Rom Stoff Tid Forkurs Grunnbok

_00_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:36

Side 1

Arne Auen Grimenes

Per Jerstad

Bjørn Sletbak

Rom Stoff Tid Forkurs Grunnbok

_00_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:36

Side 2

© Cappelen Damm AS, Oslo 2010 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverkslovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Grafisk formgiver: Kristine Steen Omslagsdesign: Sean Brewer Omslagsbilde: C. Mayhew & R. Simmon (NASA/GSFC), NOAA Tekniske tegninger: Terje Sundby Frihåndstegninger: Lars Rudebjer s. 14, 15, 47, 55, 65, 97, 98, 99, 100, 115, 263, 269 John Thoresen s. 105, 157, 229, 231, 233, 234, 363 Øyvind Sang Hansen s. 150, 195 Per Ragnar Møkleby s. 383 Forlagsredaktør: Grete Maus Sats: 07 Gruppen, 2010 Trykk og innbinding: UAB BALTO print, Litauen 2012 Forfatterne har mottatt støtte fra Det faglitterære fond.

Utgave nr. 3 Opplag nr. 3 ISBN 978-82-02-32027-0 www.cappelendamm.no www.rstnett.cappelendamm.no

_00_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:36

Side 3

3

Forord Læreverket Rom Stoff Tid Forkurs er skrevet etter studieplanen for ettårig forkurs i fysikk for ingeniørutdanning og maritim høgskoleutdanning, 2009 og er beregnet for bruk på dette forkurset.

Læreverket er også velegnet for innføringskurs i fysikk i andre høyere utdanninger som tilbys studenter uten fysikkbakgrunn.

Rom Stoff Tid Forkurs består av tre hoveddeler: grunnbok, studiebok og RSTnett.

Mye av stoffet i dette læreverket bygger på Rom Stoff Tid for videregående skole der også Reidun Renstrøm er medforfatter. Vi takker Renstrøm for hennes mange gode bidrag.

Januar 2010 Arne Auen Grimenes

Per Jerstad

Bjørn Sletbak

_00_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:36

Side 4

4

Innhold Hvordan kan vi bruke lærebok og nettsted? . . . . .

6

Velkommen til fysikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1 Bevegelse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 13 18 26

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5 Bevegelsesmengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Enheter og konstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posisjon og forflytning . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Akselerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Kraft og bevegelse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 37 39 45 46

Krefter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vekselvirkning mellom to legemer: Newtons 3. lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tyngdekrefter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammenhengen mellom krefter og bevegelse: Newtons 1. og 2. lov . . . . . . . . . . . . . . . .

Fjærkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Friksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 62 65 71 72

3 Arbeidsmetoder i fysikk . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Observasjoner, hypoteser, eksperimenter, teorier, prøving, feiling, naturlover . . . . . . . .

Måleusikkerhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Usikkerhet i sammensatte størrelser . . . . . . .

Grafisk utjevning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 80 84 89 91 92

4 Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potensiell energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mekanisk energi og arbeid . . . . . . . . . . . . . .

Loven om bevaring av mekanisk energi . . . .

Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 52

Bevaringsloven for bevegelsesmengde . . . . .

Mer om støt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Impuls og bevegelsesmengde . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 135 140 143 144

6 Fysikk i væsker og gasser . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Massetetthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppdrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tilstandslikningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147 149 157 159 163 170 172

7 Termofysikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Indre energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termofysikkens 1. lov. Energiloven . . . . . . . .

Kalorimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termofysikkens 2. lov . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178 181 187 195 201 202

8 Lys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

95 95 100 103 107 111 119

Refleksjon. Absorpsjon. Transmisjon . . . . . .

Brytning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Totalrefleksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lysbrytning og farger . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207 213 219 222 224 225

9 Bølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Bølgebevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Interferens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Interferens med lys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229 235 241 251 253

_00_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:36

Side 5

5

10 Atomfysikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Atomet er sammensatt . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kvanter og fotoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bohrs teori for hydrogenatomet . . . . . . . . . .

Emisjons- og absorpsjonsspektre . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 261 263 269 273 274

14 Kraft og bevegelse II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Newtons tre lover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Krefter på legemer i sirkelbevegelse . . . . . . . Å løse sammensatte mekanikkoppgaver . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365 375 382 387 388

15 Statikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 11 Kjernefysikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Atomkjernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Radioaktivitet og kjernereaksjoner . . . . . . . .

Radioaktiv omdanning . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fusjon og fisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Utnytting av kjerneenergi . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278 280 287 292 296 299 300

Likevekt ved rotasjon om akse . . . . . . . . . .

Likevektsvilkår . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

393 398 401 405 406

Ordforklaringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Stikkordregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

12 Elektrisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Elektriske krefter og ladninger . . . . . . . . . . .

Elektrisk spenning og arbeid . . . . . . . . . . . . .

Elektrisk strøm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammenheng mellom strøm og spenning . . .

Kopling av motstander . . . . . . . . . . . . . . . . .

Elektromotorisk spenning. Indre resistans i batterier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Elektrisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

304 307 312 317 324 328 330 333 335

13 Bevegelse II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Bevegelse langs en rett linje . . . . . . . . . . . . .

Vektorene fart og akselerasjon . . . . . . . . . . .

Bevegelse med konstant akselerasjon . . . . . .

Akselerasjonen i sirkelbevegelse . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341 346 350 357 360 361

Bildeliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Fasit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

_00_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:36

Side 6

6

Hvordan kan vi bruke lærebok og nettsted?

Dette læreverket inneholder mange forskjellige elementer som du trenger i læringsprosessen. Her har vi laget en liten «bruksanvisning» som forklarer hvordan de forskjellige elementene kan brukes.

Grunnbok Grunnboka, selve «læreboka», er den boka du leser i nå. Her finner du framstillingen av temaene i studieplanen slik forfatterne har tolket den.

Dette er det som ofte kalles «pensumteksten». I tillegg til tekst, figurer og bilder finner du en rekke eksempler med løsning.

Eksempler. Eksemplene i grunnboka er utformet som konkrete oppgaver som har direkte tilknytning til stoffet i teksten. Til disse oppgavene står det en detaljert løsning med mellomregninger og forklaringer. Du bør regne eksemplene på papir som en vanlig regneoppgave. Dersom du bare leser løsningen, vil det ofte være viktige detaljer i beregningene som du ikke får med deg!

Sokrates-spørsmål. Rundt omkring i kapitlene støter du på noen spørsmål som blir varslet med en Sokrates-logo i margen. Hensikten med disse spørsmålene er å få til nyttige samtaler og friske diskusjoner i auditoriet mens stoffet blir gjennomgått.

www

Henvisning til RSTnett. Når du støter på denne logoen i margen, betyr det at du finner pensumstoff på RSTnett. Det kan for eksempel dreie seg om animasjoner og simuleringer knyttet til det kapittelet du holder på med.

Inngangsadressen er http://rstnett.cappelendamm.no/.

Sammendrag. I slutten av hvert kapittel står det sammendrag av de viktigste tingene vi har arbeidet med i kapittelet. Først når du kan det som står i kapittelet, får du nytte av sammendraget.

Oppgaver. Oppgaver for å forstå og trene på pensumstoffet er samlet bakerst i hvert kapittel. Gjør alle oppgavene til hvert delkapittel etter hvert som du er ferdig med å lese det. (I studieboka finner du flere oppgaver du kan bruke til videre trening og til eksamensforberedelse.) Oppgavene merket På egen hånd passer det ofte å gjøre hjemme på kjøkkenet sammen med en medstudent. Bakerst i boka er det fasit til regneoppgavene. På RSTnett finner du tips til alle oppgavene i grunnboka. De kan være nyttige dersom du står fast.

_00_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:36

Side 7

7

Rammestoff. Med jevne mellomrom utover i boka kommer det stoff som ikke direkte er pensum. Vi omtaler dette stoffet som «rammestoff».

Avsnittene med rammestoff er dels fysikkforklaringer på noen kjente fenomener i naturen og dels reine opplysninger, ofte i tabellform. Noe av rammestoffet går litt dypere inn i et tema.

Ordforklaringer og stikkordregister. Mot slutten av grunnboka finner du en omfattende liste med forklaringer og definisjoner av ord, begreper og fysiske størrelser. Denne oversikten kommer i tillegg til stikkordregisteret bakerst i grunnboka. Ved hjelp av dette registeret finner du hvor i boka et sentralt fagord er definert eller omtalt.

Studiebok Studieboka har samme kapittelinndeling som grunnboka. Til hvert kapittel finner du her: Forsøk. Her kommer først forslag til Innledende fellesforsøk. Hensikten med fellesforsøkene er å gi alle et felles erfaringsgrunnlag som også kan brukes i gjennomgåelsen av det aktuelle kapittelet i grunnboka. Ellers er det mange mindre fysikkforsøk og forslag til «kjøkkenfysikk» – ting som du kan gjennomføre uten avansert fysikkutstyr, og som er egnet til å skape diskusjon, ettertanke og glede over faget.

Laboratorieøvinger. Det er to typer laboratorieøvinger. Først for hvert kapittel kommer åpne laboratorieforsøk, deretter kommer mer tradisjonelle laboratorieøvinger med utstyrsliste og en relativt detaljert beskrivelse av framgangsmåten. Merk deg forhåndsoppgavene. Forhåndsoppgaven løser du hjemme før du skal gjennomføre selve laboratorieøvingen. Da vil du være svært godt forberedt på det du skal lære på labben.

Oppgaver. Oppgavesamlingen til hvert kapittel bruker du for å øve inn lærestoffet. Her finner du også oppgaver som er velegnet når du skal forberede deg til eksamen. Det er svært mange oppgaver til sammen, så be gjerne læreren om å sette opp en prioritert liste. Bakerst i studieboka er det fasit.

På RSTnett finner du fullstendig løsning til noen av oppgavene til hvert kapittel. På RSTnett vil du også finne et utvalg av tidligere eksamensoppgaver med fullstendig løsning.

_00_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:36

Side 8

8

RSTnett RSTnett er nettsidene til læreverket Rom Stoff Tid. Gå inn fra http://rstnett.cappelendamm.no/. Til hvert kapittel finner du her:

www

Grunnbokhenvisninger. Flere sider i grunnboka er merket med dette symbolet. Det betyr at vi anbefaler deg å bruke stoffet som det henvises til, aktivt i arbeidet med kapittelet. Symbolet viser mest til viktige animasjoner og simuleringer med opplegg for hvordan de skal brukes.

Oppgavetips. Til hver eneste oppgave i grunnboka har vi laget tips for hvordan oppgaven kan løses. Tipsene inneholder faglige råd og råd om føring, og de er utformet slik at du selv skal kunne løse oppgaven når du arbeider uten lærer på skolen eller arbeider hjemme. På denne måten blir du ikke så lett sittende fast når du arbeider med oppgaveløsning.

Løste oppgaver. Til hvert kapittel er det laget 5–10 pdf-filer som inneholder fullstendig løsning til sentrale oppgaver i studieboka eller andre regnede eksempler. De løste studiebokoppgavene er nummerert med samme nummer som i studieboka. De øvrige eksemplene, som ikke stammer fra studieboka, har nummer fra 500 og oppover.

Nettoppgaver. I den nye studieplanen er bruk av simuleringer i fysikk kommet inn som et eget punkt. Vi har derfor laget en serie nettoppgaver som tar utgangspunkt i en simulering, og som inneholder konkrete oppgaver som du skal gjennomføre ved å bruke simuleringen.

Kapitteltest. Dette er en selvrettende test som du kan ta for å teste deg selv etter at du er ferdig med førstegangsgjennomgåelsen av kapittelet.

Biografier og historie. Her finner du korte oversikter over gode lenker til biografisk og historisk stoff knyttet til kapittelet.

Mer om ... Dette er henvisninger til annet ressursstoff knyttet til kapittelet, i form av pdf-filer eller netthenvisninger.

Eksamensoppgaver. På RSTnett finner du også en samling med eksamensoppgaver som er gitt til forkurseksamen i fysikk.

Tabell. En gratis fysikktabell som kan lastes ned i pdf-format, finner du også på nettsidene.

_00_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:36

Side 9

9

Velkommen til fysikk Fysikkfaget handler om å observere, beskrive og prøve å forstå naturen, fra de minste byggesteinene i atomene til stjernene og universet som helhet.

Det betyr at fysikken prøver å svare på slike spørsmål som disse: Hvorfor faller en stein til bakken når vi slipper den? Hva er det som foregår når lynet slår ned? Hva er det som holder månen i bane rundt jorda? Hvordan er alle ting bygd opp, eller sagt på en annen måte: Hva er de grunnleggende byggesteinene i den materielle verden? Hva slags krefter er det som virker i naturen? Kan vi vite noe om hvor gammel jorda er? Hvordan har de ulike grunnstoffene oppstått?

Men fysikken handler ikke bare om å finne svar på spørsmål om store og små fenomener i naturen. Fysikken og dens ektefødte barn teknologien representerer også en viktig del av grunnlaget for vår materielle levestandard og for de forandringene som foregår i samfunnet. Det er vanskelig å tenke seg noe fenomen i moderne tid som har forandret menneskesamfunnene så mye som teknologi knyttet til elektrisitet og magnetisme. Det store gjennombruddet på dette området kom i 1830-åra da prinsippene for produksjon av elektrisk strøm i generatorer ble klarlagt. Sammen med matematikken har fysikkfaget også spilt en grunnleggende rolle i utviklingen av datamaskiner og informasjonsteknologi. Andre områder der fysikkunnskaper spiller en sentral rolle, er biologi og medisinsk teknologi. Fra medisinsk teknologi kjenner vi for eksempel ultralyd, røntgenbildeapparater, CT- og MR-maskiner som kan ta bilder av det indre av kroppen vår.

Når fysikere skal forklare hva fysikken handler om, er det lett å bare ta med det positive. Men vi må også ta med de mørke sidene som har fulgt i kjølvannet av at vi stadig har fått mer innsikt i hvordan naturen fungerer.

Her tenker vi først og fremst på den nære koplingen vi alltid har hatt mellom kunnskaper i fysikk og teknologi og utviklingen av stadig nye våpentyper. Videre bør vi ta med at energiforbruket og måten vi lever på i den industrialiserte delen av verden, har gitt mye forurensning og har negativ innvirkning på klimaet og det biologiske mangfoldet, slik at hele den økologiske balansen på kloden kan være i fare.

På den annen side er kunnskaper i fysikk og utvikling av ny teknologi av avgjørende betydning for å løse energi- og miljøproblemene våre slik at kloden blir et godt sted å bo for kommende generasjoner.

I have most bitterly regretted that I didn’t study physics when I was at school, because it is the key to the most exciting research and discoveries of our time, and physicists are the adventurers and risktakers. Young people who study physics can expect to find themselves at the frontier of human thought.

Den britiske forfatteren Doris Lessing

Fysikken er menneskeverk. Det er mange menn og kvinner som opp gjennom århundrene har bidratt til fysikkens utvikling. Fotografiene til venstre viser tre av disse: Albert Einstein, som vel var den største fysikeren i forrige århundre, den danske fysikeren Niels Bohr og den amerikanske astronomen Vera Rubin.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 10

Å forstå bevegelse er å forstå naturen.

Leonardo da Vinci

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 11

1 Bevegelse I

1 Bevegelse I Planetene går i bane rundt sola og rundt seg selv, svære luftmasser flytter seg langs jordoverflaten, fuglene flyr gjennom lufta, bølgene ruller på havet, molekyler er i livlig bevegelse overalt i luft og vann. Satellitter sviver rundt jorda, og elektronene strømmer i elektriske kretser – bevegelser som moderne teknologi gjør at vi kan utnytte.

Noen bevegelser er enkle, andre er svært kompliserte. I dette kapittelet skal vi studere legemer som beveger seg langs en rett linje, det vi kaller rettlinjet bevegelse. Hvis legemet beveger seg uten å rotere eller vri seg, sier vi at bevegelsen også er translatorisk.

Den delen av fysikken som handler om likevekt, bevegelse og krefter, heter mekanikk. Ordet mekanikk kommer fra gresk mekhane = redskap, verktøy. I dette første mekanikkapittelet skal vi se på læren om bevegelse.

Enheter og konstanter Fysikk er en eksperimentell vitenskap. Vi undersøker hvordan naturen oppfører seg og utformer teorier på grunnlag av det vi observerer. Vi stoler ikke på en teori uten at vi har undersøkt om den stemmer med nøyaktige eksperimenter og målinger. Til det trenger vi gjennomprøvde metoder og presise instrumenter.

Et måleresultat inneholder en verdi og en enhet. Et eksempel på et måleresultat slik vi formulerer dem i dagligtalen kan være: «Avstanden mellom Oslo og Drøbak er 33 kilometer.»

Eksempelet handler om størrelsen lengde. Andre aktuelle størrelser i fysikk er masse, tid, fart, kraft, energi, temperatur, elektrisk strøm og spenning. For alle disse størrelsene må vi ha en standard, en enhet, å måle i forhold til. I dag har vi et internasjonalt enhetssystem med noen få grunnenheter som de andre enhetene kan utledes av. Det systemet kalles SI-systemet, og bygger blant annet på enhetene for de tre størrelsene som beskriver rom (meter), stoff (kilogram) og tid (sekund). I fysikk og i de andre naturvitenskapene blir dette systemet brukt overalt i verden. Det har så mange praktiske fordeler at det er i ferd med å fortrenge alle andre enhetssystemer.

SI-systemet

11

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

12

26-06-12

07:45

Side 12

1 Bevegelse I

Størrelser og enheter I eksempelet fra dagligtalen på forrige side er det en størrelse som måles, en verdi (33) og en enhet (kilometer). I fysikkfaget har vi effektive og logiske systemer for bruken av størrelser, verdier og enheter. Etter disse systemene kan eksempelet skrives slik: s = 33 km

Størrelser

For størrelsene i fysikken gjelder generelt: størrelse = verdi · enhet

Når vi bruker symbolet for en størrelse, for eksempel s for strekning, skriver vi symbolet i kursiv. Symboler for enheter, derimot, skrives med vanlig rett skrift: km/h for kilometer/time.

Legg merke til gangetegnet! Når vi skriver v = 30 km/h, betyr det at farten er 30 · km/h. Legg også merke til at brøkstreken (skråstreken) i enheten er et helt vanlig deletegn, akkurat som i en vanlig brøk. Dette utnytter vi blant annet når vi skal omregne enheter.

Grunnenheter og avledede enheter Det internasjonale systemet for størrelser og enheter heter Système Interational d'Unités. I dagligtale sier vi SI-systemet. Det bygger på grunnstørrelsene lengde (meter), masse (kilogram), tid (sekund), temperatur (kelvin), strøm (ampere), stoffmengde (mol) og lysstyrke (candela). Det fascinerende er at vi kan lage enheter for alle størrelser som fins i fysikk, ut fra enhetene til disse sju størrelsene. Vi kaller dem grunnenheter.

