Page 1

Ïàðàäîêñ Ýðåíåñòà è ñèíõðîíèçàöèÿ ÷àñîâ Çÿáëîâ Ñåðãåé Âèòàëüåâè÷

27 äåêàáðÿ 2009

Àííîòàöèÿ Ïðîâåä¼í àíàëèç ïàðàäîêñà Ýðåíåñòà ñ òî÷êè çðåíèÿ èçè÷åñêè ãðàìîòíîãî îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ îá èçìåðåíèè äëèíû îêðóæíîñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî ðàññóæäåíèå Ýðåíåñòà íå ìîæåò ñëóæèòü èëëþñòðàöèåé íåâîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ â îáùåì ñëó÷àå â îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè àáñîëþòíî òâ¼ðäûõ òåë, òàê êàê ïîäðàçóìåâàåò äåîðìàöèþ, íàëîæåííóþ èçíà÷àëüíî ñ ïîìîùüþ âíåøíåãî óñèëèÿ. Ïîëó÷åíî îáùåå âûðàæåíèå äëÿ êîððåêòíîãî ïåðåõîäà îò êîîðäèíàò ëàáîðàòîðíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû ê êîîðäèíàòàì ïîäâèæíîé íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìû â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè.

1

äóìàåòñÿ, ïîòîìó, ÷òî îí íå èìåë çàìåòíîãî ïðàêòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ. Òåì íå ìåíåå, èìååòñÿ ëèòåðàòóðà êàê ïî êàñàþùèìñÿ åãî òåîðåòè÷åñêèì âîïðîñàì, òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïðîâåðêàì. Çà ññûëêàìè ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê áèáëèîãðàèÿì ðàáîòû [3℄ è ìîíîãðàèè [4℄. Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì [2℄,[3℄. àññìîòðèì îêðóæíîñòü, âðàùàþùóþñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ â ñâîåé ïëîñêîñòè âîêðóã öåíòðà.  ó÷åáíûõ êóðñàõ èñïîëüçóþòñÿ îáû÷íî óãëîâûå êîîðäèíàòû, íî äëÿ íàøèõ öåëåé áîëüøå ïîäîéäóò ëèíåéíûå. Íàïðàâèì êîîðäèíàòó x′ âäîëü îêðóæíîñòè â ëàáîðàòîðíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà (ñîîòâåòñòâóþùåå âðåìÿ îáîçíà÷èì êàê t′ ) è êîîðäèíàòó x âäîëü òîé æå îêðóæíîñòè âî âðàùàþùåéñÿ íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå (âðåìÿ â ýòîé ñèñòåìå t). Ïåðåõîäó ê âðàùàþùåéñÿ íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò: x′ = x+V t′ , ãäå V åñòü ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ, âûðàæåííàÿ â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà (âåçäå äàëåå ïîëüçóåìñÿ ñèñòåìîé åäèíèö, â êîòîðîé ñêîðîñòü ñâåòà ðàâíà åäèíèöå).  êà÷åñòâå êîîðäèíàòíîãî âðåìåíè âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå âûáåðåì t, òî åñòü, ïîëîæèì t′ = t. Òîãäà ìåòðèêà ïëîñêîãî ïðîñòðàíñòâà ds2 = dt′2 − dx′2 ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó.

