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¿Cómo resolver problemas de

Máximos y Mínimos?

Zoila Monsalve PAD-ULA, 2013


Universidad de Los Andes Programa de Actualización de los Docentes Estrategias Didácticas para la Virtualidad

Material Didáctico Computarizado Título: ¿Cómo resolver problemas de Máximos y Mínimos? Elaborado por: Zoila Monsalve PAD-ULA Cohorte-02 Mérida – Venezuela Junio, 2013.


INTRODUCCIÓN La teoría de máximos y mínimos se puede aplicar en la solución de una gran variedad de problemas prácticos. Para resolverlos se deben interpretar los enunciados usando funciones.

Debido al amplio campo de aplicación, no existe una forma única de resolver los problemas. Sin embargo, se puede desarrollar una estrategia general, a manera de guía, para abordarlos. A continuación se presenta el uso de esta guía con un caso particular, que será de gran utilidad para futuras resoluciones de problemas de aplicación.


PROBLEMA DE APLICACIÓN 1 Un hombre que navega en una barca a remos a 2 millas del punto más cercano de una costa recta, desea llegar a su casa, la cual está en la costa a 6 millas de dicho punto. El hombre puede remar a una razón de 3 millas/hora y caminar a 5 millas/hora. ¿Qué debe hacer el hombre para llegar a su casa en el menor tiempo posible?

¿?


PROBLEMA DE APLICACIĂ“N 2 Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho papel mide 9 cm. Calcular la altura del cono que se forma para que el volumen sea mĂ­nimo.


Planteemos el primer problema Describamos el enunciado a través de un croquis. 6 millas

Costa Recta

X

6-X d2

2 millas d1

Además sabemos que: • El hombre rema con una Vr=3 millas/hora. • Camina a Vc= 5 millas/hora.


¿Cómo plantearías el problema 2 con un diagrama? Te doy una idea: OBSERVA LA FIGURA GEOMÉTRICA.


Enunciemos el problema 1 usando funciones La distancia total serĂĄ la que recorra en bote mĂĄs la que recorra caminando. đ?‘Ťđ?’• = đ?’…đ?&#x;? + đ?’…đ?&#x;?

Por el Teorema de PitĂĄgoras la distancia en bote es: đ?’…đ?&#x;? =

đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;?

Y segĂşn el croquis la distancia caminando es: đ?’…đ?&#x;? = đ?&#x;” − đ?’™ Sustituyendo el valor de d1 y d2, resulta la ecuaciĂłn: đ?‘Ťđ?’• =

đ?&#x;’ + đ?’™đ?&#x;? + (đ?&#x;” − đ?’™)


ÂżA quĂŠ variable debemos determinar el mĂ­nimo? Recordemos del enunciado al final la interrogante es: ÂżQuĂŠ debe hacer el hombre para llegar a su casa en el menor tiempo posible? AsĂ­ que la variable a la que debemos hallar el mĂ­nimo es el TIEMPO. Pensemos : ÂżCĂłmo podemos relacionar la distancia con el tiempo? Utilizando la ecuaciĂłn de distancia. AsĂ­: đ?‘ťđ?’• = đ?‘ťđ?’“ + đ?‘ťđ?’„

đ?&#x;’ + đ?’™đ?&#x;? (đ?&#x;” − đ?’™) đ?‘ťđ?’• = + đ?&#x;‘ đ?&#x;“


Ahora halla las ecuaciones que relacionen las variables del problema del filtro de papel y determina a qué variable es necesario hallar el máximo o mínimo. Sólo debemos pensar un poco


Hallemos los valores crĂ­ticos de la funciĂłn tiempo obtenida. Para hallar los puntos crĂ­ticos es necesario hallar la derivada de la funciĂłn e igualamos a cero. đ?’…đ?‘ťđ?’• đ?’™ đ?&#x;? = − đ?’…đ?’™ đ?&#x;‘ đ?&#x;’ + đ?’™đ?&#x;? đ?&#x;“

Igualando a cero y despejando x, tenemos: đ?’™ = Âąđ?&#x;‘ đ?&#x;?

