Aritmética de niños by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

omayor; toCla elllijuera elel Dmnfngo ,dB rí.afJ,uestro Señor Jesut;f'i'Sro~ de Pen.-le.¡,'ostés, de la Asuncz'(J.n rpósto¡e~ San Pedro y San F'ablo para t040:; CO',n, p:e,... ~/a de la Santa Cruzadai? y ademas siendo eclesl:aslu;os, ~rme al. teno! ~eJ Edjct~"Pub¡icado por N0S en párnero ~ ~chOClentos tezTLt~ y se:..s~ ~1 arLta

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DE NINOS \ éscrita, para uso de las escuelas del Reino

POR

:PON JOSÉ

MARI4NQ .YALL:&.JQ;.

Catedrdtico que Jué de Matemdticas delllcal scmi/~aria' , ' \ de twbtes de Madria~ et~:" dic. , " '"~ I'

QUIN'TA EDICIONcorregida; ., t\11Tnentáda, r.espeeto de la enarta, con Jo necesario llara podeI" comprender el nuevo método seguro :r general de resolver toda clase df. cuestio"lS I J' rcuaciodones de todos to~ ¡radas I Aun: las qne se )'esistc11' á los ' procedimientos mos sublimes de las lYIatemáticiI', inserto en la tercera .dicion del Com pendio de estos ciencias, y que se publicara inmediatam cnte, pqr ..,parado y al alcance de toda clase de personas, en la obrita intitulada: ConlPLEMEl'íTO DE

U, ARITM~TIC A DE NI~OS.

MADRID: ," Imprenta GARRASAYAZA, propia del mi.>mo autor. Calle de la Flor ALta, númeró 9'

Enel'o 1856.

~c.ientiis enir.n addiscen~is prosunt exempla magi. qua m prr;rcep~~:quq de cau~a in !lis fusius expatia/u!; sumo , Is. NEwT. ,, ~rit~m. Univ. cap. 14~

I f

t"\' .

...

PROLOGO.

componer y puTiUcar esta obrita ~n 1804, tUlle por. objeto popularizar el conocimiento de- los quebra'dos decima-l es, que hasta aquella época solo se daban en las Aulas de Matemáticas; y del cual se necesi- ' taba indisp/m.~ablemenie, para la igualacion de nuestras pesas y medidas, de que enfónces se oc¡.tpaba el Gobierno :r en que yo trabajaba. Procuré wnciliar el que tuviese un lenguaje correcto, y que su doctrina se hal{(zse de tal modo espues-, la, que guardase uniformidad con el modo de estudiarse la Aritmética como ciencia; para que. el Discípulo nada tuviese jamas que desaprender; y. ántes por el contrario, que todos los conocimientos adquiridos por esta obrita le ahorrasen trabajo y contribu;resen á faci)itarle el estudio de las Matemáticas. , Tres ediciones muy numerosas siguieron á la prime .. Fa, habiendo añadido e.n cada una 10 conducente para corresponder á la buena acogida que hqbia merecido al público; y que contuvíes'e 10 indi.~pensable para satisfacer á los diferentes objetos- que reclamaban el bienestar de los pueblos j y en ,esta quinta edicion. -aliado lo necesario para comprender el nuevo proce- ' dimiento que he discurrido, :r se halla ' publiCf¡tdo en l·a tércera edicíon de mi Cpmpendio.....de Matt'máticas. por el cual ser es/ulven todo género de cuestiones~ y rcuaciones .~in limitacion -atguna: en términos, que sin mas conocimientos qué los contenidos en este pequdjo volúrnen se pueden re.mlver, hasta por los Nilio.~ · que concurren á las escuelas de primera ensefianza, aun las ecuaciones que se resisten á los procedimientos mas sublimes de las Matemáticas, segun le verá en la obrita .intitulada, Complt'mento de la _ Aritmética de Niños, que publicaré illmediatammte.

-ADVERTENCIA. /

_o~

los ntitq~, para instruirse en cada operacion ,_lo priml!ro qu~ deben hac~r es a pl'entl.el' muy

Se debe tenel' presente:

l. o Que,

hien de memol'ia las reglas genera.les que se pOllen con lctr;,l

h¡l,taruill a ¡ ucspues deben leer bien los ejemplos en que (lidias reglas esl:in contra idas , ejecutando en tm papel Ó pii:tlTa todas las opCraeiollcs que se van r!'pl"c5:\11.do¡ bcdlO <"sto, sin 'm irar al li~.,o, han de procura"aplicar po,' sí hs rqg!a-s gener" lcs, á los mlsmos 'ejemplos á q'llC f!SI.:lU con'tl':lid:fs, p:u';). comparar dcspu es Sll opcl';¡cion con la qllt' lienel1 en c llibl'o, y cO[,.f\cg ir l'as equivoca'i.iones ,g ue ,baya'n padecido, y -est.o lo dehen, ejecu tar t:\lltas VcCt:S eomo se ltt!ccsit~ p~ra que h:'\llcl1 polr sí T~nisl:n.oS el, r_e~:~lt.'~do de 1;1 orel'~t.ion ele! 'libro; luego, deben cont ~' aer las mismas ('cg laS I;'l Jos cJcrnp l'os en que solo está la opcr:lC lon; pero sin mir;u'1a b:lsta d CSl? llCS p'e c.onclllil' la s uya para ver si saC-on cl lui.srno resultado; en caso de no encontrarle, ucl->cn

Gompa.'"r su opcl'acion con la dcllibro 'para .(Ivertir donde estú, la eqlli\'ocacion; cl1menda da y volve.'\a á. ejecuta( las veces que se nccesi te, hasta. qu e lleguen ;\ sacar el misr,no resultado; y ' por último, ban (Le resolver- los dem'as ejemplos: y si consiguen sacar el mismo I'esultitdo, pueden estar icguros de que saLen .

aquella operacion tan bien como cualquiera otro. 2.° Cuando se Cn()Uell~re uu número dentro _de un paréntesis, da entelíder que la o1'eracion que se necesita practicar ~ara baIlar e1 result.1flo ,q ue se busca, e~t~ esplicad", en la .cspuesta á In ,pregunta q lte tiene dicho mímcro. PO'r ejemplO;CUjlllrlo en la pág. 1i8 veo qll~dice: «los reduciréá un comun denominado,' (125),>1 El nú]uero 126, que e5t:, 'dentro del paréntesis ( ), indi ca que las reglas que se deBen s~gllil' para l1ac'cnlicha rerl.ucciol1, est.án con-

tenidas en ]a respuesta ;\ la pregunta 12G~ ·Esto sirve llara que,

' si :í alguno se le ba oh. i~lado cómo se practica al guita ope,,"cion auxiliav de a'lllclla eu _que se halla ; sepa á dO;lde debe ,!,ecu 'Tir para volveR á estud,iarb. Y 3.° Que_ el M aestro, en vez ele cnsc.aar á ca d, ni\ío en l'art icul,"~, d,ehe fqrmaruna clase ¿letp,los lo.!; que se tlefliqnen á la Aritniét.ica, y eu el encerado ql.le'r..ay C'li todas las escllelas para manifdt:lr les principios de la Caligr.r"" ó en otro cualqu iera, les dehe hacer que contra'gan las reglas genel'::,]cs de cada operaeion, á' J.os ejemplos que l,ay' en , ,,,lli~J'o, y proponerles dosplles ot.ros. Est.o método de esplicará "';.quos á. ua tiClT,l¡?O· CS m.cjor p~ra cl lVlacs tro, porque se fa\tiga. ñipa')s; y es mu'y l.til para l os Discípulos, porque así se r:sti~ rlt1l1an, se :;costumb,'an ,¡, habiar ,con órdcn rle'seguiao sobre,un' _ mimlo a'smitrr,'·'Y le,. si1'vcl'l ele ills'tl'llccion ~os mismos" yerros que comete ~1 qne est" ejecutando la operacion; que no debe ser el Maestro siuó ullO de los discíp,l1lps. '

"-'

ARITMETICA DE NINOS PARA USO

DE LAS ESCUELAS DEL REINO. CAPÍTULO ,

•

. ,.. •

PRIMERO. •

. , .... _ .

'NocIOnes prel1mmar~s, numeraClon, dZVlSlon y 'subdivision de las. unidades de,l pesas y medidas. ,

J Pregunta. Qué ~s Aritmética? Respuesta. La ciencia que trala de averiguar las :relaciones y ' propiedad.es de los mÍlIl!'ros. 2 P. Desde cuando tenemos necesidad,de cOl1sid.e~ ' rar los números? R. Desde que vemos á un mismo 1iempo muchos oh." .jetos ó individuos de una misma especie: como cuando ,se vé ·un hombre' y muchos hoinbl'l'l, un niño y muchos niños, un árbol y mucnos árbol~s &c', ; porque I'n ·este caso concebimos lo que I'S unidad y pluralidad ~ muchedumbre. Si despul's comparamos la ' pluralidad 'con la unidad, .Jo que resulta de esta compa'r aciou s,e . llama mímero: de manera, que númt'ro es el resultadlJ de la comparacíon de la pluralidad. ó muckedumbre .con la unidad, ó el que espresa la reunían de' muc/lo$ 'unidades. 3' P. Qué es )0 primt'ro que se debe saber acerca -de los números? Ji. Su nomenclatura, ó los 110mllJ"~s cou que se 'determinan las unidades que hay en cada conjunto. '. , ~ P. PUI'S qué, ¿ son indispensables. los nom1re$ .pára espresa¡' 108 Iltírneros? R. Sí s{'fiar : pue~ aUll({1.ie la naturale7¡a ni; nos pre.,. . ~nla sinó individuos ó wlid~de8, si -t.aviésenlo

AIUTMÉTICA

'dar r:n:oñ de los homhres ó árboles 'q ue hablamos visto en 'algl111 parage, y lo eje.cutáse.mos diciendo, que I ~s bomb,'rs ó 'á rboles que habíamos visto eran uno, uno, uno etc., no lo po¡!damos hacer sin confusion nuestra y del que lo oye~e, por ser muy difícil y aun imposihle conservar en lí! mell).oria las veces que está rrpe,t'icla la pal~bra ~no; y así el cntendimirnto' se' vé pr~ cisado á caracterizar con palabras á cada una de estas colecciones de unidades. 5 P. A cada col~ccion de unidades ¿se le dá un nombre pai'ticular? . , ~ R. ~o señor : porqu~ entónces la vida del hQmbre no bastaría sinó par,! aprender muy pocos números; y así, hay un admi,'able a¡,tificio, auií'que muy senci110, por m edio del cual se rspresan con muy pocas palabras todos los númc,'os de ({ue podemos necesitar. ,. Q P. Cómo se ejecuta esto? . I R. En primer lug~r, cuahluier objeto es en sí uno; ' porque la naturaleza '[l.rescnta la consideracion de la unidad en cada indiviih.lo; <!espues, cuando se quiere ' t'spresar el agregado ue uno 'y ~no se l~ a de la pala':h ra dos, y por tanto dos equi~t~ á uno, y uno; par¡¡. espresar el conjunto de dos y uno se ~a 'd·B . ~palabra .tres.; para el de tres y uno~e la p~a-l(ra cuatro-.;.' cua·t ro y uno se espresa con la palabra ciJ:l,.i:o..; c(nco y uno 'con la palahra seis; seis y uno con la pa-Iabra siete; sic.te y uno con la palabra ocho; ocho y un.o con la ' }1a la bra nueve; nueve y uno COIl la pa labra diez. 7 P. Cómo se cuenta' de diez en adelante? R. Se loma esta coleccion d{~ diez unidades por una nueva unidad, que ~e llama unjdad de deccna, y se ·van repitiendo las palabras anterio¡'es, diciendo : diez y uno, dicz y dos etc.; pero á causa de ulla in-cgula'ridad de nuestra lengua, en vez de diez y uno se dice once; I'n vez de diez y dos se dice doce; en vez de :.aiez y tres se dice trece; en vez de diez y cuatro se dice catorce; en, vez de diez .y cinco se dice quince; lue go se sí¡;uc ya l'egulanDCIllc dicit'nJo : die z y seis, "dieé' Y'5 icle, diez y odw, die:- ;r y ¡Jara, es-

, D E'

Ni N o s.

presar dlei y diez se usa de la pa,l abra veinte, que es -lo mismo que dos dieces ' ó decenas: despues sé sigue 'con.t:'¡lldo veinte y uno, veinte y dos etc." que tambien se d{~e I comU'llmcllte veintiuno, veintidos, fJeintitres, veinticuatro, veinticinco, vcintiseis, veintisiete, veintiocho, veintinueve,; y para espresar veintidiez ó tres dieces ó decenas se ~sa de la palabra tres- modificada, y se dice treinta, continuando des pues treinta y uno, -treintq y dos, t reinta y tres, ... treinta y nueve ;, luego, paYa espresar éuatro dieces ó decenas; cinto dieces lÍ decenas etc. se modifican las palabras cuatro, 'cinco' etc. con la terminacion enta ; y se sigue contando -cuarenta, cuarenta y uno, cuarenta y dos, cuaren'ta y tres, .... cuarenta y nuéve; cincuenta, cincuenta y uno, cincuenta y dos, .... cincuenta y nueve; sesenta, sesenta y uno, seseTlta j dos, ... sesenta y nueve; setenta', setenta y uno, setenta y dos, ... seten'/,p y ' nueve; ochenta, ochen(.a y uno, ochenta. y dos, .. oc~en ta y muvc; nOCJcnta, noven6a y uno, noventa' y dos, ... , 7loCJcnta y nuevc; y si á noventa y nueve ai'iadimos una unidad, tendrémos diez , dieces ó décenas, cuyo con junlo se rsprrsa con la . palabra cicnto. ' 8 P. Cómo sc cuenta de cil'nlo en adelante l' R. Se 'toma la coleccitn -de diez decenas por una nueva unidad I que se llama centena, y se continúa diciendo: ciento y uno, ,ciento y dos, ciento y tres, ... ciento y diez, ciento y once, ... ciento y veinte, ciento veintiuno ,,,. ciento :x treinta~ ••• ciento y cincuenta,.~~•• 'ciento nOCJenta, .... ciento noventa y nuee'e; ciento ' 'Y "ciento ó doscientos, ... doscientos ,r cincuen~aJ .. doscientos noventa y nueve, trescientos , .... cuatro cien.tos ,,,. quinientos ,'" SCiSCl~cntos ,'" setecientos , ••• nclto-,:ientos , ••• novecientos J'" novecientos noventa y nueCJe; despues' j ' para espresar n01Jecientos noventa y nue11e, y uno mas, que componen diez cientos, se nila de la palabra mil ; cuyo conjunto se tp ma _);l0r una nneva unidufl qu e se llama unidad dc millar; luego. se contintía mil y uno " mil y dos ,,,. mil :r -cicNto , .... mil)" doscienlos " mil n01'ecientos·, ... inil '

A,U 1 T M É TIC A

,ó dO$ r.nil ...... dos mil y .u,no ,'" dos mil ciento ,;,.. dos mil mwecie ntos , .... tres mil,_.. cuatro mil , ..... cUcz mil , ... veint~ ·m il ,'" cien mil t'" doscíenlo$ c. ..mil~\.,. tr,'scientos mil ..... n ovecientos nd!,. y para espl'esar el conjunto de d'ic;:t, cie,nios de miles ó mil miles' se usa de la palabra millon ó cuento; d cual conjunto se vuelve á tomar por u.D.,i dad, que se ll ama unidad de I millon ¡j de cuento, y, se sigue conlanJo ', miUon y uno, mitZon y dos, ... millo n y ciinto, ... rníllon y mil, ... millo~ y diez. m~,uo mil~~n y cien ~7il , ..,'Tníllon y .nrn;enenlos rm! ,,,. dos 7(lzllones , .... diez mtllones , ..... ,cien millones " .. mil m i/lpncs , ... di.ez mil millones, .. .. cien mil millones , ... y. cuando se llrga á uD; millon dll millones se espl'esa co.n , l~ palabra billolJ Ó bic,u ento• . Dl'spw's se continúa (\ellnismo modo hasla un millon ,te Z,illones, ciue se llama trillo n ó tn:cuento,. á un mi:" .. 11.on de trillones, cuaclri/lofl" y así se continúa' en adrranle di ciendo quitlon, sestillol2 ele.; Je manera, que solo con las trc,c~ palabras uno, dos, tr e.• , cuatro, cinco, seis, siete, o~'ho, nuev;e , diez, ciento, mil y t milTon, se pueJen espl'r!,a~' to~os Jos llllmeros ue que rllH'ue nccrsi t.al' 'el hombre · (.) , . 9 • Para escl'ibil' todos estos lllJmer05, ¿ ue cuántas ciji'as, {juarismus ó ,carac~éres se Jlrc('si la? ' R. De dirz; que son: l ' . 11"0, dos, tres, cuatro, cinco, spis, SipLf1, Delia., nue,'e , cero, 1, :>, 3" 4, 5. , () ', 7 , 8" '9, o, y cada una es-presa ]a palabra que lifUe en coima , advirtiendo' qU)! el cero esprrsa. nada, ó no tiene valor alguno," 10 P. ·Con eslos solos guarismos, ¿ cón:lO se pue-' c]en espresar lodos los números? (O) En efpcto, cdn dicltas palabras se Pl.'et/en rspresar todos las nÚll1dros comprendidos It,a sta el que se .-,.,.... cribiesé con un número de glwr1ismos espre.ad~ par las lmidf1dés que hft)" en el número seis millones y .~;s; ,", ' hasta altora el rna:ror número fllle 1m ocurrida nornbr~r solo 'se compone de ciento cuarenta y un guarismos, '1ue ~s el qlle espre.w la rdacion apro:r:imadlt del diámetro de un ct"l'clIlo ú su cirCtUlft'rcncÍ'a.

1l.

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ConslClern.ndo ell .. !t",.;) IJ lü :7nas

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pio que se les acaba de fijar, C!tro valor rdatiPI¡ al lugar que' ocupa contando de derecha á izquierda,. Así I un guarismo cuulquil'l'a, tal como rl 3, espresal'á ,siempre tres cosas: pP.I'O si está en el primrr , lu¡;al'l contando de d.('r~cba á 'izqllirrrla, serán tres unidadeS; si está en rl segundo l' tre;; decenas; si en el tercero, tres ,'entenas; si en 1'1 cuarlo I tres m.illares, éte. 1 l. P. Decidm~ con mas gcnel'alidaJ y I'stension, ¿qué lugar está drstinado para cada clase de unidades? R. El primero, contando siempre de derccha ,d izquierda, está destinado para lo.,s unidades sencillas; el segundo para las decenas; ellercero para las , cen¡finas; el 'cuarto para los millares; el quinto para las decenas de 'millar; el sesto paral las centenas de millar ;~ e{ sép,t imo para los millones; el octavo para las df}cenas de millon; el nopeno para las cenl.ena,s de millo n ,. P.l décimo para los millares ae milton; el all'décimo para las decenas de millar de millon; 'e l duodécimo para las centenas de millar de ll1i11on,. el de..: cimotercio para los millones de millones ó billo,n es; el décim~c¿;arto "párd l as aect!72a's de biNon; el decimoquinto para las centenas de billon; el décimosesto para' los millares de MUon; el décimo,~éfJtímo para las decenas de milZtzr de billon; el décimooctaiJo para las centenas de millar de ' billoll,. el décimonono para los trillones; los ciTlc~ lugares siguientes para ,las der.enas, centenas, millares, decena's de millar, centellas de millar de' trillan; el vigésímoquinto 'para los cua~ dritlones; .1' a.sí de seis en seis, IU{JQ,l'es para ,los quillones, seslilZones etc. ' (" P. El cero para qué sirve? ( R. Para ocupar un lugar si en 'un ntímero, falta alguna de las ulJidades de espl'cie, inferior. ' 13 P. Cómo haréis todo esto bien palpab'le? R. Con un ejemplo: si IDI' dan () yQ me propongo los diez guarismos I de que he hablado ántl's, I¡ombi"ados 1'11 esta forma: 46:185Jí092" inmedialamenle, \ ' f' O que el 2, ocupando el primer 1ugar de uerccl

A R i T'M É TIC A

quierda, espresa dos unidades; el 9' que otupa el segundo, nueve d ecenas ó noventa unidades; el o, que ocupa el tercer..o, espresa ninguna centena J y quiere d ~c¡r, que en el número propuesto no hay ninguna centenó!; el 7, que ocupa el cuarto, espresa siete millares Ó siete mil unidades; el 1, que ocupa el quinto, espr~sa una ·decena de miliar Ó diez mil unidades; el 5, que ocupa el sesto, espresa cinco centenas de. millar ó quinientas mil unidades; el lS, que ocupa el sépti~o, espresa ocho millones; el 3, que ocupa el oc¡ tavo, esp~'esa tres decenas de millones A treinta millones; el 6, que ocupa 1'1 noveno, espresa seis cente'nas de millones ó seiscientos millones j y finalmt'nte el 4, que ocupa el décimo, es presa cuatro millares de millon Ó cuatro mil millones; y así se procedería .si bubiese mas guarismos. J 4 P. Se podrá hacer esto aun mas palpable? , R. Sí señor: poniendo Ull número en f{Ue, aliado (le cada guarismo, este escrita la especie de unidades que espresa, como aquí se presenta:

'.DE NINOS;

15 - P. Cómo se escriben los números? R. S e colocan sucesivamente los guuT'ísmos qU~l .spresfln el mímcro de unidaa es de cada órden , los unos al lado d e los otros empezando por la iz quicr-" da, teniendo ,pr.esente la su cesion de estos órdenes' de unidades para no om.itir ninguno, ocupando con, ceros los lugares de los órdenes de unidades que pueden laUar. . .6 P. Por qué se ha de empezar á escribir por la izquierda? . R. Porque he dicho que la unidad de esprcie. superior es la qUf- está mas hácia la- izquiHda; y como· al enunciar los números se .empieza siempre por la unidad de especie superie¡t. e~ claro que pe debe prin- ' cipiar á esc'r ibir por la izquierda, segun se acosll.1m- ·, bn en nuestro modo de escribir. 17 ' P. Cómo me escribiréis tI número treinta y s.eis mil cuatrocientos y dós? , R. De este modo : la primera palabra que tengo que escribir es treinta, 6 lo que es lo mi ~mo treS " decenas; por consiguienlr, el primer guarismo que cleb~ poner es el 3, que, para que sean decrnas ., ha !il! seguir á su derecha otro guarismo, que debe ' ser el que esprese las unidadrs; .., (lomo en el llIímero , p r opuesto, despues de la p a.labra treintd sigue la palabra seis, infiero que despues del 3 he de poner 1111 \ 6 Y tend.·é 36, con lo ' que fenemos escritas las pa,labras treinta y seis. Despues sigue la palabra mil, lo ' que me da á conocer que pata que el 36 esprese mi- ' llares faltan aun tres cifras (11) ; y como la primera que debe seguir es la que esp~'ese las centenas, veré ' si las hay en el nlímero dado; veo que son cuatro, ' pues sigue cuatrocientos; luego .escribiré el guaris- . mo 4, y tendré 364. Despues debe seguir el guarismO .que esprese las decenas.; y como el pómero pl'Opuesto no las tiene (pues no hay en él las palabras , ,tiez, veint e , trei71ta , ...... noventa ; 'lue· las esprrsan) ; pondré el (l, y \rndré 3640. Fallan aun las uuida - o des; y como en el J~úmero propl1l:sl0 dicQ llos ) 1'\'1-

' 8-

,A RITMÉTICA

nibiq; el guarismo :t d~spues dd' o, y teudré 36~02, quc espl'l', ar¡l d uíunl'ro prOpltesto. lti P. Si los uúmel'os fuesen mas complicados" ¿se escribirán con igual fa cilidad? R. Sí 51'1101': llO!' ejemplo, si se me PI'opusiese / eser,i bir ~I Illím.'ro cLtatro miZ quini.:nlos noventa y ' tres '(I'lilloncs, doscientos diez J' seis mil. Lo primero escribiría por lo dicho án tcs 4593, con lo (1'11'. tendría rscri La s las palabras cuatro mil quinientos nov,~nta y trcs. Com(.) despues sigue la palabra 'millones, advierto que ,!un tengo' que escribir seis cifras ( 11 ), Y qt l'. la, pdrnera que debe seguir es. la que esprese . las eCl1kllaS .le. millar; COIlJO el número- dice ( áll1es de la palabra miZ) doscientos, veo que el primer ~uat'ismo (IUC~ drbo poner es el 2, Y tendré 4593:1. Alto'l'a han de srguic las decenas de millar; y como , .1 ice dit:z, tendré (lue poner el 1, Y me ' resul tará 4!;9321. Despues sigurn los millares; y como dice , seis I'n el nftmero propuesto, pondré , el guarismo 6 )' [p!H'J¡,é 4593216 . Desput's deberán seguir las éen- ' 1 ¡'OJS, .!rccllas y uniuades que haya ¡ en el número ) J'!'opncslo; y como d'e spues de las pala.bras seis mi/no sigúp. nada, pondré 't res c.'ros, y tendré 4593:n6000,h 'IJIe espt'rsa el 1II1mero ellullciado. ' .J '9 P. Qué han de hacer los uij'¡os para adieswar- , , se .'n ,escribir los uúmeros ? R. Escribic pOl' sí mismos Jos que l' aql1Í se e~- 'i ]ll'l'San, y :pl'opollerse o ~ros ejemplos ácoro petenc.ia. ' , Así: el nrÍmero doscientos setenta se ,.escribe :1 ¡OP ,,) nlÍmel'o dos mil ' treinta y l/lleve s(\ escribe 2039; ' ochenta mil quinientos J' sicte se escribe 80507; c/latroci(!T/.tos mil y lrest:ienlos se p.sc ribe 4ú031)0; el.. )l ,'ulleFO '{uince millol/cs fJ¡Jutro mil d osdl¡¡ulos trcilZ- ' ÜJ. se escribe 15004230 j Y por último veinte millones se ~,!lcribe 20000000, ' I 20 P, Cómo /le lee uu', ntÍmero cuando está esf:l'it.o?

Si tiene pocos guarismos" de modo que se vea,

,cl-aramenle con' una simple mirada, el lugar que ocupa cada guarismo y la 'especie de unidades que le corresponde, no hay mas' que espresar cada guarismo 'c on la palabra correspondiente, bien sea modificada con la terminacion enta "si esp/:'esa decen'as, ó bien añadiendo ilespue:~ la palabra que esprese ~a especie de unidades,; si es complicado el número, se dívide en porciones ' de seis en seis guarismos empezando por ,la derecha; en la primera separacion se 'pone un 1 ; en la segunda un :>; en la tercera un 3 etc.; despues se divide cada porcio'n de seis gudriimos en' dO$ . de tres con una 'coma, y ' se empieza l-e'yendo por la izquierda, pronunciando mil donde se' encuentre una coma, y donde se halle un 1, /.t.n :>, un 3 étc., ,millon, billon, trillon &c. , y luego' al fin se pronuncia unidades. Ejecut:ándp esto con el número: ,

357g:>6go050293~78'4035~. iendré, 35, í9 h6,go,050~2g~, 178..440,35 8~

que se lee: treinta cinco mil setecientos noventa I dos lriliones, seiscientos noventa mil y cincuenta billones, doscientos noventa y tres mil ciento ,setenta y ocho millones, cuatrocientos ouarenta mil trescienta$ cincuenta ¡)'; ocho unidades. ji ,Propongámonos, por segundo"ejemplo •. leer el número siguiente: .1 293382341 799~1 7.Q 150 IOg6

o '

~ue espres3 el número de quintales 'que pesa todo el glooo terrestre, segun el cá\cú\o hecho en' el párl'a1'o 565 del tomo 2. 0 del Compendio de, Mateinoi- ' ticas. " 9: Hecha la s~paracion se tiene I2g,33832~4, 1 i9.9 4 1, 7Q 1,501 ,og6 que se lee: ciento veintinueve mil trescientos treinta :r ocho trillones, doscientos treinca'y cuatro mil ciento 'setenta y nueve billones, novecientos cuarenta y JJ-n mit setecientos y un millones I quiflíefltos un mil y

IP. A RiT, M É T}C'A T/.fJventa y- seis: 'que $on JO$ quintales que pesa toda . la masa .de la tit;rra. :11 P. Este método de enunciar y escribir los m¿meros ¿es el mismq en lodas partts? • R. Si no está ailoptado en todas ,,-lo est,á al mé- " , nos en las civilizadas; pel-o se debe advl'1'tir que entre los Franceses 110 va le un bil/on, trillan ~/c., lo , ~ismo que entre nosotros y los Inglesps: purs lla- , roan bill/JIl á lo '{ue nosotros y los lnglrscs llamarnos millar, rle Tl'!jUon; trillan. á ,Jo que nosotros y Ivs lng,e~es ¿ilion; cuadrillo n á nuestro millar de, bil/on, y así en adelante. :I!l P. Todos estos númr,ros que habeis espresado solo COI~ el nombre de un idacles. sin especificar si son h~robrr~, :íl'boles &c. ¿ córoo ~y llaman? , R. Estos se llaman abstractos; y cua,ndo ~e esprt'~ , sa la especie de unidadrs, como en ocho manzanas, 1 ' veinte hombres elc., se llaman concretos. • :13 P. Cómo se llaman los números de tina mis- ; JIJ..a especie ~ I .1 R. Se llaman homogéneos: v. g.cinco reales y nue- . tle reale,~ son naímeros homogéneos; si no son de un~ misma especie, se llaman , heterogéneos, como tres reales y siete' hombr~$. _ :14 · 'P. De cuantas l)laneras puede ser el número con relacion á los guarismos que ticne? , ' . R. ' De dos: simple ó dijito y compuesto. Se llama simple ó díjito el que se compone de un solo guarismo; y co~pursto el que const!' de dos ó mas. I 25 P. En las pesas y meuiuas ¿se yap. dividiendo '1 s!lbdividiendo las unidades de diez en .diez? R. No serror: en cada clase se observa una ley, particular; y en esto J;¡ay, un abuso tan grandr. ,q ue apenas se halla pueblo de consideracion que no tenga su modo particular de componer y descomponer las unidades. 26 P. ER esto hueno? R. No SI'rlOI': porque de aquí r«s1l1lan rnnchos fraudes y perjuicios al público; y pOI' eso -sl~ ha rna'! l-

-. D E

N 1 N OS. '

p~do ' en la !l~al p'~'a¡;!lJática Uf '26 de enero-ile., dI01 que en toda la Monarquía Española sean ullils mismas las 'p~sas y med idas. . 1" ( ,. 7 P. Cómo está mandado que se lIamel!- ,las pe$as y mr dida ~ que, pe han de aqoptac? R. Pesas y, lIledirl as cSII,uiola,s. , _ ,28 P. Cuáles han de servír de np rma? R. Aquell as I)~s 'l s )' ·medidas qlle están en uso mas ge~rralmente '~n estos R,'in os, para que se logl'l: la utilidad efectiva de esta lllliformida¡l con-la menor ill,!:omodidad -Pos ible, de los pueblos. 29 P. Cuántas ('135"s de medidas hay? • R. Cuatro: medida.s I01J{jill(dinales ó de inlér;vp.los; medidas de ,wpe,jit:Íe ó a!frari,a ,~ ; m ed idas : df .capacidad, p(tra los -granos :r dem a.s cosas secas; :r n¡edidas de capacidad p o,r a los)iquidos. '30 P. Cuái es la raiz de las Ímuidas longituui!la:' 'les. ' R. El pie : sg divitl,~ en 16 (ledos, y el cletlo 'en mitad, cuarta. ochava, y die z ,y seisava parte. tam,bien se divide en 1'1 pulgadas, y,la pulgada J:t lineas. • 3 [ P. Hay medida longiludinal mayor ([ue el pie? " R. Sí sei'ior : la vara y la IC{ju p. :, la vara, ([ue' fS ar¡uel liston de madera con , qua los mcrcatler~ 'm,i deJ1. el paño, el lienzo &c. se c<lmpoue de 3 pies; y la legua, que sirve pa l'a m"dit" distancias grandes, como las que bay entre los pueblos., cindad~s &c.. se com.pone de 20000 pies, q,l,Ie es el camino qu~ se .all da re¡;ularmente en un" hora. h P. Qué vara se bil adoptado par,! que sirva de nOl'ma, por ser ~a mas general en E~pa¡¡a? , R. - La que se conseevaba en e! archivo de la ciudad dr. Burgos, qn~ abora se llama vara éspañola, y se divide como ánles en mitad, cltarta, media cuar"ta ú ochava, y m.edia ocha¡;a. H pO. Cuáles SOll las medidas agrarias ó de su_perfici e ? . R.' La prime:a es el estadal cuadrado, que ~s un

en,

A lit

~ M.i T i e-A

tuadro' de cuatro varas Ó 1:> pies de lai'go, y otro tanto de ancho, que componen 16 varas cuadradas ó J 44 pies cuaarados. Despues sigue la aranzada, que se compone de :>0 estadales en cuadro, Ó 400 estadales cuadrados; y luego la ' fanega d'e tierra, que se compone de :>4 estadales en cuadro, Ó 576 estada les cuadrados. La fanega de, tierra se divide en 1:> celemines, y 'el celemin ' en cuatro cuartillos. 34 P. Qué medidas se usan para los granos, la ·sal y demas cosas secas? , 4. La de especie superior es el' cahiz, que se com!. pone de 1,2 fanegas, y la fanega de r:> celemines ~ , - 35 P. En el comercio ¿ hay medida en que quepa el cahiz ~ . ,\ R. No señor: ni tampoco la fanega; y asÍ' las medidas que hay son: la medía fanega, que es I~~lue ·se conservaba en el archj.vo de la ciudad de Av-ilaj la cuartil(a, que es 'Ia mitad de , la media fanrga:, ó la ctluta parte de la ' fanega; el celemín Ó ' almud, que es la dozava par~e de la fanega; el m e;día celemín J que es la mi tad del cele.min; el clui rli'lio, que es la miLad del medio cc]emin, ó la cuarla parLe dél celemin ; el medio cuartil'l o, que es la ocLava parte del celemin; el ochavo J que es la cuarLa 1'3'-te del cuarLiIlo, ó la diez y s'eisav.a parte del cdrrüi1í'; el medio ochavo J que es la treinta y dosava parle 'tl'e l celemin; y el ochavillo J que es la sesenta y cuatroava l -( parLa del celrmin. 36 P. Cuáles son las medidas 'de líquidos? , R. Para los Iíquid,o s, escepto el aceite I se liSa: de la cántara ó arroba J cuyo pa tron es el que, se conservaba en el archiv9 de la ciudad de Toledo: se ' ruvi!. de en' dos medias cántaras; la media cántara en dos cuartillas; la cuartilla en dos azumbres; la ázu:mh,-e en dos medias azumbres; la media ~ zumbre 1'11 dos cuartillqs; el cuartillo en ~ dols medios cual:tillos; el medio cuartilfo en ' dos copas. De modo qúe la cántara se compone de 3:> cuartillos. El mq:ro se fpmpone de 16 cántaras. 1,

, ' 3, P. Por qué escepluais el aceyte? R. Porque las medid,a s de aceyle eslán arreglada!! al peso; y así, se usa de la arroba, media arroba, I;/f'artilla Ó cuarto de arroba, medía cuartilla ó n~e-. cijo cuarto de ar roba, libra, ,media libra, cuarterHIl~ cuarta parte de la libra, que, ta~jen se Ha,roa pp-: n iUa, y de la merjia panilla. : .: _' 38 P. De qué pesas se usa para las cosas que se compr~n y venden, al peso? •' • I , f!,. De las del marco que se c)Islo,d,i aba en ' el, arC;hivo del Consejo de Castilla. La unidad ~c e~peci~ ~u:perior es e:1 qui ntal, que se e0II!pone de 4 ul'roba,s., la ~rroba ~e :>,5 Uprqs;. la libra ~e ~, 6 onzas; 1" on~,\ d~ ,6 adarmes; el adarme de 3 tomines, y el to~ iJl ~e.. J:> granos. La libra se divide en dos medías li, bras, en cua,t ro cuarterones y en ocho medios cuar.terones; la onza en dos medias onzas' , en c;ua l¡'() ~'uartas, y en ócho ochavas ,ó dracmas. 39 P. En adel\lnte, ¿ se deberán usar en t<;?dos los ~onlratos de estas pesas y medidas? . , R. Sí señor : de lo contrario no serán en los Trihunales válidos, los contratos: Sol~ á los médicos y hOli(:a"ios se l es permitirá usar di'. la libra de 12 onzas del marco español, para. evitar los daños que de ,I;5to podrían rcsulL~r á la salud , R~blica, como se pre"jpne en la ci lada Pragmática. ' . . 40 P. ¿ ConVendrá que los niños sepan con ¡;xac~ ,tilucl cuál es la longitud del pie , ,~Hlañol? ,• R. Sí señor: no solo para entender hien lo que vale una vara, una pulgada, una legua &c., sinó p&. l''lue las dimensiones de la~, demas ' medidas est~ aliregladas á dicho pie. Por esta causa, se' 11a plleslp al fin de ('sta ~brita una lámina', en que e~lá A~ l)~ llcaJo en la , figura 1.a el pie. de, ~u magnitll;d , ~~~ ttll'(\l, con las ,divisiones y sul¡divisiones espr:csadas (30). Y así" la. distancia que hay drsde A ~~ s\a R" ó desde M hasta: N, es la longilud del pie E'spaj'l(l'I ; por la parle superior (,5tá di'v, idido en dr,dos, rs' decir, IJ,ue cada una' de las 16 di,yisfones de la di~-

~~ ! ~,!.i

A'it 'I T M É T rdA

tancia A B es mi Mdo, el último dedo e R rSt:l. arvidido 1-n mitad, cuar'la, Ot:l31'3 Y diez y seisava' parte. Por la parte inferior rstá div~dido en pulgadas; es decir', que cada uno de los ' 1:1 espacios ep que está dividida la distancia MN es la longitud de la pulgada; y cada tlllO de los 12 espacios en que está divididá la última pulgada PN es la longitud de la Hnra. ' ", 4[ P. ,Qné ley se sigue entre nosolros para la division y subdivision de la '1lloneda ? I - 11. ' La siguiente: ' la unidad de e~pecie superior es H doblo n , que tiene 4 pesos; el pes'o 15 reales; y el r.r.a'l 34 'rriaravedíses. De 10das estas Ulridades no 'hay' monedas; el dohlon, el peso y el ducado, que vale í I reales, son monerlas , imaginarias, porque no háy en la actualidad Iliriguna pirza de " oro ni de p1ata que las repr€:sente, y ,solo sirven en los tratos de comercio. D e las demas sí hay monedas y de mayor va)01'. J"as mon edas se hacen de oro, de plata:, y de éobre; la mayor 'd e oro és el doblan de á ocho, que-es una onza de oro, y vale 8 esc¡,dos de oro ó 320 real. les; desp_ues signe el doblon de á cuatro ~scudos dI! (n:o, que es media onza de ·01'0, y vale '160 re:iles; luego sigue el doblan ,de oro J que 'vale dos escudos de {)ro Ú 8 o re,a les 'j lue'go sigue el escudo de oro J que vale 40 reales; y el rnc'dio escudo J escudi~o ó vcinlan, que vale !lO reales. La mayor de plata 'es eL peso duro, qUe es 'una onza de pIara, y vale 20 reales; el medio duro J que vale 10 real es; la peseta columnarici ti me- , ]icana J "qúe vale 5 real('s j la media peseta columna'da' (j real de platá jnejicano J que vale dos reales y !medio j y el ,'eal coiamnario, qne )vale diez cuartoS y 'I)1r.dio de la moneda ¡le cobre. 'TaTn'bien hay otra p,e seta, que es la ordinaria ó provincial, y vale 4 rea'les; la medía p'ese,ta' ó n;al de plata provincial, 2 rea'les j y el real sencillo ó de - vellon 'equivaqe á ocho éÍlartos y rnrdio de"la moneda de cobre. La momlla "mayor de cobre i,'n 1'a 3ct.üalídad vale 2 cnaTl.os Ú ' 8 , ! maravr.dises j la' que signe un enarto, que vale 4, ma'- ravcclises; y la ol.['a ÍIll ochavo; Ql1 C vale 2 mal'ave: litZ': Ir

" , 1~'''l~1>' ~,

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N 1 N0 ' 5."

1'5

tlíses; el maravedí, ann'Clue hay moneda que "lo .reprc"':lente, no con'e regularménte en 1'1 comercio. . 4":1 P. Está en todas las monedas modernas él busto del Soberano? Sí señor : y ahora . s~ presenta desn; do j ~pues á-ntes, en las de oro se pre~elllaba, vestido j en l,!s de pla ta á medio 'v estir, y en las de cobre de~nudo. , 43 P. Qué ley se sigue en la division del tiempo? .R. L~ que voy á decir: el siglo se compone de 100 año .• ,. el año de 1:1 meses ó de 365 días y . algo m~s j el ' dia de 24 horas j . la hora de '60 mil}utos primeros, y el minuto primero de 60 minu{os se{fundos.

:R.

e A P í 'F lJ L o

I l. .

'. ~

De la .operacion de sumar ó d; la adi¡:ion• .

44 con los

P. Cuántas son las operaciones que se hacen n~ltq.cros.

En )'igor solo son dos j porque á un n{¡me1'0 lo mas que se le puede hacer es mayor ó menor; pno segun los díferenles modos de aumentar ó ' disminuir, ,'esultan seis opera;ciones,' que §on sumar, ' r.éstar, irwJtipliear, partir, elevar á potencias y ' cstraer raíces. 45 P. Que es sumar? R. Suma'l' es juntar en un solo númer:o el va.lo-r de dos ó mas homogéneos j la operac.ion, por 'medio de la cual se ejecuta esto, se llama adicion,. Jos -números que se dan para suma.r , sump.ndos', y el re.'sullado de la operacion, suma. La o.peracion de. S\l-'mar se indi ca con este sig'n o que se lee mas, y el 'Tesultado de ·ésta y de. todas las demas operacioncs, con este =, que se lee igual j de manen que 4+2=6, 'qui n(' decir que añadiendo ~ á 4 resulta 6, Y se lee: cuatro mas dos í{J'-fal seis. 46 P. Qué se necesita saber ante todas cosas para suma·.. ?

; 16 R.

ARIT ,M ÉTICA

Lo que componen juntos de dO$ en ' dos 10' números dijitos ó de un solo guarismo; para lo cual .• e deberá lIPl'ender Qe memoria la tabla siguiente:

1 y Y 1 Y I Y 1 Y 1 Y' 1 Y i. Y 1 Y

son

:l .

!l • • •• •• •

3... •.•:

4·······

5 .... ...

6' ~.: ....

7······· 9.. ,'....

8::.... .

Y. :l son Y 3....... Y

...... 4· Y 54·....... 5. 2

6. 7' 8.

2, 2

y 3 son

4r y 45....... .. ···.. 6. 3 s.

6. í'

8. Y 7' 3 Y 6 ....... 9' 8. 3 Y 7...... • 10. 9' 3 Y 8 .... ... 11.

Y 6 .... ... Y 7...... • Y 8....... 10. 3 y Y g••.•... 11 . 1"

10.

.......

1 :1.'

-4 y 4 son 8. 5 Y 5 son 10. 6 Y 6 son 12.

y 5 .. .. ... · 9' y' 6 ....... 10. 4,y 7'······· 1 l. 4 Y 8....... 12.

4 4

4 Y, 9.. •.... 13. 7 Y 7 son

7 Y 8....... 7 Y 9· ......

5 5 5 5

Y 6....... 11 . Y 7······· 1 :l. Y 8 ....... 13. Y 9.... •.. 14·

6 Y 7······· 6 Y 8...\ ... 6 Y 9..-. ... •

1~.

14. 15.

(

y 8 son

14r 15. 8 Y 9· ...... 16.

:~:r

y 9 son 18 •.

47 P . Cómo se ba ce la. operacion de sumar? . R . Se colocan todos los sumandos, lo.~ ur¡os der bajo de los otros, de .modo que .~e con:espondt;ln uní.. dades debajo de ¡.tnidades, decenas debajo ete decellas~ centenas debajo de centenas etc.; de'Spues se tira una raya; se empieza á sumar, por la .polumna de las unidades, y se 's.u man todas, las de los w .. mandos: e·s ta suma se compondrá Ó, de lbnídades sq-las 1 Ó de decenas solas, ó de decenas :r unidades; si se, compone solo de unídades 1 se pondrá . debajo de la raya el guarismo que las esprese, ,de modo que se correspondan con las unidades 'deJos su·man- . dos; si se compone solo de decenas 1 se pondrá o debajo de las unidades, :r- las decenas· se gua.rdq, rán para .~uf'!larla,~ con las de la .columna. siguiente: $i "ay decenos y .unidades, se colocan las' unidad

e,·

NINOS.

debajo de las. unidades, y se guarda,n las 'decenas; para sumarlas con las de la columna inmediata. Despues se suma la columna de las dece.nas, teniendo cuidado de sumar con el primer guarismo las decenas que resultaron de la suma de las unidades: esta suma de decenas' se co.mpondrá ó ·de decenas solamente, 'ó solo de centenas, p de centenas y de cenas; cuando solo contiene decenas, se ponen debajo de la ~olum na de las decenas: si tiene salame n- . te centenas J se pone o debajo. de la columna de las decenas J y se guardan las centenas para sumarlas con las que hay en la columna inmediata de la izquiel7d(J,: si eontie ne centenas y decenas, . se colocan la s de{:~nas debajo de las decenas, y las centenas se guardan part~ sumarlus con las centenas. Luego, se pasa. á sumar las centenas, teniendo cuidado de ail.adir al primer guarismo las que se lleCJa.ban de la¡ suma de las decenas j y si en la suma, de las centenas hay millares, se guardan para sumarlos con los de la columna inmediata; y asi se continúa hast~ llegar á la última columna de 'la izquierda, de cuya suma si resulta alguna ó algunas unidades de espe-: _ cíe superior J r se ponen á la izquierda del guarismo, que, se coloca debajg de la última columna; y el ( TJúmero que r esulta debajo de la raya ' es la ,suma pedida. .. . 48 P. Me podr-é.i~ ~pliFar esto á un cjémpl~? - supo " ~n_gamos que , ~C me dan pa.ra" R • st-I, SCllOr: sumar los números 43ii, .2117, 43,5]2 . Lo 432 . prilI!cro que ejccuto es poncr los unos de287 ba.jo de los otros, de JJ,Iqdo que se corrcs43 pondan unidades debajo .unidades, de5 :;'2 cenas debajo de d".cenas &c.; des}mes tiro . una raya en {ls ta forma: 1334 Empiezo á snmar por '] al col umna de las Imidades, y ,digo: 2 unidades y 7 unidaucs son 9 unicladcs, y 3 lll1idades SOn 1 " llIridades, y 2 S011 t4 1IIlidad~.5 j t'.n .4 lluid ade.s hay una decena y 4 t1l1ida.dcs-; co loco la ~ ,4 Iluidades debajo de la columna .d(~ las unidades , y

\l.

