Issuu on Google+

ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ Ph.D. Μαθηματικών M.Sc. Διδακτικής Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

ΤΑ ΒΥΖΑΝΤΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ The codex Vindobonensis phil. Gr. 65 of the 15th century (f.11r126r) ΤΟΜΟΣ ΙΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ) γ΄ έκδοση

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ ΑΘΗΝΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2014


ΜΑΡΙΑ ΧΑΛΚΟΥ Ph.D. Μαθηματικών ΕΚΠΑ M.Sc. Διδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηματικών ΕΚΠΑ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΑ ΒΥΖΑΝΤΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ The codex vindobonensis phil. Gr. 65 of the 15th century (f.11r-126r) ΤΟΜΟΣ ΙΙ Γεωμετρία (Γεωδαισία) Το ελληνικό χειρόγραφο 65 της Βιβλιοθήκης της Βιέννης γ΄ έκδοση

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΑΡΙΑ Δ. ΧΑΛΚΟΥ ΑΘΗΝΑ 2014 1


ISBN (SET) : 978- 618- 81161-1-5 ISBN (τ. 2) : 978-618-81161-3-9 Copyright: Μαρία Δ. Χάλκου, Βιτωλίων 159, Πειραιάς 18546 Maria D. Chalkou, 159 Vitolion Street, Piraeus 18546 Tηλ.: +302104619674 Κιν.: +306980496262 e-mail: mchalkou@gmail.com και mchalkou-p@sch.gr Ιστοσελίδα: http://blogs.sch.gr/mchalkou-p, http://chalkou.blogspot.com

2


3


4


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΧΕΙΡΟΓΡΑΦΟΥ ΣΕΛ. 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕΛ. 8 ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΑ΄ ΣΕΛ. 9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΣΕΛ. 10 ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΒ΄ ΣΕΛ. 20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΣΕΛ. 23 ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΓ΄ ΣΕΛ. 36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΣΕΛ. 39 ΤΟ ΕΚ ΜΕΤΑΓΡΑΦΗΣ ΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΚΩΔΙΚΑ 65 ΣΕΛ. 48 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΕΛ. 149 ΟΙ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΣΕΛ. 157