Mange størrelser kan defineres ved hjelp av andre størrelser som er definert tidligere. For eksempel er gjennomsnittsfart det samme som forflytning per tid. Denne definisjonen er grei hvis vi allerede vet hvordan vi skal måle forflytning (lengde) og tid, og SI-enheten følger også direkte av definisjonen. Den blir meter per sekund, m/s. Enheten for fart, m/s, er altså en avledet enhet. Andre eksempler på avledede enheter er m2 for areal og kg/m3 for tetthet.

Symbolbruk i tabeller og diagrammer Verdien av en størrelse kan vi oppfatte som forholdet mellom størrelsen og enheten: størrelse = verdi · enhet ⇒ verdi = størrelse/enhet Dette er bakgrunnen for at vi i tabellhoder og på koordinatakser skriver f.eks. t/s eller s/m, se f.eks. side 14.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 13

13

1 Bevegelse I

Standardform Når vi har svært små eller svært store tall, skriver vi tallene på standardform, dvs. på formen k · 10n, der | k | er et tall mellom 1 og 10 og n er et helt tall. Vi skriver for eksempel at bølgelengden til rødt laserlys er 6,31 · 10–7 m, i stedet for å skrive 0,000 000 631 m. På tilsvarende måte skriver vi at avstanden til sola er 1,5 · 1011 m og ikke 150 000 000 000 m. På denne måten kommer det tydelig fram hvilken størrelsesorden tallet har, samtidig som vi lettere får fram hvor mange siffer vi ønsker å bruke.

Dekadiske prefikser En annen måte å oppnå det samme på er å bruke de såkalte dekadiske prefiksene. De vanligste prefiksene er: milli – tusendeler, m = 10–3; nano – milliarddeler, n = 10–9; kilo – tusen, k = 103; mega – million, M = 106; osv.

Da skriver vi for eksempel 34 500 m = 34,5 · 103 m = 34,5 km 6,31 · 10–7 m = 631 · 10–9 m = 631 nm En fullstendig liste over dekadiske prefikser finner du i tabellen i margen (eller på innsiden av bakre omslag i denne boka).

Symbol

Navn

Verdi

y

yokto

10–24

z

zepto

10–21

a

atto

10–18

f

femto

10–15

p

piko

10–12

n

nano

10–9

µ

mikro

10–6

m

milli

10–3

k

kilo

103

M

mega

106

G

giga

109

T

tera

1012

P

peta

1015

E

exa

1018

Z

zetta

1021

Y

yotta

1024

Konstanter Noen størrelser som lysfarten c og elementærladningen e (protonets elektriske ladning), er konstanter. I oppgaver i denne boka og i studieboka må du som regel finne ut om du trenger å bruke en eller flere slike konstanter. Da må du finne verdien av konstanten(e) i en fysikktabell. Du finner en fysikktabell på RSTnett. I denne boka omtaler vi den som fysikktabellen.

Noen av de mest brukte konstantene finner du også på innsiden av bakre omslag i denne boka. Du finner f.eks. at c = 3,00 · 108 m/s, og at e = 1,60 · 10–19 C.

Posisjon og forflytning Vi tenker oss at vi ser på en sprinter som løper hundremeteren, og lar det være et eksempel på en bevegelse langs en rett linje. Men egentlig er ikke det helt riktig. For hvis vi ser på løperne rett forfra, ser vi tydelig at mange av dem vingler litt fra side til side. Vi ser også at kroppene beveger seg litt opp og ned. I vår diskusjon her ser vi bort fra disse «avvikene» fra hovedbevegelsen, som foregår rett fram. Slike forenklinger gjør vi ofte i fysikken.

Vi vet at virkeligheten er litt annerledes, men forenklingene hjelper oss til å få fram viktige grunntrekk ved de fenomenene vi studerer.

I avsnittene framover skal vi studere bevegelsene til forskjellige typer legemer. Av og til er disse legemene partikler, av og til er det tale om større legemer med utstrekning. Vi behandler da disse større legemene – f.eks. disse løperne - som om de var partikler med hele massen samlet i ett punkt.

Usain Bolt på vei mot seier på 200 m under Golden League-stevnet i Brüssel 4. september 2009.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

14

26-06-12

07:45

Side 14

1 Bevegelse I

Vi skal se nærmere på et bestemt hundremeterløp. Vi følger en løper og måler avstanden s fra startstedet O. Denne avstanden kaller vi posisjonen til løperen. Vi velger positiv retning, som vi angir med en pil på s-aksen.

Her har vi valgt bevegelsesretningen som positiv retning.

Posisjon

O

s1

s2

s

Ved hjelp av et videoopptak har vi fått denne tabellen over sammenhørende verdier av tida fra start, t, og posisjonen s: t/s

0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

12,0

s/m

0

2,4

8,4

16,2

24,3

32,4

40,5

48,6

56,7

64,8

72,9

81,0

89,1

t/s

13,0

14,0

15,0

16,0

17,0

18,0

19,0

20,0

21,0

22,0

23,0

24,0

25,0

s/m

97,2

104,0

108,0

110,0

110,0

110,0

110,0

106,0

102,0

98,0

94,0

90,0

86,0

Av tabellen ser vi at løperen kommer i mål (passerer 100 m) på litt over 13 sekunder. Han stanser og står i ro og hviler seg litt 110 m fra start. Så snur han og jogger et stykke tilbake samme vei som han kom.

På figuren nedenfor har vi vist løpet skjematisk, og vi har markert posisjonen for hvert 4. sekund. Vi har tegnet en s-akse med origo O i startpunktet for bevegelsen og med positiv retning i bevegelsesretningen. (Vi kan velge origo og retning fritt.)

t = 24,0 s t=0 O

Forflytning

t = 4,0 s 10

20

30

t = 8,0 s 40

50

60

t = 12,0 s 70

80

90

t = 20,0 s t = 16,0 s 100

110 120 s/ m

Med forflytningen ∅s i et tidsintervall [t1, t2], tida fra t1 til t2, mener vi endringen av posisjonen i dette tidsintervallet: ∅s = s2 – s1

∅ = endring av størrelse

der s1 og s2 er posisjonene ved tidspunktene t1 og t2. Vi bruker den greske bokstaven ∅ (delta), sammen med symbolet s for posisjon som symbol for endring av posisjon. Når ∅-tegnet blir brukt sammen med en størrelse, er det et symbol for endring av størrelsen.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 15

1 Bevegelse I

15

I de to tidsintervallene [4,0 s, 12,0 s] og [20,0 s, 24,0 s] er forflytningene ∅s = 89,1 m – 24,3 m = 64,8 m ∅s = 90,0 m – 106,0 m = –16,0 m På figuren nedenfor har vi illustrert forflytningen i de to tidsintervallene ved hjelp av piler. Legg merke til at fortegnet til ∅s bestemmer retningen til forflytningen (i forhold til positiv s-akse).

Intervaller Med [4,0 s, 12,0 s] mener vi tidsintervallet fra og med 4,0 s til og med 12,0 s. Generelt skriver vi [t1, t2] om tidsintervallet fra og med tida t1 til og med tida t2.

∆s t = 24,0 s

t = 20,0 s

∆s t=0

O

t = 4,0 s

10

20

30

t = 8,0 s

40

50

60

t = 12,0 s

70

80

90

t = 16,0 s

100

110 120 s/ m

På figuren nedenfor er posisjonene ved tidene t = 4,0 s og t = 24,0 s tegnet som piler fra startstedet O. I dette tilfellet – der bevegelsen starter i O – illustrerer disse pilene også forflytningen i de to tidsintervallene [0, 4,0 s] og [0, 24,0 s]. s t = 24,0 s

t = 20,0 s

s t=0

O

t = 4,0 s

10

20

30

t = 8,0 s

40

50

60

t = 12,0 s

70

80

90

t = 16,0 s

100

110 120

s/m

Forflytningen i tidsintervallet [0, 24,0 s] er 90,0 m – 0 = 90,0 m. Men i disse 24 sekundene har løperen beveget seg 110,0 m framover og 110,0 m – 90,0 m = 20,0 m tilbake. Han har altså beveget seg strekningen 110,0 m + 20,0 m = 130,0 m i alt. Denne strekningen kaller vi banelengden.

Banelengde kan altså være forskjellig fra posisjon og forflytning.

Skalarer og vektorer Størrelser som masse, tetthet, volum og tid er fullstendig gitt når vi kjenner verdiene og enhetene. Slike størrelser kaller vi skalarer (latin scala = stige).

Men når vi skal gi fullstendig opplysning om en forflytning, er det ikke nok å si at den er 5 m. Vi må også ta med om forflytningen er opp eller ned, mot øst eller vest, framover eller bakover. Kort sagt: Vi må gi retningen. Slike størrelser som har med retning i rommet å gjøre, kaller vi vektorer (latin vector = reisende). Posisjon og forflytning er eksempler på vektorstørrelser.

Foruten verdi og enhet må vi også kjenne retningen før en vektorstørrelse er fullstendig gitt.

For å markere at en størrelse er en vektor, setter vi en pil over bokstavsymbolet. For en forflytning på 2,5 m nordøstover kan vi skrive ∅s = 2,5 m/s nordøstover →

Banelengde

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

16

26-06-12

07:45

Side 16

1 Bevegelse I

Vi tegner en forflytningsvektor ∅s (les «delta s-vektor») som en pil slik vi gjorde på figurene på forrige side. Lengden av pila viser hvor stor forflytningen er, mens pilretningen viser hvilken retning forflytningen har. →

List opp de fysikkstørrelsene du kjenner, og plasser dem under overskriftene skalar og vektor.

Posisjonsgraf Posisjonen s til løperen er en funksjon av tida t. Dette markerer vi ofte ved å skrive s(t). Grafen til funksjonen kaller vi en s–t-graf eller en posisjonsgraf.

Posisjonsgrafen til løperen på forrige side er tegnet på figuren nedenfor. Ett av punktene fra tabellen har vi markert spesielt. Til venstre for s-aksen har vi også tegnet den skjematiske framstillingen av bevegelsen fra side 14. Grafen er en framstilling av posisjonen som funksjon av tida.

s/m t = 20,0 s

t = 16,0 s

110 100

t = 24,0 s

t = 12,0 s

90 80 70

t = 8,0 s

60 50 40 30

t = 4,0 s

(4,0, 24,3)

20 10

t=0

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 t/ s

Vi må huske på at posisjonsgrafen ikke er et bilde av banen; det er det den skjematiske figuren til venstre for s-aksen som er.

Når posisjonen øker med tida (mot høyre), betyr det at løperen beveger seg i positiv retning. Når s ikke endrer seg, står løperen i ro, og når s avtar, beveger løperen seg i negativ retning.

O

Positiv retning

Negativ retning

s

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 17

1 Bevegelse I

EKSEMPEL

17

1.1

En vogn blir dyttet i gang oppover et skråplan. Vogna beveger seg fritt, først et stykke oppover skråplanet, så nedover skråplanet. En bevegelsessensor måler avstanden fra sensoren til vogna. (Målefrekvensen er 25 målinger per sekund, altså en måling for hvert 0,04 s.)

Vi har valgt positiv retning nedover skråplanet og origo ved sensoren.

Resultatene av målingene er vist i tabellen i margen og i posisjonsgrafen nedenfor. s/ m

0,70

0,60 Bevegelsessensor

0,50

O 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

®

s

0,7 t/ s

a) Gi en kort beskrivelse av bevegelsen til vogna. b) Bestem forflytningen til vogna i tidsintervallene [0, 0,20 s] og [0,40 s, 0,60 s]. c) Hva er den minste avstanden mellom vogna og sensoren? d) Hva er forflytningen til vogna i tidsintervallet [0, 0,68 s]? e) Hvor langt har vogna beveget seg fra den startet til t = 0,68 s?

Løsning: a) Vogna beveger seg oppover skråplanet så lenge avstanden s avtar, dvs. fra t = 0 til t = 0,26 s. Deretter beveger vogna seg nedover skråplanet.

Den er tilbake i startposisjonen etter 0,52 s. Resten av tida beveger vogna seg nedover skråplanet nedenfor startposisjonen. Se grafen. b) Forflytningen i tidsintervallet [0, 0,20 s] er ∅s = 0,494 m – 0,583 m = – 0,089 m I tidsintervallet [0,40 s, 0,60 s] er forflytningen ∅s = 0,648 m – 0,516 m = 0,132 m

Minustegnet i det første svaret forteller oss at vognas forflytning i dette tidsintervallet er i negativ s-retning, altså oppover skråplanet. I det andre tidsintervallet er vognas forflytning i positiv s-retning, altså nedover skråplanet.

s

Tid (s) 0,000 0,040 0,080 0,120 0,160 0,200 0,240 0,280 0,320 0,360 0,401 0,441 0,481 0,521 0,562 0,602 0,642 0,683

Posisjon (m) 0,583 0,556 0,535 0,518 0,503 0,494 0,490 0,490 0,494 0,503 0,516 0,535 0,557 0,583 0,613 0,648 0,686 0,729

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

18

26-06-12

07:45

Side 18

1 Bevegelse I

c)

s/ m

0,70

0,60 0,50 0,49

0,10

0,20 0,30 0,26

0,40

0,50

0,60

0,70 t/ s

Av grafen ser vi at den minste avstanden mellom vogna og sensoren er ca. 0,49 m for t = 0,26 s. d) Forflytningen i tidsintervallet [0, 0,68 s] er ∅s = 0,729 m – 0,583 m = 0,146 m

e) Oppover skråplanet (fra t = 0 til t = 0,26 s) beveger vogna seg strekningen 0,583 m – 0,490 m = 0,093 m. Nedover beveger vogna seg 0,729 m – 0,490 m = 0,239 m. I alt har vogna beveget seg strekningen (banelengden) l = 0,093 m + 0,239 m = 0,332 m

Fart I dagligtalen bruker vi ordet fart om hvor rask en bevegelse er. Hvis et legeme flytter seg 2 m på ett sekund, er farten 2 m/s, og hvis den samme forflytningen tar et halvt sekund, er farten dobbelt så stor, 4 m/s. Når vi snakker om fart, tenker vi altså på forflytning per tid. SI-enheten for fart er m/s.

s/ m 100 80 60 40 20 2

6 10 14 18 22 26 t/ s

Her ser du posisjonsgrafen til hundremeterløperen fra side 14.

Hva kan du si om farten til løperen i forskjellige deler av løpet?

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 19

19

1 Bevegelse I

Med gjennomsnittsfarten v– (strek over størrelsessymbolet betyr gjennomsnitt) til et legeme mener vi

Gjennomsnittsfart

∅s v– = ∅t

der ∅s er forflytningen til legemet i tidsintervallet ∅t.

For løperen vår er gjennomsnittsfarten i tidsintervallet [4,0 s, 12,0 s] 64,8 m ∅s 89,1 m – 24,3 m = = 8,1 m/s = v– = 12,0 s – 4,0 s 8,0 s ∅t I tidsintervallet [20,0 s, 24,0 s] er gjennomsnittsfarten – = ∅s = 90,0 m – 106,0 m = –16,0 m = – 4,0 m/s v 24,0 s – 20,0 s 4,0 s ∅t Vi legger merke til at farten har samme fortegn som forflytningen. Fortegnet viser retningen til vektoren fart – fartsvektoren – på samme måte som for posisjon.

s/ m 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

(12,0, 89,1)

(4,0, 24,3)

2

6

10

14

18

Momentanfart Hvordan kan vi finne farten på et bestemt tidspunkt? La oss se på en bil som kjører gjennom et tettsted og må bremse for en fotgjenger. Se figuren i margen. Når vi vil finne farten på et bestemt sted, f.eks. idet bilen passerer skiltet ved hushjørnet før fotgjengerovergangen, kan vi måle opp en distanse ∅s ved skiltet. Så måler vi den tida ∅t bilen bruker på å kjøre denne strek–: ningen ∅s. Men da har vi fremdeles bare funnet en gjennomsnittsfart v

∆s

∅s v– = ∅t

Derfor måler vi nå opp stadig kortere distanser ∅s og måler tida ∅t, som – et stadig bedre mål for farten – momenogså blir stadig kortere. Da blir v tanfarten – akkurat idet bilen passerer skiltet. For momentanfart (øyeblikksfarten) bruker vi symbolet v (uten strek over). Når ∅t → 0 (les «delta t går mot null»), må også ∅s → 0, og vi sier at momentanfarten er lik den verdien gjennomsnittsfarten nærmer seg når ∅t → 0.

Momentanfarten v på et bestemt tidspunkt er den grensen gjennomsnittsfarten nærmer seg når tidsintervallet går mot null. ∅ →v s

når

∅t → 0

Når ordbruken ikke kan skape misforståelser, sier vi bare fart og mener momentanfarten.

Definisjon av momentanfart

22

26 t/ s

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

20

26-06-12

07:45

Side 20

1 Bevegelse I

Du sitter i en bil som kjører med varierende fart på en rett vei, og du følger nøye med på hva speedometeret viser.

Kan du på den måten regne ut hvor stor gjennomsnittsfart bilen har?

På figuren nedenfor har vi illustrert definisjonene av gjennomsnittsfart og momentanfart grafisk. Rundt tidspunktet t har vi markert et tidsintervall [t1, t2]. Posisjonen er s1 ved tidspunktet t1, og ved tidspunktet t2 er posisjonen s2. Forflytningen i tidsrommet ∅t = t2 – t1 er ∅s = s2 – s1. Vi har trukket en rett linje – en sekant – til posisjonsgrafen gjennom punktene (t1, s1) og (t2, s2). Vi ser at gjennomsnittsfarten i tidsintervallet [t1, t2],v– = ∅s , er lik ∅t stigningstallet til sekanten. s s2

Ds Ds Dt

s1

Dt

t1

t

t2

t

Vi har gjentatt prosedyren for et nytt og mye mindre tidsintervall rundt tidspunktet t. Da ser vi at stigningstallet til den nye sekanten er mindre. Altså er også gjennomsnittsfarten i dette tidsintervallet mindre. Denne gjennomsnittsfarten er en bedre tilnærming til momentanfarten ved tidspunktet t.

I kapittel 13 Bevegelse II skal vi forklare hvordan en kan bestemme momentanfart ved tidspunktet t nøyaktig.

