Cap. 3
DERIVATE
La derivata del prodotto di due funzioni derivabili esiste ed è uguale al prodotto della derivata del primo fattore per il secondo fermo, più il prodotto del primo fattore fermo per la derivata del secondo e cioè: D f ⋅g = f '⋅g f⋅g ' . Dim. Infatti, per ogni x∈I, si ha: f xh ⋅g xh − f x ⋅g x * lim h h 0 e, togliendo ed aggiungendo (al numeratore) il prodotto f xh ⋅ g x , possiamo scrivere il limite (*) così: f xh ⋅g xh − f xh ⋅g x f xh ⋅g x − f x ⋅g x lim , h h 0 ovvero: f x h ⋅g xh − f xh ⋅g x f xh ⋅g x − f x ⋅g x lim lim = h h h 0 h 0 g xh −g x f x h − f x = lim f xh lim g x , ** h h h 0 h 0 ed essendo f x derivabile in x allora f x è anche continua in x cioè: lim f xh = f x , h 0
che ci consente di affermare che la tesi è vera in quanto (∗∗) diventa uguale a: f ' x ⋅g x f x⋅g ' x . La tesi del teorema può essere estesa immediatamente, come nel caso del teorema 5.1, per ricorrenza al prodotto di un numero finito di funzioni, derivabili in I, nel modo seguente: D f 1 x ⋅ f 2 x ⋅. . .⋅f n x = f ' x ⋅ f 2 x ⋅. ..⋅f n x f 1 x ⋅ f ' x ⋅...⋅f n x ... f 1 x ⋅ f 2 x ⋅.. .⋅ f ' x . 1
2
In particolare la funzione:
n
y=[ f x ] , n
con n > 1, ha come derivata:
y ' =n [ f x ] ⋅ f ' x , n e, ancora più in particolare, se è y=x si ha: y ' =nx n−1 . n−1
ESEMPI. a) D x 5−4 x 32 x−3 =5 x 4−12 x 22 . 4 4 5 b) D x 2 1 =5 x 21 ⋅2 x=10 x x 21 .
c)
D x 2 cosx lnx = 2 x−senx ⋅lnx
x 2cosx . x
Teorema 5.3 Teorema del quoziente Siano f x e g x due funzioni derivabili in I e sia g x ≠0 , ∀ x∈I. La derivata del quoziente di due funzioni derivabili esiste ed è uguale a una frazione avente al denominatore il quadrato del denominatore della funzione di partenza e al numeratore la differenza tra il prodotto del denominatore invariato per la derivata del numeratore e il prodotto della derivata del denominatore per il numeratore invariato e cioè, in formule: f x f ' x ⋅g x − f x ⋅g ' x D = . g x g x 2
Dim. Infatti, per ogni x∈I, si ha:
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