Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes

Het practicum wiskunde: co¨operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel

Het practicum wiskunde: co¨operatief aanleren van vaardigheden en attitudes Koen De Naeghel

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpagina . http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com Omslagfoto: 123RF Stockfoto http://nl.123rf.com Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c 2011 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 ISBN 978-1-326-04916-4 Vierde druk, oktober 2014

VOORWOORD De kwaliteit van het onderwijs is sterk afhankelijk van de visie op de leerstof. Van een leerkracht wiskunde wordt in de eerste plaats verwacht dat hij voldoende wiskundige achtergrondkennis heeft. Op die manier wordt duidelijk wat de essentie van zijn leerstof is en waarom bepaalde technieken worden toegepast. Vergelijk het met een bergbeklimmer: hoe hoger hij klimt, des te meer overzicht hij over het dal heeft en hoe groter de kans is dat hij die structuur helder kan overbrengen.

Naast een degelijke kennis van de leerinhouden is het van fundamenteel belang dat een leerkracht ook een visie heeft over hoe de leerstof wordt aangebracht. Uiteraard is zo’n visie subjectief en kunnen tegengestelde meningen best verdedigbaar zijn. Maar net door ervaringen te delen met collega’s kan een leerkracht die visie toetsen, bevestigen en bijstellen. De auteur wil zijn visie dan ook niet opdringen of een andere moraliserende vorm handhaven. De boodschap van dit boek is dus niet: zo moet het, maar wel: zo kan het (misschien) ook.

Dit werk is niet gebaseerd op een of meerdere commerci¨ele handboeken, maar is een onderdeel van een cursus [8] wiskunde voor de derde graad dat werd geschreven vanuit de filosofie: leer wiskundige begrippen, eigenschappen en werkwijzen aan zoals die zich binnen de wiskunde op een natuurlijke en onoverkomelijke manier opdringen.

Praktische richtlijnen Om deze practica optimaal te benutten volgen nu enkele praktische richtlijnen.

3 Dit boek bestaat uit drie delen. . Inleiding We lichten de noodzaak van het bewust en expliciet stimuleren van vaardigheden, attitudes en opvattingen toe. Uit een poging van de auteur om dit te verwezenlijken is het practicum wiskunde ontstaan. . Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen (pagina’s Pr-1 tot en met Pr-60) bevat de bindteksten zoals de leerlingen die krijgen. Ze worden het best afgedrukt op A3-formaat (recto-verso met C-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzien van een inleiding die de doelstellingen voor dat practicum verduidelijkt. . Appendix Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht (pagina’s A-61 tot en met A-146) biedt informatie voor de leerkracht aan, zoals opgaven en toepassingen waar in de reguliere practica naar verwezen wordt en oplossingen waarbij de ingevulde tekst blauw gekleurd is.

3 In sommige practica maken we gebruik van de grafische rekenmachine TI-83 of TI-84 Plus. Alle noodzakelijke schermafdrukken werden in de tekst opgenomen zodat de leerling ook buiten de les aan de slag kan.

3 Oefeningen voorzien van het symbool ? zijn doorgaans wat moeilijker dan de reguliere oefeningen.

3 Enkele voorbeelden en oefeningen werden ontleend aan handboeken. In dat geval werd een verwijzing [·] voorzien naar de referentielijst achteraan dit boek of werd de bron vermeld in een voetnoot.

3 Het symbool

geeft aan dat de digitale versie van deze tekst een link voorziet naar een relevante webpagina.

3 Dit boek staat digitaal ter beschikking op http://www.koendenaeghel.be . Via deze link wordt ook extra digitale ondersteuning aangeboden (doorklikken naar Practicum wiskunde).

Woord van dank Mijn dank gaat uit naar iedereen die mij op een of andere manier feedback gaf op deze practica, zoals mijn oudleerlingen van de voorbije schooljaren. Vragen en bedenkingen zijn nog steeds welkom, bijvoorbeeld via e-mail koendenaeghel@hotmail.com .

Brugge, oktober 2014

— KDN iii

INHOUDSOPGAVE Voorwoord

iii

Inleiding

Pr

1

Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen

Pr

Woord vooraf

Pr-i

1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken

Pr-1

2 Probleemoplossend denken (1)

Pr-5

3 Probleemoplossend denken (2)

Pr-9

4 Toepassingen in groep verwerken

Pr-13

5 Hoe studeer je een bewijs?

Pr-17

6 Samenwerken

Pr-21

7 Een wetenschappelijk verslag schrijven

Pr-25

8 Onderzoeksopdracht (1)

Pr-31

9 Onderzoeksopdracht (2)

Pr-35

10 Onderzoeksopdracht (3)

Pr-39

11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels

Pr-43

12 Werken met een wiskundig model

Pr-47

13 Leren uit opgeloste problemen

Pr-51

14 Een wetenschappelijke presentatie geven

Pr-55

A

Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht

A

1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken

A-61

2 Probleemoplossend denken (1)

A-63

3 Probleemoplossend denken (2)

A-79

4 Toepassingen in groep verwerken

A-89

5 Hoe studeer je een bewijs?

A-111

6 Samenwerken

A-115

7 Een wetenschappelijk verslag schrijven

A-123

8 Onderzoeksopdracht (1)

A-131 v

9 Onderzoeksopdracht (2)

A-133

10 Onderzoeksopdracht (3)

A-141

11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels

A-147

12 Werken met een wiskundig model

A-151

13 Leren uit opgeloste problemen

A-159

14 Een wetenschappelijke presentatie geven

A-161

Referentielijst

164

Bronnenlijst voor afbeeldingen

166

vi

INLEIDING Visie op het realiseren van vaardigheden en attitudes Wanneer een leerkracht wiskunde er een leerplan bij neemt, dan is de kans groot dat hij of zij meteen naar de inhoudelijke doelstellingen grijpt en de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen links laat liggen. Nochtans valt ook die laatste categorie onder de leerplandoelstellingen, met onder meer: rekenvaardigheid onderzoeksvaardigheden kritische zin

wiskundige taalvaardigheid leervaardigheden zin voor samenwerking en overleg

probleemoplossende vaardigheid zin voor nauwkeurigheid waardering voor wiskunde

Hoewel een leerplan wel beschrijft wat deze vaardigheden en attitudes zijn en men er een gedetailleerde beschrijving op na houdt, vermeldt een leerplan niet hoe deze competenties concreet bereikt kunnen worden. Uiteraard kan het leerplan nooit de enige motivatie zijn om doelstellingen bewust te realiseren. En het feit dat competenties binnen het onderwijs een trend zijn, kan niet de drijfveer zijn om er aandacht aan te besteden. Maar het zou er de leerkracht wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dat hij/zij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele van die bedenkingen en geven duiding binnen een maatschappelijke context.

1. Vakgebonden vaardigheden en attitudes worden toch automatisch gerealiseerd bij de verwerking van de inhoudelijke doelstellingen?

Dat hangt af van de soort werkvormen die de leerkracht hanteert. Zo heeft frontaal lesgeven zeker waarde, maar dat zal de zin voor samenwerking en overleg niet bevorderen. En lost men alle oefeningen klassikaal op, dan kan men een brede waaier van modelvoorbeelden aanbieden maar dan bekwamen leerlingen zich niet in onderzoeksvaardigheden. Daardoor wordt in voorgaande argumentatie de term automatisch niet evident. Een passage uit de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen in het leerplan geeft diezelfde toon aan, bijvoorbeeld [35, p.22]: Vaardigheden worden niet automatisch gegenereerd door de studie van ermee verwante inhouden. Ze moeten precies meermaals bij spontaan gebruik ge¨expliciteerd worden.

2. Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? (uit [36]) Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennis enorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerd elektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd de helft van diens kennis was verouderd. In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar [12]. De consequenties van die ontdekking zijn enorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weer verouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht. Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom is het onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.

3. Wat met de verhouding tussen kennis en competenties?

Tegenwoordig hebben we te maken met een generatie die een overgang gemaakt heeft van te veel kennis naar vaardigheden en attitudes. Men denkt dat de slinger wat teveel doorgeslagen is en we nu naar een evenwicht moeten streven [26]. Het is dan ook onze mening dat een gezond evenwicht tussen kennis en competenties pas bereikt kan worden als de leerkracht streeft naar een doordachte visie op didactiek en in dialoog treedt met andere collega’s om die visie bevestigd te zien en elkaar te verrijken met nieuwe inzichten. Het bewaken van de kwaliteit van het onderwijs is hier een logisch gevolg van. Het streven naar competenties hoeft daarom niet te betekenen dat het niveau wiskunde van de leerlingen daalt.

4. Wat is het belang van probleemoplossend denken?

Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleem kan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net de vaardigheid om problemen op te lossen zijn die binnen de maatschappij erg 1

gegeerd is. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen en numeriek, verbaal en technisch inzicht. Alleen al het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden.

5. Wat is het belang van samenwerken?

Ondertussen is de hoeveelheid tot op vandaag bekende wiskunde en wetenschappen gigantisch groot geworden.

Naar schatting komen er elk jaar ongeveer 300 000 nieuwe wiskundige ontdekkingen bij. De volledige kennis hiervan is voor ´e´en enkel individu een utopie. Daardoor alleen al is samenwerking tussen wiskundigen en wetenschappers een noodzaak.

Ook in een breed maatschappelijke context is samenwerking onmisbaar. Het al of niet maken van carri`ere hangt in sterke mate vaak af van het succesvol omgaan met anderen: voor veel hogere functies geldt dat niet alleen vakinhoudelijke kwaliteiten nodig zijn, maar ook het vermogen om effectief samen te werken.

Sociale eigenschappen zoals tact, empathie en gedrag als teamspeler worden dan ook best aangeleerd en onderhouden over de vakken heen. Ook op dat vlak dient het wiskunde onderwijs zijn verantwoordelijkheid te nemen. Dat kan bijvoorbeeld met co¨ operatief leren, dat niet geheel gericht is op de ontwikkeling van de eigen persoonlijkheid en kennis, maar juist ook om de ander verder te helpen met de kwaliteiten die het zelf al bezit. Binnen co¨operatief leren worden de leerlingen uitgedaagd om zelf initiatief te nemen, om elkaar te helpen en om problemen samen op te lossen. Typisch hierbij is de mate waarin zij van elkaar afhankelijk zijn om hun doel te bereiken.

empathie in de wiskunde

6. Wat betekenen op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven? (uit [36]) Per beroep kun je ongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een standaard. In een sollicitatie zal men vooral op die competenties letten. Zo is een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren ook in staat om te notuleren. Maar als zij een andere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas prima functioneerde met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzaken van bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leveren product, was ze beter af geweest.

7. Waarom volstaat een klassieke toets niet?

Eens een leerkracht kiest voor het bewust ontwikkelen van competenties dan is het wenselijk om het effect ervan te meten en verder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets.

Typisch daarbij zijn opmerkingen in het genre: 3 let op je notatie; 3 na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?; 3 maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafische) rekenmachine, indien mogelijk; 3 bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen; 3 maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde.

Doorgaans zal een leerling die een toets afneemt zich eerder focussen op het reproduceren van de kennis en demonstreren van basistechnieken. Het bewust tonen van competenties hoort daar niet meteen bij. Ook bij het krijgen van de gecorrigeerde toets achteraf zal een leerling eerder interesse hebben in de punten dan in de opmerkingen in verband met competenties. Hoewel kwaliteit in competenties op termijn zal leiden tot hogere punten zal de leerling die link niet onmiddellijk aannemen.

8. Moet de beoordeling van vaardigheden en attitudes meetellen voor het cijfer dagelijks werk?

Het evalueren van attitudes moet gebeuren, maar het moet niet op punten. Recent overleg tussen de inspectie en pedagogische begeleiding wiskunde klaarde uit dat er maximum 10% op jaarbasis mag gequoteerd worden op attitudes. Daarnaast moet het al of niet op punten zetten van vaardigheden en attitudes stroken met de afspraken binnen de school. Het is zelfs zo dat in sommige scholen de leerkrachten enkel punten mogen geven op inhoudelijk werk, naar onze mening een gevolg van de kwalijke trend dat ouders bij het falen van hun zoon of dochter meteen naar de beroepscommissie stappen. Een nul geven voor het te laat indienen of punten zetten op nauwkeurigheid, orde en samenwerking zijn er uit den boze. Binnen het kader van rationeel-legaal gezag is deze visie inderdaad verdedigbaar. Maar het brengt een complicatie met zich mee: de leerkracht kan de daarmee gekoppelde vaardigheden en leerattitudes niet op punten zetten. Voor de leerling een reden te meer om de interesse in die competenties te laten varen. Daarmee schiet de nobele theorie van competentieontwikkeling bij jongeren in de praktijk zijn doel compleet voorbij.

2

9. Moeten vaardigheden en attitudes los van de inhoud worden ge¨ evalueerd?

Het is de mening van de auteur dat zoiets niet zinvol is. Sterker nog: het is een illusie om competenties te scheiden van de inhoud. Het een is onlosmakelijk verbonden met het ander. We vinden het dan ook geen goed idee om de evaluatie van een taak op te splitsen in een veelheid van deelcategorie¨en, om daarna het eindcijfer vast te leggen als de som van die afzonderlijke punten. Leerkrachten horen competent genoeg te worden geacht om aan een taak ´e´en cijfer vast te hechten dat de waarde van die taak weerspiegelt. Zeggen dat leerkrachten zoiets niet kunnen, getuigt van een fundamenteel wantrouwen. Wel kunnen leerkrachten dat eindcijfer best motiveren met enkele afzonderlijke beoordelingen: een paar competenties die in het oog springen, zowel in positieve als in negatieve zin.

Werkvorm practicum wiskunde Uit een poging van de auteur om vaardigheden en attitudes en in het bijzonder de onderzoekscompetenties op een uitgesproken en zinvolle manier te realiseren is het practicum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica genaamd, die in digitale vorm vrij beschikbaar zijn op http://www.koendenaeghel.be/practicumwiskunde.htm.

Het doel van deze practica is dat de leerkracht kan beoordelen of de leerling beoogde vaardigheden goed ontwikkelt.

Dat kan hij zien aan de verslagen die de leerling zelf of in groep geschreven heeft en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleert het leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het managen van zijn eigen leerproces: 3 Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?

3 Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?

3 Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?

3 Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?

Inhoud Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot klassieke didactiek - een aantal onderwerpen aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Sommige zijn zelfs essentieel in de uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. Zo kan het rapporteren van een wiskundig onderwerp of onderzoeksresultaat pas zinvol gebeuren als er aan leerlingen ook verteld wordt wat een wetenschappelijk verslag of presentatie inhoudt: structuur, schrijfstijl, tips en valkuilen.

De hier aangeboden practica zijn geordend volgens de volgorde waarin leerstofonderdelen wiskunde in de derde graad (meestal) gegeven worden. Andere practica zijn dan weer niet meteen verbonden met een bepaald leerstofonderdeel.

In onderstaand overzicht is de vermelding van het aantal lessen slechts richtinggevend.

De meeste practica zijn ge¨ıntegreerd in de reguliere lessen van leerstofonderdelen. Men hoeft dus niet noodzakelijk uitbreidings- en verdiepingsleerstof te schrappen om deze practica te kunnen inrichten. Bovendien kan men de onderzoekscompetenties realiseren aan de hand van practica 1, 7, 8, 9, 10 en 14. Desgewenst kan men uit deze practica wiskunde ook een selectie maken. nr.

practicum

ge¨ıntegreerd in

1

Informatie verzamelen, ordenen en bewerken

2

Probleemoplossend denken (1)

3

Probleemoplossend denken (2)

precalculus

4

Toepassingen in groep verwerken

matrices

per vier

2

5

Hoe studeer je een bewijs

lineaire stelsels en matrices bepaalde integralen

individueel individueel

1/2 1/2

6

Samenwerken

lineaire stelsels en matrices

per twee

2

7

Een wetenschappelijk verslag schrijven

vectoren, parametervergelijkingen

per drie

2

8

Onderzoeksopdracht (1)

logica

individueel

1

9

Onderzoeksopdracht (2)

precalculus, rijen

per twee

2

10

Onderzoeksopdracht (3)

per vier

4

11

Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels

bepaalde integralen

individueel

1

12

Werken met een wiskundig model

integralen

per vier

2

13

Leren uit opgeloste problemen

onbepaalde integralen

per vier

2-3

14

Een wetenschappelijke presentatie geven

per drie (PC)

2

3

uitvoering

lessen

per twee (PC)

2-3

per twee

1-2

per drie

2

Structuur Werkbundels voor de leerlingen worden best afgedrukt op A3-formaat (recto-verso met C-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzien van een inleiding waarin de doelstellingen voor dat practicum verduidelijkt worden. We kiezen er bewust voor om de doelstellingen ook naar toe leerlingen te expliciteren. De laaste pagina van elk practicum dient als evaluatieformulier, waarin de competenties zijn opgenomen die voor dat practicum relevant zijn. Onderstaande afbeelding is een verkleinde versie van zo’n practicumbundel in A3-formaat (recto-verso met C-vouw).

A3-voorkant A4-pagina Pr-4 A4-pagina Pr-1

A3-achterkant A4-pagina Pr-2 A4-pagina Pr-3

Evaluatie Het verschil met een klassieke taak of toets is dat practica wiskunde ook ge¨evalueerd worden op vaardigheden en attitudes, al dan niet op punten. Bovendien weten de leerlingen aan de hand van hun gekregen bundel op welke competenties zij oefenen en beoordeeld worden. Typisch is dat de leerkracht bij het quoteren enkele in het oog springende competenties aanduidt. Dat kan op een effici¨ente manier door deze met een groene (positief) of rode (negatief) fluorescerende stift aan te duiden.

De meeste practica kunnen probleemloos worden ge¨evalueerd op inhoud, wat verwerkt kan worden in de punten voor tussentijdse evaluatie. Sommige scholen voorzien naast een klassiek puntenrapport ook een attituderapport. Hierin kan de leerkracht wiskunde dan de vakgebonden (leer)attitudes op aanbrengen die beoordeeld werden in de practica.

4

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

Practicum wiskunde Werkbundels voor de leerlingen

Pr

WOORD VOORAF Visie op het realiseren van vaardigheden en attitudes Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige kennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt de wiskundige en didacticus George P´ olya (1945) dat kennisoverdracht door middel van het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs en dit op elk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken en nadien een redenering op een haalbaar niveau kunnen leveren.

Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denken genoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs is geworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie het vermogen om naargelang de situatie correct en passend te handelen. De nadruk ligt bij het begrip competentie niet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuur onderscheidt men zo’n dertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren, mondeling presenteren, overtuigen, leidinggeven en samenwerken.

George P´ olya (1887 - 1985)

Het feit dat competenties een trend binnen het onderwijs zijn, kan niet de enige drijfveer zijn om er aandacht aan te besteden. Maar het zou er de leerkracht en de leerling wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dat hij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele van die bedenkingen en geven duiding binnen een maatschappelijke context. 1 1. Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? Men2 heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennis enorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerd elektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd, de helft van diens kennis was verouderd.

In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar. De consequenties van die ontdekking zijn enorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weer verouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht.

Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom is het onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.

2. Wat is het belang van probleemoplossend denken? Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleem kan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net de vaardigheid om problemen op te lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzicht en technisch inzicht. Alleen al het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden.

3. Wat kan de meerwaarde van op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven zijn?

Per beroep kun je ongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een standaard. In een sollicitatie zal men vooral op die competenties letten.

Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij een andere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas prima functioneerde, met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzaken van bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leveren product, was ze beter af geweest.

1 Inspiratie 2 F.

werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren en studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html . den Hertog en E. Huizenga, De kennisfactor: concurreren als kennisonderneming, Deventer : Kluwer BedrijfsInformatie, 1997.

Pr-i

Omdat we bewust kiezen voor het ontwikkelen van competenties, is het wenselijk om het effect ervan te meten en verder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets. Typisch daarbij zijn opmerkingen in de trend van: 3 let op je notatie, 3 na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?, 3 maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk, 3 bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen, 3 maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde, etc.

Doorgaans zal een leerling die een toets afneemt zich eerder focussen op het reproduceren van de kennis en demonstreren van basistechnieken. Het bewust tonen van competenties hoort daar niet meteen bij. Ook bij het krijgen van de gecorrigeerde toets achteraf zal een leerling eerder interesse hebben in de punten dan in de opmerkingen in verband met competenties. Voor een aantal leerlingen is dit te wijten aan het feit dat attitudes niet worden gequoteerd op punten: zin voor nauwkeurigheid en orde, zelfvertrouwen en zelfstandigheid, reflectievaardigheden, etc.

Hoewel het een onlosmakelijk met het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tot hogere punten) nemen sommige leerlingen die link niet onmiddellijk aan. Anderzijds hoort een leerkracht wel te beoordelen of de leerling de vaardigheden goed ontwikkelt. Een klassieke toets volstaat dus niet langer.

Werkvorm practicum wiskunde Uit een poging om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is het practicum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica3 genaamd. Het doel van deze practica is dat de leerkracht kan beoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen die de leerling zelf of in groep geschreven heeft en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleert het leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het ‘managen’ van zijn eigen leerproces: 3 Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?

3 Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?

3 Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?

3 Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?

Inhoud Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot een klassieke didactiek - een aantal methodes aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Enkele daarvan zijn zelfs essentieel in de uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. We sommen enkele onderwerpen op, voor de concrete inhoud verwijzen we naar de practica zelf: 3 zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels, 3 werken met een wiskundig model, 3 leren uit opgeloste problemen, 3 geven van een wetenschappelijke presentatie, 3 samenwerken, 3 onderzoeksopdrachten, 3 inzicht in het studie- en beroepskeuzeproces.

Evaluatie Bijna elk practicum wordt ge¨evalueerd op inhoud, maar ook op vaardigheden en attitudes. Hierna volgt een opsomming van die vaardigheden en attitudes.

3 practicum

(-s, -tica mv) een les waarin niet alleen wordt geluisterd, maar waarin leerlingen praktisch oefenen.

Pr-ii

Pr-iii

. de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht;

3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren:

3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken.

3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen.

6. Onderzoeksvaardigheden.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.

3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid.

3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategie¨en en je plan.

3 Je kan zoekstrategie¨en toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen.

3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.).

3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen.

5. Probleemoplossende vaardigheden.

. je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken.

3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen:

3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken.

3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen.

3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen.

4. Denk- en redeneervaardigheden.

3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken.

3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram).

3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren).

3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra¨ısch/grafisch, teken, contrueer).

. je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.).

3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde:

3. Wiskundige taalvaardigheid.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen. Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt.

3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen.

3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig.

2. Meet-en tekenvaardigheid.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt.

3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten.

3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit.

1. Rekenvaardigheid.

Vaardigheden

Je Je Je Je Je

kan kan kan kan kan

losse gegevens verwerken. samenhangende informatie verwerken. informatiebronnen raadplegen. studietijd plannen. je eigen leerproces bijsturen.

Pr-iv

16. Inzicht in het studie- en beroepskeuzeproces. Je kan informatie inwinnen over het aandeel van wiskunde in een vervolgopleiding en die vergelijken met je voorbereiding.

15. Waardering voor de wiskunde. Je toont inzicht in de bijdrage van de wiskunde in culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkelingen.

3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

14. Zin voor samenwerking en overleg.

3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen.

3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te ori¨enteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

13. Zelfregulatie.

3 Je toont zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten.

3 Je ziet in dat fouten maken inherent deel uitmaken van het leerproces.

12. Zelfvertrouwen en zelfstandigheid.

11. Kritische zin. Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie. Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen.

3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen).

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde.

Attitudes

Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies.

Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?).

Je kan reflecteren over de effici¨entie van je werken en je leren.

Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht.

Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?).

3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

3 3 3 3 3

8. Reflectievaardigheden.

3 3 3 3 3

7. Leervaardigheden.

. de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren.

3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren.

3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren.

3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren.

3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze.

3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1 INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN

1. Inleiding De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd: OC1 Zich ori¨enteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.

OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.

OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

De tweede en derde eindterm zullen worden gerealiseerd bij de uitvoering van latere practica, onder meer door onderzoeksopdrachten, het schrijven van een wetenschappelijk verslag en het geven van een wetenschappelijke presentatie.

| {z }

rapporteren confronteren

| {z }

competentie 1

verzamelen ordenen bewerken

competentie 3 onderzoekscompetenties

| {z }

competentie 2

voorbereiden uitvoeren evalueren

Het verzamelen, ordenen en bewerken van informatie wordt hier afzonderlijk behandeld, want ze komt niet expliciet aan bod bij latere practica in verband met onderzoeksopdrachten. Dat is een bewuste keuze en berust op wat wij bedoelen met de term onderzoeksopdracht wiskunde. Het is de mening van de auteur dat onderstaande invulling van deze term strookt met de visie van een ruime meerderheid binnen de wiskundige gemeenschap. Hoe we tegen de fasen van een onderzoeksopdracht wiskunde aankijken wordt verhaald in de inleiding van Practicum 9.

De competenties informatie verzamelen, ordenen en bewerken sluiten eerder aan bij onderzoek waarvoor de leerling informatie opzoekt in de literatuur of op het internet en deze informatie synthetiseert of toepast op een concrete onderzoeksvraag. Bij wiskunde bevindt dergelijk onderzoek zich toch eerder in de marge1 van het gebeuren. Denk bijvoorbeeld aan het maken van een werkstuk over het leven van een wiskundige. Een onderzoeksopdracht wiskunde waarbij gevraagd wordt om informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken, noemen we een beschrijvende opdracht wiskunde. Pas als de onderzoeker een voor hem of haar relatief onbekend wiskundig terrein betreedt, spreken we over een onderzoekende opdracht wiskunde.

We zijn dan ook van mening2 dat bij wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boeken haalt, maar genereert door zelf te redeneren. Probleemoplossende vaardigheden komen hierbij goed van pas, dat komt dan ook aan bod in latere practica. Maar informatie opzoeken helpt je - althans op het niveau van de wiskunde in het middelbaar onderwijs - geen stap vooruit.

1 Binnen de context van het wiskundeonderwijs is de eerste eindterm wel relevant bij onderzoek dat steunt op statistische informatie (zesde jaar).

2 Deze verwoording werd ontleend aan de voordracht J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge. De visie van de auteur sluit hier naadloos bij aan.

Pr-1

Informatie verzamelen met behulp van het internet Informatie opzoeken is wellicht de belangrijkste functie van het internet. Als je niet beschikt over een lijst met relevante adressen, dan valt het tegen om iets rechtstreeks te vinden in deze enorme informatieberg. Het losweg intypen van url’s die eventueel met het gezochte onderwerp iets te maken hebben is uit den boze. Los van het feit dat zo’n pagina waarschijnlijk geen interessante informatie voor je bevat, is kans dat het ingetypte adres bestaat heel klein.

Daarom moet je opzoeken op het internet wat meer gestructureerd aanpakken.

Een zoekmachine is een webdienst waarmee met behulp van trefwoorden een volledige tekst kan worden gezocht. De volgende tabel geeft enkele zoekmachines weer, alsook enkele populaire sites voor (wiskundige) informatie. zoekmachine

beschrijving en tips

voor- en nadelen

google www.google.be/

In veel landen is Google de populairste zoekmachine.

Gebruik:

Omdat Google een grote zoekmachine is, wordt het steeds moeilijker om gericht te kunnen zoeken op een bepaald gebied of in een andere taal dan het Engels.

Vaak geeft Google gewoon te veel resultaten weer, waardoor een gebruiker door het bos de bomen niet meer ziet.

3 aanhalingstekens bij het zoeken van een zin, vb. “vectoren in het vlak” 3 sterretje als joker, op die plaats kan alles staan, vb. “een dodeca¨eder heeft ∗ vlakken” 3 site bij het zoeken binnen een site, vb. “wiskunde site:deredactie.be” 3 define bij het zoeken naar een definitie, vb. “define:googol” 3 afbeeldingen: tik je zoekterm, klik afbeeldingen. wikipedia www.wikipedia.org/

Wikipedia is een gratis encyclopedie.

3 Engelse trefwoorden genieten voorkeur boven Nederlandse. In vergelijking met het Nederlands worden artikels in het Engels door een grotere groep mensen opgesteld, gecontroleerd en aangepast. Net daarom zijn pagina’s in het Engels doorgaans juister dan pagina’s in het Nederlands.

3 Gebruik synoniemen van bepaalde woorden wanneer een zoekopdracht niet het gewenste resultaat geeft.

MacTutor History of Mathematics Archive http://www-history.mcs. st-and.ac.uk/Search/ historysearch.html/

Bevat gedetailleerde biografie¨en over wiskundigen en wiskundige onderwerpen.

Categorie¨en: 3 History Topics: artikels volgens cultuur of tak van de wiskunde, vb. “Ancient Greek mathematics”

Wikipedia is een handige manier om op een begrijpbaar niveau kennis op te doen. De meeste artikels zijn voorzien met links naar andere websites.

Maar omdat iedereen artikels kan wijzigen, is er geen garantie dat een artikel in wikipedia juist en betrouwbaar is.

Aan te raden is dat je de informatie vergelijkt met andere bronnen.

Mac Tutor staat bekend als een uitgebreid en betrouwbaar geschiedenisarchief van wiskunde.

3 Famous curves: bekende en minder bekende krommen. vb. “lemniscate of Bernoulli ” google scholar scholar.google.be/

Scholar Google is een zoekmachine waarmee je bijna elk wetenschappelijk artikel kunt opzoeken dat ooit gepubliceerd is.

Een korte samenvatting van het onderzoek kun je bijna altijd gratis raadplegen.

Pr-2

Jammer genoeg is leesbaarheid niet altijd de beste kant van wetenschappelijke artikels.

Maar even doorbijten loont zeker de moeite.

Informatie ordenen en bewerken Het is onmogelijk om alle verzamelde informatie op te nemen. Daarom moet de informatie eerst verwerkt worden.

Door elke vraag of onderwerp afzonderlijk te behandelen, werk je overzichtelijk. Dat kan erg handig door de informatie eerst te kopi¨eren naar een Word-document . Om ervoor te zorgen dat je later nog weet waar je welke informatie gevonden hebt, noteer je onder elke passage de (eventueel verkorte) bronbeschrijving, bijvoorbeeld de url waarop je de informatie gevonden hebt. Op deze manier krijg je meteen de antwoorden van verschillende bronnen op dezelfde vraag bij elkaar. Daardoor wordt het makkelijker om de verschillende antwoorden op zo’n vraag met elkaar te vergelijken.

Daarna moet je de verkregen informatie verwerken. Dat kan door eerst een schema te maken.

1. Het allerbelangrijkste daarbij is dat je een goed onderscheid maakt tussen hoofdzaken en bijzaken. Dat is lang niet altijd makkelijk. Aan te raden is dat je gebruikt maakt van: 3 titel en tussenkopjes: deze vertellen je waar gedeelten van de tekst over gaan; 3 eerste en laatste alinea van de tekst: in de eerste vertelt de schrijver vaak waarover de tekst gaat, in de laatste wordt het belangrijkste nog eens kort samengevat; 3 afwijkende druk: als een woord bijvoorbeeld vet gedrukt is, dan is dat woord (meestal) extra belangrijk.

2. Alleen de belangrijke dingen weergeven: niet allerlei voorbeelden of onbelangrijke weetjes.

3. Je moet in het schema de verbanden tussen de onderdelen van je schema goed duidelijk maken.

4. Als in de tekst nieuwe begrippen behandeld worden, kun je onderaan het schema een begrippenlijst te maken: de nieuwe begrippen met daarachter de betekenis.

Daarna maak je van elke vraag of ondewerp een samenvatting .

3 De structuur van je tekst bestaat uit een aantal alinea’s die een overzichtelijk geheel vormen.

3 Zorgt dat je tekst aangenaam om lezen is en een informatief karakter heeft.

3 Neemt geen zinnen letterlijk van je bronnen over.

3 Zorgt dat je datgene wat je opschrijft ook voor 100% begrijpt.

3 Zaken die niet van belang zijn voor de hoofdlijn van de tekst en andere detils moet je verwaarlozen.

3 Sluit je samenvatting af door het vermelden van je bronnen.

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee tot drie. . Zoek nevenstaande poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op. . Op de poster staat een vraag. Zoek eerst het antwoord op die vraag. Je moet dus het vraagteken achterhalen. . Daarna kies je in je groepje ´e´en rij of kolom. In die rij of kolom kies je drie afbeeldingen (maar niet het vraagteken). Bijvoorbeeld drie van de vijf plaatjes uit de tweede rij. . Van die drie afbeeldingen zoek je informatie op het internet. Die informatie orden je en bewerk je tot een samenvatting zoals beschreven in de inleiding.

Schrijf tussen een halve en ´e´en bladzijde per afbeelding. . Daarna zorg je voor een wiskundige afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken weergeeft (afbeelding zelf maken of opzoeken). Ook daarvan maak je een samenvatting (maximaal ´e´en bladzijde).

3 Verslag (tijdens de lessen, thuis afwerken)

Je verslag bevat:

. van elk van de drie afbeeldingen een samenvatting;

poster Vlaamse Wiskunde Olympiade

. een afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken weergeeft; . ook van die afbeelding een samenvatting.

Het verslag voeg je in deze practicum map. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient ´e´en practicumbundel met verslag in. Daarnaast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina A-62).

Pr-3

11. Kritische zin Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

Attitudes

Pr-4

14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

15. Waardering voor de wiskunde Je toont inzicht in de bijdrage van de wiskunde in culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkelingen.

6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen.

3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken.

3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren.

3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren.

3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren.

3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze.

3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

7. Leervaardigheden 3 Je kan losse gegevens verwerken.

3 Je kan samenhangende informatie verwerken.

3 Je kan informatiebronnen raadplegen.

3 Je kan studietijd plannen.

3 Je kan je eigen leerproces bijsturen.

8. Reflectievaardigheden 3 Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies.

3 Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?).

3 Je kan reflecteren over de effici¨entie van je werken en je leren.

3 Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht.

3 Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?).

3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 1 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

2 PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)

1. Inleiding In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan probleemoplossend denken. Willen we je hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadruk liggen op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van nieuwe problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essenti¨ele troef in je studieen beroepsloopbaan.

Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordt bevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onderzoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen, voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren.

Maar dit is niet voldoende. Het is ook noodzakelijk dat je zelf haalbare problemen tracht op te lossen. Bovendien vindt het leren oplossen van problemen op school en daarbuiten ook plaats in een sociale context. Men verwacht dan ook dat je met anderen kan samenwerken.

Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het volgend G. P´ olya, How to solve It

Stappenplan1 voor probleemoplossend denken Stap 1. Het probleem begrijpen Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagd wordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in eigen woorden wat het probleem inhoudt. Door het op een andere manier te verwoorden, zal je het probleem beter begrijpen.

Stap 2. Zoekstrategie¨ en en een plan opstellen Eerst denk je na welke zoekstrategie¨en kunnen helpen.

Voorbeelden van zo’n strategie¨en (ook wel heuristieken genoemd) zijn: 3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen,

3 maak een tekening,

3 raad en controleer,

3 los een eenvoudiger probleem op,

3 maak een lijst,

3 gebruik een model,

3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld,

3 onderzoek bijzondere gevallen,

3 elimineer de mogelijkheden,

3 los een vergelijking op,

3 gebruik analogie of symmetrie,

3 werk omgekeerd,

3 zoek een patroon,

3 gebruik een formule.

Het is belangrijk om deze strategie¨en ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen bij het oplossen van het probleem. Dit kan door in enkele regels te beschrijven hoe je straks te werk zal gaan.

Stap 3. Het plan uitvoeren Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandigheden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebra¨ısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerking van het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je je uitkomst op een of andere manier controleren? Bij een fout herneem je nauwgezet Stap 3.

1 Het stappenplan dat we hier vermelden is gebaseerd op pagina’s A-64 en volgende in het baanbrekend boek G. P´ olya, How to solve It, Princeton University Press (1945).

Pr-5

Modelvoorbeeld Opgave. Een natuurlijk getal dat uit vier cijfers bestaat, elk gelijk aan 1, 5 of 9, is deelbaar door 37. Als de som van de cijfers 16 is, dan is de som van de laatste twee cijfers gelijk aan 2 6 10 12 14 Oplossing. We volgen de stappen voor probleemoplossend denken.

Stap 1. Het probleem begrijpen Het probleem gaat over een getal van vier cijfers: x= a

b

c

met a, b, c, d ∈ {1, 5, 9}.

d

Bovendien moet dat getal x deelbaar zijn door 37. En we weten ook dat a + b + c + d = 16. Gevraagd is c + d.

Stap 2. Zoekstrategie¨ en en een plan opstellen 3 Zoekstrategie¨en: gegeven en gevraagde wiskundig vertalen (zie Stap 1), maak een lijst.

3 Plan: We lijsten veelvouden van 37 op en kijken welke getallen voldoen aan de opgave. We kunnen ook de mogelijkheden zoeken voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a + b + c + d = 16 en nagaan welke getallen x deelbaar zijn door 37.

Stap 3. Het plan uitvoeren De lijst van alle veelvouden van 37 met vier cijfers is nogal lang (243 mogelijkheden).

In plaats daarvan zoeken we eerst de mogelijkheden voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a + b + c + d = 16.

3 Het cijfer 9 kan hoogstens ´e´en keer voorkomen. Want als het meer dan ´e´en keer voorkomt, dan is de som van de cijfers minstens 18 en dat is teveel.

3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet er ook minstens ´e´en 5 in voorkomen. Want als er geen 5 is, dan moeten de drie andere cijfers telkens 1 zijn. Maar dan is de som 12 en dat is te weinig.

3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet dus ook 5 voorkomen en dan nog twee keer een 1. Dan is de som inderdaad 16.

3 Als het cijfer 9 niet voorkomt, dan moet de 5 minstens drie keer voorkomen, aangevuld met een 1.

Onze lijst telt 16 mogelijkheden: a 9 9 9 5 1 1 5 1 1 5 1 1

b 5 1 1 9 9 9 1 5 1 1 5 1

c 1 5 1 1 5 1 9 9 9 1 1 5

d 1 1 5 1 1 5 1 1 5 9 9 9

a 5 5 5 1

b 5 5 1 5

c 5 1 5 5

d 1 5 5 5

Nu kunnen we elk van deze getallen delen door 37 en kijken wanneer de rest nul is. Dat kan met de grafische rekenmachine. We vinden dat 1591 deelbaar is door 37. Dus de som van de laatste twee cijfers is 10.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Het natuurlijk getal 1591 bestaat uit vier cijfers, elk gelijk aan 1, 5 of 9. Bovendien is 1591/37 = 43 dus het getal 1591 is deelbaar door 37. Tenslotte is de som van de cijfers gelijk aan 1 + 5 + 9 + 1 = 16. Het getal voldoet dus aan de opgave. De som van de laatste twee cijfers is gelijk aan 9 + 1 = 10.

Het juiste antwoord is dus 10.

Pr-6

Opmerking. De uitwerking van Stap 3 kan ook zonder grafische rekenmachine, bijvoorbeeld als volgt. Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Om een analoog kenmerk van deelbaarheid door 37 te vinden kunnen we als volgt te werk gaan: 1000a + 100b + 10c + d x = 37 37 100 10 1 1000 a+ b+ c+ d = 37 37 37 37 1 11 10 1 = 27 + a+ 3− b+ c+ d 37 37 37 37 a − 11b + 10c + d = 27a + 3b + 37 Wil x deelbaar zijn door 37, dan lijst, dan verkrijgen we: a 9 9 9 5 1 1 5 1

moet a − 11b + 10c + d deelbaar zijn door 37. Passen we dit toe op bovenstaande b 5 1 1 9 9 9 1 5

c 1 5 1 1 5 1 9 9

d 1 1 5 1 1 5 1 1

a − 11b + 10c + d −35 49 13 −83 −47 −83 85 37

deelbaar door 37? nee nee nee nee nee nee nee ja

We vinden dat 1591 deelbaar is door 37.