Al.'ÍTMÉTICA

guarclo la drcrna para suma da con las d'e la columna sigllicnte, en la cual digo: 3 dl'cI'nas y '1 (Iue 1I1':\':lha. ilp. la. suma dI' las unidadQs, son 4 decenas, y 8 dece-, nas so n 1 i d~cenas, y 4 d('c:~nas son 16 decenas, y 7 (ll'C"ItaS son :>.3 decenas j Pn :>3 .l acenas hay 3 decenas y ? centenas, por lo cual pougo l/U 3 dehajo de la columna ill~ las decenas, y guardo Ja.s :1 cen{enas pa,ra S1lma I'las ' con las de la columna illl'(lcdiata diciendo: ~. ce n tCllas y :>. qlfe lIeval)3 ', son 6 c('nlenas, y :1 cen-trnas son 8 centenas, y 5 cellt(~nas son 13 cenlén3s:· E'U 13 crntrnas bay 3 crn,leuas y un millar , pongo d i' 3 d~hajo tll': las centenas de los SU ITJ:Iilllos , y guardó .. 1 millar para sumarlo cou los rnillal'''s de la col'um-' na inmediata j pero como no los ha~' , colo co el 1 al. lado 1zcluieJ'qo MI 3, Y t engo qu e la smna de -Jos cna'11'0 números propuestos es mil tresCÍento's treinta :r clI.atl'o. I 49 P. Se necesita, al suma r ca da co lttmna, repe'lit' si -son unidades, decenas &c. ? R. No señor: án~es se ha br,cho para entender lIi en la opl!racion, pero en la pr<Í c lica se suman los guarismos de cada I:olumna como si espJ'('sase11 un idad~s, y. despurs d(~ co locat· d"bajo de la columna ([U" se suma, las unidades sentil!~s que r~sullen, se llevan para sumar con los ' gua ('i,mos de la columna inmediata de la j~'1ui('rda tant::s uni4)'2.19 c1ades como dl'c('nas result a ron fn la :>.0503 suma dI< la columna antc'rior j t' . gr. si 49 me diesen para snm3 r los IlIlroeros 4'i" .'i9' 625 '>0503, 49' 625 Y IS 9 0:~' los pondría 159°3 , ]005 unos d~haio de los otros, como he (]-icho, y aquí se pHs~nta: 84339 y despnes de l irada la raya, diría: 9 y 3 son 12. Y 9 son 21 , Y .'i son 26, Y 3 son "9: coloco el 9 ,1eh" i~ de dicha columna. y rc.sc('vo' el :1 ]1.11'a la in,nrdiala, en la cnal digo: S y 2 que " "vaba sou ;, Y o son 7, y 4 s9n 1 ,1 , Y 2 sou 13 j pongo. el 3 .lehajo de dich~ col'lmna. y rps~rvo el 1 pafa la illm ~<'I lata, en la cua l ~[go::t y [fIue llevo son 3, y!i son 8, y 6 son 14,

~19

D Er N 1 N o s.,

y 9 son 23; pongo el ,3, Y ll evo " p.ar<! la ' colulllJla ,siguiente i en la '{UC digo: :¡ y .2 (iue ll~vo son 9' .y '5 son 14; pongo el 4" y lleVo 1 p~ra la , Golpmna inmediata, en ~{i.le digo: 4 y 1 que ll~va 'ba soit 5 \ Y " son 'i' Y } son 8, (l'J'e pongo d"ha jo, y tengo en 'ochenta y 'Cuatro mil tre:scíe/lIO$ treinta y llueoe la ,s uma de los cinco llI'lmrrOS pl'opm·slos. 50 P. Qué cuesLionps cOIl<lllcen en la 'socledad á ejecutar la operacion de sumor? ' R. Todas anucllas en q're se trata ,de averiguar cuánto componen jUrltas muchas cosas de una misma especie. SI P. Se debrrán poner ios nitos muy conit'ntes en esta operacion? il. Sí señor: , 10 mismo qn(\ 'rn todos las drmas, 'porriue o,cun~en con mucha, h'ecnl'llcia: 'Y per p:so se poneu nquí varios ej{'illRlos, C01no sur len Wll il' 1:'1'0puestos comunmente, paTa que los nitios se eje rciten ,en ,e llos. . , ' Zí93" . 4800 1.h ejemplo en ábslrac to: si me propusÍescn s'Umar ~ los nl¡me'ros

4800, 5'g~50, 39' 5 ,"17,

2~932, Y 85~9' co-, ej~cn.laría lo.

locaría los slimandos, 'Y 'Opcracion cemo aquí se p'csenla: y diría (iue la snma e,ra cíen mil uiscíen~ ' 1:05 ochén/a :x· dos. ,

S~:l50

39 5

10063,2

2.° cjemp'1.o: un padre pregunta á su, hijo los ];iños ,que hay ~llJ la escuda;, el ~iño le r rsp<mde que UO Jos h~ conlaJo; j)P\'o si , lu,ego se 'ac~l,~ l'~a de que hay 1 j en la clave ; 13 en carteh's; 9 l¡>yen17 ' do; l, l,. escr ibiendo, y 0, (il!C se'¡JrJ.i~al~: 13 á la Aritil1üica, se halla en estado de, 1'\'59 :ponilel' ,á l~ prr\!;un la de su padl:c; para Ir . . ,lo cual no .tien~, mas que sum'<lr todos cs6 tos números, y ejecutando la operaciou como afluí. se vé: 56 ,Hallará que hay en la escnela cincuenta y seis . niños.

ARITMÉTICA

3.er ejemplo: si me dijesen que url sugeto tenía por su empléo 4S 2 49 "rs. anua l~s; -que una deh~sa l i~ producía 79250 rs.; que las casas le daban 2pOO rs.; las deuias haciendas 8527 rs.; y los rebaños de ganado 15208 rs.; y me pregun\asen, cuanta era 'la renta anu'<ll de este sugclO, advertiría que lo debía ejecular pOI' la operaciofl de suinar; por consiguiente, colocaría' los sUIUjllldos, y rjl~cutaría la operacion como he oicho, y sacaría que la renta del sugeto era 175434 reales. '

CAPÍTULO

lII.

])e la operacion de restar ó de la .~ustraccíorí. 52 P. Qué es restar? R. Restar es 'averiguar la diferencia que hay en-tre dos números homogeneos; la ' op':l'aeion por medio de la cual se e jceu la esto se llama sustraccion, el número de que se ha de restar minuendo, el que se resla sustraendo, y lo que Tesulta de la opera..cion resta J esceso ó diferencia. Esta operacion se indica con el signo ciue se ' lee menos i. así, 7-4~3, quiere de_cir que quitando 4 de 7 quedan 3 J Y se lee: siete menos cuatro igual tres. 53 P. Hay alguna cosa que indique cuál es el minuendo y. cuál el susll'aendo? . R. Sí señor: el minueudo es el número que lleva antepuesta la preposicion de; y el sustraendo el olro; ó de otro modo, el minuenoo es el mayor, y el sustraendo el menor. ' 54 P. Cómo se ejecuta fa oprracion de restar? R. Se coloca el sustraendo debajo del minuendo, de modo que se correspondan unidctCÚs debajo de unidades J deceTlas debajo de decenas etc.; se tira despues una raya d ebajo del sustraendo; se oé la diferencia que hay entre Zas unída(Jes del sustraendo y las del minuendó J ó lo que es lo mismo J se ve Zas unidades que fal-t ar: á Zas del sust~acndo para que ten-

DE NiNOS.

las 'smas que el minuendo, ' y las que le falten se pon ', debajo de la raya en la columna de las unidflde.~~e ejecuta lo mismo con las decenas, centenas, millares, etc. ; y el número que salga debajo de la raya será la resta. 55 P. Me podl'éis aplicar esto á un ejemplo? ' B. Sí ' señor: si me dijesm que restase de &579' el número 3275, advertiría que el número qlle lleva antepuesta la prrposicion de es el 8579; por consiguirnte este ,es el minuendo, y 8579 por lo mismo colocaré el sustracn3275 ' do 3.'1.75 debajo de él 'como aquí se vé: • 5304 Despues de tirada la raya diré: de 5 unidades á 9 unidades, cuántas van? esto es, averiguaré cuántas unidades le faltan al 5 para convertirse en 9' lo cual es fácil, pues teniendo presente la tabla de la operaeion de sumar, advertiré d~sde luego que le fahan 4 unidades; ' ó si esto se me olvida, iré añadiendo sucesív;¡mente la unidad al 5 has>~a que se convierta en 9' Y veré que le tengo que a:i\adir 4 veces d~: cha unidad, por lo que digo que le fahan 4 unidades, y coloco este guarismo 4 dehajo de la raya en la columna de las unidades. Paso / despues á las decerras, y digo; de 7 decenas á 7decenas, cuá~tas van? y como á 7 decenas no le falla ninguna decena para convertirse en 7 decenas, digo que van o decenas, y pongo este guarismo debajo de la raya en la columna de las decenas; paso ahora á las centenas, y digo: , de 2 centenas á 5 Centenas, cuántas van? y como á .'1. centenas le fallan 3 centenas paTa convertirse en 5 centenas, coloco 'el 3 debajo de las centenas; paso inmcdjatamente á los millares, y digo: de 3 millares á .8 millarrs, cuán~os -yan? y <;omo á 3 mi1la.res le , faltan 5 m~ll~17es para convertirse en 8 millares, <:olocaré de~ajo ~e 19s millares ~lguari~mo 5, Y tendré que la diferencia entre Jos dos llú~errs pro:p~lestos es 5304. '. ' , 56 P. Se necesita ir n~mbrI1ndo, al hal

22 clir~I'~ll";a par9ial

AIÚ'fM~:I'~C.A, la es~cc. i e de u ni ~ades ,qne c;!spl'es~

('¡¡da gt , al'i~IIIo?

R , "t\o Sl'Ü <lI': se ll\l ~dp.n cOIl ~idera'f todos los gna, risrnos t a l rjccnlllr la opera cion l como s i so lo ¡lspre., saS('lI unid~des, POI' (' ¡emplo: si me di 625367 j rS~l1 .f!UC lralias,', la cHre¡'enc ;a entre los ,h4í05 lll'ttnrros ,6 " SSG¡ y ~'14;05 t, los coloca- .,-' ---, ría c~mo he d,ic[¡o y i1fluí se vé: 30 11 62 y dcspurs rl0. th'ada, la ra~' a, t practic,,~'é la operacion, dicicl1Jo s,o l3Tllrfüe : ~l\! 5 ~ í, ' cll;í.\ll'as van? vro que 50n :2 y las POI\go j cOl,{ LinlÍo: t,le 0. á '6" cufint as v aii~ van 6 q,ue pon;;e deba jo j y conbinuando del m rsmo, odo 1 h~lI~rc! que la resta es 301 162. 57 . P. S'e Jl (,'cr.s i la i l' rl'pítiendo en cad" colT,lmna, l,a l)~'~?u1J.ta cutint a s va ~1? " , R. 1\: 1 llri~cipio. si señor: por 1;1 m{>J1O~' dificul...., 1ad que cllcorürarán los' niilos Cl~ hacel,' la 9-phacio n ~ pero desplH's. UO , y s'oIó se ~sprr.s,an, las paJ¡¡bras, (i~le ~,O ll 'iil~isprnsables, co~o c1i est~ 28618 ~J,rmp~o ; SI de . 23618 .7. qlllrro rrsla~' , 53· 647 ~ 1. 1 ', 1 , ,1, /' , 1 , o 1,53 0,0 q " co ocare os llI(TIlet;QS, y LI,ra~'e ~a rtira co¡no, afl ni ~e~H:C{Cn l~: .

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:t>ajo de ' sus con;espplIo\('rttt'S, h~llo qtÍe ~a' 'TcS'la es, J33 12 3. )". r.

58 ' P . Hay ,!lguna ¡;a;rli¡¡u)a\:iih ,d en la' op'cracion. de reslar? ' . . , ' , ( ,: ,

R. Sí señor: aunc¡nl; el' mi'I.lulm rl0 sirmpre d'e he ' ser m,ayor' f¡'u~ 'c] s,u stra.l'ndo ,. S\lrl r.' ñcon t!c'crr q~e 'a1g.nno Ó aJglmdr. de 1,05 gual,j~ll.íh s ' drl s,l1Sll'a~Ddo se,!. mayo~' 'que ~ú ¿Ol'l'é'SI'Ói:ld[¡"lCc ' en d J!l~'n'u:'pc'l o, y eh " i " , < ,<"1/,,. ' . 'el ,1 'i "f c;~so para ' P9'uer ej~cnl.h r , es ~a' x:ci;La' parC;l~ ,se 0-

este

má un'a, uni,lLad ' d.eÍ'g(l'arri~mW ~nhí.~,lLPdto de ld l 'i'Zr¡td'Íir" :f como vale "' " "1:" J' )1' l')¡ , ~ " '11 . , da, 10 r.esp'é t'o ile d'll.cel que CSIG r, Se, (?erecha, se aPiaden estas 10 fÍ' las unidades que. !Wr. bía t;n dicho lugar ',: "d'e ''Cs'il::. 'Httittt Ii(em.p..r~ ~ l· , •

NINOS. '

"23

restar el guarismo 'Iue le L"orn ,,'ponde J y " se pondrá la resta debajo: lu cgo J se considera .el gllorismq si{{uiente del minuendo como con lIna unidad méno",. p ero es m as análogo con ,,1 moJo de proceder en las demas operac iones d aí'7adir ata unidad a l guarismo del sustraeTldo I deja/o e-l dd minuendo conforme er a , y hallar lit diferen cia. 59 P. Cómo ha)',:is sells iblr. esto? R. COIl esl.e e je mplo: si me. pidi es¡>n {1t1P, hallase la dire,r<~nc i a en tre los IlúmeF0,S 45296 y 31Sí8 I lo s, colocaría' como he dicho (54): 13íl8 y despues de j¡il'a J a la raya diría ; de 8 á 6 DO pued e sen I es drcir I qm'. al 8 Jl O le fallan nin.gunas uni(Jades para convertirse ~ll 6 ,. Ó ({UC no puedo (Iui lar -8 á quien.. solo licn~ 6; por 10 mismo tomo lUla Ulli(J ad d(,) guarismo ínm ed ia lO. que es 9 I Y como -d icha ;lllli d'ad vale . 10 r especlo de bs tld '6. las sumo y ' ,t i!llgO , 6 ,de cuya suma ya p uedo r,sl a1' el 8 J Y di..go:dc 8 "á LGvaD8,(I~1C , pong0 debajo; ahora po,dria cOllsidcl'ar a l 9 como 8 por·. hab~b'le fjHilado UIl;a u.oidlld I y dr.ci r d" 7. á R va 1; pero es mejor aco$,'lumul'ars'e á anad il' dicha unidad al gua rismo del sustrar"nd o , ·y as í cJi,r r.':' í y ( ' filie !levo s¡¡n 8. de 8 :í ~I va J J que co l¡¡,cO deb~ jo ; paso á la columna iI1;rn~diata I Y digo : d r. 5 'á 2 no : ptltllle sr.r; 'lo ma ré Ul~a nll~daJ. d-el gi;larismo inro~dialo, y 1:la~laré que de 5 -á . 12- van í, 'l ue pOJl!;O Jeba jo y llevo 1 ¡ 1 Y , 1 , 5.011 ", de 2 á 5 van 3, 'l'He pon~o' , y ]~O Jl evo Rada; ,de 3- á 4 va i l . (¡,,!·e p on g~ deBa ¡o '. y l'csulLa que la di,f Cf' (\ncla ~s 13 í 18 . ".' " t¡ 60 P. No suelcE eCWTil'"áJgunos oüos cas.o~? > (, R. , Sí SCJio l': cuándo el, T':U:I~Ue¡u¡'o tumina- (}Il ce; TOS J Ó cuaudo hay! ceros eRtr§r'ZG,~ r;l.bar¿,nw.s 'del mi- .nuendo . En el, prim" I' caso I $1' 'fon,sipeT'o el, prúr¡er- o rde ¡'a derecha cOÍrip 10 J ,y todos lo demas como 9,. -t.eniendo Gl/.id'U.drJ de, G:on.<ir}.er(fl' ~'on uila un idad mli·'nos al primer '{J!tlbl'Ü¡trle. sir;p,ijicntivp quc se q/1 lJllentre. El1'cl segun.uo.. c~~o, Pu('~C O.l(ll\'fÜ· el 'll,¡C " a l _hacc1-'

ARITMÉTicA

la resta del 'guarismo ántes de llegar á los ceros, sea preciso 'tomar' una unidad de la iZ'1uierda, ó que no 'se necesite; si se tomase una unidad, se considerarán despues todos los o como 9. Y el primer gua,rísmo significativo que se encuentre con una unidC1¡d mé'nos; y si no se hubiese tomado unidad., se considerará el primer o como 10 y los demas como 9, no olvidándose de rebajar una unidad al primer guarismo significativo que se encuentre. Pero 10 mejor de todo , es dejar los guarismos del mi'nuendo como son . :t cuando para ejecutar una resta parcial se necesite tomar una unidad, tener cuidado de aí'iadir'la al guaTísmo siguiente del sus&raendo. De todo 10 cual hay aquí ejemplos. Primer caso: si qui ero 45000 'reatar 32759. de 45000, colocaré estos 32759. números como he dicho (54) Y aquí se v'é : ' 12241 Y despups de tirada la raya" diría: de 9 á 10 va 1; de 5 á 9 van 4; de 7 á 9 van ' '1; de 2 á 4 (y no á 5, 'por ser el primer guarismo significativo ,que se en':' cnentra) van 2; de 3 á 4 va 1 ; Y colocando cada uno de rstos guarismos en su lugar correspondiente, saco la resta 12241. Segundo caso: si quiero restar 3800070003 ' 675847265 de 3800070003, los co67 58 472 65 locaré como aquí se ve : y diré: de 5 á 3 no puede ser, de 3124222738 5 á 13 van 8; de 6 á 9 (y ' no á 10, porque se ha tomado una unidad para hacer la resta anterior) van , 3 ; de 2 á 9 van 7; de 7 á 9 van 2; de 4 á 6 (y no á 7 por ser el p,rimer guarismo significativo despues de los ceros) van 2; de 8 á 10 (porqt;le para hacer la ' resta anterior 'no se ha tomado ninguna unidad) van 2; de 5 á <J van 4; de 7 á 9 van 2; de 6 á 7 va t; de nada á 3 van 3; 'Y saco la resta 3124222738. Considerando cada guarismo del minuendo como lo que él sea, '! llevando uña unidad cuando se necesite; diría: de 5 .i J 3 von 8 y llevo 1; 1 que llevo y 6 son 7, de 2 á lavan 3 y llevo 1; 1 clue llevo -2

, D , j;:

N 1N

o s.

son ,3, de 3 á ' 1(') van 7 y ,llevo 1; 1 Y 7 son 8, á 10 :van 2 y llc,vo 1 ; l Y 4 son 5 , á 7 van 2 y no llevo naJa; de 8 á 10 van 2 y I\ ('VO 1; 1 Y 6 son 7 ' á 8 va 1 y no llevo ' Ilada; 3 es, 3; con lo que saco la misma resta que ántes. Aunque cada UIlO puede seglllr el método (lue le parrzca TIlas fácil, aconsrjamos á los principi antes qlte se acostumbren á ('s!.e ';'1 Lin:io. 61 P. Qué cuestiones ,conducen á ejec utar la opel'acion de nstar? ' R. Aquellas cn que se trata de averiguar la diferencia en tr.e dos n';'meros, ó de sa ber cuanLG le falta á- un númel:o para !Jtle sra igu al (w n otro; como se manifiesta en los siguieIltl;s ejp.llJplo,S. 1. ° Si me pidi{',s",ll que h allase la di-- 823 1í85 fercncia enLre los números, 8~31785 y 517 1 9 6 7 5371967, {,j ~c ulal'Ía la operacion como he dicho (54), y ,aquí se ve: ' 2859 8 18 y sacaría por rrsla el número 2859818. 2.° Vil sujeLo tiene de rrnla anualmente 5,6 298 rea'les, y gasLa 38 179; si quisiel'a averiguar 10 que ahorraba cad'a alio, lo e,jecu,taría rrstalldo el ¡?;3,s LO auual de la renla, y hallaría que ahorraba 18119 r eales. I 3.0. Un mercader compró 8000 pirzas de palio; le i¡uedan 5672, Y quiere averiguar las (Iue ha vClúlido. Restando de las 8000 piezas qnc compró, las 5672, en ,l a r es la 2328 ten(lrá las (lue ha vendido, , 4.° , Un padre qui.ere sacar á su hijo ,de la ,escuela el último dia del mes de agosto; se lo dice á su llijo el dia 18 d ~ 1 mismo mes; y como el mes nc ' ~~OSlO lienc 3'1 , para averiguar el niño los dias que le fallan pSlar en la escuda, no tiene mas que restar 18 de 31; Y ejecutándolo (54), hallará que 'todavía tiene que it13 dias á la escuela. 62 P. Hay medios para averiguar si una opel'a CiOIl de sumar ó r eslar eslá equivocada? R. Sí seño r: para cada operacion hay su p,:ueba , que es una nueoa nperacion, por medio de la éut1.l se averigua si otra ejecutada ántes está bien hecha.: la

2.6

ARITMÉTICA

opt,racion de sumar se pI'ueba reslando; pero es com.. plica da , y por lo mismo 1'10 haré mencipn de ella, porque mas bien· es un objeto de cul'Íosidad que de ubilidad. La operacio)"!. de restar se prueba sumando el sustraendo con la resta, y sí la suma es l:gual con el minuendo, es p/tueba de que la operac'on está bien hecha; si no, no lo será; por ejemplo: si quisiera averiguar si' la operaci@n (59) 4.5296 estaba bien ejecutada, no hada mas qu.e 3l5i 8 til'ar una raya debajo de la resta, y sumar como aquí se vé el sustraendo 31578 con la resta 13 7 18. 4529 6 Y saco la suma 45296 que es igual con el minuendo; por lo que digo que la operacion estaba bien practicada. Esta prueba es .tanto ,mas espedita, cuanto no es necesado tampoco tira!: ninguna raya, porque se puede ir sumando el sustraendo con la resta y vipn~ <lo al mismo tiempo si Vall saliendo los guarismas del minuendo.

CApíTULO IV. , IJe la multiplicacion,

63 P. Qué es multiplicar? R. Mul tiplicar es tomar un número tantas oecc-s como unidades tiene otro. La operacion por lllrdio Je la cual se ejecuta eslo . se llama m,¿ltiplicacíon; el' ll'úmero que se ha de tomar cierto ll.llmrro ele ,,".ces ... se llama rnultiplicando; ar¡uel que con SLlS uuiJncl,'s (,spL'esa las veces que se ha de tom al' el l1lult.ipli..cando, se llama mull¡:plicador ¡ y lo qUf' nSll í l:L de la operacion se llama producto.; ' al mulliplic:mdo y mulliplicado r juntos se les da el nombre de factores del producto. La op(\racion se indica con un pUB lo ó con este si¡;no X (¡ue se lec r7wllipz,:carto por; psi, 4. 3 = "2 Ó 4 X · 3 = 12 • (¡,-"i,'e" GPci r Cjue rnultiplfcando el' 4 por 3 resulta 12, Y se lee ¡ cuatro Tnultil?lí:: cado por er~s igual doce. \

BE N

fNO

S. ,~

27'

64 ·P .

Q"l1é es lo que se. necesita sah(',r ante toda's cosas para la multipl icacion?' R . \' El producto que. resulta de multiplicar entre sí lo.~ números díjítos; y por esto es indispensable ~:prender de memoria la tahla si{;uienle l es ·por 1 1 por 2 . .. .. .... ~ por 3........ ~ por 4·........ 1 por ' 5...... .. I por 6........ por 7··· .. •.. 1 por 8..... ... ,1 VOl' 9 .... •••• 1

por por Jl por !l por ~ por 2 por 2. por !l .por Jl

-',

.',

-',,',

8. 9'

2. son 4· 3 ... ~ •• 6. 4··· ··· 8. 5 ...... 10. 6 r•.. " 12. 7···· ·' 14· 8 ...... 16 . 9' " " , 1 8•

3 por 3 son

l. 2. 3. 4· 5. 6.

por

po~'

son 5 .• ••.• 4 por 6...... 4 por 7· .. .. • 4 por 8...... 4 por 9. ... ••

16. 20. 24· 28 . 32. 36.

5 5 5 5 5

por 5 son por 6•••••• por · 7.. •••• por 8 ...... por 9······

25 . 30. 35. 40. 45.

6 por 6 por 6 pOr 6. por

6 son 36. 7.. •••• 42 • 8...... 48 . ~" ! " " 54·.

po r 7 son 49. 56. 7 p.or ..9 .. •••• 63. 7 por 8 ••• ••

3 por 4.; .... 12. 3 por 5 .. ... . 15. 3 por 8...... 18. 8 por 8 son 64. 8 ~or \~., ..... 7 2 ,. ~ por 7··· .. ·" 21 . \ 3 por 8.·... ;. 24· ?" por 9 .... •• 27 ' 9 p'o r 9- so~ 810. , 10 por !O son" 'Le , 1 o á .. 10 por 1 0 0 • •••• • •• • 1000 .. 10 por 100 0 •• • • •• • • ~<? o o o. IP po!, 10000 ...... l ,o oooe. lO por leoooo , ••• J 000000 •.

28,

ARiT' MÉTIGA

65 P. C;uántos casos o~urren en la multiplicacjon? ~ \ {, , R. i~es.' m~1tí/zicar un número dijito por otro d;j'¡:to; mullipltcar un número ,con,7,puesto por uno dijifo, ó un dijifO po'r un compuesto; y multiplicar un número compuesto por otro compuesto. 66 P . Qué hay que (lacer. pa'r a multiplicar un ll1Ímero c1íjiLo pOI' olro díjilO? R. Saber bien de memoria la tabla anterior, plles en ella se contienen todos los productos de los números de IIJl solo guarismo. , 67 p; .Y para multiplicar uno con'tpueslo por uno , díjilO " ó un c1íjilo por un compuesto? R. Se pone e,," dijito debajp de las unidades del compuesto, y se tira una 1'aya por la parte injerior;' se multiplica el guarismo qúe espresa ,lqs unidades del mq6 plicandp, que es el compuesto> por; el multiplicador, que es el díj'ito; si en este producto hay solo unidades, se' collJcan debajo de las unidade de los jactore,s : si contiene solo decenas, se pone o' en lugar de las ,rtnidaacs, ;J' líe guardan lq.s decenas p a¡ra añadirlas '1l producto de las decenas de la columna 1nmediata.' y si conficne {lecenas y unidades, se pr¡ncn las unidades debajo de las unidades de los jaciores, y ~ e guardan.las decenas para ai'iadirlas al producto de las decenas de la coluT'!'na imp,cdiata. Despues Se multiplican las decenas del TFlutiplicando por el inismo multiplicador; á su producto se añaden las que se llevaban del producto de las unidades, y se colocan las decenas que resulteTJ. debajo de las decenas, guardando las centenas, si las hay, para añadirlas al producto de las centenas de la columna inmediata. Luego, se multipltcan por el mism.o multiplicadhr las centenas del multiplicando, á cuyo producto se aí/aden las que se lleoaba 11 del producto de las decenas, y así se continúa hasta que no haJ'c¿ mas guarismos en ' el mu1iiplícando; 'Y si en ~'l último producto hay algunas unidades d e- especie ' Sil pcrío/' '1//{; llcaL/', se colocan á la izquierda, .r el

DE NIÑOS.

sale debajo de la raya es el producto pedido. ,68 'P. Cómo ~laréis esto sensible? \ R. Con un ejemplo: supollgamos que se (luier~ multiplical' el n(lmero 356, por 356 4, ó 4 por 356; colocaré el 4 de4 bajo del 356 como he dicho (67), y aquí se vé: , 1424 Tiro debajo una raya" y empiezo á multiplicar por las unidades del multiplicando, diciendo: 6 por q: son 24 que son unidades; y como en 24 hay dos decenas y 4 unidades, coloco el 4 debajo de las unidadrs de los factores, y guardo las dos decenas para añadirlas al pI'oaucto de las dec.enas; y digo: . 5 por -4 son 20, Y 2 que ll evaba son 22, Y como en 22, que son decenas, hay 2 cenLl~nas y 2 decenas, pongo las :2 decenas debajo de 'las de los facLores, y guardo las :2 centenas para añadirlas al producto de la columna siguiente, en la cual digo: 3 por 4 son 12, Y 2 que llevaba son 14" que son centl'nas; 'Y como en 14 centenas hay un millal' y 4 centenas, coloco las 4 cente.nas debajo de las de los tilc tores, y guardo el 1 milI a r para añadirlo ' al producto de la columna siguiente, ; pero como ya no hay mas gua,.. rismos en el multiplicando, coloco el 1 hácia la izquierda del 4, y saco que 356 multiplicado por 4 da 1424. 69' P. Me podréis esplicar esto, mismo, p ¡'escindiendo de si lo que resulta de los prodtictos parcialés espresa unidades, decenas &:c. ? - R. Sí señor: aquí se han puesto tod a,s l a,s pi¡]abras, pOH[lle, como es el primer c'j emplo, se necesita imponerse bicn en lo que se hace; pl~ ro en la práctica no_se necesitan mas palabras que las que se ven en el ejemplo siguiente. Suponga~os que (¡'uiera ruul- _ tiplicar 289'74 por 7; colocaré los números como he d icho (67) y aquí se vé : 289/4 , Y d('spurs de tirada la raya diré: 4 por 7 7 son 28, pongo d 8 Y llevo 2; 7 por 7 son 49 ' y .2 que llevaba son SI, pongo 202818 1

A,RI.TMÉTleA

1 y llevo 5,; 9' por 7 son 63, Y 5 que llevaba son 68, pongo 8 y llevo 6; 8 por 7 son 56, Y 6 qUe llevaba son 6~, pongo" y llevo 6; 2 por 7 son 14, Y 6 'Íue ll evaba. son 20, pongo o y ll evo ", que corno no hay mas guarismos en el multipl ica ndo, pongo ,á , la...izquiel,da del o, y. tengo en 202818 el producto de 28 974 por 7' 70 P. Cómo se multiplica un número compues~o por olro compuesto? ' R. Se toma por multiplicador: ei q/le fiche ménos guarismos, J' se pone debajo del m/.fltiplica ndo, que es el otro 1lI1,mcro, de. modo que se correspondan un1.,dailcs debajo de ,unidades, decenas deba.jo de de ce.nas etcu se iira una raya; se m ultiplica toijo el multiplicando por las unidades deZ--n¡.ultiplicado'C, (67),; cuyo prodllcio se pone d ebajo 4e la ro,y a, de moda qw; caigan las unidades , deccnas etc. debajo de las de los jactores; despucs se multíplica, todo el m'fltiplicando por las decenas del. multiplicador, J' se co. loca este ,producio debajo del anicrior, corriéndole un lugar háci(L la i.zquiu:da; luego, se multiplica ioda el multiplicando por las centenas del muZü:plicadoc, J' se coloca este producto debajo elel (tntcccdente ., cor< riéndole tambien un lugar hácia la izq,uícrda; J' así se contimla hasta que no haya mas guarismos en qt multiplicador. De,.pues se tira dt:lJajo de estos pró. ducios parciales otra ¡:aya, se suman, :r su suma eS el producto p'edido. 7' P. Me podréis manifes far esfo con un ejemplo? R. Sí seilor: supongamos qu e hay que mulLipli'cal' 96'58 pOI' 734; tomaré. por lIlulLiplica:dor el 734. pOl'rjue es el menor, y le colocaré uebajo del multiplicando 9658 en psta forma: 9658 y d~s[5tH's dr lirada la raya, eropeí34 .. zaré muJtiplicando (69) el 9658 por 4, 3863 2 ' que es presa las linidades ,del , ID1.l1tipli. 8"4 cador. Paso lu('go á multiplicar todo r,~G9 [, el multiplicando 9658 _por r:I 3 que es- _>..:,,_>_0_ __ presa las decenas del multiplicador, 701Hl9í2

. D E NI Ñ O

colocando el primer guarismo 4 de ~stel:>roducto debajo dd 3 Jel producto anterior. Multiplico despues todo el mlllLiplicando por el 1 que esprl'sa las centenas. del multi plicador, colecando el prim~r guari~mo 6 de este pl'odncto debajo del 7 del ant.erior. Tiro u na raya, pOl"Clue ya no hay mas guarismos en el multiplkad.o r, y ' sumo (47) todos estos productos parc ialcs; y en la SUma 7088972 tengo el producto de los- dos núrncI'os propuestns. '72 P . Ha y algunos casos en que se abrevie la mu1Lipli cacion? R . Sí SCI10l', en cna tre casos: 1.° cua ndo uno los fadores es la unidad; 2.°. cuando uno de los.. factores es la unidad seguida de ceros,. 3. 9• cua ndo uno 'de los factores ó ambos acaba,; en, ceros ; .r 4.° cuando el multiplicador tiene ceros entre sus guarismos sígnijicativos. 73 P . Cuando uno de los factores es igual con la unidad, ¿ cómo se hace la opella cion? . R . En este cnso el producto es igual con el otro jactor; por ejemplo, el prodQcto de 753 por 1 es el mi smo 753 . - 74 P . Cómo se hace la multiplicacion. cuando uno de los factores es la unidad seg'llida de ceros? R. Se ponen á contirfuacion del otro factor tantos ceros Goma hay dcspue's de la unidad. Por c'j emplo: si quiero mu ltip li car 528 por 100, añad iré dos erros -al S2 8, y trndl'é el producto . que es 52800; si quiero multiplicar 280 por IOO § O, añadiré cua l.ro ceros al ,,80 , Y teud'I'é que el producto será 2800000 . . 7S P. Cómo se abn.via la multiplicacioIl cuanao uno de los f aclores ó ambos terminan en ceros? R . Se hace la operacion como si no hubiese ceros, multiplicando solo los guarism~s sigl)ijicatioos, y ai'Íltdiendo despues á este producto tantos ceros como habia en ambos jactores juntos . l .c,'-p1(' mplo. Si tuv.iese qüe UlnJtiplicar 538 por 60 0, mulliplicaría 538 po.r 6 '; Y ejecutando la operacion como aquí se vé: ,

ARITMÉTICA

Tengo ('1 productó 3 ~ 28 , que si l,e añado dos ceros, que son los q'ue hay 538 en el nuütiplicador, hallaré el verda6 d ero producto 3 n800. Para que no se olviden los ceros clue se debrn ailadi r, se ponen á continuacipn del factor en , que se hallan, pero la colocacion de los factores se hace como si no hubiese tales <;e1'OS; así, )a oprracíon a~terior se ejecuta poniendo los factores 538 y 600 en esta forma: Se mulLiplica como ántes el 538 por 538 el 6, Y añadiéndole dos ceros al pro600 ducto 32~8, tendré 322800 que ser~ e l - - - - - verdadero. 3-2280~ 2. o ejemplo: si tuviese que multiplicar ~2 700 por 48, colocaría los números como aquí se ve: Multiplicaría (70) el 827 por 48; y al producto 39696, le añadiría dos ceT(lS, que son ,los que hay en el multi- - - - - - 66,6 plicando) y 3969600 sería el producto verdadero. 3308 3.c,' ejemplo: si tuviese que multipli- - - - - - cal' 742000 por 3500, colocaría los números como aquí se vé : , Los multiplicaría como si no hu74~00o 3500 biese ceros, y al producto 25970 1e añadiría cinco ceros, que son los - - - - - que hay en ambos factores juntos, y t ':.ndría el verdadero producto de 742000 por 3500 e)'l el número - - - - - 2597000000.

259íoOOOOO

í6 P. Cómo se abrevia la operacion cuando los ceros están en medio de -los guarismos signilicaLivos del J)lUltipli cador? R. En este caso se multiplica el multiplicando por los guarism.os significativos que hay en c~ multiplicador hasta lleglJ.r á los ceros; 1m llegando cí los ceros no se m ultiplica par cÚos, y se pas,a á multiplicar por

N ¡NOS.

los demas guarismos signi/ica17:vos; pe1'o teniendo cuidqdó de correr el primer producto hácia la izquier. da ta,ntos lugares m as uno, cuantos ceros ha,y, es de~ cir, que si hay, un cero se debe correr el primrr p¡;Oducto dos lugares , si dos c('ros tres lugans &c. Por ejemplo: si tuviese que , multiplicar 25 7692 4 por 1000503, colocarí'a los factor es en esta forma : Multiplicaría todo el mulliplícando por 3, lo que me da . 25 769 2 4 el produc lo 'parcial 7í307 '72; 1000503 como despues del 3 b ay un , cero e n el l~ ultiplicaJor, paso á mulo 77 30'77 2 12884620 tipl icar por el primer gual' ismo 25 76 9 2 4 significativo (¡ue encu en tro, que es el 5, Y coloco e.ste producto, de modo que su primer guaris25 7822 0192 7i 2 mo o caiga de.bajo del segundo 7 del producto parcial anlececlenle, esto es, corriéndoll! dos lugal'ps hácia la izqu ierda , porrlue S910 b ay un cero. Como des pue-'!, vuelvo .á t'nco lllrar ceros, pase á mul~ipli ca¡:- por el gnarismo significativo qu ~ hay despues de ellos, que es el 1, coloco el producto cuatro Jugares mas h:ic'ia la izquierda re specto del producto parcial antecedente, porque aquí hay tres ceros; sumo drspues estos' productos, y saco " que 25 í6924, multiplicado por 1000503 da 2578220192 772 por producto. ,77 P. Bajo cuántos aspect.os se presenta n en , la sociedad las cuestiones que ccmducen á la mv.hiplicacion? R. Bajo tres.: 1.° cuando se dice, que se quiere hacer ri un número cierto número de veces may or; 2. ° cuando é012ocido el valor de ltna ,ltnidad se quiepe a(Jerigp ar el de muchas; y 3.° cuando se quieren ,r educir unidades de especie superiór á unidades de especie inferior. 7'8 Cómo se hace á' ~m llllmer,o ,cjerto número ,de veces mayor? - R. Multiplicándole por aquel que espresa con sus

,P:

AltITM~TJCIA

unidades las VCCC$ que se le quiere hacer mayor~ v. ~I'., si al 586 le (Iuiho hac('I' 4¡ vrcrs ma yor, multiplican: d 5861'01' 4¡. Y t.rudré que d producta 2í54'2 ('5 un núnH'ro 4¡ V('C(~S ' mayor r¡ue (,1 506. Cualldo d núrn('ro <le V('C('S Cine SI'. (l"i""(1 hac('.r mayOl' UIl IIltrnrt'o ('S pl'r¡ nrlio. '.10 SI' d ire ela ra rn,'nte ('11 1'1 II'ngua~e vnlr,al', yasí (l('bo ad, (",ti" que ('stas palab¡'as ·tomar (,1 duplo d(~ 1111 llI'nl1!'ro, (,1 tril'lo, d t·wídrul'lo, d quin/l/plo O:c.· Ó duplicar, triplicar. cuadruplicar, quintuplicar O:c. equivall'n á mult.iplicar d,cho: lI,ír!J('l'o Jlo,' '2, por 3, pOI' 4, pOI' 5 &c. ' Tambil'n se dice cen/ul'lo dl~ un nÚ'lH'l'O. Ó centuplicar Ull número cuando se le quiere multiplicar por 100. í9 P. Cn31ldo se conoée d valol' ue una unidad ¿cómo se conot"(' 1'1 valor de mnchas·? , R, Mullil'licalldo el valor de la unidad por el número de unidadcs. I.cr rjrmplo: qniero sabel' cuanto valen 86 libros á 4 l'I'all's. Multiplican! el lI,íme,'o de libros. que ('5 86, pO.I' (,1 valor tle uno de dlós, qúe (~S 4 r('ales, y ¡¡aeo C¡IW valen 344 \'I';,J"s. 2.° ejl'Inplo: si quilTo avrriguar lo qne ,,;¡IPn 89129° "a,'a·s dI' pailO á 50 1'I'311's la v(Jra, multiplicaré (,1 nílFflI'l'O de varas 89( .'9° por (,1 "alol' de una ' d(~ rilas, (llIr ('S 50 l'('al~s· , y hallaré (iue valen 4456450'0 1'I,;,J"s. 3.c,' ('j,'mplo: si r¡ui,oro avrl'i:;nal' (,1 valor t1e 2;25 arrohas d" ,lel'ite, vali"IIt1o ' I:f- adoba ' á 108 l'I'ah's, mulliplican; r,slos dos uílllH'ros ('lItl'(' sí , Jeofllo lit! di!... cho {¡6), y sa~al'é qnr val"II· 2~¡,4300 I"'al,'s. , 80 P. Cómo Sl"l'I'<111c.('n nllÍdquJ(,s de cSIH'cie superior á uUHladl's d(, rSlll'ci(' itir'Ti/H'? ·' ll. Mulli/Jlieando el /Il¿mero de unidades de especie supcrior por al/uel nr¿lIIctlo 'que ,,c'un sus unidades esprcsa la,~ I/ntdades ' de especie iJlferior de que se compone la' ma,or. 1.cr ('¡,'mplo: quiero saber ~tianlos, pi ('s tirIlNl '·8varas; como la vara tIS la unidad 'de especie supe-

DI!: N 1 ~ O s. 3" rior, y se compone de 3 pies, multiplicaré el núm"I'/) 8 de varas por 3, Y tendré en el pl'oduClo :14, lo, pies que ha y eÍl 8 ,',aras. 2.° ejemplo: quiet'o saber cuantas libras hay en 754arro~)as; como la arroba se compone de 25 libl'as. multiplical'é las 754 arrobas por 25, Y sacaré el pl'O- ' dueto 18850, (IUC es presa las lib1';¡s de que se componen las í 5 4 anobas. 3.e!' ejemplo: quiero averiguar cuántos maravcdi:ses hay en 83 dohlones; para esto multiplicaré ·el 83 por los ma ravédises que tirne un doblon, que son !l0 4o, y saca ré que son .69320 maravl'dis('s; pr.-o comó no rs fác il COBservar ,'n la m emoria las lIn·idacl,'s de especie illfl'I'jol', de que se compone la sI1PI·rior. cuando ' hay olras unidarles - intennl'dias, ' y lo que se' conserva con facilidad es (,1 Ót'den COIl que se , suced('1l las llJlidad(~s, es mucho m r scómodo 1'0 estos casos' el i¡'las l'l'ducicndo sin inlrf'l'upcion. Así, el\ d ejemplo lH'Op~lI~SlO, v (';'é . prim(a'o cuántos pesos hay en Ii's 83 doblonrs; d~spups los Ilesos que saque, vel'é los rfalt's que componl'u, y IUl'IlO ('ste . número de nalrs vl'l'é los maravcdiscs que t,ienen,. como se p1'rSl'Dta en (A) . " PI' iml'ro mulliplico los 83 doblones por que , son los p"sos (llIe ti"ne un doblon , y saco 332 pesos: multiplico d('spu('S estos 332 ,p~"sOS . POI' 15, que son los l'I'aif's 'lué' tie1H~ 11n peso, y saco 4980 rt'aJ¡~sl luego, multiplico es le Ilúm('!'o de 1'I'alrs pOI' 34, que 80n los maravl'disf'S 'fJue l¡pne un nal, y saco que lo." 83 doblones coul.ipfl(·1l 169:' 20 maravediSI's. , 4.° ('jl'mplo,: quil~I'O aY(' I'i ~ Ua, l' cuánto importan 87 qninlall's de sl'da á 12 l'I'alt·s Já ouza. Aquí pI'imero tengo '1 1.1 e "~'I' las onzas qllc hay elí 8 í quinlall'S, JUl'gO multiplical' d JlÚm'TO ql¡e nsulte de onzas por 12 rl'al<'s, 'l"e es su' valor; lo que haré como sc ma' nifil'sla en \ B ). - . Multiplico 10.v87 'luiníalcs TJor 4'0qu,e ' só~'q las ~r. ~ rob~s que hay I'Il el quinta'!, y saco 348 .!ll'l'obas: multiplico despues estas a\'1'o~as por :05. 1 que

.J,.

•

ARITMÉTICA

l~s libra ~ de que se compon"e la ~rroba, y saco 87 00 lilwas; mulLi plico despues ,este número de libras por J 6, que so n las onzas de que se compone la libra, y ~aeo que los 87 quint.al es tipJl en 139200, onzas; y multiplicando ahora este número de onzas por I 12 r ea lrs. valor de la onza, tendré 16 ,0400 realrs, que será rel valor de los 87 quintales de seda á. 12 r eales la onza. (A) (~) 83 dobJonrs. 87 quintales.

4 348

pesos.

alTobas.

1740 6~J6 ' ;.;

49 80 34

reales.

87 00

libras.

!6 522

d9 200 12

onzas.

2í 8 4 139 2 1670400 rral~s. 5.° ejemplo: se quiere saber cuánt.os 'minutos primeros hay ('n 6 dias; p ara esto reduciré los 6 djas, primero á horas, multiplicando por 24, 24 que son las horas que t'iene el dja, el nú6 I ' mero de los dias, qUl! es 6 \ des pues multiplicaré las hóras que me r<',m ltPn por 60. qu e~ son los llliñutos prime1'os de que se compone la hora; y ejt'cutant!o' la ope., racion 'como aquí ~e manifi esta: Hallo que en 6 djas hay 8640 'minutos

NI Ñ O s.

CAPÍTULO ,V.

De la ,operacion de dividir, ó de la divisIolI. 8 I P. Qué es dividir? R. Dividir ('S averiguar cuantas veces un .número contiene ti atto, Ó buscar uno de los factores cuand() se da conocido el producto y el otro factor. La operacie)ll, pOI' mrdio de la eua l se ejecuta esto, se llama divil;ion; el ullrnero que h~ de c.on LEller, Ó lo que es lo mismo, el que se ha de llividir se llama divide.n do; el que ha de esl.~r conl.enido, ó aquel por 1.'1 que se ha dI, partil', se llama divisor; y lo que resulLa cociente. La operacion se illllica con dos pun LOS, ó escribiendo el 'dividendo , de'b ajo una - , que se l ee di"idido por, y debajo el divisor; así, 12: 4- = 3 ó

1.1 = 3,

quiere decir,

que dividiendo

por

resulta :\, Y se lee doce dividido por cuatro igual, tres. 8" P. Cuán Los casos ocurren I'n la division? R. Tres: diCJid~r un número dijito por" otro díjíto; dioidir un compu esto por uno dijito; y dividir uno compuesto por otro compuesto. 83 P. Qué hay que hacer para dividir un_número , díjiLO pór otro díjito? , R. Para dividi,' un m'lmero díjiLo por otro díjito, y aun uno compuesto solo de dos guarismos por uno díjit.o, (¡ue sea mayor, qu e. 'el guarismo de especi e snpPl'ior d pl compurslo, no hay mas qlte sa,ber los p roducto s que r esultan de multiplicar e,ntre si los números dijitos; porque, considerando al dio/:f'endo como un producto, no h ay mas que averiguar por qué número s,e n¡ecesita multiplicar el clivisor para que el producto sea igu6tl al dividendo, ó el pnoftucto inmediatamente infen:or á él; Y si de repente no ,acur,re, se IJa multiplicondo mentalment.: el l ', , '

3'8 ' Al\ITM~TJCA 70$ núm,eroll dijitos, hasta que se .llegue d tui~r ~n ~, prnductn 131 dividendn, ó el producto inmediatamcnto inferinr al dlvi4endo ; y aquel número, pnr el que se 1laya multi¡,licadn el divisor, será el endente. I.cr ejemplo: quit~l'o sauPI' cuántas veces el 8 conticne, al :1, Ó cuánto es 8 dividido por :1; si no veo des,le luego por qué número ' debo mnltiplicar _ el :1 pal'a que pI'oduzca 8, empp7,al'é mllll.iplicantlo mrlltalmente el :1 por lodos los números dijilos Lasta que ('Jlcurnlrc por producto el 8, Ó 1'1 inlúior que . mas se le acerque; y así diré: :1 pO I' t es :1, Y como !l lIO es ig,ua I COIl 8, siga: :1 por:l son 4, que como 4 lIO es t'ampoco igual con 8, continúo diciendo: :a pOI' 3 son 6, que como 110 es. igual con 8, sigo: 2 por 45011, 8, Y como es te prollucto 8 cs igual COI1 el dividt'ndo que se roP. (lió, y pua hallar este producto ~e multiplicado el divisor 2 por 4, digo que el cociente de divit.lir 8 pOI' :1 CS 4. 0 2. cjPJnplo: s i quisipl'a averiguar cual rra el cocicnte ele t.Iividil' 9 por 4' , diría, si desde 11I('go no ad\'crlía cual I'I'a: 4 por I es 4. qm' como no es 19ual con 9. sigo: 4 por 2 son 8, flUt' corno lampoco es igual con 9. cOlltilltío: 4 por 3 son 12: y como ' J:I es mayO!' qm~ 9' advit' l' lO que 110 caLe un IIlllfle:" ro exacto dc "eces (,1 4 en el 9' Y fIlie si('nclo d pl'Oduelo próximo illl"Tiol' al 9 (·1 8; digo 'lile caLe 2 vecrs y algo mas. Lo q\H~ ..!t'be '5(' 1' 1'1 co'Cil'nlc algo mayor que d llI'IIf1"rO qne ]¡, COlTcspont.le, SI' intl ica d e rsle modo: al lado dl'l codrn te se pone la dife'rencia (Ine hay rnl'l'c rl dividrndo y rl prolJ ucl O que rrslllLa de multiplicar (,1 divisor por rl cocirllte. drbajo se pone una raya., y d,'Lajo de la raya . el divisor: así, como aquí la d?!'errncia I'nt!'!! d dividendo 9 y ct produclo 8 es I • Y d divisor es 4, el verdadero cociente se indica

'i.

y se lee dos y un

'cuarto. Para leer todas estas rspnsiones. , se lee el ' número que está encima de la raya (que es la resta 'que queda Qe haber q'((it~do ' del dividendo p.I 'to-

DB NI:E:ioS. 39 Du cto I1rl divisor inm(·¡j ialo i/lfrríor) cqn los n omhrcs IlUm(·I'a )l·s. al)so),!!os, y d qlle eslá J('baio ele ' la raya COIl los 1.J Omhn's IInml' ra) ,'s pat'lítivos, si 110 lkga á 10, Ó COII los a})so)1I10S si lI"1P Ó ]Iasa dc 10; p('ro se aiiaJc d.'SJ"H'S J" lodo la 1"..'lic:.n)a OVO$; y. así la esprl'sion 2-t4 se lccl'á dos y nueve ,'olf!r ce

ovos. 3.cr rjrmplo: si r¡nisirsc divi.lir 56 por. 'l, ji no Vit'SI' desel.· IU"go cuantas VI'Ct·S rsla!.a (.) í contenido rll 56, Ó pOI' ()nt' 1I,'lmt'I'O d"hia UJlllril')it;ól.r d 7 p31'a que rt'slIll'ase .' ) 56, ('mp,'zal'ia Ilicinlllo ITlI; Ula)ml'nl!': 71)0 1' I ('S 7 ,. V..l·O f)11l' h, falta mucho para. 5"1' igllal COII 56, 1'01' lo fI"" atlvil'l'lo qlll' /1.0 - 1"11-, go n"cesi darl J(, mullil'li ra l' {'d i' 2. 1'01' 3, tli allJl pOI' 4; y así, paso á ver si multiplicándole por 5 ÍlI'o.I"CI' 1'1 56; Y corno 7 )'01' 5 son 35, y Ir falta á 3.5 mn cho para (,1 56, 110 lIlt, ILil'licaré pOI' 6, SillÓ qUl: pasaré á multiplicar por '! i"IIIIt',~ (\'11' í por 7 son 49' . (1'11' corno no es igual COII 56, paso á mnltipli"al' por S, Y t"Ilf\o que' 7 1'0 1' 8 SOI~ 56; Y como 56 rs (·1 tlivid"IHlo, di go cnlÓnCl'S 'luc c,l ¡, c¡;lá conl.e- , ni,lo 8 VI' I't ' S (' 11 56. 84 P. COII Vil'lle que los niños. se ejerciten en . ha~ llal' I'sl.os ClH'i'·utt·s? R. Sí SI'ÚOI': l,ol'qne ru rslo consiste foda la , di-: ficIII 'lad dI, la t1ivisi o~ l, y rsl e "S 1'1, mp Li"a de poll!'l'h· s aquí todavía ;t1¡;1l1l0S I' j.'mplos p :)J'a qlH~ ha1I.·u pOI' sí mi sm os los 1;0ci"II.ll·S, ha r i,'uJo H11' lIlal-

mrllLe ('s las JlJn llipl icaciolll'S lwsla f['''~ 1I"glll' u al producto i~llal con el (JiviJt'llIlo, Ó al illm,'diata' n1l'II11' infl'l:iol" Y allur¡ne ¡;-,s pal'I'Zt;:J que lal'\lall :11go, no im poda , P0l'IlllC tle "slc modo, l'sláu srguros de 110 rqllivocal'sl', y se pOlldhíll ('11 muy poco tirmpo lan cOI'I'Íl·nlcs, -. I!UC á l'l'imr¡'a visla los co~ 110C(' I' ¿\n.

l.el' ('jem plo: 28 dividirlo por

.---

4 da

7 ' 1'01' cociente.

