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Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

AÑO ESCOLAR 2010-2011

V06-04/2010

Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010


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son eternas, la actividad matemática ha tenido un comienzo. A los objetos matemáticos se les reconoce una cierta realidad pero se los diferencia de los objetos materiales al no atribuirles más propiedades que las susceptibles de demostración (Apery, 1988). Sin embargo hay que aclarar que es el matemático formado quien puede razonar con los entes abstractos sin hacer referencia al mundo real.

OBJETO DE ESTUDIO “Los conceptos matemáticos que al relacionarse permiten comprender, describir y dar respuestas a situaciones del entorno”. “Las ideas que están ahora en la mente de los matemáticos contemporáneos están muy lejos de cualquier noción que pueda derivarse inmediatamente de una percepción de los sentidos, a menos de ser una percepción estimulada y guiada por un conocimiento matemático anterior” (Whitehead, 1981)

A través de la historia, las concepciones acerca de la naturaleza del objeto de estudio de las matemáticas, la forma de trabajo y el tipo de pensamiento con que se elaboran, se ha ido modificando. Bajo la concepción platónica (Bolzano, Frege, Cantor, Russell) la matemática trata de una realidad independiente del hombre; en el formalismo de Hilbert y Bourbaki la matemática es un conjunto de buenas definiciones y buenas teorías avaladas por un grupo “autoridad de matemáticos” que siguen las reglas que hacen de las matemáticas un juego, y en la concepción constructivista no existen matemáticas sino matemáticos, pues en tanto que son entes de la razón, los entes matemáticos solo existen en el pensamiento del matemático y no en un mundo independiente de la mente humana, ya no tienen el carácter de verdades absolutas, completas y necesarias, más bien se consideran como teorías o modelos consistentes relativos y posibles (Pérez 1991).

Para la difusión de las matemáticas escolares, entendidas “como el conocimiento matemático socialmente aceptado y exigido, del cual a través de los procesos de construcción, difusión o aplicación, se ha demostrado que es eficiente para la vida, la ciencia y la tecnología” (Ortiz 2001), se usan referentes concretos relacionados con la cotidianidad de los niños, sus juegos, sus actividades diarias y el mundo que los rodea como medio donde se promueve el desarrollo ideas y habilidades de pensamiento para convertir en abstractos los referentes concretos. Una manera de organizar los conceptos matemáticos que se trabajan en el contexto escolar es agrupándolos de acuerdo con el enfoque de sistemas, planteado en los lineamientos curriculares de matemáticas de1998, de la siguiente manera:  Pensamiento numérico y sistemas numéricos.  Pensamiento espacial y sistemas geométricos  Pensamiento métrico y sistemas de medida  Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.  Pensamiento aleatorio y los sistemas de datos

En los tres casos anteriores, el objeto de estudio de las matemáticas son ideas o entes de la razón. Actualmente reconocemos estos entes como creados por el hombre, sin existencia previa al momento de su definición. Las matemáticas no

Los números, las figuras, las medidas, las variables y los datos, como objetos de estudio de cada uno de los pensamientos y sistemas anteriores corresponden a conceptos matemáticos, los cuales se construyen a partir de las ideas y

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presaberes que tienen los(as) estudiantes, de sus relaciones con el entorno y a través de la manipulación y representación de diferentes situaciones. A medida que se avanza en el grado de escolaridad, los conceptos matemáticos se van complejizando, se van relacionando con otros conceptos del área (teniendo en cuenta sus propiedades y características), y con conceptos de otras áreas posibilitando que los(as) estudiantes den sentido al mundo que les rodea, comprendan significados, encuentren soluciones a determinadas situaciones, desarrollen su capacidad de pensamiento y de reflexión lógica para explorar la realidad, representarla, explicarla y predecirla, es decir, para actuar en y para ella.

ENFOQUE DEL AREA En las matemáticas como en todas las ciencias, ha habido diversas tendencias o enfoques que de alguna manera buscan organizar los contenidos, correlacionarlos, jerarquizarlos, etc., que han constituido escuelas matemáticas. Actualmente existe una corriente muy notoria que se propone presentar a la matemática como una ciencia unificada expresada en el lenguaje de la teoría de conjuntos y en el concepto de PENSAMIENTO Y SISTEMA. Este concepto es empleado en una u otra forma en todas las ciencias, quienes deben establecer reglas específicas para interpretarlos y manejarlos, utilizando el lenguaje de los sistemas y de su teoría general. Entendiéndose que la diversidad de los sistemas para el progreso y desarrollo social nacen de la divergencia en el pensar, es necesario que el docente, desde su propia vivencia, sea testimonio de los valores humanos inculcando desde el arte de enseñar. De acuerdo con lo anterior, en el desarrollo de las clases se busca contribuir a formar criterios de razonamiento, hábitos de trabajo intelectual, métodos de investigación y análisis de solución de problemas, al igual que una actitud positiva frente a la asignatura. Además entender que la ciencia esta regida por un cúmulo de normas, leyes y principios que han sido establecidos en forma universal. El

enfoque de sistema presenta la matemática como una herramienta fundamental para “Aprender a pensar por si mismo”. PENSAMIENTOS Y SISTEMAS  Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos: Comprensión de los números y de la numeración. Significado del número. Estructura del sistema de numeración. Significado de las operaciones en contextos diversos, comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las relaciones entre ellas y uso de los números y las operaciones en la resolución de problema diversos.  Pensamiento Espacial y Sistemas Geométricos: Construcción y manipulación de representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones.  Pensamiento Métrico y Sistemas de Medida: Construcción de conceptos de  cada magnitud, procesos de conservación, estimación de magnitudes y de rangos, selección y uso de unidades de medida, y patrones.  Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos: Interpretación de datos, reconocimiento y análisis de tendencias, cambio y correlaciones, inferencias y reconocimiento, descripción y análisis de eventos aleatorios.

 Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos: Reconocimiento de regularidades y patrones, identificación de variables, descripción de fenómenos de cambio y dependencia (conceptos y procedimientos asociados a la variación directa y a la proporcionalidad; a la variación lineal, en contextos aritméticos y geométricos, a la variación inversa, al concepto de función.

JUSTIFICACIÓN En la medida en que entendemos las matemáticas como una ciencia proyecto, que ayuda a nuestras estudiantes a organizar sus vivencias, a desarrollar su pensamiento lógico y geométrico, a interpretar gráficos utilizando un lenguaje matemático apropiado, hacemos que las matemáticas no sean solo un proceso

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enseñanza aprendizaje de algoritmos sino también un proceso razonado de aplicación a la vida diaria, que ayudan a explicar y transmitir información necesarios para el desarrollo integral de cada uno de los seres humanos, ello justifica su estudio en esta época en que las comunicaciones son tan importantes y tan complejas, por las diversas concepciones del mundo y la posibilidad de aplicar las matemáticas en espacios reales o imaginarios, con los cuales cada sujeto organiza y vivifica el medio que los rodea. La matemática como ciencia proyecto, ayudan a resolver problemas inmediatos de la vida cotidiana, a través de la organización lógica e interpretación de la información, ella puede ser gráfica, hermenéutica o cuántica, que llega al interior del individuo a través de sus sentidos y de su capacidad para imaginar y construir relaciones, estos llegan desde los medios de comunicación o las vivencias de él, generando procesos de análisis lógico, para luego ser ordenado, estableciendo así, procesos matemáticos, siendo necesario la comunicación de experiencias a otros individuos permitiendo la socialización de resultados para luego proponer nuevas alternativas de solución. Los profesores de esta área en el Colegio San José queremos buscar a través de la experiencia vivificadora de los procesos de pensamiento que generan el análisis lógico de los seres racionales, medios didácticos pedagógicos que potencialicen a nuestros estudiantes y por lo tanto trataremos de brindar apoyo, retos y obstáculos, que permitan a las estudiantes establecer metas, considerar el conocimiento como un acto inacabado, que le lleven a descubrir y nutrir el pensamiento creativo,

PROCESO GENERAL “Desarrollo del pensamiento matemático a través de las relaciones entre los sistemas numérico, métrico, geométrico, algebraico y analítico y de datos”

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dándoles el espacio par establecer juicios críticos, lo cual estimula y colabora en los procesos de desarrollo del pensamiento y sistemas numérico, geométricométrico , variacional y aleatorio, respetando los diferentes ritmos de aprendizaje e intereses de nuestros estudiantes. 

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Queremos que nuestros estudiantes sean parte activa en la construcción de nuevos conocimientos, partiendo de su pre saberes y experiencias vividas, enriquecer su lenguaje siendo capaz de comprender códigos matemáticos en cualquier contexto y al mismo tiempo emita su propio juicio, proponiendo alternativas de solución. Para el grupo de docentes del área de matemáticas el saber hacer es la base del éxito de cada uno de los individuos, es por eso que ellos se desarrollaran las competencias básicas exigidas por el ICFES, mediante estrategias didácticas como son las guías y talleres. Queremos un estudiante reflexivo y analítico capaz de argumentar la información interpretada. Se busca la lectura interpretativa y la aplicación cotidiana para un acercamiento didáctico desde las vivencias experimentales de las estudiantes. Se busca como resultado un estudiante interdisciplinario utilizando como una de las herramientas la tecnología que permitan a las estudiantes hacer lecturas y construcciones desde espacios virtuales.

La formación integral de la persona requiere el desarrollo armónico de cada una de sus dimensiones; a ésta, contribuyen cada una de las áreas académicas según su objeto de estudio, proceso y subprocesos. El pensamiento matemático además de referirse al pensamiento sobre temas propios de la matemática, tiene que ver con los procesos de abstracción, visualización, justificación, estimación y razonamiento. Lleva a la persona a

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modelar situaciones y fenómenos de su entorno a partir de la utilización y aplicación de conceptos propios del área que permiten una mejor comprensión, descripción y solución de los mismos.

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uno de los conceptos, se ejercitan y desarrollan los procesos de pensamiento, a la vez que se puede determinar la utilidad y el sentido de la matemática.

Como una reflexión sobre la naturaleza de su conocimiento y sobre la naturaleza del proceso de descubrimiento e invención en matemáticas, la cual es realizada por matemáticos.

Como parte del ambiente científico en el cual los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan a través de la resolución de tareas, y

Al desarrollar el pensamiento matemático se pueden determinar diferentes niveles de complejidad. Teniendo en cuenta que un mismo concepto se puede trabajar en diferentes grados escolares con un nivel de complejidad que va de acuerdo las características de los(as) estudiantes que se encuentran en dicho grado y al tipo de situaciones a las que se enfrentan ellos(as). En este contexto, el proceso de aprendizaje cobra una gran importancia y exige que el(la) profesor(a) conozca cómo las personas aprenden y descubra cuáles son los conceptos matemáticos que son significativos para ellas y los aspectos o situaciones de la cotidianidad que los(as) acercan a las matemáticas.

Como el pensamiento que se desarrolla en todos los seres humanos cuando se enfrentan cotidianamente a múltiples tareas. 1

La construcción de un concepto incluye varias etapas, de diversa duración y orden, según las características y circunstancias de la persona:

El proceso de desarrollo del pensamiento matemático se puede interpretar de diferentes formas:

Teniendo en cuenta lo anterior, se puede decir que el pensamiento matemático tiene que ver con todas las formas posibles de construir ideas y conceptos matemáticos, incluyendo las que tienen que ver con las diferentes situaciones a las que se enfrentan las personas en su vida cotidiana y a los retos que impone la sociedad actual. Para desarrollar el pensamiento matemático es importante trabajar el pensamiento sobre conceptos y tópicos propios de la matemática además de la abstracción, justificación, visualización y estimación o razonamiento bajo hipótesis. Estos aspectos se trabajan en forma simultánea a través del análisis y solución de diferentes situaciones que tienen que ver con la vida cotidiana junto con la aplicación de nuevas tecnologías. Mientras se estudia, comprende y aprende cada

Suele iniciarse con procesos sobre situaciones y objetos concretos, los cuales derivan en operaciones que pueden ser desarrolladas y coordinadas en el pensamiento.

A medida que se avanza en edad y grado de escolaridad, es importante tener presente que se debe llegar a la abstracción, generalización y formalización de los conceptos matemáticos.

Una vez que el nuevo objeto (concepto) ha sido asimilado, el estudiante adquiere la habilidad para reflexionar sobre la naturaleza del mismo, relacionarlo con otro(s) concepto(s) y determinar la manera de transformarlo mediante operaciones, iniciando así el proceso de construcción de un concepto más complejo.

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CANTORAL Ricardo y otros. Desarrollo del Pensamiento Matemático. Editorial Trillas. Junio 2000.

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Estas etapas generalmente van acompañadas de la comprensión, significación y uso del lenguaje matemático y de diversas formas de representación. Para desarrollar el pensamiento matemático en los estudiantes, es importante tener en cuenta lo siguiente: 

Los presaberes que los(as) estudiantes tienen y que han adquirido a través de sus experiencias tanto en la vida escolar como en la vida cotidiana.

Los conceptos matemáticos propios de cada uno de los sistemas matemáticos (sistemas numérico, métrico, geométrico, algebraico y analítico y de datos), los cuales se pueden relacionar y contribuyen al establecimiento de conceptos generales que pueden ser aplicados en las matemáticas, en otras áreas y en la vida cotidiana. Las diferentes interpretaciones y aplicaciones que se pueden tener de un concepto matemático de acuerdo con la edad, el grado y el contexto en que se encuentra el estudiante.

La discusión y cooperación al realizar socializaciones que permiten conocer diferentes puntos de vista o interpretaciones de algún concepto matemático, las cuales contribuyen a una construcción formal de dicho concepto, teniendo en cuenta las relaciones entre el lenguaje cotidiano y el lenguaje formal propio de la matemática. Esto a su vez posibilita el análisis de diferentes aplicaciones o usos del concepto trabajado, teniendo en cuenta los niveles y grados de complejidad o dificultad, brindando elementos para explicar y sustentar no sólo los procedimientos sino también la pertinencia en la toma de una decisión determinada. Las actividades propuestas que posibilitan la construcción y aplicación de conceptos matemáticos, deben formularse teniendo en cuenta las diferentes aplicaciones que de ellos se pueden hacer no sólo en las matemáticas, sino también en otras áreas y en la vida cotidiana. Dichas actividades, deben permitir el crecimiento personal e intelectual de los(as) estudiantes, de tal manera que cuando ellos(as) concluyan su escolaridad, contribuyan y

puedan dar soluciones a las diferentes situaciones que deben enfrentar en su medio. Es importante preparar a los(as) estudiantes para que sean protagonistas del proceso aprendizaje, convirtiéndolos(as) en parte activa de éste, e integrando el conocimiento a sus propias vivencias, contribuyendo así, de alguna manera, al desarrollo de las competencias básicas (interpretativa, argumentativa y propositiva).

SUBPROCESOS 1. RESOLUCIÓN Y FORMULACIÓN DE PROBLEMAS EN MATEMÁTICAS Las matemáticas siendo un componente fundamental de la educación deben contribuir al desarrollo de un pensamiento estructurado y organizado del individuo, para que pueda enfrentarse a las cambiantes exigencias actuales de adaptación y realización, lo que implica el dominio de la competencia matemática, la cual explora los contextos que van desde lo específicamente relacionado con matemáticas hasta lo que aparentemente no presentan ninguna estructura matemática, viajando igualmente desde lo cotidiano a lo inusual y desde lo simple a lo complejo. Visto como contexto y no como punto de culminación, el desarrollo de situaciones problema en el proceso de enseñanza, logra proporcionar mayor riqueza al acto educativo, ya que el estudiante activa su capacidad mental, da sentido y utilidad a lo aprendido, adquiere confianza en sí mismo y se prepara para otros retos de la ciencia. Una enseñanza basada en la resolución y planteamiento de problemas hace énfasis en el desarrollo del pensamiento, en procesos de aprendizaje y en los contenidos matemáticos; lo que lleva al educando a articularse más sólidamente con su realidad y su cultura y así ganar mayor responsabilidad en la toma de decisiones, que finalmente le darán un mayor sentido a su vida.

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Es importante centrar al alumno en el rol principal de la acción durante procesos de aprendizaje de la disciplina matemática, ese papel protagónico aporta elementos importantes en la reorganización y fortalecimiento( desequilibrio y autorregulación) de las estructuras mentales del individuo, al incorporar elementos nuevos a su saber. Jean Piaget, Lev Vigotsky, Avid Ausubel y Jerome Bruner han brindado importantes aportes a la ciencia cognitiva desde los cuales se puede afirmar que: La resolución y formulación de problemas no podría darse sin la correcta comprensión e incorporación de conceptos y propiedades básicas del conocimiento matemático en la estructura mental del estudiante, así como el adecuado desarrollo de habilidades mentales que le oriente el camino a su propia construcción mental. Para ello es necesario que el estudiante desarrolle diversas estrategias que le permitan resolver problemas donde muestre cierto grado de independencia y creatividad y que los maestros y las maestras, partiendo de las dificultades y potencialidades de los estudiantes en cuanto al análisis, interpretación y proposición de alternativas de solución a diversas situaciones problema, definan estrategias de crecimiento intelectual tanto a nivel grupal como a nivel individual. El estudiar cómo las personas resuelven problemas y cómo ello repercute en el ámbito educativo, es sin lugar a dudas una de las funciones esenciales de aquellos que estamos interesados en el área de la educación matemática. En este análisis Schoenfeld recomienda poner atención en los recursos de los estudiantes, las estrategias cognitivas y metacognitivas, así como en las creencias que ellos tengan acerca de las matemáticas. Todo esto nos revoluciona el método de enseñanza y la forma de motivar a nuestros estudiantes para obtener mejores resultados y que ellos adquieran su propia motivación para querer aprender matemáticas. En el mundo cotidiano de hoy, el primer paso y en ocasiones el más difícil antes de resolver un problema, es el reconocimiento de que ese problema existe, por lo cual a los estudiantes habría que enseñarles no solo la forma de resolver problemas sino la habilidad de ser capaces para reconocer los problemas que vale la pena

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resolver. En muchas ocasiones, la resolución de problemas no presenta de forma clara el tipo de información necesaria que se requiere para abordarlos, ni tampoco estará claro el sitio en el cual deba buscarse la información. En efecto, la vida real es compleja y hallar la información puede ser a menudo un problema en sí mismo. Los teóricos de la resolución de problemas diferencian entre problemas bien estructurados, estructurados y mal estructurados. Los problemas bien estructurados son aquellos cuyos pasos que conducen a la solución se pueden establecer de forma explícita y evidente, pues aparecen claramente formulados; los problemas estructurados requieren el diseño de todo el proceso de solución o de parte de este y los problemas mal estructurados son aquellos en los cuales es difícil especificar los pasos necesarios para llegar a la solución y para probar su validez. Puede ocurrir que los problemas que se les presentan a los estudiantes no tengan consecuencia alguna, sin embargo, en la realidad del mundo, resolver una problema puede ser la diferencia entre una vida feliz o una vida desdichada. DEFINICIÓN La resolución y formulación de problemas en matemáticas es considerado como uno de los subprocesos principales que se deben desarrollar en el currículo de esta área. Para comprender este subproceso, se asume el concepto de problema como una situación que requiere solución y a la que se enfrenta un individuo o un grupo sin vislumbrar camino aparente y obvio que conduzca a la misma (LESTER, 1983). Igualmente, se asume la resolución y formulación de problemas como un proceso activo que implica la búsqueda de alternativas que permitan la superación de la situación problema a la que se enfrenta una persona, sin ser este el fin último, sino el punto inicial para encontrar otras soluciones, extensiones y generalizaciones que posibiliten la construcción de nuevos problemas. Es decir, emprender una búsqueda y apropiación de estrategias adecuadas para encontrar respuestas a preguntas no sólo del área de matemáticas, sino también de la realidad cotidiana, de forma tal que se retome el conocimiento matemático y sus conceptos, las habilidades de interpretación, deducción, argumentación, análisis, proposición y

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manejo de los diferentes algoritmos, para llegar a la solución de una situación que fue problemática. Los ejercicios tradicionales son considerados en el proceso educativo como importantes, se podrían definir como expresiones dadas en un lenguaje matemático que con sólo observarlas e interpretar los símbolos en las que están dadas, se puede decir si se sabe solucionar o no, sin generar ningún desequilibrio en nuestro esquema mental. Los ejercicios deben ser complementados por la “situación problema” que es una composición literaria en contextos matemáticos, cotidianos o hipotéticos, en la cual hay interrogantes que permiten analizar, predecir, justificar, o establecer diferentes relaciones de los elementos que allí intervienen. La situación problema propuesta a los estudiantes ha de convertirse en el detonador de la actividad cognitiva y para ello debe tener presente las siguientes características:  

Involucrar implícitamente los conceptos que se van a trabajar. Representar un verdadero problema para el estudiante y con fácil acceso a su solución.  Permitir el uso de conocimientos anteriores.  Movilizar al estudiante a poner en duda sus conocimientos y a proponer nuevas soluciones.  Contener su propia validación. La formulación de un problema consiste en presentar una información aplicando estructuras gramaticales en un contexto definido, haciendo uso del lenguaje matemático y relacionándolas con un interrogante o pregunta que sirva de desequilibrio en el proceso mental. Para ello es necesario el dominio del conocimiento matemático e integrarlo a un contexto, adicionalmente se debe tener una visión retrospectiva respecto al interrogante planteado y a los posibles caminos que lleven a la solución.

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DESCRIPCIÓN La resolución y formulación problemas debe servir como una gran oportunidad para acercarse a los conocimientos físico, lógico-matemático y social, ya que permite la inmersión de las matemáticas a la cultura, al desarrollo de los procesos de pensamiento y a la potenciación del sentido de trascendencia (utilidad y aplicación) de ésta área en todos los campos. En el desarrollo de las matemáticas el proceso de resolver y formular problemas se identifica como un componente esencial en el quehacer matemático, con el cual el estudiante debe estar familiarizado para poder interactuar con una variedad de situaciones específicas ( problemas con texto, ejercicios, puzzles, pruebas de conjeturas, problemas de la vida real, situaciones problemáticas, etc.) y así poder analizar la calidad de los diversos métodos y estrategias de solución, para identificar la importancia de utilizar argumentos matemáticos en todas sus posiciones y afirmaciones. Vale la pena aclarar aquí que si algo que nos parezca ser "un problema" se puede resolver desde una sola disciplina académica no es un verdadero problema sino un ejercicio escolar. Para resolver problemas no siempre existen formulas mágicas, procedimientos o métodos de aplicabilidad preestablecidos, pero se pueden tener algoritmos o propuestas que nos orienten a la solución del mismo. La resolución y formulación de problemas debe ser el eje central del currículo de las matemáticas escolares y como tal debe ser parte integral de la actividad matemática, pues en la medida que un estudiante resuelva problemas va ganando confianza en el uso de las matemáticas, va desarrollando una mente inquisitiva y perseverante, va adquiriendo capacidad de comunicación matemática y va generando en sí mismo desequilibrios cognitivos que le permiten acceder a procesos de pensamiento cada vez más altos. Si se tiene en cuenta las definiciones de problema dadas por Polya, Krulik y Rudnik se puede inferir que un problema debe satisfacer los tres requisitos siguientes:

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Aceptación: El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas.  Bloqueo: Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan.  Exploración: El compromiso personal o del grupo retan la exploración de nuevos métodos para abordar y resolver el problema. También, R. Borasi (1986), en uno de los primeros intentos en clarificar la noción de problema originada por su interés en mejorar la enseñanza de la resolución de problemas, utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de problemas: 

El contexto del problema, la situación en la cuál se enmarca el problema mismo.  La formulación del problema, definición explícita de la tarea a realizar.  El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema.  El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución. En cuanto a la resolución de problemas, Miguel de Guzmán considera como los aspectos más importantes:       

Que el estudiante manipule los objetos matemáticos Que active su propia capacidad mental Que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento con el fin de mejorarlo conscientemente. Que haga transferencia de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental. Que adquiera confianza en sí mismo Que se divierta con su propia actividad mental Que se prepare para resolver otros problemas de la ciencia y de la vida cotidiana.

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El resolver un problema implica una serie de acciones y estrategias que requieren de un plan, Polya describe varias fases en la resolución de problemas: 1. INTERPRETACIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLEMA Consiste en identificar lo matematizable de la situación que se plantea, teniendo en cuenta:    

Leer y comprender el problema Identificar los datos del problema Identificar las incógnitas del problema Esquematizar en lo posible la situación planteada

2. CONCEPCIÓN DE UN PLAN Es concebir una propuesta posible que permita abordar la situación para su posterior solución, para ello se debe tener presente:    

Concebir una idea flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Comparar con otras ideas o modelos establecidos. Buscar diferentes formas de plantearlo. Utilizar todos los datos.

3. EJECUCIÓN DEL PLAN Es la parte operativa, pero no de forma mecánica sino de manera reflexiva y coherente con lo planteado en las fases anteriores, es importante tener presente:    

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Verificar que cada paso sea correcto Antes de ejecutar cada paso se debe pensar ¿qué se consigue con esto? Tener claro que en cada operación se debe tener presente el que y para que. En momento de dificultad retomar las ideas y reiniciar


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4. VALIDACION Fase que permite asegurar que el proceso seguido en la solución es el adecuado para dar respuesta a los interrogantes planteados, se debe tener presente:      

Confrontación con la realidad que se quiere ver Retomar el enunciado y verificar que lo que se obtuvo es lo que se quiere Fijarse en la solución y ver qué sí se pueda comprobar Preguntarse si hay otras formas de resolverlo Acompañar la solución de una explicación Generalizar el modelo para situaciones similares

Complejidad: Se refiere al nivel de abstracción que debe tener la situación problema que se planteará.  Población Objeto: Es tener presente a quien va dirigida la situación problema, con relación a la edad, grado, lugar y otros aspectos más.  ELEMENTOS DE LA SITUACION Hace referencia a los componentes que enmarcan la situación problema, ellos son: 

5. VISIÓN RETROSPECTIVA Es la parte del proceso en donde se retoman todos los elementos tanto del contexto en el que se planteó la situación problema como los procedimientos seguidos en su solución para ratificar las respuestas obtenidas y su coherencia con lo planteado o solicitado. Para el planteamiento de un problema al igual que en su solución es necesario tener presente algunos aspectos:  ESPECIFICAR LA CLASE DE PROBLEMA Dar pautas iniciales que permitan plantear la situación problema, éste se da desde dos aspectos a saber: 

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Tipo de Problema: hace referencia a las competencias emitida por el M.E.N. es decir, desde lo interpretativo, argumentativo o propositivo  Referentes Conceptuales: Establece la temática acorde con los estándares definidos por el M.E.N. en los diferentes conjuntos de grado  CONDICIONES DEL PROBLEMA Establecer las pautas a tener en cuenta en el planteamiento de la situación problema, para ello es importante:

Variables: Es la información que se da o se solicita del problema, ésta puede ser conocida (datos) o desconocida (incógnitas)  Recursos: Son los medios disponibles para abordar la situación problema estos pueden ser tablas, gráficos, información textual, construcciones auxiliares, instrumentos tecnológicos u otros.  Procesos: Se refiere a las etapas de maduración cognitiva, es decir, interpretación, comprensión, análisis, etc.  CREACION DE LA SITUACION PROBLEMA Consiste en correlacionar las etapas anteriores, dándole un sentido coherente y claro en su redacción de forma tal que sea comprensible y comunicable. Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas, cuya intención clara es actuar como guía para la acción. Los trabajos de Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal. Una de las estrategias que plantea para avanzar en la resolución de problemas es el razonamiento heurístico, y dentro de este contexto, existe una amplia lista de heurísticas, entre las más importantes cabe destacar:       

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Buscar un problema relacionado. Resolver un problema similar más sencillo. Dividir el problema en partes. Considerar un caso particular. Hacer una tabla. Buscar regularidades. Empezar el problema desde atrás.


