Page 1

        . .  , . .   


ЧАСТЬ I ГЛАВА 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК § 1. Математические выражения 1.

1) 12 ˜ x = 12x; 2) a ˜ c ˜ 7 = 7ac; 3) 4 ˜ b ˜ (10 – y) = 4b(10 – y); 4) m ˜ (n + 8) ˜ 2 = 2m(n + 8)

2.

80 + 2 = 82; 80 – 2 = 78; 80 ˜ 2 = 160; 80 : 2 = 40

3.

1) (57 + 19) ˜ 57 = 76 ˜ 57 = 4332; 2) (57 – 19) ˜ 19 = 38 ˜ 19 = 722; 3) 57 – 57 : 19 = 57 – 3 = 54; 4) 19 + (57 ˜ 19) = 19 + 1083 = 1102

4.

1) 143 : (67 – 54) = 143 : 13 = 11; 2) 13 ˜ (27 + 91) = 13 ˜ 118 = 1534; 3) 135 – (105 : 7) = 135 – 15 = 120; 4) (43 + 3) : (140 – 117) = 46 : 23 = 2

6.

1) 100 – 99 = 1; 2) 9999 : 1 = 9999; 3) 1 ˜ 3 ˜ 5 ˜ 7 ˜ 9 = 945; 4) 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 450

7.

1) a + b + c; 2) 2(a + b); 3) 4a

8.

57 + (103 – 6) — числовое выражение a – (b + c) — буквенное выражение

9.

1) 3 + (a – b); 2) ab – 7; 3) 5 ˜ (a : b); 4) (a + b) : 4

10.

а) v – 2; б) v + 1; в) v : 2; г) 2v

11.

1) a + (a – 3); 3) m – n – k; 5) (a + b + c + d) : 4;

12.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

13.

1) 100a; 2) 1000b; 3) 10c; 4) 10 000d

14.

1) 90 ˜ 2 + v ˜ 5 = 180 + 5v (км); 2) v ˜ 5 – 90 ˜ 2 = 5v – 180 (км)

15.

1) Первые 2 часа туристы шли по просёлочной дороге по скоростью 3 км/ч, а потом 5 часов по шоссе со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние прошли туристы? 3 ˜ 2 + 5 ˜ 5 = 6 + 15 = 21 (км) 2) Мама купила 4 яблока по цене 3 руб. и 2 груши по цене 5 руб.

2) 3b – b; 4) 5(c + d); 6) x + 3x + (3x – y)

x + y — стоимость яблока и груши. y – x — на сколько груша дороже яблока? 3x — стоимость трёх яблок. 8y — стоимость восьми груш. 3x + 8y — стоимость трёх яблок и восьми груш. 8y – 3x — на сколько восемь груш дороже трёх яблок. y : x — во сколько раз груша дороже яблока. 120 : y — сколько груш можно купить за 120 руб.?


7

       . .  , . .   

Какая стоимость покупки? 3 ˜ 4 + 5 ˜ 2 = 12 + 10 = 22 (руб.). 3) Насосы производительностью 3 м3/ч и 5 м3/ч работали 4 часа. Сколько воды они откачали? 3 ˜ 4 + 5 ˜ 4 = 32 (м3) 4) Длина одного прямоугольника 3 см, а другого — 5 см. Какая общая площадь прямоугольников, если их ширина составляет c см? 3c + 5c = 8с 16.

1) a : 20; 2) b : 8; 3) c – 2d; 4) n – 4t; 5) 4y – 4x = y – x 6) Пусть c — ширина первого прямоугольника, d — ширина второго прямоугольника, b — площадь прямоугольников. b = 5c; d = 7d; c = b : 5; d = b : 7 d < c; c – d = b : 5 – b : 7 7) a : 3 — производительность Вадима. c : 3 — производительность Дениса. (a : 3) : (c : 3) = a : c 8) Первый прочитает быстрее в x : y раз.

17.

1)

= 25

2)

= 54

= 30

=6

= 18

= 78

= 210

= 12

18.

НУМЕРАЦИЯ Первый столбец — сумма чисел Второй столбец — разность чисел Третий столбец — произведение и частное.

21.

Ошибки: а), в), е).

22.

Множество фигур на рисунке можно разбить на 3 подмножества? 1) по форме; 2) по размеру; 3) по цвету Записанные равенства соответствуют признаку разбиения по форме.

23.

1)

+

2)

5 072 496 4 293 512

55 017 608 3)

16 280 409

4)

572182

В 1 дм 100 мм

98 017 894 523 495 270

621513164 −

341562 004 87 316 945

254 245 059

15708 227 24.

+

в 1 м 100 см

в 1 км 10 000 дм


       . .  , . .   

9

35.

25 + 3 ˜ 4 = 37 — сумма числа и произведения двух чисел 18 : 3 + 24 = 30 — сумма частного двух чисел и числа 8 ˜ 6 + 19 = 67 — сумма произведения двух чисел и числа Общее — последнее действие — сложение 72 – 16 ˜ 2 = 40 — разность числа и произведения двух чисел 90 – 45 : 5 = 81 — разность числа и частного двух чисел 6 ˜ 9 – 38 = 16 — разность произведения двух чисел и числа Общее — последнее действие — вычитание (18 + 12) ˜ 7 = 210 — произведение суммы чисел на число (21 – 6) ˜ 3 = 45 — произведение разницы чисел на число 5 ˜ (25 + 47) = 360 — произведение числа на сумму чисел Общее — последнее действие — произведение (40 – 12) : 4 = 7 — частное разности чисел и числа (9 ˜ 8) : 6 = 12 — частное произведения двух чисел и числа 48 : (3 ˜ 8) = 2 — частное числа и произведения чисел Общее — последнее действие —деление

36.

1) (100 : 20) ˜ (7 + 5) + 31 – (40 – (8 ˜ 3)) = 5 ˜ 12 + 31 – 40 + 24 = 75 2) (90 – 6) : 14 + (62 – 27) + (35 : 7) ˜ 19 = 84 : 14 + 35 + 5 ˜ 19 = = 6 + 35 + 95 = 136

37.

1) (27 + 5) ˜ 4 – 32 = 96; 2) (5 ˜ 7 – 15) : 4 = 5; 3) (48 : 4 + 8) ˜ 6 = 120 4) (21 – 3) : 6 – 2 = 1

38.

1) Решение: 28 + (28 + 15) = 71 (гриб.) Ответ: девочки нашли 71 гриб. 2) Решение: 104 – (104 : 4) = 78 (руб.) Ответ: Стасу нужно еще 78 рублей. 3) Решение: 50 – 2 ˜ 9 = 32 (кг) Ответ: в мешке осталось 32 кг картофеля. 4) Решение: (25 – 7) : 3 = 6 (уч.) Ответ: в каждой команде по 6 учеников.

39.

1) 0 + 52 = 52 18 + 52 = 70 49 + 52 = 101 3) 16(25 – 16) = 144 24(25 – 24) = 24 25(25 – 25) = 0

40.

1) Решение: a : b; 800 : 50 = 16 (мин) Ответ: Олег потратит на дорогу 16 минут. 2) Решение: (c + d) : t (5 + 1) : 2 = 3 (км/ч) Ответ: Костя шел со скоростью 3 км/ч.

2) 90 – 0 : 9 = 90 90 – 9 : 9 = 89 90 – 810 : 9 = 0 4) 240 : 1 – 4(15 + 5) = 160


2002–2011 гг.

10

41.

42.



3) Решение: x : 10 – (x + y) : 15; 250 : 10 – (250 + 20) : 15 = 25 – 18 = 7 (руб.) Ответ: блокнот дешевле тетради на 7 рублей. 4) Решение: a : b – a : (b + 5); 1800 : 45 – 1800 : (45 + 5) = 40 – 36 = 4 (м) Ответ: ширина второго участка меньше на 4 м. 5) Решение: (m + n + 3) : (m + 3); (2 + 10 + 3) : (2 + 3) = 15 : 5 = 3 (раза) Ответ: через 3 года Саша будет младше Игоря в 3 раза. 6) Решение: c – b + d – c : 4; 24 – 5 + 8 – 24 : 4 = 21 (чел.) Ответ: в трамвае остался 21 человек. a

0

1

2

20 – a

3

4

5

6

7

20

19

4a

0

4

18

17

16

15

14

13

8

12

16

20

24

28

a

1

3

4

6

7

8

9

15

b

0

4

5

6

9

10

11

29

2a + 2b

2

14

18

24

32

36

40

88

2(a + b)

2

14

18

24

32

36

40

88

1) 0; 1; 2; 3 2) 5; 6; 7 3) 4

2a + 2b = 2(a + b) 43.

Решение: 20 – a Ответ: задача имеет смысл при 20 t a t 0. При a = 25 задача не имеет смысла, потому что Витя не может отдать 25 марок, потому 1 что у него их только 20. При a = задача не имеет смысла, потому 5 что подарить можно только целую марку.

44.

(18 – x) : x (18 – 1) : 1 = 17 (18 – 2) : 2 = 8 (18 – 3) : 3 = 5 (18 – 6) : 6 = 2 (18 – 9) : 9 = 1 При x = 5 и x = 20 — значение выражения будет нецелое число. При x = 0 — выражение не имеет смысла, т. к. на 0 делить нельзя.


11

       . .  , . .   

45.

32

2

30

15

75

И

8

32

96

16

9

В

Е

4

40

32

160

208

А

С

160

78

13

32

128

Н

У

90

9

63

126

32

Р

90

8

208

9

128

4

128

75

4

У

Р

А

В

Н

Е

Н

И

Е

46.

1) x = 7409 + 56 924 = 64 333 Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. 2) x = 140 053 – 72 315 = 67 738 Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. 3) x = 610 408 – 5914 = 604 494 Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. 4) (x + 7958) = 93 204 – 18 376 = 74 828 x = 74 828 – 7958 = 66 870

47.

1 см2 = 100 мм2; 1 м2 = 10 000 см2; 1 га = 100 а; 1 км2 = 1 000 000 м2

48.

1) 100a; 2) 10 000b; 3) 100c; 4) 10 000d

49.

а) 5 м2 9 дм2 + 74 дм2 = 509 дм2 + 74 дм2 = 583 дм2 = 5 м2 83 дм2 б) 48 га 3 а – 2 га 17 а = 45 га 86 а в) 4 га 8 а + 19 га 52 а = 23 га 60 а г) 15 м2 6 см2 – 7 м2 45 см2 = 150 006 см2 – 70 045 см2 = 79 961 см2 = = 7 м2 9961 см2 = 7 м2 99дм2 = 61 см2

50.

1) a ˜ b; 2) m ˜ n – x ˜ y; 3) c ˜ b – a ˜ d; 4) (m + x) ˜ (n + y) – n ˜ x

51.

1) Решение: 7 дм = 70 см 70 + 2 = 72 (см) — длина (70 + 72) ˜ 2 = 284 (см) 70 ˜ 72 = 5040 (см2) Ответ: периметр прямоугольника 284 см; площадь 5040 см2. 2) Решение: 12 а = 1200 м2 1200 : 48 = 25 (м) — ширина 25 – 5 = 20 (м) 48 + 5 = 53 (м) 20 ˜ 53 = 1060 (м2) 1200 – 1060 = 140 (м2) Ответ: площадь участка уменьшилась на 140 м2.


12

2002–2011 гг.



52.

1) Решение: 36 ˜ 7 = 252 (см2) Ответ: увеличится на 252 см2 2) Решение: 5 м 2 дм = 52 (дм) 52 ˜ 8 = 416 (дм2) Ответ: уменьшится на 416 дм2

53.

1) Решение: 1) 84 – 20 = 64 (руб.) 2) 64 : 4 = 16 (руб.) Ответ: открытка стоила 16 рублей. 2) Решение: 1) 80 ˜ 30 = 2400 (м) 2) 80 – 20 = 60 (м/мин) 3) 60 ˜ 10 = 600 (м) 4) 2400 + 600 = 3000 (м) 3000 м = 3 км Ответ: расстояние от Алешиного дома до озера 3 км.

54.

1) (9 ˜ 20 + 60) : 4 – 16 – 4 ˜ (20 : 5) = 240 : 4 – 16 – 16 = 28 2) 490 : 7 + (57 + 7) : 8 ˜ 2 – 3 ˜ (26 – 6) = 70 + 16 – 60 = 26

55.

1) 2(2 + 1)(2 + 2)(2 + 3) = 2 ˜ 3 ˜ 4 ˜ 5 = 120 2) (2 ˜ 26 – 3 ˜ 9) : 3 = (52 – 27) : 5 = 25 : 5 = 5

56.

1) Решение: (a + b) : a; a = 2; b = 8 (2 + 8) : 2 = 5 (руб.) Ответ: первый рыбак поймал в 5 раз меньше рыб, чем второй рыбак. 2) Решение: c : 4 – c : 5; c = 100 100 : 4 – 100 : 5 = 25 – 20 = 5 (км/ч) Ответ: на обратном пути скорость теплохода была на 5 км/ч меньше.

57.

Решение: 1) 50 ˜ 70 – 20 ˜ (70 – 30) = 3500 – 800 = 2700 (м2) 2700 м2 = 27 (а) 2) 2700 : 45 = 60 (м) Ответ: площадь участка 27 а; длина прямоугольника такой площади равна 60 м.

58.

1) x = 16 064 + 7958 = 24 022 2) y = 430 212 – 315 = 429 897 3) z = 50 000 – 2796 = 47 204

59.

1) 5 дм2 17 см2 + 27 дм2 8 см2 = 32 дм2 25 см2 2) 3 га 4 а – 34 а = 304 а – 34 а = 270 а = 2 га 70 а 3) 9 см2 – 81 мм2 = 8 см2 19 мм2


       . .  , . .   

60.

1) 5*** > 8** 2) *9 < ****1

61.

1) 97 463; 2) 24 063

3) 47**0 < 48**5

Задачи для самопроверки 63.

1) 28 ˜ (12 – 7) = 140; 2) (97 + 43) : (5 ˜ 4) = 140 : 20 = 7

64.

1) Решение: 1) 80 ˜ 3 = 240 (км) 2) 400 – 240 = 160 (км) Ответ: автомобилю останется проехать 160 км. 2) Решение: 1) 12 – 4 = 8 (кг) — персиков в каждом ящике 2) 12 ˜ 5 = 60 (кг) — винограда во всех ящиках 3) 8 ˜ 7 = 56 (кг) — персиков во всех ящиках 4) 60 + 56 = 116 (кг) Ответ: в киоск привезли 116 кг.

