Cap. 7
L’INTEGRALE DEFINITO
granda. A questo proposito dimostriamo il Teorema 5.1 Teorema fondamentale del calcolo integrale (o teorema di Torricelli). Se la funzione f x è continua, esiste la derivata della funzione integrale F x : x
F x =∫a f t dt , nel punto x, ed è uguale al valore che la funzione integranda assume nello stesso punto, cioè: (13) F ' x = f x . Dim. Notiamo che l’incremento della F x relativo al punto x ed all’incremento h, è dato da: (12)
x h
F xh −F x =∫a ed, applicando il teorema 4.1, si ha: x
ovvero:
x
f t dt−∫a f t dt , xh
f t dt−∫a f t dt ,
x h
f t dt .
F xh −F x =∫a f t dt∫ x
xh
Applicando all’integrale ∫x
F xh −F x =∫x
x
f t dt il teorema della media (n° 4.4), si ha: F xh −F x =h⋅ f x 1 , dove x 1 è un opportuno punto dell’intervallo [ x , xh ] . Allora vale la seguente uguaglianza: F xh − F x = f x 1 . h Se fissiamo x e h→0, x 1 , x 1 ∈[ x , xh ] tenderà ad avvicinarsi sempre di più a x cioè x 1 x . Inoltre, dalla continuità della f x , discendono le seguenti uguaglianze: lim f x1 = lim f x 1 = f x , h 0
x x1
da cui:
F xh −F x = f x , h h 0 e, dalla definizione di derivata di una funzione, si ha: F ' x = f x . • Questo teorema ci mette in grado di calcolare l’integrale definito di una funzione per mezzo dell’integrale indefinito della funzione stessa, evitandoci il compito di determinare il valore del limite della successione (7) o (8). Infatti, se ϕ x è una qualunque primitiva di f x , si ha: ϕ' x = f x , e, applicando il risultato del teorema fondamentale 5.1, si può scrivere: F ' x = f x , e, quindi, le due funzioni F x e ϕ x differiscono solo per una costante additiva k. Allora: ϕ x =F x k , e applicando la (12) potremo scrivere la seguente uguaglianza: lim
x
ϕ x =∫a f t dtk . Ponendo in quest’ultima relazione x = a, si ha: a =k . Questo implica che: x
ovvero:
ϕ x =∫a f t dtϕ a , x
∫a
f t dt=ϕ x −ϕ a , - 105 -