5


6


ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΧΕΙΡΟΓΡΑΦΟΥ Ὁ Βιενναῖος Ἑλληνικὸς φιλολογικὸς κώδικας 65 (Codex Vindοbonensis phil. gr. 65), ἀποτελεῖται ἀπὸ χαρτί, καὶ ἔχει γραφεῖ τὸν 15ο αἰ. μ.Χ.1 Ὁ συγγραφέας καὶ ἡ προέλευσή του2 μᾶς εἶναι ἄγνωστα, ἀλλὰ γνωρίζουμε ὅτι τὸν ἀπέκτησε ὁ Augerius von Busbeck, ὅταν ἦταν πρεσβευτὴς τοῦ αὐτοκράτορα Φερδινάνδου τοῦ Α΄ στὴν αὐλὴ τοῦ σουλτάνου Σουλεϊμὰν τοῦ Β΄ (1555-1562 μ.Χ.)3. Τὰ πρῶτα φύλλα (126β-140α) περιέχουν ἕνα βιβλίο Ἀριθμητικῆς μὲ λυμένα προβλήματα, τὸ ὁποῖο ἐξέδωσαν τὸ 1963 οἱ H. Hunger καὶ K. Vogel. Τὸ μεγαλύτερο μέρος τοῦ κώδικα (φ. 11α-126α, ἢ 231 σελίδες) περιέχει ἕνα ἀνώνυμο βιβλίο Ἀριθμητικῆς, Ἄλγεβρας, καὶ Γεωμετρίας, τῆς ὁποίας τὰ δύο πρῶτα κεφάλαια καὶ τὸν πρόλογο (10 σελίδες) ἐξέδωσε ὁ J. L. Heiberg τὸ 18994. Τὸ ὑπόλοιπο τμῆμα τοῦ κώδικα ποὺ παρέμεινε ἀνέκδοτο ἕως το 2003, ἀφοῦ οἱ μελέτες τοῦ περιεχομένου τέτοιου εἴδους χειρογράφων σπανίζουν, ὀνομάζεται πλέον «Ἑλληνικὴ Βιενναία Μαθηματικὴ Πραγματεία»5, καὶ περιέχει τὶς ἑξῆς ἑνότητες. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Α. Κεφ. 1-39, 101, 102. Πράξεις μεταξὺ πραγματικῶν ἀριθμῶν. ΕΝΟΤΗΤΑ Β. Κεφ. 40-56. Κλάσματα, λόγοι, ἀναλογίες. Οἱ διαστάσεις του εἶναι 297/300x210/212 mm. Βλ. H. Hunger, Katalog der griechischen Handschriften der Österreichishen National Bibliothek, Teil 1 Codices Historici, Philosophici et Philologici, Wien 1961, Georg Prachner Verlag, σελ. 183. 2 Ὁ κώδικας ἀποτελεῖται ἀπὸ τὰ φύλλα (ἢ τὰ τεύχη) τὰ ὁποῖα δὲν ἑνώνονται σὲ ρολό, ἀλλὰ εἶναι τοποθετημένα ἁπλωτὰ ἀνάμεσα σὲ πινακίδες ἀπὸ ξύλο ἢ κάποιο ἄλλο ὑλικό· θεωρεῖται δὲ ὡς προδρομικὴ μορφὴ τοῦ σημερινοῦ βιβλίου. Ἐμφανίζεται τὸν 2ο αἰ. μ.Χ. ὁπότε λόγῳ τῆς εὐχρηστίας του ἀντικαθιστᾶ τὸν κύλινδρο. Τὴν ἴδια περίπου ἐποχή, ἡ περγαμηνὴ (δέρμα συνήθως μοσχαριοῦ ἢ ἀρνιοῦ) ὡς ὑλικὸ γραφῆς ἀντικαθιστᾶ τὸν πάπυρο. Ὁ κώδικας ἀποτελεῖται ἀπὸ συνενωμένα τεύχη, καὶ κάθε τεῦχος ἀπὸ ἕνα (μεταβλητὸ) ἀριθμὸ φύλλων διπλωμένων στὰ δύο. Βλ. Μioni, Εἰσ. Ἑλλ. Παλ., σελ.46, 49. 3 Σταμάτη, Κριτ. Βυζ. βιβλ. Ἀριθμ., σελ. 5. 4 H. Ηunger, Die hochspradilihe Literatur der Byzantiner (Ἑλλ. μετάφραση: Βυζαντινὴ Λογοτεχνία), τόμ. I-III, ἐκδ. MIET, Ἀθήνα 1994, τόμ. III, σελ. 65. 1

5

Ελλ Βιεν Μαθ Πραγμ. Βλ. σὲ Ἀνωνύμου Λογιστική, ἔκδ. Μαρία

Χάλκου, [Τὸ Μαθηματικὸ Περιεχόμενο τοῦ Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 τοῦ 15ου αἰ. Εἰσαγωγή, Ἔκδοση καὶ Σχόλια], ΚΒΕ τοῦ ΑΠΘ, 2006.