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee. . In het begin van de les krijg je een bundel met opdrachten (pagina’s A-66 tot en met A-77). De opdrachten zijn gerangschikt volgens moeilijkheidsgraad: van niveau 1 (voor 1p.) tot niveau 6 (voor 6p.). . Je kiest een aantal opgaven, in totaal ter waarde van . . . . . . punten (vul aan). Je mag maximum twee opgaven van een zelfde niveau kiezen. . Tijdens de les start je met het oplossen van je gekozen opgaven. Volg daarbij de stappen uit het stappenplan voor probleemoplossend denken in de inleiding.

Op het einde van de les moet vastliggen welke opgaven je in je groepje gekozen hebt.

3 Verslag (tijdens de lessen, thuis afwerken) Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elke opgave start op een nieuw cursusblad, met de volgende structuur: . Opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad kleven. . Stap 1. Het probleem begrijpen. . Stap 2. Zoekstrategi¨en en een plan opstellen. . Stap 3. Het plan uitvoeren. . Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren.

Bij multiple choice vink je ook het juiste bolletje aan. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden. Het verslag voeg je in deze practicum map. De opgaven die je niet behandeld hebt bewaar je thuis.

Een goed idee is om de taken te verdelen: spreek tijdens de lessen af wie welke opgaven zal oplossen en/of uitschrijven. Toch blijf je als verantwoordelijk voor wat de anderen geschreven hebben, wnt ook jouw naam staat op het verslag als geheel. Lees daarom de oplossingen van de anderen na en speel je feedback tijdig door.

3 Practicum indienen in.

Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient ´e´en practicumbundel met verslag

Pr-7

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen.

3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen).

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

Attitudes

Pr-8

13. Zelfregulatie 3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen.

3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te ori¨enteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

1. Rekenvaardigheid 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit.

3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt.

2. Meet-en tekenvaardigheid 3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig.

3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen.

Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt.

5. Probleemoplossende vaardigheden 3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen.

3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.).

3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan zoekstrategie¨en toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen.

3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategie¨en en je plan.

3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 2 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

3 PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (2)

1. Inleiding In Practicum 2: Probleemoplossend denken (1) heb je kennis gemaakt met de kunst van het oplossen van problemen. Hierbij kreeg je het advies om te werken volgens een stappenplan (zie ook hieronder). In dit Practicum ga je nadenken over problemen die wat complexer zijn. Deze opdracht voer je dan ook uit in groepjes van drie, want je zal merken dat je elkaars hulp en inzet nodig hebt om de taak succesvol te volbrengen.

Om effici¨ent te werken, worden de volgende rollen verdeeld: 3 Schrijver Als de groep een idee of antwoord geeft, vraag dan of iedereen het eens is. Deze persoon schrijft de redenering van de groep op. Dat zal hoofdzakelijk in het klad zijn. In de tweede les worden de antwoorden goed leesbaar opgeschreven. Uiteraard helpen de anderen hierbij.

3 Tijdbewaker Wanneer de groep erg lang bij een vraag blijft hangen, waarschuw je, bijvoorbeeld door te zeggen: “we moeten aan de volgende vraag beginnen, anders krijgen we het niet af”. Af en toe vertel je de groep hoeveel tijd er nog over is.

3 Aanmoediger/leider Moedigt aan, bijvoorbeeld als de groep vast zit bij een probleem: “heeft iemand een idee?”. Je toont ook initiatief bijvoorbeeld met: “deze strategie lijkt te kunnen werken, laten we die uitproberen” of “deze redenering leidt niet meteen tot iets, laten we iets anders proberen”.

Daarnaast blijft iedereen wel mee verantwoordelijk. De leerkracht kan ieder groepslid aanspreken op zijn of haar bijdrage aan het groepswerk. Dit om te voorkomen dat iemand meelift: een groepslid laat de rest van de groep het werk opknappen. Pas wanneer alle groepsleden hun rol naar behoren vervullen kan de groepstaak succesvol worden uitgevoerd.

Stappenplan voor probleemoplossend denken Stap 1. Het probleem begrijpen. Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op andere manieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.

Stap 2. Zoekstrategie¨ en en een plan opstellen Eerst denk je na welke zoekstrategie¨en kunnen helpen.

Voorbeelden zijn: 3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen,

3 maak een tekening,

3 raad en controleer,

3 los een eenvoudiger probleem op,

3 maak een lijst,

3 gebruik een model,

3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld,

3 onderzoek bijzondere gevallen,

3 elimineer de mogelijkheden,

3 los een vergelijking op,

3 gebruik analogie of symmetrie,

3 werk omgekeerd,

3 zoek een patroon,

3 gebruik een formule.

Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen.

Stap 3. Het plan uitvoeren Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Kun je je uitkomst op een of andere manier controleren?

Pr-9

Modelvoorbeeld Opgave. Als r en s de wortels zijn van 3x2 − 16x + 12 = 0, bepaal dan 2 log r + 2 log s.

Oplossing. Ons idee is om eerst de waarden r en s te vinden en daarna 2 log r + 2 log s te berekenen. √ −(−16) ± 162 − 4 · 3 · 12 2 3x − 16x + 12 = 0 ⇔ x = 6 √ 16 ± 112 ⇔ x= 6√ 16 ± 4 7 ⇔ x= 6 √ √ 8+2 7 8−2 7 zodat we mogen stellen dat r = en s = . Invullen geeft alvast 3 3 √ ! √ !

8 + 2 7 8 − 2 7 2 log r + 2 log s = 2 log + 2 log 3 3 We zien niet in hoe we beide logaritmen afzonderlijk moeten berekeken. Maar met behulp van een rekenregel van logaritmen kunnen we beide termen wel samenvoegen tot ´e´en logaritme: steunend op de rekenregel 2

log + 2 log 4 = 2 log ( · 4)

verkrijgen we 2

2

2

log r + log s = log = 2 log

√ ! √ !

8−2 7 8+2 7 2 + log 3 3 √ ! √ 8+2 7 8−2 7 · 3 3

64 − 4 · 7 9 = 2 log 4 = 2 log

=2 Opmerking. Achteraf gezien was het niet nodig om de waarden r en s eerst afzonderlijk te vinden. Want wegens log r + 2 log s = 2 log (r · s) hebben we enkel het product r · s nodig. En het product van de wortels van een kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 wordt gegeven door de formule c/a. Op die manier krijgen we volgende alternatieve - en meer elegante - oplossing: 2

2

log r + 2 log s = 2 log (r · s) het product van de wortels van 3x2 − 16x + 12 = 0 is gelijk aan 12/3 = 4 = 2 log 4 =2

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen) Het practicum voer je uit in groepjes van drie. . Leg vast wie de rol van schrijver, tijdbewaker en aanmoediger/leider op zich neemt. . Op de volgende pagina vind je een tiental problemen. De leerkracht beslist welke problemen jullie krijgen.

De bedoeling is om elk probleem algebra¨ısch op te lossen en jullie redenering zo goed mogelijk op te schrijven.

Dat betekent dat iemand die het probleem niet opgelost heeft in staat moet zijn om jullie redenering te volgen.

3 Verslag Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elk probleem start op een nieuw cursusblad, te beginnen met de nummer van het probleem.

3 Practicum indienen verslag in.

Indenen op het einde van de laatste les. Elke groep dient ´e´en practicumbundel met

Pr-10

Tien problemen - Opgave Probleem 1. (a) Stel f (x) = 3x3 − 4x2 + ax − 11 een re¨ele veelterm zodat f (1) = 2. Bepaal de waarde van a. (b) Stel (3x − 1)7 = a7 x7 + a6 x6 + . . . + a0 voor zekere a0 , a1 , . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . . + a1 + a0 .

Probleem 2. Er is precies ´e´en veelterm A(x) van de vorm A(x) = 7x7 +a6 x6 +a5 x5 +. . .+a1 x+a0 met a0 , a1 , a2 , . . . , a6 ∈ R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).

Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig dan wanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12 uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?

Probleem 4. Stel f (x) =

5x2 − 4x + 8 . x2 + 1

(a) Voor welke re¨ele waarden van k bestaat er een re¨eel getal x waarvoor f (x) = k? (b) Bepaal het bereik van de functie f .

Probleem 5. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de vergelijking

√ 3

13x + 37 −

√ 3

13x − 37 =

√ 3

2.

√ Probleem 6. Stel f (x) = x+ x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f (g(f (g(f (7)))))).

Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.

2

Probleem 7. De vergelijking 2x = 323x+8 heeft twee re¨ele oplossingen. Bepaal algebra¨ısch hun product.

Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant te houden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen van de stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nieren elimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.

Cafe¨ıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, de hartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dat het je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafe¨ıne kan giftig zijn. nieren in digitaal ontwerp Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaam overblijvende cafe¨ıne. Is de overblijvende dosis cafe¨ıne groter dan 20mg, dan werkt het stimulerend.

We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafe¨ıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikje cola drinkt en je het derde en laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafe¨ıne die je uit deze blikjes opnam niet langer stimulerend werken? Algebra¨ısch oplossen en je resultaat afronden op ´e´en minuut nauwkeurig.

Probleem 9. Los algebra¨ısch de volgende exponenti¨ele vergelijking op: 8(4x + 4−x ) − 54(2x + 2−x ) + 101 = 0 Probleem 10. Bepaal algebra¨ısch het grootste re¨eel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking

allen gehele getallen zijn.

210

log (x2b )

2

=

Pr-11

210

log x4

1. Rekenvaardigheid 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit.

3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt.

4. Denk- en redeneervaardigheden 3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen.

3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen.

3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken.

3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken.

5. Probleemoplossende vaardigheden 3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen.

3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.).

3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan zoekstrategie¨en toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen.

3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategie¨en en je plan.

3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.

11. Kritische zin Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

Vaardigheden

Attitudes

Pr-12

13. Zelfregulatie 3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen.

3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te ori¨enteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

Beoordeling

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 3 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

4 TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN

1. Inleiding Heel wat problemen uit de maatschappelijke leefwereld kunnen aangepakt worden met wiskunde. Het oplossen van zo’n problemen valt onder de noemer toepassingen. Het proces waarbij men met wiskunde naar oplossingen zoekt, kan uitgevoerd worden aan de hand van het stappenplan voor probleemoplossend denken die we in Practicum 2 besproken hebben.

Wat het oplossen van een probleem als toepassing specifiek maakt, is de keuze van de zoekstrategie in Stap 2. Bij een toepassing komt het er doorgaans op neer om in de opgave een wiskundig begrip te herkennen: een rechthoekige driehoek, een functie, een matrix, etc. Het oplossen van het oorspronkelijk probleem als toepassing vertaalt zich dan in het uitvoeren van bewerkingen met die begrippen. Men verwijst naar deze zoekstrategie als mathematiseren of modelleren. Zo kan het oplossen van een toepassing zien als een bijzonder geval1 van probleemoplossend denken uit Practicum 1 en Practicum 2: Stap 1. Exploreren Het probleem begrijpen door het op een andere manier te verwoorden.

Stap 2. Mathematiseren Herkennen van een wiskundig begrip en inzien dat het gevraagde kan vertaald worden naar een model: een bewerking, een vergelijking, een stelsel vergelijkingen, een extremumprobleem, een matrixvermenigvuldiging, een rechthoekige of een willekeurige driehoek, etc.

Stap 3. Berekenen Als het wiskundig model opgebouwd is, probeer je dit via rekentechnieken op te lossen.

Stap 4. Controleren Interpretatie van het resultaat, waarbij je rekening houdt met de context van het probleem.

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van vier.

Les 1

Let op de terugkerende pijl!

Toepassing 1 op pagina A-90 en volgende verwerken.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden. Doe dat in groep: overleg wat er ingevuld moet worden, deel je inzichten met de anderen.

2. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie: pagina A-98 en volgende. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten stip je aan in het rood. Zorg dat iedereen in de groep nu elke (verbeterde) stap begrijpt.

3. Maak nadien Oefening 1 op pagina A-106 (staat ook op de volgende pagina).

Les 2

Toepassing 2 op pagina A-94 en volgende verwerken, analoog als in les 1.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden.

2. Vergelijk met de ingevulde versie pagina A-102 en volgende.

3. Maak nadien Oefening 2, 3 of 4 op pagina A-106 (beslist door tossen, staan ook op de volgende pagina’s).

3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat ´e´en exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-90 tot en met A-97 en de twee gemaakte oefeningen op een cursusblad. Opgave overschrijven hoeft niet.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient ´e´en practicumbundel met verslag in.

1 Inspiratie en schema werd ontleend aan G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaanderen nr.9 (2006).

Pr-13

Oefeningen - Opgave Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op onderstaande graaf. (a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met ´e´en tussenstop op een willekeurig eiland. (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland. ?

(d) Is het mogelijk om via ten hoogste ´e´en tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op met behulp van matrices.

B

C

A

D

E

Pr-14

Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.

Na ´e´en jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van het jaar voordien en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren het jaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jonge dieren zijn en 30 volwassen dieren. (a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 2 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van de markt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgende wijzigingen voor: . Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest. . Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest. . Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.

We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet. (a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf. (b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door een lage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Leslie-model, de volgende gegevens zijn bekend: . slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar, . eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven, . geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar, . alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes. (a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf. (b) Stel de Leslie-matrix op. (c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100 000 eitjes. Hij laat zijn vangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

2 Enige

gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.

Pr-15

1. Rekenvaardigheid 3 Bij het algebra穡覺sch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit.

3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt.

3. Wiskundige taalvaardigheid 3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde: . je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.).

3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra穡覺sch/grafisch, teken, contrueer).

3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram).

3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken.

4. Denk- en redeneervaardigheden 3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen.

3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen.

3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken.

3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken.

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen.

3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen).

11. Kritische zin Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

Vaardigheden

Attitudes

Pr-16

14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

Beoordeling

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 4 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

5 HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?

1. Inleiding Het studeren van een wiskundig bewijs - en algemener, het studeren van theorie wiskunde - verloopt in vijf stappen: Stap 1. Begrijp elke overgang Stap 2. Begrijp het geheel Stap 3. Test jezelf Stap 4. Controleer Stap 5. Herhaal We lichten deze stappen toe aan de hand van een bewijs die je in het derde jaar gestudeerd hebt.

Voorbeeld Stelling. Het getal

√

2 is een irrationaal getal. √

Bewijs. Er zijn twee mogelijkheden: ofwel is Mocht

√

2 een irrationaal getal, ofwel is het geen irrationaal getal.

2 geen irrationaal getal zijn, dan is √

2=

a b

voor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0

(1)

Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.

Nemen we in (1) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we a2 b2

2=

2b2 = a2

⇒

Omdat het linkerlid deelbaar is door 2, is ook het rechterlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van a2 .

Dus 2 is een deler van a. Dus a = 2k voor een zekere k ∈ Z. Vervangen we a = 2k in (1) dan verkrijgen we √

2=

2k b

(2)

Nemen we in (2) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we 2=

4k 2 b2

⇒

b2 = 2k 2

Omdat het rechterlid deelbaar is door 2, is ook het linkerlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van b2 .

Dus 2 is een deler van b.

Maar nu is 2 een deler van a en 2 is een deler van b, terwijl we √ ervoor hadden gezorgd dat a en b geen deler gemeen hebben. Een strijdigheid: het is dus niet waar dat 2 geen irrationaal getal is.

We besluiten dat

√

2 een irrationaal getal is.

Pr-17

Stap 1. Begrijp elke overgang Je begint met het bewijs regel per regel door te nemen. Zorg dat het duidelijk is hoe je van de ene regel naar de andere gaat (een berekening, steunen op een eerder geziene eigenschap, etc.).

Het doel van een les wiskunde is dat je tijdens de les alle overgangen begrijpt. Stap 1 dient dus om na te gaan of dat nu nog steeds zo is.

Wellicht is het geheel van het bewijs nog niet duidelijk, maar dat komt pas in Stap 2.

Voorbeeld.

Mocht

√

2 geen irrationaal getal zijn, dan is √

2=

a b

voor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0

(1)

Waarom? Als een getal niet irrationaal is, dan is het rationaal (breuk).

Waarom is b 6= 0? Delen door 0 mag niet.

Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben. a Waarom? Mochten a en b toch een deler gemeen hebben, dan kun je die breuk vereenvoudigen. b Etc. Stap 2. Begrijp het geheel Om het geheel te begrijpen, ga je na: 3 Wat moeten we eigenlijk bewijzen (opgave)?

3 Toont de redering van het bewijs nu wel de opgave aan?

3 Is er een truc in het bewijs?

Voorbeeld.

√ 2 irrationaal is. M.a.w. we moeten aantonen dat 2 geen breuk is. √ 3 In het bewijs doen we alsof 2 wel een breuk is. Maar √ dan loopt er blijkbaar iets fout. Dus op het einde van het verhaal zullen we bewezen hebben dat 2 toch geen breuk is. √ a 3 Door te doen alsof 2 een breuk is, kunnen we het schrijven als . De truc is om die gelijkheid b √ a 2 = te kwadrateren. En dan later nog eens toe te passen eens we a geschreven hebben als 2k. b 3 We moeten aantonen dat

√

Tracht daarna het bewijs in twee of drie regels samen te vatten. Door die regels te onthouden, zul je het bewijs later kunnen reconstrueren.

Voorbeeld. √ √ a 1. Doen alsof 2 een breuk is: 2 = b 2. Kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van a, dus a = 2k.

3. Vervangen, opnieuw kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van b.

Stap 3. Test jezelf Leg je cursus of boek weg en neem een leeg cursusblad. Je schrijft op wat je gaat bewijzen (opgave) en probeert het bewijs nu helemaal zelf op te schrijven. Als je vast komt te zitten, geef het niet onmiddellijk op door terug in je cursus te kijken. In plaats daarvan denk je even na: 3 Kan ik een regel open laten en het verder verloop van het bewijs toch opschrijven? Denk aan je samenvatting in Stap 2.

3 Is er een truc in het bewijs die ik vergeten ben?

3 Weet ik nog wat ik wil bewijzen?

Kijk pas terug in je cursus als je het echt niet meer weet. Maar beperk je dan niet tot het lezen van die ene regel die je vergeten bent: ga ook eens na waarom je die regel vergeten bent. Daarna neem je een leeg cursusblad en begin je opnieuw het bewijs op te schrijven.

Pr-18

Stap 4. Controleer Als je denkt dat je klaar bent, neem dan je cursus en vergelijk jouw bewijs met dat in de cursus. Wees streng op jezelf en ga nauwkeurig na of je bewijs nu ook correct is: 3 Heb ik de opgave juist?

3 Heb ik elke tussenstap opgeschreven? Minstens evenveel zoals in de cursus?

3 Heb ik de eventuele tekeningen of schetsen nauwkeurig gemaakt en alles aangeduid?

Als je iets vergeten bent, of iets fout geschreven hebt, dan duid je de fout op je cursusblad aan met een fluoriserende stift. Houd je cursusblad bij (zie Stap 5).

Stap 5. Herhaal Op het einde van de dag test je jezelf opnieuw (Stap 3), met controle (Stap 4). Bij die controle vergelijk je ook met de fouten die je op je eerste cursusblad hebt gemaakt.

De kracht van de herhaling kan nauwelijks onderschat worden. Daags nadien test je jezelf nog een derde keer. Je zal ervan versteld staan dat je zelfs dagen later het bewijs nog kan opschrijven.

Tip. Om het jezelf gemakkelijk te maken kun je steekkaarten maken. Op elke steekkaart schrijf je de vraag op zoals de stelling (of een definitie, etc.) gevraagd kan worden op een toets of examen. Telkens je het bewijs herhaalt, neem je die steekkaart en lees je de opgave. Je schrijft je antwoord uiteraard niet op die steekkaart, zodat die later nog bruikbaar is. Op het einde van elk hoofdstuk (en dus ook bij de voorbereiding van je examens) heb je dan een aantal steekkaarten waaruit je de theorie kan studeren.

Voorbeeld.

Vul de volgende stelling aan (schrappen wat niet past) en bewijs: Het getal

√

2 is wel/niet een irrationaal getal.

Bewijs. .. .

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (1/2 les) Dit practicum voer je individueel uit.

1. Tijdens de les studeer je het bewijs op pagina A-112 (vijfde jaar) of A-113 (zesde jaar) op de manier zoals beschreven in de inleiding (Stappen 1-4 uitvoeren).

2. In de les krijg je ook een blanco steekkaart. Die steekkaart maakt je klaar zoals beschreven in Stap 5. Die steekkaart kan je later gebruiken om het bewijs te herhalen (Stap 5).

3. Na deze vijf stappen reflecteer je even over jouw studiemethode bij het studeren van theorie. Beschrijf in enkele regels: . Hoe pak je het studeren van theorie meestal aan? . Heeft die aanpak in het verleden tot gewenste resultaten geleid? . Denk je met de methode uit dit practicum je theorie effici¨ent(er) te kunnen studeren?

3 Verslag Je verslag bestaat uit het cursusblad die je in Stap 3 gemaakt hebt. Vergeet je eventuele fouten niet aan te duiden met een fluorescerende stift. Op dat blad heb je ook de reflectie van jouw studiemethode geschreven. Je voegt het cursusblad samen met je steekkaart in deze practicumbundel.

3 Practicum indienen Op het einde van de les.

Pr-19

3. Wiskundige taalvaardigheid 3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde: . je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.).

3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra¨Ĺsch/grafisch, teken, contrueer).

3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram).

3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken.

7. Leervaardigheden 3 Je kan losse gegevens verwerken.

3 Je kan samenhangende informatie verwerken.

3 Je kan informatiebronnen raadplegen.

3 Je kan studietijd plannen.

3 Je kan je eigen leerproces bijsturen.

8. Reflectievaardigheden 3 Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies.

3 Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?).

3 Je kan reflecteren over de effici¨entie van je werken en je leren.

3 Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht.

3 Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?).

3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen.

3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen).

11. Kritische zin Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

Vaardigheden

Attitudes

Pr-20

12. Zelfvertrouwen en zelfstandigheid 3 Je toont zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten.

3 Je ziet in dat fouten maken inherent deel uitmaken van het leerproces.

Beoordeling

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 5 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

6 SAMENWERKEN

1. Inleiding1 In onze maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan samenwerking. Dat belang wordt in bedrijven en overheidsinstanties erg benadrukt. Immers, een goede samenwerking van personeelsleden impliceert een grotere rentabiliteit en betere resultaten. Dat men bij het aanwerven van nieuwe personeelsleden hierop zal inspelen spreekt voor zich. De kans is dan ook erg groot dat je bij een toekomstige sollicitatie of proefcontract zal getest worden hoe vaardig je bent in het samenwerken met de anderen.

Concreet deelt men de competentie samenwerken in vier niveaus op. Die zijn cumulatief gerangschikt, wat wil zeggen dat iemand pas een hoger niveau kan bereiken als hij/zij ook de lagere niveau’s beheerst.

Niveaus van samenwerking Niveau 1. Je werkt mee en informeert de anderen: 3 je houdt rekening met de mening van anderen; 3 je behandelt de anderen met respect; 3 je geeft informatie en kennis door die voor anderen nuttig of belangrijk kan zijn; 3 je aanvaardt groepsbeslissingen.

Niveau 2. Je helpt anderen en pleegt overleg: 3 je steunt de voorstellen van anderen en bouwt daarop voort om tot een gezamenlijk resultaat te komen; 3 je houdt rekening met de gevoeligheden en met de verscheidenheid van mensen; 3 je biedt hulp aan bij problemen, ook al valt de taak niet onder de eigen opdracht; 3 je vraagt spontaan en proactief de mening van anderen.

Niveau 3. Je stimuleert de samenwerking binnen de eigen entiteit, werkgroepen of projectgroepen: 3 je komt met idee¨en om het gezamenlijk resultaat te verbeteren; 3 je moedigt anderen aan om onderling te overleggen over zaken die het eigen werk overstijgen; 3 je betrekt anderen bij het nemen van beslissingen die op hen een impact hebben; 3 je bevordert de goede verstandhouding, de teamgeest en het respect voor verscheidenheid van mensen; 3 je geeft opbouwende kritiek en feedback.

Niveau 4. Je cre¨eert gedragen samenwerkingsverbanden met en tussen andere groepsleden: 3 je cre¨eert structuren om de samenwerking met andere groepsleden te verbeteren; 3 je neemt informele initiatieven om de samenwerking met en tussen andere groepsleden te verstevigen; 3 je draagt samenwerking uit als belangrijke waarde en spreekt anderen daarop aan; 3 je werkt actief aan het scheppen van een goede vertrouwensband met andere groepsleden.

1 Inspiratie werd gehaald uit de website http://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/ .

van

de

Vlaamse

Pr-21

Overheid

Agentschap

voor

Overheidspersoneel

Ook in je verdere studieloopbaan kan samenwerken een grote rol spelen. Niet zelden krijg je bij hogere studies te maken met het maken van projecten in groep. Het vaardig zijn in samenwerken kan hier een grote troef betekenen om zowel sneller als beter te presteren in groep. Daarom bieden we je nu al af en toe activiteiten in groep aan om je beter te kunnen voorbereiden op het functioneren in de maatschappij.

Concreet kennen we in de klas drie graden van samenwerking.

Graden van samenwerking in de klas Graad 1. De leerkracht bepaalt het doel, de (meeste) activiteiten en (bijna) de hele evaluatie. Dit is wat men meestal onder samenwerken in klas begrijpt.

Graad 2. De groep krijgt meer verantwoordelijkheid: de structuren verdwijnen want de groep bepaalt zelf steeds meer de manier waarop samengewerkt wordt. In dat geval spreken we over samen leren. Deze structuur acht men meer complex dan samen werken, omdat ze een zelfstandigere houding van de leerlingen vereisen en de docent meer terugtreedt.

Graad 3. Er is sprake van totale sturing vanuit de leerlingen. Deze graad noemt men samen reguleren.

Naast het verwerken van toepassingen in groep uit Practicum 4 is dit practicum gericht op samenwerken, in groepen van twee of drie. Het beoogde doel is welomlijnd (zie opdracht). Toch is er nu al een zekere vorm van: 3 Positieve wederzijdse afhankelijkheid groepslid van belang.

Je werkt aan een gezamelijk doel en daarbij is de bijdrage van ieder

3 Individuele aanspreekbaarheid Ieder groepslid is aanspreekbaar op zijn/haar bijdrage aan het groepsproduct. Het kan dus niet zo zijn dat een groepslid al het werk doet.

3 Directe interactie Je praat met elkaar over de leerstof. Dus er moet ook echt gepraat worden. Het is dus niet de bedoeling dat je individueel de opdracht uitvoert en achteraf controleert of de andere groepsleden hetzelfde resultaat bereikt hebben.

3 Sociale vaardigheden Dit betekent dat er aandacht is voor het functioneren in een groep en niet alleen productgericht maar vooral procesgericht: wat verliep goed en wat kunnen we de volgende keer anders doen?

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Toepassing 1 op pagina A-116 verwerken. Hier en daar moet je een vraag beantwoorden.

3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee of drie.

1. In groep de antwoorden op pagina A-118 vergelijken. Waak er over dat iedereen in de groep de toepassing op die pagina volledig begrijpt.

2. In groep maak je de twee modelvoorbeelden op pagina A-117. Neem actief deel in het groepsgesprek.

3. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie pagina A-119. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten of extra uitleg schrijf je in het rood.

4. Daarna maak je in groep de oefeningen 1, 2 en 3 op pagina A-120 (staan ook op de volgende pagina). Mocht je klaar zijn tijdens de lessen, dan maak je ook Oefening 4.

5. Tot slot reflecteer je over de groepsopdracht (zie volgende pagina).

3 Verslag (thuis afwerken)

Jullie verslag bevat

. ´e´en exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-116 en A-117 en . ´e´en exemplaar van de drie gemaakte oefeningen op een cursusblad. E´en oefening per pagina. Opgave overschrijven hoeft niet.

Elk groepslid dient zijn practicum bundel in (met ingevulde reflectie). Het verslag steekt in een bundel van ´e´en groepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopi¨eren.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-22

Oefeningen - Opgave Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboekt door Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanders zijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten om de voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen als Nederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in het hotel?

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de som van de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd dan bekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Calpe

Costa Blanca, Spanje

Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkuren nodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk 32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als de vraag naar model B en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elk model zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses? ?Oefening 4 (het probleem van Bachet 2 ). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. E´en van hen verdubbelt met een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijn centen het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van de andere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Reflectie Deze reflectie is individueel, dus elk voor zich.

Eigen inzet Beschrijf in enkele regels je eigen inzet tijdens de groepsopdracht. Geef jezelf daarna een cijfer tussen 0 en 5. ............................................................................................................. ............................................................................................................. .............................................................................................................

Groep Beschrijf in enkele regels de gezamelijke aanpak en overleg tijdens de groepsopdracht. Wat zou je de volgende keer zeker op dezelfde manier doen? En wat zou je liever op een andere manier doen?. Geef de groep een cijfer tussen 0 en 5. ............................................................................................................. ............................................................................................................. .............................................................................................................

Niveau van samenwerking In welk van de vier niveaus op de vorige pagina hoor je thuis? Stip enkele onderdelen van dat niveau aan met een gele fluorescerende stift. .............................................................................................................

2

Claude Gaspard Bachet de M´ eziriac

(1581-1638).

Pr-23

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde 3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen.

3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen).

14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

Attitudes

Pr-24

1. Rekenvaardigheid 3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit.

3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt.

3. Wiskundige taalvaardigheid 3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde: . je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.).

3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra¨ısch/grafisch, teken, contrueer).

3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram).

3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken.

8. Reflectievaardigheden 3 Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies.

3 Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?).

3 Je kan reflecteren over de effici¨entie van je werken en je leren.

3 Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht.

3 Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?).

3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 6 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

7 EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN

1. Inleiding1 Het schrijven en publiceren van verslagen is voor wetenschappers een belangrijk onderdeel van hun werk. Een verslag kan dienen om je uitgevoerd werk, project, idee¨en en conclusies aan anderen uit te leggen of kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderen van je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dat een verslag tot in de puntjes verzorgd moet zijn; niet alleen qua lay-out, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard qua inhoud. In veel hogere studies en ook in je latere werkomgeving is het een oefening die je nog vaak zal maken.

Wat is nu een verslag Het is een tekst, maar geen proza. Je gebruikt de tekst om op een zakelijke manier te rapporteren, over de meest uiteenlopende onderwerpen: een zakenreis, een chemisch experiment, een wiskundig probleem, etc. Een verslag moet 3 volledig maar eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn, 3 een logische structuur hebben en 3 gemakkelijk te lezen zijn.

Hiermee bedoelen we dat de lezer snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van het verslag. Het is niet aan de lezer om bepaalde passages verschillende keren te moeten herlezen om te achterhalen en te interpreteren wat precies wordt verteld.

De vorm van een exact-wetenschappelijk verslag is specifiek Het verschilt van bijvoorbeeld een boekbespreking of taalkundig onderzoek. In wat volgt leggen we de structuur van een wetenschappelijk verslag uit en preciseren we hoe je moet omgaan met wiskundig schrijven.

Een goed verslag schrijven vraagt oefening Het is een opdracht waarin je door rigoureus en volledig te zijn, duidelijk kan tonen aan de lezer dat je volledig het onderwerp van het verslag beheerst. Onderstaande richtlijnen in verband met de inhoud, de vorm en de stijl van een verslag moeten niet zozeer naar de letter, maar wel naar de geest gevolgd worden. De opdrachtgever kan uiteraard nog specifieke eisen stellen naargelang het onderwerp van de opdracht.

2. Structuur van een wetenschappelijk verslag In principe heeft een wetenschappelijk verslag de volgende structuur: Titel Samenvatting Inleiding Hoofddeel Besluit Bij lange verslagen is het beter om nog een inhoudstafel en een referentielijst toe te voegen. Dit is de basisstructuur zoals die voor wiskundige verslagen wordt toegepast2 .

1 Gebaseerd

op E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven (2006). de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore (1994).

2 Bij

Pr-25

Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgelegd3 .

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet het onderwerp van het verslag onmiddellijk uit de titel kunnen halen. Een titel als Verslag practicum ecologie is te algemeen. Ook woorden als Studie van en onderzoek naar worden best vermeden, alsook afkortingen, formules of merknamen. Bij een langer verslag maak je best een titelblad.

NIET: ‘Practicum 11 februari 2010’ of ‘Oefening 28 pagina 40’ WEL: ‘Elliptische baan van een planeet’ of ‘Lineaire groei versus exponenti¨ele groei’ Samenvatting De samenvatting van een verslag is enkele regels lang: onderwerp van het het onderzoek, het belang en eventueel wat je eruit concludeert.

Inleiding In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt en in welke context het geheel kadert. In tweede instantie licht je de opbouw van het verslag toe. Hier wijs je op de samenhang tussen de hoofdstukken. De bedoeling is dat de lezer inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan.

Hoofddeel De andere delen dienen om te structureren, te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk dat op een samenhangende manier geschreven is. Dat is zeker geen opsomming van antwoorden op de gestelde vragen! Bovendien moet de redenering op een heldere manier zijn opgeschreven zodat een lezer uit je doelgroep niet al te veel moeite moet doen om je argumenten en overgangen te begrijpen.

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding. Samen met de inleiding geeft het besluit een volledige samenvatting van het probleem en zijn oplossing. Je verwijst hier niet naar ingevoerde formules of methodes die je besproken hebt in de tussenliggende delen, maar je geeft aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen, het formuleren van vermoedens en suggesties voor verder onderzoek in thuis.

2. Richtlijnen voor wiskundig schrijven Het opschrijven van een wiskundige redenering, een bewijs of meer uitgebreid een nota, artikel of thesis wordt ook wel wiskundig schrijven genoemd. Zo’n redenering opschrijven is niet zomaar iets wat je doet nadat je de oplossing gevonden hebt. Het vergt heel wat oefening om hierin bedreven te worden. Deze richtlijnen4 dienen dan ook om je hierin te ondersteunen.

Wiskundige correctheid Een correcte, consistente en ondubbelzinnige redenering maken is moeilijker dan je denkt. Een nodige voorwaarde is dat je zelf 100% overtuigd bent van datgene wat je opschrijft. We overlopen enkele typische valkuilen.

3 Rekenvaardigheid Het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, stelsels, etc. uit de eerste en de tweede graad is gekend verondersteld. Enkele misverstanden die aan de basis liggen voor heel wat elementaire rekenfouten in de derde graad (de uitspraken gelden voor gepaste keuze van a, b, c, d ∈ R): √ √ √ p √ √ . rekenen met vierkantswortels, o.a. a + b 6= a + b want 9 + 16 6= 3 + 4; a2 6= a want (−3)2 6= −3; 2a + b a+b 2a + b a+b 2a + 2b a+b . vereenvoudigen van breuken, o.a.

6= , 6= , 6= ; 2c + d c+d 2c + 2d c+d 2c + d c+d . ongelijkheden, o.a. uit ac > bc volgt niet noodzakelijk dat a > b want 5 · (−2) > 7 · (−2) en toch is 5 < 7; a −7 uit > 0 volgt niet noodzakelijk dat a > 0 en/of b > 0 want > 0 en toch is − 3 < 0 en − 7 < 0; b −3 2 2 2 2 uit a > b volgt niet noodzakelijk dat a > b want (−7) > 3 en toch is − 7 < −3.

3 Correct gebruik van implicatie en equivalentie Vaak is een redenering wiskundig fout omdat men de enkele pijl ⇒ verwart met dubbele pijl ⇔. Onderstaande tabel geeft aan wat het onderscheid is. Voor de formele definitie van deze logische operaties verwijzen we naar het leerstofonderdeel logica. naam implicatie equivalentie

symbool ⇒ ⇔

voorbeeld

lees als 2

x = −2 ⇒ x = 4 x = ±2 ⇔ x2 = 4

als x = −2 dan x2 = 4 x = ±2 als en slechts als x2 = 4

3 Voor een voorbeeld van een wetenschappelijk verslag (althans wat de structuur betreft) verwijzen we naar K. De Naeghel, Vijf bewijzen √ voor de irrationaliteit van 2, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011) . Zie ook pagina A-124.

4 Referenties voor wiskundig schrijven zijn N.J. Higham, Handbook of Writing for the Mathematical Sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics (1998) en F. Vivaldi, Mathematical writing for undergraduate students, The university of London (2013) .

Pr-26

3 Letters voor onbekenden eerst introduceren Wanneer je een nieuwe letter gebruikt dan hoor je eerst aan te geven waar die letter voor staat. Enkel op die manier kan de lezer jouw redenering volgen.

Wiskundig verwoorden Een wiskundige redenering bestaat zeker niet alleen uit symbolen (formules, vergelijkingen, . . . ). Je hoort ook bindtekst te schrijven: taalkundige zinnen die aangeven wat je van plan bent, hoe uit de ene vergelijking de andere volgt, hoe je een controle kan maken, etc. Slechts dan zal een lezer weten wat jij bedoelt, ook al heeft hij/zij het probleem niet zelf opgelost. Typische voorbeelden van bindwoorden- en zinnen vind je in onderstaande tabel. Wanneer je een deel van de redenering weg laat, hoor je de aard en de lengte van het weggelaten deel te duiden (tweede kolom). Houd de lezer op de hoogte waar je je ergens in je redenering bevindt en wat er nog moet gebeuren (derde kolom).

Bindwoorden anders gezegd, anderzijds is, dan geldt, dientengevolge, dus, echter, enerzijds is, equivalent is, er geldt dat, ergo, gelijkstellen levert, hieruit volgt, met als gevolg dat, neem, noem, of nog, omdat . . . is, op die manier is, terwijl, uit . . . volgt dan, veronderstel dat, voor . . . vinden we, voor . . . verkrijgen we, want, waaruit, waaruit we vinden dat, waaruit volgt dat, we besluiten dat, we hebben, we vinden, zij, zodat, zodoende is Bindzinnen Ons eerste doel is om . . .

Men kan eenvoudig aantonen dat . . . Eerst tonen we aan dat . . .

Wa vermoeden dat . . .

Twee keer toepassen van . . . geeft . . . Het probleem is te vereenvoudigen tot . . .

Het idee van het bewijs is . . . Een gelijkaardig argument toont . . .

Tenslotte moeten we aantonen dat . . .

3. Schrijftips Bij het maken van een verslag (in het bijzonder voor exacte wetenschappen) moet je ontzettend veel aandacht besteden aan de duidelijkheid. Je moet een tekst schrijven die voor doelpubliek gemakkelijk te lezen is. Met je verslag wil je de lezer laten begrijpen wat jij te rapporteren hebt. Zorg dat hij/zij de aandacht bij het onderwerp kan houden.

Je hebt er dus alle belang bij dat de lezer geen nutteloze aandacht moet besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin of redenering.

Duidelijk schrijven betekent dat je wetenschappelijke taal correct gebruikt zodat de betekenis niet verloren gaat.

Om dat doel te bereiken geven we enkele tips in verband met het integreren van wetenschappelijke informatie in een Nederlandse tekst. De opsomming die daarna volgt, gaat over het gebruik van het Nederlands en is evengoed bruikbaar in elk deel van een verslag waar geen wetenschappelijke gegevens meer zijn ingevoerd.

Tip 1. Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin, maar je mag formules en tekst niet dooreen halen. Gebruik in een taalkundige zin ook geen losse symbolen als ∀, ∃, ⇒, ⇔. Laat een regel nooit beginnen met een wiskundig symbool. En verwijs eenduidig naar een eerdere vergelijking.

NIET: x is positief ⇒ de oplossing van de vergelijking = 17.

WEL: Nu is x positief, zodat de oplossing van de vergelijking (∗) gegeven wordt door x = 17.

Tip 2. Hoe verwijs je naar jezelf De meest gangbare keuze voor het persoonlijk voornaamwoord is we, ook al is er slechts ´e´en schrijver. We kan ook verwijzen naar de lezer en ikzelf. Ik is vrijpostig en vereist een meer persoonlijk contact met de lezer.