65.

1) 68 + 280 : 5 = 124; 2) 4 ˜ 70 – 42 = 238

66.

1) Решение: 4n; n = 25 4 ˜ 25 = 100 (кн.) Ответ: ученики принесли 100 книг. 2) Решение: 8 : b; b = 2 8 : 2 = 4 (м) Ответ: длина первого прямоугольника на 4 м меньше, чем второго. В условии задачи есть лишние данные.

67.

56 ˜ 3 – (50 – 2 ˜ 7) : 12 – 68 : (40 : 10) = 168 – 3 – 17 = 148

68.

1) 45 091; 2) 8 027 400; 3) 20 836 009; 4) 4 560 002 300; 5) 809 000 095 715

69.

543, 3045, 5340, 5403, 30 045, 400 503, 405 003, 435 000, 30 000 045

70.

1) x – 528 = 2095 x = 2095 + 528 x = 2623 Проверка: 2623 – 528 = 2095 2095 = 2095 3) 14 010 – z = 3915 z = 14 010 – 3815 z = 10 195 Проверка: 14 010 – 10 195 = 3815 3815 = 3815

2) 842 + y = 60 308 y = 60 308 – 832 y = 59 476 Проверка: 832 + 59 476 = 60 308 60 308 = 60 308

13


2002–2011 гг.

14

71.

1) 2) 3) 4)



8 м 36 см – 5 дм 8 см = 80 дм 36 см – 5 дм 8 см = 75 дм 28 см 12 км 24 м + 3 км 690 м = 15 км 714 м 2 дм2 46 см2 + 18 дм2 4 см2 = 20 дм2 50 см2 6 га 17 а – 2 га 8 а = 4 га 9 а § 2. Математические модели

72.

1) Решение: x : 2 – x : 3 = x : 6 (км/ч) Ответ: скорость автобуса меньше скорости автомобиля на x : 6 км/ч. 2) Решение: x : 2 – x : 3 = x : 6 (руб.) Ответ: 1 м полотна дороже 1 м ситца на x : 6 рублей. 3) Решение: x : 2 – x : 3 = x : 6 (м3/ч) Ответ: скорость наполнения бассейна через маленькую трубу меньше, чем через большую, на x : ч м3/ч. 4) Решение: x : 2 – x : 3 = x : 6 (д./ч) Ответ: производительность мастера больше производительности ученика на x : 6 деталей в час.

73.

1) В саду росло a яблонь и b груш. На сколько яблонь больше чем груш? a – b 2) В автобусе ехало c пассажиров. На остановке никто не вышел, а вошло в 3 раза больше, чем было. Сколько пассажиров осталось в автобусе после остановки? c + 3c 3) В рулоне было d метров ткани. Для пошива брюк взяли m метров ткани, а для пошива костюма в 5 раз больше, чем для брюк. Сколько метров ткани осталось в рулоне? d – m – 5m 4) Велосипедист за 2 часа проехал расстояние в n км, а автомобиль за это же время в 15 раз больше. Какое расстояние проехал автомобиль? 15n 5) У Максима было k марок, а у Наташи в 9 раз меньше. Сколько марок у Наташи? k : 9 6) В магазин привезли b мешков сахара, а крупы на 8 мешков меньше. Во сколько раз привезли сахара больше, чем крупы? b : (b – 8) 7) Маша купила в магазине одну книгу и 3 тетради. На сколько больше Маша заплатила за книгу, чем за тетради, если стоимость книги x рублей, а тетради y рублей? x – 3y 8) Один насос качает m литров воды в час, а другой n литров в час. Сколько воды выкачают оба насоса за 2 часа? 2m + 2n 9) Автомобиль проехал a км за 4 часа, а автобус то же расстояние за 9 часов. На сколько больше скорость автомобиля, чем автобуса? a:4–a:9

74.

1) Решение: b ˜ (a + 2a) = 3ba Ответ: грузовик был в пути 3ba часов.


15

       . .  , . .   

2) Решение: a ˜ (2a – b) Ответ: площадь прямоугольника стала a ˜ (2a – 6) м2. 3) Решение: a : b + 2a : b = 3a : b Ответ: за час работы оба автомата закроют 3a : b банок. 4) Решение: (a + 2a) : b = 3a : b Ответ: получилось 3a : b команд. 75.

а) Решение: (c : 7) ˜ 12 (м) Ответ: для 12 платьев потребуется (c : 7) ˜ 12 метров ткани. Автомобиль проехал c км за 7 часов. Сколько он проедет за 12 часов, если будет двигаться с той же скоростью? (c : 7) ˜ 12 б) Решение: n : (d : 3) (ч) Ответ: вертолёт пролетит n км за n : (d : 3) часов. На пошив 3 платьев пошло d м ткани. Сколько платьев можно пошить из n м ткани? n : (d : 3) в) Решение: y : (x : 10 – 4) (стр.) Ответ: во втором альбоме занято марками y : (x : 10 – 4) страниц. В саду было посажено x яблонь по 10 рядов. Груш было посажено y шт. и в каждом ряду на 4 меньше. Сколько рядов груш было посажено? y : (x : 10 – 4)

76.

8

21

14

35

9

+9 ˜3 –2 :7

– 15 ˜6 :4 + 25

+ 18 :8 ˜ 15 – 37

:7 ˜9 + 15 : 10

˜ 12 –9 : 11 +6

7 К

34 Р

23 Д

6 И

72

18

54

7

– 48 :3 ˜7 + 14

˜8 +6 :3 – 26

:9 ˜ 14 : 21 ˜7

+8 ˜ 10 – 110 :5

70 Ч

24 Е

28 В

15 О

8 П

8

24

34

24

28

15

23

70

6

7

П

Е

Р

Е

В

О

Д

Ч

И

К


2002–2011 гг.

16



77.

Р Д И О Ч Е В П

(21 – 15) ˜ 6 : 4 + 25 = 34 (14 + 18) : 8 ˜ 15 – 37 = 23 (35 : 7 ˜ 9 + 15) : 10 = 6 (9 ˜ 12 – 9) : 11 + 6 = 15 (72 – 48) : 3 ˜ 7 + 14 = 70 (18 ˜ 8 + 6) : 3 – 26 = 24 54 : 9 ˜ 14 : 21 ˜ 7 = 28 ((7 + 8) ˜ 10 – 110) : 5 = 8

78.

1) 2) 3) 4)

79.

1) 32 = 3 ˜ 10 + 2 2) 74 = 7 ˜ 10 + 4 3) 621 = 6 ˜ 100 + 2 ˜ 10 + 1 4) 255 = 2 ˜ 100 + 5 ˜ 10 + 5 5) 8534 = 8 ˜ 1000 + 5 ˜ 100 + 3 ˜ 10 + 4 6) 9067 = 9 ˜ 1000 + 6 ˜ 10 + 7 7) 29 454 = 2 ˜ 10 000 + 9 ˜ 1000 + 4 ˜ 100 + 5 ˜ 10 + 4 8) 33 303 = 3 ˜ 10 000 + 3 ˜ 1000 + 3 ˜ 100 + 3 9) 709 015 = 7 ˜ 100 000 + 9 ˜ 1000 + 1 ˜ 10 + 5 10) 5 240 800 = 5 ˜ 1 000 000 + 2 ˜ 100 000 + 4 ˜ 10 000 + 8 ˜ 100

80.

1) 2) 3) 4)

81.

а) С 12 ˜ 3 = 36 Г 216 : 4 = 54 С 27 ˜ 4 = 108 А 480 : 40 = 12 Е 38 ˜ 70 = 2660 А 204 : 3 = 68 И 490 ˜ 3 = 1470 Л 280 : 5 = 56 Е 750 : 25 = 30 О 520 : 13 = 40 К 600 : 150 = 4 Р 840 : 140 = 6 КРАЕСОГЛАСИЕ б) А 3 681 139 + 5 327 870 = 9 009 009 К 8 924 059 + 3648 + 1 072 257 = 9 999 964 Р 10 000 000 – 2 570 801 = 7 429 199 Л 302 152 018 – 301 667 308 = 484 710 Ь 809 ˜ 45 = 36 405 Е 796 ˜ 609 = 484 764 У 8002 ˜ 906 = 7 249 812 С 7200 ˜ 750 = 5 400 000 КАРУСЕЛЬ

82.

Решение: 35 – 6 – (6 – 2) – 5(6 – 2) = 5 (кр.) Ответ: в зоопарке было 5 крокодилов.

70 000 + 2000 + 300 + 50 = 72 350 400 000 + 8000 + 10 + 7 = 408 017 9 000 000 + 40 000 + 300 + 50 = 9 040 350 80 000 000 + 200 + 3 = 80 000 203

35 714 + 506 + 378 493 = 414 713 24 203 622 – 9 680 750 = 14 522 872 7 000 000 – 38 412 = 6 961 588 1 010 100 – (104 717 + 6394) = 898 989


17

       . .  , . .   

83.

1) Решение: (d : 3) ˜ 5 Ответ: 5 пакетов молока стоят (d : 3) ˜ 5 рублей. Турист прошёл за 3 часа d км пути. Сколько он пройдёт за 5 часов, если он будет идти с одинаковой скоростью? (d : 3) ˜ 5 2) Решение: y : (x : 8) Ответ: на y рублей можно купить y : (x : 8) метров плёнки для парника. Турист прошёл x км за 8 часов. Сколько времени потребуется туристу, чтобы пройти y км, если он будет двигаться с одинаковой скоростью? y : (x : 8) 3) Решение: (a – b) : 2 ˜ (n + m) (кг) Ответ: понадобится (a – b) : 2 ˜ (n + m) кг сахара

84.

а) б) в) г)

85.

5770⎫ 5740⎪⎪ 5407⎪ ⎬6 × 3 5047⎪ 5704⎪ ⎪ 5074⎭

1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 10, 9, 12, 11 1, 9, 3, 11, 5, 13, 7, 15, 9, 17 5, 6, 15, 12, 25, 18, 35, 24, 45, 30

18 четырёхзначных

547⎫ 507⎪⎪ 540⎪ ⎬ 6 × 3 18 трёхзначных 570⎪ 574⎪ ⎪ 504⎭

54⎫ ⎪ 57⎬ 3 × 3 9 двузначных 50⎪⎭ 0, 4, 5, 7 — 4 однозначных 18 + 18 + 9 + 4 = 49. 86.

1) Решение: I x

II 2x

III 2x–3

1) x + 2x + 2x – 3 = 42 2) 5x = 45 3) x = 9 (м2) 4) 2x = 18 (м2) 5) 2x – 3 = 15 (м2) Ответ: площадь первой комнаты — 9 м2, второй — 18 м2, третьей — 15 м2.


2002–2011 гг.

18



2) Решение: ручка 2x

книга x

тетрадь 2x–3

1) 3x + 25 + 3x + x = 270 2) x = 35 (руб.) Ответ: тетрадь стоит 25 рублей. 3) Решение: I x–80

II x

III (2x–80):2

IV 140

1) (x – 80) + x + (2x – 80) : 2 + 140 = 980 2) x = 320 (км) 3) (2x – 80) : 2 = 280 (км) Ответ: в третий день мотоциклист проехал 280 км 4) Решение: I x

II 2x

III 3x

IV x+4

1) x + 2x + 3x + x + 4 = 46 2) x = 6 (дм) 3) 2x = 12 (дм) 4) 3x = 18 (дм) 5) x + 4 = 10 (дм) Ответ: длина первой стороны 6 дм, второй — 12 дм, третьей — 18 дм, четвёртой — 10 дм. 87.

1) Решение: 1) x + x – 17 = 75 2) x = 46 Ответ: большее из чисел равно 46. 2) Решение: 1) 3x – x = 48 2) x = 24 Ответ: меньшее число равно 24. 3) Решение: 1) (4x + 9) – ((x + 4) ˜ 5 – 16) = 2 2) x = 3 Ответ: было задумано число 3. 4) Решение: x − 3 x 3x − 9 − 2x x − 9 1) (x – 3) : 2 – x : 3 = 5; − = = 2 3 6 6 x−9 =5 2) 6 3) x – 9 = 30 4) x = 39 Ответ: задуманное число 39.


       . .  , . .   

88.

19

1) Задуманное число увеличили в 4 раза и получили на 10 больше, чем получили бы, прибавив к задуманному числу 2. Решение: 1) 4y – 10 = y + 2 2) 4y – y + 2 = 10 3) 3y = 12 4) y = 4 Ответ: задуманное число 4. 2) Задуманное число увеличили в 3 раза и прибавили 57 и получили такое же число, если бы задуманное число увеличили в 5 раз и вычли 23. Какое число задумано? Решение: 1) 3y + 57 = 5y – 23 2) 5y – 3y = 57 + 23 3) 2y = 80 4) y = 40 Ответ: задуманное число 17. 3) Задуманное число увеличили в 7 раз и вычли число 46, разницу увеличили в 5 раз и получили на 1 больше, чем удвоенное задуманное число. Какое число задумано? Решение: 1) (7y – 46) ˜ 5 = 2y + 1 2) 35y – 2y = 230 + 1 3) 33y = 231 4) y = 7 Ответ: задуманное число 7. 4) К удвоенному задуманному числу прибавили 6, сумму уменьшили в 3 раза и получили на 4 больше, чем получил бы, прибавив к половине задуманного числа 1. Какое число задумано? Решение: 1) (2y + 6) : 3 – 4 = y : 2 + 1 2y + 6 y − =5 2) 3 2 4y + 12 − 3y 3) =5 6 4) y + 12 = 30 5) y = 18 Ответ: задуманное число 18. 5) Из седьмой части задуманного числа вычли 3, разность увеличили в 6 раз и получили на 64 меньше, чем разность удвоенного задуманного числа и 18. Какое число задумано? Решение: 1) (y : 7 – 3) ˜ 6 + 64 = 2y – 18 2) 6y : 7 – 18 + 64 = 2y – 18 14y − 6y = 64 3) 7 4) 8y = 448


2002–2011 гг.