7


ΕΝΟΤΗΤΑ Γ. Κεφ. 57-60. Πρόοδοι. ΕΝΟΤΗΤΑ Δ. Κεφ. 61-94. Προβλήματα ἐξισώσεων Α’ βαθμοῦ. Ἐπίλυση μὲ πρακτικὴ ἀριθμητική. ΕΝΟΤΗΤΑ Ε. Κεφ. 95-100, 154, 155. Τόκοι δανείων ἢ ὀφειλῶν. ΕΝΟΤΗΤΑ ΣΤ. Κεφ. 103-106. Μερισμὸς σὲ μέρη ἀνάλογα. ΕΝΟΤΗΤΑ Ζ. Κεφ. 107-116. Προβλήματα ἀργυροχρυσοχοΐας. ΕΝΟΤΗΤΑ Η. Κεφ. 117-134, 239, 240, 241, 242. Ρίζες πραγματικῶν ἀριθμῶν. ΕΝΟΤΗΤΑ Θ. Κεφ. 135-140. Ἐπίλυση ἐξισώσεων. ΕΝΟΤΗΤΑ Ι. Κεφ. 141-153, 156-165, 234. Συστήματα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΑ. Κεφ. 166-184.Ἐπιπεδομετρία. ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΒ. Κεφ. 202-226. Ἐμβαδὰ ἐπιπέδων σχημάτων. ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΓ. Κεφ. 227-233, 235-238. Στερεομετρία. Τὸ χειρόγραφο εἶναι γραμμένο σὲ μικρογράμματη γραφή6, ἡ ὁποία ἦταν σὲ χρήση ἀπὸ τὸν 9ον αἰ. μ.Χ.7 Ἐπειδὴ τὰ χειρόγραφα ἦταν πολὺ ἀκριβά ἡ ἀντιγραφὴ γινόταν πιθανότατα ἀπὸ μαθητὲς καὶ ὁ τελικός ἔλεγχος ἀπὸ τὸν διδάσκοντα, ὁ ὁποῖος προσέθετε πολλὲς ὑποσημειώσεις καὶ ἐπεξηγήσεις, ποὺ ἀφοροῦσαν συνήθως σὲ παλαιότερες μεθόδους διδασκαλίας8. Ἐπειδὴ στὸ περιθώριο πολλῶν σελίδων τοῦ χειρογράφου ὑπάρχουν περιγραφὲς ἄλλων μεθόδων ἢ ἐπεξηγήσεις, εἶναι φανερό, ὅτι μετὰ τὴ γραφή του ἔγινε ἀντικείμενο περαιτέρω μελέτης καὶ προσθήκης νέων στοιχείων9. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΑ. Μioni, Εἰσ. Ἑλλ. Παλ., σελ. 77. Τὸ παλαιότερο χειρόγραφο σὲ μικρογράμματη γραφὴ εἶναι τὸ Σύνταγμα τεσσάρων μαθημάτων (Τετραβάγγελο), τὸ ὁποῖο γράφηκε το 835 μ.Χ. Τὸ χαρτὶ ἐμφανίζεται στὸ Βυζάντιο τὸ 1052 μ.Χ. Βλ. Lemerle, Βυζ. Οὐμ., σελ. 102-104. 8 Constantinides, High. Ed. Byz., σελ. 147. Γνωρίζουμε ὅμως, ὅτι καὶ οἱ ἀντιγραφεῖς ἔκαναν διορθώσεις μετὰ ἀπὸ ἀντιβολὴ τοῦ τελικοῦ κειμένου πρὸς τὸ ἀρχικό. Βλ. Μioni, Εἰσ. Ἑλλ. Παλ., σελ. 107. 9 Οἱ παρεμβολὲς γίνονταν καὶ ἀπὸ ἀναγνῶστες ἢ ἀντιγραφεῖς, οἱ ὁποῖοι ἤθελαν νὰ ἐπεξηγήσουν κάποιο θεμα. Βλ. Μioni, Εἰσ. Ἑλλ. Παλ., σελ. 124. 6 7