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 Variar las condiciones del problema. Todo problema tiene un planteamiento y una pregunta que conforman los datos que deben, a su vez, ser confrontados. Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas: ¿ Qué estoy haciendo?, ¿ Por qué lo hago?, ¿ Para qué lo hago?, ¿ Cómo lo usaré después?; mejor será el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solución, pues la persona que lo resuelva necesita inventar y descubrir estrategias o algoritmos que le permitan dar solución al problema. Es fundamental que se expongan los problemas resueltos ante el grupo de compañeros e igualmente los métodos y estrategias de solución, de forma tal que se comuniquen y justifiquen discutan las estrategias y los argumentos, favoreciendo con esto la autoevaluación, la coevaluación y la evaluación. El interés por la resolución y formulación de problemas parte del ejemplo de la maestra o del maestro con la exposición de sus propias experiencias, dificultades e inquietudes ante sus estudiantes, por lo cual debe “dramatizar” sus ideas y preguntas. Es también conveniente asegurarse de que los razonamientos de los educandos sean los más apropiados e idóneos, lo cual se logra revisando y verificando cada paso, antes de que sus alumnos se lancen a realizar cálculos que los desmotiven y los lleven a abandonar el problema que tienen por solucionar. IMPLICACIONES PEDAGÓGICAS Jean Piaget hace un aporte fundamental a los diferentes procesos de construcción del conocimiento en relación con las etapas de desarrollo del ser humano, plantea la existencia de unos estadios de equilibrio dinámico que son definidos con base en los esquemas y estructuras cognitivas y que al desarrollo del conocimiento se le puede detallar una cronología en la que aparecen diferentes etapas que generan, configuran y consolidan las estructuras cognitivas. Ellas son: La etapa sensoriomotora (0-2 años), etapa de operaciones concretas (2-12 años) la cual se puede subdividir en la subetapa preoperatoria (2-8 años) y la subetapa de operaciones concretas (8-12 años) y la etapa de operaciones formales (13-16 años). Las estrategias metodológicas aplicadas en los estudiantes para el

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desarrollo del subproceso de resolución y formulación de problemas, deben tomar como punto importante de referencia el reconocimiento de estas etapas y desde ellas, emprender el viaje hacia la búsqueda del conocimiento que incluya al ser(en este caso los y las estudiantes) respetando y valorando la etapa evolutiva en la cual se encuentran. Entre las características de cada uno de los estadios se pueden destacar las siguientes:  Etapa sensoriomotora: El niño activa y ejercita los esquemas con los que nace y a través de la acción sensorial sus reflejos se van convirtiendo en hábitos, fortalece sus movimientos y se relaciona afectivamente con las personas que le rodean.  Subetapa preoperatoria: Los niños utilizan esquemas representacionales de lo que perciben en el medio, usa preconceptos desde una lógica unidireccional no reversible, es egocéntrico y su moral es heterónoma.  Subetapa operaciones concretas: Los niños utilizan agrupamientos y razonan por transformaciones, utilizan la reversibilidad, clasifican, serian y entienden la noción de número, su pensamiento es inductivo y su moral es autónoma.  Etapa de operaciones formales: El adolescente construye sus propios esquemas, su pensamiento se vuelve más abstracto (hipotético-deductivo) y tiene la capacidad de comprobar y refutar teorías. En la conceptualización la enseñanza y del maestro de matemáticas, se pueden destacar los siguientes aspectos:  

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El docente, el estudiante y el conocimiento son igualmente importantes en el desarrollo del subproceso de resolución y formulación de problemas. El docente de matemáticas debe preparar una planeación de actividades que induzcan directamente los contenidos, pero que a la vez brinden la posibilidad de desplegar procesos autoestructurantes en los estudiantes,


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para que elaboren sus propias hipótesis e interpretaciones durante el proceso de asimilación de nuevos conceptos matemáticos.  El docente debe tener claro que el objetivo del subproceso de resolución y formulación de problemas es favorecer y potenciar el desarrollo general del (la) estudiante. En la conceptualización del (la) estudiante de matemáticas se pueden destacar los siguientes aspectos:  El estudiante es un constructor activo de su propio conocimiento matemático y un reconstructor de los contenidos de esta área.  Los estudiantes deben desarrollar actividades de tipo autoestructurante motivados a partir de la acción(resolver y formular problemas matemáticos en un contexto)  El estudiante pone de manifiesto el desarrollo cognitivo cuando participa de la solución de conflictos sociocognitivos, utilizando las matemáticas como herramienta fundamental. En la conceptualización de la evaluación del subproceso de resolución y formulación de problemas se pueden destacar los siguientes aspectos:  Se pueden evaluar las distintas interpretaciones que los estudiantes construyen en relación con los contenidos, a partir de la resolución de problemas matemáticos.  La evaluación se debe centrar más en los procesos relativos a los estados de conocimiento que en los resultados. Sin embargo, los resultados son útiles para que el estudiante reflexione sobre su proceso y para que el maestro valore la eficacia de las estrategias que usa.  Todas las técnicas y estrategias evaluativas del subproceso de formulación y resolución de problemas son validas siempre y cuando aporten la posibilidad de aprehender y reflexionar. Además es pertinente establecer que los exámenes tradicionales como único instrumento evaluativo, pueden no ser un recurso apropiado para cumplir con este objetivo.

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El subproceso de resolución y formulación de problemas orienta la labor del maestro de matemáticas hacia la búsqueda de un estudiante que se acerque al conocimiento de manera cada vez más autónoma. Está basado en la creación de ambientes de interacción permanente entre maestro(a)-estudiante y estudianteestudiante, pues el papel del maestro es facilitar las relaciones de cooperación y a la vez ser guía y orientador de su desarrollo desde las matemáticas. Para la transformación positiva de los estudiantes de matemáticas, se requiere de cambios en su estructura cognitiva, lo que implica un conocimiento suficiente tanto de las capacidades, destrezas, habilidades y actitudes de ellos, y de diseñar innovadoras estrategias de aprendizaje en función de una sociedad científica y culturalmente más competente. ¨Una habilidad crucial implícita en la noción de la competencia matemática es la capacidad de plantear, formular, resolver, e interpretar problemas empleando las matemáticas dentro de una variedad de situaciones y contextos¨. El dominio de la competencia matemática evidenciada en el planteamiento y resolución de problemas comprende tres ejes principales: las situaciones o contextos en que se ubican los problemas, el contenido matemático requerido para resolver un problema y las competencias que son las que conectan el contexto del problema con el conocimiento matemático, por lo que el nivel de competencia matemática de una persona esta relacionado con la habilidad para utilizar los conocimientos y herramientas matemáticas en la solución de problemas. Para evaluar el nivel de competencia matemática de los estudiantes se pueden tener como base las ocho competencias matemáticas específicas identificadas por Niss (1999) y sus colegas: Pensar y razonar: Incluye plantear preguntas características de las matemáticas: ¿Cuántas hay?, ¿Cómo encontrar?; reconocer el tipo de respuestas que las matemáticas ofrecen para estas preguntas; distinguir entre diferentes tipos de proposiciones (definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos,

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condicionales); entender y manipular el rango y los límites de ciertos conceptos matemáticos. Argumentar: Se refiere a saber qué es una prueba matemática y cómo se diferencia de otros tipos de razonamiento matemático; evaluar cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos; desarrollar procedimientos intuitivos y construir y expresar argumentos matemáticos. Comunicar: Involucra la capacidad de expresarse, tanto en forma oral como escrita, sobre asuntos con contenido matemático y de entender las aseveraciones, orales y escritas, de los demás sobre los mismos temas. Modelar: Incluye estructurar la situación que se va a resolver; traducir la “realidad” a una estructura matemática; trabajar con un modelo matemático; validar el modelo; reflexionar, analizar y plantear críticas a un modelo y sus resultados; comunicar eficazmente el modelo y sus resultados ; monitorear y controlar el proceso de modelado. Plantear y resolver problemas: Comprende resolver, formular y definir diferentes tipos de problemas matemáticos, utilizando variedad de métodos.

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Utilizar ayudas y herramientas: Conocer y ser capaz de utilizar diversas ayudas y herramientas (incluyendo las tecnologías de la información y las comunicaciones, TIC) que facilitan la actividad matemática y comprender las limitaciones de estas herramientas. Al momento de resolver problemas, algunos docentes le dan gran importancia a la solución correcta, sin embargo es necesario modificar tal concepción teniendo en cuenta que el objetivo fundamental en la enseñanza de resolución de problemas es ayudar a los estudiantes a desarrollar habilidades de pensamiento que permitan que éstos alcancen soluciones correctas. Para ello es necesario que los maestros y maestras de matemáticas estén comprometidos permanentemente a:     

Representar: Incluye codificar y decodificar, traducir, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representaciones de objetos y situaciones matemáticas, y las interrelaciones entre diversas representaciones; elegir entre diferentes formas de representación de acuerdo con la situación y el propósito particular.

Utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas: Comprende decodificar e interpretar lenguaje formal y simbólico, y entender su relación con el lenguaje natural; traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico / formal, manipular proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fórmulas; utilizar variables, resolver ecuaciones y realizar cálculos.

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Crear un ambiente apropiado para la resolución de problemas. Ofrecer un repertorio amplio y variado de problemas que generen una práctica intensiva y extensiva, además de que representen un reto para los estudiantes. Enseñar a los estudiantes a desarrollar estrategias que les permitan leer los problemas en forma analítica. Pedir a los estudiantes que inventen sus propios problemas. Promover en los estudiantes el uso de estrategias alternativas: reconocer patrones de problemas, trabajar en sentido inverso, predecir y probar, simular, experimentar, reducir los datos, deducir, entre otros. Hacer preguntas mientras los estudiantes están en el proceso de discusión de los procedimientos para resolver problemas. Permitir que los estudiantes revisen sus respuestas. Hacer que los estudiantes representen, mediante un diagrama de flujo, sus propios procedimientos para resolver problemas. Organizar de forma secuencial y compleja los logros e indicadores de logro. Garantizar que las guías conceptuales y de ejercitación contengan implícitos en su estructura y temáticas, los estándares y las competencias. Tener claro que la actividad pedagógica en matemáticas debe trascender el aula de clases y extenderse a diferentes contextos.


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“Un profesor de matemática tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles recursos para ello”. Polya.

2. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO INTRODUCCION Desde los inicios de la vida del hombre, se ha considerado el razonamiento como parte inherente de su definición; esta capacidad y/o habilidad le ha permitido de manera adaptativa y contundente, establecerse como una especie próspera y dominante en nuestro planeta. Consideraciones de la teoría evolutiva, la sociología, la epistemología genética y la neurociencia coinciden en que esto tiene que ver con la posibilidad de tener un cerebro más desarrollado y con un mayor volumen. Los estados del desarrollo de la corteza cerebral se dieron en condiciones particulares del ser humano, en compañía de otros hombres y con la conjugación favorable de factores externos tales como la alimentación rica en proteínas, la posición bípeda, la posibilidad de dar un nuevo uso a las manos y en general las necesidades propias de cualquier ser vivo en adaptación con el medio. De igual forma, parece que el desarrollo de algún tipo de razonamiento, facilitó en el ser humano el uso de estrategias de comunicación con otros semejantes a él, de tal manera que se estableció el lenguaje con sus implicaciones para la conformación de grupos y la socialización entre sus miembros. En otras palabras, el uso de las habilidades racionales, permitió al hombre establecerse en diferentes sitios, apropiarse de herramientas, disponer de recursos y proponer diferentes estilos de supervivencia acordes con las condiciones

geográficas y físicas en las diferentes latitudes. A estas últimas consideraciones las hemos denominado cultura y expresan, en su condición más general, el modo de ser del hombre en un sitio determinado. Desde los primeros momentos de su vida, el ser humano hace aproximaciones al conocimiento de su mundo (definido en diferentes dimensiones) pasando por etapas de reconocimiento sensorial, en el mundo de los objetos concretos, hasta lograr hacer la transición sistemática desde los objetos físicos al “mundo de las ideas” en donde puede sin dificultad referirse a los objetos y establecer relaciones con diferentes niveles de orden y complejidad para explicar el mundo que lo rodea. Por lo anterior, el ser humano hace uso de las posibilidades y recursos de su capacidad mental para modelar, representar, explicar, plantear hipótesis y solucionar situaciones acerca de la realidad, teniendo en cuenta las propiedades y características que ella posee. Se puede decir entonces, que el razonamiento matemático se convierte en una herramienta que facilita la comprensión del mundo y es vital para la solución de problemas en contextos matemáticos ( y sus afines como las ciencias, las ingenierías y las tecnologías) como en los no matemáticos (resolución de situaciones que describen un contexto con unas reglas o condiciones). DEFINICION Teniendo presente que la matemática es un producto de la experiencia humana, dinámica y en permanente movimiento, se tiene que el razonamiento permite al hombre aprender, conocer y en general dar uso a su actividad cognitiva. Lo anterior, con el propósito de responder al mundo que lo rodea en lo personal, lo social y en general en todos los escenarios que le permiten interactuar con la cultura. En el mismo sentido presentamos las definiciones de razonamiento elaboradas por especialistas:

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“Proceso cognoscitivo que sobre la base de la información obtenida a través de los sentidos, la experiencia, la imaginación y los conocimientos ya adquiridos permite la construcción de nuevos conocimientos. Forman parte de la estructura del razonamiento las premisas, la conclusión y el nexo lógico entre ellos.”2 “Es la capacidad de establecer nuevas relaciones entre conceptos. Estas relaciones se expresan en argumentos; un razonamiento es todo argumento suficientemente fundado que de razón o justifique una propiedad” (Rico, 1995) “El razonamiento es una red que hace parte de los actos de comprensión, a su vez, cada uno de los actos de comprensión está acompañado del razonamiento” (Sierpinska, 1994). “El razonamiento está asociado a la adquisición del significado de conceptos y procedimientos matemáticos que se desarrollan a través de espacios donde la explicación, la justificación y la conjetura son las herramientas que posibilitan su desarrollo” (NTCM, 1991).

externos para nombrar, discurrir o argumentar y a la organización deductiva de proposiciones, definiciones, etc., a partir de una teoría” (Duval, 1998). Dadas las anteriores referencias se reconoce que el razonamiento matemático:      

“El razonamiento está asociado a la comunicación y resolución de problemas. Se entiende como los actos en los cuales el estudiante justifica, conjetura, explica y predice” (MEN, 1998).

“De manera general entendemos por razonar la acción de ordenar ideas en la mente para llegar a una conclusión” (Lineamientos curriculares de Matemáticas, MEN, 1998). “Cualquier proceso que permita sacar nueva información de información dada se considera un razonamiento. Está referido a los procesos discursivos internos o

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Tomado del documento EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO de Dra. Lourdes Valverde Ramírez (Cuba)

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Tiene implícito las labores de conceptualizar, justificar, demostrar, argumentar y elaborar hipótesis y conjeturas. Se pone a prueba en la comunidad y se consolida como postura colectiva en el intercambio de razones y argumentos aceptados como válidos, verdaderos o de mejor razón. Aborda todos los elementos que permiten justificar una teoría en cualquiera de los tipos de pensamiento matemático. Implica ineludiblemente la comunicación, para lo cual se vale de diferentes tipos de lenguaje, de la comunicación oral y escrita y de la representación simbólica y/o gráfica. Apoya la conceptualización de ideas científicas y la formulación de los modelos matemáticos que le sirven de soporte. Establece los elementos básicos para determinar la estructura de los métodos empleados en la solución de problemas. Favorece el desarrollo gradual, sistemático y coherente de redes de relaciones para aumentar la complejidad en la elaboración de un concepto o conjuntos de los mismos. Al respecto y para la geometría, se cuenta con el modelo de clasificación por tipos propuesto por los esposos Van Hiele (Visualización o reconocimiento, análisis o descripción, clasificación: abstracción relacional, deducción formal y el rigor matemático.) Establece vínculos con otras definiciones de razonamiento como son: el razonamiento espacial, visual, geométrico, inductivo y deductivo. Permite dar cuenta del cómo y el por qué de los procesos que se siguen para llegar a determinadas conclusiones. Permite justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.


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El razonamiento se encuentra sistematizado en diferentes etapas de acuerdo con el desarrollo evolutivo y cognitivo del estudiante, de tal manera que se tenga en cuenta que en los primeros años los razonamientos están asociados al contacto directo con los objetos físicos, los gustos, las preferencias, y en los grados superiores, se encuentra más relacionado con abstracciones e ideas. De esta manera, la percepción sensorial ocupa un sitio privilegiado en los razonamientos de los niños pequeños (“comienzos de la visualización matemática que refiere no solo al sentido fisiológico de la visión, también refiere al contexto, a la ubicación dimensional de elementos, al manejo del espacio gráfico y otros, y del mundo”. 3) y en el caso de los jóvenes de secundaria, están referidos a objetos de estudio que aluden indirectamente a los objetos físicos o basados en representaciones de los mismos. En matemáticas se utilizan el razonamiento inductivo y el deductivo. El razonamiento inductivo consiste en observar propiedades específicas de un número limitado de casos particulares y luego concluir que esas propiedades son generales para todos los casos, en este razonamiento se procede de lo particular a lo general. El razonamiento deductivo es un método que consiste en partir de ciertas leyes generales para aplicarlas a casos particulares, en éste hay un conjunto de hechos conocidos y de suposiciones a partir de los cuales otros pueden ser deducidos.

Contribuye a formular hipótesis, hacer conjeturas, y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos. Ayuda a encontrar patrones y expresarlos matemáticamente. Posibilita el utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.

De acuerdo con lo anterior se puede decir que “el razonamiento matemático es el conjunto de estrategias mentales que permite a la persona responder con efectividad, eficacia y eficiencia a la aplicación de conocimientos (conceptos y procedimientos) propios de la matemática”. En el razonamiento matemático se involucra el trabajo mental asociado con el desequilibrio, la asimilación, acomodación y transformación de las estructuras mentales. De acuerdo con el contexto y la cultura, la exteriorización de estos procesos mentales conlleva al individuo en forma inevitable a la elaboración de un discurso propio que le sirva de sustento como preámbulo a la construcción de una teoría. Esto último define prioritariamente las tareas de argumentación, demostración y formulación como elementos constitutivos del proceso de razonamiento.

El proceso de razonamiento matemático se evidencia a través de la demostración, la argumentación y la formulación de hipótesis.

DESCRIPCION “Dentro del contexto de planteamiento y resolución de problemas, el razonamiento matemático tiene que ver estrechamente con las matemáticas como comunicación, como modelación y como procedimientos” (Lineamientos curriculares de matemáticas. Areas obligatorias y fundamentales. MEN, BOGOTA, 1998). Según los estándares básicos de matemáticas y lenguaje, propuestos por el MEN en el año 2003, el razonamiento matemático se compone de tres elementos estructurales: la demostración, la argumentación y la formulación.

DEMOSTRACION “Es bien claro que el ejercicio de la demostración de proposiciones matemáticas, como el de la resolución de problemas, implica tal riqueza de actividades diferentes que no se puede esperar en absoluto poder dar normas que las abarquen. Como 3

DE GUZMAN OZAMIZ MIGUEL, EL RINCON DE LA PIZARRA, http://www.unap.cl/~rmunoz/guzman.htm Madrid España, 2002, Universidad Complutense de Madrid

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en la resolución de problemas, también en el ejercicio de la demostración sólo se llega a desarrollar una cierta capacidad mediante la dedicación reflexiva constante y prolongada a la demostración por uno mismo de proposiciones cada vez más complejas y mediante la observación atenta de las demostraciones que otros matemáticos han elaborado” 4 En general se habla de demostrar en dos horizontes:  Para dar sentido a un juicio, argumento, premisa o conjetura (como soporte de la argumentación y la solución de problemas) y  Para establecer una estructura que permita la validación de una idea enlazando un conjunto de presupuestos válidos mediante el uso de un conjunto de reglas. En el segundo sentido, la elaboración de un procedimiento demostrativo implica la determinación clara de un punto de partida (pregunta clave) y de un punto de llegada o resultado de la demostración. De otra manera, quiere decir que se deben conocer los elementos que constituyen la posición inicial. De este modo se puede pensar que existen diferentes maneras para abordar una demostración de tal manera que se pueden hacer demostraciones directas e indirectas (de un punto inicial a un resultado o comprobación), o se puede partir de la conclusión hasta desglosar los elementos iniciales que le dieron su origen (demostraciones marcha atrás). Es decir, que en general, se puede dar uso al tipo de pensamiento reversible según convenga. En el mismo orden de ideas, se hacen evidentes las relaciones que existen entre la demostración y lo que se entiende por los conceptos de análisis – síntesis, ó los métodos de inducción y deducción ampliamente aplicados en matemáticas, otras disciplinas del saber y la vida cotidiana. El razonamiento así establecido, provee al estudiante los elementos para establecer conjeturas e hipótesis que está en capacidad de poner a prueba, con el 4

http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/ejerciciodemostracion.htm

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propósito de determinar la veracidad o falsedad de una proposición, (un argumento, un juicio, una aseveración entre otros). Finalmente se pretende que el estudiante aprenda los métodos que le permitan justificar en forma articulada un procedimiento (o conjunto de pasos a seguir) empleando las reglas, principios, postulados, axiomas y teoremas mediante los cuales alcanzará la comprobación de sus hipótesis. ARGUMENTACION “Argumento, razonamiento que pretende probar una determinada proposición o tesis. Puede estar fundamentado de varias maneras, y para que sea un argumento correcto, esta fundamentación debe ser adecuada y suficiente. En lógica se habla con mayor precisión de “argumento formal” cuando se considera la estructura formal del argumento, independientemente de su contenido, y esta estructura sigue de un modo preciso las leyes de la lógica formal. Desde Aristóteles es posible distinguir entre argumentos de tipo lógico (donde se tiene en cuenta, fundamentalmente, la estructura formal del argumento) y argumentos probables (que se basan en razones u opiniones generalmente aceptadas). En ocasiones, se identifica argumento con prueba, aunque esta identificación no es correcta. El estudio de la argumentación cobró un importante impulso tras la publicación de Tratado de la argumentación. La nueva retórica (1958), obra de Chaim Perelmann, así como por las aportaciones de la filosofía analítica, que han diseñado una teoría de la argumentación de elevado interés conceptual y que incorpora algunos elementos de la lógica formal en el diseño de argumentos válidos” 5 El uso de argumentos, conducentes a la reflexión o validación de una proposición es una experiencia común en la solución de situaciones de orden cotidiano o matemático. Sin embargo, la argumentación matemática posibilita el manejo de una estructura ordenada que contiene intrínsecamente el modelo de sistema 5

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(elementos, relaciones y operaciones entre los mismos). Está condicionado a la utilización de preconceptos y referentes conceptuales aceptados como válidos en contextos específicos de los sistemas matemáticos y a los tipos de pensamiento que pueden desarrollarse. En esta etapa se considera pertinente el uso de proposiciones encadenadas con presupuestos verdaderos, tratando de encontrar por medio de ellos, el hilo conductor que permite relacionar los elementos iniciales (juicios, proposiciones, hipótesis) de la demostración con lo desea demostrarse. Los argumentos, juicios, razones verdaderas, son relativas al contexto en el que se usan, se emplean en coherencia con el objeto que se desea validar, justificar o demostrar. FORMULACION MATEMATICA “La formulación de hipótesis adecuadas y correctamente fundamentadas en la experiencia es uno de los rasgos esenciales del método científico, desde Galileo e Isaac Newton.”6 Se entiende por formulación matemática, la estrategia mediante la cual por medio del uso de un conjunto operaciones y símbolos (que representan las variables y/o magnitudes que intervienen, los datos suministrados y las restricciones) se representa la totalidad de una situación. Esta representación expresa la síntesis de lo que se estudia y hace explícitas las relaciones entre los diferentes elementos de que se compone un enunciado. Con ella se pretende establecer la regularidad (frecuencia, características, variabilidad de magnitudes) de un evento y/o comportamiento. Es usual que estas relaciones se concreten en representaciones simbólicas conocidas como ecuaciones y/o funciones de acuerdo con una determinada característica. Estas a su vez, son evaluadas para establecer los cambios que suceden si una (o algunas) 6

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de las variables comprometidas presentan algún cambio. De esto último se deriva que se puedan anticipar conclusiones, predecir eventos, encontrar resultados proyectados en el tiempo,

La formulación matemática se estudia hasta el punto de constituirse en verdadero soporte para la explicación de los objetos de estudio (modelación matemática) de diferentes disciplinas. La formulación en general, puede estructurarse en redes de diferentes niveles complejidad de tal manera que para su análisis se requiera del uso de soportes tecnológicos y computacionales que agilicen su evaluación (como los modelos de programación lineal, dinámica, simplex, teoría de juegos, pronósticos y en resumen los vínculos con la teoría de investigación de operaciones, la automatización de procesos y la Inteligencia artificial aplicables a diferentes ciencias). IMPLICACIONES PEDAGOGICAS Propiciar el desarrollo del razonamiento matemático requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación. Alentando a los estudiantes a formular y resolver situaciones relacionadas con su entorno para que puedan ver estructuras matemáticas en cada aspecto de sus vidas. Por ello es imprescindible que en el aula de clases se propicien ambientes donde sea posible la discusión de diferentes ideas para favorecer el desarrollo individual de la confianza en la razón, como medio de autonomía intelectual. Se debe promover en los estudiantes el tratar de crear su propia forma de interpretar una idea, relacionarla con su experiencia de vida, ver cómo encaja con lo que ellos ya saben y qué piensan de otras ideas relacionadas. También es importante el uso materiales concretos puesto que estos ofrecen las bases para entender conceptos y construir significados. Qué tan bien lleguen a entender los(as) estudiantes las ideas matemáticas es mucho más importante que el número de habilidades mecánicas que puedan

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adquirir. Los(as) profesores(as) que ayudan a los niños a desarrollar su capacidad matemática dedican menos tiempo a hablar sobre matemáticas, a asignarles trabajos de práctica de cómputo, y a pedirles que memoricen mecánicamente. En cambio, realizan actividades que promueven la participación activa de sus estudiantes en aplicar matemáticas a situaciones reales. Esos(as) profesores(as) regularmente utilizan la manipulación de materiales concretos para construir comprensión. Hacen a los estudiantes preguntas que promuevan la exploración, la discusión, el cuestionamiento y las explicaciones.

