Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου
Γεωμετρικοί Τόποι
3 4 25 άρα ο x12 y12 25 (η τρίτη σχέση) άρα (2x 0 3)2 (2y0 4)2 25 ή (x 0 )2 (y0 )2 2 2 4 γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος……… γ) Αν x 0 και y 0 έχουν εκφραστεί συναρτήσει τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας φ τότε συνδέω τα x 0 , y 0 ξεκινώντας από μια τριγωνομετρική σχέση π.χ. 2 2 1 . π.χ. Έστω (2, 2) ,οπότε x 0 2 και y0 2 άρα
x0 y και 0 2 2
x 02 y02 1 επομένως είναι έλλειψη με 2 , 2 και 2 . 4 2 δ) Αν x 0 και y 0 έχουν εκφραστεί συναρτήσει μιας παραμέτρου της οποίας δεν μπορώ να κάνω
και 2 2 1 άρα
απαλοιφή τότε βρίσκω τα x 02 και y 02 και ψάχνω τη σχέση μεταξύ τους. π.χ. M(
2t 4t 2 1 2t 2 t 4 2t 1 t 2 1 t2 2 2 x , . Έστω και , τότε και . x y , ) y t R 0 0 0 0 (t 2 1) 2 (t 2 1) 2 t2 1 t2 1 t2 1 t2 1
Επομένως x 20 y20
4t 2 1 2t 2 t 4 t 4 2t 2 1 (t 2 1)2 2 1 , άρα κύκλος………… (t 2 1)2 (t 2 1)2 (t 2 1)2 (t 1)2
Αν το x 0 ή y 0 του σημείου Μ βρεθεί σταθερό τότε το Μ ανήκει σε ευθεία. Π.χ. Να βρείτε το γ.τ. των μέσων των χορδών παραβολής που έχουν σταθερή διεύθυνση 3 . ΛΥΣΗ: Έστω y2 2px . Αν A(x1 , y1 ) και B(x 2 , y2 ) τα άκρα της χορδής ΑΒ με διεύθυνση 3 , τότε
y12 2px1 , y22 2px 2 , x M
x1 x 2 y y2 y y2 , yM 1 και 1 3 τότε y12 y22 2p(x1 x 2 ) (*) 2 2 x1 x 2
ή (y1 y2 )(y1 y2 ) 2p(x1 x 2 ) ή
p p (y1 y 2 ) 2p p ή 3 δηλαδή y M άρα M(x M , ) 3 3 (x1 x 2 ) (y1 y 2 ) yM
p . Παρατηρούμε ότι εδώ που έχω συντελεστή διεύθυνσης τον 3 δημιούργησα φτιάχνοντας τη διαφορά (*). Να προσέχετε πάντοτε αν για τα x 0 , y 0 υπάρχουν περιορισμοί που εξαιρούν κάποια σημεία της γραμμής άρα Μ ανήκει στην ευθεία y
από τον γ. τ. π.χ. Η θέση ενός κινητού Α οποιαδήποτε χρονική στιγμή δίνεται με τις συντεταγμένες του A(t 1,2t 3) , όπου t χρόνος. Να βρεθεί ο γ.τ. του Α. ΛΥΣΗ: Έστω x 0 t 1 τότε t x 0 1 , y0 2t 3 άρα y0 2x 0 2 3 ή y0 2x 0 1 . Όμως t x 0 1 0 δηλαδή x 0 1 , τότε 2x 0 1 3 , άρα y0 3 και επομένως ο γ.τ. είναι η ημιευθεία
y 2x 3 με αρχή το σημείο (1,3) .
52