Ââåäåíèå

 1909 ãîäó â ñëåä çà îðìóëèðîâêîé Ìàêñîì Áîðíîì (Max Born) óñëîâèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé æ¼ñòêîñòè àâñòðèéñêèé èçèê-òåîðåòèê Ïàóëü Ýðåíåñò (Paul Ehrenfest) ïðåäëîæèë ïàðàäîêñ, äåìîíñòðèðóþùèé íåâîçìîæíîñòü â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå â îáùåì ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ àáñîëþòíî òâ¼ðäûõ òåë. àññóæäåíèå Ýðåíåñòà, íå èìåÿ áîëüøîãî ïðèêëàäíîãî çíà÷åíèÿ, âîøëî òåì íå ìåíåå âî ìíîãèå ó÷åáíûå êóðñû â êà÷åñòâå ïðîñòîé èëëþñòðàöèè [2℄. Ýðåíåñò ðàññìàòðèâàë öèëèíäð, âðàùàþùèéñÿ ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòüþ âîêðóã ñâîåé îñè ñèììåòðèè (âïîñëåäñòâèè îáû÷íî ãîâîðèëè î âðàùàþùåìñÿ äèñêå, ëèáî êîëüöå).  òàêîì ñëó÷àå îòðåçîê, ëåæàùèé âäîëü ðàäèóñà, îñòà¼òñÿ âñåãäà ïåðïåíäèêóëÿðíûì ëèíåéíîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ, êîãäà êàê îòðåçîê, ëåæàùèé âäîëü äóãè îêðóæíîñòè, âñåãäà ïàðàëëåëåí ëèíåéíîé ñêîðîñòè. Òîãäà íàáëþäàòåëü â ëàáîðàòîðíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà äîëæåí èêñèðîâàòü ëîðåíöåâî ñîêðàùåíèå âäîëü äóãè êàæäîé îêðóæíîñòè è îòñóòñòâèå òàêîâîãî âäîëü å¼ ðàäèóñà. Ïðîñòàÿ èëëþñòðàöèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðåäñòàâèòü íàáëþäåíèå â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà çà ïðîöåññîì èçìåðåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè íàáëþäàòåëåì, ïîêîÿùèìñÿ îòíîñèòåëüíî äèñêà. Òîãäà íåïîäâèæíûé îòíîñèòåëüíî äèñêà ìàñøòàá áóäåò ïðèëîæåí áîëüøåå, ÷åì 2πR ÷èñëî √ ðàç (òî÷íåå  äëèíà îêðóæíîñòè ñîñòàâèò 2πR/ 1 − V 2 , ãäå V  ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ, âûðàæåííàÿ â äîëÿõ ñêîðîñòè ñâåòà). Îñíîâíîé âûâîä èç ýòîãî ðàññóæäåíèÿ, ñäåëàííûé åù¼ ñàìèì Ýðåíåñòîì, ñîñòîèò â òîì, ÷òî âðàùàþùèéñÿ öèëèíäð (äèñê, êîëüöî) íåèçáåæíî ïîäâåðãíåòñÿ íåêîòîðîé ñëîæíîé äåîðìàöèè. Ïàðàäîêñ Ýðåíåñòà íåëüçÿ íàçâàòü ïðèêîâàâøèì ê ñåáå âñåîáùåå âíèìàíèå  â ïåðâóþ î÷åðåäü,

ds2 = (1 − V 2 )dt2 − 2V dtdx − dx2

(1)

Òàê êàê êîýèöèåíò ïðè dtdx â íåé îòëè÷åí îò íóëÿ, îáû÷íàÿ ïðîöåäóðà ñèíõðîíèçàöèè ÷àñîâ â äâóõ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ òî÷êàõ ñ ïîìîùüþ îáìåíà ñâåòîâûìè ñèãíàëàìè äàñò äååêò, ðàâíûé ∆t =

V 1−V2

(2)

Îáîéäÿ ïîëíóþ îêðóæíîñòü, îò òî÷êè ê òî÷êå ñèíõðîíèçèðóÿ ÷àñû, è âåðíóâøèñü â èñõîäíóþ òî÷êó, ìû ïîëó÷èì îòëè÷íûé îò íóëÿ ñóììàðíûé äååêò ñèíõðîíèçàöèè. Îáû÷íî îòñþäà äåëàåòñÿ âûâîä î

∗ Òâîð÷åñêàÿ ñòóäèÿ PROFI (pro-studio.ru), Èâàíîâñêèé õèìèêî-òåõíîëîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò (isu t.ru).

1


3 Âðàùåíèå îêðóæíîñòè

ïðåîáðàçîâàíèÿ. Òðè èç êîòîðûõ îçíà÷àþò äèàãîíàëüíîñòü ds2 ïî íîâûì ïåðåìåííûì, à ÷åòâ¼ðòîå  ýòî ïîñòóëàò ÷àñîâ, óäîâëåòâîðèòü êîòîðîìó ìîæíî àâòîìàòè÷åñêè, íà÷èíàÿ ðàñùåïëåíèå âñåãäà ñ dt2 . Âûðàçèâ òåïåðü â (3) dx ÷åðåç dx′ , à dt ÷åðåç dt′ , ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî

òîì, ÷òî íà âðàùàþùåéñÿ îêðóæíîñòè íåâîçìîæíî âñþäó ñèíõðîíèçèðîâàòü ÷àñû.  äàííîé ðàáîòå âûñêàçûâàåòñÿ òî÷êà çðåíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîé ðàññóæäåíèå Ýðåíåñòà ïîäðàçóìåâàåò èçíà÷àëüíî íàëîæåííóþ èçâíå äåîðìàöèþ è ïîýòîìó íå ìîæåò ñëóæèòü èëëþñòðàöèåé íåâîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ â îáùåì ñëó÷àå â îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè àáñîëþòíî òâ¼ðäûõ òåë. Ïàðàäîêñ æå ðàçðåøàåòñÿ ëèøü îñîáåííîñòüþ èçè÷åñêîãî ïðîöåññà èçìåðåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè è îòíîñèòåëüíîñòüþ îäíîâðåìåííîñòè. Êàê ñëåäñòâèå îáíàðóæèâàåòñÿ, ÷òî ñèíõðîíèçàöèÿ ÷àñîâ âîçìîæíà íà âñåé îêðóæíîñòè, à êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå, äàþùåå ïðîòèâîïîëîæíûé ðåçóëüòàò, íå ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ çàäà÷è. 2

dt′ − V dx′ dτ = √ , 1−V2 3

dx′ − V dt′ dl = √ . 1−V2

(4)

