APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003
conexa y empezando desde el principio, sin basarme en ningún teorema demostrado en alguna rama de las matemáticas, resultó que el análisis que había encontrado no correspondía únicamente como me pareció al principio, al campo de la geometría, sino que había llegado a una ciencia nueva, de la que la geometría era sólo una aplicación particular". Más adelante continúa: "… debiendo existir una rama de las matemáticas que desarrolle en forma puramente abstracta leyes análogas a las que aparecen en la geometría ligadas al espacio. Mediante el nuevo análisis se hizo posible construir una tal rama puramente abstracta de las matemáticas" [9, p.12]. Ese nuevo análisis, como lo llama Grassmann, es lo que ahora llamamos álgebra lineal. El por qué esta nueva teoría matemática pasó casi desapercibida para los matemáticos de la época es algo difícil de precisar, quizá las ideas de Grassmann, al igual que las de Galois, hayan sido muy abstractas para la época en que aparecieron. Por otra parte, nociones fundamentales del álgebra lineal tales como la de espacio vectorial, subespacio, dimensión, independencia lineal, combinación lineal, proyecciones de vectores sobre subespacios, producto exterior, producto interior, transformaciones lineales, valores y vectores propios, etcétera, están presentes en esa teoría de la extensión. Algunos de esos conceptos sólo son mencionados implícitamente pero es clara la percepción que Grassmann tenía de ellos. Más aún, da la representación matricial para una transformación lineal y define su determinante; también muestra que los vectores propios que corresponden a valores propios distintos son independientes y prueba el teorema espectral para una transformación lineal simétrica real, a saber, que ésta siempre tiene valores propios que son reales. Podemos seguir citando muchos otros resultados importantes que aparecen en el libro de Grasmann pero el espacio nos impone restricciones; baste decir que con los trabajos de Hamilton y de Grassmann se inaugura una época muy fructífera de las matemáticas en la cual se comienzan a estudiar otras estructuras, diferentes a las numéricas, en las que es posible calcular con objetos que no son números y, lo más importante, estos cálculos tienen pleno significado. Debemos señalar que Grassmann no fue el primero en introducir nociones propias del álgebra lineal. De hecho, como se mencionó en la Parte I, los egipcios, en el ocaso de su civilización, ya resolvían sistemas de ecuaciones; también se mencionó en la sección 2 que Leibniz ya había introducido la idea del determinante asociado a un sistema de ecuaciones; además, en 1750 Gabriel Cramer (1704-1752) presenta una fórmula para resolver sistemas de ecuaciones lineales que se basa en el determinante del sistema, la cual ahora conocemos como fórmula de Cramer. Por otro lado, uno de los primeros usos de la matrices se da en el trabajo de Lagrange sobre formas bilineales, aunque no de manera explícita. Gauss también contribuyó al área con su método de eliminación gaussiana, mucho antes de que apareciera el libro de Grassmann. De hecho, unos diez años después de la publicación de la Teoría de la extensión ya se tenía una álgebra de matrices desarrollada por Cayley y J. J. Sylvester (1814-1897), y posteriormente B. Peirce (1809-1880) hizo también contribuciones importantes. El término "matriz" fue introducido por Sylvester en 1848 en su intento de elaborar un lenguaje algebraico más adecuado para el estudio de los determinantes. Sin embargo, el 71