Cap. 1
Cap. 1
LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
0.
Introduzione Approfondiamo lo studio delle funzioni reali di variabile reale e, a tale scopo, introduciamo un nuovo concetto, quello di “limite” che è uno dei più importanti dell'analisi matematica perché ad esso faremo riferimento quando dovremo introdurre altre proprietà (ed esattamente: la continuità, la derivabilità e l'integrabilità delle funzioni). Per meglio chiarire questo concetto fondamentale, cominciamo con alcune considerazioni di carattere intuitivo, servendoci di un linguaggio geometrico, sia pure impreciso ma intuitivo. Sia f x una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo [ a , b ] e sia c un punto interno a tale intervallo. Molte volte, qualunque sia la circostanza che si presenta per la f x in c, della quale non ci occupiamo, interessa esaminare i valori che essa assume, quando alla x si attribuiscono valori di [ a , b ] prossimi al numero c; in altre parole interessa studiare il comportamento della f x in convenienti intorni del punto c, escluso sempre il punto c. I casi che si incontrano sono del tipo di quelli illustrati nelle figure 1, 2, 3, 4 e 5. A) Può darsi che attribuendo ad x valori “sufficientey mente vicini” a c, i corrispondenti valori di y = f x risultino “sufficientemente vicini” ad un numero
l ∈ℝ (fig. 1). Più precisamente, fissiamo un numero
ε0 , arbitrariamente piccolo, e consideriamo la striscia orizzontale (cioè la parte di piano compresa fra due rette parallele all'asse x) avente come mediana la retta y = l e semi-ampiezza ε . Può darsi che sia possibile determinare un intorno H c di c (dipendente in generale da quella striscia e quindi dal numero che abbiamo scelto arbitrariamente e cioè ε) tale che per ogni x ∈Hc il corrispondente punto della curva sia interno alla striscia, cioè abbia una ordinata f x che differi-
l ε
l
O
y=f(x)
l −ε c
x
Hc
fig. 1 sce, in valore assoluto da l, per meno di ε . In altri termini può darsi che in tali punti risulti verificata la seguente relazione:
l −ε<
o, ciò che è lo stesso:
f ( x)< l + ε
∣ f x − l ∣ε .
B) Può accadere che, attribuendo a x valori “sufficientemente vicini” a c, i corrispondenti valori della funzione f x risultino, in valore assoluto, sempre più grandi, oltrepassando qualunque numero fissato ad arbitrio. Più precisamente, fissato ad arbitrio un numero reale k > 0, può darsi che sia possibile determinare un intorno H c di c (dipendente in generale da k) tale che per ogni x il corrispondente punto della curva abbia un'ordinata che superi, in valore assoluto, il numero k (e in questo caso di dice che la curva diverge a ∞); ossia può darsi che in tali punti, diversi da c, risulti (figg. 2a, 2b, 2c): ∣ f x ∣k , oppure f x k , oppure f x −k .
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