en getalbegrip,

kelingsmateriaal: het decimale stelsel

persé zo concreet mogelijk te maken,

wiskunde. Onderzoek naar de toege-

maar wordt ingewikkelder bij machts-

afleiden uit het gouden materiaal, wat

maar vooral door wiskundige concep-

voegde waarde van ontwikkelingsmate-

verheffen of worteltrekken. Maar blijf

nogal wat (denk-) stappen van kinde-

ten een tastbare en meer begrijpelijke-

rialen op het leren van rekenen laat een

niet bij die concrete fase hangen, is het

ren vraagt natuurlijk.

re vorm te geven. Maria Montessori’s

wisselend beeld zien: sommige studies

advies van Laski en collega’s. Concrete

Maria Montessori overzag dit pro-

rekenmaterialen zijn in die zin dan ook

laten zien dat materialen wel bijdragen

materialen zijn weliswaar nodig voor

bleem al. In haar boek De Methode vraagt zij zich af of dit komt door het

niet altijd concreet, eerder symbolisch:

aan het leren van rekenen en wiskunde,

het eerste basisidee van het wiskun-

het wiskundige concept ligt ‘verborgen’

andere spreken dat tegen of stellen dat

dige concept, maar kinderen zullen op

nog niet ontwikkelde vermogen van

in het materiaal. Zij sprak dan ook

den duur los moeten komen van het

over ‘gematerialiseerde abstracties.’

materialen het leren zelfs verstoren.

Een grote overzichtsstudie2 uit 2013

De logische volgorde voor het zich

van Kira Carbonnaueau en collega’s

dat voor zich zag: van concreet naar

1

eigen maken van abstracte wiskundige

symbolisch naar abstract. Voor leraren

concepten is dan: vanuit de concrete

is het dus van belang te weten wat de

ervaring naar een symbolische weergave door naar abstractie.

Hoe met materialen Vaak staan er dozen vol montessorimaterialen in onderbouwgroepen, nog eens aangevuld met andere ontwik-

Montessori Magazine

materiaal. Of, zoals Maria Montessori

wiskundige essenties van de materia-

1 Montessori, M. (2016), De Methode.

Montessori-Pierson Publishing Company: Amsterdam.

2 Carbonneau, K. J., Marley, S. C., & Selig, :͘ W͘ ;ϮϬϭϯͿ͕ ŵĞƚĂŶĂůLJƐŝƐ ŽĨ ƚŚĞ ĞĸĐĂĐLJ ŽĨ ƚĞĂĐŚŝŶŐ ŵĂƚŚĞŵĂƟĐƐ ǁŝƚŚ ĐŽŶĐƌĞƚĞ ŵĂŶŝƉƵůĂƟǀĞƐ͘ :ŽƵƌŶĂů ŽĨ ĚƵĐĂƟŽŶĂů WƐLJĐŚŽůŽŐLJ͕ ϭϬϱ͕ ϯϴϬͲϰϬϬ͘

nummer 2 | jaargang 45

len zijn en welk doel ze dienen. Maar ook wanneer materialen in te zetten in 3 Laski, E. V., Jor’dan, J. R., Daoust, C., & Murray, A. K. (2015), What makes mathematics manipulatives effective? Lessons from cognitive science and Montessori education. SAGE Open.

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

9

Thema

Thema

resultaten liet zien in de studies naar

de leerlijn en waarom juist dít specifieke materiaal. Het hoe, wat, wanneer

reken- en wiskundeprestaties. Maar

Aanvullingen overbodig

ook andersom: dat de studies die

en waarom ervan dus.

Voorkom afleiding

‘Ik denk dat je heel goed rekenonderwijs kunt geven met alleen de montessori-

geen positief effect aantoonden in het

rekenmaterialen,’ concludeert Chris Willemse, brand manager bij Nienhuis,

voordeel van het montessorionderwijs,

Als laatste voorwaarde stellen Carbon-

uitgever van montessorimaterialen. Willemse: ‘De mogelijkheden die in het

gingen over scholen waar de imple-

naueau en collega’s dat ontwikkelings-

montessori reken- en wiskundemateriaal zitten, worden, volgens mij, nog

mentatie van het montessoriconcept

materialen eenvoudig en eenduidig

niet volledig benut. Er zitten nog veel meer gebruiksmogelijkheden in dan

ook slechts matig was. Alles uit de

zouden moeten zijn. Minder is meer,

dat ik nu in de praktijk zie. Dat vraagt wel om grondige kennis van de leraar

onderzoeken van Carbonnaueau, Laski

is hun devies. Storende, irrelevante

om de materialen optimaal te benutten. Kennis die mijn inziens nog wel eens

en Lillard samengenomen, betekent

eigenschappen van materialen leiden

ontbreekt. Ik denk dat je heel goed rekenonderwijs kunt geven met alleen de

dat wanneer het materiaal op de juiste

af van het wiskundige doel ervan. Die

montessorirekenmaterialen. Als je de materialen optimaal benut heb je weinig

wijze wordt ingezet en de school het

afleiding leidt tot minder effectief leren.4 En hoewel vaak gedacht wordt dat

aanvullende materialen nodig. Maar dat aanvullend materiaal ontwikkelt

montessoriconcept op een zo getrouw

Nienhuis zelf toch ook? Willemse: ‘We hebben een rekenarena en een grotere

mogelijke manier uitvoert, dit volgens

alledaagse voorwerpen, zoals het tellen

mat voor het fichesspel ontwikkeld. De scholen vragen ook om aanvullingen,

deze onderzoekers leidt tot effectief

van knuffeldieren of fruit, leidt tot het

dus blijven wij ook kritisch kijken naar ons eigen aanbod. Momenteel zijn we

rekenonderwijs.

begrijpen van wiskundige concepten,

bezig met een materiaal om Pi uit te kunnen rekenen. Dat zijn aanvullingen die

is het tegenovergestelde waar. Laski en

ook echt iets toevoegen aan het bestaande materiaal.’

collega’s stellen dat dit soort alledaag-

Verschillende keuzes

se voorwerpen door kinderen op twee manieren bekeken kunnen worden: als

10

op zichzelf staande voorwerpen of als

gehouden als het er niet toe doet. Dat

waarin duidelijk wordt aangetoond dat

Andere montessorischolen pakken het rigoureuzer aan wat

hebben als team eerst wat overzicht moeten creëren. Ik

een voorstelling voor een wiskundig

helpt om de aandacht van kinderen

het leren van reken- en wiskunde met

betreft hun reken- en wiskunde onderwijs en zoeken naar

wil rekenen bestaat uit een grote kast vol met materialen

concept.

te richten op het wiskundige concept.

behulp van de montessorimaterialen

alternatieven en aanvullingen. Een ontwikkeling die al vanaf

en rekenkaarten; de kinderen hadden in het begin geen

Wanneer voorwerpen eerder uitnodi-

Kortom: alle montessorirekenmateri-

effectiever is dan op scholen die geen

2003 is ingezet met een discussie over de vernieuwing

overzicht. Dat vroeg wat tijd en kennis van ons, je hebt een

gen om mee te spelen dan te gebrui-

alen zijn bedoeld om mee rekenen en

gebruik maken van deze materialen.

van het reken- en wiskundeonderwijs binnen de NMV. De

plan nodig: hoe zet je de rekenkaarten en materialen van

ken voor een wiskundige doel leidt dat

niet om mee te spelen.

Angeline Lillard en Abha Basargekar

conclusie was dat de rekenmaterialen alleen niet voldoende

Ik wil rekenen in, hoe past het binnen het onderwijs dat wij

waagden afgelopen jaar een poging

zijn om de kerndoelen te behalen en dat aanvullingen dus

geven? Inmiddels loopt het goed. Het voordeel vind ik dat

sori’s rekenmateriaal voldoet aan deze

Is het effectief?

om de effectiviteit van het montes-

kinderen kunnen werken aan doelen die passen bij hun eigen

voorwaarde om niet te af te leiden. De

Zo bezien lijkt het of Maria Montes-

isolatie van de eigenschap, zoals Mon-

sori’s materialen aardig voldoen aan

sorirekenonderwijs beter in beeld te krijgen.5 In hun overzichtsstudie pogen

noodzakelijk zijn.6 Inmiddels valt er heel wat te kiezen, van reguliere rekenmethodes, tot meer op de montessorileest

voordat ik met hen abstracter ga werken met de kaarten

tessori dat noemt, zorgt er voor dat

de voorwaarden van Carbonnaueau

zij de onderzoeken naar het reken- en

geschoeide rekenmaterialen. Ronald Bakker, directeur

in Ik wil rekenen. Het voordeel ervan, vind ik, is dat ik als

er één wiskundig aspect centraal staat

en collega’s om effectief reken- en

wiskundeonderwijs op de montessori-

op Montessorischool Tuinstad (Rotterdam), gebruikt op

leraar keuzes kan maken. Zo werkt Ik wil rekenen goed in

in elk materiaal. Kleur, vorm, lengte of

wiskundeonderwijs mee te geven. Dat

scholen die bekend zijn en de werken-

zijn school de aanvullingen van de projectgroep Wiskunde

combinatie met de montessorirekenmaterialen.’

andere eigenschappen worden binnen

is ook wat Laski en collega’s stellen.

de leerprincipes samen te brengen. De

Montessori Basisonderwijs (WMBO). Bakker: ‘Naast de

Maurice Limpens en Desiree Leensen, beiden leraar in de

een materiaal zoveel mogelijk gelijk

Toch is er nog geen onderzoek bekend

meeste onderzoeken die zij bekeken

gewone montessorimaterialen, de oude rekenkaarten,

middenbouw van Montessorischool Venray, herkennen de

hebben, tonen geen verschil. Enkele

gebruiken we ook de werkwijze van het WMBO. De

zoektocht naar aanvullend passend rekenmateriaal. ‘Eerst

studies suggereren dat een andere aan-

materialen blijven voor ons echter centraal staan. Daarom

werkten we met een reguliere rekenmethode die we helemaal

pak beter is, zoals ook enkele aantonen

hebben we ook voor de WMBO werkwijze gekozen, want

verknipt en in doelen verdeeld hadden. Maar we merkten

dat de montessori-aanpak effectiever

die sluit er goed bij aan. Het WMBO materiaal bestaat uit

dat alles door elkaar liep, er was weinig overzicht, ook voor

is. Kortom, resultaten verschillen en

werkkaarten voor kinderen, maar er zijn ook didactische

de kinderen. We hebben veel methodes en aanvullende

harde conclusies zijn dan moeilijk te

bijsluiters voor leraren. Maar de implementatie van het

materialen bekeken en uiteindelijk gekozen voor Getal

trekken. Maar Lillard en Basrgekar zijn

WMBO is best pittig, vereist veel kennis van de leraar, van de

en ruimte junior. Ze geeft veel overzicht: één doel in de

ook kritisch: kijkend naar de uitvoering

leerlijnen, van rekendidactiek en de montessorimaterialen.

week staat centraal, we geven instructie en daarna gaan

van het montessorionderwijs conclude-

Maar dat zorgt er wel voor dat we rekenonderwijs hebben dat

we inoefenen. Het eindigt met een toepassingsopdracht.

ren zij dat wanneer het montessoricon-

goed aansluit bij de kinderen en de montessorivisie. En we

Differentiëren gebeurt doordat er verschillende werkboeken

cept trouw en stevig geïmplementeerd

zien rekenlust bij de kinderen, dat motiveert om er mee door

zijn die passen bij het niveau van de kinderen. Het geeft

werd op een school, dit ook betere

te gaan.’

leraren veel handvatten om goed rekenonderwijs te geven.

Op Montessorischool de Plotter in Zutphen kiezen ze voor

We hebben een jaar gedraaid om de methode onder knie te

een andere werkwijze. Na het werken met een reguliere

krijgen, nu zitten we in de fase om de methode meer los te

methode en het WMBO materiaal hebben ze daar gekozen

laten en de montessorimaterialen meer te integreren. We

de aandacht van kinderen af. Montes-

4 Zie o.a: McNeil, N. M., Uttal, D. H., Jarvin, L., & Sternberg, R. J. (2009), Should you show me the money? Concrete objects both hurt and help performance on mathematics problems.

Learning and Instruction, 19, 171-184.

5 Basargekar, A. & Lillard, A.S. (2021), Math achievement outcomes associated with Montessori education. Early Child Development and Care, 191:7-8, 1207-1218

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

niveau. Soms grijp ik eerst terug op de montessorimaterialen

voor Ik wil rekenen. Jeffrey Martherus, leraar van een

hebben immers Getal en ruimte junior nooit aangeschaft om

bovenbouwgroep: ‘Dat was in het begin best wennen. We

die slaafs te blijven volgen, maar als leidraad.’

6 Zie ook: Inspectie van het Onderwijs (2007), Het Montessori Basisonderwijs.

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

11

Thema

Thema

R

Rekenen-wiskunde in digitale spagaat

docenten gedeeld.4 Het is daarom bijna tragisch dat juist die talige contexten voor sommigen het argument zijn om terug te willen keren naar kale sommen uitrekenen, de lagere orde vaardigheden. Terwijl je juist nu, nu technisch zo ongeveer alles kan, de mogelijkheden van beeld en illustraties meer zou kun-

Paul Op Heij

nen benutten om rekenen-wiskunde aantrekkelijker te maken, te verbinden met de werkelijkheid en het wiskundig denken beter te ondersteunen. Maar

Digitalisering van onderwijs begint altijd met het programmeren van achter-

als ik dan in het regeerakkoord lees dat

haalde ideeën over onderwijs. Dat is een wetmatigheid die je ook terugziet in de

er op scholen alleen nog maar evidence

digitalisering van het reken-wiskundeonderwijs, meent lector Kees Hoogland.

based – lees: gestandaardiseerde -

‘Terwijl rekenen-wiskunde inhoudelijk en didactisch kinderen juist zou moeten

schoolmethodes gebruikt mogen gaan

opleiden tot gecijferde burgers die weerbaar zijn tegen de groeiende invloed van

worden, stemt dat mij op zijn zachtst

getallen in de samenleving.’

gezegd niet vrolijk. Dat lijkt mij strijdig met de vrijheid van onderwijs en het einde van innovatie.’