20



5) y = 56 Ответ: задуманное число 56. 6) Разницу числа 98 и увеличенного в 4 раза задуманного числа сначала уменьшили в 15 раз, а затем полученный результат увеличили в 8 раз и получили столько же, если бы задуманное число увеличили в 24 раза. Какое число задумано? Решение: 1) (98 – 4y) : 15 ˜ 8 = 24y 2) (98 – 4y) ˜ 8 = 24y ˜ 15 3) 784 – 32y = 360y 4) 392y = 784 5) y = 2 Ответ: задуманное число 2. 90.

ab = c; a = c : b; b = c : a ba = c

93.

1) 8x = 640 x = 640 : 8 x = 80 Проверка: 8 ˜ 80 = 640 640 = 640

2) 90x = 810 x = 810 : 90 x=9 Проверка: 90 ˜ 9 = 810 810 = 810

3) x : 30 = 50 x = 50 ˜ 30 x = 1500 Проверка: 1500 : 30 = 50 50 = 50

4) 560 : x = 7 x = 560 : 7 x = 80 Проверка: 560 : 80 = 7 7=7

5) 72 : x = 3 x = 72 : 3 x = 24 Проверка: 72 : 24 = 3 3=3

6) x : 32 = 8 x = 8 ˜ 32 x = 256 Проверка: 256 : 32 = 8 8=8

94.

26 ˜ 8 = 208 72 ˜ 9 = 648 86 ˜ 4 = 344 43 ˜ 7 = 301 29 : 3 = 9 (ост. 2) 35 : 6 = 5 (ост. 5) 47 : 9 = 5 (ост. 2) 27 : 5 = 5 (ост. 2)

96 : 3 = 32 75 : 5 = 15 42 : 2 = 21 84 : 4 = 21

52 : 13 = 4 60 : 12 = 5 48 : 24 = 2 76 : 19 = 4

96.

1)

× +

524

2)

×

61

524 3144

31964

+

807 43

2421 3228 34701

3)

× +

9204 58

73632 46020 533832

4)

×

796 382

1592 + 6368 2388 304072


21

       . .  , . .   

5)

× +

597 603

6)

1791 3582

+

7)

8005 902

16010 72045

Решение: 1) 2y – 25 = y : 3 2) 6y – y = 75 3) 5y = 75 4) y = 15 Ответ: задуманное число 15.

99.

Решение: I 3x

8)

80090 580

64072 40045

Ф Е О Т

15 ˜ 47 = 705 9 ˜ 31 = 279 18 ˜ 47 = 846 9 ˜ 42 = 378

М Я И Н

40 ˜ 129 = 5160 98 ˜ 21 = 2058 102 ˜ 36 = 3672 45 ˜ 134 = 6030

II x

× +

46452200

а) М 7 ˜ 31 = 217 Р 21 ˜ 49 = 1029 А 15 ˜ 42 = 630 А 25 ˜ 54 = 1350 МЕТАФОРА б) Т 139 ˜ 53 = 7367 О 53 ˜ 134 = 7102 М 162 ˜ 53 = 8586 И 129 ˜ 44 = 5676 Е 148 ˜ 53 = 7844 МЕТОНИМИЯ

98.

× +

7220510

359991 97.

×

30640 7200

6128 21448

220608000

III x+5

1) 3x + x + (x + 5) = 20 2) 5x = 15 3) x = 3 (уч.) 4) 3x = 9 (уч.) 5) x + 5 = 8 (уч.) Ответ: в первом отделении выступило 9 участников, во втором — 3, в третьем — 8. 100.

1) x : 72 = 5 x = 5 ˜ 72 x = 360 Проверка: 360 : 72 = 5 5=5

2) 18 ˜ x = 540 x = 540 : 18 x = 30 Проверка: 18 ˜ 30 = 540 540 = 540

3) 64 000 : x = 800 x = 64 000 : 800 x = 80 Проверка: 64 000 : 80 = 800 800 = 800

103.

1) Решение: Пусть x — скорость туриста 60 : x – 60 : (x + 1) = 2 Ответ: 60 : x – 60 : (x + 1) = 2, где x — скорость туриста.


2002–2011 гг.

22



2) Решение: Пусть x — длина дистанции x : 250 – x : 300 = 1 Ответ: x : 250 – x : 300 = 1, где x — длина дистанции. 3) Решение: Пусть x — количество страниц в рукописи x:6–x:8=4 Ответ: x : 6 – x : 8 = 4, где x — количество страниц в рукописи. 4) Решение: Пусть x — количество спортсменов x:4–x:6=2 Ответ: x : 4 – x : 6 = 2, где x — количество спортсменов. 5) Решение: (29 + x) : (5 + x) = 3 Ответ: (29 + x) : (5 + x) = 3, где x — количество лет. 6) Решение: (61 – x) : (17 – x) = 5 Ответ: (61 – x) : (17 – x) = 5, где x — количество лет. 7) Решение: 1) 120 – 6 ˜ x = 96 – 3 ˜ x 2) 3x = 24 3) x = 8 (дн.) Ответ: через 8 дней на складах станет одинаковое количество угля. 8) Решение: (72 – x) : (46 – 3x) = 6 Ответ: (72 – x) : (46 – 3x) = 6, где x — количество дней. 105.

1) 29 ˜ 17 < 35 ˜ 17 2) 62 ˜ 36 > 18 ˜ 62 3) 46 ˜ 85 > 34 ˜ 76

109.

1) 36 ˜ (7218 – 683) – 80 ˜ 312 > 9085 ˜ 28 : 10 + 260 210 300 > 25 698 9085 25438 235260 6535 312 7218 × + × − × − 28 260 80 24960 36 683 6535

+

39210 24960 19605

4) 23 ˜ 51 < 97 ˜ 40 5) 14 ˜ 56 < 16 ˜ 84 6) 73 ˜ 48 > 41 ˜ 70

210300

+

72680 18170

25698

254380

235260

2) 730 005 – 7002 ˜ 54 > 20 810 ˜ (62 + 985 ˜ 4 – 16 ˜ 249) 352 897 < 374 580 7002 249 20810 730005 985 × × × × − 54 16 18 4 378108 +

28008 35010

378108

351897 3940

+

1494 16648 + 249 2081

3984

374580


23

       . .  , . .   

111.

1) Решение: (x + 4)(x – 6) = 56 Ответ: (x + 4)(x – 6) = 56, где x — длина стороны квадрата. 2) Решение: 120 : (x – 6) – 120 : x = 1 Ответ: 120 : (x – 6) – 120 : x = 1, где x — скорость велосипедиста. 3) Решение: (34 + x) : (8 + x) = 2 Ответ: (34 + x) : (8 + x) = 2, где x — количество лет. 4) Решение: 50 – 6x = 40 – 4x 2x = 10 x=5 Ответ: через 5 месяцев количество тетрадей станет одинаковым.

112.

1) (3015 – 947) ˜ 206 – 704 ˜ 217 < 203 740 + 9030 ˜ 210 273 240 < 2 100 040 9030 2068 203740 3015 704 426008 × × + − × − 210 206 1896300 947 217 152768 2068

12408 4928 4136 + 704 426008 1408

273240

+

+

903 1806

2100040

1896300

15276 2) 52 ˜ (48 ˜ 109 + 2716 ˜ 35) < 2500 ˜ 36 090 5 215 184 < 90 225 000 × +

109 48

2716 95060 + 35 5232

×

100292 52

×

36090 2500

872 13580 100292 200584 18045 + + + 436 8148 501460 7218

5232 113.

×

95060

1) x ˜ 354 = 2480 124 x = 2 480 124 : 354 x = 7006 2) y : 910 = 602 y = 602 ˜ 910 y = 547 820 3) 720 360 : z = 348 z = 720 360 : 348 z = 2070

5215184

90225000

2480124 354 2478 7006 −

2124 2124 0

× +

602 910

602 5418

547820

720360 348 696 2072

2436 2436 0


2002–2011 гг.

24

118.

6

2

1

4

7

3

 5

1) 1000 − (561 − 279 ⋅ 0): 561 + (639 − 639) ⋅ 9614 = 1000 – 561 : 561 + 0 ˜ 9614 = 999 1

3

2

6

9

4

5

7

10

8

2) (28 ⋅ 1 − 28 :1):1240 + (1 ⋅ 97 − 90):1 − 382 : 382 = 0 : 1240 + 7 : 1 – 1 = 6 119.

1)

+

2)

33958 7462

41420 3)

120.

121.

458 3664

37098 1) m – 5 = n n+5=m m–n=5

424035 59127

364908 4)

458 × 81 +

× +

2) c ˜ 7 = d d:7=c d:c=7

586 750

2930 4102

439500 3) a + 9 = b b–9=a b–a=9

4) x : 3 = y y˜3=x x:y=3

123.

1) a > b 3) x < y 5) p > q 2) k < t 4) m > n 6) c > d Общее у линий обоих множеств то, что все линии замкнутые. Отличие множеств в том, что в первом множестве линии не самопересекаются, а во втором — самопересекаются. A — {a; c; e; f; k; m} B — {b; d} C — {a; b; e; k} D — {a; e; k} E — {k} F — {e; f} K — {a; c; k; m} Множество D является подмножеством множества A. Множество K является подмножеством множества A.

124.

I способ

122.

Количество стульев в ряду x x+5

Количество рядов

Количество стульев

1200 : x 1200 : (x + 5)

1200 1200

1200 : x – 1200 : (x + 5) = 8 II способ Количество стульев в ряду x x+5 x ˜ y = 1200 (x + 5) ˜ (y – 8) = 1200

Количество рядов

Количество стульев

y y–8

1200 1200


25

       . .  , . .   

125.

2

1

5

3

4

а) (30 000 − 408 ⋅ 25) ⋅ (609 ⋅ 700 − 417 295) = 178 299 000 × +

408 25

2040 816

30000 609 × 10200 700

19800

426300

426300 417295

×

9005

9005 19800

72040 + 81045 9005

10200

178299000 3

2

4

1

5

б) 6304 ⋅ 5080 − (5 000 000 + 14 903 ⋅ 412) + 42 447 = 20 926 731 ×

5000000 14903 + 6140036 412 11140036

29806 + 14903 59612

× +

6304 5080

50432 31520

32024320 20884284 + 11140036 42447

20884284

20926731

32024320

6140036 C A

126.

— замкнутая ломаная линия без самопересечения

B Эта фигура называется многоугольником. 129.

1) 2) 3) 4)

10 x + y = 2(x + y) 10x + y = xy + 26 10 x + y = (10y + x) – 18 10x + y = (10y + x) + 27

130.

1) x — первое число y — второе число x + y = 13 x–y=2 2) x — длина (м) y — ширина (м) x–y=1 2(x + y) = 70 3) x — возраст матери (лет) y — возраст дочери (лет) x – y = 26 x + y = 60 4) x — первый кусок верёвки (м) y — второй кусок верёвки (м) x – y = 12 x + y = 58


2002–2011 гг.

26



132.

1) 100a кг 2) 1000n г 3) 1000d кг

133.

1) 5 т 63 кг + 937 кг – 2 т 9 ц = = 5063 кг + 937 кг – 2900 кг = = 3100 кг = 3 т 1 ц

+

2) 3 кг 12 г – 185 г + 12 кг 720 г = = 3012 г – 185 г + 12 720 г = = 15 547 г = 15 кг 547 г

3) 7 кг 300 㠘 8 = 7300 㠘 8 = = 58 400 г = 58 кг 400 г

×

4) 10k ц 5) 100 000x г 6) 1 000 000m г 5063 937

6000 3012 185

2827

6000 2900

3100 +

12720 2827

15547

7300 8

58400 4) 4 ц 25 кг : 5 = 425 кг : 5 = 85 кг

425 5 40 85

25 25 0

134.

135.

1) Решение: x — масса лимона 3x + 100 г = 500 г + 300 г + 200 г 3x = 1000 г – 100 г 3x = 900 г x = 300 г Ответ: масса лимона 300 г. 2) Решение: x — масса яблока 8x = 500 г + 1 кг + 500 г 8x = 2000 г x = 250 г Ответ: масса яблока 250 г.

2000 8 16 250

40 40 0

1) Решение: 1) Сколько картошки во втором мешке? 52 + 4 = 56 (кг) 2) Сколько картошки в третьем мешке? 52 – 4 = 48 (кг) 3) Сколько картошки в первом и третьем мешке вместе? 52 + 48 = 100 (кг) 4) Сколько картошки в четвёртом мешке? 100 : 2 = 50 (кг) 5) Сколько всего картошки выкопали отец с сыном? 52 + 56 + 48 + 50 = 206 (кг), 206 кг = 2 ц 6 кг Ответ: отец с сыном выкопали 2 ц 6 кг картошки. 2) Решение: 1) Сколько пачек печенья в одном слое? 6 ˜ 4 = 24 (печ.)


27

       . .  , . .   

2) Сколько пачек печенья в коробке? 24 ˜ 5 = 120 (печ.) 3) Сколько пачек печенья изготовили в этот день? 120 ˜ 280 = 33 600 (печ.) 4) Чему равна масса печенья, изготовленного в этот день? 33 600 ˜ 300 = 10 080 000 (кг) 10 080 000 кг = 10 т 80 кг Ответ: изготовили 10 т 80 кг печенья 136.

1) (10x + y) : (xy) = 3 2) 10x + y = (10y + x) + 72

137.

1) x — первое число y — второе число x + y = 105 x:y=6 2) x — длина прямоугольника (см) y — ширина прямоугольника (см) xy = 288 2(x + y) = 72

138.

1) 5 дм – 12 см = 50 см – 12 см = 38 см 38 см ˜ 200 = 7600 см 7600 см + 14 м = 7600 см + 1400 см = = 9000 см 9000 см : 4 = 2250 см 2250 см – 1 м 8 дм = 2250 см – 180 см = = 2070 см = 20 м 7 дм

× +

120 280

96 24

33600

2500 г : 5 = 500 г 500 㠘 680 = 340 000 г = 340 кг 340 кг + 1 ц 24 кг = 4 ц 64 кг

33600 300

10080000

2250 180

2070 2) 9 а : 2 = 900 м2 : 2 = 450 м2 450 450 м2 + 1 а 70 м2 = 450 м2 + 170 м2 = 620 м2 + 170 620 м2 ˜ 30 = 18 600 м2 620 18600 18 600 м2 + 3 га 14 а = 18 600 м2 + + + 31 400 м2 = 50 000 м2 31400 2 2 50 000 м – 1 га 5 а = 50 000 м – 2 2 50000 – 10 500 м = 39 500 м = 3 га 95 а 3) 80 㠘 90 = 7200 г 7200 г – 4 кг 700 г = 7200 г – 4700 г = = 2500 г

×

9000 4 8 2250

10 8

0 620 × 30 18600 −

50000 10500

39500

7200 4700

2500

20 20

×

680 500

340000


28

2002–2011 гг.



