Cap. 1
LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
1.
Limite finito per una funzione in un punto Sia f x una funzione definita in un intervallo [ a , b ] escluso al più un punto c di questo. Quanto detto nel al punto A) del paragrafo 0, viene rigorosamente precisato dalla seguente: 1a DEFINIZIONE - Si dice che la funzione f x per x tendente a c, ha per limite il numero l, e si scrive:
lim f x = l ,
xc
quando, in corrispondenza ad un arbitrario numero positivo ε, si può sempre determinare un intorno H c del punto c, tale che per ogni x ∈Hc , escluso al più il punto c, risulti soddisfatta la disequazione: o, ciò che è lo stesso, se:
∣ f x − l ∣ε ;
l −ε f x l ε .
Le ultime due disequazioni significano che i valori della f x differiscono da l, in valore assoluto, per una quantità inferiore al numero da noi arbitrariamente fissato, che è ε . ESEMPI. 1) Verificare che risulta: (1) lim 3 x1 =7 . x 2
Per provare ciò, dobbiamo far vedere che in corrispondenza ad un qualunque numero ε0 , la seguente disequazione: (2) ∣3 x1−7∣ε , è soddisfatta per tutti i valori della x che formano un intorno del punto x = 2 (tale punto appartiene all'asse x (!)). La disequazione (2) può essere anche scritta nella seguente forma: ∣3 x−6∣ε , che è equivalente a: 6−ε3 x6ε , che è risolta per: ε ε 2− x2 , 3 3 che dà origine a un intorno del punto di ascissa x = 2 (e ordinata nulla (!)). Quindi, resta provata l'esistenza, per un qualunque numero ε0 , di un intorno H 2≡ 2− ε , 2+ ε , tale che per ogni x ∈H 2 3 3 risulta soddisfatta la (2). Ciò significa, per la definizione di limite, che vale la (1). Si nota che la funzione f x =3 x1 , calcolata nel punto x = 2, vale proprio 7 infatti: f 3 =7 e perciò in questo caso risulta: lim f x = f 2
x 2
cioè: il limite coincide con il valore della funzione nel punto di ascissa x = 2. 2) Dimostrare che è : x lim = 2. x 4 x−2 Per provare l'uguaglianza precedente, fissiamo ε0 . Dopo si deve far vedere che esiste un intorno di 4 (e cioè H4), tale che, per ogni x ∈H 4 , x≠4 , si abbia: (1) ossia:
e quindi:
∣ x−2x −2∣ε , ε ; ∣4−x x−2∣ -5-