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problema, elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas, reconocer situaciones análogas (es decir, que desde un punto de vista matemático tienen una estructura equivalente), escoger o adaptar la estrategia adecuada para la resolución de un problema, comunicar estrategias, procedimientos y resultados de manera clara y concisa, predecir y generalizar resultados, desarrollar gradualmente el razonamiento inductivo y deductivo, considerando que la demostración en matemáticas es un objetivo que requiere de tiempo y una preparación cuidadosa. De acuerdo con lo anterior se observa que el uso de este proceso:

Razonar es fundamental para saber y hacer matemáticas. El estudiante debe entender que las matemáticas tienen sentido, que no son simplemente un conjunto de reglas y procedimientos que se deben memorizar. Por ese motivo necesitan experiencias en las que puedan explicar, justificar y refinar su propio pensamiento, no limitarse a repetir lo que dice un libro de texto. Necesitan plantear y justificar sus propias conjeturas aplicando varios procesos de razonamiento y extrayendo conclusiones lógicas. Ayudar a que los estudiantes se muevan por etapas entre varias ideas y sus representaciones, es tarea importante del maestro; cómo también lo es, promover en los estudiantes de manera creciente, la abstracción y la generalización, mediante la reflexión y la experimentación, en lugar de ser él el único que explique y que exponga. Parte vital de comprender y razonar en matemáticas conlleva, que los estudiantes discutan, hagan conjeturas, saquen conclusiones, defiendan sus ideas y escriban sus conceptualizaciones, todo lo anterior, con retroalimentación de el(la) profesor(a). Por lo tanto es muy importante promover el trabajo cooperativo y la exposición de ideas donde se escuchen unos a otros, donde las reflexiones de todos sean tenidas en cuenta. El(la) profesor(a) debe ser el más atento al escuchar a sus estudiantes para poder apoyar con sus preguntas y comentarios.

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No sólo se debe centrar en el aprendizaje de procedimientos y técnicas sino que debe fomentar la curiosidad e imaginación creativa. Para lo cual se vuelve indispensable reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un

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Fortalece las perspectivas de trabajo con enfoque constructivista ya que los razonamientos no obedecen a meras repeticiones y se construyen en la interacción con los referentes conceptuales, los pares, el maestro y en general en concordancia con el contexto de trabajo. En los grados inferiores se posibilita la interacción del estudiante con los objetos del entorno físico de tal manera que se haga un frecuente ejercicio de visualización, y de razonamiento espacial acorde con la edad y las características del grado. Se pretende que este tipo de razonamiento, traspase los límites del área para ser funcional en ejercicios interdisciplinarios de tal manera que puedan ser transferidos a los rigores del método científico y las áreas que de él se sirven. Se favorece el desarrollo del lenguaje y las posibilidades de comunicación en contextos significativos para poner a prueba niveles de coherencia y de convicción frente a sus teorías y las de sus pares. El razonamiento matemático en el sentido práctico permite a la persona interactuar con su entorno inmediato para evaluar no solo sus conocimientos matemáticos, sino, además, las formas en que estos le permiten interactuar significativamente y con acierto en situaciones que ameriten el uso de referentes conceptuales matemáticos.


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Preparar al estudiante con el propósito de asumir el reto de conocer disciplinas específicas que nutren sus argumentos empleando formulaciones matemáticas en diferentes niveles de complejidad para la formulación de las leyes de sus saberes. El alumno encontrará evidentes relaciones entre este tipo de razonamiento y la tecnología que logra apoyarlo. Favorecer el aprendizaje (por analogías, crecimiento, reestructuración, ajuste, repetición, ensayo y error, significativo) de las matemáticas como área independiente y como soporte de otras áreas del conocimiento.

3. MODELACIÓN MATEMÁTICA INTRODUCCIÓN Las Matemáticas son principalmente un proceso de pensamiento que implica la construcción y aplicación de una serie de ideas abstractas relacionadas lógicamente. Estas ideas, por lo general surgen de la necesidad de resolver problemas en la ciencia, la tecnología y la vida cotidiana. A través del Subproceso de Modelación Matemática se busca distinguir las diferentes formas o maneras que tienen los estudiantes para representar explícitamente lo que entiende sobre una situación que puede ser expresada por medio del Lenguaje Matemático. Actualmente el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ha tenido grandes cambios los cuales se ven enfocados a la aplicación del conocimiento en situaciones específicas que permitan a cada individuo transformar su entorno de manera efectiva. Lo que nos debe preocupar es que la enseñanza de las matemáticas sea acorde con la realidad y con el entorno en que se desenvuelve el individuo, es decir que se le maneje en la cotidianidad o dicho de otra manera, que el conocimiento matemático le permita resolver problemas presentados en su vida práctica.

De manera que entre a jugar un papel importante el proceso de modelación matemática en las escuelas, ya que a través de este se desarrollará en los y las estudiantes las habilidades para representar e interpretar la realidad, mejorando así el medio de vida de todos. DEFINICIÓN El proceso de modelación matemática ha tenido una historia continua dentro de las mismas matemáticas; algunos profesores han opinado que en el proceso de resolución de problemas está inmerso el proceso de construcción de conceptos, lo cual no está descrito, ni determinado así en los estándares; otros dicen que este proceso se da en la comunicación matemática lo cual también es falso, ya que no se puede confundir el proceso de resolución de problemas que se relaciona con un proceso de aplicación del conocimiento con el omitido, la modelación, que corresponde a la construcción del conocimiento; por lo tanto es importante aclarar esta situación y rescatar este proceso puesto que su aplicación en el aprendizaje y uso de las ciencias son fundamentales. Para explicar su consistencia es necesario inicialmente definir unos términos claves para entrar a describir el proceso de modelación matemática, son ellos: matematización, modelaje y modelo, el cual se expondrá de manera más detallada ya que es el eje central del proceso de modelación. ¿Qué es la Matematización? De acuerdo a lo planteado por los lineamientos curriculares (1998), es el proceso que va desde la formulación matemática del problema hasta su solución y en el cual se traduce el problema al lenguaje matemático. ¿Qué es el Modelaje?

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Para Maria Salett Biembengut y Nelson Hein del Departamento de Matemática de la Universidad Regional de Blumenau – Brasil (2000), el Modelaje Matemático es el proceso involucrado en la obtención de un modelo. Este proceso, desde cierto punto de vista, puede ser considerado artístico, ya que para elaborar un modelo, además del conocimiento matemático, el modelador debe tener una dosis significativa de intuición-creatividad para interpretar el contexto, discernir qué contenido matemático se adapta mejor y tener sentido lúdico para jugar con las variables involucradas. El modelador debe ser un artista al formular, resolver y elaborar expresiones que sirvan no sólo para una solución particular, sino también, posteriormente, como soporte para otras aplicaciones y teorías. A grosso modo, podríamos decir que matemáticas y realidad son dos conjuntos disjuntos y el modelaje es un medio de conjugarlos. ¿Qué es un modelo? La concepción de modelación matemática, y en consecuencia de modelo matemático, se ha modificado a través de la historia en forma paralela al desarrollo mismo de la humanidad, hasta el siglo XI, era comúnmente aceptado que la naturaleza estaba regida por leyes matemáticas, actualmente la tesis se ha invertido y se considera en cambio que las leyes matemáticas son útiles para describir los fenómenos de la naturaleza. Este cambio nos lleva a plantear que las matemáticas nos van a servir para modelar la realidad, bajo determinadas condiciones (restricciones que impone el observador o modelador). Plantean Ariza, Barroso y otros, que la propia idea de modelización matemática o modelación matemática de la realidad lleva aparejada las ideas de incertidumbre y de falibilidad de la resolución matemática de un fenómeno natural, es por esto que el proceso de inducción que se produce en la búsqueda del modelo es básico para una buena descripción de la realidad. Para Perero (1994) la búsqueda de regularidades y propiedades comunes es lo más importante cuando se modela un fenómeno.

Como define Dreyfus (1991), "Para encontrar una representación matemática de un objeto o proceso no matemático, se debe construir una estructura o teoría matemática que incorpore las características esenciales del objeto o proceso. La estructura o teoría, el modelo, puede ser usado en orden a estudiar la conducta del proceso u objeto modelado." Además hay que tener presente, como resalta Perero (1994), las conclusiones a las que se llega en el modelo son solo posibles (de ahí la incertidumbre) y pueden ser refutadas (de ahí la falibilidad) con otros datos. Con estos referentes se puede interpretar que un modelo matemático es el resultado de la búsqueda de regularidades que subyacen en una situación no necesariamente matemática, es decir es el resultado del proceso de modelación matemática, a partir de unas conjeturas o suposiciones iniciales. El modelo da forma matemática a la situación lo que permite aplicar todas las reglas, procedimientos y procesos de las matemáticas (el razonamiento matemático), no crea una identificación entre ambos (no se debe confundir el modelo con la situación real), pero si una correspondencia que permitirá interpretar los resultados del modelo en términos de la situación no matemática estudiada. La Modelación Matemática. ¿Qué es? Según: El M.E.N (1998) Es un proceso muy importante en el aprendizaje de las matemáticas que permite a los estudiantes observar, reflexionar, discutir, explicar, predecir, revisar y de esta manera construir conceptos matemáticos en forma significativa. Treffers – Goffre (citado en los lineamientos curriculares 1998)

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Es una actividad estructurante y organizadora, mediante el cual el conocimiento y las habilidades adquiridas se utilizan para descubrir regularidades, relaciones y estructuras conocidas Maria Salett – Nelson Hein (2000) Es el proceso involucrado en la obtención de un modelo. Este proceso, desde cierto punto de vista, puede ser considerado artístico, ya que para elaborar un modelo, además del conocimiento matemático, el modelador debe tener una dosis significativa de intuición y creatividad para interpretar el contexto, discernir que contenido se adaptan mejor y tener sentido lúdico para jugar con las variables involucradas. Carlos Vasco (2002) Es el arte de producir modelos matemáticos que simulen la dinámica de ciertos subprocesos que ocurren en la realidad. Es el proceso de interpretación y captura de las variaciones de un fenómeno a través de la búsqueda de leyes generales que permitan explicarlo y realizar predicciones sobre el mismo. Pero no es como lo expresa él mismo, armar modelitos de balso o de cartón, ni es dibujar, pintar o modelar en arcilla y plastilina aunque eso ayuda, y menos aún aprender fórmulas de modelos ya inventados o probados por otros, lo cual puede ayudar o estorbar. Por lo tanto se puede decir, de acuerdo a los planteamientos realizados por los diferentes autores, que La Modelación Matemática es un subproceso que permite estructurar y organizar un modelo matemático para describir un fenómeno, solucionar una situación o analizar un objeto. Con la modelación matemática los y las estudiantes pueden aprender Matemáticas como un sistema bien estructurado, ya que a través de esta se obtiene no solamente una imagen simplificada, sino también una imagen que fue de alguna parte de un proceso real pre-existente.

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Tomando como referencia nuestra experiencia y analizando los conceptos propuestos por los autores antes mencionados sobre las etapas, procedimientos y elementos básicos del proceso de modelación matemática, se puede afirmar, que tienen elementos comunes y se complementan en muchos aspectos, que no existe una única forma o un único método para modelar una situación problémica ya que esta depende de muchos factores, sobre todo de la naturaleza del contexto donde esté ubicada la situación; pero se observa en términos generales, que la modelación se desarrolla a través de ciertas etapas o series de procedimientos que son connaturales al proceso; sin embargo, Galbraith (1989) expresa que pueden existir tres enfoques diferentes dentro del mismo subproceso: 

Aplicaciones generalizadas basadas en una aplicación particular: Este es uno de los caminos más utilizados en la escuela secundaria, aquí los(as) educadores(as) usualmente enseñan el modelo y los estudiantes lo manipulan controlando en él diversas condiciones. Se recomienda para que adquieran experiencia en la solución de problemas porque permite: - Reunir, interpretar y analizar información matemática. - Aplicar las matemáticas para modelar situaciones.  Modelaciones estructuradas: Utilizan situaciones de la vida real para desarrollar completamente el proceso. Aquí el (la) educador(a) ejerce un control sobre el modelo, específicamente cuando se va a formular el problema de manera matemática.  Modelaciones abiertas: Permite a los y las estudiantes analizar un problema desde el nivel de matemáticas que ellos conocen desarrollando así todos los pasos del subproceso. Se diferencia del anterior porque aquí el maestro no tiene control sobre lo escogido por ellos, sólo los asiste cuando es necesario. De todas las formas de modelación es la menos usual pues demanda mucho tiempo de trabajo.

DESCRIPCIÓN

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El subproceso de modelación matemática se puede representar a partir del siguiente diagrama: Etapa 1: Planteamiento del problema Etapa 6: Verificar el modelo Etapa 7: Hacer reportes, predicciones y explicaciones Etapa 5: Interpretar la solución

Etapa 2: Hacer conjeturas

Etapa 3: Formular el problema matemáticamente Etapa 4: Resolver matemáticamente el problema

El Subproceso de Modelación Matemática en el Aula de Clases Para trabajar en el aula la modelación, se pueden desarrollar las siguientes etapas:

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Etapa 1: Plantear la situación problema real. Debe ser muy general y con tantos datos como sea posible, aquí se observa y analiza la situación, para comprender y tener en claro sus características. Etapa 2: Hacer conjeturas. Es la parte más valiosa del subproceso y debe hacerse con mucha calma. Aquí se realiza una lista de las variables encontradas en el problema tratando de descartar aquellas que no sean relevantes para su solución. Se puede decir que hay que realizar una serie de acciones tales como:  Clasificar las informaciones identificando los hechos involucrados para poder simplificar, idealizar y estructurar la situación dejándola de tal manera que permita una aproximación a medios matemáticos.  Decidir cuáles son los factores que son perseguidos, sometiéndolos a condicionamientos y suposiciones, haciendo conjeturas y planteando hipótesis. Etapa 3: Formular el problema matemáticamente. La elección del modelo matemático depende de las exigencias del plan de estudios y del tipo de enfoque modelativo que utilice el educador. Aquí él tiene la opción de construir el modelo algebraico con sus estudiantes o facilitarles algún tipo de ayuda tecnológica o de otra índole, que les permita trabajar en él; en el caso de nuestra institución, el estudiante puede además, investigar en los libros, revistas, enciclopedias especializadas, en Internet o con expertos especializados en el tema para poder describir los datos, conceptos, condiciones, suposiciones y relaciones que sean necesarias establecer en términos esquemáticos o matemáticos, es decir matematizar la situación. Etapa 4: Resolver el problema matemático. Se describe el proceso usado por los y las estudiantes cuando se comienzan a manipular los datos del problema. Esto puede significar devolverse a las conjeturas iniciales para modificar los aspectos que se han tenido en cuenta. Etapa 5: Interpretar la solución. Después de obtener la solución o soluciones del problema establecido, el estudiante debe regresar directamente a la situación inicial para asegurarse que se ha encontrado la respuesta al problema teniendo en cuenta las conjeturas hechas.

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Este paso es importante para que el estudiante pueda comprender que la solución dada está enmarcada en el mismo contexto de la situación problema y que no se puede transferir fácilmente a otros problemas. Etapa 6: Verificar el modelo. Se verifican las debilidades y fortalezas del modelo construido desde el análisis de las matemáticas utilizadas hasta la evaluación de las variables usadas y omitidas en el proceso. Etapa 7: Reportar, explicar y predecir. Como parte valiosa del proceso, permite que los y las estudiantes expresen sus ideas utilizando el lenguaje de las matemáticas y de esta manera reflejen su pensamiento matemático que es finalmente nuestro proceso general. Cabe entonces repetir aquí la frase planteada en los lineamientos curriculares: “La capacidad de predicción que tiene un modelo matemático es un concepto poderoso y fundamental en las matemáticas” La modelación matemática es un proceso muy importante en el aprendizaje de las matemáticas que permite a los alumnos observar, reflexionar, discutir, explicar, predecir, revisar y de esta manera construir conceptos matemáticos en forma significativa. En consecuencia, se considera que todos los alumnos necesitan experimentar procesos de matematización que conduzcan al descubrimiento, creación y utilización de modelos en todos los niveles. Se ha visto que la mayoría de las llamadas definiciones que dan los libros son el resultado de un proceso de modelación que si se omite obliga a los estudiantes a aprendérselas de memoria, porque no ha formado el modelo mental en el cual esa definición sí tiene sentido. Si se mira la historia de las matemáticas escolares se ve que la primera modelación de los niños es la del infinito -cuando ven que al contar y contar nunca acaban-, y así se arman un modelo de que los números son infinitos, hecho que podrán formalizar posteriormente. •

Para los niños pequeños no tienen sentido ni el cero natural, ni el cero de conjuntos, ni el cero de comienzo de la recta si no lo han modelado a partir del

conteo en reversa, hasta darse cuenta que allá donde ellos comienzan, debe haber un cero. Éste es un modelo mental. Mientras no lo posean, los niños no sabrán dónde colocar el cero en la recta numérica, si en la primera rayita o en la segunda. • En las medidas, los fraccionarios aparecen en las puntas que sobran, después de medir unas cuantas unidades. No aparecen al comienzo de cero para arriba como nosotros creemos; esta situación hay que modelarla expresamente. • En cualquier problema, cuando uno cree que el alumno no puede pasar de la historia a la ecuación, lo que faltó fue un proceso de modelación de los hechos relatados en la historia. • El estudio de las funciones en la educación básica secundaria tiene más sentido si se hace a partir de la modelación de situaciones de cambio, como se propuso en la Renovación curricular. Es importante que los alumnos se sensibilicen ante los patrones que se encuentran a diario en diversas situaciones, a describirlos y a elaborar modelos matemáticos de esos patrones y a establecer relaciones. Si el estudio del álgebra se hace partiendo de expresiones simbólicas, como se ha hecho tradicionalmente, se está privando al alumno de la experiencia de modelación para llegar a esos sistemas simbólicos. • Se ha visto también que toda la dificultad que tienen los alumnos en la resolución de problemas en geometría, en cálculo, en física, es debido a la falta de cultivar el proceso de modelar mentalmente situaciones de la vida real. IMPLICACIONES PEDAGOGICAS Las Matemáticas, lo mismo que otras áreas del conocimiento, están presentes en el proceso educativo para contribuir al desarrollo integral de los estudiantes con la perspectiva de que puedan asumir los retos del siglo XXI. Se propone entonces en el área de Matemáticas, una Educación Matemática que propicie aprendizajes de

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mayor alcance y más duraderos que los tradicionales, que no sólo haga énfasis en el aprendizaje de conceptos y procedimientos sino en procesos de pensamiento ampliamente aplicables y útiles para aprender cómo aprender.

Es necesario relacionar los contenidos de aprendizaje con la experiencia cotidiana de los alumnos, así como presentarlos y enseñarlos en un contexto de situaciones problemáticas y de intercambio de puntos de vista.

Por otra parte, hay acuerdos en que el principal objetivo de cualquier trabajo en Matemáticas es ayudar a las personas a dar sentido al mundo que les rodea y a comprender los significados que otros construyen y cultivan. Mediante La Modelación Matemática el aprendizaje de los alumnos no sólo desarrolla su capacidad de pensamiento y de reflexión lógica sino que, al mismo tiempo, adquieren un conjunto de instrumentos poderosísimos para explorar la realidad, representarla, explicarla y predecirla; esto se puede implementar en el aula en la medida en que los profesores(as) se familiaricen con el proceso, lo estudien, conozcan su versatilidad y adquieran destrezas en su aplicación; para lo cual el maestro debe observar y distinguir los niveles de estructuración en que se encuentran cada uno de sus estudiantes atendiendo de esta manera con lo que plantea Galbraith. Existen estudiantes con grandes capacidades a los cuales solamente hay que plantearles la situación problémica real y brindarles los elementos de consulta para que ellos solos construyan los modelos; en estos casos la asistencia del profesor es solamente para revisar el proceso. Existen otros estudiantes que en la formulación matemática del problema solicitan la ayuda del profesor pues no han adquirido destrezas necesarias para traducir el lenguaje ordinario al lenguaje matemático, y hay otros estudiantes que poseen pocas estructuras cognitivas, aunque mucho interés, que solicitan la asistencia constante del profesor en todas las etapas del proceso para que lo ayude, pues solo no lo lograrían.

De acuerdo con esta visión global e integral del quehacer Matemático, proponemos los siguientes patrones matemáticos y pedagógicos: 

Los números que en combinaciones lógicas al relacionarse forman sistemas abstractos interesantes y son útiles en gran variedad de modos como lo son los sistemas binarios, que son considerados el lenguaje de las computadoras; los números naturales, que son una abstracción de la cantidad de cosas existentes en un conjunto, pero claro no de los objetos mismos; las fracciones que se usan para designar una parte de algo o comparar dos cantidades; los números negativos que muestran el consecutivo a intervalos iguales a lo largo de una línea recta cuyo centro es el cero, el calcular que permite el manejo de números y otros símbolos para llegar a un nuevo enunciado matemático, estos otros símbolos pueden ser letras que representan números.

Los números y las relaciones entre ellos pueden representarse como enunciados simbólicos, los cuales brindan un medio para modelar, investigar y mostrar las relaciones del mundo real. Esas relaciones se pueden expresar utilizando ilustraciones, diagramas y gráficas, cuadros, ecuaciones algebraicas o palabras. Por ejemplo: el álgebra es un campo de las matemáticas que explora las relaciones entre cantidades diferentes representándolas entre símbolos y manipulando las expresiones que la relacionan; las expresiones simbólicas se pueden manipular por medio de las reglas de la lógica matemática para producir otros con la misma relación, las cuales pueden mostrar algún aspecto interesante de manera más clara; en algunos casos se pretende encontrar valores que satisfagan dos o más relaciones diferentes al mismo tiempo.

El Aprendizaje de las Matemáticas debe posibilitar al alumno la aplicación de sus conocimientos fuera del ámbito escolar, donde debe tomar decisiones, enfrentarse y adaptarse a situaciones nuevas, exponer sus opiniones y ser receptivo a las de los demás.

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Los modelos especiales se pueden representar a través de un grupo muy pequeño de formas y relaciones geométricas que tienen representaciones simbólicas correspondientes. Por ejemplo: los sistemas de coordenadas son esenciales para realizar mapas; las cantidades visualizan longitudes y áreas; la matemática de las relaciones geométricas ayuda en el análisis de estructuras complejas (como moléculas, o alas de avión).

conocimiento matemático y desarrollar múltiples habilidades y destrezas para utilizarlo. Por eso, si nos referimos de manera más específica a las etapas que se desarrollan en el subproceso de modelación, estas pueden ser algunas estrategias que el educador puede usar en el aula para llevarlas a cabo:

El conocimiento sobre la manera en que opera el mundo puede predecir sucesos, por ejemplo: una manera para estimar un evento es considerando los acontecimientos pasados; para estimar la probabilidad se manejan los posibles y distintos resultados de un suceso específico; las probabilidades son muy útiles para predecir proporciones de resultados en grandes eventos.

 Permitir a los estudiantes leer de manera individual la situación y pensar acerca

La información se encuentra alrededor de todos, a menudo en gran cantidad que no es posible darle sentido, sin la ayuda de métodos útiles de organización y análisis para grandes cantidades de datos: por ejemplo la estadística resume una distribución de datos a través de la medida o promedio; con frecuencia se presentan datos resumidos que pretenden demostrar una relación entre dos variables.

Etapa 2:  Recoger una lista de manera individual o grupal de las variables que se involucran en la situación y presentarlas a los estudiantes en el tablero o en acetatos.  Liderar una discusión acerca de la pertinencia de cada una de esas variables en el modelo a construir de tal manera que reduzcan su complejidad.

Algunos aspectos del raciocinio tienen reglas lógicas claras, otros solo poseen principios y otros más tienen espacios enormes para la creatividad; por ejemplo, los argumentos lógicos muy complejos se pueden construir a partir de un pequeño numero de pasos lógicos, los cuales dependen del uso preciso de los términos básicos “si”, “y”, “o” y “no”. Por último se puede afirmar que existe una relación directa entre la forma como las personas usan el conocimiento matemático para solucionar situaciones problémicas y la forma como lo aprendieron; si se lo enseñaron en forma mecánica y lineal sin darle posibilidad de desarrollar capacidades para aprender y para usarlo, le será difícil aplicarlo, caso contrario de quienes aprendieron bajo estrategias pedagógicas que les brindaron la posibilidad real de construir el

Etapa 3:  Permitir que los estudiantes investiguen acerca de la información que poseen y requieren para elaborar el modelo. Se puede hacer valer de textos de las bibliotecas, Internet, revistas, documentos, bibliotecas especializadas, etc. El uso de software, simulaciones, bases de datos u hojas de cálculo también pueden proporcionar datos que los estudiantes pueden seleccionar por considerarlos importantes.  Dirigir el trabajo de los y las estudiantes hacia las palabras de relevancia, luego hacia los valores numéricos y luego hacia las ecuaciones que pueden utilizar para la solución.