Âðàùåíèå îêðóæíîñòè

Òåïåðü âåðí¼ìñÿ ê âðàùàþùåéñÿ îêðóæíîñòè. Âîçíèêàþùåå îòëè÷èå ïî ñðàâíåíèþ ñ èçëîæåííûì â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ëèøü â òîì, ÷òî îäíîé òî÷êå îêðóæíîñòè ñîîòâåòñòâóåò íå åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå èçè÷åñêîé êîîðäèíàòû l. Ó÷åñòü ýòî ìîæíî, íàïðèìåð, ââåäÿ îðìàëüíî êîìïëåêñíûå ′ âåëè÷èíû z = Reil/R è z ′ = Reix /R äëÿ òî÷åê ïîäâèæíîé è íåïîäâèæíîé îêðóæíîñòè ñîîòâåòñòâåííî. Âûðàçèâ çíà÷åíèå x′ â íåêîòîðûé èêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè ÷åðåç l è èñêëþ÷èâ ïîñëåäíåå, íàéä¼ì çàâèñèìîñòü

Äëèíà, âðåìÿ, êîîðäèíàòû

Äëÿ áîëüøåé ÿñíîñòè èçëîæåíèÿ îòâëå÷¼ìñÿ íà âðåìÿ îò âðàùàþùåéñÿ îêðóæíîñòè è ðàññìîòðèì èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó îòñ÷¼òà, äâèæóùóþñÿ îòíîñèòåëüíî ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû âäîëü å¼ îñè àáñöèññ òàê, ÷òî îñè äâóõ ñèñòåì ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû. Òîãäà äëÿ êîîðäèíàòû x′ ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû è êîîðäèíàòû x ïîäâèæíîé ñèñòåìû èìååì x′ = x + V t′ . Êîîðäèíàòíîå âðåìÿ â ïîäâèæíîé ñèñòåìå âûáåðåì ðàâíûì ïðîñòî t, òî åñòü ïîëîæèì t′ = t. Òîãäà ìû ïîëó÷èì âûðàæåíèå (1) äëÿ ìåòðèêè â ïîäâèæíîé ñèñòåìå è êàê ñëåäñòâèå  äååêò ñèíõðîíèçàöèè ÷àñîâ (2). Îäíàêî, ìû çíàåì, ÷òî â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå äååêò ñèíõðîíèçàöèè íóëåâîé. Äåëî â òîì, ÷òî êîîðäèíàòû x è t íå èìåþò èçè÷åñêîãî ñìûñëà äëèíû è âðåìåíè â ïîäâèæíîé ñèñòåìå. Çíà÷åíèå x  ýòî èçìåðåííîå â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå ðàññòîÿíèå ìåæäó íåêîòîðûì òåëîì, íåïîäâèæíûì îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé ñèñòåìû, è å¼ íà÷àëîì îòñ÷¼òà. Çíà÷åíèå t íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ  ýòî èçìåðåííîå â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå âðåìÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå äàííîìó ñîáûòèþ â íåé. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò òåì íå ìåíåå êîððåêòíî çàäà¼ò ïåðåõîä îò ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû ê ïîäâèæíîé. Âñ¼, ÷òî íåîáõîäèìî ñäåëàòü  ýòî âûðàçèòü ÷åðåç íåèçìåðèìûå â ïîäâèæíîé ñèñòåìå íàïðÿìóþ êîîðäèíàòû x è t èçìåðèìûå â íåé èçè÷åñêèå äëèíó è âðåìÿ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðîå ìû äîëæíû ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòå, ìû çíàåì çàðàíåå: ýòî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà îò ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû ê ïîäâèæíîé. Òàê êàê ñâÿçü ìåæäó äèåðåíöèàëàìè dx, dt è äèåðåíöèàëàìè èçè÷åñêèõ âðåìåíè dτ è äëèíû dl â ïåðâîì ïîðÿäêå ëèíåéíà, íàì íåîáõîäèìî íàéòè ëèíåéíóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ, äèàãàíàëèçèðóþùóþ êâàäðàòè÷íóþ îðìó (1): p 2 dx2 V ds2 = 1 − V 2 dt − √ (3) dx − 1−V2 1−V2

z′ = z

√ 1−V 2

.