4) 3 ц + 8 т 8 ц = 3 ц + 88 ц = 91 ц 91 ц : 13 = 7 ц 7 ц – 20 кг = 700 кг – 20 кг = 680 кг 680 к㠘 5 = 3400 кг 3400 кг – 2 т = 3400 кг – 2000 кг = 1400 кг = 1 т 4 ц

×

680 5

3400

139.

Решение: 1) Сколько телевизоров планировалось перевезти на одной машине? 720 : 9 = 80 (тел.) 2) Сколько можно разместить коробок с телевизорами на одной машине? 80 + 10 = 90 (кор.) 3) Сколько потребуется машин, чтобы перевезти телевизоры? 720 : 90 = 8 (маш.) 4) На сколько меньше машин, чем запланировано, потребуется? 9 – 8 = 1 (маш.). Выражение: 9 – (720 : (720 : 9 + 10)) = 1 (маш.) Ответ: потребуется на одну машину меньше

140.

1) Периметр: 2c + 2(a + b), 2(a + b + c) Площадь: ca + bd

141.

1 шаг — Из 12 пинт наполняем 8 пинт 2 шаг — Из 8 пинт наполняем 5 пинт 3 шаг — 5 пинт переливаем в сосуд 12 пинт 4 шаг — Остаток мёда из сосуда 8 пинт переливаем в сосуд 5 пинт 5 шаг — Из сосуда 12 пинт наполняем сосуд 8 пинт 6 шаг — Из сосуда 8 пинт дополняем сосуд 5 пинт В итоге в сосуде 8 пинт останется 6 пинт мёда

142.

1) Решение: 3a + 2b 3 ˜ 25 + 2 ˜ 60 = 75 + 120 = 195 (руб.) Ответ: вся покупка стоит 195 руб. 2) Решение: 15(m + n) 15(75 + 45) = 15 ˜ 120 = 1800 (л) Ответ: в бассейн поступит 1800 л воды 3) Решение: 1) 3d — стоимость шерстяной ткани 2) 1360 – 3d — стоимость c м шелка 3) (1360 – 3d) : c — стоимость 1 м шелка (1360 – 3 ˜ 240) : 2 = (1360 – 720) : 2 = 320 (руб.) Ответ: 1 м шелка стоит 320 руб. 4) Решение: 1) 7y — стоимость шариковых ручек 2) x – 7y — стоимость 4 альбомов 3) (x – 7y) : 4 — стоимость одного альбома (400 – 7 ˜ 24) : 4 = (400 – 168) : 4 = 58 (руб.) Ответ: один альбом стоит 58 руб.

× +

120 15

60 12

1800 −

1360 720 640

− −

400 168

232

232 4 20 58

32 32 0


29

       . .  , . .   

5) Решение: 1) 600 : a — ширина участка 2) 2(a + 600 : a) — длина участка 2(30 + 600 : 30) = 2 ˜ (30 + 20) = 100 (м) Ответ: длина изгороди равна 100 м. 6) Решение: 1) b – 2c — удвоенная ширина 2) (b – 2c) : 2 — ширина 3) c(b – 2c) : 2 — площадь 800 ˜ (360 – 2 ˜ 80) : 2 = 80 ˜ 100 = 8000 м2 = 80 а Ответ: площадь прямоугольника 80 а. 143.

144.

1) 55 – 8x = 7 8x = 55 – 7 8x = 48 x=6 y=3 3) (t – 25) : 20 = 9 t – 25 = 9 ˜ 20 t – 25 = 180 t = 205 k=9 5) (60a – 30) : 5 = 18 60a – 30 = 18 ˜ 5 60a – 30 = 90 60a = 90 + 30 a = 120 : 60 a=2

2) 27 : y + 29 = 38 27 : y = 38 – 29 27 : y = 9 y = 27 : 9

7) (c : 9) ˜ 15 – 47 = 28 (c : 9) ˜ 15 = 28 + 47 (c : 9) ˜ 15 = 75 c : 9 = 75 : 15 c:9=5 c=5˜9 c = 45

8) (410 – d) : 7 + 70 = 120 (410 – d) : 7 = 120 – 70 (410 – d) : 7 = 50 410 – d = 50 ˜ 7 410 – d = 350 d = 410 – 350 d = 60

а) x : 7 + 25 = 34 x : 7 = 34 – 25 x:7=9 x=9˜7 x = 63

б) (x + 9) ˜ 6 = 282 x + 9 = 282 : 6 x + 9 = 47 x = 47 – 9 x = 38

в) (80 : x + 13) ˜ 4 = 72 80 : x + 13 = 72 : 4 80 : x + 13 = 18 80 : x = 18 – 13 80 : x = 5 x = 80 : 5 x = 16

г) 70 – (x + 3) ˜ 5 = 15 (x + 3) ˜ 5 = 70 – 15 (x + 3) ˜ 5 = 55 x + 3 = 55 : 5 x + 3 = 11 x = 11 – 3 x=8

4) 6 ˜ (18 – k) = 54 18 – k = 54 : 6 18 – k = 9 k = 18 – 9 6) 92 + 56 : (14 – b) = 100 56 : (14 – b) = 100 – 92 14 – b = 56 : 8 14 – b = 7 b = 14 – 7 b=7

282 6 24 47

42 42 0


2002–2011 гг.

30



145.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

146.

1) Решение: x — длина третьего куска, x + 5 — длина второго куска 8 дм + (x + 5) дм = 1 м 7 дм 8 + (x + 5) = 17 x = 17 – 13 x = 4 (дм) 8 + x + 5 + x — длина верёвки 8 + 4 + 5 + 4 = 21 (дм) = 2 м 1 дм Ответ: длина третьего куска 4 дм, длина всей верёвки 2 м 1 дм. 2) Решение: x — масса слив, x + 200 — масса вишен 400 г + x + 200 г + x = 1 кг 600 г 2x + 600 г = 1600 г x = 1000 : 2 x = 500 (г) x + 200 = 500 + 200 = 700 (г) Ответ: слив взяли 500 г, а вишен — 700 г 3) Решение: x — стоимость галстука, 2x — стоимость рубашки 2x ˜ 8 = 4800 (руб.) 16x = 4800 (руб.) x = 4800 р. : 16 x = 300 (руб.) Ответ: галстук стоит 300 (руб.) 4) Решение: x — площадь огорода, 4x — площадь сада 5 ˜ 4x = 1 га 20 а 20x = 120 (а) x = 120 : 20 x = 6 (а) Ответ: площадь огорода 6 а. 5) Решение: x — масса одной части при условии, что масса одной части песка равна массе одной части цемента, 3x — масса песка, 2x — масса цемента 3x + 2x = 60 кг 5x = 60 (кг) x = 12 (кг) 3x = 3 ˜ 12 = 36 (кг) 2x = 2 ˜ 12 = 24 (кг) Ответ: песка надо взять 36 кг, цемента — 24 кг.

4 + 19 + a = 23 + a 75 + (b + 32) = 107 + b 8 + c + (c + 2) = 2c + 10 d + 3 + (d + 12) = 2d + 15 4 ˜ x ˜ 3 = 12x y ˜ 8 ˜ 7 = 56y

7) 8) 9) 10) 11) 12)

6 ˜ t ˜ 3 ˜ k ˜ 10 = 180tk p ˜ 2 ˜ 9 ˜ l ˜ 5 ˜ m = 90plm 6b + 2b = 8b 12x – x = 11x 4a + a + 2a = 7a 9n – 3n – n = 5n


       . .  , . .   

31

6) Решение: x — масса одной части отходов 4x – x = 72 (ц) 3x = 72 (ц) x = 72 : 3 x = 24 (ц) 4x + x — масса пшеницы 5x = 5 ˜ 24 = 120 (ц) Ответ: смололи 120 ц пшеницы. 7) Решение: x — возраст сына, 3x — возраст отца 3x – x = 34 2x = 34 x = 17 (лет) 3x = 3 ˜ 17 = 51 (год) Ответ: сыну 17 лет, отцу 51 год. 8) Решение: x — скорость землеройки, 2x — скорость зайца-русака 2x – x = 25 км/ч x = 25 км/ч 2x = 2 ˜ 25 = 50 (км/ч) Ответ: скорость зайца-русака 50 км/ч, а землеройки — 25 км/ч. 9) Решение: x — количество цветков в одной вазе, 5x — количество цветков во второй вазе, 3x — количество цветков в третьей вазе x + 5x + 3x = 27 9x = 27 x=3 5x = 15 3x = 9 Ответ: в первой вазе 3 цветка, во второй — 15 цветков, в третьей — 9 цветков 10) Решение: x — расстояние, которое путешественник прошел пешком, 2x — проплыл на лодке, 2x ˜ 6 — проехал на лошади x + 2x + 2x ˜ 6 = 105 15x = 105 x = 7 (км) 2x ˜ 6 = 84 (км) Ответ: путешественник проехал на лошади 84 км. 149.

1) (94 + 179) + 21 = 94 + (179 + 21) = 94 + 200 = 294 2) 287 + (13 + 598) = (287 + 13) + 598 = 300 + 598 = 898 3) (356 + 849) + (51 + 644) = (356 + 644) + (849 + 51) = 1000 + 900 = 1900 4) 329 + 994 + 71 + 6 = (329 + 71) + (994 + 6) = 400 + 1000 = 1400 5) 2005 + 768 + 32 + 995 + 19 = (2005 + 995) + 19 + (768 + 32) = 3000 + 19 + 800 = 3819 6) 51 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 57 + 58 + 59 = (51 + 59) + (52 + 58)


2002–2011 гг.

32



+ (53 + 57) + (54 + 56) + 55 = 110 + 110 + 110 + 110 + 55 = = 440 + 55 = 495 7) 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 8 = 99 ˜ 8 + 8 = 8 ˜ (99 + 1) = 800 8) 999 + 999 + 999 + 999 + 999 + 7 = (991 + 1) + (999 + 1) + + (999 + 1) + (999 + 1) + (999 + 1) + 2 = 5002 9) 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 7 ˜ 2 ˜ 5 = (2 ˜ 5) ˜ (2 ˜ 5) ˜ (2 ˜ 5) ˜ 7 = 7000 10) 4 ˜ 19 ˜ 25 = (4 ˜ 25) ˜ 19 = 1900 11) 2 ˜ 4 ˜ 25 ˜ 5 ˜ 3 = (2 ˜ 5) ˜ (4 ˜ 25) ˜ 3 = 3000 12) 20 ˜ 9 ˜ 500 = (20 ˜ 500) ˜ 9 = 90 000 13) 7 ˜ 15 + 7 ˜ 85 = 7 ˜ (15 + 85) = 7 ˜ 100 = 700 14) 82 ˜ 4 + 18 ˜ 4 = 4 ˜ (82 + 18) = 4 ˜ 100 = 400 15) 36 ˜ 97 + 36 ˜ 3 = 36 ˜ (97 + 3) = 36 ˜ 100 = 3600 16) 24 ˜ 128 + 76 ˜ 128 = 128 ˜ (24 + 76) = 12 800 150.

1) 4a + 36a – 8a + 3a = (4 + 36 – 8 + 3) ˜ a = 35a, если a = 6, 35a = 210 2) 52b – 7b – 6b + b = (52 – 7 – 6 + 1) ˜ b = 40b, если b = 25, 40b = 1000 3) 14m + m + 17m – 9m = (14 + 1 + 17 – 9) ˜ m = 23m, если m = 30, 23m = 690 4) 31n + 5n – n + 19n = (31 + 5 – 1 + 19)n = 54n, если n = 20, 54n = 1080 5) 2x + 6 + 9x + 8 + x = (2 + 9 + 1)x + 14 = 12x + 14, если x = 4, 12x + 14 = 62 6) 15 + 3y + y + 4 + 5y = (3 + 1 + 5)y + 19 = 9y + 19, если y = 7, 9y + 19 = 82

151.

1) (a + b) – c = (a – c) + b 3) (a – b) ˜ c = a ˜ c – b ˜ c

152.

1) (972 + 379) – 972 = (972 – 972) + 379 = 379 2) (538 + 245) – 245 = 538 + (245 – 245) = 538 3) (382 + 417) – 416 = 382 + (417 – 416) = 382 + 1 = 383 4) (725 + 158) – 625 = (725 – 625) + 158 = 100 + 158 = 258 5) 851 – (831 + 7) = (851 – 831) + 7 = 20 + 7 = 27 6) 276 – (18 + 176) = (276 – 176) – 18 = 100 – 18 = 82 7) 134 – 98 – 2 = 134 – (98 + 2) = 134 – 100 = 34 8) 580 – 79 – 21 = 580 – (79 + 21) = 580 – 100 = 480 9) 83 ˜ 9 – 73 ˜ 9 = (83 – 73) ˜ 9 = 10 ˜ 9 = 90 10) 7 ˜ 38 – 7 ˜ 28 = 7 ˜ (38 – 28) = 7 ˜ 10 = 70 11) 24 ˜ 96 – 24 ˜ 86 = 24 ˜ (96 – 86) = 24 ˜ 10 = 240 12) 716 ˜ 52 – 616 ˜ 52 = (716 – 616) ˜ 52 = 100 ˜ 52 = 5200

153.

24 ˜ 1 = 24; 12 ˜ 2 = 24; 8 ˜ 3 = 24; 6 ˜ 4 = 24 Делители числа 24 {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

154.

а) б) в) г)

{1; 2; 7; 14} {1; 3; 9} {5; 6; 7; 8; 9} {999}

2) a – (b + c) = (a – b) – c 4) (a – b) : c = a : c – b : c


33

       . .  , . .   

ะด) {56} ะต) 155.

156.