~.o t'jemplo : 47 divid ido por 6 ~a í~ pOI' cocicille. a.el' ejemplo: , 39 divid ido por

4 da 9! por

.A UIT MÉ TI C A

4.° ejemplo: , 85

58 divi4id'o por 7 da ' 8~ por cociente.

P . Cómo se divide un número compuesto por

UIlO díjilO?

R . Se coloca ellii"isor á la derecha del dividendo, correspondiéndose en un misnw renglon; se tira entre los dos una raya de arriba abajo, y se tira otra T"a-j'a debajo del diví.~or • .lIecho esto, se torna el (Juarismo de es/~ede superior del dividendo, que es el que está mas háda la izquierda, y .~e vé cuan/as· v.cces eh e's te guarisrrto está contenido el' di/lisor , y se pone este cociente debajo de la raya 'que está por la parte inferior ¿lel di"isor,. si él primer gU(l,rísmo del di,,/:dendo es menor 'lúe el divisor, no se puede contener este en aqúcl, se torna otro (Juarismo mas del dividendo,. y para que se sepan los que se han tornado se pone una cmnaf, y se "é cuantas "cces en aquel ).número de dos (Juarismos se contiene el dioisor, poniendo por codente lo que resulte. Despues se multiplica este cndente por el divisor, y se coloca el producto debajo del (Juarismo, o de los dos (Juarismos que se separaron con la coma en ei d,:"idendo; se tira debajo una raya, y 'se resta este produclo del (Juarismo ó guarismos separados. Al lado de esta reste¿, ó al lado de o 'si nQ quedó ninguna, se baja el guan:smo s/:guienbe, y se vé cuantás veces en esta resta, junta con ei guarismo que se bajó, está conl.enido el divisor, y el ntj.mero que r e¡sulte se pone en el cociente á la derecha del guarismo hallado ántt:s,. se multiplica este segundo cociente parcial por el divisor,. se coloca el producto debajo dél segundo di"ir.lendo parcial; se tira' una raya y se resta . Al lado de lq resta se baja el guarismo siguiente,; ,r se procede deí mismo modo hastClJ que no queden TraS guarismos que bajar en el dividendo, teniendo cuidado de ir apun tando con una coma el guarisriw que se baja para no equivocarse. Si al fin quedase dlgun,a resta se pone á la derecha del cociente con Uf/a raya y el divisor debajo.

DE N rÑ OS. ·41 86 P. Cémo haréis esto sensible? B. Con un ejemp lo : si tuviese que dividir 735 por 5, pondría el divisor á la derrc.ha del di vidrndo, srparándolos con una T,a ya til'a,da de arriba aba. jo} y ti l'aría otra raya debajo del divisor en esta forma: Separo con la coma el .pl'imrr 5 \ gU31'ismo de la izquierda del di v id('IHlo, que es el 7 , Y di:l3 go: el 5 en el 7 ¿ cuántas ve 20 ces está cont!'niuo '? veo que es una vez, por l o (iue pongo ¡ debajo de la raya del áivisor; multiplico este pl'imer cociente parcial 1 por el divi00 501' 15 , Y digo: .1 ve.z 5 -es 5, que pongo debajo del dividendo pa l'da l 7; tiro una raya y resto 5 de 7 , diciendo: .d e .'i á í van 2, que coloco debajo de la ra~a. Al lado d~ este" bajo el guarismo siguiente del dividendo que es 3 , le -apunto, arriba y qigo: el. S en 23. ¿ cuántas veces (·stá contenido? baIlo que son 4, y pongo este segundo coci,·nte parcial á la derrcha del primero; le mulLiplíco 1JOr el divisor 5; coloco el pl'oducto 20 debajo dd ' segundo dividendo par- . cial 23, l.i1'O una raya y resto. Al la,lo de I ~ resta 3 b ajo el gual'ismo siguiente 5, Y digo: 5 eu 35 ¿cuántas veces está contenido? veo 'que son í, pOllgo es~ te númuo en el cociente á la d{'recha d (.l 4, 1(,. multipli co por el divisO!' S, y co loco el p/odudO ' 35 del¡ajo del tercer dividendo parcial j 0<1'0 ulla raya y ¡:esto; y como 'no que,da nada, ni {la y mas guá I'ism.os que bajal', digo que el cociente de dividir 7 35 por 5 rs 14¡. ' 87. P. Ha y que tener presen tes a19u nas cosas en esta oprr3cion de dividir? . R. Sí s'r ilor: lo ,.0 que se debe saber . es que no se puede poner de una pez en el cociente nada mas que á 9; lo :l.o que cuando se baja un guarismo,

~'li\5,

:r 1,

4' ,

AR1TIliÉTJCA

en él junto con la resta 1 si la hny, no cabe el dí¡jíwr, se: pone o en el cociente; lo 3.° que lodo número cabe I'n ,~¡ mismo l/na vez, IÍ lo que es lo mismo, que si Se tiene que dividir un número por ,~i mi.smo, el cociente es 1,. lo 4.° que 'lodo 1~lÍ.muo dividido por la unid ad da por cociente el rnismo dividcr.¡dn,. y 10 5.° qu e o dh'idido p()r cualquier número siempre da o por cndente. 81\. P. Podréis hacrr u,o dc. eslas ad'v¡'¡'lrllcias?

B.. Sí , sl'ilor: supO!Jgamos (¡ne ,[ni ¡'ra divitlir 42<)í' '1 por í; colocar~ ,,1 ¡Jiviul' Hllo y el divisor scglll1 !Ir. d icho (85) (' 11 I'sla fonna : 42,°'7,2,3, S "pa ro con la coma dos {;lIarislIlos e n rI divitl¡'lldo, pOI'- ,42 qne el Pl'imrro 4- es mnl'lr - - - 6010 31 que el d iv iso l' j, y tli gp: í 1'11 0007 42 ¿ cU3Btas V¡~C(' S? VI'O flue ·7 s,oÍ! 6', ' y pungo 6 en el co---~i¡'lIle: mulliplico "l · 6 p or 023 flj - diviso r 7, 'Y rl pl'oduelo 42 21 1" pon~o ¡J,'haj!? dl'l div('(l <'lldo p~rcial 4', 1;1'0 la ra¡ya y 0:1 l'Cs to. Al lado de la l' (' ~ la 0 0, bajo (,1 gnari,;mo siguil'll tr, r¡111~ rs o; y como rl 0, no COn fi t" t U' UílJg ~nja 'V(~Z al ;, ni á Jjin~lIll olro ))11IUrI'O, !,fll'l;O o I' n 1'1 coci.:1I !I~ ' á la d~I'I, ('ha tld 6,; ])3jO 1,1 gna l-islTIO sigllil'lllf. flnt' rs 7. Y digo: l'l l' ¿ cuántas ''''C(' S f'sl:í' cOlltl'Jlido I'n j? \'1'0 t¡UI' I VI'Z, IlOn;.;o ) I'n 1'1 coci('¡Il(', k mli.Jliplico VOl' 1·1 di/iSOL' 7, Y (~ I p¡-O dnclo 7 que saco J,: pongo o,'bajf? Jd divi d l'lll-lo parcial 7, Y r1'sto. Al lado II¡, la rt'sla o, bajo el glluri smo 5i.;';lIil'llll~ " y di¡;o: rl 7 I'n :¡ ¿ cuán las v('c¡'s? allvil'rto fine no cah¡, nill gllna vr1., pon go o en el coci~ llll', ha jo 1'1 gnal' ismo sigui"1l te 3, y¡,o 'llle , t'U :>3, cal,,\ 11' ('5 VI'CI'S 1'] 'i, pongo 3 rn el cociente, le mllllipllco pOI' el divisor 7 , Y coloco el producto "1 d,'ha jo d¡" :>3, -y "I-S[O. Como ya no _ ba_y mas gn3l'Ísmos en c,l Jivi den do , pongo ta n sta. ~ ;t la tle r n" ". i!"¡ c.o¿ienlc con la raya r pI ¡J ' , ,' ,

. ti Ji:

N 1 ~ O l.

debajo, srgun he dicho (83 ejemplo !I. O ) , y aquí se v i!; y digo que el cociente ele djvi~ir 4'20723 por 1] ea 601031-

89 P; ¿ Cómo se ejecnta la op~racioll de dividir un Dllmrro -con1ptH'sfo por otl'O compllc'sIO? ~ l R. Se coloco; el divisor á la derecha del d/:vlde'ndo -separándolos con una r aya j y poniendo otra debajo del ~ divisor segun se ha dicho en el caso aalcrior; dcspues se sepáran con una comet á la i.zquierda del dividendo tantos guarisrnos como [·¡ene el divisor , ó un guarismo maS sí en ellos no cabe el divisor. SI-pa":. rados ya estos guarismos, se oe c~Lal1las CJeces el primer guarismo de la iz,/uierd;a del divisor está contenido en el pr~rne.ro del dividendo (ó en los do.~ primeros si se tomó para el primer dividendo parcial un (Jultrismo mas de los 'file tenltt el divisor), y.el número de lJeces que esta con/enido se pone en el cocie{l/e; se m/lltiplica este cocich/c por todo t:l di,'isor, y el produclo se cO[II/:a debajo 4el dividendo parcial, se ti, :u una raya :J" se resta de él. Al lado de la rusta se baja. el guarismo siguicnJ'c , {eni'J.n do cuid~do d'e apuntarlo con la comet en .el dividendo; y se "é cuanlas veces el primer (Juarismo del divi$or estrj cOll(rnido en el primero (si ticne tflntos el lino corno el otro) ó dos prilllaos del dividl!/ulo (si tll ~iesc es/e uno mns que el divisor) ; se pone C$fc mí.mcro en el cadente á la derccha del p6,,'.cr col"Í,!nte parcial, ' se mullip/icn por tildo el divisor, SI! tir a la raya y se res/a. A Liad" de la re.';ta .~e baja el guarismo si. gu:ente; y psi S¡: procedc hasta queJlO haya mas guari$rrlOs que baj"r; y $; al fin 'l/teda olgllJ,1a resta, se pone .á la derecha del cociente con Ulla, raya y el di"isor d l!bajo • ...!. J. cr rj "m plo: si c¡nirro dividir íía por 31, c010, ca ré rl d (V isor 31 á la elrr<>cha dI'! el ividrmJo 7; 5, separá.ndolos con tUla raya com o ~sp. v~ á la vm'lta: y despucs de hab,e1" , tirado ol,ra drbajo dd divisor, ~eparo a );¡. izqnicrda d~l d.iv iam.do' ~os .

ARITMÉTICA

y veo cuantas veces está conteni77,5, I '~ do en el pI'imero, que es 7' el pI'i62 !tS mero del divisor fine es 3; hallo 15 5 que son dos veces, y pongo este nl,lmero 2 en el cociente; ahora debo multi plicar este cociente 2 por lodo d divisol' 3 I y... coloco 00 o el producto 62 d..t.lajo del dividp.ndo parcial 77' tiro la raya y I'esto. Al larlo de la · resta 15 bajo el guarismo siguiente que es 5, Y como J HOI'a tengo por segtlndo divid'e ndo l,a.rcial un núml'1'O que tiene un guarismo mas que el divisor, ave.riguaré cuantas \ veces en los dos primel'os guarismos de este dividmdo está contcnillo el primero del -divisor, y así dil'é: el 3 en 15 ¿ cuántas veces está contenido? veo , que son cinco, y pongo 5 !'-n el cociente á la derecha del 2; multiplico todo el divisor por este 5 y coloco el Ill'oducto 155 dehajo del dividendo parcial 155; tiro 'Una raya y resto; y Gomo no hay mas gllarismos que baja!', ni queda resta, digo que el cociente de dividir 775 p.or 31 es 25. 2.° ej(·.mplo: si rrniero averiguar cuantas veces. cabe el 523 en 388066, colúcal' é los números como se vé en (A¡ (A) (n) 17 36 ,9,5,2,. 834 3880,6,6, \ s!t3 366, - - 166B

---

021 9 6 01046 10 ·46

74 2 0068 9 5 66 7 2 02 2 :<\ 1

668

00 o o o 56 4 Sepal'aré C1.~atro 'guarismos en el di·v idendo. y di,'é: S- en 38 ¿,cuántas veces? son í' que pongo en el cociente; rntlltiplico el 523 por 7. coloco el producto 3661 debajo del l dividcndo parcial ~.

NÍNO

una raya y resto. Al lado de la resta !l I 9 bajo el -6, Ilallo que el 5 se contiene 4 veCfs en !l I j pongo 4 en el cociente j multiplico ~sle cocienle 4 por el divisor 5!l3, Y el producto !l0!J2 le coloco dc-bajo del dividendo parcial 2196, y reslo. Al lado de la resta lQ4, bajo e.l guarismo siguiente 6, veo que el ,5 está dos veces , conlenido en ello, pongo !l en el cociente, multiplico por el divisor, resto el producto del dividendo parcial 1046 j Y como no queda resta, ni hay mas guat'~smos que bajar, infiero que el cociente de dividir 388066 por, 523 es 742. 3.er ejemplo: si quiero dividir 173695'2 por 834, lejecutaré la operacion como se vé en (E).

Y hallaré que el cociente es

208 im.

4.° -ejemplo: si .se divide 38039 2 !l por 7=29 sale ·5218. 90 P. Hay mas dificultades en la div,ision? R. Sí señor: los ejemplos resueltos hasta ahora se han elegido de modo que no haya qll:e ha~er ningun tan léo j pero suele ocurrir que en el cociente no se . debe pon~r siempre el nllmero que resulta de dividir el primero ó dos primeros guarismos del dividendo por el primero del divisor, sinó que en muchas ocasiones se necesita hacer algun tantéo para averignar las unidadc-s ([u.e se le llt·Len poner de ménos j lo cual detiene mucho á los vrillcipiantes, y origina él 'lile muy pocas pr.l·sonas sepan hacer una division, cuando apenas se hallará una que no sepa hasta ejecutar Ulla mnltiplicacion. . , 9 ¡ p. Es esta una gran dificultad? R. No seÜf)l": solo 10_ sería cuando se 'quisiese ,esplicar á un mismo tiempo el modo de ejecutar la lhvlsi51n y el de !Ia llar el verdadero cociente. ; pero como esta obrita está destinada para ros niüos, de llan pcrseutadn ántes las rrgla~ gc'nerales, y se han aplicárlo á rje.mplos, que no pnsmtando ninguna dificultad por parle de los cocientes, manifiestan dicha a pli~acioll de la~ rrglas generalcs ,de la diyision. 1m-

AIUTM~TtCA

puestos y adiestrado" ya los niúos en e~tO$ e}fmplos¡ se d ruicará ll ahora á saber cuál es 'el COCielJle que de'b en pon!'r. " 9~ P. Cnálltlo ocurrrn estos tantr.os? R. G(·,rt{·ralmrllte' si('mpre que el s!'gullc1o guar ismo drl divisor sra 5 ó mayó¡- que ' S , ó siempre (Iue. sea mayol' qu~ r.I prim,'ro. ' 93 P. Qné tldJe hacrl' un niño al encontrar un, _ diviso l' de esta ('sp('c ie paí'a 110 fJlH'darse parado? R. Poner en el eo'CÍenle ,el número de veces queel prinler guarismo del di¡;i.wr está contenido en '.el ,p rimero Ó dos primerós del dí"id¡:ndo; ('jrcutar la ruullipliracion; y si este proulIcto 110 1'3 mayol' que (,1 diviuI'lldo ~arcia), es pl'u"ba de que el cocil'llte 110 rs m ayol' (Iur. el que le COLTl'sponde; si es mayor dicho producto, el guat' ismo pW'SIO ('n el coc¡eflt~ rs rnayOl' · de lo que d('be, y se le quitará lo rnéllos ulla uflilaJ; en caso de no ser Iln produc10 dd uivisor ]l0r el cociente h al lado rnaY9r qu e el di vidl' ndo pUl'cial, lo que rs pl'uI'ba , ue no babel' PUl's tO un coci"nte mayol' qU!\ 1,1 vI'ruac1('I'o, se e jecula la resla: y si rsla ('S IIH'nOl' que d divisor. ('s pl'lH'ba d,~ (iUt~ el cociente no es rnrnor qu e d vI:rdadl'ro ; si I'S igualo mayor '1 ~1P. dicho ¡jivisol', es -prul'ba d,~ (lil e d coci('rlll' ptH'slO es m~JJoJ' que el que corn'sponde ¡, y se' le d"¡)(~ aüa di l' llna unidad 10 ml:l1os. · Sabiendo ya pOI' las c1qs o<bsl'rvacionrs anleriol'l'S (!11l~ un cocil'llte no ('.s m~yol' ni Imenol' que I'l vl'rdat!no, pUl'd,'n l'star los nifios Sr¡!;UI'03 de qUl~ el cocimle pUl'slo l'S el' que buscaban. Ahora bien, como he '¡j icho (ti i), r¡ 111' lo mas. que se · pu~dl~ POI1 I'I' d,'. una vrz ca d Coci¡'lIle ('s 9' Y por oll'a PP. I'L¡' lo rnéllos (tUl' se le pUl'f!t~ [>0 11\'1' es o, !olo h ~y di(·z diFtWClítl'S COcil'lll('s parciales que po:d"l' POIl('!' , y r.sí, ('1 n,'lfU('I'O mayol' de t (' nlativas qne sr podrían hacrr ! 1'I'íau r,ucv,c. Mas por la nao:.. turah'za de la 0l"'I'ac,ion NI nill?;un.. caso pu,'den Dellrril' mas de cuatro ten ta liv.as; luego 110 ·hay motivo para que un principiante se ~are al ejecut.ar

DI!!

una de rstas oprl'aciollrs: pm's :iun en el caso ele no saber las vrCl'S qUI' ,,1 pl'irnrr gl'{'I'ismo dI'! diviSOl' rstá .collt"/liJo eH ,,1 fll'irnt'ro ó db prim('ros del dividl'udo, 110 lielll~ mo-tivo para dHr ll ....sf.\, porque d,·be POII"I' en rsl" caso UIl gnal'isrno cualquina; y aV"I: i:~uando d('s'purs si ('S milyor Ó mellor que el ve,'daell'I'o, le quita,'á ó añadirá unidad.,s hasta que Ij¡'gu e á uno que 110 sea ui mayor ·ni m r nor que lo q'J(~ JC'be ser, (,1 c,nal sr l'á ,,1 v,'raadero, Este m~lodo pancrr:'t algo largo , pno es se:;l1I'O, no ('stá <'slwrslo á ('(l"ivocaciours, y un lIillo' , sin auxilio de lIadir, ej"clIlal'á pOI' fm· d io de él o[ll'racioll('s que son suma .. . / ml'llte di!icnltosa s , y anll impos ib ll's pal'a .los que desran a pn'llJl'l'lo loJo dI'. una V('z; y así SI' pondl'á n . tan Ji es tl'os ,'/1 poco tiempo, que no necesitad,u ha- . cc/' ninglllla l"nlativa, 94 p, Conv"/1l1rá quc los niños se ejrrciten en bac('I' rstas t('/llativ as? R. Sí S('liDI'; y por oso hay aquí varios rjrmplos. 1.° Quil'ro di"iJil' 152 56 por 5'9; colocaré el divísor á la dlTrcha dI'! Jivid,·¡tdo, y ti/'aré las rayas ' <lomo SI' ha dicho (89) Y aquí se vé: S"paro tl't'S guari,s mos "11 d Jivi,h'IIJo, y di go: 5, primer guarismo dd divisor. ¿ cuáulas ,",~ crs ('abc ('/1 ,5, ,los prim,lros ' gual'is rnos ,j,,1 di " irl rlldo? bailo qn" son tres vrcC's, y l,on.¡;o 3 cn d EOC i"UIC; multil'li'co ,,1 divisor 59 1'01' "S l.' c()ci,'nl~ 3, Y coloro 't'¡ prodll!' lo I ? ¡¿<,bajo ,d,' 1 divi(/¡'udo parcial 152; Y como rst.I' producto ~s mayol' qlll'.. ,·1 "i \< id~llIlo, infi,,/'o q Ile ,' r h(, pnrsto ('n ,,1 coci"1l ll~ mas de '10 , qt1l~ COIT('spo/lIl~a, y' así le °34 ~" qllilal'(~ u/la ulliJ dl.l al 3 y le pondré á 2; por cOllsiguirnle _ ,h on'3l'é el a~,. é i¡;u,almi',nte el 1 ___________________________________________

48 A R 1 T M É TIC A, producto 177, Y colocaré el 2 debajo del 3 bórrado, multiplicar" l'l 59 por dicho cociente 2, Y el producto 118 le co locaré debajo del 17 í llonado ; y IlOmo es ~lenór que el dividendo parcial 15:,", ·tiro la raya y resLo; y como la rrsLa 34 es r.nenor qu'e el divisor 59 , infiero (iue 2 es el verdadero cocil'llte. , Al l~ do de dicha resta bajo el guarismo siguiente 5, hallo que r.l primer guarismo 5 del divisor (~sLá conte.nido 6 veces en los dos pl'imeros gUaI'ismos del segundo dividendo parcial 34.5 , pongo 6, en el cociente á la derecha del 2; ejecuto la multiplicacion y coloco el product.o 354 debajo del 345; Y como es mayor 'que él, infiel'O que el cocient.e ha de ser menor que 6, por lo que lo horraré; bOl'l'aré igualmente el producto 354, y ponrl.'é 5 en el cociente; ejecuto la multiplicacion de este codente S' pOI' el divisor '59 colocando el prqducto debajo del producto anteriol' rayado'; tiro UIJa raya y resto; y como la n'sta 50 es menor que el divisor, infiero que 5 es el verdadero cociente. Al lado de csta resta, bajo' el gU31'ismo siguiente 6, Y digo: 5, pl'imcr guarismo del divisor, ¿ cuántas veces ·est.á contenido en 50, primrros dos guarismos del _dividendo pUl'dal S06? advie.rto que son 10 veces; pero como (8 í) no puedo jamas poner mas de 9, pondré este guarismo en el cociente, y pago' la IDultiplicacion; mas como el producto 531 es mayol' que el tercer dividenuo parcial 506, borro el 9 y dichlJ producto tambicn; pongo 8 en ' el COcil'hte, le multiplico por el divisor, y el pl'oducto 4í2 le reslo de 506, Y como no hay mas gilarismos q,ue bajar, pongo la resta al la de del cocicnte en la fOl'ma dicha (83 ej., 2.°); y escl'ibiendo afLOra 1ddos los guarismos en un mis-' mo renglon, como me hubi"ran rrsullado si no llUbirl'a qucl'ido mallifl'st3r los raciocinios que debe hacer el niño, tl'lldl'é que el cociente de dividir 15~S6 por ~9 es 258t~.

DE NI&PS.

ntlmel'OS como he dicho ~ 1)9) en cs!.a forma: y Jespllcs de separar cu~ tro guarismos . para 11rimer dividendo p:1rc:ial; digo: 1, primer guarismo dd d.ivjsor ¿ cuántas vrces ~stá contenido, en l O? son 10 veces , pero como no puedo poner mas ,de 9, pon{!;o rstc guarismo "9 en el cociente; multiplico el di_o ViS01' pOI:, el co ci"e n te , y pongo el producto ,1 755 debajo 39 del dividendo · parcial IoN>, 4I9S. veo quc es mlJcho mayor que él, . y así rayo el 9 y e'l producto, y pOIl~O 1) cJl' el cpciente; multiplico el 8 por el divisor 19.') , Y cómo el pl'oductq 1560 es mayor que el d iy i~cndo p~T~ial !ó.56 , ]e -, borro ó rayo, y rayo t ~ mbien el c~ci e nte 8; pongo 7 en el cociente, le mulli pliC"O por el divisor '. y corno el producto } 365 es todavía rnayer que el oividcndo parcia!, le rayo., y 'tamhien ray.o el .1 ' Si con j!l fin de ahorrarme aJ!lunos tantéos, quiero avcriguar' si 4 es el v~rdader() cociente, pondré 4 y despues de ejecutada la rnultiplic.a cion, veo que el producto 780 es menor que el dividendo , parcial, por lo que estoy ya seguro de que no le h e. puesto ' mas de 1;;> que \e oorre5pon.d e; . paso á ejecutar la ,resta, y COlDO .encuentro 2.76, y 2.76 es may,o'[' que el aiv,iso.r.." ad;vierto que le. de~o poná á mas.; y aSÍ, borro ó ray,o el 4. y el . product.o y resta ·antecedentes}. pongp .5 en el coci~nte, ejec~to )á.. multiplicacion ,~, y ~como ¡;~/

4 I í

ARITMÉTtCA

p,'o.lucto 9i'~ r~ rn , Ill)[' que ,,1 diviJen:'o, (li ~;o <¡ne no Ir. he purslo de nlas; nslO, y corr~o bUCO :: 1 'lile ~s ml'nOl' ,¡ue r l di-.. isor, digo que li,mpll co le ,~~ pl!~sI.O de. rnéuos; 11l1'g'0 " si no 1" he P'I<'S:.1 n,' m'~5 ni J ~ ruéno~, rs cla ro 'lue. Ir~ he PllC'sto Jo '11 ;1' le CQ I' )'('sl'0¡¡¡lr'. 'Bajq al lauo d" la ¡' l'sla 81 rl gu~risn,o 51 {;nif'ntC" 9, Y ,( ligo: 1 ru 8, r.u~u.l:l~ vC' e-es? Vt'O '¡ue SO" 8, pero haci i-,ndo las ll"Jlla li vas de án.tl' s, . ~Ch~l'''. Ile VP.l' 'lue 110 le debo ponl'¡- :í 8 ni ;í í , II i á 6, ni ;1 5. ~i:ló 'lil e le' dl'bo pOller á 4; y "jl· C UI.~Il<~() la ml.<lLiplica,:ioll y resta, tr'ngo por ,lll in:o " lue el cociclIl'C

95 R.

(h~

dividir 10569 por 1:J5 es I

54rl~'.

P. Hay nglas para evitar los ta 11 11:05 ? Sí 5<:ilOr: .,C'WIl:l O rI sq;ll udo guacis mo rlrl

d iv is01: l'S 9 Ú 8 es cnanuo ocnrre d ma yOl' 1l ;', mr'I'o al' [anlrOS , y en I's lr· caso se sa ca 5i~f'pl'e ,,1 vl'rdaclero COCil·.llle considerando al primer guarismo del dio;.or como 'fue tiene un a unidad mas; así I'U el cjclI,plo sq:;l1/'"lo de. la nspurs la anterior, si d"sdc ' lUl' go ¡;a¡-a hallar el llrimtr cocj"ule parcial hubiera con~idc¡'a~lo el p¡-imlT guarismo 1 d~l divi sor como 2, POL"[UP el seguuuo cra 9' Y hiJhi n'a uicho ~l 2 en 10. ¿ c uá nlas v eces? al instanle j¡ (, bi'.'l'a I'Ilco.nlt·3"[o 5, que es el verdadero cocienle; y lM~o lo mi"mo para pI srgondo, po ¡-qué Si " en 8 es lá conlwido 4 vc,ces. Es " lal~ útjl l~sla rcgla, qu e se pccsPlllarán muy pocas o¿asion¡'s en r¡uc 'no 'S<: "cl,i fique; y si o ~ u~Te alglln caso, solo habrá un fan'Iéo '[11e hacer, y le co ¡-rr,spondrrá uua unidad mos al coci{'n'te 'que por rlh, se sa'I"I'. Cuando 'el ' segund() (Juarismo se(/. 7 se podrá añadir 1 o 2 unid"e/e. al cociente sacado por Id r egla, t Y pocas vecrs OClliTi¡-á hacer' mas 'tle un ta'nt<;'o .;, l 'amoien es igualm('nle sc'gm'a ~sla: "éa-se si ¿;-! la 'r esta que queda de dividir el primero 'o' do s pr'iTl7.eros guarismos d él 'dividcndo por el primao del divisor ,' j ,¡nta con el guarismo siguienfé del divÍlJendo, cave' el segundo del d.i"i.<or ,(o el mi¡,liIó míme e de vecc's que c'l primcro en el' pri-

i> ,E ,N 1 Ñ O 5. 51 .. mer'; ó dos '"rimeros del dividendo J y si cahe sr. podrá asegurar que d coci('Jlte bailado es el vrrdadrro: si no, 'no ' Jo s(~rá . Ó de estc modo: mulliplíquense mentalmente los dos primeros guarismos ' del dívimr por el cociente J !Y $í el producto es rn,enor que los dos ó tres primeros gu'ar¡smos del ,diviclendo J se 1'0'. ;;Irá tener seguridad de que no se le ha puesto de , mas J que es Jo que se 3cos~llmbra hacer. 96 P . Se puede abreviar esta operacion? R . Sí seiior: pero ánlrs conviene que esl¡:n bien élirs¡ros Jos nillos en eírcutarJa por este mpd,io; y así élrberán resolver los ejemplos siguientes por el método 3n terior. 1.° Si quiero dividir 173256 por 293 J ejecutaré la division como se vé en (A): (A) í32,5,6, \293 1465 - 1

59)~:H

026 7 5 !J63 7 '003 8 ,6 :1 9 3

0084\1

., f

t¡

, ... 1 ~

,Y hallar;~ quG' el cocien1e es 59 I

di.

2.° Si quirro div,irlir 2758737 por '~5,3G, ejecnt;;é- --la oprraoioD 'como se presenta en· {:El): Y' hallo el cocirnte q08i~g~ , . 3.° Si dividiera cirnte

68~eo3

por 284 ', haUa:r-ía por co-

4 279 2. 1] 2.~4.n

4'° _El

cocieJ~te

, '°5 -H.[:9 es ,u 730"

r\.

iU ,

,; de divid'i r

45060 79 1.

por" r

5¡(~6

ARl 'TlI'lÉTICA

R. Haciendo la re s~a (1,[ mismo tiempo que se ejecuta la mullipli~adon del. di visor por el, cociente pardal. Por rj ~ mplo: si qUilll'O dividir 49539 pcr 35; col ocar¿ ,el ilivideudo y el ,divi,sor como he dicho (a y), y aquÍ se vé: , Separal'é dos guarismos con 49,5,3'9' J 35' la coma en el di v id cnuo, y 14 5 --, - 1~ diré : 3 en 4 ca he 1 ve2¡ /) ' y 0053 141;;'35' pongo 1 en el cociente ; mnl1 8 .9 o ,, 4tiplico ahora el divis01' 35 por el c.ocien te parcial 1 , Y r.t;l' , vez de colocar es te produc to debajo ~ del di~idendo parcial 49 para rrslar dcspucs, voy ej ~ culaudo la resla al fl?'ismo ti empo rl lU~ formo el p¡:oduc~o en esta forma : 5 por 1 es 5" de ,5 ,¡í. 9 vau 4, pongo eSl-e,4, que es la nsla deha jo del 9' Y digo: de 9 no llevo nada: 3 P@,l' 1 es 3, de 3 .á 4 va 1, que p ~lJlgo d"hajo del 4 y tl'ngo la resla 14, Al la,do ,de esta nsla ,bajo el guarismo sigui".ute, que c:s el 5, r Jigo_: 3_I'n 14 cabe 4 vccrs, pongo 4 en d cOFien le; mulli,p liw y resto al mismo tirmpo ilicirndo: 5 por 4 son 20, de 20 á 25 van 5 j que PQngo dfbaj& dd 5 del ,sl'gu~do dividenilo parcial, y de. 2,5 llevo 2. 3 por 4 son 12. y 2 que llevaba son 14, de 14 á , 14 no va nada, pongo o debajo del 4, y de 14 llevo 1 jO de 1 á 1 no ,'a nada, y pongo olro o debajo dcJ l . Bajo el guarismo siguimte 3 al lado d~ ta ~' ~ s'~a 5, Y ronliJll~O' la d,iv,ision diciendo: 3 en 5 ' cabe 'una vez, pongo 1 en ,el cocienLe y multiplico: 5 por i es 5 " de" 5 á 13 van 8, que pongo d.l'bajo, dl'l 3 " IYd le 13 llho 1 1; 3 por 1 ,es 3, Y , qu e llevaba son 4" de 4 á 5 va ,1, que pon ~o debajo del 5. Al lado de la l'l'sta 18 ba jO' el 9' Y digo: - 3 en ~ 8:;caIDe; 6 ,veces ;: ',p'rr.o. cmno Ill , 5, fl u,e: es el segundo guarismo del divisor, no ca.be s 6 VfCfS ('n, 9 (§ 95),' que es el otro cid dividendo j' le pOlldré á 5, " y , dil'é:~ ~ po~'" 5 SO'JI :>,5',', d'lj" 25 ¡á 29 van 4, (iue pongo ¡}(,bajo del 9' y de 29 llevo 2; 3 pO,r 5 sou ,5, y :> llue llevaba son 17, de 17 á 18 va 1;"que pongo debajo del S, Y de 18 lleyo , 1'". ,de. 1 . á 11 no va ~~~da.,

DE NI~OS. 53 pongo o .d~baío del 1 (y come no bay mas guari'smo,5 que bajar, pongo la resta á la derrcha¡' del cOci~llle como he dicho (R3 ~i. 2. 0 ) ; y tengo que el cQcimte es ma cuatrocientos quince, y catorce treinta y cinco avos. 98 P. He ohservado q,ue en el srgundo COcil'IlLe parcial el pro.loc!o 20 , Ue. 5 por 4, le uahcis reslado de 25; en eJ tercer cociente pa1'cial el 5, produ,cLO de 5 por 1, le lJahris r estado de' 13; yen: el tíltimo el producto 25, de 5 pOI' 5, le habcis restadQ de '29: ¿ me podréis dar una regla fija ,para sahe1' de cuánto se ha de res!;'r? R. Sí I señar: , para ('sto' se vé el gnarismo correspondiente' de "que se de.be'.re'slall rJ produc to; si de H no se pupde Testar dichp pl'Oducto, se toman Laul as decenas dei ' g-uarismo in'mediato co~o { se ·necesit (·.tl para que 'sé- pueda ejecutar dicha l:esta,. teniendo cuidado df lJ(ivar en cuenta es1as decenas pal'a aiiallidas desp.llei al producto del guarismo siguiente; y así se

contintl.:t.

99 P. Cómo se conocerá aquí ,si se ha puesto el cociente ,que, corrrsponcl,e ? " ,< R. D ~ I mismo modo que :íntes : se conoce si se hct puesto de mas si al fin no se puede restrftr por llevar mas unidades de Zas que hay 'en el último guarismo, y para esto se hace ántes la multipJoillacion mpnLal del cociente per el segundo' gual'ismo del divisor i y se conocerá si se le ha puesto de niértos si la resta' es igual rí mayor que el divisor. 100 1!. Convend!'á que 'los niños se adiestren bien en eíecutar esta opel'acion abreviaua? ' R. Si seuor,' y pOI" eso hay aquí yarios ejemplos. 1. 0 Quier.o dividir 37~271 por 583; colocaré el , divisor al lado del dividendo de este modo: ' Separaré cu.:¡tro guarismos con I ' do 3 752,7,.1, 1a coma; ,Y como el . segun ' •. /5 83. ' 0254 "1 ' guarismo del ,ui visor es' 8, cdri': 'd él · ' . 5, OH 5 1 l ' 6 43 .o¡¡:;" . 51 e.rar a pl'lm ero, que es . l'ucra · 6 '(§ J 95), y 04 '9 . ~ , COlDO SI

54-

ARll'ñ.ÉTICA

dire: 6 en '37 está contwido 6 vrc,'s, pOll'g'O 6 ell el cocientc; multiplico y l'ClSlo á , llll llliblno tiempo. Al lado de. la resla 254, que es mt'uor qnp. el divisol', (y pOI' lo lUismo da á "Ilt¡>!!der que se ha pueslo en el c.oc'¡¡'ule lo q1Jc le cornspouJía) bajo el gua,r ismo ; siguieu te, que, es 7; Y COI1Siucralluo si¡'mpl'¡', al cje. cúlar la division, al primr.l' gUilrismo 5 dtl divisor como si fuera 6 \ digo: el 6 cn 25 cabe 4 veces; pongo 4 en el cocimLc, y sigo ejec ulando la mulliplica- ' cion y resla al mismo tiempo. Al laúo deJa resla :115 bajo. el guarismo sigui~nLe 1, Y digo: 6 en 21 cahe 3 veces; pongo 3 en el coci,'nle, mulliplico y ros lo al mismo tiempo; y como no h~y mas guarismos cn el dividendo, pongo la res la 402 segun he dicho (83 ejemplo

9 2. ) ,'

Y tengo Jlor cociente 643~~'"

-,> .0 Si qi:tisiera dividir 465.')030'57 por 783 06, " ej~qttaría la opcracion como afluí

SI!

VI!;

3-;"

46 S~o~ ,0,5,7' 178306 074 3í3 o ---;, --03 89765 594sg~~,~. o í 65 4 1 7 060 6 6 3

Si divido 85,23065 por ]203, sacaré, 1.18'3 HM.

iffi.

4.° Si divido 15703026 por 1753 , hallaré ,89 5 7 101 P. Ad emas dp est¡¡ abl'cvi¡¡cion, Ciue eS ,gcHer:¡1 para t odos, los casos, ¿ hay algullas flue ¡;orrcspondan':í C?oS,os particulares? , R. Sí s(~i1o r: cUCbndo el di~ídendo !Y dj¡;isor acaban ell , ceros, ó cpando solo termina en ccr08 el di"isor. 102 P. Qur. hay que hacel' cLl:muo el divid(>Jldo y div ¡so r acaban en CP1'06? . R. Borrat /l n ambos tantos ceros como -hay 'e n el '1l¿~ minos, Por ('j,>,mplo: c[uiel'o flividir , ~,6ooo por 5 uu i hOl'l'aré en caúa uno d y <;~tos númcl:o's , dos ceros, pOI'~;e a,os ceros sQn, lo...!i .cine tiene SÓI¡¡¡UC¡lle el divisO!' 500, Y qu eda n 105 núml~ros con que seJ..¡a de ejt'cutar~ ia ' division', reducigps á 360 Y ;;; ' Y' div¡(!ien~ 01> 360 P[!l' 5 resuita por: cocíellLe 7" f)ue es el C¡lJII hubiera ,salido '1111 dhirlil' 3600Q pOI' 500.

N 1 N o S.

.otro ~¡ ~mplo: si quisiera tlivid'il' 6.00000 por ,:¡OOO, hon'aría ~n ambos in'lIIH'I"O S L.'('s ccr,o s, 'f eslaria nd.ucida la ClIII'J'a cioJl i dividir S<lO por 27.

que da por cClci~llte 2~, !;"

lo qnc ten'gCl el cOclen le 1'5 J"1~~

Ejemplo 2.° Si fju.isrrra · dividir 3765307 p'or '5000._ . e¡" c:1taría la Clprra,cjon con10 aquí se , 'é: . l' c"mo al ',fin -.{,I,/) r;,nl'~ a '\ 3 í,G,,5,(30 í .5 (000 lI ' )J~nna l't'st;J, J{0ngo los 026 1 _ --:::"' j\lIadsytJ0s se!FraJn ~ t'Jl 015 .. í 5.3"ie?6'5 el div·idendo· ~. la 0." 1'1;oo l ' <

ARITMÉTICA

cha del cocicnte eOIl la raya y todo el divisor debajo, c~mo allí se presenta. ro 4 P. Cuando el divisor es la uniuad seguida de ceros ¿ no ha y II inguna ' abl'eviacion ? R. S( señor: eu este caso se separan ó consideran mentalmente separados en el dividendo tantos guar¡-,mos hácia la derecha como ceros siguen á la unidad) y los demas guarismos que queden) espre.~arán el cociente) á cuyo lado, se, deberán poner los guarismos separados con la rG:ya Y el divisó/' debajo • . Ejemplo 1.° Si, quiero dividit· ' IiS,,3 por ' 100, considero separados mentalmen te los elos úl Limos guarismas · ,,3 dd diviueuJo , y los otros 1,,5 esprcs311 el cociente, á cuyo lado se deben poner los guaÍ'ismos separados con la raya y todo el divisór debajo, y el

. .

vCl'dadero cociente será 12 li_U_. 100

" Ejemplo

".0

Si quisiera dividir 8376253 por

}Iallaria el cociente

1000,

83.76/,1,]0"

P. Bajo cuántos aspectos se prrsent.all en la socic<lad las cuestiones que conducen á la operacioll de dividi!'? ' R. _ B'ajo cinco: 1.Ó ~uando claramente se dice que se quiere buscar las veces que ,un númerO. 'está contenido en otro) ó de cuántos nlÍmeros como uno dado se compone otro t{lmbie.n ;dado ; :> . 0 cu'anao hay \ que ' repartir entre varias personas cierto nLÍrllero de cosas; 3.° cuando se quiere divzdir un hú~ero en partes iguales) ó tomar tÍ-na parte de 1112 número; 4.° cuando conociendo el (Jalar de muchas unidades se quiere averiguar el de una; y 5. 0 cuando se quieren reducir unidades de especie inferior, á unidades de especie superior. . . . , 106 P. Qué hay l{U(' hacer en el primer caso? R. Dividir el mayor ,nz¿mero por el menor. Y cuando-hay \lue dividir un nÓmero por otro.; y lo que rr.sulte se ha de dividil'~ por otro número, y así ,stlcesrvamente ., es mas breve el dividir el 105

'DE

NINOS :

lQ por el pró(~lui40 de lodos 16s n úmeros que. bar¡ de servir de divisores. Así es, ciue si tuviera que d\~'idir el ,90 ,p,'imero pOI' 2, Y el coci ~n,1 e que ob tu V.i~'¡;' lo ,leh icse di vid ir por ,3, sería mas sencillo ividir ilcsde llj¡'go el 90 por 6, ,producto de 2 por 3. EIl efecto, oividiendo 90 por 2, se 'obLiene 4-5 al cociellte. Di vid iendo 4-5 por ;3 resu lta 15 el1 el coci(,!tte. Y dividiendo desde 1ne¡¡;o el yo po r 6, da tambien 15; .' pel'o con mas breveJa,il y sí'ntillrz. 107 P. Y cuallo o hay que repartir varias cosas entre cierto número d" personas? • R. En este caso se divide el número de las cosas por el de las personas. , Ejemplo l.o , UIl' padre ', que tjene 'S bijos, ha dado al mayol' 56 mallzanas para gue las nparla entre sus hermanos y trata de sab('1' las mauz';lf1as que deIlc dar' á , coda uno: l)al'a \!slO no Liene que bacer m~s 'l¡ue dividil: el 56 pOI' S, Y el cociente { i"aiea el número de manzanas que debe. dar a cada uno. . 1 E,emplo 2.° Un padre, al m'orir, ,h a dtjado en haci('ndas, alllojas, casas &c. 23.5.936.7 real es; ~ cuqnto corresponde á cáda uno de sus 9 !Ji jos? Pa,r a I\SIO se dividi rá el número 235y367 por el "úmCJ:o de hijos,

'que son 9' Y el cociente 262 I 5 "~

sep~

.-llúm~ro

reales que corresponde á cada U;lO. \ lOS P. Cómo se divide un mime.ro en partes\ igua- _ les, ó se t~~na ~Ula parle de tul lJtím~ro, co:r~l.Ol la mi, tad, terci o &c.? . ' R. Se dioíde el' númer'o dado por el que ~sp,.esa las partes en que se ha de "dividir, ó la parte que se quiere lomar. • ' . , - Ejrmplo 1;° Si se quiere dividir ' en cinco partes iguales eI 'númrro 4625 ., no hay mas que , dividir el 462 S por 5, Y pI cocienle 925. será el valor de lma de ellas. ,,' . ,.. , (, Ejemplo 2.° Se quiere :om,!.r ,Ja duodécjma ;par~e, del númerp 8563015; es~o se a~y¡djrá el 8563015 por 12, y' el cociente 71358 4-lz será 'la' duo-

'Prt\

58 ~

J1.RITMETIGA

de,cim':J parte, del número propuesto . , 109 P. Q'lé hay CL'le hacel' para hallar el valor de , una nuiqad cuartllo se conoce el de mucha~? R. ,Dividir el oalor de dichas uní/lades por el núrn~ro d~ ellas, y el cociente serGÍ ~Z vc¿í~ ,. de urm . POI' ej~niplo: sabirndo que 25 varas oe pallo han cos~ · tado ¿5:> l'cales, para av eriguar á como ha costado la • va,ra, dihJil'é el valor dé todas las varas, que es 750, p ór el número d" 'el'bs q,ue es 25, Y ~n el cociente 30 t C/llII:r, el valol' de la V:ll'a; por 1'0 ciue dil'é que cada ' v ; ra oe paño costó 30 rs. , [ la Cómo se Jedi{cen las unidades de especie ' iut"rior á u!lidad l~s de especie sup"riol'? Ji. Dividie ndo las unidades de especie inferior ' q~e se dan, por el número que espresa Zas veces que lq. u:1Í(lad de especie inferior cabe en lo, de especie ,s uperior. . , " : Ejempfo 1.° Si (jUjCI!O' reducir 8 ~36 ma'ra.vr:¡) ises á rr a1cs , dividiré los 8536 -o1 a!, ave~lis cs por 34 'lur, SOIl los ruaraved ises ciue tiene _un r~al i y e,n d cociell- \

te 251'3\ tengo los .

re~les que cornpoll,~n' ; •

P ITO ('n

es-

tos c'asos, no se ponG la"res ta :l la ,1ci'echa ¡[,·I coc i~Jlte , co u la 'raya y el diviso±, debajo, siuó (!ll';" S~ ~ ¡' ja COI1- ' seryáxrdo le el nOlllbre que teJlí :~ d i di\,: dell'~{l ,le qU\! ,' proviue,; de modo ((\le ,en v ez de ll(' ~ir ,51, "ra lrs ,Y , dos trein,ta y cuatro aoos élc real, se di ce 'l U(\ compon'e n 251 r ea l,'s y rlos maravl'disl's. Ej emplo 2.° Si quiero avcri;;unr 'c u¿';¡tas arrobas I comp o n~n 800 lihras, diviJin\ ':loo :por 2.5, pC!" !Ul: la arroba 'se compoll e de '25 liDI'~ S , yen rd COCi"Iltc 32 , h allo que las Soa 1¡b,'as com pomil :h ;rro11os. r ,l 1 p~ Cuando 5 1' (¡uieren {'('llucir ulllllades dI: esp ec ie. inferior á ullida,h,s de rs p2cie su¡.wr ior , y en tre estas y , ~CLuc1;as bay otras ulliJ " des i'lll.<'rmedia's , ¿ qué es m rjó r, liac{~..r lo d é -'t1u:l v ez, ó ir sucr.siv"amenlr, re-

d' lc)elld9 l ~s unid ;\d~s de, especie inláior;í. las' inlIlJ!diatafnente silpe.l·io r es, y luego estas á las que si-, glIell) Y., a~í de Ullas en otras h*sla. llegar ' ~ la es l,ecie

D E N

rilo s. ' .

superior á que se, q nienn n~ducir? B.. Mejor es irlas reduciendo sucesivamente ti. las • unidades de especie inmediatamente SlLperior ¡ ]:>01'-:que ademas de la d i,ficnILad. que hay en COllSt'l'Var las ullIdades de especie, infl'l'iol'! de qu~ se compone la supel'ior, cuando hay una ó dos unidadcs illlermJ, dias, se r~l1ne pOI' oLra parLe la ven Laja de que r¡U(~ ~en e5pl'csadas las res Las en unidades de la especie qué COl'l'cspondc. Ejrmplo 1.° Si quisirra nducir 85'30065 maravedi.ses á doblonrs, eil vrz dI! dividir este núm :TO de mal'a,'cdisr.s pOl' 204,0, que son los maravrdises . de que se compone e1 doblon J dividiré primero por 34 l)a,~a r,cducir lQs á. r;:alt:s ¡ los I'e{l,les que me resulten los dividíré por 15' para. reducil'los á pesos ¡ y fi~al m~nte rsLos pesos los dividiré por 4 pal'a reduci,rlos á doblones'; y t('lldré en esLe úl timo coci"nLc, junlo , con 13,5 nsLas allLeriol'es los dohlones, pesos, rra les y - maraycdises que hay en ~l número propuesto. La operacion se cjc<;uLa como afluí se, 'Vé: maravedises. 8S,3,0,0,6,5,. 34 17 ,3 -,-S-,0-,'""t;-,ti- ,-4-, p0300 lOO - V 286 0108 0145 ' 0 '038 009 " .08 1 't

1'5.

