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Nació el 31 Marzo 1596 en La Haya (hoy Descartes),Turena, Francia. Descartes fue educado en el colegio Jesuita de La Flèche en Anjou. Entró a la escuela a la edad de ocho años, justo pocos meses después de la apertura de la escuela en enero de 1604. Estudió allí hasta el 1612, estudiando los clásicos, lógica y la filosofía tradicional Aristotélica. También aprendió matemáticas a partir de los libros de Clavius. Mientras se encontraba en la escuela su salud era mala y se le otorgó permiso para quedarse en cama hasta las 11 de la mañana, una costumbre que conservó hasta el año de su muerte. La escuela le hizo comprender a Descartes lo poco que sabía, el único tema que era satisfactorio para él eran las matemáticas. Esta idea se convirtió en la base de su manera de pensar y fue la forma para la base de todos sus trabajos. Descartes pasó tiempo en París, aparentemente manteniéndose ensimismado, después estudió en la Universidad de Poitiers. Obtuvo un título en leyes en Poitiers en 1616 y después se enlistó en la escuela militar en Breda. En 1618 comenzó a estudiar matemáticas y mecánica con el científico holandés Isaac Beeckman, y comenzó a buscar una ciencia unificada de la naturaleza.


Ya cansado de sus viajes, Descartes en 1628 decidió establecerse fijo. Pensó mucho al respecto para escoger un país de acuerdo con su manera de ser y escogió Holanda. Fue una buena decisión de la que parece ser que nunca se arrepintió durante los siguientes veinte años En Holanda, Descartes tenía un número de amigos científicos y contactos continuos con Mersenne. Su amistad con Beeckman continuaba y también tenía contacto con Mydorge, Hortensius, Huygens y Frans van Schooten (el mayor)  “Si no conoces quienes son, busca sus biografías, es interesante” Descartes fue presionado por sus amigos a publicar sus ideas y aunque estaba obstinado en no publicar Le Monde, escribió un tratado sobre ciencia bajo el título Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences. (conocido simplemente como Discurso del método). Tres apéndices de este trabajo fueron La Dioptrique, Les Météores, y La Géométrie. El tratado fue publicado en Leiden en 1637.


El contenido de esta obra es extenso y variado, pero recordemos

que es ante todo una autobiografía que tiene ante todo un fin pedagógico, es la historia de Descartes la que se ha configurado en esta obra es necesario aclarar que las satisfacciones que se puedan tener gracias a su lectura son personales y ligadas a la interioridad y a esa sensación que existe cuando nosotros mismos sabemos que hemos llegado a comprender algo. La Dióptrica es un trabajo sobre óptica . Sin embargo su enfoque a través de la experimentación fue una contribución muy importante. Descartes se había dado cuenta de que existían muchas ciencias, pero no todas ellas son verdaderas ni tampoco útiles, tal como lo habían hecho los matemáticos de su tiempo quienes según él "se han sujetado tanto a ciertas reglas y a ciertas cifras que han hecho de ella un arte confuso y oscuro, que confunde al espíritu, en lugar de una ciencia que lo cultive." Por eso él creyó que debía existir un método que sin ser demasiado extenso en sus pasos permitiera lograr el conocimiento verdadero, ya que si un método o una fórmula es muy larga, en la práctica resultara difícil de aplicar y bastante confusa. Les Météores es un trabajo sobre meteorología y es importante por ser el primer trabajo que intenta llevar el estudio del tiempo sobre una base científica. Sin embargo muchas de las pretensiones de Descartes están no solo equivocadas sino que podía verse fácilmente que estaban mal si hubiese realizado algunos experimentos sencillos. Por ejemplo, Roger Bacon demostró el error en la creencia común de que el agua que había sido hervida se congela más rápidamente.


La Géométrie es por mucho, la parte más importante de este trabajo. Se resume la importancia de este trabajo en cuatro puntos: *Realiza el primer paso hacia una teoría de las invariables, que en pasos posteriores des-relativiza el sistema de referencia y quita las arbitrariedades. *El álgebra hace posible reconocer los problemas típicos en geometría y juntar problemas que en una presentación geométrica parecerían no estar relacionados en nada. *El álgebra lleva a la geometría los principios más naturales de división y el método de jerarquía más natural. *No solo pueden resolverse preguntas de geometría y de resoluciones de forma rápida y totalmente desde el álgebra paralela, sino que sin ella no podrían ser resueltos. Algunas ideas en su La Géométrie pueden haber sido de algún trabajo anterior de Oresme, pero en el trabajo de Oresme no existe evidencia de enlazar el álgebra y la geometría. INTERESANTE: En 1644, el año que se publicaron sus Meditaciones, Descartes visitó Francia. Regresó nuevamente en 1647, cuando conoció a Pascal y discutió con él que un vacío no podía existir. En 1649 la Reina Cristina de Suecia convenció a Descartes que fuera a Estocolmo. Sin embargo la Reina deseaba dibujar tangentes a las 5 a.m. y Descartes rompió el hábito de toda su vida de levantarse a las 11 en punto. Después de pocos meses en ese clima frío del norte, caminando hacia el palacio a las 5 en punto cada mañana, murió de neumonía el 11 Febrero 1650.