{

1 2 3 ; ; 4 4 4

}

ะฐ) A {1; 2; 3; 4; 6; 12}, B {1; 2; 3; 6; 9; 18} ะฑ) 1 ย A 1ยB 4ยA 4ยB 6ยA 6ยB 15 ย A 15 ย B ะฒ) A ยˆ B {1; 2; 3; 6} 4 ย A ยˆ B โ€” ะฝะต ะฒะตั€ะฝะพ ะณ) 1 ย A ยˆ B โ€” ะฒะตั€ะฝะพ 4 ย A ยˆ B โ€” ะฒะตั€ะฝะพ 15 ย A ยˆ B โ€” ะฒะตั€ะฝะพ ะฐ) E {1; 3; 5; 15}, F {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

ะฑ)

1 5 3 15

A 4 1 12

6

3

2

6 18

10 30

EยF ะฒ) ยซะšะฐะถะดั‹ะน ะดะตะปะธั‚ะตะปัŒ ั‡ะธัะปะฐ 15 ัะฒะปัะตั‚ัั ะดะตะปะธั‚ะตะปะตะผ ั‡ะธัะปะฐ 30ยป โ€” ัƒั‚ะฒะตั€ะถะดะตะฝะธะต ะฒะตั€ะฝะพ ยซะšะฐะถะดั‹ะน ะดะตะปะธั‚ะตะปัŒ ั‡ะธัะปะฐ 30 ัะฒะปัะตั‚ัั ะดะตะปะธั‚ะตะปะตะผ ั‡ะธัะปะฐ 15ยป โ€” ัƒั‚ะฒะตั€ะถะดะตะฝะธะต ะฝะต ะฒะตั€ะฝะพ ะณ) F ยˆ E {1; 3; 5; 15}, F ย‰ E {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} 157.

1) 1 897 754 โ€“ [(7400 ย˜ 60 + 13 227) : 9 โ€“ 9754] = 1 856 705 1)

ร—

7400 60

2)

โˆ’

50803 9754

444000 13227

3)

โˆ’

457227 9 45 50803

457227

444000 4)

+

5)

41049

โˆ’

โˆ’

1897754 41049

72 72 โˆ’

1856705

27 27 0

2) [31 860 + (5630 ย˜ 208 โ€“ 1805 ย˜ 70) ย˜ 6] : 35 = 180 000 1)

ร— +

5630 208

2)

ร—

1805 70

3)

1171040 126350

1044690

126350

4504 1126

โˆ’

1171040 4)

ร—

1044690 6

6268140

5)

+

6268140 31860

6300000

6)

โˆ’

6300000 35 35 180000

โˆ’

270 270 0


2002–2011 гг.

34



3) [924 ˜ 907 – (92 749 + 76 571) : 415] : 138 = 6070 1)

+

92749 76571

2)

169320

169320 415 1660 408 −

3)

3320 3320

× +

838068 408

5)

837660

6468 8316 838068

0 4)

924 907

837660 138 828 6070 −

966 966 0

4) 409 210 – [3007 ˜ (1511 – 560 480 : 620) + 148 687] : 856 = 406 904 1)

560480 620 5580 904 −

2)

1511 904

3)

607

2480 2480

+

+

1825249 148687

1973936

3007 607

21049 18042

1825249

0 4)

×

5)

1973936 856 1712 2306

2619 2568 −

5136 5136 0

158.

1) Решение: 2a + 3b, если a = 18, b = 25 2a + 3b = 2 ˜ 18 + 3 ˜ 25 = 36 + 75 = 111 (км) Ответ: велосипедист проехал 111 км. 2) Решение: c : b — ширина прямоугольника 2 ˜ (b + c : b); если c = 84, b = 12 2 ˜ (b + c : b) = 2 ˜ (12 + 84 : 12) = 38 (м) Ответ: периметр прямоугольника 38 м.

159.

1) (46 – x) : 5 = 6 46 – x = 6 ˜ 5 x = 46 – 30 x = 16

6)

409210 2306 406904


35

       . .  , . .   

2) Юрий задумал число, прибавил к нему 19, результат разделил на 7 и получил 5 (x + 19) : 7 = 5 x + 19 = 35 x = 35 – 19 x = 16 160.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

594 + 847 + 6 + 153 = (594 + 6) + (847 + 153) = 600 + 1000 = 1600 2 ˜ 9 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 8 ˜ 20 = (2 ˜ 9) ˜ (5 ˜ 8) ˜ (5 ˜ 20) = 18 ˜ 40 ˜ 100 = 72 000 72 ˜ 34 + 72 ˜ 66 = 72 ˜ (34 + 66) = 72 ˜ 100 = 7200 (614 + 978) – 978 = 614 + (978 – 978) = 614 832 – (732 + 5) = (832 – 732) – 15 = 100 – 15 = 85 341 ˜ 715 – 241 ˜ 715 = (341 – 241) ˜ 715 = 100 ˜ 715 = 7150

161.

1) 2) 3) 4)

9 + x + 5 + 11x = 14 + 12x 3 ˜ y ˜ 5 ˜ 2 ˜ z = 3 ˜ (5 ˜ 2) ˜ y ˜ z = 30yz k + 8k = k(1 + 8) = 9k 7d – 4d – d = (7 – 4 – 1)d = 2d

162.

Решение: x — количество яблок, которые жар-птица своровала в первый день, 4x — унесла во второй день, 2 ˜ 4x — унесла в третий день 8x = 24 (ябл.) x = 3 (ябл.) 4x = 12 (ябл.) 3 + 12 + 24 = 39 (ябл.) Ответ: жар-птица унесла 39 яблок 2) Решение: x — спряла пряжи первая девица, 2x — спряла вторая девица, 3x — спряла третья девица x + 2x + 3x = 4 кг 800 г 6x = 4800 г x = 800 г 2x = 1600 г = 1 кг 600 г 3x = 2400 г = 2 кг 400 г Ответ: первая девица спряла 800 г пряжи, вторая — 1 кг 600 г, третья — 2 кг 400 г.

163.

1) 1925  C; 1936  C; 1950  C; 1971  C; 1984  C; 2008  C 2) 1992; 1996; 2000 3) 1800; 1900; 2000; 2300; 2400 — являются високосными годами

164.

1) 56 856 : 552 – [(10 648 – 872) : 47 – 154] = 49 1)

56856 552 552 103

1656 1656 0

2)

10648 872 9776

3)

9776 47 94 208

376 376 0


2002–2011 гг.

36

4)

208 154

5)

54



103 54 49

2) 10 897 + 313 436 : [822 ˜ 106 – (3047 + 83 468)] = 11 405 1)

× +

822 106

2)

+

3047 83468

3)

86515

4932 822

87132 86515 617

87132 4)

313436 617 3085 508 −

4936 4936

5)

+

10897 508

11405

0 165.

929, 20, 2

166.

Решение: Запишем число в виде xy, где x — цифра десятков, а y — цифра единиц. Это число можно записать так: 10x + y. Число x0y запишем как 100x + y, отсюда 100x + y = 9(10x + y) 10x = 8y 5x = 4y Отсюда x = 4, а y = 5 Ответ: Юра проехал 45 км.

167.

Решение: x — количество яблок в ящике, x – 60 — стало яблок в ящике 5(x – 60) = 2x 5x – 300 = 2x 3x = 300 x = 100 (ябл.) Ответ: в ящиках было по 100 яблок.

170.

1) 1872 : 39 > 1872 : 48 2) 3348 : 62 < 3348 : 54 3) 2028 : 78 < 2808 : 78

171.

1) 2) 3) 4)

4) 3596 : 29 < 3916 : 29 5) 682 : 4 > 588 : 7 6) 2940 : 45 < 3276 : 39

720 : 8 < 768 : 8 < 800 : 8 — верно 1200 : 30 < 1200 : 32 < 1200 : 40 — не верно 20 000 : 50 < 21 068 : 46 < 24 000 : 40 — верно 150 000 : 50 < 17 056 : 52 < 18 000 : 60 — не верно


       . .  , . .   

172.

1) 3200 : 4 < 3424 : 4 < 3600 : 3 800 < 3424 : 4 < 1200 2) 4200 : 6 < 4512 : 6 < 4600 : 5 700 < 4512 : 6 < 920 3) 50 400 : 8 < 50 592 : 8 < 56 000 : 7 6300 < 50 592 : 8 < 8000 4) 45 000 : 9 < 46 872 : 9 < 48 000 : 8 5000 < 46 872 : 9 < 6000 5) 910 : 26 < 988 : 26 < 1000 : 25 35 < 988 : 26 < 40 6) 3760 : 47 < 3901 : 47 < 4050 : 45 80 < 3901 : 47 < 90 7) 19 920 : 83 < 20 418 : 83 < 24 000 : 80 240 < 20 418 : 83 < 300 8) 483 000 : 69 < 483 621 : 69 < 540 000 : 60 7000 < 483 621 : 69 < 9000

173.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

175.

лљ Рђћ 5635 : 7 = 805 5635 7 Рѕњ 56 805

224 : 7 | 210 : 7 = 30 3210 : 5 | 3000 : 5 = 600 28 348 : 38 | 28 000 : 40 = 700 24 932 : 46 | 25 000 : 50 = 500 172 872 : 42 | 160 000 : 40 = 4000 159 183 : 69 | 140 000 : 70 = 2000 103 761 : 567 | 120 000 : 600 = 200 568 176 : 712 | 560 000 : 700 = 800

Рѕњ

35 35

0 лю Рђћ 146 520 : 36 = 4070 146520 36 Рѕњ 144 4070 Рѕњ

252 252

0 лЏ Рђћ 371 480 : 74 = 5020 371480 74 Рѕњ 370 5020 Рѕњ

148 148 0

лљ Рђћ 20 368 : 67 = 304 20368 67 Рѕњ 201 304 Рѕњ

268 268

0 лћ Рђћ 41 340 : 53 = 780 41340 53 Рѕњ 371 780 Рѕњ

424 424

0 лў Рђћ 245 294 : 49 = 5006 245294 49 Рѕњ 245 5006 Рѕњ

294 294 0

37


2002–2011 гг.

38

О — 168 192 : 24 = 7008 168192 24 − 168 7008 −



И — 402 500 : 175 = 2300 402500 175 − 350 2300

192 192

0

525 525 0

П — 2 198 560 : 728 = 3020 2198560 728 − 2184 3020 −

1456 1456

0 Зашифрованное слово — ОЛИМПИАДА 176.

28 : 7 : 4 = 1

177.

Решение: 1) x — ширина прямоугольника, x + 5 — длина x(c + 5) = 24 1) x = 1 1 ˜ (1 + 5) = 6 2) x = 2 2 ˜ (2 + 5) = 14 3) x = 3 (м) 3 ˜ (3 + 5) = 24 x + 5 = 8 (м) Ответ: длина прямоугольника 8 м, ширина — 3 м. 2) Решение: x — сторона квадрата, 2x — длина прямоугольника, x – 1 — ширина прямоугольника 2x(x – 1) = 60 1) x = 5 2 ˜ 5(5 – 1) = 40 2) x = 6 2 ˜ 6(6 – 1) = 60 Ответ: сторона квадрата 6 дм.

178.

а) О — 56 : 7 = 8 А — 36 : 18 = 2 Р — 63 : 7 = 9 И — 66 : 6 = 11 Л — 36 : 12 = 3 АЛЛЕГОРИЯ

Е — 48 : 8 = 6 Г — 56 : 8 = 7 Я — 80 : 4 = 20 Л — 48 : 12 = 4

б) Ю — 192 : 24 = 8 Л — 200 : 20 = 10

З — 144 : 24 = 6 А — 240 : 8 = 30

432 : 8 = 54

144 : 6 : 1 = 24


39

       . .  , . .   

И — 144 : 36 = 4 Я — 108 : 36 = 3 АЛЛЮЗИЯ 179.

1) 98 : x + 9 = 23 98 : x = 23 – 9 98 : x = 14 x = 98 : 14 x=7 y = 8 ˜ 40 y = 320

Л — 240 : 12 = 20

2) 60 ˜ (y : 40 + 4) = 720 y : 40 + 4 = 720 : 60 y : 40 + 4 = 12 y : 40 = 12 – 4 y : 40 = 8

3) 39 – (15z + 48) : 27 = 35 (15z + 48) : 27 = 39 – 35 (15z + 48) : 27 = 4 15z + 48 = 4 ˜ 27 15z + 48 = 108 15z = 108 – 48 15z = 60 z = 60 : 15 z=4 182.

1) 10x + y = xy + 66; x t 6 x

Уравнение

6 7 8 9

60 + y = 6y + 66 70 + y = 7y + 66 80 + y = 8y + 66 90 + y = 9y + 66

Упрощенное уравнение 4 = 6y 14 = 7y 24 = 8y

y невозможно невозможно y=2 y=3

Задумано число 82 или 93 2) 10x + y = xy + 25; x t 2 x

Уравнение

2 20 + y = 2y + 25 3 30 + y = 3y + 25 4 40 + y = 4y + 25 5 50 + y = 5y + 25 6 60 + y = 6y + 25 7 70 + y = 7y + 25 8 80 + y = 8y + 25 9 90 + y = 9y + 25 Задумано число 45 или 67

Упрощенное уравнение 5 = 2y 15 = 3y 25 = 4y 35 = 5y 45 = 6y 55 = 7y 65 = 8y

y невозможно невозможно y=5 невозможно y=7 невозможно невозможно невозможно


2002–2011 гг.

40



3) (x + y) + 19 = xy, x t 3 x

Уравнение

3 3 + y + 19 = 3y 4 4 + y + 19 = 4y 5 5 + y + 19 = 5y 6 6 + y + 19 = 6y 7 7 + y + 19 = 7y 8 8 + y + 19 = 8y 9 9 + y + 19 = 9y Задуманное число 56 или 65

Упрощенное уравнение 22 = 2y 23 = 2y 24 = 4y 25 = 5y 26 = 6y 27 = 7y 28 = 8y

y невозможно невозможно y=6 y=5 невозможно невозможно невозможно

4) 10x + y = 2(x + y) 10x + y = 2x + 2y 8x = y, так как 9 t y > 0 x=1 y=8 Задуманное число 18 5) 10x + y = 10 y + x + 45 9x – 9y = 45 x–y=5 x=5+y xt6 x

Уравнение

6 60 + y = 10y + 51 7 70 + y = 10y + 52 8 80 + y = 10y + 53 9 90 + y = 10y = 54 Задумано число 61, 72, 83 или 94

Упрощенное уравнение 9 = 9y 18 = 9y 27 = 9y 36 = 9y

y y=1 y=2 y=3 y=4

6) 10x + y + 27 = 10y + x 9y – 9x = 27 y–x=3 x=y–3 yt4 Задумано число 14, 25, 36, 47, 58, 69 184.