(5)

Ñîîòíîøåíèå (5) ïîêàçûâàåò, ÷òî îäíîé òî÷êå âðàùàþùåéñÿ îêðóæíîñòè ñîîòâåòñòâóåò íåñêîëüêî òî÷åê íåïîäâèæíîé îêðóæíîñòè è íàîáîðîò. Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå, îäíàêî, âìåñòî (5) ïîäðàçóìåâàåò îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè ïîäâèæíîé è íåïîäâèæíîé îêðóæíîñòåé. Òàêîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìîæíî äîáèòüñÿ òîëüêî ñ ïîìîùüþ ïðèíóäèòåëüíîé ñëîæíîé äåîðìàöèè âðàùàþùåéñÿ îêðóæíîñòè, íàëîæåííîé íà íå¼ èçâíå èçíà÷àëüíî. Òàêèì îáðàçîì êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå íàêëàäûâàåò íåÿâíî äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, ñîñòîÿùåå â òðåáîâàíèè òàêîé âíåøíåé äåîðìàöèè, îòñóòñòâèå êîòîðîé, îäíàêî, âõîäèò â óñëîâèå çàäà÷è Ýðåíåñòà. Íå ïðèâëåêàÿ óñëîâèÿ âíåøíåé äåîðìàöèè, ìû ïîëó÷àåì ïîëíóþ îðìàëüíóþ àíàëîãèþ ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ îêðóæíîñòè ñ ïîñòóïàòåëüíûì äâèæåíèåì íåêîòîðîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ëàáîðàòîðíîé.  òàêîì ñëó÷àå èçëîæåííîå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ïðèìåíèìî è ê âðàùàþùåéñÿ îêðóæíîñòè çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî îäíîé å¼ òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî çíà÷åíèé êîîðäèíàòû, îòëè÷àþùèõñÿ êîëè÷åñòâîì ïîëíûõ îáîðîòîâ âäîëü îêðóæíîñòè. Âîçìîæíîñòü ïîëíîé àíàëîãèè ìåæäó âðàùåíèåì îêðóæíîñòè è ïîñòóïàòåëüíûì äâèæåíèåì, òî åñòü îðìàëüíîé àíàëîãèè äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû ñ äâèæåíèåì îòíîñèòåëüíî íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìû (êàêîé, ïîíÿòíî, è ÿâëÿåòñÿ âðàùàþùàÿñÿ îêðóæíîñòü) îáÿçàíà òîìó àêòó, ÷òî âñåãäà ìîæíî âûáðàòü òàêîé áîëüøîé ðàäèóñ îêðóæíîñòè, ÷òî ïðè ëþáîé çàäàííîé íàïåð¼ä ëèíåéíîé ñêîðîñòè óñêîðåíèå òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïî îêðóæíîñòè áóäåò ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óñòðåìëÿÿ R ê áåñêîíå÷íîñòè, à óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Ω ê íóëþ òàê,

Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, îäíàêî, ÷òî îáìàí÷èâî îäíîçíà÷íûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ âûðàæåíèÿ (3) ñ ïîìîùüþ ëåììû î ðàñùåïëåíèè íàêëàäûâàåò íåÿâíî ÷åòûðå óñëîâèÿ íà ÷åòûðå êîýèöèåíòà ëèíåéíîãî

2


4 Ôèçè÷åñêàÿ ñòîðîíà âîïðîñà

÷òî RΩ âñåãäà ïîñòîÿííî, ìû ïîëó÷èì äëÿ óñêîðåíèÿ çíà÷åíèå RΩ2 , òî åñòü, ñêîëü óãîäíî ìàëóþ âåëè÷èíó. Ýòî îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü îáðàòèòü â íóëü óñêîðåíèå, îñòàâèâ êîíå÷íûìè êàê ëèíåéíóþ, òàê è óãëîâóþ ñêîðîñòè, òî åñòü  ñîõðàíèâ âðàùàòåëüíûé õàðàêòåð äâèæåíèÿ. 4

