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P´endulo Simple Yesenia Silva M.

Res´ umen El p´endulo simple consiste en una masa puntual suspendida en el extremo de un hilo sin masa de longitud L . Su movimiento es aproximadamente armnico simple si la amplitud es peque˜ na; entonces la frecuencia angular, frecuencia y periodo dependen s´olo de g y de L, no de la masa ni de la amplitud. Para modelar un caso hipot´etico de un p´endulo, se cre´o un programa en lenguaje Fortran para en base a las ecuaciones anteriormente mencionadas se graficara un espacio fase de las trayectorias que recorre un p´endulo. A ´estas se les vario el a´ngulo y la longitud y de este modo obtuvimos datos, se mandaron a un archivo y se grafic´o para as´ıobtener el retrato fase.

Introducci´ on Un p´endulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posici´on de equilibrio, oscilar´a alrededor de dicha posici´on. La trayectoria de la masa puntual no es recta, sino el arco de un circulo de radio l igual a la longitud del hilo. Usamos como coordenada x medida sobre el arco. Si el movimiento es arm´onico simple, la fuerza de restituci´on debe ser directamente proporcional a x o a θ.

La fuerza de restituci´on Fθ es la componente tangencial de la fuerza neta:

Fθ = −mgsinθ 1


(1) La fuerza de restituci´on es proporcional a la coordenada para desplazamientos peque˜ nos, y la constante de fuerza k = mg/L. Es entonces que la ecuaci´on del p´endulo resulta: ω=

pg L

(2) Las relaciones de frecuencia y periodo correspondientes son:

f= (3)

ω 1 pg = L 2π 2π

2


T =

q 1 2π = = 2π Lg (4) ω f

La dependencia de L y g en la ecuaciones (2) a (4) es justo los esperado. Un p´endulo largo tiene un periodo m´as largo que uno corto. Si aumenta g, aumenta la fuerza de restituci´on, causando un aumento de la frecuencia y una disminuci´on del periodo.

El p´ endulo en general Ahora se tratar´a de estudiar al p´endulo de manera general, esto es, que se utilizaran diversos a´ngulos sin importar cu´an grandes o peque˜ nos sean. En este caso, las ecuaciones anteriores no aplican a lo que ser´a estudiado, pues lo anterior era u ´nicamente para a´ngulos muy peque˜ nos. Las ecuaciones que son utilizadas para describir y estudiar a esta clase de fen´omeno, son las mismas que se utilizan para describir a un oscilador arm´onico. Para ser mas espec´ıfico, se estar´ıa hablando de un movimiento arm´onico simple, en el cual la magnitud de la fuerza ejercida sobre la part´ıcula es directamente proporcional a su elongaci´on, esto es la distancia x a la que se encuentra ´esta respecto a su posici´on de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posici´on de equilibrio, esta fuerza es tal que Fx = −kx donde k es una constante positiva y x es la elongaci´on. Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento arm´onico simple se define entonces en una dimensi´on mediante la ecuaci´on diferencial m

d2 x = −kx dt2

siendo m la masa del cuerpo en desplazamiento.

Ecuaciones del movimiento Elongaci´ on Escribiendo ω 2 = k/m se obtiene la siguiente ecuaci´on donde ω es la frecuencia angular del movimiento:

3


(5)

d2 x = a(t) = −ω 2 x dt2

La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (5) puede escribirse en la forma:

x(t) = Acos(ωt + φ) (6) donde: x es la elongaci´on de la part´ıcula. A es la amplitud del movimiento (elongaci´on m´axima). ω es la frecuencia angular t es el tiempo. φ es la fase inicial e indica el estado de oscilaci´on o vibraci´on (o fase) en el instante t = 0 de la part´ıcula que oscila. Velocidad y aceleraci´ on La velocidad y aceleraci´on de la part´ıcula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresi´on x(t) = Acos(ωt + φ) (7) La velocidad se obtiene derivando la ecuaci´on de la posici´on obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

v = −ωAsin(ωt + φ)

4


(8) La aceleraci´on es la variaci´on de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuaci´on de la velocidad respecto al tiempo: a(t) = (9)

dv(t) = −ω 2 Asin(ωt + φ) = −ω 2 x(t) dt

En el movimiento arm´onico simple la fuerza que act´ ua sobre el m´ovil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posici´on de equilibrio, donde la fuerza es nula.

Metodolog´ıa Despu´es de entender ampliamente el concepto de un p´endulo simple y de movimiento arm´onico simple, debemos llevar a cabo una simulaci´on del experimento an´alogo del p´endulo simple utilizando las ecuaciones de un MAS. Con este conocimiento se cre´o un programa mediante el leguaje de programaci´on Fortran en el cual se utilizaba el m´etodo de Euler-Cromer semiimpl´ıcito, el cual es el m´as adecuado para resolver este tiempo de ecuaciones.