Прямая l является осью симметрии для рисунка 1); 3); 4); 5); 6); 7)

185.

1) 2x – 5 = x x=5 y=4 3) 5z = z + 24 4z = 24 z=6

y=8–y 2y = 8 4) 7m – 60 = m 6m = 60 m = 10


41

       . .  , . .   

186.

1)

â&#x2C6;&#x2019;

75000 500 500 150

â&#x2C6;&#x2019;

2500 2500

2)

â&#x2C6;&#x2019;

90000 1800 9000 50 0

0 3)

â&#x2C6;&#x2019;

284700 390 2730 730 â&#x2C6;&#x2019;

4)

â&#x2C6;&#x2019;

1170 1170

1260000 450 900 2800 â&#x2C6;&#x2019;

3600 3600 0

0 5)

â&#x2C6;&#x2019;

1911400 5030 15690 380 â&#x2C6;&#x2019;

6)

â&#x2C6;&#x2019;

40240 40240

24766000 40600 243600 610 â&#x2C6;&#x2019;

40600 40600 0

0 187.

1) [924 Â&#x2DC; 907 â&#x20AC;&#x201C; (92 749 + 76 571) : 415] : 138 = 6070 2) 92749 3) 169320 415 1) 924 â&#x2C6;&#x2019; + Ã&#x2014; 1660 408 76571 907 +

169320

6468 8316

â&#x2C6;&#x2019;

838068 4)

â&#x2C6;&#x2019;

838068 408 837660

3320 3320 0

5)

â&#x2C6;&#x2019;

837660 138 828 6070 â&#x2C6;&#x2019;

966 966 0

2) 409 210 â&#x20AC;&#x201C; [3007 Â&#x2DC; (1511 â&#x20AC;&#x201C; 560 480 : 620) + 148 687] : 856 = = 406 904 3) 2) 1511 1) 560480 620 3007 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Ã&#x2014; 904 5580 904 607 â&#x2C6;&#x2019;

2480 2480 0

607

+

21049 18042

1825249


2002–2011 гг.

42

4)

+

1825249 148687

5)

1973936



6)

1973936 856 1712 2306

409210 2306 406904

2619 2568 −

5136 5136 0

1000a мм 1000b дм3 1000c см3 1 000 000d см3

189.

1) 2) 3) 4)

190.

1) 8 дм3 36 см3 + 964 см3 = 8036 см3 + 964 см3 = 9 дм3 2) 1 м3 217 дм3 + 5 м3 95 дм3 = 6 м3 312 дм3 3) 4 см3 – 2 см3 219 мм3 = 4000 см3 – 2219 см3 = 1781 мм3 = = 1 см3 78 мм3 4) 9 дм3 4 см3 – 7 дм3 78 см3 = 9004 см3 – 7078 см3 = 1926 см3 = = 1 дм3 926 см3 5) 43 см3 800 мм3 ˜ 5 = 219 см3 6) 6 м3 24 дм3 ˜ 25 = 6024 дм3 ˜ 25 = 150 600 дм3 = 150 м3 600 дм3 7) 18 дм3 : 16 = 18 000 см3 : 16 = 1125 см3 = 1 дм3 125 см3 8) 20 м3 480 дм3 : 40 = 20 480 дм3 : 40 = 512 дм3

191.

а) C = {1; 2; 4; 8}, D = {1; 3; 9} в) 1  C ˆ D — верно 8  C ˆ D — верно 9  C ˆ D — верно 72  C ˆ D — верно г) делителем любого числа является 1

3

б)

С

3 2 8 4

1

D 9

C ˆ D = {1} C ‰ D = {1; 2; 3; 4; 8; 9}

194.

(a – b – 2b) : 4 Мама купила карандаши, ручки и четыре тетради. За покупку она заплатила a руб. Сколько стоит одна тетрадь, если за карандаша она заплатила b руб., а за ручки в два раза больше, чем за карандаши?

196.

Решение: Количество деталей 84 84

Время y y–1

Производительность x x+2

xy = 84 (y – 1)(x + 2) = 84 Составляем таблицу делителей числа 84, причем y > 1, т. к. y – 1  N x y

1 84

2 42

4 21

6 14

12 7

42 2


43

       . .  , . .   

Так как числа y – 1 и x + 2 также являются парными делителями числа 84, то из таблицы видно, что такими свойствами обладают пары x = 4, y = 21 x = 12, y = 7 1) 4 ˜ 21 = 84 (21 – 1) ˜ (4 + 2) z 84 20 ˜ 6 z 84 2) 12 ˜ 7 = 84 (7 – 1) ˜ (12 + 2) = 84 6 ˜ 14 = 84 Ответ: мастер работал с производительностью 12 деталей в час. 197.

Решение: 10x + y = xy + 58 xt5 Упрощенное уравнение

x

Уравнение

5

50 + y = 5y + 58

6

60 + y = 6y + 58

2 = 5y

невозможно

7

70 + y = 7y + 58

12 = 6y

y=2

8

80 + y = 8y + 58

22 = 7y

невозможно

9

90 + y = 9y + 58

32 = 8y

y=4

y невозможно

По таблице находим числа: 72 и 94. Так как задуманное число меньше 80, тогда это число 72. Ответ: задуманное число 72. 198.

1) [(249 ˜ 803 + 189) : 248 – 98] ˜ 780 = 156 029 640 1)

× +

249 803

747 1992

2)

+

199947 189

3)

200136 98

4)

200038

200136

× +

200038 780

1600304 1400266

156029640

199947 2) [84 706 – (203 ˜ 407 + 957)] ˜ (192 150 : 549) = 394 800 1)

× +

203 407

1421 812

82621

2)

+

82621 957

83578

3)

84706 83578 1128


2002–2011 гг.

44

4)

192150 549 1647 350

5)

2745 2745 0

199.

200.

× +



1128 350

5640 3384

394800

1) 5 м3 928 дм3 + 2 м3 84 дм3 = 8 м3 12 дм3 2) 9 см3 45 мм3 – 6 см3 796 мм3 = 9045 мм3 - 6796 мм3 = = 2249 мм3 = 2 см3 249 мм3 3) 18 дм3 500 см3 ˜ 4 = 74 дм3 4) 42 м3 : 20 = 42 000 дм3 : 20 = 2 м3 100 дм3 А — 5032 : 68 = 74 А — 25 040 : 5 = 5008 −

5032 68 476 74

25040 5 25 5008

272 272

0 И — 78 279 : 97 = 807 78279 97 − 776 807 −

679 679

40 40

0 Т — 40 850 : 43 = 950 40850 43 − 387 950 −

215 215

0

0

Т — 197 500 : 250 = 790

Н — 234 688 : 386 = 608

197500 250 − 1750 790

2250 2250

0 З — 2 431 068 : 578 = 4206 2431068 578 − 2312 4206 1190 − 1156 −

3468 3468 0

234688 386 2316 608 −

3088 3088

0 Е — 1 311 000 : 690 = 1900 −

1311000 690

690 6210 6210 0

1900

9045 6796

2249


45

       . .  , . .   

Зашифрованное слово — АНТИТЕЗА 201.

B а) A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 2, 4, 7, 14, 28} б) 7 A в) D  A — верно 2 1 14 8 28 D  B — не верно 4 16 D Œ A — не верно D Œ B — верно A ˆ B = {1, 2, 4} A ‰ B = {1, 2, 4, 7, 8, 14; 16, 28}

203.

Пусть x — количество ладоней в длине y — количество ладоней в ширине x + y = 10 x+y:4=7 Отсюда получаем 3 ˜ y : 4 = 3 y=4 x=6 Ответ: длина составляет 6 ладоней, ширина — 4 ладони. Задачи для самопроверки

204.

3 + 2 + (a – 3b) : c

205.

110 – (x + 14) ˜ 4 = 18 4x + 56 = 92 4x = 92 – 56 4x = 36 x = 36 : 4 x=9

206.

1) a + 4 + 3a + 12 = (a + 3a) + (4 + 12) = 4a + 16 2) m ˜ 8 ˜ n ˜ 9 = (8 ˜ 9) ˜ (m ˜ n) = 72mn 3) 16х – 7х – 2х = (16 – 7 – 2)х = 7х

207.

1) Решение: x : 5 — масса варенья в одной банке y : (x : 5), если x = 15, y = 36 36 : (15 : 5) = 12 (б.) Ответ: потребуется 12 банок. 2) Решение: (n : 7) ˜ 4, если n = 280 (280 : 7) ˜ 4 = 40 ˜ 4 = 160 (б.) Ответ: надо закупить 160 батонов. 3) Решение: I II

(х + 14) ˜ 4 = 92 х + 14 = 23 х=6

Расстояние

Время

Скорость

40a b(a + 2)

40 b

a a+2

40a – b(a + 2), если a = 4, b = 25 40 ˜ 4 – 25 ˜ (4 + 2) = 160 – 150 = 10 (м) Ответ: пролетела на 10 м больше.


2002–2011 гг.

46



208.

Решение: x — количество малины, которую собрала Катя 2x — собрала Ира 4x — собрала Лена x + 2x + 4x = 35 7x = 35 x = 35 : 7 x = 5 (ст.) 2x = 10 (ст.) 4x = 20 (ст.) Ответ: Катя собрала 5 стаканов малины, Ира — 10 стаканов, Лена — 20 стаканов

209.

Решение: x(x + 4) = 32 Пусть x = 5 5(5 + 4) = 45 Пусть x = 4 4(4 + 4) = 32 — верно x + 4 = 4 + 4 = 8 (см); 2(4 + 8) = 24 (см) Ответ: периметр прямоугольника 24 см

210.

1) Решение: 10x + y = xy + 34 xt3 Упрошенное уравнение

x

Уравнение

3

30 + y = 3y + 34

4

40 + y = 4y + 34

6 = 3y

y=2

5

50 + y = 5y + 34

16 = 4y

y=4

6

60 + y = 6y + 34

26 = 5y

невозможно

7

70 + y = 7y + 34

36 = 6y

y=6

8

80 + y = 8y + 34

46 = 7y

невозможно

9

90 + y = 9y + 34

56 = 8y

y=7

y невозможно

Число 42 или 54, или 76, или 97 Ответ: 42; 54; 76; 97 2) Решение: Работа

Количество учеников

Производительность

I

48

x

y

II

48

x+2

y–4

xy = 48 (x + 2)(y – 4) = 48


47

       . .  , . .   

Составляем таблицу делителей числа 48, причем y > 4 1 48

x y

2 24

4 12

6 8

8 6

Так как числа x + 2 и y – 4 также являются парными делителями числа 48, то рассмотрим 1) x = 2, y = 24 (2 + 2)(24 – 4) = 80 2) x = 4, y = 12 (4 + 2)(12 – 4) = 48 3) x = 6, y = 8 (6 + 2)(8 – 4) = 32 Ответ: было 4 ученика; каждый изготовил по 12 гирлянд. 211.

1)

× +

2)

723 409

×

6507 2892

3)

2070 500

1035000

× +

295707 4)

5)

56 56

253536 417 2502 608 −

0 212.

6)

3336 3336

369000 820 328 450

0

410 410 0

189 + [(747 – 699) ˜ 13 – 35] : 19 = 220 1)

747 699 48

2)

× +

48 13

144 48

3)

624 35

4)

589

589 19 57 31

19 19

624

0 § 13. Язык и логика

218.

48018 72027

7682880

72560 8 72 9070 −

8003 960

а) 12 ˜ 3 – 35 ˜ 1 = 1 36 – 35 = 1 1=1 истинно

б) 14 ˜ 6 – 26 ˜ 3 = 0 84 – 78 = 0 6=0 ложно

в) 2 ˜ 14 – 5 > 27 28 – 5 > 27 23 > 27 ложно

г) 8 + 2 ˜ 320 < 649 8 + 640 < 649 648 < 649 истинно

5)

+

189 31

220


2002–2011 гг.

48

д) 5 ˜ 8 – 6 ˜ 2 t 28 40 – 12 t 28 28 t 28 истинно 220.



е) 3 ˜ 60 + 25 d 210 180 + 25 d 210 205 d 210 истинно

28 693 : (7077 – 2978) ˜ 507 = 3549

7707 2978

4099

28693 4099 507 × 7 28693 7 3549

0

35 ˜ 202 – 51 948 : (1577 – 44 ˜ 35) + 334 = 5666 × +

202 35

1010 606

7070

× +

44 35

220 132

1577 1540 37

1540

51948 37 37 1404

149 148 −

а)

2 ; 5

Правильные дроби 225.

227.

+

5666

5666 334

6000

0

7 ; 6

б)

7070 1404

148 148

Утверждение истинно 221.

в)

3 ; 5

г)

8 4

2 3 7 8 ; . Неправильные дроби ; 5 5 6 4

Решение: 3 1) 12 ⋅ = 36 : 2 = 18 (стр.) — второй рассказ 2 2) 12 + 18 = 30 (стр.) — занимает первый и второй рассказ 5 3) 30 ⋅ = 150 : 6 = 25 (стр.) — третий рассказ 6 4) 30 + 25 = 55 (стр.) — занимают три рассказа 5) 64 – 55 = 9 (стр.) — занимает четвёртый рассказ 9 часть книги. Ответ: четвёртый рассказ занимает 64 1) 987 ˜ 607 – 830 ˜ 409 + 4502 ˜ 9005 = 40 802 149 × +

987

×

607

6909 5922

599109

+

409

×

830

1227 3272 339470

Утверждение ложно

+

4502 9005

22510 40518

40540510

599109 339470

259639

+

40540510 259639

40800149


49

       . .  , . .   

2) (16 896 : 24)(413 400 : 53) – 508 ˜ 3508 = 3 709 136 −

16896 24 413400 53 − 168 704 371 7800 −

96 96 0

424 424

× +

704 7800

5632 4928

5491200

0

× +

3508 508

5491200 1782064

3709136

28064 17540

1782064

Утверждение истинно 228.

ДИКОБРАЗ

229.