Etapa 1:

de lo que se plantea.  Dividir la clase en grupos y permitirles discutir el problema. Algunas técnicas para

la discusión pueden ser: realizar preguntas enfocadas, hacer una lista de palabras no relevantes y determinar que es lo necesario para encontrar su solución.

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Etapa 4:  Permitir que se realicen procedimientos de manera grupal o individual realizando justificaciones de cada uno de los pasos. Etapa 5:  Plantear preguntas que permitan ver con claridad si la respuesta es acorde a lo dado inicialmente y no posible en cualquier situación.  Permitir discusiones de la solución. Etapa 6:  Encaminar exploraciones incrementando variables en el modelo y cambiando las condiciones generales para que se examinen los efectos.  Encaminar exploraciones incrementando variables en el modelo sin cambiar las condiciones generales para que se examinen los efectos. Etapa 7:  Mantener con los y las estudiantes un cuaderno de seguimiento de situaciones o de reportes, el cual mantenga un record de los planteamientos y soluciones.  Promover la realización por clases de reportes de manera individual o grupal.  Mantener discusiones de los reportes hechos en las clases, eso brinda la oportunidad de mostrar el dominio de conocimientos matemáticos y el propósito de las investigaciones hechas.  Implementar el uso de simuladores, software y demás que permitan variar las condiciones, para hacer predicciones. Generalmente la estructura de la modelación permite que se lleve un documento que refleje el progreso de los estudiantes antes de llegar a las predicciones y a la respuesta final, de manera que se evidencie el progreso de los mismos.

4. COMUNICACIÓN MATEMÁTICA INTRODUCCIÓN

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El aprendizaje de la Matemática es un buen aliado para el desarrollo de capacidades no solo cognitivas (de razonamiento, abstracción, inducción, deducción, reflexión, análisis), si no también para el desarrollo de actitudes, tales como la confianza de los (as) estudiantes en sus propios procedimientos y conclusiones, favoreciendo la autonomía de pensamiento; la disposición para enfrentar desafíos y situaciones nuevas; la capacidad de plantear conjeturas y el cultivo de una mirada curiosa frente al mundo que lo rodea; la disposición para cuestionar sus procedimientos, para aceptar que se pueden equivocar y que es necesario detectar y corregir errores; la apertura al análisis de sus propias estrategias de reflexión, de diversidad de procedimientos y de nuevas ideas. Así mismo el aprendizaje de la Matemática contribuye al desarrollo de habilidades comunicativas, que hacen más precisa y rigurosa la expresión de ideas y razonamientos, incorporando en el lenguaje y argumentaciones habituales las diversas formas de expresión matemática y comprendiendo los elementos matemáticos cuantitativos y cualitativos (datos, estadísticas, gráficos, planos) presentes en las noticias, opiniones, publicidad y analizándolos autónomamente. La naturaleza del conocimiento matemático es un tanto diferente de otros, ya que éste, tiene un carácter de abstracción mayor, porque los conceptos y teoremas matemáticos, generalmente no están definidos en forma inductiva sino deductiva. El conocimiento matemático es altamente dependiente de un lenguaje específico, formal; extrae lo esencial de las relaciones matemáticas, lo que atribuye un alto grado de generalización, que lo convierte en un poderoso instrumento de inferencia y por ello de creación de conocimiento. El lenguaje matemático comporta la traducción del lenguaje natural a un lenguaje universal formalizado, lo que permite la abstracción de lo esencial de las relaciones matemáticas implicadas, así como un aumento de rigor que viene dado por la estricta significación de los términos. En el lenguaje natural el sentido de las palabras es mucho más vago e impreciso, términos como largo, estrecho, ancho, pequeño, grande, mucho, entre otros que forman parte del lenguaje natural por expresar magnitudes, no caben en un lenguaje formalizado.

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Al convertir los conceptos matemáticos en objetos más fácilmente manipulables y calculables, se hacen posibles determinadas inferencias que de otro modo serían imposibles. La historia de las matemáticas esta repleta de ejemplos que muestran, cómo la elaboración de conceptos más complejos exigía la formulación de lenguajes más abstractos, que a su vez, posibilitaron nuevos cálculos e inferencias.1 En general se considera, que si los estudiantes entienden el significado de los conceptos y procedimientos matemáticos, no tendrán dificultad para dominar el lenguaje más formalizado, pues, aprender un lenguaje no implica memorizar una serie de reglas sino adquirir un grado de competencia comunicativa, que le permita usarlo adecuadamente. Valoramos la importancia del lenguaje en la construcción de los conceptos matemáticos y entendemos la Matemática como un lenguaje, simbólico, numérico, escrito, oral, gráfico, de diagramas, dibujos, etc. Esto implica que la comunicación es el objetivo básico de su enseñanza y aprendizaje, ya que la relación entre lenguaje y pensamiento expresa no solo el conocimiento sino las formas como éste se aborda, la coherencia del discurso, los argumentos y el desarrollo de procesos.

Cuando establecemos la necesidad de comunicar, propiciamos un acercamiento a través de la opinión, defendiendo a la misma como la manifestación del pensamiento de acuerdo a como se entiende el concepto matemático puesto en juego. Cuando la opinión se hace familiar entre los alumnos, es necesario afianzar el diálogo matemático pasando a una etapa más profunda: la argumentación. Argumentar es manifestar lo que se piensa sobre un objeto matemático dando un fundamento de ese pensamiento con las pocas y precarias herramientas que se tienen, aún cuando no estén en condiciones de ser totalmente verdaderas. A partir de este paso, es necesario propiciar la llegada a la demostración. Demostrar es una solución a un problema planteado usando dos instancias reconocidas como verdaderas: las definiciones y las propiedades. Las Matemáticas y el lenguaje son fundamentales en el desarrollo de los estudiantes e indispensables en el saber y saber hacer todos los días.

DEFINICIÓN Se define la verbalización en Matemática como la posibilidad de dar significado en lenguaje natural a los fenómenos de transformación que se producen sobre los objetos matemáticos (operaciones, propiedades, artificios, condiciones). Y también de entender y expresar el significado de cada palabra relacionada íntimamente con la Matemática, ya sea por ser una expresión simbólica, un gráfico, una tabla, un esquema.

1

Se define comunicación en Matemática a la capacidad de defender un resultado obtenido, de opinar sobre una afirmación o negación dada, de oponerse a una conclusión por considerarla falsa, de asegurar una conclusión como verdadera, remontando conceptos, propiedades, procedimientos y pasos que definen su trayectoria; todo esto expresado en lenguaje coloquial que puede apuntalarse con esquemas, símbolos, gráficos u otras expresiones que clarifiquen lo que se quiere decir.

GOMEZ, Granell Carmen. La educación del lenguaje matemático. Símbolo y significado. Instituto municipal de investigación aplicada a la educación (IMIPAE) Ayuntamiento de Barcelona. Pág 5

DESCRIPCIÓN Para poder comunicar en Matemática, (en forma oral o escrita), se requiere de un vocabulario específico, lo mismo que ocurre en otras ciencias. No dominar ese vocabulario impide toda comunicación. Bien sabemos que la lectura de un texto matemático es muy diferente a la lectura de diarios, revistas, pantalla del televisor,... ¿Por qué la comunicación es muy importante en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática escolar?

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Entre otras razones porque posibilita: recibir y transmitir información; pasar de expresiones informales hasta el lenguaje matemático específico; establecer relaciones entre las distintas formas de representación usadas en Matemática, teniendo en cuenta que se trata de una disciplina que se desarrolla en un espacio mental conceptualizado, en el cual todos sus objetos son abstractos (números, figuras geométricas, funciones, etc.); comprender la necesidad de precisar el vocabulario y compartir definiciones para evitar la ambigüedad que existen en el lenguaje común. En las primeras etapas de la escolaridad obligatoria se privilegia la comunicación oral. En cambio, en las últimas se debe poner énfasis en la comunicación escrita. En efecto, las escrituras matemáticas son cada vez más necesarias como herramienta y como soporte en el momento de tener que comunicar y justificar, por ejemplo, un procedimiento empleado para resolver un problema, o su resultado, o un concepto. Al finalizar la escolaridad obligatoria hay que insistir en las escrituras correctas y en el uso de las convenciones que no son tenidas en cuenta en una comunicación oral como puede ser el empleo de paréntesis, por ejemplo. Los alumnos deberían distinguir los escritos que son para sí y que forman parte de su trabajo privado ,(escritos-memoria),que le quedan con el propósito de recordar reglas, definiciones, procedimientos automatizados, algoritmos, etc., de los escritos convencionales para los cuales necesitan respetar una sintaxis más rigurosa, una vez que ella ha sido aceptada y trabajada. Nos estamos refiriendo a los escritos destinados a ser vistos por otros, como es el caso de las pruebas. Sin ninguna duda el tener que pasar a los escritos en Matemática resulta difícil

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para muchos alumnos. Ello solo es posible después de una etapa previa de verbalización mediatizada por el docente. El lenguaje Entre las diversas formas de representación usadas en Matemática cabe destacar el lenguaje específico que sirve para comunicar las ideas. El lenguaje verbal utiliza las mismas fuentes gramaticales y semánticas que el lenguaje cotidiano pero las emplea de distinta forma y para diferentes propósitos. Basta con recordar por ejemplo, los términos "igual", "semejante", "diferencia", que tienen distinto significado según que sean empleados en la vida diaria o en el aula de matemática. En efecto, para la matemática la igualdad equivale a identidad, semejante significa en geometría que una figura es imagen de otra por una semejanza (transformación)y diferencia, alude también a una resta. O sea, la Matemática no solo emplea un vocabulario específico que hay que conocer y dominar, sino que también es necesario aprender de qué manera se usa en su conjunto y cuáles son las relaciones semánticas que se construyen durante su empleo. Por otra parte el lenguaje común al ser usado en contextos matemáticos genera discusiones como consecuencia de su ambigüedad y falta de precisión. Por ejemplo, el término "y" no significa lo mismo cuando decimos “las rectas A y B son paralelas” que cuando afirmamos el “cuadrado y el triángulo son polígonos”. Lo mismo ocurre con el conectivo gramatical "o". El lenguaje simbólico

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En el caso de la comunicación escrita el lenguaje específico de la Matemática es el lenguaje simbólico, resultado de la combinación de signos, símbolos y términos matemáticos y también de la lógica matemática (los conectivos, los cuantificadores, etc.). En ese sentido el lenguaje conjuntista es un buen recurso para explicar con sencillez ideas matemáticas en los diversos contextos. Ahora bien, adoptar ese lenguaje es lo recomendable, pero hacer un estudio de él como el único fin de la enseñanza de la Matemática, dedicándole gran parte del año escolar, es un abuso y además, es haber perdido de vista los propósitos de la enseñanza de esta disciplina. Debe quedar claro que sólo se trata de un lenguaje y que, como tal se aprende con el uso. Los símbolos se introducen a lo largo de la educación cuando tienen significado para los alumnos. Lo que se pretende es que al llegar al Tercer Ciclo puedan manejarlo con cierta flexibilidad. La teoría constructivista postula que aprender consiste en construir significados, dar sentido a aquello que se aprende y hacer que los alumnos lo realicen a partir de su experiencia personal. El constructivismo es un tipo de aprendizaje cooperativo: es básica la confrontación de ideas que implica la formalización y, por tanto, la utilización de lenguajes. La experiencia y la manipulación son actividades básicas en las clases de Matemáticas en primaria. A través de operaciones concretas como son comparar, clasificar y relacionar, el niño va adquiriendo representaciones lógicas y matemáticas que más tarde valdrán por si mismas de manera abstracta y serán susceptibles de formalización en un sistema plenamente deductivo independiente de la experiencia directa. La primera aproximación a los conceptos matemáticos la realizan los niños de manera intuitiva: no se puede hablar en estos primeros estadios de elaboración de conceptos. A partir de la manipulación y las consiguientes percepciones, los niños reciben informaciones de su entorno y elaboran las primeras imágenes mentales.

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Es en este momento el proceso de aprendizaje cuando entra en juego la comunicación. La expresión ayuda a la concreción del pensamiento. La expresión verbal obliga a los niños a ordenar las imágenes mentales y crea la necesidad de adquirir el vocabulario adecuado. Cuando entra en juego la comunicación escrita, entramos en el mundo de los símbolos matemáticos. De esta manera, el niño va elaborando los conceptos, explicita procedimientos, adquiere el vocabulario matemático correspondiente y se aproxima a la utilización de los símbolos. Consideramos que el niño debe haber explicitado por escrito – ósea, comunicado- muchas Matemáticas, antes de ponerlo en situación de leer un texto escrito por un adulto. Creemos que no es malo que se introduzca la utilización de vocabulario específico ya en las primeras edades, pero siempre que antes se haya creado su necesidad. Todos los términos utilizados por los niños tienen que estar llenos de significado. La enseñanza de las Matemáticas debe conducir al estudiante a explorar, conjeturar, razonar, a expresar sus argumentos y razonamientos clara y coherentemente, debe proporcionarles oportunidades de desarrollar con precisión representaciones orales, escritas, simbólicas, gráficas, etc, y así incorporar en su repertorio un lenguaje matemático en forma progresiva, debe ayudarles a desarrollar la capacidad de leer e interpretar textos y enunciados; relacionando los elementos intervinientes y estos con el lenguaje matemático, debe promover la autodisciplina, la autonomía en la forma como abordan las diversas situaciones matemáticas, esto es de vital importancia, ya que permite que los estudiantes construyan sus propios caminos de razonamiento, sus propias estrategias; potenciando en todo momento la sustentación de las formas analíticas y procedimentales que utilizaron, y que van estructurando cada vez su pensamiento matemático. La experiencia y la manipulación en la enseñanza básica, permite comparar, relacionar y clasificar de tal forma que el estudiante ira adquiriendo representaciones lógicas y matemáticas, que más tarde serán susceptibles de ser

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formalizadas y no requerirán de la experiencia directa, pero siempre será necesaria la expresión verbal ya que obliga a la mente a ordenar las imágenes mentales, a adquirir el vocabulario especializado y finalmente a experimentar la naturaleza de la actividad matemática. En general podríamos decir que: “ La Matemática de la escuela debe buscar la efectiva representación, interpretación, comprensión de información en diversidad de contextos y formas, capitalizando el poder comunicativo de medios como números, tablas, gráficas, dibujos y diagramas “2

“ En la construcción del saber matemático, no son aprovechables todos los aportes de los alumnos en una forma original , hay que orientar y cuestionar (con suavidad) sus conjeturas y afirmaciones de una manera que el estudiante aprecie la necesidad de llegar a conclusiones lógicas acerca de sus actividades y pensamiento matemático” 3

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Se trabaja el área de matemáticas en el preescolar a través de varias modalidades: Whole group activities: Se trabaja bajo esta modalidad cuando se introduce un tema por primera vez. Incluye diálogos, discusiones, preguntas abiertas y participación de todos los niños y niñas.  Small Groups: se emplea esta modalidad cuando el objeto de estudio ha sido previamente introducido. La clase se divide en pequeños grupos donde cada uno trabaja en una actividad diferente de acuerdo a un mismo tema. 

Rotations: Esta modalidad requiere de igual forma que la clase sea dividida, en

este caso, en dos grupos, los cuales rotarán en un mismo día. Se brinda atención personalizada a aquellos niños que presentan dificultades en el tema de estudio. Learning Centers (Math center): Es un área especial dentro del salón de clase la cual los niños tienen la oportunidad de visitar cada 15 días cuando le corresponde el turno a su grupo. Este espacio contiene juegos didácticos para que los niños puedan reforzar y afianzar los conceptos aprendidos.

PRIMARIA Y SECUNDARIA OBJETIVO GENERAL Desarrollar las competencias interpretativas, argumentativas y propositiva mediante la experiencia y análisis de situaciones cotidianas que permitan la comprensión de los contenidos matemático, descubriendo así la aplicación y utilidad de dichos contenidos.

METODOLOGÍA DEL ÁREA PRE ESCOLAR 2

ACEVEDO Myriam y otra. Logros para la matemática escolar. En revista de educación y cultura. FECODE # 36 Marzo 1.995. p.128. 3 Ibid. P.130.

Tradicionalmente los sistemas numéricos, geométricos y aleatorios es donde la mayoría de los estudiantes presentan dificultades es por eso que el día a día se busca nuevas formas de enseñarla. Teniendo en cuenta que en la institución se practica la educación personalizada donde los estudiantes no puede ser un sujeto pasivo que recibe todo de a fuera, sino que está llamado a hacer todo lo que esté a su alcance para ser gestor de su propia historia y de la realidad del entorno. Es un constructor de sí mismo y de la realidad y como principal corriente pedagógica el constructivismo, se utiliza como instrumento metodológico el juego y la resolución de problemas. El juego es una forma de interpretar la vida y el mundo para los niños y en muchas situaciones cotidianas están presentes como son los juegos eléctricos, de azar,

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concurso y demás. Para el diccionario de la Real Academia Española (2001) lo define como ejercicio recreativo sometido a reglas, y en el cual se gana o se pierde. Por tanto, le asocia tres características fundamentales: • Carácter lúdico: Se utiliza como divertimento y deleite sin esperar que proporcione una utilidad inmediata ni que ejerza una función moral. Por ello se organizan adaptados a un interés propio, lo que permite encerrarse en un pequeño mundo alejado de la difícil y complicada realidad. Cuando jugamos, e incluso cuando presenciamos cómo lo hacen otros, abandonamos el incomprensible universo de la realidad dada para encerrarnos en el reducido mundo de factura humana donde todo es claro, intencional y fácil de comprender. (Huxley, citado por Gardner, 1992, pág. 87). • Con reglas propias: Está sometido a reglas propias que han de ser claras, sencillas y fáciles de entender, aceptadas libremente por los participantes y de cumplimiento obligatorio para todos. No obstante, los juegos no son rígidos y las reglas se pueden variar por mutuo acuerdo entre los competidores. • Carácter competitivo: Aporta el desafío personal de ganar a los contrincantes y conseguir los objetivos marcados, ya sea de forma individual o colectiva. La emoción de la competición los hace más excitantes. Aun siendo variadas y profundas las relaciones entre juegos y Matemáticas, las razones principales para utilizar los juegos en el aula son las que enumeramos a continuación (Chamoso y Durán, 2003): 1. Son unas actividades atractivas y aceptadas con facilidad por los estudiantes que las encuentran variadas, las reconocen como elementos de su realidad y les permiten desarrollar su espíritu competitivo. Pueden crear un ambiente lúdico que contribuya a despertar la curiosidad de los alumnos y les

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ayude a disfrutar de la alegría del descubrimiento y el placer del conocimiento. La utilización habitual de juegos y otras actividades recreativas en el aula hará más fácil esquivar el rechazo de algunos estudiantes hacia esta materia y superar bloqueos de otros. Con ello se espera que la clase sea más participativa, práctica, receptiva y amena. Los juegos matemáticos constituyen un material de valor excepcional para la enseñanza de la Matemática. La atracción y el interés que despiertan garantizan el esfuerzo que requiere la investigación matemática. (Guzmán, 1996). 2. Cualquier situación de juego que se plantee en el aula favorecerá el desarrollo social de los estudiantes pues estimulará el trato con otras personas, la colaboración entre iguales y el trabajo en equipo, la aceptación de normas, la comunicación y discusión de ideas, el reconocimiento de los éxitos de los demás y comprensión de los propios fallos. El juego introduce elementos como la novedad, la suerte o la variabilidad. Ello favorece la igualación entre todos, incluido el profesor. Ese ambiente nuevo ayuda a que cambie el papel de los alumnos en el aula, con lo que se favorece una instrucción más cooperativa: cualquier cosa puede afirmarse y todos manipulan, aprenden y enseñan. 3. No se pretende considerar el estudio de juegos porque sí, sino como un tipo de problemas o como una fuente de problemas dentro del movimiento general de resolución de problemas. Los matemáticos valoran los juegos porque se comportan siguiendo unas reglas de forma similar a como las Matemáticas lo hacen en sí mismas (Corbalán, 1998). De hecho, se puede estudiar un paralelismo entre los procesos seguidos al tratar de resolver problemas de la vida real aplicando las Matemáticas y la búsqueda de una estrategia ganadora en los juegos de estrategia. Ambos tienen las mismas fases y permiten ejercitar los mismos hábitos y habilidades por lo que no parece descabellado utilizar los juegos de estrategia para proporcionar herramientas al alumno que serán útiles para la tarea matemática (Gallagher, 1980). 4. Requieren esfuerzo, rigor, atención y memoria, estimulan la imaginación, favorecen la creatividad y enseñan a pensar con espíritu crítico. Fomentan la independencia, desarrollan la capacidad para seguir unas instrucciones, permiten manejar conceptos, procedimientos matemáticos y destrezas de conocimiento en

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Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

general, y favorecen la discusión sobre Matemáticas y un rico uso de formas de expresión. 5. Se recomiendan como generadores de aprendizajes duraderos. Las habilidades adquiridas en condiciones de aprendizaje agradables se retienen normalmente durante periodos de tiempo más largos que las que se adquieren por imposición o en condiciones adversas y no se olvidan después de superar metas a corto plazo como los exámenes (Gallagher, 1980). 6. Pueden ser comprendidos y apreciados sin necesidad de tener muchos conocimientos previos de Matemáticas y provocan situaciones en las que es posible realizar alguna investigación al alcance de todos. Además, permiten una corrección inmediata de la solución pues si no es la apropiada no se llega al resultado deseado (Corbalán, 1998). El objetivo no es jugar sino utilizar los juegos como instrumentos para conseguir los objetivos que se pretenden. No obstante, en las orientaciones didácticas generales se mencionan expresamente los juegos lógicos y matemáticos entre los materiales que se recomienda utilizar. Además, entendidos los juegos como generadores de problemas, las directrices oficiales de Matemáticas. Los juegos que se utilicen deben tener un fin muy especifico esto ayudara a que el estudiante se centre y el docente no pierda el rumbo de la temática que desea desarrollar. Los juegos que más se utilizan son las regletas, el dominó la lotería.

Lo que para algunos es un problema, por falta de conocimientos específicos obre el dominio de métodos o algoritmos de solución, para los que sí los tienen es un ejercicio. Esta cuestión aunque ha sido planteada en varias ocasiones, no parece un buen camino para profundizar sobre la resolución de problemas. R. Borasi (1986), en uno de los primeros intentos en clarificar la noción de problema originada por su interés en mejorar la enseñanza de la resolución de problemas, utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de problemas:    

El contexto del problema, la situación en la cuál se enmarca el problema mismo. La formulación del problema, definición explícita de la tarea a realizar. El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema. El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución.

Tales elementos estructurales pueden dar origen a la siguiente clasificación:

En cuanto a la resolución de problemas es otra forma de enseñar las matemáticas el cual a generado muy bueno resultados en los estudiantes puesto que allí no solo manejaran algoritmos sino también les permiten razonar, analizar emitir juicios y buscar soluciones, pero además, sería clave el hecho de favorecer la intervención del alumno en el descubrimiento de un nuevo concepto o en la discusión de sus propiedades a través de los ejemplos o contraejemplos que él pueda encontrar. Es importante resaltar que un problema no es lo mismo que un ejercicio, este es más complejo y debe conllevar a un análisis profundo de la realidad y de aplicación a esta.

V06-04/2010

Tipo

Contexto

ejercicio

Formulación

Soluciones

Método

inexistente Única y explícita

Única y exacta

Combinación de algoritmos conocidos

Problema con texto

Explícito en el texto

Única y explícita

Única y exacta

Combinación de algoritmos conocidos

Puzzle

Explícito en el texto

Única y explícita

Única y exacta

Elaboración de un nuevo algoritmo


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

Acto de ingenio. Prueba de una conjetura

Problemas de la vida real

En el texto y sólo de forma parcial

Sólo de forma parcial en el texto

Situación Sólo problemática parcial en el texto

Única y explícita

Por lo general Exploración única, pero no del contexto, necesariamente reformulación, elaboración de nuevos algoritmos.

Parcialmente Muchas dada. posibles, de forma aproximada. Algunas alternativas posibles.

Exploración del contexto, reformulación, creación de un modelo

Implícita, se sugieren varias, problemática

Exploración del contexto, reformulación, plantear el

Varias. Puede darse una explícita

problema. Situación

Sólo parcial en el texto

Inexistente, ni siquiera implícita

Formulación

La Didáctica de las Matemáticas (NTI, RTEE) Para el proceso de resolución del problema se orienta al estudiante de acuerdo a las cuatro fases que George Polya propone: comprender el problema, concebir un plan que consiste en buscar un modelo de la vida cotidiana, ejecutar el plan, examinar la respuesta obtenida. Estas dos metodologías han permitido alcanzar grandes resultados en los estudiantes sin embargo pueden variar dependiendo del contexto y los interés de los estudiantes se resalta que cada individuo tiene su estilo de aprendizaje y debe respetarse.

MAPA TEMÁTICO EJES

Creación del problema

CANTIDADES NUMERICAS: Números naturales.

TEMÁTICO S

V06-04/2010


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

GRADO

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º. EJES

RECONOCIMIENTO SIMBOLO

CONTEO

TEMAS

I X X X X X X X X

P X X X X X X X

D

X X X X X X

I X X X X X X X X

P X X X X X X X

D

X X X X X X

CORRESPONDENCIA SIMBOLO CANTIDAD

I X X X X X X X X

P X X X X X X X

D

X X X X X X

ESCRITURA

I X X X X X X X X

P X X X X X X X

D

X X X X X X

VALOR POSICIONAL

I X X X X X X X X

P

D

X X X X X X X

X X X X X X

ORDEN I P D X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES

TEMÁTICO S

V06-04/2010

SERIACIÓN I P D X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

TEMAS GRADO

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

Adición sin reagrupación

I x x x x x x x x x

P

x x x x x x x

D

x x x x x

Adición con reagrupación

I

x x x x x

P

x x x x x

Sustracción sin desagrupación

D

x x x x

I

x x x x x x x

P

x x x x x

D

Sustracción con desagrupación

I

P

D

Multiplicació n I P D

x x x x

x x x

X X X

V06-04/2010

x x

x x x x x

División I

x x x x x

P

x x x x x

Potenciación D

x x x x

I

x

P

x x

D

x x


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

EJES

OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES

TEMÁTICO S

Radicación

TEMAS GRADO

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º.

x

P

x x

D

Logaritmació n

I

x x x

P

x x

D

I

P

D

I

P

x x

V06-04/2010

D

I

P

D

I

P

D

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

10º. 11º. EJES

CANTIDADES NUMERICAS: Números enteros

TEMÁTICO S

Enteros negativos

TEMAS GRADO

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º.

x x

P

x x x

D

Representación de situaciones con negativos

I

x x x x

P

x x x

Representación en la recta

D

I

x x x x

P

x x x

D

Regla de los signos I P D

x x x x

X X X

V06-04/2010

Adición I

x x x x

P

x x x

Multiplicación D

I

x x x x

P

x x x

División

D

I

x x x x

P

x x x

D

x x


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

9º. 10º. 11º.

x x x

x x x

EJES

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

CANTIDADES NUMERICAS: Números fraccionarios

TEMÁTICO S

TEMAS GRADO

Interpretació n

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º.

x x

P

x x x

D

Representació n

I

x x x x x

P

x x x

D

Relaciones de orden I P D

x x x x x

x x x

x x x

Clasificació n I P D

Fracciones equivalentes I P D

Amplificación

x x

x x

x x

X X X

V06-04/2010

x x x

x x x

x x x

I

P

x x x

D

Simplificació n. I P D

x x x x x

x x x

x x x


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x x x x x

x x x x x

x x x x x

EJES

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

Operaciones con números fraccionarios.

