ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Κωνικές Τομές

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 1. α) Όταν η άσκηση έχει κύκλο τελειώνει με προσδιορισμό του κέντρου και της ακτίνας.

β) Όταν η άσκηση έχει παραβολή τελειώνει με προσδιορισμό της εστίας και της διευθετούσας. γ) Όταν η άσκηση έχει έλλειψη ή υπερβολή τελειώνει με προσδιορισμό των εστιών και

2.

του μεγάλου άξονα 2α. Για να προσδιορίσω ένα κύκλο δηλ. να βρώ ακτίνα και κέντρο προσέχω: α) Δύο σημεία του κύκλου δίνουν χορδή που στην μεσοκάθετη της ανήκει το κέντρο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία A(0,1) και B(2,1) και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία y  x  1 .

11  0 τότε η μεσοκάθετη ε ΛΥΣΗ ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ (χορδή) είναι    20 0  2 11 , )  (1,1) άρα η ΔΕΝ έχει συντελεστή (κατακόρυφη) και διέρχεται από το σημείο ( 2 2 εξίσωση της είναι  : x  1 . Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται από την λύση του συστήματος της ε και της y  x  1 . Άρα x   1 , y  2 και η ακτίνα ρ θα βρεθεί από την απόσταση του κέντρου από το Α ή το Β, δηλ   (1  0)2  (2  1)2  2 . Τελικά ο κύκλος έχει εξίσωση C : (x  1)2  (y  2)2  2. β) Αν διέρχεται από 3 σημεία (περιγεγραμμένος κύκλος σε τρίγωνο) αντικαθιστώ στην γενική εξίσωση x 2  y2  Ax  By    0 και λύνω σύστημα με αγνώστους Α,Β,Γ ή βρίσκω το κέντρο από το σημείο τομής δύο μεσοκαθέτων που ορίζονται από δύο πλευρές του τριγώνου και την ακτίνα από την απόσταση του από ένα σημείο . πχ Να βρεθεί ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία A(0,1) , B(2,3) και (0,3) . Αντικαθιστώντας στην γενική εξίσωση έχω το σύστημα 1     0 Σ: 4  9  2  3    0 που έχει λύση 9  3    0   2,   4,   3 και ό κύκλος εξίσωση την x 2  y2  2x  4y  3  0

με κέντρο το

A B 2  2  4 ,  )  (1,2) ακτίνα    2.

2 2 2 γ) Αν δίνεται μία εφαπτόμενη του κύκλου τότε η κάθετη στο σημείο επαφής διέρχεται από το κέντρο του κύκλου . ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ :Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου πού η χορδή του ΑΒ κόβει το κύκλο στα σημεία A(1,0) και B(3,4) και η εφαπτόμενη του στο Α έχει εξίσωση  : x  3y  1.

K(

ΛΥΣΗ

Η χορδή ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης   1 και το μέσο Μ έχει συντεταγμένες  (1, 2) τότε η εξίσωση της μεσοκάθετης ΚΜ έχει   1 και είναι η ΚΜ: y  2  1( x  1)  y  x  3 . Η κάθετη στο Α είναι η ΑΚ:

1 1 1 y  0   ( x  1)  y   x  . Το κέντρο Κ θα βρεθεί από τη λύση του συστήματος 3 3 3

31 Επιμέλεια :

Βρύσαλης Δημήτρης.