Sin lugar a dudas, puede afirmarse que muy pocos aspectos o ramas de las matemáticas pueden asignarse al trabajo de un único individuo. La Geometría Analítica de Descartes no fue la excepción a esto., es decir, no fue un producto exclusivo de sus investigaciones, sino más bien, la síntesis de varias tendencias matemáticas convergentes en los siglos XVI y XVII. Entre los autores que contribuyeron a las tendencias citadas pueden contarse Apolonio, Oresme, Vieta y muchos otros matemáticos. Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría Analítica", apéndice al "Discurso del Método", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.


Resulta de particular interés, por su magnitud e importancia, el trabajo de Apolonio (262 – 190 a. de C.), Las Cónicas1, en el que ya se advierten, respecto al uso de coordenadas, muchos aspectos tan similares a los acercamientos modernos, tanto que, en algunas ocasiones, es juzgado como una geometría analítica que se anticipó a aquella de Descartes y Fermat por 1800 años, en la que se identifican formas retóricas de las ecuaciones de las curvas establecidas por Apolonio como relaciones entre las abscisas y las ordenadas. Las abscisas y las ordenadas de la época eran aplicaciones de líneas de referencia en general, y de un diámetro y una tangente en sus extremos en particular, lo que no hace diferencias esenciales con un marco coordenado rectangular, o más generalmente, oblicuo. En este sistema de referencia, las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e intersecados entre el eje y la curva son las ordenadas.


El paso final en la preparación para las nuevas matemáticas infinitesimales, y aquel que tuvo más posibilidades para la investigación, fue el desarrollo de la geometría por René Descartes (1596 - 1650) y Pierre de Fermat (1601 - 1665). La Geometría de Descartes fue publicada en 1637 como uno de tres apéndices de su Discurso del Método.En el mismo año, Fermat envió a sus corresponsales en París su Introducción a los Lugares Planos y Sólidos. Estos dos ensayos establecieron los fundamentos para la geometría analítica. Sin embargo, aunque el trabajo de Fermat fue más sistemático en algunos aspectos, no fue publicado de hecho sino hasta 1679, después de su muerte, y por esta razón hoy hablamos de la geometría cartesiana en lugar de la geometría fermatiana.


Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. Desde un punto de vista formal (aunque ellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una relación fundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del Anillo de polinomios , resultando que ambas estructuras son equivalentes.


Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el área que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida s u inspiración. En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales (tanto de la solución en sí como problemas asociados a ellas, como puede ser el de las curvas ortogonales). Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna parte del análisis matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento del análisis complejo y de la geometría diferencial.


A los siete años, tras serios esfuerzos de su madre para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época. A los nueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta. Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1+ 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 101 Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando 101 . 50 = 5.050 “Ligget se!” Büttner tenía un ayudante, un joven estudiante de 17 años, Martin Bartels, que se encargaba de las clases de escritura de los más pequeños. Pero, por suerte para Gauss y para la ciencia , Bartels era una amante de las matemáticas, y un buen matemático, que acabó obteniendo una cátedra en la universidad de Kazan en la que dio clases de 1808 a 1820 teniendo como alumno a Lobachevski. A pesar de la diferencia de edad, Gauss tenía 10 años, juntos se iniciaron en los caminos de las matemáticas.


La principal contribución de Gauss a la geometría es la creación de la geometría diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el análisis matemático y la geometría había hasta entonces y desarrollándolas ampliamente. Partiendo de la base de que la geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica, demuestra que si consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides. Estas consideraciones llevaron aGauss a considerar la posibilidad de crear geometrías no euclídeas, pero aunque a esas alturas ya era el matemático más prestigioso de Europa, consideró que la mentalidad de la época no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca publicó esos resultados. Sólo vieron la luz cuando Bolyai publicó su geometría no euclídea, y comprobó que la comunidad científica general aceptaba el resultado.