TEMÁTICO S

TEMAS GRADO

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º,

Adición con f de igual denominador

Adición con f de diferente denominador

I

I

x x

P

x x x

D

x x

P

Sustracción con f de igual denominador

D

I

x x

P

D

x x x

x x

Sustracción con f de diferente denominador

I

P

V06-04/2010

D

Multiplicació n I

P

D

División

I

P

Potenciación

D

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x

x x x x x x x

x

x x

x x x x x x x

EJES

x x x x x x x

x

X X

x

x x

x x x x x x

x

x x

x x x x x x

x x x x x x

x

x x

x x x x x

Operaciones con números fraccionarios.

TEMÁTICO S

TEMAS GRADO

Radicación

I

P

D

I

P

D

I

P

D

I

P

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º.

V06-04/2010

D

I

P

D

I

P

D

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x

x x

x x x x x

EJES

CANTIDADES NUMERICAS: Números Decimales

TEMÁTICO S

TEMAS

Conversión

Lectura

GRADO

I

P

D

I

P

D

Relaciones de orden I P D

Adición

Representación en la recta

I

P

K4A K4B K5 Tr.

V06-04/2010

D

I

P

Sustracción D

I

P

D

Multiplicació n I P D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x x

x x x

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x

EJES

x x x

x x x x x x x x

X X X

x x

x x x

x x x x x x

x x

x x x

x x x x x x

x

x x

x x x x x x

x x x x x x

CANTIDADES NUMERICAS: Números Decimales

TEMÁTICO S

División naturaldecimal

TEMAS GRADO

I

P

División decimalnatural

D

I

P

D

División decimaldecimal I P D

I

P

K4A V06-04/2010

D

I

P

D

I

P

D

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x

x x

x x x x x x x

x x

x

x x

x x x x x x

EJES

x x x x x x

CANTIDADES NUMERICAS: Números complejos.

TEMÁTICO S Raíces de ecuaciones cuadráticas

TEMAS GRADO

I

P

Propiedades

D

I

P

D

Adición I

P

D

I

P

V06-04/2010

D

I

P

D

I

P

D

I

P

D


Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

EJES

x

x

x

x

x

x

x

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Monomios

TEMÁTICO S

V06-04/2010

Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

Términos

TEMAS GRADO

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

EJES

I

x

P

x x

D

x x x x

Grado

I

x

Valor numérico

P

D

x x

x x x x

I

x x

P

D

x x

x

Adición I P D

x x

X X

x x

x x x x

Sustracción I P D

x x

x

x x x x

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Polinomios

V06-04/2010

Multiplicación I P D

x x

x x

x x x x

División I P D

x

x x

x x x x


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

TEMÁTICO S

Términos

TEMAS

Grado

Valor numérico

Adición

Sustracción

Multiplicación

Productos notables I P D

GRADO

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x

P

x x

D

x x x x

I

x

P

D

x x

x x x x

I

x x

P

D

x x

x

I

P

D

x x

X X

x x x x

x x

V06-04/2010

I

x x

P

D

x

x x x x

I

x x

P

x x

D

x x x x

x

x x

x x x x


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

EJES

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Polinomios

TEMÁTICO S

División

TEMAS

Cocientes notables

Factorización binomios

I

I

GRADO

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º.

x

P

x x

D

x x

x

P

D

x x

x x

x x

P

D

x x

x

Factorización Trinomios

I

P

D

x x

X X

x x

V06-04/2010

Factorización polinomios: factor común

I

x x

P

D

x

x x

Factorización polinomios: factor común por agrupación

I

x x

P

x x

D

x x

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

10º. 11º.

x x

x x

EJES

x x

x x

x x

x x

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: fracciones algebraicas

TEMÁTICO S

Concepto

TEMAS GRADO

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º.

x

P

x

D

x

Simplificació n

I

x

P

D

x

x

Adición I

x

Sustracción

P

D

x

x

I

P

D

Multiplicació n I P D

x

X

x

x

V06-04/2010

x

x

I

P

D

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

9º. 10º. 11º.

x

x x x

x

x x x

x

x

x

X

x x

EJES

x x x

x

x x x

Relaciones y funciones: Función lineal

TEMÁTICO S

Concepto

TEMAS

Propiedades

Dominio y rango

GRADO

I

P

D

I

P

D

I

P

D

Representación gráfica

I

P

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. V06-04/2010

D

Atributos

I

P

D

Ecuación de primer grado una variable I P D

Ecuación de primer grado dos variable I P D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x x x

x x x

x x x

EJES

x x x

x x

X X X

x x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

X X X X

P

D

Relaciones y funciones: Función lineal

TEMÁTICO S

TEMAS GRADO

Sistema de ecuaciones 2x2

Sistema de ecuaciones 3x3

I

I

P

D

P

D

Ecuación de la recta: dos puntos I

P

D

Ecuación de la recta: puntopendiente I P D

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. V06-04/2010

I

P

D

I

P

D

I


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x x x

EJES

x x

x x

x x X x x x X x x x x x Relaciones y funciones: Función cuadrática

TEMÁTICO S

Concepto

TEMAS

Propiedades

GRADO

I

P

D

I

P

D

Representación gráfica

I

P

D

Atributos I

P

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. V06-04/2010

D

Métodos de solución I P D

I

P

D

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x

x

x x x

x

x

x x x

EJES

x x

x x x

x x x

x x

X X X

x x x

x

x

x x x

Relaciones y funciones: Función exponencial

TEMÁTICO S

Concepto

TEMAS

Propiedades

GRADO

I

P

D

I

P

D

Representación gráfica

I

P

D

Atributos I

P

K4A K4B K5 Tr. V06-04/2010

D

Métodos de solución I P D

I

P

D

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x

x

x x x

x

x

x x x

EJES

x x

x x x

x x x

x x

X X X

x x x

x

x

x x x

Relaciones y funciones: Función logaritmica

TEMÁTICO S

Concepto

TEMAS

Propiedades

GRADO

I

P

D

I

P

D

Representación gráfica

I

P

D

Atributos I

P

K4A K4B K5 V06-04/2010

D

Métodos de solución I P D

I

P

D

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x

x

x x x

x

x

x x x

EJES

x x

x x x

x x x

x x

X X X

x x x

x

x

x x x

Relaciones y funciones: Función trigonométricas.

TEMÁTICO S

Concepto

TEMAS

Angulo

Conversión a diferentes sistemas de medidas

GRADO

I

P

D

I

P

D

I

P

D

Relaciones trigonométricas

I

P

V06-04/2010

D

Relaciones trigonométricas inversas

I

P

D

Solución de triángulos rectángulos I P D

Gráfica

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x

x

x x

x

x

EJES

x x

x

x

x x

x

X

x x

x

x

x x

Relaciones y funciones: Función trigonométricas.

TEMÁTICO S

TEMAS

x

Ley del seno

Ley del coseno

Solución de triangulos

Identidades trigonometricas

V06-04/2010

Ecuaciones trigonometrica

x

x x

x

x

x x


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

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GRADO

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º. EJES

s

oblicuangulos

x

P

x

D

x x

I

x

P

D

x

x x

I

x

P

D

x

x x

I

P

D

x

X

x x

I

x

P

D

x

x x

Relaciones y funciones: Clasificación

TEMÁTICO S

V06-04/2010

I

P

D

I

P

D


Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

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Función compuesta

TEMAS GRADO

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 11º.

x

P

x

D

x

Función radical

I

x

Límite de funciónes

P

D

x

x

I

x

Pendiente de funciones: Derivada

P

D

x

x

I

P

D

x

X

x

V06-04/2010

Métodos para hallar de derivadas

I

x

P

D

Antiderivada :integral definida I P D

x

x

x

x

x

integral indefinida I

x

P

D

x

x


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EJES

Sucesiones y progresiones.

TEMÁTICO S

TEMAS

Sucesiones aritméticas

GRADO

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º.

x

P

x

D

x

Términos de una sucesión

I

x

P

D

x

x

Suma de términos en una sucesión

I

x

P

D

x

x

Sucesiones geométricas

Términos de una sucesión geométrica

Suma de términos en una sucesión geométrica

I

P

D

I

I

x

X

x

V06-04/2010

x

P

D

x

x

x

P

x

D

x

I

P

D


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11º. EJES

Razones y proporciones.

TEMÁTICO S

TEMAS GRADO

Fracción como razón

I K4A K4B K5 Tr. 1º. 2º. 3º. 4º, 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º.

x x

P

x x x

D

x x

Proporción. propiedades

I

x

P

x x

Términos

D

I

x x

P

D

x x

x

Magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes inversamente proporcionales

I

P

D

I

x

X

x

V06-04/2010

x

P

D

x

x

Regla de tres simple

I

x

P

x

Regla de tres compuesta

D

x

I

x

P

D

x

x


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11º.

GRADE LEVEL STANDARD:

GRADE: KINDER 4 BIMESTER

To Develop spatial thinking through the application of notions in daily settings and develops number sense identifying numbers 1 to 10.

SUBSTANDARD

Mathematical Modeling and Communication

FIRST Mathematical Reasoning

STANDARD The student will be able to:  Use an appropriate mathematical language with numbers from 0 to 5 in daily situations. (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity,)  Determine and justify answers, procedures and strategies used to sort a set of objects by attributes of color and shape.  Determine and justify answers, procedures and strategies to demonstrate an understanding of positional words, ( inside, outside, on, under).

V06-04/2010

CONTENT

BENCHMARKS The student: -Counts different objects from 1 to 5. -Identifies numbers 1, 2, 3, 4, 5. - Counts and makes groups of 5 objects. -Reads and represents numbers to 5. -Identifies colors: red, blue, yellow. - Identifies shapes: circles, squares, triangles. - Identifies and describes positions: inside, outside, on, under.

Shapes: 2D shapes: triangle, square, circle. Numbers: 1-5 Sets: 1-5 Colors: red, blue, yellow. Positions: inside, outside, under.

on,


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Mathematical Modeling and Communication

 Use an appropriate mathematical language with numbers from 5-7 in daily situations (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity)  Determine and justify answers, procedures and strategies used to sort a set of objects by attributes of color, size, and shape.

SECOND

Mathematical Reasoning

 Determine and justify answers, procedures and strategies to demonstrate an understanding of positional words, (top, middle and bottom.).

V06-04/2010

-Explores ways to sort. -Sorts objects into one group by one attribute. -Counts and recognizes 5, 6, and 7. -Counts and makes groups of 6 and 7 objects.

Shapes: 2D shapes: rectangles. Numbers: 5-7 Sets: 5-7

- Identifies colors like green, orange, purple. - Identifies rectangles.

Colors: green, orange, purple. Positions: top, middle and bottom. Explore sorting

- Identifies and describes top, middle and bottom positions.


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Mathematical Modeling and Communication

Mathematical Reasoning

 Use the appropriate mathematical language with numbers from 6-10 in daily situations. (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity,)  Determine and justify answers, procedures and strategies used to sort a set of objects by attributes of color, size, and shape.

THIRD Mathematical Reasoning

 Determine and justify answers, procedures and strategies to demonstrate an understanding of positional words, (before, between, after).

V06-04/2010

- Identifies and describes which group has more. -Identifies and describes which group has less. -Counts from 6 to 10. - Sorts by color, shape and size. -Follows a rule to sort objects into groups -Explores different kinds of patterns. -Recognizes and copies color patterns. - Recognizes and copies shape patterns. - Recognizes and copies size patterns. -Identifies and describes before, between and after.

Numbers: 6-10 Sets: 6-10 Positions: before, between and after. Patterns (color, shape, size.) Sort objects. More than- less than


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Mathematical Modeling and Communication FOURTH

Use the appropriate mathematical language to describe patterns of color, shape and size by using a wide variety of materials and activities.

- Recognizes and copies color patterns. - Recognizes and copies shape patterns. - Recognizes and copies size patterns

Positions: left and right Patterns (color, shape, size.) Sort objects.

Mathematical Reasoning

Determine and justify answers, procedures and strategies used to demonstrate an understanding of positional words, (left and right).

V06-04/2010

- Identifies and describes left and right positions.


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GRADE LEVEL STANDARD:

GRADE:

KINDER 5 To effectively use mental processes that are based on identifying likeness and differences. To understand and apply basic properties of geometry and number concepts. BIMESTER

SUBSTRANDS

FIRST

Mathematical Modeling and Communication

Mathematical Modeling and Communication Mathematical Reasoning

STANDARDS

BENCHMARKS

CONTENT

The students will be able to:  Use the appropriate mathematical language with numbers from 0-10 in daily situations. (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity.

The student: Identifies numbers.(0- 10)

Unit 1: The Attendance and Calendar Routines.

Counts objects in a set and writes the numeral (0- 10)

Counting numbers of students.

 Use the appropriate mathematical language to recognize, identify and relate 2D and 3D shapes to shapes in their environment. (Square, rectangle, triangle,circle, cone, sphere, prism and cylinder.

Associates numbers with their corresponding quantities.

Shapes: 2D and 3-D shapes: square, rectangle, triangle, circle,

Counts and completes number sequences.

Numbers: 0-10

 Determine and justify answers, procedures and strategies used to sort a set of objects by attributes of color, size, and

Identifies and describes geometric shapes in the environment (square, rectangle, triangle, and circle).

Exploring math manipulatives. Draws objects to complete a set.

Sets: 0-10 Understands number and quantities (0-10). Patterns (color, shape, size.)

V06-04/2010

Unit 2: Counting and Comparing


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shape

Identifies and makes 2-D and 3-D shapes. Compare quantities.

Count set up to 10 objects Comparing lengths and quantities.

Use calendar to count days. Connect numbers names, numerals, and quantities.  Mathematical Modeling and Communication

 Use the appropriate mathematical language with numbers from 0-20 in daily situations. (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity)

Identifies, describes and extends a pattern. Unit 3: What Comes Next? Match, sorts and regroups objects according to attributes:

Repeating Patterns.

Draws objects to complete a set.

Sorting and Classifying Unit 4 Measuring and Counting

SECOND Mathematical Modeling and Communication

 Use the appropriate mathematical language to compare quantities telling if they are: more than, less than,same as or equal to.

Numbers: 0-20 Counting (0- 20). Measuring Lengths. One more, One Fewer Rote count (0-100)

V06-04/2010


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THIRD

Mathematical Modeling and Communication Mathematical Reasoning

Mathematical Modeling and Communication Mathematical Reasoning

Mathematical Reasoning

. Use the appropriate mathematical language with numbers from 0-30 in daily situations. (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity)

Identifies and compares 2D and 3D shapes.

 Determine and justify answers, procedures and strategies to demonstrate an understanding of positional words (up-down, inside-outside. Top-middlebottom)  Use the appropriate mathematical language to interpret and analyze data in graphs. (bar graphs and pictographs).

Unit 5: Make a Shape- Build Block

Understands number and quantities (0-30).

Features of Shapes Construction 2D- 3D Shapes.

Makes groups of objects to 30

Numbers: 0-30

Counts 30 objects demonstrating one to one correspondence.

Sets: 0-30 Rote counts (0-100)

Rote counts to 100 Identifies and describes top, middle and bottom positions.

Positions: up-down, under- on -insideoutside. Top-middle-bottom. Making graphs: bar graphs and pictographs).

Identifies and describes positions: inside, outside, on, under,up,down.Makes and reads real graphs. Reads bar graphs. Sorts and records data.

V06-04/2010


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FOURTH

Mathematical Modeling and Communication

 Use the appropriate mathematical language with numbers introduced this bimester: from 1-30. (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity)

. Identifies, reads and writes numbers (0-30) Understands the concept of: greater than and less than

Mathematical Reasoning

Numbers: 0-30 Sets: 0-30

Skip counts by twos Skip counts by fives

 

Unit 6: How Many Do you Have

Strategies to solve addition and subtraction problems with small numbers.

Skip counts by tens Develop strategies to solve addition and subtraction problems with small numbers.

Counting by 2’s Counting by 5`s Counting by 10´s

Use data to solve problems.

UNIT 7: Sorting and Surveys Representing Data Using data to solve problems.

V06-04/2010


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GRADE LEVEL STANDARD:

GRADE: TRANSITION

BIMESTER

SUBSTRANDS

To develop mathematical thinking through the knowledge of the properties of numbers from 0 to 100, geometry, problem solving strategies, mental math computation and basic concepts of measurement .

STANDARDS

The student will be able to:

BENCHMARKS

CONTENT

Unit 1: How many of each

The student:

Numbers 0-30 Mathematical Modeling and Communication

FIRST

Mathematical Modeling and Communication

 Use the appropriate Counts reads and writes mathematical language with numbers to 30 numbers from 1-30 in daily situations. (sequence, Counts a set of up to 20 reading, writing, relationship objects. between symbol and quantity) Combines two small quantities accurately.  Use the appropriate mathematical language to compare quantities telling if they are: more than, less than,same as or equal to..

Finds more than one combination of two addends for a number up to 10.

Interprets (retell the action and

V06-04/2010

Number combinations to 10 Sets: 0-20 Greater than- less thanequal to Unit 2: Making shapes and designing quilts Shapes: 2 dimensional or flat shapes: triangle, square, circle, oval, rectangle, hexagon,


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Mathematical Reasoning

Mathematical Modeling and Communication

 Determine and justify answers, procedures and strategies used to sort a objects by attributes of color, size, and shape.

 Use the appropriate mathematical language to recognize and identify twodimensional /space shapes.

sequence) and solves addition story problems Compares and order quantities to 12.

Fills a given region in different ways with a variety of shapes. Uses geometric language to describe and identify important features of familiar 2-D shapes. Identifies and describe triangles. Describes and sort 2-D shapes Composes and decomposes shapes.

V06-04/2010

trapezoid.

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Mathematical Modeling and Communication

 Use the appropriate mathematical language to understand and apply basic properties of the concept of numbers 30-50.

Counts a set of 40–50 objects. Rote counts, reads, and writes numbers to 50.

Unit 3 Solving story problems Numbers 30-50 Number combinations to 15

 Use an appropriate mathematical language to explore addition and subtraction of numbers with the use of manipulatives..

SECOND

Mathematical Reasoning

 Determine and justify answers, procedures and strategies used to create and solve problems involving additions and subtraction.

Finds at least 5 combinations of 2 addends for a number up to 15.

Sets 0-50

Combines two small quantities.

Addition and subtraction story problems.

Subtracts one small quantity from another.

Unit 4: What would you rather be

Represents numbers by using equivalent expressions.

Sorting by attributes (color, shape, size) Data handling

Interprets (retell the action and sequence) and solves addition and subtraction story problems.

Unit 5: Fish lengths and animal jumps Measurement: length, height.

Time: The clock Mathematical

 Use the appropriate

Sorts a group of objects

V06-04/2010

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Modeling and Communication

mathematical language to interpret and analyze data

according to a given attribute. Represents a set of data with two categories. Interprets a variety of representations of data with two categories. Describes a set of data including how many are in each group, which group is greater, and how many people responded to the survey.

Mathematical Modeling and Communication

 Use the appropriate mathematical language to use non-standard units of measurement to determine the length and height of objects.

Demonstrates accurate techniques when measuring a distance with nonstandard units. These techniques include starting at the beginning, ending at the end, leaving no gaps or overlaps, measuring in a straight line and keeping track of the number of units. Knows at least one way of describing a measurement that falls between two whole numbers.

V06-04/2010

Time: Days of the week, Months of the year

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Understands that the same result should be obtained when the same object is measured twice or when two different people measure the same object (using the same unit).

Mathematical Modeling and Communication

 Use the appropriate mathematical language to understand the concept of time and how it is measured. (day, month, year, using a calendar, hour)

Understands that measuring with different-sized units will result in different numbers. Recognizes the clock (analog and digital) as a tool to measure time. Creates a clock and identifies the minute and hour hands. Recognizes the calendar as a tool to measure time (days, weeks, months).. Reads time to the hour and half hour on analogue clocks.

V06-04/2010

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THIRD

Mathematical Modeling and communication

 Use the appropriate mathematical language to understand and apply basic properties of the concept of numbers 50-80.  Use the appropriate mathematical language to explain the concept of addition and subtraction.

Counts, reads and write numbers to 80

Unit 6: Number games and crayon puzzles

Finds at least five 2-addend combinations of 10.

Numbers 50-80 Number combinations of 10

Combine two small quantities by counting on. Subtract one small quantity from another. V06-04/2010

Addition and subtraction story problems Addition and subtraction

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(altogether, in all, take away, the difference between, and how many more)

Mathematical Reasoning

Mathematical Modeling and Communication

 Determine and justify answers, procedures and strategies used to add and subtract whole numbers in vertical and horizontal form.

 Use the appropriate mathematical language to recognize and identify patterns.

vertical and horizontal form. Interprets (retell the action and sequence) and solve addition and subtraction story problems. Starts learning how to represent two digit numbers in a multiple of 10 and ones.

Tens and ones Unit 7: Color, shape, and number patterns

Color, shape and movement patterns Constructs, describe, and extend a repeating pattern with the structure AB, ABC, AAB, or ABB. Identifies the unit of a repeating pattern for patterns with the structure AB or ABC. Describes how various AB or ABC repeating patterns are alike (e.g. how is a red-blue pattern like a yellow-green pattern?). Determines what comes several steps beyond the visible part of an AB, ABC, AAB, or ABB repeating pattern.

V06-04/2010

Number patterns: odd and even numbers Skip counting by 2´s 5´s and 10´s

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Constructs, extends, and describes a pattern that has a constant increase for the sequences 1, 3, 5, . . . ; 2, 4, 6, . . . ; 1, 4, 7, . . . ; 2, 5, 8, . . . ; and 3, 6, 9 . . . through counting and building.

Unit 8: Twos, fives and tens FOURTH

 Use the appropriate mathematical language to explain the understanding and application of basic Mathematical Modeling properties of numbers (80and Communication 100).  Use the appropriate mathematical language to explain the understanding and application of basic properties of numbers (80100).

Identifies, read, write, and sequence numbers to 100.

Numbers 80-100 Addition and subtraction to 20

Begins to count by groups in meaningful ways.

Gains fluency with the 2addend combinations of 10.

Addition and subtraction in vertical and horizontal form. Skip counting by 2´s 5´s and 10´s Unit 9: Blocks and boxes 3D shapes

Adds and subtracts whole

V06-04/2010

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Mathematical Reasoning

 Determine and justify answers, procedures and strategies used to add and subtract whole numbers to 20 in vertical and horizontal form.  Use the appropriate mathematical language to recognize and identify threedimensional /space shapes

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numbers to 20. Adds and subtracts in vertical and horizontal form.

Attends to features of 3-D shapes, such as overall size and shape, the number and shape of faces, and the number of corners. Matches a 2-D representation to a 3-D shape or structure.

GRADE LEVEL STANDARD: GRADO: PRIMERO

Create and solve problems in real life situations by using the numbers from 0 to 999, the concept of hundreds ones and tens in the place value number system, adding and subtracting numbers with ease, using mental math computation and basic concepts of measurement, and geometry.

V06-04/2010


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BIMESTER

SUBSTRAND

STANDARDS

BENCHMARKS

The student will be able to:  Attitudinal

Mathematical Modeling and Communication

FIRST

Mathematical Reasoning

Listen, participate actively and commit with their assignments

The student: Listens, participates actively and commits with his/her assignments.

Use an appropriate mathematical language with numbers from 0 to 100 in daily situations.(sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity, counting forward and backward, odd and even numbers and numbers just after, before and between). Determine and justify his/her answers, procedures or strategies to compare measurement objects (length, size, mass) using standard or nonstandard units.

Creation and Problems V06-04/2010

CONTENTS

 

The Student:

    

Understands the relationship between numbers and quantities. Reads and writes 2 digit numbers to 100. Uses efficient strategies to count the number of objects in a set. Counts and orders numbers to 100 Uses sets to illustrate different ways a number can be expressed. Uses groupings of 2’s, 5’s, and 10’s with models and pictures to count collections of objects. Identifies a number that is just before, between, or just

      

Addition´s terms Initial Reading and writing of numbers up to 100 Counting by 2s, 5s, and 10s up to 100. Counting forward and backward Additions and subtractions without regrouping Odd and even numbers. Before, after, between Additions and subtractions problems Measuring using nonstandards and standards units. Sort and compare objects according to length. Data analysis, graphing.


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Solution.

Use manipulatives, drawings, tools to solve addition and subtraction story problems.

 

Use the appropriate mathematical language to interpret and analyze data

   

  

V06-04/2010

after a given number. Define even and odd numbers in terms of groups of two or two equal groups. Uses a number line to count forward or backward. Uses manipulatives to model and discuss addition and subtraction problems Interprets addition and subtraction story problems. Has at least one strategy for solving addition and subtraction story problems. Demonstrates accurate techniques when measuring a distance with nonstandard units Understands that measuring with differentsized units will result in different numbers. Understands length using linear units Measures objects using inches and centimeters. Measures with standard units

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 

The student will be able to: Mathematical Modeling  Listen, participate actively and and Communication commit with their assignments.