M´ etodo de Euler-Cromer Para poder resolver la ecuaci´on del p´endulo simple (2) por el m´etodo de Euler-Cromer o m´etodo semi-impl´ıcito, se divide la ecuaci´on en dos funciones dependientes una de la otra creando un par de ecuaciones diferenciales:

(10)

dx = f (t, v) dt

5


(11)

dv = f (t, x) dt

donde f y g son funciones dadas. Aqu´ı, x y v podr´ıan ser ya sea escalares o ´ vectores. Estas ecuaciones est´an condicionadas a los valores iniciales

x(t0 ) = x0 v(t0 ) = t0 (12) ´ Este m´etodo produce una aproximaci´on discreta a la soluci´on mediante iteraci´on. Para desarrollar el programa hay que primeramente describir las variables que se utilizar´an, despu´es se debe escribir el conjunto de ecuaciones, (5) y (6), que se resolver´an siguiendo espec´ıficamente el m´etodo de Euler-Cromer como se indic´o anteriormente. Se le deber indicar al programa que muestre en pantalla cu´al es el a´ngulo inicial que se desea as´ıcomo la velocidad y el n´ umero de iteraciones para poder completar 5 y 6. Sin embargo, seg´ un lo antes mencionado para que el p´endulo se simple, ´este debe describir ´angulos muy peque˜ nos por lo que se introduciran solamente angulos considerablemente peque˜ nos.

Resultados y discusi´ on Al correr el programa se introdugeron datos como se muestra en la tabla 1. En ´esta tabla se indica como se hace variar el ´angulo, manteniendo constante la velocidad. En la tabla 2 se muestra que se var´ıa la velocidad angular inicial y que el ´angulo se mantiene constante. De otro modo, en la tabla 2 se muestra que ambas variaron. Estos datos son una relaci´on de los valores introducidos al programa, as´ıpues en los gr´aficos 1, 2 y 3, se muestran las gr´aficas de los resultados obtenidos a partir de las tablas, dibujando el espacio fase de cada una de las tablas. Las g´aficas 1 y 2 resultaron como se esperaba para un p´endulo simple, sin embargo la gr´afica 3 se comport´o de la misma manera que se mostrar´ıa un p´endulo f´ısico, pues en base a los datos de las tablas se puede anticipar que est´a siendo acelerado. 6


8

”Archivo.dat”

6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Figure 1: Gr´afica 1 θ ω 1.0 0 1.5 0 2.0 0 2.5 0 3.0 0

N 100 100 100 100 100

θ 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

ω 10 15 20 25 30

N 100 100 100 100 100

θ 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

ω 10 15 20 25 30

N 100 100 100 100 100

Conclusiones Se modelaron tres experimentos de manera que en cada uno se apreciara f´acilmente el espacio fase que describe un p´endulo simple dados los valores de las tablas anteriores. De esto se puede concluir que: Se puede observar que para peque˜ nas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes m´as grandes la oscilaci´on ya no es senoidal. Se observa en la Figura 3 que si se var´ıa el a´ngulo conforme se var´ıa la velocidad angular se obtiene un sistema acelerado y se puede explicar por qu´e la gr´afica se muestra as´ı, de aqu´ı, se puede deducir que el p´endulo, bajo las condiciones aplicadas en la tabla 3, ´este no es un simple, a estos p´endulos se les llama f´ısicos. 7


5

”Archivo2.dat”

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figure 2: Gr´afica 2

8

”Archivo3.dat”

6 4 2 0 -2 -4 -6 -5

0

5

10

15

20

Figure 3: Gr´afica 3

8

25

30

35


Bibliograf´ıa • Sears, F. W, Zemansky, M. W, Young, H. D, Freeman, R. A.(2004). F´ısica Universitaria. (und´ecima edici´on). M´exico: Pearson-Addison Wesley. • http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Cromer algorithm. • http://es.wikipedia.org/wiki/Movimientoarm´onicosimple • http://euler.us.es/niurka/penduloS08/fig2-pends.jpg • MacDonald, J. The Euler-Cromer method. University of Delaware. http://www.physics.udel.edu 2007-03-03

Ap´ endice A continuaci´on, se presenta el c´odigo fuente del programa de Euler-Cromer. PROGRAM Pendulo !—————————————————————————————! !El programa resuelve la ecuacion del pendulo mediante el metodo de Euler semi-implcito.! !Las variables usadas son: ! ! Tf: tiempo final. ! ! Qi: angulo inicial. ! ! Wi: velocidad angular inicial. ! ! N: numero de iteraciones. ! ! h: delta T. ! ! Q: angulo. ! ! W: velocidad angular. ! ! g: aceleracion de la gravedad. ! ! R: longitud del pendulo. ! ! i: contador. ! !—————————————————————————————! IMPLICIT NONE REAL :: Tf, Qi, Wi, h, Q, W, g, R INTEGER :: N, i !Presentacion del programa

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PRINT *, ”El programa resuelve la ecuacion del pendulo mediante el metodo de Euler semi-implcito.” PRINT *, ”Introduzca el angulo al tiempo t0 (en radianes)” READ *, Qi PRINT *, ”Introduzca la velocidad angular al tiempo t0:” READ *, Wi PRINT *, ”Numero de iteraciones deseadas:” READ *, N !Se calcula la longitud de los intervalos de tiempo H = 0.05 R = 1.00 g = 9.81 !Primer paso para calcular W1 y Omega1 W = Wi - (g/R)*sin(Qi)*h Q = Qi + (W*h) !Se abre el archivo donde se guardaran los datos, se cambia el nombre por grafica OPEN(10, FILE=”Archivo.dat”, STATUS=”UNKNOWN”, ACCESS=”APPEND”) DO i = 1,N W = W - (g/R)*sin(Q)*h !W(n+1) = Wn - (g/R)sen(Omegan)h Q = Q + (W*h) !Q(n+1) = Qn + (Wn)h WRITE (15,*) Q, W !Escribe a archivo END DO CLOSE(10) END PROGRAM Pendulo

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El péndulo.  

Se describe al péndulo como movimiento oscilatorio uniforme y se desarrolla un programa para la simulacion

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