APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003
presenta una tercera prueba del teorema y, en este caso, sus argumentos son de naturaleza geométrica, como en su primera demostración. En 1849, Gauss prueba el TFA en su forma general, a saber, que un polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces complejas, lo que en términos modernos equivale a decir que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado.
4. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO n Una etapa de fundamental importancia en la historia del álgebra podemos situarla hacia la segunda mitad del siglo XVIII y está conectada con la teoría de ecuaciones algebraicas. Uno de los problemas centrales en este tiempo era el de encontrar las soluciones de la ecuación general de grado n xn
a1 x n
1
a2 x n
2
an 1 x an
0
(4.1)
por medio de radicales, esto es, a través de hacer operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces) con los coeficientes de la ecuación. Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas y bicuadráticas de los algebristas italianos del siglo XVI fueron generalizados por varios matemáticos en los siglos posteriores; entre ellos podemos mencionar a Vieta, Descartes, Euler y Bézout. Debido al éxito que éstos lograron con el análisis algebraico de la ecuación (4.1) para los casos n = 3 y n = 4, muchos de los grandes matemáticos de los siglos XVII y XVIII trataron con ahínco de encontrar un método para resolver por radicales la ecuación general de quinto grado; algunos de ellos fueron Newton, Leibniz, Tschirnhausen. D’Alembert y Euler. Se tenía la idea de que dicho método debía existir y, en todo caso, si no se había encontrado era debido a que no se era lo suficientemente ingenioso y hábil. Así, el problema de la cúbico-cuadrática resultó ser bastante elusivo y no hubo avances significativos sino hasta 1770 con los trabajos de Vandermonde y Lagrange, los cuales comentaremos brevemente a continuación. En 1770, Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) presentó a la Academia de Ciencias de París un trabajo titulado Mémoire sur la Résolution des Equations en el cual enunciaba que toda ecuación de la forma xp 1 0 , (4.2) donde p es un número primo, es soluble por radicales. Notemos que basta probar el resultado para los exponentes primos pues si x m 1 0 , donde m = np con p primo, entonces se tiene que x m 1 ( x n ) p 1 0 y haciendo y x n se obtiene una ecuación de la forma (4.2) para la incógnita y, la cual se podría resolver por radicales en caso de que la afirmación de Vandermonde fuera correcta. Sin embargo, Vandermonde prueba el resultado sólo para p 11, lo cual no nos permite resolver el caso general. Por el teorema fundamental del álgebra, la ecuación zn 1 0 51
(4.3)