EKSEMPEL

1.2

s/m 3 2 1 –1 –2 –3

1

2

3

4

t/s

Figuren i margen viser posisjonsgrafen for en bevegelse. a) Hva er posisjonen ved tidspunktene t = 0, t = 1,0 s, t = 2,0 s, t = 3,0 s og t = 4,0 s? b) Bestem forflytningen i tidsintervallene [0, 1,0 s], [1,0 s, 2,0 s] og [3,0 s, 4,0 s]. c) Bestem gjennomsnittsfarten i de samme tidsintervallene som i b. d) Prøv å bestemme en verdi for momentanfarten ved tidspunktet t = 2,0 s.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 21

21

1 Bevegelse I

Løsning: a) Vi leser av posisjonene ved de angitte tidspunktene fra grafen som vist på figuren i margen.

s/m 3 2

Vi finner posisjonene: t = 0:

1

s = 2,0 m –1

t = 1,0 s:

s = 3,0 m

–2

t = 2,0 s:

s = 1,5 m

–3

t = 3,0 s:

s = –1,5 m

t = 4,0 s:

s = –2,5 m

1

2

3

4

t/s

b) Forflytningene i de angitte tidsintervallene er da: [0, 1,0 s]: [1,0 s, 2,0 s]: [3,0 s, 4,0 s]:

∅s = 3,0 m – 2,0 m = 1,0 m

∅s = 1,5 m – 3,0 m = –1,5 m

∅s = –2,5 m – (–1,5 m) = –1,0 m

∅s c) Gjennomsnittsfarten finner vi av definisjonen v– = : ∅t [0, 1,0 s]:

– = ∅s = 1,0 m = 1,0 m/s v ∅t 1,0 s – 0

[1,0 s, 2,0 s]:

–1,5 m – = ∅s = = –1,5 m/s v ∅t 2,0 s – 1,0 s

[3,0 s, 4,0 s]:

–1,0 m – = ∅s = = –1,0 m/s v ∅t 4,0 s – 3,0 s

d) Vi tegner nå en sekant til posisjonsgrafen i et lite intervall rundt t = 2,0 s.

Vi har brukt tidsintervallet [1,75 s, 2,25 s]. For å gjøre det lettere å finne stigningstallet til sekanten har vi forlenget den og brukt intervallet [1,0 s, 3,0 s] til å bestemme stigningstallet og dermed en tilnærmingsverdi for farten når t = 2,0 s. Vi finner ∅s v– = ∅t

s/m 4 3

–1,8 m – 4,6 m –6,4 m = = –3,2 m/s 3,0 s – 1,0 s 2,0 s

Ds = –1,8 m – 4,6 m = –6,4 m

2 1 –1 –2

=

Dt = 3,0 s – 1,0 s = 2,0 s

–3

1

2

3

4 t/s

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

22

26-06-12

07:45

Side 22

1 Bevegelse I

Måling av fart Når vi skal finne farten ved å måle forflytning og tid, kan vi ikke måle en grenseverdi; vi kan bare måle gjennomsnittsfart. For å få en så god tilnærming til momentanfarten som mulig gjelder det å kunne måle en liten tid og en liten forflytning nøyaktig. Det neste eksempelet beskriver en målemetode som blir mye brukt i laboratorieøvinger.

EKSEMPEL

1.3

Vi skal måle farten til en vogn elektronisk ved hjelp av en lysport.

Lysporten består av en lyskilde og en fotocelle som registrerer lys fra lyskilden. Fotocellen styrer en elektronisk klokke som kan måle hvor lang tid et legeme som passerer, hindrer lyset i å treffe fotocellen – blokkeringstida. På vogna er det festet et flagg med bredden d = 20 mm. Når flagget passerer lysporten, blokkeres lysstrålen. Passeringstida for flagget blir målt til t = 0,0246 s. a) Hvor stor fart hadde vogna da flagget passerte lysporten? b) Hva kan vi gjøre for å få en bedre verdi for momentanfarten? d Lysport

Løsning:

a) Vi finner gjennomsnittsfarten i det korte tidsintervallet ∅t og regner dette som farten (momentanfarten): v=

=

∅s ∅t d 0,020 m = = 0,81 m/s t 0,0246 s

b) For at gjennomsnittsfarten skal gi en bedre verdi for momentanfarten, må vi bruke et kortere flagg slik at tidsintervallet t blir mindre. Da bør kanskje klokka være mer nøyaktig også.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 23

23

1 Bevegelse I

Konstant fart Hvis gjennomsnittsfarten til en bevegelse er den samme i alle tidsintervaller uansett hvor stort intervallet er eller hvor i bevegelsen vi måler, sier vi at farten er konstant. Stigningstallet til alle sekanter til posisjonsgrafen er da det samme, og grafen må være en rett linje, se figuren til venstre nedenfor. Posisjonsgrafen til høyre viser en bevegelse der farten ikke er konstant, her har sekantene forskjellig stigningstall. s s0

Dt1 Ds1

v=

Dt2 Ds2

Ds1 Ds2 Ds3 = = Dt1 Dt2 Dt3

s s

Dt s0

Ds

Dt3 t Ds3 t

Fra matematikken vet du at stigningstallet til en rett linje er konstant, og at likningen for en rett linje er y = ax + b. Likningen for posisjonsgrafen til en bevegelse med konstant fart må da være s = at + b. Stigningstallet a må

∅s . b må være posisjonen når t = 0, som ∅t vi kaller s0. I fysikken er det vanlig å skrive konstantleddet først. Da blir likningen for posisjonsgrafen s = s0 + vt. Denne likningen kaller vi bevegelseslikningen for konstant fart. (Vi får den fra den matematiske definisjonen av fart. Derfor sier vi at det er en bevegelseslikning, ikke en naturlov.) være lik den konstante farten v =

Lineær funksjon Likningen for en lineær funksjon er y = ax + b. Grafen til funksjonen er en rett linje med stigningstall a og som skjærer andreaksen i (0, b).

y a=

b

Dy Dx

Dy Dx x

For bevegelse med konstant fart v er posisjonen s en lineær funksjon av tida t: s = s0 + vt Her er s0 posisjonen ved starttidspunktet t = 0, og v er farten.

Posisjonsgrafen for bevegelse med konstant fart er en rett linje der s0 er skjæringspunktet med andreaksen og v er stigningstallet. Posisjonsgrafen på figuren ovenfor til venstre er for en bevegelse med konstant fart. Farten er negativ siden stigningstallet er negativt. Det betyr at legemet beveger seg i motsatt retning av den valgte positive retningen.

Bevegelseslikningen ved konstant fart

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

24

26-06-12

07:45

Side 24

1 Bevegelse I

EKSEMPEL

1.4

Posisjonsgrafen for en bil som beveger seg langs en rett veistrekning, er vist på figuren nedenfor. s/m 160 120 80 40 1

2

3

4

5

6

7 t/s

a) Forklar at bilen har konstant fart, og bruk grafen til å bestemme farten. b) Skriv bevegelseslikningen for bilen.

Løsning: a) Siden posisjonsgrafen er en rett linje, har bilen konstant fart. s/m 160 120

Ds = 160 m – 40 m = 120 m

80 40

Dt = 6,0 s 1

2

3

4

5

6

7 t/s

Vi finner farten v som stigningstallet til grafen. v= =

∅s ∅t 120 m = 20 m/s 6,0 s

Vi ser at enheten for farten, m/s, kommer direkte ut av de enhetene som er brukt i grafen. b) Bevegelseslikningen for konstant fart er: s = s0 + vt Vi ser av grafen at bilens startposisjon s0 er 40 m. s = 40 m + 20 m/s · t

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 25

1 Bevegelse I

EKSEMPEL

En rev forfølger en hare. Reven løper med en konstant fart på 15 m/s, mens haren holder farten 10 m/s. Ved tida null har haren et forsprang på 30 m. a) Tegn posisjonsgrafene for bevegelsene til reven og haren i samme koordinatsystem. b) Bruk grafen i a til å bestemme når reven kommer til å ta igjen haren.

Hvor langt har reven løpt da? c) Finn svarene på spørsmål b ved å løse en likning.

Løsning: Hare

Rev

s02

v2 · t v1 · t

a) Vi måler posisjonen fra det stedet reven er ved tida t = 0. For reven er da s01 = 0. Farten til reven er v1 = 15 m/s. Bevegelseslikningen for reven blir da s1 = s01 + v1 t = 0 + 15 m/s · t Altså s1 = 15 m/s · t For haren er s02 = 30 m og v2 = 10 m/s. Bevegelseslikningen for haren blir da s2 = s02 + v2 t = 30 m + 10 m/s · t Altså s2 = 30 m + 10 m/s · t På figuren nedenfor har vi tegnet de to posisjonsgrafene. s/m 100 80 60 40 20

re

Ha

v

Re

1

2

3

4

5

6

7

8 t/s

1.5

25

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26

26-06-12

07:45

Side 26

1 Bevegelse I

b) Når reven tar igjen haren, har de samme posisjon. Reven tar altså igjen haren når grafene skjærer hverandre. Av figuren på forrige side ser vi at det skjer når t = 6,0 s. Av grafen ser vi også at reven da har løpt s = 90 m. c) Når reven tar igjen haren, har de som nevnt samme posisjon. Da er s1 = s2 Vi setter inn uttrykkene for s1 og s2 fra a og løser likningen: 15 m/s · t = 30 m + 10 m/s · t 15 m/s · t – 10 m/s · t = 30 m (15 m/s – 10 m/s) · t = 30 m t=

30 m = 6,0 s 15 m/s – 10 m/s

Reven tar igjen haren etter 6,0 s.

Reven har da løpt s 1 = v1 t = 15 m/s · 6,0 s = 90 m

Akselerasjon En bil som kjører gjennom et tettsted, holder farten 12 m/s. Idet bilen kommer ut av tettstedet, gir bilføreren gass, og farten øker til 25 m/s på 10 s.

12 m/s

25 m/s

Vi trenger et mål for hvor raskt farten endrer seg. Den størrelsen vi da bruker, er fartsendring per tid, det vi kaller akselerasjon (fra latin accelerare = skynde seg). Bilen på figuren har fartsendringen 25 m/s – 12 m/s = 13 m/s på tida 10 s. Akselerasjonen er da a=

13 m/s = 1,3 m/s2 10 s

Legg merke til at enheten for akselerasjon, m/s2, kommer av seg selv når vi regner ut fartsendringen per tid.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 27

1 Bevegelse I

Om to biler, A og B, får vi vite at A akselererer fra 0 til 100 km/h på 11 s, mens B akselererer fra 50 km/h til 100 km/h på 4,0 s.

Hvilken av bilene har størst akselerasjon?

Gjennomsnittsakselerasjon og momentanakselerasjon Vi skiller mellom gjennomsnittsfart og momentanfart, og på samme måte skiller vi mellom gjennomsnittsakselerasjon og momentanakselerasjon.

– i et visst tidsintervall mener vi fartsMed gjennomsnittsakselerasjonen a endring per tid: a– ∅v

=

der ∅v er fartsendringen i tidsintervallet ∅t.

Som vi så i beregningen ovenfor, er SI-enheten for akselerasjon m/s2. Den akselerasjonen vi fant, var gjennomsnittsakselerasjonen til bilen.

For å bestemme momentanakselerasjonen a – akselerasjonen på et bestemt tidspunkt eller på et bestemt sted – må vi i praksis måle gjennomsnittsakselerasjonen i et kort tidsintervall ∅t, der vi lar ∅t være så nær null som mulig.

Momentanakselerasjonen a på et bestemt tidspunkt er den grensen gjennomsnittsakselerasjonen nærmer seg når tidsintervallet går mot null: ∅ v

→a

når

∅t → 0

Måling av akselerasjon Vi kan måle gjennomsnittsakselerasjon på forskjellige måter. Hvis vi skal følge definisjonen, må vi måle farten til legemet på to steder og den tida legemet bruker mellom de to stedene. Farten kan vi for eksempel måle slik som forklart på side 22 med lysporter og datamaskin eller med elektronisk klokke. I det neste eksempelet har vi valgt å bruke to lysporter koplet til en datalogger som er koplet til en datamaskin.

Definisjon av momentanakselerasjon

27

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

28

26-06-12

07:45

Side 28

1 Bevegelse I

EKSEMPEL

1.6

En vogn med et d = 20 mm bredt flagg glir nedover en skråstilt luftputebane. Flagget passerer to lysporter. Den første passeringen tar t1 = 0,0191 s, den andre passeringen tar t2 = 0,0146 s. Vogna bruker t = 0,1724 s mellom lysportene.

Finn gjennomsnittsakselerasjonen til vogna.

Løsning: Farten ved de to lysportene er v1 og v2: v1 =

d 0,020 m = = 1,047 m/s t1 0,0191 s

v2 =

d 0,020 m = = 1,369 m/s t2 0,0146 s

v1 d

v2

Da blir gjennomsnittsakselerasjonen t1 = 0,0191 s

t2 = 0,0146 s

– = ∅v = v2 – v1 a t ∅t =

1,369 m/s – 1,047 m/s = 1,9 m/s2 0,1724 s

Kan et legeme i bevegelse ha null akselerasjon?

Kan et legeme ha en akselerasjon forskjellig fra null samtidig som farten er null?

Kan fart og akselerasjon ha motsatte fortegn?

v

Konstant akselerasjon Dv

v0

Dt

t

www

Simuleringer med posisjonsog fartsgrafer.

Hvis vi finner at gjennomsnittsakselerasjonen er konstant uansett hvilket tidsrom vi måler fartsendringen i, sier vi at akselerasjonen er konstant.

Grafisk betyr dette at stigningstallet til fartsgrafen eller v–t-grafen er det samme over alt. Da må fartsgrafen være en rett linje, og farten er en lineær funksjon av tida. Som i resonnementet med konstant fart på side 23 kan vi da skrive bevegelseslikningen for bevegelse med konstant akselerasjon slik: v = v0 + at I margen har vi tegnet en fartsgraf for en bevegelse med konstant akselerasjon. Fartsgrafen blir en rett linje som skjærer andreaksen i (0, v0) – der v0 er startfarten (t = 0). Stigningstallet til grafen er lik ∅ , altså lik akselerav sjonen a.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 29

1 Bevegelse I

EKSEMPEL

29

1.7

Etter et skihopp har hopperen farten 20 m/s nederst i en motbakke. Etter 8,0 s stanser skihopperen helt på toppen av bakken. a) Finn gjennomsnittsaksakselerasjonen til skiløperen når du velger positiv retning oppover bakken. b) Tegn fartsgrafen når du regner med at akselerasjonen var konstant. c) Gjør oppgavene a og b om igjen, men nå med positiv retning nedover bakken.

Løsning: a) Her er v0 = 20 m/s, og v = 0. Da blir gjennomsnittsakselerasjonen: – = ∅v = v – v0 a t ∅t =

0 – 20 m/s = –2,5 m/s2 0,8 s

Minustegnet forteller at akselerasjonsvektoren er rettet nedover bakken. b) Hvis akselerasjonen er konstant, blir fartsgrafen lineær. Den konstante akselerasjonen er lik a = –2,5 m/s2. Startfarten v0 = 20 m/s. Da blir bevegelseslikningen v = v0 + at: 2

v = 20 m/s – 2,5 m/s · t

v/(m/s) 25 20 15 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8t/s

Vi har tegnet grafen i margen. Farten er her hele tida positiv, slik at grafen ligger over t-aksen, mens stigningstallet er negativt. c) Nå er v0 = −20 m/s, og v = 0. Da blir gjennomsnittsakselerasjonen: – = ∅v = v – v0 a t ∅t =

0 – (–20 m/s) = 2,5 m/s2 0,8 s

Det positive fortegnet betyr at akselerasjonsvektoren er rettet nedover bakken, slik vi også fant ut i a. Nå er startfarten negativ, v0 = –20 m/s.

Bevegelseslikningen blir da 2

v = –20 m/s + 2,5 m/s · t

v/(m/s) –5 –10 –15 –20

Farten er her hele tida negativ, slik at fartsgrafen ligger under t-aksen, men stigningstallet er nå positivt.

–25

1 2 3 4 5 6 7 8 t/s

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

30

26-06-12

07:45

Side 30

1 Bevegelse I

Bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon For bevegelse med konstant akselerasjon a har vi funnet ut at farten v er en lineær funksjon av tida t v = v0 + at

(1)

der v0 er begynnelsesfarten.

I kapittel 13 Bevegelse II – når du har lært den nødvendige matematikken – skal vi vise at vi av bevegelseslikning (1) kan utlede denne bevegelseslikningen for posisjonen s: (2) s = v0t + 12 at2 Her forutsetter vi at vi velger origo i startposisjonen for bevegelsen slik at s0 = 0.

I en oppgave i kapittel 13 skal du så utlede to bevegelseslikninger til: s=

v0 + v ·t 2

v2 – v02 = 2as

(3) (4)

Vi bruker bevegelseslikning 3 når vi ikke kjenner akselerasjonen, og likning 4 når vi ikke kjenner tida.

Vi samler alle bevegelseslikningene:

Bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon

Ved rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon a er farten v og posisjonen s ved tida t gitt ved bevegelseslikningene v = v0 + at

(1)

s = v0t + 12 at2

(2)

v0 + v ·t 2

(3)

s=

v2 – v02 = 2as

(4)

der v0 er begynnelsesfarten.

Når akselerasjonen er null, a = 0, er farten konstant. Da blir likningene (1) og (4) redusert til v = v0, og likningene (2) og (3) blir redusert til s = vt, som er den velkjente bevegelseslikningen ved konstant fart.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 31

1 Bevegelse I

Når vi skal bruke bevegelseslikningene i oppgaver, bør vi gå fram slik: • Tegn figur og velg positiv retning. Finn ut hvilken størrelse det er spurt etter, og hvilke størrelser som er gitt.

• Før de oppgitte størrelsene inn på figuren eller i en liste ved siden av figuren.

• Velg den bevegelseslikningen som passer best til oppgaven.

• Løs likningen og vurder svaret.

Tips for oppgaveregning

Vi skal vise løsningsmetoden med noen eksempler.

EKSEMPEL

Berit sykler med farten 18 km/h idet hun nærmer seg et lysregulert kryss og må stanse for rødt lys. Vi regner at hun har konstant akselerasjon under oppbremsingen, og at hun bruker 4,0 s på å stanse. a) Bestem akselerasjonen. b) Hvor langt sykler Berit på disse 4,0 s? c) Hvor langt syklet Berit på halve bremsetida?

Løsning: a) Vi tegner hjelpefigur og velger positiv retning i fartsretningen. v2 = 18 km/h

v=0

0

t = 2,0 s

t = 4,0 s

s

s1 s2

Vi regner om begynnelsesfarten til SI-enheten m/s slik: 18,0 km/h = 18 ·

1000 m 103 m 18 m = 18 · = = 5,0 m/s 3600 s 60 · 60 s 3,6 s

Begynnelsesfarten er v0 = 18 km/h = 5,0 m/s, mens farten v = 0 etter t = 4,0 s. Den konstante akselerasjonen finner vi av bevegelseslikning (1): v = v0 + at a=

=

der v = 0

–v0 t –5,0 m/s = –1,250 m/s2 = –1,3 m/s2 4,0 s

Akselerasjonsvektoren er altså rettet mot venstre.

1.8

31

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

32

26-06-12

07:45

Side 32

1 Bevegelse I

b) Vi bruker bevegelseslikning (2) og får forflytningen s1 = v0 t + 12 at2 = 5,0 m/s · 4,0 s +

1 2

· (–1,250 m/s2) · (4,0 s)2 = 10 m

Berit syklet 10 m før hun stanset helt. c) Forflytningen på 2,0 s kan vi finne ved å bruke bevegelseslikning (2): s2 = v0 t + 12 at = 5,0 m/s · 2,0 s +

EKSEMPEL

1 2

· (–1,250 m/s2) · (2,0 s)2 = 7,5 m

1.9

Et legeme starter med farten null og beveger seg 48 m i løpet av 6,0 s med konstant akselerasjon. a) Finn akselerasjonen. b) Finn sluttfarten. c) Hvor lang tid tar det for legemet å komme halvveis? d) Hvor stor fart hadde legemet da?