Решение: 5 1) 35 ⋅ = 25 (кг) — со второй яблони 7 2) 35 + 25 = 60 (кг) — с первой и второй яблони 3) 90 – 60 = 30 (кг) — с третьей яблони 4) 30 – 25 = 5 (кг) 30 1 = 5) 90 3 Ответ: с третьей яблони собрали на 5 кг яблок больше, чем со 1 часть всего урожая. второй. С третьей яблони собрали 3 а) 3, 5, 10, 12, 24, 26, 52, 54, 108 б) 1, 2, 5, 19, 17, 26, 37, 50, 65

231.

2 ⋅x 5

2)

4 t 3

235.

1)

238.

Решение: 7 ⋅n, если n = 21 3 7 ⋅ 21 = 49 (гр.) 3 Ответ: в корзине всего 49 фруктов. 2) Решение: 4 x, если x = 36 9 4 ⋅ 36 = 16 (к.) — шоколадных конфет 9 36 – 16 = 20 Ответ: в наборе 20 шоколадных конфет 3) Решение: 4 , если x = 5, b = 2 a+b

3)

5 n


2002–2011 гг.

50

4 4 = 5+2 7 Ответ: уехавшие автомобили составляют 239.

Решение: 7 1) 32 ⋅ = 56 (кг) — вес сестры 4



4 часть. 7

5 2) 32 ⋅ = 80 (кг) — вес папы 2 7 = 70 (кг) — вес мамы 8 4) 32 + 56 + 80 + 70 + 17 = 255 (кг) 3) 80 ⋅

Ответ: смогут подняться в лифте. 240.

1) 405 – (9x + 70) : 4 = 383 (9x + 70) : 4 = 405 – 383 9x + 70 = 22 ˜ 4 9x = 88 – 70 x = 18 : 9 x=2 2) 1800 : (240 : y) – 47 = 253 1800 : (240 : y) = 253 + 47 240 : y = 1800 : 300 y = 240 : 6 y = 40

241.

1) (20 200 – 3 829 925 : 209) : (16 000 – 2 014 125 : 131) = 3 −

3829925 209 209 18325

1739 1672 −

679 627

522 418

1045 1045 0

20200 18325 1875

2014125 131 131 15375

704 655

491 393

982 917

655 655 0

16000 15375 625

1875 625 1875 3 0


51

       . .  , . .   

2) (2 551 947 – 477 719 : 137) : (145 271 – 1 481 384 : 83) = 20 145271 477719 137 − 2551947 1481384 83 − − − 3487 17848 83 17848 411 3487 − −

667 548

1191 1096 −

959 959

2548460

127423

651 581

703 664

0

398 332

2548460 127423 254846 20 0

664 664 0

245.

1) Решение: a b 5 числа a. Ответ: число b составляет 4 2) Решение: 1 b 5

a b

4 1 b, b − a = b 5 5 1 часть числа a. Ответ: разность (b – a) составляет 4 1) Решение: a + b — число страниц, прочитанных за день 3 (a + b) = (a + b) : 2 ⋅ 3 2 3 Ответ: в книге (a + b) страниц. 2 2) Решение: 5 1) ⋅ c = c : 9 ⋅ 5 — пробежал Заяц 9 2) (c : 9 ˜ 5) : 3 — скорость Зайца 3) c : 8 — скорость Волка 4) (c : 9 ˜ 5) : 3 – c : 8 Ответ: скорость Зайца выше на (c : 9 ˜ 5) : 3 – c : 8 м/мин. a=

246.


2002–2011 гг.

52



3) Решение: 1) d – n — осталось перебрать крупы d−n 2) d

d−n крупы. d 1) 4 306 600 – (3798 + a : 230) ˜ 905 = 47 670 3798 4706 208840 230 + × − 908 905 207 908

Ответ: Золушке осталось перебрать 247.

4706

184 184

+

23530 42354

4306600 4258930 47670

4258930

0

2) (6080 ˜ 8007 + 7 612 040) : 7940 – 4895 = 2195 × +

8007 6080

64056 48042

+

48682560 7612040

56294600

56294600 7940 5558 7090 −

250.

2195

7146 7146

48682560

7090 4895

0 1 11

вода лёд

12 11 частей воды, соответственно вода составляет 11 12 1 частей льда. Значит при обратном превращении лёд потеряет 12 часть своего объёма. Лёд составляет

262.

9 3 6 3 = − = 16 16 16 8 1 7 8 + = =1 б) 8 8 8

а)

7 9 1 +2 =7 12 12 3 1 7 6 = з) 8 − 7 13 13 13

ж) 4

4 12 7 9 +3 −2 = 2 15 15 15 15

в)

7 4 11 2 =1 + = 9 9 9 9

и) 1

г)

4 4 − =0 5 5

к) 10

2 6 4 д) 5 + 1 = 6 7 7 7

5 17 12 =6 −5 +1 28 28 28

3⎞ 1 3⎛ 1 л) 4 ⎜ 8 − 7 ⎟ = 4 ⎝ ⎠ 4 4 4 4


       . .  , . .   

е) 5

6 1 5 −3 = 2 11 11 11

м) 18

53

7 9 ⎛ 8 4⎞ − ⎜7 + 9 ⎟ = 1 10 ⎝ 10 10 ⎠ 10

263.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

800 : 100 ˜ 4 = 8 ˜ 4 = 32 — высказывание истинно 200 ˜ 100 : 2 = 20 000 : 2 = 10 000 — высказывание истинно 900 : 100 ˜ 9 = 9 ˜ 9 = 81 — высказывание ложно 800 : 100 ˜ 5 = 8 ˜ 5 = 40 — высказывание ложно 35 ˜ 100 : 7 = 3500 : 7 = 500 — высказывание истинно 50 000 : 100 ˜ 1 = 500 — высказывание ложно

264.

1) Решение: 1) Сколько составляет 1 % от стоимости автомобиля? 12 000 : 8 = 1500 (руб.) 2) Сколько стоит автомобиль? 1500 ˜ 100 = 150 000 (руб.) Ответ: стоимость автомобиля 150 000 (руб.) 2) Решение: 1) Сколько стоит батон хлеба? 400 : 100 ˜ 6 = 24 (руб.) 2) Сколько стоит 2 батона? 24 ˜ 2 = 48 (руб.) 3) Сколько раз 200 г вмещается в 1 кг? 1 кг = 1000 г, 1000 г : 200 г = 5 (раз) 4) Сколько стоит 200 г масла? 400 : 5 = 80 (руб.) 5) Сколько стоит покупка? 48 + 80 = 128 (руб.) Ответ: человек заплатит 128 руб.

267.

1) Решение: 1) (7 + 3 + 5) ˜ 4 = 60 (м) — сумма длин всех рёбер 2) (7 ˜ 3 + 7 ˜ 5 + 3 ˜ 5) ˜ 2 = (21 + 35 + 15) ˜ 2 = 142 (м2) — площадь полной поверхности 3) 7 ˜ 3 ˜ 5 = 105 (м3) — объём прямоугольного параллелепипеда Ответ: 69 м; 142 м2; 105 м3. 2) Решение: 1) 4 ˜ 12 = 48 (см) — сумма длин всех рёбер 2) 4 ˜ 4 ˜ 6 = 96 (см2) — площадь полной поверхности 3) 4 ˜ 4 ˜ 4 = 64 (см3) — объём куба Ответ: 48 см, 96 см2, 64 см3.

268.

Решение: 1) Какая площадь полной поверхности? (40 ˜ 20 + 40 ˜ 15 + 20 ˜ 15) ˜ 2 = (800 + 600 + 300) ˜ 2 = 3400 (см2); 3400 см2 = 34 дм2 2) Какая площадь крышки ящика? 40 ˜ 20 = 800 (см2), 800 см2 = 8 дм2 3) Сколько понадобится фанеры? 34 – 8 = 26 (дм2) 4) Какой объём ящика? 40 ˜ 20 ˜ 15 = 12 000 (см3), 12 000 см3 = 12 дм3 Ответ: понадобится 26 дм2 фанеры, объём ящика 12 дм3.

269.

1) 68x – 28x + x + 9x = 50x; x = 700 50 ˜ 700 = 35 000


2002–2011 гг.

54



2) 199y + y – 46y – 34y = 120y; y = 90 120 ˜ 90 = 10 800 3) 432z – 130z + 18z – 70z = 250z; z = 520 250 ˜ 520 = 130 000 4) 29k + 175k + 71k + 25k = 300k; k = 940 300 ˜ 940 = 282 000 270.

500 000 – 23 946 : 78 – 498 855 = 838 500000 499693 23946 78 − − − 307 498855 234 307 −

499693

546 546

838

0 (405 ˜ 8004 – 3 212 197 – 129 472 : 64) : 685 = 40 × +

8004 405

40020 32016

3241620 3212197 29423

3241620 20 271.

38 39 <2 — ложно 40 40

129472 64 128 2023 −

147 128

29423 2023

27400 685 2740 40 0

27400

192 192 0

838 38 = 20 40 40

Решение: Пусть x — длина тела белки, y — длина тела сурка ⎧3x = y ⎨ ⎩y − x = 40 3 x – 3 x = 40 2x = 40 2y = 120 x = 20 y = 60 Ответ: длина тела сурка 60 см, длина тела белки 20 см. 2) Решение: Пусть x — число слив, y — число яблонь ⎧7x = y ⎨ ⎩y − x = 240 7x – x = 240 6x = 240 x = 40 y = 280 Ответ: в саду было 280 яблонь и 40 слив.


55

       . .  , . .   

274.

275.

1) Решение: 1) Сколько учеников приходится на 1 %? 1200 : 100 = 12 (уч.) 2) Сколько девочек учится в школе? 12 ˜ 45 = 540 (дев.) 3) Сколько учится мальчиков? 1200 – 540 = 660 (мал.) Ответ: в школе учится 660 мальчиков. 2) Решение: 1) Сколько билетов приходится на 1 %? 592 : 74 = 8 (бил.) 2) Сколько мест в кинотеатре? 8 ˜ 100 = 800 (мест) 3) Сколько билетов осталось? 800 – 592 = 208 (бил.) Ответ: осталось 208 билетов. 2 ⎛ 5⎞ 5 1) 13 − ⎜ x + 2 ⎟ = 7 9 ⎝ 9⎠ 9 2 5 5 13 − 2 − 7 = x 9 9 9

8⎞ 9 3 ⎛ 2) ⎜ y − 4 ⎟ + 1 = 7 ⎝ 11⎠ 11 11 y =7

119 23 68 =x − − 9 9 9 x= 276.

283.

286.

28 1 =3 9 9

3 9 8 −1 + 4 11 11 11

y=

80 20 52 + − 11 11 11

y=

112 2 = 10 11 11

1) Решение: 25 ˜ 6 ˜ 3 = 450 (м3) Ответ: пришлось вынуть 450 м3 земли. 2) Решение: 1) (7 + 5) ˜ 2 = 24 (м) — периметр комнаты 2) 24 ˜ 3 = 72 (м2) — площадь стен 3) 72 – 12 = 60 (м2) — площадь оклеивания 4) 60 : 15 = 4 (м2) — отходы обоев 5) 60 + 4 = 64 (м2) — потребуется обоев 6) 64 : 10 = 6,4 (руб.); 6 < 6,4 < 7 Ответ: потребуется 64 м2 обоев или 7 рулонов. 5 ˜ 555 = 2775 55 ˜ 55 = 3025 3025 > 2775 5555 > 3025 Ответ: 5555 1) 428 ˜ 8 + 5 = 3424 + 5 = 3429 428 3429 8 × − 8 32 428 −

22 16

69 69 5 îñò.

3424

× ×

555 5

2775

+

55 55

275 275

3025

2) 9050 ˜ 9 + 3 = 81 450 + 3 = 81 453 81453 9 2956 35 − − 81 280 84 9050 −

156 140 16 îñò.

45 45 3 îñò.


2002–2011 гг.

56



3) 84 ˜ 35 + 16 = 2940 + 16 = 2956 4) 730 ˜59+42=43 070+42=43 112 43112 59 84 730 − × × 413 730 35 59 +

420 252

181 177 42 îñò.

2940

+

657 365 43070

5) 807 ˜ 709 + 347 = 572 163 + 347 = 572 510 −

572510 807 5649 709 −

7610 7610 347 îñò.

× +

807 709

7263 5649

572163

6) 672 ˜ 306 + 16 = 205 632 + 16 = 205 648 −

205648 672 2016 306 −

4048 4032 16 îñò.

× +

672 306

4032 2016

205632

292.

а) (38 : 2 + 6) : 5 + [(72 – 18) : 9 + 64 : (8 ˜ 2) – 7] ˜ 19 – 14 = = 25 : 5 + [6 + 4 – 7] ˜ 19 – 14 = 5 + 57 – 14 = 48 б) 100 – 56 : 14 ˜ [16 – 28 : (63 : 9)] + 80 : 40 ˜ (36 : 4) + 42 = = 100 – 4 ˜ [16 – 4] + 18 + 42 = 160 – 48 = 112

293.

1) 75 : 25 = 3 125 : 25 = 5 — истинно 450 : 25 = 18 2) 60 : 6 = 10 60 : 9 = 6 (ост. 6) — ложно 60 : 12 = 5 3) два делителя имеют простые числа. Из приведённых это только 19 4) 24 : 7 = 3 (ост. 3) 38 : 7 = 5 (ост. 3) — истинно 45 : 7 = 6 (ост. 3)

295.

Решение: 1) Сколько занимают постройки, дороги и тротуары? 600 : 100 ˜ 45 = = 270 (га) 2) Какая площадь осталась? 600 – 270 = 330 (га) 3) Сколько га занимают зелёные насаждения? 330 : 3 ˜ 2 = 220 (га) 4) Сколько неиспользованных площадей? 330 – 220 = 110 (га) Ответ: осталось 110 га.


       . .  , . .   

57

300.

а) 2n — первое чётное число, 2c — второе чётное число 2n + 2c = 2(n + c) Число 2(n + c) — чётное б) n — первое число, (n + 1) — второе соседнее число, n + (n + 1) = 2n + 1 Так как 2n — число чётное, то 2n + 1 — нечётное в) 2m – 1, 2n – (2m – 1) = 2n – 2m + 1 = 2(n – m) + 1 2(n – m) — чётное 2(n – m) + 1 — нечётное г) n — первое число, (n + 1) — второе соседнее число, n(n + 1) Произведение четного числа на нечетное является нечетным числом Если n — чётное, то n + 1 — нечётное число и наоборот, если n — нечётное число, то n + 1 — чётное.

