Résolution des équations différentielles en physique

RÊsolution des Êquations diffÊrentielles en physique RÊdiger par @gor – http://web-in-pocket.blogspot.com/ Notation: On utilisera u pour les exemples ci-dessous mais on peut l'appliquer aux autres unitÊs (distance avec x(t) par ex.). On notera que a et A ou B et b ne dÊsignent pas les mêmes choses.

Aussi: et

Equa diff du 1er degrĂŠ:

Elles ont pour forme: oĂš Ď„ peut ĂŞtre composĂŠ de plusieurs ĂŠlĂŠments (exemple: R.C) La solution est du type:

.

Info: dans le cas particulier oĂš b=0, la solution devient . / On dĂŠtermine A et B: B est le plus simple:

On le trouve en ĂŠvaluant u(t) en +oo (en trouvant ce qu'il vaut). Soit !"

A se trouve en t=0+, soit: # . $/ . 1 & ' Connaissant dĂŠjĂ B, on peut alors trouver A. Ainsi: ∞ . / Quand u(0)=0, alors on a:

Equa diff du 2nd degrĂŠ: Type: *

+

, 0 ./ + . , ¡ ¡ 0 . / * . *

Forme canonique:

On introduit 2Ν et ω0:

OĂš 2Îť =

4

et 5# 6

7 8

./ .

22.

3$ /. 0 . / .

donc 5# 9

7 8

On peut aussi introduire le facteur de qualitĂŠ Q avec 6: DĂŠmonstration de la solution: La solution gĂŠnĂŠrale est du type: U(t) =. > On calcul les dĂŠrivĂŠes:

∞ ) ∞ . ∞ 1 )

=. ?. > ?. @

;# <

4

=. ? / . > ? / . @

? /. 22. ?. 3$ /. 0

On remplace dans l'ĂŠquation:

? / 22. ? 3$ / 0 On rĂŠsout alors cette ĂŠquation comme un polynĂ´me du 2nd degrĂŠ Calcul du discriminant (rappel: Î&#x201D;=b²-4.a.c ): â&#x2C6;&#x2020; 22 / ) 4.1. 3C / 4 22/ ) 3C / 3 solutions possibles: Si â&#x2C6;&#x2020;D 0 => RĂŠgime pseudo-pĂŠriodique Si â&#x2C6;&#x2020; 0 => RĂŠgime critique Si â&#x2C6;&#x2020;E 0 => RĂŠgime ApĂŠriodique On le calcul en remplaçant 2Îť et Ď&#x2030;0 par leur ĂŠquivalent (contenant a, b ou c ici) On simplifie par u:

On sait que 6F

5# G

H

8 on peut donc exprimer G

De lĂ : J Si I D => RĂŠgime pseudo pĂŠriodique

Si I

Si I E

/ J / J /

5# 6F

=> RĂŠgime critique

=> RĂŠgime apĂŠriodique

Une fois qu'on connait le rĂŠgime, il est possible de trouver la solution u(t) qui convient.

1/RĂŠgime Pseudo-pĂŠriodique: On est dans le cas mathĂŠmatique oĂš le Î&#x201D; indique qu'il y a 2 solutions complexes conjuguĂŠes.

On dĂŠtermine ces solutions (rappel: J

K Lâ&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2020; ; en /N

physique i=j ):

)22 ) Qâ&#x2C6;&#x161;)â&#x2C6;&#x2020; )22 ) QR)4 2/ ) 3$ / )22 ) 2QR 3$ / ) 2/

): ) SR;# 6 ) :6 2 2 2 )22 Qâ&#x2C6;&#x161;)â&#x2C6;&#x2020; )22 2QR 3$ / ) 2/ O6

): SR;# 6 ) :6 2 2 Note: Il est prĂŠfĂŠrable de ne pas oublier le j â&#x20AC;Ś

OP

La solution s'exprime alors de 3 façons possibles: La compliquÊe: . >T . . > . U. . V . WRXY

U .

. !WRXY

U .