,5 - - --.,.10,7,:1,5, ps . 0°7 + 1 ti! ds. 32 . ,o' 05

{

P!j~ero divido por ~4, y s~cP '~5-0884 1'5. Y 9 ' .ll1I'S . ':, de nsLa, d(', Jos f¡U e, 110 haré c!l'so . ha~ta lo LÍ.ILimo¡ . d.rspues divido es~c D\l.rnHO de re;¡l,d p~lI' 1.5 J )j ,S<\CO, lP7 25 p~sos co~ 9~ l'ei! l ~s .dc · res la, ,; di"jdo 1r1l'¡;O r-ste llÚr.u~ l'O de p"sos por 4, y saco 41S .t doL10nl'5 .f[uc:dando un peso ' de rrsla; , d.e n1<WF3 qne l."lIi'· I1[lo ahom p!'es~nLe ...todas est.as rcst~s M,~iré' ftU,e ,8·530.",I()S maravedises componen 4181 d()blQ-!1~s_, 1 'peso, 91's. Y· 9, ml'~. . ,l '''001',,\ },

A R 1 T M É TIC A

60\

Ejemplo 2. 0 Si quisiera Tedncir 800000 adarmes á quintales, eje~u taría la oj?eraCion como aquí se vé;

~~::~~~' ~ 00 '

¡)O,O,o ,.oJ ~Jlzs. , \ .1(:;- . .

020

4080 o oo

31,2,5, IS. _ 1. 12,5, ars. _l _ 06 2 001 :\ 1 'Is., 125 o o o

Primero divído por 16, que son lós ada'rmcs que lie- , ne ,un~ ~n za" y saco 50000 onzas; y aqu í o'bsel'v,o de pasó que como rn t'l 80 esl~ba contl'J1ido el 16 un I núml'ro exacto de veces, y no qucila' resta ninpma, es escusa(lo el 'b ajar los ceros siguientes; y así en casos comot ~ste lIO pay l'nas que anadir al cociente ianlos ' ceros como faltrn baj'ar, que aqt)í son cua lro; ' drs\ purs Id ivido por 16 el nl,'ffi¡'I'O '5'0000 a'e OIlZ~s que ') me han resullado, para l'l' ducirl o' á fibras, saco 3/2 5 ' libras j di ~'ido es le ' Jlí mero por 25 , Y saco 125 alTo];las; y filialmente ili,' id irnd o este nlÍmero de a'nobas pOI' 4 saco 31 'l0 in La les , y queda 1 arroba; por lo • que digo que en los 8000.00 adaTmcs hay 31 quintales i y 1 arroba. ', _ 112 P . Hay m¡i~ios ]J.ara averiguar si las opet;acion.e~ Or, multiplicar y diNidir rstán ' bien brchas? R . Sí srilor: la 0p¡'racion de multiplicar sr Pl'ueba dividiendo el producto por' uno de los factor es , y si sale por codente el otro f acto)· es señal d e que se ejecutó bien la multiplicacion; prro como la divisi~n~ es mas complicada que la llmlliplicacion y rstá mas · Ilspuesta ~ equivocaciones, pOI' eso es1.a prueba casi nUllc:¡ se ejecula, por sr!' mas fácil no solo el repasal' la multiplicacion hecha, sinó' aun el volverla á ejecutar dl'. Jltll'vo. . 113 P. Y la ' division, ¿cómo' se prueba? R., M/!ltíplicando el divisor por 'el coci!!nte,l y ':.. añadieTldo á este producto ltt resta que quedó en ~la'J division , debe l' e.~uZtar el di"idendo si la div ' ión ' I

.. ~

NIÑ .OS •.

está b,:en heoha, y si 110 resulta, no lo "estará. EsJa opera cion sí couvir.llc probarla; porque ~Ia mulliplicacion del divispr P ll l' el cocimW ('s mas fácil que d volvcl' á ejecular la division. y aun que p.1 rrpasarla. y así. para aVI'ri¡;uar si .. slá birIl' hecha la ,division ejeculada en el pt'jmr r ejemplo la djvision abreviada (100). multiElicaré el di;visor 583 pOI' el coCiE'dllC 643; a\1 produclo 3í4869. le añadi!:é la resta 402; 10 'que me da 37527 1, que sicniloigual con 1'1 dividrndo, manifies la que eslá bien heclta la division • • 114 P. Se d(~be usa!' del mcd jo de las pruebas en las oficinas ('n que "s indisp~nsablc practica l' ~ con cc}¡'(idaJ las ppcracionrs para d rspac.haL- los J1Pgocios ? R. No seilor; cn , prinll'r lugar porque. pQJría salir hien la prueba y no eslar bien la oprrarion, á causa de haberse compensado los erro rrs; lo segundo porquc se t arda.ría mucho rn rjl'culaL' la .prmba, y no se podrían despachar los asu·nlos que oCq>l'l'iesrll. 115 P. P1.LrS de. qué medio se usa para pt'ecaver las Nluivocacion ~s, y ejecu.lar con presl¡;za las o,pe.raciOIles que ocurren? , R. Se ponen dos oficiales igua lm~nte di ~s l.l"os, \ Y f.j~cula caé\a uno de , por si la curnta que se r~-('senta; lee lUlO r.l resullado; y si es el mismo no l1abl-á r,quivocacion. SiJ~ ('mbargo, en apcl:acioIH's d emasiado complicadas es in,sulicirnle aun l¡i CO!l[oqnidad ' qe dos personas. Y' la rsp.r rien,cia ,ha probado (¡-ul¡ cra fil',cesal-ia, la conformuJad de cua,tro , pal-a trner una i. cotdiallza perfecla en los l:rsuüados de las o p:!racio. l1es mayores que se. han ne~esitado ejecutaf'

\ )

D,e1 los ,quebrado,s.

, J

{

~e han puesto á la derecha ~dpI cocit'nle_ lfl~ l:¡s ma§ de lás, .livi s ioms? ' ." R. Spn mírr\cros; y ,rsto~ ,1l'típ:¡ex;os se llaman '''I_u eQT'td9S ó)!.racciones por oposi<;io~. á t09.0~ 16s",que se 116

P. Qué son eslas rrslas que

ARITMÉTÍ'CA

han consiJerado has ta aquí, que se Il~man enteros•.' 1 l' 7 P. Y no pueden rrsult;¡r- los ntÍmeros quebl'ados sinó de oprraciones de dividir? R. No s~iior : pues aunqne se pueden consid~rar (Jrsd c IU('go , comp~l'aJl(lo la 'llllidail con la J)l llra lid a d Ó muchrdumbre (.2), sin ·emba r go ('slo I:n suslancia es lo mismo que una division que no se ptll'de ejecntaro POI' ejemplo: _yo "ro en 1.l ll parage un árbol, y veo t~mbien otros cuatro ál'b.olt's corno el pr imrI'o j si comparo ..¡ conjunto de todos estos , árholes con ·Ia llJ1idau ó con uno de r IJos, t~ngo en c'l resultado el número cinco; pero si comparo la UlliJad Ó uno con todo s ellos, veré que este árhol rs Ulla parte ile aquel conjunto que lieue cinco, ó diré qu e U/1O es la quinta parle del cinco, y este es un número quebrado. 1 r'8 P. PtH'S d'e rse modo, ¿ en qué volvcrémos á subdividir 'rl número? I R. En entero, qúcvrado y miséo; en tero es el ql~e \¡;e compone ó consta de ' unidades; quebrado el que "Se ,compone ó consta de partes de la unidad; y el misto el que se compone de en tero 'Y quebrado, á el que consta de unidades y pa.rte,~ de la unidad. 119 P. Cómo se conocerá bien lo que es un nú~ mero quebrado? R. Consid era ndo el Dlímrro de partes en que se divide la uni dad , á cuyo nt'lmrro. se llama denotrtinador, y el llúnwro que e~l)resa , las paFtes de estas ,que se iom~n, el cual se Il ~ rna numr.l'ador. Por ej~rn plo-: cuando yo digo que me han daoo las tres cuarfas ,partes de una. manzana, para s:rhrr 'hi(,)\ Jo que me han dadq, cOIlsidno la rnallz~na oividida rn cuaLro p~rtes igua Irs, y flue de es tas me 113n dado tres;' en este caso el den Gminador es el cuatro, y (·1 nl1l!lrrador el tres, porr¡úe cuatro indi'ch las parles I'n que se consirlera dividida la manzana, y el tres indica las :p:ír Les que 'se tom<y'l . . 120 P" Cómo se ~scrjbc' un quebrado? ! R. Eséribiendo el num.erador, debajo u'na raya, y debajo de la royeL el de.nominador. así, ,en el e:em-

D E NI ¡;} O 5.

plo antcrior, tres cuartas partes de ma,\Lana' se i:s-

~dbe

de manzana; y si solo bnbicra dicho tres

'cuartos sir.ndo cualquiera la unidad. tendría ;l. 121 P . Cómo se leen los qn<'b r ::dos? R. Del modo que se ha d·icho (8 3 jemp10 2..°) se deben l r,er l as reslas de la di v ision : es drcir. que se lee el num.erador con los nombres numera.les absolutos, Y el denomina.dor con los' numerales partiti"os si no 'llega á 10, Y con los numerales absolutos si llega 'ó pasa de ' 10; 'pero aihuiendo des-

pues la partícula dC!os. Por ~jr.mplo : } se l~e sieie

nOl'e nos; sc lee tres once a,,~s; 1~ se le~ quince, cincuenta y ocho avos. 122 P. Corno se llaman eJ numerador y el denominador jnn los? R. Se: llaman (érminos dcl que:]Jrado. 123 P. En ettán'tos casos no se al lera e :v'alor de un qnt'brallo? . R . . En dos; cuarido su:; dos términos se 'multipli': "numero. por\~. eJrm, can, (), se parten por UIJ. mzsmo

ir:

-plo : r.1 ({uehrado quc. el

';'6

1 por

es el mismo que y~ y que !.\aun-

resu l ta de multiplicar Jos dos término\ del

Y el .~ ele divididos pOI' 1,.

P. Gtlál).l;lS cosas eslán fundadas en est,a proposicion? ' . R . Dos: la" rNlnccion de los quebrados á UJí. mis,'mo Ó comUll denominadol', ,y su s,implificacion . 125 P. C,imo se ¡'cducen los quebrados á un comuu drnom:n o¿¡or? . . R. JJ.1i.,líi¡.liieq.,ndo los dos férmÍ:¡.¡os de cadal' quebrado por el pruducto de los denominadores de los dema.s. ' . Por cj,r mp ló : .si quiero rrducir á un comun deno1

m .i nadol' ll!)s" quebl'ados.

y ~ los pondré así:

i'l' M É TIC A

mulli plicaré los dós términos

por 5 .

•que

dt l

~s ~I d~n.omin~dol' d~l

otro quebrado. diciendo : 2 por 5 son 10 J qll ~ pongo por num~ra'aol' del nuevo quebrádo debajo de su correspondiente' son

guncW qu~brado .

tiraré la raya ~ y d'i ré; 3 por 5

5, que p~n¿It'é deba jg ue la r aya. Paso a 1 s~

1.' y

digo:

por 3 son

12,

~ue

Fon );o debajo del ~. ; tiro la raya, y despues pongo f' .

dl'bajo 15, proJucl~ de" 3 por .~. con lo .q ue ten~o ,los quebrados~,

que . son iguales cada uno con

su correspondien le, y que tieuen ' un mismo dlno. minador. . Si los quebrados fuesen.........

:· t

-1-

mulliplic ~l'Ía lós dos términos .

~.~

. del pri~et;o

po l' 15, pr oducto de 3 ¡-Ol' 5 J que son

los ilenominadoFes de los dema'S , y tl~ndría que el - primer quebrado se convertía en ~g. Pasaría al segundo, que es por

cuyos términos los multiplicaría

product¿ de

y 5. denominadores de 1,<3s

- demas, y se convertiría en .mino,s del tercer9, que es 12

producto de 3

.Y 4

~g,

Y luego los dos térI!?s multiplicaría por

que son los denorninadqres de

los dernas. lo que da ~.¡}: con lo que tengo los tres - qt~ebrados ~~, ~~, ~, que son iguales con los primitivos, y ti enen un mismo den omlnaaor. 126 f P. Se puede abl'eviar algo esl.a reduccion dI' - 'quebrados un mismo dcnominadór? ' . R. . Sí señor; porq,ue cp. punto á los denominaqo-

M IÑ o •• "

res basta .multiplicados uÍla , vez ont.rc sí: de moJO que pa,ra no hacer roa .' ni méuos de lo qlj.e se ncce, Bite: se multiplicará cada numerador por ',el prodltc~ to de los den.?mínadore~ de los demas, y se tendrán de este modo los n¡tmeradorcs de los ,/uÍ]/J/,(].dos que ha,n de quedar reducído!! á un mismo denominador; f para encontrar el dcnorq.·inaaor se multiplicarán entre ,~í .los dellominadores. Asi en eL.eje·m:- ' ,l'

pla antecedeTlte para r educir los quebrados!,

i '~

" un camlln dt- nominador, multiplicaré el nl~lU ~ ¡'a 3 del p l"im¡'ro' por ,5, pl'OJucto de 3 y 5, Y l~.ll-· dré 45; para hallar el rlurirecad,or dd segundo, rnult.iplicani S(~ Il llftlt'radol' ~ por :.tO, produe'to de 5 y {" y tCllild; 40; para el t('.r(;"l'o: multiplj car~, su llume. raclor actual ~ 1'01' , 1, producto de 4 y 3; que so n tos denominado res d~~ los demas, y leudl'é 4.8 j' para 'hallar el ¿('no m inador ~O'ttilln, multi plicaré todos _ los deuomina dol'cs entre sí dici~'ndo: 4 por 3 son 12, i 2 ' plll' 5 SOIl Gil, Y 'po~I¡¡!Udó ¡¡o ' por clenomillador á los llll inl'radr¡ l~es 45, 40 y' '48 telldl'é 10sI qllcbrados , ~S 40 4.8 ', '/ro' ífo' lrO ~ que son lps mIsmos que áut,es., y , cuya dOl'

opq'nciilll se h~ hecho mas h¡'eve. Otro' ej\>mplo: si s~ pnct'icase ~sta ' regla' COIl los I

•

queprados!, !~

mun' denominador. sei'Ían -r~f ; -I6,g", ,

•

%y 1, ~rsp.\les de reduci qos á ,

"'0 .

l!n co-

...9.2_." _42.. '" Y~o 120

Si tuviera que reducil'. á un cornqn ~eno-ru¡'llador . los ql~ebr:i~os'

l y! ',. en que el drnor~~na~or .del uno~

cuaf\ps el 3, diviíle exactamente al d~l ot~o, como f'S tI '6 , Jenlóncps qut'n,lU r.t'ducidps al ruísmo ' deno.mina" dor con mas .. sPllcillez, multiplicando los dos tét-minos del prim~ro 'por:>, que es el llÚmerO po~' el /que,se. débe multiplicar ~l 3 para producir el G; Y. se conviel'le~ '!'>Ü

~ y. )

que " tienen el roi~mo denomm3,dor

A R' i T M ~ TIC A

66·

mas sencillos que los

ti y ti que resultan por la re-

gIa gcnrral. 1~7 P. De quebrados que tienen un mismo denominador ¿cuál es mayor?

El que tiene mayor numerador'; ,como en

q~le el may.or es el , 128

i y -i

P. Y cuándo tienen un mismo numerador? Es mayor el que tiene menor d~nomillador,

como en

~ -y i,

que es mayor el

,t.

129 P. Y la simplificacion de los .quehrados ¿ en qué se hnida ? , R. En qúe un quebrado no muda de valor, aunque se dividan sus dos términos por Ull mismo IJÚmel-o. 130 P. Qué es simpli,ficar un quebl-ado?

R. Buscar otro de igual valor; pero que sus términos sean mas pequeños. 131 P. Cómo se ,ejr-cu.ta esto? R; Dividiendo sus dos términos por ~ lodas Zas 'peces que se pueda, . despues por 3, y luego por 5. 13:> , P. Hay algull rn~dio para cOlloce l- f{lcjlm~nte si un númrro es divisible por:>, por 3 ó por 5? R. Si' señor·: todo número cuyo último (Juar:ismo es o, ó guarismo par, se puede dividir por 2 , como ' 'el 14, que trrminando en 4 da ,á entendl'\' c¡u~ se puede dividjr _!xa r; t~'!IJ('1l te ,por:> ; y ejeculada la divis,io n ' da 7 por cociente. Todo número cuyos guarismos sumados, como si csprcsasen unidades, dén 3 ó ,u n mímerrJ que sea múltiplo de 3, se podrá dioidir e..xacta-; mente por 3 ; así el 15, como 1 y 5 son 6' , -y 6 e's múltiplo d\! 3, esLo es, es tá contenido el 3 e.q, 6 un número exacto de veces, da á rnt.rnllrr que el 15 es divjsible por 3;, Y ejecutada la division sale por cocicn:te 5. Lo 'm ismo sucede 'con el número 237, porque" y 3 so~ 5, Y 7 son 12; Y como 12 es divis~ihle por 3, se infiere que el ,,37 tambi eIj. es divisible por 3. Del mis'modo se sacaría que los lllÍmeros 225, 4-5J '

) roo

~ I'''J~'

DE N

., ,..... r:El OS. .

.. 67

eran divlsihles por 3, Y que no lo era ninguno de los :síguientes .1 21, 482, q592 ~ &c. Todo número 'cuyo último gua,rismo sea o Ó 5 se pue4,e dividir por 5, co· 25,80,87245 &'c. '

133 "

P. "

Cómo - simplificaréis el quebrado ~ "

¡lo?

R. to. pdmero que advierto es que sus dos tél'minos se pueden dividír por,,; porque el numerador acaba f.'n 6, que es guarismo par, y el denominador en 01 dividiendo el numel'ador 96 por" sale 48, y divid iendo el denominador por el mismo" sale 90, de modo que ' W}go el quebrado

M del mismo valor ,q ue el

primero, pero mas srncillo; Este todavía se puede simplificar mas, porque el numerador por acabar en' 8 y el denominador (',n o, se pueden dh,idil' al1?bps por ,,~ y 'ejecutandolo ten'go el quebrado que es mas sen-

cillo: ahora advi ~rto, que el numerador' se puede dividir por 2 , . por~tue. acaba en 4; lJIas como ~ l dl'nominador no es divisib1e .por 2, porque no acaba en goarismo par ni en o, lÍo le purdo ,si'mpliflcar mas, dividiéndole por ,2, y' veié si 10 puedo h;¡eu dividiendo sus dos términos por 3. Para esto sumo los guarismos del llumerador , y .veo que" y 4 son 6, Y que 6 se pur,d \~ divi(¡ir por 3, por lo cual infiero .que tambien será divisible r,xacl.amrnte por 3 el 24; sumo los guarismos 4 y 5 4el deJIQID inador, y como la suma 9 ~f.', pueile divi. 4},ir por 3, infiero qlle el denominador lambien es .divisible por 3 , Y p.jccutando la divis'ion de ambos teHni,: • J . . .... . no~ del quebrado por 3 queda en ahora veo ' que el

!J; ,

ilum('rador. no es divisible por 3 ni per ' '5 , aWlque" ló

~s el denominador,

.~u.~~ra7a.o ·•. ¡I1~'

y asl no puedo

simpl'aical' '~~$ el

que . qUf.'d~ redu<,:ido á,

"t~; ,

Otro ejeI,Dplo: si. tuviera el quebrado ;~, ~('r[a que por las reglas antecedentes

,;0 se

P9~ía n

div

68 JO

.A n l;r M .é TIC A

SUS

dos términos, pero sí por 3; Y ej~,ulándoJ.ot I

•

con"jl'rle el qur.brado

mo~ todavía se plledrn clividi.r por division se convil'rte en

11-, ••

en" t~, , cuyos ,tr,rmi,. ,

:r'¡' yejecutada la, "

lo : los dos térmi.n.os de

•

¡¡S te,

....

por acabar el numeradOl' 'en 5 y el dl'nomillador en. o, son tliv.isiblrs por 5; Y t';j('cutadah,la.ldiviliioll~ .

queda reducido el quebrado ~~ á

e A P 1 TUL o

fr.' I. V n.

'th,tI

r I

.t,

.~¡, j..

Suma,., restar, multiplic'ar y dividir ~ud8;cilios. 'i.

(

134 P. Qué opeL'acionEls se hacen con los quebrados?' ~, Las mismas que con los ntlm('ros enfe¡'os, u drcir, que. se suman" se rl'stan, s~ ,multiplican., y ¡e parl~n, " .' : . . .35 p, Cómo se suman los quebrados? R, 'primero se reducen tÍ un mí;mo lÚnomir~a:.. dar, SI'jno lo tienen; dl/srlues se sumlin ¡os numero.:'• , . dor:.es; á esta suma !le le pone por denonüllador el cíenrJlhinadhr comun ; J .í este que.,braa'o tlene el /I!unerador,ígual ó mrJ.)or líue el denominad o~ , en /fuJo ClJ70 so se I U::Zmll quebrado impropio, Ó n{¡ffi(·.ro':fra cciona; ¡'io, se' 'di:Jíde dicho numerador por el denominado'/< para sacdr los enleros que contenga,_ . , .. , 1 " 3 ~ I . ' 15 J ,er r¡ero 11 o: SI qUlel'o sumar 4, COIl o' ,p!lmrrO . '! .. J

reduciré á un com,uu denomiuador por , 1',1. "ichQ ( 126 ) f Y lostendré codver,liuos en _.. 4.. I ; l" . } r

~é.todo ,

H, fi;, .

t .... (

dl'sp'!('s sumaré los numrrauor('s ; ,R >y ~ :>o" y á.1a su.; ma 38. le poudl'é por ul'llominallor d :.4 , (lile es el denomiuildot com uó', y lVlIgo la " SUmJ1.- _en el qtie~

br.ufQ -!!; per-o como el numeraJ6r 38 es mayor que l.) ...

D ,B Nf~OIl.

el denominador 24, I'ste qupbrado tI impTopln, y es! para saca'!' los cnttros quc cOlllipJle, divic!o ' ¡oj numrradol' 38 por el dcn0rn.inadol· "4. y saco ' d coei'nte

~t; qn'r. es

do el qnebi'ad'o

telltll'é

2.°

iJ:'

1.111

llúmr~o misto; y simpli titan-

!i,. 'dividiendo ,sus

dos t¡:rmmos por'

~ y ?}

y diré fitle la suma de

t'jcmplo:

' J,!, i, i,. los..

qu.iero

reduciré á , .

sumar

los

un COl'Clln

¡ir

quebrauo.

dl'nominaflor

!lo 30. ( _[" 6) ; y se conv~rtlran ep lz"o? 1':1"0' TZO' TliO, sumando, lo~ • ~~meradort.s, y poni('J[(lo:í' la suma el

•

denominador comun, tendre

t~ros

.? t,

j 1§,

ó sacando los

('11-'

y~ Y simplificando el qtiebrado r~o' tendri

, por u'It'¡mo

3.er

( 6'0'

ejpmplo: si quisirra sumar los quebrados

l, ~ac~ría que la ' suma t,ra

';;~,'

136 F.. Cuántos casos OCUlTen 1'11 la 3uma de qurh.'a'c os 7 R. Tres: sumar quebrados con quebrados, (Ine / es lo f{1lt~ he ('jrcutado állLl's; sumar un entero con un que~rndo , Ó ,un quebra,do con u,n ~nlero i .Y su.mar numeros mlslo.~ con Tlumeros rmslos. 13 í, P. Cómo se suma un 'e ntero con. un quebrado, ó al cOlltra¡'io? < R. Se mulliplica el en/cm por el d,e!1Ominador del quebrado, á' eslo se añtlde el nu merador i .Y á todo se lr.,p(me por denominador el denomím:ui~r del qu.ebr ado . , " ," , ! 3-8 P. C¡ ¡ ánd~ se prl'sl'nla la curslÍou gne COll-, . duce a stllÍllÍ r 1.l11 r.nt~ro con un qUl'hrado '7 :' ~" R. Cuando se quiere reducir un .. n(r,ro oá la ('s-, pccie del quehrado que le acompaña: esto

- '[O

ARITMÉTICA

do ' se tiene un número misto, 'tal como 3, :i' y, se quiere saber cuantos quÚ¡tos 'componen , el ent-er~ , junto' COn el quebl'aLio. 139 p'. Cómo se redqcir4 'un elHero 4 la especie del qJl~lll'a do que le ¡tcompai)¡¡?

11.

jl{uUlpl/canqo (!¡ entero por el denomInador

del quebrpdo j (i esto se qñ(u1(! el r¡umerador, ;r á lti suma s¡: le pone por 4enomírwdor el f!¡:r¡ominador tiel quebrado, Asi, p:jra red-pCÍr el entel'O á la especie del quebrad'o qlle ll! aéoJIlpañ~ en ré el 3 VOl1 el 5 , :jI- producto 15 le

3j, mu.hi lllica-

a~adiré

el nnme..

rador !l del qqebrado, y ;i la sllJlla 17 le vondré pOl' denoIllinador el denominador 5 del queb"r¡¡do; y tepdré e]l

.ll-

ejecu~adll l~ 0llerjlcion

que se me

pedía. Otro ~.jemplo; practicalldo esta op~ra\!jpll cO]l el • PllIllero

55 1l' sac¡¡re.l:ll - !l '

P. CÓmo Sil SUIllan lQs llt\.JIler~~ mlstQs COl). lo~ nQmllrós JIlistos·? Ji. ,SIJ suman los quebrados .'con los quebrqdos, Y' 140

los entcros 'con lo~ enteros, su1r¡andq

los ' qU(! rIJ$ult(m qIJ la iuma I.er ejemplo: I

d(! 10$

CQn

los cntero~

qu(!pra4..0s, , •

quien! Sum¡¡r !l3~ Go n 12$ r~

con 25t, los pond¡'é los unQs dehajo de 10$ otros, de .: modo ' .que se' coq'espondan los enteros d,ebajo dlt' los en tl!ro~, y los quebrac1,o~

dos como t

511 •

vi! á la vuelta:

del>a jo de

10$ . !{llcbra-;

'DE

saco ~ ; .pero en borro el

(1 ") 2.-

2 ";5

"i : I 5f

'1. debajo el 1";,el

hay un entero y

*,- y pongo

NI} l, OS .

Com o aqu í los qUl'~I'atl o s Li"He,U un m ismo d~llomina d or, suma l'é sus numeradons, y pondré á esta suma el denominador comun. con Jo cual

en tCl'O l . para que no se me o lvi61de. le coloco sobre los enteros sepadndolo con un'a mpdia luna, par.a $ que se COllOzca que ba provenido ~ de la suma de los quebrados; sumo desÍmes los en leros , y saco 61 ; por lo que la Suma pedida es 6 I ~ . ejemplo: si quisiera sumar los números 271,

2. O

6~ y 1,,8

!. primero tendrí~ q'ue red~cir los quebra-

dos á un comun ', denominador, porque no le tienen, y sacaría por último resultado 16"

!!.

P . Qué se hace para resLar quebrados? R. Se redu ce n á un eomun de n ominador si n o le tiene n ; despues SI) restan. los numeradores, y á la resta se le pone por denorroina40r el denominador ·éomun , y ,se' simplifica lu qC9 si se puede.

141

i .er eJ~mplo; r{1:¡jllro restar

!l;

l' i.

para esto los .

r~ducir'\hi 'un 1!0IJ1un (" den~mina40r (1 ::16) ... Y >~é COn-

v.¡e rti '~nol~ri ' 1.,Q. %'~ r y ' rest<\ndo ell'o numerador ,~ ') ?rrp ,, 3S.(I. Y . 'v' . l. ', . z del ijuebt;¡ldo .~~ c9r!ll~lloJldLente al su~l,rae,ñdo 7' .

d~l

"~1..

,,8

1 .

numEtl'ado't del-i ! correspolidiente ,,-1 roinuen-

"!.

~:. •'Id

3~ , ~eIldr~

... 'J l

do • y poniend¡},

"q.",

'ª Ja ,rs sLIli ,~. el

"', '.,

dep9m¡nado,r, ~omun\)

la rúta ~~ que no se~pllede simplificar. >

.I.'~' ,..

\:;).

¡¡¡;¡¡= " ili!'\ti'''H1!j!¡úilMo.

,,! :>.0

.A 11. 1 T M É TIC 'A

ejemplo: ,i quisiu3 res~al"

.por rt',.ia de~pnE'¡ de simplificada

de '

.sacart•

i!.

J4~ P. Cuántos casos OCUl'l' t:U al restar, quebrado!r ' R. l'res: pesta¡' un quebrado vie otro, que a<':3bo de manift,'S tar como se cjeéula; r estar un quelirado de ~n entero; :r ¡'esta r u n número misto de otro nlÍmero

lnislo,

) 43' P . Cómo se r es ta UD qu('b r3~ 0 de tm ('ntrrol R. Se quila al entero Il~a unidad; al la do de este enlero dcsp'ues de rcbajada ja 'unidad. se pdne un quebrado, cu.J'o numerado!' sea igu'I1 á 'l a diferencia que lw.J' en/re el d,e no7l1inador y el númer'ador del '{!l ebrada dado, y el denominador es el mismo que el del quebrado que se da , con 10 que está hecha la rt!sta • . I .er ejemplo : si quiero res'tar de 8 el quebrado

quitando una unida d al 8 se convertirá ('11 ' 7 ; alIado de este 7 pongo un qpcbl:ado I cuyo ll11m~' r3,dor ('5 " • difl'l't'uc.ia '1m! hay entre 5 y 3 denominador y numera dor de.! flllebrade pro'p uest0', y cuyo denominados' S , el m ismo que el del qUl,brado dado; y así la resta

será 7

".0

)

i·

2; it'

'ejemplo :. si l'estase~ !! ,de 23 , sacaría

;,j :'~plo : si}'t;sta~~~ de 95 ;' sa:ca'd:l 94 H· ' " 144 P. Có'ItlO se resta 'ü n' mÚID.ero misto de otró.

3.cr

número' miste? ' < ' , ... fr.",.;) 1 n , . R._ Se, re~/a e'¡ quebrado ' del quebrado J y el entero d'e'Z eh l~ro\.; pu .de{}sucé't:ler que despues de i-educi.d oSJ los quebrados á un n,tism9 ,denomialador "si no ¡P. tieDl'n, el ~uebrado "del su~ir~'enao 's~a inayói\lllj:'{ ~i¡jd~¡' nii~ueria({fJ9IJpah' podé '¡:es1!a'T'r,'T(se t~ÍtJa' uña(unid,hJJ del " minuénd(1fl'jíJ¡q, v cua,l. ,se "1- educe 1-0."i.d,,' á la "especie, nJ'1 . . fJ,c TJ / que.brado que le a compa ña, lo ' que se con.sigu.e sumando eJ n~m efátJor d"é¡1'qr!lCbrcldb' éón 'e1 aiJi-iómifldlloT, :re., ú esto pCIÍÍ'fndo , 11..dr ¡d,ff1wpípadoTS elJcornlm,,'-¡ cf..~ , cs~.e.;; quebrado, que será if"propio ( ¡ 3 5 ) J :!Jie ,.-esta' el del t

" • DE NI~' O 'S: ,$'Ustraendo ; y lu~{J.o , al ejecutar, la resta' Cfln lo.~ enteros, se debe ad"crti,. que al minuendo le ha quitado una unidad ,

- ' 1~1'r ejemplo:' si quisip~a restar 8

t de 14 t ' lo. co.-

locaría dp. rsl(i mod" ; , 'y diría, porq ue los qllehl'ado~, til'npn un mismo dellominador,

de ~ ¡

t van 1; ¿ e.8 mlcros

I4f

ti'

á 14

cDlcrgs van 6 Cilleros, y la res~a ea

~ ~'" !),()

ejemplo: si quisiera rrsla'r ~31 de 34~. primpr6

reduciría los quebrados á un comun denominador,

Y' se convertirían

1'11

~ Y ~; pl'ro como 1'1 ~ drl sus-

traendo es mayor qu'e el qur.bl·ado

del minue.ndo ,

des pilrs de col ocatlos Ctlmo a(luí se vé: Tomo una unidad drl minnrndo 34; y para rrducii'la á SI'Slos, di<>o 6 ~. ~

'y 3 son 9, dI' ~ quitando ~ ~llrdan

n sta n do drsp tlt's consid('rando el ,4 d ~ l

los

1 I I

rnlrros

. Cl)wo\' ~ l' :' quedará ejeGula_

da ,la oprracion, y• .la rr~ la será ¡r~ • • 3.er ej . : si

.)....

\'lCl \

!.{5

" p,.

r~stas~ " ~ í ~·~T.

:La t...

d'e1 '49 ~ , sacarí;\: '0,,\'

2 JI

~g•

• 40

Cómo,.se multiuUeall . I?s 'lurbr'ados? ,

,fl. \. ,JIfull ip~¡cq.ndo , Tlu71J,l!:fa}fOr ,por nU,\lCrador "OJ' d enominador por dCT/orni(u!fior.. l.er ('j pmp!o : si qui~ir'ra ~ull.i.i)l¡'c~r j po'I'1, dil'Í~ r C)'{ , f ~~ 'J, t::. 'l i, '): " J .... : ;;';'lJr f 1 ~ por 4 5011 ' 8" ,3 por 5 son J 5, pÓlliplldo por lIurncr:ú~lorq~ l'lp r()(l:"Hj{o 'He ,los numpl';jdon's, ,y pOI' d @llO!..!~' ¡;bil1a'¡]oF ,rl · .~~: '(I(y~J denoIhiná'O'órrs, tenatie é¡l¡'f:rt"W pí.1G'!1l1ct!o>·pedjdo.~,J)'F' ¡" '. . ~' "u.' 'Jo

:'1

•

ARITMÉTICA

2~0 ejemplo: si mulüplico ~ por ~1 sacaré l!i:\' que

simplificando (133) da y~~ • 146 P; Cuántos casos ocurren en la multipli¡;acion de quebrados,? R. Tre.~: multiplíc.ar un quebrado por otro, que ('s el que acabo de esplicar: multiplicar un entero por un quebrado, ó un quebrado por un enlero, y multiplicar ntlmeros mistos por números misios. 147 P. Cómo se multiplica un entero por un quebrado, ó un quebl·ado por un enhero? R Se multiplica el enlero por el numerador de~, quebrado, y al producto se le pone por denominador el denominador del quebrado.

I.cr

ejemplo: si quiero multiplicar 5 pOI'

t, multi-

plicaré el 5 ' por 3, Y al prO'ducto 15 le pondrr .por, denominador el denominador 7 del quebrado, y tendré que el producto será

tero~, da :2 :2.0'

1/ , que

eje~plo : si multiplicase

producto 3.e1'

sacando los en-

i'f que,

ej~mplo;

por 7 tendría el

sacando los en'teros, ,d'a 3

y\.

"pro'du~t~ d'e :27. por

18.

l' es

148

P. Qué liay que hacer para . multiplicar 'un ' . R. Se reduce el enlero á la e:>pecie del quebrado que le acompaña en cada llIJo ' de los fac/lOres, y despues se- multiplica num.erador pOI' numerador, Y' denomí ,'2Q,dnr por dennn:inador. ' < .\ \,

núme ~'o Illisto por Otl'O núme.ro misto?

_ I.er ej;.mplo: si qui ero mulliplicar

t ~Ol" ~!, r¡e-.·

clllcirr. en ambos factQres el e.ntefo á la espl!cie del~ {lue.lfr a do que ~e 3c?~p.a[11! ' y' teJldr~ .. q<ue multi-. pÍica; por 2;f, que mulliplic3!1 do ll..umerador 1'91'

J.l'

DE NIÑOS. ~, . numerador, y denomi~~d,or por denominador, tendré

~l', 'y sacando los enteros será 26 t~, ó simplifi- ' cando . el quebrado 26

-i.

i por 3 t,

'), o ejemplo : si mulLiplicase 8

despues de ejeculadas . todas las 0p(' racionrs 30

.e.el'

ejemplo, el producto de 9

sacaría

t1' por 71.1', rs í 6H.

~ 49.. P • .cómo se dividen los qu (,brados ? R • . MuUi.pliL'ándolos en cru%-; esto es, el numerador (eJel dividendo por el denominador del divisor ', y i ste serq. el numerador del cociente; despues se mul~ tiplica el .d enominador del di,JÍdendo por el numera~ dor del -divisor, y éste será el denominador-del cadente, .Y despues se simplifica si se puede.

I,er ejemplo , quiero di vÍ'dir ~ por ~ ; mulliplicaré'

el numrradpr 3 del dividt>udo por el denominador S· del divisor, y t endní en el produclo 15, el numerado~ del coci Í' nl~ ; despues multiplicaré el denoJJ;!.inador 4 del dividendo por el numerador" del di~ viso,:; y eñ el pi-oducto 8 tend1'é el denominadOr del cocil!ntle, el eua,l será

e~lI!ros 2.

1'¡.

o ejemplo : si d¡vid¡e~e '~ por-

ciente

ll,

ó sacando los

sacaría por co-

H, ó d'cspues de simplificado ~ ¡. J

- 3.er eje~plo : dIvidiendo ~~ por ..¡~, resulta

21l9'

' 150 P.' 'CuáUlOS casos OCUl'f~1J '~n ' la dh,ision d!! , quebrados? . ~ !R. ' Cuatro! dividir un quebrodo por otro quebrado, que es el qu e ~ 9abo de !=oIlsider.ar; ',dÍ7¿F lir;.,un entero pQr ltn quebradn " dividir lln q.uclJrado por un ~~(erQ; !Y ftp(/.lmenie aipidif.:, 'Un T./úmcrQ. r tñ'z\s'tot.' por Dtro número misto•. ~

.•::-~"'('--r

A'R1 TM t

rj6

eA •

~uLero por un que.. brado? R. Se mültiplica el entero por el denominador del quebrado; á esto se le pone por denominador el numerador del ,qu.ebrado :r ,~c simplifica.

P. Cómo se divid" un

' 151

l.cr ~iemplo: qui('ro dividir. 5 por

,1 multiplica-

ré el clILno 5 por el denominador dd quebrado t que es ':1. y ll'lHlré 15; á ('sle producto )¡, pondré por denominador el lllim\'J'auor 2 del quebrado, y tendré:!¡' ó, sJcanilo los ('lIlrr05, 7~' , !I,o

ejemplo: si dividirse 15 port. 1'1 cociente sería 35.

P. Cómo se divide un quebnldo por un entero? , " , R. Se multiplica el denominador del quebrado por 4 e,n'lcro, :r queda ll/:cha con esto la dillision. 15,.

, l.er ejl'mplo: s,i quiero d,ividir!. por

4 del

caré el denominador

6-, y telld!'é por cocien~e - ', ' r conVierte en S' !J..

J4'

que ,s implificado se

pjérnplo: el cociente <le dividit,

P,!lcs de simplificado

6. multipli- '

quebrado pó~ el entero'

...,

H por 5 es 'des.:'

¡'J'

153 P. Cómo se divide UIl ntímcro misto por . olro misto. , R. Se reduce crlda, eñ'ero 4 la e.~'fIécie de~ quebrado que le acof/l paí'irt dí'Spucs se Ij ecuta la dipisjon como ,·ta de un quebrado 1por otro (1~9)'

;-.r

., ~,cr ('jl'mp)o: quie},13 ~ d,ividir 8% ,por ,'3 , ~ , ; prime-

"O iecluciré cada en'ler'o : ~ la rS'¡ll',ci'e rl'd 'quebrado

1~~,le.\~~€ompaña, 'Y

\f{~e ~,;~j~;,r :'kf por ,y'~ p;acticaré lá 'rrgla " { 149) : 'y

t:ndTé

rlue para ej'ecutarlo,

77-

D E ' N llct O 8,

tendré por co,CÍentr

íiJ,

que de,spuu d,e &i~p;!fi-

cad'o s~ convierte en , ¡i~.

2,° ejemplo '; si divido 4í} por 6 éj~i:ut:I.J.ldo . 41$ , ' h . , 1o d IC o ,antes, sacare 7?l97 por cOCle~lte.

' 4 9 TI 1 J'IVI(I 'l'd o por ,3 '23 'f.l d a írri2-:os· ~6'll 3.~r eJ." 154 P. Qué es valuar un f¡tll'bl'ad'o? R. Hall'L/' !;a va lo/' en wíidades dI: la cspeci~ in~ ferio/' d aquella ' á que .se rejie/'~ el '1ueúrarta. " 155 P. Cómo se valllan los fllll'brados? ' R, Se "l/fllie/¡ea el numerador 1'0/ : el número qU/$ espresa l as 'vece,; que l a unidad {!/1 que .se quiere va-:luar el quebrado esld conleníd'a en aqu,elir-' á, '!'fe se re fil!f'e el 'Iu e~rnd(),'y !!sto ~~e pr;trle por el d el/o lllinador; si d,~ la ,Ii visio ll l'l'sulla tlll IIl1m ,· 1'0 misto. y h ay loJav.ía ulli ,larh's Je (·s¡)/' .. i« illf"I'ior, se " hqcl! con el queb rado del , llIímero m.~slo¡o lIli,~mo; .Y ',l.si'se "ofllinúa {wsla 'que no h ara. IIlns uJlidad de ls['ede {njerior: CI2~1Cll.JO caso si ~iued'a tqdavía quebr;;dk se . desprecia,. ,<i el' numcrador '[n mitael .. . , ;10 'Ue,,""z d ser " del denoT~linador, .Y se niinde, en pez df: ' 'l.ucbrad o, /tna unidad d las unidades anle ri()rc ,~ SL el t/Um f!~ rodo,. .llega ~ó, p¿.sa d'c la mítád 'dd deillJm!noldoi·;~ ~\ ~

,,, ¡.en ('j~mplo: 'qui~I'o "53%'1' cllánlo v ~ I'\ ;l , ~, •

i '

doblo n ; millli plical'l' r'l numr¡caclO I' 5 pOI' ,

f"I.f r

r'.': .

y rÍ

los prsos que llene c'r JoJ3lon, .')

.~.,....

dividil'é por '7; lo ' qlH~ dá .

....'{. _~ ~

c- '!JJ,

que sou

l :J .. pr;;lu~lo

!'"

1 j

,' ,

:'0 f

•

prsos y ~ de peso; para '

...,¡!. ~~ ~,,!.

t : .. .:I,-: . ',',l !.. (

averigua l' los real es qnc hay en ~ de prso, IÍl!llti~ .. '.. '

'",'

, ' 1 "' . "

l.!

plica I'é (,1 Illllll('l'ado r 6 por 15 ., fine son los nah's qu,~ Li'el~e llil Í'>~so , y d p'I'OUill:l6 9'O~ lé ' div¡.1iré

f r I ~ por 7, y"'{rn'dré I ~ 'rral~s ' r~ d;' real ~ . pára" averiguar los' ~áT1v~djses 1J~ I I1~y ~ en ~ 'de' \;"a l', In hP 1

• I~!..t

t . .L~ (

ARITM:ÉTÚ:A

plicaré el numerador 6 por 34, que son los ma;ravedises que tiene un rea!', y el producto :104 l? ' dividiré por 7, Y tendré que hay :19 m,aravedises y

t .de

maravedí, que como no hay unidad inferior al maravedí" y el numrrador l . no es la mi Lad del dmo:' I

minádor 7 lo desprecio, y tengo que los ~ de doblon valen !l pl!sds 1' 2 rral es y 29 maravedises. 156 :P,. Cuánlo,s casos pueden ocur.1'Í1' en la valua cion oc .los quebrados? ' B. Tres : valuar un ' quebrado que SI! rejiera á"la uni'dad; que es lo que se ha practicail'o , valuar un qúebrado que se refiera á un ente,.", y valuar un quebrado que se rejiera á ot'f.o quebrdd'o . 157 P. Cómo se valúa un quebrado que se refiere á un enlero ? B. ,Se 'multiplica el numerador dH quebrad.o por el entero, este producio s~· parle por el d.,cnominador, :Y 'él cociente (si Je hay) t'spresará unidadt:s de la misma especie que las dd entero; .~i queda resta, se valúa en unidades de especie inferior como se ha dic1io (155). Ejemplo

l .o

Sí quiero ·valuar los

de !l7 doblo-

nes, multiplicaré el nu:q¡erador 3 por el entero 27. partin! el producto 8 ¡ P?~' el deno~inador 5, Y sa-. r J 1 caré 16 doblones- y S de doblon; valua~do este S de .l,

doblon por las rrglas .anteriores, sacaría o pesos y l!l

reales; y diría que los .} de 27

doblófies,

pesos y .12 ' reaies.

dolll~J:~s';í,a)en ';' ,

EjÍ> mplo !l.o Si (¡uisier", averigHa / lo qpe valían

-{7

-de 5 doblones, pl'aclicanqo la r~&la, tendría de doblon , que J~O da ninl\u~ doblon '; vaJ~~ria eslos de dóblp'll, y sacaría 3 'pesos, 7 reales y 32 mara-

Iil..':g Il"

~f~ :~\

Ji 1

DE NIÑc:>S. vedises ,que sería el valor d~ los I

P CÓmo se valúa un quebt,ado que se re-

158

fiere á

ir de 5 doblones.

quebrado? En ~sle caso vi~n(>n uos ó fuas quebrados se,paI'ados pOI' la preposicion de, )l se llaman quelTrados de quebrados: y lo primero que se hace es lre_ducirlos á un quebrado simple; para lo cual ,~e mul-' tiplican todo,~ los numeradores entre sí J , y se tiene el numerador' del quebrado simple que ,~e busca; se multipl,ican tambien todos los denominadores y se tiene el denominador; este ,queb,ado que resulta es de la. misma especie que el último que se dió, Y se valúa. por las reglas dadas (J 55) si se refiere á u,nr:z unidad ó por las (157) si se refiere á mu't:has. 01.1'0

, Ejemplo 1.° Si quiero valuar los

de ~ de vara,

multiplicaré numerador por numerador y den@minador p'or drnominador, y tendré

valuados (155) dan 1 pie, 7 pulgadas y

de var.a: 'iue

líneas.

Ejemplo 2.° Si quiero averiguar lo que valenlos

de 7 arrobas, reduciré 'prim'e ro

los quebrados á uno solf y tendré

~§ de

7 'arr'o bas",'

ó simpl ificando t.'l quebrado s~rá ~ de 7 arr~,]jas,

que valu~dos (157) dan 1 arroba, 1311bras, 14 onzas y 3

$ adarmes.

%de ~ d'e i de ~ de doblon 3 reales y i maravedises.

Ejemplo 3.° los len o pesos"

va-

pt:onunciar -al'fin; para lo , cual, se va diciendo desde la coma á ,l a derecha • .en el primel' lugar décima's, el\ el . segundo centé.>ímris, . y así sucl~si \· arr)(· ll1.e hasta fjue . ~e , J¡J~gue al {~ltimo guarismo, eu.yo nombre se ap1lnta para que 110 se olvide, si es <1omplirado d núm«ro; d~splles se lee lodo el l1úmrl'O 1'01' las reg las dác'las I( 20 ) ; y al fin se pronl1ll Clia la ('sprcie de ullidad('s que se apuntó, Ó .c¡ue espl'C'saba el úl 1limo gliaripllni,' Para (1UC 110 se ,confundan I'stas eornas COIl la pl:imi'l.iva. la sl"pa~'acioll SI' pu('d¡,. ha cer. pOI! 31'1'iba.,1 ptlllil'l'ldó la cqma inversa Ó lra<1iendo mayor la coma 'qlle, ti,ja r l. ,Iugal! de las decirnalt,s. Por ejemp lo: si f{uisiera leer el número. : 8234,~6529703fioo8752; aVl'riguaría la espt'cie de unidad¡·s que rspresaba el {dtirño- guarismo' 2, Y hallaría por 'e l "m¡'l.odo aca bado de' (·spo/l~r. que rsprrsaba mi/billoné:Simas. ])es-pues le divídi ré de de'recha á izqüierda ('H periodos' de . seis en seis gna1'Ísmos, y Ju('go cada uno (le estos en dos de tres; y haciendo "la divisioll por ' alTib:r, 16 .tt,ndré prepa1'a~o como aqu'í se ve:

~..

t,3,.34 , '563~29í'0351008'75~

y lo lcrré así: DchD t¡mDnes dDsdentDS treinta 'y cllatrD 1riil, quinientos seSenta y cincD billones, <los~'ientns.rnovenl;a y siete mil ir.-einta y j:i'ñco millones, OChD mil ,~elecitJntos cincuenta y dos mlJ.bi¡.jonc.~irnas."1 Es'l@ , stt" Fllede ,ha ter tambit,n le~('Jldo p¡'imel"O el en~('ro pOI' las rrgbs dadas (~o), y, nJaos d e,cima:les por :; .Jas l·pglas acaha.das de espoller, ; a"sí, el llÚmel'o ·.34,~ ~650817"5.3006'256357P7' 1, )0 preparar.ia del modo, sigu·ienLe: rr !l") ~ ' ~

•

. ]! r .

