Cap. 6
L’INTEGRALE INDEFINITO
d x2 1 1 dx =∫ 2 dx= ∫ = arctan x2 c . 2 x 4 x5 x 4 x4 1 x2 1 2 x2 3) Determiniamo l’integrale: ∫ x 9− x 2 dx . 1 Questo integrale si risolve considerando che x=− −2 x . Allora: 2
∫
2
1
3
9−x c .
∫ x 9−x dx =− 12 ∫ 9− x 2 2 d 9−x 2 =− 12⋅23 9−x 2 2 c=− 13 2
2 3
ESERCIZI Calcolare i seguenti integrali indefiniti: α)
∫ sen
δ)
∫ 5 x3 9 dx ;
5
β)
x cos xdx ;
2
x 2 x
∫
1 x 33 x 21 dx ; ∫ 3tanx cos 2 x
ε)
2
dx ; γ) ζ)
1 dx ; x5 . ∫ dx2 4−x −4 x
∫3
3.
Integrazione per scomposizione Nei prossimi paragrafi illustreremo alcuni dei metodi più utilizzati per determinare l’integrale indefinito di una qualunque funzione continua. Infatti, poiché non esiste un metodo generale che permetta di trovare la primitiva, caso per caso, occorre adoperare opportuni procedimenti algebrici che servono per ricondurre gli integrali dati o ad altri noti o ad altri più facilmente calcolabili. Il primo di questi metodi è il metodo di integrazione per scomposizione, che consiste, in parole povere, nella scomposizione della funzione che si deve integrare nella somma algebrica di funzioni delle quali o è noto l’integrale particolare oppure è più facile il calcolo, dopodiché si applica la proprietà (2) del paragrafo 1. Questi metodi saranno introdotti con esempi commentati per far comprendere meglio le varie abilità occorrenti. ESEMPI 1) Sia da calcolare il seguente integrale:
∫ 1x x dx .
Si ha: aggiungiamo e togliamo 1
scomponiamo la frazione nella somma di due frazioni
x x1−1 x1 1 1 = = − = 1− . 1 x 1x 1x 1x 1x Nell’ultimo membro, la frazione ha il numeratore uguale ad 1 e risulta la derivata del denominatore 1 x , per cui: x 1 1 dx = ∫ 1− dx=∫ 1⋅dx−∫ dx= x−ln∣1x∣c . ∫ 1x 1 x 1 x 2) Calcoliamo: ∫ 2 1 2 dx . sen x⋅cos x Applichiamo la relazione trigonometrica fondamentale: sen 2 x cos 2 x=1 , e scriviamo:
Se f 1 x , f 2 x , ..., f n x sono n funzioni continue, si ha: ∫ [ f 1 x f 2 x ..... f n x ] dx=∫ f 1 x dx ∫ f 2 x dx.....∫ f n x dx .
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