Lectoraat Wiskundig en Analytisch Vermogen van Professionals

Aan de wereldtop

Sinds afgelopen zomer, toen Kees Hoogland als lector geïnstalleerd werd, kan op de website van het

Om de huidige situatie van rekenen-

zelf nooit direct verbonden aan het

Neoliberale verwaarlozing

Lectoraat Wiskundig en Analytisch Vermogen van Professionals van Hogeschool Utrecht een mini-

wiskunde in het onderwijs beter te

Freudenthal Instituut, werkte 20 jaar in

Vanaf het begin van de 21e eeuw heeft

documentaire bekeken worden. Daarin maken Kees Hoogland en zijn collega’s in het buitenland

kunnen begrijpen, licht Kees Hoogland

projecten rond reken- en wiskundeon-

er vanuit een neoliberale maatschap-

duidelijk waarom ‘gecijferdheid’ in een snel digitaliserende en mathematiserende wereld zo

toe hoe de aanpak van het Freudenthal

derwijs in onder andere Indonesië en

pijvisie een enorme verwaarlozing van

belangrijk is. En waarom en hoe docenten rekenen-wiskunde op de basis- en de middelbare school 2 daar beter op zouden kunnen inspelen. Reken-wiskundetijdschrift Volgens Bartjes liet Hoogland al

Instituut van de Universiteit Utrecht

Zuid-Afrika.

het onderwijs plaatsgevonden, zegt

vanaf de jaren 1970 leidend werd. Niet

‘We waren pioniers, zaten in de voor-

Hoogland: teveel lesuren voor leraren,

uitvoerig aan het woord: ‘Kies je als doelstelling voor het reken-wiskundeonderwijs ”verhogen van

alleen in Nederland, maar wereldwijd.

hoede, wat zaken in de praktijk vaak

te volle klassen, te lage salarissen,

de kwaliteit van gecijferd gedrag”, dan kun je daarbij een ontzettend inspirerend curriculum maken,

Daar waar rekenen-wiskunde voor die

niet makkelijker maakte. De succeserva-

een dalend niveau van instromende

dicht bij de werkelijkheid, dicht bij de ervaringen van kinderen, zonder rekenangst te veroorzaken,

tijd als het ware achterstevoren onder-

ring maakte echter veel goed, al moeten

docenten en een top-down afrekenen

zonder kinderen buiten te sluiten of met stoornissen en achterstanden te etiketteren.’

wezen werd, beginnend bij abstracte,

we ons wel blijven realiseren dat het

op meetbare opbrengsten en (reken)

formele, cijfermatige systemen en

realistische rekenen destijds niet uit de

toetsen met bijbehorende bureaucratie.

eindigend met de toepassingen in de

lucht kwam vallen. Hans Freudenthal

Inmiddels zakken we ook met rekenen-

praktijk, daar draaide Freudenthal’s

paste namelijk goed in zijn tijd; op alle

wiskunde terug naar het Europese

‘realistische rekenen’ de volgorde weer

onderwijsconferenties in de jaren 70

gemiddelde.

om naar een meer natuurlijke manier

en 80 was de tendens dat het leren van

‘Vanaf 2000 kwam er een conservatie-

van leren: van alledaagse en levensech-

vaardigheden nauw verbonden moest

ve stroming op gang. Ik werkte destijds

1

12

1 Mini-documentaire over de mathematisering van de samenleving en het belang gecijferdheid, Kees Hoogland: https://jwp.io/s/BGj4qpvs 2 In: Volgens Bartjes, jaargang 40/1 Rekenangst is geen leerlingkenmerk en in jaargang 40/4 Anders kijken naar basisvaardigheden 2021

Met wiskundig denken beginnen kinde-

is met de vormgeving van “realistische

listische situaties zoals leerlingen ge-

te situaties naar abstractere concepten.

zijn met de werkelijkheid waarin die

bij het Algemeen Pedagogisch Studie-

ren op de dag dat ze geboren worden,

rekenen” van het Freudenthal Instituut3

woon naar een winkel sturen, maar dat

Hoogland: ‘Er was in die decennia een

vaardigheid werd gebruikt. Dat gold ook

centrum, waar eind jaren negentig nog

zegt Kees Hoogland. ‘Kinderen oriënte-

van de jaren 70 en 80 ook nog eens het

is om praktische redenen nooit breed

hechte samenwerking tussen leraren-

voor vakken als natuur- en scheikunde,

wekelijks telefoontjes binnenkwamen

ren zich in de ruimte, krijgen te maken

probleem taal bij gekomen, realiseren

aangeslagen. Vorig jaar heb ik nog een

verenigingen, wiskundigen, vakdidac-

aardrijkskunde en geschiedenis. Het

van scholen die het roer helemaal

met aantallen, doen daar al onbewust

we ons nu. Want op het moment dat

lezing gegeven voor wiskundedocenten

tici, opleiders, nascholers, toetsontwik-

moest meer gaan over het begrijpen

wilden omgooien richting meer compe-

van alles mee, spelenderwijs, zonder

je in die jaren rekenen in een schoolse

waarbij ik het vwo-examen Wiskunde

kelaars en schoolboekauteurs. Onlangs

van geografische en historische ontwik-

tentiegericht, praktisch en natuurlijk

rekenangst te ontwikkelen – Jelle Jol-

situatie wilde verbinden met de werke-

A van het Cito herschreven heb. Dat

heeft hoogleraar reken-wiskundedidac-

kelingen en minder over alleen maar

leren. Ik weet nog dat wij destijds

les heeft er veel over geschreven. Op

lijkheid – ik heb toen zelf nog meege-

examen 2021 bestaat uit 21 pagina’s

tiek Marja van den Heuvel-Panhuizen

topografie en jaartallen. Onderwijs

verbaasd waren hoe snel die vraag

het moment dat kinderen de school

schreven aan Moderne Wiskunde - kon

tekst. Ik had er een versie van gemaakt

nog twee kloeke delen geredigeerd

moest niet langer alleen geïsoleerde

binnen enkele maanden opdroogde

binnenstappen, wordt rekenen en wis-

je dat vrijwel alleen maar doen met

zoals het examen er tegenwoordig uit

waarin wetenschappers uit Nederland

basisvaardigheden en technieken leren,

door een soort culturele omslag. Het

kunde als iets beladens ervaren waarbij

taal, omdat toen de technische grafi-

had kunnen zien en heb dat met vak-

en uit het buitenland terugkijken en

maar ook socialiseren en kwalificeren

je kunt falen.’

sche middelen nog heel beperkt waren.

voor een complexer wordende samenle-

Goede plaatjes bijvoegen kon toen nog

beschrijven welke invloed dat denken heeft gehad.5 Het Nederlandse reken-

Digitaal grafische mogelijkheden

niet of was heel duur. Dus gebeurde al-

en wiskundeonderwijs behoorde in

reformscholen als montessori, dalton,

die tijd tot de absolute wereldtop wat

jenaplan en vrijeschool groot werden

‘Misschien wel 80% van alle proble-

blijven hangen in die talige contexten,

resultaten betreft en Nederlandse

en op een gegeven moment ook nog

men met rekenen bij leerlingen van

eigenlijk treurig als je er over nadenkt.

reken- en wiskundedidactici waren

links en rechts werden ingehaald door

vmbo en mbo is meer van psychologi-

Ik heb destijds veel pleidooien gehou-

in de laatste decennia van de vorige

reguliere scholen die elementen van die

sche dan van cognitieve aard. En daar

den voor het meer opzoeken van rea-

eeuw veel gevraagd.’ Kees Hoogland,

aanpak invoerden.’

Montessori Magazine

les met taal. Daarna zijn we veel te veel

3 Het Freudenthal Instituut in Utrecht werkt volgens de ideeën over rekenen en wiskunde van de Duits-Nederlandse wiskundige en pedagoog Hans Freudenthal (1905-1990), grondlegger van het zogenaamde realistisch rekenen dat rekenenwiskunde meer in verbinding wilde brengen met het leven en de wereld.

nummer 2 | jaargang 45

Montessori Magazine

ving. Het waren ook de decennia waarin

ϰ ,ŽŽŐůĂŶĚ͕ <ĞĞƐ͕ ;ϮϬϮϭͿ͕ tŝƐŬƵŶĚĞ njŽĂůƐ ŚĞƚ ďĞĚŽĞůĚ ŝƐ͕ sĂŬŶĞƚǁĞƌŬ tŝƐŬƵŶĚĞ ŚƩƉƐ͗ͬ​ͬ ǁǁǁ͘ŐĞĐŝũĨĞƌĚŚĞŝĚ͘ŶůͬŚĞƌŽŶƚǁĞƌƉͲĞdžĂŵĞŶͲ ǀǁŽͲǁŝƐŬƵŶĚĞͲĂͬ ϱ sĂŶ ĚĞŶ ,ĞƵǀĞůͲWĂŶŚƵŝnjĞŶ͕ DĂƌũĂ ;ϮϬϮϬͿ͕ /ŶƚĞƌŶĂƟŽŶĂů н EĂƟŽŶĂů ZĞŇĞĐƟŽŶƐ ŽŶ ƚŚĞ EĞƚŚĞƌůĂŶĚƐ ŝĚĂĐƟĐƐ ŽĨ DĂƚŚĞŵĂƟĐƐ͕ ^ƉƌŝŶŐĞƌ KƉĞŶ ĐĐĞƐƐ

nummer 2 | jaargang 45

13

Thema

Praktijkvoorbeeld

wel weg kunnen doen en kinderen

d

alleen nog maar achter een dashboard

over of en hoe er gebruik van wordt gemaakt. Als je collega’s er over spreekt, wordt allicht de vraag

met groene vinkjes en rode kruisjes

gesteld of montessorirekenonderwijs nog wel een ideaal is waaraan leerkrachten kunnen voldoen.

reken- en wiskundevaardigheden en zetten de didactische expertise van de leraar grotendeels buitenspel. Dat betekent niet per se dat die methodes niet deugen, maar wel dat ze heel beperkt zijn en dat leraren dus goed moeten nadenken waarvoor ze worden ingezet. Er is het beeld ontstaan dat scholen hun papieren schoolmethodes

Digitale ondersteuning bij het materiaal Sam de Vlieger

Op montessorischolen staat de kast met rekenmateriaal vaak wel in het lokaal, maar dat zegt maar weinig

hoeven te zitten. Als je kinderen alleen maar sommetjes wilt leren, kunnen

14

die programma’s prima dienstdoen,

Floris Kortleve

maar voor het aanleren van hogere

Volgens Floris Kortleve van Montessorischool Oog in Al in Utrecht vraagt een montessorimethode veel

orde vaardigheden is hoogwaardige

van leerkrachten. Zijn school gebruikte eerst de montessorimethode WMBO, waarvoor collega’s echter

leerkrachtinzet nodig. Je ziet op steeds

een heel goed beeld moesten hebben van leerlijnen, doelen en opdrachten, wat dus onvoldoende het

meer scholen dat leraren alleen maar

geval was. Waardoor leerlingen niet de juiste begeleiding kregen en resultaten tegenvielen. De school koos

bezig zijn met computers klaar zetten.

voor de reguliere methode Getal en Ruimte. Kortleve: ‘Slechts één van de vier montessorischolen waar ik

was ook de tijd dat de Volkskrant een

Weerbaarder maken

Voor het aanleren van hogere orde

als leerkracht werkte, heeft nog het montessorimateriaal als leidraad. Dat komt, volgens mij, doordat er

soort mediaoffensief begon: Heimwee

Hoogland is voorstander van meer

vaardigheden als grafieken interpre-

geen duidelijke visie op rekenen is en door de druk die het individueel werken volgens de montessorivisie

naar de HBS. Het waren ook de jaren

gebruik van digitale middelen bij

teren, en modellen simuleren biedt

legt op docenten. Veel kinderen komen tegenwoordig niet uit zichzelf op gang en hebben veel individuele

dat het populisme opkwam, vanuit de

rekenen-wiskunde op school. Maar hij

allerlei andere educatieve software met

sturing nodig. Sinds de invoering van het Passend Onderwijs zijn bovendien de niveauverschillen in klassen

onderbuik van de samenleving. De in-

wil het vak tegelijkertijd van aard en in-

gebruikmaking van het smartbord juist

aanzienlijk vergroot. In een groep 6-7-8 loopt dat niveau vaak uiteen van groep 4 tot eerste klas gymnasium.’

vloeden daarvan hebben ook het reken-

houd doen veranderen. Zodat het beter

Door een gebrek aan visie op grote niveauverschillen in de klas zijn er vaak verschillen van inzichten tussen

en wiskundeonderwijs niet onberoerd

voorbereidt op de snel digitaliserende

mogelijkheden, GeoGebra bijvoorbeeld.8 Niet commercieel en uitstekend

gelaten. Populisme geeft namelijk

samenleving met een steeds grotere

om het exploratief vermogen van leer-

antwoord op Passend Onderwijs. En daarbij komt nog eens dat je in de Randstad vaak al blij bent als er een stabiele

simpele antwoorden op complexe

afhankelijkheid van getallen en algo-

lingen mee te stimuleren. Dergelijke

leerkracht voor de klas staat en er een vaste directeur is. Er zijn veel wisselingen in teams wat teamwork bemoeilijkt. Een

vragen en wil terug naar “de basis”6, zoals het vroeger was. Voor rekenen-

ritmes, waarvan mooie voorbeelden

verdiepende software is echter veel

manier om dit soort problemen op korte termijn te ondervangen, zou ook kunnen zijn om rekenonderwijs aan te bieden

te vinden zijn in bijvoorbeeld Sanne

minder bekend.’

via het materiaal en je daarbij wel te laten ondersteunen door digitale adaptieve methodes als Gynzy en Snappet, waarbij

wiskunde betekende dat terug naar het

de digitale methode alles bijhoudt en de leerlijn bewaakt. Montessorimateriaal maakt dan bij het aanbieden van nieuwe

drillen van het simpele cijferen, “zodat

Blauw’s boek Het best verkochte boek ooit.7 Maar vooralsnog ziet hij dat de

alle kinderen weer zouden kunnen

digitale adaptieve methodes rekenen-

Maria Montessori, als zij nu had geleefd, een fan van digitale ondersteuning zou zijn geweest.’