8


Ἡ ἐνδεκάτη ἑνότητα (κεφ. 167-184) ἀποτελεῖ τὸ πρῶτο μέρος τῆς Γεωμετρίας καὶ περιλαμβάνει προβλήματα ποὺ λύνονται κυρίως μὲ τὴ χρήση τοῦ Πυθαγορείου θεωρήματος, ἢ τοῦ "κανόνα τῆς σκάδρας", ὅπως αὐτὸ ὀνομάζεται στὸ χειρόγραφό μας. Οἱ μεθοδολογίες ἐπίλυσης, ἂν καὶ σὲ ὁρισμένες περιπτώσεις δὲν εἶναι διόλου γνωστές10 στὸν σύγχρονο μαθηματικὸ τῆς Β' βάθμιας Ἐκπαίδευσης, ἔχουν ἐντούτοις ἀρκετὰ κοινὰ σημεῖα μὲ αὐτὲς ποὺ χρησιμοποιοῦμε σήμερα σὲ ἀνάλογα προβλήματα. Ὁ συγγραφέας ἀσχολεῖται ἀποκλειστικὰ μὲ τὴν Εὐκλείδεια γεωμετρία11, τὴν ὁποία ἐφαρμόζει σὲ ἀσκήσεις καθαρὰ πρακτικοῦ περιεχομένου, χωρὶς ὅμως νὰ ἀπουσιάζουν καὶ τὰ θεωρητικὰ ζητήματα. Στὰ πρῶτα κεφάλαια τῆς ἑνότητας ὁ συγγραφέας ὁρίζει τὸν ἀριθμὸ π ὡς τὸν λόγο τῆς περιμέτρου δοθείσης περιφέρειας πρὸς τὴ διάμετρό της, καὶ θεωρεῖ ὅτι ἰσοῦται πρὸς 22/7, ἢ 3 1/7. Αὐτὴ ἡ προσέγγιση ἦταν παραδεκτὴ ἀπὸ τὸν ἴδιο τὸν Ἀρχιμήδη, ἐφόσον θὰ τὴ χρησιμοποιοῦσαν σὲ πρακτικὲς μετρήσεις12. Μποροῦμε λοιπὸν νὰ ὑποθέσουμε, ὅτι ὁ λόγος γιὰ τὸν ὁποῖο ἀκόμα καὶ σὲ θέματα θεωρητικοῦ περιεχομένου χρησιμοποιεῖται ἀπὸ τὸν συγγραφέα ἡ τιμὴ 3 1/7, εἶναι διότι αὐτὰ τὰ ζητήματα ἀποτελοῦσαν κατ' οὐσίαν προγύμνασμα γιὰ τὰ προβλήματα ποὺ ἀκολουθοῦσαν, καὶ τὰ ὁποῖα ἦταν πρακτικὰ προβλήματα τῆς καθημερινῆς ζωῆς. Οἱ προσεγγιστικὲς τιμὲς τοῦ π παρουσίαζαν μία ἐνδιαφέρουσα ποικιλία τόσο τὸν 15ο αἰ. ὅσο καὶ σὲ παλαιότερες ἐποχές. Ἐνδεικτικὰ ἀναφέρουμε, ὅτι τὸν 10ο αἰ. ὁ ἰνδὸς Srïdhara ἔθετε π=√1013, καὶ τὸν 13ο αἰ. ὁ κινέζος Ch' in Kiu-shao ἔδινε γιὰ τὸ π τὴν τιμὴ 3 1/714. Στὴν Αἴγυπτο δέ, ἀπὸ ἀρχαιότερους χρόνους

10

Βλ. τὰ σχόλια ἐπὶ τῶν ἀντιστοίχων κεφαλαίων. Οἱ Βυζαντινοὶ ἔτρεφαν μεγάλην ἐκτίμηση στὴν Εὐκλείδεια γεωμετρία. Ἀλλὰ καὶ ὁ Ν. Tartaglia στὴ Δύση πίστευε, ὅτι ἦταν εὐλογία θεοῦ νὰ μπορεῖ κανεὶς νὰ χρησιμοποιεῖ τὸ ἔργο τοῦ Εὐκλείδη σὲ ἐφαρμογὲς μηχανικὲς καὶ τεχνολογικές, ὀπτικές, γεωγραφικές, καὶ ἀρχιτεκτονικές. Βλ. Rose, Ital. Ren. Math., σελ. 152, 153. 12 Ἀπὸ τὸ ἔργο τοῦ Ἀρχιμήδη Κύκλου Μέτρησις (πρότ. 3) προκύπτουν γιὰ τὸ π οἱ ἑξῆς ἀνισοτικὲς σχέσεις: π<3 1/7, π>3 10/71. Βλ. W. R. Knorr, "Archimedes and the measure of the circle. A new interpratation, AHES, 15, N.2 (1976), Ἀρχιμήδους Ἄπαντα, ἐκδ. Ε. Σταμάτη, ΤΕΕ, Ἀθῆναι 1974, μέρος Β', τόμ. Ι, σελ. 454. 13 Smith, Hist. Math., τόμ. I, σελ. 274. 14 ὅ. π., σελ. 269. 11