Løsning: a) Vi tegner hjelpefigur og velger positiv retning i fartsretningen. v0 = 0

t=0

v=?

t=?

t = 6,0 s

s

s = 48 m

Her er v0 = 0, s = 48 m og t = 6,0 s gitt. Vi kan da finne akselerasjonen av bevegelseslikning (2). Når vi setter inn at v0 = 0, får vi s = v0 t + 12 at2 = 0 · t + 12 at2 Dermed får vi s = 12 at2 Vi løser med hensyn på a og får a= =

2s t2 2 · 48 m = 2,666 m/s2 = 2,7 m/s2 (6,0 s)2

b) Sluttfarten v finner vi av bevegelseslikning (1): v = v0 + at = 0 + 2,666 m/s2 · 6,0 s = 16 m/s

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 33

1 Bevegelse I

c) Halvveis er s = 24 m. Vi kan finne tida t av bevegelseslikningen s = 12 at2.

Tida må være positiv, og vi får t=

=

2s 冪莦 a 2 · 24 m = 4,243 s = 4,2 s 冪莦 2,666 m/s 2

d) Farten finner vi av bevegelseslikning (1): v = v0 + at = 0 + 2,666 m/s2 · 4,243 s = 11 m/s

I eksempelet med Berit legger vi merke til at Berit har syklet mer enn halvveis på halve tida. I det siste eksempelet legger vi merke til at farten når legemet er kommet halvveis, er større enn halve sluttfarten.

Kan du – uten å regne – forklare at det må være slik?

EKSEMPEL

Mens et tog forflytter seg 80 m, endrer det farten med konstant akselerasjon fra 12 m/s til 8,0 m/s. a) Hva er akselerasjonen? b) Hvor langt går toget heretter før det stopper helt, når akselerasjonen er den samme?

Løsning: a) Vi tegner hjelpefigur og velger positiv retning i fartsretningen.

12 m/s

8,0 m/s v=0

s = 80 m

s s=?

Her er s = 80 m, v0 = 12 m/s og v = 8,0 m/s. Vi kan da finne akselerasjonen a med likning (4): v2 – v02 = 2as a=

=

v2 – v02 2s (8,0 m/s)2 – (12 m/s)2 = – 0,5000 m/s2 = – 0,50 m/s2 2 · 80 m

1.10

33

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

34

26-06-12

07:45

Side 34

1 Bevegelse I

b) Så regner vi ut s når v0 = 8,0 m/s og v = 0, mens a er den samme. Vi bruker igjen likning (4) og får v2 – v02 = 2as s=

=

der v = 0

–v02 2a – (8,0 m/s)2 = 64 m 2 · (–0,50 m/s2)

Fritt fall

Ei fjær og et eple faller like fort i tomt rom.

Når vi slipper et legeme, faller det til bakken eller golvet. Men faller alle legemer like fort? Vanlig erfaring tilsier at svaret er nei. Prøv med en stein og ei fjær, så ser du at steinen faller mye raskere til golvet enn fjæra. Men hvis vi gjør dette forsøket i lufttomt rom (vakuum), faller steinen (eller et eple) og fjæra like fort, se seriefotografiet i margen.

Fall uten luftmotstand kaller vi fritt fall. Galileo Galilei påstod for fire hundre år siden at alle legemer som faller fritt på samme sted, faller med den samme konstante akselerasjonen. Galilei selv kunne ikke gi noe bevis for at påstanden er riktig, og det kan vi ikke i dag heller. Men det er gjort mange forsøk for å teste denne påstanden. Ingen av forsøksresultatene er i strid med påstanden; alle bekrefter den. Vi sier derfor at påstanden er en naturlov. Den har fått navnet Galileis fallov.

Akselerasjonen ved fritt fall varierer litt fra sted til sted på jorda, og den minker når vi kommer opp i høyden. Som standardverdi har Det internasjonale byrået for mål og vekt vedtatt verdien 9,80665 m/s2. For beregningene i denne boka skal vi nøye oss med tre siffer: 9,81 m/s2.

I luft møter et legeme luftmotstand, og akselerasjonen blir da noe mindre – avhengig av formen, farten og massetettheten til legemet. I denne boka skal vi nesten alltid regne at luftmotstanden er null. Det er en god tilnærming til virkeligheten for legemer med stor massetetthet så lenge farten ikke er for stor.

Hva skjer med akselerasjonen til en kule i fritt fall hvis massen blir doblet?

En blykule og en gummiball har samme størrelse og form. Vi slipper dem fra vinduet i 3. etasje.

Hvilket legeme får størst akselerasjon? Ta hensyn til luftmotstanden.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 35

1 Bevegelse I

Når vi kaster et legeme, er det i fritt fall etter at det har forlatt hånden. (Her har vi, som vi ofte gjør, sett bort fra luftmotstanden.) Hvis vi kaster legemet rett oppover eller rett nedover, foregår hele bevegelsen i vertikalretningen.

Legemet er i fritt fall, og da er akselerasjonen konstant. Altså kan vi bruke bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon med 9,81 m/s2 som verdi for akselerasjonen.

www

Simuleringer av fall med og uten luftmotstand.

EKSEMPEL

1.11

En stein som blir kastet loddrett oppover, kommer ned igjen etter 4,0 s. a) Hva er akselerasjonen på opptur og på nedtur? b) Finn begynnelsesfarten. c) Tegn posisjons-, farts- og akselerasjonsgrafer for bevegelsen.

Løsning: a) Hvis vi ser bort fra luftmotstanden, er akselerasjonen den samme på opptur og nedtur, nemlig lik tyngdeakselerasjonen.

Svar: Akselerasjonene er 9,81 m/s2 rettet nedover både på opptur og nedtur. b) Begynnelsesfarten v0 finner vi ved å løse bevegelseslikningen s = v0t + 12 at2 med hensyn på v0 idet vi vet at s = 0 for t = 4,0 s. Vi velger positiv retning oppover. Da er a = –9,81 m/s2, og vi får s = v0 t + 12 at2

v0 = – =

–(–9,81 m/s2) · 4,0 s = 19,62 m/s = 20 m/s 2

c) Uttrykkene for posisjonen s, farten v og akselerasjonen a som funksjoner av tida t blir s = v0 t + 12 at2 1 2

· (–9,81 m/s2) · t2

s = 19,62 m/s · t – 4,950 m/s2 · t2 v = v0 + at v = 19,62 m/s – 9,81 m/s2 · t a = –9,81 m/s2

a = –9,81 m/s2

0

at at2 =– 2 2t

= 19,62 m/s · t +

s

der s = 0

0 = v0 t + 12 at2

v0 = ?

35

t = 4,0 s

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

36

09-08-13

13:03

Side 36

1 Bevegelse I

Grafene blir da slik: s/m 20 16 12 8 4 1

2

3

4 t/s

s = 19,62 m/s · t – 4,950 m/s2 · t2

v /(m/s) 20 15 10 5

–5

1

2

3

4 t/s

–10 –15 –20

v = 19,62 m/s – 9,81 m/s2 · t

a/(m/s2) 2

–2

1

–4 –6 –8 –10

a = –9,81 m/s2

2

3

4 t/s

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 37

1 Bevegelse I

37

Sammendrag Størrelser og størrelseslikninger

Fysikken beskriver naturen ved hjelp av størrelser som kan måles. En størrelse blir som regel gitt som et produkt av verdi og enhet.

Vi arbeider med størrelseslikninger, og når vi setter inn for størrelsessymbolene, tar vi med både verdien og enheten for størrelsen.

Grunnenheter og sammensatte enheter

I det internasjonale enhetssystemet SI er det sju grunnenheter. Andre SIenheter er satt sammen av disse grunnenhetene.

Gjennomsnittsfart

Gjennomsnittsfarten v– er forflytningen ∅s dividert med tida ∅t. ∅s v– = ∅t

Momentanfart, fart

Momentanfarten, eller bare farten v, er farten på et bestemt tidspunkt.

Farten er den grensen gjennomsnittsfarten nærmer seg når vi måler den i et tidsrom som nærmer seg null. ∅ →v s

Konstant fart

når

∅t → 0

Hvis gjennomsnittsfarten har den samme verdien i alle tidsintervaller, er farten konstant. Da gjelder bevegelseslikningen s = s0 + vt

Posisjonsgraf

En posisjonsgraf eller en s-t-graf viser posisjonen s som funksjon av tida.

Stigningstallet til posisjonsgrafen er lik farten v.

Fartsgraf

En fartsgraf eller en v–t-graf viser farten v som funksjon av tida. Stigningstallet til fartsgrafen er lik akselerasjonen a.

Gjennomsnittsakselerasjon

– er fartsendringen ∅v dividert med tida ∅t.

Gjennomsnittsakselerasjonen a – = ∅v a ∅t

Akselerasjon

Momentanakselerasjonen, eller bare akselerasjonen a, er akselerasjonen på et bestemt tidspunkt. Akselerasjonen er den grensen gjennomsnittsakselerasjonen nærmer seg når vi måler den i et tidsrom som nærmer seg null. ∅ →a v

Vektorer. s, v og a med fortegn

når

∅t → 0

Størrelsene s, v og a er vektorstørrelser, dvs. størrelser som har både størrelse og retning. Når det er rettlinjet bevegelse, kan vi innføre en positiv retning. Da kan vi vise retningen til vektorstørrelsene ved hjelp av fortegn.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

38

26-06-12

07:45

Side 38

1 Bevegelse I

Bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon

For rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon gjelder disse bevegelseslikningene: v = v0 + at

(1)

s = v0t + 12 at2

(2)

v0 + v ¡t 2

(3)

s=

v2 – v02 = 2as

Galileis fallov

(4)

I et tomt rom faller alle legemer pĂĽ samme sted med den samme konstante akselerasjonen.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 39

39

OPPGAVER – 1 Bevegelse I

Oppgaver Enheter og konstanter

1.05

1.01

Under et hundremeterløp ble følgende sammenhørende verdier av tida t og posisjonen s målt:

Skriv ned alle enheter du kjenner for størrelsene a) lengde b) tid c) masse

1.02 a) Skriv disse størrelsene med dekadiske prefikser.

1) 3560 m 2) 1,49 · 1011 m −9 4) 0,000045 g 3) 2,0 · 10 s b) Skriv disse størrelsene med SI-enheter og på standardform.

1) 630 nm 2) 0,218 mm 3) 4670 tonn 4) 3,45 µs

t/s

0

1,88

2,96

3,88

s/m

0

10

20

30

a) Hva er forflytningen i tidsintervallene [1,88 s, 2,96 s] og [2,96 s, 3,88 s]? b) Tegn en posisjonsgraf for de første 30 m av løpet.

1.06 s/m 30 20 10

1.03

–10

a) Regn om farten 108 m/s til km/h. b) Gjennomsnittlig nedbørsmengde per år i Bergen er 2250 mm. Gressmatten på Brann stadion er 105 m lang og 68 m bred.

Hvor mye vann faller på Brann stadion i et normalår? Gi svaret i liter og i kubikkmeter.

–20

Posisjon og forflytning 1.04 En bilfører setter tripptelleren på null og starter en stoppeklokke idet hun begynner på en kjøretur. Hun noterer følgende sammenhørende verdier av tid og posisjon:

5 10 15 20 25 30 t/s

Figuren ovenfor viser posisjonsgrafen for bevegelsen til et legeme som beveger seg fram og tilbake langs en rett strekning. a) Hva er posisjonen ved tidspunktene t = 0, t = 10 s, t = 20 s og t = 30 s? b) Bestem forflytningen i tidsintervallene [0, 10 s], [10 s, 20 s] og [20 s, 30 s]. c) Tegn en figur der du illustrerer posisjonene og forflytningene i a og b som vektorpiler.

Fart 1.07

t / min

0

6,0

30

45

60

75

90

s / km

0

3,0

32,5

60,8

75

100

120

Lag en posisjonsgraf med origo i startpunktet for bevegelsen og beskriv bevegelsen til bilen.

a) En syklist sykler 25 m på 4,0 s.

Hva er gjennomsnittsfarten? b) En syklist sykler 35 km med gjennomsnittsfarten 7,0 m/s.

Hvor lang tid tar det?

1.08 Forklar forskjellen på en konstant fart på 50 km/h og en gjennomsnittsfart på 50 km/h.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

40

26-06-12

07:45

Side 40

OPPGAVER – 1 Bevegelse I

1.09

1.13

Figuren nedenfor viser posisjonsgrafen for et legeme i bevegelse.

Figuren viser en posisjonsgraf for en hare som løper i et 6,0 m langt rør. Avstandsmåleren står 1,0 m fra åpningen av røret. Grafen viser avstanden fra måleren i 20 s fra haren løper inn i røret.

s/ m 16 14

s/m 7

C

12

6

10

5

8 B

6

4 3

A

4

2

2

1 5

10

15

20

25 t/ s 5

a) Hva er farten i A, i B og i C? b) Hvor er farten konstant?

1.10 Figuren viser tre posisjonsgrafer. s/m 4

A

B

3 2 1

10

15

20 t/s

a) Beskriv bevegelsen til haren. b) Bestem forflytningen til haren i tidsintervallene [0, 10 s], [12 s, 14 s], [11 s, 20 s] og [16 s, 20 s]. c) Bestem gjennomsnittsfarten til haren i de samme tidsintervallene. d) I hvilke tidsintervaller er farten til haren konstant? e) Hva er farten i disse tidsintervallene? f) Prøv å finne farten ved t = 12,5 s så nøyaktig som mulig.

C

1.14 –1

1

2

3

4

5

6 t/s

a) Hvilke av grafene viser bevegelse med konstant fart? b) Skriv bevegelseslikningen for bevegelsene i a som har konstant fart, ved hjelp av opplysninger du leser av på grafene.

1.11 Tegn posisjonsgrafer for to bevegelser som begge har gjennomsnittsfarten 4,0 m/s i tidsintervallet [2,0 s, 5,0 s]. Den ene bevegelsen har konstant fart, og den andre har ikke konstant fart.

Et legeme beveger seg langs en rettlinjet bane. Ved målinger skal vi finne den farten legemet har når det passerer et bestemt punkt A på banen.

Hva skal vi måle? Og hvordan finner vi farten ved A av dette?

1.15 Flyet på figuren sender ut en radarpuls som beveger seg med lysfarten. Pulsen blir reflektert fra tordenskyen og når tilbake til flyet 80,01 ∝s seinere.

1.12 Bruk opplysninger fra fysikktabellen til å finne ut hvor lang tid lys bruker på å komme fra månen til jorda.

a) Hvor langt fra flyet er tordenskyen?

Nøyaktig to sekunder seinere sender flyet ut en radarpuls til mot tordenskyen. Denne pulsen når tilbake etter 76,67 ∝s. b) Finn farten som flyet nærmer seg tordenskyen med.

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 41

OPPGAVER – 1 Bevegelse I

Akselerasjon

41

b) I hvilke tidsintervaller er akselerasjonen til toget konstant? c) Hva er akselerasjonen i disse tidsintervallene?

1.16 En bil som kjører på en rett veistrekning, øker farten fra 10 m/s til 20 m/s på 5,0 s.

Hva er gjennomsnittsakselerasjonen til bilen?

1.17 a) Hvordan definerer vi gjennomsnittsakselerasjon og momentanakselerasjon?

Hva mener vi med konstant akselerasjon? b) Gjør rede for forsøk som vi kan gjøre for å bestemme akselerasjonen til en vogn på et skråplan, eller for et lodd som faller fritt. c) Hva vil du måle i b, og hva vil du beregne?

1.20 På figuren finner du fartsgrafen til en testbil som beveger seg på en rett strekning. Først kjører testbilen bakover med farten 20 m/s. Den bremser ned og stanser.

Så kjører den i positiv retning. v /(m/s) 50 40 30 20 10 0

1.18

10

20

30

40

50 t/s

–10

En liten vogn skal rulle ned et skråplan. På vogna står et flagg som er 10,0 mm bredt.

Ved A og B er det fotoceller som blir belyst.

Når vogna ruller nedover, vil flagget skjerme for lyset et øyeblikk. Blokkeringstida blir målt elektronisk.

10, 0m m A

–20 –30

a) Hvor er akselerasjonen til bilen lik null? b) Hva var gjennomsnittsakselerasjonen i tidsintervallene [0, 5,0 s], [5,0 s, 15 s] og [35 s, 40 s]? c) Forklar hvorfor akselerasjonen er positiv i intervallet [5,0 s, 15 s] selv om bilen bremser.

B

1.21

Når flagget passerer A, blir lyset blokkert i 3,8 ms, og når den passerer B, blir lyset blokkert i 2,6 ms. Tida som blir brukt mellom A og B, er 0,34 s.

Finn akselerasjonen til vogna.

1.19 Figuren viser fartsgrafen til et forstadstog.

Vi triller i gang en vogn oppover et skråplan med farten 4,0 m/s. Vogna triller 2,0 s oppover skråplanet før den snur og triller ned igjen. Vi antar at vogna har den samme konstante akselerasjonen både på opptur og på nedtur. Velg positivt fortegn oppover skråplanet. a) Hva er farten idet vogna snur? b) Finn akselerasjonen til vogna. c) Finn farten til vogna 3,0 s etter start.

Tegn fartsgrafen for bevegelsen. d) Gjenta spørsmålene a, b og c, men nå med positiv retning nedover skråplanet.

v/(m/s) 30

20

Bevegelseslikningene med konstant akselerasjon

10

1.22

20

40

60

80

a) Beskriv bevegelsen til toget.

100

120

140 t/ s

Skriv opp de fire bevegelseslikningene for en bevegelse med konstant akselerasjon.

Hva er akselerasjonen til et legeme som har konstant fart?

Hvordan blir de fire bevegelseslikningene når farten er konstant?

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

42

26-06-12

07:45

Side 42

OPPGAVER – 1 Bevegelse I

1.23

1.28

Figuren viser tre fartsgrafer.

En stuper hopper fra et stupebrett som er 10 m over vannflaten.

Hva er farten til stuperen når han treffer vannet? Se bort fra luftmotstanden.

v/m 4

A

3

B

2 1

C 1

2

3

4

5

6 t/s

–1

a) Hvilke av grafene viser bevegelse med konstant akselerasjon? b) Skriv bevegelseslikning (2) for bevegelsene i a som har konstant akselerasjon, ved hjelp av opplysninger du leser av på grafene.

1.24 En mannlig sprinter i verdensklasse kan holde en tilnærmet konstant akselerasjon på 4,00 m/s2 i 2,50 s fra han forlater startblokka. a) Hva er farten til denne løperen etter 2,50 s? b) Hvor langt har han da løpt? c) Hva blir tida på hundremeteren hvis løperen holder farten i a helt til mål? d) Hva vil du anslå at toppfarten må være på et rekordløp?

1.25 Et småfly som kan holde en konstant akselerasjon på 3,0 m/s2, må ha en fart på 30 m/s for å kunne lette.

Hvor lang må startstripa minst være?