rekenen”, dus terug naar een tijd die

wiskunde op scholen eerder het tradi-

er nooit geweest is. In de huidige tijd

tionele simpele cijferen aanleren dan

moet je je afvragen hoe realistisch

hogere orde vaardigheden als getallen,

het is om van mondige kinderen die

diagrammen en grafieken interprete-

zelf willen meedenken en beslissen,

ren, probleem oplossen en kritisch

nog uitgesteld begrip van wiskundig

leren denken om daarmee kinderen te

denken te kunnen eisen, zoals eerst

wapenen tegen de groeiende macht

automatiseren en pas daarna begrijpen

van getallen in de samenleving.

en toepassen. De naoorlogse directe

Hoogland: ‘De huidige digitalisering

instructie in het reken- en wiskunde-

gaat dus veelal in een andere richting

onderwijs was eenzijdig en paternalis-

dan die ik van belang acht. Wat dat

tisch top-down met een behavioristi-

betreft zit ik als lector wiskundig en

sche opvatting van hoe kinderen leren:

analytisch vermogen in een digitale

stimulus-respons, denk aan het hondje

spagaat. De digitalisering van het

van Pavlov dat leerde door beloningen

reken- en wiskundeonderwijs volgt

te krijgen. Ik ben dan ook bang dat de

de wetmatigheid dat digitalisering

conservatieve draai die veel scholen

van onderwijs altijd begint met het pro-

op dit moment voor rekenen-wiskunde

grammeren van achterhaalde ideeën

overwegen, zal gaan tegenvallen, om-

over onderwijs. De meeste adaptieve

dat kinderen van vandaag zich dat niet

methodes leren kinderen vrijwel alleen

meer zullen laten welgevallen.’

maar lagere orde en reproductieve

leerkrachten binnen teams, zegt Kortleve. ‘Montessorionderwijs heeft na jaren nog steeds geen goed

lesstof, ondersteuning door de leerkracht mogelijk en toepassing en verwerking ervan gebeurt digitaal. Ik weet zeker dat

ϲ ,Ğƚ ƉƌĂƚĞŶ ŽǀĞƌ ͚ĚĞ ďĂƐŝƐ͛ ĚŽŽƌ ƉŽƉƵůŝƐƚĞŶ ŝƐ ǁĞů ĞĞŶƐ ǀĞƌŐĞůĞŬĞŶ ŵĞƚ ͚ƚĞƌƵŐ ŶĂĂƌ ĚĞ ďƌŽŶŶĞŶ ǀĂŶ ŚĞƚ ŐĞůŽŽĨ͕͛ ǁĂĂƌ ĨƵŶĚĂŵĞŶƚĂůŝƐƚĞŶ ŽǀĞƌ ƐƉƌĞŬĞŶ͘ KŽŬ ŝŶ ĚĞ ǁŝƐŬƵŶĚĞ ŬƵŶŶĞŶ ďĂƐŝƐŬĞŶŶŝƐ ĞŶ ƚŽĞƉĂƐƐŝŶŐ ŶŝĞƚ njŽŶĚĞƌ ĞůŬĂĂƌ ĞŶ njŝũŶ njĞ ŶŝĞƚ ĂůƟũĚ ĞǀĞŶ ĚƵŝĚĞůŝũŬ ƚĞ ƐĐŚĞŝĚĞŶ ďŝũ ŚĞƚ ůĞƌĞŶ͕ njŽĂůƐ ƌĂŝŐ ĂƌƚŽŶ ŝŶ sŽůŐĞŶƐ ĂƌƚŽŶ ;ϮϬϭϵͿ ŶŽŐ ŵĂĂƌ ĞĞŶƐ ĚƵŝĚĞůŝũŬ ŵĂĂŬƚ͘ ŝƚ ŽŵĚĂƚ ǁŝƐŬƵŶĚŝŐĞ ĨŽƌŵƵůĞƐ ;ďĂƐŝƐͿ ǀĂĂŬ Ăů ŵŽĞƚĞŶ ŬƵŶŶĞŶ ǁŽƌĚĞŶ ƚŽĞŐĞƉĂƐƚ njŽŶĚĞƌ ĚĂƚ njĞ ďĞŐƌĞƉĞŶ ǁŽƌĚĞŶ͘ ĂƌƚŽŶ ŐĞĞŌ ĂůƐ ǀŽŽƌďĞĞůĚ ĚĞ ĨŽƌŵƵůĞ ǀŽŽƌ ŚĞƚ ďĞƌĞŬĞŶĞŶ ǀĂŶ ĚĞ ŝŶŚŽƵĚ ǀĂŶ ĞĞŶ ďŽů ;ŝŶ ŚĞƚ sD KͲĞdžĂŵĞŶͿ͗ ǀŽŽƌ ŚĞƚ ďĞŐƌŝũƉĞŶ ǀĂŶ ĚŝĞ ĨŽƌŵƵůĞ ŝƐ ŝŶƚĞŐƌĂĂů ƌĞŬĞŶĞŶ ŶŽĚŝŐ͕ ŝĞƚƐ ǁĂƚ ůĞĞƌůŝŶŐĞŶ ƉĂƐ ŝŶ ĚĞ ďŽǀĞŶďŽƵǁ ŚĂǀŽͬǀǁŽ ůĞƌĞŶ͕ ĞŶ ǀĞĞů ůĞĞƌůŝŶŐĞŶ ĚƵƐ ŶŽŽŝƚ͘ ϳ ůĂƵǁ͕ ^ĂŶŶĞ ;ŚĞƌnjŝĞŶĞ ŚĞƌĚƌƵŬ ϮϬϮϭͿ͕ ,Ğƚ ďĞƐƚ ǀĞƌŬŽĐŚƚĞ ďŽĞŬ ŽŽŝƚ͘ ,ŽĞ ĐŝũĨĞƌƐ ŽŶƐ ůĞŝĚĞŶ͕ ǀĞƌůĞŝĚĞŶ ĞŶ ŵŝƐůĞŝĚĞŶ͕ hŝƚŐĞǀĞƌŝũ ĚĞ ŽƌƌĞƐƉŽŶĚĞŶƚ͘ ϴ ŚƩƉƐ͗ͬ​ͬǁǁǁ͘ŐĞŽŐĞďƌĂ͘ŽƌŐͬ ĞŶ ĞĞŶ ǁŝůůĞŬĞƵƌŝŐ ůŝũƐƚũĞ Ƶŝƚ ϮϬϮϭ͗ ŚƩƉƐ͗ͬ​ͬ ǁǁǁ͘ĂůůĂƐƐŝŐŶŵĞŶƚŚĞůƉ͘ĐŽŵͬďůŽŐͬĨƌĞĞͲ ŵĂƚŚĞŵĂƟĐƐͲƐŽŌǁĂƌĞͬ

Martijn Sprangers Op Montessorischool Buiten Wittevrouwen aan de andere kant van Utrecht werd kort geleden juist de reguliere methode ingewisseld voor een montessori. De vorige directeur en het docententeam kozen er drie jaar geleden voor een echte montessorischool te willen zijn. Reguliere methodes gingen deels de deur uit en De Taalkast en Ik wil rekenen kwamen er voor in de plaats. Martijn Sprangers, de huidige directeur, legt uit dat ze nu bezig zijn met het digitaliseren van alle leerlijnen, omdat niet alle docenten de leerlijn voldoende kenden. Volgens hem komt dat vooral door het docententekort en dan voornamelijk van montessori-opgeleide docenten. ‘Als een docent vertrekt of ziek is moeten anderen ook kunnen zien waar de leerlingen zijn. We digitaliseren de leerlijnen met behulp van de Parnassys-leerlijnen in combinatie met Ik wil rekenen. Zo proberen we het overzichtelijker neer te zetten, zodat het begin punt van de leerling sneller is over te dragen.’

Elke docent bij hem op school moet weliswaar een montessori opleiding volgen en krijgt begeleiding om met Ik wil rekenen te kunnen werken, maar ook daarna gaat het nog niet vanzelf, zegt hij. ‘Natuurlijk is ook de wijk waarin een school ligt een factor bij de slagingskans van een aanpak, maar met een goed voorbereide omgeving en goed klassenmanagement zou die van ons nu toch moeten kunnen lukken. Steeds meer scholen werken weliswaar met online methodes, en jazeker dat maakt afstandsonderwijs makkelijker, maar digitaal blijft abstract.

Natuurlijk is de digitale verwerking en automatisering een uitkomst, maar bij ons staat het materiaal centraal. De kracht ervan is dat het zo concreet en tastbaar is. In de les zijn leerlingen aan het werk met de montessorimaterialen aan de hand van opdrachtkaartjes. De leerkracht observeert wat de kinderen kunnen en geeft individueel instructie. Het materiaal moet je voelen en zien. De grote van een getal wordt toch sneller begrepen door het verschil dat je voelt als je het getal één vast hebt of het getal duizend.’

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

15

Thema

D

Thema

De kunst van wiskunde Sandra Veenstra

Foto Erik Schilt: ‘Helling’

Wiskunde kan intimiderend lijken, maar als je het geluk hebt een echte wiskundeliefhebber te ontmoeten, dan maken duizelingen plaats voor diepere inzich-

ontstaat een spel van geen en wel grip

Wiskids

Kind Kinderopvang en Ontwikkeling is

ten en een andere kijk op de wereld om je heen. Eenmaal aangestoken door

hebben. Zoals je tijdens het fotografe-

Wiskunde helpt dus bij het scheppen

daartoe een speelse wiskundige

wiskunde-enthousiasme dringt zich de vraag op: ís wiskunde de betekenis of

ren kunt in- en uitzoomen, wat weer op

van orde in de wereld om ons heen.

methode ontwikkeld voor peuters:

geeft wiskunde betekenis?

andere ideeën brengt. Ik lees momen-

Dit is ook van belang voor de ontwikke-

Wiskids, bestaande uit zes wiskundige

teel het boek van Marjolein van Heem-

ling van jonge en zeer jonge kinderen.

thema’s met bijpassende activiteiten.

Zij zijn immers volop in het proces van

Allard Hauer, pedagogisch medewerker

3

In onze samenleving leggen we vaak

Wiskundige concepten uit het dagelijks

feite een derde dimensie, perspectief,

stra, In lichtjaren heeft niemand haast.

Met wetenschappers ontsnapt ze aan

grip krijgen op de onbekende wereld

bij HumanKind en landelijk Wiskids

de nadruk op taal en taalvaardigheid:

leven kregen de afgelopen 40 jaar in

op het platte vlak. Eén van de Sequen-

de aarde en combineert dat met haar

om hen heen. Ook de kinderopvang

ambassadeur aldaar, legt uit: ‘Voor

thuis, op de kinderopvang en basis-

het onderwijs meer aandacht en een

ties van Szulc-Kryzanowski laat een

aardse beslommeringen – ze zoomt

beweegt mee met de wereld, en schuift

het jonge kind dat opgroeit, is alles in

school, bij inburgering etc. Logisch,

volwaardige plek. Dat is belangrijk,

panorama zien, waarbij de blik van de

steeds verder uit en krijgt daarmee een

bijvoorbeeld steeds verder op van ‘op-

zijn beleving alleen maar aanwezig als

want zonder taalbeheersing loopt

want wiskundige concepten en inzich-

fotograaf iets doet wat in werkelijkheid

ander zicht op het geheel.’

vang’ naar ‘ontwikkeling’. Bij Human-

het zintuigelijk is waar te nemen. Als

alles vast. Taal is dan ook een van

ten spelen bewust en onbewust, net als

helemaal niet kan, namelijk 360 graden

we om ons heen kijken is het duidelijk

de eerste dingen die een kind leert.

taal, een cruciale rol in het dagelijkse

draaien met je hoofd. Door telkens

te zien dat de wereld makkelijker is te

Maar hoewel wij pas op de middelbare

leven, vanaf de geboorte.

op dezelfde plek een stok in beeld te

school geconfronteerd worden met

16

brengen, die door de roterende bewe-

de term, blijkt wiskunde als concept

Wiskunde-leermeester

ging van de camera een cirkel op de

ons al van jongs af aan te omringen.

Erik Schilt, wiskundeleraar op de vrije-

grond trekt, ontstaat er magie. Bij elke

In de natuur, als vormen en composi-

school en fotograaf bij Beeld Verhaal1, is

stap wordt 1 moment vastgelegd van

ties bij zwermen vogels, jaargetijden,

een liefhebber die je kijk op de wereld

hetgeen zich afspeelt in ruimte en tijd.

geluidsgolven en de exponentiële

kan doen kantelen. Hij vertelt geïnspi-

Daar kun je wiskundig over nadenken,

groei van bacteriën. In de cultuur in

en meetkundig en grafisch van alles

architectuur en kunst, maar ook bij

reerd te zijn door zijn wiskundeleraar en via zijn studie aan de KABK2 door

infrastructuur en ordeningen in

fotograaf Michel Szulc-Kryzanowski.

Zit het geheim van wiskunde dan in

bibliotheken en winkels.