Z

L'usuelle:

U. . V . cos ^R3$ / ) 2/. _ . sin R3$ / ) 2/. Z La compacte (il faut dĂŠterminer Ď&#x2022;, ce qui ne sera pas aborder dans ce document): . cos 3$. b Il faut dĂŠsormais dĂŠterminer A et B, on utilise pour cela les conditions initiales: On doit nous donner u(o) et

cd ce

pour pouvoir trouver A et B, on pose aussi: f R;# 6 ) :6

On utilise la solution usuelle (par exemple), et on la dĂŠtermine en 0 tel que: # U.$. V . cos ^R3$ / ) 2/. 0_ . sin ^R3$ / ) 2/ . 0_Z 1. g . cos h . sin 0 i &

De lĂ , on peut facilement dire que A=u0 car on a: A=u(o)=u0 (valeur initiale) Pour trouver B, il faut dĂŠriver cette solution u(t), on arrive Ă ce rĂŠsultat (rappel: f R;# 6 ) :6 : . g . j ) AÎť . cos j. t ) A. j B. Îť . sin j. t i. e p.q .

On nous donne 0 r 0 (Ne pas utiliser cette notation, on remplace par les valeurs numĂŠriques), on

procède comme prÊcÊdemment:

# g . â&#x201E;Ś ) AÎť . cos â&#x201E;Ś. 0 ) A. â&#x201E;Ś B. Îť . sin â&#x201E;Ś. 0 i. e p.$ '. j ) tF

Soit: ' r 0

u.U v

r 0

Y.U v

r #

# .;# 6.<.f

r 0

Y.XY

/.w.RXY U

Infos: On a souvent u'(0)=0, ce qui simplifie la chose. De plus, vous ĂŞtes libre d'utiliser l'une des expressions ci-dessus, tout dĂŠpend du niveau de dĂŠveloppement souhaitĂŠ.

Il reste finalement Ă remplacer A et B par leurs valeurs, on va ĂŠviter ici afin de ne pas avoir une expression super lourde qui se simplifierait si on avait des valeurs numĂŠriques.

Le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique offre un panel d'ĂŠtudes assez vaste, voir plus bas pour la dĂŠtermination d'autres ĂŠlĂŠments tels que le dĂŠcrĂŠment log., les manières de dĂŠterminer Q, To, T, Ď&#x2030;0 et Ď&#x2030;.

2/RĂŠgime critique: C'est le rĂŠgime le plus simple, la solution a pour forme: U. . .

On procède de la même façon pour dÊterminer A et B, soit: B=u0 La dÊrivÊe est: .

U. . )2 . ' U. . )2 . d# .

Donc: r # U.$ . )2 . 0 $ ):. # & LĂ encore, on remplacera A et B par les valeurs trouvĂŠes.

3/RÊgime apÊriodique: Il se rÊsout de la même manière que le rÊgime pseudo-pÊriodique.

La nuance se situe sur le discriminant car il indique 2 solutions rĂŠelles et non plus complexe.

On a donc les 2 solutions: )22 ) â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2020; )22 ) R4 2/ ) 3$ / )22 ) 2R2/ ) 3$ / ?J

)2 ) R2/ ) 3$ / 2 2 2 )22 Qâ&#x2C6;&#x161;)â&#x2C6;&#x2020; )22 2R2/ ) 3$ / ?/

)2 R2/ ) 3$ / 2 2 La solution s'exprime alors:

. >T . . > . U. . V . RU XY . . !RU XY . Z On remarque la similaritĂŠ avec le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique, sauf que cette fois c'est l'unique solution.

Il faut lĂ aussi dĂŠterminer A et B: # U.$. V . RU

On calcul la dĂŠrivĂŠe:

X .$ Y

r )2. U. . V . RU

U.

X .

Y

. !RU

X .$ Y

. !RU

. V) . R2/ ) 3$ / .

X .

Y

RU XY .

Z & '

Z (Le marron met en valeur ce qui rĂŠsulte de la dĂŠrivation)

. R2/ ) 3$ / . !RU

X .

Y

Après factorisation (ouf!) en posant f R:6 ) ;# 6 :

Z

r U. x&y) v. 2 z { 'y v. )2 z {|

Et on rÊsout u'(0): r # )2.0 V ^) )z.0 2 z _ ^ z.0 )2 z _Z )& : f ' ): f On rÊsout alors un système à l'aide de u(0) et u'(0) pour dÊterminer A et B.

.~ , On notera que r qu'on peut trouver par exemple avec: } ,.

