JUEGOS Y MATEMÁTICA by Rita Elízabeth

REVISTA VIRTUAL

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NS/NC

FUENTES, Rita E. Prof. en Matemática y Cosmografía

Juegos y matemática… Matemática y juegos… Es posible la conjunción, y aprender en ese encuentro?

En esta revista se quiere mostrar que sí. Se puede desarrollar el conocimiento de la matemática jugando. Se pueden descubrir estrategias para resolver cuestiones matemáticas en un espacio de libertad y diversión, sin las presiones que provoca a veces una instancia áulica tradicional. La propuesta de esta revista es en esta línea. El juego nos conecta con los objetos y las personas, y en esa acción se generan conflictos, problemas, que nos llevan a elaborar estrategias de resolución y, por lo tanto, a la incorporación de nuevos aprendizajes. Por supuesto que el uso del juego en el aula, no es algo azaroso, sino debidamente organizado, planificado y conducido por el docente, que debe brindar a los alumnos la posibilidad de que ese juego se convierta realmente en una herramienta de aprendizaje. Adhiero al maestro matemático Miguel de Guzmán en su concepción de la enseñanza de la matemática y el valor del juego en ella. Es por eso que esta revista inicia citándolo, y mencionando un resumen de su pensamiento, ya que fundamenta el desarrollo de este trabajo. A continuación se seleccionaron juegos que ayudan a incentivar la observación, el análisis, la aplicación de estrategias y el razonamiento de nuestros alumnos, planteando constantes desafíos, por medio de entretenidos juegos y actividades. En cada página, se intenta mostrar un ejemplo donde nuestros alumnos podrán encontrar un estímulo para la reflexión, el pensamiento y la acción. Y, fundamentalmente, para ir descubriendo diferentes estrategias que les permitirán resolver cuestiones matemáticas. Los juegos que se presentan se agrupan en cuatro bloques: (para nada exclusivos ni excluyentes) Para la Aritmética. Para la Geometría. Para el Álgebra y la deducción. Para las Funciones.

Que pueda servir como aporte a estimular en nosotros la reflexión acerca de la exploración de nuevas instancias didácticas. Y en nuestros alumnos, el gusto por la matemática. 2

El fundamento matemático de los juegos. (Miguel de Guzmán)

Son muchos los juegos con un contenido matemático profundo y sugerente y por otra parte una gran porción de la matemática de todos los tiempos tiene un sabor lúdico que la asimila extraordinariamente al juego. El primer aspecto se puede poner bien de manifiesto sin más que ojear un poco el repertorio de juegos más conocidos. La aritmética está inmersa en los cuadrados mágicos, cambios de monedas, juegos sobre pesadas, adivinación de números,... La teoría elemental de números es la base de muchos juegos de adivinación fundamentados en criterios de divisibilidad, aparece en juegos que implican diferentes sistemas de numeración, en juegos emparentados con el Nim,... La combinatoria es el núcleo básico de todos los juegos en los que se pide enumerar las distintas formas de realizar una tarea, muchos de ellos sin resolver aún, como el de averiguar el número de formas distintas de plegar una tira de sellos, el problema del viajante,... El álgebra interviene en muchos acertijos sobre edades, medidas, en el famoso juego de los 15, en el problema de las ocho reinas,... La teoría de grupos, en particular el grupo de Klein, es una herramienta importante para analizar ciertos juegos con fichas en un tablero en los que se "come al saltar al modo de las damas. La teoría de grafos es una de las herramientas que aparece más frecuentemente en el análisis matemático de los juegos. Nació con los puentes de Königsberg, se encuentra en el juego de Hamilton, da la estrategia adecuada para los acertijos de cruces de ríos, como el del pastor, la oveja, la col y el lobo, el de los maridos celosos, y resuelve también muchos otros más modernos como el de los cuatro cubos de la Locura Instantánea... La teoría de matrices está íntimamente relacionada también con los grafos y juegos emparentados con ellos. Diversas formas de topología aparecen tanto en juegos de sabor antiguo, como el de las tres granjas y tres pozos, como en juegos más modernos como los relacionados con la banda de Möbius, problemas de coloración, nudos, rompecabezas de alambres y anillas... La teoría del punto fijo es básica en algunos acertijos profundos y sorprendentes como el del monje que sube a la montaña, el pañuelo que se arruga y se coloca sobre una réplica suya sin arrugar,... La geometría aparece de innumerables formas en falacias, diseciones, transformación de configuraciones con cerillas, poliominós planos y espaciales,... La probabilidad es, por supuesto, la base de todos los juegos de azar, de los que precisamente nació. La lógica da lugar a un sinfín de acertijos y paradojas muy interesantes que llaman la atención por su profundidad y por la luz que arrojan sobre la estructura misma del pensamiento y del lenguaje.