Over diens fotografisch werk Sequen-

de mysterieuze ogenblikken tussen

ties schreef hij zijn masterthesis bij

concreet en abstract? In de vertaling

Photographic Studies aan de Universi-

van de werkelijkheid naar symbolen,

teit Leiden: een even wiskundige als

van het driedimensionale naar het

gedragswetenschappelijke analyse van

tweedimensionale en vice versa? Schilt

de door de fotograaf naar eigen zeggen

gebruikt zijn passies en expertise om

intuïtief gemaakte foto’s. Zag Schilt

met zijn leerlingen de ruimtelijke en

de wiskundige betekenis in de foto’s,

rekenkundige wereld om hen heen te

of gaf hij wiskundige betekenis aan de

onderzoeken, de camera en tekenge-

foto’s?

rei als gereedschap. En dan niet de

Schijnbaar moeiteloos legt Schilt ver-

camera als identiteitscontrole (selfies),

banden tussen wiskunde, wetenschap,

maar als spel met de context. Hij

schone kunsten en gedrag. ‘Meetkunde

neemt zijn leerlingen mee op reis door

gaat over hoe je je als mens verhoudt

de wereld van de getallen, vormen en

tot de wereld om je heen. Wiskunde

symbolen. ‘Wiskunde is niets anders

probeert in feite complexe dingen in de

dan orde scheppen in de indrukken die

wereld overzichtelijk te maken. Daarbij

wij opdoen. Wiskunde biedt veiligheid

kan fotografie inzicht verschaffen, als

door ook de ongrijpbare aspecten van

het bijvoorbeeld gaat om plaatsbepa-

de wereld te vatten in symbolen. Daar

mee doen met leerlingen.’

ling, zoals je ook vanuit een assenstelsel naar een grafiek kan kijken. Door Erik Schilt

Montessori Magazine

bij het fotograferen standpunten in te nemen en te kadreren projecteer je in

begrijpen als we gebruik maken van 4

In De Methode, de ontdekking van het Kind schrijft Maria Montessori: ‘Ik wandelde eens naar de Pincio met een jongen van de ‘lagere school’, die meetkundig tekenen leerde en de analyse van de figuren van de vlakke meetkunde kende. Toen wij op het hoge terras stonden, vanwaar men de Piazza del Popolo en de stad in z’n hele uitgestrektheid kan overzien, zei ik tegen hem: “Kijk eens, alle werken van de mens zijn een samenstel van meetkundige figuren”. Want inderdaad: rechthoeken, ellipsen, driehoeken, halve cirkels, onderbraken en versierden op wel honderden manieren de grijze, rechthoekige gevels van de gebouwen.

Een dergelijke eenvormigheid over zulk een groot oppervlak leek wel een illustratie van de beperktheid van de menselijke intelligentie, terwijl de kruiden en bloemen in een perk vlak bij ons de oneindige verscheidenheid van vormen in de natuur glorierijk ten toon spreidden.

Het kind had dit alles nog nooit zo opgemerkt. Het had hoeken, zijden en de constructie van meetkundige figuren op het bord en in zijn boek bestudeerd, zonder er verder bij te denken en alleen gevoeld hoe vervelend het was, zo’n saai werk te moeten doen. In het eerste ogenblik lachte het om die voorstelling van de mens, die overal geometrische figuren opeenstapelt, maar toen keek het lange tijd, met groeiende belangstelling, en ik las zijn levendige gedachtegang op zijn gezicht. Rechts van de Ponte Margherita was een groot huis in aanbouw en het geraamte toonde ook al rechthoeken. “Wat werken ze hard”, zei ik, doelend op de bouwvakkers, die daar bezig waren. Daarna

nummer 2 | jaargang 45

zoals patronen, verzamelingen, geometrie, hoeveelheden, tijd, statistiek en verhoudingen. Door ons als opvoeders en pedagogisch professionals bewust te zijn van dit proces, kunnen we een belangrijke bijdrage leveren aan het leerproces van het kind bij het begrijpen van en leren omgaan met de wereld. In de praktijk gebeurt dit al, maar vaak onbewust. De vraag “Kom je naast me zitten?,” vraagt om begrip van het concept naast. “Je mag 1 stukje fruit,” vraagt om begrip van aantallen. “We gaan eerst slapen en vanmiddag buitenspelen,” gaat om het besef van tijd.’

Het inzicht in en gebruik van wiskundige concepten geeft jonge kinderen dus houvast, zegt Hauer. ‘Daarom is het van belang om hier bewust van te zijn en zo vroeg mogelijk te beginnen dit te benoemen, ermee te spelen en samen met het kind te ervaren. Een mooi

draaiden we ons naar het grasveld en stonden een ogenblik in zwijgende beschouwing van het gras dat spontaan in de aarde groeide. “Wat mooi”, zei de jongen, maar uit dat mooi sprak vooral zijn eigen innerlijke bewogenheid.

Ik besefte op dat ogenblik dat het zien van de meetkundige inlegfiguren en van de planten, die door de kinderen zelf gekweekt waren en die zij onder hun

1 www.eye-eye.nl 2 Koninklijke Academie voor Beeldende Kunsten in Den Haag

abstracte, dus wiskundige concepten,

ogen zien opgroeien, een kostbare bron, ook van geestelijke groei, kan zijn.’

Montessori Magazine

3 Heemstra, van Marjolein (2021), In lichtjaren heeft niemand haast, Uitgeverij de Correspondent 4 Montessori, Maria (1909), De Methode. De Ontdekking van het Kind, Montessori-Pierson Publishing Company (blz. 216)

nummer 2 | jaargang 45

17

Thema

Thema

bijkomend voordeel is dat met het

den, schatten en ruimtelijk inzicht

benoemen ook nog eens de taalontwik-

geoefend. Door meteen de juiste

keling gestimuleerd wordt!’

formuleringen daaraan te koppelen wordt zowel de taalontwikkeling als de

Montessorimethode

wiskundige ontwikkeling ondersteund

Waar dit in de reguliere kinderopvang

en raken kinderen vertrouwd met wis-

pas van de laatste jaren is, had Maria

kundige concepten.’

Montessori al een duidelijke visie op

Zoals Montessori schrijft in De Methode:

het ontwikkelen van het mathemati-

‘Het kind is als een reiziger door het

sche brein bij jonge en zeer jonge kin-

leven, die alle nieuwe dingen, die hij te-

deren, gebruikmakend van het absor-

genkomt, waarneemt, en de onbekende

berend vermogen dat zo kenmerkend

taal, die het om zich heen hoort spre-

is voor de allerjongsten. Als mensen

ken, probeert te begrijpen en over te

zouden begrijpen dat wiskunde ‘just

nemen. (…) De kennis van de vormen,

another language’ is, dan hoefden ze er

zal voor hem een soort toversleutel

niet zo bang voor te zijn, betoogt Heidi

zijn om bijna de hele buitenwereld te

Phillippart, AMI-trainer en pedagogisch

ontsluiten en kan hem de helpende

directeur van 2Voices, Montessori Bilin-

illusie schenken, daarmee de geheimen

gual Preschool in Amsterdam.

van de wereld te kennen.’

Phillippart: ‘Het wiskundige brein is

Allard Hauer

18

Heidi Phillippart

het vermogen dat mensen hebben om

Menselijke maat

te ordenen, te rangschikken, om exact

Wiskunde is al fascinerend op papier

te zijn, om te schatten en te berekenen.

en scherm, zegt Schilt. ‘Maar als je

Zo berekenen we op straat automa-

de fysieke aanwezigheid erbij weet te

tisch afstanden, bewust en onbewust.

betrekken, dan krijgt wiskunde meer

Daarom oefenen we met kinderen van

een menselijke maat. Je komt dan als

0 tot 3 jaar met het maken van keuzes,

het ware terug uit de abstractie. We

berekeningen en vergelijkingen, in hun

zijn dus in staat de abstractie van de

dagelijkse leven. Zo raken ze vertrouwd

wiskunde eerst op te zoeken, maar met

met de woorden die worden gebruikt

die abstractie ook weer terug te komen

om kwantiteit uit te drukken. Het jonge

bij onszelf. Misschien kunnen leerlin-

kind gebruikt zijn wiskundig brein

gen zich dan makkelijker met wiskunde

onbewust, maar wij educators zetten

verbinden en daarmee hun angst voor

bewust activiteiten in om dit wiskun-

het abstracte kwijtraken. In feite is het

dige brein te trainen.’

“realistische rekenen” van de afgelo-

De montessorimethode voor het jonge

pen decennia ook zo’n poging geweest

en zeer jonge kind bevat activiteiten

om minder in het abstracte te blijven

en materialen die tot doel hebben

hangen. Het zou mooi zijn als we in de

wiskundige inzichten te genereren en

kunst meer handvatten zouden kunnen

abstract denken te leren. Vaak hebben

vinden om de acceptatie van abstracte

deze activiteiten meerdere ontwik-

wiskundige problemen op school te

keldoelen, zegt Phillippart, waardoor

helpen vergemakkelijken. Omdat we

het wiskundig doel niet meteen in het

met kunst doorgaans makkelijker

oog springt. ‘Zo schenken dreumesen

kunnen accepteren dat we niet alles

en peuters bij montessori al zelf water

alleen maar analytisch met ons hoofd

in hun glas. Dat dit de zelfstandigheid

kunnen begrijpen, wat toch nog vaak

van het kind bevordert, valt meteen

het stigma van rekenen en wiskunde

op. Dat het kind daarmee ook ervaring

is. Kunst kan ons helpen om ook bij

opdoet met het schatten en verdelen

wiskunde meer te leren vertrouwen op

van hoeveelheden, en dus met wis-

onze intuïtie.’5

19

kunde, realiseren we ons vaak minder.

Ook met puzzels maken, bouwen, het sorteerspel, vouwen, voorwerpen en kaarten, en andere werkjes wordt het vermogen tot vergelijken, onderschei-

5 Er bestaat ook Arts and Maths, studies naar de wiskunde in schilderkunst, dans, architectuur, textiel, mode enz

Foto’s Sanny Views. Ook de foto op de voorpagina.

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

De Kwestie

De Kwestie

m

Maken rekenen en wiskunde op mijn school voldoende contact met de overige vakken?

Annemieke Eshuis Leerkracht, taal- en middenbouwcoördinator op Montessori Kindcentrum de Plotter Lid ontwikkelgroep, audit commissie NMV en montessori-opleider

20

Manja Haze Directeur Montessori Kinderopvang Mickey, Hengelo Montessoritrainer en -coach jonge kind

Harrie Dupont

Montessori Magazine

In een montessori onderbouwgroep werken kinderen dagelijks met materialen voor rekenen en geometrie. Ze oefenen spelenderwijs de lijn van kleine en grote getallen en ervaren de vormen van kleine kubussen en rechthoekige prisma´s. Samen met de doorgaande lijn in de midden- en bovenbouw wordt zo de basis gelegd voor het vervolgonderwijs. De zintuigelijke voorbereiding die daarmee al op jonge leeftijd wordt opgedaan is van groot belang.

In midden- en bovenbouwgroepen werken wij op ons kindcentrum met onderzoeksvragen. Vanuit het grote kosmische geheel. Kinderen kunnen zelf onderzoek doen, ook vanuit een reken- of wiskundige vraag. Het is dus zeker geen geïsoleerd vak, immers wiskunde zie je overal in de wereld om je heen. De natuur zit vol met patronen, getallen en vormen. Hoe mooi is het dan als kinderen een onderzoeksvraag hebben over in welk klimaat dieren leven en er achter komen dat de verhouding tussen oppervlak en volume van het dier hierbij belangrijk is, om vervolgens de verhouding tussen oppervlak en volume van kubussen te berekenen. Ook het etiketje op een honingpotje kan het begin zijn van een rekenonderzoek. Kinderen kunnen het etiket aflezen en dit koppelen aan hoeveelheden of de houdbaarheidsdatum bestuderen en hiermee rekenen.

Toch denk ik dat we dit nog meer kunnen doen om kinderen onderzoekend te laten zijn en van daaruit leren rekenen. Dit vraagt uiteraard iets van ons aanbod, van onze houding en van durven loslaten. Dat lijkt iets van onze tijd, maar had Maria Montessori hier niet al goed over nagedacht, vanuit een duidelijke visie en opdracht voor de leerkracht?

Ik hoop dat we nog meer durven werken vanuit het grote geheel, de verbinding durven zoeken en het kind volgen met de leerlijn van de leerkracht in het achterhoofd. Ik las dat de nieuwe minister van onderwijs, Dennis Wiersma, vooral het taal- en rekenonderwijs wil verbeteren, maar hoop dat hij het ook wat breder kan zien.

Op een kleedje in de kring liggen tien rood gekleurde stokken.

‘Welke stok is het allerlangst?’, vraagt peuterleidster Saskia aan de kinderen, terwijl ze het woorddeel ‘langst’ extra duidelijk en langzaam uitspreekt. Twee peuters steken een hand op, terwijl een derde naar het kleedje loopt en een stok aanwijst. Saskia pakt de stok op en legt deze links bovenaan op het kleedje. Ze kijkt naar de kinderen die hun hand opstaken.

‘Denken jullie ook dat deze stok het langst is of zien jullie een stok die nóg langer is?’

‘Ja’, zegt peuter Teun, loopt naar het kleedje en wijst naar een andere stok.

‘Pak de stok maar Teun’, zegt Saskia. ‘Leg hem maar naast deze stok.’ Teun pakt de stok en legt de stok naast de eerder gelegde stok.

‘Is jouw stok langer of korter dan deze?’, vraagt Saskia.

‘Korter’, zegt Teun.

‘Ja, deze stok is langer dan die’, zegt Saskia en wijst hem aan. ‘De stok die jij pakte is korter.’

‘Ziet iemand een stok die nog langer is dan deze?’, vraagt Saskia terwijl ze de langste stok aanwijst.

‘Nee’, roepen meerdere kinderen tegelijk.

‘Nee hè’, bevestigt Saskia: ‘Deze stok is inderdaad het langst.’

Samen met de kinderen maakt ze de reeks af. En als het groepslesje klaar is, ziet zij dat enkele jonge peuters iets anders gaan kiezen. De oudere peuters lijken nog meer uitdaging te willen. Waarop Saskia de langste stok nogmaals uit de kast pakt en peuter Lieke vraagt om bij haar te komen staan. Ze zet de rode stok rechtop naast Lieke en vraagt de kinderen uit de kring wie langer is, de stok of Lieke. Daarna worden alle kinderen vergeleken met de stok en met elkaar.

Na het fruit gaan de kinderen buiten spelen. Enkele kinderen zijn stokken aan het zoeken.

