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SEMESTRE “A” CALCULO


Instituto de Investigación y Ensañanza Iberoamericano Nombre del alumno: Hernández Mendoza Erik Jair Nombre de la maestra: Ofelia Mercedez Izquierdo Valladares Materia: Calculo

2013-2014


PRIMER PARCIAL RELACIONES Y FUNCIONES


Ă?ndice 1.-evaluacion de funciones 2.-operaciones con funciones 3.-tipos de funciones 4.-relaciones y funciones 5.-funcion con partes 6.-guia de primer parcial


SEGUNDO PARCIAL LIMITES


INDICE 1.-Funcion por partes 2.- Aplicaci贸n de la definici贸n de limite de una funci贸n y sus propiedades 3.-Guia de examen del segundo parcial


TERCER PARCIAL INTRODUCCION AL CALCULO DIFERENCIAL


Indice 1.- Limites de funciones exponenciales. 2.-Razon de cambio promedio. 3.-Razon de cambio instantรกnea. 4.- Derivada de funciones.


CUARTO PARCIAL INTRODUCCION AL CALCULO INTEGRAL


Investigación. MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función f(x), se dice que tiene un m áximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a - e, a + e) en el que f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a - e, a + e). El máximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva. La función f(x) tiene un m ínim o relativo en un punto b si hay un intervalo (b - d, b + d) en el que f(x) > f(b) para cualquier punto x p erteneciente a (b - d, b + d). El m ínimo es entonces el punto (b, f(b)) de la curva.

A los m áximos y m ínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o sim plemente extrem os. Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener m ás de un máxim o y m ás de un mínim o. Consecuencias 1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados. En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0º) es cero. Com o estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inm ediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un m áximo o un mínimo. 2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0.


No obstante, aún no se dispone de ningún método que perm ita determ inar s i las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son m áximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro. Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y m uestra la figura, no siem pre se da. Así, en el punto (a,f(a)) hay un m ínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f'(a). Ejercicio:• ¿Qué puntos de la función f(x) = 2x2 - 3 pueden ser extremos relativos? Resolución: Los posibles extremos relativos de la función f(x) = 2x2 - 3 se obtienen al resolver la ecuación

f'(x) = 2 · 2x = 0, de donde necesariamente x = 0

Aún así no se puede asegurar si en este punto hay m áximo, mínimo o ni lo uno ni lo otro. Desde luego, si hay extremo relativo éste se encuentra en el punto de abscisa x = 0 que co rresponde al punto (0, - 3).


M áximo absoluto Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínim o absoluto Una función tiene su mínim o absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dom inio de la función .


Máxim o y m ínimo relativo Una función f tiene un máxim o relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al pu nto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Concavidad y puntos de inflexión La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

Definición de concavidad Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada

la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.


En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo cóncava hacia abajo en el intervalo

Teorema 5 Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre

.

Demostración: Si

y como

, entonces se

tiene que es creciente sobre por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre

.

Teorema 6 Si f es una función tal que cóncava hacia abajo sobre Demostración:

cuando .

, entonces la gráfica de f es

y


De la hipótesis:

, y como

decreciente sobre

, se obtiene que

es

por lo que según la definición dada sobre concavidad, la

gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre

.

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación

Si

entonces

Luego,

si

Como ellos negativa.

, y, y,

, entonces es positiva. Además

si

es creciente en los intervalos es decreciente en el intervalo

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo intervalo

.

.

La representación gráfica de la función

es la siguiente:

Representación gráfica de la función

, pues en pues en el

es

y cóncava hacia abajo en el


Observe que

es creciente en

y

y decreciente en

.

Representación gráfica de la función f:

Representación gráfica de la función f

Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos intervalo

y cóncava hacia abajo en el

.

Damos ahora la definición de punto de inflexión

Definición Se dice que

es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si

existe un intervalo

tal que

sobre

, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba

, y cóncava hacia abajo sobre

, o viceversa.

Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:


Ejemplos: 1. El punto

es un punto de inflexiรณn de la curva con ecuaciรณn

pues

es positiva si

arriba para

, y cรณncava hacia abajo para

Grรกficamente se tiene:

, y negativa si

,

, de donde f es cรณncava hacia .


2. Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación

Se tiene que

por lo que

Resolvamos las desigualdades

Como si arriba en esos intervalos.

entonces la gráfica de f es cóncava hacia

La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo

pues en él

.


Luego los puntos y tanto son puntos de inflexión.

son puntos en los que cambia la concavidad y por

La gráfica de la función f es la siguiente:

Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo. En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:

Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.

Teorema 7


Si

es un punto de inflexión de la gráfica de f y si

existe,

entonces Demostración: Al final del capítulo. Ejemplo: Considere la función f con ecuación La segunda derivada de f es

Note que

si

. .

, y,

Luego, f es cóncava hacia arriba para

Se tiene entonces que

si

, y cóncava hacia abajo para

es un punto de inflexión.

Evaluando la segunda derivada de f en expresado en el teorema anterior.

resulta que

con lo que se verifica lo

En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.

Teorema 8 Si: i. f es una función continua sobre un intervalo I, ii. es un punto interior de I tal que

existe, y

iii. Si existe un intervalo

1.

cuando

con

y

,

tal que:

cuando

, entonces

es un punto de inflexión de la gráfica de f. 2.

cuando

y

cuando

es un punto de inflexión de la gráfica de f.

, entonces


3.

cuando bien,

y

cuando

cuando

y

,o

cuando

entonces

no es un punto de inflexión de la gráfica de f. Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4, sustituyendo f por

,y

por

.

Ejemplos:

1. Sea f una función con ecuación con . Note quef es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La segunda derivada de f es

, que es igual a cero si y solo si

ó

.

Así Observemos la solución de las desigualdades siguiente tabla:

2. Como para y para un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8.

,y

por medio de la

entonces

es

De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como para y para punto de inflexión. 3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:

, con

, entonces

es un


Como se tiene que

Adem谩s

es mayor que cero para

arriba en su dominio, y por lo tanto

nunca se hace cero y que

no existe.

, por lo que f siempre es c贸ncava hacia no es punto de inflexi贸n.

Hernandez mendoza erik jair 3 b  

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