3:. 4íP,265 q81,p5,30 06,'256 3,5í'P7 . 2

,q ue · S!! . ,l11I! ~ r.tre,s, billone§., cuatrocientos , Se4f111ta mil dosL'Íent'Os seú.n,ta y dnco .. T/2/:Uoncs, o'fhcnta y un mil setecrenJf!s, veinticinco enteTiOs Ó unidad,e.s ,. brcinta billones, sesenta, y un mil doscientos cin.cuent·a y. 'seíJ

I;;;;"~':"~

~i!j~

, D:E

B!3

N IÑO$.

millones: trescientas cincuenta y siete mil setedenta$ veintisiete cienbillonésimas. 168 P. Hay algun caso en que no se altere el valor de las drcimales ? R • . 'Si Sr¡IOI' : cuando á continuacion de los guarismos signtficativos se aPiaden ó quitan ceros. d'9 ' P. y si se p'o nen ceros entre la coma y los guarismos sil!;J\ifica1livos ? R. Entónces se hace el quebrado decimal tantaS' veces menor COTIZO espresa la unidad seguida de tantos ceros como se han puesto entre la coma y los gU,arismos significativos. , 170 P. Cómo se reduce un quebrado comun á queb¡·ailo decir~al? R. Del modo siguien te : tómese el numerador del quebrado por diCJidendo, y el denominador 'por di"isor , y divida.~e el uno por el otro; mas .~i el quebr'adó es propio, el denominador, que aquí ha'ie de d'i"isor, será m ayor que el numerador, que hace de diuidendo, y por lo mísmo no cabrá el divisor en el divid endo; y asi se pone o en' el codente y despu{}s ,de . b la coma. Añádanse despues al dividendo tan/os cc-rps ,como .~e necesiten para que el ·dioÍ5or es(é contenido alguna vez en didw diCJidendó con los ceros, y pónganse aespues de la coma- tantos ' cero.~ lménos U'flO l!o,mo ..se afiadieron al dividcJdo ;' véase ahora, cuanta,s , veces cab.e e:l divisor. en eslf dioidcndo; póngase e'S!~ guarismo por cociente, multiplíquese este cnciente [Jor el diCJisor y ' -"ütese del di~ícten~o; tlñ:-¡da.~e 'J'J¡ '(¿eró 'd la resta, ouéliJase á "cr cuan'tas: veces resü{ é.onlten.idp el divisor" en 1es/e segundo 4iaideddJ,j pUJl:cdak ;' pÓi;1ga,se , 1 " -en e 1 conente, mu1'1" l1>fJ /qacsIJ p077 eld" ' /OL$()J' j'JY resvese' .lid diojdendo; d la r:estrz a/iádose ot¡¡u"' q;rb" y cOl1lill1¿ese j asÍJ 'l¿a'Sta sa'cCbrb losl güa,r;ismo,s ,q;!liB;, se quieran. 4 :.. y "") -{! ¡;jjemplo:' II;Qp 'Qui~ro saea,r ,.. c@n <tres aeeimales..1 d :) ,., " . ' , .. ~ ¡ , 'f , ·I'" , valor dc'¡&; ejccULarl\ la ope"4c~ori "cOIpp se,i vé.h.1 ]~ : f ~ ~1 ... 1 ... ! #

vüe1ra:

.. I

ul.:. ')J

••

al.l

AuiTMe'lrCA

Tomo el 6 por div idendo y el xil por dí:visor ¡ veo que el. /3 no está contenido uill- , g.tna vez en d dividendo ·!!, y pO X' 60 lo mismo pongo o en el coci~ lI le 080 020 . y <lespurs In coma; ahora drho añadit, al divillendo 6 los €N'OS 07 tIue nl'cl'sitc para 'q ue el 13 esté cOlltt'nido rn el al{!;uua V I'Z, y advicI'to 'lne. 'es suficirnte aiiadir un erro, porque ' I'n ' 60 está ya €ontcllido el 1.3; como solo he t(',Ilido que alladir lID Cl\fO, no debo ponet' ahol'a nin?,lln ce·fO dcsplles d'e la coma, y así vl"ré cuántas v ....ces está ,contl'ni(!o el x3 1m 60; son 4, lo pongo en el coci~ntr. d,'spl1cs de la coma; ml1lti plic.o este cociente por etdiviso¡', Ir. rt'sLo dd. dividendo 60, y saco 'la resla 8. A ' eSta resta añado un cero; veo que ('1 13 está cJlltenido. 6 vec~s en 8o, pongo 6 en el cociente, multiplico por' el divi:e'O r, y resLo. dd '· divir.ll'rido So; al lado de la tcsLa 2 pOll'go ob¡'o cno, veo que el 13 en 20 rsLá contenido ulla vez, pongo [ en ('1 cociente, multiplico por el' divisor, y rrsto; del mismo modo ' 'continuaI'Ía hasta sacar ' 105 guarismos decimales que (luisit'.sE'.; con lo oual tr,ngo redu<!ido el •

)

f':

quebl'ado 1'3\' á 5uebradg~ae~i.mal apro ~im,ado pasta , mil¡Ósirria:S ~' '('stb "es

, ql)P. 111 falta,. para ser igual con el dado mél~o's de una mil¡::sima' pntc de la unid ad. Ejemplo ,úo" Si quiel'o 're'd uoir á quebrado ' d~imal l·

• -

. '

•

el 8~~~ , ('ie¡:'u.t'aFé la op'eracion en 'esta 'fÓ'¡:hla: • ,"'-:)1 ,\ ~ , \,.,

' '

. Tomo,"'cl í por "dividen- , , ' .>', do, ('.1 3 2)" POl" divjs.or 't;,\\y jO"oo , '¿~ 183 2 ' , como és~e no ' 'esLa cOI~t(,.l1'i-", '.03440 ,,,,\ ' . " do lliIlgu~la v,ez én í,7:' ,p.o..r~'t 011 ~o', 0;0084 '1 3 go ' lfi'ffi.e dlatamente I'n ,\ ehC:.e~.,." • o.28110' ,," ",:', '.' ciente cero y corna; , vro •• \ • ,\, clÍá 1i'rÓ s ~éi,;t~ n ecesi,¡,o , a un d¡Ít l at i 7, ' pa Í'at (~ú('~ ,CP),l,{CIl~a,. algl\Ila vez al 832, Y son tres, los P('lIlgp, Y dcsp&~s dl/ Ir ~ihná 'poílgo '.áo~ ! di'os , ' esl6.TeS' ¡~ n.o mélW¡ de los que ho tenido que añadir al ' ,

"'8

N,".

'85 .

DE NI~O ·S.',

do 'f ~mpiezo. ahora la AivüioIl diciendo :r832 en íOOO cabe S vec(~s, pongo S ~nl el cocicnle dfSVUVS. de los dos erros..; multillliCG -por rl diviso,r ,.y resto;- á la r¡~stli le - al1ado lln erro, y así coniillll:u'é la diyision Lasta sacar I~s gua-rismos ql1l~ , llc[~sitt~ , fJue supongo a(!'Ji que son seis. y trllgo el qUI'Draé-o 0,008413, que es el

mism~

qufi! fí 'sKz con difeI'en-

iia ~"e l.:rp~no~ ·de una ,miNoné?¡ma farte de la unidad. 171 P. ;Rrsulta a'1guna·- -Vf'Z eocirnte exae(~ de re-!. -<lucir un qupbr~do comun á qnt'lJl'ado decimal? - -.K;'- -Sí seilor: cna'nlJo el denominadol' no. tiene o ~tos -faé.~r'¡Ts que rI ' :! ó el 5; pero cuau.do, n()o .saJ.e cociente e~áelo, resulta al cabo de', ciel'Ea tirmpo que los guarismos del coeí·ru te se fepil.ell otra ' v"z Jos mis\Ilos, y á esfas fl'acdones se les '&á ,el nombl'e

de fracciones periódicas. Ejemplo

1.°

quiero reducir el quebrado

dee'imaP,:J"encon traré 'éácien te exacto ; _porque (,1 denominador 25 se compone solo lie! pl'oducto' de 5 p,o-r 'S"; '('¡{'cutada la operacion como . aquí ~ r ~ t J se ve: 'Saco exacf3m~nte " o,S:i~ 'l' Ejemplo 2.~ Si qUil'TO redudr á quebrado deci'inal el 100

1\:"

1'6

¡¡

0040

ejecu'tando ' la opera-

él

080

[ ...

't '

0,062.) ,

r 00 eomo aquí .se ve: Hallp que es exactamente 0,06 ~5. ' Ejemplo 3. 0 Si quiero reducir á quebrado rl ecimai ciOll

't" '

6 1"

! '

el qttebraüo comUfl TI, ejecuto lli o~raclpu como

IJ. RITME TICA

y advil',r to que se van npitiendo los guarÍsmos 54, y por lo mismo 105 po60

dré pOIl!~r t aulas veas co050 mo ([uiera, Esta fraccion 060 0,54 5454 &c. se llama pe-' 050 riódica., pOÍ1f{lle se van ú. 060 pitirndo los gnarismos de 050 cierto en' cierto ti cmp9 ' Ejem plo 4.° Si quiero reHucir el ~ 1 ejecutaré la operacion como aquí se pre&enta: En la cual veo que al 7 • lIesto guarismo sale la resta 4, que es la misma que '010 el dividendo l y por COI\030 sigQiente ;¡ñacliéndole 0 1 020 volverá otra "ez el divi-' 060. sor 7 á eslar contenido 5 <veces, luego 7 &c.; por . ..... 04 ,lo que porldré á con~inua cion del cociente hallatlo 0,571428 tantas. vece~ comQ quien e'l periodo 571428 en esta forma:

.0,5714285"7142&,5 í I 42·8&c, Si en este ejemplo me 1mbiel'llt propuesto banal' so.lo trrs guarismos, na hphiera llrgado á dcscub.ril' el periodo, como s.ucede en 1odos los casos 1m que. el p"ciodo, consta de mas gual'(smos de los f{Ue. se nc" ce¡¡!tau ~c~ r. 17~ P. Cuando lá resta que se rrpit(\ na ~.s · la misma que el divideudo ó. ¡mmeradol' l ¿ la ü ';¡ccion es, toda pl'rióil ica ? 11. No se¡'ior ; entónces en pqrte es perNj(!ú..'a ~ :r f,!n parte no.

~ Ej,emplo 1,~,,>Si. qui s.lCl'a :ed:lcir

la frac;ciqn

á decimal" ejc.c útaudo la operadqn como ~e vé en la que si{?;uc; "''¡¡¡¡~1illH

87 - Encnentro "q~ll!\ s~ l'(~pilC la ',¡'csta q1le' d.l 6, por code,lIle; y ' así .despul's, ¡. • 'L .I..¡' 'dpL 0.4,6 Ipod,é \ POIl('l' \ , • lío (, las vrces que qni e ra el 6; 0 2.0 porque si- i ' l'a, , rrsla ¡¡ o8ó , le aiiallo o, vol v.e.r á á ca08 .! brc üis v(· ¿~~ cÍ "(liviso,',' y dl' jad la ~:ni'srna rrsta; y ,así tend'l'é ' la tracci'l;m, 0,4 , 6!ifi6 '&c, , qllC cn [lar~e, es periódica, t ~ en parle llO. Corno 110 'prrdemos 1'0mar ~o",?s los 6 que resultan, cuando se, ha IPlde ha cp,!, 0 p ~ llacionrs con es tos 'qucbl"ados, en ve7." dc los gllal'ismos 6 que sU[>l'imimos, se ailadir á uila u~idad, a l {t1li :¡{o 6 que se esc,'ibe: Supon.' gamos r¡tI,! s,e n.o~. dicl~, q,tte' qu<:l't~mos t enl~ r , so. lo ,cua tro gua ri ' mas; éü V('z 'de drsp,·lciar los gllarislnos 6 que va 11 Ch'sptlr~ del srguntlo 6, a·iladi,'~ m<)s. .1 ' á i esl~, y .dil'émo's . c[Il¡(,r]· qm·bra do es, o,4.,6¡; el ¡;uaJ l .e, acerca a [ v("'qadr¡'o valol' mas <;ll.le r) 0.4' &6 •. En ~'r¡~,·,;tii, ' SiC d (~be ií,¡ad ir: un; tÍnidad al ' t drinllil guarismo drcimal ([ue se COnS('.IW3 si r.l pl'imel'o. de 1.0s que .sc Slllll1imell " rs 5 ó mayor que 5, Y sr u('ja el úl, timor como.']d <.tfne .r.s, si' ('S JJ('nOI' que 5. l?o.rJo que, si 1l0S uijes'll cl,ne solo nl'ces ilábamos Lomar ,dos guarismos r1 ('é irn áIJt's ~ f p'oll,lrífaihOs -Ó,'42. y si;' nos' dijesen .que solo. s,· . n(·.Ct¡~ i')aba tlll guaí'ismo detl imaJ, toma.ríamos '~,4 drspJ'e~i~ ndo todo Ip , d('mas, porrtue re! ' gu~ )'¡smo qtL.e sigll~ al pl'Írn rr guarismo, f{Ue es el fiue se·, (W.Jlserva, \('$., m~A01' q,pe 5. .\ ' , , Ejemplo '"

!i:

Si' 'reduzGo á 'decimal el quebrado ~V:;'.

... tJ

....

•

,sacaré 0,14\)8 I ¡¡ _'. ~ 1, &c. " ) H" n '. _ lí3 ,P. Dada una .'fl'<¡cGio)~ , d~e·imal, . ¿se · ;¡m~de .e¡u:onLt'3!' l .}. Cj!,l!. brado GOmU11 r1e ' d,o'nde provino' ? .,. R ; Sí S('ñpl' : 3~ n eslo, .py~rdr:n' <i?funir ú~es caso§:

que la jl'acdon decimal n,o s~a pen:ódica: 2. 0 que sea ' periódica y. e.n , pa'r-

J. o

lo sea; JI 3.° r/ue { en parte t~ /'lo.

(l.!,

'L.. ,~

',:'

í 4 F.. Cómo se ,polle en forma de quebrado C!On,ún un a frae-éil'ln ¡}('tiin'a'l n:o perí6dica ? 1

A.R

i '1l"M É T' I~ A

,'/l.iJ sé l'é r" pon'e por nUTnL'radar lós r{JlwNsmas lig\ nificatioos, y par denllminadar '/;a 'unidad seguida de t antas c'eros como "{fuari,9mas' deoimqles hay,' y des·pue-s -s'ft'.-sirnplijic'l tii' se puede • . !, ' • " ' ]3'jélrnplo ;, o He visito (17 1 ej"I,O' ) ' r!ue el qUll, "·'" '" I 1rado decimal ! o, 5!l e lía provenido del'." cómun~· ...{

~ ':J"

t . j 51

,(1

Ilui:ero:w {'JÚr " eu con06miento ·de esle llpor l medio l de aqmtl, le pondl'é",por numeradol' los guarismos sig~ nifi ca tivos del 0,52, y"pel', drJlominador la unid ad sc-; gtlida, de ·dus ccros, porque haf' dos .J@u3r ismos dcci ... ( r.. O,it I ~.' . , ~I Í". _1 'ji; , • ~ 11 " $<2 ,,1. ma.1 ~§ · c0p: .,l.o cual ,tengo el quebrado roO.' f{Ue des¡: l • . ~ I(> . • . , ., ~, f ···. 1'.1 pues <1~ sl,m plJficado .,<,t;Il" . se con~.l~fJe: en ~. ' que eS ¡

.,n., .

J-_

el mismo que pl'odtíjo ;Va,'5'!!. ''< ",i , "1; 1 • :' Ejempfe d.o. Si quisiera aveltig~íll~ de 'd?nde pro~ J" 'JI1-'-

11.i\ '

O-I<~

")~

f f '"

?(j7

'tJ

venía el ".uebí-ado 0,36 "J' d'i da "cluel . era (le ~I o o-o' 'q ua \

'.I¡

I f

'.-' ,

-",.1

'-Jl;

no S(~ puede siIllplificar .. .. o ' I -'~ • ! ,B jcmplo 3.° Si ' quisiera av eri g.ua 1\ de que qu,ebrado >comun provenía el decimal o,a468. ~ 5, halJaJ'ía 1 ' )!J·t " J 1- -1' "r. I fl '-, (les .(l~les.. ,d,e simplHic:ar " ,g lie .;prov,i,e,ne¡:q!!" ?\I;1 ,.' 1: r-J

- ~ 75 JI p ! -Cuando lá 1bccion es Cpéi'í'óil ica. , ¿ cómo liaÍla"él quebrad'ó 8e ,donile provienl\'? J rn . !R'. ' 'Se- pone por ntlmer'a:do;' el perió'cl0, 'y por i:i~' nominador ta ntos nueves COf/lO !juarísl1ióS'ifíene el pe!. riotj.o~. ~i-,iJ1t"s de ~7fpezt;.r el pel;i01rJ:..0 r,lwbiese c¡;ros. se pondrán en el denominador desp"es, de Zas nlletJes tantos ceros como llaMa entre la oOínÍí'';' eb peri@do'; luiÍJÍ! si isimpl ijica\ si f,f e ¡iiJ.éde; , ." Ejemplo l. u Si qui;'w:b hallar el 'qu:ebrádo de don>. (lé''Proviene el '0,5454 &c.., pondré 'por n umerauor

.,....~

; _~.

,' í'•

.• \ t . ' ¡

~.-;,)

pl.,li 41.), POI" dCJ!.o,:min.a~pr do~ 9.' y" t,e nd,ré d,.es pues ~e sil!) plificado , (.. .,- .:"

¡,{.,s

~ ":'

rr ') . . . ; "

tér,iain06 pO>r · 3 t ·s t.

qU,6

N I Ñ 0 :8,:

eJf erecto ' (1 11 el" 3.° ) el que P"odUlO al

Ejemplo'

::1,0

0, ,5454 &c.

Si luvieralafroccion 0,05/51 l3I.é.

diría que .había provenido de

-l-lo ó de y/io;' ,

- .1'76 F..: CÓlPo se hall~ el quebrado tl l~ donde -proviene una fracciol1 dl'cimal, que en parle es prl'ió;dica y l'n parl" no? R Se mullí/Jliea el número, que compo n en lo s guarismos no periódicos 'pof,;wn . ñúl/J.".o que consle de tantos nueves seguidos anuo guaJ'ismos lenga. el pe'riodo; á' e"ste , producio se ·a,ji r.ú lcn ios guarilimos ,¡ZL.e forman el período ,:y la. sumq. que 'r esult e es ' el l7ume-' rador del quebrado 'que Jie , bu\~ca. El del/ominador se com pone de ia.nlos nueves seguidos como guaris mos ·t·í enc el pcrioi:1o; :Y despufls ,dé los nueves Úi'nlos ceros -corno guo.ris(lIos no peJ'íódiIJos había . DcspuGs :se simplifica lodo lo que se pueda, Ej,'mplo 1.° Quit'ro a\:rr iguar de donde p.l1ov iene la fl'accioll 0, 41666 &c•. ; como aquí d pPriodo se compon e de ün solo gU:ll'i~mo, multiplicaré <'1 ml-¡ ' mero 4.r , que son los g'13l'1smos ¡lO pt'riód'icos porun 9, yal produclo 36 9 1\\ aúadiré. rI prl'iódo fl'.IC es 6, Y tendré fiLIe 3í5 será" el 'nllrn(~ratlo r <lel qut'brádo que busc/). El d r nomiJlador se, comp@juJt,':í de ' un . solo 9" porque d pI'I\i@do .es de un solo gua¡'ismo, . p~ro acompaiyado de 005. cel'OS, porque haydo's ' guarismos no periódicos, y así lell go el qm'bl'ado ' l'fi d' -' , , S r[ue, d ('SPUPS d e s,mp 1 lca o, se coniV,r1'l~ ('n B' , que 1'5 en efecto el que yrodujo tlp rjcmplo 1.°) al 0,4,6 66 &c. _ Ejrrnplo 2.° Si quiero , avHigllar de do;,de pro,dent' la fracciofl. 0,4 98 18, &c. ~ll llipl i('aré 4,9 pqr - 99, al rro~uclo 4851 añadiré S l ., Y á la suma 4~)3~ le pond.n'. nOl' denominaool' 99°0, Y lendré el qu e 37S

~00

braCIo ~*~~, qne d('spu~s de ' sim:plificado (131), se ~

137

(

• con Vlerf.e' ('11 '27S, que es , en efee.to el que al ri,49s¡,81§.1 &.c . l"

•

pt:OdUCC

AR~TMiTIC. Ejemplo 3.° Si quiero averiguar de donde I111O~ viene la fraccion 0,05 2030~o3 &:c., 'praclica.nuo la

regla hallaré

9s/.fr:I'b'

l:lcll'ó'

que se convicl'le en

Ejemplo 4.° El quebl'ado 0,43 79379379 &0. ViCIlC

del

lila. e A P Í T U.L o

PI"Ol.

IX. '

IJ ~ las , 'o peraciones de . sumar, res~ar" m/1jltipUca~ y dividir decimales, ya "aran lacompai'iadas de cilleros, Ó J' a-vayan · sola:;." 177 P. En las reglas que se van á aar para las operacio n es de. las fracciol1cs dccima I ~s, ¿ inlluye algo el (IU~ vayan acompaua nas de. cilleros? R. No SCU0 1': las reglas son las mismas en todas las opt' racionl's, ha ya ('nteros ó no lo s haya. l' , J 78 P. Cómo lse suman las. dl'cima'¡"sJ R. Se ponen to,dQS los sumandos l(}s .unos debajo de los ol,'os de modo que se correspo/l,d an lu.~ d¿címas debajo de las d¿dmas, las cel1/¿~ im a s ,d ebajo , qe las cent¿,~írnIlS &c.¡, es lo es, que lit corl,Ui/. en lodos los su.mf.¿l1dos forme columna. Y de,s/¡',w s emll~ZI!-r/do de derecha á izquierda, se sarna n e:r..Ctclo.rrw nle como si fu esen enleros , leniel.2do cuidado ele //Oiler 1(1. coma. cn la sum f ' de modo que forme t;olu,mrw con las de los $UflU7ndns .

con

Ejemplo 1.° Quirro sumar 8,~2 0,í325, con con 0,0083 y COIl 3,2, POll q ré ('fotos sumn.'ldos ]05 unos a"ha jo d e los otros, dl' modo 'q ue la cO,rna est.l'. en colnmn3 como se vé en (A): ' y d l'spU('s de ti't'3,!:l la raya, omp iezo. por la derr.cha dicil'ndo: 5 y 3 son 8, pOIl¡?,O 8 d"b3in de la raya, y paso á la Col~ull.na sq.;uiwL,r, .dQ,udc d ig?: 2 , y 8 son 10, pongo o, y llevo una pal13 aña llirla á la suma Ac la columna Si~lI'ietlle; y continúo. la o,PP,racion como si fuesen 'enteros (4-/ ), t~11i(l o CUlQa15,0 ;,

IK~~ ''l..~-' 1!',j)~

, D~ Nr~OS. 9! do de poner la coma enll'C el 7 y el 3 debajo de las de los ' sumandos" y saco la suma 27,3308 . Ej. '20° Si quiero sumar 47,23 56, con 1 2 8,035í~l3, con 439,5128, con 0,Oí2, COIl 0,83, COll g,5 y con 15,732, ,ejeclltaré la operacion como he dicho, y /le ma.nifiesla en lB).

(A) 8,32 0,7 325 ,5,°7 0,0083 3,2

(B) 47,2356 1 28, 035 79 3 43 9,512á , 0,°7 2 0,83 9,5 15,7 32

Ejemplo 3.° Si 'q uisiera Sl~mar 45°7,21873, .c on ~3,538, con 0,0356¡ <ion 329,87'15, con 78,53 ,_ con 2 75,'o950;h y con 0,00<1307' ejeculada la oprracion como he dicho, y sacaría por sU,roa 5214.,2 9° 169' _Ej. 4.° La suma de 143,og3275, con 78308,3927' con 9,8 ,1 0356, con 25,9003, ¡;(ilÍl O,52, fon 57,2.9 3'598, con 4t;(;0,23 y COIl 2.',3469" I's, 8342ti,587129 ' . _ 1 7~ Cómo se nslall las d('cimalrs? .R. Del misrpo moclo que los 'c nt,cros, poniendo el Sl/st" (lcndo de(lCrjo d el m.hlUen(~O, qe modo lll~e se 'car:r:cspondan las l/.nidades ae ca.da especie, t!..,'~o i:es) que la coma del ,~uslraendo corresponda debajo de la del minuendo; ,~e tira !-loa raya, y Se l'e ,~la comQ en 70,S núm crqs I!ntcros. AquÍ: Ruede' o.·U!'J';" que n{l fcngr¡.n un mi¡;mo mlmer:o 4e' gua.rismos del.'Ímale,' el' minllcndo y su slr(l endo; ' s·i el sustraendo lie·ne menas guarismos decimales que el mil7l1 e"izo , lo p ri7nero. 9~te 'se rce es pon,er g queZlos glfa,~ hiIJ70S que .ticn,c demas ! l7~inucr¡do,.r 7\lego se res 1q n"los,. rZcl' S1f,~. ln~en do de los qUI} quedí.1.n en el mirnLcnrlo, tcniC!ldo :eui-:d{jdo de f!.oner la coma en la· resta que forme colum-

92 AitIT 'M ÉT¡(CA nes con las del riiinucndo y $ustrpe náo; si el minuendo ¡iene !n¿llo:~ que el sustraendo, se resta el último guo.'r¡st.''lO del sustraendo de ro, y tedo s los demas de 9, hasta llegar al primer guarisÍ7w' del minuendO', tJl clla! se considera . con una unidad minos. - Ej<'r!lplo 1.° QUilTO rt'slar de 15,3í8 rI IJIlm~rO 3.625; pond,'é ~l_ snSl.rar!IJo 3 625 debajo del miJ nllellll o corno he dicho y afluí se vé: 'y c\('spu<'s de LÍ,,:.da l,a ray'a, ( 0 15,3íS lilO ti¡'nl'U_ un mismo Illmu'ro de-'~ 3,fi25\ gl.lal'ismos decimal/'s, diré; dl' 5 á I 8 ,'an 3, r¡ue pOll¡';O d,'bajo; de 2 ' 11,753 á 7 van 5, de 6 á ,3 v:m í, pongo ahora la coma, y continúo dici{'rnto: de 13 J-lrvo J, 3 Y 1 que l\¡'vab'a 'son 4, de 4 á 5 va ' I y de o á 1 va J; con lo -que s:ico laTl'sla 11,753. 0,8 í"95 Ejemp lo 2,° Si quit'l'o resl .. r ú, 5680 7 0, 5680 í de 0,8 P95, !'jrcutayé la 10prracioll como a(íuí se vé: ' _ '1 EJ<'mplo 3.° Si <¡u isicra réstar 49,38 7 5~ ell', 49,38í53 , 1'1' número 27;052, coloca'L'iillos números de este móJ

40: :y corno el 'stístJ'at'ndo t¡rÍle m'é;¡2,33515~ " '" nos gu;} ¡'ismos a.:óIna \¡'s fIne t'l mi• >. nuendo, pongo d.:bajo- de ,la raya los dos g'Jaris-mos 53 del minut'lldo, que no· -tfcne corl'rspolldientt's ell el susl.¡'ae.lldd, y drspu,~s res.~o d ici\~lldo: dé 2 á 7 van 5, de 5 á!l van 3, de o á 3 van~,,'de ' 7 'á 9 van" , de dos á 4 vau "' , y co'l ocando. al mis'" mo t i"m -po ('stas gual'iSn1Os y ta coma "11 sus lugares \resprli\'os, hallo fine la r esta I's 22,33553. ' , Ej 4;° Si fInisi63 rrslar !i2j,3S de. '495,15364'7. ejecutaría la oprracion, y sacaría la r~sla Sfi¡'í7364¡ • . ' Ej. 5.° Si de 272\ 3,5 78 res lo 164, haBo 108,3578. Ej', 6,° Sí de 45 ,37 quisiera rcslar 36,2135 .74 ; pondría el st1str:~endo 'dcbóljO ,del mÍnumdo C,o mo aquí se vé.

DE. NIN OS.

93'

, Tirar{a la raya, y corno el sus~5,3~ , traendo tiene ;nas' guarismos que . 36,2 r3574 el m inuendo, dil'Ía: de 4 á JO van 6, que pongo; .d e 7 á 9 van 2; <le 5 á 9 van 4; de 3 á 9 v~n 6; ahora deho considr:raLi al 2 .Id minuendo con una 'luid/Hl méuos, y diré: de 1 á-l no va n ada, po,r fo q\le pongo o, de 2 á 3 va 1, de 6 á 15 van!). y de 15 ]lI'VO 1 ; 3 Y 1 que llevaba son 4, de 4 á 4 vn cero, y. saco la Cl'sla 9' [O? 4,6 . Ej. 7'° Si de 406 1"('slo 293 , 5p¡32 , hallo 192,49268. Ej, 8.~ Si de 52 reslo o,o¡>. lwl larr. 51'9,8 . 180 P. Cómo se multiplicnn las decimales? R No se hace caso de la . coma; se multíplica(Z como si fuesen números er,teros, y, luego en el producto se separan tqntos guarismos con la coma de derecha á i:u¡uicrda como había en ambos factores junios; y $; no tl.l~iesc bastantes, se pondrán ceros á ia izquierda. , Ejl'tnplo 1. 0 Quiero multi p lic~r 3,74 por 5 t 8; to'maré por multiplicador, sl'gun dije l'n la rn ult,i-, plicaéion de los entel'os (íO), el 5, 8 q uc li ¡' !!~.· ménos gua¡'ismos , y lo pond ré deba jo del m1.!ILi p lic~!! do como si n~ eSluvi('se la coma; de . l)Jo~o 'lUl' afluí n0 im pol'l-a nada el que la coma no forme c .. lumna como 3(\!'lí se vti : Drspurs de. til'ada- la raya, m~ll tiplicaré 1,1 3,74 p01' el 5,8 si!! hacer caso i!e 11. é'itin!!, y sl>'parand o ,. en el produclo ':" 69:' , tr es guads---::,mos con la coma de de.rccha á iz.f jtücrda. que SOI1 los guarismos ~ cimalrs 1H,ue : h¡¡hía ('n ambos, faclores junios, resull ará el producl~ v,e n)a,de.r;o il1.692. . i EJ, ~ .o Si . quif'CO multiplicar 0,46 taré la. opendon como aq ui $e vé:

ARI'rMÉTICA

Multiplicaré el 46- por 5, lo r¡ue me da el producto 230; Y como rn eslrproduclo debo 0,46 separar tres guarismos con la co0,5 ma, '1u(~ son los que hay, pondré ---álltrs lln CHO, y tendré 0,230; 0,230 prro como los Crl'(IS á con tilluacio!l de )05 guarismos decim a les no les aument an ni )rs dísmilluyl'H (168), honaré 1' ) que hay 'despnl' s dI') 3, Y diré c¡lle 1'1 pl'odncto ('S 0,23 . \ Ej 3.° Si quil'ro multiplical' 0,37 por 0,2, ejecu tal'é la' oprl'acion como a'f)uí sr. ve: Mllltip li carr pi 37 pOI' 2; Y como el protlncto 74 no ti(·.HI; mas de dos 0,37 guarismos, y d eho srparar lr('s o,~ con la coma, suplil'!: con erros á )a izr¡uil'rda lo s gnarismos que me 0,074 faltpll y tt·lltl.'é td producto 0.0;4 . Ej. 4.° Si quit'I'o multiplical' 27,326 por 45,3, ejr.cntaré ) a oTwracion como st~ vé en (A). Ej • .5 . 0 Si ql1it'ro muTt.iplicar 0,006" por 0,053, ejec uta1'é la optI"acion como se m~l1ifl\~sla ~ll (B). '

-',

(A) 2;,326 45,3' 81 97 8 136630 10!) 30 4

(B) 0,0062 0,053

h 1

186 310 0,00'0 32¡f&

EjrmrJo 6.° El producto de 3,2753 ' por 0,27 es 0,88433 l . 'l. I Ej, 7'° El prQducto de 568 ' POI' 0,35 es 198; 8. Ts ( P. No hay- aquí ningr.llla ilbrev iacioll ¡,maildo uno de Jos factores es la unidad segu ida dp~ cr.ros? R. Sí SCñ01': un número que ll eva enteros con decimales, Ó d~cimales solas, se mulliplic{t Par. ~-

IDE N 1 N o

9'5

riendo la· coma un lugar hácia la derecha, por lOO corriéndola dos; por 10úo corriendo2a trlis; y en general, para mulüplicar por la unidad seguida de ceros, no hay mas <¡u'e correr la coma tan/os lu garcs hacia la derecha como ceros hay despucs 'de la uní• dad: Si hubiese tantos ceros como ' guarí.,mos decimales I qllcdar.ia hecha l'a multíplicacion con <¡uitar. la coma; y si huúiese mél/os guari,,,f/os decÍlrwles que ceros despu.eS de let unidad, seria necesario bOl rar la coma, y aila,d ir tantos ceros COmO haya de diferencia entre el número de ceros ql~e sigUl!n á la unidad y los guarismos decimales. V . gr. Si c¡uisirra mulLiplical' el llÚml'l'o 43,5'1367 por '00, 1·1 'pl'oclueto Sl·ría 4352,3ti¡; si le hubin'a r¡lll'l' ido multiplIcar por 100@0, el prod rlcLo sería 435236'7; si h~ hubir.Ta qm'['ido multi.plicar por 100000, el produc.to sería 4:'>5,367; y fi"lalm('llte si h,. hubiera qlll'l'itlo multiplicar pOI" 10000000, el El'otluclo hubiera sido 4.35236 ¡oo. 182 P. Cómo sr. dividpn l as decimales? R. Se aíladen al dividendo tÍ divisor tan/os ceros óomo sé nec~siit! n para que en ambos haya un mismo ,nú,mero de guarismos decim ales; en/ónees se borra la coma, y se ejecuta la division C()TrlO la de los enteros, sin tener que hacer ná.da con el cociente. Despues, si la di"i'Sion no s.e e.-'C{!.cla, aquella resla, '1ue se 'baúi" de poner at .lado del cociente en forma de qu::bl'Gdo, se com!ier/e en '1uebraao de"'; cimal; eslo es, luego que se ha bajado' el últimfl guarismó se. aPiade á la r.esta un cero; {in:' Trledialamcnle se pone la' coma en el cociente; se ve cuanlhs ve';:ls cabe el d/:vísor ~e,! es'fa. ;-esta, ' se pone en el cácitm!.r. desf'ues de leí coma este nl}mcro de veces, Ó cef'O, si no cabe TlI:ngana v ez; ' Si: multipli,a por el di"isof', y se resta; á In resta. se :l~ ailade otro cero, se ve cuantas veces está contenido el d,:"i.sor, y as; se u(intinúa hasta haber sacado los guarismos decimales qlle se qU/:era.n. Ejemplo 1. ° Quiero dividir 0,5 por O,l:l

96 ARiTMÉ'l'IC~ 'djré a l dividendo 0,5' dos C'~lIGS y se IlOnv~rlirá en " ~,500 ; df'spues borro 'la. coma eu 500 el divilJ¡,tl :l o' y .H\' isor, y qurda 00,0 nuucida la operacion á dividir 500 p'er [ 25 , lo que ejecu tado (89) como se ve: \ D:¡, 4 por ,cocirnLe , y digo que el 0,1 :dl f'stá conteni- . Ilo ('uatro veces en 0,5,. Ej ,'mp lo 2.° Si 'luiero dividir 2/f pOI.'. 7,25, como c;.l divicll'1ldo uo li,'ue Jli tl !-\u n 'guat' ismo dl',cimaI, le. añadil'é dos crl'OS, v bori'anclo la , (loma I'n d divi- , s., !r, qur.cla ndneida 'la, opHacion "i diviJil' 2400 pO,I' 725, la ([ne rj,'culada (89) como aquí. se presenta: Da 3 1I<H' cocil'ntc, y deja 2 2'5 IJor rrsla; la cl1:!'l, 2400 . en v"z de ponu la al Ia- 022'50 do <Id cocien Le 3 con la 00í JO 0:>500 r ay a y 1,1 d ivi~or deba jo,. 03250 la ,'eLuciré á decimales, al1a0350 di é un..Je un CO I'O, ponie:qdo la con;¡a d,'spurs del 3, y conlinuarldo la division; para esto veo ' que el '12 5 e,s lá G6Il L'~I.ido 3 vecrs .en 2a50, pongo estc l drSplH'S de la coma; mulliplico por el, divisor, y rest 9 ,; á la resla 7'5 añado otro c,')'o, veo que f'slá cont~ ni clo una v,'z el divi .• !', pongo [ en el ,cocicnle, y así co n.linÚ 9 has ta sac!'r los guarismos decimales que deSI:.e, que afluí snpongo que son cinco'. . EjclIlplo 3.° Para dividir 246,h5 por. í , añadiré al divisor 7 tres erros, 'pon{ue .n.o trlll"'Yldo llingun. gU3l'ismo decimal, le fa llan trrs pal'a ten"l" los que el divid(' nrlo; bOl'ro rlcspurs la Ilo ma en el uividrndo, y queJa rrdueida la opl'l'acion á di\'ld il' 24632 5 por 7000; Y ejecutada la opcracion C?IUO se- ve en la si~ui,eR-t~: . ,

\T-

. x

D E J. N 1 ~!O S. ~ ,

'7r-/Jt/;rfi<!

, <;;~'~~h,5, ¡JI:

03632 5 Or 32 5 0625 065

97 "JI

, ' 3'&, 1'89 ~85, 7·[ 4~85 7 1 4&e. I

,,,"

020

060 040 050

al "

63.'

020

Saco el cociente 35, ponigo coma á lá derecha, y en v ,'z dé, aüadil' un c~rb á la resta 13 i 5 para sacar d~cirnal('s , 'horro un I'n el divisor, el eual se convel,tirá en 700; d ivitlo el [ 325 por 7°0' ; saco el co""' ciente [' , y 62.) pOI' n sta ; bol'1'o Oll'O o en el divI501', y SI' cOllvC'rÜI'á en '70; divido ('1 625 por 70' Y t{'lI go el coc il'nt ~, 8 y la r{'sta 65 ; Lol'l'o el otro' o en el d iv'iso,' y se cO llvt'r tirá en 7; divido , ld &5 por 7; pongo 9 ('11 el cociC'nlc y m,e, queda 2 por rr.sl.a j y si aho ra' ljuir'l'o conli nua t" lá oprracion', iré ai'iadiendo ceros á 'Ib/ 'r esla corno a llí se presenta. ' E'jcrnplo 4,°, Si 'luisit'l'a di vi dir 893,3 'por 0,077. ejcc utaría,la operacion" com<? aquÍ se ve:

, 89,3,3,0,0,

Ú 'g ' (

-0463 00100 0230

f'77 - " .. .< 1'60 lJ2~8 7~ ~ ~98 ~O'1298 9 &.c. \ .., ,r

" °í'60

, "0;61 0

• ¡It .~

0540' 001

Ejemplo 5.~ ' Dividiendo 6,0'0',73'8 "por 0',0003 .. le .'5.~666 &1:, " " fJlllt"l!llJt>'CP~

A R~I TM É TIC A. Ejeml¡llo 6.° Dividiendo 0,5:. por 0, ,53, .resulta 0,690.5. , , ,83 I P. Hay aquí tambien ahreviacion cuando el divisor es la tinida!l s~gt1ida de ceros? , R. Sí señor: para dividii' uu número cualquiera que contenga decimalr.s, po,' 1a unidad seguida de cierto nÍlmero de ceros, se correT,'d la coma tantos lU f ares hácia la iZlJuierda como cero.~ hay despues de la unidad; y sí no hay bastantes guarismos hácia la íz'luieada de la coma, se suple,n con ceros. V. g. Si quirro dividir por 100 el n'Jm<;ro 452,3, ó lo que es lo mismo, si le quie,' o hac~,' ',00 V ~Cl~s menor, correré la coma dos luga,'es hácia la izqui,erda, y tendré 4,523; si - le quisiera hab('r dividido por '000, la hubiera corrido tres, y tendría 0,4.5 ,3; Y si le hubi~ra querido di.vidi,' por '00000 la hubiera corrido cinco lugares en esta forma, : 0,oo45:L~ . Si el número 110 tuviese deCimales, se separarían con la coma tantos guarismos como ceros hubi ese d('spues de la unidad; y así dividil>Jldo '[lor '00 el número 585,. tendré 5,85 . ; y div ~diélldole por '0,0 o o, tendré . 0,0585". 1 R4 . lJ. Có;mo se vahía un (¡uebrado arcimal? R. MuUiplicándoh:. por .el mimero qae espresa las veces que la .u,nidad en qf:/;e se quiere valuar el quebrado cabe e~ aquella á gFe ,se refiere eJ quebrado. Si hay unidades de especie inferíor, lodavia se ""ut:l,,e á multiplicar el quebrado que resulte . por el número de "eces.q.ue la unidad en que se qJ.iere valuar ahora este._qucbnado qabe en a(/uella á ,que se rejiere eJ quebrado ¡y asi se continúa hasta que no haya unidades de especie inferior i y si al fin queda qut¡brado, se • desprecia sí no llega á cinco décimas, y se añade en vez de él una unidad si llega ó pasa de cinco décimas. Ejemplo 1.° Si quiero averiguar cuanto valen 0,37 de doblon, ejecutaré l a oprra.cioll romo se ve en (A) ; multiplicaré el 0,37 por 4, ·que son los pesos ({ue- ti('IlC..,Ull "doblpn, y. sallo , peso y. 0,48 ve peso: f{Ue para redu¡;ido á ' reales, m.ulti plico . el

«)8:

-DE NIÑQS.

·0,48 por 1,5 " que son los reales q~e tiene el pe~o; para esto r.oloco el 15 debajo del primer producto 1,48; pero no multiplicaré el rntero 1, 'Y saco 7,20 , r~ales , qul' borroré el o, 'Y multiplicaré por 34 las ',2 décimas , y saeo 6,8, I'StO es, 6 maravl'dises y 8 décimas de maravedí; pero como 8 décimas es mayor que 5 , diré (Iue son 7 maravedises, y las 0,37 de dob lon valdrán 1 peso, 7, \reales y 7 maravedises. Ejemplo 2.° Si quiero averiguar - cuanto v-alen 0,473 de quintal, ejecutaré la oper,acion como se ve en (El . \ Y hallaré que valen 1 arroba, 22 Hbras, 4 onzas 1" adarmes y 0,8 de adarme, que como es mayor que 5 décimas, añadiré una unidad á los adarmes, y 'diré que son 1 3 los adarmes. '

(A)

(B)

, ' 0,37 dedoblon.

0,473 de quintal. 4

~,89; arrobas., ,,5

1,48 pesos. 15

"4 0 48

4460 17 8 4

7, "Q reales. 34

" 2,3\Z1\Z1lihras. 16

'-,

.....~

;6,8 mrs.

4_,8 qnzasó 16

r t,

1,,, ,8 adarII!-es.

.. t'! r

Ejemplo 3. 0 Si quisiera. a.veldguar cuanto vaHan , 0,325'1 ,dc-vara, ejecutaría 1,a , operaciol~ como' s,e' ve en te). '.:i :. ,y hall'are -que valen q (

AltlTM'TÍCA

(1<)0

de ~ Hnra; pero como 4 d,'cimas n'o lI!'ga & 11 décir mas, despl'ecio dicho 'quehrado decimal y digo qu~ el resullado rs 1 I llUl iad~s y 8 lill ras. , Ejemplo 4'° Si qUicl'O a veri gllar cuanto valen 0,2 74 de dia, ejecutaré la ,ope¡'aCiOIl como se ve en (D). ' (C) (D) 0,325 I de vára~ O, ,. 7 4 de d'i a. ? ~ 3 0'!'!í 53 pies. 1 '>.

6,5 ¡6 huras

1\1 506 9 753 11, 7036

60 pulgadas.

3 4 , 5 6~ minutos

¡,.

-,.

primeros.

33,(j~ m{nulos secundo ...

'S,H3,. líne:u. C,A P Í TUL O

'.}

)

..:r.

De las operaciones de sumar, rl!,~tar, multiplicar. J' dividir numeras r)elloni'iiitidos. 185 P. Qué son u'lírnrl'os denomitlailoJ ? R. Los '1ue constan de unidad l!;~ de ' diferentes , re l atllJas ' J .1 ' • especies lo(¿.tJS a• un ml.SlnO gCllero, como 7 val'as, ,. pirs, 5 púlgadas y 8 líneas, y G qllinLal~s, !a arro bas 'y '7 l illra:s. ¡ 1>6 P. Cómo S(' suman los 1lI'Impros d~no:tp i Mados? R. ' Se ponerr toaos los. ,~umu-ndos los unos dd}ajo . tie los /Jtros, de modo que se co,.res/londan las u ·ni.., dades de cada cspecie; se tira una rafa" f sI! eTThr [!iua á sumar por las de especie dnferiar i si la Sl.lffla

, .ro"

.D ;!l

N 1

NO ,s.

1,01

'de es{(!S confíene alguna ó algunas unr'dodes di; la espe,cie inferior; i'1mcdiala, se guardan lJara SIl~fIl¡ r l~$ '~l)n los ~ie la c;¡[umna inmediata; se ~uman estas, J' asi se continúa. Ejcmpl.o 1.° QUlrro sumar 8 pesos, ~ Tl'al~s y 7 JIli'ra ved i~('s " <;,911:' ,S p.l'Sos, I 2 rI'~ l,'s y 23 :m~rªvc~, disrs, con ,3 ¡lI'SOS, 7 r'pa lps y r5 maravedisl'S, y con I P"so, 5 rc¡¡)~s y 3 ,mara\'eJises. Colocaré todó; los sllmandos los UIlOS debajo de los otros ,como a,q uí sc vé: " ( , Tirr.q\ uúá' rnya, y ( -' emrrzan\ surnan80 los 3 rs. , mrs., 8 ps. m~ravrd'is,'s, lo que me 23 ' 12 5 d~, 48 ~ara,ve,ais~~¡, que 15 pongo d"ha JO d" los' ma5 3 raved:srs basta que esté bastante diestro para conscr'var r'n la rnrrnoria ~8 pS' . 13 1'8. elnsull:tdo, y hallar' los

que queda n despurs de sacadas las unidadrs que ha,y pa ra la columna ,inm"diata; vro q1le en 48 maravpdises ' llay un nal, "1' qucdan 14 Ifiaravedisrs; horro rI 48. pongo d"ha jo los 1 4· mara\>'edisrs 'lue mr qtll'Oall, y d 1 rea l' que llevo para sumal' lo con los realrs de la (oh.mna inml'diata. lo pongo rncima de los reales srpa.radQ · con ll11a media luna, y sl;mo lodos estos I'dl rs, lo que rol' da 2,8 rra lrs; pcro rl1 28, reales llay: lIn~ Ill'so. y I']U('c1~II 13 reales; horro el 28, pOllgo debijo 105 1,3 "rales que .~e,: 1']t:l'da-ron , y d J peso le, (oJOC& sobrr los pesos· , y wmo , lo que da 38 F~seS: y. por talHo digo Ilue la" suma es 38 I's. 13 rs. y 14 ID "s. r~jrmplo 2.,~ Sj q\lirro sumar 1.5 quin!alrs, 3 arrohas, ,,3 liln'as y 'j OIlza~, 1' 011 "47 qu inlales) I arl'oba y 15 onzas" con 3 quiJllalr~ , 5 libras y 12 on.'lJa.s, y cO.)l ... 3 qninlalt·s, 2 arrohas, 5 libras y :>. Ollzas, ejeoota\1é la oprracion como á la vuelta &t . ve:

109 (. r

": RITM i TI C A ( 1

-;'5qui,n tales.,

3 arrobas.

r ( " 23 libras.

í onzas. 15

3 13

7..9 ,quintales.

5 5

1:1

'1>$

qarrobf$·

4 onzas• . . .

libras.

Ejemplo 3. Si quisiera sumar 8 vara~, 2 pies , 5~ pulgadas y 7 líneas, con 15 varas, .t pie, 8 pulga- , das y 3 lineas, con .1 I varas, 10 pulgadas y 8 ¡i, neas , con 3 varas, ~- pies , 6 pulgadas y 9 limas; ( con 1 vara, 1 pie, 7 pulgadas y 8 líneas , . ejecutaría J la operacion como aquí s~:.J)resenta: 0

8-vara's. 15

" pies.

• 10

(" spulgadas. 8

6 ?

7 lineas., 3 8 9 ',. 8

.T)

--------------~-------------- ----- [ { ~

vara¡¡

o pies

pulgadas

f¡

lírieas.