‘Ik heb een hele lange stok’, roept een peuter. ‘De mijne is nog véél langer’, roept een ander kind. Saskia hoort het en lacht: haar lesje leeft.

nummer 2 | jaargang 45

Dé Matthijssen Groepsleerkracht Montessorischool Leidschenveen, tevens montessori-opleider

Sam de Vlieger

Enkele jaren geleden had ik een leerling die naar mijn smaak heel vaak speels en ongericht met de bascule werkte. Het leek alsof hij telkens niet verder kwam dan het verzamelen van objecten die op de bascule in balans werden gebracht. In het voorbijgaan vroeg ik hem dan wel eens of hij een idee had hoe zwaar het stukje IJsland, uit de Europapuzzel zou wegen. En daarna of Frankrijk zwaarder zou zijn dan Duitsland.

Er werd een lijst aangelegd en zo ontstond er een nieuwe Europese ordening. Voor die leerling sloot dit onderzoeksdoel precies aan bij zijn interessegebieden: landen, landvormen, vlaggen en hoofdsteden. En bij zijn grote behoefte aan ordening. Daarnaast meende ik te zien dat hij er de humor ook van inzag. Zijn guitige blik leek te zeggen: ‘We hebben heel Europa bij de neus genomen en delen het opnieuw in.’ Ik denk dat ordening een belangrijke pijler is om overzicht te krijgen in elk nieuw vakgebied, bij onderzoek en bij creatieve processen.

Vanuit rekenvaardigheden kreeg de bascule zo voor hem meer betekenis. Enerzijds kon je er ordeningen mee maken en anderzijds kon je er bijvoorbeeld vergelijkingen mee maken: hoeveel wegen twee landen samen en welke twee landen wegen samen bijna evenveel als twee andere landen? De bascule was een middel geworden om tot iets te komen en het rekenen met gewichten had een betekenis gekregen en een intrinsiek doel.

De kunst van het balans vinden werd vervangen door het vergelijken en ordenen.

Natuurlijk vind ik het heerlijk om dit soort onderzoekjes samen met kinderen te bedenken, te laten uitvoeren en te laten presenteren. Ik denk dat de meerwaarde in ons onderwijs erin ligt dat we, juist door de kinderen te observeren, door het gesprek met ze aan te gaan, komen tot creatievere opdrachten die misschien beter inspelen op de ontwikkelingsbehoeften van het kind. En nou en of dat er daarbij overlapping met andere vakgebieden is.

De wiskundedocenten op mijn school zijn in de jaren zeventig begonnen met het ontwikkelen van hun eigen methode. Deze methode, genaamd de Wageningse Methode, wordt nog steeds gebruikt en sluit zeer goed aan bij Montessori’s regel: ‘Leer mij het zelf te doen.’ Misschien kunnen wij van deze wiskundemethode iets leren?

In veel schoolmethodes staan samenvattingen waarin de stof nog eens kernachtig uiteengezet wordt. In het filosofieboek dat ik gebruik, staat kort samengevat wat een filosoof bedoelt of hoe hij of zij zich verhoudt tot een bepaalde stroming. In de meeste wiskundemethodes staan daar dan de formules die je moet gebruiken om een probleem op te lossen. Het gevolg is vaak dat leerlingen leren dan gaan opvatten als het bestuderen van deze samenvattingen. Bij filosofie vragen leerlingen zich regelmatig hardop af waarom ze een moeilijke tekst elders in het boek zouden moeten lezen om daaruit een argumentatie te destilleren. Die argumentatie staat immers ook in de samenvatting.

Docent filosofie Pantarijn, Wageningen Bedenker www.peertest.nl

In de Wageningse Methode voor wiskunde staan geen samenvattingen of formules en wordt er eigenlijk nooit iets van te voren uitgelegd. De leerlingen moeten de opdrachten maken en de wiskunde achter de opdrachten zelf ontdekken. De enige manier om iets te leren is uit eigen beweging tot een bepaald idee of een bepaalde formule te komen.

Bovendien leren leerlingen niet alleen een formule maar ook hoe je zelf zo’n formule kan afleiden. De stelling van Pythagoras kent iedereen, maar als je de Wageningse Methode gebruikt, weet je ook waarom die stelling zo is en kun je het op meerdere manieren uitleggen.

Misschien moeten we de Wageningse Methode ook bij andere vakken invoeren, zodat leerlingen daar ook actief en ontdekkend te werk moeten gaan. Dat helpt wellicht Anke vanook Well om wiskunde en andere vakken beter te integreren.

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

21

Column

109 JHFHUWLȴFHHUG

Een bekwaam montessori-leraar of pedagogisch medewerker worden?

Je werkt als leidster, leerkracht of BSOmedewerker op een montessori-basisschool, -peutergroep of -kinderdagverblijf en je wilt meer kennis en vaardigheden ontwikkelen om een fantastische(r) bijdrage te leveren aan de ontwikkeling van de kinderen. Kies dan voor de

>

> >

Basisbekwaam pedagogisch medewerker hva.nl/montessori-peuter Montessori basisbekwaam hva.nl/montessori-basis Montessori vakbekwaam hva.nl/montessori-vak

montessori-nascholing van de Hogeschool van Amsterdam! Met onze montessori-opleidingen ZHUN MH LQ QHJHQ PDDQGHQ WRH QDDU KHW FHUWLȴFDDW ‘jonge kind’, montessori-basisbekwaam of montessori-vakbekwaam. Alle opleidingen starten in het najaar van 2022.

Kijk op de website: hva.nl/montessori en klik daar door naar de opleiding van je keuze voor meer informatie.

Word gediplomeerd Montessori leerkracht! basisbekwaam / vakbekwaam

M

Mits adequaat ingericht en begeleid…

Symen van der Zee1

Een recente studie van Skene en

Samenwerkend leren werkt, mits

collega’s2 maakte de tongen los in

adequaat voorbereid en begeleid (Van

onderwijsland. Hoofdvraag: hoe ef-

der Zee, 2015). Tutoring is doeltref-

fectief is begeleid spelend leren? De

fend, mits goed ingericht en begeleid

onderzoekers hebben al het onder-

(Nickow, Oreopoulos, & Quan, 2020).

zoek waarin begeleid spelend leren is

De vraag is natuurlijk wat deze goede

vergeleken met directe instructie en

voorbereiding en begeleiding dan pre-

vrij spelen, bestudeerd en vergeleken.

cies inhouden. Pas wanneer onderzoek

Conclusie: begeleid spelend leren is

hierin inzicht biedt, wordt het praktisch

voor veel doelen even effectief als

relevant en bruikbaar. Alleen weten dat

directe instructie en voor een aantal

een werkwijze gemiddeld werkt, helpt

zelfs effectiever. Bijvoorbeeld voor de

onderwijs niet veel verder. En dat geldt

Laten we de komende jaren gezamen-

ontwikkeling van ‘early mathematics skills’.3 Daarbij blijkt begeleid spelend

natuurlijk ook voor onderzoek naar de

lijk doelbewust en stapje voor stapje

montessorimethode. Om een beter

werken aan het best mogelijke montes-

leren doeltreffender dan vrij spelen. De

begrip te krijgen van de effectiviteit

sorionderwijs voor ieder kind.

algemene conclusie van de studie is

van montessorionderwijs, om daarmee

dan ook dat spelend leren effectief is,

het onderwijs verder te helpen, is het

‘mits adequaat ingericht en begeleid’

belangrijk om preciezer te leren kijken.4

- een vaak gehoorde toevoeging in Onderzoekend leren is effectief,

Nieuwe lector Vernieuwend Onderwijs

mits op een juiste wijze ingericht en

Hierin ligt een uitdaging voor de

begeleid (Lazonder & Harmsen, 2016).

komende jaren voor het lectoraat

onderwijskundig onderzoek.

Vernieuwend Onderwijs. Achterhalen welke elementen werken, hoe ze werken, voor wie ze werken, onder welke omstandigheden en voor welke doeleinden. En in het verlengde hiervan nagaan welke nieuwe elementen

Start: september / oktober 2022 Woensdag 14:00 tot 18:00 uur

het onderwijs kunnen versterken. Als nieuwe lector Vernieuwend Onderwijs bij Saxion Hogescholen5 wil ik mij de komende jaren hierop toeleggen,

Leren met lef.

samen met de onderzoeksgroep en montessorischolen natuurlijk. In het onderzoek zullen we steeds drie aspecten meenemen en onderling wegen: de oorspronkelijke ideeën van Maria Montessori, de huidige onderwijspraktijk (en historische ontwikkeling ervan), en resultaten vanuit de onderwijswetenschappen. Ik heb er enorm veel zin in.

23 1 Symen van der Zee is de nieuwe lector Vernieuwend Onderwijs bij Saxion Hogescholen.

De afgelopen jaren heeft hij onderzoek verricht naar het vormgeven van onderzoekend, ontwerpend onderwijs en effectieve leerkrachtprofessionalisering. Daarvoor was hij onderzoeker bij lectoraat Vernieuwingsonderwijs, waar hij promoveerde op onderzoek naar de effectiviteit van daltononderwijs. Hij verzamelt als onderwijswetenschapper kennis en maakt die praktijkgereed, om zo te helpen ze te integreren in het onderwijs. s.vanderzee@saxion.nl.

2 Kayleigh Skene, Christine M. O’Farrelly, Elizabeth M. Byrne, Natalie Kirby, Eloise C. Stevens, Paul G.Ramchandani. Can guidance during play enhance children’s learning and development in educational contexts? A systematic review and meta analysis. Child Development, 2022; DOI: 10.1111/cdev.13730 3 ‘Early mathematics skills’ zijn vaardigheden zoals getalbegrip, tellen, meten, schatten, sorteren, vergelijken. Er is niet een één op één vertaling, maar ontluikende gecijferdheid of basisvaardigheden rekenen komen in de buurt.

4 Marshall, C. (2017). Montessori education: A review of the evidence base. NPJ Science of Learning, 2. https://doi.org/10.1038/s41539-0170012-7 5 Van der Zee, S. (2015). De effectiviteit van daltononderwijs. Saxion Progressive Education University Press: Deventer.

Meer info en aanmelden: hr.nl/montessori Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

Thema

L

Thema

Leerlijn niet kennen, vergroot verschillen gerelateerd aan methodes als Pluspunt en Wereld in getallen. De verwachting

Paul Op Heij

van de inzet van digitale leermiddelen was dat leerlingen er gemotiveerder door zouden gaan rekenen, maar dat

We krijgen de kracht en de beperkingen van digitale adaptieve reken- en wis-

viel al snel tegen. Bovendien hielp het

kunde methodes steeds beter in beeld, meent onderwijsadviseur Henk van de

niet dat docenten zich de manier van

Hoef. ‘Ervarener docenten zijn vaak beter in staat digitale leermiddelen didac-

werken zelf nog eigen moesten maken;

tisch goed in te zetten, want ze hebben meer overzicht en inzicht.’

hun instructie bestond in die periode vaak vooral uit het uitleggen van de methode en de werkwijze en niet van

Henk van de Hoef: ‘In het basis-

methodes dan ook sneller goed oppak-

kon toch beter. Zij hebben toen de di-

de reken- en wiskundeopgaven zelf.

gezegd, vindt hij, veel van de con-

back zeker gebruik van gemaakt gaan

onderwijs zijn de meeste docenten

ken dan jonge docenten die net van

gitale adaptieve leeromgeving Snappet

Inmiddels weten we uit onderzoek van

tent in Snappet en Gynzy bestaat uit

worden. De software geeft overigens

opgegroeid en opgeleid met methodes

de lerarenopleiding of pabo afkomen.

opgezet, destijds voornamelijk geënt

de Radboud Universiteit Nijmegen

traditionele simpele cijfersommen en

niet alleen feedback aan de individuele

en handleidingen die de leerlijn met

Ervarener docenten zijn vaak beter in

op materiaal uit bestaande papieren

en Universiteit Twente dat met name

lagere orde vaardigheden opgaven uit

leerling. Ook de docent heeft sneller

kern- en lesdoelen bewaakten. De

staat digitale leermiddelen didactisch

schoolmethodes. Dit leidde al snel tot

de 25% sterkste leerlingen veel profijt

een beeld van hoe alle kinderen werken

leerkrachten zagen de avond ervoor

goed in te zetten, want ze hebben meer

een rechtszaak, omdat uitgevers von-

heeft van werken met digitale adap-

het zogenaamde ‘realistische rekenen’2 van het Freudenthal Instituut. ‘Hogere

welke opgaven ze de volgende ochtend

overzicht en inzicht.’

den dat leerlijnen en leerinhoud eigen-

tieve methodes en dat leerrendement

orde vaardigheden die meer creativiteit

bijvoorbeeld een verlengde instructie.

dom waren. Na jaren procederen werd

sterk afhangt van de didactische kwali-

en kritisch vermogen vereisen, kunnen

En het levert uiteraard ook minder

teiten van de docent.’

met digitale adaptieve methoden nog

nakijkwerk op.’

moesten gaan uitleggen. Met de

24

en kan daarop direct reageren met

nieuwe leermiddelen kan die leerlijn

Digitaal adaptief

Snappet op bijna alle onderdelen in het

meer en meer losgelaten worden, waar-

In 2011 spraken vier ouders met

gelijk gesteld, waarna het digitale hek

bij er een groter beroep wordt gedaan

kinderen in de basisschoolleeftijd

definitief van de dam was.

