Dimensi Tiga (Jarak)
1
Kita akan membahas jarak antara: titik ke titik titik ke garis titik ke bidang garis ke garis garis ke bidang bidang ke bidang 2
Jarak titik ke titik B
A
Peragaan ini, menunjukan jarak titik A ke B, adalah panjang ruas garis yang menghubungkan titik A ke B 3
Contoh
E
A
Diketahui kubus ABCD.EFGH H P dengan G F panjang rusuk a cm. Tentukan jarak a cm titik A ke C, D C titik A ke G, a cm a cm B dan jarak titik A ke tengah-tengah bidang EFGH 4
Pembahasan
E
A
Perhatikan segitiga ABC yang siku-siku di B, maka H G 2 2 AB  BC AC = F 2 2 a cm a  a = 2 = 2 a D C a cm = a 2 B a cm Jadi diagonal sisi AC = a 2 cm 5
Jarak AG = ?
Perhatikan segitiga ACG yang siku-siku di C, maka H G 2 2 AC CG E AG = F 2 2 ( a 2 ) a a cm = 2 2 = 2 a a D C a cm 2 3 a A = =a 3 B a cm Jadi diagonal ruang AG = a 3 cm 6
Jarak AP = ?
Perhatikan segitiga AEP yang H P G siku-siku di E, maka E 2 2 F AE EP AP = 2 2 1 = a 2 a 2 D 2 1 2 C a a = 2 A a cm B 3 2 1 a = 2 = 2a 6 Jadi jarak A ke P = 21 a 6cm 7
Jarak titik ke Garis A
g
Peragaan ini, menunjukan jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik A dan tegak lurus garis g 8
Contoh 1 H E
F
D A
G
Diketahui kubus 5 cm ABCD.EFGH dengan panjang C 5 cm rusuk 5 cm. B Jarak titik A ke rusuk HG adalah‌.
9
Pembahasan H E
G F
Jarak titik A ke 5 cm rusuk HG adalah panjang ruas garis D C 5 cm AH, (AH ď ž HG) A B AH = a 2 (AH diagonal sisi) AH = 5 2 Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm 10
Contoh 2 H
G
E
F 6 cm
D A
C 6 cm
B
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke diagonal AG adalah‌. 11
H
G
E
F P D
A
C B
6 cm
G
P ? A
6
6√2
B
Pembahasan Jarak B ke AG = jarak B ke P (BPAG) Diagonal sisi BG = 6√2 cm Diagonal ruang AG = 6√3 cm Lihat segitiga ABG 12
G
P A
6√2
Lihat segitiga ABG BP BG Sin A = AG = AB
? 6
6 2 6 3
B
BP =
( 6 2 )(6 ) 6 3
x
= 3 3
BP 6 2
6 6 3
BP = 2√6 Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm 13
Contoh 3 T
D A
12 cm
Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang rusuk alas 12 cm, dan panjang C rusuk tegak 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah‌. B 14
Pembahasan T
D A
12 cm
Jarak A ke TC = AP AC = diagonal persegi = 12√2 AP = AC 2 PC 2 2 2 P ( 12 2 ) ( 6 2 ) = = 2( 144 36 ) 2.108 C = 2.3.36 6 6 Jadi jarak A ke TC B = 6√6 cm 15
Contoh 4 H
PG
E
F
D A
C
6 cm
B
6 cm
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan
Titik P pada pertengahan FG. Jarak titik A dan garis DP adalah‌. 16
Pembahasan H
PG
E
F
D
6√2 cm
F
A
G
3 cm P
Q
C
6 cm
6 cm
DP = = =
B DG 2 GP 2
D
6 cm R
A
( 6 2 )2 3 2 72 9 9 17
Pembahasan F
6√2 cm
3 cm P DP = 72 9 9 G Luas segitiga ADP Q ½DP.AQ = ½DA.PR 4 9.AQ = 6.6√2 D 6 cm R AQ = 4√2 Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm
A
18
Garis tegak lurus Bidang g
a b g a, g b, Jadi g V
Garis tegak lurus sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus dua buah garis berpotongan yang terdapat pada bidang 19
Jarak titik ke bidang A
ďƒ˜
Peragaan ini menunjukan jarak antara titik A ke bidang V adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus titik A ke bidang V 20
Contoh 1 H
G
E
F
D A
P 10 cm
C B