-187 P. Como se restan ¡$lS n4meFos denomi'.:. nados? - R. Se pone el ,sustrae.ndo debajo ' del min'uendo de mQdio que 'se correspondan las unidades de una misma' especie; se 'tira una rafa, y se "a 'Testandocada ' especie de uniílades del sustraerfdo de las correspondientes en el minuendo j empezando por las de ' especie inferior. Aquí. pUl!de , ocurrir' que en algu12a, especie, haya mas u12idades en el sustraendo que en el minU'endo ; para poder restar en este caso, ' se to'~ mauna unidad dda especie inmedíatamente superior ;¡ se descompone en las de aquella especie d ~

'n~~1

1'°3'

se sll7nhn con t'as <que hay, .r de esta SIl'TIla se restan las del sustrae ndo ; . despucs es ¡nenesler tener presente en la eoZwmna inm'ediata qué -se quitó una unidad alminuendo para rebajársela. Si en la especie ,ímñudiata de unY.dades no hay l;li';gul1q un ~dad, se pasa á tomal'la de la otra, y en caso de no haberla tampoco en esta: se pasa á l a etra, y asi hasta llegar ,á una cn que lQjs haya; cntónces ,~e, tonta una de estas unidades, se' descompone en las de especie inferior ínnlediaia ; y corno con sola U11l~ de estas lwy bastan/e para poder re,;lar de ella las 'de 'la especie inferfor r¡w!' se trata{~e , r.'Cst'ar; se conciben dej.adas en la c(tluTTlnf.t ímmcdiatament'e inferior tan/as u.n id.ades m"énos rU<na como contre/aLa la de 'esp'cde 1 supeFior, inmediata¡- les'ta unida:d que q.ueda se de,seo.n1Jpon,e en unidv-dcs;de 'la especie i'aférior siguier;te,. y si· es de estas de ,zas 'q.ue habia de -liestar. se ejocu¡ta la rt¡M'a; ,~i no, .se dejan con el 'P1J.nsa mícn/o el! esta columTla, tantas unidades. ménos' 1.I!na como con tenia. la d e espe • cíe superior inmediata, y esta que queda se descompone en fas que le siguen 4' y asi ,~e procede hasta que ·se llega á l'a cobNllna en que se trataba de restar; lo cual ejecutado, se pasa á Zas colwmnas s¡jguJentes , teniendo' cuidado ·de rebajar una unida.d á aquella de que se le ,quitó. 'Es/o se ,/¡Qjrá mas dalio, ,con los siguientes ejemptos. " Ejemplo ".0 De 75 dobloi¡¡'.s, 3 peso~ ', l ' l rea'les" y 2i ma'l 'a'l'edíses, qUlet'o ' resLar 12 doblones, ' . peso, 7 'rea,les y '9 maravedises. Colocaré e,1 susLraen- ' -do deba~o del mí. G Duentlo, y des- 75 d'S. 3 ps. '2 rs. 2i mrs. 'pues de: t~lra·tl·a la 1 2 7 J9 raya, empeza'¡'é' á restar por . la co- 63 ds. 2 ps. 5 "s. 08 mrs. lumna de ~ lro'S ma~ I ravedises, lo qlTe me :dil 8 maravedíses ,d'e resta; paso á rrslal' los reales del susLraendo de los correspondíenlrs' del minuendo, y hallo 5 reales de resLa; paso á los pesos, y encuentro 2 ~t!tFata~'

1~04

,AB:tTMÉTICA

nalmente"'pasa'ndo á los dohlones, haJlo.'Cfue. la resta total es 63 doblones "2 . pS. ,51's. y 8 mrs. ' Ej('mplo ,2 ¡~ De '59 quintales, !I ~ arrobas, 23 libras, 6 onzas'y 13 , ) .••• ,', , , . 59. q. z ·,,2,an. ' 3 2' 3 1•3 G ', .•3.\\'l!.3 a' d •' a darmes, ' qUIero ) ·on;o r eslar 37 quillta- 3'7 . ' 3\ '. 15 9'" 4 '\ lrs, 3 alTobas, 15 .; ' 2 . . S 1 s 3' ' s I } 'b I ras; 9" onz~s y 21 ' q.· .d'f.I. ,, 07 • .,1 ' on;¡¡. 9 ad. 4 adarmes. ' Dfs1, ", .,.\, p .ues de colocado el suslllaen.do debajo ,del., minuendo y tira8a la raya, empirzo ',r"SLanclo Jos, a'dal'mr,s y .haUd 9 adal'mes de Testa,;' p,aso á las onz,as, y como de 6-óni'las uo pu~do , r«st'ár 9 OJli'las , , tomo una ,midad _de l'a. especie supcrj(;n- .inrn¡'dia'ta que es la de las li'bras¡ y como u~a .libl'3 .tj(·ne ,16 ', onzas, aila.., do á estas '16 las 6 \que ·.había <-n la , cc\.lnrnlla \ dI' las onzas ,.\yto. tengo 22 onza's ; .rrstando. ·a.hol'a 9 onzas de 22 onzas, saco "13 .de. lwsta; ' Jl:ISO á ·la col,lImlla de las libras, y como tomé 'Una unidad de la'S libl.'a s del miúueudo, para' POdt'll; reslal' las onzas, cOll~i..,. derare al ",3 libras '. con ul!a rnénos, es 'decill', como si furse ' 22 , Y restando 15 , de :12 saco pOI: ¡'('sta 7 Ji..,. bras ; paso. á. la. columna , de las arrobas, VilO ('file no se pm'di'll resLar 3 aITohas ', ete . :1 arrobas ;" r.or consiguiente tomo una unidad ,de los qui~'laks, , · qur. . co,rno til'llc 4 arrobas di{!;o: 4 y ' 2 que.; knía 'son ' 6, de 3 á ti v.an 3, pongo en·t la· rr.sta 3 arrobas,,< y pasando á rcstar" los quintales" tcniendo, prpscll,te qlH' he tomado ,·.uno de los del , minuendo, saco ,pO I' último , que la rt'sta total es 2.1 qninlales ¡ 3 ano,L as, 7 li~ bras, 13 onzas y 9 ada"rm(,s. , "f\ Ejemplo 3. 0 De 29 :varas y 5 líneas";, qui~ro restar 15 ,'aras," pies, 8 .pul·g aJas y 7 Iínras. ColoC'a:ré ~I 's ustraendo d(~bajo del minuendo, oeu·pando con ceros los lugal'cs donde no hay ullidade¡ IUl el minuenao "conforme :¡e V'é á la vneHa: ~,

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'l.<I'~ \ dr,s,p,n rs

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N,IN (') s.

de, ti'rada la raya, empi p't9

,á re slat; ,las Iínrl\$ ; , ,', p,'ro' COUlO , de' ~ , 2 , 1 ,. l.in"as 110 '1'\ll'do ;9 v. s o pic,s.. 9Pu.lg,S 5 l¡/l .~ l\,',sl,a r í li~ll' as , ,~ ,5 1. ~ 7 VO~ \ ~ ,(If\rn 'l\ ulIá ~~ , ~,-.\r------~""" UII,id jH.I el t: la co,31',s o pÚ',s. , 3p"lg,S leli/l. J j,~~fl\II~ i 1,1,ri)l'd ia- r' (j ) i' ta, '1"1' romo 110 la! hay, paso á la olra, qne 1al'\fIJQeo, ljg l.j{', ',y Gas ' ) 1,"lI~o Cjllf,. lolllal" nlla lII\i<l.ad de:. );1' ,col ,I,IUlu" " ,d" ,,, las varas; uoa v.al·a li,'ur ,\ .p,i,'s; y jJcC)lI\o ¡ pa~'a l;rsl¡iI'¡ las lín clIs , ~!,Io se JIl'Cl'sila l ' pie" P('jO¡H¡OU '" prnsa,Q.Ü,' nlo los 01 1',0 s , ~ ,'n la col(lrn.U3Ji ,9.r1,los, pi,' s . Ó' p'lr:}! ~llayp r claridad pongo >! u l ~cirna' ,d~ 'lo pies; y r'll;nO" ~ pic, flo .... t'S . 0:1 Ciue me /¡u'jda', .tj ¡"!\ I:, ' 12l!nl ~~'I d ? §" ,y; p 'll' a , l'I'slar las líul'as "S ,sn[¡'t civnll' ulla plll g ad~'1,, 4 " iq las otras , 11 ('n la COhlmJl~ ~¡EG" las 'J pnl¡!;ad <J.,'." y AIl"go di go , .1 ' pulgada linle 12 liuras, y 5 f[ II " lwy l'H la c;ol nfl1na d" las' Iínl'~s SO~ ,1,7, Cil.~ita'ni.l.o 41J¡ 1.;¡' !inc'as 7 liueas que ha,y (' íl , d 'l\Hl1 lo'a\'IHlo" , Ciuo'~ an, lO liuras; r('slaudo t!(' &purs 8 p"lgadas de 1 l' pnlga ~las J , " pi('s ele 2 pJ"s,' y. 05 f)'i!.I'a s ,jI" 2J'l I~vara& .. ( pf!rC¡1I1' anles C]nilé ljÜa), saco por nsLa tola] 13 varas, o pio's, 3 pulg;¡u¡¡,s. ,y iG po~

~;í·l~t'as . .

- l. Ejrmp){l,

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.J.I

Si ele 327 iloblp,n~s J quil'ro ,Í'l'slar !I~,8. dohlolll'&"¡ ,2 FOsos, 13 , rl'all's y 27 mal'av~dises'i ¡eJecplal'é la 9P~1'a<;ion como aquí se 've :, ,'"'1,,;: ( ,

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,32 7 ¡1eb}oprs. o pesos. ,o

068 doLi; n ;:s:

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,', 1>¡'1 34 , o mus. 27 "

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nu's.,

número~ dcno~ •

P,¡act,ü;qndo,cstas tres, ~eg¡'.a s: T. a se reauccn el y.nu!típtimndC? ,, ,·,! h.f1'!l¡J.típUHtdC}r .á ~a ~cnor d e SW¡ ~R' '. . ... ,,.; \

1 '0 6

pecies; :>.a se multiplican entre si estos dos ndmeros d espues de reducidos; 3.a se divide el produi:to por el ,n úmero que espresa cuantqs veces 1a unidad d'e especi'e inferi(lr del multiplicador cabe en la mayor; 'Y el cociente espresa el produclo en las unid'ades de especie inferior del multiplicando, que se re(lUcíl'án d las de especie superior segun las reglas dadas (ll'Oi). 189 P. Cómo se conoce en una cuestion ' cual 'e s el multiplicando? ' ,1, R. De este modo: se observa . de qué espede lo (1',J.(~ se busca, y el lllÍmero q~le r es 'd e la. t'spl('c;e \ que se busca es el mul'Li plicando y el Otl'O el mül·ti ~ plicador. V. gr. Si quiero averigbar 'cllan1to ,'altn f5 varás y :> pies de una -tela cualqui'el'a' á 8 ppsos"Y 3 rtlal'ps, Goma lo que voy á busca l' sún pesos y rea": les, "lii'é que 8 pesos y 3 rea les es el mullí pi icando, y ,5 val'as y :> pies el multipli~adol'( , ) '. ' 190 P" Por qué no me haIleis ~dado ', ántes es~a regla? , R. Porque no se necesita -saber - distinguir -el ' multiplicando ni el multiplicador en ninguna clase de números, sinó en los denominados. 191 P. Me podréis a,plicar esas i:eglas' á algunos ejem plos. \ , R. Si señor: y sea el l . o a veri~uar cuanto val'en 5 varas y " pies, costand6 la vara á 8 ' pesos y 3 reales; reduciré primero el multipl1'cando y ( el multiplicadol' i la menor de sus esp'ec.i'e s, y tendré' eol pl'imero reducido (80)- á 123 reales, y el spgundo á 17 pies; mu.J.tiplico 123· por 17, - y saco el pl'odu.cto 2091 ; -'e,sbe producto le divido <poT '--3 ",. que 'es presa las ve,ces que la unidad de especie inferior dH IDultiplicadóT cabe en -la mayor, y tendré el cociente 6~1 que espresa los reales que val en las 5 varas y :> pies; mas como la cuestion venía propuesta en pesos, reduciré estos 697 reales' á peses, y sacaré (!! o) 46 pesos Y 7 reales. .r 2. o Si quisiera averiguar cuanta \costaban 3 tales, 2 anobas y 7 lih.ras ,de azucal' ,

J07'

quintal 7 doblones, :1 pesos y 8 reales, reducire el ml¡l~iplica'n.do y multi,plicador á la menor de sus especies, y se me convertirán en 473 real'es y 357 libr;ls ; multiplicaré estos dos Illlmeros entre sí, y el producto '168861 le dividi,ré por 100, lo que-(183) me dará 1~88,6 1 reales, que reducidos á dobloues (110) hacen 28 doblones, o pesos y 8,61 1'8. que l vienen á set 8 li'S. y 21 mrs. " 3. o Si quiero rnultipli'car 8 varas, y 2 pies, por Si varas y 1 pie, red'llr.iré el multiplicando y mulLi pli- , cador ;í. la menor de sus especies, y te,ndré qu'e, multiplicar enlre sí los nLÍmeros 26 pies y 16 , lo que da d producto 416; ahera ,Mndría que dividir, p'or 3 este producto segun la tercera regla; pero corno Iue¡;o tengo que volver á dividir por 3 pa'pa' que salgan reducidas á la especJe-süj5'érior que se daba en el multiplicando, le divj~iré · desde luego por el pro ... ducto de 3 por 3,- que es 9

,_.y sacaré 46 t

v; r ; s ;-p~-

ro estas varas IlO son ,de la· _misma especie que las el el multiplicando y multiplícador " sinó que Són- varas cuadradas. Estos CIlSOS en que él mult,iplicarrdo y multiplicador son de qnll misma especie no ocurren comumnente sinó en la medida de las tterras' Ó de las superficies. 192 P. Cómo se dividen los números denominados? R. Practicando estas tres rrg)as: I . a se reduce' el divisor á- la menor de sus especies; 2. a Si! hace- la d¿ivision empezando por lasunidades de especie supe-' 1:ior del dividendo, y si de IJs~a division queda alguna resta, se reduee á las unidtades de especie inferior 'h~mediata,; y se ,aPiaden las udidades de esta espade qüe ha)' ,-en el dipí'dendo; se ,dividen por el d"1JÍfsor, ,r ,,¡' queda alguna l'(Jsta se redtuce á las unída(tes d'e espe.cíe infei-ior.i1nmediata ; y asi se continúa 'hasta que no haya unidades ' de inferior especie / 3. a d c>spues se multiplica todo este cociente por el número que espre's,a las veces que la. unidad de especie infería" del d,'~ oc. I~ '" >l\Jiil t,;:¡¡;" ]IIJ!'

1-08 I I A n 1 T M É T t ·O A visor está contenida en la fIl a.!"r , t e.niend"O(:úidado · de empezar esta TnuJtip/cacion por las uni'darles de e" fNJdc :úTfe'r ior, {/Clra q.ue si ¡{)e esto resulta>n unidades de e"l'ecie supe rior. se saquen, [I/Ir"rl (1íjr:tdi,.la.~ al prodl.u;lo7·,/ue resl/Ne de l a colu.mna in nwdill/fl. .... • . E-jl"lllplo 1.° SI; ( -1 91) . 'in" 5 v;lras "Y 2 pi('s han cosl.ado 40:< ' P('sos y ¡ . n'u les: si '1"i("'o a'v(' l,iIl1l31' á cómo ha cflsl:lll" la vara .,: ,.tividi,:é Ins ·46 ' ¡lI'SO S y 'f r ca l,·s plll' 5 varas y " ¡ p<i(·s •. AIIUí s,' cO'Ii<1lGe 'el Jivid l'IlIlo ('n CJII" ,·s ,,1 di, b ( misma espl'ci""'lllle lo c(ne S(' bllsca. Practico la . prim(·,I';¡ rl'gl;¡, y S" me convil'ut" pi divisol' rn I i pil'si;' a-I,Ot'a 'cmpie1io á divid..r,. y 'lo eJ"cuto ~: 0l1l0. a'lui' s!!, ve:

46· pesos I:¡' - 15

7 re~¡"s "

7 ,.

'- "'r':-:'-""'- - "1's. Ill'S. .' 3

.• $'$'

[C.

8 P.!\~1 3l'$. ,

¡tio

_.1 ¡'d

18, 7 . .,

01 "I 00

. ,

Empiezo por los p('sos, y éligo 4ó ' rntre 17 lea toca á :2, qne SOI1 P"SOS, y me qllhian I~e )'Psla I i

p"sos, '\ÜI1, para rcdrtci,"¡os á l'l'altts, '!o s ·muILiplí- · cal't\ -I'nl~ 15, Y al producto ,80 1(, aiiad~ .. é · los 7 rpa-"t

J(·s '1"" "ay (.~ d divide'lItlo; "(;0 flu" d ~ 'i cabl' ('n ' }·8¡ once Vt'Ct~S, y JlO ¿¡'ja lliu ;?;lIlla . rl'sta·. Ahol'a' lIl;dtiplico d cocit'uLe:2 _pr.sosy ~I rt'a'I.('s pOI' 3', 'lile ~5 1',1 '1ue ésp.·psa las VPC('S que ).a"" lfllidad de ' c5[)('cie ¡<Ill'erto.r ¿pI divisol" ('sLá oQIl<fl 'nida 'en la mayo r, y saco el pl'oJucLo 8 p!'sos y 3 r~ales, que es , p.n cfedo eJ \'alor (191) de la vara. .~. l~

"""~

D E N 1 ~O S • - 1°9 ' Ejf'mpIo 2.~ , Sé ('yl~, ej. 2,°) que '3 qninlol"s' ,:I al'robas y 7 lihl'as de aZflCO l' han costado 2~ dob lones o [II'SOS y 8,6 I J"':dcs; si qui"I'o ' o\'(lI' ig1l:1I' á como ha ('05Ia.lo <>1 flnilllal, l'I't1uci,'¡: 1.° d divisol' ~ qllilll:dcs, ~ ,ll' l'obas Y. 7 lilJl:as á libl';¡S, y s.e me COllvi"l'lc "11 35.7 libl'os; ' empino la elivision corno 3,!uí se vé:

28tiobs.ops.8,61 rs.

dobs.

o ¡S, 4,;3

I'S

100

11 :1 o JI:>

5bO 112' 168 0 , . 8,6 r 16 lH\¡b l " 0~606

o lOí 1 0000

:..,.

y a~\'ip.rlO qlle rn d I C@<lirllle nf,) : sa le nin~t1n oObl,ol\ ,; ,.nrluzco

los ¡]ObJ'OllI'S :í, VI'SQs. ; YI'O " 'lile ('1 cocit'ul(' uin~1!1I 1Jt'~O; 110 I't.' dnz, co á l'l'ah'S, o,jad'o los l:i,G 1 q"" habla ,'11 d d iv itle nd.o, y saco poe C{)ci{'l1l(~ 4,~3 n"tJllcit'J)(Jo ñ dl'('il lJa11~s la !'I'sla 26 .. ,.6. r¡1I\~ h:lb'a 1]111·,1:'<10 d"1 l'oci"ulc eJl/(~I'O 4; (·str. ('OCi"lIll' 4.¡3 1<> ' dd,O l11ultiplicar pOI' Ion, POI' (ttl" ,,1 (!\'li"JI.¡d ('{)nlit'I~C 100 ,, (~Ct'$ ~ la nnidad el" ('spl'ci" inf"I'/ol' cld .¡iviso,' , '111" I'S la libra, y saco ~í3 I'eal,''< , f[1I" rt'dllCiJo~ á' d(lbloI)('s cornpoll"n 7 doblolll'S, 3 'pllSOS y 8 l:cal~s ', que era el valor d,el q uilllal de aLl1Car. t:.trnpoco

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ARITMÉTICA

193 ·P. De qué otro modo se puede presentar todo número denominado? R. Como número misto: para "lo cual se ;educen todas la's unidades de especie inferior á la primera, á la inferior de todas, y este es ,el num'e rad'or ,del quebrado que debe acompañar á las unidades de especie superior; despues se le pone por denominador el ntÍmero que espresa las veces que la unidad de es. pecie inferior está contenida en la m.ayo", V. gr. para poner como llllmero misto el nlírnrro 7 doblones, ' 3 pesos y 8 reales, reduciré los pesos y los rrales á rea!es, y tendl'é 53 reales, que será el numr.~arlor del quebrado que debe acompanar á 7 doblones; despues veo que el real cabe 60 veces en ,,1 doblon'; y tendl'é que ' 7 doblones, 3 . pesos y 8 l'eales es lo

Po doblones. Tambien podré reducir el quebrado !g. á de~imales, y- sacaré que Z do11o:nes, 3 pesos y 8 r5. Ó 7 Po doblones, Ó 7,8833333 ' mi~mo que ,

&c. doblones todo es una misma cosa. 194 P. Lás oper~cione5 bechas con quebrados, números denominados y decimales ¿cómo se prUl,ban? R. Del mísmo modo que las de los números entfl'ros; la de restar, sumando el suslraendo con la resta, .y la 'de dividir mlllli.plicando el dívisor , por d eoeien te; las o tras dos casi llunca se prueban, y asi es escusado el decir cómo se hace. "

CAPITULO

XI.

De la regla de tres.

I:> E N 1 Ñ O S. IcJI medio de la$ causas, ó las causas (0) por medio de.. los electos, cuando se conoce el enlace ó dependencia ,que tien en elltre si. I . . 196 , P. De ~uántos modos pue4e ser la regla de tres? J R. De dos: simple y compuesta; la simple es aquella en que para determinar el efecto ó la cau~a que se busca, 5.010 se necesita aten4er ó una circunstancia; y COrIlpuesta es aqu ella en que se necesita atender á dos ó mas circunstancias. 197' P. En qué se divid e la r egla de t(CS simple? R. En dirtlcta é inpersa; directa es aquella en que se trata de averiguar el electo que produce una causa, ó la causa de qu~ proviene un eleelo cuando se conoce el efecto producido por una causa de la mis""ma especie; y la inversa es aquella en que se trt;1ta d~ averiguar ~a causa que, junta con otra ,dada, ha de producir el mismo efecto que ha n producido ya otras dos causas de la misma especie. 198 P Me podréis esplicar esto eon mayor claridad? ~ .f!,\ Sí señor, por medio de ejemplos: 1. 0 Sé que. f 5 pares de ,mula,s han conducido de la era en un dia 60 c(!'h ices de trigo,' si quieron averiguar cuanto!! caMces Rodrán traer 45 pares de mulas, en el mismo tiempo, esto es , -e n un dia, tengo aquí una l'Cgla de tres, que es simple, porque el número de, c'ahices que llllSC.o so.lo depende de ~na cÍl'cunstancia, á sal l)cr , del númCl'O de pares de mulas q,ue los pan de tlmer; adema s ps directa, porqup. trato de av e rigua~ los cahices, que son 'eJ efeclo, qüe han de producir (~J r;uando se v e que U!W cosa es capaz d e producir. otra, á la qll' produce se le llama causa ,)' a la produci!h efecto. POI' ejemplo : desde q.ue ppmos que la cera se í'lerrid constrmternente por la aplicacion .de cierto {Jradº de calor, dal1Jo s al calor el nOl1Jbre d e causa, J" al d rrre~ ine la cera. et nombre de erecto; cl.u :ndo un labrador siembra trigo JO ' coge, el trigo que siem.bra es la cau'Sa '1~t~ pr.oduce el trigo 9-ue cOlJe, que es el efecto.

A R 1 T M É T ,(erA , parrs ce 'mulas q'u e son 'la éa'u'so " por irÍ~d'i(), del, con'ociIIÍi,'ulO ' q u e t"lll;o (1t,1 ' (['.le han ' 'p l'odncid\), I'n I ~s rn islll as ('il' l' lIusl,lllcias 15"''Pa l'rs de rnul'a's :' Tam bi.'1l se ria simple ' y uil'.'cla I ~ regl'a M 1.r(:s',1 si Villl" SI', \)f'o¡uwsl.a en cslos , I ~ I'millos . Sé que , , 5' pá.!!.' I~J.lI

los

r es d'e 'mulas " á!? traido 'de lit c¡;a ii1n u'n día 6.0 c,~hi cc~~ de trigo; para ¡raer e,n el m islnn liern p o 1 Ho ¡:alíi..> ces ¿ Cllril/tos prires mu las se I'!ecc~itarán? PO I'cl ue'

3f\11í se U'ala 'ue aV"ri¡!;11ar la ca nsa , esto I'S, los paI.":s d(~ mulas (~U~ se I~ "ces,jt.ail pal'a (l:a:cI' los , 180 ca"> hl (';('5 , flu C SOn el elpclO, pOI' Irll'd 10 dpl elec lo cono c ido, 60 ¡:ahiccs , que h an produt'ido los 15 pares de mnlas. :1:. 0 Sé 'que 15 pares de mula:~ han trasportado de la era en 5 dias 60 cnhiccs de trigo; si' quiero a"eri-'

guar cuantos pares de T!1II1ás se n eccsitan para trasportar' los mismos 6" cahiccs en ~ o d ía s; .'s la r '('g'!'a flc '\ tres . sr l' á irl\' c"rSa, porque aqui lPl igo un rnisrnó ('f':ClO, f(ue ,es 6? ca hi b's , para, cuy a pl'oduccion h a'l Í' cor¡clll'l'Ido 'd os causas , los 15 pares u e 'mulas y los 6 dias que han t rabajado , y ahOl'a tra lo u'e de l!'rm iIl 3I' una' 'de las callsas, 'á; s;i'lirÍ', el rr;'lme1' 0 d f' ('an's ,1" mn l ~s, f(U" jllllla 'COII la oll'a, rs dl'l',it' , COII los 10 dias "n (1'1(' IWII ' d,~ I'['abaja;', ha' de p,'od llci 1" el misrrio efec lo de ll'al'i" los h'O c¡¡ ['i'ces . Je 'la ('I'a. . - ¡ f" '1 3.'u Sé qlLe r 5 pl7rés de rizúZrl,s han trnspol'lado de fa 'era en S días fin cáhices dI! t rigo ; ' ''~í· q//iér" o,vc'('igúar

los cflhiccs q/le 't núportaráll

p'ares 'de mula.s

'e ll

,~:

d ills; ('sla I' c '~kl ele' II'I'S s!'l';i cnrll'pn ,'sla, 1'0l'fi,i" ,el 'i"'IItI<'I'O', d" eahicc's f( t'" I.m sco d el,lí'II'II,,) u\~ cl'os eh.>.! GUlIs lar¡¡:ias, ;Í, sa,h¡· ,' : - d,,~ los 45 P,ll"'S iUt~ millas que sr ha ll ,dI' ('mpleal'" y d I' los 12 J !as' (t'le háll ele estal' tra ba ja "dn, ' ,',' ': :-...' ",' 199 P, 'En nna rrs:la de ' tl'es sim'p ' le lo"\' '¿-: díáhl1ls • ~ ''' . í "t"' . •

? . . '" . ~ Tres: dos del su,pucslo"cs, qedr, la cau,.~; v el efcelo quese han de dar conocidos, y el otro n ú mc~ ro fie la p.rec~nta; coru,o esle ha de , ser de la müma nl'l ml' l'OS ('ni 1",) ti

:, B.

~~I~ .<.~ ~~"'!lX)'~

J ,1 3 .

II 11; N 1 ~ O 8. e~pcdc ·qur.

una de los , del supuesto. á ')05 d·os núm/'I'IIS que 5011 de una misma esr c ci/~ . se , les da el, llllruI'JI'e· .. d" pr/ndprJ.l.Ú ; 1'1 0'1ro y el q.tH~ S(~ bns"a se Jlam:lI~ relutivlJs; p"/'o como de los rcljllivos 's olo se COflIlCP ' Ut,O, 5(' llaman ",'íflwra principal y Sil relativo, l'o,"csl'l'lcll,'ia á los d'o s dl'l SlIpUl'slo, si .. ndo d prillcipal ll 'lll'" 'l"!' I'S tic Ja misma ('s'p,'cie que, rl d,· la p.' r~lIllla. V • .gr. CU3.lIdo qui ':ro avtl'i~lIar )('lS (';,hict's qlle 1I'~sjlo .. lan¡n 45 pal'l's de mulas, "11: (.J snp""s lo de qlll' 15 ha'yan lraspo.:lado 60 caf¡iCI'S, I<lB Jos rllíIlU'/'OS p,'incipalt·s' son Jos 15 1,al'cs, dI' mllla5, y los ,45; los l'I'lalivos, 60 caldcl's, y Jos · c .. hic,·s qtW bilsro ; y Jos ilue se Nau1al1 por E'sccl('uda lI,ímcl'o pl:illci 'pal y su n,Ja'livo, Jos' 15 'pares de mulas y Jos 60 cahiCl's, si"JI(lo 1'" principal J05 15 p~rrs, tic mulas, f¡Ue es el de .la misma especie que el de la pl'e~U.f1!a. '"00 1!.. Cómo se I'csuelve una regla. de tres dil'/'cla?' .. " ., R. Se mulliplica el nrímero relati()o del suplles.f~ por el prinéifJnl de la pregllnla,"y é sto se parte p01: el principal 'del' supuesto. Y así, pa I'a l'ucontl'ar 10's ca- . hicI'S lit, II'i go <1"" I,'asporl.ar:íll los 45 1'al'l's de ·Oltllas· l'n (.JI snp'H'SI.O .,It, fine 15···· hayan' i'\'ilidd '60; m,!:'lLi pli'can' los 60 c:¡hicrs· , númN'o nlatiNo 'tId 5U111I('slo" Jlo!' \45 (111!~ rs .. 1 príllcipaJ, :de la 'pl'l·gU1~ta .." y el pI'aduelO 2¡00 le. dividiré I)ol' l~, Ilúrnel'o l,riucipaJ de la prr!gl1nla ; 'Y ('u rl cocirulc 18o 'h'ugo los cal.dce" que ll'asportaníl'l Jos 45 parl's .e1e mulas. :. . 2t;l1 P. Se sirven Jos ..Aritmélieos de a)gu!l m~dio para l'scri,bil' ,Ja l'I'gla d,'. ! ['es? , .' R. , Si S('IIO.,: la [!'iructa se pohe 'el púme;ro · pr~ncipal del supuesto, en- seguid.a dos puptos e,n esta.' jO;'ma- (:); desf1ues de estos ,dos puntos, cup.lqllier:a· de lo,~ ot,.qs dos núrne,.oil , que e>s :"'lejar sea el pr,/nci-; pal de la ,pregunta; luego, cua.tr,!. puntos en (!sta for,;, ma (Í::j; despues el otro .nÚ:J;ncro.; luego otros dos 'p un- . -tos; se TI1u;Zlipliean 10;1 dos- (7úrncros últimos, $e pElrte el producto por el prirrier,o,:y el cociente .~e pone fk$,.

IF~~'

l 'I4 A RI T M É TIC A pues de los dos últimos puntus. Asi, la c,ueslion anterior se escribe; 15 ps. de ms. ; 45 ps. de ms. ;;' 60 caJhs. ; /80 cahs. ó de estl' modo, ' 15 prs. de rns. ; 60 cahs. ;; 45 prs. de ms. ; /80 cahs. "-02 P. Cómo sé lee una ngla de tres cuando es tá rscri La ? R. Donde hay dos punlos se lec es á-, y donde hay cua-tl'O corno. La pril}1r.ra de I~s al) t.criores se lee" 15 pares de mula,$ es á 45 pares de mulas, como 60 cahiccs de trigo es á 130 caldces; quI' cuando no se sabi~ todavía lo qu¡~ ha de resullar se lee, como 60 caldces es á 'lo que salga. " 203 P. Me podréis resolver otros ejemplos de regla de tres simple din~cta ? R. Sí sdior; 1.° Un labrador ha comprado 27 6 reses vacunas en 97538 reales; ¿cuántas podrá comprar con 390 [S 2 reales? Como aquí el número principal d~l sllpurslo es 9í538 reales, escribiré la cuesti011 de es!:e modo; , 97538 rs. : 39015" rs. ,;; 276 reses vacs. ; / /04 id. Y sacaré que pu(~de compilai' 1104 reses vacunas (lon dichos' 390152 na les. - !l.o Un mercader ha comprado 5!lhpíc.zas de paño con 7000 reales, ¿cuántas podrá comprar ,'on 5257 rcales? rj!'cutando la opcradoll como he dicho, sa.

3 6 4,

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care!{ue puede comprar 397000 plezas ,o slmph • c~ndo 3!¡ rf~ o pi(·zas. 3. u , Un lubruf.Jor sembró 972 fanega~ de trigo, y cogió 175:>3; si hubíau sembrddo 29 j ,G en la .misma foririd y 'cón las mismas 'circun.~ta~cía'$ ¿cuántas hu. bie,ra tJo(Jido? Aquí los t·res númei'os son de una misnla especic; mas no por eso se d(,p, de COIlOCI,r los que sou 'los pt'inópales, porque son )05 que rspres'a n el (¡'i¡;o que se sembr,'Ó , P?l' ser la causa que pro-:: / d¡uce el trigo cogido, fluC es rl eft'(IIO; . y como d prinCipal -del' supm'slo ' es 97" fanrgas dé trig9, ejecutaré la ngl¡l de tres como aquí se pnsenta; ' '

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N.hhas¡

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972f-S. de trigo: 2\p·6id\:: 17523, id;~ ' 5;~.s:-69' ¡d. 4.° Sé ,que ..1 pS l/Jal'Q,s,de 4~'a{Jon eql.m/Jakn d 15 97 española.S j si quiero averigu ar las /Jaras, e$p'aiWlas que componen 5000 ctrafJ.onesr:s f ej~cula~'é la , o IJc¡'acion 'corno ~1I1tlí se ve ~ , ' , . 1728 vS'" ue Aro. : 15~7 ,~lPh ~: {íooq A~'n; 46 2o ,91r9 rs; :204 P. Cómo se resuelve una regla de tres inversa? R Se multiplican 1",$\ dos ' números deZ supu'c sto J :Y el pl:oducto se parte'p.ór: cl'númcro de Id; p/'e{Jun'ta~ V. ~I si quief'o , averiguar los pal1cs WC mi.Llas que se ' necc$Ílan,'pctra t~'asporta¡' en ',¡ o días el mismo trigo (por l~1' 601 cabices) q1¡J.e hán ''trasportado 15 pat'cs de mulas en 6 dias; multi'plic:!I'é ¡Jos dos, ¡i¡hoeros del supuesto 15 Y 6, Y el piI'oJUClo 90 le ui',iuiré POI' LO, número 'de Ill ' prrgunt3, y;,sataté que solo se neccsi. tarán 9 l'ai'!·~ de mulas .. ' tI . 20'§ ,P. , Cómo se escl'ihe una reg:l:t de tres in"" versa? , •• ''1 . : , I~· _ Ji. Se pone p~í.me1'O el 7211m:ero de la pregunta'.r á conlínria t:ÍoI1' dos puntos; dGspues uno -ou'alquíern. de los dcZ ' sup,+csto, que eonvendrá sea é? principal; tue- " '(Jo cuatl'o '.,¡pt1-ntos; despu.e.s ,el otro. nú·m.et o~ del "supuéSto ,. y lucgo otros dos punlfJS; se mult/plhittn los dos númc,!'OS, A~l i,fnos ': eSI~/,~, el .seg~ndo, po.¡;;¡ ~l,!-e;ccrot ) :Y el producto se parte por 'el' pn.mero, colocando el cocíc,)'de. dltspues de los dos .últimos punt'l's. 'Así el eJ' cm plp a'ntcriol' lo esqil¡iré: . ". t .l·· . . ; r.' < 10 d,as: () d'ias:: 15 ' l,I's, ' uc muls. : 91'I's. oe mulso ~ '206 , " P '" Me.'ltoilréis pl)1)p..oiicI' algunos e>jeJIlP]es de regla d ('" lrr~ il~... ersa ~ , k , '" ;, e R. Sí:.s~iLor: 1.° sé qul!' 59ft n;zu{ge;Ne¡; .. ham7zilado en dj díds 368 arrobas de lino ¡' para .hilar ek7(1ismo lino Clh 4 í.dias , ¿ cudnlas , T/21(-g'c,rcs se necesitarán? Ejecut-3n'Jo Ja operacjon 'C(;)n10 ar¡u,í se ye : -4 uias.\: ,1'6 uias : : lí.g7 ,mu~l:rE',s~' : 2388.'·llj>ugeres t hallo 'qu,é sedH'cesi4an 238SuHl.ugcJ;'ps. ' ..,¡ '. ',' o"" n 0 2. Un 'labrador ha. sembrádo. · en S ,dia-s 2J5. .yan e7 gas de tTí{9ó.vcod .127 ;runtasJ; h.q.uícr:e .se1}'lbllG;z;.,otr s

,1 ~ ~ Á lt r,.r1lf ~ T (t e A • ,lwitd'S janeg,áS en '3 dias, 'y 'desea' ,~aber, la,~ yunta,! que ' 'QC(lesitti.Pal:a esto, ejecu>tará ,la, ?IlcI'u aioll como IIqut, Bt~y,e:

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3 dHu : 5 iHas :: 12 7 yun ¡~S : "1 (¡r, ylln~3s. y haJla~á que " nccesita '1'

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y lo s:5- u,el tra,bajo

3. o p;.rzl.u,na .embahcaL'Íp,h, hfit.y vi"ercS' par..a 3 mescs;

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causa ,efe u,na borrl),~:('á , sc ,ltlj ,alejlldo dI'!' pu.:rlo á donde se rji¡;ig,ia; .'Y' h(l IJI ,ac.durar los vi'JCf'cs5 mése,~; ¿que r {tt;io n ' s,e Ita de ;Zfll' ll , (lada' uno d '/: I¡i:~ que "an embarcados? Ar¡uí (,1 .'fl'ji !o , II'I,ul' se ~a ' ue pI'OUUCil', es la m'!I)t,l!cn c ioll klc !odos , r¡ os (11I" , V,Ull cm,ha/'cados; y lo que SI' sahC ' CS I, (~ll¡l' cou los vív('1',¡'S qne hay se l,pu ede l@gl':Il: e \lsJ.a" HW JlU I.I'uciou ' .lul'a,ul(' 3 ' mescs ,danuo á cana uno ~ll ,v.acio.¡ ¡'pl!i,nlar. (In" se podrá llamar , 1; ahora SI'; ¡ f l":li"n! (1 ItI· "sla maullt('ncion se logre en 5 ml'ses, y lo (lile SI! trata dI: avc· rigtlat es, la oLta callsa " t¡J\, IJle ,ha ',¡J" p.¡o\v enir dicha mantltencion , ~ sahrr ,' la ,'¡¡cioll r¡u" se:,hil de dal' á cada prrsol,la; y comp' aquí d . IIllllll'I'O" (II'i,,'cipa l de la prt>gu'll!a , es 5 meSI~S , " c,j(~ClI''''tré , la opcl'acion 'corItO

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5 meses: 3 meses' ' '' , raclOn :"5 • l-

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y haHo,¿q\¡e 'á cada UlIO" dc Jos ,¡ue 'van., embarcados .

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es Jeciro '$'j le . cIaban 5; @lIzns cI e, aIT07., a,h@I'a )se le cI"b"rán dar 3; si se le daball 5 lIalll'Ia5 ,: ahora se le cIeberán . d:¡r so~o '3; 'f ':I"s¡ dí: l~s ,¡JI'IlIa'sCi cosás , como \ agua l Vi~lO\ &r: '~ ~l '\. 1, ,'~J, ' 1 4' o . " E/l 'una pln.zf't ,~it:íá'iJ.a?'htt.Y víl'l~''''es, ,~(}rrl.par.'t 15 días; el Gobenw(tor hu ¡t'íJL'i{)id'IJ unu, fÍ'/ld,iJ/ ,dv -'.,w So,:: b,er(1)o'en 'Iue le divé '! /¡'u,e, 110 I,~e tn fr¡"gllcl , por[¡ue á los 20 diás le en"íll,,.á " ~~o(J'JlH'()¡ ¡ ' ('Í1 USII\'\'¡;;¡S'Q, Ih'he el GODJ\ppdo'r di'Sr'Eliínlir la r~'bIOll ,¡Je, '(wd .. S<TI.¡larl.,; y ~*cu~and'o '!a 'opel'aciqn 'O'oJno\'CIJ.J

!!1 cj~lnplo_ \ autu1'ior,

, DI!: NlltO:S. [:1'7 hal1~d ,.,qnt'", á caua solJaJo. ,le debo da!"! 'parles

de la rariOIl que ~ lIl r s. ,~ ~5.~ La gllaf;iJÍc¡'on de IIna plaza cs' de 6600 hombres; el- Goúernador saSl'edw qu e la van rí " sitiár 70S eilemiif"'~ '. 'Y ,,1(; tieon~' vivel'c's 'Para: mantener' á &ich a ' guar/licio /l" ,il/(í, ,, ' meses ,:r ¡,,(fdio; .Y t:(uno d~úc prcv~nij'se l'(/;ra p 'mc,,'cs lo ménos",,'y no tiene de donde. ~ rCCl,lrso 'lile debe lrim(lf' [ es ecf¿á,r .,alrlados! de la pla-!la, p"rque si. les disminuye la 1'/lt:Ían nn cst'arian bas/otmte /'IJbc¡.~I"" para resi"tir lrr.s Jalig a.~ de un sitio; y. así, W....a; \,vrl'il!:"al' d , II1 'I IOn' O dI' soldados flue clt'bell q,urdal' dI' 1;"31'IIicioll,. fjl'cutal'á la 0pcI'acioll' como aquí SIl \'I( : ,tl J" ~ I r, S rnrsc§ :

~ rnpsf'S ::

6000

soldados:

5000

6'01 Ja cl o s'.

Y ,,!hallará ' ~',rr. [fl1'lWh Ipwcla r' sJI('5 ,~ooo solda dos de gUaJ'lI i¿ioll; los olros lo d o :105 enviará á olra plaza e-Ji " qll~' tl,'l lgalú\'uecI''Sid a'cl dl~ 'hombres y no d-e vív(n~es. ':) Zt'

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<1" .•

11\20'7' d)\ ,eó,mÓl's-e.' r('Sl¡'(')ve ' una ' r('gla de ' lrrs 'comliUPst'a ?I, " J) \ " " , .. \ \;",' R. Prirner.n ).~e buscd' lb :quc se ilú¿n. alcndi'e ndo S()l?,-ff('f¡n:: l;it:%u. J:' ~1fi(~/?l:{q ;~te.~t? q~!.f_ "l·.t;~lt{l se Ct?l1$üJ:Cra como el /1(Ullero "rel.ati,!o de otra CU'l.'un-stanci" , y se 'd'eterTllina el' q'ire debe Ti:sí¡{tar, iJtendiendo á ella;

si lta:J'" (/J ií,,(¡eJ)''''¡;')~l(,,,da.s:, !t¡ 'lile rc.,ulla éOllsi.deru como ntÍm ero relalivo de otra. j' as; se pl'ocede hasta C/lcanlmr L"[ que resulLe ,atendC/; á to'das. 10,1

oÍt1éul/\'ilul"I(Ji·á s¡

~\.,\\,.,

- \-Ej. l." ' Si"' qúiern fl<lcrigunr. 'Iris i:l1hic~s de "trigo qrbli, I'o,drmn .(·/1/" pllrlr.tr '45 ;,'al''c.~ de ltIlIla" 'en I '~' dias . en el sl/l'u\JSlo de haber truido 15 pares' de mulas en S fdift~ 60 cahiecs ¡" pl' hht'I'O áVf'r'~h:íl,é los c~hicI's'l rlll" Il'ut,FÍall los 45 pares de mul as I' n el mi.smo iii /n'pll ~ ~'~ l;¿ I'S, ' S Jras 1 r¡ue~ ~ jl;c'I~ ¡are como aquí se VII ¡. ' 1

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15 prs. el" ms,: 4.'i prs. ele ms.:: 60 cabs.: 180 C;¡}¡S. V'J'.~neHEfn:rr . 1\.t1;' rl'~,, ~án 1!lo' cil hí(i.C'S ; a11'J0ra di'ré';!~ i:n S di,«1i traen 45 pares de mulal' 1-&0 c.tihic 'L~

II/l AJUj.r~:éTJCA .dias ¡i czlántos 'tra(lrdn? Ejecularé la opepacion l como aquí se ve: / l' ! 5 dia-s :. o , dias ;.; ¡SO c¡¡hices ; 432 c¡¡hices. r saro qllc ,t¡,:¡erán 4>32 cahicrs • . Tamh irn 'h ubiera :podido encontrar est6 resul-, tado de ilUa vez, muzl.ípliccwdo el número de pares de mulas pOf' su ~'o;rt:.,pondiente de días; porque 15 parrs de :rnula's en 5 dias es lo mismo que í5 pill'eS en un dia, y 45 par('s en 1: 2 días los lo mismo que 540 parr.s eJ~ un dia ; y así, ''la cuesli0H ·esta.r ía reducida á encontra¡' e~ número de cahic(l'& que traerán 540 pa~'es de mulas, ('Ir el supuesto de que 75 hayan traiuo 60; y así se resolverá la cuest'ioJl com'd ¡¡ quí se ve; . , 7, 5 ps. de ms. ; S 40 p~. dI! ~~. :; &0 c~h,s. '4h

cahs. hal lll el mismo rrsnlLado. . , ' .' .... .., Ej. 2 . 0 , Sé qUe 8, l~Qm/;Jrl;s; en· .1 o',dil'fl! ,¡tr.a bajanqfl en cada día 6 hora.' , 7tc~ n segado 500 fan ega.s detr,i/Jo,; 4 homlij;es en L'.U , d¡q,.~ ItraúajCl!lldo. f) ,J¡(}T'lfS al d.ía . ¿cuántas fan egali segarán? Aquí tendré qUÍl hac1!r¡ las tres I;('glas de tres sJ..JiIlp.lt:s siguicU,,le·s ;. ,<.\.

y I

4 hombres 1':' S00 f<megaS';' '~5 o' fa nll!?ias, l";;

8 homb're~' : "

~ b dl~s

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. .'

•

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dias;: 2.50: f~nega~: 30.0 ia,leg'lS~ _.;,

.:& h01'as: 9 horlls; ; 30@ fanega's-; 41ío' fanel;as~ :,~ . .• \

)

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. Y' sacQ que segará!! .42.9 fª,n~g3S de hl\igo. ,,' Ej •. 3,° S¿ quP po hombres en 5 días.. ¿;"q.bajanao \6' !toras al dia, .han l}/Jch(J Goo v,a·r;as d,"¡: obr:í:1,,. para ¡ 7ia~ ce~' lc~~ mismas .¡Ja/'(J,~ ~6o Jwmúres, \~r~baja/2éta 9 !to."., r}Hi '..ffZ-d/:a ,¿cu4ntos dl'M' T/ c 6~sitará·n? '. ", Ej e.c]l t;ludo la operac¡QJI corno r 3'rLlJí "se iVé,: ,,' 3'60. hónlhi'ehr '7~b ' lí91ibres l : l~ d}as ; i<! \li~s . . -'

....

9 hora~ ; 6 horas;;

" Sáco qv·e .,vece:¡j ~aTán~ 6 dias y l: s ~rabajo de Q~ro dio .

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DE· NI

Ñ OS.

CAPÍTWLO XII. De las reglas de compañía, aligacion é interés.

