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Capítulo 1 Matemática Básica y Álgebra de los Naturales 1.1.

Sucesiones

S

i una magnitud varía mediantes saltos, como por ejemplo el número de personas que llegan a la caja de un banco en intervalos de tiempos fijos, el número de nacimientos o muertes medidos día a día, se dice que es discreta. Otra forma de concebir algo discreto es algo que al ser fraccionado pierde su esencia. Por ejemplo: la mitad de una mesa no es una mesa y la tercera parte de 34 nacimientos no son 11, 333 . . . nacimientos. En cambio, existen otras magnitudes que permiten, al menos abstractamente, infinitas posibilidades de división. Las más típica de las magnitudes continuas son el tiempo y la temperatura. Las variables discretas, en general, aparecen al contar objetos, sucesos o fenómenos y, por tanto, el modelo matemático básico de una variable discreta es el conjunto de los números naturales N. En una relación funcional de variable independiente y dependiente, cuando la variable independiente es discreta necesariamente la variable dependiente también lo es, este tipo de asignación se les llama sucesiones. Una sucesión es una abstracción de un proceso cuyas etapas se pueden contar y extender indefinidamente. Se llama sucesión de números reales a una función definida sobre N con valores en R, es decir, una regla que pone en correspondencia de manera única los elementos de N con números reales. En otras palabras, una sucesión es una función f : N → R tal que a cada n ∈ N le asigna f (n) = an . También suele denotarse como {an } y a an se le llama el término general de la sucesión (Bobadilla y Billeke, 2000). 1


2 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES

Una famosa sucesión surge a partir de un problema expuesto en la obra Liber abaci publicada en 1202, cuyo autor es el matemático más reconocido de la Edad Media, Leonardo Pisano Bigollo (1170 - 1250), más conocido como Fibonacci. El problema se enuncia de la siguiente manera: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos al fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida? Para resolver el problema se puede ordenar los datos en una tabla. En ella se desglosa el crecimiento de la familia de conejos y se hace un seguimiento del número de parejas que se tiene al acabar cada mes (Corbalán, 2012).

El total de parejas de conejos cada mes (que se muestra en la columna final) sigue la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Al analizar esta última columna es posible advertir un curioso comportamiento de la sucesión: cada término se obtiene como suma de los dos que le preceden 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55, 34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144 Problema

Determinar la ley de generación de la sucesión de Fibonacci.


1.1. SUCESIONES

3

Una página del Liber Abaci de la Biblioteca Nazionale di Firenze mostrando (a la derecha) los números de la sucesión de Fobonacci.

Cada número de una sucesión se llama término de la sucesión y se designan por ai , donde i corresponde al índice del término que indica su posición (Smith y otros, 1998). El primer término de la sucesión de Fibonacci es a1 = 1, el segundo es a2 = 1, el tercero es a3 = 2 y así sucesivamente. Algunas sucesiones cuentan con una regla que describe al n-ésimo término o término general. La sucesión 3, 5, 7, 9, . . . tiene como término general an = 2n + 1 y para expresar cualquier otro término basta con sustituir n por algún número natural: an = 2 · n + 1

a7 = 2 · 7 + 1 = 15

a1 = 2 · 1 + 1 = 3

a10 = 2 · 10 + 1 = 21

a4 = 2 · 4 + 1 = 9

a31 = 2 · 31 + 1 = 63

1.1.1.

Ejercicios

1. Determinar los siete primeros términos de las siguientes sucesiones: a) an = 2n


4 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES b) an = n2 c) an = 3n + 1 d ) an =

n2 − 1 n2 + 1

2. Para los siguientes términos generales de una sucesión, encuentra los primeros tres términos, el décimo término y el decimoquinto término de la sucesión: a) an =

(−1)n n+1

b) an = 2n − 1 c) an = (−1)n n2 3. Algunas sucesiones se pueden definir recursivamente. Primero se da el valor de a1 y después se indica cómo se relaciona cada término subsiguiente con el que le precede. Encontrar los cinco primeros términos de las sucesiones definidas recursivamente: a) a1 = 1 y an+1 = 3an − 1 b) a1 = 2 y an+1 = 4an − 3 1 c) a1 = 8 y an+1 = an + 2 2 d ) a1 = −3 y an+1 = 2an − 5 4. Podemos conocer los primeros términos de una sucesión, pero no su término general. Para encontrar el término general es necesario buscar un patrón entre los términos de la sucesión. Para cada sucesión, encontrar el término general a) 1, 4, 9, 16, 25, . . . b) 2, 4, 6, 8, 10, . . . c) 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

d ) −1, 2, −4, 8, −16, . . . 2 3 4 5 6 e) , , , , , . . . 3 4 5 6 7 f ) 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, 4 · 5, 5 · 6, . . .


Sucesiones