Cap. 4
I TEOREMI DI ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY. I TEOREMI DI DE L'HOSPITAL
4.
I teoremi di De L'Hospital. Sappiamo che i teoremi sui limiti non valgono più quando i limiti delle funzioni che si considerano si presentano sotto una delle forme indeterminate di tipo algebrico: 0 ∞ , , 0⋅∞ , ∞−∞ , 0 ∞ o di tipo esponenziale: ∞0 , 0 0 , 1∞ . Ora, se le funzioni in questione sono derivabili le forme indeterminate si possono “aggirare” utilizzando due teoremi detti di De L'Hospital, che consentono molto spesso di calcolare, sotto determinate condizioni, limiti di funzioni che si presentano sotto forma indeterminata. 0 Iniziamo con l'esaminare la forma e a tale scopo proviamo il seguente teorema. 0 Teorema 4.1 Primo teorema di De L'Hospital. Siano f x e g x due funzioni reali di variabile reale definite in un intorno H del punto a. Inoltre siano soddisfatte le seguenti condizioni: f x e g x siano continue in x=a e f a = g a =0 ; 1) f x e g x siano derivabili in H 0 =H ∖ { a } ; 2) g ' x ≠0 in H ; 3) 0
4)
esiste (finito o infinito) il lim
x a
Allora esiste anche il lim
x a
f x e si ha: g x
g' x
f ( x)
.
f '( x)
. g ( x ) x→ a g ' ( x ) f ' x Dim. Osserviamo subito che il rapporto ' ha sempre significato in H 0 , per l'ipotesi che abg x f x biamo fatto: g ' x ≠0 in H0 . In H0 ha anche significato il rapporto perché qui è sicuramente g x g x ≠0 . Infatti se in H 0 esistesse un punto b in cui g b =0 , per il teorema di Rolle, esisterebbe tra (1)
lim
f ' x
x→a
=lim
a e b almeno un punto α dove g ' α =0 , contro l'ipotesi 3). Per il teorema di Cauchy, si ha che ad ogni x ∈ H 0 si può far corrispondere un punto c ∈ a , b , in modo che risulti: f ( x )− f ( a )
f '(c)
; g ( x )−g (a ) g ' ( c ) e, tenendo conto che f a = g a =0, si ha: f ( x ) f ' (c ) = ; ( a <c< x ) . (2) g ( x ) g ' (c ) Quando x→a, anche c→a, perché c è compreso tra a e x. Inoltre, se: f ' x lim =l , x a g' x f ' c allora: lim esiste ed è uguale ad l . Pertanto, tenendo presente la (2), si ottiene: c a g ' c f ( x) f '(c) f '(c) f '( x) lim =lim =lim =lim =l . x→a g ( x ) x → a g ' ( c ) c→ a g ' ( c ) x →a g ' ( x ) =
- 80 -