9


καὶ μέχρι τὸ 1500 μ.Χ. χρησιμοποιοῦσαν τὴν τιμὴ 3,160515. Ὁ Μιχαὴλ Ψελλὸς θεωροῦσε ὅτι τὸ π ἦταν ἴσο μὲ √8=2,828427116. Μετὰ τὸν Ἀρχιμήδη, τὴν τιμὴ 3 1/7 υἱοθέτησαν ἀκόμα ὁ Ἥρωνας ὁ Ἀλεξανδρέας (περίπου 50 μ.Χ.)17, καὶ στὴ Δύση ὁ Φιμπονάτσι18, ὁ Dominicus Parisiensis (1378 μ.Χ.) ὁ Ἀλβέρτος ὁ Σάξων (1365 μ.Χ.), καὶ ὁ Νικόλαος τῆς Κούζας (1450 μ.Χ.)19. Ἰδιαίτερο ἐνδιαφέρον παρουσιάζουν οἱ μεθοδολογίες ἐπίλυσης τῶν προβλημάτων τῶν κεφαλαίων 182 καὶ 183, γιὰ τὴ λύση τῶν ὁποίων σήμερα θὰ χρησιμοποιούσαμε τὸ θεώρημα τῆς ἐσωτερικῆς διχοτόμου20 γωνίας τριγώνου. Στὸ χειρόγραφό μας δὲν γίνεται ἀναφορὰ στὸ ἀνωτέρω θεώρημα, καὶ ὁ συγγραφέας του μὲ ἐλάχιστες πράξεις ὑπολογίζει μὲ ἕνα δικό του τρόπο τὴ διχοτόμο γωνίας σκαληνοῦ τριγώνου, τοῦ ὁποίου οἱ πλευρὲς διαφέρουν μεταξύ τους κατὰ μία ἢ δύο μονάδες, κ.λπ. Στὰ σχόλιά μας ἐπὶ τῶν ἀντιστοίχων κεφαλαίων ἐπιχειροῦμε μία ὑποθετικὴ προσέγγιση τοῦ τρόπου ἐπίλυσης, τὸν ὁποῖο χρησιμοποιεῖ ὁ συγγραφέας. Τὸ πρόβλημα τοῦ κεφαλαίου 177 καὶ ἡ λύση του εἶναι ἴδια μὲ ἑνὸς τοῦ Ἀλ Χουαρίζμι, ὁ ὁποῖος εἶχε δεχθεῖ ἐπιρροὲς ἀπὸ τὸν Ἥρωνα τὸν Ἀλεξανδρέα21. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ κεφ. 167. (ρξζ). Εὕρεση τῆς διαμέτρου κύκλου ἀπὸ τὴν περίμετρο αὐτοῦ. Ὁ συγγραφέας τοῦ κώδικα θεωρεῖ τὴν περίμετρο ἴση μὲ 22 σπιθαμές, καὶ γράφει πὼς ὁ λόγος τῆς περιμέτρου πρὸς τὴν διάμετρο εἶναι πάντα ἴσος μὲ 3 1/7= 22/7. Κατὰ συνέπεια ἡ ζητουμένη διάμετρος θὰ εἶναι ἴση μὲ 22/(22/7)= 7 σπιθαμές. Lefort et al., Géom. fisc Byz., σελ. 13. Στὴν Αἴγυπτο ἡ γεωμετρία ἦταν ἐφαρμοσμένη ἀριθμητική. Δὲν ὑπῆρχε συσ��ηματικὴ παραγωγὴ κανόνων, χωρὶς ὅμως αὐτὸ νὰ σημαίνει, ὅτι τοὺς ἀγνοοῦσαν. Βλ. V. d. Waerden, Ἀφύπνιση, σελ. 24. Στὸν Πάπυρο τοῦ Rhind δίδεται ἡ τιμὴ 3,16. Βλ. Heath, Hist. Gr. Math., τόμ. I, σελ. 124. 16 Heath, Hist. Gr. Math., τόμ. II, σελ. 545. 17 << Ὅτι δὲ πάσης διαμέτρου τριπλασιέβδομος ἐστὶν ἡ περίμετρος, δήλη ἐστὶν χξ, καὶ αὐτὴ οὖσα, ὡς τρὶς τὸν σι ἔχουσαι καὶ τὸ ἕβδομον αὐτοῦ>>. Δηλαδὴ ὁ Ἥρων εὕρισκε τὴν περίμετρο τῆς περιφέρειας πολλαπλασιάζοντας τὴν διάμετρο ἐπὶ τὸ 3 1/7. Ηeron., Stereom., τόμ. V, σελ. 20, 190. Vincent, Géom. Prat. Gr., τόμ. XIX, σελ. 216. 18 Vogel, Fibonacci, σελ. 608. 19 Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 307. 20 Τὸ θεώρημα αὐτὸ διδάσκεται σήμερα στὴν Β' τάξη τῶν Λυκείων. 21 Boyer–Merzbach, Ἱστ. Μαθ., σελ. 261. 15