NIET: Ik heb het idee om . . . / Ik heb eerder al gezegd dat. . . / Nu ga ik aantonen waarom . . .

WEL: Ons idee is om . . . / We hebben eerder gezien dat. . . / Vervolgens tonen we aan waarom . . .

Tip 3. De gegeven opdracht moet ge¨ıntegreerd zijn in het verslag Terwijl je het verslag maakt hou je best een lezer in gedachten die de opdracht niet kent. Het is niet zo elegant om de gestelde vraag letterlijk over te nemen en dan je antwoord te formuleren. Verwerk dus de probleemstelling in de tekst.

NIET: Wat is de snelheid in functie van de tijd? Op t = 0 is v(0) = . . .

WEL: Om het verband te kennen tussen de snelheid en de tijd, berekenen we de eerst de beginsnelheid v(0) . . .

Tip 4. Geef geen droge opsomming van gegeven, gevraagd, oplossing Door eerst het gegeven op te schrijven, het gevraagde te formuleren en tenslotte de berekening te maken, vind je het antwoord op een vraagstuk. Dat is je oplossingsmethode (of werkwijze). Het behoort tot het voorbereidend werk van je verslag. Het verslag zelf gebruikt een andere invalshoek.

Pr-27

Tip 5. Vervang in de tekst geen woorden of zinsdelen door symbolen De symbolen ∀ en ∃ hebben alleen maar betekenis in wiskundige uitspraken. Beter is om voor alle en er bestaat voluit te schrijven, alsook dus, daaruit volgt etc. in plaats van het symbool ⇒. Dat verhoogt de duidelijkheid. Zie ook Tip 1.

Tip 6. Getallen in een tekst schrijf je liefst voluit, tenzij ze de waarde van een variabele zijn NIET: Uit de 3 gegevens leiden we af dat de functiewaarde van drie gelijk is aan f (3) = 7.

WEL: Uit de drie gegevens leiden we af dat de functiewaarde van 3 gelijk is aan f (3) = 7.

Tip 7. Verwijzingen naar tabellen en figuren gebeuren op dezelfde manier als verwijzingen naar langere formules Omvangrijke tabellen of figuren, of tabellen en figuren waarnaar in de tekst slechts zijdelings wordt verwezen, kun je ook toevoegen als bijlage.

Tip 8. Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijk verslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Nederlandse zinnen moeten de formules duiden en in een context plaatsen. Je kan bijvoorbeeld uit formules alleen, niet afleiden wat oorzaak en wat gevolg is, wat er gegeven is, wat je hebt berekend of wat bewezen is (we verwijzen naar het eerder gegeven pleidooi voor wiskundig verwoorden). De tekst die de formules omkadert - letterlijk en figuurlijk - moet daarom helder en ondubbelzinnig zijn.

Tip 9. Maak je zinnen niet te lang NIET: Omdat de exponenti¨ele functie met voorschrift f (x) = ex als domein R heeft en als bereik + R+ 0 , zal de inverse functie van f , met voorschrift g(x) = ln x, als domein R0 en als bereik R hebben.

WEL: De functies met voorschrift f (x) = ex en g(x) = ln x zijn elkaars inverse. Daarom is het domein van f gelijk aan het bereik van g en vice versa. Dus is dom f = R = bld g en dom g = bld f = R+ 0.

Tip 10. Vermijd tangconstructies NIET: De sinusfunctie heeft, in tegenstelling tot de tangensfunctie die niet voor alle re¨ele getallen gedefinieerd is, als domein R. WEL: De sinusfunctie heeft als domein R, terwijl de tangensfunctie niet voor alle re¨ele getallen gedefinieerd is.

Tip 11. Zeg het in kernachtige bewoordingen Vermijd breedsprakerige en lege woorden als aspect, facet, gebeuren, aard, mate van, in feite, in principe. Vermijd omslachtige aanlopen als Het is interessant te melden dat. . . , Opgemerkt kan worden dat. . . , etc. Vermijd overbodige woorden zoals enorm, fantastisch, gigantisch, etc.

Tip 12. Ook de toon is belangrijk Pas op met overdreven zekerheid: ongetwijfeld, het spreekt voor zich, etc.

Maar wees ook zuinig met relativerende begrippen.

Tip 13. Schrijf of druk niet af op kladpapier Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Die moeite is tevergeefs geweest wanneer je aan het papier niet de nodige aandacht besteedt. Geef dus niets af op kladpapier met ezelsoren of vlekken.

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) In het begin van de eerste les krijg je twee pagina’s A-126 en volgende uit een handboek 5 . Deze kopie¨en behandelen een onderwerp, voorzien van enkele taken (in de tekst taak 11.3, taak 11.4 en taak 11.5 genoemd). De opdracht bestaat erin om deze taken in groepen van drie uit te voeren en hiervan een verslag te maken (´e´en verslag per groep).

Naast de kopie¨en uit het handboek krijg je ook het verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft, zie pagina’s A-128 en volgende. Dit kan je helpen om de taken uit het handboek uit te voeren.

Het verslag van die leerling is zeker geen modelvoorbeeld van een wetenschappelijk verslag! Er wordt van jullie veel beter verwacht.

3 Verslag Het verslag beantwoordt aan de criteria uit de inleiding waarbij je de schrijftips zo goed mogelijk tracht na te leven. Het verslag is mag handgeschreven zijn. Nummer je pagina’s onderaan.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). E´en groepslid dient zijn/haar practicum bundel in, met daarin het verslag. Je hoeft het verslag dus niet te kopi¨eren.

5 P.

Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn) (2006).

Pr-28

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

Attitudes

Pr-29

Evaluatiepunten:

13. Zelfregulatie 3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen.

3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te ori¨enteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

14. Zin voor samenwerking en overleg 3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

11. Kritische zin Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

2. Meet-en tekenvaardigheid 3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig.

3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen.

Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt.

6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen.

3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken.

3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren.

3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren.

3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren.

3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren.

3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze.

3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 7

zie volgende pagina

Commentaar

2

3

4

5

Schrijfstijl Het verslag is geen opeenvolging van ‘antwoorden op de vraagjes’, en ‘gegeven, gevraagd, oplossing’. Dat behoort enkel tot het voorbereidend werk. Het verslag zelf gebruikt een andere invalshoek. De probleemstelling is verwerkt in de tekst.

Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijk verslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Ook de verbanden tussen de zinnen moeten voldoende helder zijn.

Less is more Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een helder en bondig verslag, dat leidt tot het opwekken van interesse bij de lezer, waarna hij zich actief kan inleven in het probleem.

Maak je verslag effici¨ ent Gebruik je in je verslag figuren, dan verwijs je ook in de tekst naar deze figuren, leg je uit hoe je deze bekomt en wat er uit af te leiden valt.

Lay-out Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Een uitgetikt verslag is geen verplichting, wel een meerwaarde. Noodzakelijk is dat de gebruikte figuren voldoende duidelijk afgebeeld zijn.

Wees creatief en origineel Zo kan je je verslag onderscheiden van een gemiddelde tekst over dat onderwerp. Leg een niet voor de hand liggende link, neem historische aspecten op, bedenk een relevante toepassing. Overdrijf echter niet: je verslag is in de eerste plaats een zakelijke tekst.

Pr-30

Inhoud Zorg dat je overtuigd bent van je antwoord. Je attitude ‘kritische zin’ speelt hier een grote rol. Raden naar de oplossing is uit den boze: ken je een antwoord niet, dan geef je dat ook toe. Dat weerdhoudt je niet om na te denken om toch met een goed antwoord voor de dag te komen.

Totaal:

. . . / 60

Totaal verdediging: . . . / 10

Stijl Bij de verdediging geef je enkel antwoorden op de gestelde vragen. Dat doe je in het algemeen Nederlands, en op een heldere en beknopte manier. Zorg dat je het volledige verslag beheerst. Dat een ander groepslid de ondervraagde passage geschreven heeft, is geen excuus.

Totaal inhoud: . . . / 40

Helder en duidelijk Het verslag is ‘gemakkelijk’ te lezen. De lezer kan begrijpen wat jij te rapporteren hebt, en kan de aandacht bij het onderwerp houden door geen nutteloze aandacht te besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin of redenering.

C. Verdediging

Totaal opbouw: . . . / 10

Doelgroep Het niveau van het verslag is goed afgestemd op een lezer met wiskundige kennis op niveau van jouw studierichting, maar die het onderwerp en de opdracht niet kent. Neem geen te grote denksprongen, maar weidt ook niet uit over evidente zaken.

B. Inhoud

1

Hoofddeel en besluit In het hoofddeel staan niet alleen de antwoorden op de gestelde vragen. Vooral moet je de gevoerde redenering die achter elk antwoord schuilt, weergeven. In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding, en geef je aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties thuis.

0

Evaluatiepunten

Titel, samenvatting, inhoudstafel, inleiding en referentielijst De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van het verslag kunnen halen. De samenvatting van een verslag geeft een overzicht van het onderzoek, het belang van het onderzoek en wat je eruit concludeert. In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt, en wijs je op de samenhang tussen de hoofdstukken.

A. Opbouw

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

8 ONDERZOEKSOPDRACHT (1)

1. Inleiding Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige en wetenschappelijke vaardigheden leerden door middel van het observeren van een expert (leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo ijverde de wiskundige en didacticus George P´olya in 1945 reeds dat het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskundeonderwijs en dit op elk niveau: Goed onderwijs betekent dat leerlingen de kans krijgen om zelf te ontdekken.

1

De komende onderzoeksopdrachten hebben dan ook als bedoeling om ofwel een nieuwe techniek op zelfstandige basis meester te worden, ofwel zelf een probleem op te lossen en nadien een redenering op een haalbaar niveau te leveren.

Je kan dit realiseren door de vaardigheden en attitudes die in de vorige practica aan bod kwamen te bundelen en je hierin verder bekwamen: 3 probleemoplossende vaardigheden (Practica 2 en 3), 3 mathematiseren (Practica 4 en 6), 3 kritisch evalueren van wiskundige modellen (Practica 4 en 6), 3 logisch redeneren en argumenteren (Practicum 7), 3 zin voor samenwerking en overleg (Practica 1, 2, 3, 4, 6 en 7), 3 wiskundige taalvaardigheid (Practica 4, 5 en 6).

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd: OC1 Zich ori¨enteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.

OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.

OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

De eerste eindterm werd gerealiseerd bij de uitvoering van Practicum 1. Daar werd ook gemotiveerd waarom we het verzamelen, ordenen en bewerken van informatie niet zozeer aan bod komt in deze en volgende onderzoeksopdrachten.

In dit practicum komt de tweede eindterm aan bod, de derde eindterm is voor volgende practica.

| {z }

rapporteren confronteren

| {z }

competentie 1

verzamelen ordenen bewerken

competentie 3 onderzoekscompetenties

| {z }

competentie 2

voorbereiden uitvoeren evalueren

1 What is good education? Systematically giving opportunity to the student to discover things by himself. uit How to solve it: A new aspect of mathematical method, Princeton (1945).

Pr-31

Je eerste onderzoeksopdracht kadert in het onderwerp logica en heeft als bedoeling dat je de techniek van het logisch redeneren wat meester wordt. Dat we vooraf zelf een onderzoeksvraag geven en niet gevraagd wordt om een eigen onderzoeksvraag op te stellen, wordt in Practicum 9 gemotiveerd.

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en onderzoeksopdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (1 les, thuis afwerken) voer je individueel uit.

Je beantwoord de onderzoeksvraag op de volgende pagina. Deze opdracht

3 Verslag Je verslag bestaat uit de zes bewijzen. Let erop dat je je bewijzen in dezelfde stijl als de twee modelvoorbeelden schrijft. Pagina’s onderaan nummeren. Het verslag voeg je in deze practicum bundel.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met inferentieregels Logische wetten zijn tautologi¨en van de vorm ⇒ 4, waarbij staan voor een aantal uitspraken A, B, C, . . . (gegevens, ook wel premissen genoemd, genoteerd als PREM) en 4 een uitspraak die hieruit volgt (conclusie genoemd). Meestal vervangt men dan het symbool voor implicatie ⇒ door het symbool `. Men schrijft dus ` 4. We geven een overzicht van de meest courante inferentieregels die gebruikt worden om logische wetten te bewijzen. Elk van deze kunnen aangetoond worden met behulp van een waarheidstabel. naam modus ponens conjunctie simplificatie

logische wet

afkorting

A ⇒ B, A ` B

MP

A∧B `A A∧B `B

SIM

A, B ` A ∧ B

CONJ

A`A∨B B `A∨B

ADD

A ∨ B, A ⇒ C, B ⇒ C ` C

DIL

A ⇒ B, B ⇒ A ` A ⇔ B

GI

eliminatie van de gelijkwaardigheid dubbele negatie

A⇔B`A⇒B A⇔B`B⇒A

GE

reductio ad absurdum

A ⇒ B, A ⇒ (¬B) ` ¬A

additie dilemma introductie van de gelijkwaardigheid

¬(¬A) ` A

DN RAA

Modelvoorbeeld 1 Als eerste voorbeeld van een bewijs met behulp van deze inferentieregels beschouwen we een eenvoudig bewijs van de logische wet P ∧ Q, P ⇒ R ` R: 1 2 3 4

P ∧ Q, P ⇒ R ` R P ∧Q

PREM

P ⇒R

PREM

P

1; SIM

R

2,3;MP

Het eigenlijk bewijs wordt gevormd door de uitspraken in de tweede kolom. De nummers uit de eerste kolom gebruiken we om te verwijzen naar de uitspraken uit de tweede kolom; de verantwoording daarvoor staat in de derde kolom. We overlopen het bewijs.

1,2 We schrijven de gegevens (ook wel premissen genoemd).

3 We schrijven een uitspraak die volgt uit 1 door de inferentieregel SIM (simplificatie).

4 We schrijven een uitspraak die volgt uit 2 en 3 door de regel MP (modus ponens). Let even op volgende afspraak: in de derde kolom van lijn 4 staat een komma tussen de nummers van de uitspraken waaruit R werd afgeleid en een kommapunt tussen de nummers en de naam van de regel waaruit R uit die uitspraken volgt.

Pr-32

De lijnen 1-4 tonen aan dat we uit de gegevens P ∧ Q en P ⇒ R de R kunnen afleiden. Zo hebben we de logische wet P ∧ Q, P ⇒ R ` R bewezen.

Modelvoorbeeld 2 In het vorig bewijs werden eerst de premissen neergeschreven en werden daarna stap voor stap inferentieregels toegepast op uitspraken die in het bewijs voorkomen. Een heel andere en bijzonder interessante bewijsmethode maakt gebruik van zogenaamde subbewijzen. Hier is een voorbeeld:

1 2 3 4 5 6

P ⇒ Q ` (P ∧ R) ⇒ Q P ⇒Q

PREM

(P ∧ R) ⇒ Q

2,5;VB

P ∧R P P ⇒Q Q

HYP 2; SIM 1; REIT 3,4; MP

Laat ons dit even bekijken.

1 We schrijven de premisse op.

2 We veronderstellen P ∧ R. Deze stap volgt dus niet uit de premisse, maar is een veronderstelling (ook hypothese genoemd, genoteerd als HYP). Om dat duidelijk te maken trekken we er een verticale lijn naast. We laten die lijn doorlopen zolang we nagaan wat uit de hypothese volgt.

3 Uit P ∧ R volgt P .

4 In een subbewijs mogen we een beroep doen op alle gegevens die beschikbaar waren voor we de hypothese invoerden - in dit geval de premisse P ⇒ Q uit lijn 1. We drukken dit uit door P ⇒ Q te re¨ıtereren op lijn 4. Re¨ıtereren betekent: iets wat we ter beschikking hebben, binnen het subbewijs halen. We noteren dit met REIT. 5 We passen modus ponens toe.

6 Het subbewijs 2-5 toont aan dat, gegeven de premisse, Q volgt uit P ∧ R. Met andere woorden, gegeven P ⇒ Q hebben we getoond: als P ∧ R, dan Q. Dit staat op lijn 6. De regel die we hier gebruiken noemen we een voorwaardelijk bewijs, notatie VB. Onderzoeksvraag Zoek bewijzen met behulp van inferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor de volgende logische wetten. (a) P ∧ Q ` P ∨ Q (b) (P ∨ Q) ⇒ (R ∧ S), P ` R (c) ¬(¬P ), (P ∨ Q) ⇒ R, S ` R ∧ S (d) P ⇔ Q, Q ∨ R, R ⇒ P ` P ?

(e) P ⇒ Q, ¬Q ` ¬P

?

(f) P ⇒ (Q ∧ R), P ⇒ ¬R ` ¬P

Pr-33

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde.

3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen.

3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen).

12. Zelfvertrouwen en zelfstandigheid.

3 Je toont zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten.

3 Je ziet in dat fouten maken inherent deel uitmaken van het leerproces.

13. Zelfregulatie.

3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen.

3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te ori¨enteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

Attitudes

Pr-34

5. Probleemoplossende vaardigheden.

3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen.

3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.).

3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan zoekstrategie¨en toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen.

3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategie¨en en je plan.

3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.

6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen.

3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken.

3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren.

3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren.

3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren.

3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren.

3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze.

3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 8 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

9 ONDERZOEKSOPDRACHT (2)

1. Inleiding In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie: OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.

OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

| {z }

rapporteren confronteren

| {z }

competentie 1

verzamelen ordenen bewerken

competentie 3 onderzoekscompetenties

| {z }

competentie 2

voorbereiden uitvoeren evalueren

Het leerplan onderscheidt volgende fasen in het aanpakken van een onderzoeksopdracht.

(1) De leerling stelt zichzelf een onderzoeksvraag, al of niet vanuit een aangestuurde reeks van mogelijkheden binnen een begeleide aanpak.

(2) De leerling werkt aan een probleemverkenning. Dat betekent: maakt een analyse, probeert het probleem te begrijpen, te omvatten en om het als dusdanig beter te omschrijven (antwoord op de vraag: weten wat aan te pakken). In deze fase kan al gewerkt worden aan het documenteren van de opdracht, bijv. feitenmateriaal en kennis verzamelen.

(3) De leerling stelt een plan van uitvoering op (antwoord op de vraag: weten hoe het aan te pakken). Dat kan inhouden: het formuleren van deelaspecten, deelopdrachten, maar ook het opstellen van een tijdskader.

(4) De leerling voert het plan uit. Dat kan betekenen: verder documenteren, effectief gegevens verzamelen, effectief verbanden onderzoeken, de bevindingen verder uitwerken, etc. (antwoord op de vraag: weten waarom het zo aan te pakken).

(5) De leerling formuleert conclusies en legt ze neer in een meestal schriftelijke neerslag. Daarop volgt nog het terugkijkend reflecteren (weten over weten).

De fasen (2) tot en met (5) zijn een herformulering van het stappenplan voor probleemoplossend denken (zie Practicum 1) en kwamen meermaals aan bod in de vorige practica. Fase (1) kwam alsnog niet aan bod en daar is een reden voor.

Iedereen die wat ervaren is in het onderzoeken1 van wiskundige problemen komen al snel tot de volgende bevindingen.

3 Om binnen de wiskunde een haalbaar onderzoeksdomein af te bakenen heb je heel wat expertise nodig. Omdat het een onderzoek betreft, gaan we ervan uit dat de onderzoeker niet vertrouwd is met het onderwerp. In deze context is het verlangen dat hij of zij een haalbaar tijdsplan opstelt gewoon niet realistisch. Academici vinden het niet eenvoudig om een eigen onderzoeksvraag op te stellen, haalbaar naar inhoud en tijdsbesteding. Is het dan wel zinvol dat wij zoiets van leerlingen verwachten?

3 In een onderzoeksopdracht wiskunde wordt de haalbaarheid van een onderzoeksvraag pas duidelijk tijdens het onderzoek zelf. Net hierin onderscheidt een wiskundig onderzoek zich met een taalkundig of historisch onderzoek. Reeds in Practicum 1 haalden we we aan dat bij een wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boeken of het internet haalt, maar genereert door zelf te redeneren.

1 We

hanteren onze invulling van de term wiskundig onderzoek zoals beschreven in de inleiding van Practicum 1.

Pr-35

Deze argumentatie doet ons besluiten dat het vooraf opstellen van een onderzoeksvraag gewoonweg niet relevant is. Men kan zelfs de omgekeerde conclusie trekken: pas na een uitvoerig onderzoek wordt duidelijk wat een haalbare en zinvolle onderzoeksvraag is. Net het zoeken naar de onderzoeksvraag leidt tot een redenering, die de onderzoeksvraag afbakent. In de wiskunde noemt men dit het formuleren van een vermoeden. Of, om het in de woorden van de wiskudige Emil Artin te zeggen2 : Our difficulty is not in the proofs, but in learning what to prove.

Daarom vervangen we fase (1) door fase (1’) en voegen we een extra fase (5bis) toe.

(1’) De leerling krijgt een vooraf gestelde onderzoeksvraag, al of niet voorzien van een aantal kleinere vragen die tot de oplossing van de onderzoeksvraag kunnen leiden of een aangestuurde reeks van mogelijkheden binnen een begeleide aanpak. Daarnaast wordt de leerling aangemoedigd om zelf kleinere onderzoeksvragen te formuleren om zo een eigen redenering op touw zetten die de grotere, hier gestelde onderzoeksvraag beantwoordt.

Emil Artin (1898 - 1962)

(5bis) De leerling wordt aangemoedigd om een eigen vermoeden te formuleren. Het opstellen van zo’n vermoeden gebeurt op basis van zijn eerder onderzoek en getuigt van het inzicht die de leerling gedurende zijn onderzoek verworven heeft. De leerling zal zijn vermoeden motiveren door te verwijzen naar aanwijzingen in het eerder onderzoek en/of een mogelijke aanpak tot het oplossen van zijn vermoeden suggereren.

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en de vier onderzoeksopdrachten lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van drie tot vier. De leerkracht beslist hoe de opdrachten onder de groepen verdeeld worden. Daarna krijg je de wat meer informatie over je onderwerp, inclusief enkele onderzoeksvragen (pagina A-134 en verder). Jullie eindresultaat is een verslag dat beantwoordt aan de criteria uit Practicum 7. Let hierbij op de aandachtspunten die toen aan bod kwamen en de doelstellingen uit de inleiding: . niet de kleinere vragen overschrijven en beantwoorden, maar wel een eigen redenering opbouwen; . zorg dat jullie verslag vlot leesbaar is (voor een medeleerling uit de klas); . op het einde van je opdracht wordt gevraagd een eigen vermoeden te formuleren en te motiveren; . het is een meerwaarde om in je verslag een toepassing op te nemen. Ook een diepere historische of wiskundige analyse, randinformatie, afbeeldingen en andere relevante creatieve vondsten zijn een bonus.

Het verslag mag handgeschreven zijn, pagina’s onderaan nummeren.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). E´en groepslid dient zijn/haar practicum bundel in, met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopi¨eren.

Onderzoeksopdracht 1 - Verkeerplanning Voor het aanleggen en het uitbreiden van een wegennet gaan heel wat studies vooraf. Naast praktische overwegingen is het erg belangrijk om een zicht te hebben op de mate waarin het verkeer een vlotte doorstroom kent. Dat doet men door een model te maken: voor een gegeven aantal bestuurders op het wegennet probeert men de tijd te berekenen die nodig is om van een punt A naar een punt B te rijden. In deze onderzoeksopdracht beschouwen we enkele eenvoudige modellen waarin we laten zien hoe je zoiets kan berekenen. Ook voor een groter wegennet zal men gelijkaardige principes hanteren, maar laat men het rekenwerk over aan een computer.

In deze opdracht maken we de volgende vereenvoudigingen.

1. We nemen aan dat op elk moment een constant aantal auto’s auto’s op het wegennet rijden. Dat aantal noteren we met n. Uiteraard kent zo’n model ook zijn beperkingen, want van zodra n ‘te groot’ wordt, zal het wegennet volledig dichtgeslipt zijn, zodat er geen doorstroom meer mogelijk is.

2. Elke bestuurder beschikt op elk moment over alle verkeersinformatie van het volledige wegennet en past die informatie ook zelfzuchtig toe. Dus als een bestuurder kan kiezen tussen twee alternatieve routes, dan zal hij of zij altijd zal kiezen voor de route die het minst tijd kost.

Aan de hand van enkele voorbeelden laten we de belangrijkste principes zien. Daarna ga je zelf aan de slag.

2 M.

Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

Pr-36

Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus Deze onderzoeksopdracht gaat over een variant van een oud probleem genoemd naar Josephus, een befaamde historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens de Joods-Romeinse oorlog werd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in een grot. De rebellen verkozen zelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring te gaan staan en elke derde persoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. Maar Josephus en een andere persoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie en - zo gaat de legende - bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijven om zich nadien aan de Romeinen over te geven.

In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan. Om het probleem van Josephus wat eenvoudiger te maken spreken we in een eerste onderzoeksvraag af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoord wordt.

Flavius Josephus (37 - ±100)

Onderzoeksopdracht 3 - Winnende strategie¨ en Een kansspel is een spel waar winst of verlies wordt bepaald door toeval, bijvoorbeeld het spelen van een krasspel of een deelname aan de lotto. In deze onderzoeksopdracht hebben we het niet over kansspellen maar over wiskundige spellen met twee spelers, waar de winst of het verlies van een speler enkel afhangt van de beslissingen die beide spelers tijdens het spel nemen. Voor zo’n wiskundig spel is een van de belangrijkste vragen of er een winnende strategie bestaat: een stappenplan zodat een speler, ongeacht de beslissingen van de andere speler, het spel gegarandeerd wint. Bestaat er zo’n winnende strategie en zijn beide spelers hiervan op de hoogte, dan is de uitkomst van het spel afhankelijk van wie het spel als eerste begint. We noemen een spelsituatie winnend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd wint indien hij zo’n winnende strategie toepast. Een spelsituatie is verliezend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd verliest indien de tegenspeler zo’n winnende strategie toepast. De tak van de wiskunde die zich met het bestaan van winnende strategie¨en en de beslisbaarheid van winnende en verliezende spelsituaties bezig houdt, is de zogenaamde speltheorie.

In wat volgt bespreken we het spel Nim, waarin we laten zien dat een winnende strategie afhangt van de beginsituatie.

Is die beginsituatie gunstig en past de speler die het eerst aan zet is deze strategie toe, dan wint hij/zij gegarandeerd het spel. Is de beginsituatie ongunstig en past de tweede speler die aan zet is zijn/haar strategie toe, dan verliest de eerste speler gegarandeerd.

In de onderzoeksvraag hebben we het over een ander spel, waarbij het bestaan van zo’n winnende strategie ook afhangt van de beginsituatie.

Onderzoeksopdracht 4 - Afstand, snelheid en tijd Dat de fundamentele begrippen afstand, snelheid en tijd eenvoudig te begrijpen zijn, is slechts schijn. Zo hebben de beruchte paradoxen van Zeno (naar Zeno van Elea, ca. 490 v. Chr. - ca. 430 v. Chr.) en zijn uiteenzettingen over de onmogelijkheid van beweging eeuwenlang voor ophef gezorgd: Op elk tijdstip bevindt een vliegende pijl zich op een vaste plaats in de ruimte. Ten opzichte van die plaats in de ruimte is hij dan in rust. Maar dan is de pijl op elk moment in rust zodat de pijl niet beweegt?

De paradoxen konden pas in de 17e eeuw worden aangepakt door het inzicht van de calculus dat een som met oneindig veel termen toch een eindig resultaat kan hebben. Veel kon ook worden opgehelderd met behulp van de concepten functie en grafiek van een functie.

Een snelheid-tijd diagram is een grafiek van de snelheid in functie van de tijd. Is de snelheid v over een tijdsinterval [t1 , t2 ] constant, dan is de afgelegde weg over dat interval gelijk aan v · (t2 − t1 ) en dus de oppervlakte tussen de grafiek en de horizontale as. Dat is ook het geval wanneer de snelheid niet constant is (zie figuur), wat men kan inzien door zo’n snelheid-tijd diagram op te delen in zeer kleine tijdsintervallen waarbij de snelheid als constant kan worden beschouwd.

Deze onderzoeksvraag gaat over afstand, snelheid en tijd. Daarbij kunnen zowel rekenvaardigheid als bovenstaande interpretatie in verband met het snelheid-tijd diagram van pas komen.

Pr-37

v y = v(t)

Opp. = afgelegde weg

t1

t2

t

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie.

Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

Attitudes

Pr-38

13. Zelfregulatie.

3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen.

3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te ori¨enteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

15. Waardering voor de wiskunde.

Je toont inzicht in de bijdrage van de wiskunde in culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkelingen.

11. Kritische zin.

Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

4. Denk- en redeneervaardigheden.

3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen.

3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen.

3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken.

3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken.

6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen.

3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken.

3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren.

3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren.

3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren.

3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren.

3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze.

3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 9 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

10 ONDERZOEKSOPDRACHT (3)

1. Inleiding In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie.

| {z }

rapporteren confronteren

| {z }

competentie 1

verzamelen ordenen bewerken

competentie 3 onderzoekscompetenties

| {z }

competentie 2

voorbereiden uitvoeren evalueren

Deze onderzoeksopdracht is de grootste onderzoeksopdracht uit je practicum wiskunde. Het is de bedoeling dat jullie een echt wiskundig onderzoek uitvoeren en jullie bevindigen rapporteren in een verslag (werkstuk). In de beschrijving van de opdracht krijg je enkele vragen die je kunnen helpen om het onderwerp te onderzoeken. Hierbij is het noodzakelijk om alle verworven competenties uit de vorige practica te bundelen.

2. Afspraken en tips Om het denkwerk te verrichten beschik je over een aantal lesuren verspreid over een week. Daarna heb je nog voldoende tijd om het verslag af te werken. Wellicht zal het nodig zijn om je gedurende die tijd nog enkele keren met je groep samen te komen.

Daarna volgt er een verdediging. Tijdens ´e´en les komt elke groep beurtelings bij de leerkracht (ongeveer 10 minuten).

Groepen die niet aan de beurt zijn werken verder aan opgegeven oefeningen.

Richtlijnen bij het onderzoek 3 Opgaven en deeltaken hangen nauw samen. Lees eerst de hele opgave goed door. Werk je in groep in en maak daarna een taakverdeling.

3 Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het stappenplan voor probleemoplossend denken (zie Practicum 1): het probleem begrijpen, zoekstrategie¨en bedenken en een plan opstellen, het plan uitvoeren, controleren.

3 Bespreek je werk op meerdere momenten in groep. Herzie eventueel je planning.

3 Ervaring wijst uit dat leerlingen het moeilijk hebben om tot veralgemeningen te komen. Veel groepen kijken daarenboven onvoldoende kritisch naar een gevonden resultaat. Tracht een vermoeden ook ten gronde te bewijzen.

3 De leerkracht heeft niet als taak vragen van leerlingen te beantwoorden en zo het denkwerk in hun plaats uit te voeren. De leerkracht heeft enkel de taak om de teams gemotiveerd te houden. Opvragen van formules aan de leerkracht kan wel (databank-functie). Om je de kans te geven informatie op te zoeken kan de leerkracht enkele boeken, cursussen of het internet ter beschikking stellen.

Pr-39

Richtlijnen bij het verslag 3 Begin tijdig aan het verslag, je hoeft niet te wachten tot alle lesuren om zijn. Start met het maken van een structuur (of ‘kapstok’): welke onderverdelingen bespreek je in het hoofddeel van het verslag?

3 Voor je verslag pas je de structuur, richtlijnen bij wiskundig schrijven en schrijftips uit Practicum 7 toe.

3 Let erop dat het verslag geen opeenvolging is van antwoorden op de vraagjes. Het kan zijn dat je beter begint met de laatste opgave of een meer ingewikkelde opgave waarvan de vorige vragen een onderdeel vormen.

Denk aan de a,b,c,. . . vraagjes die bij een toets op examen vaak bedoeld zijn om je naar het grotere probleem te gidsen.

3 Het is van groot belang dat het verslag helder leesbaar is. Het is niet altijd eenvoudig om in iemands redenering te komen. Voor de beoordelaar is het erg belangrijk dat de stappen voldoende uitgewerkt en toegelicht zijn.

3 De leerkracht kan de mogelijkheid geven om - bij wijze van illustratie - werkstukjes van vorige jaren in te kijken (uiteraard handelen die over een ander onderwerp).

3. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding, afspraken en tips en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van vier. In het begin van de eerste les krijg je een bundel die het onderwerp en de onderzoeksopdracht beschrijft (pagina’s A-142 tot en met A-145). Tijdens de lessen voer je het onderzoek uit. Het eindresultaat is een werkstuk waarin je het onderwerp behandelt. . Typen mag, maar hoeft niet (een getypt verslag kan een meerwaarde zijn). In elk geval nummer je de bladen onderaan in het midden. . Een diepere historische of wiskundige analyse, afbeeldingen, randinformatie en andere relevante creatieve vondsten zijn een bonus. . Per groep ´e´en verslag indienen. Het verslag zal verbeterd en gekopieerd worden door de leerkracht.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). E´en groepslid dient zijn/haar practicum bundel in, met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopi¨eren.

3 Verdediging per groep Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-40

2

3

4

5

Schrijfstijl Het verslag is geen opeenvolging van ‘antwoorden op de vraagjes’, en ‘gegeven, gevraagd, oplossing’. Dat behoort enkel tot het voorbereidend werk. Het verslag zelf gebruikt een andere invalshoek. De probleemstelling is verwerkt in de tekst.

Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijk verslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Ook de verbanden tussen de zinnen moeten voldoende helder zijn.

Less is more Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een helder en bondig verslag, dat leidt tot het opwekken van interesse bij de lezer, waarna hij zich actief kan inleven in het probleem.

Maak je verslag effici¨ ent Gebruik je in je verslag figuren, dan verwijs je ook in de tekst naar deze figuren, leg je uit hoe je deze bekomt en wat er uit af te leiden valt.

Lay-out Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Een uitgetikt verslag is geen verplichting, wel een meerwaarde. Noodzakelijk is dat de gebruikte figuren voldoende duidelijk afgebeeld zijn.

Wees creatief en origineel Zo kan je je verslag onderscheiden van een gemiddelde tekst over dat onderwerp. Leg een niet voor de hand liggende link, neem historische aspecten op, bedenk een relevante toepassing. Overdrijf echter niet: je verslag is in de eerste plaats een zakelijke tekst.

Pr-41

Inhoud Zorg dat je overtuigd bent van je antwoord. Je attitude ‘kritische zin’ speelt hier een grote rol. Raden naar de oplossing is uit den boze: ken je een antwoord niet, dan geef je dat ook toe. Dat weerdhoudt je niet om na te denken om toch met een goed antwoord voor de dag te komen.

Totaal:

. . . / 60

Totaal verdediging: . . . / 10

Stijl Bij de verdediging geef je enkel antwoorden op de gestelde vragen. Dat doe je in het algemeen Nederlands, en op een heldere en beknopte manier. Zorg dat je het volledige verslag beheerst. Dat een ander groepslid de ondervraagde passage geschreven heeft, is geen excuus.

Totaal inhoud: . . . / 40

Helder en duidelijk Het verslag is ‘gemakkelijk’ te lezen. De lezer kan begrijpen wat jij te rapporteren hebt, en kan de aandacht bij het onderwerp houden door geen nutteloze aandacht te besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin of redenering.

C. Verdediging

Totaal opbouw: . . . / 10

Doelgroep Het niveau van het verslag is goed afgestemd op een lezer met wiskundige kennis op niveau van jouw studierichting, maar die het onderwerp en de opdracht niet kent. Neem geen te grote denksprongen, maar weidt ook niet uit over evidente zaken.

B. Inhoud

1

Hoofddeel en besluit In het hoofddeel staan niet alleen de antwoorden op de gestelde vragen. Vooral moet je de gevoerde redenering die achter elk antwoord schuilt, weergeven. In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding, en geef je aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties thuis.

0

Evaluatiepunten

Titel, samenvatting, inhoudstafel, inleiding en referentielijst De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van het verslag kunnen halen. De samenvatting van een verslag geeft een overzicht van het onderzoek, het belang van het onderzoek en wat je eruit concludeert. In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt, en wijs je op de samenhang tussen de hoofdstukken.

A. Opbouw

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie.

Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

Attitudes

Pr-42

14. Zin voor samenwerking en overleg.

3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

Evaluatiepunten:

11. Kritische zin.

Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

4. Denk- en redeneervaardigheden.

3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen.

3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen.

3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken.

3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken.

6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen.

3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken.

3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren.

3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren.

3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren.

3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren.

3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze.

3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 10

zie vorige pagina

Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

11

ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS 1. Inleiding1 In dit practicum maak je zelfstandig oefeningen tijdens de les waarbij je gebruik maakt van oplossingssleutels. Dat lijkt erg handig, maar je moet er wel verstandig mee omgaan. Dat kan het beste als volgt.

Ga ervan uit dat je het meeste leert door zelf de oefeningen uit de cursus te maken.

Van de fouten die je daarbij maakt, leer je veel over de leerstof ´en over jezelf. Maak die fouten dan ook eerst en bekijk pas daarna de oplossingen of oplossingssleutels. Lees dus nooit de oplossingen van tevoren door, want dan leer je zelf niet genoeg.

De modelvoorbeelden uit de cursus laten je zien hoe de aanpak, oplossingsroute (recept) en uitwerkingen van een type oefening er uit zien. Bij het herhalen van je les wiskunde (elke dag!) bekijk je die voorbeelden dus goed en ga je bij elke stap na of je begrijpt waarom juist die stap gezet wordt.

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (1 les, thuis afwerken) Tijdens de les maak je zelfstandig de reeks oefeningen op pagina A-148 uit Deel Integralen (bepaalde integralen). Je doet dat aan de hand van de oplossingssleutels op de volgende pagina’s.

3 Verslag Je schrijft je oplssingen op cursusbladen, elke opgave start op een nieuw cursusblad. Je volgt de volgende structuur: . “Oefening” met nr. opschrijven, . “Oplossing”.

Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Op het einde van de les.wordt gezegd welke van de vier reeksen oefeningen moet indienen. Dat cursusblad voeg je in deze practicumbundel. Nummer die pagina onderaan in het midden (eventuele volgende pagina’s nummeren met 2, 3, etc.). De overige drie oefeningen hoef je niet af te geven. Die kun je later zelf verbeteren.

1 Gebaseerd op de studiewijzer uit R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, T.M. van Pelt, wiskunde voor het hoger onderwijs: uitwerkingen, Noordhoff Uitgevers (2009).

Pr-43

Oefeningen - Oplossingssleutels Oefening 1. Bereken algebra¨ısch de term in de gevraagde Riemann-som en duid deze aan op een schets: f (x) =

1 x

vierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]

Oplossingssleutel. (i) Maak eerst een schets van de grafiek van f .

Omdat [a, b] = [1, 2], kun je je voor het tekenen van de x-as beperken tot het interval [−1, 4] of zelfs [0, 3]. (ii) Er is gevraagd om een vierde term in een rij van Riemann-sommen te berekenen.

Je moet het interval [1, 2] dus verdelen in vier lijnstukken van gelijke lengte.

Dat wordt dus: [1; 1, 25], [1, 25; 1, 5], [1, 5; 1, 75] en [1, 75; 2]. (iii) Op elk van de vier deelintervallen teken je nu een rechthoek.

Linkersom betekent: de hoogte van zo’n rechthoek is de functiewaarde van het getal links in het interval.

Dus de eerste rechthoek heeft als basis [1; 1, 25] en als hoogte f (1). (iv) Bereken nu de Riemann-som R4 met behulp van de formule op pagina A-149 (XI-7 midden): R4 = f (1) · (1, 25 − 1) + . . . (v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma2 curvatur).

Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = ex . (a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid? (b) Bepaal algebra¨ısch de waarde van de aangeduide oppervlakte

.

y y = ex 4 3 2 1

−1

1

2

3

4

x

Oplossingssleutel. (a)

(i) De hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van een bepaalde x-waarde.