La primera persona que realmente entendió el problema de las paralelas fue Gauss. Empezó a trabajar sobre el quinto postulado en 1792 cuando tenía apenas 15 años de edad, intentando primero demostrar el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro. Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto postulado era independiente de los otros cuatro postulados. Empezó a deducir las consecuencias de una geometría en la que más de una línea puede dibujarse que pase por un punto dado y que sean paralelas a una recta dada. Tal vez lo más sorprendente de todo es que Gauss nunca publicó este trabajo sino que lo mantuvo en secreto. En esa época el pensamiento estaba dominado por Kant, quien afirmó que la geometría euclidiana es la inevitable necesidad de pensamiento y a Gauss le disgustaba la controversia. Gauss discutió la teoría de las paralelas con su amigo, el matemático Farkas Bolyai quien hizo varias demostraciones falsas del postulado de las paralelas. Farkas Bolyai le enseñó matemáticas a su hijo, János Bolyai pero, a pesar de haber pedido a su hijo que no perdiera una sola hora en ese problema del quinto postulado, János Bolyai sí trabajó en el problema. Gauss, después de leer las 24 páginas, describió a János Bolyai en esta s palabras al escribirle a un amigo: Veo a este joven geómetra Bolyai como un genio de primer orden. Sin embargo en cierto sentido Bolyai solamente supuso que la nueva geometría era posible. Después siguió las consecuencias de manera no muy diferente a la de aquellos que habían elegido suponer que el quinto postulado era falso y buscaban una contradicción.


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No queda disminuido el trabajo de Bolyai porque Lobachevsky publicara una obra sobre geometría no-euclidiana en 1829. Ni Bolyai ni Gauss sabía del trabajo de Lobachevsky, principalmente porque fue publicada nada más en ruso en el Mensajero de Kazan, una publicación universitaria local. El intento de Lobachevsky para llegar a un audiencia más amplia había fallado cuando su artículo fue rechazado por Ostrogradski.

De hecho, a Lobachevsky no le fue mejor que a Bolyai para atraer el reconocimiento público de su trascendental obra. Publicó Investigaciones geométricas sobre la teoría de las paralelas en 1840, la cual, en sus 61 páginas, da la narración más clara del trabajo de Lobachevsky. La publicación de un recuento en francés en el Diario de Crelle en 1837 llevó su trabajo sobre geometría no-euclidiana a una gran audiencia pero la comunidad matemática no estaba lista para aceptar ideas tan revolucionarias.


Por otra parte, Riemann, quien escribió su disertación doctoral bajo la supervisión de Gauss, dio una conferencia inaugural el 10 de junio de 1854 en la cual reformuló por completo el concepto de geometría a la cuál el vio como un espacio con suficiente estructura adicional como para poder medir cosas como la longitud. Esta plática no fue publicada sino hasta 1868 dos años después de la muerte de Riemann, pero tendría una profunda influencia en el desarrollo de gran cantidad de geometrías distintas. Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría de la Relatividad. El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometría considera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, el espacio tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estudiado como una variedad diferenciable, y que al introducir en ella una métrica se está determinando la geometría que gobierna ese objeto. Por ejemplo, el plano no es, por sí solo, euclidiano ni no euclidiano, sino que introduciendo la métrica euclídea es cuando en el plano verifica el V postulado de Euclides. Si en lugar de considerar esa métrica se introduce en el plano otra métrica, como la de Lobatchevsky, deja de verificarse el mismo postulado.


Klein es la otra gran pieza clave de la Geometría en el siglo XIX. En 1871 descubrió que la geometría euclidiana y las no euclidianas pueden considerarse como casos particulares de la geometría de una superficie proyectiva con una sección cónica adjunta. Esto implicaba dos cosas: la primera es que la geometría euclidiana y las no euclidianas podían considerarse como casos particulares de la geometría proyectiva (o mejor dicho, de la geometría de una superficie en un espacio proyectivo). La segunda, que la geometría euclidiana es consistente (es decir, no puede llevar a contradicciones) si y sólo si lo son las geometrías no euclidianas. Con esto se da fin a la controversia de si las geometrías no euclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto coleará aun unos años ante el escepticismo de quienes considerarán erróneo el argumento de Klein. Klein mostró que hay tres tipos básicos de geometría. En la del tipo de la de Bolyai-Lobachevsky, las rectas tiene dos puntos infinitamente distantes. En la geometría esférica del tipo de Riemann, las rectas no tienen puntos infinitamente distantes (o más precisamente dos imaginarios). La geometría euclidiana es un caso límite entre las dos en el cual para cada línea hay dos puntos infinitamente distantes que son coincidentes.


REFERENCIAS Wikipedia. [página web en línea] .Disponible: http:/www.wikipedia.com/ Platea. [página web en línea]. Disponible: http:/www.platea.pntic.mec.es/ Historia de las matemáticas [página web en línea]. Disponible: http:/www.astroseti.org/ Slides Share. [página web en línea].Disponible: http/www.slideshare.net/ Conceptos Matemáticos[página web en línea]. Disponible: http:/mathematicsdictionary.com/

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