Ôèçè÷åñêàÿ ñòîðîíà âîïðîñà

 ýòîì ðàçäåëå îïèøåì ñèòóàöèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðåñëîâóòîé ïðîñòîé èëëþñòðàöèè ÷èñòî èçè÷åñêè. Ïðåäñòàâèì ñåáå íàáëþäàòåëÿ â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ âðàùàþùèìñÿ êîëüöîì, ñïîñîáíîãî ðèñîâàòü ìåëîì äóãè îêðóæíîñòåé, à òàê æå èçìåðÿòü èõ äëèíó. Ïîòðåáóåì îò íåãî íàðèñîâàòü íåáîëüøóþ äóãó èêñèðîâàííîé äëèíû è ïðîíàáëþäàåì çà ïðîöåññîì èçìåðåíèÿ å¼ äëèíû èç ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû îòñ÷¼òà. Ìû îáíàðóæèì, ÷òî äëèíà√òîé æå äóãè â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå ñîñòàâèò L 1 − V 2 , åñëè íàáëþäàòåëü â ñèñòåìå, ñâÿçàííîé ñ êîëüöîì ïîëó÷èë L. Îáðàòíî, åñëè â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå äëèíà äóãè ñ äèñêîì äëèíà ðàâíà L′ , òî â ñèñòåìå, ñâÿçàííîé √ òîé æå äóãè áóäåò ðàâíà L′ / 1 − V 2 . Ïîòðåáóåì òåïåðü íàðèñîâàòü äâå äóãè êîíòðàñòíûì ìåëîì äëèíîé ðîâíî â ïîëîâèíó îêðóæíîñòè (òî åñòü äëèíîé â 2πR/2 åäèíèö äëèíû) òàê, ÷òîáû âìåñòå îíè ñîñòàâèëè äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ñèñòåìå, ñâÿçàííîé ñ êîëüöîì, ïîëíóþ îêðóæíîñòü. Èçìåðåíèå äëèíû êàæäîé èç íèõ â îòäåëüíîñòè â ëàáî√ ðàòîðíîé ñèñòåìå äàñò âåëè÷èíó 2πR 1 − V 2 /2, òî åñòü, ìåíüøóþ ïîëîâèíû äëèíû îêðóæíîñòè. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ìû ïîëó÷èì è äëÿ ëþáûõ êîíå÷íûõ äóã íà îêðóæíîñòè. Ïîñòàâèì, íàêîíåö, ðåøàþùèé ýêñïåðèìåíò, ïîòðåáîâàâ íàðèñîâàòü ïîëíóþ îêðóæíîñòü è èçìåðèòü å¼ äëèíó. Íî ïðåæäå âñïîìíèì ÷òî òàêîå äëèíà è êàê èçìåðÿåòñÿ äëèíà îêðóæíîñòè. Äëèíà  ýòî èçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ìåðà ïðîòÿæ¼ííîñòè. Èçìåðåíèå  ýòî ñðàâíåíèå ñ ýòàëîíîì. Èçìåðåíèå äëèíû ïîäðàçóìåâàåò âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ îáÿçàòåëüíûõ òðåáîâàíèé: à) äëèíà èçìåðÿåòñÿ ìåæäó èçè÷åñêè ðàçëè÷íûìè êîíöàìè îòðåçêà, á) êîíöû îòðåçêà èêñèðóþòñÿ â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Òðåáîâàíèå íåïðåðûâíîñòè ïóòè, äëèíà êîòîðîãî èçìåðÿåòñÿ, ïî ñóòè ñîäåðæèòñÿ â ïóíêòå á. â ñèëó íåîáõîäèìîñòè ñèíõðîíèçèðîâàòü ÷àñû âäîëü ýòîãî ïóòè. Ïî îçíà÷åííîìó îïðåäåëåíèþ èçìåðåíèå äëèíû îêðóæíîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íåîáõîäèìî: à) èêñèðîâàòü íà îêðóæíîñòè äâà èçè÷åñêè ðàçëè÷íûõ êîíöà èçìåðÿåìîãî îòðåçêà (ðàçîðâàòü îêðóæíîñòü) òàê, ÷òîáû âûïàâøåé ÷àñòüþ îêðóæíîñòè â äàííîì èçìåðåíèè ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü, á) èçìåðèòü äëèíó ïîëó÷åííîãî îòðåçêà, ñðàâíèâ åãî ñ ýòàëîíîì äëèíû. Êîíöû èêñèðîâàííîãî òàêèì îáðàçîì îòðåçêà áóäóò íàõîäèòüñÿ èçè÷åñêè â îäíîé è òîé æå òî÷êå (òî è îçíà÷àåò ïðåíåáðåæèìîñòü âûïàâøåé ÷àñòüþ îêðóæíîñòè)

èñ. 1: Âðàùàþùèéñÿ äèñê ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà.  èìåííî ïîýòîìó ìû îòîæäåñòâëÿåì ïîëó÷åííûé ýòèì ñïîñîáîì ðåçóëüòàò â ïðåäåëàõ òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ ñ äëèíîé çàìêíóòîé îêðóæíîñòè. Èç èçëîæåííîãî â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ñëåäóåò, ÷òî èçìåðåíèå äëèíû îêðóæíîñòè íåîòëè÷èìî èçè÷åñêè îò èçìåðåíèÿ äëèíû êîíå÷íîé äóãè. Êîíöû îòðåçêà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîëíîé îêðóæíîñòè, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ èçè÷åñêè â îäíîé è òîé æå òî÷êå äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ äèñêîì, íå áóäóò íàõîäèòüñÿ èçè÷åñêè â îäíîé è òîé æå òî÷êå äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà (äëèíà òîé æå ñàìîé äóãè äëÿ íåãî √ áóäåò ðàâíà 2πR 1 − V 2 < 2πR). Òàêèì îáðàçîì, çàìêíóòàÿ äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ñèñòåìå îò÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ äèñêîì, îêðóæíîñòü íå áóäåò âûãëÿäåòü òàêîâîé äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå. Îïèñàííûå ìûñëåííûå ýêñïåðèìåíòû èñïîëüçóþò îñíîâíûå ýëåìåíòû ðàññóæäåíèÿ Ýðåíåñòà. Óêàçàííàÿ â êîíöå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà àíàëîãèÿ ìåæäó âðàùàþùåéñÿ îêðóæíîñòüþ è ïîñòóïàòåëüíî äâèæóùåéñÿ èíåðöèàëüíîé ñèñòåìîé äàþò îñíîâàíèå ïðèìåíÿòü çäåñü ñïåöèàëüíóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè (àêòè÷åñêè îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè áûëà îïóáëèêîâàíà Ýéíøòåéíîì ëèøü â 1916 ãîäó). Îïèñàííîå ÿñíî ãîâîðèò îá íåîäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè òî÷åê ïîäâèæíîé è íåïîäâèæíîé îêðóæíîñòåé. Ïðèðîäà æå òàêîãî íåñîîòâåòñòâèÿ êðîåòñÿ ëèøü â îòíîñèòåëüíîñòè äëèíû, èçè÷åñêèé ñìûñë êîòîðîé èìåþò ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû. Åñëè íàáëþäàòåëü â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå íàñòðîèò îòîàïïàðàò òàê, ÷òîáû òîò èçìåðÿë äëèíó îêðóæíîñòåé, à íå äåëàë îáû÷íóþ îòîãðàèþ, òî äëÿ âðàùàþùåãîñÿ äèñêà îí ïîëó÷èò ðåçóëüòàò, ïîäîáíûé ïîêàçàííîìó íà èñ.1.  òåðìèíàõ êîîðäèíàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (4), åñëè îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî îäíèì îáîðîòîì îêðóæíîñòè, òî çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò â í¼ì îïðåäåëå, x′ ∈ íû ëèøü √ íà èíòåðâàëàõ x ∈ [0, 2πR] ′ 2 [0, 2πR 1 − V ]. Òî åñòü íå âñÿêîìó x èç îòðåçêà [0, 2πR] â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñîîòâåòñòâóåò 3


6 Ñèíõðîíèçàöèÿ ÷àñîâ √ ñâî¼ x, íî ëèøü òåì, ÷òî ëåæàò â [0, 2πR 1 − V 2 ]. Èçëîæåíèå ó Ýðåíåñòà, êàê è â ó÷åáíûõ êóðñàõ, íà÷èíàåòñÿ ñ óòâåðæäåíèÿ: Èìååòñÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå âðàùàþùèéñÿ äèñê (öèëèíäð, êîëüöî). Òåì ñàìûì íåÿâíî ââîäèòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, ýêâèâàëåíòíîå òðåáîâàíèþ äåîðìàöèè äèñêà òàê, ÷òîáû ïîëíàÿ îêðóæíîñòü îñòàâàëàñü òàêîâîé è â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå. àçóìååòñÿ, òîãäà äëèíà òîé äåîðìèðîâàííîé òåïåðü îêðóæíîñòè áóäåò √ ðàâíà 2πR/ 1 − V 2 , òî åñòü áîëüøå, ÷åì 2πR. Åñëè íå íàêëàäûâàòü óêàçàííîå äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, òî â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ äèñêîì äëèíà îêðóæíîñòè îñòàíåòñÿ ðàâíîé 2πR, íî òà æå ñàìàÿ îêðóæíîñòü áóäåò èìåòü â ëàáîðàòîðíîé ñè√ ñòåìå äëèíó, ðàâíóþ 2πR 1 − V 2 , òî åñòü, ìåíüøå 2πR. Èíûìè ñëîâàìè, äèñê áóäåò âûãëÿäåòü äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå ïîðâàâøèìñÿ (èñ.1). Ôèçè÷åñêîãî ðàçðûâà äèñêà, ðàçóìååòñÿ, íå ïðîèçîéä¼ò. Ýòî âèäíî óæå õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî ìåñòî ðàçðûâà çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëà îòñ÷¼òà êîîðäèíàò. Ïðè÷èíà æå òàêîé ñòðàííîé êàðòèíû ëèøü â îòíîñèòåëüíîñòè îäíîâðåìåííîñòè è ñèòóàöèÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íà øèðîêî èçâåñòíîìó ïàðàäîêñó ìàøèíà è ÿìà (èëè øåñò è ñàðàé, êàê åãî èíîãäà íàçûâàþò). Êîíöû îòðåçêà, èêñèðîâàííûå â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà áóäóò â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ äèñêîì èêñèðîâàíû â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè çà ðàçíèöó ìåæäó êîòîðûìè äèñê óñïååò ïðîâåðíóòüñÿ íà íåêîòîðûé óãîë. Âûïàâøèå æå òî÷êè äèñêà, åñëè áðàòü èõ ïî îäíîé, ñîîòâåòñòâóþò óæå ñëåäóþùèì îáîðîòàì âîêðóã îêðóæíîñòè. àññóæäåíèå Ýðåíåñòà íå ìîæåò ñëóæèòü òàêèì îáðàçîì èëëþñòðàöèåé íåâîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ â îáùåì ñëó÷àå â îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè àáñîëþòíî òâ¼ðäûõ òåë, òàê êàê ïîäðàçóìåâàåò äåîðìàöèþ, íàëîæåííóþ èçíà÷àëüíî ñ ïîìîùüþ âíåøíåãî óñèëèÿ. Ïàðàäîêñ æå ðàçðåøàåòñÿ ëèøü îñîáåííîñòüþ èçè÷åñêîãî ïðîöåññà èçìåðåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè è îòíîñèòåëüíîñòüþ îäíîâðåìåííîñòè. 5