!lOS P . Que es regla de compañia? R. La que enseña ti determinar clfanto corresponde de 'la ganancia ó pérdida ti cada uno de muchos compai'ieros que han puesto su caudal ,en un fOlldo para algr¿na e$peculacion . !log P. De cuántas m'<lnel'as puede sel' la rr,gla ele compañía? ' R. De dos j simple y ;con tiempo. Se dice que es 'simple cuando el caudal de todos los compaí'iero¡; permanece un rhi·s ino tiempo en el ¡onda; y, se dice que es con tiempo cuando los caudales no permanecen un mistriQ 'tiempo' en el fondo . !l10 P . ~ómo se resud ve la regla, de compañía . simple? R . Se suman los n ú'meros que espresan lo que puso cada compi;tñero j y para enCOlll1'3I'10 ·q.ue corres po n(le á cad~ uno, "se cf,'c'bmwá la rrg la de' tnes siguiente: la su·;na rte lo "Iue p'usieron todos, es á toda,llJ/ ganancia ó pird/da, como lo q¿le puso cada uno \de ellos, á lo que le ÍJorresponde' ganar. ó' peTlder' j pOil ejemplo: tres' hitienm clJmpañ/a; el 1 . 0 puso 3{)(!)0 reales, el 2 . 0 puso 4000, y el 3.° pu'so 500'0 real'es. y 'gaharon poo reales r se trata de q,i;eriguar cuanta g.a n anda cor.res'ponde á cada uno. Para conS('gui1dq , ~ suníané. Jos númeFO'~ 300C)l, 4'000 Y 5000, Y h3 11~ré tqúe la" ~uma es '12000. rA,rrot'a, PIl virtud d'e' 1'0 ' <!spU1',sro ~20'1) t diré: 12000: ,po,o : : 3900: á lo que corresponrJe al 1. 0 ; que 'h alló seF [ 80 o tcales. " ¡ . . : ~O"' <.c b O·! , / Para encontl'ar lo qUl.~ '. c'lTl'e§P9.nde .al¡ 2,° diré: ~ 2000: '720,0. <: 4-.000: ,á lo, qJ.lt; \ 1!l.oC9;rllesp,g nie ;'c; 'iI;~e ' hallo (20 r.) S"l'. 2400. , 1 • _ " ,: .b ~'J'" Par~ en.cpn!rat)o " qUll ,CO}T~pona't . q~ ~,,~ ,IlO necesito' en r~a l i~ail formar, ,r~gla. de ül\~j ~ J'p.es sumalldp las gatl!iIl<;;ias' ,de )o~\' d.q,s rl'j~cFo '''Yeres~ J

J. tU T M¡~ TIC A •

tallllo esla ganancia d~ la lola l, rrsultad lo qno conpsponde al 3.° , Y en ' cfl'clo, sumando el 1800 con 24üo, hallo 4200, que J'('slado de 7200, rrslllla 3000 , ,que 1' 5 la gallallcia, ' dl·l 3.° ; ' P"I'O ~ si '5\" (llfine hallal' pOI' la rr~'la de LI'l'S, corno los olms, diré: 1'2000: 7200::$000: á , lo quu ('OI!rrSpollt!l' all 3.°, qur. "S C201') 3000. y si (Iuirnl I:qmpwhal' si me ,h~ equiv@ca'd o, sumal'é las gun:l'llci;¡s los 11'I'S p ura vel' si co n'poucll la ganancia Lotal; y ,('(lIIIO sumando (,1 1800, con 2400 , y eon ,3'),0 0 ., ('C'stllla í 200, 'qu e r,s . rll" cfl'clO la gamlIlcia tOlal, (llH'do C011VI'ncido de que 110 me hr_ equivocado. 211 ·,·P. Cómo se ,l'l<sudve una rrgla de compa, ñía con lirm po ? .~

R. Se· muU,iplíca lo que puso cada Gompaliero por .-el tiempo que tuvo su cm(dal c·n el fondo .. .Y desf'ues se consideran estos prodúetos aOfI/O si .fuesen cuudal ..Jpue$lo 'e n elifondo á ÍJ.Q mi,~.mo tlempt" y se resudven COfllO la anterior. POI' ejl'lDplo; sí supíe,~e '1ue tres 'habían formado una comp.a.í/ía , en· <¡ue ~l l . u había 'pucslo 4000 ,!?es.os, que lo.s ~(J-vo en el jondo,:?' t;lijo,~; que el x.o_.puso 7000,:;-; lo5 .¡¡I:u,vo :J. ,a.ñ as;, <¡UC' el 3. 0 -puso 8000 ;.:J.e/~iélld()lo,s ,Splfl' medio aFi.o; <¡ue" e.n ·.este tiempo ganaron 2\1000 peSO$ ¡ 'Y qui,~ie~q..'ap~('íg/Jor lo que ' oprnesponder.ia1é " . c.o,da ., uno:\ multi,pli'll.aria los 4000 .peSos deJ" 1';~pO'~ lbs l1;es a110.s qtw. lo,s tuvo, r )1 el fondo .'·'Y' ,ha1oJ o q.u e · ~l'lh"a l p ll á , habrl' ptll's lfl 12000 p"so's lJo,i'J\'lI1" a~).o; ,\ rrIUJ biplli~o. igualm.r,nl·¡'>; los 70QO -qne pusol .cl:;:no, ptJll." LO~"!l ,ai'jps . q,lIe , los" tll,\\O ,en Id -fondo i ;" y;i h:ul ~O ;)'(IUÍ! : pr¡uivaJm á- ',14Ij1Yo , ,prs.o;s I'lJCS-' tos pórl~u1l- airo'~" Yl,po'rr ÍÍlI'tiruo , mulüpli\l0(',S.OOO"P6S0.s ~

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Q 'añof -e'I Ctirmpo q ue puso el 3. por 2' por ser rnrdio (¡tu) 'r)~ \1 •

q;le 'jos {,'iv& t. rn(i H '-ramIo; y " hallo que ll'er¡nilVa~rn á · 4160{.¡ "~¡lso's"'pr",s-10s ¡ pbr. nil ;año. ">Ahol'a' r.S:lá . ya. reGu<¡¡dil la CUI'sl ion á una ngla 'd-e.' corupai'iía s i,m,1" 1e, "én q'tre JI- I t o''1íál púrsLo ¡' zo'oo"pesos ¡ ( l' I ¡¡ :t~,o ha , I'u r s"teI"140"ób' ¡ y el 3."!}ha pltl'SI.O ~oból : ,'y qlle:'.ha 11 ga'nado " aíooo J\es'os'~- :y l.Í'esoivIén'd'oI~·; com~ <hll .dichol {~ 191_,

DE NI Ñ O S,

le cO;'r<'slIClIlJI'n 8400 p~sos ; 9800 al ".n, y 2800 al 3,"; Y ('11 (' 1'('('10, St1m~JlJIl <'.slasl lrcs ~nllnllcins, r esll lla la !!.:lll:l ll l'ia I."I,,J 2' 000 P(·sos.1 , 212 P. QII<' ('S /'I'gla de aligal'ÍolI? R. L" 'lile NISeil1l á dclel'mi"qr t:I prel'Ío á 'Iue se 'ha de " IJnde" le I/I ezcla de dll.~ gel/e/ os • cllan,)o se -dall co//odrJas l a,~ c(l/llido,/¡-s 'lIJe e 11[1'/1,11 en ena, y ,SIJ," va lore" , O la <fIJe ellsciia fÍ dl'icl'tllillar cuanta p"I'do/l ' ,~c ha dlJ lomar de cnda gellel'o , dndo '1ue JO/Ia ' el precio medio .Y los precios de lo" gelleros '1ue se' hall de lIIezrdur. 1 ' :,...3 P. Cuá~1Los casos OCUlTI'Il ~Il la reóla ' de aligation ?, R. }jos: 1° cuando se mezclan ¡jarÍltS cos(',~ de ·dijerc(ltcs precios, se prl'gu/I!tl á COtllO s~ ha de vender la rne,zcllI; y 2." cllllndo se "idl? la pordo" '1u c dr cada uno se ha de IIIt!zltllJr puru vellderlos fÍ 11/1 precio dado. . 214 p, QII': Iwy qllP ha~rr rn ,,1 prirnl'r raso? Ji, Se tllllltiplica elida míf/l.cro de los '1u c {' SfJ/:cs~ n l as cosas '1l1é se hrtll lIIezc!(~d(}, P0.f' el '1ue CSf'J'C,;fl sa ' valor; .~e Su ilion' es/os produclos .Y la .WfII(1 s'c divide por la .</JII}(~ de 7(}.~ l7Iíme/'().~ de .'osos '1"C se mezclar o n. Por ,·'jt'm ld o;:, se ha n: 1II~:zl'latlo 5 f:lIl"l;:lS · de 'trigo ,de á 60 1'I',it,'s, ('011 8 dI' á So 1'1',;11'5 " y Ion 3 d,' á 4o, y se l"'I'II'IlO" saL rl' á cQmo . SI' lla dI' ~ "rl-r d,'r la f:III1'ga dd Il'i~o 1]1I~ l'I'w lla d,' ,'~Ia m"zela. })3I'a rslo mtdlipli ca l'r ,,1 5 pOI" 60, Y bailo 300, ,,1 8 pOI' 50, Y hallo 4(l ~ , y t:1 3 l'0U 4(, . y b ~tllo 1 20; sumo ~sllls 3 pro'¡'UI'I(lS, y !tallo S'lO; cuya S-'lllla la divido pOI' la 511111a de las f:lll" ;;as q11l' S" n!l'zrlanln Jd,' ¡"das c lases. qn,' 5011 5 dI: la ,' t. a , 8 la 2. a , 3 de 'la 3. a , I]nl' c."mp"IlI'-1l 1\6 fa'Il"ga,s : y l'I'suHa' qllc lsr.' ha ele v(~l1der la ralll';p, pnl'a 110 pprtl"I'- IIj ganal',_ hnllarr qul' al

1,,0

o,·'

4 ,á 51 r<~alrs YI6 de rt'al,

(

·'

(31) , á 51 4 " rslo es, ¡

á cin eul'llla \ nn l'I'al l's y :runl't.illo. 21'! i P.' QlI,e hay I]u~ _ !ta «"I' para dt,terminar la porcioD que 6e ha de ¡nezclar dé ..cada cosa

122

A .R ·I T 1\1 É TIC A.

do se da conocido el prl~cio á que se ha ele vender 'la mezcla, que se llama precio m'e dio? R. En este caso J de la de mayor valor $e han de , tomar tantas unidades como e$prcsc la diferencia entre el precio menor. y el medio: y de la de menor prt!cio tantas unidades como esprese la diferencia entre el precio medio y el mayor. Por ejemplo: supOllf¡amos que se tenga plala de á 19 reales la onza, y plala de á 14 ; Y que se aesée salll!l' cuanta se ha de mezclar de cada una para formar plata que se pued a vender á 16 reales. Pal'a esLo, r es laré del precio meclio 16 , el precio menor 14, I Y ha 110 2J que. espresará la porcion que debo tomar de la de mayor valor; restaré el precio medio 16 del 19 ' Y la diferencia 3 me espresará la porcion que debo tomar de' la de inferior precio. De manera, que con 2 onzas de plata de á 19 reales debo mezclar 3 ele á 14, pa1'a que r esulte plata de á 16 r eales la onza. "16 P. N'o se val en los Ari'méli cos de algun medio para que se presente á los ojos el modo de ejecul.a.: esta operacion? • R. Sí señOl': el precio medio se pone fuera de una llave , y den ~ro de ella Jos precios _ de las cosas, estando colocados todos los pn~ll ios, mayores que el medio, mas arriba del m édio; y los menores, mas .ahajo, como aquí se presenta: l .

~ 14 .... 3. 19 ••••

En esta d isposicion se resta el 14 ilel 16, Y la resta 2. se. pone enfl'('nle del prec io mayor 19; se resLa r.l 1.6 d ~ l 19, Y la r esla 3· se pone enf.'enLe del 14, y se pl'csrnla á l% jos, que, de la plata de á '9 se han de tomar" onzas, y de la de á 14 se han de tomar 3. . 2. I 7' P. Con qué circ\1nsta:Q.~ias se pueden determinar estas cuestiones?

D E N i Ñ O S. < 1 23 R. COl). dos: Ófijando la porGÍon de mezcla ó aUgadon que se ha de formar, ó fijando la porcion que se quiere mezclar de una de ,e llas. Por ejemplo; si se nos ,dijese que en el caso alltcl'ioT habiamos de formar 30 onzas de plata de á 16 realrs J enwnces sumaríamos Jos ñúmeros :> y 3 que espresan las porcionrs que deben mezclar, tcndríamos la suma 5, y fOl'maríamos esta rrgla de tres: sí para. formar 5 onzfJ,S de mezcla, se TJccesitan :> onzas de á 19 reales, para. formar 30 onzas ¿cuántas se necesitarán? y hallaré (20 1 ~ que son 1:>, y para dehenninar las onzas que d ¡'heré m ezcla l' de la 01lra, diré: sí para lorm (JJr .'i onzas de ti L11, necesito 3 de á 14, para formar, 30 de á 16 ¿cuántas de' á J 4 necesitaré? y hallo (:>o~) que .1;(')Il 18. Si en vez de dctrrmi';ar la porcian de plata de á 16 reales que se había de for.:. mar; se fij ase que solo había 6 onzas de á 19 reales, y se preguntase con cuant.as de á 14 se ha bian de mrzclar par;t formar plata de á 16 reales, diría: si cOn :> onzas de á 19 reales se han de mezclar 3 de á 14, con 6 de 'á 19 ¿cuántas deberé mezclar? y halla(!~o 1) que son 9' ~ 18 P •. Qué se haría si fuesen mas de :> las can· tidades? , }l. 'Si fÚllsm -tires, habría por pI'ecision· dos ' que fuesen menorrs, ó mayores que el precio medio; entónces el mimero qlte repr-iJsenta,ria la poroion que Sil ltabia de tomar d e la otra, e"taría. espresado p'or la $urna. de la~ diferencias de 10s precios de la.~ olras dos al precio medio. ;Por c'je.mplo: si tuviese vino de á ,,4' r ~ alr~, vine de á T7 y' viuo de á 12 rraJes la a'n 'Jloba ; y qnisiese sabrr cuanto habia de n\l'ZcIar de cada cI3s{~ pnl'a peder venJá la mezcla á 20 l'p,a-res, colocaría los números como Le dicho! y aquí sepresenta:

11~

17····· .. 4· 12···· .. ·4·

., 1.

All.' I' TMI!TicA.

y cli •• 1l de 17 11 20 ' vall 3, c¡ue pondría <'I)frrnle drl !l4: tle 12 á 2() van f\, qtl\' pondré. tambi"n ('u{rrule d .. 1 !14, Y slImando ('5105 dos nüml'l"OS, I"ullré 1 1 <,¡n,' "5(l,'.'sa b (lprl' ion qll!' 1", (1" I'oma l' .Id dI' á !14'¡ vI'I'é. aho"a la dil"'nncia (1'''' hay '·nl.", (,1 :1() Y ,,1 ~4, y ponJI'l; b .Iirn·,' ucia 4 l'nrrl'lll~ dd 'i Y .11'1 12: y quil',r,' d,'('i,', qll" ('011 11 :,rroba~ dI' ,,·i.1O dr. á 24 )'I':d.·s Sl~ 1", u ch' IlI"zrla l' 4 del .1 .., á,'; "y 01"35 4 ·d.,1 J., á ' 2 para que la m"zela se pu.eJa v¡ond,'!" á !lO

1'I':t!t-s.

Si bllbi,'sl' ~é''''ros¡]'' cnalro clases, 's i trrs de rilas flll's"JI 511(lI'l·io ...·5 Ó inl""' iol"'s ¡d I"'!'(' io IlIrdio,

tornaria del 011'0 tnnta pon'ion como tlSf"'I'snse la de los difrn'nn'(/s de lo .~ pados de, Jos olro• •al p,.,·c¡'n lII~dio, .Y de cnrio un" de I' slos Ircs, tfllll" pordon COfllO "Sfl/'l'srlse 1ft dijel cnda clltre e/fln:do Tne(lio'y t:l olr/J. 'S i dos 1'111 ' 5111 sll(l'·rio .... s ,,1 I"" 'cio med io, y dos i,,{',', i, II'I'S, S" podria .I¡OI''I"min3,,' /i"'nraudo ""'Z C\;'S s"\"'r:"I:IS . ('OU 11110 511\)('riOl' 'y olro infeTIO!', y ")"~" 1111'Zd3"do cstos mc:t;r!as. . ~,~ p. QIII' "S rq!;l-á .1" illleres? It , La qll!' UI'I 'Tm.in3 lo 'I"t' se d,'lIP yagar por,

¡w

.,WfIIfl

(lorcioll dI' din('l'(l pl'(/sl~do CO.ll ch'rlas COI1dicio.•II' s, , 2 'l(l P< De cuán>las manrras pUl'de, ser, (,1 illlrrés dI',! dilp' ril ? R. \le dos ; á S:lI1;I', simplc'y compuesfo. El illlerrs si mplt- ,·s oquel en qllt: se /,ogo /JOI' snlo el capital

alglll1 :t

Q prilll'Í/lr¡[; y ,,1 "(J[III"u'SIO ,·s "1 '1ue ,~e {Jagct por e.l prill,l'Ípal los i"terest:'< 'lile llt'jl1l1 ,ie PII'gfl,T'Se •

. '~21

, H.

P. n,· 'Illé 1:1aM'. dc iIlL,"'t's sv b;; \, ,~ , m:>s uso?D,·I simple j que será del que : UI)S ·ocupr.mos

aC¡lIi.

d.;,

~ '!'l P. Cómo se rrSlll'lve. una ' ngla . 'interés s impl¡'? : J' B. Por m\q rl'gla ell' Ires sin¡ple direc ta. Por rJl'mpln, si sr Il'alas('. ti., av,' rig,,;'" lo c¡'II C s., d¡·hia pa-

gar al año

diría

pOI'

si cada

4'¡528 rt'al"s prrsl ados " al ; pOi' 100, reales . de capital' me ha '-fi& .d

100

DE Nl~Ol!. " U5 t'll'lll'itul 4;5,.8 ¿cuánlo ,me da/'d? y hallo ('lOl y 1(' :' ) (\"(, eI,' \)\' S"'' 3:hf";l6 l'I'al,'s, Ó tonlaiulll IIHa IIni. :atl ' \,01' las llO\' I'lIla y s,'is ' cl'nl(~si mas. flll!' c;lsi "(!'lIival .. u ú dla, s'' ,j'lfá '1'''' l'I'Jiln;lI'á dicho capila\ 3:hí f,' al .. , ,:d aúo; y si :oIl<>I'a, Stl '111i-

re(ll'es de

' si ns~

in~eré,~,

aVl'I',ignar

('naulo

iIUPU,l'k\b ;11l

('stos íl1l"r\'s(~s

cn un ('il"'IO ll" ,rIl ",'o " I.. a,ilOs, mullildic3,'ía ('si" \'a}OI' 1">\' ,,1 uo'trrl' 1'0 d,' ailOs. Si 'al ('OJ,l! ,';1 r ifj 1 , ¡I'a dos los illt"I'I'S"S, q:lisi,:,.. 'mos av/'!'ie;lIaf .. 1 eapii;d '1u" Jos pl'lIdtu:". II/'illl;ipiw in:' rrws la I'l:g/n .,j-(J In's 11O/' I(J,~ I e) Íllls '1"11 ciaban ,no renlc.'i, Por (·j. ·rnlüo: si epli!'-i(" nruhs ~IVt, ,,·i~.II;lr el ('a_pital 'fllle pfoolú." , id ailfl 4 '1 3"1 ".,;01 "S , sahi" lI do 'lllC ('S al 3 (101' ,nn. la ",';.\Ia dI' ll' "S la " scfibi,~ialllos así: 3:, 00 :: 4'13" 1' : al c"l'it,¡ / '1ue busí;o: y hallo '''0') S"I' 1410¡00 .... a!t-s. o' 1 '.

CAPITULO XIIT.

, Nociones {Jenerale ,~ (I('cren. dc 1(1. elcprtl'Ínn ti (lolcncin-$

)' e.T:lro('l'Ínll de ruíces, cOlltra) ¿n do 'e 1IU1,~ purlicu/a rmel/te ti eLevur los I/(,¿ meros 111 ('((((drado .Y cubo I .Y á , e;lruer la raíz w'adl'adu. " ,

" ,123 cia de

Q"~ PS lo

que" en W'IHTal, Sl~ llama poten-

1111 1I1111l1'I'O?

.R. El P""d",H¡ IO qne rrsnlla' d,' mnllil'l!('adr por sí mismo cj, ,'lo !I"ml'!'o ¡J" V"'U$. Si s,' n""I;l'li(':I l1llat " 'l'Zl l'I'sIIlta la s¡:{Juiu),a potenci.a. "!,III' S(' Hallla cuad;'(Jdo dl'l ¡¡(m¡.']'o ; si se \¡,"lt'l'lica dos v"us I ¡'¡'sulta f.. .Ierctlr;t 1'01.: I/('in I q,'", s,' 1I;lrua' c((bo' ; si t1"'S \'I:¡'('S,' I;¡ (;Ilarl q pot (: fld(l ~ y asi slIt'('Si\';'II11'III('. El 1l1l,'UI'ro (IUI',.s" multiplica ya,'ws 'o' ¡'('('S , S" lIa lila , I'aiz d,' la 1'0tI' n eia; y p;ol'a i"Ji('a,' 'IUl' uu llIírn,'l'o S" ha d,' ('I"\ar á lll!ii pot,,"cia. :S... lililí" á SIl ' U('I'I'cha , y uu ' pOl' O mas' all ~ . el 11l'lm,'ro '!U¡' "S(II"'S(' d gr!ldo d e la ' l'o!rneía; y' Il6le¡ n{' ffi('rO su. Ila 'mal I'J .i:sponente d e la pOl~ncia. Cuando el UÚIilCl'O. (lue se h~' del elevar á po'e1.eia~(~

~f :'m·

AR1TMETICA.

es complícado, se sude encerrar deJ.~tro de ' un parélI~ tesis. I Oontrayéndonos ahora á la segunda potencia, r e~ sulla que' el\ cuadrado de 1 es 1 ; porque 1)(.r=l. El cuadrado de 2. es 4; VOI'que :>x2=4. El de 3 es 9' pOl'~ que 3X3=9' Por la misma razon el de 4 es 16, el de I 5 l~S :>5 ; el de 6 el! 36; el de 7 es. 49; el de 8 es &f. d de9cs81;eldelocsIoO&C.; ' , ' :>24 P. Y qué cnlendliis por rai.,; cuadrada de' un núm cl'o? Ji. La raíz cuadrada de un n{imero es arprcl otrO' númcro, que multiplicado por si mismo da 'un pl'Oduéto i¡;uar :il mímero propuesto f así es; que l a rai.,; cuadrada de r' cs J; porquc ~ IDlll,tiplicado por I es 1; la raiz cuadt'ada de 4 es·':> ,,' porque:> multiplicado por 2 da 4;, la de 9 es 3 ; la de 16 ('s- 4; la de ",5 es 5; la de 36 es 6 ; la UP. 49 es 7 ; la de 64 es. 8 Í' la de 81 es 9, &c. 225 P. Cóm(} se indica que un númcro: se' Ira: de elevar al cuadrado? R ,;' Ponicndo un 2. á su 'd el'ccha un pO'co' m as· arLo~ así 3 2 esprrsa el cuadrada de 3; de manera r rpre se ti eIle 32 =3X3=g. Algunas, ,veces se ' encierra deiltl'O de UJl pal'é.n.tes·is la espl'csioJ1. quc se quiere eJ'eval' al cuad,'adO' en esta fl)l'Ina (3 )"'=9; Y la nto Ia' eSl'r<ls;on 3 2 como la (3)" se lee (1'es 'e1clJ'O.da ti 'dos', tY tres eleoado al cuadrado. " ,' 2. :>6 P. Córn'O' se ¡nd,i ea CJ.lfe' se' quieI'e estraer' la: raiz, cuadrada &e, un número? , R. Poniendo iJ'¡,¡;ho m'imcro debajo:" de este sig-

~o :V-que se Hama sígnu radical; de manera CJ.ueVg: qui ere decir qne se' na de estracr la rai'z cuadrada: de 9 ; Y corno , la 1,;¡.jZ cuadrada d~ g eS. 3 T se tieJie

V'~ = 3 ;

que se lee raiz cuadrada; . de nueoe' igual

ti tre'S. :>"'7 P. Cómo se forma' el cuadradO' de un nú....,

me.!o?

N ll~OS.

, R. 'Multiplicándole por sí mismq;, así es. que si quiero formar el cuadrado de 257. no tengo que hacer • ~ t otra cosa que mul~ipliear el 257 por el mismo :>57; y el producto (iue resulta es . 66049 , como aquÍ se ve: Del mismo modo hallal'é que el cuadrado de 853 es P. 760 9' El de 1704 es 2903616. El de 9783045 es 957°7969472025. 228 P. Cómo se es trae la raiz cuad'rada de un ntÍmero? R. Practicando la regla siguiente : Divídase el número propuesto en per:iodos de á - dos guq.rísmos, empezando por lá derecha, y ,no le hace ql{e el úZlimo período qontenga $010 un guarismo; á su derecha se colocan las rayas de dipidir ; se 'h alla la raíz cuadrada del periodo de la izquierda, y se' pone en las rayas; esta ro.i.z se cuadra, y el cuadrado se resla de dicho periodo; al lado de la resta se baja el período siguiente, y se separa con una coma el guarismo de la derecha; lo que. queda á la i:Z'c¡lde~'da de l'rl coma, se , divide por el duplo de la raiz hallada (que se coloca del)ajo de lo separado con la coma); _el codente que resulta se pone en la raiz á la derecha del gua-o rismo arn/·crior, !Y tambien al lado del duplo de la rah que sirpió 'de dípisor; y debajo del que se acabá de poner; se multiplica el dipisor j~tnto con el codente, por el mismo codente, y el producto se reS/a de lo que tíene encima, esto es, del reiliduo al'Jteríor, junto con el p erio'¿¡o que se le añadió; alIado (je la resta que resulle, se baja el periodo siguiente ,y se separa el 8,,,arismo de la derecha'; lo que ,queda á la izquierda se divide por el duplo de toda la ra/:z ltalladt1-; y aú se cant·i nrla has/a que no haya mas periodos que brJal'; en I:uyo caso, si la úttima resta es cero. el número tiene raiz e;r:acta; y si ,no) es seí'ipl~

12.8

A\llTMETI"C:A.

de- qUe no lá ' liene. Ea e.-f,e eu,o, 'para ap"o:'ó"mtiNa pUl' decimlll/'s, se ai,u dirán r1 la rr,sta dos ceros, los' que se c(ll/ ~, ¡d{.'ra ,.(jll eOfllO .,.¡ jilcs(' un per.iúdo; eslo c.~, .~c sel'IJ""" á 11///1, se dicidi.á lo ,I/ue /{ueda á la izqlli,.rda pOI' ' " d"I' /o de tilda la raíz luílllldll, el 1'0e/I'ule .~c !,ol/dra /,//1" raiz 'des1J!11's d.e IU '('(II)J(J.; y luc(J" se ('(JlJ iiollurd lodo 1/, que .'C quiera ,\ {úiadiclldo dos, ceros po" cada gu a ,.¡sIIJo (I"e .0;(..' intcnte S(fcar . ~ 2 29 P. S,, dl'b l' !t',,, ' r - pr"SI' III .. al ;;lIua (;osa para. cj''l'l1 la l' "011 (',,('ilid:,,1 "s la o I"'l':lc io u ? R. Si SI'j'"I': allL" Indas ('os as SI: Il,'he ohs('l'va r, '1111' :d ,divid.ir lo Sl' pa l':,,¡o;í la iZCJllit'l'da UI' 1" coma. ¡)(Ir ,'" dlll'lo UI: In r:lI z \Ióllbda, j:ll'n:ís SP. PUI'UI' po- , 111'1' TIlas ti l' :í 9 cu la l'a i7.; y si lo C¡II" "slá :í la jz~ '1ui"l'da ''s nlt Hu" ({111' "1 dup{o ' d,' la ¡'aiz, S" pondrá o "n dla; Y S¡' baja "\ 1"'I'imlo si¡.;ui/' ull'. T arÍlhinl StH'.lt· ot'urrir d ft lll'. s(' p{)J)~a ('n la raiz lll~ts de Jo 11111: ('orl't '~ro Hd t, ; lo 1]111' S" ~Oll o ur, si al ¡' jn:ntal' la, ruulli¡,l ica'(;ioll Ij I'l'sta uo se ltUl'd" hacl'1' csla, úllirll3. :do P. M(' pod,.éis Itac¡'r cslo bil'" se nsihl,,?

Sí SI ' ÚOI'; l'l'sIJlvil 'udo (,1 I'jJ' lIIpl l'i s i ;!;II i l'IJI~: Sllp"lI~ a lllos <{111' &I" (I"i~ra ('slnu'l' la ¡'aiz ('IIaur'a'da dl . 1 IIllll/"I'O 66(149' ; ' lo lIJI rinll'ro, , qlH~ Jl:Il.'l~ sI-rá d ,vidi,.", 1'11 pr riodos dI' :í , (l~ s gn:tr:,islI]()s rada lI'~'O. y VI'O (1'11: {'l {¡Il.inlo p"rindo, solo mlllsl .. ,11, IIn gna-, rismo; lo c¡tie ya se ha' d,icho qlll' 110 i,mpcrta ; III:s,pn('s ti,.an! las rayas div,i sol'ias cor~o á la vuelta se 11l'CS(\1l1a. :

D E N 1 :Ñ O S. 12 9 Luego veré cual es el mayor cuadrado contenido en 6 que ~s el primer periodo de 5 la izquierda; y rrpasaudo los 6,60,49 2$ 7 cuadrados de los números dí- 4 _____ jitos, veo que 6 está entre 4, - - cuadrado de 2, y 9 cuadrado !16,0 de 3; de d~nde infiero que el 4$ mayor cuad.rado contenidO' en - $ ." 6 es 4, cuya raiz es .2, q1,le 'p ongo en la raiz; y su cua, ,drado 4 debajo del 6; tiro por 45 .la parte inferior una raya, 5 ejecuto la resta y hallo que es :1; al lado de esta resta, bajo e~ siguientr" periodo 60; separo el úl ~imo guarismo con una coma, y divido lo gue queda á .la izquierda de esta, que es .26, por 4 duplo de la raiz hallal · da, que he puesto debajo de, 10 separado con la coma; el «lociente 6 rllle resulta de div.idir .26 por 4 le pongo en 000 o ]a raiz á la derecha del.2; _ • tambien le pongo' al lado del 4 y tambien 'deb-ªjo; 'multiplico el 46 por el cociente 6 que hay debajo; y como el producto .2 76 rs mayor que el 260 que tengo arriba, es señal de que he puest<? en la rai~ m¡\s de lo que corresponde; por lo que tacho el 6 de la .raiz y lo~ demas )l~merÓs 46, 6 v 276; pongo ,5 en la raiz tambien al lado del 4, que vt¡el~o á poner debajo del 276 tachado, y .tjlmbien debajo del mis.mo 5; hago la multiplicado» del 45 por el 5, Y el , producto .225 le resto del, .260'.\ Al lado de la resta 33 bajo el periodo siguiente ·.~~paro ' el últi~o g,u arismo 9 y, divido lo que qt¡ed, a ,á la izquierda por 50 du~ . ... \ plo de .25, que es toda la raIZ hallada; el cociente ae dividir 354 por 50 (que se encuentra diyidíendo el 35 por el 5) es í , que puesto en los tres paragés y. h6-

711$

49;

F-

130

AIÜ'l'METICA

cha la multiplicacion de 50 j por 7, resulta 351¡9' que " nstado de 3549 que hahía arriba, sale o; y por con!.. siguiente está ejecutada la operacion, la cua~ da un resultado exacto. Si al poner el 5 por segundo guarismo de la raíz, hubi era puesto 4 por distraccion Ó por cualquier o tro motivo, entonces se hubiera tenido que multiplicar el 44 por 4, lo que hubiera dado por producto 1 76; que res lando este 1ll1mero del 260, CJlle había arriba, hubiera resultado por resta el número 84 que . como es mayor qve 51, duplo de la raíz hall ada 25 mas la unidjld , es señal de que se ha puesto de ménos en la raíz', y que por lo mismo el segundo guarismo de la raiz debe ser 5, como se ba vis,lo. Sohre cuyo punJo. debo añadir que es de la m:lyo1' impo1'lancia el proceder con cuidado para conoce1' si se ha, puesto de mas ó de ~énos ; porqUl~ en esta operacion ocurren aun ~as tantéos (~ue eu la divisioll. _ 231 P. Tienen cuadrado exacto todos los nú':' meros? R. Sí s('ñor: porque todo número se puede multiplicar por sí Ipismo • y siempre dará un produclO exaclo. :lI32 P. Y tieilen todos los números raiz cuadrada exacta? - R. No señor: , porque no todos los números resultan de mul ti plicar á otro 1llÍrnero por sí mismo; 3f>í es. que los lllímcros 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, )', &¿, 110 ti enen raiz cuadrada exacta; y corno S011 muchos ' mas ' los nÚ,meros que no ' lienen raiz cu adrada exacta que los que la tienen, ~i~ ha purSlO ('11 la regla g"lleral dada (228) el modb ' de .apro'ximarsc á la )'aiz nrdaMI'a por medio de lás 'decimalrs. ,, 33: Me podréis ha cer ,sensible esta oprl'acioll? R. ,Sí señor : por medio de} ejemplo fiue á la vuelta sigue. '

_ !' E

N 1

N QS.

}

3l .

_ Si quiero es~raer la raiz' cuadrada de '5 3 8 9 ;practicaré la operacion ;por la ngla 228, sepa-' 5},89 xando los guarismos en 49 ' .periodos de dos ~n dos; ~ .es traeré la raíz del primer periodo 53 que es 7; y restando su cuadrado de 53 quedan 4; á cuyo Jado bajo el periodo siguiente; separo el últi- , 600,0 lIlO guai'ismo, y divido lo que queda á la izquierda 146 4 ¡JOr .14, duplo de la raiz ' 4 hallada; y el cociente 3 le pongo en la raiz .al la5856 do del 7; pongo tambien el 3 al lado del 14 duplo .d~ la raiz haJJada, y dehajo del m~s'mo 3; hago la. multiplicacjo!,l del 143 144 0 00,0 ' por '3, Y el prodúcto 429 14680 9 le resto del 4~.~, .I obten- -:n' 'go 60 por res la. Como, no ,." -~~-~_ ha y 'mas perjodós que bajar, es s~,llal de qtHl :y,a en ,- - - - enteros no - ha:y' .mas guá.~ 11.871 9.,. ' J> • / • risIDos; y como queda-to"'davía la res~a 60,' le añado "dos cer.o s, y separo el último con un'a coIb,a; divido 10 q,ue. queda á la iz- . quirrda de la coma por 14~, d1.1plo de. la ,raiz halla...:. da 73, Y el. cociente 4 que' re.sulta, lo pongo en la' va¡z al laqo. d', una coma que se pondrá; -lo coloC(f lambien aL·lado del c;l,u¡>lo y d~bajo del mismo 4; mnl.Liplic6 \\1 146'4 por .el 4- que tiene debajo, y el produc.LO 5856 lo reslo del 6000 y obtengo la resLa 144 ; á esta le añado otros dos ceros y separo el último; pongo debajo de la parte sepaFada el duplo 1468 de la raiz hallada ¡34 considerada como no' . e- _ ~. ~

13"

A' R IT.MÉ T 1 CA

1'0 ~J1tei:o t y ' como el ' 1468 no ca be ninguna ve.z en 1440, pongo o en la raiz ; -y añ'ado oh'os dos cerós al 14400 qué, pata ~ayor c\aridaa ', lo pOngo otra vr.z drbajo de tUla {'aya; separo el ú'ltimo con la coma, y divillo lo qtl{~-quéda á la) izqüi~rda por 1461!o duplo de la 'raiz h ~ llada 7340 considerada ~omo entet'OS y veo que les toca á: 9' 'luoJpougo 'en la l'aiz, tambir.1l al ¡ado del duplo 'y ' deba jo; hago la multi' plicacion y n"sto-, lo- que da 118'719 por. resta, y si se quisiera uua a pro'Ximacion m,ayot' " añadiría dos ceros, y ~ontinuaría dt'l mismo modo. ' , 234 P. Se pu'ed.é 'abrevj.ar al{;o esta operacion? R. Sí serlo1": en cual'luieT estado que se halle la operacion, se pueden sacar cou" tolla" exactitud otros tantos g'l!ál;'i SnlOs , ménos uno ' como se han sacado ya ~ del modo siguiente; á la t'esta que ha quedado se le añadit'áñ. ' tantos ,cerbs, comd guarismos se quieren sacar ademas , que SU~011g0 ser 4, '1 se divide por el duplo de la 'r aiz haIl1d'a; de mane.... ra que al 118719 le añado eua tro cero's I y divido 1187190ÓOO por 146818 como aq'l!Í ( se presenta: y el cociente 8086 lo pon- \. J, .,.. go al lado de la raiz ha118íl~0,b ,0,0, 1468t8 ' llada 'á ntes: con lo cual I r 745 44·.~L ' , - - -' tengo que la r~iz cuadrada I:I.6'46d6 de 5389 es 73,4098086 11 74·544 rJ aproximada hasta diezmi- llonésimas ; es decir, que o) á este número no le ' falta para , ser igual con li ' raiz exacta del 5389 ; ni una diezmillonésima parte , '.) de la unidad. Y páta ' éonvencernos ~e esto; I no hay mas que multiplicar la r~iz ~ 73,4098086 pOL' ella misUta, Y se obtendrá el proouClo que á la' vuelta 'se ve: ,Á

, DE NIÑrO~.

133

7'3,4°9 8086 ' 73,409803&

440 458í\516 5872 ;84 6 88 58PíS 46 S8' 660688", 174 . .29 363 S:l 3 4- 4 "- 22 02294,258 5J·38681i602 ,S388,<j9999 8688'633gb

que para sr.r igual con el S389 le falta ménos de una unidad del ·S. 0 . lugn, esto es, le f'!Ita ménos de una cienmilésima parte de la unidad. , Del mismo- modo 11allal'Íamos que la r¡¡iz cuadrac1a de 11 ~s 3,3166, Y que la d.el 13 es 3,605'5, ,.35 P. Cómo se elevan los qy.ebrados al /cuadrado y se estrae de eHos la- l'aiz cuadrada? R. Haciendo con cada uno de sus ,dos términos la misma opera.c ion. Así es, que si quiero elevar al cuadrado el ele-

¡,

'V_o ambos término~ al cuadra'ilo, y saco ~; y si qui-

ii-

siera estraer la ;aiz cuadrada del estl'aería la raízuel numeradol: J2S, y tambien la del denominador 36, Y sacaría

Cuando alguno de ]05 dos términos del q,uellrado, ó ambos, no tengan raíz exacta, el medio ma,s expedito. para ohtener desde luego un valor aproximado es reducjr ~1 quebradO' á decimales y despues estraer la ;1'aiz. . ;dG P. Cómo se estrae la raiz ' cuadrada · de las decimales? r , ' R. Del modo siguiente: se bace ante toda:S.c cosas. rlllc d núm r r@ d ~ gnarismos d'tcima les sea }'lar; se ejecuta dcspues la separacioIf cn périodos dI! á dos guarismos, y. se procede por b regla .general "

l34

,ARI T ME T IC A

"" Supongamos que quie¡:-o n.al)ar la rai;¡; cp.adrada .o,oo,go del númer'o o,o.og; coma 81 ve,o que ti.e ne tres gllaris~ ----.---. Jll,O$ de¡;j¡:pales , le añ¡¡diré\ go ,o l8 4 '/In ¡;erO para que seap. cua~ jr.o, lo ql~e n.o altera el n¡J4 mer,O en vir,Lud de lo esPW$LO (168); despIJes lo divüliré en peri.odo¡¡ de. iÍ d,Os e:ua.risll)os; y cornp no hay enLer.os, lo primero que h¡¡.go es p,o ner en la raiz un .cerO, y ¡}e¡¡P¡leS la co¡:pa, )urg,o veo que el primer periodo es .oo. cUyil rai;¡; rs .o; 129 60, 0 pOr 1.0 que por¡gP .otro cero JB 96 6 despues de la coma, Ahor¡¡. 6 ve.o que d periodo ql1~ ¡¡ i ~ gue e,s go. 'CJlY,:¡' raiz cUa¡.¡3 79 6 i1radlj ,es g, que p,Ong.o en. l¡¡. )'aiz, y ' el cuadrado SJ lo res Lo del puiodo 9 o; Ii, la resla le aij:ad.o dos ceros , y ¡;onf,iJm¡milo la ppe.. r.a¡;ion, f'l').cur.!')trQ que la rai?; cnadrada 0,009 es I ,O,og4 86 .o,og486; Y para c.omPrQ~ o,0~486, parIa no ,hay l')'l¡¡S ql1e mul~ 56g1Q tiplica'w e'l .o,og~86 pOr sí mislU.O, y ,se p¡¡)Iarli qJle le ' 7S83~ falL¡¡ p¡¡ra !le¡- rxactarnmte -S 7g ,44 d ' 'o,oog l')'lépos' pe una uni,.. 8' 5'374 iJad en el 5. o Jugar, ~,sLo .-,~-,.,...~..,..,,~-....,,' es , le ' falla Jllénos de 'lUla I o , oo~ '~)'~841~9 óel!1l)il~?iI1l-¡¡' p;¡.rlf! g,e la

r9~8:

uI).idall., ' 237 p . Es

J.o m ismo t}eciJ' 'f.I.nidqde¡; ,q ue unidades C!-wdrada§? ' ~ !l. No 5e1101'; y ¡;ob1'e éste

~r¡. (:uarJ.rQ

, r

135 :lflquil'ir ¡Mas ('xaclas; jJor'l'le hasta las pel'souas d(~ conocimienlos suelen confundir una cosa con ot.r~ ,resultando de eslo pcr'juicios dé mucha consi¡jer~cion • : 23~ P. Me podréis aGla~'ar esto de un moJo que se, pCTciba con toda cxacti ludo R. Sí spñor: para lo cual observaré que la paI labra cuadrado es propia de la Geomeiría; y sr caracl eriza con, esle n omhre á una figura de cua 1.1'0 lados todos \gua les, y de cuatro ángulos ó eS(luinas tarnb i('u iguales, la I como r(' pl'('s(~ nl.a la figura '2. En este conceplo, cuando se dice tantas unidades en cuadro, (lurremos espresar un cuadrado cuyo lado tengá de longitud las unidades que se rspresan; y cuando se dice ta.nta.s unidades cuadradas; se qTllcre dar á en lender aquel mismo núm('ro Qe cuaclratlos ({ue ' cada uno de ellos tiene ' 1'01' lado la unidad. 239 P. Cómo haréis esto sensible? R. Del modo siguiente: supongamos que el lado ab del cuadrado fig. 2 de la lám ina que hayal fin, , tenga de largo un pie; en este caso, la' figura reprrsenla un pie cuadT'ado, que no es olra cosa que un cuadrado cuyo lado tiene de largo un pie, y esto , es lo mismo que un pie \'en cuadro; de manera que cuando se hahla de sola una unidad, lo mismo (~S una unidad- en cuadro, qne una unidad cuadrada; por lo que un pie en cuadro es 'lo mismo que un pie cuadrado; pues ambas frases espl'!'san un cuaclrado que tiene por lado un pie: una vara en cuadro es lo mismo que una vara cuadrada, ,p orque ' ambas fraces espl'es~ll un cuadrado que ti"ne . por i~do una vara :\ un estadal en cuadro es lo mismo que un es tadal cuadrado, porque ambas frases ~quivalen á un cnadrado que tien e por lado un estadal: una legua en cuadpo es lo mismo que una Z¡gua cuadrada, por:' que ambas frases espresan un cuadrado que tie~e .por lado una legua '. Para percibir la diferente sip)'lificacion

-i36

ARITMÉTICA

qe , las unidades en cuadrd y cuadradas, cuando son dos ó mas, concibamos en la fig. 3 que el lado cel tenga dos pies de largo' ; en este caso representa un cuadrado en que cada uno de los lados tiene dos pirs,; y por lo mismo esta figura es presa la- frase dos píes en cuadro; y para ver cuantos píes cuadrados tiene, concebin:mos que por la mitad de cada bdo se tire úna línea de puntos á la mitad de su lado opuesto; y se verá palpablemente que esta figura equivale á cuatro como la fi¡;ura 2 ; es decir, que la frase dos pies en cuadro equivale á cuatro pies cuadrados; de manera que tiene tantas unidades cuadradas como espresa el cuadrado del número de unidades que tiene su lado: cuando espresamos tres pies en cuadro, queremos dar á entender que es un cuadrado que tiene ror lado tres pies, el cual, cqmo se vé en la fig . 4, equivale á nueve pies cuadrados. _ J Del mismo modo:, la frase cua~ro píes en cuadro equivale á diez y seis pies cuadrados; .porque, como se vé en la fig. 5 ., un cuadrado cuyo lado tiene de largo cuatro unidades' equivale á diez y seis unidades cuadradas. Cinc~ pies en cuadro es ,lo mismo que veinte!r cinco pies cuadrados, como se vé en la:6g. 6. Seis pies en cuadro equivalen, como se vé' ~n la fig. 7'- á treinta y seis pies cuadrados. Siete pies en cuadro, como se vé en la fig. 8 er[uiyalen á cuarenta y nueve pies cuadrados. Ocho pies en cuadro, como se vé en la fig. 9, equivalen á- sesenta y Cf.tatro pies Cut¡'drados. Nueve píes en cuadro, como se vé en la :lig. 10, equivalen á ochenta y un pies cuadrados; y p~r último .. doce pies en cuadro, como se vé en la fig. 11, equivalen á ciento cuarenta y cuatro pJes cuadrados, y así sucesivamente. Ahoí'a, teniendo presente que el estadal 'cuadrado del marco que es presa la ley, es (33) 'de 12 pies, }'csulLa tlue N sup'o nemos que cada llu a de las doce pal:tes -del lado del cuadra'«:Yo de la figur -

DE Nl:&OS. .

l37

s-ente un pie, la misma figura representará WTl estadal en cuadro ó un estadal cuadrado, que COl~sta,. segun se vé, de los 144 pi es cuadrados que dijimos (33). y para que tarnbil')l se presente á la vista que el mismo es'ladal cuadrado cr{uivale á 16 v ar~ls cuadradas, no t1'~emos mas que fijar uuéslra a) cncion sobre la mísma figura 11, Y observandd los cuadrados que se forman por las reclas inlerrumpidas, veréil10S que ha y 16 cuadrados de" estros, qne, teniendo , cada uno una vara de lado, resulla que cada uno es una vara cuadrada, y por consiguiente el est a dal cuadrado ('quivale lambien á 16 varas cuadradas. 240 P. Qué entendeis por cubo de un n~mero? R. El producto que rt'sulta de multiplicar un número por sí mismo dos veces de sl'guida. AsV es, que el cubo de 1 es 1; porque 1 multiplicado por 1 rlá 1 por producto, y vuelto á muhiplic31' por 1 dá 1 por producto. El cubo de 2 es 8; porque:1. X 2 = 4.; y 4 X 2. = 8. El de 3 es :1.7; porque 3 X 3 = 9; 9 X 3 =27' Del mismo modo, el cubo ele 4 es 6'4 ; el de 5 es 125; el de 6 es :1.16; el d~ 7 es 3'43; el de 8 es 512; el de9 'es 729 : el de 10 es 1000 &c. De manera, que para formar el cubo de un númer0, ' ó cubícarZe, uo hay: mas que multiplicarle do,s veces de sl'guida por . mismo: así es, que el cubo de 37 es 50653; porque 37X3.z=I369i y I369X3¡=50653.

APÉNDÍCE

Sobre las rall$ones y proporciones. P. Qué enlendeis por' razon? Se llama rozan la compar:;.cion de dos núme'TOS; 1.'1 D1'1mprO que se compa'Fa se 'llama antecedente; aqud con que se compara se llama consecuente; -lbs d'os jlllllos SI'. ll aman térmí[IOS 'de la razon; y lo ' que rrsul la se I'l ama esponente de la raZOll, 6 s'i mrplemente razono Si el ante¡;edentl). es igu

241

Jil.

ARiTM ÉTICA secu~nte,

se llama razon 'd e igualdad; si el antecedente es mayol' que el consecuente, se llama de mayor desigualdad; y si menor, de menor , desigualdad. 242 P. Con cuántos objetos se pueden comparalO los nómeros? R. Con dos diferentes, á saber: ó para averÍgual' la diferencia que hay entre ellos, ,que se llama razon arimética, ó para averiguar las veces que el uno c@uticue al otro, que se llama razon geométJ'lca.

La razon arimética se seña1a ponirndo el all~e cedente, despues un punto; y hlPgO ~l const'cuente; la geométrica, poniendo dos IJUntos eJ"n el aritecedente y consecuente: v. g. la razon aritmética entl'c 7 y 3, se escribe 7 • 3, Y se lee 7 es aritmétícam~ nte á 3; la razon geomét,rica entre 1:1 y 4 se seilala 1" : 4, y se lee 1" es geométricamente tÍ 4; ó por ser estas razones las que ocurren con mas frecuencia, se leen omitieildo la palabra geométricamente de este modo 1" es á 4. 243 P. Qué es proporcion? R. Proporcion es la igualdad de dos razones de una misma especie; así pT1oporcion arimétíca es la igualdad de dos razones aritméticas; y proporcion geométrica la igualdad de dos razones ,geométricas. Las que mas nos interesa conocer son las lll'oporciones geométricas, pues las aritméticas apenas ti e- ' ne,n uso . 244 P. Cómo se forma -una proporcion geométrica? R . Se 'escribe,n do~ míme,ros cualesquiera, separados con dos puntos, pal'a que fOrnl('ll la primera razon; luego se pondrán los cua tro ppnLos, y desplles por segunda 'l'azon lo que, resulte de multipli'cat: (ó dividil') por uu mismo número los dos términos de la pl'imera. , V. g. Si quiero escribir 'una proporcion geométrica, pondré dos números cualrsqui(,\l'a, como por ejemplo. 6 y 3, para que formen l~. I!rime!:~~zar211rJ1f~

~';~

DE NIÑ OS.

