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ESCOLA SECUNDÁRIA FRANCISCO DE HOLANDA 2010/2011

Matemática

INTERSECÇÃO DE PLANOS E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA GEOM INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS

Planos concorrentes

Planos estritamente paralelos

Planos coincidentes

A intersecção dos planos α e β é a recta r (têm uma infinidade de pontos em comum)

A intersecção dos planos α e β é o conjunto vazio.

A intersecção dos planos α e β é o conjunto de todos os pontos que constituem os próprios planos.

INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS A intersecção de três planos α, β e θ pode ser: o conjunto vazio, um plano, uma recta ou um ponto.

A intersecção de três planos é conjunto vazio se estes são estritamente paralelos ou, no máximo, se se intersectam dois a dois,, segundo rectas paralelas

A intersecção dos três planos é um plano se estes são coincidentes (as equações que os definem são equivalentes).

A intersecção dos três planos é uma recta se estes são concorrentes segundo a mesma recta.

A intersecção dos três planos é um ponto se os planos se intersectam dois a dois, segundo rectas concorrentes. O ponto P de inter intersecção dessas rectas é o ponto de intersecção dos três planos.


ESFH 2010/2011 Em termos analíticos, estudar a intersecção de dois ou três planos equivale a resolver e classificar sistemas, respectivamente, de duas equações ou de três equações do tipo ax + by + cz = d (equação do plano).

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS RECORDA: EQUIVALÊNCIA DE SISTEMAS

 Dois sistemas de equações são equivalentes se têm o mesmo conjunto-solução.  Dado um sistema, obtém-se outro que lhe é equivalente se. → se trocar a ordem das equações; → se multiplicar uma ou mais equações por qualquer número real diferente de zero; → estando uma das equações resolvida em ordem a uma das incógnitas, se substituir nas outras equações essa incógnita pelo valor ou expressão encontradas. CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS Determinados Possíveis Indeterminados Sistemas

Impossíveis

EXEMPLOS: 1. Considerem-se os planos α e β representados no referencial o.n. da figura. Pretende-se determinar a intersecção dos dois planos, sabendo que o ponto A tem de coordenadas (2 , 0 , 0).

2. No referencial o.n. da figura os planos α, β e θ são definidos pelas equações: α : z = 0,5 β :y+z =2 θ : z = 1,6 Pretende-se determinar a intersecção dos planos α, β e θ.

3. No referencial o.n. da figura os planos α, β e θ são definidos pelas equações

α :x+y =2 β :y = x θ : z = 0,8 Pretende-se determinar a intersecção dos planos α, β e θ.

Adaptado de “Espaço 11” – Belmiro Costa, Lurdes Resende e Ermelinda Rodrigues MJVC


ESFH 2010/2011

MÉTODO DE ADIÇÃO ORDENADA Num sistema de equações, se for substituída uma equação pela que se obtém adicionando-lhe (membro a membro) outra equação do sistema, obtém-se um sistema equivalente. Exemplo: 2 x − y + z = −1  Resolver o sistema  − x + 3y − 2 z = 0 3 x + y + z = 3 

4. Resolve, classifica e interpreta geometricamente a solução dos seguintes sistemas:  x + 2y − z = 3 x − y + z = 1   3 x + 2 y = 0   −3 x + y = −1  −5y + 3z − 3 = 0   a) b)  x − y + 3z = 0 c) 5. Considera os sistemas de equações.  − x + 3y + 10 z = 1  x = z + 2 2 x + 3y + 7 z = 7  (A)

 − x + 3y + 10 z = 1  x = z 2 x + 3y + 7 z = 7 

x − y + z = 0  x = y + z z = 3 

 − x + 3y + 10 z = 1   − x + 3y + 10 z = 5 x = z 

(B) (C) a) Resolve os sistemas. b) Faz uma correspondência entre cada um dos sistemas dados e as seguintes representações de três planos. I

II

6. Considera o plano β de equação x − 2y + z = 3 e determina: a) os pontos de intersecção com os eixos coordenados; b) as coordenadas do ponto que é comum a β e aos planos x = 1 e xOy

7. Considera, num referencial o.n., o prisma quadrangular regular representado na figura. Sabendo que A ∈Ox , C ∈Oy , H ∈Oz e x + z = 4 e 4 y + 9 z = 36 representam BGH e HEB, respectivamente, diz qual dos conjuntos abaixo indicados corresponde à recta HB. A. B. C.

9k     3 ( x , y , z ) ∈ℝ : ( x , y , z ) =  4 − k ;9 − ; k  , k ∈ℝ  4    

{( x , y , z ) ∈ℝ : ( x , y , z ) = ( k + 4; k + 9; k ) , k ∈ℝ} {( x , y , z ) ∈ℝ : ( x , y , z ) = ( 4k;9k; −4k ) , k ∈ℝ} 3 3

Descreve o teu raciocínio.

Adaptado de “Espaço 11” – Belmiro Costa, Lurdes Resende e Ermelinda Rodrigues MJVC

III


Intersecção de planos