Van de ruim 7000 basisscholen in

vendien komt in die digitale methodes

Eenduidige instructie

op de docent zelf, om de leerlijn

elkaar, begint Henk van de Hoef zijn

Van de Hoef: ‘In 2016 is Gynzy met

Nederland gebruiken inmiddels zo’n

zoiets als een klassieke staartdeling

Om het allemaal in het juiste perspec-

goed te kennen en doorgronden. Om

geschiedenis van digitalisering in het

een vergelijkbaar product als Snappet

3000 scholen dagelijks Snappet en

niet voor. Net als in veel schoolboeken

tief te plaatsen, zegt Van de Hoef, is

te doorzien hoe dat wat je vandaag

onderwijs. Alle vier waren werkzaam

op de markt gekomen. Veel scholen

samen bijna 1000 Gynzy en Bingel.

is die vorm van delen vervangen door

het ook van belang te vermelden dat

aanbiedt, zich verhoudt tot dat van

bij organisatieadviesbureau McKin-

verwachtten toen dat ook de traditio-

Ook veel reformscholen maken hiervan

het kolomdelen – het mechanistisch

een deel van de leerlingen ook de ho-

de komende periode. Mijn ervaring is

sey. Ze verwonderden er zich over

nele uitgevers wel snel over de brug

gebruik, want het adaptieve van die

rekenen is grotendeels verdwenen. Wel

gere orde opgaven van het ‘realistisch

dat de meer ervaren leerkrachten die

dat hun kinderen nog maar zo weinig

zouden komen met digitale methodes.

methodes is eigenlijk mooi in lijn met

hebben deze methodes al zoveel eigen

rekenen’ van het Freudenthal Insti-

in meerdere groepen hebben lesgege-

gepersonaliseerd onderwijs kregen en

Dat gebeurde echter pas in 2019, toen

het montessoriwerken. Je hebt zowel de

content opgebouwd dat ze eigen leerlij-

tuut minder gemakkelijk aankan. ‘Ze

ven, het werken met digitale adaptieve

bovendien niet gedigitaliseerd. Dat

Malmberg Bingel lanceerde, sterk

mogelijkheid convergent als divergent

nen hebben kunnen ontwikkelen.’

worden er eerder door gedemotiveerd

te differentiëren, zegt Van de Hoef,

Wat ook nog een punt van aandacht

dan door getriggerd. Deze kinderen

maar hij relativeert dat ook weer direct.

bij die digitale adaptieve methodes is,

hebben behoefte aan duidelijkheid, aan

‘Vanuit klassensituaties met 25 of 30

zegt hij, is dat software voornamelijk

eenduidige instructie van de docent,

leerlingen weet je dat de praktijk weer-

feedback geeft op het resultaat en min-

aan scaffolding, omdat ze het anders

barstiger is, dat er vaak geen of weinig

der op het proces. Daardoor dient de

niet of lastig redden. Zij komen door-

ruimte is voor verschillende instructies

feedback van de leerkracht zich vooral

gaans ook bij het realistisch rekenen

of zelfs verlengde instructie. De meeste

te focussen op het proces. ‘Daarom

niet verder dan de eerste drie onder-

Henk van de Hoef werkte zelf 7 jaar in het basisonderwijs, werd ICT-coördinator op zijn school

scholen en docenten lossen dat op door

vermelden de aanbieders van deze

delen van de taxonomie van Bloom:

toen daar de eerste computers hun intrede deden en vanuit die interesse ging hij vervolgens het

het eerste deel van de les convergent

leermiddelen er altijd bij dat leerlingen

onthouden, begrijpen en toepassen.

bedrijfsleven in. Na 7 jaar leraar zijn en 7 jaar bij een ICT-bedrijf te hebben gewerkt, combineerde 1 hij beide ervaringen, richtte in 2011 het onderwijsadviesbureau O21 op, waarmee hij scholen en

te werken en pas in het tweede deel

ook een uitrekenschriftje bij de hand

Het Freudenthal Instituut wil wel graag

divergent, zodat kinderen aan hun eigen

moeten houden. Daar waar een docent

besturen ging begeleiden. Inmiddels ondersteunt O21 honderden scholen, zowel in het basis- als

leerdoelen kunnen werken.’

al snel inhaakt op hoe hij een leerling

Beter weten voor kinderen

maar nauwelijks geoefend worden. Bo-

ziet werken en zal complimenteren,

voortgezet onderwijs. Daaronder ook minstens 25 montessorischolen, evenals diverse dalton- en jenaplanscholen. Geen enkele daarvan hetzelfde, zegt hij, ‘maar bij veruit de meeste gesprekken

Realistisch rekenen

aanmoedigen of corrigeren, kan de

proef ik direct of indirect wel het wij-weten-beter-wat-goed-voor-kinderen-is. Terwijl veel van de

In eenzelfde tijdspanne kunnen som-

digitale methode nog maar weinig

bewezen effecten van reformscholen inmiddels door andere scholen zijn omarmd en overgenomen.’

mige leerlingen digitaal wel vijf keer zo-

meer dan een groen vinkje of een rood

veel opgaven maken als in een schrift,

kruisje plaatsen. Wel is de software al

vertelt Van de Hoef. Veel leerlingen

zo ver doorontwikkeld dat het met aan

zijn met een boek sneller afgeleid dan

zekerheid grenzende waarschijnlijkheid

met een device waarop telkens één

kan bepalen welke denkfout is ge-

opgave verschijnt. Maar, dat moet ook

maakt. Hier zal in de toekomstige feed-

1 O21 begeleidt scholen op het gebied van strategisch beleid, digitale leermiddelen en digitale geletterdheid. De afgelopen tien jaar heeft O21 honderden scholen begeleid bij de didactische en inhoudelijke inzet van adaptieve leermiddelen in het onderwijsproces, passend bij de specifieke schoolvragen en -populatie. https://www.o21.nu/expertises/digitale-leermiddelen/

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

Montessori Magazine

2 Het ‘realistisch rekenen’ van de Duits Nederlandse wiskundige en pedagoog Hans Freudenthal, dat vanaf de jaren 70 wereldwijd naam maakte, is niet alleen rekenen binnen contexten, maar ook rekenen waarbij leerlingen zich bewuster zijn van wat ze nu eigenlijk aan het doen zijn. In het montessorionderwijs worden daar ook de montessorimaterialen voor gebruikt, om het rekenen tastbaar en aanschouwelijk te maken.

nummer 2 | jaargang 45

25

Thema

rekenen-wiskunde. ‘Als een middelbare

In de spiegel kijken

school een basisschool vraagt kinderen beter voor te bereiden op wat ze op het

26

g

Thema

Goochelen met grote getallen

Henk van de Hoef heeft de indruk dat er op veel reformscholen een vorm van

voortgezet onderwijs moeten kunnen,

conservatisme is ontstaan, ‘de wet van de remmende voorsprong, waarbij

gaan de meeste basisscholen daar vaak

het gevaar dreigt dat men te veel naar binnen gericht raakt.’ Als je op deze

in mee. Maar als je aan basisscholen

scholen het gesprek voert over het al dan niet digitaliseren, proef je bij leraren

vraagt de kant van het zelf ontdekkend

regelmatig nostalgie naar de montessorimaterialen die in de jaren dat er

rekenen op te gaan en dus de creatie-

reguliere papieren schoolmethodes werden aangeschaft, in de kast beland

vere lijn van het Freudenthal Instituut

waren. Juist nu de Onderwijsinspectie weer meer ruimte laat, mogen die

te volgen, dan neem ik steeds meer

kasten weer open. ‘Tegelijkertijd denken scholen ook na over de introductie

weerstand waar. Men geeft steeds

‘Ah, dit is een makkie! Als een plus drie vier is, is tien plus dertig dus veertig en

‘We zien thuis dat Bruno echt plezier

van digitale adaptieve rekenmethodes. Misschien maakt het wel duidelijk

meer aan dat men vooral “de basis”

honderd plus driehonderd….’ Ik stond versteld. Zoon Willem bleek in groep 3 al

heeft in rekenen. Hij verzint sommen

hoe zoekende scholen en docenten zijn om de bewezen ervaringen uit het

goed op orde wil hebben, of dat we

moeiteloos in staat om flinke getallen bij elkaar op te tellen en toen ik hem tijdens

voor ons en die moeten wij dan oplos-

verleden te combineren met vernieuwing. Bij kosmisch onderwijs is het relatief

in het onderwijs al tien jaar “aan het

een lockdown begeleidde, snapte ik ineens waarom. De ‘spieksommen’ die hij

sen. Bruno is de meester en zegt of we

gemakkelijk traditionele montessori-elementen te vertalen naar domeinen

klooien zijn om de regie bij het kind

aan het maken was, lieten het kind (Willem) zien dat ‘hoge cijfers’ feitelijk niet

het goed of fout hebben. We moeten

binnen digitale geletterdheid. Bij rekenen-wiskunde heb je echt didactisch

te leggen.” En ergens kan ik me in die

moeilijker zijn dan kleine door ze met elkaar te vergelijken.

goed opletten, want soms moeten we

sterke docenten nodig om concrete materialen een aanvulling te laten zijn op

kritiek wel vinden.’

een plus-som uitrekenen en daarna

digitale middelen en vice versa.’

Er is onmiskenbaar de tendens, zegt

een min-som. We zien hem antwoor-

hij, dat steeds meer basisscholen te-

den controleren door zijn vingers te

ruggaan naar de basis van het cijferen.

gebruiken. Hij maakt het concreet voor zichzelf.’

Esther Sandbergen

dat kinderen met rekenen ook zelf

Doorlopende leerlijn

Bij begrijpend lezen zie je hetzelfde,

moeten kunnen creëren, evalueren en

Digitale adaptieve methoden maken

zegt hij. ‘Soms vraag ik me af of het

experimenteren, maar het is de vraag

het mogelijk, vertelt Van de Hoef, om

toevallig is dat juist in de jaren dat we

Anne Boonstra (architect) en Yomi van

of dit alle kinderen ook lukt op het ni-

bepaalde kinderen in groep 8 al opga-

met digitale adaptieve methodes zijn

der Veen (zakelijk directeur UvA), ou-

veau dat de methodemaker voor ogen

ven van vwo 2 niveau te laten maken

gaan werken, gemiddelde resultaten op

ders van Jonathan, Mia, Birk en Hanna,

heeft. De digitale adaptieve leermidde-

– dat mag ook volgens het curriculum

rekenen en lezen achteruit zijn gegaan.

zien grote verschillen als het gaat om

len kunnen hier vooralsnog technisch

van de basisschool. ‘Leerlingen leren

Ik besef dat er geen simpele causale

aanleg voor rekenen en het plezier in

gezien weinig bij helpen. En als het

weliswaar nog niet de stelling van

verbanden zijn en dat er meerdere

het vak bij hun kinderen. Anne werd

met de creativiteit van die methodes al

Pythagoras, maar breuken en percen-

correlaties bestaan: de afname van het

enthousiast voor het montessorionder-

tegenvalt, dan geldt dat ook voor het

tages kunnen ze wel op dat niveau

spontane lezen, groeiende invloed van

wijs toen hij bij een open dag zag hoe

plezier dat kinderen eraan beleven. Je

maken. Andersom kunnen kinderen

de sociale media die de spannings-

kinderen bezig waren met geometri-

ziet na wat beginnersenthousiasme dat

in groep 8 ook nog op onderdelen van

boog van kinderen verkort, de veran-

sche vormen, ook zelf kubussen maak-

rekenen op een device zelfs kan gaan

groep 6 oefenen. De aansluiting op

derde houding van docenten. Ik zie de

ten en die in handen hadden. ‘Dit soort

vervelen, dat opgaven met slechts twee

de middelbare school laat echter vaak

discussies hieromtrent ook verharden,

werkjes maken het rekenonderwijs voor

antwoordopties zonder serieus naden-

te wensen over, omdat het regelmatig

die tussen “de Paul Kirschners ener-

ken aangeklikt worden, want het sys-

voorkomt dat de docent in de eerste

zijds en de Paul Schnabels anderzijds”,

Het was me al eerder opgevallen dat

Anouk wil ouders de tip meegeven

Yomi vindt het fijn dat het onderwijs

teem biedt vaak toch een tweede kans.

les met les 1, hoofdstuk 1 van de VO-

er wordt nauwelijks meer naar elkaar

op montessorischolen al vanaf 5 jaar

om vooral naar de interesses van hun

rekening houdt met verschillen tussen

Leerlingen weten daarbij overigens

methode begint.’

geluisterd en van elkaar geleerd.’

gewerkt wordt aan de lijn van de grote

kind te kijken en daar thuis op aan te

kinderen. ‘Onze oudste zoon kreeg

vaak niet dat het adaptieve systeem

Vandaar ook dat je binnen schoolbe-

getallen, die ik vroeger pas laat in de

sluiten. ‘Vraag eens wat ze leren en ga

in de bovenbouw meer uitdagend

dan wel afschaalt, waardoor ook de vol-

sturen steeds meer 10-tot-14 scholen3 ziet ontstaan, zegt hij, want dat pro-

middenbouw te zien kreeg. Toen ik an-

daar thuis mee aan de slag. Bijvoor-

werk en profiteert daar nu van op het

dere ouders vroeg naar hun ervaringen

beeld door een gezelschapsspelletje te

gymnasium, onze dochter heeft soms

met rekenen met montessori-materiaal,

doen of samen terug te tellen vanaf een

moeite met rekenen en heeft veel baat

was dat een geluid dat bevestigd werd.

bepaald getal.’ Daarbij is het volgens

bij de verschillende manieren waarop

gende opgave minder leerzaam is.’

bleem speelt natuurlijk niet alleen bij

3 In de Verenigde Staten ‘middle school’ genoemd.

De kans bestaat dan ook, als docenten

kinderen aantrekkelijker,’ vertelt Anne.

Anouk ook goed om bewegend te

het rekenen wordt uitgelegd.’ Ze vertelt

geen duidelijke schoolbrede afspraken

Anouk Elzas (moeder van Fay, 7, en

leren. ‘Misschien wil je kind de getallen

ook dat ze met haar zoon wel eens

gemaakt zijn, dat de verschillen tus-

groepsleerkracht Montessorischool

opschrijven, maar het is ook een idee

legoblokjes heeft gebruikt om tijdens

sen leerlingen vergroten in plaats van

Castricum) legde me uit dat ‘er inder-

om te springen, terwijl je de getallen

het thuisonderwijs werkjes te maken

verkleinen. Het is een ongemakkelijke

daad al vroeg mee begonnen wordt en

opnoemt.’

met zijaanzichten en dergelijke.

conclusie, maar Van de Hoef wil die

dat dit kan vanwege de inzichtelijkheid

wel onder ogen zien. ‘Als een leraar

die het materiaal de kinderen verschaft.

Ook Rogier Schotvanger (vader van

materiaal het rekenproces inzichtelijk

volledig vertrouwt en afgaat op de

Met het gouden materiaal heeft een

Bruno, 8, en docent Frans op Willem

maken, recht doen aan verschillen bij

computer, dan is dat gevaar zeker niet

kind echt honderd kralen in handen.