Pensamientos de Miguel de Guzmán acerca de la Educación Matemática.

(Por Modesto Sierra Vázquez, Universidad de Salamanca) Miguel de Guzmán escribió numerosas obras dedicadas a la educación matemática, así como libros de texto para la educación secundaria y la Universidad. Todas estas obras están inspiradas en una especial concepción de la educación matemática, con sus problemas y posibles soluciones. Tenía una profunda formación humanística y científica, y su pensamiento acerca de la educación matemática era un pretexto para conseguir una sociedad más justa y más solidaria. Para Miguel de Guzmán la educción de la matemática se debe concebir como un proceso de inmersión en las formas propias de proceder del ambiente matemático, a la manera como el aprendiz de artista va siendo imbuido, como por ósmosis, en la forma peculiar de ver las cosas características de la escuela en la que se entronca (proceso de inculturación) Esto supone para él: Continuo apoyo en la intuición directa de lo concreto. Apoyo permanente en lo real. Los procesos del pensamiento matemático son el centro de la educación matemática. Conciencia de la importancia de la motivación. Los impactos de la nueva tecnología. En su pensamiento, algunos de los problemas fundamentales en la educación matemática, son: Exceso de formalismo. Carencia de alfabetización matemática de la sociedad. Problemas de organización escolar. Formación del Profesorado de Primaria y Secundaria. Para afrontar los problemas anteriores propuso cambios metodológicos como: Adquisición de los procesos típicos del pensamiento matemático. Uso de la historia de la matemática en la educación matemática. La resolución de problemas como eje de la enseñanza de las matemáticas. La modelización y aplicaciones en la educación matemática. Fomento del gusto por la matemática. Importancia de la motivación y presentación. El valor del juego en la enseñanza de las matemáticas.

UTILIZACION DE LOS JUEGOS EN LA ENSEÑANZA. (Miguel de Guzmán)

“En mi opinión, el objetivo primordial de la enseñanza básica y media no consiste en embutir en la mente del niño un amasijo de información que, pensamos, le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, físicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de su propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes básicas más características que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia. Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones matemáticas se prestan igualmente al aprovechamiento didáctico. Muchos son meras charadas y acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusión intencionada del enunciado al modo de los oráculos sibilinos y dejan al final una impresión de mera tomadura de pelo. En otros casos la solución de la impresión de haber llegado por revelación divina que no cabe fácilmente en un esquema de pensamiento que pueda conducir a un método. Pero, como veremos, hay juegos que, de forma natural, resultan asequibles a una manipulación muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolución sistemática de problemas matemáticos y que encierran lecciones profundamente valiosas. Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas, matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas apropiadas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas. Muchos de estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos matemáticos.”

Miguel de Guzmán, da una serie de propuestas, por ejemplo para SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Dice que existen muchos juegos cuya base o cuya estrategia se encuentra en una adecuada utilización de diferentes sistemas de numeración: - Nim. - Averiguar un número mediante tarjetas basadas en el sistema binario. - Las torres de Hanoi y el juego icosiano. - Uso del sistema ternario en juegos.

El objetivo es mover todos los discos de la estaca izquierda a la derecha. Haga clic y arrastre con el ratón para mover un disco. Sólo un disco puede ser movido a la vez. Un disco puede ser colocado sobre una clavija vacío o en la parte superior de un disco más grande. Trate de mover todos los discos con el menor número de movimientos posibles http://www.mazeworks.com/hanoi/index.htm 6

SIGMA PRIME

(FACTOREO Y DIVISIBILIDAD)

Se deben “destruir” las naves enemigas “disparando” todos los divisores primos que correspondan a la factorización del número que aparece en cada nave.

http://www.mangahigh.com/en/games/sigmaprimelite

BIDMAS BLASTER (OPERACIONES MENTALES) En este juego, hay que “destruir” a los robots invasores resolviendo las operaciones que aparecen sobre ellos.

http://www.mangahigh.com/en/games/bidmasblaster

Al pasar de nivel, y según los puntos (= dinero) acumulados, se pueden adquirir nuevas y mejores armas.

“Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemática, es claro que existen muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales comunes que pueden ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o mejor que escogiendo contenidos matemáticos de apariencia más seria, en muchos casos con claras ventajas de tipo psicológico y motivacional para el juego sobre los contenidos propiamente matemáticos.” (Miguel de Guzmán)

FRACTION FRENZY (EQUIVALENCIA DE FRACCIONES) Aquí se deben clickear los pares de fracciones equivalentes que se vayan encontrando. Hay un límite de tiempo para cada pantalla, y se va subiendo de nivel (más pares de fracciones por pantalla, o equivalencias no tan evidentes)

http://www.learningplanet.com/sam/ff/index.asp

MANGAHIGH (OPERACIONES CON FRACCIONES)

http://www.mangahigh.com/en/maths_games/number/fractions/add_and_subtract_fractions 9

MATHS-BINGO (PASAJES DE DECIMAL A FRACCION)

http://www.maths-bingo.com/es/fractions_and_decimals.html

ICE ICE MAYBE (PORCENTAJES Y ESTIMACION) Se debe estimar el resultado de la operación que aparece en la nube, y ubicarse cerca de la boya que tenga el número más próximo. Si es correcto, el pingüino que arroja la catapulta podrá rebotar en la boya y llegar al otro lado.

http://www.mangahigh.com/en/games/iceicemaybe 10

¨¿Dónde termina el juego y dónde comienza la matemática seria? Una pregunta capciosa que admite múltiples respuestas. Para muchos de los que ven la matemática desde fuera, ésta, mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los más de entre los matemáticos, la matemática nunca deja totalmente de ser un juego, aunque además de ello pueda ser otras muchas cosas. ¨ (Miguel de Guzmán)

ACROBAT NUMERO DE LINEA (ADICION Y SUSTRACCION EN)

http://hotmath.com/util/hm_flash_movie.html?movie=/learning_activities/interactivities/acnl_3.swf&return_to=Pr e-Algebra%20Activities&title=Acrobat%20Number%20Line

Miguel de Guzmán nos cuenta que existen muchos solitarios con un claro contenido matemático. Los solitarios tienen aplicaciones pedagógicas, por supuesto, pero también las tienen psicoterapéuticas y no está mal que los profesores de matemáticas nos aprovechemos de unas y otras tanto para nosotros mismos como para nuestros alumnos. He aquí unos cuantos solitarios curiosos. Prácticamente todos los solitarios tradicionales son tratables matemáticamente y otros muchos de reciente invención: - Tangram. Probablemente el más antiguo de este tipo de solitarios. - El solitario de la Bastilla. Enormemente popular desde el siglo 17. - El Juego de los 15, de Sam Loyd, que hizo furor a principios de nuestro siglo. - Locura Instantánea. - Soma, el solitario famoso de Piet Hein. - Poliomino. - El cubo de Rubik tiene mucha matemática en sus aristas, pero no se presta mucho a un tratamiento elemental.

TANGRAM Hay que hacer clic en uno de los botones con figuras que se encuentran debajo del área de trabajo. Sin traslapar, cubre la figura que está en el área de trabajo con las piezas. Para voltear una pieza, hay que hacer clic en la pieza y luego hacer clic en el botón de Voltear.