 (6) ìû ñíîâà íà÷àëè ðàñùåïëåíèå ñî ñëàãàåìîãî dx0 dx0 , ÷òî ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå ïîñòóëàòà ÷àñîâ. Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè (6) ñîîòâåòñòâóåò èçè÷åñêîìó âðåìåíè dτ dτ =

g0j dxj g00 dx0 + √ , g00

(7)

à âòîðîå çàäà¼ò ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ïðîñòðàíñòâà. Ëåììà ðàñùåïëåíèÿ ãàðàíòèðóåò íàì âûïîëíåíèå ïîñòóëàòà ÷àñîâ è îðòîãîíàëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà ìèðîâîé ëèíèè, íî âûáîð ïðîñòðàíñòâåííûõ îñåé, ïîíÿòíî, îïðåäåë¼í ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî ïîâîðîòà (êîòîðîãî â îïèñàííîì ðàíåå îäíîìåðíîì ñëó÷àå íå âîçíèêàëî). Ïðåîáðàçîâàíèå îò êîîðäèíàò ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû ê êîîðäèíàòàì ïîäâèæíîé ïðèîáðåòàåò íàèáîëåå ïðîñòîé è çíàêîìûé èç øêîëüíîãî êóðñà èçèêè âèä òîãäà, êîãäà ñêîðîñòü â êàæäîé òî÷êå íàïðàâëåíà âäîëü îäíîé èç îñåé ïîäâèæíîé ñèñòåìû. Ïîëó÷èòü íåîáõîäèìîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî, âûðàçèâ â (6) äèåðåíöèàëû êîîðäèíàò è êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â òåðìèíàõ êîîðäèíàò x′ ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû:   ∂x0 √ g0j ∂xj dτ = g00 ′µ + √ (8) dx′µ ∂x g00 ∂x′µ   g0j g0k ∂xj ∂xk ′µ ′ν dl2 = gjk − (9) dx dx g00 ∂x′µ ∂x′ν Âûðàæåíèÿ (8) è (9)  ýòî íå ÷òî èíîå êàê ëîêàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãîëîíîìíûå (â ñëó÷àå ïëîñêîãî ïðîñòðàíñòâà) ïðåîáðàçîâàíèÿ äèåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû îòñ÷¼òà ê äèåðåíöèàëàì èçè÷åñêîãî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò ïîäâèæíîé ñèñòåìû. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå âðàùàþùåãîñÿ äèñêà, çàäàííîãî ïðåîáðàçîâàíèåì êîîðäèíàò φ′ = φ + Ωt, t′ = t, ãäå φ è φ′ óãëîâûå êîîðäèíàòû, ïðåîáðàçîâàíèÿ (8), (9) èìåþò ñëåäóþùèé ïðîñòîé âèä (èñïîëüçîâàíèå ëèíåéíûõ êîîðäèíàò â äàííîì ñëó÷àå äëÿ ïðîñòîãî âèäà ïðåîáðàçîâàíèé ïîòðåáîâàëî áû äîïîëíèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîâîðîòà):

Îáùèé ñëó÷àé

ds2 = dt′2 − r′2 dφ′2 − dr′2 , Íåòðóäíî ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðîäåëàííûì â ðàçäåëå 2 è â îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëür′ dφ′ − Ωrdt′ dt′ − Ωr2 dφ′ , dψ = √ , dτ = √ íîé ñèñòåìû îòñ÷¼òà. Íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü îä1 − Ω2 r 2 1 − Ω2 r 2 íàêî, ÷òî ðå÷ü â äàííîé ðàáîòå èä¼ò òîëüêî î ïåðådρ = dr′ . õîäàõ ìåæäó ðàçíûìè ñèñòåìàìè îòñ÷¼òà â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ èçè÷åñêî îáùåì ñëó÷àå èíòåðâàë ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãî âðåìåíè (7) áûëî ïîëó÷åíî À. Ë. Çåëüìàíîâûì â êîîðäèíàò, çàäàþùåãî ìèðîâûå ëèíèè êàæäîé òî÷- [1℄, íà îñíîâå ðàçâèòîé èì òåîðèè õðîíîìåòðè÷åñêèõ êè ïîäâèæíîé ñèñòåìû, èìååò âèä èíâàðèàíòîâ. ds2

= = = +

gµν dxµ dxν = g dx0 dx0 + 2g0j dx0 dxj + gjk dxj dxk = 2 00 √ g0j dxj + g00 dx0 + √ g  00  g0j g0k j k dx dx . gjk − g00 (6)