Blaeu in Alkmaar) noemt de grote

kinderen, het is een korte samenvatting

denkbeeldig. Daarom denken wij dat

Dat helpt, het wordt zichtbaar.’ Dochter

getallen al snel als ik hem vraag naar

van rekenonderwijs op montessori-

leerlingen beter af zijn met docenten

Fay is nu op school bezig met maten

wat hem opvalt aan het rekenonderwijs

scholen. Vraag er thuis eens naar en ga

die minder affiniteit met ICT hebben

en gewichten en wil graag in de keuken

op een montessorischool. Daarnaast

samen aan de slag!

maar didactisch wél goed weten hoe

helpen met het afwegen van ingrediën-

sprong bij hem het ‘honderdbord’ in

Met dank aan genoemde ouders van

de leerlijnen opgebouwd zijn, dan

ten en het optellen van hoeveelheden.’

het oog als een concreet hulpmiddel.

Montessorischool Castricum.

didactisch minder vaardig zijn en er

Vroeg beginnen met grote getallen, met

andersom.’

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

27

Thema

D

Thema

De vrucht van kritische zelfreflectie Bert Kraai1

samenhangt. Maar dit maakt het er

gesprek te gaan en experimenten uit te

soms voor de lezer niet altijd duidelij-

voeren op het vlak van wiskundedidac-

ker op. Daarnaast valt hij regelmatig in

tiek. Bijvoorbeeld over hoe leerlingen

We zijn in Nederland gewend geraakt aan realistisch reken- en wiskundeonder-

herhaling. Mogelijk heeft hij dit gedaan

vanuit voorbeelden en non-voorbeel-

wijs, zoals dit is ingezet door het Freudenthal Instituut en ook internationaal

vanuit de gedachte dat herhaling de

den zelf kunnen komen tot een heldere

navolging kreeg. Maar hoe anno 2022 tegen deze ‘vernieuwing’ aan te kijken?

Een boekbespreking van Volgens Barton2 van Craig Barton, vertaald en uitgegeven

kracht is achter de reclame...

definitie van begrippen als: rekensom,

door collega René Kneyber.3

Humor en zelfspot

tie om iedere les af te sluiten met een

Het vraagt enige moed om aan deze

quiz waarin de lesstof kort en krachtig

dikke pil te beginnen. Maar Craig

wordt samengevat.

Enkele jaren geleden mocht ik een

wiskundelessen te herontwerpen. Deze

website en probeerde nieuwe inzich-

Barton weet de lezer met zijn licht-

vwo-leerling begeleiden bij een pro-

video maakte diepe indruk op mij. Ik

ten uit in de praktijk. Daarnaast gaf

voetige schrijfstijl, doorspekt met de

Realistische wiskunde

fielwerkstuk met als titel Een goede

werd mij er ineens van bewust dat ik

hij presentaties en workshops aan

nodige humor en zelfspot, prima bij de

Craig Barton durft in Volgens Barton

wiskundeles. Die leerling was van me-

pas aan het begin stond van een lange

wiskundeleraren. Hoe meer hij las en

les te houden. De voorbeelden uit zijn

ook tegen heilige huisjes aan te trap-

ning dat wiskunde op een veel betere

reis om echt goede wiskundelessen te

experimenteerde, hoe meer vragen er

lespraktijk zijn heel herkenbaar, waar-

pen, zoals het gebruik van realistische

manier gegeven kon worden dan ik

gaan geven.

boven kwamen. Uiteindelijk heeft hij

door je als lezer al snel merkt dat een

contexten om wiskunde aan te laten

alle verzamelde informatie samengevat

ervaren collega jou een kijkje in zijn

sluiten bij de belevingswereld van leer-

deed. Ik voelde mij wat in mijn wiek

28

vergelijking of functie. Of zijn sugges-

geschoten, want ik zag mijzelf als de

Iets soortgelijks overkwam Craig

in het boek Volgens Barton. Dit is zo’n

keuken gunt. En jou deelgenoot durft

beste wiskundedocent in de school en

Barton, sinds 2004 wiskundeleraar in

dikke pil geworden, dat het bij de Ne-

te maken van zijn eigen fouten en wat

lingen, de wereldwijd bekend geworden aanpak van het Freudenthal Instituut5.

die de neiging hebben om leerlingen

misschien wel in de regio. Nu realiseer

Engeland. ‘Er is geen wiskundeleraar

derlandse vertaling in eerste instantie

hij daarvan heeft geleerd. Dat maakt

Hilarisch is bijvoorbeeld zijn beschrij-

buiten te sluiten omdat zij er weinig af-

ik mij dat in het land der blinden

in Engeland die hem niet kent’, aldus

werd opgeknipt in twee afzonderlijke

dit boek wel uniek in zijn soort!

ving van een les over het rekenen met

finiteit mee hebben, zoals dat ook met

eenoog koning is. Ik ben de uitdaging

vertaler/uitgever René Kneyber in zijn

delen, maar bij een heruitgave toch

Gaandeweg doe ik allerlei nieuwe

breuken. Om deze lessen memorabel

voetbal, economie of natuurkunde het

met deze leerling aangegaan. Hij

inleiding. In Volgens Barton beschrijft

weer is samengevoegd.

ontdekkingen. Een voorbeeld: als leer-

te maken, besloot hij om de leerlingen

geval kan zijn.

stuurde mij een link naar een TED-Talk van Dan Meyer4 over de noodzaak om

Barton hoe hij zich jaren geleden ont-

Het boek is overzichtelijk ingedeeld

lingen eenmaal iets fout hebben aange-

uit te dagen om 7 cakerollen, die op

Dit alles heeft Barton ertoe doen

wikkeld had tot een gevierd wiskunde-

in 2 inleidende hoofdstukken, die

leerd, raken zij dit nooit meer helemaal

elkaar gestapeld waren, met zo min

besluiten dat de realistische wiskunde

leraar, die zowel door leerlingen als de

vervolgens op een verdiepende laag

kwijt. Ineens ging ik begrijpen waarom

mogelijk verticale doorsnijdingen

meer kost dan oplevert. In plaats

inspectie op handen gedragen werd.

worden uitgewerkt in de resterende

het averechts werkt als je veel aandacht

eerlijk te verdelen over 12 leerlingen,

daarvan laat hij bijvoorbeeld leerlingen

Daarnaast had hij twee populaire

10 hoofdstukken. Ieder hoofdstuk

besteedt aan veelgemaakte fouten als

zonder dat er iets overbleef. Toen hij

een vergelijking met een onbekende

wiskundesites ontwikkeld (www.

bestaat uit paragrafen, die een vaste

(x – 2)2 = x2 – 4. In plaats daarvan leg

jaren later bij een leerling informeerde

eerst via de beschikbare inefficiënte

mrbartonmaths.com en www.diagnostic

opbouw kennen: wat ik vroeger dacht,

ik nu kwadrateren uit als: met zichzelf

wat hij van deze les had onthouden,

methodes oplossen, bijvoorbeeld met

questions.com) die door een breed

inspiratiebronnen, wat ik ervan opstak

vermenigvuldigen. Dan ontstaan

bleek dit de hoeveelheid slagroom te

getallen uitproberen of inklemmen.

internationaal publiek worden bekeken.

en wat ik nu doe. Door de veelheid

vanzelf dubbele haakjes, en de meeste

zijn die er op de bril van de docent

Vervolgens stelt hij de vraag of het niet

aan verwijzingen in het boek maakt

leerlingen weten inmiddels wel hoe je

terecht was gekomen.

fijn zou zijn als er een handiger me-

Barton duidelijk dat alles met alles

die weg moet werken. Nog zo’n eye-

Craig Barton

Studeren, experimenteren

opener is dat motivatie niet altijd leidt

Barton waarschuwt ons voor de

interviewen van interessante en inspi-

tot succeservaringen, maar dat het om-

beperkte capaciteit van ons werkge-

bij Dan Meyers blogserie Headache and Aspirine6. Kortom: na het lezen van Vol-

rerende onderwijsmensen als Dylan

gekeerde wel geldt: succeservaringen

heugen en raadt ons aan om ons sterk

gens Barton is de boodschap voor mij

Wiliam, Robert en Elizabeth Bjork,

leiden bijna altijd tot meer motivatie.

te beperken in de hoeveelheid nieuwe

wel duidelijk: het geven van rekenen en

Dus is het belangrijker om randvoor-

informatie die wij tegelijkertijd aanbie-

wiskunde is een ambacht waarbij ook

waarden te scheppen zodat leerlingen

den. Veel contexten bevatten zinloze

ik nog veel kan leren.

succeservaringen kunnen opdoen, in

informatie die de aandacht afleiden en

plaats van de lessen te gaan opleuken

het werkgeheugen onnodig belasten.

om de motivatie te verhogen. Daarmee

Daarnaast wordt er bij het mathemati-

moedigt Barton mij als collega aan om

seren van realistische contexten infor-

mijn wiskundelessen te gaan heront-

matie weg gefilterd, die in de beleving

werpen. Op ruim 500 bladzijden biedt

van leerlingen nog wel relevant is. Of

hij daarvoor tal van handreikingen, die

er worden bepaalde aannames gedaan,

ik zelf in mijn lessen kan uitproberen.

die voor leerlingen niet vanzelfspre-

Daarnaast biedt hij talloze mogelijk-

kend of zelfs discutabel zijn. Ten slotte

heden om in mijn sectie met elkaar in

waarschuwt Barton voor contexten

Daisy Christodoulou en Doug Lemov.

Hij onderwierp hen aan een vragenvuur, hoe zij hun lessen vormgaven en waarop zij hun keuzes baseerden.

Ineens realiseerde Barton zich dat hij zich zelf niet bewust was geweest van zijn eigen keuzes en vooral intuïtief handelde. Dus begon hij als een razende onderwijsliteratuur te verzamelen en verslinden.

Barton maakte overal aantekeningen van, vatte alles samen op zijn

Montessori Magazine

thode zou zijn. Daarmee sluit hij aan

Maar toen begon hij eind 2015 met het

1 Bert Kraai is docent wiskunde Vrijeschool Zutphen 2 Barton, Craig (2019), Volgens Barton. Lesgeven in wiskunde aan de hand van wetenschap, experts en 12 jaar aan mislukkingen. Uitgeverij Phronese/Culemborg.

3 René Kneyber was 15 jaar wiskundedocent en is publicist, uitgever en trainer onderwijs. Hij schreef o.a. de boeken Het Alternatief 1 en Het Alternatief 2, kritische beschouwingen op ons onderwijsbestel en voorstellen ter verbetering 4 Meyer, Dan (2010), TED Talk: Math Class Needs a Makeover. https://www.ted.com/ talks/dan_meyer_math_class_needs_a_ makeover?language=n

nummer 2 | jaargang 45

Montessori Magazine

5 Freudenthal Instituut (z.d.). Realistic Mathematics Education. https://www.uu.nl/ onderzoek/freudenthal-instituut/realisticmathematics-education 6 Meyer, Dan (2015), If Math Is The Asperin, Then How Do You Create The Headache? https://blog.mrmeyer.com/2015/if-math-is-theaspirin-then-how-do-you-create-the-headache/

nummer 2 | jaargang 45

29

0577 411 556

v

Thema

Vrijheid en medeverantwoordelijkheid Paul Op Heij

Als ‘geesteswetenschapper’ is het vaak een verademing te lezen over natuurwetenschappen, omdat die teksten zoveel nuchterder zijn. Zelfs al betreft het columns als die van wiskundige Ionica Smeets in Superlogisch.1 En Victor Kal maakt filosoof Spinoza alleen nog maar nuchterder.

Groepsovernachtingen voor onderwijs Dat gevoel van kamp. De krakende stapelbedden, de nachten zonder kunstlicht en de ochtendgymnastiek in de buitenlucht. Bij Stichting Paasheuvelgroep geloven we in het traditionele kamp, maar dan wel in een hedendaags jasje. Ga je mee?

Groepsovernachtingen met respect voor de natuur

Smeets geeft in Superlogisch tips

met emoties (‘passies’) het nuchtere

om grote getallen in bijvoorbeeld de

denken en handelen minder in de weg

miljoenennota voorstelbaar te maken,

zit. We moeten eigenlijk helemaal niet

wijst op het belang van goed kunnen

willen leren omgaan met emoties, legt

schatten en legt de elfproef voor

ze uit, we kunnen beter direct schoon

burgerservicenummers uit. Ze schrijft

schip maken en achterhalen waar

over bolstapelingen, misleidende

bijvoorbeeld die faalangst vandaan

reclameacties, ecologische rekenfouten

komt. Geen symptoombestrijding dus!

en waarom het beter is iets langzamer

En voor wie nu denkt dat Benedictus

te rekenen en dan wel te begrijpen wat

de Spinoza (1632-1677), alleen maar

je aan het doen bent. Over schijndata,

zinnigs te melden had over mislei-

zelfversterkende feedbackloops en het

dende emoties en ethiek (zoals in zijn

neutraal verstrekken van medische

geometrisch opgebouwde Ethica), die

Spinoza’s onderscheid tussen handelen

informatie. En bij dat laatste de vraag

leze er ook nog Victor Kal’s De LIST van Spinoza3 op na, een essay dat je behoor-

en redeneren en noemt diens staatsi-

of mensen met zulke specialistische gegevens wel om kunnen gaan, of ze

lijk in verwarring kan brengen, over die

een vorm van conservatisme en het

die binnen laten komen zoals bedoeld

andere menselijke passie: het verlangen

tegendeel van democratie en indivi-

of dat hun emoties er mee aan de

naar vrijheid.

duele vrijheid. Dat valt nog te bezien,

haal gaan.