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_112_g_2_t_1.html?open=activities&amp;from=topic_t_1.html 12

“Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se han hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. A mi parecer, ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el juego tiene esencialmente, debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente. Además sucede que, por razones relativas a la semejanza de estructura del juego mismo y de la matemática, avaladas por la historia misma de la matemática y de los juegos, el juego bien escogido y bien explotado puede ser un elemento auxiliar de gran ayuda para lograr algunos de los objetivos de nuestra enseñanza más eficazmente.” (Miguel de Guzmán)

ATANGLED (Angulos y rectas) Este juego permite trabajar con las relaciones angulares en el plano. (Angulos suplementarios, entre paralelas, adyacentes, etc…)

http://www.mangahigh.com/en/games/atangledweb

TRANSTAR (Movimientos en el plano)

http://www.mangahigh.com/en/games/transtar

“Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la vida para la matemática, disfrutan intensamente con puzzles y juegos cuya estructura en poco difiere de la matemática. Existen en ellas claros bloqueos psicológicos que nublan su mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les propone, mucho más sencilla tal vez que el juego que practican, tiene que ver con el teorema de Pitágoras. Estos bloqueos son causados muy frecuentemente en la niñez, donde a absurdas preguntas iniciales totalmente inmotivadas seguían respuestas aparentemente inconexas que hacían de la matemática una madeja inextricable cada vez más absurda y complicada. Bien se puede pensar que muchas de estas personas, adecuadamente motivadas desde un principio, tal vez a través de esos mismos elementos lúdicos que están descargados del peso psicológico y de la seriedad temible de la matemática oficial, se mostrarían, ante la ciencia en general y ante la matemática misma en particular, tan inteligentes como corresponde al éxito de su actividad en otros campos diferentes.” (Miguel de Guzmán)

MANGAHAIGH

I Cuerpos. Reconocimiento… Acá habría que interactuar con la hora de inglés, y trabajar algunos vocablos específicos matemáticos. Una buena instancia para un trabajo interdisciplinario…

http://www.mangahigh.com/en/maths_games/shape/3d_shapes/recognise_a_cube_and_cuboid

TESELADOS…

Podemos seguir trabajando en conjunto con Inglés.

http://www.mangahigh.com/en/maths_games/shape/polygons/tessellations

III

Áreas y volúmenes….

Seguimos con nuestro trabajo interdisciplinario con Inglés.

http://www.mangahigh.com/en/maths_games/shape/similar_shapes/length_area_and_volume_scale_factors 16

PIRAMID PANIC (Circunferencia y círculo) Acá trabajamos con diámetros, radios, áreas, perímetros, etc… Al comienzo de cada turno, cuatro piedras de rompecabezas en la parte superior de la pantalla, y una flecha roja aparece en la parte frontal de su momia. Cada piedra rompecabezas tiene una forma en ella, con una de las longitudes clave de la forma indicada en rojo. Se le da suficiente información para ser capaz de calcular cada una de las líneas rojas en las piedras del rompecabezas.

Se debe construir un camino mediante la selección de una piedra rompecabezas donde la longitud indicada en rojo en la forma es equivalente a la longitud de la flecha en la parte frontal de la momia, y arrastrando la piedra del rompecabezas sobre la flecha. Hay que elegir el ángulo de la trayectoria con cuidado y dejar caer la piedra en el puzzle de la flecha en el momento oportuno.

http://www.mangahigh.com/en/games/pyramidpaniclite 17

Nuevamente citamos a Miguel de Guzmán. Y él nos dice que el esqueleto de las matemáticas está compuesto por unos cuantos axiomas que se manipulan mediante el mecanismo raciocinante del hombre. Que está bien que se sepa y que se ejercite a nuestros alumnos en la deducción, pero tratando al mismo tiempo de estimular los otros muchos aspectos de la matemática, intuición espacial, intuición numérica, imaginación, fantasía, actividad aventurera,... Propone estos ejemplos: - ¿Podrías construirte un cuadrado mágico 2x2? ¿Uno 3x3? Busca estrategias para construir cuadrados mágicos. - Diseña una estrategia para jugar bien al Tres en Raya. - Un monje budista sale de su templo a las 5´30 de la mañana por una vereda hacia la cumbre de una montaña, donde llega por la tarde. Allí se queda durante toda la noche y a las 5´30 del día siguiente inicia el descenso por la misma vereda. Trata de demostrar que en el descenso ha estado en algún mismo punto del camino exactamente a la misma hora que el día anterior.