L Â&#x20AC;

ElĂŠments supplĂŠmentaires pour le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique: DĂŠtermination de Ď&#x2030; et Ď&#x2030;0: Pour Ď&#x2030; (pseudo-pulsation): On peut en rĂŠalitĂŠ directement lire Ď&#x2030; car il s'agit de la partie imaginaire des solutions r1 et r2:

X

Ceci car 2 /.wY

3 R3$ / ) 2/ Â 3$ / )

3$ / 1 3$ Â 1 ) / 4. I 4. I/

Pour Ď&#x2030;0 (pulsation propre): On a 2 manières simples Ă condition de connaĂŽtre les valeurs de a, b, c ou Q (cf. ĂŠquation plus haut): Â&#x201A; 3$ +

;# 9 22 .~ , ;# . < 4 I * 4 Si on connait T0: 6Â&#x192; ;# Â&#x201E;# Dans ce cas, il faudra dĂŠterminer T0 DĂŠtermination de T0 et T: 6Â&#x192; 6Â&#x192; Le plus simple si on connait dĂŠjĂ Ď&#x2030;0 et/ou Ď&#x2030;: Â&#x201E;# ; et Â&#x201E; ; #

Si on ne les connait pas, on les trouve Ă l'aide de la relation qui lie T et T0, dĂŠmonstration: 3 3$ Â 1 )

1 2. Â&#x2026;

4. I/ Â&#x2020;

1 2. Â&#x2026; 2. Â&#x2026; Â 1 )

.~ , Â&#x201E; / Â&#x2020;$ 4. I Â&#x2020;

Â&#x201E;#

P Â&#x2021;<6 On utilise alors cette relation pour dĂŠterminer l'un des 2 Ă partir de l'autre.

9P )

Une question peut vous tracasser l'esprit: Quelle est la diffĂŠrence entre T et T0 ainsi que Ď&#x2030; et Ď&#x2030;0?

En fait, cette distinction est due au rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique, et surtout au pseudoâ&#x20AC;Ś En effet, ce rĂŠgime est proche d'un rĂŠgime pĂŠriodique pure (une sinusoĂŻde), mais pas identique!

Il y a une petite diffĂŠrence entre la pulsation propre caractĂŠrisant un rĂŠgime pĂŠriodique et la pseudo-pulsation (mĂŞme chose pour la pĂŠriode) qui est due Ă l'attĂŠnuation.

C'est d'ailleurs pour cela que quand Q>>1 on peut dire que Ď&#x2030;â&#x2030;&#x2C6;Ď&#x2030;0 (de mĂŞme avec T et T0) DĂŠtermination du dĂŠcrĂŠment logarithmique:

Â&#x2C6; 2. ln Â&#x160; Â&#x2039; Â&#x2020; On remarquera que cos(S.t)=cos(S.(t+T)) car cos est pĂŠriodique: Â&#x2C6; ln Â&#x152;

U. !Â? . V . cos ^R3$ /

Â? ln Â? Â&#x2C6;

U. . V . cos^R3$ / ) 2/. _ . sin^R3$ / ) 2/. _Z

X X Y . ! Y . !Â? /w /w Â&#x2018;

2. Â&#x2026;

) 2/.

Â&#x2020; _ . sin R3$ )

3$ ;# . Â&#x201E; ) Â&#x2020; 2I 6<

R4. I/ ) 1

Cette dernière Êcriture se justifie par 3$

/Â&#x2019; Â?Y

/

2/ .

Â&#x2020; Z

Â&#x17D; ln U. !U. !Â?

J

et que Â&#x2020;$ Â&#x2020;. 91 ) Â&#x201C;w

DĂŠtermination de Q: Il est parfois demander de dĂŠterminer Q, car il n'est pas nĂŠcessaire de le connaĂŽtre pour trouver le rĂŠgime et donc engager une rĂŠsolution.

LĂ encore, on dispose de plusieurs mĂŠthodes. Â&#x20AC;

La plus simple (rappel: 3$ 9N ):

3$ + ;# . 4 â&#x2C6;&#x161;,. * 2Â&#x2026;. * . Â&#x201D;Ă ~ *: <

I *

+ Â&#x2020;$ . + Attention toutefois car T0 contient aussi Q si vous cherchez Ă le dĂŠterminer, donc il vaut mieux ĂŠviter de tourner en rond ^^.

22

A l'aide du dĂŠcrĂŠment logarithmique: 2. Â&#x2026; Â&#x2C6; R4. I/ ) 1 2Â&#x2026; R4. I / ) 1 Â&#x2C6; / 1 2Â&#x2026; I/ . Â&#x160;Â? Â&#x2018; 1Â&#x2039; 4 Â&#x2C6; 1 4. Â&#x2026; / I . / 1 2 Â&#x2C6;

Dans ce cas, il faut dĂŠterminer le dĂŠcrĂŠment graphiquement.