Cap. 2
FUNZIONI CONTINUE
può arrivare a scrivere la seguente relazione: 180 ° sen α lim ⋅ =1 , π α α 0 ossia: 180° sen α lim =1 , π α 0 α da cui: sen α π lim = . 180° α α 0 2) È noto (o almeno dovrebbe esserlo!) come si sia giunti storicamente alla definizione del numero π: si considerino tutti i poligoni regolari inscrivibili in una circonferenza di raggio r, in ordine crescente secondo il numero n dei lati. Il loro perimetro cresce al crescere di n, ma non diventa mai infinitamente grande. Diremo che la successione dei perimetri è crescente e limitata per cui tale successione è convergente ad un valore limite () che si indica con 2πr che esprime la misura della circonferenza.3 Qualcosa di analogo faremo ora cercando il limite, per x tendente ad infinito, della funzione: x 1 f x = 1 . x Si prova che questo limite esiste ed è finito e lo si indica, convenzionalmente, con la lettera e il cui valore approssimato alle prime 50 cifre decimali è: x 1 lim 1 =e≃2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407 . x x ∞ Cominciamo con il considerare x crescente per valori interi positivi, cioè: n 1 lim f n = lim 1 , n n ∞ n ∞ con n > 0 e intero. Si vede che, qualunque sia n, è: 2≤ f n 3; cioè f n costituisce una successione limitata. Infatti, utilizzando la formula del binomio di Newton, si ha: 1 2 1 1− ⋅ 1− 1− n n n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 =11 . . .2 .. . 1 1 2 . .. . n−1 = n 2! 3! 2 ! 3! n! 2 2 2 1 1− 2n 1 =1 1 =3 . 1 1 1− 1− 2 2 D'altra parte f n è crescente. Infatti: f n1 f n in quanto:
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Sia AB il lato del poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio r e centro O. La misura dell'ango possiamo cal è 2 π radianti. Indicando con H il piede dell'altezza del triangolo rettangolo AHO lo al centro AOB n π colare la misura di AH e cioè: AH=r sen e, quindi: n π π AB= 2 r sen e il perimetro pn del poligono ad n lati è: p n= 2 n r sen . n n Adesso si tratta di calcolare il limite della successione il cui termine generale è pn. 1 1 A questo scopo, operiamo una sostituzione di variabile e sia: n= per cui: z= z n e, poiché n ∞, si ha che: z 0 . Allora: π sen π z sen π z lim pn= lim 2 n r sen = lim 2 r = lim 2 r π =2 π r⋅1=2 π r . • n z πz n ∞ n ∞ z 0 z 0
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