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ESCOLA SECUNDÁRIA FRANCISCO DE HOLANDA 2010/2011

Matemática H

EQUAÇÃO CARTESIANA DO PLANO DEFINIDO POR UM PONTO E UM VECTOR NORMAL 1. Na figura está representado um cubo que se encontra num jardim. Em relação a um referencial o.n., sabe-se que: F(2 , 1 , 0) e G(-3 , 2 , 1). a) Indica o valor do produto escalar:   a1) FG i AB   a2) FG i GC b) Justifica a seguinte afirmação:   “ FG i GP = 0 , qualquer que seja o ponto P pertencente à face [BCHG]”. c) Determina uma equação do plano que contém a face [BCHG].

G C

E

F

B

D

A

RECORDA:

 Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes do plano, então α

é perpendicular ao plano.

 Se uma recta é perpendicular é perpendicular a um plano, então é perpendicular a todas as rectas desse plano.

NO CASO GERAL, temos:  n

P α

A

Num referencial o.n., consideremos um plano α , um ponto  A ( x0 , y0 , z0 ) e um vector n ( a , b, c ) tais que:   A ∈α e n ⊥ α (A é um ponto do plano e n um vector normal ao plano). O plano α pode ser encarado como o lugar geométrico dos pontos P ( x , y , z ) do espaço que satisfazem a condição   AP i n = 0 ⇕ a. x + b.y + c.z = d

2. Dos vectores abaixo referidos indica, justificando, um que seja normal ao plano α e, em seguida, determina uma equação cartesiana deste plano.    u ( 3, − 1,12 ) v ( −6 , − 2 , − 1 ) w (12 , 0 ,1 )

3. Considera a pirâmide quadrangular regular [ABCDV]. Seja E o centro da base da pirâmide. Sabendo que E(2,-3,7) e V(3,5,4), determina uma equação do plano que contém a base da pirâmide.

α

A(1 ,-3,7) B(2,0,-5) C(1,1,7)


ESFH 2010/2011 4. Relativamente a cada um dos seguintes planos, indica um vector normal e um ponto que lhe pertença. a) 3x − y + 2z = 3 b) x + z + 7 = 0 x y c) − −z =0 d) z = 6 2 3  5. Determina uma equação cartesiana do plano a que pertence o ponto A, admitindo u como vector normal em cada um dos seguintes casos:   2  1    a) A ( −2,3,0 ) e u =  1, , −4  b) A  1 , − , −1 e u = ( 5 ,0 , −3 ) 2  3      c) A ( 0 ,0 ,0 ) e u = ( 3; − 0,2; −1 ) d) A ( 5,8 , −2 ) e u = ( 0 ,0 , −4 )

6. Considera uma superfície esférica de raio 7, tangente aos planos coordenados e cujo centro pertence ao 1º octante. a) Mostra que o ponto A(9, 10, 1) pertence à superfície esférica. b) Determina uma equação do plano tangente à superfície esférica no ponto A. z

7. Considera o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH]. Sabe-se que num referencial o.n. Oxyz, A(2 , 0 , 0) e H(0 , 0 , 7). a) Identifica através de uma condição: a1) FBC; a2) EFG; a3) HFB; b) Determina uma equação do plano mediador de [EB] e mostra que F não lhe pertence.

H

G

E

F

C

D

y B

A x

EQUAÇÃO DO PLANO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS NÃO COLINEARES Dados três pontos A, B e C, não colineares, como determinar a equação cartesiana do plano definido por estes pontos?

 Basta conhecer um vector n = ( a , b , c ) perpendicular ao plano e um ponto do plano.  n

A α B

C

A

C

α B

   Se n é perpendicular ao plano, em particular, é perpendicular aos vectores AB e AC .     n i AB = 0 ∧ n i AC = 0  A partir desta condição determina-se um vector n (há uma infinidade).  E… tendo um ponto do plano, A, B ou C, e um vector que lhe seja perpendicular, n , para obter

uma equação do plano, basta recorrer à expressão a. x + b.y + c.z = d Exemplo: Determinar uma equação cartesiana do plano definido pelos pontos A(-1 , 3 , 1) , B( 1, 1 , 0) e C(0, 2 , -2). Em “Espaço 11” – Belmiro Costa, Lurdes Resende e Ermelinda Rodrigues

Planos  

Geometria Analítica

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