Operação com polinômios
Primeiro, vamos recordar a seguinte propriedade das potências: am : an = am – n, com a ≠0
Vamos verificar como podemos efetuar a divisĂŁo: đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;?đ??˛ 12 5 Ex.: 12y : 4yÂł = = đ?&#x;’đ??˛Âł 4
3
.
đ??˛đ?&#x;“ = 3y² đ??˛Âł
y²
đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ??š đ??›Â˛ đ?&#x;?đ?&#x;Ž 4 Ex.: (20a b²) : (-5ab) = = −đ?&#x;“đ??šđ??› −đ?&#x;“
-4
.
đ??šđ?&#x;’ đ??š
.
đ??›Â˛ = -4aÂłb đ??›
a4-1 b2-1
Para dividir um monĂ´mio por outro, dividimos os coeficientes entre si e as partes literais entre si.
Observe, agora, o resultado da seguinte divisĂŁo:
Ex.: (15x³y²) :
(5x5y5)
15xÂłyÂł 15 = 5 5 = 5x y 5
3
.
xÂł x5
.
y² đ?&#x;‘ 5 = y đ??ąÂ˛đ??˛Âł
x3-5 y2-5
No caso dessa divisão, o resultado Ê uma fração algÊbrica.
Dividindo um polinômio por um monômio Ex.:
(9x5
+
21x4
9x5 21x4 + 3x³ 3x³
-
– 12x³) : (3x³) =
(9x5
+
21x4
1 – 12x³) . = 3x³
12x3 = (9x5 : 3x³) + (21x4 : 3x³) – (12x³ : 3x³) = 3x³
= 3x² + = 3x² + 7x – 4
7x
-
4
=
Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio não nulo fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.
Dividindo um polinômio por um polinômio O processo de divisão de polinômios em uma mesma variável se assemelha àquele da divisão com números naturais. Ex.: (5x³ - 3x² + 2x - 3) : (x - 1) =
1º passo: 5x³ - 3x² + 2x - 3
x-1 5x²
5x³ : x = 5x²
2º passo: 5x³ – 3x² + 2x – 3 - 5x³ + 5x²
x-1
(x – 1) . 5x² = 5x³ - 5x² Subtraindo – 5x³ + 5x²
5x²
+ 2x² + 2x – 3 3º passo: 5x³ – 3x² + 2x – 3 - 5x³ + 5x² + 2x² + 2x – 3
x-1 5x² + 2x
2x² : x = 2x
4º passo: 5x³ – 3x² + 2x – 3 - 5x³ + 5x²
x-1
(x – 1) . 2x = 2x² - 2x Subtraindo – 2x² + 2x
5x² + 2x
+ 2x² + 2x – 3 - 2x² + 2x 4x – 3 5º passo: 5x³ – 3x² + 2x – 3 - 5x³ + 5x²
+ 2x² + 2x – 3 - 2x² + 2x 4x – 3
x-1 5x² + 2x + 4
4x : x = 4
6º passo: 5x³ – 3x² + 2x – 3 - 5x³ + 5x²
(x – 1) . 4 = 4x – 4
x-1
Subtraindo – 4x + 4
5x² + 2x + 4
+ 2x² + 2x – 3 - 2x² + 2x
quociente
4x – 3 - 4x + 4 +1
resto
Observe que a relação fundamental da divisão continua valendo: (x – 1) . (5x² - 2x + 4) + 1 = 5x³ - 3x² + 2x - 3 divisor
quociente
resto
dividendo
Use seu caderno digital e determine: 1) (6x4 - 5x³ + 12x² - 4x + 3) : (3x² - x + 1) = 2) (5x³ + x² - 3) : (x² - 1) =
Seguindo o passo a passo você vai perceber que as divisões podem ser exatas e não exatas.
Fonte: Giovanni, José Ruy A conquista da matemática, 8º ano Ed. Renovada – São Paulo: FTD, 2009