Welke x-waarde neemt men telkens? (ii) Opgelet: misschien zijn er wel meerdere mogelijkheden voor je antwoord op vraag (a).

(b)

(i) Van elke rechthoek bereken je de oppervlakte.

Nadien tel je die oppervlaktes op. (ii) De basis van elke rechthoek is 0, 5.

De hoogte is telkens de functiewaarde van een bepaalde x-waarde: f (−1), f (−0, 5), etc. (iii) Om f (−1), f (−0, 5), etc. te berekenen: gebruik dat f (x) = ex . (iv) Denk er aan dat men vraagt om de waarde algebra¨ısch te bepalen.

Je moet dus de exacte√waarde geven. √ Zo stelt bijvoorbeeld 2 een exacte waarde voor en 1, 41 . . . slechts de decimale voorstelling van 2. (v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma curvatur).

2 Niet

standaard voorzien. Gratis downloaden kan via http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/442/44250.html

Pr-44

.

Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafische rekenmachine de volgende bepaalde integralen en maak een schets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.

Z 1 (a) x3 dx −1 2

(b) (c)

Z

Z

2x dx

−1 π 4

tan xdx

0

Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan, kunnen als volgt te werk gaan MATH 9:fnInt

fnInt(f(x),x,a,b)

Oplossingssleutel. (a)

(i) Volg de stappen in bovenstaande schermafdrukken om de bepaalde integraal te berekenen. (ii) f (x) = x3 is een elementaire functie, er wordt dus verwacht dat je de grafiek van die functie zonder grafische rekenmachine kan schetsen. (iii) Duid in je schets van de grafiek van f de relevante geori¨enteerde oppervlakte aan. (iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen en de meetkundige betekenis ook aanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.

(b) Analoog aan (a). (c) Analoog aan (a). De functie in het integrandum is een goniometrische functie, dus zorg ervoor dat je grafische rekenmachine “in radialen staat”, via mode.

Oefening 4. Gegeven is de functie f (x) = 3x . (a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.

Z 1 (b) Bereken 3x dx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde −1

integraal aan in een schets.

Oplossingssleutel.

Deze oefening maak je met behulp van Werkwijze 1 op pagina A-149 (XI-12).

Ze is dan ook gelijkaardig aan de twee modelvoorbeelden op die pagina. (a)

(i) De oppervlaktefunctie A(t) bepaal je uit de voorwaarden A0 (t) = f (t) en A(a) = 0. (ii) Wat is f (t)? Wat is a? Vervang dit in de vorige regel. (iii) Als je niet meteen weet voor welke functie A(t) geldt dat A0 (t) = 3t , denk er dan aan dat de afgeleide van 3t “bijna” zichzelf is.

Als eerste poging probeer je dus A(t) = 3t uit.

(b)

(i) Om de integraal te berekenen met behulp van de oppervlaktefunctie grijp je terug naar Werkwijze 1 op pagina A-149 (XI-12). (ii) Wat is b? Vervang dit. (iii) Maak een schets van de grafiek van f (x) = 3x en duid de relevante geori¨enteerde oppervlakte aan. (iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen en de meetkundige betekenis ook aanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.

Pr-45

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde.

3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen.

3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen).

12. Zelfvertrouwen en zelfstandigheid.

3 Je toont zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten.

3 Je ziet in dat fouten maken inherent deel uitmaken van het leerproces.

Attitudes

Pr-46

1. Rekenvaardigheid.

3 Bij het algebra穡覺sch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit.

3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt.

2. Meet-en tekenvaardigheid.

3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig.

3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen.

Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt.

3. Wiskundige taalvaardigheid.

3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde: . je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.).

3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra穡覺sch/grafisch, teken, contrueer).

3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram).

3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 11 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

12 WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL

1. Inleiding1 Een wiskundig model is een wiskundige beschrijving van een systeem, vaak een waarneembaar verschijnsel. Het doel van het model is om met wiskundige technieken een systematische analyse te maken, om zo inzicht te verwerven in het verschijnsel en voorspellingen over het systeem te doen. Dat is de kern van de wetenschap. Het proces waarbij men een model ontwikkelt noemt men modelleren.

Een model kan nooit een volledig beeld van de werkelijkheid geven. Het is altijd een vereenvoudiging. Een goed model zoekt een evenwicht tussen eenvoud en nauwkeurigheid: het moet eenvoudig genoeg zijn om mee te kunnen rekenen en zinvolle conclusies te kunnen trekken en het moet nauwkeurig genoeg zijn om die conclusies betrouwbaar te doen zijn. Als een eenvoudig model een even goede beschrijving van de waarnemingen geeft als een ingewikkeld model, dan verdient het eenvoudige model de voorkeur.

Wiskundige modellen worden zowel gebruikt in natuur- en ingenieurswetenschappen (fysica, elektrotechniek, biologie, geologie, meteorologie) als in sociale wetenschappen (economie, psychologie, sociologie, politicologie).

We sommen enkele voorbeelden op.

3 Plantenteelt (allometrie2 ) Bij grassen en granen is de groeisnelheid van de wortelmassa vaak anders dan die van de bladmassa. Dit leidt ertoe dat de verhouding tussen beide geleidelijk verandert als de plant groeit. Observaties wijzen uit dat het verband tussen de wortelmassa w en de spruit s (de groene delen) vaak gemodelleerd kan worden met de vergelijking w(s) = c ¡ sk

waarbij c, k â&#x2C6;&#x2C6; R+ 0

De parameter k noemt men de allometrische constante. Zo geldt voor Italiaans raaigras de waarde k = 1, 12 tot aan de bloei, daarna krijgt k een (lagere) waarde.

3 Econometrie3 den:

In een bedrijf beschouwt men volgende economische grootheItaliaans raaigras (Lolium Multiflorum)

L het arbeidersinkomen, Z het niet-arbeidersinkomen, kortweg â&#x20AC;&#x2DC;winstâ&#x20AC;&#x2122; te noemen, U de waarde der verkochte consumptiegoederen, V de waarde der verkochte investeringsgoederen.

Als model neemt men de volgende betrekkingen tussen deze grootheden aan.

(1) De winstvergelijking: Z = U + V â&#x2C6;&#x2019; L

(2) Een vertraging aangenomen van ´e´en tijdseenheid: Vt = βZtâ&#x2C6;&#x2019;1 (3) De uitgaven voor consumptiegoederen: Ut = Lt + 1 Ztâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2 (Ztâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; Ztâ&#x2C6;&#x2019;2 ) Hierbij stellen β, 1 en 2 parameters die men kan schatten door de grootheden L, Z, U en V te oberveren over een aantal tijdseenheden.

1 Gebaseerd

op M. De Gee, Wiskunde in werking deel 2, Epsilon Uitgaven, Utrecht (2002). betekent: Verandering van de verhoudingen van de verschillende lichaamsdelen gedurende de groei.

3 Uit J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938). Econometrie is de discipline binnen de economische wetenschap die zich richt op het kwantificeren (het in getallen uitdrukken) van de relaties tussen economische grootheden. Econometrie kan het beste worden omschreven als de wetenschap van het economisch modelleren, waarbij een groot beroep wordt gedaan op technieken uit de wiskunde, de waarschijnlijkheidsrekening en de statistiek. Informatica neemt een belangrijke plaats in, zowel bij het ontwerp als bij het toetsen en gebruiken van econometrische modellen.

2 Allometrie

Pr-47

Hieruit kan men achterhalen dat de winst Z op tijdstip t als volgt afhangt van de winst op de twee voorgaande tijdstippen: Zt = (β + 1 + 2 )Ztâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2 Ztâ&#x2C6;&#x2019;2 3 Milieukunde Op grond van waarnemingen vanaf 1970 voorspelde het IPCC (Intergovernmental Panel on Climate Change) dat zonder reductie van de uitstoot van broeikasgassen de gemiddelde temperatuur elke tien jaar met 0, 3â&#x2014;Ś C zou stijgen. In 1970 was de gemiddelde temperatuur 15â&#x2014;Ś C. Een ander model voorspelt een stijging van de zeespiegel met 65 cm ten opzichte van 1970 niveau als de gemiddelde temperatuur 19â&#x2014;Ś C is.

3 Marktkunde Een nieuw product wordt vaak gelanceerd met een reclamecampagne die de eerste gebruikers overhaalt. Daarna volgt vaak nog een fase waarin het verbruik kan toenemen door mond-tot-mond reclame. Mond-totmond reclame werkt als een besmetting, waarin niet-gebruikers het gedrag van gebruikers waarmee ze sociaal contact hebben geleidelijk overnemen. Noemen we p(t), met 0 â&#x2030;¤ p â&#x2030;¤ 1 de fractie gebruikers binnen de doelgroep op tijdstip t, dan wordt een eenvoudig model gegeven door een zogenaamde logistische functie p(t) =

1 1 + c eâ&#x2C6;&#x2019;r t

waarbij c, r â&#x2C6;&#x2C6; R+ 0

De figuur hiernaast geeft de toename in het gebruik van een nieuw herbicide onder de graanboeren in de Amerikaanse staat Iowa weer, met t de tijd in jaren.

De parameters bij deze data zijn geschat als r = 0, 8691 en c = 47, 2797.

Marktpenetratie4 van een herbicide in Iowa

3 Natuurkunde (kinematica) Een voorwerp met massa m valt naar beneden. We wensen de snelheid van het voorwerp uit te drukken in functie van de tijd t. . Model I. De versnelling van het voorwerp in functie van de tijd t wordt gemodelleerd door de formule a(t) = g waarbij gelijk is aan de valversnelling. Dit getal g is afhankelijk van de plaats op aarde. In Belgi¨e is g â&#x2030;&#x2C6; 9, 91m/s2 . Dit model geeft een goede benadering weer van de versnelling van het voorwerp indien men (1) de luchtweerstand verwaarloost en (2) men het voorwerp op relatief kleine hoogte laat vallen. Integratie van de versnelling geeft de snelheidsfunctie v(t) en een tweede integratie geeft ons de plaatsfunctie. Binnen dit model is de snelheid van het voorwerp onafhankelijk van de massa en de vorm van het voorwerp:  a(t) = g    v(t) = v(0) + gt    x(t) = x(0) + v(0)t + 1 gt2 2

. Model II. Een model dat wel rekening houdt met de luchtweerstand is meer accuraat, maar ook meer ingewikkeld. Binnen zoâ&#x20AC;&#x2122;n model wordt de snelheidsfunctie beschreven in termen van de tangens hyperbolicus ! r r mg gk v(t) = tanh t k m waarbij k een constante is die bepaald wordt door de vorm van het voorwerp en de dichtheid van de lucht. Binnen dit model is de snelheid van het voorwerp wel afhankelijk van de massa m. De tangens hyperbolicus staat voor de functie tanh(x) =

ex â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;x ex + eâ&#x2C6;&#x2019;x

y H.A. y = 1 graf f x

H.A. y = â&#x2C6;&#x2019;1 de grafiek van de functie f (x) = tanh x

De rechte y = 1 is een horizontale asymptoot voor x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; aan de grafiek van tanh(x), want

â&#x2C6;&#x17E; ex â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;x (ex â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;x )/ex 1 â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;2x 1 â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; = = lim = lim = =1 xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; ex + eâ&#x2C6;&#x2019;x xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; (ex + eâ&#x2C6;&#x2019;x )/ex xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 1 + eâ&#x2C6;&#x2019;2x â&#x2C6;&#x17E; 1 + eâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lim tanh(x) = lim

xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

Bijgevolg bereikt het voorwerp na verloop van tijd zekere een limietsnelheid, die we wiskudig berekenen als ! r r r r mg gk mg mg tanh t = tanh(+â&#x2C6;&#x17E;) = lim v(t) = lim tâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; tâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; k m k k 4 Marktpenetratie is de mate waaraan een product of dienst door potenti¨ ele klanten bekend is en/of gebruikt wordt, met als formule (aantal gebruikers)/(potentieel aantal gebruikers) ¡ 100. De marktpenetratie geeft dus een indicatie van de groeimogelijkheden in de markt.

Pr-48

3 Bosbouw Een laboratorium aan een universiteit onderzoekt, in opdracht van de vereniging van bosuitbaters, het groeiproces van lariksen (ook wel lork genoemd, een geslacht van coniferen). Op 1 januari vorig jaar waren de bomen bij aanplant 80cm groot. Op basis van de hoogtegegevens die tijdens het afgelopen jaar op verschillende tijdstippen werden opgemeten, schat men dat de groeisnelheid (in centimeter per jaar) van de lariksen x jaar na de aanplant gelijk is aan 40 g(x) = 25 +

x 2 2 + 20 Hieruit kan men de hoogte van de lariksen t jaar na de aanplant bepalen, namelijk als de oorspronkelijke hoogte vermeerdert met de toename van de hoogte sinds 1 januari vorig jaar: Z t g(x) dx h(t) = 80 +

Europese lariks (Larix decidua)

0

3 Toxicologie, milieuhygi¨ ene, veeteelt Een koe heeft gras gegeten dat verontreinigd was met asdeeltjes uit een afvalverwerkingsinstallatie. Het gif wordt in het vet opgeslagen en verlaat het lichaam weer via de melk.

Dagelijks wordt de concentratie gif in de melk gemeten. De waargenomen concentraties in g/m3 zijn te modelleren met c(t) = 4te−0,2 t met t in dagen na het eten van het verontreinigde gras. De koe levert 15 liter melk per dag. De functie G(t) geeft de totale hoeveelheid uitgescheiden gif (in g) als functie van de tijd (in dagen).

Uit

G0 (t) = 0, 06 te−0,2 t

kan men nagaan dat

G(t) = −0, 3 te−0,2 t − 1, 5 e−0,2t + c

waarbij c ∈ R

De integratieconstante c bepaalt men via G(0) = 0.

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum voer je uit in groepen van drie tot vier leerlingen.

1. In groep kies je ´e´en van de volgende onderwerpen (zie pagina’s A-152 tot en met A-157): Onderwerp Onderwerp Onderwerp Onderwerp Onderwerp Onderwerp

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ruimtelijke ordening Milieukunde Celbiologie Visteelt Plantenteelt I (gewassen) Plantenteelt II (kamerplanten)

2. Van het gekozen onderwerp krijg je een model, voorzien van een opgave.

3. In groep los je de vragen op.

3 Verslag (thuis afwerken) structuur.

Iedereen dient een verslag in, dat bestaat uit cursusblad(en), met de volgende

. Onderwerp en opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken. . “Oplossing.” . Enkel recto schrijven, cursusbladen onderaan nummeren. . Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.

Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient practicumbundel met verslag in.

Pr-49

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde.

3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen.

3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen).

14. Zin voor samenwerking en overleg.

3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

Attitudes

Pr-50

1. Rekenvaardigheid.

3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit.

3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt.

2. Meet-en tekenvaardigheid.

3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig.

3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen.

Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt.

5. Probleemoplossende vaardigheden.

3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen.

3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.).

3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan zoekstrategie¨en toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen.

3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategie¨en en je plan.

3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.

7. Leervaardigheden 3 Je kan losse gegevens verwerken.

3 Je kan samenhangende informatie verwerken.

3 Je kan informatiebronnen raadplegen.

3 Je kan studietijd plannen.

3 Je kan je eigen leerproces bijsturen.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 12 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

13 LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN

1. Inleiding Leren uit opgeloste problemen is een manier om je vaardigheid in het zelfstandig oplossen van oefeningen aanzienlijk te verbeteren. Deze techniek werd gepopulariseerd door de befaamde Schaum’s Outlines 1 , een reeks van werkboeken over diverse onderwerpen in wiskunde, wetenschappen (chemie, natuurkunde, biologie) en talen. Voor wiskunde alleen al bestaan er ruim vijftig zo’n werkboeken en elk werkboek bevat ongeveer 1000 opgeloste problemen, vari¨erend van gemakkelijke basisoefeningen tot ware hersenkrakers. Daarnaast zijn ook extra problemen opgenomen, met vermelding van het eindresultaat.

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Deze bundel lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee.

Op de volgende pagina’s staan een zestal opgeloste problemen2 in verband met eenvoudige differentiaalvergelijkingen. De oplossing is echter wat beknopt opgeschreven (sommige tussenstappen zijn niet vermeld, er worden geen grafieken gemaakt die de redenering kunnen verduidelijken, etc.).

Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus 2

1. In het begin van de (eerste) les toon je met behulp van een kladblad dat je de problemen 1 tot en met 5 thuis gelezen en verwerkt hebt.

2. Per twee krijg je een aantal extra problemen (zonder oplossing), zie pagina A-160.

Door tossen wordt beslist welke reeks je oplost: Reeks Reeks Reeks Reeks Reeks Reeks

1: 2: 3: 4: 5: 6:

Problemen 7(c) en 10 (biologie) Problemen 7(d) en 11 (natuurkunde) Problemen 7(b) en 12 (bevolkingsleer) Problemen 7(a) en 13 (economie) Probleem 14 (besmettingsleer) Probleem 15 (sociologie)

3. In groep los je die reeks op. De opgeloste problemen in deze bundel kunnen je daar uiteraard bij helpen!

3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat ´e´en exemplaar van de reeks oefeningen. Elk probleem start op een nieuw cursusblad, met de volgende structuur: . opgave van het probleem netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken; . oplossing, voorzien van minstens ´e´en grafiek die je redenering of oplossing verduidelijkt.

Schrijf je redenering duidelijk op, die gemakkelijk te lezen is. Dit houdt in dat je alle tussenstappen opschrijft.

Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel. Nummer die pagina’s onderaan in het midden. De overige problemen bewaar je thuis.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elk groepslid dient zijn/haar practicum bundel in.

Het verslag steekt in een bundel van ´e´en groepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopi¨eren.

1 Officiele

website: http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145 . Schaum’s Outlines werd bezield door Daniel Schaum in de jaren ’50.

1 F.Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill (1990).

Pr-51

Toepassingen op onbepaalde integralen: eenvoudige differentiaalvergelijkingen Als we de vergelijking van een kromme y = f (x) kennen, dan is de helling (i.e. rico van de raaklijn) in een punt P (x, y) aan de kromme gelijk aan m = f 0 (x). dy = f 0 (x), dan kunnen we dx een familie van krommen y = f (x) + c vinden door te integreren. Om een specifieke kromme uit die familie te bepalen moeten we een bepaalde waarde aan c toekennen. Dit kunnen we doen door bijvoorbeeld te eisen dat die specifieke kromme door een gegeven punt gaat (zie Problemen 1-3).

Omgekeerd, als de helling van een punt P (x, y) aan een kromme gegeven wordt door m =

Opgeloste problemen Probleem 1. Bepaal de vergelijking van de familie van krommen waarvoor de helling in elk punt gelijk is aan het tegengestelde van het dubbel van de abscis van dat punt. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit die familie die het punt A(1, 1) bevat.

Oplossing. We schrijven y = f (x) voor de vergelijking van zo’n kromme. De helling van een punt P (x, y) van de dy dy . De eis is dat die helling gelijk is aan −2x, met andere woorden = −2x. Dus dy = −2x dx, waaruit kromme is dx dx Z Z dy = −2x dx en dus y = −x2 + c . Dit is de vergelijking van een familie van parabolen.

Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(1, 1) bevat. Stellen we x = 1 en y = 1 in de vergelijking van deze familie dan verkrijgen we 1 = −1 + c, waaruit c = 2. De vergelijking van de kromme door het punt A(1, 1) is dus y = −x2 + 2 .

Probleem 2. Bepaal de vergelijking van een familie van krommen waarvoor de helling in eender welk punt P (x, y) gelijk is aan m = 3x2 y. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit die familie die het punt A(0, 8) bevat.

Oplossing. De voorwaarde is dat

dy dy = 3x2 y, zodat = 3x2 dx. Hieruit volgt dat ln |y| = x3 + c. Als y > 0 dan is dx y

ln |y| = x3 + c

⇒ ⇒

eln y = ex

3

+c

3

⇒

y = ex · |{z} ec

⇒

ln(−y) = x3 + c

Als y < 0 dan vinden we analoog ln |y| = x3 + c

ln y = x3 + c

⇒

⇒

y = c1 ex

⇒

y = c2 ex

noem c1

eln(−y) = ex

3

3

waarbij c1 > 0

+c

3

⇒

−y = ex · ec

⇒

y=

3

−ec ex |{z}

noem c2

3

waarbij c2 < 0

3

We kunnen beide gevallen dus samenvatten als y = C ex waarbij C ∈ R0 .

Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(0, 8) bevat. Dan moet 8 = C e0 , zodat C = 8.

3

De vergelijking van de kromme door het punt A(0, 8) is dus y = 8 ex .

Algemeen. Uit dit probleem onthouden we: ln |y| = + c

⇒

y = C e waarbij C ∈ R0

In de toekomst zullen we deze stap meteen uitvoeren (zonder de gevallen y > 0 en y < 0 afzonderlijk te bespreken).

Pr-52

Probleem 3. In elk punt P (x, y) van een kromme geldt dat y 00 = x2 − 1. Bepaal de vergelijking van die kromme als bovendien gegeven is dat Q(1, 1) behoort tot de kromme en de raaklijn in Q aan die kromme gegeven wordt door x + 12y = 13.

Z Z d 0 1 d2 y d 0 2 = (y ) = x − 1. Dus (y ) dx = (x2 − 1) dx en y 0 = x3 − x + c1 .

Oplossing. Hier is dx2 dx dx 3 1 1 1 In het punt Q is de helling gelijk aan de helling van de gegeven rechte en dus gelijk aan − . Dus − = − 1 + c1 , 12 12 3 7 1 3 dy 7 0 waaruit we vinden dat c1 = . Dus y = = x −x+ en integreren levert 12 dx 3 12

Z Z 1 3 1 4 1 2 7 7 dy = x −x+ dx waaruit y= x − x + x + c2 3 12 12 2 12 Eisen dat Q tot de kromme behoort levert 1 = kromme is dus y =

1 1 7 5 − + + c2 en dus is c2 = . De vergelijking van de gezochte 12 2 12 6

1 4 1 2 5 7 x − x + x+ .

12 2 12 6

Probleem 4. Een hoeveelheid q hangt af van de tijd t. Bovendien is op elk moment de mate waarin die hoeveelheid toeneemt een vast veelvoud van de waarde van die hoeveelheid op dat moment. Voor t = 0 is q = 25 en voor t = 2 is q = 75. Bepaal q als t = 6. dq . Voor elk moment t is dus Oplossing. De mate van de toename van q op tijdstip t is gelijk aan de afgeleide q 0 (t) = dt dq dq = k q voor een zekere k ∈ R, waaruit = k dt. Integreren levert ln |q| = kt + c. Wegens Algemeen op de vorige dt q pagina kunnen we dit herschrijven als q = C ekt waarbij C ∈ R0 .

3 Als t = 0 dan is q = 25 = C e0 dus C = 25.

3 Als t = 2 dan is q = 75 = 25 e2k . Dus e2k = 3, waaruit volgt dat k =

ln 3 = 0, 54 . . ..

2

Uiteindelijk, als t = 6 dan is q = 25 e3 ln 3 = 675 .

Probleem 5. Een stof A wordt omgezet in een andere stof B aan een snelheid die evenredig is aan de hoeveelheid niet-omgezette stof A. Als de hoeveelheid van A oorspronkelijk gelijk is aan 50 en op t = 3 gelijk is aan 25, wanneer 1 van de stof A overblijven? zal er slechts 10 dq Oplossing. Noem q de hoeveelheid (omgezette) stof B op tijdstip t. Dan is = k(50 − q) voor een zekere k ∈ R, dt waaruit dq = k dt zodat ln(50 − q) = −kt + c of nog 50 − q = C e−kt 50 − q waarbij C ∈ R0 . Dus q = 50 − C e−kt .

3 Als t = 0 dan is q = 0 = 50 − C e0 en zo vinden we dat C = 50.

3 Als t = 3 dan is q = 25 = 50 − 50 e−3k en dus is k =

ln 2 = 0, 23 . . .

3

We zoeken nu het tijdstip t waarvoor q = 45 = 50 −50 e−(t ln 2)/3 . Een eenvoudige berekening leert dat t = 9, 9657 . . . . ?Probleem 6. De snelheid waarmee water uit een “klein” gaatje in een watertank stroomt is gelijk aan √2gh, met g = 9, 81m/s2 en h de afstand van het gaatje tot de oppervlakte van het water in de tank. Bepaal de tijd die een cilindervormige (rechtopstaande) tank met een hoogte van 5 meter en straal 1 meter nodig heeft om leeg te lopen, als men onderaan een gat met straal 1cm maakt.

Oplossing. Noem h de hoogte van het waterniveau op tijdstip t. In een tijdspanne dt ontsnapt er een kleine cilinder water uit√het gaatje, met hoogte v dt en straal 0, 01m. Zo’n kleine cilinder water heeft dus volume van π(0, 01)2 v dt = π(0, 01)2 2gh dt kubieke meter.

In een tijdspanne dt zal het waterniveau zakken met afstand dh. Het volume zal dus “toenemen” met −π · 12 dh kubieke meter. Hieruit volgt dat p 10000 dh 20000 √ √ π(0, 01)2 2gh dt = −π · 12 dh waaruit dt = − √ en dus t=− √ h+c 2g 2g h 20000 √ Voor t = 0 is h = 5 dus c ≈ 10096, 38. De tank is leeg als h = 0 en dan is t ≈ − √ 0 + 10096, 38 = 10096, 38 dus 2g ongeveer 168, 25 minuten .

Pr-53

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie.

Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

Attitudes

Pr-54

13. Zelfregulatie.

3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen.

3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te ori¨enteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

1. Rekenvaardigheid.

3 Bij het algebra¨Ĺsch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit.

3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt.

2. Meet-en tekenvaardigheid.

3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig.

3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen.

Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt.

4. Denk- en redeneervaardigheden.

3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen.

3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen.

3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken.

3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen: . je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken.

7. Leervaardigheden 3 Je kan losse gegevens verwerken.

3 Je kan samenhangende informatie verwerken.

3 Je kan informatiebronnen raadplegen.

3 Je kan studietijd plannen.

3 Je kan je eigen leerproces bijsturen.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 13 Commentaar

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PRACTICUM

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

14 EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN

1. Inleiding Het presenteren van resultaten is o.a. voor wetenschappers een belangrijk onderdeel van hun werk. Een presentatie kan dienen om een uitgevoerd werk, project, idee¨en of conclusies aan anderen kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderen van je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten.

Het mag duidelijk zijn dat een presentatie tot in de puntjes verzorgd moet zijn; niet alleen qua voorkomen, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard qua inhoud. In je hogere studies en latere werkomgeving zul je meer dan waarschijnlijk nog vaak (wetenschappelijke) presentaties moeten geven.

Wat is nu een wetenschappelijke presentatie? Het is een informatieve voordracht, waarbij je op een zakelijke manier rapporteert over een onderwerp met een wetenschappelijke ondertoon: een statistisch onderzoek, een chemisch experiment, een wiskundig probleem, etc. Een presentatie moet 3 een hoofdboodschap bevatten, 3 eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn, 3 een logische structuur hebben en 3 gemakkelijk te volgen zijn.

Hiermee bedoelen we dat het publiek snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van je verhaal. Het is niet aan de toehoorder om je voordracht verschillende keren te moeten horen om te achterhalen wat je bedoelt.

De vorm van een exact-wetenschappelijke voordracht is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een taalkundige presentatie. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijke voordracht uit en tonen met enkele tips hoe je je optimaal kan voorbereiden en de slaagkansen van je presentatie kan vergroten.

Opbouw In principe heeft een wetenschappelijke presentatie de volgende structuur 1 : Titel Inleiding Hoofddeel Besluit Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd.

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de presentatie kunnen halen. Een titel als ’Voordracht practicum ecologie’ is te algemeen. Formuleringen als ’studie van’ of ’onderzoek naar’, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden.

NIET: ‘Practicum 13 mei 2011’ of ‘Oefening 28 pagina 40’ WEL: ‘Het probleem van de 36 officieren’ of ‘Duiventilprincipe’ 1 Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag of presentatie uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

Pr-55

Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is en in welke context of geheel het kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorder inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeel zal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek.

Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren, te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel je meer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen. Eventueel kun je ´e´en aspect wat meer doorgronden en een redenering maken die typisch is voor het onderwerp.

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Je geeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek.

Voorbereiding Een succesvolle presentatie begint met een goede voorbereiding. Om een presentatie in de steigers te zetten, doorloop je de volgende fasen2 : Ontwerp 1. Bepaal het doel.

Uitwerking

2. Bepaal de hoofdboodschap.

6. Maak een nieuwe presentatie aan.

3. Werk de structuur inhoudelijk uit.

7. Zet het geraamte op.

4. Bepaal de verhaallijn.

8. Maak beeldende dia’s.

5. Ontwerp een structuurdia.

Als extra ondersteuning bij het voorbereiden en aanmaken van je powerpoint bieden we je tien tips

3

aan.

Tip 1. Ken je publiek. Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders. Probeer te ontdekken waar je boodschap samenvalt met de interesse van het publiek. Op dat raakvlak liggen namelijk de aanknopingspunten voor een boeiende presentatie. Breng je publiek in beeld met de volgende vragen: 3 Wat weten de toehoorders van het onderwerp?

3 Wat zijn de verwachtingen?

3 Welk belang heeft het publiek bij je verhaal?

3 Welk inhoudelijk niveau kunnen ze aan?

Pik in op wat de gemiddelde toehoorder weet en breng hem als het ware naar een hoger niveau. Je publiek onderschatten leidt tot verveling, overschatten zorgt ervoor dat ze afhaken.

NIET: ‘From somewhere to nowhere’ of ‘From nowhere to nowhere’ WEL: ‘From nowhere to somewhere’ Tip 2. Let je doelstellingen vast. Probeer je doelstelling te omschrijven in termen van eindresultaten. Bedenk wat het publiek na jouw presentatie minimaal moet onthouden. Wees realistisch in je ambities. Er is een grens aan de hoeveelheid informatie die de toehoorders in korte tijd kunnen verwerken. Beperk je tot informatie die voor het publiek van belang is. Niet alles wat je weet, is van belang voor je publiek.

NIET: Wat wil ik kwijt?

WEL: Wat wil mijn publiek weten?

Tip 3. Leg een hoofdboodschap vast. Aan de hand van je doelstellingen formuleer je een kernboodschap. Die kun je al bij je eerste slides vermelden. Nuttig is om die hoofdboodschap enkele keren tijdens je presentatie herhalen.

Uiteraard komt die ook nog eens op het einde van je presentatie aan bod.

TEST: Vraag een toehoorder drie dagen nadien: ‘Wat heb je van mijn voordracht onthouden?’

2 M.

Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn , Mechelen, 2014. op Philip E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007) en http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

3 Gebaseerd

Pr-56

e77.

Tip 4. Less is more. Een veelvoorkomende fout bij sprekers is dat ze teveel willen vertellen. Ze vinden het nodig om van meet af aan te bewijzen dat ze veel weten. Bijgevolg gaat de kernboodschap verloren, en kun je zelfs in tijdsnood komen. Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een heldere en bondige presentatie, die leidt tot een dialoog tijdens het vragenmoment waarbij de toehoorders actieve deelnemers worden. Op dat moment zal wel duidelijk worden dat je veel over het onderwerp weet. Als er op het einde van je presentatie geen vragen gesteld worden, dan is dat eerder een slecht signaal: hoogstwaarschijnlijk was je presentatie dan onduidelijk of afgezaagd.

Tip 5. Maak je Powerpoint effici¨ ent. Een dia dient enkel 3 om het publiek te prikkelen, 3 om structuur te brengen in wat je zegt (kernwoorden), 3 als aanvulling op wat je zegt.

Breng je teveel tekst op je dia’s aan, dan zal het publiek zich eerder bezig houden met het lezen van de tekst in plaats van naar jou te luisteren. Reken per dia minstens ´e´en minuut.

Wat de lay-out van je dia’s betreft, opteer voor kleuren met maximaal contrast (donkere op wit of wit op zwart).

Vermijd een gekleurde tekst op een gekleurde achtergrond. Om kernwoorden in de verf te zetten gebruik je best contrast en grootte in plaats van kleur.

NIET: Een Powerpoint vervangt de spreker.

WEL: Een Powerpoint ondersteunt de spreker.

Tip 6. Oefen je presentatie in. Zeker bij je allereerste voordrachten. Let daarbij ook op de timing. Even belangrijk is om je te houden aan wat je voorbereid hebt. Helemaal uit den boze is spreken over zaken waar het publiek meer vanaf weet dan jij. Een belangrijke voordracht geef je best eerst aan een kleine, informele groep (enkele medeleerlingen of ouders). Hou rekening met de kritiek die je krijgt.

TEST: Film jezelf tijdens het geven van een voordracht en leer daaruit.

Presenteren Of een presentatie slaagt, hangt niet alleen af van de inhoud van je betoog maar ook van de manier waarop je de boodschap overbrengt. De beste maatstaf hiervoor is de interactie met het publiek, tijdens en na de voordracht.

Onthoud dat het hoofddoel van een presentatie is: het publiek doen nadenken over wat je brengt.

Tip 7. Wees jezelf. Presentaties horen onderhoudend en vermakelijk te zijn, maar overdrijf niet en ken je grenzen.

Als humor je niet ligt, probeer dan niet om grappig te zijn. Als je niet goed bent in het vertellen van anekdotes, vertel er dan geen. Een goede entertainer is hij die erin slaagt het publiek mee te hebben en de kernboodschap kan overbrengen.

Tip 8. Hou je aan de voorziene tijd. Het is onbeleefd om je niet aan de voorziene tijd te houden. Vaak wordt je in zo’n geval ook aangemaand om af te ronden en dat kan je voordracht wat overschaduwen. Mocht je toch in tijdsnood komen, klik je dia’s door en laat het publiek lezen.

Tip 9. Woord van dank. Vermeld de mensen met wie je samengewerkt hebt. Dat hoeft niet noodzakelijk op het einde van de voordracht te gebeuren, vaak doet die gelegenheid zich ook voor bij de inleiding of tijdens het hoofddeel van de presentatie. Is je voordracht er op uitnodiging gekomen, bedank dan ook de organisator of het instituut die je die kans gegeven heeft.

Tip 10. Zijn er nog vragen? Eindigen in stijl betekent: na je besluitvorming het publiek bedanken voor de aandacht. Neem het applaus in ontvangst en begin niet meteen op te ruimen. Indien je voordracht kadert in een reeks voordrachten (zoals bij een congres), dan zal iemand van de organisatie het publiek uitnodigen om vragen te stellen.

In het andere geval doe je dat zelf, na het applaus.

Hoe kun je omgaan met vragen?

3 Herhaal of herformuleer de vraag. Niets is zo vervelend om na een antwoord te constateren dat de vraagsteller iets anders bedoelde.

3 Hou je antwoord terzake, kort en bondig.

3 Wees niet niet arrogant, stel je niet vijandig op. Dreigt de situatie te escaleren, zeg dan “Misschien koppelen we dit gesprek beter los van de voordracht, we praten straks verder.”

NIET: Dat weet ik niet.

WEL: Interessante vraag, daar moet ik langer over nadenken.

Pr-57

Verantwoording De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd: OC1 Zich ori¨enteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.

OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.

OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

In dit practicum komen vooral de eerste en de derde eindterm aan bod.

| {z }

rapporteren confronteren

| {z }

competentie 1

verzamelen ordenen bewerken

competentie 3 onderzoekscompetenties

| {z }

competentie 2

voorbereiden uitvoeren evalueren

2. Opdracht 3 Voorbereiding

Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum wordt uitgevoerd in groepen van . . . leerlingen. In het begin van de les krijgt elke groep 15 tot 20 onderwerpen uit nevenstaand boek. Elk onderwerp is voorzien van een halve pagina tekst en een mooie illustratie. De leerkracht kan een inkijkexemplaar van het boek vooraan in de klas leggen.

Jullie nemen de onderwerpen door en beslissen in groep over welk onderwerp jullie een presentatie willen maken (duur: . . . minuten).

Daarna doorlopen jullie de stappen bij het ontwerpen van een presentatie: welke doelstellingen willen we bereiken, welke kernboodschap willen we meegeven, etc.

Jullie presentatie beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de tips zo goed mogelijk tracht na te leven.

Het wiskunde boek 4

Na de les(sen) krijgen jullie voldoende tijd om dit practicum af te werken. Afspreken buiten de schooluren kan moeilijk liggen. Daarom maken jullie op het einde van de eerste les enkele concrete afspraken, aan de hand van de volgende tabel (vul in): Taak Extra informatie opzoeken (internet), in document plaatsen en doorsturen naar de anderen.

Uit dit document informatie selecteren voor presentatie, doorsturen naar de anderen.

Ontwerpen van een structuurdia, doorsturen naar de anderen.

Maken van een eerste versie van de presentatie, doorsturen naar de anderen.

Afdrukken van de finale versie van de presentatie, indienen in de practicumbundel (datum: zie practicum indienen).

Finale versie van de presentatie op stick zetten, meebrengen naar de les (datum: zie presentatie geven).

Geven van de presentatie.

Wie?

Tegen wanneer?

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). E´en groepslid drukt de diaâ&#x20AC;&#x2122;s af en dient ze in. Daarnaast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina A-164).

3 Presentatie geven Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Maximaal . . . minuten.

4 C.A.

Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010).

Pr-58

Pr-59

Evaluatiepunten:

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie.

Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

Attitudes

14. Zin voor samenwerking en overleg.

3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

15. Waardering voor de wiskunde.

Je toont inzicht in de bijdrage van de wiskunde in culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkelingen.

6. Onderzoeksvaardigheden 3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen.

3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken.

3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren: . de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht; . de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren.

3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren.

3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren.

3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren.

3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze.

3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.

8. Reflectievaardigheden 3 Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies.

3 Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?).

3 Je kan reflecteren over de effici¨entie van je werken en je leren.

3 Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht.

3 Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?).

3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

Beoordeling

Vaardigheden

Inhoudelijk

Doelstellingen

Evaluatieformulier Practicum 14

zie volgende pagina

Commentaar

Maak je Powerpoint effici¨ ent Prikkelen van het publiek, niet teveel tekst op de dia’s, lay-out, geen vervangende maar ondersteundende functie.

Woord van dank Vermeld de mensen met wie je samengewerkt hebt. Dat hoeft niet noodzakelijk op het einde van de voordracht te gebeuren, vaak doet die gelegenheid zich ook voor bij de inleiding of tijdens het hoofddeel van de presentatie.

Zijn er nog vragen/omgaan met vragen Eindigen in stijl betekent: na je besluitvorming het publiek bedanken voor de aandacht. Neem het applaus in ontvangst, en begin niet meteen op te ruimen. Indien je voordracht kadert in een reeks voordrachten, dan wordt het publiek uitgenodigd om vragen te stellen. In het andere geval doe je dat zelf, na het applaus.

Pr-60

Hou je aan de voorziene tijd Het is onbeleefd om je niet aan de voorziene tijd te houden. Vaak wordt je in zo’n geval ook aangemaand om af te ronden, en dat kan je voordracht wat overschaduwen. Mocht je toch in tijdsnood komen, klik je dia’s door en laat het publiek lezen.

Totaal:

. . . / 60

Totaal presenteren: . . . / 20

Totaal voorbereiding: . . . / 20

Wees jezelf Presentaties horen onderhoudend en vermakelijk te zijn, maar overdrijf niet en ken je grenzen. Als humor je niet ligt, probeer dan niet om grappig te zijn. Als je niet goed bent in het vertellen van anekdotes, vertel er dan geen. Een goede entertainer is hij die erin slaagt het publiek mee te hebben en de kernboodschap kan overbrengen.

C. Presenteren

Less is more Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een heldere en bondige presentatie, die leidt tot een dialoog tijdens het vragenmoment waarbij de toehoorders actieve deelnemers worden.