10


Προφανῶς τὸ 3 1/7 ἀντιπροσωπεύει τὸν ἀριθμὸ π, δηλαδὴ ἀποτελεῖ μία προσέγγιση τοῦ π= 3,14159... κεφ. 168. (ρξη). Εὕρεση τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου ἀπὸ τὴν διάμετρον αὐτοῦ. Χρησιμοποιεῖ τὸ ἴδιο πηλῖκον, δηλαδὴ Π/δ= 3 1/7, ὅπου τὸ Π συμβολίζει τὴν περίμετρο, καὶ τὸ δ τὴν διάμετρο. Στὸ χειρόγραφο βέβαια δὲν ὑπάρχουν συμβολισμοί, ἀλλὰ μόνον οἱ ἀντίστοιχες λέξεις τῆς περιμέτρου καὶ τῆς διαμέτρου. κεφ. 169. (ρξθ). Εὕρεση διαμέτρου καὶ περιμέτρου κύκλου, ἀπὸ τὸ μῆκος χορδῆς καὶ ἀπὸ τὴν ἀπόσταση τοῦ μέσου αὐτῆς ἀπὸ τὴν περιφέρεια. Σήμερα θὰ ὀνομάζαμε ρ τὴν ἀκτίνα τοῦ κύκλου, ὁπότε σύμφωνα μὲ τὸ Πυθαγόρειο θεώρημα θὰ εἴχαμε: ρ²= 4²+(ρ-2)², ἀπὸ ὅπου ρ= 5, καὶ δ= 10, δηλαδὴ Π= 10.π Μ

Ὁ συγγραφέας θέτει ΜΞ=2, ΜΚ=1, ΜΝ=4, ΚΛ=3, καὶ ἀκολουθεῖ τὴν ἑξῆς διαδικασία: 4.4= 16, 3.3= 9, 1.1= 1, 9+1= 10, 16-10= 6, 2.1= 2, 6/2= 3, 3.3= 9, 9+16= 25, ρίζα τοῦ 25 ἴσον 5, καὶ 5.2= 10= δ. Κατὰ τὸν συγγραφέα θὰ πρέπει νὰ ἰσχύει ἡ σχέση ΚΛ²+ΜΝ²= ρ², ἀλλὰ ἀφοῦ ΟΜ²+ΜΝ²= ρ², θὰ πρέπει ΟΜ= ΚΛ, τὸ ὁποῖο ἰσχύει γιατὶ θεωρεῖ ὅτι ΚΛ= 3 καὶ ΜΚ= 1, ἐνῶ ΜΞ= 2. Χρησιμοποιεῖ ἐπίσης καὶ ἕναν ἄλλο τρόπο: 4.4= 16, 16/2= 8, 8+2= 10= δ, Π= 10.(3 1/7)= 31 3/7. Κατὰ τὸν συγγραφέα θὰ πρέπει νὰ ἰσχύη ἡ σχέση: ΜΝ²/2+ΜΞ= 2.ΟΞ, ἢ ΜΝ²/2= ΟΜ+ΟΞ, ἢ ρ²-ΟΜ²= 2.ΟΜ+2.ΟΞ, ἢ ρ-ΟΜ= 2 τὸ ὁποῖο ἰσχύει στὴν συγκεκριμένη περίπτωση. 11


Maths2 preview