SECOND

Mathematical reasoning

Interprets a variety of representations of data with two or more categories Describes a set of data including how many are in each group, which group is greater, and how many people responded to the survey. Creates graphs from data collected in surveys.

The student: Listens, participates actively and commits with his/her assignments

Use an appropriate mathematical language with numbers from 0 to 500 in daily situations.(sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity, counting forward and backward, place value) 

Solve additions and subtractions of one-two digit applying the correct

V06-04/2010

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 Understands the relationship between numbers and quantities.  Counts and orders numbers to 500.  Uses sets to illustrate different ways a number can be expressed.  Reads and writes 3 digit numbers to 500.

 Initial Reading and writing of numbers up to 500.  Skip counting by 2s, 5s, and 10s up to 500.  Counting forward and backward  Odd and even numbers.  Place value  Ones , tens and hundreds  Two digit additions without regrouping.  Two digit subtractions without regrouping.  Addition and subtraction story problems.


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algorithm understanding the properties of addition and subtraction  Solve addition and subtraction

Creation and problems Problems using manipulatives, solution. drawings and tools.

 Recognize the basic concepts of

geometry (lines, angles, vertex).

V06-04/2010

 Uses groupings of 2’s, 5’s, and 10’s with models and pictures to count collections of objects.   Define even and odd numbers in terms of groups of two or two equal groups.  Builds understanding of place value (ones, tens, hundreds).  Identifies the place value of a digit in a whole number.  Uses manipulatives to model and discuss addition and subtraction problems.  Identifies a number that is just before, between, or just after a given number.  Uses a number line to count forward or backward.  Uses the terms addition, subtraction, sum and difference when solving problems.  Writes an appropriate equation for a given problem.  Solves problems in

Geometry Straight and curved lines, dots, angles and vertex


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   

The student will be able to: Mathematical Modeling  Listen, participate actively and and Communication commit with their assignments.

reasonable ways and justify their reasoning. Solves two digit additions and subtractions without regrouping. Recognizes curved and straight lines. Understands the meaning of angles and vertex. Understands a line as a unions of many dots.

The student: Listens, participates actively and commits with his/her assignments

 Use an appropriate mathematical

Mathematical Reasoning

language (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity, counting forward and backward, place value, bar graphs, pictographs.) with numbers from 0 to 999 in daily situations.

THIRD  Solve additions and subtractions

using manipulatives, drawings,

V06-04/2010

Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

 Understands the relationship between numbers and quantities.  Reads and writes 3 digit numbers to 999  Counts and orders numbers to 999.  Uses sets to illustrate different ways a number can be expressed.

 Initial Reading and writing of numbers up to 999.  Skip counting by 2s, 5s, and 10s up to 999.  Counting forward and backward  Story problems.  Before, after, between  Two digit addition with regrouping.  Two digits subtractions with regrouping.  Three digit addition without regouping


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tools to show strategies and solutions. Creation and problems  Write and solve problem situations solution. that express relationships involving addition and subtraction.

Identify 2D geometric shapes makes difference between quadrilaterals and triangles, find the area of a quadrilateral and explore mirror symmetry.

V06-04/2010

 Builds understanding of place value (ones, tens, hundreds).  Identifies the place value of a digit in a whole number.  Recognizes equivalence in sets and numbers 1-999.  Uses groupings of 2’s, 5’s, and 10’s with models and pictures to count collections of objects.  Uses manipulatives to model and discuss addition and subtraction problems.  Identifies a number that is just before, between, or just after a given number.  Uses a number line to count forward or backward.  Uses the terms addition, subtraction, sum and difference when solving problems.  Writes an appropriate equation for a given problem.  Solves two digit addition with regrouping.

 Data analysis, graphing

Geometry.  2 dimensional or flat shapes: triangle, square, circle, oval, rectangle, hexagon, trapezoid. And their common elements (angle, vertex, sides).  Area.  Symmetry


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 Solves three digits additions without regrouping.  Solves two digits subtractions with regrouping.  Identifies rectangles as four- sided shapes with four right angles.  Uses geometric language to describe and identify important features of familiar 2-D shapes.  Describes and sort 2-D shapes.  Find the area of a quadrilateral shape.  Makes a symmetrical picture based on and image provided

Mathematical Modeling and Communication

The student will be able to: 

Listen, participate actively and commit with their assignments. 

The student: Listens, participates actively and commits with his/her assignments  Solves three digit additions

Solve three digit additions and V06-04/2010

 Three digits additions without regrouping.  Three digits subtractions without regrouping.  Three digits additions with


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subtractions regrouping accurately and efficiently.

FOURTH

Mathematical Reasoning

Solve addition and subtraction problems with totals to 999.  

Use the appropriate mathematical language to recognize and identify threedimensional /space shapes. Creation and Problems Solution.  Explore and estimate time in daily events and identify time in the hour, half hour and five minutes.

      

V06-04/2010

regrouping. Solves three digit subtractions regrouping Uses the terms addition, subtraction, sum and difference when solving problems. Writes an appropriate equation for a given problem. Solves problems in reasonable ways and justify their reasoning. Writes a story problem from a given equation. Constructs, describe, and extend a repeating pattern. Associating time in daily events. Reads time to the hour and half hour on analogue clocks. Recognizes the calendar as a tool to measure time (days, weeks, months). Recognizes the clock (analog and digital) as a tool to measure time.

     

regrouping. Three digits subtractions with regrouping Story problems Counting forward and backward. Time, o’ clock, half an hour. Pattern Data analysis, graphing.

 Time events.  Days of the week

 Months of the year Geometry  3 dimensional shapes: cone, sphere (vertex, faces and edges).


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 Identifies the number of faces on a rectangular prism and show which faces are congruent.  Attends to features of 3-D shapes, such as overall size and shape, the number and shape of faces, and the number of corners.

GRADO:

GRADE LEVEL STANDARD:

SEGUNDO

Create and solve problems in real life situations by using the numbers from 0 to 10000, the concept of ones and tens in the place value number system , number relationships in addition and subtraction, simple concepts of multiplication, geometry, mental math computation and standard units of measurement.

BIMESTER

SUBSTRAND

Mathematical Modeling and Communication

STANDARDS

BENCHMARKS

Listen, participate actively and commit with their assignments.

-

Listens, participates actively and commits with his/her

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CONTENTS NUMBER SENSE Numbers up to 1000. Counting on:


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Mathematical Reasoning

Use an appropriate mathematical language (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity, counting forward and backward, place value) with numbers from 0 to 1000 in daily situations.

Mathematical Reasoning

Determine and justify his/her answers, procedures or strategies to organize and interpret collected data from a survey.

FIRST

Creation and Problems Solution.

Solve three digits additions with regrouping applying the correct algorithm.

-

Write and solve number sentences from problem situations that express relationships involving addition.

-

-

-

assignments. Understands the relationship between numbers and quantities. Uses efficient strategies to count the number of objects in a set. Counts and orders numbers to 1000. Uses sets to illustrate different ways a number can be expressed. Reads and writes 3 digit numbers to 1000. Compares and orders sets and numbers. Builds understanding of place value (ones, tens, hundreds). Identifies the place value of a digit in a whole number. Recognizes equivalence in sets and numbers 1-1000. Uses groupings of 2’s, 5’s, and 10’s with models and pictures to count collections of objects. Identifies a number that is just before, between, or just after a given number. Uses a number line to count forward or backward. Solves three digits additions with regrouping.

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Count by 2s, 5s, and 10s to 1000. Counting forward and backward Before, after, between Reading and writing of numbers up to 1000 Place value Ones , tens and hundreds Three digits additions with regrouping. STATISTICS, DATA ANALYSIS. Surveys´ design. Collection of data and record the results using bar graphs. Data representations using set of values.


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-

-

Mathematical Modeling and Communication

Mathematical Reasoning SECOND

Listen, participate actively and commit with their assignments. Use an appropriate mathematical language with numbers up to 9,999 in daily situations. (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity, counting forward and backward, place value)

-

Determine and justify his/her Mathematical Reasoning answers, procedures or strategies to solve three digit subtractions with regrouping.

Creation and Problems solution.

Solve three digit additions with regrouping applying the correct algorithm.

-

Write and solve number sentences

-

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Collects data and records the results using bar graphs. Represents the same data set in more than one way (e.g., bar graphs and charts with tallies). Asks and answers simple questions related to data representations. Listens, participates actively and commits with his/her assignments. Understands the relationship between numbers and quantities. Uses efficient strategies to count the number of objects in a set. Counts and orders numbers to 9,999. Uses sets to illustrate different ways a number can be expressed. Reads and writes 4 digit numbers to 9,999. Builds understanding of place value (ones, tens, hundreds, thousands). Identifies the place value of a digit in a whole number. Uses groupings of 2’s, 5’s, and

V06-04/2010

NUMBER SENSE ALGEBRA AND FUNCTIONS Numbers up to 10000. Counting on: Count by 2s, 5s, and 10s to 10000. Counting forward and backward Before, after, between Reading and writing of numbers up to 10000 Place value Ones, tens, hundreds and thousands. Three digits additions with regrouping. Three digits subtractions with regrouping.


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from problem situations that express relationships involving addition and subtraction.

-

10’s with models and pictures to count collections of objects. Identifies a number that is just before, between, or just after a given number. Uses a number line to count forward or backward. Writes an appropriate equation for a given problem. Solves problems in reasonable ways and justify their reasoning. Solves three digits additions with regrouping. Solves three digit subtractions with regrouping.

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Mathematical Modeling and Communication

Mathematical Reasoning THIRD

Listen, participate actively and commit with their assignments.

-

Use an appropriate mathematical language to represent and solve a repeated addition using a multiplication.

-

Solve multiplications by one digit applying the correct algorithm.

Mathematical Reasoning

Creation and Problems Solution.

Determine and justify his/her answers, procedures or strategies to classify two- dimensional and threedimensional shape according to their features. Create and solve problems involving multiplication and length units.

-

-

-

Listens, participates actively and commits with his/her assignments. Uses repeated addition, arrays, and counting by multiples to do multiplication. Knows the multiplication tables of 2s, 5s, and 10s (to “times 10”) and commits them to memory. Uses the multiplication rules to simplify calculations and to check results. Solves simple problems involving multiplication of multidigit numbers by onedigit number. Identifies angles in geometric shape or in appropriate objects. Measures the length of objects by iterating (repeating) a nonstandard or standard unit.

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NUMBER SENSE Multiplication. Multiplication as a repeated addition. Multiplication terms. Rules to multiply. Multiplication of multidigit numbers by onedigit numbers. Problems GEOMETRY Kinds of polygons and their characteristics. Angles. Kinds of angles according to polygons and solid geometric shape. MEASUREMENT Lenght


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Mathematical Modeling and Communication

Mathematical Reasoning

Listen, participate actively and commit with their assignments.

-

Use an appropriate mathematical language to represent and solve a situation related to equal groups using a division.

-

-

Solve divisions by one digit applying the correct algorithm. -

FOURTH Mathematical Reasoning

Determine and justify his/her answers, procedures or strategies to represent parts of a set and parts of a whole. -

Creation and Problems Solution.

Create and solve problems involving division or multiplication. -

-

Listens, participates actively and commits with his/her assignments. Uses equal sharing, and forming equal groups without remainders to do division. Uses the inverse relationship of multiplication and division to compute and check results. Recognizes fractions of a whole and parts of a group (e.g., one-fourth of a pie, twothirds of 15 balls). Solves division problems in which a two-digit number is divided by a one-digit number (15 ÷ 5 = __). Understands the special properties of 0 and 1 in multiplication and division. Determines the unit cost when given the total cost and number of units.

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NUMBER SENSE Division as equal parts. Forming equal groups. Multiplication and division Problems


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GRADO: TERCERO

BIMESTER

GRADE LEVEL STANDARD: By the end of grade three, students deepen their understanding of place value and their understanding of and skill with addit ion, subtraction, multiplication, and division of whole numbers. Students measure and describe objects in space. They describe and compare simple fractions. They use patterns to help solve problems. They represent number relationships and conduct simple probability experiments. SUBSTRAND

Attitudinal PRIMERO

Mathematical Modeling and Communication

Mathematical Reasoning

Mathematical Reasoning

STANDARDS

BENCHMARKS

Listen, participate actively and commit with their assignments.

Listens, participates actively and commits with his/her assignments.

Use an appropriate mathematical language (sequence, reading, writing, relationship between symbol and quantity, counting forward and backward, place value) with numbers from 0 to 99.999 in daily situations. Determine and justify his/her answers, procedures or strategies to sort, classify objects and represent sets.

Solve five digit additions and subtractions with or without regrouping applying the correct algorithm.

Counts, reads, and writes whole numbers to 99,999. Compares and orders whole numbers to 99,999. Identifies the place value for each digit in numbers to 99,999. Rounds off numbers to 99,999 to the nearest ten, hundred, and thousand. Uses expanded notation to represent numbers. Classify objects by attribute and identify objects that do not belong to a particular group. Use a Venn Diagram to represent

V06-04/2010

CONTENTS

NUMBER SENSE Numbers up to 99,999. Counting on: Count by 2s, 5s, and 10s to 99,999. Counting forward and backward. Before, after, between Reading and writing of numbers up to 99,999 Place value Ones, tens, hundreds, one thousands and ten thousands. Five digit additions and subtractions with or without regrouping. VARIATIONAL THINKING AND ALGEBRAIC SYSTEM Sets. Determination and representation. Belongs to /not belong Intersection - union


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Creation Solution.

and

Problems

Write and solve number sentences from problem situations that express relationships involving five digit additions and subtractions

sets. Solve operations between sets.

Attitudinal Listen, participate actively and commit with their assignments. Mathematical Modeling and Communication SEGUNDO Mathematical Reasoning

Mathematical Reasoning

Solve multidigit numbers by two and three-digit numbers multiplications applying the correct algorithm.

Creation solution.

Write and solve number sentences from problem situations that involve multiplication.

and

Problems

Listens, participates actively and commits with his/her assignments.

Use an appropriate mathematical language to choose and use appropriate units and measurement tools to quantify the properties of objects. Determine and justify his/her answers, procedures or strategies to solve multiplications of groups of ten, hundred and thousand.

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Understands and uses the special properties of 0 and 1 in multiplication. Find the product of multidigit numbers by two and three-digit numbers applying the correct algorithm. Solves multiplications of groups of ten, hundred and thousand. Identifies multiples of a given number. Chooses the appropriate tools and units and measure the length, of given objects. Carries out simple unit conversions within a system of measurement.

V06-04/2010

NUMBER SENSE Multiplication. Multiplication properties. Multiplication of multidigit numbers by two and three-digit numbers. Multiplying groups of ten, hundred and thousand. Problems using multiplication. Multiples. MEASUREMENT AND GEOMETRY Meter and its sub-multiples Conversion of length measures from a bigger unit to a smaller one.


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Attitudinal Mathematical Modeling and Communication Mathematical Reasoning Mathematical Reasoning

TERCERO

Listen, participate actively and commit with their assignments.

Shares into equal groups.

Use an appropriate mathematical language to establish relations between straight lines. Solve divisions with and without remainder of a multidigit number by a one digit number applying the correct algorithm. Determine and justify answers, procedures or strategies when measuring and classifying angles. Create and solve problems involving divisions.

Uses graphs to represent equal and unequal groups. Identify division terms. Solves divisions with and without remainder. Uses division to represent situations that require even divisions. Analyzes and solves division problems in which a multidigit problem is evenly divided by a one digit number. Recognizes and makes parallel and perpendicular straight lines. Identify right angles in geometric figures or in appropriate objects and determine whether other angles are greater or less than a right angle.

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NUMBER SENSE Divisions Divisions with and without remainder of a multidigit number by a one digit number. Divisors Problems using divisions. Prime numbers. MEASUREMENT AND GEOMETRY Perimeter concept. Area of solid figures (squares, triangles, rectangles). Relationship between parallel and perpendicular lines. Kinds of angles according to their width


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CUARTO

Attitudinal Mathematical Modeling and Communication Mathematical Reasoning Mathematical Reasoning

Listen, participate actively and commit with their

Listens, participates actively and commits with his/her assignments.

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STATISTICS, DATA ANALYSIS Certain, likely, unlikely, or improbable events. Data organization and creation of graphs.

are certain, likely, unlikely, or improbable. Use an appropriate mathematical language to represent fractions. Solve addition and subtraction of fractions with equal denominator applying the correct algorithm. Determine and justify his/her answers, procedures or strategies when determining the probability of an event. Create and solve fraction addition and subtraction problems.

Summarize and display the results of a survey in a clear and organized way with a bar graph or a line plot). Recognizes fraction as part of a whole. Represent a given fraction by using drawings. Compares fractions. Solve addition and subtraction of fractions with equal denominator

V06-04/2010

NUMBER SENSE Fractions. Meaning of fractions. Fraction as part of a whole. Comparing Fractions. Related fractions. Addition and subtraction of fractions with equal denominator.


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GRADO: CUARTO PERIODO

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LOGRO DEL GRADO Resuelve y formula situaciones problémicas cuya estrategia de solución requiera de las distintas representaciones de un mismo número (naturales, fracciones y decimales), de las relaciones, de las propiedades y/o de las operaciones entre estos. SUBPROCESOS

LOGROS Que el/la estudiante:

Actitudinal

Comunicación y Modelación Matemática PRIMERO Razonamiento Matemático

Razonamiento Matemático.

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados. Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de resolver adiciones entre cantidades de 5 o más cifras. Aplique los algoritmos necesarios en la solución de sustracciones reagrupando entre cantidades de 5 o más cifras. Utilice el lenguaje matemático apropiado para representar e interpretar gráficos estadísticos

Resolución y Formulación de

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INDICADORES DE LOGROS El estudiante: -Lee y escribe cantidades con 5 o más cifras -Ubica en la tabla de posiciones cantidades hasta los billones. -Reconoce los términos de la adición -Ubica varios sumandos en forma vertical. -Resuelve adiciones sin agrupación y con agrupación -Reconoce los términos de la sustracción -Ubica en forma vertical los términos de una sustracción. -Resuelve sustracciones sin reagrupación y con reagrupación. -Representa mediante una adición situaciones que requieren agrupar objetos. -Soluciona situaciones aplicando la adición -Representa mediante una

EJES TEMÁTICOS PENSAMIENTO NUMÉRICO Operaciones entre números naturales - Adición - Sustracción - Igualdades - Ecuaciones -Solución de situaciones problemas. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMA DE DATOS -Recolección y tabulación de datos estadísticos. -Representación gráfica de datos estadísticos. (pictograma, barra, circular, líneas).


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problemas Formule y resuelva situaciones problémicas que requieren la aplicación de las operaciones de adición y /o sustracción entre números naturales.

Actitudinal

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

SEGUNDO Comunicación y Modelación Matemática

Utilice el lenguaje matemático apropiado para representar mediante una multiplicación situaciones de la vida cotidiana.

Razonamiento Matemático.

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sustracción situaciones que requieren comparar cantidades, retirar objetos de un conjunto, disminuir una cantidad. -Soluciona situaciones aplicando la sustracción. -Establece la relación existente entre la adición y la sustracción. -Soluciona situaciones complejas aplicando 2 o más operaciones (adiciónsustracción). -Realiza encuestas sencillas. Organiza datos estadísticos en tablas y gráficos (de barras, de puntos, de líneas).

-Representa en forma abreviada sumas de sumandos iguales -Reconoce la multiplicación como una suma abreviada Identifica situaciones problémicas que se pueden resolver mediante la multiplicación -Utiliza gráficos para dar solución a situaciones multiplicativas. -Resuelve multiplicaciones con dos y tres cifras en el segundo factor -Halla el MCM

PENSAMIENTO NUMÉRICO Operaciones entre números naturales -Multiplicación -Ecuaciones - Múltiplos y MCM -Solución de situaciones problema. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMA DE DATOS Medidas de tendencia central


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Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de problemas

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de resolver multiplicaciones con dos y tres cifras en el segundo factor.

Aplique los algoritmos necesarios para hallar la moda, la media y la mediana en un conjunto de datos.

Formule y resuelva situaciones problémicas que requieren la aplicación de la unión, intersección y diferencia entre conjuntos.

-Aplica la multiplicación al solucionar situaciones problémicas

- moda -media -mediana

-Explica el concepto de moda, media y mediana -Extrae información de tablas y gráficos estadísticos que permita determinar la moda, la media y la mediana de estos

LÓGICA Y TEORIA DE CONJUNTO Conjuntos

-Representa situaciones utilizando diagramas de Venn. -Identifica los elementos que pertenecen y no pertenecen a un conjunto. -Determina los conjuntos por extensión y por comprensión. -Resuelve situaciones que requieran las operaciones entre conjuntos. -Relaciona conceptos de las operaciones entre conjuntos con situaciones de la vida real.

-Representación de conjuntos. - Relaciones de pertenencia y de contenencia. -Determinación de conjunto: (extensión y comprensión) Operaciones entre conjuntos - Unión e intersección de conjuntos. -Diferencia entre conjuntos.

. Actitudinal

Comunicación y Modelación

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados. Utilice el lenguaje matemático

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-Diferencia las acciones repartir, dividir y fraccionar. -Reparte equitativamente una colección de objetos. Identifica los términos de la división. -Representa repartos equitativos

PENSAMIENTO NUMÉRICO Operaciones entre números naturales -División -Ecuaciones -Divisores y MCD


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Matemática TERCERO

apropiado para representar mediante una división situaciones de la vida cotidiana.

Razonamiento Matemático Aplique los algoritmos necesarios en la solución de divisiones con dos cifras en el divisor.

en forma de división. -Reconoce la división como operación inversa a la multiplicación. -Resuelve divisiones con dos cifras en el divisor -Halla el MCD -Aplica la división al solucionar situaciones problémicas dadas.

Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de problemas

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de hallar la posibilidad de ocurrencia de un evento. Formule y resuelva situaciones problémicas que requieren la aplicación de la probabilidad.

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-Clasifica y proporciona información sobre un conjunto de datos mediante arreglos ordenados y desordenados. -Justifica estrategias y procedimientos para la correcta interpretación de los sucesos en los que interviene el azar. -Calcula la probabilidad de algún suceso.

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-Solución de situaciones problema. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMA DE DATOS Sucesos y Probabilidad -Distintos tipos de arreglos. -Sucesos en los que interviene el azar. -Casos seguros, posibles e imposibles. -Probabilidad de un suceso.


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Actitudinal

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

Comunicación y Modelación Matemática

Utilice el lenguaje matemático apropiado para representar en forma gráfica y numérica una fracción

Razonamiento Matemático

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de hallar fracciones equivalentes mediante la amplificación y simplificación

CUARTO Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de problemas

Aplique los algoritmos necesarios en la solución de operaciones entre números fraccionarios. Formule y resuelva situaciones problémicas que requieren la aplicación de operaciones entre números fraccionarios

V06-04/2010

-Reconoce una fracción como parte de un todo: la unidad y/o un conjunto -Establece relaciones entre las partes y el todo de un objeto o conjunto. -Representa gráfica y numéricamente una fracción dada. -Identifica los términos de un número fraccionario. -Amplifica una fracción -Simplifica una fracción. -Halla fracciones equivalentes. -Verifica si dos fracciones son equivalentes. -Compara fracciones. -Resuelve operaciones entre números fraccionarios. -Plantea y resuelve problemas aplicando operaciones de fracciones homogéneas y heterogéneas -Reconoce una fracción decimal

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PENSAMIENTO NUMERICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS. Fracciones -representación y comparación - Fracción como parte de la unidad y de un conjunto. - Términos de la fracción. - Fracciones equivalentes: (amplificación y simplificación) - Operaciones con números fraccionarios: Adición ,sustracción, multiplicación y división. - Problemas de aplicación.

- Fracciones decimales


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GRADO: QUINTO PERIODO

LOGRO DEL GRADO Resuelve operaciones con números naturales, fraccionarios y aplica las razones y proporciones, haciendo además uso de la estadística como herramienta para la solución de situaciones problémicas. SUBPROCESOS

LOGROS Que el (la) estudiante:

Actitudinal

Comunicación y Modelación Matemática

PRIMERO

Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados Aplique el algoritmo de la división para Solucionar situaciones problemicas

Razonamiento Matemático Utilice el lenguaje matemático apropiado para hallar el MCM y MCD Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de resolver adiciones, sustracciones, multiplicaciones y/o divisiones con fracciones.

V06-04/2010

INDICADORES DE LOGROS

EJES TEMÁTICOS

El estudiante: -Realiza divisiones por lo menos hasta de 2 cifras en el divisor. -Aplica la división para darle solución a una situación problémica. -Halla los múltiplos y divisores de un número -Halla el MCM y MCD en un grupo de números

PENSAMIENTO NUMÉRICO Operaciones básicas - División ( situaciones problemicas y ecuaciones). - MCM- MCD Números fraccionarios Representación gráfica y en la recta numérica. La fracción y sus diferentes interpretaciones. Clases de fracciones Amplificación y simplificación de fracciones Relaciones de orden Operaciones básicas con números fraccionarios homogéneas y heterogéneas. ( suma, resta, multiplicación y división) Situaciones problémicas.

-Reconoce una fracción como parte de un todo: la unidad y/o un conjunto -Representa gráfica y numéricamente una fracción dada. -Identifica los términos de un número fraccionario. -Explica por qué una fracción es una razón -Compara fracciones. -Amplifica y simplifica una fracción. -Halla fracciones equivalentes. -Resuelve adiciones entre


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problemas Formula y resuelve situaciones problemicas que requieren la aplicación de operaciones básicas con números fraccionarios

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números fraccionarios -Resuelve sustracciones entre números fraccionarios -Plantea y resuelve problemas aplicando adición y sustracción de fracciones -Efectúa multiplicaciones entre dos o más fracciones. -Realiza divisiones entre dos o más fracciones. -Plantea y resuelve problemas aplicando multiplicación y/o división de fracciones

Actitudinal Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados SEGUNDO

Comunicación y Modelación Matemática

Razonamiento Matemático.

Utilice el lenguaje apropiado para interpretar, expresar, analizar, representar y argumentar lo referente la lectura y representación en la recta numérica de cantidades decimales. Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de resolver adiciones y sustracciones de cantidades

V06-04/2010

-Reconoce una fracción decimal -Convierte una fracción decimal a número decimal o viceversa. -Lee y escribe números decimales. -Ubica en la tabla de posiciones un número decimal . -Compara números decimales -Establece relaciones de orden entre números decimales. -Ubica en forma vertical números decimales para realizar una adición y sustracción -Resuelve adiciones y sustracciones entre números decimales.