Hoofdboodschap Is het achteraf duidelijk wat de hoofdboodschap van de presentatie was?

Totaal opbouw: . . . / 20

Ken je publiek Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders.

B. Voorbereiding

5

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Je geeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek.

4

3

Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren, te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel je meer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen.

Eventueel kun je ´e´en aspect wat meer doorgronden, en een redenering maken die typisch is voor het onderwerp.

2

1

Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is, en in welke context of geheel het kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorder inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeel zal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek.

0

Evaluatiepunten

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de presentatie kunnen halen. Een titel als ’Voordracht practicum ecologie’ is te algemeen. Formuleringen als ’studie van’ of ’onderzoek naar’, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden.

A. Opbouw

Appendix Practicum wiskunde Bijlagen voor de leerkracht

A

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

1

INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN

Inhoudsopgave

Zelfevaluatiekaart [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-62 Poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade, editie 2010-2011 [43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-63

A-61

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

Zelfevaluatiekaart Practicum 1 Zelfevaluatie 3 Kruis aan wat van toepassing is; 3 gebruik deze checklist om bij te sturen waar nodig.

Proces

Aandachtspunten

Opdracht

. duidelijk

+

+/-

-

+

+/-

-

. boeiend Bronnen

. betrouwbaar . gevarieerd . doeltreffend . voldoende

Materiaal

. voldoende . gevarieerd . doeltreffend . alle aspecten

Groepswerk

. doeltreffend . iedereen heeft zijn/haar deel gedaan . afspraken nageleefd . aangenaam . boeiend

Product (verslag)

Aandachtspunten . logisch opgebouwd . hoofdzaken onderscheiden van bijzaken . terzake . helder en aantrekkelijk taalgebruik . boeiend . persoonlijk . rekening gehouden met doelpubliek . begrippenlijst . bronnenlijst

Conclusies 3 Bekijk aandachtig je minpunten, welke aspecten verdienen meer aandacht?

Vraag hulp aan je leeraar of medeleerlingen, indien nodig. .............................................................................................................. ..............................................................................................................

3 Wat zijn je grootste troeven? Hoe ga je die in de verf zetten? .............................................................................................................. ..............................................................................................................

A-62

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

2 PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)

Inhoudsopgave

How to solve it - a dialogue [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-64 Deze paginaâ&#x20AC;&#x2122;s bevatten het originele stappenplan voor probleemoplossend denken.

Lijst van opgaven [30, 31, 43, 41] Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-66 Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-67 Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-70 Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-74 Niveau 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-76 Niveau 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-77

A-63

Niveau 1 1p.

Opgave 1. Als x2 = x + 3, dan is x3 gelijk aan

x+6 4x + 3 4x2 + 3 x2 + 3x + 3 x2 + 27 1p.

Opgave 2. Als a log b = 64, dan is

a2

log (b3 ) gelijk aan

16 48 128/3 96 512 1p.

Opgave 3. Definieer de bewerking ∆ door a∆b = ab + b. Dan is (3∆2)∆(2∆3) gelijk aan

72 73 80 81 90 1p.

Opgave 4. Het gemiddelde van a en 2b is 7, het gemiddelde van a en 2c is 8. Wat is het gemiddelde van a, b en c?

3 4 5 6 9 1p.

Opgave 5. Los de vergelijking 64r2 s6 a12 √ 3 4 r2 s2 a4 √ 3 4 r2 s3 a4 √ 3 8 r2 s2 a4 √ 3 4 r3 s2 a4

1p.

Opgave 6. Bereken ln −

√ 3

ab 4 a b

!

√ rs2 a4 u = op naar u. u 8sa2

als gegeven is dat ln a = 2 en ln b = 6.

34 3

−12

4 21

−44 0 A-66

Niveau 2 2p.

Opgave 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Uit a < b met a, b ∈ R volgt

|a| < |b| a2 < b2 a3 < b3

2p.

a4 < b4 p p

|a| < |b|

Opgave 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als f (x) = 2x dan is f (x + 2) gelijk aan

4 f (x) + 2 f (x) + 4 2f (x) 4f (x) 2p.

Opgave 9. Als x = −1 een oplossing is van ax2 + bx + c = 0, wat is de andere oplossing dan? a x=− b x=− x=

b a

b a

x=−

c a

c b Opgave 10. Theo lost de vergelijking ax − b = c op en Thea de vergelijking bx − c = a. Ze vinden beiden hetzelfde (correcte) antwoord voor x, waarbij a, b, c verschillend van elkaar en verschillend van nul zijn. Wat moet er gelden? x=

2p.

a+b+c=0 a+b+c=1 a+b=c b=a+c a=b+c 2p.

Opgave 11. Hoeveel asymptoten heeft de functie f (x) = 0

x2 − 22x + 40 ? x2 + 13x − 30

1 2 3 4 2p.

Opgave 12. Voor welk natuurlijk getal n > 0 is

√

3n

2013 ·

√ n

2013 =

√ 3

2013 ?

1 2 3 4 geen enkel A-67

Niveau 2 2

2p.

Opgave 13. Als s(x) = sin(πx) en S(x) = (s(x)) , dan is s(s(1/6)) + S(S(1/3)) gelijk aan

3/4 1 4/3 3/2 2 2p.

Opgave 14. De som van een geheel getal N met het kwadraat van 2N levert een geheel getal M . Voor hoeveel waarden van N is M een priemgetal?

0 1 2 Een eindig (groter dan 2) aantal waarden.

Een oneindig aantal waarden.

2p.

Opgave 15. Zij m en n twee rechten, onderling loodrecht, die beiden raken aan een cirkel met straal 6. Dan is de oppervlakte van het gebied begrensd door de rechten en de cirkel gelijk aan

9π 36 − 9π 144 − 36π 18π 72 − 18π 2p.

Opgave 16. Als a2 − b2 = 33 en a3 − b3 = 817 gehele oplossingen a, b hebben met a > b, dan is de waarde van a − b gelijk aan

1 3 7 10 11 2p.

Opgave 17. Een driehoek ABC heeft zijden met lengte 6, 7 en 8. Dan is de (exacte) waarde van (cos α+cos β +cos γ) gelijk aan

51/35 47/32 31/21 49/33 119/80 2p.

Opgave 18. Een datum noemt vreemd als de dag en de maand grootste gemene deler 1 hebben. Wat is het kleinst aantal vreemde dagen dat kan voorkomen in een maand?

9 10 11 14 15 A-68

Niveau 2 2p.

Opgave 19 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Beschouw de functies f (x) =

√

x,

g(x) =

x , 4

h(x) = 4x − 8

Dan is (h ◦ g ◦ f )(x) gelijk aan √ x−2 √ x−8 √ 2 x−8 √ x−8 √ x−2 2p.

Opgave 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De ruimtediagonaal van een kubus is 3. De oppervlakte van deze kubus is gelijk aan

3

√ 3 3 18 36 54 2p.

Opgave 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). In een gelijkbenige driehoek met tophoek 120◦ beschouwen we alle hoogtelijnen, zwaartelijnen en binnenbissectrices uit de drie hoekpunten. Hoeveel verschillende rechten zijn dit?

9 7 6 5 3 2p.

Opgave 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Op de catwalk weegt een mannequin met haar kleren aan 59 kg.

Ze blijkt 58 kg meer te wegen dan haar kleding. Hoe zwaar is haar kleding?

0, 25 kg 0, 50 kg 0, 75 kg 1, 00 kg 1, 25 kg 2p.

Opgave 23. Een stock verliest 60% van zijn waarde. Om terug op de oorspronkelijke waarde te komen moet de stock stijgen met

60% 120% 150% 200%

400%

A-69

Niveau 3 3p.

Opgave 24. Vijf verdachten van een moord, waaronder de moordenaar, worden ondervraagd door de politie. Bij onderstaande verklaringen spreken drie van hen de waarheid en twee van hen liegen.

3 Verdachte A: “D is de moordenaar” 3 Verdachte B: “Ik ben onschuldig” 3 Verdachte C: “Het was niet verdachte E” 3 Verdachte D: “A liegt” 3 Verdachte E: “B zegt de waarheid” Wie is de moordenaar?

A B C D E 3p.

Opgave 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Zij x ∈ R en |x + 1| < 3, dan geldt

|x| < 2 x < 2 of − x < 2 x < 2 en − x < 2 −2 < x < 2

−4 < x < 2

3p.

Opgave 26. Als f (x) = e3x−2 , wat is dan f 1 − ln( x1 ) ?

e x3

ex3 e + x3 e+

1 x3

0 3p.

Opgave 27 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Gegeven zijn twee evenwijdige rechten a en b en punten P ∈ B, Q ∈ A en R ∈ B zodanig dat |P Q| = 14 en RPbQ = 110◦ . Wat is de afstand tussen beide evenwijdige rechten?

14 cos 110◦ 14 sin 110◦ 14 cos 70◦ 14 cos 110◦ 14

sin 110◦

3p.

Opgave 28. Toon aan dat Z1 = 2Z0 als N=

Z0 + Z0 −

1 2 1 2

Z1 Z1

N1 N +1

waarbij N 6= −1, Z0 6= 0

A-70

Niveau 3 3p.

Opgave 29. Susanne verdient tijdens weekdagen 10 euro per uur, op zaterdag 15 euro per uur en op zondag 20 euro per uur. Als ze vorige maand 180 uren gewerkt heeft en in totaal 2315 euro verdiende, hoeveel keer meer uren tijdens weekdagen dan uren op zondag heeft ze vorige maand gewerkt?

75 77 80 82 85 3p.

Opgave 30 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De oplossingenverzameling van x3 < x < x2 is

∅ ]−∞, −1[ ]−∞, 0[ ]0, 1[ ]−∞, 1[ \ {0} 3p.

Opgave 31. Op welk van onderstaande intervallen is [1, 3[

2−x steeds de sinus van een hoek? x−3

[0, 3[ ]2, 3[

5 −∞, 2

5 − , +∞ 2 3p.

Opgave 32. Duid in volgende reeks alle alternatieven aan waarbij Uitspraak (1) precies dezelfde betekenis heeft als Uitspraak (2).

(1) Niet alle jongeren sporten en fuiven graag.

(2) Er zijn jongeren die niet graag sporten en niet graag fuiven (1) Niet alle domme jongeren zijn blonde meisjes.

(2) Er bestaan domme jongeren die geen blond meisje zijn.

(1) Het is zo dat sommige mensen ongezond eten.

(2) Sommige mensen eten niet ongezond.

(1) Alle kinderen die niet goed zijn in wiskunde, zijn jongens.

(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

(1) Alle kinderen die goed zijn in wiskunde zijn meisjes.

(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

3p.

Opgave 33. De bevolking van een stad groeit exponenti¨eel in functie van de tijd en dus ook het aantal autodiefstallen.

Als f (t) het aantal autodiefstallen per persoon in functie van de tijd is, dan is f (t)

een exponenti¨ele functie. geen constante functie. geen lineaire functie. geen exponentiele groei. geen exponentiele daling.

A-71

Niveau 3 3p.

Opgave 34 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Het verschil van de twee oplossingen van de vierkantsvergelijking x2 + ax + b = 0 is gelijk aan 5. De discriminant van deze vergelijking is dan

5 6, 25 10 25 niet te bepalen uit deze gegevens 3p.

Opgave 35 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Bepaal de oppervlakte van het vierkant met twee hoekpunten op de x-as (symmetrisch t.o.v. de oorsprong) en twee andere hoekpunten op de parabool met vergelijking y = 13 x2 + 3.

9 16 24 27 36 3p.

Opgave 36 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Twee rechten met vergelijking y = ax en y = bx met a, b > 0 maken een scherpe hoek, respectievelijk α en β, met de x-as zodanig dat α + β = 90◦ . Hieruit volgt:

a+b=1 a+b=2 ab = 1 a = 2b a = 4b 3p.

Opgave 37. Welk van de volgende functies is gelijk aan de functie f (x) = x? √ x2

x sign(x)

dbxce ln(ex ) eln x 3p.

Opgave 38. In een klas zijn 40% van de leerlingen meisjes. Wanneer 3 jongens vervangen worden door meisjes, dan zijn er in die klas 44% van de leerlingen meisjes. Hoeveel meer jongens dan meisjes zijn er in de klas?

10 12 15 18

20

A-72

Niveau 3 3p.

Opgave 39. Twee driehoeken worden gevormd in het eerste kwadrant, de ene met hoekpunten O(0, 0), A(5, 0), B(0, 12) en de andere met hoekpunten O(0, 0), C(8, 0) en D(0, 6). Het geheel getal dat het dichtst bij de afstand tussen de zwaartepunten van de driehoeken ligt is

0 1 2 3 4 3p.

Opgave 40 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een droogrek staat in een kamer en bevat 100 rode sokken, 80 groene sokken, 60 blauwe sokken en 40 zwarte sokken. Iemand neemt ´e´en voor ´e´en de sokken van de draad. Aangezien het echter donker is in de kamer, zijn de kleuren van de sokken onmogelijk te zien. Wat is het kleinste aantal sokken dat hij van de draad moet nemen om zeker te zijn dat hij ten minste 10 paar heeft gekozen? (Een paar sokken zijn elke twee sokken van dezelfde kleur. Uiteraard mag geen enkele sok in meer dan ´e´en paar geteld worden.)

21 23 24 30 50 3p.

3p.

Opgave 41 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een park heeft de vorm van een regelmatige zeshoek waarvan de lengte van de zijden gelijk is aan 2 km. Annie maakt een wandeling van 5 km langs de omtrek, vertrekkend van een hoekpunt. Hoeveel kilometers (in rechte lijn) is ze dan van haar startplaats verwijderd? √ 13 √ 14 √ 15 √ 16 √ 17 Opgave 42 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Vader schrijft een testament dat zijn nalatenschap aan zijn dochters regelt: “De oudste dochter krijgt 1000 euro en 10% van wat er nog rest. Als dit uitbetaald is, krijgt de tweede 2000 euro en 10% van wat er dan nog rest. De derde krijgt 3000 euro en 10% van de rest, enzovoort.” Bij zijn dood krijgen alle dochters precies evenveel. Hoeveel dochters heeft vader?

9 10 11 12

13

A-73

Niveau 4 4p.

Opgave 43. Een bibliotheek heeft tussen 1000 en 2000 boeken. Van deze boeken is 25% fictie, 1/13 zijn bibliografie¨en en 1/17 zijn atlassen. Hoeveel boeken zijn een bibliografie of een atlas?

136 232 240 271 280 4p.

Opgave 44 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als sin6 α + cos6 α =

1 , dan is cos(2α) gelijk aan 4

0

1 2 √

2 2 √ 3

3

1 4p.

− − − Opgave 45. Zij → v,→ w en → u drie verschillende vectoren uit de Euclidische vectorruimte R2 die voldoen aan − − − ||→ v || = ||→ w || = ||→ u || = 2

en

→ − − − − v ·→ w =→ w ·→ u = 2.

Dan is − − → v ·→ u =2

− − → v ·→ u =4

− − → v ·→ u = −2

− − → v ·→ u = −4

− − → v ·→ u is uit de gegevens niet te bepalen 4p.

Opgave 46. Een verzameling S bevat getallen en is volledig bepaald door de volgende regels:

3 2∈S 3 Als n ∈ S dan 3n ∈ S en n + 5 ∈ S. Welke van de volgende getallen is geen element van S? 2000 2001 2002 2003

2004

A-74

Niveau 4 4p.

Opgave 47. Voor elke n ∈ N0 en elke x ∈ R0 is

n−1 X

n−1 X

n−1 X

k=0

n X

nk xk−1 gelijk aan

k=1

(n − 1)k xk−1 nk+1 xk

k=0

nk−1 xk−2

k=0

Geen van vorige.

4p.

Opgave 48. Een fixpunt van een (re¨ele) functie y = f (x) is een re¨eel getal r zodat f (r) = r. Hoeveel van de volgende functies hebben altijd een fixpunt?

3 Een veeltermfunctie van de vorm y = xn met n ∈ N0 .

3 Een homografische functie.

3 Een exponenti¨ele functie.

3 Een logaritmische functie f (x) = a log x.

0 1 2 3 4 4p.

Opgave 49. Als x2 + xy + 15x = 12 en y 2 + xy + 15y = 42, welke van de volgende getallen is dan een mogelijke waarde voor x + y?

0 3 15 18

Meerdere van bovenstaande mogelijkheden.

A-75

Niveau 5 5p.

Opgave 50. Voor i = 1 tot 6 stellen we a log b log ( c log xi ) = 0, waarbij a, b en c elke rangschikking van 2, 4 en 8 doorloopt. Dan kan het product x1 x2 x3 x4 x5 x6 uitgedrukt worden als 2N voor een zeker geheel getal N . Bepaal N .

19 20 28 33 50 5p.

Opgave 51. Getallen worden gewoonlijk voorgesteld in het decimaal stelsel, waarbij elke decimaal vermenigvuldigd wordt met een macht van tien. Zo stelt de decimale ontwikkeling ‘0, 123’ het getal 1/10 + 2/100 + 3/1000 voor. Om aan te duiden dat we werken met machten van tien, schrijft men soms

(0, 123)10 = 1/10 + 2/100 + 3/1000 In het ternair stelsel wordt elke ‘tricimaal’ vermenigvuldigd met een macht van drie. Zo is de ternaire ontwikkeling van 1/3 + 2/9 + 1/27 gelijk aan ‘0, 121’. We schrijven dan (0, 121)3 = 1/3 + 2/9 + 1/27 De ternaire ontwikkeling van 77/81 is gelijk aan (0, 950617284)3 (0, 2012)3 (0, 1211)3 (0, 1111)3 (0, 2212)3 5p.

Opgave 52. Een man wandelt, eerst op een vlakke weg en daarna op een heuvel. Aan de top van de heuvel wandelt hij onmiddellijk terug naar zijn vertrekpunt. Op de vlakke weg wandelt hij aan 4km/u, bergop aan 3km/u en bergaf aan 6km/u. Als volledige wandeling 6 u duurt, welke afstand heeft de man dan afgelegd?

16km 20km 24km 28km 32km 5p.

Opgave 53. Twee rekenkundige rijen worden vermenigvuldigd en leveren de rij 468, 462, 384, . . . Wat is de volgende term in deze rij?

250 286 300 324 336 5p.

Opgave 54. Twee gehele getallen noemt men relatief priem als hun grootste gemene deler gelijk is aan 1. Hoeveel positieve gehele getallen kleiner dan 1000 zijn relatief priem met 105?

325 457 466 533 674 A-76

Niveau 6 6p.

Opgave 55. Een cirkelvormige tafel wordt in de hoek van een rechthoekige kamer geduwd, zodat het raakt aan beide muren. Een punt op de rand van de tafel ligt op 20cm van de ene muur en op 90cm van de andere muur. Wat is de straal van de tafel?

50cm 120cm 150cm 170cm 200cm

6p.

Opgave 56. Het getal (102010 + 1)2 + (102010 + 2)2 − 102010 102010 − 1

2

is deelbaar door

102010 + 3 102010 + 4 102010 + 5 102010 + 6

6p.

6p.

Opgave 57. Een vrouw woont op 8km van haar werk. Op het moment dat ze met de fiets naar haar werk vertrekt, heeft ze 126km op haar teller staan, aan een gemiddelde snelheid van 17, 2km/u. Ze fietst naar haar werk en terug naar huis. Bij het thuiskomen duidt haar teller een afstand van 142km aan, met een gemiddelde snelheid van 17, 6km/u.

Bepaal de gemiddelde snelheid van de vrouw over het traject van haar huis naar haar werk en terug.

Opgave 58. Voor een rij (an ) = a1 , a2 , a3 , . . . geldt a1 = 1, a2 = 2, a3 = 5 en an−1 an−2 = 2an an−2 − 2an−1 an−1 voor a2006 n ≥ 3. Dan is gelijk aan a2005

1002 1002, 5 1003 1003, 5 1004 6p.

Opgave 59. Bepaal de positieve 1024ste machtswortel uit

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) . . . (21024 + 1) + 1 1 √ 2 2 4 512

6p.

Opgave 60 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een klein muntstuk met straal r rolt zonder glijden rond een groot muntstuk met straal R dat niet beweegt. De straal R is een geheel veelvoud van r. Het klein muntstuk maakt hierbij een volledige omwenteling rond het groot muntstuk. Het aantal keer dat het klein muntstuk dan volledig om zijn middelpunt is gedraaid, is gelijk aan 1+

R r

R r R+r

R−r

2rR r+R

1 A-77

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

3 PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (2)

Inhoudsopgave

Tien problemen [1, 8, 23, 22] Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-80 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-81

A-79

Tien problemen - Opgave Probleem 1. (a) Stel f (x) = 3x3 − 4x2 + ax − 11 een re¨ele veelterm zodat f (1) = 2. Bepaal de waarde van a. (b) Stel (3x − 1)7 = a7 x7 + a6 x6 + . . . + a0 voor zekere a0 , a1 , . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . . + a1 + a0 .

Probleem 2. Er is precies ´e´en veelterm A(x) van de vorm A(x) = 7x7 +a6 x6 +a5 x5 +. . .+a1 x+a0 met a0 , a1 , a2 , . . . , a6 ∈ R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).

Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig dan wanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12 uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?

Probleem 4. Stel f (x) =

5x2 − 4x + 8 . x2 + 1

(a) Voor welke re¨ele waarden van k bestaat er een re¨eel getal x waarvoor f (x) = k? (b) Bepaal het bereik van de functie f .

Probleem 5. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de vergelijking

√ 3

13x + 37 −

√ 3

13x − 37 =

√ 3

2

√ Probleem 6. Stel f (x) = x+ x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f (g(f (g(f (7)))))).

Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.

2

Probleem 7. De vergelijking 2x = 323x+8 heeft twee re¨ele oplossingen. Bepaal algebra¨ısch hun product.

Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant te houden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen van de stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nieren elimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.

Cafe¨ıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, de hartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dat het je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafe¨ıne kan giftig zijn. nieren in digitaal ontwerp Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaam overblijvende cafe¨ıne. Is de overblijvende dosis cafe¨ıne groter dan 20mg, dan werkt het stimulerend.

We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafe¨ıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikje cola drinkt en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafe¨ıne die je uit deze blikjes opnam niet langer stimulerend werken? Algebra¨ısch oplossen en je resultaat afronden op ´e´en minuut nauwkeurig.

Probleem 9. Los algebra¨ısch de volgende exponenti¨ele vergelijking op: 8(4x + 4−x ) − 54(2x + 2−x ) + 101 = 0 Probleem 10. Bepaal algebra¨ısch het grootste re¨eel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking

allen gehele getallen zijn.

210

log (x2b )

2

=

A-80

210

log x4

Tien problemen - Oplossingen Probleem 1. (a) Stel f (x) = 3x3 − 4x2 + ax − 11 een re¨ele veelterm zodat f (1) = 2. Bepaal de waarde van a.

(b) Stel (3x − 1)7 = a7 x7 + a6 x6 + . . . + a0 voor zekere a0 , a1 , . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . . + a1 + a0 .

Oplossing.

(a) We eisen dat f (1) = 2 en bepalen zo de waarde van a: f (1) = 2

⇔

⇔

3 · 13 − 4 · 12 + a · 1 − 11 = 2 a = 14

We besluiten dat a = 14 . (b) We kunnen (3x − 1)7 helemaal uitwerken, maar dat vergt veel werk. Echter, vraag (a) geeft ons het idee voor een alternatief. Daar vonden we dat f (1) = 3 − 4 + a − 11, precies de som van de co¨effici¨enten van f (x). We bereiken dan ook a7 + a6 + . . . + a0 door in de uitdrukking (3x − 1)7 = a7 x7 + a6 x6 + . . . + a0 de x-waarde gelijk te stellen aan 1: (3x − 1)7 = a7 x7 + a6 x6 + . . . + a0

⇒

⇒

(3 · 1 − 1)7 = a7 · 17 + a6 · 16 + . . . + a0

stel x = 1

7

2 = a7 + a6 + . . . + a0

We besluiten dat a7 + a6 + . . . + a0 = 128 .

Probleem 2. Er is precies ´e´en veelterm A(x) van de vorm A(x) = 7x7 + a6 x6 + a5 x5 + . . . + a1 x + a0

met a0 , a1 , a2 , . . . , a6 ∈ R

waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).

Oplossing. We kunnen deze zeven voorwaarden uitschrijven en dan verkrijgen we een stelsel met 7 vergelijkingen en 7 onbekenden:  7 · 17 + 16 · a6 + 15 · a5 + 14 · a4 + 13 · a3 + 12 · a2 + 1 · a1 + a0 = 1       7 · 27 + 26 · a6 + 25 · a5 + 24 · a4 + 23 · a3 + 22 · a2 + 2 · a1 + a0 = 2      7 · 37 + 36 · a6 + 35 · a5 + 34 · a4 + 33 · a3 + 32 · a2 + 3 · a1 + a0 = 3   7 · 47 + 46 · a6 + 45 · a5 + 44 · a4 + 43 · a3 + 42 · a2 + 4 · a1 + a0 = 4     7 · 57 + 56 · a6 + 55 · a5 + 54 · a4 + 53 · a3 + 52 · a2 + 5 · a1 + a0 = 5      7 · 67 + 66 · a6 + 65 · a5 + 64 · a4 + 63 · a3 + 62 · a2 + 6 · a1 + a0 = 6     7 · 27 + 76 · a6 + 75 · a5 + 74 · a4 + 73 · a3 + 72 · a2 + 7 · a1 + a0 = 7 Zo’n stelsel algebra¨ısch oplossen vergt erg veel werk. Daarom gaan we beter op een andere manier te werk.

We merken op dat de zeven voorwaarden ‘van dezelfde vorm’ zijn: we kunnen ze schrijven als A(x) = x

voor x = 1, 2, . . . , 7

Of, equivalent: A(x) − x = 0

voor x = 1, 2, . . . , 7

Anders gezegd, we kennen zeven nulpunten van de veelterm A(x) − x. Wegens de reststelling is A(x) − x deelbaar door x − 1, x − 2, . . . , x − 7. Omdat gr A(x) − x = 7, is deze veelterm noodzakelijk van de vorm A(x) − x = a(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7)

voor een zekere a ∈ R

Om de waarde van a te vinden, bedenken we dat de hoogstegraadsterm van A(x) gelijk is aan 7, terwijl de hoogstegraadsterm van a(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7) gelijk is aan a: A(x) − x | {z }

7x7 + veelterm graad <7

= a(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7) | {z } ax7 + veelterm graad <7

waaruit we vinden dat a = 7. Op die manier hebben we A(x) volledig bepaald en vinden we eenvoudig de waarde van A(0): A(x) = 7(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7) + x

⇒ A(0) = 7(0 − 1)(0 − 2)(0 − 3)(0 − 4)(0 − 5)(0 − 6)(0 − 7) = −35 280 We besluiten dat A(0) = −35 280 .

A-81

Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig dan wanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12 uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?

Oplossing. Noem x de tijd die Henk er over doet als hij alleen schildert. We zoeken x.

Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze x + 7 uur nodig om de ganse keuken te schilderen. Anders gezegd: in ´e´en uur schildert Lydia

1 van de keuken x+7

(1)

Wanneer Henk alleen werkt, dan heeft hij x uur nodig om de ganse keuken te schilderen. Anders gezegd: in ´e´en uur schildert Henk

1 van de keuken x

(2)

Wanneer Lydia en Henk samen schilderen, dan hebben ze 12 uur nodig. Anders gezegd: in ´e´en uur schilderen ze samen

1 van de keuken 12

(3)

Anderzijds volgt uit (1) en (2) dat, wanneer Lydia en Henk samen werken, ze in ´e´en uur 1/(x + 7) + 1/x van de keuken schilderen. Gelijkstellen met (3) levert een rationale vergelijking: 1 1 1 = + 12 x x+7

⇔ ⇔

⇔ ⇔

x(x + 7) 12(x + 7) 12x = + 12x(x + 7) 12x(x + 7) 12x(x + 7) x(x + 7) = 12(x + 7) + 12x

BV: x(x + 7) 6= 0

x2 + 7x = 12x + 84 + 12x x2 − 17x − 84 = 0 D = 172 − 4 · (−84) = 625 = 252

⇔ ⇔

17 ± 25 2 x = 21 of x = −4 x=

In deze context is x positief. We besluiten dat Henk er 21 uren over doet als hij alleen schildert.

Controle. Als Henk er 21 uur over doet, dan heeft Lydia 21 + 7 = 28 uur nodig. In ´e´en uur schildert Henk dan 1/21 van de keuken en Lydia 1/28 van de keuken. Dus samen schilderen ze in ´e´en uur 1/21 + 1/28 = 1/12 van de keuken.

Waaruit volgt dat ze 12 uur nodig hebben om de ganse keuken te schilderen, wat overeenkomt met het gegeven.

A-82

Probleem 4. Stel f (x) =

5x2 − 4x + 8 . x2 + 1

(a) Voor welke re¨ele waarden van k bestaat er een re¨eel getal x waarvoor f (x) = k? (b) Bepaal het bereik van de functie f .

Oplossing. (a) Neem k ∈ R willekeurig. Dan geldt er bestaat een re¨eel getal x waarvoor f (x) = k ⇔

de vergelijking f (x) = k heeft minstens ´e´en oplossing x f (x) = k

⇔

5x2 − 4x + 8 =k x2 + 1

⇔

5x2 − 4x + 8 = k(x2 + 1)

BV: x2 + 1 6= 0

(5 − k)x2 − 4x + 8 − k = 0

⇔ ⇔

de vergelijking (5 − k)x2 − 4x + 8 − k = 0 heeft minstens ´e´en oplossing x

⇔

de discriminant van de vergelijking (5 − k)x2 − 4x + 8 − k = 0 is groter of gelijk aan nul D = (−4)2 − 4 · (5 − k) · (8 − k) = 16 − 4(40 − 5k − 8k + k 2 ) = −4k 2 + 52k − 144

⇔

− 4k 2 + 52k − 144 ≥ 0 maak een tekentabel van − 4k 2 + 52k − 144 .

nulwaarden: los op

− 4k 2 + 52k − 144 = 0 D = 522 − 4 · (−4) · (−144) = 400 = 202

−52 ± 20 −8 ⇔ k = 4 of k = 9

⇔ k= .

⇔

tekentabel: x

4

−4k 2 + 52k − 144

− 0

9 +

0

−

k ∈ [4, 9]

(b) Het bereik van de functie f is per definitie ber f = {y ∈ R | ∃x ∈ R : f (x) = y} = {k ∈ R | ∃x ∈ R : f (x) = k} = {k ∈ R | er bestaat een re¨eel getal x waarvoor f (x) = k} = {k ∈ R | k ∈ [4, 9]} wegens het antwoord op vraag (a) zodat ber f = [4, 9] .

A-83

Probleem 5. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de vergelijking √ √ √ 3 3 13x + 37 − 3 13x − 37 = 2 √ √ Oplossing. Noem a = 3 13x + 37 en b = 3 13x − 37. We bieden twee manieren aan om de vergelijking op te lossen.

Eerste manier: (a + b)3 uitwerken We vinden √ 3

13x + 37 −

√ 3

13x − 37 =

√ 3

2

√ 3

⇔

a−b=

⇔

a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 = 2

2

3

⇔

(a − b) = 2

Er geldt √ 3 a3 = 3 13x + 37 = 13x + 37 √ 3 b3 = 3 13x − 37 = 13x − 37

⇔

(13x + 37) − 3a2 b + 3ab2 − (13x − 37) = 2

⇔

−3a2 b + 3ab2 = −72

⇔

a2 b − ab2 = 24

⇔

ab(a − b) = 24 √ 3 ab 2 = 24

⇔ ⇔

24 ab = √ 3 2

⇔

(ab)3 =

13 824 2 3 3 a b = 6912

⇔ ⇔

(13x + 37)(13x − 37) = 6912

⇔

169x2 = 8281

⇔

x = 7 of x = −7

Tweede manier: a3 − b3 ontbinden in factoren We vinden √ 3 Nu is enerzijds a 3 − b3 =

√ 3

13x + 37 −

13x + 37

terwijl anderzijds

3

√ 3

−

√ 3

13x − 37 = √ 3

13x − 37

3

⇔

2

a−b=

√ 3

2

= (13x + 37) − (13x − 37) = 74

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) =

√ 3

2 (a2 + ab + b2 )

(1) (2)

Gelijkstellen van (1) en (2) geeft dan √ 3

2 (a2 + ab + b2 ) = 74

⇒

74 a2 + ab + b2 = √ 3 2

(3)

Het is opvallend dat het linkerlid van (3) erg gelijkaardig is aan a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 =

A-84

√ 2 √ 3 3 2 = 4

(4)

Uit (3) - (4) volgt dan √ √ √ 74 74 − 3 4 · 3 2 72 3 √ 3ab = √ − 4 = = √ 3 3 3 2 2 2 24 ⇔ ab = √ 3 2 ⇔ (ab)3 =

13 824 2

⇔ a3 b3 = 6912 ⇔ (13x + 37)(13x − 37) = 6912 ⇔ 169x2 = 8281 ⇔ x = 7 of x = −7 √ 74 3 − 4 verkregen door een implicatie ⇒. Dus achteraf moeten we onze oplssingen controleren We hebben 3ab = √ 3 2 door ze in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking.

Voor x = 7 vinden we √ √ √ √ 3 13x + 37 − 3 13x − 37 = 3 13 · 7 + 37 − 3 13 · 7 − 37 √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 = 128 − 54 = 43 · 2 − 33 · 2 = 4 2 − 3 2 = 2 en voor x = −7 verkrijgen we p p √ √ 3 13x + 37 − 3 13x − 37 = 3 13 · (−7) + 37 − 3 13 · (−7) − 37 √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 = 3 −54 − 3 −128 = − 33 · 2 + 43 · 2 = −3 2 + 4 2 = 2 hetgeen betekent dat OplV = {−7, 7} . √ Probleem 6. Stel f (x) = x+ x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f (g(f (g(f (7)))))).

Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.

Oplossing. Alvast is

f (7) = 7 +

√

7 √

√

1 29 √ 7+ = + 7 4 4 r 29 √ 29 √ f (g(f (7))) = f ( + 7) = 7 + + 7 4 4 g(f (7)) = g(7 +

7) = 7 +

hetgeen na enkele stappen al hopeloos ingewikkeld wordt. Daarom volgen we de aanwijzing.

Noemen we h = g ◦ f , dan is h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)), zodat gevraagd wordt om te berekenen g(f (g(f (g(f (7)))))) = h(h(h(7))) We proberen h(x) te schrijven als het kwadraat van een tweeterm: h(x) = g(f (x)) = g(x + Op die manier wordt

√

x) = x +

√

1 √ 2 1 √ x+ = x +2· · x+ 4 2

√

2 2 √ 1 1 = x+ 2 2

2 1 h(7) = 7+ 2

2 s 2 2 2 √ √ √ 1 1 1 h(h(7)) = h 7+ = 7+ + = 7+1 2 2 2

r 2 2

2 2 √ √ √ √ 1 3 37 7+1 = 7+1 + = 7+ = +3 7 h(h(h(7))) = h 2 2 4 A-85

Probleem 7. De vergelijking 2

2x = 323x+8 heeft twee re¨ele oplossingen. Bepaal algebra¨ısch hun product.

Oplossing. We hebben 2

2x = 323x+8

⇔ ⇔

⇔

⇔

2

2x = (25 )3x+8 2

2x = 25(3x+8) x2 = 5(3x + 8) x2 − 15x − 40 = 0

Dit laatste is een tweedegraadsvergelijking, met discriminant D = 152 − 4 · (−40) = 385 > 0 zodat er inderdaad twee (verschillende) oplossingen x1 , x2 zijn. Herhaal dat voor een tweedegraadsvergelijking ax2 + bx + c = 0 met positieve c b discriminant de som S en het product P van de twee oplossingen gegeven wordt door S = − en P = , zodat in ons a a geval het product van de twee oplossingen gelijk is aan −40 .

Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant te houden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen van de stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nieren elimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.

Cafe¨ıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, de hartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dat het je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafe¨ıne kan giftig zijn.

Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaam overblijvende cafe¨ıne. Is de overblijvende dosis cafe¨ıne groter dan 20mg, dan werkt het stimulerend.

nieren in digitaal ontwerp

We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafe¨ıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikje cola drinkt en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafe¨ıne die je uit deze blikjes opnam niet langer stimulerend werken? Algebra¨ısch oplossen en je resultaat afronden op ´e´en minuut nauwkeurig.

Oplossing. Noemen we C1 (t) de resterende hoeveelheid cafe¨ıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het eerste blikje, op t uur na 20 u.

C2 (t) de resterende hoeveelheid cafe¨ıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het tweede blikje, op t uur na 20 u.

C3 (t) de resterende hoeveelheid cafe¨ıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het derde blikje, op t uur na 20 u. dan is C1 (t) = 45 · (0, 87)t

t−1

C2 (t) = 45 · (0, 87)

t−2

C3 (t) = 45 · (0, 87)

voor t ≥ 0

voor t ≥ 1

voor t ≥ 2

zodat de resterende hoeveelheid cafe¨ıne (in mg) in het lichaam afkomstig van de drie blikjes, op t uur na 20 u. gegeven wordt door C(t) = 45 · (0, 87)t + 45 · (0, 87)t−1 + 45 · (0, 87)t−2 voor t ≥ 2 Gevraagd is het tijdstip t waarvoor C(t) = 20

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

45 · (0, 87)t + 45 · (0, 87)t−1 + 45 · (0, 87)t−2 = 20

45 · (0, 87)t−2 (0, 87)2 + 0, 87 + 1 = 20

20 45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)

20 t − 2 = 0,87 log 45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)

20 0,87 t= log + 2 = 14, 7582097 . . . = 14u.45, 4925 . . . min 45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1) (0, 87)t−2 =

zodat de cafe¨ıne niet langer stimulerend zal werken vanaf ongeveer 10.45 u. de volgende dag .

A-86

Probleem 9. Los algebra¨ısch de volgende exponenti¨ele vergelijking op: 8(4x + 4−x ) − 54(2x + 2−x ) + 101 = 0 Oplossing.

8(4x + 4−x ) − 54(2x + 2−x ) + 101 = 0

⇔

8(22x + 2−2x ) − 54(2x + 2−x ) + 101 = 0 noem t = 2x

⇔

8(t2 + t−2 ) − 54(t + t−1 ) + 101 = 0 noem y = t + t−1 dan is y 2 = (t + t−1 )2 = t2 + 2 + t−2

⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

8(y 2 − 2) − 54y + 101 = 0

8y 2 − 54y + 85 = 0 17 5 y= of y = 4 2 17 5 t + t−1 = of t + t−1 = 4 2 4t2 − 17t + 4 = 0 of 2t2 − 5t + 2 = 0 1 1 t = 4 of t = of t = 2 of t = 4 2 1 1 2x = 4 of 2x = of 2x = 2 of 2x = 4 2 x = 2 of x = −2 of x = 1 of x = −1

Probleem 10. Bepaal algebra¨ısch het grootste re¨eel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking 10 2 10 2 log (x2b ) = 2 log x4 allen gehele getallen zijn.

Oplossing. We hebben alvast 10 2 10 2 log (x2b ) = 2 log x4

2 10 10 ⇔ 2b · 2 log x = 4 · 2 log x

+ 2 BV: x2b ∈ R+ 0 en x ∈ R0

BV: x ∈ R+ 0

10

noem t =2 log x

⇔

⇔

(2b · t)2 = 4 · t

4t · (b2 t − 1) = 0

⇔ t=0 ⇔

210

of

log x = 0

t= of

1 b2 210

1 b2

log x =

1/b2

⇔ x=1

of

x = 210

⇔ x=1

of

x = 210/b

2

2

Willen alle oplossingen x gehele getallen zijn, dan moet 210/b een geheel getal zijn. In een lijst gaan we enkele gevalen na: 2

210/b

10/b2

b

−1

|

|

1

0

| √ r 10 = 3, 16 . . .

