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第 2 节 量词 在谓词逻辑中,除了命题代数使用的与、或、非、蕴含等各种运算外,我们还要使用两 个新的运算。这两个运算在命题代数中是不存在的,因为它们关系到谓词逻辑的性质。这就 是全称和存在量词。 1. 全称量词 设 R(x) 是域 M 上全有定义的一个谓词,即它对域中任意一个元素 x 取 值 T 或 F,我们用以下表达式

( x) R( x) 代表这样的一个命题,此命题为真,当 R 对 M 中每个元素 x 为真,否则命题为假。注意, 此命题已与变量 x 无关。若用口头来表达这一个表达,那么就是:所有 x R(x)真。 现在设 A ( x) 为一个谓词逻辑公式,A ( x) 中出现包括 x 以外的个体变量和 R 以外的谓 词变量,它们都可以类似形式添加约束,使它与这些变量无关。如果 A ( x) 中出现的所有其 它个体变量和谓词变量都以这种方式更改掉了,则公式 A ( x) 本身就变成一个仅和 x 有关的 具体谓词。而公式

( x) R( x) 则变成一个完全确定的命题。因此,此公式由指定 x 外的所有变量的值,然后,再用符号 (x)使它完全确定。 符号(x)称为全称量词。 2.存在量词 设 R ( x) 是一个谓词,我们用它来形成公式

(x) R( x) , 此公式为真,如果域M中有一个元素x,使 R ( x) 为真,否则上式为假。这时如果 A ( x) 是一 个确定的谓词逻辑公式、则

(x)A ( x) 同样代表一个和 x 的值没有关系的公式。符号 (x) 称为存在量词符号。 存在量词符 (x) 与全称量词符 (x) 是一对相互对偶的符号。 在公式

( x)A ( x) 与 (x)A ( x)


中,我们说,量词 ( x) 与 (x) 加在变量 x 上,或说,变量 x 添加了量词 ( x) 与 (x) 。 没有添加任何量词的个体变量,我们将称为自由个体变量。 到此,我们已描述了谓词 逻辑的所有公式。 现设A与B 是2个定义在域 M上的谓词逻辑公式,当我们以M 上的所有个别个体、 个别谓词、个别命题代替M中出现的个体变量、谓词变量、自由个体后,若两表达式都取 相同的真值(T或F),那么我们说这两个公式等效。(当然,我们替换个体变量、 谓词变 量时,两个公式中相同的,不管出现在什么地方,都要做相同方式的替换)。 如果两个公式在任意的域M上等效,则我们简单地称它们等效。如同命题代数那样,等 效的公式可以相互替换。 公式的等效替换在很多情况下都可用简化公式,使它们具有更简单的形式。 很明显,所有命题代数的等效规则,转移到逻辑谓词后仍有效。特别是,

A  B 等效于 A  B 利用这一等效性,我们可以对任何公式进行简化,使他仅包含命题代数的 &、V 、— 三 种运算符,而不再包含蕴含号  ,例如: 1 (x)( A( x)  ( y ) B ( y )) 等效于 (x)( A( x)  ( y ) B( y )) . 2

( x) A( x)  ( B( z )  ( x)C ( x)) 等效于 ( x) A( x)  ( B( x)  ( x)C ( x)) .

3 ((x) A( x)  ( y ) B( y ))  C ( z ) 等效于 (x) A( x)  ( y ) B ( y )  C ( z )

最后一个公式又等效于

(x) A( x)  ( y ) B( y )  C ( z ) 再应用命题代数进行转换,我们就可得等效公式:

(x) A( x) & ( y ) B( y )  C ( z ) 除了命题逻辑的等效关系外,谓词逻辑中还有关于量词的等效关系。 存在量词和否定相联系的规则。我们先来考虑以下表达式

( x)A( x) 这个表达式是说“ ( x) A ( x) 是假”,这等于说“存在元素 y,使

A ( y ) 假”或“可以找到

一个元素y, 使 A ( y ) 为真”,因此,表达式 ( x ) A ( x ) 等效于以下表达式

( y ) A ( y ) ( y )A( y ). 再用同样方法来考虑表达式


(x)A ( x) “所有y A ( y ) 假”或“对所有y,A ( y ) 这个表达式是说“ (x ) A ( x ) 假”。但这种说法等于说: 真”。所以,它等效于以下表达式

( y )A ( y ). 因此,我们可得以下规则: 若把量词换成它的对偶,量词上面的否定号就可消去。 我们已看到,每个公式存在与它等效的仅含与、或、非运算不含蕴含的公式。 使用与量词有关的等效关系联系及命题代数的法则,我们可以为每个公式寻找等效的公式, 后者的否定号仅加在基本命题和基本谓词上。对此结论我们在此仅用例子来说明,严格的证明就 不再给出了。 1. 考虑公式

(x)( A( x)  ( y ) B ( y )). 可以发现与此公式等效的、在其中没有  符的公式是

(x)( A( x)  ( y ) B( y )). 按 前 面 讨论的规则,加在量词符 (x) 上 的 否 定 号 可 以 全 称 :

( x)( A( x)  ( y ) B( y )). 然后,再利用命题代数转换规则,我们得

( x)( A( x) & ( y ) B( y )). . 再应用命题代数的否定规则于加在全称量词符(y)的否定,我们最终获得

( x)( A( x) & (y ) B( y )). . 此公式中否定符号是对基本谓词B (y)来实行的。 一个公式A,如果经过等效替换,变成一个只含命题代数&、V和否定三种运算符号、且否 定号仅加在公式的基本谓词和命题上,我们将称它是A 的等效范式。 根据上面的讨论,我们可 以得出结论,对于每个公式必存在等效的范式。我们今后称此范式为该公式的范形。

【§ 2完】



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