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REVISTA DIGITAL

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PROGRAMACION LINEAL Est. 1869

30 DE NOVIEMBRE DE 2016

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METODO SIMPLEX DUAL CONOCE SU HISTORIA El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, afín de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1.947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria. Los fundadores de la técnica son Geoge Dantzig, quien público el algoritmo simplex, en 1.947, John von Neumann, que desarrollo la teoría de la dualidad en el mismo año.

y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal.

John Von Neumann

Leonid Kantorovich

George B. Dantzig


Este método se aplica a problemas óptimos pero infactibles. En este caso, las restricciones se expresan en forma canónica (restricciones ). La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema.


CONDICION DE FACTIBILIDAD. • La variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo (los empates se rompen arbitrariamente si todas las variables básicas son negativas, el proceso termina y esta última tabla es la solución óptima factible).

Área de Juegos


Área de Diversión

CONDICION DE OPTIMIDAD. Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero. La variable que entra es aquella con el cociente más pequeño si el problema es de minimizar o el valor absoluto más pequeño si el problema es de maximización(rompa los empates arbitrariamente). Si los denominadores son ceros o positivos el problema no tiene ninguna solución factible.


PARA QUE SE UTILIZA

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Como sabemos, el método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). La base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalidad. Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que como contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la solución óptima. El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex.


Metodo SIMPLEX-DUAL

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QUE IMPLICA RESOLVERLO CON OTRO METODO:

Una de las ventajas de la existencia del programa dual es la posibilidad de reducir el esfuerzo computacional al resolver ciertos modelos de programación lineal. Permite resolver problemas de programación lineal de forma más rápida y sencilla. Es otra vía para resolver un problema de programación lineal. Facilita profundizar en el contenido económico del problema original (primal).

Puede ser utilizada para resolver el caso en que se debe considerar la introducción de una nueva variable en el primal una vez que ha de sido obtenida la solución óptima, sin tener que resolver completamente el problema.

Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver

gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables.


PROCESO

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FUNCIร“N OPTIMA: MIN Z=4X1 + 12X2 + 18X3 SUJETA A : X1 + 18X3 >= 3 2X2 + 2X3 >= 5 X1 X2 X3 >= 0

Convertir el problema de minimizaciรณn en uno de maximizaciรณn . La funciรณn objetico se multiplica por -1

MIN Z= -4X - 12X - 18X 1

2

3


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La restricciones se multiplican por -1

-X

- 18X <= -3 -2X - 2X <= 5 X X X >= 0 1

3

2

1

2

3

3

Se convierten las inecuaciones en ecuaciones

Z + -4X - 12X - 18X = 0 -X1 - 18X3 + S1 >= -3 -2X2 - 2X3 + S2 >= 5 1

2

3

Se determinan las variables bรกsicas y no bรกsicas.

S yS 1

2

X X X 1

2

3


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Se elabora la tabla inicial de simplex

Determinar la variable que sale (fila pivote) El número mas negativo de la solución de las restricciones = fila de S2

Determinar la variable que entra (columna pivoite). Razón mayor = columna X2 (-12/2)

Elaborar la nueva tabla de simplex a) Nueva fila pivote = fila pivote / elemento pivote


PROCESO b) Nuevas filas Fila anterior - coeficiente de la columna pivote * nueva fila pivote

Nueva tabla simplex

Se realizan nuevamente los pasos del 5 al 7 obteniendo como soluciรณn final:

Nota: No hay mรกs iteraciones cuando no existan soluciones con coeficientes negativos


APLICABILIDAD

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http://www.investigaciondeoperaciones.net/metodo_simplex.html

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http://ingenieria-industrial.net/software/jsimplex

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ZONA DE JUEGOS

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EJERCICIOS

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Ejemplo:

Min Z = 2X1 + X2 s.a 3X1 + X2 ³ 3 4X1 + 3X2 ³ 6 X1 + 2X2 ³ 3 X1, X2 ³ 0

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-3X1 - X2 £ -3 -4X1 - 3X2 £ -6 - X1 - 2X2 £ -3 X1, X2 ³ 0

2º Paso: Agregamos holguras positivas Min Z = 2X1 + X2 s.a -3X1 - X2 + S1 = -3 -4X1 - 3X2 +S2 = -6 1er Paso: Ponemos las restricciones en - X1 - 2X2 +S3 = -3 forma canónica X1, X2 ³ 0 Min Z = 2X1 + X2 s.a


3er Paso: Igualamos a 0 la funciรณn objetivo Z - 2X1 - X2 = 0


Como tiene factibilidad dual se puede aplicar el método dual-simplex. Hacemos la primera iteración Definimos la variable de salida, para ello tomamos el coeficiente más negativo de la columna de solución, esto es válido tanto para casos de Max como de Min.

Puesto que tiene factibilidad dual, se puede aplicar el método dual-simplex. Hacemos una segunda iteración


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2Obtenga

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el modelo partiendo del primal.

dual

Dual Primal Max Z = 5X1 + 12X2 + 4X3 s.a. X1 + 2X2 + X3 £ 5 2X1 – X2 + 3X3 = 2 X1, X2, X3 > 0

Min G = 5y1 + 2y2 s.a. y1 + 2y2 ³ 5 2y1 - y2 ³ 12 y1 + 3y2 ³ 4 y1 > 0, y

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3Ejemplo Consideremos el siguiente problema para ilustrar sobre la aplicación del Método Simplex Dual:

Para llevar el problema anterior a la forma estándar se requiere agregar 2 variables de exceso no negativas para la restricción 1 y 2, que llamaremos respectivamente X4 y X5. De esta forma el problema en su formato estándar queda definido por:


Luego construimos la tabla inicial del Método Simplex

Notar que ahora las variables básicas son X4 y X2 donde sólo X4=-1/4 lo que no satisface la condición de ser una solución básica factible. Por lo tanto realizamos una nueva iteración, en este caso sacando de la base a la variable X4 y calculamos el mínimo cuociente: Min{-40/-1; -160/-3; -60/-1/2}=40 ==> el cuociente mínimo está en la primera columna por tanto la variable X1 entra a la base. • En consecuencia se actualiza la tabla quedando lo siguiente:


MODELO DE LA EPOCA

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CONCLUSIONES

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• El método Dual Simplex sirve y se aplica para resolver problemas que empiezan con factibilidad dual, es decir, óptimos pero infactibles (No se puede realizar). • Comúnmente aquellos problemas de difícil solución son los de minimización. • El método simplex y el dual simplex se encuentran muy ligados, permitiendo que la restricción de uno sean las variables del otro. • Las características básicas de una minimización para desarrollar el método dual simplex es que tengan restricciones del mayor o igual que y donde las variables sean mayores o iguales a cero


INTEGRANTES

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YEHNDER BRAYAN RODRIGUEZ ROJAS RODOLFO SUAREZ COTE MARISOL MORENO NIÑO YEFERSON SANCHEZ FLOREZ

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