10 = 2, 51 . . .

2 log 3 √ 5 = 2, 23 . . .

|

0 2

3 4

|

1 2

log 3 2 2

Het verband dat bij elk geheel getal van de vorm 210/b het getal b weergeeft, is dalend. Het grootste re¨eel getal b √ waarvoor alle oplossingen gehele getallen zijn, is dus b = 10 .

A-87

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

4 TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN

Inhoudsopgave

Toepassing 1 en 2 [8] Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-90 Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-98 Oefeningen 1-4 [8] Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-106 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-107

A-89

Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen 3 Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazili¨e en Canada. Het getal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld, van luchthaven b3 in Brazili¨e zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkele vlucht naar c2 in Canada.

Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazili¨e (voor elke i en j).

Algerije

Brazili¨e

b1 2 a1

Canada

3 2

1

c1

2

b2 3 a2

2

c2

1

1 b3

4

1

c3 b4

1

Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merken kunnen we zo’n soort problemen wat effici¨enter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld: aantal vluchten van a1 naar c1 via B is

2 · 3 + |{z} 1 · 2 + |{z} 0 · 1 + |{z} 1·0 =8 |{z}

via b1

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is

...

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is

...

A-90

via b2

via b3

via b4

(∗)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is

2

1

0

Analoog herken je:

...

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is

...

...

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is

...

  3 2  1 · 1 = 8 0

...

  ... . . .  ... ·  . . . = . . . ...

...

  ... . . .  ... ·  . . . = . . . ...

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met ´e´en bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazili¨e te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging:  

3 0 2 2 1 0 1  2 0 0  = ... · 3 0 2 1 1 0 4 | {z } 0 1 0 P | {z } Q

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazili¨e gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix P · Q en dat is gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazili¨e voor, ook wel de directe-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazili¨e genoemd.

% a1 a2

b1

b2

b3

b4

2 1

1 0

0 2

1 1

2 matrix P = 1

1 0

0 2

1 1

Pik = aantal directe wegen van ai naar bk

De notatie ‘a1 % b1 ’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1 , namelijk a1 % b1 = 2.

Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazili¨e naar Canada voor.

% b1 b2 b3 b4

c1

c2

c3

3 2 1 0

0 0 0 1

2 0 4 0

 3 2 matrix Q =  1 0

0 0 0 1

 2 0  4 0

A-91

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj

3 Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tussen vier stations s1 , s2 , s3 en s4 . (a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sj met ´e´en tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j). (b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met ´e´en tussenstop? Lees dit af uit je antwoord op (a).

Metro van Londen

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naar s1 met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

s2

s1

s4

s3 Oplossing. (a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld: aantal verbindingen van s1 naar s4 via ´e´en tussenstop is

· . .}. + .|. .{z · . .}. + .|. .{z · . .}. = . . . .|. .{z · . .}. + .|. .{z via s1

via s2

via s3

(∗∗)

via s4

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:   ...

. . . aantal verbindingen van s1 naar s4  ... ... ... ... ·  . . . = . . . via ´e´en tussenstop is ...

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via ´e´en tussenstop te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging:     ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . = . . . ... ... ... ... ... ... ... ... | {z } | {z } P

Q

Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het beginstation, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P de directe-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf. (b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met ´e´en tussenstop gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix P 2 en dat is gelijk aan . . .

A-92

(c) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstops berekenen?

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.

2ND

MATRIX

EDIT

2ND

MATRIX

ENTER

1:[A]

4

ENTER etc.

∧ . . . ENTER

2ND

QUIT

>

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix . . .

en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . .

noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

(d) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstops berekenen?

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.

Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix . . .

en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . .

noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

A-93

Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen 3 Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de verandering van het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.

Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar het platteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizen naar de stad. Stel in 2012 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensen op het platteland. (a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar en na vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Jan Van Eyckplein,Brugge

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf: 0, 05

0, 97

0, 95

platteland

stad

0, 03 Ook hier kunnen we het probleem wat effici¨enter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld: aantal mensen in de stad na ´e´en jaar: Analoog bereken je bijvoorbeeld: aantal mensen op platteland na ´e´en jaar:

0, 95 · 60000 | {z }

0, 03 · 40000 {z } |

+

aandeel van stad

= 58200

(∗)

aandeel van platteland

...

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we: aantal mensen in de stad na ´e´en jaar: Analoog herken je: aantal mensen op platteland na ´e´en jaar:

60000

0, 03 · = 58200 40000

0, 95

...

... ·

... ...

= ...

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met ´e´en bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na ´e´en jaar te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging:

0, 95 0, 03 60000 · = ...

40000 0, 05 0, 97 {z } | {z } | P

Q

Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert voor een andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd. .

stad platteland

stad

platteland

0, 95 0, 05

0, 03 0, 97

0, 95 matrix P = 0, 05

0, 03 0, 97

Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

De notatie ‘stad . platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijk stad . platteland = 0, 05.

1 Een

overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.

A-94

(a) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar berekenen? En na vijf jaar?

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?

A-95

3 Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij beschikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larve en insect) duurt ´e´en maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in een afgesloten ruimte. Na ´e´en maand is de situatie als volgt: . Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen. . Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood. . Van de oorspronkelijke insecten is er niet ´e´en meer over. Maar ze hebben elk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht. (a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf. (b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten na ´e´en maand, twee maanden en acht maanden. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Roodkopvuurkever (Pyrochroa serraticornis)

Oplossing. (a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:

100

eitje

0, 05

larve

insect

0, 2

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld: aantal eitjes na ´e´en maand:

.|. .{z · . .}.

+

aandeel van eitjes

.|. .{z · . .}.

aandeel van larven

+

.|. .{z · . .}.

= ...

(∗∗)

aandeel van insecten

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:   ...

aantal eitjes ... ... ... ·  ...  = ... na ´e´en maand: ...

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met ´e´en berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na ´e´en maand te kennen maken we de volgende matrixvermenigvuldiging:     ... ... ... ... . . . . . . . . . ·  . . .  = . . . ... ... ... ... | {z } | {z } P

Q

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ook wel een Leslie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

2 Een

Leslie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie werd beschreven door P.H. Leslie 1945 [17] en vereist een populatie die niet onderhevig is aan migratie en waarbij slechts ´ e´ en sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.

A-96

(b) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? En na acht maanden?

(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?

A-97

Toepassingen op matrices - Ingevulde versie Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen 3 Op ontdekking De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazili¨e en Canada. Het getal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld, van luchthaven b3 in Brazili¨e zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkele vlucht naar c2 in Canada.

Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazili¨e (voor elke i en j).

Algerije

Brazili¨e

b1 2 a1

Canada

3 2

1

c1

2

b2 3 a2

2

c2

1

1 b3

4

1

c3 b4

1

Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merken kunnen we zo’n soort problemen wat effici¨enter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld: aantal vluchten van a1 naar c1 via B is

2 · 3 + |{z} 1 · 2 + |{z} 0 · 1 + |{z} 1·0 =8 |{z}

via b1

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

via b2

via b3

via b4

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is

3 · 3 + 0 · 2 + 2 · 1 + 1 · 0 = 11

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is

3 · 2 + 0 · 0 + 2 · 4 + 1 · 0 = 14

A-98

(∗)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is

2

1

0

  3 2  1 · 1 = 8 0

2

  3 2  1 · 1 = 11 0

2

  2 0  1 · 4 = 14 0

Analoog herken je:

3

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is

0

3

0

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met ´e´en bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazili¨e te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging:  

3 0 2

2 1 0 1  2 0 0 8 1 4   · = 3 0 2 1 1 0 4 11 1 14 | {z } 0 1 0 P | {z } Q

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazili¨e gelijk aan het (2, 3)-de element van de matrix P · Q en dat is gelijk aan 14.

Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazili¨e voor, ook wel de directe-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazili¨e genoemd.

%

b1

a1 a2

b2

2 1

b3

1 0

b4

0 2

1 1

matrix P =

2 1

1 0

0 2

1 1

Pik = aantal directe wegen van ai naar bk

De notatie ‘a1 % b1 ’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1 , namelijk a1 % b1 = 2.

Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazili¨e naar Canada voor.

% b1 b2 b3 b4

c1

c2

c3

3 2 1 0

0 0 0 1

2 0 4 0

 3 2 matrix Q =  1 0

0 0 0 1

 2 0  4 0

A-99

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj

3 Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tussen vier stations s1 , s2 , s3 en s4 . (a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sj met ´e´en tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j). (b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met ´e´en tussenstop? Lees dit af uit je antwoord op (a). (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naar s1 met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Metro van Londen

(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

s2

s1

s4

s3 Oplossing. (a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld: aantal verbindingen van s1 naar s4 via ´e´en tussenstop is

1 · 0 = 15 3 · 4 + |{z} 2 · 1 + |{z} 1 · 1 + |{z} |{z}

via s1

via s2

via s3

(∗∗)

via s4

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:   1

1 aantal verbindingen van s1 naar s4  1 2 3 1 · 4 = 15 via ´e´en tussenstop is 0

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via ´e´en tussenstop te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging:       1 2 3 1 1 2 3 1 15 3 7 15 2 0 0 1 2 0 0 1  3 5 10 2        3 0 0 4 · 3 0 0 4 =  7 10 25 3  1 1 4 0 1 1 4 0 15 2 3 18 | {z } | {z } P

Q

Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het beginstation, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P de directe-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf. (b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met ´e´en tussenstop gelijk aan het (2, 3)-de element van de matrix P 2 en dat is gelijk aan 10.

A-100

(c) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstops berekenen?

We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal verbindingen van s1 naar s4 met twee tussenstops kennen. Is de eerste tussenstop s1 , dan levert dat 1 mogelijkheid van s1 naar s1 , daarna 15 mogelijkheden van s1 naar s4 . Analoog met een andere eerste tussenstop levert: aantal verbindingen van s1 naar s4 via twee tussenstops is

1| {z · 15}

via eerst s1

+

2·3 |{z}

via eerst s2

+

3·7 |{z}

via eerst s3

+

· 15} |1 {z

= 57

via eerst s4

We herkennen hierin de vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P 2 :   15

3 aantal verbindingen van s1 naar s4  1 2 3 1 ·  7  = 57 via twee tussenstops is 15

Om met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via twee tussenstops te berekenen, maken we dus de matrixvermenigvuldiging P · P 2 = P 3 .

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.

2ND

MATRIX

EDIT

2ND

MATRIX

ENTER

1:[A]

4

ENTER etc.

∧ . . . ENTER

2ND

QUIT

>

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (4, 1)-de element van de matrix P 3 en dus gelijk aan 46.

Opmerking. De matrix P 3 noemen we de driestapsverbindingsmatrix van de totale graaf. (d) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstops berekenen?

Analoog als in (c) doen we dat door P 11 te berekenen.

Ter informatie: met behulp van de grafische rekenmachine vinden we  149 869 761 75 960 622 175 822 703  75 960 622 32 716 288 74 726 032 11 P = 175 822 703 74 726 032 170 475 048 139 575 045 73 743 273 171 209 552

 139 575 045 73 743 273   171 209 552 128 430 948

Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (1, 1)-de element van de matrix P 11 en dus gelijk aan 149.869.761.

Opmerking. De matrix P 11 noemen we de elfstapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

A-101

Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen 3 Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de verandering van het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.

Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar het platteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizen naar de stad. Stel in 2012 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensen op het platteland. (a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar en na vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Jan Van Eyckplein,Brugge

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf: 0, 05

0, 97

0, 95

platteland

stad

0, 03 Ook hier kunnen we het probleem wat effici¨enter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld: aantal mensen in de stad na ´e´en jaar:

0, 95 · 60000 | {z }

aandeel van stad

Analoog bereken je bijvoorbeeld: aantal mensen op platteland na ´e´en jaar:

0, 03 · 40000 | {z }

+

= 58200

(∗)

aandeel van platteland

0, 05 · 60000 + 0, 97 · 40000 = 41800

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we: aantal mensen in de stad na ´e´en jaar: Analoog herken je: aantal mensen op platteland na ´e´en jaar:

0, 95

60000 0, 03 · = 58200 40000

0, 05

60000

0, 97 · = 41800 40000

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met ´e´en bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na ´e´en jaar te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging:

60000 58200 0, 95 0, 03 · = 40000 41800 0, 05 0, 97 {z } | {z } | P

Q

Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert voor een andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd. .

stad platteland 1 Een

stad 0, 95 0, 05

platteland 0, 03 0, 97

matrix P =

0, 95 0, 05

0, 03 0, 97

Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.

A-102

De notatie ‘stad . platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijk stad . platteland = 0, 05. (a) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar berekenen? En na vijf jaar?

We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal mensen in de stad na twee jaar kennen. Dat is een aandeel van 0, 95 keer het aantal mensen in de stad na ´e´en jaar, plus een aandeel van 0, 03 keer het aantal mensen op het platteland na ´e´en jaar: aantal mensen in de stad na twee jaar:

0, 95 · 58200 {z } |

+

aandeel van stad

0, 03 · 41800 | {z }

= 56544

aandeel van platteland

We herkennen hierin een vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P · Q:

58200

aantal mensen in de stad 0, 95 0, 03 · = 56544 na twee jaar: 41800

Om met ´e´en bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na twee jaar te berekenen, maken we dus de matrixvermenigvuldiging

0, 95 0, 03 58200 56544 · = 0, 05 0, 97 41800 43456 | {z } | {z } P ·Q

P

Merk op dat we ook eerst P 2 kunnen berekenen en daarna vermenigvuldigen met Q:

60000 0, 95 0, 03 0, 95 0, 03 60000 0, 904 0, 0576 56544 · · · = = 40000 0, 05 0, 97 0, 05 0, 97 40000 0, 096 0, 9424 43456 | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } P

P

Q

P2

Q

Analoog vinden we het aantal inwoners in de stad en op het platteland na vijf jaar (maak gebruik van je grafische rekenmachine):

5

0, 95 0, 03 60000 52329 · ≈ 0, 05 0, 97 40000 47671 | {z } | {z } Q

P5

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?

Dat kunnen we door te berekenen wat het aantal mensen in de stad is na een groot aantal jaren, bijvoorbeeld na 50 of zelfs 100 jaar. Analoog als in (a) doen we dat door P 50 · Q of P 100 · Q te berekenen.

Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we:

50

0, 95 0, 03 60000 37848 · ≈ 62152 0, 05 0, 97 40000 | {z } | {z } Q

P 50

100

0, 95 0, 03 60000 37505 · ≈ 0, 05 0, 97 62495 40000 | {z } | {z } Q

P 100

Nemen we een nog groter aantal jaren (bijvoorbeeld 200 of 250) dan merken we dat het aantal mensen in de stad evolueert naar 37500.

A-103

3 Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij beschikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larve en insect) duurt ´e´en maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in een afgesloten ruimte. Na ´e´en maand is de situatie als volgt: . Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen. . Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood. . Van de oorspronkelijke insecten is er niet ´e´en meer over. Maar ze hebben elk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht. (a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf. (b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten na ´e´en maand, twee maanden en acht maanden. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Roodkopvuurkever (Pyrochroa serraticornis)

Oplossing. (a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:

100

eitje

larve

0, 05

insect

0, 2

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld: aantal eitjes na ´e´en maand:

0 3000} | · {z

+

aandeel van eitjes

0| · {z 2000}

aandeel van larven

+

· 1000} |100 {z

= 100.000

(∗∗)

aandeel van insecten

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:  

3000

aantal eitjes 0 0 100 · 2000 = 100.000 na ´e´en maand: 1000

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met ´e´en berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na ´e´en maand te kennen maken we de volgende matrixvermenigvuldiging:       3000 100.000 0 0 100 0, 05 0 0  · 2000 =  150  0 0, 2 0 1000 400 | {z } | {z } P

Q

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ook wel een Leslie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

2 Een

Leslie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie werd beschreven door P.H. Leslie 1945 [17] en vereist een populatie die niet onderhevig is aan migratie en waarbij slechts ´ e´ en sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.

A-104

(b) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? En na acht maanden?

Het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafische rekenmachine):     2  40000 3000 0 0 100 0, 05 0 0  · 2000 =  5000  30 1000 0 0, 2 0 {z } | {z } | Q

P2

Na twee maanden zijn er dus 40000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.

Het aantal eitjes, larven en insecten na acht maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafische rekenmachine):     8  3000 40000 0 0 100 0, 05 0 0  · 2000 =  5000  1000 30 0 0, 2 0 {z } | {z } | Q

P8

Ook na acht maanden zijn er 40000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.

(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?

Het is verleidelijk om uit onze resultaten in (b) te besluiten dat de populatie streeft naar 40000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.

Echter, enkele berekeningen voor opeenvolgende maanden onthullen een ander patroon:    3000     oorspronkelijk: Q = 2000     1000        100.000  na ´e´en maand: P · Q =  150    40         40000     na twee maanden: P 2 · Q =  5000    30    3000     na drie maanden: P 3 · Q = 2000 zelfde als oorspronkelijk!     1000        100.000  na vier maanden: P 4 · Q =  150  zelfde als na ´e´en maand!   40         40000     na vijf maanden: P 5 · Q =  5000  zelfde als na twee maanden!   30

De populatie herhaalt zich elke drie maanden. Het aantal eitjes evolueert dus niet naar een bepaalde waarde.

Analoog voor het aantal larven en het aantal insecten.

A-105

Oefeningen - Opgave Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.

B

C

(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met ´e´en tussenstop op een willekeurig eiland.

A

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland. ?

(d) Is het mogelijk om via ten hoogste ´e´en tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op met behulp van matrices.

D

E

Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.

Na ´e´en jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van het jaar voordien en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren het jaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jonge dieren zijn en 30 volwassen dieren. (a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 1 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van de markt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgende wijzigingen voor: 3 Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.

3 Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.

3 Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.

We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet. (a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf. (b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door een lage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Leslie-model, de volgende gegevens zijn bekend: 3 slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar, 3 eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven, 3 geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar, 3 alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes. (a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf. (b) Stel de Leslie-matrix op. (c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100000 eitjes. Hij laat zijn vangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

1 Enige

gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.

A-106

Oefeningen - Oplossingen Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.

B

C

(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met ´e´en tussenstop op een willekeurig eiland.

A

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland. ?

(d) Is het mogelijk om via ten hoogste ´e´en tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op met behulp van matrices.

Oplossing.

D

E

(a) We starten met een voorbeeld: aantal wegen van A naar A is 0 aantal wegen van A naar B is 0 aantal wegen van A naar C is 1 aantal wegen van A naar D is 0 aantal wegen van A naar E is 0 dus de directe wegenmatrix is vermoedelijk  0 1  M = 0 0 1

0 0 1 0 1

1 0 0 1 0

 0 1  0  1 0

0 1 1 0 1

Dat vermoeden zal in (b) bevestigd worden. (b) We hebben:

aantal wegen van E naar C met ´e´en tussenstap is |{z} 1 · 1 + |{z} 1 · 0 + |{z} 0 · 0 + |{z} 1 · 1 + |{z} 0·0 =2 via A

via B

via C

via D

via E

We herkennen hierin een matrixproduct:

1 |

1

0 1 {z

vijfde rij van M

0 · }

  1 0   0   1 0 |{z}

derde kolom van M

Of, meer algemeen: 

0 1  M ·M = 0 0 1

0 0 1 0 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

= 2

  0 0 1 1    0  · 0 1  0 0 1

0 0 1 0 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

(c) Het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops is berekenen  ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  M3 =  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Het antwoord is dus 1.

A-107

  0 ∗ ∗ 1    0  = ∗ 1 ∗ 0 ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ 2

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

 ∗ ∗  ∗  ∗ ∗

het (1, 3)-de element van de matrix M 3 . We  ∗ ∗  ∗  ∗ ∗

(d) De matrix M geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met nul tussenstops.

De matrix M 2 geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met ´e´en tussenstop.

Dus de matrix M + M 2 geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met ten hoogste ´e´en tussenstop. We berekenen   0 1 1 1 0 2 1 2 2 2   2  M +M = 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 Omdat sommige elementen van deze matrix 0 zijn, is het niet mogelijk om via ten hoogste ´e´en tussenstap van om het even welk eiland naar om het even welk eiland te gaan (bijvoorbeeld van A naar A).

Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.

Na ´e´en jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van het jaar voordien en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren het jaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jonge dieren zijn en 30 volwassen dieren. (a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

Oplossing. (a) De graaf ziet er als volgt uit:

0, 8

0, 2

0

jong

volwassen

0, 5 (b) Om de matrix te achterhalen, bepalen we eerst het aantal jonge en volwassen dieren na 1 jaar. aantal jonge dieren na 1 jaar: aantal volwassen dieren na 1 jaar:

0 · 70 + 0, 5 · 30 = 15

0, 8 · 70 + 0, 2 · 30 = 62

We herkennen hierin een matrixproduct:

70 0 0, 5 15 · = 0, 8 0, 2 30 62 {z } |

P

Om het aantal dieren na vier jaar te berekenen:

70 14, 84 P · = 30 15, 696 4

Na vier jaar zijn er ongeveer 15 jonge dieren en ongeveer 16 volwassen dieren. (c) We berekenen bijvoorbeeld het aantal dieren na 25 jaar:

70 0, 022 . . .

25 P · = 30 0, 033 . . .

Het aantal jonge en volwassen dieren evolueren beiden naar nul.

A-108

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van de markt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgende wijzigingen voor: 3 Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.

3 Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.

3 Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.

We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet. (a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf. (b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

Oplossing. (a) De graaf ziet er als volgt uit:

0.85

0, 05 B

0, 55

M

0, 1 0, 1 0, 35

0, 05

0, 1

P 0, 85

(b) Om de overgangsmatrix M te achterhalen, bepalen we eerst het aantal klanten van B, P en M na 1 jaar. aantal klanten van B na 1 jaar: aantal klanten van M na 1 jaar: aantal klanten van P na 1 jaar:

We herkennen hierin een matrixproduct:  0, 85 0, 05 0, 1 |

0, 1 0, 55 0, 35 {z M

Na bijvoorbeeld 100 jaar is de situatie als volgt:

0, 85 · 0, 2 + 0, 1 · 0, 6 + 0, 1 · 0, 2 = ∗

0, 05 · 0, 2 + 0, 55 · 0, 6 + 0, 05 · 0, 2 = ∗

0, 1 · 0, 2 + 0, 35 · 0, 6 + 0, 85 · 0, 2 = ∗

     0, 2 ∗ 0, 1 0, 05 · 0, 6 = ∗ 0, 85 0, 2 ∗ }

    0, 2 0, 4 M 100 · 0, 6 = 0, 1 0, 2 0, 5

Ook na 101 jaren, 102 jaren, etc. hebben we hetzelfde resultaat. Dus de markt bereikt een evenwicht: op den duur heeft maatschappij B 40% van de markt in handen, maatschappij M 10% van de markt en maatschappij P 50% van de markt.

A-109

Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door een lage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Leslie-model, de volgende gegevens zijn bekend: 3 slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar, 3 eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven, 3 geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar, 3 alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes. (a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf. (b) Stel de Leslie-matrix op. (c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100000 eitjes. Hij laat zijn vangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

Oplossing. (a) De graaf ziet er als volgt uit:

800

eitjes

0, 005

´e´enjarigen

0, 4

tweejarigen

(b) Om de Leslie-matrix M te achterhalen, bepalen we eerst het aantal eitjes, eenjarigen en tweejarigen na 1 jaar. aantal eitjes na 1 jaar: aantal eenjarigen na 1 jaar: aantal tweejarigen na 1 jaar:

We herkennen hierin een matrixproduct:  0 0 0, 005 0 0 0, 4 | {z

0 · 100 000 + 0 · 500 + 800 · 300 = ∗

0, 005 · 100 000 + 0 · 500 + 0 · 300 = ∗ 0 · 100 000 + 0, 4 · 500 + 0 · 300 = ∗

     ∗ 800 100 000 0  ·  500  = ∗ 300 ∗ 0 }

Leslie-matrix M

(c) Om de populatie na acht jaar te kennen, berekenen we     100 000 409 600 M 8 ·  500  =  3072  300 512

Na acht jaar zijn er dus 409 600 eitjes, 3072 eenjarigen en 512 tweejarigen.

A-110

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

5 HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?

Inhoudsopgave

In te studeren bewijs (vijfde jaar) [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-112 In te studeren bewijs (zesde jaar) [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113

A-111

In te studeren bewijs (vijfde jaar) Wat voorafging Gevolg

Zij A een n × n matrix. Dan het homogeen lineair stelsel A · x = 0 heeft een unieke oplossing m rang A = n m ∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing

Stelling met bewijs Stelling

Zij A een n × n matrix. Dan geldt A is inverteerbaar

⇔

rang A = n

Bewijs. Het bewijs bestaat uit twee delen.

Deel 1. Onderstel dat A inverteerbaar is. We aantonen dat rang A = n.     moeten x1 0     Beschouw het homogeen lineair stelsel A ·  ...  =  ... . Dan geldt xn | {z } x

A·x=0

0 |{z} 0

⇔

A−1 · (A · x) = A−1 · 0

⇔

(A−1 · A) · x = 0

⇔

x=0

⇔

En · x = 0

Dus het lineair stelsel A · x = 0 heeft enkel de nuloplossing. Wegens het bovenstaand gevolg is rang A = n.

Deel 2. Onderstel dat rang A = n. We moeten aantonen matrix B bestaat waarvoor    a11 a12 . . . a1n b11  a21 a22 . . . a2n   b21     .. .. ..  ·  ..  . . .   . |

an1

an2 . . . {z

ann

A

} |

bn1

dat A inverteerbaar is. Dus we moeten aantonen dat er een b12 b22 .. . bn2

... ...

{z B

...

  b1n 1 0 ... 0 1 . . . b2n    ..  =  .. .. .  . . bnn 0 0 ... } | {z En

 0 0  ..  . 1

}

Met andere woorden, we moeten aantonen dat er re¨ele getallen bij bestaan waarvoor             1 b12 0 b1n 0 b11  b22  1  b2n  0  b21  0             A ·  .  =  . , A ·  .  =  . , . . . , A ·  .  =  .   ..   ..   ..   ..   ..   ..  bn1 0 bn2 0 bnn 1 | {z } |{z} | {z } |{z} | {z } |{z} b1

e1

b2

e2

bn

en

Omdat rang A = n hebben de bovenstaande stelsels A · b1 = e 1 ,

A · b2 = e2 ,

...,

A · bn = en

telkens een oplossing (wegens het bovenstaand gevolg). Dus er bestaat een matrix B waarvoor A · B = En . Dus A is rechts-inverteerbaar. Wegens de vorige eigenschap is A inverteerbaar. Dit besluit het bewijs.

A-112

In te studeren bewijs (zesde jaar) Hoofdstelling 1 van de integraalrekening Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. Dan geldt 1. De oppervlaktefunctie A(t) tussen a en b is afleidbaar over ]a, b[ en A0 (t) = f (t) 2.

Z

b

f (x)dx = A(b)

a

Schets van het bewijs.

A(t + h) − A(t) = f (t). h Voor ‘kleine’ waarden van h wordt A(t + h) − A(t) gegeven door de gearceerde (geori¨enteerde) oppervlakte op de linkerfiguur.

1. Neem t ∈ ]a, b[. We moeten aantonen dat

lim

h→0

Anderzijds wordt h · f (t) gegeven door de gearceerde (geori¨enteerde) oppervlakte op de rechterfiguur.

y

y

h

y = f (x)

y = f (x) f (t)

a

t

a

b x

t+h

A(t + h) − A(t) = oppervlakte

t

t+h

f (t) · h = oppervlakte

Omdat h ‘klein’ is zal dus A(t + h) − A(t) ≈ h · f (t)

waaruit

A(t + h) − A(t) ≈ f (t) h

Bij limietovergang vinden we lim

h→0

A(t + h) − A(t) = f (t) h

waaruit blijkt dat de afgeleide A0 (t) bestaat en gelijk is aan f (t).

2. Omdat A(t) =

Z

a

t

f (x)dx is A(b) =

Z

b

f (x)dx.

a

A-113

b x

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

6 SAMENWERKEN

Inhoudsopgave

Toepassingen 1 en 2 [8] Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-116 Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-118 Oefeningen 1-4 [8] Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-120 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-120

A-115

Toepassingen op lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Opgave Toepassing 1. Codeertheorie We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.

We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van de boodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijn plaats in het alfabet A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

F 6

G 7

H 8

I 9

J 10

K 11

L 12

M 13

N O 14 15

Coderen

P 16

Q 17

R 18

S 19

T 20

U 21

V 22

W 23

X 24

Y 25

Z 26

Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.

Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.

In ons voorbeeld geeft dit N 14

U 21

G 7

E 5

L 12

A 1

N 14

D 4

1 Stap 2. Kies een geheime 2 × 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A = 2

2 .

3

Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.

1 2 14 56 In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als · = 2 3 21 91 Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap

Verzenden

We verzenden de code

Decoderen

N 56

U 91

G 17

E 29

L 14

A 27

N 22

D 40

56

91

17

29

14

27

22

40

Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 te decoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel

1 2 x 56 · 1 = 2 3 x2 91 | {z } A

Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing en hoe kunnen we die oplossing vinden?

Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.

41

67

41

68

Oplossing.

A-116

19

33

70

115

Toepassing 2. Vraagstukken 3 Modelvoorbeeld 1 (het probleem van Tartaglia). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van jullie spaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk het derde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt: “Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan 3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?

Oplossing.

Niccol` oFontanaTartaglia (1499 - 1557)

3 Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoteren vertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoord je fout dan wordt 1 punt afgetrokken 1 en voor een blanco antwoord wordt niks aangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeem vertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.

Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordt gevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93 punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?

Oplossing.

1 Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuzemogelijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blanco antwoord 0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) af te trekken. Voor een wiskundige onderbouw van rechtvaardige giscorrectie, alsook het optimaliseren van slaagkansen, verwijzen we naar [9].

A-117

Toepassingen lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Ingevulde versie Toepassing 1. Codeertheorie We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.

We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van de boodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijn plaats in het alfabet A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

F 6

G 7

H 8

I 9

J 10

K 11

L 12

M 13

N O 14 15

Coderen

P 16

Q 17

R 18

S 19

T 20

U 21

V 22

W 23

X 24

Y 25

Z 26

Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.

Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.

In ons voorbeeld geeft dit N 14

U 21

G 7

E 5

L 12

A 1

N 14

D 4

Stap 2. Kies een geheime 2 × 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =

1 2

2 .

3

Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.

1 2 14 56 In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als · = 2 3 21 91 Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap N 56

U 91

G 17

E 29

L 14

A 27

N 22

D 40

56

91

17

29

14

27

22

40

Verzenden

We verzenden de code

Decoderen

Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 te decoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel

1 2 x 56 · 1 = 2 3 x2 91 | {z } A

Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing en hoe kunnen we die oplossing vinden?

Het 2 × 2 stelsel heeft een unieke oplossing omdat A inverteerbaar is (zie Gevolg pagina ??). Die oplossing kunnen we vinden door links te vermenigvuldigen met de inverse A−1

x1 56 −3 2 56 14 N = A−1 · = · = x2 91 2 −1 91 21 U

Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.

41

67

41

68

19

33

70

115

Oplossing. We gaan te werk zoals hierboven:

A

−1

41 11 · = 67 15

K O

A

−1

41 13 · = 68 14

M N

Het vliegtuig ontvangt de instructie “KOM NIET”.

A-118

A

−1

19 9 · = 33 5

I E

A

−1

70 20 · = 115 25

T Y

Toepassing 2. Vraagstukken 3 Modelvoorbeeld 1 (het probleem van Tartaglia). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van jullie spaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk het derde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt: “Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan 3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?

Oplossing.    x1 = spaargeld eerste Noemen we x2 = spaargeld tweede   x3 = spaargeld derde dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel  1 1   x1 + x2 + x3 = 3400   2 2   1 1 x1 + x2 + x3 = 3400  3 3   1   x1 + 1 x2 + x3 = 3400 4 4

Niccol` oFontanaTartaglia (1499 - 1557)

We schrijven de geassocieerde matrix op en bepalen de trapvorm met behulp van de grafische rekenmachine.     1 21 12 | 3400 1 0 0 | 1000 [A | b] =  31 1 13 | 3400 ∼ T = 0 1 0 | 2200 1 1 0 0 1 | 2600 1 | 3400 4 4 Antwoord. De eerste bezit 1000 euro, de tweede 2200 euro en de derde 2600 euro.

3 Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoteren vertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoord je fout dan wordt 1 punt afgetrokken 1 en voor een blanco antwoord wordt niks aangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeem vertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.

Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordt gevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93 punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?

Oplossing.    g = aantal goede antwoorden Noemen we f = aantal foute antwoorden   b = aantal blanco

dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel    4g − f + 30 = 84 5g + 2b = 93   g + f + b = 30

⇔

    

4g − f = 54

5g + 2b = 93 g + f + b = 30

We schrijven de geassocieerde matrix op en bepalen de trapvorm met behulp van de grafische rekenmachine.  4 [A | b] = 5 1

−1 0 1

  0 | 54 1 2 | 93 ∼ T = 0 1 | 30 0

0 1 0

0 0 1

 | 15 | 6 | 9

Antwoord. Jan liet 9 vragen blanco.

1 Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuzemogelijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blanco antwoord 0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) af te trekken.Voor een wiskundige onderbouw van rechtvaardige giscorrectie, alsook het optimaliseren van slaagkansen, verwijzen we naar [9]

A-119

Oefeningen - Opgave Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboekt door Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanders zijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten om de voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen als Nederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in het hotel?

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de som van de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd dan bekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Calpe

Costa Blanca, Spanje

Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkuren nodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk 32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als de vraag naar model B en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elk model zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses? ?

Oefening 4 (Het probleem van Bachet 2 ). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. E´en van hen verdubbelt met een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijn centen het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van de andere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Oefeningen - Oplossingen Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 kamers geboekt door Nederlanders, Fransen en Italianen.

Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanders zijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten om de voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen als Nederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in het hotel?

Oplossing.    n = aantal Nederlanders Noemen we i = aantal Italianen   f = aantal Fransen

dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel    n + i + f = 111 n = 2(f + i)   f = 2(n − 60 + i)

⇔

    

n + i + f = 111 n − 2f − 2i = 0

2n − f + 2i = 120

We schrijven de geassocieerde matrix op en bepalen de trapvorm met    1 1 1 | 111 1 [A | b] = 1 −2 −2 | 0  ∼ T = 0 2 −1 2 | 120 0 Antwoord. In het hotel hadden 74 Nederlanders ingecheckt.

behulp van de grafische rekenmachine.  0 0 | 74 1 0 | 34 0 1 | 3

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de som van de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd dan bekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Oplossing.

Een getal met drie cijfers kunnen we voorstellen als x= a

b

c

met a, b, c ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}

Merk op dat de waarde van het getal x dan gelijk is aan 100 · a + 10 · b + c.

Het vraagstuk vertaalt zich nu in het stelsel    a + b + c = 19 a+b=c+1   100c + 10b + a = 100a + 10b + c − 198 A-120

⇔

    

a + b + c = 19 a−b+c=1

−99a + 99c = −198

We schrijven de geassocieerde matrix op en bepalen de trapvorm met behulp van de grafische rekenmachine.     1 1 1 | 19 1 0 0 | 6 −1 1 | 1  ∼ T = 0 1 0 | 9 [A | b] =  1 −99 0 99 | −198 0 0 1 | 4 Antwoord. Het getal is x = 694.

Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkuren nodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk 32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als de vraag naar model B en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elk model zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?

Oplossing.

   a = aantal wagens van model A Noemen we b = aantal wagens van model B   c = aantal wagens van model C

dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel    52a + 78b + 94c = 260 · 32 a = 2b   c = 0, 1(a + b + c)

⇔

    

52a + 78b + 94c = 8320 a − 2b = 0

0, 1 a + 0, 1 b − 0, 9 c = 0

We schrijven de geassocieerde matrix op en bepalen de trapvorm met behulp    1 0 52 78 94 | 8320 −2 0 | 0  ∼ T = 0 1 [A | b] =  1 0 0 0, 1 0, 1 −0, 9 | 0

van de grafische rekenmachine.  0 | 78 0 | 39 1 | 13

Antwoord. Per week moet men 78 wagens van model A, 39 wagens van model B en 13 wagens van model C produceren.

?

Oefening 4 (het probleem van Bachet). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. E´en van hen verdubbelt met een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijn centen het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van de andere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Oplossing.

   x1 = spaargeld eerste We noemen x2 = spaargeld tweede   x3 = spaargeld derde

We stellen de evolutie van de spaarcenten voor: begin

1 verdubbelt 2 en 3

2 verdubbelt 1 en 3

3 verdubbelt 1 en 2

x1

x1 − x2 − x3

2(2x1 − 2x2 − 2x3 )

x2

2x2

2(x1 − x2 − x3 ) {z } |

x3

2x3

4x3

2x1 −2x2 −2x3

2x2 − (x1 − x2 − x3 ) − 2x3 | {z } −x1 +3x2 −x3

2(−x1 + 3x2 − x3 ) 4x3 − (2x1 − 2x2 − 2x3 ) − (−x1 + 3x2 − x3 )

Op die manier verkrijgen we het stelsel    2(2x1 − 2x2 − 2x3 ) = 8000 2(−x1 + 3x2 − x3 ) = 8000   4x3 − (2x1 − 2x2 − 2x3 ) − (−x1 + 3x2 − x3 ) = 8000 We schrijven de geassocieerde matrix op en  4 −4 [A | b] = −2 6 −1 −1

⇔

bepalen de trapvorm met   −4 | 8000 1 −2 | 8000 ∼ T = 0 7 | 8000 0

   4x1 − 4x2 − 4x3 = 8000 −2x1 + 6x2 − 2x3 = 8000   −x1 − x2 + 7x3 = 8000

behulp van de grafische rekenmachine.  0 0 | 13000 1 0 | 7000  0 1 | 4000

Antwoord. De eerste had 13000 euro, de tweede 7000 euro en de derde 4000 euro.

A-121

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

7

EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN

Inhoudsopgave

Voorbeeld van een wetenschappelijk verslag [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-124 Onderwerp (taken 11.3, 11.4 en 11.5) [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-126 Verslag dat een (anonieme) leerling enkele jaren terug gemaakt heeft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-128 De leerlingen krijgen dit verslag, het kan hun helpen om de taken uit het handboek te maken. Omdat het verslag van deze leerling niet zo goed is, ervaren ze hoe belangrijk het is om een goed verslag te kunnen schrijven.

A-123

√ 2

3 3 3 3 4

4 Onderling priem

5 Meetkundig bewijs en de algebra¨ısche tegenhanger 5.1 Algebra¨ısch bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Meetkundig bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Irrationaliteit van andere getallen en open problemen

2

2

⇒

d =2

2

1

1

√ 2.

1

1 Het eerste bewijs van het bestaan van irrationale getallen wordt meestal toegeschreven aan een wiskundige uit de Pythagorae¨ ısche school (mogelijk Hippasus van Metapontum). Hippasus werd niet geprezen voor zijn bewijs: volgens een legende deed hij zijn ontdekking terwijl hij op zee was, en zijn collega Pythagore¨ ers zouden hem vervolgens prompt over boord hebben gekieperd. Dit voor het feit dat hij een element in het universum had gevonden dat de leer ontkende dat alle fenomenen in het heelal kunnen worden teruggebracht tot gehele getallen en hun verhoudingen.

De Pythagore¨ers1 ontdekten dat de lengte d = 2 van zo’n diagonaal zich niet rationaal verhoudt tot de lengtes der √ zijden. Dit is wat men bedoelt met 2 is een irrationaal getal: er bestaan geen natuurlijke getallen m, n waarvoor √ m geldt dat 2 = . n

√

√ 2

Lengte is positief, dus d > 0.√Het getal d noemt men de (positieve) vierkantswortel van 2, en noteert men met De decimale voorstelling van 2 begint als volgt: √ 2 = 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 . . .