139

en esta forma 6: 3; clrspues de puestos los cua ll'O purllos, multiplicaré' ambos números por otro Jl~ mero cualquiera, tal c:;omo 5, Y tendré la propor,cion 6: 3::30: 15, que leeré diciendo 6 es - á 3 COJT.U) 30 es á ¡S. 245 P. Hay alguna otra especie ae proporciones? . R. Sí señor: cuando los mrdios de una , pro por,;, .cion son difercnt.es , como en la alllel'ior J la proporcion se llama discreta; y cuando son iguales los meD¡OS ., la proporcion se llama continua. Para fovmar una proporcion geométrica conlÍnua, se escribirá un número cualquiera; des pues se pondrá por segundo término y por tercero un múltiplo cualquiera de este nú~ero; y luego para el cuarto se toma.r,á el mismo múl Liplo dd segundo término. V. g. POJl.dré primero un número cualquiera. por ejemp lo 7., despues 1m múltiplo cualquiera de este , tal como 35, Y este será el que represtnt.e los medi.os; p.ara hallar .el .otro cstremo, tom.a~-.é .el mismO mlíltiplo Je .35 J es to es, el quíntuJllo. 'Y trJ.).dré 7: 35 ·:: 3,5,.: 11 5; .ó;-.; 7; 35; 175 . p.onde el signo;--: puesto án tes indica que se ' ha. .de repeti~r el .seguI).dp :término, y se lee 7 es á 35 ,es á Í 7.5. . 2,46 p. Qué pr,opledades ,Son las esenci.ales de las p.r.opor.cioTles .geomélricas? fJ.. En tO,(l.a pmporci.on 'geométrica discreta ef \ produ.et.o .de ,e stn.n;IOS es igual al de IQS medios; y .al cnadT,aclo de} términ.o m.edio en 'la rol) lÍnna'. ,Sean la s prQPor.ci.one.s 6; 3;: 8; 4; ;--: 8 : 32: u8, y t endrém.os .gue 6X4=3 X'S; y tambien 8X 1~8

= 3~:?-, '

' 2.47 P. S.e pued,e n ü 'asfol'mal' las proporciones sin .q ue deíen de .s er pl'.opoJ'ciones? 11. Sí. ¡;ej'¡0J!: .se les ppr"den .dar ,d iferentes trasforrpaci.ones; jas que QC~IJ'l'cn con m as frecuencia son las que se d(' nomínau alternar é íitvel'tí1-. ' . 248 P. Decidme, ¿ á rlllé se redüoe '-cad,a¡una de ,e stas trasformaciones? '

! '40'

ARiTIVréTrCA

Alternar es comparar .;ntedcden1e ·'cón .9 ntecedellll~ y consecuente COIl COllseCtll'nte, cuy,,: 0Pl'l'3c!Oll. queda hecha mudando de lugar' los 'medios. In vertir es comparar consecuente COJl an[ecedcnte Cl! cada una de las razones; cuya oppracioll queja h ecba poniendo los . meqios en' lugaJl de los I'stremos, y l es I'stremos en lugar de los 'mecHos .., De manera, que si tengo la proporcion :> : 6 ;: 5 : 10; qurdará altcrll:ida si la escribo asi 3' : 5 :: 6 : lÓ; Y la misma qlwdará in'l'el,tida si la escribo de este m odo G : 3 :: 10 : 5. ' J , • , ¡ 249 P. Cuántas cuestiones pueden oC,u rrir acerca de las proporciones geométricas? . R. Tres: l.a Dados tres números, hallar uno que , sea el cuarlo término al! una ¡>,ropoX'cion; 2. a dados dos números, hallar otro que sea el 1ercer término de una pl'oporcion geométrica conlÍl>lUa; y 3. a dados dos llIÍmeros, hallar otro que sea d segundo término, ó el t\!rmillo medio de una proporcion continua en f[Ue los dos eSlremos, sean los dos números dados. ' . 250 P. Cómo se halla el cuarto término de una , proporcioJl? '• . 'R. Se multipllca el segundo término por el te·r cero, y el p"oducto se-: divide por el primero; y lo 'iue resulte es P.'I' cuarto término qu~ se buscaha. Así~, !ti quiero hallar un cuarto proporcioual á los nWJl'eros 5 , 10 Y 25, ejecutaré lo dicho, y ' ll.

tendré -

X25

5 - = 50 ; por lo que la proporcion será,

25: 50 . P. Cómo se halla un tercer t~rmi'Jlo á dos ~úIlleros dados? _ R. Para hall ar un teTcr.!' término conlinuo pro,.. proporcional geornt'_trico á dos númcros dados se cuadra el segundo número, y ~u cuadrado ' se partirá por el primer término. Así, si quiero hallar un tercel' término proporcional á los númeroll "8~;',¡",-,m",, 10: :

251

tendré que será

14!,

N INOS.

:::=1 8 "8

44 =IS

Y la prop.orcion

será 8: 12:: 12 : 18. J. 252 P. Cómo se halla un . término medio geométrico entre' dos números? R. Para hallar un medio proporcional geomé'trico no hay mas que multiplicar los dos términas, estrae.J.' la raiz -cuadrada del producto, y lo que resulta es lo que se buscaba. Así, si quiero hallar un medio proporcion.al geométrico entre 4 y 16, será

V4X16=V64=8 ', y

~ 4: 8 :

proporcioll será )

16. 'r P. 'Es este término medio geométrico .10 que se busya, cuando en diferentes Circunstancias se pide un t4rmiTU'J medio entre varios ' términos nocidos? R. NQ señor: el término medio geométrico 'lnad~ liene que ver con este oLro término medio a¡if,mé. Lieo, que es lo que algunos llaman tambien.: promedio. El modo mas exacto de haHar este. término medH> ó promedio es el d~ sumar todos los t.érminos ó COS<lS dadas; y dividir esta SRlna por el mírn<>ro de térmínos que se han sumado. Algunos surlt''¡l hallar 1\'1 téí'm'Íno ' medio sumand:o' solo el término mayor ,con el m~nor, y tomando la mitad de esta: 'suma·; 'pero es mas exacto el modol ant.e60r. 254 Me podl'éis hace.r esto bien sensible? R. Sí señor; sU.p ongamos que en una escuela lIan aprendido ,siete niños á leer en la forma, si" -guíente; ano en .s mases -; otro . en 9; otro en 8 me~ 'lS(l~ ' Y 15 días ;oll'o en 5 mases Y 9 días; 0\'1'0 en ~ 1m1:'.St's ; otro en S meses ·y 29( dias, y el otro en 4 me~ y 18 dja~. 253

co-

:: '

,. l.

142

~RITME TIC A

Sumo estos siete números como aquí se presenta. observaJido que en todos estos casos se consideran to.dos los meses de treinta dias.

¿ ¡¡ meses. 9 8 ........... 15 dlias5 ........... 9 6 , 5 ••••••••••• 29 4........ •.. 18

meses lIdias-

La suma que saco, 47 ms. 11 que e~ 47 m eses y 11 5 dlas, la divido por 7. 6 ms. :>.3 ds: que es el Dllmero de 30 los términos sumados; y hallo, segun aquí se 150 presenta, que el tér- ,. 1 1 mino medio del tiempo I que han gastado estos ' J 6 1 siete niños en apren:>. 1 d er á leer,. es de 6 me00 ses y 23 dias. , . El otro método, que hay de hallar el término medio, r{ue es sumando el mayor término y el menor, ' y tomando la mitad de esta suma. no ('s ~alÍ exact~) segun vamos á ver. En psle caso, e] menor término ó mlmero dado es 4 meses y 18 dia.s , y el mayor es 9 meses; sumo ,estos dos nLÍm eros, y de la suma, que.. es .\3 m es.e s y 18 djas, tomo la mitad y saco 6 meses y 24 dias:. ' y tendré .~ue el término· m ,:dio por este métQdo és el de 6 m eses y 24 di as . . y para averiguar cual de los dos métodos es preferible, observaré~o s que cuando ocurre resolver una cuestion de esta naturaleza , lo que se busca ' es un nLÍmero que suponiendo que espresa el tiempo ~iue todos ig.ualmente empIcaron en apr ~w.¡~

dS'/ 7

- '

143

. DE NIÑOS.

l eer, re'sulte con toda exactitud el tiempo que elt!ctivamente han gastado entre todos en conseguir. el mismo e.recto; por el primer método resul la que suponIendo que todos los 7 niños han aprendido á le'er en el tiempo que espresa el término medio, esto es, en 6 meses y .23 di as ,habrán consumido entre todos el tiempo que esprese el prouucto de () JIH'Srs y .23 dias por 7, e.sto es, 47 meses Y 11 clias, que es exactamente Jo que han gastaclo efectivamente en apre~der á leer los eSpI'esados siete 'niños. Sí sUlJOIll'mos . que los menciona.d os siete níj'ios hayan aprenclido á ker en el tiempo que espresa el sf'gunclo térmíno medio, esto es en 6 meses y 24 días, h abrán empIcado ·entre. lodos 7 d 1:iempo qU¡; esprese el proclucto de 6 meses y 24 clías por 7, esto es 47 meses Y 18 dias', que son 7 d ias mas de los que efect.ivamente han empleado todos los 7 ni.iios en aprender á leer. Supongamos (Iue se quiera encontrar el término medio que se, gasta en aprender á escribir en una escuela' en que se sabe ha habido diez niños, y que el uno ha ap r end ido en ' 15 meses; otro en 17 meses y 5 dias; otro en 14 meses; 'otto en 11 meses y 9 dias ; o~ro en 10 meses; otro en 8 mese.s y 9 dias; otro f'n 11 meses; otro en J 2 meses y 3 dias; otro en 13 meses y .2 dias, y el otro en 16 n¡.eses y .20 días. ,¿ Snm aré todos estos núme15 meses. ros como aquí se manifiesta, 17················ 5 días. tellielld'o presente lo espues14 to (2 54) . 11 ••••••••••••••• 9 Y la suma 128 m eses y 18 10 dias, la divídíré pO I' 10, Y re8 ....•........... 9 sulta que el lé.rmíno medio 1 1 clel tiempo que se puede su12 •••••••••• •• ••• 3 poner hall empleado todos 13 ............... .2 diez en aprender á escríbir ·16 ............... .20 e.s PI de 12 IDI!.Sl'S .25,8 dias; eslo es, doce meses, "einticin- 128 meses. 18

144

A RM É T 1 1 ilC A días y ocho décimas parles d.cl tiempo que emplea; 'han 'Zos niños cada día en escribir en Za escuela. , Supongamos por último que se desée averiguar el término medio en que aprenden los niños á contaF una escuela , sab iendo que ha hahido cinco niños que el uno ha aprendido en 3 meses y 7 dias; otro en 5 meses j otro en 4, meses y 20 días j .otro en 2 meses y 27 dias , y el otro en 5 meses y 1 d}a. co

'-'

3 meses 5

Sumo estos cinco números como aquí se ve:

7 dias:

4..........

!l •• ~ .......

5 ••••••,•••• 20

meses.

días;

La suma ' 20 meses y 25 dias, la> divido por '5 , Y resulta por término mec:!io el de 4 meses y 5 dias.

145

NIÑOS.

APENDICE

0,0, ~

Sobre ¡''a correspondencia de las unidades dé pesas y medidas usuales de Francia con las de E~paña. 2.55 P. Nos interesa conocer la corresponden- _ cia de nuestras unidades de pesas y medidas con las de otras Naciones? ." R. 'S í señor: pl,jncipalmente la de aquellas ' con ,'que tenrmos , mas r elaciones de comercio, como con la Fr'an'cia I II}gla terra &c. ;. por 10 cual se inserta dicha correspondencia en los ljbi~ds buenos de Materpáticas I Comercio &c. (#) ; pero hay una cir<,

('ll) Aden¡as hay una obra sumamente apreciable, intitulada: Cartas de Leonardo Eu ler á un a Princesa de Alemania, tr.elucidas con notas y adícion'es' pOl"don Juan LO[lez dc " Pcih Lver , en gue se halla esta correspondencia con· la mayor e:r:aclitud y á JOe alcances de lodos. ~En

j'eclo, las adiciones al tomo

4. 0 aon(ienen

elorÍJ, "m¡,chas tablas sumam ente e:¡;aclas é interesantes, en las cl+a!es, lIac¡endo 'la debida disl incion entre medidas lo,!,gitutlinales) su:" ' perjiciales y cúbiC(ls, se .presenta la cor¡'espondencia re:::' dprocu. d6: la~ unidades de ('esos y meá.idas de Espar"ía cori la ~ ¡fe Rranéi.a , .In;glalerra y Portugal; y con las de las princ¡pa~es ciudades del glpbo. E,n dicha obra se españoliz,CfTl;. l~s pal(~bras gr,amm.e y ,litre, ca';' los nombres grama:r htra., en vez 'de gramo: y btro, de gue se usa ge- ' netalinente. ro me' con.gratulo de haber coin.cidido con ') este . sabio J" respetable .Áu.t'or, adoptando desde la primera edicion' de mi Tratado. elc~ental d'l Matcmá·t.icas la pa.labra gl"ama. cqn sus dúivadas; :r altOra adopto tawbien la palab,."Cf:, 1itríLJ" WS der2 .. adas, por jl.'zgar que así conviene ' al ge'nio 'de na~~¡'rd lengua " J' ti: la na.t .del a.sunto de gue se trata. ' P

gen de bs medidas lineales

uc Espai'ía,

14 6

ARITMÉTI€A

CUllstancia por la cual, aun en las escuelas de priJ1WI'as letr as', ,conviene que se dé á conocer. en el d ía la- correspondencia dp_ \<as 'unhJadl's oe pesas y medidas usuales de T'ranc ia COIl la s d(~ Espaih, para evitar perjuicios de mucha consideracion á nursllllpstro comercio. ' 256 P'. Cuál es esa circunstancia? R. La siguiente: lo s Franceses en' el ailo de 1798 mudaron su sistrmil de pesas y mr(lidas, eligirndo uno muy saLio y filosófico, tomado en la naLuraleza , (fue se llama .ri.~tema decimal ó sisteTnrz métrico; y habi(:ndo adoptado un lengua je difícil de popularizarse, ,tuvieron precision en -1 812 de p ~rmitjr empleal' IJara, 100s usos comunes del comercio, ,medi~ das y pesas con los nombres antiguosy usua7es ; ' pero con valores' fijados por los p¡ttrones dd sistema decima 1: dejando subsistir este a l mismo ti empo. En I S I 6 se prohibió a bsolu-tamente poi, 'ley el que, en el comer cio pOI' menor, se pudirs.e hacer uso de las fl'acciones decimah's de las pdas y medidas; de manera, que -en el dia, el sistema que rije en Franc ia -5011l'e pesas y. mpdidas, y que liO se ha dado á cOllocer todavía_ en ningPllo de , los libros de España, es un s istema, que se lb ma sistema usual; y con sisLe en esprúar con. los n'Ombres antiguos de las pesas y medidas de Francia, unidades de pesas y medidas dI! un valor fijado por el sistema decimal; peTO que su divisioll rs binaria, es decir, _que c:lda uIlldad _se divide ~r¡ mitad, cl,larta, octa,'a, di_ez y . seisava &c. parte: resnltando que ', en la ' 3<ltllalidad las palabras toesa, pie, dna ú ona (aune) ,- boisseau, libra elc. 11 i tien en el va lor que antigua.men te se les daba en F l'ancia ántes de 1798,' n) ~qp iv ale l1 -á las uniJadcs de pesas y_m ~d iilas de Espaiia" fine se 'esprpsa Rn los libros; y .todos Cllantos cOl1venios Ó traLos p~r'-i c nl a rl's se 11~~'a ,n" sin U'ner pres"lIte esta circllnstancia, 1lOdrán tl'a cr- pO I' juicios , de ml1cha trascpnde-?'cia á 1" España 'e n ~enera!.·, y. á los Espanoles en parlicular. ",,\' ,

2'57

DB N1ÑO$. ,

'47

P. Y me podréis esplicar con toda claridad la.

cQrresponder¡cia que hay entre 'el sisl~ma uwal de ptsas y medidas qlje rige actualmente r n Francia, yJas pesas y medidas de Espai'íaf R. Si scilor: y es del modo siguirnte: 1. 0 para la venta de las maderas de carpi n lcl'ía , materiales y olros objelos dé construccion, se ha ce uso de lma medida c{ue se ¡lama toesa (toise), que tiene de largo dos mélros justos, y SI! divide en seis pies. resultando que. la toesa usual lineal de Francia I'quivale á 7.1778432 pies lineal es espaJl01es, Ó á 2,39:16144 varas lineales espa J1olas. Yei pie (pied ) usual, qU,e sirv e en los tralros -comunes de Francia. es la tr.rc~ra parle del meLro., ó ses ta parte de la toesa. ' y equivale íÍ 1,196 3072 ,pies linea les españoles: eslo es. equivale y l pie usual de Francia á un pie I'spañ-o l, y una f1"3ccioJl ,decimal o, i \)63,0 7 2 d,e pie, 6 19 630 72 - - - de pie español; El . pie usual francés se di10000000 , vid e en doce pulgadas. y la pulgada en do~e línl'as. El pie cuadrado usual de Fl'ancia esquiva le á 1,431151 pies cuad r ados rspaJloles. El p/:e cúbico uSllal de Fl'3Ilcia éCluivale á 1 , í 1 2096 pirs cúbicos , de Espajla. , ., , 2. o Pa;'a la venla d e lodo género de tejid()s. sran¡ de lana, seda , lino, algodon &c. se .hat;e uso d:e la ana ,ú oná (aune) " qu e rs igual á doce 'dt;€imetT'os • y:'equivale á 4,30670592 pies esp.añolesj. & á, 1.435568H , vara s espa.J1olas; y la ana ú ona (am~e,). ~C divi'de. en" mi,bad . cuarla, oclava, diez y ' seisava y trienta y , dosa v¡l parle, así como ,tambien e~ t ercias, ses~ mas; dozavas y veinlicuatl'Q a;vas parles"" ,'" _3.° Para la venta del carbon de leñq,. de los granos y olras matrrias Sfcas • se usa del 'dob'le"l¡ois:;eau;-del boisseau. del medio boisseau y del cuarto de boisseau , igua Il's á un cuarto, un octaCJo, un diez y sdsaCJo, y un treinta y dosavo de hectroli lra: de los cuales el boisseau ' eciuivale á 0,224886 de la fanC{;a española, á 2,698632 eelemims espaíl ~,

' AR'iT~É' TI(GA

q,8 '

el do'b le bois~~u, ó (double boisseau) equivale : ' o,'4497í2 de la fan'ega española ó á 5,39p64 celemi- ' Des españoles. ,0/.0 Para la venta de las simientes, granalla, harinas, ¡rutas " legumbres secas ó verdes, de la leche, del "ino, d el aguar&íente 'y 1Ji'ras bebidas 6 licores se usa de la litro, (li tre) , (l e la '7netlia W'Ta, del cuarto de litro" del octavo de litra','Y del diez y seisavo de litra; de las' cuales, la principal, que es la litro, usua ~ , r,quival e á 0, < >158905 de celemín español para m edida de' áridos; y á , l,g8 289 cuartillos espailoles como medida de Hi¡uidos. ' " 5. ° 'para la venta de las meréancias, que se vend.en' al 'peso, se hace uso de 'laú li'bra -(i gual á demikilogramme);, la medía libi',!, el ' cuá l'to de libra ó 'cuartero n , la,'onza', la inedi~ opz a; el euarto de onza ; Ó, dos {fnl ~ sos Ó dracmas t déu'x gros ~ , y el g!,ueso. Ó ,drr¡.CT'7a (gllOS) '. qu'r se divide en setenta y dos granos. De las cuales la principal, que es la libra " eqniva l ~' á' 1,013 67368 tilJras españolas. 6.° ,Pal'a- laventa d el aceile p()r mellor se usa de las medidas r epresenlativas de la líb'ra, media libra, cúq."teron, m edio' euar teron', la on·z a, y la media onza; de las cuales la principal, que ' es la libra, equiv.alc',á 1,0867368 libras espafrola's. \\\ Resultando 'd'e todo 'cSto, q'u e la 'toesa usual 'es m,af}'0r que la toesa antí{Jua; y qlie lo mismo srlcede a{(pie,~ á la-olla y á la libra" usuales en el dia en Eranc:ia, compaTadas con ' las antiguas. 1,( que al cqJ1lLrari'o;, el boisseau I.lsual es menor que el 'antiguOI y, qtié t'ambien la litro, U'sual es menor que el lítron 'antiguo., nieilida de ál'id'os. ' , , "Para mayor ' claridad; pondrémos todos estos reslll~dos "en 'Hl ' siguien'te. ') '

Di!: NIÑOS.

TABLA, en q~e se presenta, la corr~sponden'da de .las ,wnidades de PCSQS !Y medidas usuales actúálmente en Francía, con la s unidades de, pesas :r medida$ ~e Espaí'ia. t " ' " , ,í, J í í 8 4 h pies , linea.]es es-

, La to esa usual linr-al de{ pañoles.. . Francia cquivale " á ..,.. , 2,391.6 x44 varas lineales es" ' ,pañolas. , Ei pi e uS,llalli~eal tr~n~ { x, x9f~3 q,7,2 ¡pies lineales. e~cés eqU1\<-l11e a .... :....... panoles., .:' •

El pie ,cuadrado us}\al y x\431, ~ 5 1 pi~§ cuadrados de Francia equjval~\.á, (, espai¡~]e~~!, ' ,', '

dt{t '

. :

. ..

,El, pie ,cúbico, us'f~l, I lí1tP9_§ pies : cúhicos de FranCIa eqLllv'¡¡.I~ , ~". ,.;;J. Es,pa-'\~'1 1 , ' ,r J

1 )

, .•

_i '

.) _

, La ona usual de F1.a~T { I,43556~64 varas españ(ll,as. " ci,a ,equivale á .. -:- .....,.. 4~3067,o592 pi ~s !-,spa,ñoles. ~! l ' ' ". . ) r. ' , ." \. '. • " '¡ 2~~I~P ,de , la f~ n~9a,,,(ls,El J30isseau usual de, Jla!J,ola. '; , 1 Fr~n¡;ia. équivale 'á:.... , :I.,6~893 2 ce!emines espat " I " nole,s . r , , ' t

{012

1 .

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'{O,449772. ,d,e

El doble Boisseau J~su~l de F-rancia equiv¡¡.le ,á. .'

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la fanega .. ;española. " "' 5,39726'4 ce1emlves ~spañolcs~

, " fO'~_158905 de 'c~lcmin esr~,L l'l l d F nol Dara mru lda de : l l l a: I ra ,usua :, e randos. ' cla eqmvale 3 ............ ) 8 8 t'11 , \.1'9 :1. 9 cnar I os !'SpanOlI'S . corno mdida de líquidos. Lá, libra 'usual "368 ¡'b - 1a, S. l 'de Fran- { 1,0 86 \ J j ras e's pano ;: Cla: cqulva e- B............ ~' I

150 :>58

1l1UTMÉTFcA

con 'estos conocimientos, ¿podrá up. niño reducÍJ' con facilidad y exacti t.u~ cualquier númel'o de unidades de pesas ó medid~ usuales francesas, á unida ~les dl~ ppsas ó medidas espailolas? R. Si scilor: pues no ha y mas qll'e mlfltipUcar ( [80) el valor que J por la tabla anterior, corresponde á la espresada unidad francesa en la unidad espa:ñolCl/ que se deséa. por el númerO' q ue espresa las uni- , dades francesas qne se quieren reducir; y el produc~ ta espresará el equivalente en unidades españolas .. y - para que no quede duda. harémos aplicabon á cada uno de los casos que acabamos de enumerar. Ejp.mplo ¡.o Si quisiera reducir á medidas esP'!.~ ñolas 5,78 toesas usuales de Francia, practicada lo siguiente: si la~ quisiera reduciT á varal! espailolas. 'multiplicaría el valor de la toesa eu I varas {'spailqlas, que (2.'17_ 1.° Ó por la ,ab13) e! 2,!l9,,6J.{-4 pOI' 578; efectuaría esta muhipHcacion Gomo he d'icho ( 180) Y sacaría que l~s 5,8 toesas usuales de Francia equivalen á dfs:'_931 J ",3", vára's' espailo'las; estQ es á 138:. varas (~s'pañolas; y á ma's de nueve décimas ' partes de otra var~ espailola ; por lo (iue podré de. cir (184) que elluiva,leu á J383 varas espaJ'iolas; Ó . valu3ndq el quebrado" decimal que resulta. porlJ'é deeil' con todá el3<;litud, qlLe equivalen á 13S~ varas. :l pi ps. 9 pulgadas, y 6 líneas. Si hubiel'a r querido oheener este l'Csultado en pies espailol~s, hubier(L m:uWplicado el palor de la toesq en píes esp'añoles. que (257 ó por la tabla) 1'5 7.1ií8432 por 578'; y hubiera obtenido 4148,793 &c. pi~5 I'spailoles .. que 'equivalen (184) á 4148 :pies, 9 pulgadas 'y 6 líu~as (O). P.

,.0

(;:Ji)

Para hacer veT' el enror (l'~e T'fsultaria de COTl-

f~,nrf¡r la toesa USfJ.al b.o.r. en FT'ancia /on lo 'lile ' fn ,torlos tIempos se lla entendido por t Ol'Sa, obsUI,Jar¿mos 'l,je toesa ankigua (§ 152 (trZ tomo J. o parte J. a elemental. de lYlatemá.ticas) á 6,99 !. 'ss . •

l!'1uiv~liendo la ,de mI Tratado

' DE

N l~ OS.

Ejemplo a.o Si (~uÍsicl'a ['re! IIeÍr 790& oñas usuales de Francia á val'as es~añolas,. multiplicaría el valol' de la oua en val'~ s, que es 1,435 561)64 por í906: y obtendría 1134~ varas píe 9 pulgadas y '" 1,0 Hneas.

¡ispru'íoles; ~ i multiplicamos este mlmero por 578, resultan 4043,,,irs , '¡Uf dan 105 pies de dUÍ!rencia. , Pura fUl ar Uf(' los rrrorcs, 'lIte se ('nedfn cometrr no Itrl cirndo La d,'bida "rlistincilJ'~ entre píes lineales ó longitudinal"s, pi,,", cu"dl'ados Ó superficialcs, y pies cúh,icos, nos proporídrr'tnos reducir un mismo numfro el, pies usnaLes de"- Francia, por ejempLo 1030 ri pies l'spf1ItoLes¡ i." mpon.fndo r¡lU son- lineaLes ó LongitudinaLes , 2.° SIJponiendo 'IIU s.on cltadrados ,j" j/J.perficia /l's , T 3." en el Slt('nfsto d~ que sean cúbic03. En el primer eftSO de , snf'onf/" 'II/e los 1030J'ifS as,tales $fan lon g itudinall's, para. redlJ.cirLoj d piu Lin.wles de Espar,a, Los "wltil'Licaré por 1,196:1072,)" oútendré 'lite e'lnivaLen ri 12h Fies linraLI's espaiioZes. Para redncir Los 1030 pin /tsltuLes de I Franci", fll. rl slt(' /testo tle, se/7 c/tudrados tÍ superficiales, ri pies c/Uui/lados de Esparta, de/Jere" ¡mí Ltip(icar 1030 por 1.,431151; J' ltallri!'e' 'lue e'l/liuaLm ri L474 pies c/tadrados españoles. Po'a l'erlucir los mismos 1030 pies usuales de; FI':1 ncia ft pies cspaiLoles, en el supucs tfG ,de ser p_ies clihic05, mulliplica l'é los 103<] pOI' 1,712096, Y h"I'lal'é 1763; lo cnol nos dicc que 1030 pi es cú·Licos usuales de Francia equivalen á 1763 pies cúbicos espatíoles. ADVER.TEl'iGIA

liIlPOR.TANTE.

Para que se "ca con Cllon sólido fumlnmento se ha pues":' to, en 1;> 3." edicion de esla obri.ta, 1" respuesta 237, nohay mos que ' fIjar la aleneion ae'c rca ue es tos resultarloS. Si en I:t redllccíon de los mismos pi'cs se cunfundiesen ¡os pies lineales tÍ. l ongit.udina les con los [lies cuau·rados ó supe..!i ciales, I'esu !taha un errbr de 242 pies; y si se confundi esen los .pies 10ngitUllinalcs con los pies cúbicos_, result.1 rian 531 pies de er ror •. ¡A [,! ¡Cuantos perjuicio. hon resultado en Espaua por descuidos de esta naturaleza/ t!

152

ARITMÉTICA

Si 11Ubi~rá querido rcducir las mismas onas á pies españoles, hubiera multiplicado 4,306 í05~)2, por í906; y hubiera obten'ido 34048 .p ies españoles, 9 pulgadas y 10 líneas. ('1;.'0). Ejemplo 3.° Si quisiera saber el equivalente de 5007 boisseaux usua,les de Francia en fa negas españolas, multiplicada el v.alo r 0,224S8& por 5oo7,Y hallaría 11 ~6 fanegas e-Spañolas. Si hubiera queriJo reducir la misma (l'an'bidad de. boisseaux i celemines españoles, hubiera multiplicado 2,698632 por 5007' y , hubiera' oh tenido 13512 celemines espaiioles. Ei¡~mplo 4.° Si . quisiera reducir 107003 lil.ras usuales de Francia á medidas españolas, si era para áridos, multiplicaría 0,:>.158905 . de G,elemin, á que equivale la lItra, por 107003 y ob.tendr.ía 2 3101 ce, '. clcniines españoles. Si quisiera reducir la misma cantidad de litra-i usuaks de Francia, en medidas de ~íq,uidos, españo-' las, multipli caría 1'98289 por 10ío03,: y obtend~ía 2 I 217'5 cua.rtlllos españoles. Ejemplo ".'5.0 Si ,quisicra averiguar la equivalencia' de 30043 libras usuales de Fl'auc.la en J,ibras espa.J iíolas, multiplicaría 1,0867368 por 300 :P, y hallaría 32648 lihras españolas y 13 onzas. . " :>59 P • .Y si quisiéra;rnos resolver !a c.-uestion invel'sa, esLCl es, reducir ' unidades de pesas y medidas . ('spañolas, á unidades dr. pesas y Inedidas usuales dc Francia ¿ 9,-qé deberíamos practicar? 'R. :Dú,idir el número de unidades de pesas y mediaas e.spa.í'íolas que se dán) por el númerp de estas, • ( '1;.'0)

Para hacer ver el error que podría resultar de confundi'r la ona usual hoy en Francia, con l o que se h'a -.entendi.do siempre en d';c!,a Nacion por ona, obsel'varémos 'I',1C cqui'valiendo cst" (§ 1 52 del t9m. 1.° pOI'te 1.\1 de mi Tratarl o elemental de Matcmaticas) á 4,266 í1ics cspai'iol cs , si sc multi plica 4,2G6 por 7906, resulLan 33726,996 pie, cSl'aiiolcs i lo cual da 321 ll.íes de error.

D E N I Ñ @S. 153 ,m ism as u n idades cí que eq.uivale la u nidad usual f r a ncesa , en que 'lucremos vaz,u01' l as espaílolas. Po r ej!'mplo" si qu isieramos 3vr.riguar á cuan ta~ anas ú onas (aunes) usuales de Francia equivalen 4í09 varas españolas, 'dividiría la,s" 4709 val'as espailolas p or 1,43SSG86:4 varas rspailolas,) que equival e la ona usual de Francia; y hallaría (182) que r.qu ivalen á 3280 ',;>3 onas (aunes.) usual es de Fráncia;

est o es, á 3280 onas y r:"'i';;; de o t ra ona. 260 R. Es este el rll~,bodo mas espedí,Lo ? R . ' No ' señor: porque có~o la op(Taci~n de diyiilir es mas complicada que l a' operacioll de muhi-, plicar, es mejor hallar directaml'nLe la equival encia d e las medidas cspai'iolas en las correspondientes usua les de Fl'anc ia ; por 10 cnal , á fin de no, omitit ninguna cli ligrncia que pubIa conducir 'á aux iliar es (as in teresantes operaciones dd Comercio, vall)os á pOller aquí , dicha cor r esporid~~cia en la siguiente

TABLA , en que se espr esa la corresponde11cia de

, ' ¡

las unida,des ,de pesa. y medidas esp añolas, con l as Imidades de pesas y 'medidas 'usuales actualmente en Francia .

@ " tll:~~¡a.to esa s

Una v a~'a español a e1ui-

vale a... ..... ...............

u su al es

0,696588' onas u suales fr an-

cesas.

2,50 7 7 1 7' 'p ies u su ales de , Fl'ancia; , U n ~ie li ~ea l espáñol 5 0,83590.6 de pie liñcal usual eqUI val e a .... .... ......... ( fr ances. ' VI' pie superficia l espa- 5 0,698738 del pie superficial no l e.q uivale á ......... . : ( usun l fJ!a n cés. U n p.ie c~?ico espail,ol ) 0,S84o ~9 de, pie cúbico usua,l eqUIval e a ..... ...... , .... . ( en FranCia . "

U na fan~ga' cspañ.gla eql~i_,'a le á .... ~ to. t ...... . ..... .. .

2,22334g ( doublc boisseau ) " usual de F r anc ia. .

4,4"'4669 í

' ," les jd.

(Ó OiSSCCLlIX ) ust1a ~

I5lJ

ARITMÉTICA,

Un celemín español equivale

á,......................

0,18527\J (doubltJboisseau) idl'm. , ' 0,3-70558 (boiss/:afu ) id., 4,6,) 19 ¡8 jlll'as Id.

Una cánlara ó arrOba{ ( med ida dc líq uidos) 16,138061 li ll'as id. esp aJ'iola equivale á .\ .. La :l7.nmbl'c cspauola { , . . 2,01725~ litras id. cqulva le a ................ . El cua¡'lillo es p allol5 (m(',!ida de líquidos) )0,504314 l itl'l~ id. equiv.a le á ................. l La ál' I'o.ba esp,ulola cqui- } 23,0046 ,? 0 lib¡'as usnales de va 1,· a ....................... ~ Frallcla. La libra espai'iola equi- S 0,920186 libras usuáles de vale á ................. ...... ~. . idem. 261 P. Cómo se hará uso de I'sla tahla? R. Multiplicando el númet:o de unid"r!ps Pospañolas que se dan, pOI' el valot' que Licue en dicha l.;, bla la un;c1ad espaiiola ., espnsada Pon aquella uuidad usual fL'auc(',sa á que se qui er(: l'cduci¡', como vamos á manifesta¡' en los siguiclltes c j ~m plos. 1.° P¡'opongámonos pl'lmero reducir por ('sta tabla á onas usnalrs de-.Fbncia las mismas 4 ~ n9 vat'as ('Spañolas ; 110 Lt'ndn~mos (l\le hacl'l' mas qm: multipli; cal' ",6963S8 p OI' 4ío\j, y obtcndt'émos 328 0,:>3 oJlas usuales de Francia , que es exactamente el mismo resultado de ántl's. Ej. ' 2.° Si quisiera reducir 200S val'a's españolas " á toesas USllales de FI'ancia, multiplicaría -o,41 í953 I poe 2-005, y hallada 838 toesas usuales de Francia. Ej. 3.° ·,Si quisiera rcdncil' 10000 pies ('sp-anoles á ' pies lineaks usual es ' de Francia, multiplicada 0,835~ o 6 , po¡' 10000, y el r esultado seda (ISI) 8359 pies lill eal ('s d e F¡'ancia. Si los 10000 pies españoles fU P SP ll euaJl'ados, y los quisiera reducil' á pies eua':: drados Ilsuaks de Fl'ancia , los ;multipliClj.1'Ía por o,6.!JB 738, Y obtclldria 6987 pies cuadrados usuales

DE NINOS.

155

de Franela. Si los 10 000 pies españoles fuesen }lies cúbic0s, y los quisiera redudl' .á pies Cllbicos ulSualcs deYI,.,ncia, muhi'] JlicFía 0,S84079 por 10000, y obtendría (181 y 184) 5541 (0 ,). . Ej. 4. 0 Si quisiera aver.i guar cuankos hoisscanx usnales de F1'ancia eQUiva t.'n á 8000 fam'gas de Espan n , mult) plicaría 4.,446697 por 8000, y. ebLclldrra 35574 boisS63UX usuale'S de Fl'aIl:cifl. . Ej. 5. 0 Si r¡uisirra :!Vl'.I'igllar á cuantas Jitras usual.es de FI~ ncia equivalen 350 cánLaras -ó anobas ospailolas, multíplicaría ¡/;,13,So61 por 350' , Y halla'r ía 5648 liLI'as usual<'s de F,'anda. Ej. 6.° Si quisiera reJuci1' 5020 libras españolas á lib¡:as usua le'S de F"apcia, mul Li pi icada 0,920,86 por,5020, y .hallaría 4619 libras usua·lt's de Francia. . :>62 P. Me pod ,'éis hace1' ve,'. con a 19un eJe'Inplo pr:rcLico , los pel'juicios que po.d~'ían resul Lar en el Comercio de no tenerse, pI'ese'n te t'sLa alLcracion en el $isJ.,ema de pesas y medidas de Fran'cia? R. Sí señor: b madera de nogal, ae que se hacen las cajas de los fusiles y demas armas de füt'go, va escaseando mucho en Europa; y lID eslá léjos el dia enqm' traten de ulIuÍlI'aTia rn lluesLr;lS costas 'd el NorLe de España. Supongamos que un espc'cu'lad:or f1'anct's contratase con 'un espailo l una r emesa esta madrra, y qu e e.l español. suponiendo que la J'elacíoIl del pie ('spanol con el f,'anc('s rra la que c,ons.t.a por IQS libros de Ma trmá I icas , ,de Comercj{). &0., e.sLipulase el Frecio del p,e ,oú\'ico fi'ances á 6 l'cales , q\le es so'bl'(' poco mas ó ménos el precio que hoy . podrá teuer. Supongamos qu". hecha la ,remesa _de un cargamenLo , se hiciese la mrdida en

( ~) Advertencia importante, qlJc comprucha la de la nota del cj. 1. 0 de la respu csta (258). Si. a l hacer c,ta reduceion, SI> hubieran tomado los ¡Jies liJlcales por supcrf,píales., huhi era FCSllha,lo un . crrdl' de 1i\7.2 (li~s; y si se hubiesen tomado los pies lineales 1'01' cúbic03 , .~l error hu.,. hiera ascendido á 02515 pies.

'156

ARI TMiE TIC 'A

uno de los pucrlqs de Francia,. por b medida legal del pic fr:l1lces usual én el dia , y que se hallasen; 11'01' ej¡'mplo, 100 000 pies cübicos de estos; rnló;l~es (' : E s pailol recibiría 600000 rt'ales. Pero csta m4sma madera , medida por Jo que en lodos tiempos consta ser ,el pie frances, y que fué en el conceplo en q\1 l'." el Español hizo su conv('nÍo,. le hubiera producido 108051 pies cúbicos francr,ses ( '1)")" Jc los ,que el Español contrató; y hubiera d(~ bido pC.Fcibir 648306 rs. VIl.; lu<'go el EspaJlo1 ha 'alido pcrjudi~ cado en 48306 rs., clue 'éorresponde , á un ocho p(!)r ciento de la cantidcd r ecibida. Ej. 2.P I'!.e aquí un caso que m"e consta ha ¡rncedido ,ya. Un EspaflOl expidió una. ci('I"La cantidad de fan egas de trigo á Francia en uno de estos años, que 'se veJld ió . el boisscau á la can.tidad corriente: el Español rcci):¡ió eJ "import~ cn el supuesto ,de" ser el 'bm:sseau allti guo , qtiC equivalía á '2,7,4.08 celemines ('spañoles, ó 'á 0,2284 de fan ~ga esp¡¡ñola; y ha.):¡iéndosc vcr¡qido 1'01' el bO,i ssl'au usual, que solo es ,0,224886 de la fan ega espaJ1ola, veamos el per~uicio ¡que resultó al EspaJ101 en el supuesto de haber sid·o ,diez mil ]as fan egas de trigo, y ciue el boisseau s.e ... «(1»

En e[octo, el. "pie cúbico r;ances para la madera,

segnn 1 l a cOI'rcspondendamas

cxa~ta,

q~a es la .qpe yo

pengo· en el pan'aro t52 del tomo 1.°, parte 1. a de mi Tratado elemental de Matemáticas, equi"a le a 1,58452 pies cúbicos espai'ioles: el pie cúbico usual frances (257, ej' 1.°) equivale á 1,7 ¡209n pies cúbicos espalioles; luego el píe cúhico . antiguo de Fra;ncia es menor ~ue el pie cúhicp usual frances en el.dia, en la razon de 1,58452 á 1,712096, ó el pie cúbico us':'al frances equi \'ale á J . 7 1 2 o 9 6 elel pie' 1,5 84 52 cúbico antiguo: por consiguiente, los 100000 pies cub itos usuales . equivaldt·:tn al que[¡ra',To anter,ior, multiplicado por 100000; Y en virtud de lo espuesto (1 42 Y 181) se 17,1209'6

halla ' 1 ,S 3 4S~ pies cúbicos.

l que 1'01' lo dicho (182), rssuha 19 80lít ltI1J!'.('i:;:¡(" ~

D ·E .

NIN os.

'157

hubiese ve~dido á 10 rs. en el Havre, Rouen, &c. En este caso, las 1000.0 fanegas españolas equival "n 10000 • . b' ' 1os á --4 bOlsseaux, que son ,Pí.83 Olssraux (le 0,228 antiguos, que fué por los que él ncibió el dinpr.o, que á 10 rs, percibió 437830 rs. Las mismas diez mil ' . 1en á 10000 . d e 1os ' fal1,egas eqUlva -.- - = 44467 b Olsscaux . 0,2248!l6 ' . usuales, que fué precisamenle á como se vendió el " , bigo, que á 10 rs. debió percibir 444670 rs.; y coaio solo recibió 437830, salió perjudicado en 684.0 '1'S • que importa mas del , ;! por cient.o de la cantidad ,

reclbida . Y .anál.ogameJ1"te eslan resulLando prrju;cio s por esta causa á nuestro Comncio; habiendo suc("di- I do tambien el que algunos Espalloles no teJl j('ndo . presente que el boisscau úsual fr:mccs es me.nor que el . boisseau anliguo, no han entl'auo en esprcl/laciones de ('sta especie en Jos años de 1828 y 182 9:-de .. lo cual han rrsllllad.o prrjuícios á ambas N:l('iolJrs; " á la España, porque no ··ha percibido talito metálico corito hubier6 podido ' ingresar, y á la F ra ncia, . pO,rqlle hubiera adf!uÍl·id.o el trigo nccesari.d para- ' el s'us~ento de sus habilan~es mas barato y de mejor calidad.

FIN.

,.' 1

o!.

TABLA DE LOS CAPíTULOS. CAPÍTULO l.

CA.P.

11 ••••

Cu.

111 • ••

C.P.

11" .... \'

CAP.

v ....•

CA.P. CA.P.

VI • •• •

C,u. CAP.

VIII ••

u: ....

C.P.

x.....

Nociones preliminares, numeracion, divisi~,n y subdivision del las unidades de pesas y medidas ........... ................. póg. De la operacion de sumar ó de la adicion....... ..................... ....... Be la opcracion de restor ó de.la

sustro.ccíOJ1 .... . ............... . ...........

VII ...

CAP. CA'P.

Xll .. .

CAP.

XIII..

Xl .. ..

De la muUiplicrtcion, ó ele ,la operacion d'e multiplicar............... De la operacion de dividír, 'de la division...... ......................... De los quebra,dos ....................... Sumar, reslar, multiplicar y dic>idír quebrados........................ De las decimales.... .. . ................ De las operaciones de sumar, restar, multiplicar::r dividir deCimales, ya vayan acompai'iadas de enteros, ó ya vayan solas... De las operaciones de sumar, restar, mullip~icar ff' dú,idir nú-

20 !»6

a7 &r 6S 80

.90

TnCTOS dcnoTll1:l1r.r.dos ............. ,......

190

De la regla' de tres .. ............... .. De las l:eglas de compañia, aUga-

1 JO

ciarl é interés............................

119

Nociones generales acerca de ,la clevacion á po/encías y estraccíon de raíces, contrayéndose mas parlicu)(J.rmenle á elec>ar los números al cuadrado:r; cubo, y á estraer la raíz cuadrada...... o APlh'lD1CE J. Sobre las razones y proporciones.. Ap.¡¡¡·lDiCE 2.° Sobre la co!respóndencÍ6t d e.... las , unidade S! de pesas y medidas usualcs/ de Francia con las de

¡;,sÍ!..a,ña •.•••••...••.•.•..•••••••••..•..

125

137

CATÁLOGO

DE LAS

OBR~I\§

DEL AUTOI\.

= ODRAS ,DE INSTRUCCION PP,IMARIA. 1 Coleecírm de . la clave)' reglas generales para aprender rí l/'I'r, /'n los ma;-ores ca~'acl eres ?lte se hfln fncontrado en Frrl1~.c ia, Inglaterra)' Ifolll/ulfl. Su prccio 40 rs. 2 ("oleccion de la clov.e.:r. regla.s generales p{JrI~ aprender á II'U, en cordeler de gpan erinon: su pJ'cc io 4 rs. 3 Nu,eva cartilla para aprender á lrer en lIIucho minos (jp la m itad ,d el liempo ?ue por todos los melados conocídos: 1 re" l. 4 Clav,e analilica de la lect,llra, del tnma'-to de un pliego, i"'presa en carlltlina con lEf instruccion práctica al respaldo: JO cuartos. 5 BI'g lrts geneNlles para aprender tÍ leer, un pliego de crii'/I¿[inrt impreso por ambos lodos: ]0 cuartos. . 6 RI?glus grn/'ralrs para aprender tÍ leer, en forma de 'libro, á ",alU'Nl de carlilla: 6 cuarto.. , 7 Clr",e (/fUI/ilica de la lect/ua en medio pliego de cartulina: 5 cuartos. 8 ela,'e u",ahlica de la lectura en' cartulina de á cuartilla: 3 CU:lt"tos. l . I 9 Clave ww.lilica de la lectura en cuartilla de papelreglllar: .2 eua ¡'tos. 10 Rr glas gm.g rales para aprender tÍ leer, un librilo~ en 1,6.°: 2 cu:'U'l.ns. 11 Insll'ltcvlon prríctica para enseñar á leer por el nuevo lIIelodo contenido en la Teoria de la Lectura:

cnartos.

La mism.a instrltccion prríctica ·en letra tan dimi. nuta, I//u se caracteri:.a con el nomúre de microscópica: 12

2 cuartos.

13 Colarion, en librito, de la clave)" reglas de ,leer Don la inslrw;¡;Íon al rPspaldo d e. la clave: 4 cuarto.: 15 J'fr".in de la Lec [IJ.rn (seg uncl" "ilicion)': 4 rs. 16 11'[0'/" de pone>!" en ejecucion la Teoria de la L ectura: 6 JO S• • 'J 7 Idrás prÍlriaroi,aSo' l.le ' los °n.ztmer.os: 4 rs • . di Dl's c/;ipa¿o"-Jl'e los-, nuevos a.pgroatos ~nsaJ'rtdos á presencia de S. M. Nuestra Escelsa Reina Gobe{i"iadora,

.:r cuatro de

los Exc'eleniL'simos Srps • .gecretarios del Despac!zo, para facilitrr las principa les d ificulta des de la escritura, con las rhuestras correspondientes tÍ est e; sis~ t'ema: 41'$. ' 19 J1Iuestras sueltas para escribir por este sistema: 2

rs.

Lf!s dos aparatos para vencer las dificultades de la escritura: 60 r s. 21 Nociones fJeofJrrificas J' astr.ondmicas para ca m':" prm,der la nueva division , del territ orio espaiiol: If r s. 22 Aritf/l.e'tica d e niiros escrita p ara uso de las es_O c'uelas d el Reino: 41's. ' 23 Geometr/a de nii'ios escrita para uso de las escüelas-: 81's. ' 24 E:r:rimenes ce/ebrarlos el dia 27 d e abr il de 1834,. cumplew'ios de lVue stra E,xcelsa Reina Gobernadora, en las JJ:sc lulas Nortnales, etc. 1 real. 25 Complemento á la Aritm/tica dé NÍI'i~s. 41's. 20

OBRAS

CIENTIFICAS.

26. :rratado Elemental de jJl[atemríticas, ' cinco 1JoltÍmenes en cuarto; á saber: tomo púmcro parte primera: Aritmética y Algebra 30 rs. '" Tomo prime ro parte segunda; Geometría , Tri gonometría r ectilín ea y Geometría práctica 30 rs. Tomo segunr)o pa r te primera: Trigonometria Esférica, A pli cacion del Algebra ,\ l a Geometría , Secciones Cónicas y Te!J)'Í:J. genera l de las ecuaciones :\0 1's. Tomo segundo parte segunua: Funciones, Séries, C,ílcul o de l a,; diferencias y el Difel1encia l é Integra l 3.0 1's. Tomo tercero parte l?1'imera: Mecán ica llividida ellJ sus cuatro tratarlos, " saber: Estática , Dinámica, Hidl'ostática é Hidrodinámica 30 rs. 27 Compendio de Jlt[cdemáticas p uras y mistas, ,d os

tomos en octavo prolonffado: {fo rs. ' 23 Oompendio de J1Ietánica prríctica parg uso de los niT'ios 1 artistas i artesanos ptc . 14 1'S • . 29 .El plano de la 'hf1,Jda ele elidiz illtlninado: 61's. 30 l/fel/loriwsobre la cu,r vatura de las lineas etc. : i4 rs.) 31 Tabla siniJptiert del Arte militar: 6,,-s •. - 32 Trrttqdo sobre el, mopimiento !J' • (JJplicaciones de, las a'IfCflS , t r es tomos en

4.0

120

rs.

",\

33 Ex¡licacion Jel.mejop uso· .'lu~ ~ien~T'? para la .,enseñanza cada. ulla d, ~stas' obras: 4 cuantos.

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