Victor Kal haalt het traditionele beeld

maar misschien heeft Spinoza op een

Waarmee ik bij Miriam van Rijen

van Spinoza als voorvechter van

heel andere manier meer gelijk gekre-

kom, kenner van Spinoza – ’s lands

vrijheid en democratie onderuit. Met

gen dan wij ons tegenwoordig willen

belangrijkste filosoof, ten minste

citaten uit Spinoza’s Theologisch-politiek

realiseren: niet omdat we een overheid

daar waar het om diens omgang met

traktaat (1670) maakt Kal duidelijk dat

emoties gaat. Van Rijen beschrijft in de

wij de afgelopen decennia, samen met

kregen die van haar burgers medeverantwoordelijkheid4 afdwingt voor

bundel Waar, goed en schoon onderwijs2 hoe Spinoza’s stoïcijnse omgang

historici als Jonathan Israël en Steven

bijvoorbeeld meer gelijkheid, gezond-

Nadler, Spinoza compleet naar ons toe

heid en duurzaamheid, maar een die

hebben gelezen. Spinoza leefde immers

juist aanzet tot meer consumeren. Om

voordat ons moderne (individualis-

burgers rustig te houden met brood

tische) vrijheidsbegrip ontstond en

en spelen. Consumentisme als ‘ware

was helemaal niet uit op ons begrip

religie’ dus. De Spinoza van Jonathan

van democratie. Hij ontwierp juist een

Israël was comfortabel, die van Victor

staatsideologie (‘ware religie’), waar-

Kal is confronterend.

Veel ruimte voor sport en spel Lekker in het bos, op de heide of bij het water Meer dan 600 schoolkampen per jaar

www.groepsgebouw.nl/montessori

mee burgers vrijwillig hun handelen lieten inperken, als de vrijheid om te redeneren en te oordelen maar mocht blijven bestaan, ook om daarmee de overheid te kunnen corrigeren. Spinoza dacht dat dat onderscheid tussen han-

100 jaar!

In 2022 gunt Stichting Paasheuvelgroep al 100 jaar kinderen dat gevoel van kamp. Gedurende het hele jaar willen we deze mijlpaal vieren met

deologie een grote ‘gelijkschakeling’,

36 GROEPSACCOMODATIES

delen en denken noodzaak was, om de

DOOR HEEL NEDERLAND:

eenheid en rust in de samenleving te

Austerlitz, Baarn, Epe,

bewaren, want met alleen ‘oproerkraai-

Evertsoord, Oosterhout,

ers’, die geen betere ideeën aandragen,

Oostvoorne, Stroe,

is niemand gediend, vond hij.

Teteringen en Vierhouten.

Victor Kal heeft nauwelijks oog voor

1 Smeets, Ionica (2019), Superlogisch. Hoe getallen je helpen om de wereld beter te begrijpen, Uitgeverij Nieuwezijd 2 Klarus, Ruud, en De Beer, Fedor (2018), Waar, goed en schoon onderwijs, ISVW Uitgevers 3 Kal, Victor (2020), De LIST van Spinoza. De grote gelijkschakeling, Uitgeverij Prometeus 4 Medeverantwoordelijkheid, de achterkant van vrijheid, zou ten tijde van een pandemie kunnen inhouden dat burgers alleen keuzevrijheid behouden als ze zelf een alternatief inbrengen dat net zo effectief bijdraagt aan collectieve veiligheid.

alle bezoekers. Later meer!

Montessori Magazine

nummer 2 | jaargang 45

31

. . .

HU montessori-opleiding

Colofon

bewust

concreet

betrokken

ĂƐŝƐͲ Θ sĂŬďĞŬǁĂĂŵ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝ͕ ŽƉĨƌŝƐĐƵƌƐƵƐƐĞŶ͕ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲ ĐŽĂĐŚͲŽƉůĞŝĚŝŶŐ͕ ŵĂĂƚǁĞƌŬƚƌĂũĞĐƚĞŶ Θ ďĞŐĞůĞŝĚŝŶŐ ǀŽŽƌ ƐƚĂƌƚĞŶĚĞ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲůĞƌĂƌĞŶ͘

Montessori Magazine is een uitgave van de Nederlandse Montessori Vereniging en verschijnt drie keer per jaar.

Redactie Jaap de Brouwer, Joëlle Meijer, Sandra Veenstra, Sam de Vlieger, Elena Ramil (eindredacteur), Paul Op Heij (hoofdredacteur) Redactieadres (voor artikelen en inhoudelijke mededelingen) E-mail: redactie@montessori.nl parel@montessori.nl

Werk je, of wil je graag op een montessorischool werken, en wil je daarom je NMV montessoridiploma Basisof Vakbekwaam halen? Dat kan bij ons. We starten 2 November 2022 met een nieuw opleidingsjaar.

piazza@montessori.nl Kaaisjouwerskade 132, 6541 EW Nijmegen – Telefoon: 0615408130

Paul Op Heij

32

Grafische vormgeving en advertentieverkoop

In Nederland gaan er om allerlei redenen

Elma Media BV

zo’n 12.000 leerplichtige kinderen niet naar

Keizelbos 1, 1721 PJ Broek op Langedijk

school. Her en der in het land zijn er wel

Postbus 18, 1720 AA Broek op Langedijk

onderwijs-zorgarrangementen (OZA’s), maar

Telefoon: (0226) 331600

meestal maken therapeuten en jeugdhulpver-

Fax: (0226) 331601

leners alleen gebruik van wat ouders vertellen,

E-mail: info@elma.nl

ook al zijn die onderdeel van het probleem.

Website: www.elma.nl

Docenten moeten zich bij hun onderwijsleest houden, is hun redenering, schrijft Martin Schravesande in De thuiszittersklas.1 Het boek

Leden van de NMV ontvangen Montessori Magazine gratis.

De kosten van het NMV-lidmaatschap bedragen € 35,00.

is geschreven vanuit eigen praktijkervarin-

Aanmelding per e-mail aan nmv-secretariaat@montessori.nl

gen met thuiszitters en de auteur, docent en

Losse nummers zijn verkrijgbaar bij het secretariaat.

pedagoog vindt dan ook dat ggz en onderwijs meer moeten samenwerken, omdat docenten

Centraal Secretariaat NMV (voor informatie over lidmaatschap)

met meer distantie waarnemen en omdat het

Boerhaavelaan 40, 2713 HX Zoetermeer

contraproductief is om onderwijsprestaties te

Telefoon: 06-40233698

verlangen van kinderen die fysiek of psychisch

E-mail: nmv-secretariaat@montessori.nl

ontregeld zijn. Bij thuiszitters zien we de problemen door een vergrootglas, meent Schra-

Websites NMV:

vesande: ‘Thuiszitters confronteren ons met

www.montessori.nl – www.montessorinet.nl

onze pedagogische radeloosheid en dagen onze creativiteit uit. Ze wijzen ons op de es-

Sluitingsdatum kopij Montessori Magazine 45-3 (juni 2022):

sentie van pedagogiek: het vermogen om, ook

29-04-2022

wanneer het spannend, lastig en ongemak-

De redactie behoudt zich het recht voor om artikelen te redigeren en in

kelijk is, echt contact met jongeren te maken.

te korten, dan wel te weigeren of te laten plaatsen op Montessorinet.

Ik beschouw een verstoorde wil tot leren als een gevolg van complexere problematiek en

Gehele of gedeeltelijke overname van artikelen uitsluitend na

waarachtig contact als hét instrument om die

schriftelijke toestemming van de uitgever.

De redactie tracht bij alle gebruikte afbeeldingen de eigenaar te achterhalen.

verstoorde wil te laten helen.’

• Bewust en met plezier ontspannen een montessorigroep begeleiden, daar gaan we graag voor aan de slag: • Veel aandacht voor individuele begeleiding : 15 uur per ĐƵƌƐŝƐƚ Ɵ ũĚĞŶƐ ũĞ ϭ͕ϱ ũĂƌŝŐĞ ŽƉůĞŝĚŝŶŐ ĂƐŝƐďĞŬǁĂĂŵ ŽĨ sĂŬďĞŬǁĂĂŵ͘ • ϰ ŝŶĚŝǀŝĚƵĞůĞ ŬůĂƐƐĞŶďĞnjŽĞŬĞŶ ƉĞƌ ŽƉůĞŝĚŝŶŐ ͬ s • 'ĞƐĐŚŝŬƚ ǀŽŽƌ ĂůůĞ ƚLJƉĞŶ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝƐĐŚŽůĞŶ͗ ǁĞ ďŝĞĚĞŶ ĚĞ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝŬĞŶŶŝƐ ĞŶ ĐŽŶƚĞdžƚ ďĞǁƵƐƚ ŐƌŽŶĚŝŐ ĞŶ ĚĞŐĞůŝũŬ ĂĂŶ͕ njŽĚĂƚ ũĞ ŵĞƚ ũĞ ƐĐŚŽŽů ĞŶ ǀŽŽƌ ũĞ ŐƌŽĞƉ ďĞǁƵƐƚĞ ŬĞƵnjĞŶ ŬĂŶ ŵĂŬĞŶ ĞŶ ĚĞnjĞ ŐĞŵŽƟ ǀĞĞƌĚ ŬĂŶ ǀĞƌĂŶƚǁŽŽƌĚĞŶ͘ sŽŽƌ ĚĞ ŝŵƉůĞŵĞŶƚĂƟ Ğ ďŝĞĚĞŶ ǁĞ ĐŽŶĐƌĞƚĞ ŚĂŶĚǀĂƩ ĞŶ͘ • tĞ ďĞƚƌĞŬŬĞŶ ǁĞƚĞŶƐĐŚĂƉƉĞůŝũŬ ŽŶĚĞƌnjŽĞŬ͕ ƌĞĐĞŶƚĞ ŽŶƚǁŝŬŬĞůŝŶŐĞŶ ĞŶ Į ůŽƐŽĮ ƐĐŚĞ ĐŽŶƚĞdžƚ ĚŝĞ ǀĞƌďĂŶĚ ŚŽƵĚĞŶ ŵĞƚ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲƉĞĚĂŐŽŐŝĞŬ ǀŽŽƌ ĐŽŶĐƌĞƚĞ ŚĞĚĞŶĚĂĂŐƐĞ ǀĞƌƚĂůŝŶŐ͘ • Hulp aanwezig voor snelle opbouw van verplicht NMV ƉŽƌƞ ŽůŝŽ • WĞƌ ůĞƐ ĞĞŶ ƚŚĞŵĂ ĞŶ ŵĂƚĞƌŝĂĂůůŝũŶ ĐĞŶƚƌĂĂů н ĞdžƚƌĂ ŵĂƚĞƌŝĂĂůͲŽĞĨĞŶŵŝĚĚĂŐĞŶ • ĞĞƌ ŐŽĞĚĞ ĞǀĂůƵĂƟ ĞƐ ĚŽŽƌ ĐƵƌƐŝƐƚĞŶ ĞŶ EDs ŐĞĐŽŵŵŝƩ ĞĞƌĚĞŶ • >ĞƐ ǀĂŶƵŝƚ ĞĞŶ ŚĞĞƌůŝũŬ ƌƵŝŵ͕ ŶŝĞƵǁ ůŽŬĂĂů ŵĞƚ Ăů ŚĞƚ montessori-materiaal en veel nieuw Nienhuis materiaal: ,ŽŐĞƐĐŚŽŽů hƚƌĞĐŚƚ͕ >ŽŬĂĂů ϱ͘Ϭϱϭ͕ WĂĚƵĂůĂĂŶ ϵϳ͕ hƚƌĞĐŚƚ͘ :Ğ ďĞŶƚ ǀĂŶ ŚĂƌƚĞ ǁĞůŬŽŵ͘

Waar dit niet is gelukt, vragen wij de rechthebbende om contact op te nemen.

1 Schravesande, Martin (2021), De thuiszittersklas. Op zoek naar de wil om te leren, Uitgeverij Van Gennep De documentaire Herr Bachmann und seine Klasse (2021) is een mooie filmische tegenhanger voor De thuiszittersklas.

Montessori Magazine

ISSN nummer Koninklijke Bibliotheek: ISSN 2352-2623

nummer 2 | jaargang 45

EŝĞƵǁƐŐŝĞƌŝŐ͍ EĞĞŵ ĐŽŶƚĂĐƚ ŽƉ ŽĨ ŵĞůĚ ũĞ ĂĂŶ ǀŽŽƌ ĚĞ ŽŶůŝŶĞ ŝŶĨŽƌŵĂƟ ĞŵŝĚĚĂŐ ŽƉ ϭ ũƵŶŝ ϮϬϮϮ ͬ ϳ ƐĞƉƚĞŵďĞƌ ϮϬϮϮ ĚŽŽƌ ĞĞŶ ŵĂŝů ƚĞ ƐƚƵƌĞŶ ŶĂĂƌ ĂŶĂƐƚĂƐŝĂ͘ĚŝŶŐĂƌƚĞŶΛŚƵ͘Ŷů͘ sĞƌĚĞƌĞ ŝŶĨŽƌŵĂƟ Ğ ŬĂŶ ũĞ ǀŝŶĚĞŶ ŽƉ ŽŶnjĞ ƐŝƚĞƐ͗ ŚƩ ƉƐ͗ͬ​ͬǁǁǁ͘ŚƵ͘ŶůͬĚĞĞůƟ ũĚͲŽƉůĞŝĚŝŶŐĞŶͬŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲďĂƐŝƐďĞŬǁĂĂŵ Θ ŚƩ ƉƐ͗ͬ​ͬǁǁǁ͘ŚƵ͘ŶůͬĚĞĞůƟ ũĚͲŽƉůĞŝĚŝŶŐĞŶͬ ŵŽŶƚĞƐƐŽƌŝͲǀĂŬďĞŬǁĂĂŵ

ţŘƖƳĶŋŋēŏ ĶŘƎƄĶƈēēƈ ĶŘŘţƲēēƈ NSRKI OMRH FWS STPIMHMRK

NLMN PHW HHQ YHUIULVVHQGH EOLN QDDU NLQGHUHQ QDDU GH RPJHYLQJ HQ QDDU MH]HOI 8

0/

STPIMHMRKIR

FEWMWFIO[EEQ ZEOFIO[EEQ 0/8 RQWZLNNHO MH WRW HHQ HLJHQWLMGVH LQQRYDWLHYH PRQWHVVRULOHHUNUDFKW

STPIMHMRKIR

PIMHMRKKIZIRHIR FEWMW ZIVHMITMRK RQWGHN KHW ELM]RQGHUH YDQ GH PRQWHVVRULYLVLH HQ YHUGLHS MH NHQQLV 0/8

* *