1 +1 =d

2

In een vierkant met zijde 1 hebben de diagonalen een lengte d waarvoor het kwadraat gelijk is aan 2. Immers, samen met twee aanliggende zijden vormt een diagonaal een rechthoekige driehoek, en uit de stelling van Pythagoras volgt

Inleiding

2

3 Grondstelling van de getallenleer

1

2

2 Klassiek bewijs

2 een irrationaal getal is.

1

√

1 Inleiding

Inhoudsopgave

In dit verslag bespreken we enkele (alternatieve) bewijzen van het feit dat

Samenvatting

Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 27 februari 2011

Koen De Naeghel

Een verslag ten dienste van de leerlingen van 5aGWi8-5aLWi8-5bWWi8 door

Vijf bewijzen voor de irrationaliteit van

1 1 keer

D

1 keer

B

...

... n keer

m keer

Klassiek bewijs √

2 gaat terug naar Aristoteles, en verscheen in het boek Elementen van

met

p, q ∈ Z

Grondstelling van de getallenleer

−15 = (−5).3 = 5.(−3) = (−3).5 = 3.(−5)

met

p, q ∈ Z

2

2 Hoewel Euclides dit nergens expliciet neergeschreven had. Deze eigenschap werd voor het eerst geformuleerd door Gauss 1801 in zijn baanbrekende doctoraatsthesis Disquisitiones arithmeticae.

Dan is p2 = 2q 2 . Nu ontbinden we p en q in een product van priemgetallen. Elk priemgetal in de ontbinding van p komt tweemaal voor in de ontbinding van p2 , dus p2 heeft een even aantal priemfactoren. Analoog heeft q 2 een even aantal priemfactoren. Maar dan heeft 2q 2 een oneven aantal priemfactoren. Strijdig met het feit dat p2 = 2q 2 want p2 heeft een even aantal priemfactoren.

r = p/q

Tweede bewijs. Onderstel uit het ongerijmde dat er een rationaal getal r ∈ Q is waarvoor r2 = 2. We schrijven

Deze stelling staat bekend als de Grondstelling uit de getallenleer en wordt toegewezen aan Euclides2 .

Voorbeeld.

Het volgend bewijs steunt op de eigenschap dat elk geheel getal te schrijven is als een product van priemgetallen.

Bovendien is deze schrijfwijze, op de tekens en de volgorde van de priemen na, uniek.

3

en we mogen onderstellen dat p en q onderling priem zijn i.e. ze hebben geen delers gemeen (behalve 1 en −1). Dan is p2 = 2q 2 . Omdat 2 een deler is van 2q 2 is dus 2 ook een deler van p2 . Omdat 2 een priemgetal is, is 2 meteen ook een deler van p, dus p = 2s voor een geheel getal s. Substitueren in p2 = 2q 2 levert 4s2 = 2q 2 dus 2s2 = q 2 . Er volgt dat 2 een deler is van √ q 2 en dus ook van q. Een strijdigheid met onze onderstelling dat p en q geen deler gemeen hadden.

We besluiten dat 2 irrationaal is. √ Een uitbreiding van dit bewijs levert dat n irrationaal is voor elk natuurlijk getal n dat niet het kwadraat is van een natuurlijk getal.

r = p/q

Eerste bewijs. Onderstel uit het ongerijmde dat er een rationaal getal r ∈ Q is waarvoor r2 = 2. We schrijven

Het klassiek bewijs van de irrationaliteit van Euclides.

2

De lijnstukken [CD] die op deze manier in een eindig aantal stappen kunnen gemeten worden, voldoen aan n · |AB| = m m·1, dus |AB| = waarbij n het aantal herhalingen van [AB] en m het aantal herhalingen van [CD] is. Tot verbazing n van de Pythagore¨ers waren er lijnstukken die niet op deze manier kunnen gemeten worden.

C

A

(2.2.1) etc.

(2.1) Als je na m herhalingen van het lijnstuk [CD] het dubbele van de lengte van het lijnstuk [AB] bekomt, dan m is 2|AB| = m · 1, dus |AB| = .

2 (2.2) Als dat niet zo is: beschouw het drievoud van het lijnstuk [AB].

(2) Als je na m herhalingen van het lijnstuk [CD] de lengte van het lijnstuk [AB] bekomt, dan is |AB| = m · 1 = m.

Als dat niet zo is: verdubbel lijnstuk [AB].

(1) Teken onder lijnstuk [AB] een lijnstuk [CD] met lengte 1.

Waarom vonden de Pythagore¨ers het bestaan van irrationale getallen zo afstotelijk? Omdat zij ervan overtuigd waren dat elk lijnstuk [AB] kan vergeleken worden met een lijnstuk met lengte 1, en wel als volgt:

Onderling priem

met

p, q ∈ Z

√

Meetkundig bewijs en de algebra¨ısche tegenhanger

Algebra¨ısch bewijs

p 2= q √ 2+1

Meetkundig bewijs

2q − p ∈ S, waarbij de noemer strikt kleiner is dan q. Strijdig, want q is het minimum van S. p−q

vermenigvuldig teller en noemer met

want

√

deel teller en noemer door q

3

Merk op dat zo’n rechthoekige driehoek ook gelijkbenig is, en dat de zijden als lengte natuurlijke getallen hebben. Omdat we q minimaal hebben gekozen, is dit deze driehoek de kleinste rechthoekige gelijkbenige driehoek waarvoor de zijden natuurlijke getallen zijn.

Inderdaad, uit 2 = p2 /q 2 volgt q 2 + q 2 = p2 , en wegens de Stelling van Pythagoras volgt het bestaan van zo’n driehoek.

Stap 1. Er bestaat een rechthoekige driehoek waarbij de lengte van elke rechthoekszijde p is, en de lengte van de schuine zijde q is.

p

q

Vijfde bewijs. Onderstel uit het ongerijmde 2 = p2 /q 2 met p, q ∈ N waarbij q terug minimaal is.

q

√ Hier volgt het bewijs waarmee Griekse meetkundigen bewezen dat 2 irrationaal is. Het achterliggend idee is: gegeven een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan alle zijden natuurlijke getallen zijn, dan kan men steeds een kleinere gelijkbenige rechthoekige driehoek kan construeren waarvoor alle zijden nog steeds natuurlijke getallen zijn.

5.2

Maar dan is

2 − pq 2q − p = p p−q q −1 √ 2− 2 =√ 2−1 √ √ (2 − 2)( 2 + 1) √ = √ ( 2 − 1)( 2 + 1) √ √ √ 2 2 + 2 − ( 2)2 − 2 √ = ( 2)2 − 1 √ = 2

√ Vierde bewijs. Onderstel uit het ongerijmde dat we een p0 , q 0 ∈ N kunnen vinden waarvoor 2 = p0 /q 0 . Van al zo’n 0 0 mogelijke paren (p , q ) nemen we het paar (p, q) waarvoor de q minimaal is. Met andere woorden, noemen we S de verzameling √ p0 S = {q 0 ∈ N | er bestaat een p0 ∈ N waarvoor 2 = 0 } ⊂ N q dan is, uit het onderstelde, S niet-ledig en dus kunnen we het minimum van S nemen.

Dat minimum noemen we q. √ √ Zij p ∈ N een bijhorend natuurlijk getal waarvoor 2 = p/q. Dan volgt uit de ongelijkheden 1 < 2 < 2 gemakkelijk dat q < p en p < 2q. Uit dat laatste volgt p − q < q. We verkrijgen nu

5.1

Hier bespreken we een meetkundige constructie die de irrationaliteit van 2 aantoont. Het meetkundig bewijs gaat terug naar de Griekse oudheid. Voor de duidelijkheid volgt eerst de algebra¨ısche tegenhanger.

5

dan is er geen enkele pi (met 1 ≤ i ≤ k) gelijk aan een qj (voor 1 ≤ j ≤ l). Dus hebben ook p2 en q 2 geen priemdelers gemeen hebben in hun priemontbinding. Met andere worden, we kunnen niet schrappen in de breuk p2 /q 2 , laat staan dat we deze kunnen schrappen tot we 2 bekomen!

en we mogen onderstellen dat p en q onderling priem zijn i.e. ze hebben geen delers gemeen (behalve 1 en −1). We mogen tevens onderstellen dat q 6= 1 en q 6= −1, anders zou er een geheel getal p zijn waarvoor p2 = 2 wat duidelijk nonsens is. Zeggen dat p en q geen deler gemeen hebben betekent: als we de priemontbinding van p en q neerschrijven als p = p1 · p2 · . . . · pk en q = q1 · q2 · . . . · ql

r = p/q

Derde bewijs. Onderstel uit het ongerijmde dat er een rationaal getal r ∈ Q is waarvoor r2 = 2. We schrijven

Het derde bewijs maakt gebruik van de volgende eigenschap: als twee gehele getallen geen priemfactoren gemeen hebben, dan hebben hun kwadraten ook geen priemfactoren gemeen.

4

p−q

p−q

p−q

2q − p

2q − p

q

q

q

q

p−q

p−q

q

q

q

Irrationaliteit van andere getallen en open problemen

4

Het is echter nog steeds onbekend of π + e of π − e irrationaal zijn of niet. Infeite is er geen enkel paar (m, n) van niet-nul gehele getallen m, n bekend waarvoor men weet of mπ + ne irrationaal is of niet. Verder is het ook onbekend √ of 2e , π e of π 2 al dan niet irrationaal zijn.

In 1761 bewees Lambert dat π = 3, 14 . . . en e = 2, 71 . . . irrationaal zijn, alsook er voor r ∈ Q, r 6= 0. Dit laatste was nogal een dubieus bewijs en werd op punt gezet door Legendre in 1794. Nadien werd de irrationaliteit van andere getallen en combinaties aangetoond, zoals π r (voor r ∈ Q, r 6= 0) en eπ . Een grote sprong voorwaarts werd in 1934 gemaakt door Gelfond en Schneider. Zij toonden onafhankelijk van elkaar aan dat ab steeds een irrationaal getal is, zolang (1) a en b oplossingen zijn van een vergelijking met gehele co¨effici¨enten en, (2) a 6= 0 en a 6= 1, en (3) b een irrationaal getal is. Hun resultaat toont de irrationaliteit aan onder andere √ √ √2 2 2 2 2π 2e ...

6

Maar dit gelijkwaardig met 2 =

p2 , precies onze veronderstelling! We besluiten dat de kleine driehoek gelijkvormig is q2 met de grote, en dus rechthoekig en gelijkbenig is.

p q ? = p−q 2q − p

dit is equivalent met de vraag:

korte zijde grote ? lange zijde grote = korte zijde kleine lange zijde kleine

Om aan te tonen dat de kleine driehoek rechthoekig en gelijkbenig is, volstaat het om aan te tonen dat de kleine driehoek gelijkvormig is met de grote driehoek. De vraag is dus of de volgende verhoudingen van de lengtes van de volgende zijden gelijk zijn:

Stap 4. Door de geconstrueerde punten te verbinden vormt zich een nieuwe, kleinere driehoek. We beweren dat deze driehoek een rechthoekige, gelijkbenige driehoek is waarvoor de zijden de natuurlijke getallen zijn en waarvoor de lengte van de rechthoekszijde strikt kleiner dat q is. Dit zal in strijd zijn met het feit dat dat q minimaal is.

Stap 3. Met behulp van een passer verdelen we een rechthoekszijde in twee lijnstukken, waarvan de lengte van het ene gelijk is aan p − q, en dus is de lengte van het andere gelijk is aan q − (p − q) = 2q − p.

Stap 2. Met behulp van een passer verdelen we de schuine zijde in twee lijnstukken, waarvan de lengte van het ene gelijk is aan q, en dus is de lengte van het andere gelijk is aan p − q.

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

8 ONDERZOEKSOPDRACHT (1)

Inhoudsopgave

Onderzoeksvraag - Oplossingen [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-132

A-131

Onderzoeksvraag - Oplossingen Onderzoeksvraag Zoek bewijzen met behulp van inferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor de volgende logische wetten. (a) P ∧ Q ` P ∨ Q (b) (P ∨ Q) ⇒ (R ∧ S), P ` R (c) ¬(¬P ), (P ∨ Q) ⇒ R, S ` R ∧ S (d) P ⇔ Q, Q ∨ R, R ⇒ P ` P ?

(e) P ⇒ Q, ¬Q ` ¬P

?

(f) P ⇒ (Q ∧ R), P ⇒ ¬R ` ¬P

Oplossing. (a) 1 2 3 (b) 1 2 3 4 5 (c)

(d)

P ∧Q`P ∨Q P ∧Q

PREM

P

1;SIM

2

P ∨Q

2; ADD

3

1

4

(P ∨ Q) ⇒ (R ∧ S), P ` R (P ∨ Q) ⇒ (R ∧ S)

5

PREM

P ∨Q

2; ADD

1

1,3; MP

2

4; SIM

3 4

R∧S R

¬(¬P )

PREM

(P ∨ Q) ⇒ R

PREM

S

PREM

4

P

1; DN

5

P ∨Q

4; ADD

R

2,5; MP

R∧S

6,3; CONJ

2 3

6 7

P ⇔Q

PREM

R⇒P

PREM

P

2,4,3; DIL

Q∨R

PREM

Q⇒P

1; GE

PREM

P

(e)

¬(¬P ), (P ∨ Q) ⇒ R, S ` R ∧ S

1

P ⇔ Q, Q ∨ R, R ⇒ P ` P

5 6 (f) 1 2 3 4 5 6 7 8

A-132

P ⇒ Q, ¬Q ` ¬P

P ⇒Q

PREM

P ¬Q

HYP 2; REIT

¬Q

PREM

P ⇒ (¬Q)

3,4;VB

¬P

1,5; RAA

P ⇒ (Q ∧ R), P ⇒ ¬R ` ¬P P ⇒ (Q ∧ R)

PREM

P ⇒ ¬R

PREM

P ⇒R

3,6;VB

P P ⇒ (Q ∧ R) Q∧R R

¬P

HYP 1; REIT 3,4; MP 5; SIM 2,7; RAA

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

9 ONDERZOEKSOPDRACHT (2)

Inhoudsopgave

Onderzoeksopdracht 1 - Verkeersplanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-134 Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-136 Onderzoeksopdracht 3 - Winnende strategie¨en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-137 Onderzoeksopdracht 4 - Afstand, snelheid en tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-139

A-133

Onderzoeksopdracht 1 - Verkeersplanning Voor het aanleggen en het uitbreiden van een wegennet gaan heel wat studies vooraf. Naast praktische overwegingen is het erg belangrijk om een zicht te hebben op de mate waarin het verkeer een vlotte doorstroom kent. Dat doet men door een model te maken: voor een gegeven aantal bestuurders op het wegennet probeert men de tijd te berekenen die nodig is om van een punt A naar een punt B te rijden. In deze onderzoeksopdracht beschouwen we enkele eenvoudige modellen waarin we laten zien hoe je zoiets kan berekenen. Ook voor een groter wegennet zal men gelijkaardige principes hanteren, maar laat men het rekenwerk over aan een computer.

In deze opdracht maken we de volgende vereenvoudigingen.

1. We nemen aan dat de instroom constant is: per seconde rijden er n auto’s het wegennet op. Uiteraard kent zo’n model ook zijn beperkingen, want van zodra n ‘te groot’ wordt, zal het wegennet volledig dichtgeslipt zijn, zodat er geen doorstroom meer mogelijk is.

2. Elke bestuurder beschikt op elk moment over alle verkeersinformatie van het volledige wegennet en past die informatie ook zelfzuchtig toe. Dus als een bestuurder kan kiezen tussen twee alternatieve routes, dan zal hij of zij altijd zal kiezen voor de route die het minst tijd kost.

Aan de hand van enkele voorbeelden laten we de belangrijkste principes zien. Daarna ga je zelf aan de slag.

3 Wegennet 1. Op nevenstaande figuur staat het meest eenvoudige voorbeeld van een wegennet: een eenrichtingsweg van A naar B. De tijd (in seconden) die voor een auto nodig is om de weg af te leggen hangt af van het aantal auto’s x die per seconde voor die weg kiezen. Dat verband is dus een functie f , die we de tijdsfunctie van de weg noemen. Doorgaans zal f een stijgende functie zijn, want hoe meer auto’s op het wegennet, des te langer het duurt om van A naar B te rijden. Als eenvoudig model nemen we voor f een lineaire functie. Omdat x = n, vinden we de tijd die nodig om van A naar B te rijden: dat is gewoon f (n).

f (x) A

B

wegennet 1

Voorbeeld. Stel dat f (x) = 2x + 35. Rijden er per seconde n = 2 wagens het wegennet op in A, dan zal een wagen er 39 seconden over doen om van A naar B te rijden. Is n = 15, dan duurt het traject al 65 seconden. Hoe meer auto’s er per seconde het wegennet oprijden, des te langer het duurt om van A naar B te rijden.

3 Wegennet 2. Beschouw twee wegen van A naar B, de pijlen geven aan in welke richting verkeer mogelijk is. Noem f (x) de tijdsfunctie van de bovenste weg, met x het aantal auto’s die per seconde voor de bovenste weg kiezen.

Analoog is g(y) de tijdsfunctie van de onderste weg. Tijdsfuncties f en g hoeven niet gelijk te zijn. Het is denkbaar dat de ene weg wat langer is dan de andere, zodat het nemen van de ene weg langer duurt dan de andere, zelfs al kiest de helft van de bestuurders voor de ene weg en de helft voor de andere. Het kan ook dat de ene weg wat meer opstopping veroorzaakt dan de andere weg, bijvoorbeeld de aanwezigheid van winkelcentra, verkeerslichten, bebouwde kom, etc.

f (x) A

B g(y) wegennet 2

Omdat we aannemen dat elke bestuurder kiest voor de route die hem het minste tijd kost, zal na verloop van tijd de reistijd voor de bovenste weg gelijk zijn aan de reistijd van de onderste weg. We zeggen dan dat het netwerk in evenwicht is. Dan zal dus ( x+y =n f (x) = g(y)

Kennen we de functies f en g, dan kunnen we op die manier x en y berekenen en dus nagaan hoe lang een bestuurder er over doet om van A naar B te rijden.

Voorbeeld. Stel dat f (x) = x + 35 en g(y) = 2y + 10. Elke wagen die het wegennet oprijdt moet kiezen tussen de bovenste en de onderste weg, zodat n = x + y. Er ontstaat een evenwicht wanneer de reistijd voor de bovenste weg gelijk is aan de reistijd voor de onderste weg: f (x) = g(n − x)

⇒ ⇒

x + 35 = 2(n − x) + 10 2 25 x= n− 3 3

Voor n ≤ 12 kiest niemand voor de bovenste weg en duurt de reistijd van A naar B (via de onderste weg) maximaal 34 seconden. Is bijvoorbeeld n = 35, dan kiezen 15 bestuurders voor de bovenste weg en 20 voor de onderste. In beide gevallen geeft dat een reistijd 50 seconden.

A-134

Onderzoeksvraag 1

X

Beschouw nevenstaand wegennet 3, waarbij de tijdsfunctie van tegenoverliggende wegen gelijk zijn. Bij wijze van voorbeeld nemen we aan dat de tijdsfuncties f en g gegeven worden door f (x) = 10 x

en

g(y) = y + 50

f (x1 )

g(x2 )

A

Als het netwerk in evenwicht is, hoeveel bestuurders kiezen dan voor de route van A naar B via X? Staaf je vermoeden met een berekening en bepaal ook de reistijd van A naar B.

B

g(y1 )

Aanwijzing. Wat is het verband tussen x1 en x2 ?

f (y2 ) Y wegennet 3

Onderzoeksvraag 2 X We breiden wegennet 3 uit met een route van X naar Y en verkrijgen zo wegennet 4. Om de gedachten te vestigen nemen we aan dat de tijdsfunctie h wordt gegeven door h(z) = z + 10

f (x1 )

g(x2 )

h(z)

A

Als het netwerk in evenwicht is, zal de reistijd van A naar B nu kleiner of groter zijn aan de reistijd uit Onderzoeksvraag 1? Staaf je vermoeden met een berekening. Verdedig nadien je standpunt. Bedenk dat de waarde van n een rol kan spelen.

g(y1 )

B

f (y2 ) Y wegennet 4

Onderzoeksvraag 3 Bedenk zelf een nieuw, eenvoudig wegennet 5 voorzien van tijdsfuncties. Bestudeer, bij evenwicht, hoeveel bestuurders gebruik maken van de verschillende routes. Bepaal ook de reistijd. Daarnaast kun je ook een eigen vermoeden formuleren en argumenteren waarom je vermoeden juist is.

Aanwijzing. Mogelijkheiden om een nieuw netwerk te kiezen zijn: 3 neem wegennet 2 waarbij je ook tweerichtingsverkeer toelaat; 3 neem wegennet 3 met andere tijdsfuncties; 3 neem wegennet 4 waarbij je ook verkeer van Y naar X toelaat; 3 neem als wegennet 5 een verplaatsing van A naar B via X, Y of Z.

A-135

Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus Deze onderzoeksopdracht gaat over een variant van een oud probleem genoemd naar Josephus, een befaamde 1 historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens de JoodsRomeinse oorlog werd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in een grot. De rebellen verkozen zelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring te gaan staan en elke derde persoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. Maar Josephus en een andere persoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie en - zo gaat de legende - bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijven om zich nadien aan de Romeinen over te geven.

In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan. Om het probleem van Josephus wat eenvoudiger te maken spreken we in een eerste onderzoeksvraag af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoord wordt.

Flavius Josephus (37 - ±100)

Onderzoeksvraag 1 Als er n personen in een kring staan en elke tweede wordt vermoord, welk nummer un blijft er dan als laatste over?

Aanwijzing. (a) Om het probleem goed te begrijpen ga je best enkele kleine gevallen na. (i) Bepaal un voor 1 ≤ n ≤ 10. Maak een tabel.

(ii) Misschien zie je nu al een patroon in de tabel uit (a) en heb je een vermoeden hoe je un kan bepalen voor een willekeurige n. Zo ja, bepaal u2013 . Zo neen, dan beantwoord je deze vraag later wel.

n

1

2 3 .. .

(b) Het eerste doel is om een recursief voorschrift van de rij (un ) te bepalen. (i) Je kan u19 en u20 bepalen enkel door de gegevens uit (a) te gebruiken. (ii) Veralgemeen dit idee door een formule van de vorm un = . . . um + . . . op te stellen, waarbij m < n. Wat is m in functie van n? Test je vermoeden met behulp van andere voorbeelden. Bewijs daarna je vermoeden. (c) Het tweede doel is om een expliciet voorschrift van de rij (un ) te bepalen. (i) Maak je tabel uit (a) wat groter door un voor 1 ≤ n ≤ 16 te berekenen. Dat kan handig met behulp van (b). Groepeer de tabel volgens opeenvolgende machten van 2 en zoek een patroon. (ii) Probeer met dat patroon nu een expliciet voorschrift voor un te maken. Begrippen als de 2-logaritme en de floor-functie kunnen van pas komen. Test je vermoeden met behulp van (a). Bewijs daarna je vermoeden.

Onderzoeksvraag 2 Stel n personen staan in een kring staan en elke tweede wordt vermoord. Nadien blijkt nummer 2013 als laatste over te blijven. Wat is de waarde van n?

Op basis van een expliciet voorschrift van de rij (un ) uit Onderzoeksvraag 1 kun je nu een vermoeden formuleren en bewijzen voor het oorspronkelijke probleem van Josephus:

Onderzoeksvraag 3 Als er n personen in een kring staan en elke derde wordt vermoord, welk nummer un blijft er dan als laatste over?

1 Ware het niet dat Josephus beschikte over zijn wiskundige talenten, zo zegt de legende, dan zou hij bijlange na niet beschikt hebben over de levensjaren die hem toegelaten hebben om beroemd te worden. Josephus zelf schreef dat hij ‘als bij wonder’ gespaard bleef.

A-136

Onderzoeksopdracht 3 - Winnende strategie¨ en Een kansspel is een spel waar winst of verlies wordt bepaald door toeval, bijvoorbeeld het spelen van een krasspel of een deelname aan de lotto. In deze onderzoeksopdracht hebben we het niet over kansspellen maar over wiskundige spellen met twee spelers, waar de winst of het verlies van een speler enkel afhangt van de beslissingen die beide spelers tijdens het spel nemen. Voor zo’n wiskundig spel is ´e´en van de belangrijkste vragen of er een winnende strategie bestaat: een stappenplan zodat een speler, ongeacht de beslissingen van de andere speler, het spel gegarandeerd wint. Bestaat er zo’n winnende strategie en zijn beide spelers hiervan op de hoogte, dan is de uitkomst van het spel afhankelijk van wie het spel als eerste begint. We noemen een spelsituatie winnend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd wint indien hij zo’n winnende strategie toepast. Een spelsituatie is verliezend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd verliest indien de tegenspeler zo’n winnende strategie toepast. De tak van de wiskunde die zich met het bestaan van winnende strategie¨en en de beslisbaarheid van winnende en verliezende spelsituaties bezig houdt, is de zogenaamde speltheorie.

In wat volgt bespreken we het spel Nim, waarin we laten zien dat een winnende strategie afhangt van de beginsituatie.

Is die beginsituatie gunstig en past de speler die het eerst aan zet is deze strategie toe, dan wint hij/zij gegarandeerd het spel. Is de beginsituatie ongunstig en past de tweede speler die aan zet is zijn/haar strategie toe, dan verliest de eerste speler gegarandeerd.

In de onderzoeksvraag hebben we het over een ander spel, waarbij het bestaan van zo’n winnende strategie ook afhangt van de beginsituatie.

3 Nim is een spel voor twee spelers, waarbij de spelers om beurten een aantal voorwerpen (bijvoorbeeld schijven) moeten wegnemen van een aantal stapels.

De spelers doen om de beurt een zet, die er uit bestaat dat van ´e´en stapel minimaal ´e´en schijf en maximaal de hele stapel wordt weggenomen. De winnaar is degene die de laatste schijven wegneemt. Je kan het spel Nim spelen via de link http://www.koendenaeghel.be/Nim.htm .

In wat volgt houden we het op ten hoogste twee stapels. We gaan na of er een winnende strategie bestaat en in welke beginsituaties de eerste speler kan winnen.

een opgave van het spel Nim

1. Hoe kunnen we de spelsituatie op een eenvoudige manier noteren?

We kiezen voor een koppel getallen dat het aantal schijven op de stapels weergeeft. Dus de spelsituatie in bovenstaande afbeelding wordt genoteerd als (5, 7).

2. Bepaal eenvoudige spelsituaties die winnend of verliezend zijn en zoek een patroon.

Als er maar ´e´en stapel is, dan win je door alle schijven weg te nemen. Dus winnend: (1, 0), (2, 0), (3, 0), . . .

(0, 1), (0, 2), (0, 3), . . .

Als er twee stapels met stenen liggen, dan mogen we vooral niet ´e´en stapel volledig weg nemen, omdat de tegenspeler dan voorgaande strategie kan toepassen om te winnen. De spelsituatie (1, 1) is dus verliezend, terwijl (2, 1) dan weer winnend is. Op die manier is ook (3, 1) winnend, want dan nemen we gewoon twee schijven van de eerste stapel weg. Voorlopig verkrijgen we verliezend: (1, 1) winnend: (2, 1), (3, 1), (4, 1), . . .

(1, 2), (1, 3), (1, 4), . . .

Analoog kunnen we ook redeneren op andere spelsituaties, zoals (2, 2), (3, 2), etc. We kunnen een lijst maken waarin we proberen om een patroon te herkennen in de winnende en verliezende situaties. Om het overzicht te bewaren, kiezen we een andere weg.

A-137

Nu komt een meetkundige interpretatie van pas. Elke spelsituatie (m, n) kunnen we associ¨eren met een punt P (m, n) in een Cartesisch assenstelsel. Schrijven we • voor een winnende situatie en ◦ voor een verliezende situatie, dan verkrijgen we voorlopig de onderstaande Figuur 1.

5

•

•

5

•

•

•

•

•

◦

4

•

•

4

•

•

•

•

◦

•

3

•

•

3

•

•

•

◦

•

•

2

•

•

2

•

•

◦

•

•

•

1

•

◦

•

•

•

•

1

•

◦

•

•

•

•

0

◦

•

•

•

•

•

0

◦

•

•

•

•

•

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

Figuur 1: spelsituatie (3, 1) is winnend

Figuur 2: een mogelijk spelverloop bij (3, 5)

Bij een spelsituatie (m, n) komt het spelen van een zet overeen met een verschuiving van punt P (m, n) naar links of naar onder. Zo zien we in waarom (1, 1) verliezend is: elke verschuiving naar links of naar onder geeft winnende situatie ◦ voor de andere speler. En zo zien we ook in waarom spelsituatie (3, 1) winnend is: er is een verschuiving naar links dat een verliezende situatie ◦ voor de tegenspeler geeft. Breiden we deze redenering uit, dan verkrijgen we de andere roosterpunten zoals in Figuur 2.

De winnende spelsituaties (m, n) komen overeen met de roosterpunten die niet op de diagonaal liggen, dus precies wanneer m 6= n.

3. Beschrijf voor elke winnende spelsituatie een winnende strategie.

Bij een winnende spelsituatie (m, n) met m 6= n verloopt een winnende strategie als volgt: zorg dat je na elke zet een verliezende situatie doorgeeft aan de tegenspeler. Dat doe je door een verschuiving naar links of naar onder uit te voeren zodat je een punt op de diagonaal bekomt. In de praktijk maak je bij elke zet beide stapels gelijk. Een mogelijk spelverloop bij (3, 5) is bijvoorbeeld (zie Figuur 2): (3, 5) → (3, 3) → (2, 3) → (2, 2) → (2, 0) → (0, 0) 3 Cookies is een ander spel, dat als volgt verloopt. Op tafel staan twee stapels met koekjes. Twee spelers nemen om beurten koekjes van de stapels en dat kan alleen als volgt: ofwel neem je een aantal koekjes uit ´e´en stapel, ofwel neem je van beide stapels hetzelfde aantal koekjes. De winnaar is degene die de laatste koekjes wegneemt. Je kan het spel Cookies spelen via de link http://www.koendenaeghel.be/Cookies.htm .

Onderzoeksvraag Bepaal welke spelsituaties bij Cookies winnend zijn en beschrijf een winnende strategie.

een opgave van het spel Cookies

Aanwijzing. (a) Door enkele kleine gevallen na te gaan kun je inzien waarom een spelsituatie winnend is en wat in dat geval de winnende strategie is. Het moeilijk deel is om alle winnende spelsituaties te beschijven. (b) Een eerste uitdaging is om een patroon te vinden in de winnende (of verliezende) koppels. Formuleer een vermoeden. (c) Als tweede uitdaging kun je een elegante formule zoeken die voor een beginsituatie meteen beslist of de eerste speler gegarandeerd kan winnen. Zijn de situaties (19, 30) en (3198, 5175) winnend?

A-138

Onderzoeksopdracht 4 - Afstand, snelheid en tijd Dat de fundamentele begrippen afstand, snelheid en tijd eenvoudig te begrijpen zijn, is slechts schijn. Zo hebben de beruchte paradoxen van Zeno (naar Zeno van Elea, ca. 490 v. Chr. - ca. 430 v. Chr.) en zijn uiteenzettingen over de onmogelijkheid van beweging eeuwenlang voor ophef gezorgd: Op elk tijdstip bevindt een vliegende pijl zich op een vaste plaats in de ruimte. Ten opzichte van die plaats in de ruimte is hij dan in rust. Maar dan is de pijl op elk moment in rust zodat de pijl niet beweegt?

De paradoxen konden pas in de 17e eeuw worden aangepakt door het inzicht van de calculus dat een som met oneindig veel termen toch een eindig resultaat kan hebben. Veel kon ook worden opgehelderd met behulp van de concepten functie en grafiek van een functie.

Een snelheid-tijd diagram is een grafiek van de snelheid in functie van de tijd. Is de snelheid v over een tijdsinterval [t1 , t2 ] constant, dan is de afgelegde weg over dat interval gelijk aan v · (t2 − t1 ) en dus de oppervlakte tussen de grafiek en de horizontale as. Dat is ook het geval wanneer de snelheid niet constant is (zie figuur), wat men kan inzien door zo’n snelheid-tijd diagram op te delen in zeer kleine tijdsintervallen waarbij de snelheid als constant kan worden beschouwd.

Deze onderzoeksvraag gaat over afstand, snelheid en tijd. Daarbij kunnen zowel rekenvaardigheid als bovenstaande interpretatie in verband met het snelheid-tijd diagram van pas komen.

v y = v(t)

Opp. = afgelegde weg

t1

t2

t

Klaas is een student wiskunde en pendelt elke dag met de trein van Brugge naar Brussel. Op een avond zijn de lessen wat uitgelopen en moet hij zich haasten om de trein te halen. Om op het perron te geraken moet hij een gedeelte met een roltrap en een gedeelte met een (gewone) trap overbruggen. Bij het binnenkomen van het station komen de veters van Klaas z’n schoenen los. Wat nu gedaan? Ter vereenvoudiging nemen we aan dat de wandelsnelheid van Klaas constant k is, maar op de rolstrap wordt zijn snelheid vermeerderd met de snelheid r van de roltrap. Klaas zijn doel is om zo snel mogelijk op het perron te geraken.

Onderzoeksvraag 1 Klaas beslist om te pauzeren om zijn veters te knopen. Is het effici¨enter om dit op de roltrap te doen of op de trap?

Onderzoeksvraag 2 Stel dat Klaas zijn energie om te lopen beperkt is en hij zijn snelheid tijdelijk kan opdrijven tot k 0 (of k 0 + r op de roltrap). Is het effici¨enter om op de roltrap te lopen of van de roltrap af?

Beantwoord beide onderzoeksvragen met een volledige wiskundige argumentatie.

A-139

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

10 ONDERZOEKSOPDRACHT (3)

Inhoudsopgave

Opdracht: Wiskundig door de bocht [44] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-142 Verdere ondersteuning omtrent deze opdracht (voor de leerkracht) en alternatieve onderzoeksopdrachten uit de Wiskunde B-dag zijn beschikbaar op de website van Johan Deprez en Gilberte Verbeeck [39].

A-141

Wiskundig door de bocht1 Inleiding Soms dringt wiskunde zich spontaan op, bijvoorbeeld in een stukje speelgoed. Je hoeft het alleen maar ter hand te nemen om uren te construeren en aan de hand daarvan te redeneren en te rekenen. Bij dit onderwerp gaan we dat doen aan de hand van een set van zogenaamde ‘elleboogjes’.

Een elleboogje is een kwartcirkel. Met ´e´en klik kunnen de elleboogjes worden geschakeld. We bekijken alleen gesloten schakelingen van elleboogjes (dus zonder begin- en eindpunt). Zo’n gesloten schakeling noemen we een circuit. Onderstaande foto’s tonen een aantal voorbeelden van circuits. Je ziet vier vlakke circuits, bestaande uit 8, 12, 16 en 28 elleboogjes: ze kunnen plat op tafel worden gelegd. elleboogje

8-circuit

28-circuit

16-circuit

12-circuit

Maar hiernaast is ook een ruimtelijk circuit gegeven met 7 elleboogjes. Deze vorm kan niet plat op tafel gelegd worden. We noemen een circuit dus alleen vlak als alle elleboogjes van het circuit in hun geheel plat op tafel liggen. Om misverstanden te voorkomen: de twee onderstaande foto’s tonen twee circuits met 8 elleboogjes. Links is sprake van een vlak circuit; rechts ligt het circuit niet in zijn geheel plat op tafel en daarom is het dus niet vlak.

niet vlak

vlak

niet vlak

Wiskundige representaties van elleboogjes De elleboogjes kunnen we wiskundig representeren als kwartcirkels met straal 1.

Bij deze wiskundige weergave verwaarlozen we de dikte van het materiaal van de elleboogjes. In de verbindingen zitten de kwartcirkels met hun eindpunten aan elkaar en hebben daar een gezamenlijke raaklijn. Soms lijkt een plastic circuit wel te kunnen (met een beetje wringen), maar als je het op bovenstaande wijze met kwartcirkels probeert weer te geven, blijkt het wiskundig gezien niet mogelijk. Wij zullen dat dan niet als ‘circuit’ erkennen. De raaklijneigenschap van de wiskundige representatie betekent voor de concrete elleboogjes: van twee geschakelde elleboogjes sluiten de grensvlakken naadloos op elkaar aan.

Een wiskundige omschrijving van een circuit van n elleboogjes (met n ∈ N) luidt dus:

gezamelijke raaklijn

Een n-circuit is een gesloten kromme, bestaande uit n kwartcirkels die in alle verbindingspunten steeds een gezamenlijke raaklijn hebben.

Het lijkt overbodig (omdat de elleboogjes het niet toelaten), maar wiskundig moet het nog worden uitgesloten: in een gesloten kromme staan we geen ’snavels’ toe en ook geen ‘dubbelpunten’.

1 Wiskunde

B-dag opgave 2003, Freudenthal instituut 1991-2013 [44].

A-142

snavel en dubbelpunt

Opgave Bij deze onderzoeksopdracht ga je op zoek naar mogelijkheden en onmogelijkheden van vlakke en ruimtelijke circuits van elleboogjes en eigenschappen daarvan. Het setje van 24 elleboogjes is bedoeld om daadwerkelijk constructies uit te voeren die het denken en redeneren over circuits in algemene zin (dus ook voor circuits met meer dan 24 elleboogjes) kunnen ondersteunen. De opdracht is gesplitst in drie delen.

In deel A worden de vlakke circuits onderzocht. In deel B worden ruimtelijke circuits bekeken die aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen; je krijgt daar dus maar beperkt de ruimte. Daarna krijg je in deel C de volledig vrije ruimte. De genummerde vragen in de delen A, B en C zijn bedoeld om richting te geven aan je onderzoekingen. Ze hoeven niet in de gegeven volgorde bekeken te worden; het werk daaraan kan ook worden verdeeld binnen de groep.

In elk deel worden ook algemene vragen gesteld. Dat zijn de onderzoeksvragen waarmee je jezelf kunt onderscheiden van anderen in wiskundige diepgang en volledigheid.

Eindopdracht Van je bevindingen in de delen A, B en C maak je een zelfstandig leesbaar werkstuk. Dit houdt in dat een lezer, die zelf beschikt over een setje elleboogjes, aan de hand van je verslag duidelijk zicht krijgt op de mogelijkheden, onmogelijkheden en eigenschappen van vlakke en ruimtelijke circuits. In het verslag speelt de volgorde van de vragen zoals ze in deze onderzoeksopdracht zijn gezet geen enkele rol. Zorg er wel voor dat je bevindingen bij de verschillende vragen aan bod komen, maar voorkom dat je verslag alleen maar een beantwoording is van de afzonderlijke vragen.

Deel A: Vlakke circuits Duidelijk is dat het kleinst mogelijke vlakke circuit uit vier elleboogjes bestaat. We noemen dit een vlak 4-circuit.

Vlakke n-circuits Een vlak n-circuit is dus een gesloten kromme zonder dubbelpunten van precies n elleboogjes, waarvan alle elleboogjes plat op tafel liggen. In dit deel bekijken we eerst welke vlakke n-circuits mogelijk zijn. Je hebt de beschikking over een setje van 24 echte elleboogjes om mee te experimenteren. Bedenk dat een deel van de vragen ook gaat over waarden van n die groter zijn dan 24.

1. Leg met 8 elleboogjes een vlak 8-circuit. Zijn er meerdere mogelijkheden? Geef ook alle mogelijkheden voor een vlak 12-circuit. Toon daarbij overtuigend aan dat je ze allemaal hebt gevonden.

2. Circuits daadwerkelijk maken is een kwestie van proberen. Daarbij zal het setje elleboogjes zeker helpen. Maar op papier communiceren over een circuit, zonder dat je daarbij steeds zoâ&#x20AC;&#x2122;n circuit tekent, is een ander verhaal.