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS Números decimales Fracción decimal Escritura y lectura de números decimales. Conversión de una fracción decimal a número decimal y viceversa. Porcentaje Operaciones entre números decimales Adición y sustracción Multiplicación y división con números decimales Situaciones problemas con números decimales


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decimales. Razonamiento Matemático. Aplique los algoritmos necesarios para multiplicar y dividir números decimales.

Resolución y Formulación de problemas

Formula y resuelve situaciones problemicas que requieren la aplicación de operaciones básicas con números decimales

Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

-Plantea y resuelve problemas aplicando adición y sustracción de números decimales. -Resuelve multiplicaciones entre números decimales. -Divide un número natural entre un decimal y viceversa. -Divide dos números decimales. -Plantea y resuelve problemas aplicando multiplicación y división de números decimales

Actitudinal Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados Comunicación y Modelación Matemática TERCERO Razonamiento Matemático

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias para identificar razones y proporciones en Una situación dada. Formula y resuelve situaciones problemicas que requieren la

V06-04/2010

-Reconoce el concepto de razón. --Halla los términos desconocidos en una proporción -Reconoce magnitudes directa e inversamente proporcionales las representa gráficamente. Soluciona problemas de regla de tres simple. -Interpreta tablas y graficas, y hace inferencias a partir de ellas. -Elabora graficas a partir de de tablas y viceversa -Usa e interpreta el concepto de

PENSAMIENTO VARIACIONAL Razones proporciones Proporcionalidad directa e inversa. Situaciones asociadas a la proporcionalidad Gráficos y tablas de variaciones Regla de tres simples Aplicación de la regla de tres: porcentaje Recolección de datos análisis e inferencias a partir de tablas y gráficos .


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aplicación de regla de tres simple. Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de problemas

Utilice el lenguaje matemático apropiado para representar e interpretar gráficos estadísticos presentados en una situación

Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

moda, mediana y media aritmética -Tabula datos y construye una distribución de frecuencia

Tabla de distribución de frecuencia Moda, Mediana y Media aritmética

-Reconoce la potenciación como una multiplicación abreviada. -Representa en forma abreviada productos de factores iguales -Halla el cuadrado y el cubo de

PENSAMIENTO NUMERICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS. Potenciación : Concepto y términos Radicación:

Aplique los algoritmos necesarios para hallar la moda, mediana y media en un grupo de datos.

Actitudinal

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

V06-04/2010


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Comunicación y Modelación Matemática

CUARTO

Razonamiento Matemático

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de resolver potencias, raíces y logaritmos. Aplique los algoritmos necesarios para hallar la potencia, raíz y el logaritmo. Utilice el lenguaje matemático apropiado para establecer relaciones entre la potenciación, radicación y logaritmación

Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de problemas

Formula y resuelve situaciones problemicas que requieren la aplicación de la potenciación, radicación y logaritmación

V06-04/2010

un número -Halla la potencia de cualquier número natural. -Reconoce la logaritmación y radicación como operaciones inversas a la potenciación. -Halla la raíz cuadrada y la raíz cúbica de un número -Calcula potencias, raíces, o logaritmos de números naturales . -Resuelve situaciones problémicas que involucran la potenciación, radicación y logaritmación.

Código MGF-02-R03 Fecha Junio 24 de 2010

Conceptos y términos Relación entre la radicación y la potenciación Logaritmación: Conceptos y términos Relación entre la logaritmación y la potenciación Relación entre la logaritmación y la radicación.


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GRADO: Sexto PERIODO

LOGRO DEL GRADO Formular y resuelver situaciones problemas que requieran de la aplicación de operaciones entre números naturales, fraccionario y decimales e interpreta las operaciones entre conjunto en sus diferentes representaciones. SUBPROCESOS

LOGROS

INDICADORES DE LOGROS 

Actitudinal

Comunicación y Modelación Matemática

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados. Utiliza el lenguaje matemático apropiado para explicar las propiedades de la potenciación, radicación y logaritmación entre números naturales.

 

PRIMERO

Razonamiento Matemático

Establece y justifica sus respuestas procedimientos o estrategias en el proceso de resolver ecuaciones aditivas y multiplicativas con números naturales.

Razonamiento Matemático.

Aplica los algoritmos necesarios para realizar conversiones del sistema binario al sistema decimal y viceversa.

Resolución y Formulación de problemas

Formula y resuelve situaciones problemicas que requieran la aplicación de la potenciación,

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 

Reconoce las propiedades de la potenciación y la radicación con números naturales. Aplica las propiedades de la potenciación, radicación y Logaritmación en situaciones que lo requieran. Realiza despejes de incógnitas Resuelve ecuaciones aditivas con números naturales Resuelve ecuaciones multiplicativas con números naturales Resuelve situaciones problemas que requieran de la potenciación, radicación y logaritmación Formula situaciones problemas que requieran de la potenciación, radicación y logaritmación.

EJES TEMÁTICOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS       

Potencia, raíz y logaritmo. La potenciación y sus propiedades, en los números naturales. La radicación y sus propiedades en los números naturales. La logaritmación y sus propiedades. Sistema de numeración binario. Sistema decimal. Conversión de sistema binario a sistema decimal y viceversa.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SÍSTEMAS ALGEBRAICOS  Ecuaciones aditivas y multiplicativas con números naturales  Problemas de aplicación


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radicación, y logaritmación números naturales.

entre

   

Actitudinal

SEGUNDO

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

Comunicación y Modelación Matemática

 Representa fracciones en la recta numérica, los clasifica y establece relaciones de orden entre ellos  utilizando un lenguaje y simbología matemática pertinente a los conceptos.

Razonamiento Matemático.

Establezca y justifique sus respuestas procedimientos o estrategias en el proceso de resolver adiciones y

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 

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Plantea una ecuación como la solución de una situación problema. Formula situaciones problemas que requieran de las ecuaciones aditivas y multiplicativas. Identifica el sistema binario Identifica el sistema decimal Realiza conversiones del sistema binario al sistema decimal Realiza conversiones del sistema decimal al sistema binario.

Reconoce las diversas PENSAMIENTO NUMÉRICO Y interpretaciones de un fracción SISTEMAS NUMÉRICOS ( parte de la unidad, parte de  Números fraccionarios. un conjunto, como razón, - Representación de fracciones como porcentaje etc). en la recta numérica, clases de Representa gráfica y fracciones, orden de numéricamente fracciones fracciones. Clasifica fracciones en propias  Fracción como razón. e impropias; Homogéneas y  Operaciones entre números fraccionarios. heterogéneas; equivalentes - Adición y sustracción. etc. - Multiplicación y división. Halla fracciones equivalentes - Potenciación y radicación a una dada - Aplicación de operaciones con Convierte fracciones


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sustracciones con números fraccionarios. Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de problemas

Aplique los algoritmos en la solución de las operaciones de multiplicación y división con números fraccionarios.

heterogéneas en homogéneas Suma y resta fracciones homogéneas Suma y resta fracciones heterogéneas Identifica los diferentes procedimientos para resolver sumas y restas de fracciones heterogéneas. Resuelve sumas y resta de fracciones heterogéneas utilizando los diferentes procedimientos. Resuelve suma y restas sencillas con fraccionarios Multiplica números fraccionarios Divide un número fraccionarios Identifica la operación que se debe aplicar al resolver una situación problema Soluciona situaciones problemas aplicando una o varias de las operaciones entre números fraccionarios

  

Formule y resuelva situaciones  problemicas aplicando las operaciones con números fraccionario.     

Actitudinal

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos

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 

Representa gráficamente un conjunto Clasifica conjuntos de

fracciones.

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SÍSTEMAS NUMÉRICOS.  Números decimales.


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asignados Comunicación y Modelación Matemática

Utilice el lenguaje matemático apropiado para interpretar y representar gráficamente operaciones entre conjunto.

Razonamiento Matemático

Establezca y justifique sus respuestas procedimientos o estrategias en el proceso de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos.

Aplique los algoritmos necesarios al resolver operaciones con números decimales

TERCERO

Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de problemas

Formule y resuelva situaciones problemicas aplicando las operaciones entre números decimales.

   

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acuerdo a sus - Fracciones decimales y características. conversiones. - Comparación de números Realiza operaciones entre decimales. conjunto Conoce los signos de unión,  Operaciones con números decimales: intersección, diferencia y - Aplicación de operaciones con complemento. números decimales. Realiza el producto  Aplicación de los decimales en cartesiano y lo representa en representaciones gráficas y el plano. diagramas (barra, línea, circular) Convierte una fracción decimal en número decimal. Convierte un número decimal TEORIA Y LÓGICA DE CONJUNTO en una fracción decimal. Conjunto Incluye los números - Noción de conjunto decimales, dentro del - Determinación y representación de conjunto de los números conjunto racionales positivos. - Clases de conjunto Representa gráfica y Operaciones entre conjunto numéricamente fracciones Producto cartesiano y su decimales. representación en plano cartesiano. Resuelve sumas y restas con números decimales. Resuelve multiplicaciones con números decimales. Identifica los procedimientos de los diferentes casos de la división con números decimales. Resuelve divisiones con números decimales.


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  

Actitudinal

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

Comunicación y Modelación Matemática

Utilice el lenguaje matemático apropiado para expresar situaciones cotidianas mediante números enteros negativos

Razonamiento Matemático CUARTO Razonamiento Matemático.

 

Establezca y justifique sus respuestas procedimientos o estrategias en el proceso de resolver operaciones con los números enteros.

Aplique los algoritmos en la solución

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Aplica los algoritmos en la solución del producto cartesiano. Identifica la operación que se debe aplicar al resolver una situación problema Soluciona situaciones problemas aplicando una o varias de las operaciones entre números decimales. Formula situaciones porblemicas aplicando una o varias de las operaciones entre números decimales. Reconoce la unión de los PENSAMIENTO NUMERICO Y números positivos y los SISTEMAS NUMÉRICOS. negativos como un nuevo Números enteros  Enteros negativos. conjunto numérico - Representación en la recta Halla el valor absoluto de un numérica de los números número entero enteros. Halla el inverso aditivo de un - Valor absoluto de los enteros número entero negativos. Representa en la recta Inverso aditivo de números numérica números negativos enteros. Reconoce la utilidad de los  Operaciones básicas con números números negativos en enteros: situaciones cotidianas. - Suma. Aplica las reglas para sumar y - Resta. restar números enteros - Multiplicación Aplica las reglas para


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de polinomios aritméticos sencillos con números enteros. Resolución y Formulación de problemas

Formule y resuelva situaciones problemicas que requieran la aplicación de operaciones con números enteros

         

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multiplicar y sumar número enteros Utiliza la recta numérica para solucionar sumas y restas con números enteros. Resuelve sumas con números enteros Resuelve resta con números enteros Resuelve multiplicación con números enteros Resuelve división con números enteros. Resuelve polinomios con operaciones de suma y restas Resuelve polinomios con operaciones de multiplicación y división Identifica el orden adecuado de las operaciones para la solución de un polinomio Soluciona situaciones problemas aplicando suma y resta entre números enteros. Soluciona situaciones problemas aplicando multiplicación y división entre números enteros. Identifica la operación que se debe aplicar al resolver una situación problema.

-

División Problemas de aplicación


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GRADO: SÉPTIMO

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LOGRO DEL GRADO Interpreta y resuelve situaciones de su entorno que involucren al conjunto de los números racionales en su expresión fraccionaria y decimal mediante el uso e interpretación de tablas y gráficos estadísticos y/o el establecimiento de relaciones y funciones entre sus elementos constitutivos.

PERIODO

SUBPROCESOS

LOGROS

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla - Reconoce la unión de los con los compromisos académicos números positivos y los asignados. negativos como un nuevo

Comunicación Matemática.

Resolución y Formulación de

PRIMERO

 Utilice el lenguaje matemático apropiado para expresar situaciones cotidianas mediante números enteros negativos 

Establezca y justifique sus respuestas procedimientos o estrategias en el proceso de resolver operaciones con los números enteros.

Aplique los algoritmos en la solución de polinomios aritméticos con números enteros.

Problemas Razonamiento Matemático.

Razonamiento Matemático.

INDICADORES DE LOGROS

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conjunto numérico - Halla el valor absoluto de un número entero - Halla el inverso aditivo de un número entero - Representa en la recta numérica números negativos - Reconoce la utilidad de los números negativos en situaciones cotidianas. - Aplica las reglas para sumar y restar números enteros - Aplica las reglas para multiplicar y sumar número enteros - Utiliza la recta numérica para solucionar sumas y restas con números enteros.

EJES TEMÁTICOS PENSAMIENTO NUMERICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS. operaciones básicas con números enteros: - Suma. - Resta. - Multiplicación - División - Polinomios con números enteros - Problemas de aplicación


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Formule y resuelva situaciones problemicas que requieran la aplicación de operaciones con números entero.

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- Resuelve sumas con números enteros - Resuelve resta con números enteros - Resuelve multiplicación con números enteros - Resuelve división con números enteros. - Resuelve polinomios con operaciones de suma y restas - Resuelve polinomios con operaciones de multiplicación y división - Resuelve polinomios con las cuatro operaciones combinadas - Identifica el orden adecuado de las operaciones para la solución de un polinomio - Soluciona situaciones problemas aplicando suma y resta entre números enteros. - Soluciona situaciones problemas aplicando multiplicación y división entre números enteros. - Identifica la operación que se debe aplicar al resolver una situación problema.

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Actitudinal

Comunicación Matemática.

SEGUNDO Resolución y Formulación de

Problemas Razonamiento Matemático.

Razonamiento Matemático.

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- Representa gráficamente un número fraccionario. Que el estudiante: Participe y escuche activamente en - Establece cuando un número clase, al igual que organice y cumpla fraccionario es mayor que otro. con los compromisos académicos - Establece cuando un número PENSAMIENTO NUMÉRICO Y fraccionario es menor que otro. SISTEMAS NUMÉRICOS asignados. - Establece equivalencias entre Números racionales. dos números fraccionarios.  Utilice el lenguaje matemático Representación de los racionales - Resuelve los algoritmos apropiado para usar los números necesarios en la solución de la en la recta numérica. racionales en su expresión Orden en los racionales. suma de fraccionarios. fraccionaria. - Resuelve los algoritmos Operaciones en el conjunto de los  Establezca y justifique sus necesarios en la solución de la números racionales. respuestas, procedimientos o (Suma, Resta, multiplicación, resta de fraccionarios. estrategias en el proceso de ordenar - Resuelve los algoritmos División, potenciación y y comparar números fraccionarios. necesarios en la solución de la radicación). multiplicación de fraccionarios. Polinomios Aritméticos con  Aplique los algoritmos necesarios en - Resuelve los algoritmos números racionales. la solución de operaciones con necesarios en la solución de la Ecuaciones con números números fraccionarios división fraccionarios. racionales. - Resuelve problemas que  Formule y resuelva situaciones involucren la operación de la problémicas que requieren la Suma de fraccionarios. aplicación De operaciones con - Resuelve problemas que números fraccionarios involucren la operación de la  resta de fraccionarios. - Resuelve problemas que involucren la operación de la

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multiplicación de fraccionarios. - Resuelve problemas que involucren la operación de la División de fraccionarios. - Resuelve problemas que involucren la combinación de operaciones con fraccionarios. Formula problemas que involucren la combinación de operaciones con fraccionario

Actitudinal

Comunicación Matemática.

TERCERO Resolución y Formulación de

Problemas Razonamiento

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados.  Utilice el lenguaje matemático apropiado para representar gráficamente una serie de datos estadísticos.  Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de ordenar y comparar números decimales.  Aplique los algoritmos necesarios en la solución de operaciones con

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- Representa datos estadísticos mediante gráficas poligonales - Representa datos estadísticos mediante histogramas. - Establece la mediana de una serie de datos estadísticos. - Establece la media y la moda de una serie de datos estadísticos. - Establece relaciones de orden entre números decimales - Establece equivalencias entre dos números decimales. - Resuelve adiciones de números de decimales. - Resuelve sustracciones de decimales.

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS.

        

Representación gráfica de datos. Frecuencias y medias. Medianas y moda Números racionales decimales. Concepto. Notación decimal para números racionales. Comparación de números decimales. Operaciones con Números decimales. (suma, resta, multiplicación y


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Matemático.

Razonamiento Matemático.

números decimales.  Formule y resuelva situaciones problémicas que requieren la aplicación de operaciones con números decimales.

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- Resuelve multiplicación de decimales. - Resuelve división decimales. - Resuelve problemas que involucren la operación de la adición de decimales. - Resuelve problemas que involucren la operación de la sustracción de decimales. - Resuelve problemas que involucren la operación de la multiplicación de decimales. - Resuelve problemas que involucren la operación de la división de decimales. - Resuelve problemas que involucren la combinación de operaciones con decimales. Formula problemas que involucren la combinación de operaciones con decimales

división) 

Porcentaje


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Actitudinal

Comunicación Matemática.

Resolución y Formulación de CUARTO

Problemas Razonamiento Matemático.

Razonamiento Matemático.

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados.  Utilice el lenguaje matemático apropiado para explicar las propiedades de una serie de razones iguales o proporciones.  Aplique los algoritmos necesarios para determinar el valor de un elemento desconocido en una proporción

 Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de resolver problemas relacionados con magnitudes directa e inversamente proporcionales.  Formule y resuelva situaciones problémicas que requieren la aplicación de reglas de tres simple y compuesta.

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- Determina cuando una pareja de razones es una proporción - Explica la propiedad fundamental de una proporción. - Explica como se derivan otras propiedades de las proporciones a partir de la propiedad fundamental. - Determina el valor de un extremo en una proporción. - Determina el valor de un medio en una proporción. - Identifica las características de las magnitudes directamente proporcionales mediante gráficas, tablas y expresiones algebraicas. - Identifica las características de las magnitudes inversamente proporcionales gráficas, tablas y expresiones algebraicas. - Calcula un término desconocido cuando se le presentan dos magnitudes directamente proporcionales. - Calcula un término desconocido cuando se le presentan dos magnitudes inversamente proporcionales. - Identifica las magnitudes directamente proporcionales en situaciones problema de su

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS

Razón. Proporción. Cálculo de un elemento en una proporción. Magnitudes directamente proporcionales. Magnitudes inversamente proporcionales. Aplicación de la proporción. Regla de tres simple. Regla de tres compuesta.


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entorno. - Identifica las magnitudes directamente proporcionales en situaciones problema de su entorno. - Identifica en una situación problema una regla de tres simple directa. - Identifica en una situación problema una regla de tres simple inversa. - Identifica en una situación problema una regla de tres compuesta.

Calcula términos desconocidos en situaciones problema que involucran regla de tres simple y compuesta

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GRADO: OCTAVO

PERIODO

LOGRO DEL GRADO  Plantea y soluciona problemas aplicando los algoritmos necesarios de las operaciones básicas con expresiones algebraicas.

SUBPROCESOS

LOGROS Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados.

Actitudinal

Lenguaje matemático

PRIMERO

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Identifica las clases de expresiones algebraicas y determina su grado y valor numérico utilizando el lenguaje matemático.

Aplique los algoritmos necesarios para sumar y restar expresiones algebraicas, justificando sus procedimientos.

Aplique los algoritmos necesarios para hallar el producto y cociente de expresiones algebraicas, justificando sus procedimientos.

Razonamiento matemático

Razonamiento matemático

Formulación y resolución de

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INDICADORES DE LOGROS

- Explica qué es una expresión algebraica. - Plantea expresiones algebraicas a partir de una situación problémica. - Reconoce una expresión algebraica y sus elementos. - Identifica grado, coeficientes, términos y parte literal de una expresión algebraica. - Clasifica las expresiones algebraicas. - Determina el valor absoluto de una expresión algebraica. - Determina el valor relativo de una expresión algebraica. - Identifica términos semejantes en un

EJES TEMÁTICOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS  Expresiones algebraicas.  Monomios.  Concepto.  Grado absoluto y relativo de un monomio.  Valor numérico de un monomio.  Operaciones con monomios.  (Adición, sustracción multiplicación, división y potenciación).  Polinomios.  Concepto.  Clasificación de los polinomios. - Orden de polinomios. - Valor numérico de un polinomio.  Operaciones con polinomios:


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problemas

Formula y resuelve situaciones problémicas que requieren la aplicación de operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con expresiones algebraicas

-

    

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polinomio. Resuelve adiciones con expresiones algebraicas. Resuelve sustracciones con expresiones algebraicas. Multiplica monomio por monomio. Multiplica monomio por polinomio. Multiplica polinomio por polinomio. Divide monomios. Divide un polinomio por un monomio. Divide de polinomios. Formula situaciones que requieran de las operaciones con expresiones algebraicas. Resuelve situaciones problémicas con expresiones algebraicas

    

Adición de polinomios. Sustracción de polinomios. Multiplicación de polinomios División de polinomios. Situaciones problemicas con expresiones algebraicas


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Actitudinal

Razonamiento matemático

SEGUNDO

Razonamiento matemático

Lenguaje matemático

Formulación y resolución de problemas

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados.

Aplique los algoritmos necesarios para hallar el producto de expresiones algebraicas a través de los distintos productos notables. Aplique los algoritmos necesarios para hallar el cociente de expresiones algebraicas a través de los distintos cocientes notables. Utilice el lenguaje matemático apropiado para expresar y resolver la división entre expresiones algebraicas mediante los cocientes notables. Formula y resuelve situaciones problémicas que requieren la aplicación de productos y cocientes notables.

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-

-

-

-

-

-

Aplica los productos notables al resolver productos entre expresiones algebraicas. Utiliza el triangulo de pascal como procedimiento para solucionar algunos productos notables. Aplica la división sintética o regla de Ruffini al dividir expresiones algebraicas. Aplica el teorema del residuo al dividir expresiones algebraicas. Determina el procedimiento a seguir al aplicar los cocientes notables. Aplica cocientes notables al realizar divisiones con expresiones algebraicas.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS      

Productos notables. Triángulo de Pascal. División sintética o regla de Ruffini. Teorema del residuo. Cocientes notables. Distintos casos de cocientes notables.


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Actitudinal

Comunicación matemática

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados.

TERCERO

Razonamiento matemático

Razonamiento matemático

Formule y resuelva problemas

Utilice el lenguaje matemático apropiado para expresar y resolver los diferentes casos de factorización para binomios y trinomios. Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de factorizar polinomios. Aplique los algoritmos necesarios para factorizar binomios y trinomios. Formule y resuelva situaciones problémicas que requieren factorizar binomios, trinomios y polinomios.

-

-

Aplica los diferentes casos de factorización para binomios.

-

Aplica los diferentes casos de factorización para trinomios.

-

Utiliza el lenguaje matemático para factorizar cubo perfecto de binomios.

-

-

-

-

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Aplica los diferentes casos de factorización para determinar factor común.

Factoriza trinomio cuadrado perfecto de la forma Ax²+ Bx +C. Factoriza Trinomio Cuadrado Perfecto por adición y sustracción. Factoriza expresiones algebraicas por agrupación de términos. Reconoce la diferencia de

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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS

 Factorización.  Binomios.  Polinomios.  Factor Común.  Factor Común por agrupación de términos.  Diferencia de Cuadrados.  Suma o Diferencia de Cubos.  Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales.  Trinomios.  Trinomio Cuadrado Perfecto.  Trinomio de la forma Ax²+ Bx +C  Trinomio Cuadrado Perfecto por adición y sustracción.


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-

Actitudinal

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados.

-

CUARTO Comunicación Matemática.

Utilice el lenguaje matemático apropiado para explicar el concepto de fracción algebraica.

Razonamiento Matemático. 

Razonamiento Matemático.  Resolución y Formulación de problemas

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de simplificar fracciones algébricas.

-

Aplique los algoritmos necesarios en la solución de operaciones con fracciones

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-

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cuadrados al momento de factorizar una expresión algebraica. Reconoce la suma o diferencia de cubos al momento de factorizar una expresión algebraica.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y Reconoce una fracción SISTEMAS ALGEBRAICOS Y algebraica. ANALITICOS Resuelve ejercicios que requieran de las fracciones  Fracciones algebraicas. algebraicas.  Máximo común divisor Simplifica fracciones  Mínimo común múltiplo. algébricas.  Simplificación de expresiones Halla el M.C.D de algebraicas. fracciones algebraicas.  Adición y sustracción de Halla el m.c.m de expresiones algebraicas. fracciones algebraicas.  Multiplicación y división de Resuelve adición de expresiones algebraicas. fracciones algebraicas. Resuelve sustracción de fracciones algebraicas. Resuelve multiplicación de fracciones algebraicas. Resuelve división de fracciones algebraicas. Utiliza los algoritmos


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algebraicas. 

Formule y resuelva situaciones problémicas que requieren la aplicación de las operaciones con fracciones algebraicas.

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-

-

necesarios para dar solución a operaciones con fracciones algebraicas. Formula situaciones que requieran de las fracciones algebraicas. 3Resuelve situaciones problémicas con fracciones algebraicas.

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GRADO: NOVENO PERIODO

LOGRO DEL GRADO Reconoce las características de las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas construyendo su gráfica en el plano cartesiano y modela situaciones cotidianas con estas funciones SUBPROCESOS

Actitudinal

LOGROS Que el (la) estudiante: Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

Comunicación Matemática. PRIMERO

Utiliza el lenguaje matemático apropiado para explicar el conjunto de los números reales y complejos, su ubicación en el plano y sus operaciones algebraicas.

Razonamiento Matemático. Aplique algoritmos necesarios para resolver operaciones con números reales y complejos y su aplicación en problemas cotidianos

Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de

Establezca y justifique procedimientos para resolver operaciones con números reales y complejos.

Formule y resuelva situaciones de la

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INDICADORES DE LOGROS

EJES TEMÁTICOS

Identifica el sistema de los números reales como números decimales periódicos y no periódicos. Comprende y aplica la estructura y propiedades de potencias con exponentes enteros y exponentes racionales de números reales Utiliza adecuadamente las propiedades de radicación; efectuar operaciones con raíces. Comprende y aplica la estructura y propiedades de potencias con exponentes enteros y exponentes racionales de números reales Utiliza adecuadamente las propiedades de radicación; efectuar operaciones con raíces. Identifica los números complejos y da ejemplos. Efectúa operaciones combinadas de números complejos. Aplica las propiedades de las potencias de i.