1.26 Startfarten for en kule på et skråplan er 3,0 m/s oppover. Kula når sitt høyeste punkt etter 1,2 s. a) Finn akselerasjonen. b) Hvor langt kommer kula på denne tida? c) Hvor langt har kula trillet etter 0,40 s og etter 2,4 s?

1.27 En stein blir sluppet utfor en klippe. Den treffer bakken nedenfor klippen etter 3,8 s.

Hvor høy er klippen?

1.29 En håndball blir kastet loddrett oppover med startfarten 12 m/s. Ballen forlater hånden 1,50 m over bakken. a) Hvor høyt kommer ballen? b) Hvor stor fart har ballen når den er 5,0 m over bakken?

_01_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

07:45

Side 43

OPPGAVER – 1 Bevegelse I

På egen hånd 1.30 Anslå – ved å gjøre målinger eller ut fra erfaring – farten til noen bevegelser, f.eks. disse (gi svarene både i m/s og km/h): – en syklist på landeveien – en jogger – en klinkekule som ruller over et bord – en bil som passerer en barnehage – en skilpadde som går over veien

1.31 I dette forsøket skal du teste hvor gode reflekser du har. La en venn holde en lang linjal slik at den henger mellom tommelen og pekefingeren din. Nullpunktet på linjalen skal være nederst og mellom fingrene dine.

Når vennen slipper linjalen, skal du stoppe den så raskt som mulig.

Hvor langt falt linjalen?

Finn din egen reaksjonstid.

Hvis dere gjør oppgaven i fysikktimen, kan dere arrangere klassemesterskap (og fysikkavdelingen bør sette opp en pose Bamsemums i premie).

43

1.32 Til dette forsøket trenger du to kronestykker, en tier, noen papirark (f.eks. mellomleggspapir) og en bok.

Du skal gjøre noen forsøk der du lar to legemer falle til golvet samtidig. Legemene som faller, kan være 1) to kroner 2) en krone og en tier 3) en krone og et papirark 4) en krone og et papirark som er krøllet til en løs ball 5) en krone og et papirark som er krøllet til en fast ball 6) et papirark og en bok 7) en krone og en bok med et papirark løst på oversiden 8) en krone og en bok med et papirark løst på undersiden Beskriv hva som skjer i hvert forsøk.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 44

En dag drømte jeg, Chuang Tse, at jeg var en sommerfugl, en flagrende sommerfugl som muntert fulgte sitt instinkt.

Jeg visste ikke at jeg var Chuang Tse. Plutselig våknet jeg, og med et sjokk var jeg Chuang Tse. Nå vet jeg ikke om jeg er Chuang Tse som drømte at jeg var en sommerfugl, eller om jeg er en sommerfugl som drømmer at jeg er Chuang Tse. Mellom Chuang Tse og en sommerfugl er det selvsagt en forskjell.

Men dette er det man kaller tingenes forvandling.

Chuang Tse, år 840 e.Kr.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 45

2 Kraft og bevegelse I

2 Kraft og bevegelse I «May the Force be with you!» er kanskje verdens mest berømte sitat fra sciencefictionlitteraturen. «Kraft» er et mektig begrep både på engelsk og norsk. Ordet har svært mange betydninger, men ofte bruker vi «kraft» uten å være særlig presise med hva vi mener.

I fysikk er kraft et svært viktig begrep. Begrepet og størrelsen kraft må derfor beskrives helt presist i vårt fag. Det er noe av det vi skal gjøre i dette kapittelet.

I forrige kapittel studerte vi hvordan vi kan beskrive og måle bevegelse, uten å tenke på kreftene bak bevegelsen. I dette kapittelet er det nettopp kreftenes sammenheng med bevegelse vi skal ta for oss. Denne delen av fysikken kaller vi ofte mekanikk.

Mekanikk er altså fagområdet som kan forklare sommerfuglens flukt.

I mekanikken lærer du om noen av de mest berømte naturlovene som mennesket har oppdaget. Nesten alle har hørt om Newtons lover – men det er ikke så mange som vet nøyaktig hva de går ut på, eller som forstår dem til bunns. Etter at du har lest dette kapittelet, er du kanskje en av dem som virkelig forstår hva Newtons lover forteller oss.

Men vær tålmodig! Det tar tid å forstå disse lovene – ikke fordi de er kompliserte, men fordi du skal lære deg å tenke på en ny måte. Du kommer til å oppdage at du av og til må slåss med dine egne forestillinger, siden newtonlovene tilsynelatende kan stride mot dine intuitive hverdagserfaringer. Det vi lover deg, er at belønningen er stor. Den intellektuelle gleden ved å forstå kraftbegrepet og Newtons lover er neppe mindre for deg enn den var for Isaac for 300 år siden.

I tillegg til å være tålmodig må du arbeide nøyaktig når du skal lære deg mekanikk og diskutere alle detaljer du ikke forstår, med medstudentene dine og med foreleseren. Vi på vår side skal prøve å gjøre framstillingen så ryddig vi kan. La oss begynne.

45

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

46

26-06-12

08:03

Side 46

2 Kraft og bevegelse I

Krefter En kraft er en vekselvirkning mellom to legemer. Med det mener vi at to legemer kan påvirke hverandre slik at de endrer fart eller endrer form.

Dessuten er det slik at et legeme som blir påvirket av en kraft fra et annet legeme, virker tilbake på dette legemet med en annen kraft.

Dersom du er så uheldig å kjøre inn i rektors parkerte bil med den gamle sykkelen din, har vi med to legemer å gjøre, bilen og sykkelen. Det virker en kraft fra bilen på sykkelen som fører til at sykkelen endrer fart (bråstanser) og forhjulet endrer form (bøyes). Samtidig virker det en kraft på rektors bil slik at den vugger litt på seg (endrer fart), og det blir en pen bulk i skjermen (endrer form).

Merk deg at siden det ikke var deg, men sykkelen kraften fra bilen virket på, vil du selv fortsette over sykkelstyret helt til du treffer rektors bil.

Da først får vi en vekselvirkning mellom de to legemene bil og student, som på tilsvarende måte vil føre til endret fart og/eller endret form for begge legemene.

Vi oppsummerer: 1. En kraft virker alltid fra ett legeme på et annet, altså er alltid to legemer involvert.

2. Et legeme som blir påvirket av en kraft fra et annet legeme, virker tilbake på dette legemet med en kraft.

3. En kraft kan endre farten og/eller endre formen til et legeme.

Finn eksempler på krefter som – endrer farten til et legeme – endrer formen til et legeme Diskuter i hvert tilfelle hvilke to legemer kreftene virker mellom.

Størrelsen kraft og tegning av krefter Når vi skal beskrive krefter som størrelser, bruker vi symbolet F (av force), men ofte også andre symboler som K, G, N, U, R når det gjelder størrelsen på noen spesielle krefter. For eksempel bruker vi G som symbol for tyngdekraft, mens R ofte brukes som symbol for friksjonskrefter.

Enheten for kraft er newton. Symbolet for newton er N. Et eksempel: Den kraften som skal til for å løfte en stabel med 10 kg fysikkbøker, kan vi skrive slik: F = 100 N Krefter har både verdi og retning; de er vektorer. Derfor tegner vi en kraft som en pil som viser kraftretningen. Lengden av pila viser hvor stor kraften er. Dessuten må vi passe på at kraftpila begynner i et punkt på det legemet som kraften virker på. Dette punktet kaller vi angrepspunktet til kraften.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 47

2 Kraft og bevegelse I

I eksemplene nedenfor ser du hvordan vi tegner krefter når vi løser fysikkoppgaver. Vi forenkler alle legemer til klosser for at figuren skal bli oversiktlig.

EKSEMPEL

2.1

a) Tegn kreftene på ei jente som står på brystet til storebror. b) Tegn kreftene på en jernskrue som farer opp mot en magnet. c) Tegn kreftene som virker på en kjelke som blir trukket på en horisontal vei.

Løsning: a) Til høyre har vi lagd en skjematisk figur (med jenta og broren tegnet som klosser) som viser kreftene på jenta. Vi begynner med tyngdekraften fra jorda på jenta, G. Den tegner vi med angrepspunkt omtrent midt i jenta, i tyngdepunktet. Vi står fritt i valg av symbol for krefter, men det er vanlig å bruke G (for gravitasjon) som symbol for tyngdekraft. Men jenta faller ikke ned. Det må altså være en kraft fra broren som holder jenta oppe. Kraften fra broren må være rettet oppover. Vi har kalt den U (kraften fra underlaget). Angrepspunktet er akkurat i berøringsflaten mellom broren og jenta. På tegningen flytter vi angrepspunktet ørlitt opp, slik at det er tydelig at det er jenta kraften virker på. Samtidig tegner vi ofte kraftpila litt forskjøvet ut til siden så den ikke ligger oppå andre kraftpiler på figuren. b) Tyngdekraften G fra jorda virker på skruen. I tillegg virker det en kraft F på skruen fra magneten som er stor nok til at skruen løftes og farer mot magneten. c) Den skjematiske figuren til høyre viser kreftene som virker på kjelken.

Foruten tyngdekraften G virker det en kraft U fra underlaget. Dessuten virker dragkraften S fra snora. Denne kraften kaller vi snordraget.

U

G

F

G S U

G

Sammensatte krefter I eksempel c ovenfor er det altså tre krefter som virker på kjelken: snordraget S, tyngdekraften G og kraften U fra underlaget. Vi tenker oss ofte at kraften U fra underlaget er sammensatt av to krefter: en normalkraft N som virker vinkelrett (normalt) på underlaget, og en friksjonskraft R med motsatt retning av den bevegelsen kjelken har. U er altså en sammensatt kraft av kreftene N og R. Med matematisk språkbruk sier vi at N og R er komponenter av kraften U.

U N R

47

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

08:03

Side 48

2 Kraft og bevegelse I

Sum av krefter, ⌺F Krefter er vektorstørrelser. Det vil si at en kraft alltid har en retning i tillegg til verdi og enhet. I eksempelet ovenfor har kraften N retning oppover, og kraften R har retning mot venstre. For å markere at krefter er vektorstør→ → relser, skriver vi ofte vektortegn over størrelsen: N og R. Når vi skal summere krefter, må vi altså ta hensyn til retningen. Når kreftene ikke ligger langs den samme linja, som i dette tilfellet, bruker vi regler fra vektorregningen i matematikk for å finne summen. Det lærer du mer om i kapittel 14.

Når krefter ligger på samme linje, derimot, kan vi bruke vanlige regneregler.

Vi velger positiv retning og gir hvert kraftsymbol et fortegn, enten + eller –, alt etter som kraften peker med eller mot den valgte positive retningen.

Når vi skal finne summen av de kreftene som virker på et legeme, bruker vi ofte summeringssymbolet Σ (den greske bokstaven sigma) fra matematikken. Symbolet betyr «summen av», slik at ΣF betyr summen av kreftene.

EKSEMPEL

2.2

Se eksempelet på forrige side. a) Tyngdekraften på jenta er G = 200 N, og kraften fra storebror på jenta er U = 200 N. Finn summen av kreftene på jenta. b) Tyngdekraften på skruen er G = 0,12 N, og kraften fra magneten er F = 0,40 N. Finn summen av kreftene på skruen.

Løsning: U

+

48

26-06-12

a) Vi velger positiv retning oppover. Det markerer vi på figuren med en dobbeltpil. G peker da i negativ retning, mens U peker i positiv retning: ΣF = –G + U

G

= –200 N + 200 N = 0 F

+ G

Summen av kreftene på jenta er null. b) Vi kan like gjerne velge positiv retning nedover om vi vil, svaret blir riktig uansett. Da blir G positiv og F negativ: ΣF = G – F = 0,12 N – 0,40 N = –0,28 N Summen av kreftene på skruen er 0,28 N oppover.

(Minus i svaret betyr at retningen er motsatt av den vi valgte som positiv.)

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 49

2 Kraft og bevegelse I

49

Kontaktkrefter og fjernkrefter Når vi skal finne kreftene som virker på et legeme, kan det være nyttig å dele dem inn i to kategorier: fjernkrefter og kontaktkrefter. Fjernkrefter er krefter som virker på avstand, dvs. uten at det er noen synlig forbindelse mellom legemene. Tyngdekraften er en slik kraft. Andre fjernkrefter er elektriske krefter og magnetiske krefter.

Alle andre krefter opptrer der to legemer kommer i berøring med hverandre, og bare der. De blir kalt kontaktkrefter.

Måling av krefter I fysikk må vi kunne måle krefter. Når vi skal måle krefter, må vi utnytte en av de egenskapene som krefter har: evnen til å endre farten eller evnen til å endre formen til et legeme. I skolen bruker vi ofte fjærvekter som kraftmålere. Det er evnen til å endre formen (på fjæra) vi utnytter i fjærvekta.

Med fjærvekter kan vi måle krefter og sammenlikne krefter. Når vi skal sette skala på kraftmålerne, må vi bruke en kraftstandard for å lage en enhet vi kan måle i. Som en foreløpig kraftstandard skal vi her bruke en strikk. Hvis vi drar i en strikk, blir den lengre. Jo hardere vi drar, desto lengre blir strikken. Strekker vi strikken en bestemt lengde (f.eks. 4,3 cm), svarer det altså til en bestemt dragkraft. Derfor skal vi nå bruke en strikk med denne lengden som en foreløpig kraftstandard. Vi antar at to like strikker strukket samme lengde (4,3 cm) trekker med dobbelt så stor kraft som én strikk med denne samme lengden, osv.

4,3 cm 0

1

1

2

2

3

4,3 cm 0

3

4,3 cm 0

1

2

3

Som enhet for kraft kunne vi godt velge denne foreløpige kraftstandarden som viser hvordan kraft kan måles. Men i praksis definerer vi enheten for kraft ut fra den evnen krefter har til å endre bevegelse. Det kommer vi tilbake til på side 60.

Som kraftmålere på fysikklaboratoriet bruker vi kraftsensorer som er tilkoplet dataloggere, og fjærvekter.

Vi setter en skala på fjærvekta ved hjelp av like strikker som vi bruker som en foreløpig kraftstandard. Når alle strikkene er strukket like lange, er kreftene på fjæra én enhet, to enheter og tre enheter.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

50

26-06-12

08:03

Side 50

2 Kraft og bevegelse I

Vekselvirkning mellom to legemer: Newtons 3. lov «You cannot touch without being touched.»

Slik har den amerikanske fysikeren Paul Hewitt illustrert Newtons 3. lov. Vi skal nå gå gjennom de berømte newtonlovene, og vi begynner med denne loven som er den enkleste å formulere, men kanskje den som det tar lengst tid å forstå. Det kan virke rart å ta Newtons 3. lov først og ikke begynne med Newtons 1. og 2. lov. Men som du skal se, er Newtons 3. lov viktig for å forstå selve kraftbegrepet bedre før vi går løs på de to andre lovene.

Innholdet i Newtons 3. lov hadde ingen hørt om eller tenkt på før den kom i Newtons store verk Principia. Der påstod Newton at en kraft bare kan virke på et legeme fordi et annet legeme virker på det med en kraft. Krefter har alltid med to legemer å gjøre. Kraft er en vekselvirkning mellom to legemer. Det er det Newtons 3. lov handler om. Det Newton forstod, var at for ethvert kraftpar mellom to legemer måtte kraften og motkraften alltid ha samme verdi, men motsatt retning.

La oss ta for oss et par eksempler som kaster lys over loven. Fotografiet til venstre viser en hammer som slår en spiker inn i veggen. Da virker det en kraft F på spikeren fra hammeren. Denne kraften skyver spikeren inn i veggen. Og da, sier Newton, virker det samtidig en like stor kraft F⬘ den andre veien på hammeren fra spikeren. Denne kraften stopper hammeren.

Dette er et eksempel på et kraft-motkraft-par. Det er ingen kvalitetsforskjell på kreftene. Den ene kalles kraft (samme hvilken) og den andre motkraft, og de virker på hvert sitt legeme.

Figurene nedenfor viser to andre eksempler: Figuren til venstre viser kraften F på en ball fra en fot. Motkraften F⬘ virker på foten fra ballen.

Figuren til høyre viser tyngdekraften på en stein fra jorda. Motkraften virker på jorda fra steinen.

G

G’ F

F’

Absolutt alle krefter har motkrefter, slik som elektriske krefter, magnetiske krefter, tyngdekrefter, friksjonskrefter, snordrag og rakettskyv. Alle krefter opptrer altså i par. Vi kan formulere Newtons 3. lov – loven om kraft og motkraft – slik:

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 51

51

2 Kraft og bevegelse I

Når et legeme A virker på et legeme B med en kraft F, vil alltid B virke tilbake på A med en like stor motsatt rettet kraft, F⬘.

Newtons 3. lov

F⬘ = F

Kraft og motkraft virker alltid på hvert sitt av de to legemene. Merk deg også at Newtons 3. lov gjelder enten legemene er i ro eller i bevegelse, enten de har stor eller liten akselerasjon.

EKSEMPEL

2.3

Se igjen på eksempelet på side 48. a) Tyngdekraften på jenta er G = 200 N, og kraften fra storebror på jenta er U = 200 N. Finn motkreftene til kreftene på jenta. b) Tyngdekraften på skruen er G = 0,12 N, og kraften fra magneten er F = 0,40 N. Finn motkreftene til kreftene på skruen.

Løsning: Vi vet at kraft og motkraft alltid virker mellom de samme to legemene, men på hvert sitt. Vi vet også at kraft og motkraft-par er like store og har motsatt retning. Da ser vi: a) G er kraften på jenta fra jorda. Da må motkraften være kraften på jorda fra jenta: G⬘ = 200 N. Kraftretningen er oppover.

U er kraften på jenta fra storebror. Da må motkraften være kraften på storebror fra jenta: U⬘ = 200 N. Kraftretningen er nedover. b) G er kraften på skruen fra jorda. Da må motkraften være kraften på jorda fra skruen: G⬘ = 0,12 N. Kraftretningen er oppover.

F er kraften på skruen fra magneten. Da må motkraften være kraften på magneten fra skruen: F⬘ = 0,40 N. Kraftretningen er nedover.

Når vi skal tegne motkraften til en tyngdekraft på en figur, er det egentlig jordas sentrum som er angrepspunktet. Det er det jo ikke helt lett å få tegnet, så vi tegner vanligvis denne motkraften et stykke nede i bakken.

Når du skal løse kraftoppgaver, hører figur alltid med til besvarelsen.

Husk at når du skal finne en kraft, er det alltid en del av svaret å oppgi retningen i tillegg til verdien og enheten.

Blir magneten i eksempelet ovenfor tyngre å holde når den er i ferd med å løfte en skrue (enn den er når den ikke løfter noe)?

U

G U’ G’

F

F’

G G’

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

52

26-06-12

08:03

Side 52

2 Kraft og bevegelse I

EKSEMPEL

2.4

En rakett forbrenner drivstoff slik at forbrenningsgassene drives ut gjennom dysen i rakettmotoren med stor fart.

Forklar at raketten kan akselerere i tomt rom uten at det er noe å skyve fra mot.