6

Ñèíõðîíèçàöèÿ ÷àñîâ

Èñïîëüçîâàíèå èçè÷åñêîãî âðåìåíè äà¼ò íóëåâîå çíà÷åíèå äååêòà ñèíõðîíèçàöèè îáìåíîì ñâåòîâûìè ñèãíàëàìè. 4


ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

Äåéñòâèòåëüíî, ðàñïðîñòðàíåíèþ ñâåòîâîãî ñèã- [4℄ G. Rizzi and M. L. Ruggiero Relativity in Rotating Frames, Dordre ht: Kluwer, 452pp, 2004. íàëà ñîîòâåòñòâóåò ìèðîâàÿ ëèíèÿ ds = 0. Åñëè âûïèñàòü èíòåðâàë â âèäå ds2 = dτ 2 − dl2 , òî äâóì íàïðàâëåíèÿì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòî dτ = ±dl. Òàêèì îáðàçîì èçè÷åñêîå âðåìÿ îêàçûâàåòñÿ ñèíõðîíèçèðóåìûì âî âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå è â îáùåì ñëó÷àå. Íóæíî çàìåòèòü, ÷òî âûâîä âûðàæåíèÿ äëÿ èçè÷åñêîé ïðîñòðàíñòâåííîé ìåòðèêè ìîæåò áûòü ïðîâåä¼í áåç èñïîëüçîâàíèÿ êàêîé-ëèáî ñèíõðîíèçàöèè è íåçàâèñèìî îò âûðàæåíèÿ äëÿ èçè÷åñêîãî âðåìåíè (7). Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî èçìåðåíèå èçè÷åñêîãî âðåìåíè ïî îïåðàöèîííîìó îïðåäåëåíèþ (7) ìîæåò áûòü ìåòðîëîãè÷åñêè ñîãëàñîâàíî ñ èçìåðåíèåì äëèíû. 7

Çàêëþ÷åíèå

 äàííîé ðàáîòå ïðîâåä¼í àíàëèç ïàðàäîêñà Ýðåíåñòà ñ òî÷êè çðåíèÿ èçè÷åñêè ãðàìîòíîãî îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ îá èçìåðåíèè äëèíû îêðóæíîñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî ðàññóæäåíèå Ýðåíåñòà íå ìîæåò ñëóæèòü èëëþñòðàöèåé íåâîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ â îáùåì ñëó÷àå â îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè àáñîëþòíî òâ¼ðäûõ òåë, òàê êàê ïîäðàçóìåâàåò äåîðìàöèþ, íàëîæåííóþ èçíà÷àëüíî ñ ïîìîùüþ âíåøíåãî óñèëèÿ. Ïîëó÷åíî îáùåå âûðàæåíèå äëÿ êîððåêòíîãî ïåðåõîäà îò êîîðäèíàò ëàáîðàòîðíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû ê êîîðäèíàòàì ïîäâèæíîé íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìû â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Óêàçàíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå èçè÷åñêîãî âðåìåíè ïîçâîëÿåò ñèíõðîíèçèðîâàòü ÷àñû íå òîëüêî íà âðàùàþùåéñÿ îêðóæíîñòè, íî è â îáùåì ñëó÷àå. Íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî òî÷êà çðåíèÿ, âûñêàçàííàÿ â äàííîé ðàáîòå, ñîñòîÿùàÿ â òîì, ÷òî âðàùàþùèéñÿ äèñê íå îáÿçàí èñïûòûâàòü íåêîé áåñïðè÷èííîé äåîðìàöèè, à ïàðàäîêñ Ýðåíåñòà ðàçðåøàåòñÿ ëèøü îñîáåííîñòüþ èçè÷åñêîãî ïðîöåññà èçìåðåíèÿ äëèíû è îòíîñèòåëüíîñòüþ îäíîâðåìåííîñòè, îêîí÷àòåëüíî ïîäòâåðæäåíà ìîæåò áûòü òîëüêî â ýêñïåðèìåíòå. Âîçìîæíîñòü æå ñèíõðîíèçàöèè ÷àñîâ, îòñ÷èòûâàþùèõ èçè÷åñêîå âðåìÿ (7), îñòàíåòñÿ òîëüêî îðìàëüíûì ðåçóëüòàòîì äî òîãî, êàê áóäåò ïðîâåäåíî ìåòðîëîãè÷åñêîå ñîãëàñîâàíèå îïåðàöèîííîãî îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïî äàííîé îðìóëå. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1℄ À. Ë. Çåëüìàíîâ Õðîíîìåòðè÷åñêèå èíâàðèàíòû, Am. Res. Press, 227ñ, 2006 (1944). [2℄ Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. M. Ëèøèö Òåîðåòè÷åñêàÿ èçèêà â 10 òîìàõ, Tîì 2, Òåîðèÿ ïîëÿ, M: Íàóêà, 508ñ, 1988. [3℄ O. Gron Relativisti des ription of a rotating disk, Amer. J. Phys. 43: 869876, 1975. 5

Ehrenfest paradox 100 years later  

Eccentric resolution of the Ehrenfest's paradox.