Cap. 3
Cap. 3
DERIVATE
DERIVATE
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Problemi che conducono al concetto di derivata L'invenzione del calcolo infinitesimale deve senza dubbio farsi coincidere con il momento in cui Newton e Leibniz, circa alla metà del 1600 e indipendentemente l'uno dall'altro, introdussero la nozione di derivata e di differenziale sviluppando le relative regole di calcolo. Tuttavia, tracce di questo calcolo si riscontrano presso gli antichi geometri, specialmente in Archimede; nel periodo immediatamente precedente a Newton e Leibniz, le opere di Cavalieri e Torricelli, allievi di Galilei, si devono considerare come quelle che più potentemente contribuirono a preparare il terreno alle successive scoperte. I problemi che particolarmente diedero origine al concetto di derivata e costituirono perciò il punto di partenza per il nuovo calcolo, sono quello delle tangenti e quello della velocità. Vediamo brevemente in che cosa consistono questi due problemi iniziando da quello delle tangenti. A) problema delle tangenti Per definire la tangente in un punto ad una curva qualunque, osserviamo che: a) la definizione adottata nella geometria ele- b) non può servire nemmeno l'altra definiziomentare nel caso dello studio delle coniche (se- ne che talvolta è data nella geometria elecondo la quale la retta tangente in un punto T mentare, secondo la quale la tangente è quella della curva, è quella retta avente in comune con la retta uscente da F che lascia la circostante conica solo il punto T) è evidentemente da porzione della curva tutta dalla stessa parte, scartare, come si vede dalla figura 1. perché questo non accade nel caso della figura 2, pur essendo la retta f intuitivamente una tangente alla curva.
t
T
y=f(x) f
F y=f(x)
P
fig. 2
fig. 1 Nessuna obiezione si presenta, invece, se noi idealizziamo il procedimento con cui, nella pratica, un disegnatore traccia approssimativamente la tangente ad una data curva in un punto P, considerando sulla curva un altro punto Q, molto vicino a P, e disegnando la retta PQ. Volendo precisare meglio, possiamo dare la seguente definizione. Definizione. Si chiama tangente ad una curva piana in un suo punto P, la posizione limite, se esiste, della retta che unisce P con un altro punto Q della curva, allorché si fa avvicinare Q indefinitamente a P (fig. 3). Si noti che la posizione limite di PQ deve esistere (ed essere sempre la stessa) comunque Q si avvicini a P. Pertanto la curva disegnata nella figura 4 non è secondo la definizione data, dotata di tangente nel punto P, perché la posizione limite di PQ è t' o t'' secondo che Q si avvicini a P dal ramo destro o da quello sinistro.
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