Løsning: Rakettmotoren skyver forbrenningsgassene bakover med stor fart. Etter Newtons 3. lov skyver da forbrenningsgassene tilbake på rakettmotoren med en like stor kraft forover. Det er denne motkraften fra forbrenningsgassene som gir raketten akselerasjon framover.

Om det er luft eller noe annet (eller ingenting) å skyve mot, har altså ingen betydning. Det er derfor rakettmotorer også kan brukes ute i verdensrommet.

Forklar hvordan en kano skyves framover når vi padler.

Hva er det som skyver sykkelen (eller mopeden eller bilen) din framover når du sykler (kjører)?

Tyngdekrefter

Det sies at da Newton fikk et eple i hodet, forstod han at kraften som får eplet til å falle, er den samme kraften som holder månen i dens bane.

Tyngdekraften, eller tyngden, som vi ofte sier, er en velkjent kraft for oss alle.

Lenge før vi kan snakke, har vi observert at ting faller uten vår medvirkning. I dag vet vi at det er jorda som trekker alle legemer som har masse, til seg. Denne tiltrekningskraften kan vi ikke beskytte oss mot. Den finner oss i stummende mørke og virker gjennom hundrevis av etasjer med golv og tak. Denne universelle tiltrekningskraften mellom alle legemer som har masse, kalles gravitasjonskraft. Når vi snakker om gravitasjonskraften fra store legemer, f.eks. jorda, månen og andre himmellegemer, kaller vi denne kraften også ofte for tyngdekraft.

Det var Newton som satte fram det som den gangen var en dristig påstand: at samme type kraft, gravitasjonskraften, virker mellom alle legemer, både mellom jord og måne og mellom for eksempel to steiner. Denne generelle gravitasjonsloven skal vi ikke ta for oss her. Vi sier bare at det i området rundt jorda er et gravitasjonsfelt, et tyngdefelt. Med det mener vi at legemer som er i dette området, blir påvirket av tyngdekraften fra jorda.

Når vi måler tyngdekraften på legemer med ulik masse, finner vi at jo større massen er, desto større er tyngdekraften. Regner vi ut forholdet mellom tyngdekraften, G, og massen, m, finner vi at dette forholdet er konstant: G = konstant = g m

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 53

2 Kraft og bevegelse I

Tyngdekraften på et legeme er altså proporsjonal med massen.

Proporsjonalitetskonstanten har symbolet g. Her på jorda varierer verdien av g litt fra sted til sted, og den minker litt om vi går oppover i høyden.

I denne boka skal vi regne med verdien 9,81 N/kg.

G Også på månen er forholdet konstant, men verdien der er bare m gm = 1,6 N/kg. Der er altså tyngdekraften mindre enn her på jorda for samme legeme. På planeten Jupiter er gJ = 24,8 N/kg. Verdien av g forteller hvor sterkt tyngdefeltet er, og vi kaller derfor g for feltstyrken på stedet.

Tyngdekraften G på et legeme i et tyngdefelt der feltstyrken er g, er gitt ved

Feltstyrke

Tyngdekraft

G = mg der m er massen til legemet.

Tyngdekraften på 1,0 kg kaffe (eller bly eller luft) her på jorda er altså G = mg = 1,0 kg · 9,81 N/kg = 9,81 N Av dette får vi et inntrykk av hvor stor en kraft på 1 N er: Den er lik tyngdekraften på et legeme med en masse på ca. 0,1 kg.

EKSEMPEL

a) Bestem tyngden din – tyngdekraften fra jorda på deg. b) Hvor stor er kraften fra deg på jorda?

Løsning: a) Jeg veier (har massen) m = 81 kg. Da er tyngdekraften på meg G

G = mg = 81 kg · 9,81 N/kg = 0,79 kN

Kraftretningen er nedover.

b) Vi bruker Newtons 3. lov. Siden kraften fra jorda på meg er 0,79 kN, må kraften G⬘ på jorda fra meg være G⬘ = G = 0,79 kN

Kraftretningen er oppover.

Har du et eget gravitasjonsfelt rundt deg fra massen din?

Hvorfor tiltrekker du deg i så fall ikke alle omkring deg slik jorda gjør?

G’

2.5

53

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

54

26-06-12

08:03

Side 54

2 Kraft og bevegelse I

Sammenhengen mellom krefter og bevegelse: Newtons 1. og 2. lov I sitt store verk Principia formulerte Newton sammenhengen mellom krefter og bevegelse i to lover som vi nå kaller Newtons 1. og 2. lov. Det er disse lovene vi skal studere her.

Newtons 1. lov Newtons 1. lov handler om det tilfellet at summen av kreftene på et legeme er lik null, eller at det ikke virker noen krefter på legemet i det hele tatt.

Loven kan formuleres slik:

Newtons 1. lov

Et legeme fortsetter i sin tilstand av ro eller i sin tilstand av bevegelse med konstant rettlinjet fart så lenge krefter ikke tvinger det til å endre denne tilstanden. ΣF = 0 når v = konstant

Newtons 1. lov er ikke noen sensasjonell påstand. Alle som har sett en snøball komme susende, vet at dersom du dukker, vil snøballen fortsette rett forbi deg. Snøballen er treg, sier vi; den vil beholde sin bevegelsestilstand.

Men hvis du ikke rekker å dukke, blir du fort klar over at det trengs krefter for å stanse den. Når snøballen treffer deg, virker det en kraft fra deg på snøballen, og denne kraften bremser snøballen. (Det du føler, er motkraften til denne bremsekraften.)

Treghetsloven

Newtons 1. lov er et uttrykk for den egenskapen ved alle legemer som vi kaller treghet. Loven blir derfor også kalt treghetsloven. Alle legemer er trege og vil i utgangspunktet «beholde» sin bevegelsestilstand.

Kan du finne noen gode eksempler der du opplever at et legeme er tregt i den betydningen at det beholder farten sin eller forblir i ro?

R

G

La oss se på noen praktiske eksempler, først en fallskjermhopper. Hvilke krefter virker på henne? Jo, tyngdekraften G fra jorda virker nedover, luftmotstanden R virker oppover. I den første delen av hoppet er R mindre enn G, og farten til hopperen øker. Men etter hvert blir R like stor som G. Da er summen av kreftene lik null, og fallskjermhopperen faller videre med konstant fart (det som kalles terminalfart). Hopperen farer videre nedover med denne farten så lenge kraftsummen er null, altså inntil hun utløser fallskjermen.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 55

2 Kraft og bevegelse I

Men et legemes konstante fart har ikke alltid samme (eller motsatt) retning som de kreftene som virker på legemet. La oss se på en curlingstein som glir på perfekt is, altså et tilnærmet friksjonsfritt underlag.

EKSEMPEL

2.6

En curlingstein som har massen m = 20 kg, glir med konstant fart bortover isen.

Finn kreftene som virker på curlingsteinen.

Løsning:

U

+

Tegningen viser kreftene på curlingsteinen: G er tyngdekraften fra jorda på steinen, og U er kraften fra isen på steinen. I tillegg vet vi at g = 9,81 N/kg.

Først finner vi tyngdekraften: G = mg = 20 kg · 9,81 N/kg = 0,20 kN

Kraftretningen er nedover.

G

For å finne kraften U kan vi nå bruke Newtons 1. lov: Siden steinen har konstant fart, er summen av kreftene lik null: ΣF = 0

der ΣF = U – G

U–G=0 U=G = 0,20 kN

Kraftretningen er oppover.

Merk at i slike oppgaver finner vi først tyngdekreftene på de legemene vi kjenner massen til. Deretter bruker vi en eller flere av Newtons tre lover for å finne de andre kreftene som oppgaven spør om.

I eksempelet ovenfor er kreftene på curlingsteinen like store og motsatt rettet.

Er disse to kreftene et kraft–motkraft-par?

EKSEMPEL

En heis står i ro. En kvinne med massen 60 kg står i heisen. a) Tegn kreftene på kvinnen. b) Hvor store er kreftene på kvinnen? c) Hvor store blir kreftene på kvinnen hvis heisen går med konstant fart nedover? Oppover?

Løsning: a) Kreftene er tyngdekraften G rett nedover fra jorda og kraften U rett oppover fra heisgolvet, se den skjematiske figuren i margen på neste side.

2.7

55

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

56

26-06-12

08:03

Side 56

2 Kraft og bevegelse I

b) Tyngdekraften på kvinnen med m = 60 kg er G = mg

+

= 60 kg · 9,81 N/kg = 0,59 kN

U G

Kraftretningen er nedover.

Ifølge Newtons 1. lov må summen av kreftene på kvinnen være null siden hun står i ro. Vi velger positiv retning oppover og får ΣF = 0

der ΣF = U – G

U–G=0 U=G = 0,59 kN

Kraftretningen er oppover.

c) Fordi farten i begge tilfellene er konstant, er ΣF = 0, og kreftene blir derfor som i b.

EKSEMPEL

2.8

En kjelke har massen 4,2 kg. Snordraget på kjelken er 8,0 N når vi drar slik at kjelken har konstant fart.

Bestem de andre kreftene på kjelken.

N

+ +

S

Løsning: Først beregner vi G for kjelken med massen m = 4,2 kg: G = mg

R

G

= 4,2 kg · 9,81 N/kg = 41 N

Kraftretningen er nedover.

Siden kjelken har konstant fart, vet vi fra Newtons 1. lov at summen av kreftene på kjelken er null. Vi har nå funnet G og vi vet at S = 8,0 N. Siden krefter er vektorstørrelser, kan vi bruke loven på de vertikale og de horisontale kreftene hver for seg for å finne friksjonskraften R og normalkraften N fra bakken: ΣFvertikal = 0 N–G=0 N=G = 41 N

Kraftretningen er oppover.

ΣFhorisontal = 0 S–R=0 R=S = 8,0 N

Kraftretningen er mot venstre.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 57

2 Kraft og bevegelse I

→

I Newtons 1. lov er likningen ΣF = 0 egentlig en vektorlikning: ΣF = 0, men vi slipper å regne med vektorstørrelser dersom vi bruker uavhengighetsprinsippet. Uavhengighetsprinsippet (som gjelder for alle vektorstørrelser) sier at vi kan regne på kraftvektorene i én retning uavhengig av kreftene i en annen retning, slik vi viste i det siste eksempelet. I eksempelet ser du hvordan vi har delt løsningen av oppgaven i to. Først bruker vi loven på krefter i vertikal retning, deretter på krefter i horisontal retning.

Legg også merke til hvordan vi i eksemplene foran setter fortegn på kraftsymbolene når vi bruker Newtons lover. Framgangsmåten er altså: • Tegn figur. Figuren viser alle kreftene som virker, eller som er av betydning for bevegelsen.

• Gi hver kraft et symbol. Bruk en stor bokstav som godt kan si noe om hva slags kraft det er (U for kraft fra underlaget, S for snordrag osv.). Disse symbolene står for absoluttverdien (verdier uten fortegn) av kraften.

• Velg positiv retning. Når vi så finner kraftsummen, ΣF, setter vi plusstegn foran de kreftene som virker i valgt positiv retning, og minustegn foran de kreftene som virker i negativ retning.

Uavhengighetsprinsippet

Tenk deg at kvinnen i heisen i eksempelet på forrige side står på en badevekt.

Hva viser badevekten når heisen står stille, og hva viser den når heisen har konstant fart oppover? Og nedover?

Newtons 2. lov Vi har nå sett på legemer i ro eller i bevegelse med konstant fart. I begge tilfellene er summen av kreftene lik null. Hvordan går det så når ΣF ≠ 0? Da vil farten endre seg, men hvordan? Loven som handler om dette, ble også formulert av Newton, og vi kaller den Newtons 2. lov. I skolefysikken er det vanlig å formulere den slik:

Summen av kreftene på et legeme er lik produktet av legemets masse m og akselerasjonen a: ΣF = ma Kraftsummen og akselerasjonen har samme retning.

Tenk deg at du skal hjelpe med å skyve i gang en gammel bil fordi batteriet er flatt. Bilen står først stille, men får akselerasjon når du begynner å skyve på den. Årsaken er kraftsummen på bilen: Du skyver med en kraft på bilen som er større enn friksjonskreftene. Når sjåføren slipper ut clutchen for å få liv i motoren, avtar farten fordi kraftsummen på bilen er endret.

Friksjonskreftene er nå blitt større enn skyvekraften din.

Newtons 2. lov

57

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

58

26-06-12

08:03

Side 58

2 Kraft og bevegelse I

+

EKSEMPEL

2.9

F

Vi setter i gang en curlingstein med massen 20 kg langs et horisontalt underlag. Under igangsettingen er den horisontale skyvekraften 80 N. Hvor stor akselerasjon har steinen da? Vi ser bort fra friksjon.

Løsning: Vi vet at m = 20 kg, og at F = 80 N, og vi bruker Newtons 2. lov: ΣF = ma a=

=

der ΣF = F

F m 80 N = 4,0 m/s2 20 kg

Akselerasjonen har samme retning som kraftsummen, og den er derfor horisontal mot høyre.

Legg merke til at vi ikke nevner de vertikale kreftene som virker på curlingsteinen, tyngdekraften og kraften fra underlaget, når vi løser denne oppgaven. Siden summen av disse kreftene er null (ingen akselerasjon i vertikal retning), har de ikke noen betydning for bevegelsen, og vi ser bort fra dem.

EKSEMPEL

2.10

a) Hvorfor er det bedre å falle ned på en gymnastikkmatte enn på et tregolv? b) Hvorfor er det verre å bråbremse enn å bruke litt lengre tid på å redusere farten?

Løsning: a) Når du lander med farten v0, sørger gymnastikkmatta for at fartsendringen til v = 0 tar lengre tid enn om du lander på det harde golvet.

Dermed blir akselerasjonen din mindre. Av Newtons 2. lov ΣF = ma ser vi at da blir også kraften fra golvet på deg mindre. b) Også her er poenget at en fartsendring tar tid. Jo kortere tid en nedbremsing tar, desto større blir akselerasjonen og dermed kraften: ΣF = ma.

I front-mot-front-kollisjoner eller i en kollisjon med en bergvegg kan støttida bli så liten at verken bilbeltet eller mennesket kan tåle kraften.

I moderne biler er det bygd inn deformasjonssoner for å gjøre støttida lang. Det skal ta noe tid å deformere den første meteren av bilen slik at kraften på sjåføren blir mindre. Det kan redde liv.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 59

2 Kraft og bevegelse I

Hva ligger det i det kjente utsagnet: «Det er ikke farten som dreper; det er bråstoppen!»

Hvilken sammenheng er det mellom kollisjonsputene i biler og Newtons 2. lov?

La oss nå se på eksempler der vi må regne med flere krefter som virker på legemet samtidig.

EKSEMPEL

2.11

Et legeme med massen m = 3,0 kg kan bevege seg på et horisontalt, friksjonsfritt bord. Legemet blir angrepet av to horisontale krefter, K og S, som begge virker østover. Absoluttverdiene av kreftene er S = 4,0 N og K = 10,0 N. a) Hvor stor akselerasjon har legemet? b) Samme spørsmål som i a, men nå virker S østover og K vestover.

a) Når vi løser slike oppgaver som dette, må vi alltid tegne en figur som viser kreftene S og K som virker på legemet. Her har vi tegnet figuren i margen, og vi har valgt positiv retning østover. Foruten kreftene S og K virker tyngdekraften og en kraft fra underlaget i vertikal retning. Siden bevegelsen er horisontal, er det ingen akselerasjon i vertikal retning. Da må summen av de vertikale kreftene være lik null. Vi har ikke tegnet inn disse vertikale kreftene, for de har ikke noe å si for løsningen av oppgaven.

+

Løsning: S K

Når vi regner ut summen av kreftene, ΣF, lar vi altså S og K stå for absoluttverdiene, og vi finner så fortegn ut fra figuren. Newtons 2. lov gir ΣF = ma

der ΣF = S + K

S + K = ma

=

(S + K) m (4,0 N + 10,0 N) = 4,7 m/s2 3,0 kg

Akselerasjonen har retning østover. b) Positiv retning er fortsatt østover. Vi har tegnet en ny figur. Newtons 2. lov gir ΣF = ma

der ΣF = S – K

S – K = ma a=

=

(S – K) m (4,0 N – 10,0 N) = –2,0 m/s2 3,0 kg

Akselerasjonen har retning vestover.

+

a=

K

S

59

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

60

26-06-12

08:03

Side 60

2 Kraft og bevegelse I

Oppskrift for løsning av oppgaver med kraft og bevegelse Med utgangspunkt i eksemplene foran kan vi nå sette opp regler for hvordan vi går fram når vi skal løse oppgaver: • Finn ut hvilke krefter som virker på legemet. Tegn en figur som viser alle kreftene som virker, eller som er av betydning for bevegelsen.

• Gi hver kraft et symbol, gjerne en stor bokstav som sier noe om hva slags kraft det er. Disse symbolene står for absoluttverdien av kraften.

• Velg positiv retning og skriv opp alle størrelsene som er gitt, på figuren eller i en egen liste.

• Beregn tyngdekraften på de legemene du kjenner massen til.

• Sett opp Newtons 2. lov. Når du skal finne kraftsummen, ΣF, setter du plusstegn foran de kreftene som virker i valgt positiv retning, og minustegn foran de kreftene som virker i negativ retning.

• Løs den likningen du nå har fått, med hensyn på den størrelsen du vil finne.

Kraftenheten newton Vi kommer nå tilbake til definisjonen av kraftenheten newton. Som vi nevnte innledningsvis, bruker vi i enhetsdefinisjonen den evnen en kraft har til å endre bevegelse, dvs. Newtons 2. lov, ΣF = ma. Av dette får vi at N = kg · m/s2 = kgm/s2 Kraftenheten newton er oppkalt etter Isaac Newton på grunn av hans store bidrag til mekanikken.

+

a G

Akselerasjonen ved fritt fall Vi skal nå se at akselerasjonen ved fritt fall har samme verdi som tyngdekraftens feltstyrke, g. Med fritt fall mener vi at det bare er tyngdekraften som virker på legemet. Vi velger positiv retning nedover og kaller akselerasjonen for a. Etter Newtons 2. lov får vi da ΣF = ma

Her er ΣF = G.

G = ma

og G = mg gir

mg = ma a=g som var det vi skulle vise. Akselerasjonen er altså uavhengig av massen til legemet, og den er konstant – i hvert fall i det området der g er konstant.

Enheten for feltstyrke er den samme som enheten for akselerasjon: 9,81

Tyngdeakselerasjon

kg m/s2 N = 9,81 = 9,81 m/s2 kg kg

Vi kan altså se på størrelsen g som akselerasjonen ved fritt fall ved jordoverflaten. Derfor kaller vi g også for tyngdeakselerasjonen. Egentlig er tyngdeakselerasjonen litt mindre enn gravitasjonens feltstyrke på grunn av jordrotasjonen, men forskjellen er ubetydelig. Tyngdeakselerasjonen varierer

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 61

2 Kraft og bevegelse I

også litt fra sted til sted, men vi skal bruke verdien g = 9,81 N/kg = 9,81 m/s2.