PENSAMIENTO NUMERICO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS SISTEMAS NUMÉRICOS: REALES Y COMPLEJOS  

Números reales Potenciación. Exponentes enteros y racionales de números reales.  Radicales y sus propiedades.  Sistemas de números complejos.  Operaciones con números complejos. Aplicaciones.


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problemas

vida real que involucran números reales o complejos

Actitudinal Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

Razonamiento Matemático.

SEGUNDO

Utilice el lenguaje matemático apropiado para plantear ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas a partir de situaciones reales.

Razonamiento Matemático.

Aplique los algoritmos necesarios para resolver ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas.

Resolución y Formulación de problemas

Establezca y Justifique procedimientos o estrategias en el proceso de resolver un sistema de ecuaciones con dos o más incógnitas.

Comunicación Matemática.

Formule y resuelva situaciones problémicas que requiera resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2x2, 3x3 y ecuaciones cuadráticas

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Representa sobre el plano cartesiano los números complejos de la forma a + bi.

Explique el concepto de ecuación lineal y sistemas de ecuaciones lineales.

PENSAMIENTO NUMERICO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS.

Plantee ecuaciones lineales a partir de situaciones problemitas dadas.

ECUACIONES LINEALES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y ECUACIONES CUADRÁTICAS

Reconoce y aplica el método de sustitución, igualación, eliminación y regla de Cramer al solucionar un sistema de ecuaciones. Construya y solucione sistemas de ecuaciones lineales utilizando los diversos métodos planteados.

Terminología de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Ecuación de primer grado con una variable. Ecuación de primer grado con dos variables.

Formule y solucione problemas que requiera resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 y 3x3

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones.

Soluciona ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización.

Métodos para solución de ecuaciones cuadráticas.

Soluciona ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general.


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Planes Integrados de Áreas Académicas (PIA)

Plantea y soluciona ecuaciones cuadráticas a partir de una situación problemicas.

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

Represente y analice funciones a partir de ecuaciones, parejas ordenadas, gráficas y tablas.

Comunicación matemática.

Utilice el lenguaje matemático apropiado para explicar las características de las funciones lineales y cuadráticas

Construya y analice la gráfica de una función lineal.

Razonamiento Matemático.

Aplique los algoritmos necesarios para deducir la fórmula para funciones lineales y cuadráticas.

Actitudinal

TERCERO

Razonamiento Matemático. Resolución y Formulación de problemas

Establezca y Justifique procedimientos o estrategias para aplicar las funciones lineales y cuadráticas en problemas de la vida diaria. Formule y resuelva problemas de

V06-04/2010

Identifique una función lineal, determinando sus características y representación simbólica

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS . ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. Solución de Ecuaciones exponenciales. Solución de Ecuaciones logarítmicas.

Construya y analice la gráfica de una función cuadrática. Identifique una función cuadrática, determinando sus características y representación simbólica

FUNCIÓN. FUNCIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA. Función lineal. Conceptos fundamentales.


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aplicación a partir de ecuaciones, exponenciales y logarítmicas utilizando sus propiedades

Actitudinal

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

CUARTO

Comunicación Matemática.

Razonamiento Matemático.

Razonamiento Matemático.

Utilice el lenguaje matemático apropiado para explicar las características de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Establezca y justifique procedimientos o estrategias en el proceso de hallar el término y la suma de los términos de una progresión aritmética

Aplique los algoritmos necesarios para hallar el término y la suma de los términos de una progresión geométrica.

Resuelve situaciones problema aplicando

V06-04/2010

Resuelva ecuaciones exponenciales y logarítmicas usando las propiedades.

Grafique funciones exponenciales y logarítmicas.

Función Cuadrática y Ecuaciones Cuadráticas.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ANÁLITICOS. Lógica : Funciones Exponencial y Logarítmica.

Interprete la función exponencial como modelo de crecimiento. Identifica si una progresión es aritmética o geométrica.

La función logarítmica. Gráfica y aplicaciones. Sucesiones y Progresiones:

Halla el término enésimo y suma de progresiones aritméticas. Halla el término enésimo y suma progresiones geométricas. Resuelve situaciones problemas donde se involucran las progresiones.

Formación de sucesiones. Progresiones aritméticas. Suma de los n primeros términos de una sucesión. Progresiones geométricas. Series. Aplicaciones a Física e ingeniería.


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Resolución y Formulación de problemas

las formulas para hallar términos y sumas de las progresiones aritméticas y geométricas

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GRADO: DECIMO PERIODO

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LOGRO DEL GRADO Analiza correctamente las propiedades y naturaleza de las funciones trigonométricas y las funciones reales, construya sus respectivas graficas en el campo de los reales SUBPROCESOS

Actitudinal

Comunicación Matemática. PRIMERO

Razonamiento Matemático.

Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de

LOGROS

INDICADORES DE LOGROS

EJES TEMÁTICOS

Que el(la) estudiante: Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

El estudiante: -Identifica ángulos positivos y negativos. -Transforma las medidas de un ángulo del sistema sexagesimal al sistema cíclico. -Transforma las medidas de un ángulo del sistema cíclico al sistema sexagesimal. -Aplica la relación entre la longitud de arco y la medida del ángulo central en la solución de problemas. -Diferencia un ángulo de elevación de uno de depresión. -Representa un ángulo de elevación y uno de depresión a partir de una situación problema. -Aplica el teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos. -Determina las razones de seno, coseno y tangente a través del análisis de razones en el triángulo rectángulo. -Encuentra las medidas de los lados y de los ángulos no

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Funciones y relaciones trigonómetricas. trigonométrico

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de expresar en los diferentes sistemas de medida la amplitud de un ángulo Utilice el lenguaje matemático apropiado para representar gráficamente una situación que implique la solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. Aplique los algoritmos necesarios para hallar las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo. Formule y resuelva situaciones problemicas que requieren la

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- Definición de ángulo - Medición de ángulos. Conversión a los diferentes sistemas de medidas. - Longitud de un arco - Aplicaciones - Signo de las funciones trigonométricas - Valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 60º,45º - Funciones trigonométricas de ángulos rectangulares, complementarios y coterminales. - Aplicación de funciones trigonométricas y teorema del seno y del coseno.


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problemas

aplicación de las funciones trigonométricas y las leyes del seno y del coseno

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conocidos en un triángulo rectángulo. -Determina las razones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º. -Interpreta situaciones y aplica las razones trigonométricas básicas para resolver triángulos rectángulos. -Aplica la ley del seno para resolver triángulos no rectángulos. -Soluciona situaciones que involucran la solución de triángulos a partir de la ley del seno. -Aplica la ley del coseno para resolver triángulos no rectángulos. -Soluciona situaciones que involucran la solución de triángulos a partir de la ley del coseno.

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Actitudinal Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

SEGUNDO

Razonamiento Matemático.

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de graficar las funciones trigonométricas.

Razonamiento Matemático.

Aplique los algoritmos para hallar las variaciones de una función trigonométrica Formule y resuelva situaciones problemicas que requieren la aplicación de las graficas de las funciones trigonométricas.

Resolución y Formulación de problemas

Comunicación Matemática.

Utilice un lenguaje matemático apropiado para interpretar las graficas de las funciones trigonométricas.

Participe y escuche activamente en

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Diferencia una función periódica de una no periódica Determina el periodo de una función periódica cuando se conoce su gráfica Determina los signos algebraicos de las funciones trigonométricas. Reconoce características gráficas de las funciones trigonométricas Realiza correctamente las graficas de las funciones trigonométricas. Explica propiedades de las funciones trigonométricas a partir de sus gráficas. Utiliza las propiedades de la función seno y coseno para establecer propiedades de las otras cuatro funciones. Halla la amplitud, el periodo, la fase y la magnitud de desfasamiento de una función trigonométrica -Interpretar las graficas de las funciones trigonométricas de acuerdo a sus propiedades y variaciones.

Identifica las identidades básicas

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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Grafica de las funciones trigonométricas - Circunferencia unitaria - Líneas trigonométricas - Funciones periódicas -Gráfica de las funciones trigonométricas Variaciones de las funciones trigonométricas. -Principios de la graficación - Amplitud - Periodo -Desfase o desplazamiento de fase la magnitud de desfasamiento


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Actitudinal

TERCERO Razonamiento Matemático.

clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de demostrar identidades trigonométricas.

Razonamiento Matemático.

Aplique los algoritmos necesarios en la solución de ecuaciones trigonométricas.

Comunicación Matemática.

Utilice un lenguaje apropiado para argumentar sus soluciones y respuestas en la demostración de identidades y solución ecuaciones trigonométricas.

Resolución y Formulación de problemas

Formule y resuelva situaciones que requieren la aplicación de las ecuaciones trigonométricas.

Actitudinal

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

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Identifica las identidades pitagóricas Identifica las identidades para suma y resta de ángulos Identifica las identidades para ángulos medios y ángulos dobles Demuestra identidades complejas a partir de las identidades básicas. Identifica y resuelve ecuaciones trigonométricas Establece relaciones entre ecuaciones algebraicas y trigonométricas. Soluciona ecuaciones trigonométricas aplicando las identidades trigonométricas. Justifica algebraicamente la solución de ecuaciones trigonométricas. Utiliza análisis gráfico para solucionar ecuaciones trigonométricas.

− Determina conjuntos por extensión y por comprensión. − Elabora diagramas de Venn

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PENSAMIENTO VARIACIONAL Identidades Trigonométricas - Identidades fundamentales - Demostración de identidades trigonométricas - Identidades de la sume y resta de ángulos - Identidades de los ángulos medios y dobles PENSAMIENTO VARIACIONAL Ecuación Trigonométrica - Definición - Ecuación básica - Aplicaciones

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS.


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CUARTO

Comunicación Matemática.

Utilice el lenguaje matemático apropiado para representar conjuntos y las operaciones entre estos al solucionar situaciones probl.emicas..

Razonamiento Matemático.

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de resolver inecuaciones lineales.

Razonamiento Matemático.

Aplique los algoritmos necesarios en la solución de inecuaciones cuadráticas.

Resolución y Formulación de problemas

Formule y resuelva situaciones que requieren el planteamiento y solución de una inecuación aplicando las propiedades de las desigualdades.

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para representar conjuntos. − Clasifica los conjuntos según sus características. − Realiza operaciones de unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica de dos conjuntos. − Halla la diferencia simétrica entre conjuntos. − Utiliza los diagramas de Venn para representar gráficamente operaciones entre conjuntos - Resuelve situaciones que impliquen realizar operaciones entre conjuntos. -Explica qué es una desigualdad. Resuelve desigualdades en los números reales. -Halla el conjunto solución de desigualdades cuadráticas. -Define un intervalo -Representa en la recta numérica un intervalo. Expresa como conjunto un intervalo. Escribe como intervalo un conjunto. Determina el conjunto solución para intervalos abiertos y cerrados. Realiza operaciones entre

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Teoría de conjuntos Conjuntos Determinación de conjuntos (extensión y comprensión). Representación de conjuntos. Relaciones de contenencia y pertenencia. Clasificación de conjuntos. Operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica). Resolución de situaciones aplicando las operaciones entre conjuntos. Desigualdades e inecuaciones - Propiedades de las desigualdades. - Intervalos abiertos y cerrados. - Operaciones con intervalos. - Inecuaciones lineales e inecuaciones cuadráticas.


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intervalos. Halla el dominio y rango de una función.

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GRADO: UNDECIMO PERIODO

LOGRO DEL GRADO Aplicar las reglas del cálculo diferencial e integral en la modelación y la solución de problemas. SUBPROCESOS

Actitudinal

Comunicación Matemática.

LOGROS Que el(la) estudiante: Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados Utilice un lenguaje apropiado para interpretar y representar las graficas de una función

PRIMERO Razonamiento Matemático.

Razonamiento Matemático.

Resolución y Formulación de problemas

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de hallar el domino y el rango de una función.

Formule y resuelva situaciones problemicas que requieren la aplicación las propiedades de las funciones. Aplique los algoritmos necesarios para caracterizar los distintos tipos

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INDICADORES DE LOGROS - Define función y la diferencia de una ecuación. - Identifica relaciones que son funciones - Determina el dominio, codominio, el rango y el grafo de una función. - Representa gráficamente una función. - Aplica los principios de graficación para representar gráficas de una función - Interpreta la gráfica de una función . - Determina si una función es par o impar - Determina si una función es creciente o decreciente. - Clasifica funciones reales en polinomicas, racionales, radicales, trascendentes y especiales.

EJES TEMÁTICOS

PENSAMIENTO NUMÉRICO Funciones - Definición de función. - Dominio y rango de una función. - Funciones pares e impares - Funciones crecientes y decrecientes Clasificación de las funciones  Funciones polinómicas  Funciones racionales  Funciones trascendentes  Funciones especiales.  Preparación ICFES


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de funciones.

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Actitudinal

Razonamiento Matemático.

Razonamiento Matemático.

SEGUNDO

Resolución y Formulación de problemas

Comunicación Matemática.

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados Utilice un lenguaje apropiado para analizar por medio del concepto de límite el comportamiento de una función. Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias para evaluar y solucionar límites indeterminados de algunas funciones. Aplique los algoritmos necesarios para evaluar y solucionar límites de funciones trigonométricas. Formule y resuelva situaciones problemicas que requieren la aplicación de las propiedades del límite de una función.

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Explica las propiedades y características de los límites. - Define e interpreta graficamente el límite de una función. - Halla los límites laterales de una función. - Explica las propiedades de los límites. - Calcula los límites de una función aplicando propiedades y el principio de sustitución. - Determina cuando un límite presenta indeterminaciones. - Factoriza expresiones que presentan limites indeterminados y halla su solución. - Halla límites de funciones trigonométricas. - Determina si un límite crece o decrece sin cota. - Establece diferencias entre límites infinitos y limites en el infinito. - Calcula límites exponenciales. - Aplica los algoritmos necesarios para evaluar y solucionar límites de funciones. - Determina las asintotas de una función.

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PENSAMIENTO VARIACIONAL  Introducción al límite - Idea intuitiva de límite.

- concepto de límite de una sucesión y de una función - Definición formal de límite Aplicaciones Limite de funciones especiales - Formas indeterminadas - Limite de funciones trigonométricas. - Limites infinitos y en el infinito. Preparación ICFES


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- Determina la continuidad de una función grafica y analíticamente. - Resuelve problemas aplicando los conceptos de límite y funciones.

Actitudinal

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

TERCERO Razonamiento Matemático.

Utilice el lenguaje matemático apropiado para explicar el concepto de derivada.

Razonamiento Matemático.

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o estrategias en el proceso de hallar la derivada de una

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Halla la variación de una función en un intervalo. - Explica el concepto de derivada. - Calcula la derivada de una función en un punto - Determina si una función es diferenciable en un intervalo dado. - Calcula la derivada de una función en un intervalo. - Aplica las reglas de derivación para calcular la derivada de funciones compuestas. - Calcula la derivada de funciones trascendentes.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Variación Derivada de una función: en un punto y en un intervalo. Reglas de derivación: Derivada de función constante, Derivada de función idéntica, Derivada de función de una potencia Regla del múltiplo constante Derivada de la suma y resta de funciones. Derivada del producto y dl cociente. Derivada de funciones compuestas. Regla de la cadena. Regla de la potencia


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función. Comunicación Matemática. Aplique los algoritmos necesarios para hallar la segunda derivada de una función.

- Calcula la derivada implícita de una función Deriva cualquier tipo de función.

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Derivada de funciones trascendentes Derivada de funciones logaritmicas, exponenciales, trigonometricas Derivada de funciones implicitas. Derivada enésima de una funcion Preparación ICFES

Resolución y Formulación de problemas

Actitudinal CUARTO

Formule y resuelva situaciones problemicas que requieren la aplicación de las propiedades de la derivada de una función.

Participe y escuche activamente en clase, al igual que organice y cumpla con los compromisos académicos asignados

Comunicación Matemática.

Utilice el lenguaje matemático apropiado para explicar el concepto de integración como operación inversa de la derivación.

Razonamiento Matemático.

Establezca y justifique sus respuestas, procedimientos o

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Explica el concepto de antiderivada - Halla la antiderivada de una función - Explica el concepto de integral indefinida como el conjunto de todas las antiderivadas de una función. - Explica y aplica las propiedades de la integral indefinida. - Aplica el método de sustitución para hallar la integral de una función.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Antiderivada e integral indefinida. Propiedades de la integral indefinida. Integrales inmediatas. Metodos de integración. Integración por sustitución. Integración por partes. Integral definida.


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estrategias en el proceso de hallar integrales indefinidas de una función.

Razonamiento Matemático.

Aplique los algoritmos necesarios para hallar integrales definidas de una función.

Resolución y Formulación de problemas

Formule y resuelva situaciones problemicas que requieren la aplicación de las propiedades de la antiderivada de una función

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- Resuelve una integral aplicando el método de integración por partes. - Explica el concepto de integral definida. - Establece diferencias entre integral definida e indefinida. - Halla el área bajo la curva aplicando las propiedades de la integral. - Integra funciones reales sencillas

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RECURSOS GENERALES HUMANOS: Profesores del área, monitoras, profesores de otras áreas, personal operativo de la institución, padres de familia, allegados a los (as) estudiantes, allegados a los profesores, sico- orientadora, bibliotecaria, etc. INFRAESTRUCTURAS: Salón de clases, biblioteca, sala de audiovisuales, sala de informática, pasillos de la institución, sitio que permita el libre divagar en la búsqueda de relaciones matemáticas con el espacio físico y den seguridad al estudiante. DIDACTICOS: Guías y talleres, implementos de geometría, calculadoras, carteleras, grabadora, retroproyectores, textos de matemática del bibliobanco , libros de curiosidades matemáticas, computadoras, gráficos, periódicos, etc.

PLANES ESPECIALES Para aquellos estudiantes que presentan durante el período dificultades en su proceso de aprendizaje de manera leve o fuerte se aplicarán las siguientes estrategias:  Seguimiento por parte del educador de los avances del estudiante y conversación continua acerca de sus dificultades y aciertos.  Revisión de conceptos con materiales didácticos. (sección infantil)  Trabajo con lecturas comprensivas de textos matemáticos (sección infantil).  Trabajo con talleres de refuerzo.  Juegos con actividades de cálculo mental.  Revisión de cuadernos con actividades de nivelación.  Tutorías con los estudiantes más aventajados.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Los criterios evaluativos del área son los siguientes: Resolución de situaciones problémicas en diferentes contextos. Planteamiento de situaciones a partir de las nociones, proposiciones y conceptos dados.  Establecimiento de relaciones y generalizaciones entre conceptos matemáticos.  Utilización de la simbología matemática.  Desarrollo de algoritmos y justificación de pasos.  Deducción de información a partir de gráficos.  Uso de técnicas de conteo en situaciones determinadas.  Uso de instrumentos geométricos.  Construcción de figuras bidimensionales o tridimensionales.  Utilización de los diferentes sistemas de medidas.  Implementación de la tecnología en la construcción de conceptos.  

Para los que necesitan actividades de profundización:  Solución de talleres de ejercicios y problemas con mayor nivel de profundidad de los vistos.  Investigaciones por grupos, de temáticas donde se observe la aplicación en el entorno de los conceptos matemáticos, geométricos o estadísticos vistos. GLOSARIO GEOMETRIA: Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. ESTADISTICA: Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos naturales e industriales, del tráfico o de cualquier otra manifestación de las sociedades humanas. Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades.

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PROCESO: Conjunto de las fases sucesivas de un fenómeno natural o de una operación artificial.

DE GERARD Vergnaud. El niño, las matemáticas y la realidad. Editorial Trillas.

SISTEMA: Conjunto de reglas o principios sobre una materia racionalmente enlazados entre sí. Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto.

DREYFUS, T., On the status of visual reasoning in mathematics and mathematics education, In the Proceedngs of the 15th Conference of the PME, Assisi (Italy). Vol. 1. 1991. 33-48 p.

SIMBOLO: Representación sensorialmente perceptible de una realidad, en virtud de rasgos que se asocian con esta por una convención socialmente aceptada. Letra o figura que representa un número variable o bien cualquiera de los entes para los cuales se ha definido la igualdad y la suma.

DUHALDE, M.E. Y GONZÁLEZ, M.T. 1997. Encuentros cercanos con la Matemática. Buenos Aires: Aique.

LÓGICA: La que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y haciendo abstracción de los contenidos. PENSAMIENTO: Conjunto de ideas propias de una persona o colectividad.

EDUTEKA. Competencias Matemáticas; Documento “THE PISA 2003 ASSMENT FRAMEWORK”.

DUVAL, R. 1995. Semiosis y pensamiento humano. LANG, P. (ed), Berne.

EVALUAMOS, COMPETENCIAS MATEMÁTICAS. Editorial Magisterio. RAZONAR: Exponer, aducir las razones o documentos en que se apoyan dictámenes, cuentas, etc. BIBLIOGRAFÍA ACODESI. La Formación Integral y sus Dimensiones. Dimensión Cognitiva. Capitulo 4. Bogotá, 2002. 69-80 p. ARIZA, Antonio; BARROSO, Ricardo. GAVILÁN, Jose y SÁNCHEZ, Ángel. Cert: Un modelo matemático y tecnológico de evaluación. Universidad de Sevilla. En: http://www.sav.us.es/pixelbit/articulos/n11/n11art/art114.htm#

FECODE. Revista Educación y Cultura. Santafé de Bogotá. GALBRAITH, P. (1989). From applications to modelling. In D. Blane & M. Evans (Eds.), Mathematical modelling for the senior years (pp. 78-86). Parkville: The Mathematical Association of Victoria. Citado en Mathematical Modelling And The General Mathematics Syllabus en http://www.curriculumsupport.nsw.edu.au/maths/files/Mat_Maths_CS_300.pdf GARZÓN G, Esperanza. Perspectivas epistemológicas y didácticas de los saberes específicos en Matemáticas. GOMEZ-GRANEL, Carmen. La adquisición del lenguaje matemático: símbolo y significado. En más allá de la alfabetización. Santillana, Buenos Aires.

BAÑUELOS, A.M. 1995. Resolución de problemas matemáticos en estudiantes de bachillerato. Perfiles Educativos, Nº 67, 50-58 p.

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HERNÁNDEZ ROJAS, Gerardo. Descripción del paradigma psicogenético y sus aplicaciones e implicaciones educativas. Capitulo 7. En: Paradigmas en psicología de la educación. Mexico: Paidos, 1998. 169-209 p.

RICO, L. 1995. Consideraciones sobre el currículo escolar de matemáticas. Revista EMA, investigación e innovación en educación matemática. Vol. 1, N° 1. RIMOLDI, H.J. 1984. Solución de problemas: Teoría, Metodología Experimentación. Revista de Sicología General y Aplicada 39, 75-96 p.

HERRAMIENTAS PEDAGÓGICAS. Edit. Santillana IV ENCUENTRO NACIONAL DE MATEMÁTICAS. Popayán, Cauca. Abril 2004.

y

LAS MATEMÁTICAS HOY, Ejemplar No. 5, Editorial Escuela Superior, Kiev, 1989

SAMPER de Camacho Cármen, Camargo Uribe Leonor y Leguizamon de Bernal Cecilia. Cómo Promover el Razonamiento en el Aula por medio de la Geometría. Universidad Pedagógica Nacional. Bogotá, D.C. 2003.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Matemáticas: curriculares, Santa Fe de Bogotá, Colombia, Julio de 1998.

SIERPINSKA, A. 1994. Understanding in Mathematics. Londres: Palmer Press. TECNOLOGÍAS APLICADAS AL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS. M.E.N.

Lineamientos

MONEREO, C., CASTELLÓ, M., CLARIANA, M., PALMA, M Y PÉREZ, M.L. (1995). Estrategias de enseñanza y aprendizaje. Formación del profesorado y aplicación en la escuela. Barcelona: Graó.

SALETT, María y HEIN, Nelson. Modelo, Modelación y Modelaje: Métodos de enseñanza – aprendizaje de matemáticas. En: QUBO: Boletín del docente de matemática del bachillerato peruano, Vol 1. Nº 3, Julio de 2000.

NCTM 1991. Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática. Sociedad Andaluza de Educación Matemática, Madrid.

VASCO, Carlos. El pensamiento variacional, la modelación y las nuevas tecnologías. Conferencia plenaria del Congreso Internacional de Tecnologías computacionales en el Currículo de Matemáticas. Santa Fe de Bogotá, Mayo de 2002.

PUCHE Navarro, rebeca. Formación de herramientas científicas en el niño pequeño. Arango Editores. Universidad del Valle.       

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Libro taller matemáticas 3. Editorial Escuelas del Futuro. Herramientas matemáticas 3. Editorial Santillana. Dominios 3. Escuelas del Futuro Conexiones 3. Editorial Norma. Guía de recursos 3. Editorial Santillana. Pensamiento Matemático 5º Editorial Libros y Libros. Conexiones Matemáticas 5°. Editorial Norma.

Herramientas Matemáticas 5º.. Editorial Santillana.

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Pensamiento matemático 5º Editorial Libros y Libros. Conexiones matemáticas 5°. Editorial Norma. Herramientas matemáticas 5º.. Editorial Santillana.

 

Pensamiento Matemático 6. Editorial libros y libros. Supermat. Matemáticas 6. Editorial Voluntad

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Aritmetica y geometria I. Editorial Santillana Díaz Alexander y otros. Pensamiento Matemático 7. Editorial libros y libros. Supermat. Matemáticas 7. Editorial Voluntad Aritmetica y geometria II. Editorial Santillana Díaz Alexander y otros. Matemática 8 . Editorial Mc Graw Hill Espiral 8. Editorial Norma. Texto guía de recursos 8°. Editorial Santillana. Pensamiento Matemático 8º. Editorial. Libros y libres Supermat. Editorial 8º. Voluntad Algebra y geometria I. Editorial Santillana Díaz Alexander y otros.

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Algebra de Baldor Matemática Constructiva 9 Editorial libros y libres Pensamiento Matemático 9 Editorial libros y libros. Superman matemáticas 9 Editorial Voluntad Algebra y geometría II grado 9 Editorial Santillana. Matemáticas 9º de Mac Graw Hill Trigonometría y Geometria analitica. Editorial Santillana. Conexiones 10°. Editorial Norma. Intoducción al cálculo. Editorial Santillana.

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PIA DE MATEMATICAS 10-11  

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