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm Jarak titik A ke bidang BDHF adalah‌. 21
Pembahasan H
G
E
F
D A
P 10 cm
C B
Jarak titik A ke bidang BDHF diwakili oleh panjang AP.(APBD) AP = ½ AC (ACBD) = ½.10√2 = 5√2
Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm 22
Contoh 2 T
D A
8 cm
Diketahui limas segi-4 beraturan T.ABCD. Panjang AB = 8 cm dan TA = 12 cm. C Jarak titik T ke bidang ABCD B adalah‌. 23
Pembahasan T
D P A
8 cm
Jarak T ke ABCD = Jarak T ke perpotongan AC dan BD = TP C AC diagonal persegi AC = 8√2 B AP = ½ AC = 4√2 24
AP = ½ AC = 4√2 2 2 AT AP TP = 2 2 12 ( 4 2 ) = = 144 32 112 = C = 4√7
T
D P A
8 cm
B
Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm 25
Contoh 3 H
G
E
F
D A
C 9 cm
B
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah‌. 26
Pembahasan Jarak titik C ke E bidang BDG = CP F yaitu ruas garis P yang dibuat melalui D C titik C dan tegak T A B 9 cm lurus GT CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3 Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm H
G
27
Jarak garis ke garis g P
Q
h
Peragaan menunjukan jarak antara garis g ke garis h adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus kedua garis tersebut 28
Contoh H E
D A
Diketahui kubus ABCD.EFGH F dengan panjang rusuk 4 cm. C Tentukan jarak: B a.Garis AB ke garis HG b.Garis AD ke garis HF c.Garis BD ke garis EG G
4 cm
29
Penyelesaian H E
F
D A
Jarak garis: G a. AB ke garis HG = AH (AH AB, C
4 cm
B
AH HG) = 4√2 (diagonal sisi)
b.AD ke garis HF = DH (DH AD, DH
HF
= 4 cm 30
E
H Q F
D A
G
P
4 cm
B
Penyelesaian
Jarak garis: b.BD ke garis EG C = PQ (PQ BD, PQ
EG
= AE = 4 cm
31
Jarak garis ke bidang g
Peragaan menunjukan Jarak antara garis g ke bidang V adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus garis dan bidang 32
Contoh 1 H
G
E
F
P
D A
8 cm
C B
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm Jarak garis AE ke bidang BDHF adalah‌. 33
Pembahasan G Jarak
H E
F
P
D A
8 cm
B
garis AE ke bidang BDHF diwakili oleh panjang AP.(AP AE
CAP BDHF)
AP = ½ AC(ACBDHF) = ½.8√2 = 4√2 Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm 34
Jarak Bidang dan Bidang peragaan, menunjukan jarak antara bidang W dengan bidang V adalah panjang ruas garis yang tegak lurus bidang W dan tegak lurus bidang V
W
V
35
Contoh 1 H
G
E
F
D A
6 cm
B
Diketahui kubus 6 cm ABCD.EFGH dengan panjang C rusuk 6 cm. Jarak bidang AFH ke bidang BDG adalah‌. 36
Pembahasan H E
F Q P
D A
Jarak bidang AFH ke bidang BDG 6 cm diwakili oleh PQ PQ = ⅓ CE C (CE diagonal ruang) PQ = ⅓. 9√3 = 3√3
G
6 cm
B
Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm 37
H
G
E
F M D
A
L 12 cm
BK
C
Contoh 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm.
Titik K, L dan M berturut-turut merupakan titik tengah BC, CD dan CG. Jarak antara bidang AFH dan KLM adalah‌. 38
H
G
E
F
D A
L 12 cm
Pembahasan
•Diagonal EC = 12√3 •Jarak E ke AFH =jarak AFH ke BDG C =jarak BDG ke C
B
Sehingga jarak E ke AFH = ⅓EC =⅓.12√3 = 4√3 Berarti jarak BDG ke C juga 4√3 39
H
G
E
D A
BDG ke C juga 4√3 M Jarak BDG ke KLM = jarak KLM ke C C = ½.4√3 BK = 2√3
F L 12 cm
Jadi jarak AFH ke KLM = jarak AFH ke BDG + jarak BDG ke KLM = 4√3 + 2√3 = 6√3 cm 40
SELAMAT BELAJAR
41