Vi bruker aldri fortegn på verdien av g. Hvis vi velger positiv retning oppover i en oppgave med vertikalt kast, må vi sette a = –g = –9,81 m/s2 (altså ikke a = g = –9,81 m/s2).

Regneoppgaver med fritt fall løser vi akkurat som andre mekanikkoppgaver.

En stein faller mot bakken. Faller da samtidig jorda mot steinen?

EKSEMPEL

2.12

En kvinne på 60 kg står i en heis som beveger seg oppover.

Finn kraften på kvinnen fra heisgolvet når heisen har akselerasjonen b) 2,8 m/s2 nedover c) Fritt fall a) 2,2 m/s2 oppover

Løsning: a) Kreftene på kvinnen er tyngdekraften G = mg nedover og kraften U fra golvet oppover, se figur. Vi velger positiv retning oppover. Da er a = 2,2 m/s2. Newtons 2. lov gir ΣF = ma

Her er ΣF = U – G.

U – G = ma

G = mg gir

U +

U = ma + mg G

= 60 kg · 2,2 m/s2 + 60 kg · 9,81 N/kg = 0,72 kN Kraftretningen er oppover.

(Vi minner om at g alltid har positiv verdi.) b) Nå er akselerasjonen negativ, a = –2,8 m/s2, og vi får på samme måte U = 60 kg · (–2,8 m/s2) + 60 kg · 9,81 N/kg = 0,42 kN Kraftretningen er oppover.

Under akselerasjonen oppover er altså kraften fra heisgolvet større enn tyngdekraften (G = mg = 0,59 kN), mens kraften fra heisgolvet er mindre enn tyngdekraften under oppbremsingen.

+ U

2

c) Ved fritt fall er akselerasjonen a = –9,81 m/s når positiv retning er oppover:

G

U = ma + mg = 60 kg · (–9,81 m/s2) + 60 kg · 9,81 N/kg = 0

Da vi løste oppgaven ovenfor, valgte vi positiv retning oppover. Selvsagt får vi samme løsning om vi velger positiv retning nedover, men utregningene blir litt forskjellige.

www

Eksempelet regnet med motsatt fortegnsvalg.

61

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

62

26-06-12

08:03

Side 62

2 Kraft og bevegelse I

En astronaut opplever at han er vektløs.

Hva er vektløshet? Prøv å komme fram til en formulering.

Gi et annet eksempel på vektløshet.

Ta gjerne utgangspunkt i eksempelet med heisen foran.

Mer om tyngde og treghet Vi har sett at masse har å gjøre med to helt forskjellige egenskaper hos et legeme: Massen bestemmer tyngdekraften på et legeme, men massen bestemmer også hvor vanskelig det er å endre farten til legemet, det vi kaller treghet.

Tyngdekraften på et legeme er mindre på månen enn her på jorda. Det er altså lettere å løfte det samme legemet på månen.

Men hvis vi vil dra i gang dette samme legemet på et glatt, horisontalt underlag, må vi bruke like stor kraft på månen som på jorda for å få en bestemt akselerasjon. Det kommer av at kraftsummen på legemet – altså dragkraften – er lik ma. Og massen til legemet er den samme på månen som her. Tyngdekraften på et legeme er altså avhengig av stedet, mens massen er den samme overalt.

Fjærkraft Vi har ei skruefjær av godt stål som vi kan strekke ut eller presse sammen.

Slipper vi fjæra, får den tilbake sin opprinnelige form. Vi sier at den er elastisk. Det er også andre legemer enn fjærer som er elastiske: • En spent bue • En strikk • En elastisk glassfiberstav F

Hookes lov Vi har ei skruefjær av godt stål. Vi forlenger fjæra ved at vi drar i den med en kraftmåler, se figuren nedenfor.

Stiv fjær

Myk fjær

x F x

Grafen viser sammenhengen mellom kraften vi drar i fjæra med, og forlengelsen av fjæra. De to stiplede grafene viser denne sammenhengen for ei stivere og for ei mykere fjær.

Når vi måler sammenhørende verdier av forlengelsen x av fjæra og belastningen F, finner vi at forlengelsen med god tilnærming er proporsjonal med belastingen, se grafen i margen.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 63

2 Kraft og bevegelse I

63

Da er F = kx Proporsjonalitetskonstanten k kaller vi fjærstivheten. Den har enheten N/m. Fjærstivheten k er større jo stivere fjæra er.

Fjærstivhet

Apparater med elastiske fjærer egner seg godt til trening fordi vi må bruke større kraft jo mer vi vil forlenge fjæra.

Enkelte fjærer, såkalte bufferfjærer, lar seg også presse sammen fra likevektsstillingen x = 0. Slike fjærer reagerer på samme måte som ved forlengelse. Kraften F ved sammenpressingen er proporsjonal med forkortelsen x, og fjærstivheten k er den samme.

Denne loven ble oppdaget av den engelske fysikeren Robert Hooke, og den kalles derfor Hookes lov.

Når ei elastisk fjær blir strukket (eller presset sammen), er kraften F på fjæra og forlengelsen (forkortelsen) x proporsjonale:

Hookes lov

F = kx der k er fjærstivheten.

EKSEMPEL

Ei a) b) c)

elastisk fjær får forlengelsen 4,0 cm når vi bruker en kraft på 1,2 N. Finn fjærstivheten.

Hvor stor kraft må vi bruke for at forlengelsen skal bli 6,0 cm?

Hvor stor kraft må vi bruke for å presse fjæra sammen 5,0 cm?

2.13

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

64

26-06-12

08:03

Side 64

2 Kraft og bevegelse I

Løsning: a) Vi finner fjærstivheten med Hookes lov: F = kx k= x = 4,0 cm

=

F = 1,2 N

F x 1,2 N = 30,00 N/m = 30 N/m 0,040 m

b) Vi setter inn i Hookes lov og finner kraften: F = kx = 30,00 N/m · 0,060 m = 1,8 N c) Vi antar at fjærkonstanten er den samme ved sammenpressing av fjæra.

Vi setter inn i Hookes lov og finner kraften: F

F = kx

x = 5,0 cm

= 30,00 N/m · 0,050 m = 1,5 N

EKSEMPEL

2.14

En liten vogn med hjul kan trille uten friksjon på et horisontalt bord. Vogna er festet til ei elastisk fjær med fjærstivheten 2,5 N/m. Massen til vogna er 100 g. Vi drar i vogna slik at fjæra blir forlenget med 8,0 cm. Så slipper vi vogna.

Hva blir akselerasjonen til vogna idet vi slipper den?

Løsning: a=?

F x0 = 0

x1 = 0,080 m

Siden bevegelsen er horisontal, kan vi regne at summen av kreftene i vertikalretningen (tyngden og normalkraften) er lik null. Da er summen av kreftene på vogna lik fjærkraften F = kx. (Vi har da sett bort fra friksjon og luftmotstand.) Newtons 2. lov på vogna gir da ΣF = ma

der ΣF = kx

kx = ma a= =

kx m 2,5 N/m · 0,080 m = 2,0 m/s2 0,100 kg

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 65

2 Kraft og bevegelse I

65

Friksjon Friksjonskrefter støter vi på overalt i dagliglivet. Hvis vi sender en bok av gårde langs bordet, glir den et stykke, men den stopper ganske fort opp. Det skyldes friksjonen mellom boka og bordet. På samme måte finner vi at friksjonskrefter får alle dagligdagse bevegelser til å stoppe opp – hvis vi ikke bruker andre krefter til å holde bevegelsen i gang. Vi skal likevel være glade for friksjon: Vi kan ikke gå, sykle eller kjøre bil uten friksjonskrefter.

Klærne våre holder i hop fordi det er friksjon mellom trådene i stoffet.

Knuter holder, og spiker og skruer og muttere sitter på grunn av friksjon.

Hvordan blir dagliglivet vårt påvirket hvis all friksjon forsvinner?

Diskuter.

Hvilefriksjon og glidefriksjon En tung kasse står i ro på et horisontalt golv. Dersom du begynner å skyve på den, står den først i ro. Verken golvet eller kassebunnen er perfekte flater, og dersom du studerer dem i mikroskop, ser du at flatene består av «berg-og-dal-landskap». Dermed kommer molekyler fra den ene flaten i direkte kontakt med molekyler fra den andre flaten. Det virker sterke krefter mellom molekyler når de kommer nær hverandre, og det skal ganske store krefter til før du klarer å bevege kassen.

Friksjonskraften fra golvet på kassen kaller vi hvilefriksjon så lenge kassen står i ro. Hvilefriksjonen er hele tida like stor som kraften du skyver med, men den virker altså i motsatt retning av skyvekraften, slik at kassen ikke beveger seg.

K

R

K

R

Dersom du tar skikkelig i, begynner kassen å røre på seg. Du merker ofte at den kraften du trenger for å holde bevegelsen i gang, er litt mindre enn den kraften du måtte bruke for å starte bevegelsen. Friksjonskraften som virker når kassen er i bevegelse, kaller vi glidefriksjon. Merk at glidefriksjonen alltid har motsatt retning av bevegelsen (altså ikke nødvendigvis av skyvekraftretningen).

Det er hvilefriksjonen som sørger for at skoen din ikke glir når du går.

Det er også hvilefriksjonen som sørger for at trådene i tøyet ditt ikke glir fra hverandre slik at du blir stående naken. Det er glidefriksjonen som bestemmer om skiene dine har god eller dårlig «glid», og som sørger for at bilen skyves framover selv om hjulene spinner.

Skyver du med kraften K på kassen, blir friksjonen R like stor som kraften du skyver med, enten du skyver mye eller lite, så lenge kassen står stille. Det følger av Newtons 1. lov.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

66

26-06-12

08:03

Side 66

2 Kraft og bevegelse I

EKSEMPEL

2.15

R/ N 30 25 20 15 10 5 0

5 10 15 20 25 30 35 40 F/ N

En kloss ligger i ro på en benk. Vi trekker med en stadig økende kraft på klossen, og når kraften blir stor nok, begynner den å bevege seg. Figuren i margen viser hvordan friksjonskraften endrer seg etter hvert som trekkkraften øker fra null. Førsteaksen viser trekkraften på klossen. Andreaksen viser friksjonskraften på klossen. Bruk grafen til å finne svar på spørsmålene. a) Les av friksjonskraften når trekkraften er F = 10 N. b) Les av friksjonskraften når trekkraften er F = 25 N. c) Stemmer målingene i a og b med Newtons første lov? d) Hvor stor er friksjonskraften akkurat når klossen begynner å bevege seg? e) Hva skjer med friksjonskraften etter at klossen har begynt å bevege seg? f) Har klossen konstant fart etter at den har begynt å bevege seg?

Løsning: a) Ved avlesning ser vi at friksjonskraften er R = 10 N. b) Ved avlesning ser vi at friksjonskraften nå er R = 25 N. c) Ja, så lenge klossen står i ro, må summen av dragkraften F og friksjonskraften R ifølge Newtons 1. lov være lik null. Altså er de like store (og motsatt rettet). d) På grafen ser vi at friksjonskraften er på det høyeste med verdien R = 30 N. e) Den maksimale hvilefriksjonen er litt høyere enn glidefriksjonen. Vi ser at glidefriksjonen ligger på ca. 27 N. Friksjonen avtar altså litt når klossen først har begynt å bevege seg, og deretter holder den seg konstant. f) Siden glidefriksjonen er konstant, vil friksjonskraften forbli uendret mens dragkraften øker. Dermed er kraftsummen ikke lenger null. Altså vil klossen nå akselerere.

Friksjonstallet ␮ Retningen til friksjonskraften for legemer som glir, er motsatt av bevegelsesretningen – slik vi lærte på forrige side. Forsøk viser at friksjonskraften på et legeme som glir på et underlag, er lite avhengig av farten og av kontaktflatearealet. Men det viser seg at friksjonskraften R er tilnærmet proporsjonal med normalkraften N på legemet fra underlaget:

N

R

R = ∝N

Friksjonstall

Friksjonstall, noen typiske verdier

der proporsjonalitetskonstanten µ (les: my) er friksjonstallet for glidefriksjon. Friksjonstallet er forholdet mellom to krefter og er derfor uten enhet.

Verdien av µ er avhengig av egenskapene til flatene som glir mot hverandre. I tabellen nedenfor ser du typiske verdier for friksjonstall for forskjellige stoffer.

Materiale

stål stål

stål is

stål teflon

is is

gummi tørr asfalt

gummi våt asfalt

gummi is

tre tre

hofteledd

␮

0,6

0,05

0,04

0,03

0,7

0,2

0,02

0,3

0,003

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 67

2 Kraft og bevegelse I

EKSEMPEL

2.16

Friksjonskraften på et legeme som glir på et horisontalt underlag, er 130 N når normalkraften på legemet fra underlaget er 200 N. a) Finn friksjonstallet.

En kasse med tyngden 120 N står på et horisontalt bord. Vi skyver kassa slik at den begynner å gli langs bordet. b) Hvor stor er friksjonskraften på kassa når friksjonstallet er 0,70?

Løsning: a) Vi bruker definisjonen av friksjonstall og får:

∝= =

R N 130 N = 0,65 200 N

b) I vertikal retning virker tyngdekraften G nedover og normalkraften N oppover. Siden det ikke er noen akselerasjon i vertikal retning, gir Newtons 1. lov at disse kreftene er like store, N = G. Fra sammenhengen mellom normalkraft og friksjonskraft får vi da R = µN

N

R

G

der N = G

R = µG = 0,70 · 120 N = 84 N

EKSEMPEL

En bil kjører med farten 20 m/s på horisontal vei. Bilen må bråbremse, og føreren trår så hardt på bremsepedalen at bremsene låser seg. Da glir bilen langs veien til den stopper. Vi regner at friksjonstallet ved glidning mellom dekkene og veien er 0,70.

Hvor lange blir bremsesporene?

Løsning: For å finne stopplengden, må vi vite akselerasjonen. Den kan vi finne ved hjelp av Newtons lover. Vi begynner derfor med å studere kreftene på bilen.

+

v0 = 20 m/s

v=0

N R G

I vertikal retning virker tyngdekraften G nedover og normalkraften N oppover. Siden det ikke er noen akselerasjon i vertikal retning, gir Newtons

2.17

67

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

68

26-06-12

08:03

Side 68

2 Kraft og bevegelse I

1. lov at disse kreftene er like store, N = G. Fra sammenhengen mellom normalkraft og friksjonskraft får vi da R = µN

der N = G og G = mg

R = µmg I horisontal retning virker bare friksjonskraften mot bevegelsen. Vi finner da akselerasjonen a ved hjelp av Newtons 2. lov: ΣF = ma –R = ma –µmg = ma |: m

Her er ΣF = –R.

R = µN og N = mg

a = – µg

Vi kan nå finne bremselengden s med bevegelseslikning nr. 4: 2as = v2 – v02 s=

=

der v = 0

–v02 –v02 = 2 · (–µg) 2a v02 2µg

Vi ser at bremselengden er uavhengig av massen, og at den vokser proporsjonalt med kvadratet av farten. Vi setter inn og får: s=

(20 m/s)2 = 29 m 2 · 0,70 · 9,81 N/kg

På kjøreskolen lærer du at på glatt føre er det viktig ikke å bruke gasspedalen i en sving, for da blir veigrepet dårligere. Hvorfor?

På kjøreskolen lærer du også at du akselererer raskere dersom du klarer å unngå at hjulene spinner. Hvorfor?

Friksjonens retning Når friksjonskraften har retning mot glideretningen, betyr det at det ikke er noe friksjon på tvers av glideretningen. Brukt på bilhjul virker det slik: Sett at drivhjulene spinner på underlaget, og at hjulgummien glir mot veidekket. Da virker hele friksjonen rett forover, og da blir det ingen friksjon som kan hindre glidning til siden. Hvis veibanen skråner aldri så lite ned mot grøfta, vil bilen gli mot grøfta så lenge hjulene spinner.

Et annet eksempel: Skal vi løfte dører og vinduer opp av tørre hengsler, nytter det ikke å skyve eller dra. Vi må vrikke dem av. Da virker friksjonen i vrikkeretningen, og vinduet eller døra glir lett oppover.

Med en lekebil med bakhjulsdrift kan du vise at en bil som spinner, vil gli ut i grøfta.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 69

69

2 Kraft og bevegelse I

Luftmotstand Når du holder armen rett ut av bilvinduet ved stor fart, merker du hvor kraftig luftmotstanden er. Denne friksjonskraften fra luft skyldes trykkkrefter fra molekylene som treffer armen din. I tillegg virker det kraftige trykkrefter på grunn av turbulensvirvler som oppstår i lufta bak armen din.

På legemer som faller i luft, er det to krefter som virker i tillegg til tyngdekraften: oppdrift og luftmotstand. Oppdriften har retning rett oppover. For legemer med stor tetthet, for eksempel en stein eller en ball, er oppdriften svært liten sammenliknet med tyngdekraften, men for en luftfylt ballong er den nesten like stor som tyngdekraften, slik at kraftsummen nedover er liten. Derfor faller ballonger langsomt.

Luftmotstand er en kraft som virker på legemer som beveger seg. Denne kraften har retning motsatt av fartsretningen, og den øker med farten. På figuren i margen ser du hvordan akselerasjonen avtar etter hvert som luftmotstanden øker når et legeme faller i luft. Til slutt blir luftmotstanden like stor som tyngdekraften, og farten blir konstant. Den konstante sluttfarten, terminalfarten, varierer mye. For lette gjenstander som ei fjær, et snøflak eller en papirbit kan terminalfarten være mindre enn 1 m/s, mens terminalfarten for en stein eller en kanonkule kan bli over 200 m/s. Regndråper har en terminalfart på 8–9 m/s.

Så lenge farten v er liten, viser det seg at luftmotstanden Rl er proporsjonal med farten: Rl = kv. Ved større fart kan vi bruke modellen Rl = kv2.

Du kaster en stein rett oppover. Steinen når en viss høyde og faller så ned igjen. Du tar imot steinen på samme sted der du kastet den oppover.

Varer oppturen eller nedturen lengst?

v

t Fartsgraf for fall i luft.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

70

26-06-12

08:03

Side 70

2 Kraft og bevegelse I

Isaac Newton 1642–1727

Isaac Newton ble født 1. juledag i 1642 på gården Woolsthorpe Manor i en landsby i NordøstEngland. Hans mor ønsket at han skulle drive gården. Men gårdsarbeid lå ikke for Newton, og han var lykkelig da han i 1661 fikk begynne å studere ved universitetet i Cambridge. Etter et par år i Cambridge brøt det ut pest, og universitetet ble midlertidig stengt. Newton dro hjem, og nå var det ingen som ventet at han skulle gjøre gårdsarbeid.

Han brukte mye av tida til å gjøre eksperimenter med lys, men faktisk la han også grunnlaget for vår forståelse av bevegelse mens han arbeidet hjemme.

Helt fra antikken hadde det vært innlysende at de naturlovene som gjelder på jorda, ikke gjelder i himmelrommet. Galileo Galilei hadde studert hvordan kuler triller nedover et skråplan, og funnet at tyngdeakselerasjonene er den samme for alle legemer. Johannes Kepler hadde beskrevet banen som planetene beveger seg i. Men ingen hadde sett sammenhengen mellom disse bevegelsene.