Bij het beantwoorden van veel vragen is het daarom nuttig om een manier te hebben waarmee je een willekeurig circuit kunt beschrijven. Dat kan op velerlei manieren. Aan jullie de taak om zelf een handige beschrijvingswijze te zoeken, waarmee je makkelijk kunt communiceren. Zorg er wel voor dat je de gekozen beschrijving precies vastlegt voor de lezer.

3. Je kunt heel wat 16-circuits maken. Bedenk een systematiek om ze allemaal te vinden en beschrijf die systematiek.

4. Met een oneven aantal elleboogjes kun je nooit een vlak circuit leggen. Leg dat uit.

5. Maak een schakeling van drie elleboogjes. De grenspunten nummeren we 0, 1, 2 en 3 zoals hier schematisch is weergegeven. Houd nu de punten 0 en 1 (dus het eerste elleboogje) vast. Beschrijf waar de eindpunten van volgende elleboogjes 2, 3, 4, . . . dan kunnen komen te liggen, inclusief de richting waarin een nieuw elleboogje in zoâ&#x20AC;&#x2122;n eindpunt moet aansluiten.

schakeling

6. Is een vlak 6-circuit mogelijk?

Algemene vraag I. Voor welke waarden van n is een vlak n-circuit mogelijk? Kun je dit ook hard maken?

Bonusvraag Gegeven een waarde n, stel een formule op die het aantal verschillende mogelijkheden geeft voor het maken van een vlak n-circuit.

A-143

Omsloten oppervlakte van een vlak n-circuit We bekijken nu alleen de wiskundige representatie van de elleboogjes, waarbij de materi¨ele dikte van de elleboogjes wordt verwaarloosd. Dat zijn kwartcirkels met straal 1. De omsloten oppervlakte van het 4-circuit is dus π. Natuurlijk hangt de oppervlakte van een vlak n-circuit samen met de waarde van n, maar daarnaast is ook de vorm van het circuit van invloed op de omsloten oppervlakte.

7. Laat zien dat de oppervlakte binnen een vlak 8-circuit gelijk is aan π + 4.

Algemene vraag II. Wat is de maximale oppervlakte die kan voorkomen bij vlakke n-circuits? En wat is de minimale waarde? Bewijs dit.

Bonusvraag Gegeven een willekeurig vlak n-circuit, stel een formule op die de oppervlakte geeft, eventueel in functie van parameters die geassocieerd worden met de vorm van het n-circuit.

Deel B: Beperkte ruimte Met de elleboogjes kunnen ook ruimtelijke circuits worden gevormd. In de ruimte heb je eindeloos veel constructiemogelijkheden, omdat een elleboogje dat vast zit aan een ander in de ruimte over elke hoek kan worden gedraaid.

Daarom leggen we in dit deel voorlopig een beperking aan de bewegingsruimte op: De elleboogjes liggen in de vlakken van een kubisch rooster, met de eindpunten van de elleboogjes steeds op de middens van ribben van de kubussen van dat rooster.

Hiernaast is een klein deel van zo’n kubisch rooster getekend, met daarin een voorbeeld van 5 geschakelde elleboogjes die aan de eis voldoen. In principe zijn de kubussen van zo’n rooster ook stapelbaar.

8. Er zijn twee verschillende ruimtelijke 6-circuits mogelijk die aan de gestelde beperking voldoen. Probeer ze te maken en beschrijf ze met behulp van het rooster. Onderzoek welke 8- en 10-circuits voldoen aan de opgelegde beperking.

9. Is het mogelijk een ruimtelijk n-circuit te maken, binnen de beperkingen van het rooster, voor oneven waarden van n? Leg uit.

deel van een circuit op een kubisch rooster

Algemene vraag III. Voor welke waarden van n is een ruimtelijk n-circuit op een kubisch rooster mogelijk? Kun je dit ook hard maken?

Deel C: De vrije ruimte In dit deel krijg je echt vrije speelruimte. Zoals eerder is gezegd maakt dat het geheel veel complexer, omdat er zoveel bewegingsvrijheid is. Bij onbeperkte bewegingsruimte blijken ook ruimtelijke circuits mogelijk voor bepaalde oneven waarden van n. Bij het experimenteren met de elleboogjes moet je bedenken dat het materiaal altijd wat speling toelaat. Daardoor kun je plastic circuits maken met wat wringen, die wiskundig niet als circuit mogelijk zijn. Houd je dus bij het construeren van ruimtelijke circuits aan de wiskundige beschrijving van een n-circuit zoals die in de inleiding is gegeven.

Een geval apart: n = 5 Het blijkt onmogelijk te zijn om, zonder vervorming bij de grensvlakjes, een ruimtelijk circuit te maken met 5 elleboogjes. De volgende activiteit kan wellicht helpen om een idee te krijgen waarom het niet mogelijk is.

Leg 5 geschakelde elleboogjes op tafel. Houd het middelste elleboogje (CD in nevenstaande figuur) goed vast op zijn plaats en bekijk hoe eindpunt A in de ruimte kan bewegen door de twee elleboogjes CB en BA te draaien. Alle mogelijke posities voor punt A blijken een zelfde karaktertrek te hebben: ze liggen allemaal op een vaste afstand van het snijpunt P van de raaklijnen in B en C. Hetzelfde geldt voor alle mogelijke posities van punt F : die liggen allemaal op een vaste afstand van punt Q. 10. Toon aan dat voor alle mogelijke posities van punt A steeds geldt dat de afstand tot punt P constant is. Bereken ook die afstand.

A-144

De laatste opdracht is weer een algemene en daarbij heb je ook nog eens vrijheid van keuze. De ruimtelijke circuits geven alle aanleiding tot het jezelf vragen stellen. Mogelijke vragen: 3 Kun je het idee van vraag 10 gebruiken om aannemelijk te maken dat een 5-circuit niet mogelijk is?

3 Er zijn twee ruimtelijke 6-circuits. De ene is flexibel (kan in verschillende vormen worden gedraaid zonder te wringen. De andere is star en kan dus niet worden overgevoerd in een andere vorm. Hoe zit dat? Zijn er nog meer starre ruimtelijke circuits?

3 Voor welke oneven waarden van n is een ruimtelijk circuit mogelijk?

Vragen van dit soort zijn beslist niet makkelijk te beantwoorden, maar wellicht kan het gericht experimenteren met het concrete materiaal je nog op goede gedachten brengen.

Algemene vraag IV. Doe nog wat onderzoek aan ruimtelijke vormen en probeer uitdagende problemen op het spoor te komen die met het setje ellebogen kunnen worden aangepakt. Ook als je die problemen niet zelf oplost, kun je ze in het werkstuk van de eindopdracht beschrijven.

Ten slotte Voer de eindopdracht uit op de manier die beschreven is op bladzijde 2. Bedenk daarbij nogmaals dat het niet de bedoeling is dat je de afzonderlijke vragen van de delen A, B en C beantwoordt. Zorg dat je een samenhangend verslag geeft van de bevindingen rond vlakke en ruimtelijke circuits en schroom zeker niet om uitdagende problemen in je verslag op te nemen.

Veel succes!

A-145

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

11

ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS

Inhoudsopgave

Opgave [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-148 Cursustekst [8] waar naar verwezen wordt in de oplossingssleutels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-149

A-147

Opgave Oefening 1. Bereken algebra¨ısch de term in de gevraagde Riemann-som en duid deze aan op een schets: f (x) =

1 x

vierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]

Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = ex . (a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid? (b) Bepaal algebra¨ısch de waarde van de aangeduide oppervlakte

y y = ex 4 3 2 1

−1

1

2

3

4

x

Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafische rekenmachine de volgende bepaalde integralen en maak een schets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.

Z 1 (a) x3 dx −1 2

(b) (c)

Z

Z

2x dx

−1 π 4

tan xdx

0

Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan, kunnen als volgt te werk gaan MATH 9:fnInt

fnInt(f(x),x,a,b)

Oefening 4. Gegeven is de functie f (x) = 3x . (a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.

Z 1 (b) Bereken 3x dx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde −1

integraal aan in een schets.

A-148

i=1

f (xi ) â&#x2C6;&#x2020;xi

â&#x2C6;&#x2020;x1

â&#x2C6;&#x2020;x2

â&#x2C6;&#x2020;xn

x2

x1

met xi â&#x2C6;&#x2C6; [xiâ&#x2C6;&#x2019;1 , xi ]

x1

x1

x1

x1

x0

x0

x0

x2 x3

x3

x2

x2

x1

i=1

n X

f (xi ) â&#x2C6;&#x2020;xi

a

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)

XI-7

3 Op dit punt vegen we een technische conditie onder de mat: de collectie van rijen van Riemann-sommen moeten gelijkmatig convergeren.

De formele definitie luidt: â&#x2C6;&#x192;s â&#x2C6;&#x2C6; R : â&#x2C6;&#x20AC; > 0 : â&#x2C6;&#x192;N â&#x2C6;&#x2C6; N : â&#x2C6;&#x20AC; Riemann-rij R1 , R2 , . . . : n > N â&#x2021;&#x2019; |Rn â&#x2C6;&#x2019; s| < .

In dat geval zijn al deze limieten gelijk, en noemt men de uitkomst van deze Z b limiet de bepaalde integraal van f tussen x = a en x = b, notatie f (x)dx.

nâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

lim

Definitie (Integreerbaarheid).

Zij f een functie en a, b â&#x2C6;&#x2C6; R zodat f bestaat en begrend is over [a, b]. De functie f noemt (Riemann-)integreerbaar over [a, b] als voor elke rij van Riemannsommen de volgende limiet3 bestaat in R

Samengevat met de definitie van bepaalde integraal (zie pagina 3) verkrijgen we

Als elke rij Riemann-sommen R1 , R2 , R3 , . . . convergeert, dan zeggen we dat de totale geori¨enteerde oppervlakte van het gebied gelegen tussen de grafiek van f , de x-as en de rechten x = a en x = b bestaat. Als dat zo is, dan kun je gemakkelijk inzien dat al deze rijen noodzakelijk naar hetzelfde getal convergeren (zie oefening 8).

Bij de functie f horen dus oneindig veel rijen van Riemann-sommen, waaronder enkele bijzondere zoals de rij rechtersommen, de rij linkersommen, de rij bovensommen en de rij ondersommen.

Als we bij elke verdeling de xi telkens op een bijzondere manier kiezen, dan bekomen we een rij van rechtersommen, linkersommen, bovensommen of ondersommen. Dit zijn dus bijzondere rijen van Riemann-sommen.

Elke term f (xi ) â&#x2C6;&#x2020;xi is de geori¨enteerde oppervlakte van de rechthoek met basis â&#x2C6;&#x2020;xi = xi â&#x2C6;&#x2019;xiâ&#x2C6;&#x2019;1 en hoogte |f (xi )|.

=

n X

Rn = f (x1 ) ¡ (x1 â&#x2C6;&#x2019; x0 ) + f (x2 ) ¡ (x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 ) + . . . + f (xn ) ¡ (xn â&#x2C6;&#x2019; xnâ&#x2C6;&#x2019;1 ) | {z } | {z } | {z }

De n-de term in een rij van Riemann-sommen R1 , R2 , R3 , . . . is dus gelijk aan

= f (x1 ) ¡ (x1 â&#x2C6;&#x2019; x0 ) + f (x2 ) ¡ (x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 ) + f (x3 ) ¡ (x3 â&#x2C6;&#x2019; x2 )

R3 = geort.opp.

V3 = [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ] kies x1 â&#x2C6;&#x2C6; [x0 , x1 ], x2 â&#x2C6;&#x2C6; [x1 , x2 ] en x3 â&#x2C6;&#x2C6; [x2 , x3 ]

. Verdeel [a, b] in drie gelijke delen:

= f (x1 ) ¡ (x1 â&#x2C6;&#x2019; x0 ) + f (x2 ) ¡ (x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 )

R2 = geort.opp.

V2 = [x0 , x1 ], [x1 , x2 ] kies x1 â&#x2C6;&#x2C6; [x0 , x1 ] en x2 â&#x2C6;&#x2C6; [x1 , x2 ]

. Verdeel [a, b] in twee gelijke delen:

= f (x1 ) ¡ (x1 â&#x2C6;&#x2019; x0 )

R1 = geort.opp.

V1 = [a, b] = [x0 , x1 ] kies x1 â&#x2C6;&#x2C6; [x0 , x1 ]

. Verdeel [a, b] in ´e´en gelijk deel:

3 Algemene werkwijze. Zij f een begrensde functie en a, b â&#x2C6;&#x2C6; R zodat f bestaat in [a, b].

Een rij van Riemann-sommen R1 , R2 , R3 , . . . wordt als volgt bekomen.

Er is geen enkele reden waarom we de rij rechtersommen zouden â&#x20AC;&#x2DC;bevoordelenâ&#x20AC;&#x2122; (ten opzichte van linkersommen, middensommen, etc.) en enkel de convergentie van de rij rechtersommen zouden bekijken. Daarom de volgende

a

functie f (x)

b x

y = f (x)

afleiden

integreren

y

a

A(t)

y

a

a

a

Z

b

f (x) dx b x

y = f (x)

bepaalde integraal Z b f (x) dx = A(b)

1 3 x .

4

XI-12

3 Besluit. Hoofdstelling 1 maakt het mogelijk om bepaalde integralen te berekenen. Maar telkens controleren of A(a) = 0 maakt de werkwijze wat omslachtig. In §1.5 zien we een tweede werkwijze waarbij de controle â&#x20AC;&#x2DC;A(a) = 0â&#x20AC;&#x2122; overbodig zal blijken.

Oplossing.

(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = 1 en x = 2.

Z 2 (b) Bereken f (x)dx met behulp van de oppervlaktefunctie. Controleer met je grafische rekenmachine.

1

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie f (x) =

Oplossing.

op pagina 9.

0

b x

invullen

(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = 0 en x = 2.

Z 2 f (x)dx met behulp van de oppervlaktefunctie. Controleer met je grafische rekenmachine zoals

(b) Bereken

t

y = f (x)

de oppervlaktefunctie A(t)

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie f (x) = x2 .

y

f (x)dx

De zoektocht naar een functie wiens afgeleide f (t) is, noemt men ook wel â&#x20AC;&#x2DC;integrerenâ&#x20AC;&#x2122;.

a

b

Stap 1. Zoek de oppervlaktefunctie A(t) uit de voorwaarden A0 (t) = f (t) en A(a) = 0.

Z b f (x)dx = A(b).

Stap 2. Dan is

te berekenen gaan we als volgt te werk.

a

Z

Werkwijze 1. Gegeven is een functie f (x), continu over [a, b]. Om de bepaalde integraal

Hoofdstelling 1 van de integraalrekening laat ons toe bepaalde integralen (van continue functies) te berekenen:

Werkwijze 1 om een bepaalde integraal te berekenen

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

12 WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL

Inhoudsopgave

Lijst van onderwerpen [6] Onderwerp 1 - Ruimtelijke ordening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-152 Onderwerp 2 - Milieukunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-153 Onderwerp 3 - Celbiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-154 Onderwerp 4 - Visteelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-155 Onderwerp 5 - Plantenteelt I (gewassen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-156 Onderwerp 6 - Plantenteelt II (kamerplanten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-157

A-151

Onderwerpen Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening In een gemeente met 30 000 inwoners staan 10 000 woningen. De gemeente schat dat het gemiddeld aantal bewoners per woning gelijk blijft aan drie en bouwt er 200 woningen per jaar bij.

Uit gegevens uit het verleden wordt een empirisch model voor de veranderingen in de bevolkingsomvang afgeleid. De prognose voor het aantal geboorten is g(t) = 734 + 55t + 2t2 per jaar, ontwerp van een woning

en die voor het aantal sterfgevallen is s(t) = 350 + 37t â&#x2C6;&#x2019; t2 per jaar.

In beide formules is t uitgedrukt in jaren na het begin van de planningsperiode. De overige effecten, zoals migratie, houden elkaar volgens de schattingen in evenwicht.

Model Het aantal inwoners als functie van de tijd geven we aan met N (t). De afgeleide van N (t) is de verandering van het aantal inwoners per tijdseenheid (jaar). De netto bevolkingstoename per jaar is het aantal geboorten minus het aantal sterfgevallen, ofwel N 0 (t) = g(t) â&#x2C6;&#x2019; s(t) Opgave 1. Bepaal het aantal inwoners als functie van de tijd.

2. Hoeveel inwoners kwamen er tijdens het eerste jaar bij?

Antwoord. 394 3. Wat is het aantal woningen W als functie van de tijd t?

4. Wanneer zal de woningbehoefte even hard groeien als de woningvoorraad?

Antwoord. Na 6 jaar.

5. Wanneer ontstaat er volgens de norm van de gemeente een woningtekort?

A-152

Onderwerp 2. Milieukunde Een chemische fabriek heeft een verguning voor het lozen van 1000 kg van een afvalstof per week op een rivier. De rivier heeft een constant debiet van 0, 2 m3 /s. Per week stroomt dan 120 960 m3 water voorbij. Een gelijkmatige lozing van 1000 kg per week zou dus een constante concentratie 1000 kg/week ≈ 8, 267 · 10−3 kg/m3 120 960 m3 /week in het water stroomafwaarts van de fabriek geven.

Ter controle wordt stroomafwaarts van de lozingpijp de concentratie afvalstof gemeten en die afvalstof wordt toegeschreven aan de fabriek. Het gemeten verloop wordt beschreven door de functie c(t) = c0 e0,0125 t kg/m3 , met t in weken na het begin van de metingen en c0 = 7·10−3 kg/m3 . In het begin geldt c(0) = c0 = 7 · 10−3 kg/m3 , dus op dat moment is de fabriek binnen de lozingsnorm.

Blijft dat ook zo?

lozen van afvalwater

Model We nemen t = 0 bij het begin van de metingen. De hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t sinds het begin van de metingen duiden we aan met G(t). De afgeleide G0 (t) is dan de toename per tijdseenheid (week) en dat is de hoeveelheid afvalstof die er (per tijdseenheid) in de rivier stroomt. Die hoeveelheid is het product van de concentratie c(t), in kg/m3 en het debiet D = 120 960 m3 /week.

Opgave 1. Bepaal de hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t.

2. Hoeveel afvalstof is er in de eerste week geloosd?

Antwoord. 852, 0341 . . . kg 3. Hoeveel afvalstof is er in de vierde week geloosd?

Antwoord. 884, 5920 . . . kg 4. We duiden met H(t) de hoeveelheid afval aan die de week voorafgaand aan tijdstip t is geloosd. Geef een uitdrukking voor H(t). Controleer je uitdrukking aan de hand van opgaven 2 en 3 hierboven.

5. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 1000? Wat gebeurt er als t > T ?

A-153

Onderwerp 3. Celbiologie Een vacuole is een met vocht gevuld blaasje, dat zich in het cytoplasma van een cel bevindt. Plantencellen bevatten meerdere kleine vacuolen. Deze vacuolen nemen water op en verenigen zich later tot ´e´en grote vacuole. Het vocht in de vacuolen bestaat uit water met daarin opgeloste stoffen, o.a. reservestoffen, kleurstoffen en afvalstoffen.

De kleurstoffen zorgen voor de kleur van bijvoorbeeld planten en bloemen.

Model Een plantencel neemt water op in een vacuole, die aanvankelijk een volume V (0) = 10 µm3 heeft. De opnamesnelheid wordt gemodelleerd als plantencel

V 0 (t) = 20 e−2t met t de tijd in uren.

Opgave 1. Bepaal het volume van de plantencel in functie van de tijd t.

2. Hoeveel water bevat de vacuole na een kwartier?

Antwoord. 13, 9346 . . . µm3 3. Wat wordt volgens dit model het volume van de vacuole op den duur?

4. Hoeveel water werd er door de vacuole in het eerste uur opgenomen?

5. Hoeveel water werd er door de vacuole in het derde uur opgenomen?

Antwoord. 0, 1583 . . . µm3

6. We duiden met H(t) de hoeveelheid water aan die het uur voorafgaand aan tijdstip t werd opgenomen.

Geef een uitdrukking voor H(t). Controleer je uitdrukking aan de hand van opgaven 4 en 5 hierboven.

7. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 0, 001?

A-154

Onderwerp 4. Visteelt Visteelt is een vorm van aquacultuur, waarbij vissen op een commerci¨ele manier worden gekweekt voor consumptie. Door teruglopende visvangsten, veroorzaakt door overbevissing, wordt de visteelt een steeds belangrijkere tak in de visserij. Om een optimale visteelt te garanderen is het van belang de groei van vissen in kweek te modelleren.

Model Veronderstel dat de massa van een vis groeit volgens de modelvergelijking α m0 (t) = √ t 1

met m de massa uitgedrukt in gram, t de tijd in dagen en α = 2 g · d− 2 .

Opgave

1. Ga na dat de eenheden in deze vergelijking met elkaar overeenstemmen.

2. Bepaal m(t) als m(0) = 1.

viskwekerij

3. Wat gebeurt er volgens dit model op den duur met de massa van de vis?

4. Hoeveel gram nam de vis toe in de eerste dag?

Antwoord. 4g 5. Hoeveel gram nam de vis toe in de vijfde dag?

Antwoord. 0, 94427 . . . g 6. We duiden met V (t) het aantal gram aan waarmee de vis toeneemt op de dag voorafgaand aan tijdstip t.

Geef een uitdrukking voor V (t). Controleer je uitdrukking aan de hand van opgaven 4 en 5 hierboven.

7. Van zodra de aangroei van de vis per dag kleiner is dan 0, 5 gram per dag is het niet langer rendabel om de vissen in kweek te houden. Op welke dag kan men het best deze vissoort oogsten?

A-155

Onderwerp 5. Plantenteelt I Een akker wordt op 1 april met zomertarwe ingezaaid. Aanvankelijk groeien de planten vrijstaand op, ze beconcurreren elkaar niet op voedingsstoffen en licht.

Model We modelleren deze eerste fase met een constante relatieve groeisnelheid, we krijgen dan een exponentiele functie. De groeisnelheid van de tarwe in het model wordt gegeven door y 0 (t) = 0, 0672 e0,2 t in kg drooggewicht per ha per dag, t in dagen. Deze fase duurt 40 dagen, tot en met zomertarwe 10 mei.

In de tweede fase, tot en met 19 juli (70 dagen) neemt de onderlinge concurrentie toe. De groeisnelheid is dan constant.

In de laatste fase is de tarwe volgroeit en alle energie wordt gebruikt voor het rijpen van het graan. De groeisnelheid neemt af. De laatste 10 dagen tot de oogst op 29 juli wordt de groeisnelheid gemodelleerd met y 0 (t) = 200 e−0,53 (t−110) Opgave 1. Maak een correcte schets van de grafiek van de groeisnelheid van de tarwe als functie van de tijd t, voor 0 ≤ t ≤ 120.

2. Wat is het drooggewicht per hectare aan het eind van de eerste fase?

Antwoord. 1001, 2658 . . . kg/ha 3. Bereken de groeisnelheid aan het eind van de exponentiele fase.

4. Bereken de gewichtstoename van de tarwe in de fase van constante groei.

5. Bereken ten slotte de gewichtstoename in de derde fase, de rijping.

Antwoord. 375, 4748 . . . kg/ha 6. Wat mag men verwachten voor de opbrengst van de oogst, als je weet dat de akker een oppervlakte heeft van 80 hectare?

A-156

Onderwerp 6. Plantenteelt II Planten slaan door assimilatie energie in hun bladeren op. Hierbij wordt kooldioxide (C02 ) gebonden en komt zuurstof (O2 ) vrij: CO2 + energie −→ suiker + O2 De assimilatiesnelheid is evenredig met de lichtintensiteit (fotosynthese), assimilatie heeft dus alleen overdag plaats. Hierbij neemt het gewicht y van de plant (de biomassa) toe.

Model De groei van de biomassa van een kamerplant door assimilatie modelleren we met

1 (t − 6)π (in mg/uur) voor 6 ≤ t ≤ 18 ya0 (t) = 10 sin 12

waarin t gemeten is in uren na middernacht. Buiten de genoemde uren is ya0 (t) nul.

Bij het omgekeerde proces, ademen of respiratie, komt de opgeslagen energie weer vrij en neemt het gewicht af. De ademhalingssnelheid veronderstellen we gedurende het hele etmaal constant, de bijhorende gewichtsverandering is Opgave

yr0 (t) = −1

vrouwentongen (Sansevieria trifasciata)

(in mg/uur)

1. Maak in ´e´en assenstelsel de correcte schets van de functies ya0 (t) en yr0 (t) voor t = 0 tot t = 24.

2. Bereken de gewichtstoename per dag door assimilatie en het gewichtsverlies door respiratie.

Hoeveel neemt de plant per dag aan gewicht toe?

Antwoord. De gewichtstoename per dag is 52, 39 . . . mg.

3. Voor respiratie is zuurstof nodig, elke milligram gewichtsvermindering verbruikt 1, 7 mg zuurstof. Een kubieke meter lucht bevat 0, 4 kg zuurstof. Hoeveel kubieke meter lucht gebruikt deze plant per nacht (van 18.00 u. tot 6.00 u.)?

Antwoord. 0, 000051m3 4. Moet je daarmee rekening houden als je tien van deze kamerplanten op een slaapkamer van 5m op 4m op 2m zet? Fundeer je antwoord door te berekenen hoeveel procent van de lucht in de kamer wordt verbruikt door deze tien kamerplanten.

5. Op zeeniveau bevat lucht gemiddeld 21% zuurstof. Van zodra de hoeveelheid zuurstof 10% minder is dan het gemiddelde, dan dreigt er gevaar voor de gezondheid. Hoeveel van deze kamerplanten moet je in een slaapkamer van 5m op 4m op 2m zetten opdat er gevaar zou dreigen?

A-157

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

13 LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN

Inhoudsopgave

Extra problemen [3, 29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-160

A-159

Extra problemen Probleem 7. Bepaal telkens de vergelijking van de familie van krommen met de gegeven helling en de kromme uit die familie die het gegeven punt bevat. tan x y 23x−1 (b) m = y3

(a) m =

en

A(0, 2)

(c)

m = −2y ln x

en

B(1, −1)

(d)

m=

xy 1 + x2

en en

C(2, 8) D(3, 5)

Probleem 8. Voor een kromme y = f (x) geldt dat y 00 = 2. Bovendien bevat die kromme het punt P (2, 6) en is de helling in P aan de kromme gelijk aan 10. Bepaal de vergelijking van die kromme.

Probleem 9. Voor een kromme y = f (x) geldt dat y 00 = 6x − 8. Bovendien bevat die kromme het punt P (1, 0) en wordt de normaal in dat punt gegeven door 2x − 3y = 2. Bepaal de vergelijking van die kromme.

Probleem 10 (biologie). Een kolonie bacteri¨en wordt blootgesteld aan ultraviolet licht, die het DNA van de bacteri¨en aantast zodat de kolonie uitsterft. In een laboratorium-experiment heeft men ontdekt dat de mate van de afname van het aantal levende bacteri¨en evenredig is met het aantal nog levende bacteri¨en op dat moment. Na 7 seconden leven er nog 70, 5% van hen. (a) Hoeveel bacteri¨en leven er nog na een 20 seconden? (b) Hoe lang duurt het voordat 95% van de bacteri¨en dood zijn?

Probleem 11 (natuurkunde). De temperatuur van een fles melk daalt met een snelheid van 0, 0837 keer het verschil tussen de melktemperatuur op dat moment en de kamertemperatuur die 20◦ bedraagt. Onderstel dat de melk aanvankelijk 80◦ warm is. Na hoeveel tijd is de melktemperatuur tot 50◦ gezakt?

Aanwijzing. Als y(t) de melktemperatuur op tijdstip t is, zal y 0 (t) dan positief of negatief zijn? Dus schrijf je dan y 0 = . . . · (. . . − y) of y 0 = . . . · (y − . . .)?

Probleem 12 (bevolkingsleer). Een gebied heeft een maximale bevolkingscapaciteit van 200 miljoen mensen. Op elk tijdstip t is de mate van de toename van de bevolking evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en de bevolking op dat moment. Aanvankelijk leven er 50 miljoen mensen en tien jaar later zijn er al 109 miljoen mensen. (a) Bepaal de bevolking na 20 jaar. (b) In welk jaar zal 90% van de bevolkingscapaciteit bereikt worden?

Probleem 13 (economie). Bij het opstarten van een bedrijf verwacht men dat op elk ogenblik de mate van de toename van de jaarlijkse verkoopcijfers evenredig zal zijn met het verschil tussen de verkoopcijfers op dat ogenblik en een bovengrens van 20 miljoen euro. Initieel zijn de verkoopcijfers uiteraard 0 en ze zijn 4 miljoen voor het tweede operationele jaar. (a) Welke verkoop mag men verwachten na 10 jaar? (b) In welk jaar zullen de verkoopcijfers 15 miljoen euro bedragen?

Probleem 14 (besmettingsleer). Een gemeenschap van 1000 mensen is homogeen samengesteld. E´en persoon keert uit het buitenland terug met een griepvirus. Onderstel dat de thuisgemeenschap niet inge¨ent is tegen griep en allen vatbaar zijn voor deze ziekte. Bovendien is de mate van de verandering van het aantal besmette personen evenredig met het product van het aantal besmette en het aantal niet besmette personen. Na 7 dagen zijn er tien personen besmet. (a) Hoeveel mensen zijn na 20 dagen besmet door het virus? (b) Hoeveel dagen duurt het tot de helft van de gemeenschap is aangetast door het griepvirus?

Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je dat

1 1 a = + . y(a − y) a−y y

Probleem 15 (sociologie). Een groep van 800 mensen - studenten, vrienden, verloofden, ouders, etc. - zit op het einde van het academiejaar gespannen te wachten op de proclamatie van de resultaten. Iemand uit deze groep beweert dat hij/zij het - uiteraard foutieve - gerucht heeft opgevangen dat slechts 15% van de studenten geslaagd is. Dit onrustbarende nieuws verspreidt zich als een lopend vuurtje. Sociologen beweren dat de mate van de toename van het aantal mensen dat het gerucht vernomen heeft evenredig is met het product van het aantal mensen die het gerucht gehoord hebben en het aantal mensen die het gerucht nog niet gehoord hebben. Als na ´e´en minuut al 50 mensen het gerucht opgevangen hebben, na hoeveel tijd heeft 95% van de aanwezigen het gerucht gehoord?

Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je dat

1 1 a = + . y(a − y) a−y y

A-160

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM

14

EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN

Inhoudsopgave

Inhoudstafel van Het wiskunde boek [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-162 Zelfevaluatiekaart [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-164

A-161

Het wiskunde boek

Clifford A. Pickover

250 mijlpalen in de geschiedenis van de wiskunde

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

Zelfevaluatiekaart Practicum 14 Zelfevaluatie 3 Kruis aan wat van toepassing is; 3 gebruik deze checklist om bij te sturen waar nodig.

Proces

Aandachtspunten

Opdracht

. duidelijk

+

+/-

-

+

+/-

-

. boeiend Bronnen

. betrouwbaar . gevarieerd . doeltreffend . voldoende

Materiaal

. voldoende . gevarieerd . doeltreffend . alle aspecten

Groepswerk

. doeltreffend . iedereen heeft zijn/haar deel gedaan . afspraken nageleefd . aangenaam . boeiend

Product (powerpoint)

Aandachtspunten . logisch opgebouwd . hoofdzaken onderscheiden van bijzaken . kernboodschap . less is more . boeiend . persoonlijk . rekening gehouden met doelpubliek . besluit

Conclusies 3 Bekijk aandachtig je minpunten, welke aspecten verdienen meer aandacht?

Vraag hulp aan je leeraar of medeleerlingen, indien nodig. .............................................................................................................. ..............................................................................................................

3 Wat zijn je grootste troeven? Hoe ga je die in de verf zetten? .............................................................................................................. ..............................................................................................................

A-164

REFERENTIELIJST Boeken, artikels en nota’s [1] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J. M. Prystowsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra Textbook, College of the Redwoods Department of Mathematics (2007). (toegang augustus 2014). http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/ [2] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[3] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGrawHill (1990).

[4] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk (2008).

[5] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007). http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1857815/ (toegang augustus 2014).

e77.

[6] M. De Gee, Wiskunde in werking deel 2, Epsilon Uitgaven, Utrecht (2002). √ [7] K. De Naeghel, Vijf bewijzen voor de irrationaliteit van 2, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011). http://www.koendenaeghel.be/irrational.pdf (toegang augustus 2014).

[8] K. De Naeghel, Wiskunde In zicht, print-on-demand online publishing Lulu.com (2013). http://www.koendenaeghel.be/wiskundeinzicht.htm (toegang augustus 2014).

[9] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, aanvaard voor publicatie in Uitwiskeling (2013). http://www.koendenaeghel.be/giscorrectie.pdf (toegang augustus 2014).

[10] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaanderen nr.9 (2006). http://www.t3vlaanderen.be/fileadmin/media/cahiers/pdf/cahier9.pdf (toegang augustus 2014).

[11] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge. http://home.scarlet.be/deprez.johan/100203− eekhoutcentrum− onderzoekscompetenties/ (toegang augustus 2014).

[12] F. den Hertog en E. Huizenga, De kennisfactor: concurreren als kennisonderneming, Deventer : Kluwer BedrijfsInformatie, 1997.

[13] P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn) (2006).

[14] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley (1994). http://www.maths.ed.ac.uk/ aar/papers/knuthore.pdf [15] N.J. Higham, Handbook of Writing for the Mathematical Sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics (1998).

[16] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore (1994).

[17] P.H. Leslie, The use of matrices in certain population mathematics, Biometrika, 33(3), 183 - 212 (1945).

[18] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven (2006).

[19] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010).

[20] R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, T.M. van Pelt, wiskunde voor het hoger onderwijs: uitwerkingen, Noordhoff Uitgevers (2009).

164

[21] G. Polya, How to solve It, Princeton University Press (1945).

[22] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated (2009).

[23] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated (2008).

[24] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[25] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2006).

[26] M. Van Hecke, directeur-generaal katholiek onderwijs (De Morgen 14/11/12).

[27] M. Van Hoof, Procesevaluatie, Dag van de wiskunde, K.U. Leuven Campus Kortrijk, 17 november 2012.

[28] F. Vivaldi, Mathematical writing for undergraduate students, The university of London (2013). http://www.maths.qmul.ac.uk/ fv/books/mw/mwbook.pdf (toegang augustus 2014).

[29] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt (2002).

Digitale bronnen (toegang augustus 2014) [30] American Mathematical Association of Two-Year Colleges, Students Mathematics League: http://www.amatyc.org/?StudentMathLeague [31] American Mathematics Competitions: http://amc.maa.org/ [32] Carri`eretijger: http://www.carrieretijger.nl/ [33] De on-line encyclopedie van getallenrijen: http://oeis.org/?language=dutch [34] lanl.arXiv.org, Cornell University: http://xxx.lanl.gov/ [35] Leerplan A derde graad ASO, studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019: http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf [36] Leren.nl, wat is een portfolio: http://www.leren.nl/cursus/leren− en− studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ [37] Leren.nl, presentatie geven: http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ [38] McGraw-Hill Professional: http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ [39] Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad - wiskunde B-dag als middel, Johan Deprez en Gilberte Verbeeck: http://home.scarlet.be/deprez.johan/100203− eekhoutcentrum− onderzoekscompetenties/ [40] Ticalc.org, file information curvatur: http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/442/44250.html [41] USolv-IT-team K.U.Leuven en UGent: http://www.usolvit.be [42] Vlaamse Overheid Agentschap voor Overheidspersoneel: http://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/ [43] Vlaamse Wiskunde Olympiade: http://www.vwo.be/ [44] Wiskunde B-dag: http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ [45] Wiskunnend Wiske: http://www.wiskunnendwiske.be/ 165

BRONNENLIJST VOOR AFBEELDINGEN Afbeelding

Pagina

omslag George Polya empathie in de wiskunde samenwerking internet Google Wikipedia MacTutor Google scholar poster VWO cover How to solve it probleemoplossend denken nieren stappenplan samenwerking Calpe verslag leerlingen Emil Artin Flavius Josephus schaakbord cartoon onderzoekers cartoon verslag raaigras marktpenetratie lariks cover Shaumâ&#x20AC;&#x2122;s presentatie cover Het wiskunde boek How to solve it - a dialogue metro Brugge roodkopvuurkever vliegtuig Tartaglia multiple choice De cycloide nim cookies elleboogjes en representaties Berhard Riemann ontwerp van een woning riool plantencel viskwekerij zomertarwe vrouwentongen inhoudstafel Het wiskunde boek

Pr-5,Pr-i 2 Pr Pr-1 Pr-2 Pr-2 Pr-2 Pr-2 Pr-3,A-63 Pr-5 Pr-9 Pr-11,A-80,A-86 Pr-13 Pr-21 Pr-23,A-120 Pr-25 Pr-31 Pr-36 Pr-37,A-136 Pr-37,A-137 Pr-39 Pr-40 Pr-47 Pr-48 Pr-49 Pr-51 Pr-55 Pr-58 A-64 A-92,A-100 A-94,A-102 A-96,A-104 A-116,A-118 A-117,A-119 A-117,A-119 A-126 A-137 A-138 A-142,A-143,A-144 A-149 A-152 A-153 A-154 A-155 A-156 A-157 A-162

Bron http://nl.123rf.com/ http://wikis.liveoaksf.org/ http://www.softskills.nl/ http://nl.123rf.com/ http://www.thomasgeeraerts.be/ http://www.google.be/ http://www.wikipedia.org/ http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ http://scholar.google.be/ http://www.vwo.be/ http://press.princeton.edu/ http://nl.123rf.com/ http://nl.123rf.com/

[10] http://www.corporatienl.nl/ http://summerincalpe.blogspot.be/ http://www.lizards.be/ http://www.concordia-ny.edu/ http://www.bookish.com/ http://www.preteristarchive.com/ http://www.brendl.nl/ http://www.sciencecartoonsplus.com/ http://www2.vlaanderen.be/ http://nl.wikipedia.org/

[6] http://nl.wikipedia.org/ http://forum.arabsbook.com/ http://nl.123rf.com/ http://www.librero.nl/

[21] http://nl.wikipedia.org/ http://www.op-reis.com/ http://forum.belgiumdigital.com/ http://emilejaensch.punt.nl/ http://en.wikipedia.org/ http://www.math4all.nl/

[13] http://www.koendenaeghel.be/ http://www.koendenaeghel.be/ http://www.fi.uu.nl/wisbdag/ http://en.wikipedia.org/ http://howtobuildahouseblog.com/ http://dict.youdao.com/ http://nl.wikipedia.org/ http://www.noble-house.tk/ http://www.boerenbusiness.nl/ http://nl.wikipedia.org/

[19]

166

Het volgen van een leerplan betekent meer dan het realiseren van de inhoudelijke doelstellingen. De leerlingen horen ook vakgebonden vaardigheden te verwerven en (leer)attitudes ontwikkelen. Daarnaast dringt de overdracht van competenties zich ook vanuit de maatschappij op: probleemoplossend denken, kritische zin, onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, samenwerken, etc.

In dit boek bieden we het practicum wiskunde aan: een werkvorm voor wiskundeonderwijs in de derde graad met als doel het vaststellen, aanleren, stimuleren, evalueren en opvolgen van vakgebonden vaardigheden en attitudes bij leerlingen. De didactische methode co¨operatief leren staat hierbij centraal: bij het uitvoeren van de practica leren de leerlingen van de interactie met elkaar. Enkele onderwerpen die aan bod komen, zijn: 3 probleemoplossend denken, 3 leren uit opgeloste problemen, 3 werken met een wiskundig model, 3 realiseren van onderzoekscompetenties, 3 maken van een wetenschappelijk verslag, 3 geven van een wetenschappelijke presentatie.

In dit boek wordt veel aandacht besteed aan het expliciteren van een visie op wiskundecompetenties. Elk practicum start dan ook met een inleiding waarin de keuze voor de opdracht gemotiveerd wordt.

c 2011 Koen De Naeghel

royalty percentage: 0%