Cap. 3
DERIVATE
1 u ' x=cosx e lnu ' = . u 1 1 ⋅cosx=cotanx. Pertanto, in base alla (3), si ha: y ' = ⋅cosx , cioè: y ' = u senx 2) Calcolare la derivata della funzione y = cosln3x. In pratica si può procedere più velocemente nel modo seguente. Si deriva cosln3x considerando ln3x come variabile indipendente e si ottiene: −sen ln3 x ; poi si deriva ln3x conside1 rando lnx come variabile indipendente e si ottiene 3ln2x e infine si deriva lnx ottenendo . x Il prodotto di tutte le derivate trovate, fornisce la derivata della funzione composta considerata: 1 3 y ' =−sen ln 3 x ⋅3 ln 2 x ⋅ =− ⋅ln 2 x⋅sen ln 3 x . x x ESERCIZI. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni : 1 1x 2 2 D lncos x ; D ln ; 1) 2) 3) D ln 1−x ; 2 2 cos 2 x 1−x
4)
D lnsen x ;
5)
3
D ln sen
x3 ; 4
6)
1 D sen 2 x − sen 3 x xln x . 4
8.
Massimi e minimi assoluti e relativi Sia f x una funzione definita in un intervallo [ a , b ] . Se in tale intervallo esiste un punto c, in cui la funzione assume un valore non minore dei valori che essa assume negli altri punti di [ a , b ] , si dice che nel punto c la funzione ha un massimo assoluto. In modo simile, se in [ a , b ] esiste un punto d, in cui la f x assume un valore non maggiore dei valori che essa assume negli altri punti di [ a , b ] , si dice che in quel punto la funzione ha un minimo assoluto. Definiamo ora i massimi e i minimi relativi di una funzione. DEFINIZIONE. Si dice che un punto x 0 ∈ a , b , è un punto di massimo relativo per la funzione
f x , se esiste un sottointervallo H= α ,β ⊆ a , b contenente x 0 , tale che per ogni x∈ α ,β risulti: f x ≤ f x 0 . (1) Analogamente si dice che x 0 è un punto di minimo relativo per la f x , se esiste un sottointervallo H= α ,β ⊆ a , b contenente x 0 , tale che per ogni x ∈ α ,β risulti: f x ≥ f x 0 . (2) Il punto x 0 si dirà poi un punto di massimo (minimo) relativo proprio se la (1) o (la (2) può essere sostituita dalla: f x f x 0 , f x f x 0 , per tutti gli x ∈ α , β x≠x 0 . I punti di massimo e minimo relativo si chiamano anche estremanti relativi (o locali) della funzione. Il valore che la f x assume in un punto di massimo o minimo relativo, si chiama un massimo o un minimo relativo di f x . Secondo le date definizioni, occorre tener ben presente che il valore assunto dalla funzione in un punto x 0 di massimo o minimo relativo, non è necessariamente il più grande o il più piccolo valore fra quelli che essa assume in tutto l'intervallo [ a , b ] , ma è soltanto il più grande o il più piccolo valore fra quelli che la funzione assume in un intervallo H= α ,β ⊆ a , b tale che x 0 ∈ α , β . Cioè, l'estremo di una funzione presenta un carattere locale: esprime il più grande, o il più piccolo, valore rispetto ai suoi valori “vicini”. Da ciò segue che la funzione può, nel dato intervallo, avere svariati massimi e minimi relativi, come potrà avvenire che un massimo relativo sia più piccolo di un minimo relativo. La rappresentazione geometrica rende - 59 -