Hjemme på gården fikk Newton ideen om at kraften som holder planetene i bane rundt sola, er

den samme som får kulene til å trille nedover skråplanet – eller et modent eple til å falle ned på bakken. Kan det være tyngdekraft mellom jorda og månen som sørger for at månen holder seg i banen rundt jorda? Han beregnet bevegelsen som månen ville få hvis det var tyngdekraften som virket, og resultatet stemte ganske bra med det han observerte.

Den gangen publiserte han ingen av disse ideene. Nesten tjue år seinere, i august 1684, fikk Newton, som nå var professor i Cambridge, besøk av vitenskapsmannen Edmund Halley. Halley la fram et problem ingen hadde klart å løse: Hvilken form har planetbanene hvis kreftene på dem er omvendt proporsjonale med kvadratet av avstanden til sola? Newton sa at det problemet hadde han løst for tjue år siden. Svaret var ellipsebaner.

Men han kunne ikke finne papirene som han hadde skrevet likningene på, og lovet derfor å sende dem til Halley.

Newton fant ikke disse papirene, men han gjorde beregningene på nytt, og i november sendte han dem til Halley. Men nå var Newton blitt svært opptatt av sin gravitasjonsteori. Han gikk i gang med å finne den korrekte matematiske modellen for gravitasjonskrefter, men snart kom han opp i store problemer med matematikken. I to år arbeidet han døgnet rundt, og i 1687 kunne han utgi et av de viktigste verkene i naturvitenskapens historie, Philosophiae naturalis principia mathematica, som regel kalt Principia. Der finner vi uttrykket for tyngdekraften mellom legemer og Newtons tre lover. Ved hjelp av disse lovene kan alle bevegelser i vår hverdag beskrives.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 71

2 Kraft og bevegelse I

71

Sammendrag Kraft

En kraft virker alltid mellom to legemer. Et legeme som blir påvirket av en kraft fra et annet legeme, virker tilbake på dette legemet med en annen kraft.

En kraft kan endre farten og/eller endre formen til et legeme.

Kraft er en vektorstørrelse.

Tyngdekraft

Tyngdekraften på et legeme på et sted der feltstyrken er g, er lik massen multiplisert med g.

G = mg

Newtons 1. lov

Et legeme fortsetter i sin tilstand av ro eller rettlinjet bevegelse med konstant fart så lenge krefter ikke tvinger det til å endre denne tilstanden. ΣF = 0

Newtons 2. lov

når

v = konstant

Summen av kreftene på et legeme er lik produktet av massen og akselerasjonen. Akselerasjonen har samme retning som kraftsummen. ΣF = ma

Newtons 3. lov

Krefter mellom to legemer opptrer parvis som kraft og motkraft på hvert sitt legeme. Kraft og motkraft er like store og motsatt rettet.

Friksjon

Friksjonskrefter opptrer ved berøringsflaten mellom to legemer og er parallell med berøringsflaten.

For et legeme som glir, har friksjonskraften retning mot glideretningen.

Verdien av glidefriksjonskraften R er tilnærmet gitt ved R = µN

der µ er friksjonstallet og N er normalkomponenten av kraften fra underlaget.

Luftmotstand

Når et legeme beveger seg i luft, blir det påvirket av trykkrefter fra lufta som virker mot bevegelsen. Denne luftmotstanden øker med farten til legemet.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

72

26-06-12

08:03

Side 72

OPPGAVER – 2 Kraft og bevegelse I

Oppgaver Krefter

Vekselvirkning mellom to legemer: Newtons 3. lov

2.01

2.04

Hva karakteriserer en kraft i fysikken, og på hvilke måter kan en kraft påvirke et legeme?

a) Gi tre eksempler på kraft og motkraft. Få med eksempel på både nærkrefter og fjernkrefter og på legemer i ro og i bevegelse.

Lag i hvert tilfelle en figur som viser kreftene, og skriv ned hva hver kraft virker på og virker fra. b) Gi et eksempel på to krefter som er like store og motsatt rettet, men som ikke er kraft–motkraft-par.

Tegn figur som viser kreftene, og skriv ned hva hver kraft virker på og virker fra. c) Når vi skyter med et gevær, farer kula ut av patronen og framover, mens geværet farer bakover mot skulderen din. Dette kaller vi rekyl.

Hva har Newtons 3. lov med dette å gjøre?

2.02 a) Hvordan bør en kraft tegnes? b) Tegn kreftene på en lampe som henger i en snor ned fra taket. Tegn deretter kreftene på snora. Skriv for hver kraft hvilket legeme den virker fra. c) Tegn kreftene på en snøball på vei mot målet sitt.

Skriv for hver kraft hvilket legeme den virker fra. d) Tegn kreftene på en tung kasse som skyves bortover et golv. Skriv for hver kraft hvilket legeme den virker fra. e) Hvilke av kreftene i denne oppgaven er fjernkrefter, og hvilke er nærkrefter?

2.03

2.05 En fysikkstudent skyver fingeren sin inn i et stykke mykt smør. Kraften fra fingeren på smøret er da 1,5 N. Hvor stor er kraften fra smøret på fingeren? Begrunn svaret.

2.06 a) Forklar hvilke krefter det er som skyver en bil som akselererer framover. b) Forklar hvilke krefter det er som skyver en motorbåt framover. c) Forklar hvilken kraft det er som skyver en rakett i verdensrommet framover.

Tyngdekrefter 2.07

Tyngdekraften på strikkhopperen på bildet er 540 N. Kraften fra strikken i fotoøyeblikket er 580 N. a) Tegn figur og beregn summen av kreftene på strikkhopperen. b) Kan du ut fra opplysningene si noe om strikkhopperen er på vei opp eller ned?

a) Et legeme har massen 4,0 kg.

Hvor stor er tyngdekraften på legemet? b) Et legeme har tyngden 29 N. Hva er massen? c) Hvor stor er tyngdekraften på en ryggsekk med massen 30 kg på månen?

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 73

OPPGAVER – 2 Kraft og bevegelse I

73

2.08

2.13

På den nyoppdagede planeten Huttiheitia er tyngdekraften på et lodd som har massen 1,00 kg, lik 832 N. Bestem gravitasjonens feltstyrke gH på planeten.

En mann på 70 kg står i en heis. Velg positiv retning oppover. Tegn figur og bestem kreftene på mannen i hvert av tilfellene: a) når heisen står i ro b) når heisen har akselerasjonen 2,5 m/s2 oppover c) når heisen har akselerasjonen 2,5 m/s2 nedover

Sammenhengen mellom krefter og bevegelse: Newtons 1. og 2. lov

2.14 2.09 To steiner ligger oppå hverandre på bakken.

Tyngdekraften på den underste steinen er G1 = 150 N, og på den øverste steinen er den G2 = 50 N. a) Vi tar for oss den øverste steinen. Siden den er i ro, må den i tillegg til tyngdekraften G2 være angrepet av én kraft til. Gi denne kraften et symbol. Tegn figur. Regn ut verdiene av denne kraften og av motkreftene til begge kreftene som angriper steinen.

Hvilke legemer er det disse motkreftene angriper? b) Så tar vi for oss den nederste steinen. Foruten tyngden G1 blir den angrepet av to krefter til. Gi disse kreftene symbol. Tegn figur. Finn ut hvilken verdi de har. Finn motkreftene.

Et legeme på 12 kg beveger seg langs en rett linje.

Figuren viser fartsgrafen. v/(m/s) 1,5 1,0 0,5

1

2

3

4

5 t /s

a) Finn akselerasjonen til legemet. b) Finn summen av kreftene på legemet.

2.15 2.10 En heis er på vei nedover med konstant fart. En pakke med massen 2,3 kg henger i en snor som er festet i taket. a) Bestem kreftene som virker på pakken. b) Bestem kreftene når heisen går oppover og nå med litt større konstant fart. c) Hvor store er kreftene på pakken hvis heisen står i ro?

2.11 Er det riktig eller galt å si følgende: 1 Et legeme som det ikke virker krefter på, må være i ro.

2 Et legeme som blir påvirket av krefter med sum null, må være i ro.

3 Et legeme som beveger seg uten å være påvirket av noen krefter, stopper til slutt.

2.12 En bil er midt i en sving da veigrepet svikter.

Friksjonen blir plutselig null.

Hvilke krefter virker på bilen nå? Hvor havner bilen?

Tegn figur og forklar.

En vogn med massen 300 kg står først i ro. Så blir den i 8,0 s påvirket av en kraft på 600 N. a) Finn akselerasjonen. b) Hva er farten etter disse 8,0 s? c) Hvor langt har vogna gått på denne tida?

2.16 a) Hvorfor er det vondere å sparke til en vegg enn til en fotball? b) Med hendene skal du ta imot en tung fallende jernkule. Er det best å gjøre det med hendene plassert på en bordplate eller i fri luft?

2.17 En fysikkstudent sykler i 32 km/h. Student og sykkel har massen 78 kg. Studenten bråbremser og måler bremselengden sin til 5,5 m.

Beregn bremsekraften fra veien på sykkelen.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

74

26-06-12

08:03

Side 74

OPPGAVER – 2 Kraft og bevegelse I

2.18

2.22

En tennisball har massen 57 g og farten 20 m/s. Vi slår til den med en racket, og den nye farten har absoluttverdien 30 m/s i motsatt retning. Vi går ut fra en kontakttid på 0,010 s.

Hva er den gjennomsnittlige kraften på racketen fra ballen?

I en fjærkanon (se figur i oppgave 2.20) er fjærstivheten til fjæra 80 N/m. Kula har massen 25 g. Vi spenner kanonen ved å presse fjæra sammen 10 cm. a) Hvor stor kraft må vi bruke for å spenne kanonen? b) Hva blir akselerasjonen til kula idet vi utløser fjæra? c) Hvorfor kan vi ikke finne farten til kula under utskytingen ved hjelp av noen av de bevegelseslikningene du lærte i kapittel 1?

2.19

Friksjon Et tog består av et lokomotiv med massen 9000 kg og to vogner, hver på 8100 kg. Lokomotivet bremser (ikke vognene) med kraften 86 kN. a) Finn togets akselerasjon. b) Finn bremsekraften på den bakerste vogna. Tegn ny figur med krefter.

2.23

Fjærkraft

a) Hvilken retning har friksjonskraften på et legeme som er i ro? b) Hvilken retning har friksjonskraften på et legeme som er i bevegelse? c) Gi et eksempel på en friksjonskraft som har en annen retning enn den motsatte av bevegelsesretningen.

2.20

2.24

En fjærkanon består av ei bufferfjær (ei elastisk fjær som kan presses sammen) montert i et rør, se figuren nedenfor. Fjæra kan låses i flere posisjoner. En kule som legges inntil den sammenpressede fjæra, blir skutt ut når fjæra utløses.

En bil kjører på en horisontal og tørr asfaltvei.

Normalkraften fra veien på ett av hjulene er 2,5 kN. Hvor stor er friksjonskraften på dette hjulet når bilen bremser med låste hjul? Friksjonstallet finner du i tabellen på side 66.

2.25 v

Hvorfor blir akselerasjonen til kula i utskytingsøyeblikket større desto mer fjæra presses sammen?

En kloss med massen 2,4 kg blir dradd med konstant fart bortover et horisontalt bord med en kraft parallelt med bordet. Kraften er K = 12 N. a) Hvor stor er friksjonskraften R? b) Finn friksjonstallet mellom klossen og bordet.

2.26 2.21 Vi drar i ei elastisk fjær slik at den får forlengelsen 4,0 cm. For å holde fjæra i denne forlengelsen må vi bruke kraften 10 N. a) Finn fjærstivheten til fjæra. b) Hva blir forlengelsen av fjæra hvis vi drar med kraften 15 N?

En kasse med tyngden 750 N står på et horisontalt golv. a) Hva står bokstavene for i R = µ N? Hva vil det si at friksjonstallet ved glidning er 0,85? b) Vi begynner å skyve på kassa med en horisontal kraft F = 300 N. Hvor stor er friksjonskraften nå? Og hvor stor er akselerasjonen? Tegn figur med krefter.

_02_RST_forkurs_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

08:03

Side 75

OPPGAVER – 2 Kraft og bevegelse I

c) Så skyver vi med en horisontal kraft F = 800 N. Hvor stor er friksjonskraften? Og hva er akselerasjonen?

75

2.30

En bil kjører på en horisontal vei med farten 90 km/h.

Føreren ser en hindring og må stoppe bilen. Det går 0,80 s fra han ser hindringen til han bremser.

Friksjonstallet er 0,60, og vi antar at det er uavhengig av farten Vi ser også bort fra luftmotstand.

Hvor langt kjører bilen fra føreren ser hindringen til bilen stanser?

To selskapsleker med spillkort og kronestykker: Legg et spillkort oppå et tomt vannglass og et kronestykke på dette kortet. Knips til kortet slik at det flyr av glasset. Øv til du får kronestykket til å falle ned i glasset.

Du har en stabel med tikronestykker på et bord og skal fjerne det nederste kronestykket uten at stabelen detter sammen. En måte å gjøre det på er å knipse til et annet kronestykke med fingrene slik at det glir langs bordet og treffer det nederste kronestykket i stabelen. Øv til resten av stabelen blir stående urørt.

2.28

2.31

Under visse forhold kan luftmotstanden mot et legeme i bevegelse være proporsjonal med andre potens av farten. For et bestemt legeme som har massen 6,0 kg, setter vi absoluttverdien av luftmotstanden lik

For å imponere venner eller familie kan du gjøre dette berømte forsøket: Du har et glatt kjøkkenbord med en glatt duk som er dekket med et (billig) frokostservise.

Ta et godt tak i duken og dra den av bordet slik at serviset blir stående. For å lykkes bør du trekke duken raskt og litt på skrå ned over en bordkant.

2.27

Rl = kv2, der k = 0,30 Ns2/m2 Legemet faller i luft. a) Hvilke krefter virker på legemet? b) Hvor stor er luftmotstanden nå legemet har oppnådd terminalfarten? c) Bestem terminalfarten.

På egen hånd 2.29 Sett deg på et rullebrett med et par tunge steiner i fanget. Kast steinene bakover. Kan du forklare hvorfor du og brettet begynner å rulle i motsatt retning? Og hva har dette med raketter å gjøre?

Lag gjerne et brettrace der det gjelder å komme lengst mulig bare ved hjelp av å kaste de steinene du klarer å få med deg på brettet.

2.32 Slå opp et i leksikon eller på nettet og finn ut hva «sommerfugleffekten» er, jf. bildet på side 44.

Stikkordregister_018896.qxp:Layout 1

422

26-06-12

10:38

Side 422

Fasit

Fasit 1 Bevegelse I

1.15 a) 12,0 km

1.02 a) 1) 2) 3) 4) b) 1) 2) 3) 4)

3,560 km 149 Gm 2,0 ns 45 μg 6,30 · 10–7 m 2,18 · 10–4 m 4,670 · 106 kg 3,45 · 10–6 s

b) 1,6 · 107 liter, 1,6 · 104 m3

1.05

1.18 3,6 m/s2

1.19 b) 0–40 s, 100 s–120 s

c) 0,50 m/s2, 0

a) [0, 5,0 s], [15 s, 20 s] og [25 s, 35 s] b) 0, 2,0 m/s2, –8,0 m/s2

a) 0 c) –2,0 m/s

1.06 a) 20 m, 0, –18 m, 0, 34 m b) –20 m, –18 m, 0, 52 m

1.07 b) 5,0 ks = 1 h 23 min 20 s

1.09 a) 0,60 m/s, 0, 2,0 m/s b) Alle tre intervaller

1.10 a) A og C b) A: s = –1,0 m + 1,0 m/s · t C: s = 3,0 m – 0,7 m/s · t

1.12 1,28 s

1.13 b) c) d) e) f)

2,0 m/s2

1.21

a) 10 m, 10 m

a) 6,3 m/s

1.16

1.20

1.03 a) 389 km/h

b) 251 m/s (250,5)

2,5 m, 1,5 m, 0, –3,0 m 0,25 m/s, 0,75 m/s, 0, – 0,75 m/s [0, 10 s], [14 s, 16 s] 0,25 m/s, 0 0,80 m/s

b) –2,0 m/s2 d) 0, 2,0 m/s2, 2,0 m/s

1.23 a) A og C b) A: s = –1,0 m/s · t + 0,5 m/s2 · t 2 C: s = 3,0 m/s · t – 0,33 m/s2 · t 2

1.24 a) 10 m/s c) 11,3 s

b) 12,5 m d) ca. 12 m/s

1.25 0,15 km

1.26 a) –2,5 m/s2 b) 1,8 m c) 1,0 m, 3,6 m (banelengde)

1.27 71 m

1.28 14 m/s

1.29 a) 8,8 m over bakken

b) ±8,7 m/s

Stikkordregister_018896.qxp:Layout 1

26-06-12

10:38

Side 423

Fasit

2 Kraft og bevegelse I

423

2.25 a) 12 N mot bevegelsesretningen

b) 0,51

2.03 2.26

a) 40 N oppover

b) 300 N, 0

c) 0,64 kN, 2,1 m/s2

2.05 2.27

1,5 N mot skyveretningen

73 m

2.07 a) 39 N

b) 3,0 kg

c) 49 N

2.28 b) 59 N

c) 14 m/s

2.08 832 N/kg

3 Arbeidsmetoder i fysikk

2.10 3.03

a) 23 N oppover, 23 N nedover b) 23 N oppover, 23 N nedover c) 23 N oppover, 23 N nedover

Definisjon/likning: 1, 4. Lov: 2, 3, 5

3.05 2.13

1,51 s ± 0,02 s

a) 0,69 kN nedover, 0,69 kN oppover b) 0,69 kN nedover, 0,86 kN oppover c) 0,69 kN nedover, 0,51 kN oppover

3.06

2.14

3.08 2

a) 0,25 m/s

a) 1,86 g ± 0,05 g

a) 0,6 %

b) 3,0 N

b) 2 %

b) 0,01 kg

3.10

2.15 2

a) 2,00 m/s

b) 16 m/s

c) 64 m

a) 0,01 m, 0,2 % c) 0,02 m2, 0,4 %

b) 0,01 m, 10 % d) 0,004, 0,4 %

2.17 0,56 kN mot fartsretningen

3.11

2.18

a) (37 ± 1) cm2, 4 % c) (86 ± 2) m3, 2 %

b) 2,0 ± 0,1, 6 %

0,29 kN i opprinnelig fartsretning

3.12 a) 0,06 %, 0,5 %, 1 %

2.19 2

a) 3,4 m/s

b) 2 %

b) 28 kN

3.13 (4 ± 2) mm, 50 %

2.21 a) 0,25 kN/m b) 6,0 cm

3.14 2.22 a) 8,0 N

2

b) 0,32 km/s

a) (9,0 ± 0,5) mm (62,5 ± 0,5) mm b) 2,8 cm2 ± 6 %

2.24

3.15

1,8 kN

b) ca. 13,8 m/s med usikkerhet ca. 0,2 m/s