Verifica este resultado.


Ahora verificamos si los puntos crĂ­ticos hallados corresponden a un mĂ­nimo. Para investigar si los puntos crĂ­ticos son mĂĄximos o mĂ­nimos aplicamos el criterio de la primera derivada, la segunda derivada o la derivada enĂŠsima. En este caso hallemos la segunda derivada para verificarlo. đ?’…đ?&#x;? đ?‘ťđ?’• đ?&#x;’ = đ?&#x;? đ?’…đ?’™ đ?&#x;‘ đ?&#x;’ + đ?’™đ?&#x;? đ?&#x;’ + đ?’™đ?&#x;?

Como la segunda derivada es mayor que cero existe un MĂ?NIMO. Verifica el resultado.

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;? đ?&#x2018;ťđ?&#x2019;&#x2022; >đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;? đ?&#x2018;ťđ?&#x2019;&#x2022; <đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?


Intenta hallar los valores crĂ­ticos e investiga si corresponden a mĂ­nimos o mĂĄximos en el problema 2, del filtro de papel, para determinar la altura del cono. Puedes usar el criterio de la segunda derivada


Usemos el valor positivo de x y determinemos el menor tiempo en que puede llegar el hombre a su casa. El tiempo mĂ­nimo se obtiene sustituyendo el valor de x= 3/2 en la funciĂłn tiempo obtenida, asĂ­: đ?&#x2018;ťđ?&#x2019;&#x2022; =

đ?&#x;&#x2019;+ đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;?

+

(đ?&#x;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?) â&#x2030;&#x2026; đ?&#x;?, đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x;&#x201C;

TambiĂŠn debemos verificar en los valores extremos, en este caso son x=0 y x=6. En: x=0; Tt=1,86 horas x=6; Tt=2,10 horas.


Finalmente, ÂżquĂŠ debe hacer el hombre para llegar en el menor tiempo?. Como ahora sabemos que para x=3/2 el hombre llega mĂĄs rĂĄpido a su casa, entonces basta con sustituir este valor de x en las ecuaciones de distancia para indicar quĂŠ debe hacer hombre: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;? =

đ?&#x;&#x2019;+ đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?

đ?&#x;?

= đ?&#x;?, đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;? = đ?&#x;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;? = đ?&#x;&#x2019;, đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;

AsĂ­ el hombre debe remar

2,5 millas y caminar en la costa recta 4,5 millas.


GUÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Ahora resumamos los PASOS seguidos para resolver los problemas de MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

1.

LEER ATENTAMENTE el problema varias veces y pensar en los hechos dados y en las cantidades desconocidas que se tratan de encontrar. Las palabras cómo, qué, encontrar, cuánto, dónde o cuándo; suelen estar relacionadas con las variables desconocidas.

2.

HACER UN CROQUIS O DIAGRAMA que incluya los datos pertinentes introduciendo variables para las cantidades desconocidas.


3.

Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre variables PLANTEANDO ECUACIONES O FUNCIONES.

4.

Determinar de CUÁL DE LAS VARIABLES se desea encontrar EL MÁXIMO O EL MÍNIMO y expresar esta variable como una función de una de las otras variables.

5.

Encontrar VALORES CRÍTICOS (puntos críticos) de la función obtenida, e INVESTIGAR SI CORRESPONDE A MÁXIMOS Y MÍNIMOS por alguno de los criterios (primera derivada, segunda derivada o derivada enésima).


6.

VERIFICAR sí hay máximos y mínimos en la FRONTERA O EXTREMOS del dominio de la función.

ES IMPORTANTE

NO DESANIMARSE si no se puede resolver un problema. Adquirir la habilidad de resolver problemas SE LOGRA CON ESFUERZO.


REFERENCIAS Demidovich, B. 1993. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. España: Paraninfo. Purcell, E , Varberg, D. y Rigdon, S. 2007. Cálculo. México, D.F: Pearson. Nava. 2003. Guía de Máximos y Mínimo. Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes.


PAD-ULA, 2013


Cómo resolver problemas de máximos y mínimos