TRES EN LINEA En este juego el objetivo es formar una línea de cuatro clavijas de tu color. También deberás evitar que la máquina lo haga primero. Cuanto menor sea el número de clavijas utilizadas cuando el equipo está golpeado, mayor será la puntuación.

http://www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=37

¨El juego bueno, el que no depende de la fuerza o maña físicas, el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas características son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matemático.¨ (Miguel de Guzmán)

MELT DOWN (INTRODUCCION A LAS ECUACIONES) Hay que seleccionar el número que debe “entrar” a la máquina operacional, para obtener el resultado que dice el “científico”.

A medida que se avanza, aumenta el grado de dificultad…

http://www.mangahigh.com/en/games/algebrameltdown 19

MATHS-BINGO

(ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA)

http://www.maths-bingo.com/es/state_the_radius_and_centre_level_1.html

¨La matemática así concebida es un verdadero juego que presenta el mismo tipo de estímulos y de actividad que se da en el resto de los juegos intelectuales. Uno aprende las reglas, estudia las jugadas fundamentales, experimentando en partidas sencillas, observa a fondo las partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata finalmente de participar más activamente enfrentándose a los problemas nuevos que surgen constantemente debido a la riqueza del juego, o a los problemas viejos aún abiertos esperando que alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y útil herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que conduzca a la solución del problema. ¨ (Miguel de Guzmán) 20

WRECKS FACTOR (FACTOREO DE EXPRESIONES CUADRATICAS)

Acá se trata de “rescatar” al náufrago ubicando el rectángulo cuyos lados son el factoreo de la expresión polinómica de grado dos que aparece sobre el barco.

http://www.mangahigh.com/en/games/wrecksfactor 21

“La matemática es, en gran parte, juego, y el juego puede, en muchas ocasiones, analizarse mediante instrumento matemáticos. Pero, por supuesto, existen diferencias substanciales entre la práctica del juego y la de la matemática. Generalmente las reglas del juego no requieren introducciones largas, complicadas, ni tediosas. En el juego se busca la diversión y la posibilidad de entrar en acción rápidamente. Muchos problemas matemáticos, incluso algunos muy profundos, permiten también una introducción sencilla y una posibilidad de acción con instrumentos bien ingenuos, pero la matemática no es sólo diversión, sino ciencia e instrumento de exploración de su realidad propia mental y externa y así ha de plantearse, no las preguntas que quiere, sino las que su realidad le plantea de modo natural. Por eso muchas de sus cuestiones espontáneas le estimulan a crear instrumentos sutiles cuya adquisición no es tarea liviana. Sin embargo, es claro que, especialmente en la tarea de iniciar a los más jóvenes en la labor matemática, el sabor a juego puede impregnar de tal modo el trabajo, que lo haga mucho más motivado, estimulante, incluso agradable y, para algunos, aún apasionante.” (Miguel de Guzmán)

AVENTURA LUNAR (COORDENADAS CARTESIANAS) Al lograr ubicar la coordenada del punto pedida…

â&#x20AC;Ś el cohete puede ir destruyendo los asteroides.

http://www.learningplanet.com/act/lunar/index.asp

MOLE GRAFICO Los chicos tienen que elegir en quĂŠ coordenada aparece el bicho que se quiere comer las verduras, y deben hacerlo antes de que las coma a todas.

http://funbasedlearning.com/algebra/graphing/points3/default.htm 23

SAVE OUR DUMB PLANET (FUNCIONES LINEALES) Ubicando dos puntos, deberá encontrar la trayectoria de la recta (= del “disparo” desde la tierra hasta el meteorito)para evitar que el meteorito impacte.

http://www.mangahigh.com/en/games/saveourdumbplanet

“Sería deseable que nuestros profesores, con una visión más abierta y más responsable, aprendieran a aprovechar los estímulos y motivaciones que el espíritu de juego puede ser capaz de infundir en sus estudiantes.” Miguel de Guzmán

Bibliografía:

Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas Santa Cruz de Tenerife, 10-14 Septiembre 1984 Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas Isaac Newton

Pensamientos de Miguel de Guzmán acerca de la Educación Matemática. Modesto Sierra Vázquez, Universidad de Salamanca Revista virtual “El juego como herramienta de motivación”, Lucila García Tavernier, María Estela Varcarcel. Issuu

Sitios web (ver enlaces en cada juego):

Bingo matemático en línea.

# Mangahigh

Learning.com

# Otros sitios de juego con contenido matemático.