311.

1) Решение: 200 : 100 ˜ 20 = 40 (т) Ответ: Царь-пушка весит 40 т. 2) Решение: 420 : 7 ˜ 100 = 6000 (м2) Ответ: площадь школьного участка равна 6000 м2. 3) Решение: 3 4 1) 1 − = — осталось пройти 7 7 2) 28 : 4 ˜ 7 = 49 (км) Ответ: длина маршрута 49 км. 4) Решение: 1) На сколько увеличилась цена? 300 : 100 ˜ 10 = 30 (руб.) 2) 300 + 30 = 330 (руб.) Ответ: рубашка стоит 330 руб. 5) Решение: 1) 100 – 8 = 92 (%) — после просушки 2) 368 : 92 ˜ 100 = 400 (кг) Ответ: нужно собрать 400 кг желудей. 6) Решение: 3 1 1) 1 − = — осталось малины 4 4 4 1 2) 1 − = — осталось черники 5 5 3) 12 ˜ 4 = 48 (кг) — было малины 4) 10 ˜ 5 = 50 (кг) — было черники 5) 48 + 50 = 98 (кг) Ответ: всего собрали 98 кг свежих ягод.

314.

1) (80x + 240) : 180 = 4 2) 500 – 360 : (y – 4) = 460 80x + 240 = 4 ˜ 180 360 : (y – 4) = 500 – 460 80x = 720 – 240 360 : (y – 4) = 40


2002–2011 гг.

58

80x = 480 x = 480 : 80 x=6 3) 8t – 3t + 5t = 70 10t = 70 t=7 315.



y – 4 = 360 : 40 y–4=9 x = 13 4) n + 4n – 3n = 52 2n = 52 n = 26

3 ⎛ 4 1⎞ 3 3 1) 8 − ⎜ 2 + 1 ⎟ = 8 − 4 = 4 5 ⎝ 5 5⎠ 5 5 8⎞ 1 ⎛ 29 53 ⎞ 37 82 37 45 ⎛ 2 2) ⎜ 3 + 5 ⎟ − 4 = ⎜ + ⎟− = − = =5 ⎝ 9 ⎠ 9 9 ⎝ 9 9⎠ 9 9 9 9 6⎞ 6 4 6 6 4 4 ⎛ 4 3) ⎜ 2 + 9 ⎟ − 2 = 2 + 9 − 2 = 2 + 7 = 9 ⎝ 7 7 7 7⎠ 7 7 7 7 4) 6

316.

1 ⎛ 4 1⎞ 1 4 1 4 7 − ⎜3 +1 ⎟ = 6 − 3 −1 = 5 − 3 = 1 11 11 11 ⎝ 11 11⎠ 11 11 11

1) Решение: 1) Сколько проехал велосипедист за второй час? 3 4 93 9 102 2 + = = 20 (км) 18 + 1 = 5 5 5 5 5 5 3 2 2) Сколько проехал за два часа? 18 + 20 = 39 (км) 5 5 1 4 3) Сколько проехал за третий час? 39 − 20 = 18 (км) 5 5 4 4 4) Сколько проехал за три часа? 39 + 18 = 57 (км) 5 5 4 Ответ: велосипедист проехал 57 км. 5 2) Решение: 3 2 1 1) Сколько проплыл теплоход за второй час? 32 + 3 = 36 (км) 4 4 4 3 1 2) Сколько проплыл за 2 часа? 32 + 36 = 69 (км) 4 4 1 1 3) Сколько проплыл за третий час? 104 − 69 = 35 (км) 4 4 1 Ответ: за третий час теплоход проплыл 35 км. 4

329.

2n — первое чётное число 2k — второе чётное число 2n – 2k = 2(n – k) Число 2(n – k) — чётное


       . .  , . .   

332.

333.

1) 75 – (5x + x) ˜ 3 = 39 2) 75 – 6x ˜ 3 = 39 75 – 18x = 39 18x = 75 – 39 18x = 36 x = 36 : 18 x=2 Проверка: 75 – (5 ˜ 2 + 2) ˜ 3 = 39 75 – (10 + 2) ˜ 3 = 39 75 – 36 = 39 39 = 39 1) Решение: 3 т = 3000 кг 3000 : 100 ˜ 12 = 360 (кг) Ответ: будет получено 360 кг. 2) Решение: 34 : 17 ˜ 100 = 200 (ц) Ответ: требуется 200 ц свёклы.

342.

а) б) в) г)

344.

Решение: Пусть x — количество детей y — количество тетрадей ⎧y − 13x = 8 ⎨ ⎩y − 15x = 0 y = 15x 15x – 13x = 8 x=4 y = 60 (т.) Ответ: у мамы было 60 тетрадей.

(8y – 6y + 5y) : 4 = 28 7y : 4 = 28 7y = 28 ˜ 4 y = 16 Проверка: (8 ˜ 16 – 6 ˜ 16 + 5 ˜ 16) : 4 = 28 (128 – 96 + 80) : 4 = 28 112 : 4 = 28 28 = 28

9, 15, 27, 45, 69, 99, 135 342, 313, 284, 255, 226, 197 4, 8, 8, 11, 16, 14, 32, 17, 64, 20 3, 7, 16, 35, 74, 153, 312, 631

Задачи для самопроверки 349.

1) 54x + 32y = 806 {x = 10; y = 8} 54 ˜ 10 + 32 ˜ 8 = 806 540 + 256 = 806 796 z 806 — ложно 2) (15x – 9) : y d 17 {x = 4, y = 3} (15 ˜ 4 – 9) : 3 d 17 (60 – 9) : 3 d 13 51 : 3 d 17 17 d 17 — истинно

59


2002–2011 гг.

60

350.

45 ˜ 20 + 18 = 900 + 18 = 918

352.

5 8 1) < 9 9

353.

1) (120 – 7x) : 3 = 26



918 45 90 20 18 îñò.

4 4 2) > 11 39

120 – 7x = 26 ˜ 3 7x = 120 – 78 7x = 42 x=6 354.

3)

3 8 < 19 5

4 3 4) 3 < 4 7 7

4 8 ⎛ 7 ⎞ 2) ⎜ 2 + y⎟ − 3 = 1 ⎝ 9 ⎠ 9 9 7 8 4 2 + y =1 +3 9 9 9 7 3 2 +y=5 9 9 3 7 y = 5 −2 9 9 5 y=2 9

Пусть x — задуманное число 6 ⎛ 10 17 ⎞ 2 − ⎜9 −1 ⎟ = 4 ⎝ ⎠ 23 23 23 23 6 16 2 x +7 −7 =4 23 23 23 2 6 16 +7 x=4 −7 23 23 23 12 x=4 23 x +7

355.

Решение: 1) 20 : 4 ˜ 5 = 25 (дм) — длина 2) 20 + 25 = 45 (дм) — сумма длины и ширины 3) 45 ˜ 2 : 9 = 10 (дм) — высота 4) 20 ˜ 25 ˜ 10 = 5000 (дм3) 5000 дм3 = 5 м3 Ответ: объём параллелепипеда 5 м3

356.

Решение: 1) Какая первоначальная стоимость покупки? 150 ˜ 6 + 300 = 1200 (руб.) 2) На сколько повысилась стоимость чашки? 150 : 100 ˜ 10 = 15 (руб.) 3) На сколько снизилась цена чайника? 300 : 100 ˜ 15 = 45 (руб.) 4) Какая стала стоимость чашки? 150 + 15 = 165 (руб.) 5) Какая стала стоимость чайника? 300 – 45 = 255 (руб.) 6) Какой стала стоимость покупки? 165 ˜ 6 + 255 = 1245 (руб.), 1245 – 1200 = 45 (руб.) Ответ: стоимость покупки увеличилась на 45 руб.


       . .  , . .   

ГЛАВА 2 Делимость натуральных чисел § 1. Основные понятия 360.

43792 782 3910 56

4692 4692 0

362.

D(6) = {1, 2, 3, 6}, 4 делителя D(7) = {1, 7}, 2 делителя D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, 6 делителей D(17) = {1, 17}, 2 делителя D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}, 6 делителей D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}, 8 делителей D(81) = {1, 3, 9, 27, 81}, 5 делителей

386.

а) 20 с, 25 с, 1800 с, 6000 с, 486 с, 9780 с б) 15 мин, 150 мин, 245 мин, 408 мин, 56 мин, 1700 мин.

389.

а) б) в) г) д) е)

390.

Решение: 1) Сколько было сестре лет три года назад? 10 : 5 = 2 (год.) 2) 12 : 4 = 3 (раза) 3) 16 : 8 = 2 (раза) Ответ: 3 раза; 2 раза.

392.

Решение: Какая скорость велосипедиста? 6 ˜ 11 : 3 = 22 (км/ч) а) 6 + 22 = 28 (км/ч) б) 22 – 6 = 16 (км/ч) Ответ: 28 км/ч; 16 км/ч.

393.

Решение: 1) Какая скорость товарного поезда? 75 : 13 ˜ 11 = 65 (км/ч) а) 75 + 65 = 140 (км/ч) б) 75 – 65 = 10 (км/ч) Ответ: 140 км/ч; 10 км/ч.

12 мин 54 с + 4 мин 32 с – 11 мин 30 с = 5 мин 56 с 5 ч 18 мин – 2 ч 45 мин + 6 ч 27 мин = 9 ч 8 мин 34 с ˜ 9 = 514 с ˜ 9 = 4626 с = 77 мин 6 с 4 ч 16 мин ˜ 5 = 256 мин ˜ 5 = 1280 мин = 21 ч 20 мин 23 мин 28 с : 4 = 1408 с : 4 = 352 с = 5 мин 52 с 7 сут. 2 ч : 17 = 170 ч : 17 = 10 ч

61


2002–2011 гг.

62



402.

Решение: 1) Какая продолжительность игр? 1 ч 48 мин + 1 ч 56 мин + 2 ч 8 мин = 5 ч 52 мин 2) Какая продолжительность перерывов? 40 мин ˜ 2 = 80 мин = 1 ч 20 мин 3) Какая продолжительность турнира? 5 ч 52 мин + 1 ч 20 мин = 7 ч 12 мин 4) В каком часу закончились игры? 10 ч 15 мин + 7 ч 12 мин = 17 ч 27 мин Ответ: последняя игра закончилась в 17 ч 27 мин.

404.

Решение: 1) Сколько ткани произведёт первая работница за день? 2 ˜ 5 ˜ 420 = 4200 (м) 3 ˜ 420 + 1 ˜ 3 (420 – 90) = 4770 (м) 4770 – 4200 = 570 (м) Ответ: вторая работница выпустила на 570 м больше, чем первая.

405.

а) 900 – (14x + 8) : 20 = 894 (14x + 8) : 20 = 900 – 894 14x + 8 = 6 ˜ 20 14x = 120 – 8 x = 112 : 14 x=8

428.

Решение: Какая скорость второго велосипедиста? 12 ˜ 4 : 3 = 16 (км/ч) а) Велосипедисты движутся навстречу друг другу 1) Какое расстояние проедут велосипедисты за 2 часа? (12 + 16) ˜ 2 = 56 (км) 2) Какое будет между ними расстояние? 56 – 54 = 2 (км) б) Велосипедисты движутся в противоположных направлениях: 54 + 56 = 110 (км) в) Велосипедисты движутся вдогонку: 1) Какое расстояние проедет первый велосипедист? 12 ˜ 2 = 24 (км) 2) Какое расстояние проедет второй велосипедист? 16 ˜ 2 = 32 (км) 3) На сколько изменится расстояние между ними? 32 – 24 = 8 (км) 4) Какое будет между ними расстояние? 54 – 8 = 46 (км) г) Велосипедисты движутся с отставанием: 54 + 8 = 62 (км) Ответ: 2 км; 110 км; 46 км; 62 км.

430.

1) y = 8x

433.

1) 7x – 3x – x + 5x = 8x x = 40 x = 96 x = 28 000

2) y = x + 9

б) 500 : (3y – 7) + 95 = 120 500 : (3y – 7) = 120 – 95 (3y – 7) ˜ 25 = 500 3y = 20 + 7 y = 27 : 3 y=9

3) y = 10x – 1

8 ˜ 40 = 320 8 ˜ 96 = 768 8 ˜ 28 000 = 224 000

4) y = x ˜ x

×

96 8

768

×

28000 8

224000


63

       . .  , . .   

2) y + 5y – 4y + 2y = 4y y = 63 y = 900 y = 50 505

4 ˜ 63 = 252 4 ˜ 900 = 3600 4 ˜ 50 505 = 202 020

434.

Решение: x — количество карандашей в первой коробке, 4x — во второй коробке, 5x — в третьей коробке x + 4x + 5x = 80 10x = 80 x = 8 (к.) 4x = 4 ˜ 8 = 32 (к.) 5x = 5 ˜ 8 = 40 (к.). Ответ: в первой коробке 8 карандашей, во второй — 32 карандаша, в третьей — 40 карандашей

436.

[28 695 680 + (796 ˜ 5028 + 172 ˜ 796 + 4800 ˜ 796) : 200 – 888] : 128 ˜ 70 080 = 15732189120 5028 + 4800 172

×

796 50

39800

28735480

10000 × −

28735480 888

28734592

+

28695680 39800

+

224489 70080

1795912 1571423

28734592 128 256 224489

313 256

574 512

625 512

1139 1004

15732189120

1352 135 52 0

438.

1) D(56) = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} {2, 7}

441.

Решение: 1) Какая скорость второго теплохода? 49 : 7 ˜ 6 = 42 (км/ч) 2) Какое время теплоходы были в пути? 15 ч – 12 ч = 3 (ч) а) Навстречу друг другу: 1) Какая скорость сближения? 49 + 42 = 91 (км/ч) 2) Какое расстояние будет между теплоходами? 455 – 91 ˜ 3 = 455 – 273 = 182 (км) б) В противоположных направлениях: 455 + 273 = 728 (км)


2002–2011 гг.

64



в) Вдогонку: 1) На сколько сократится расстояние? (49 – 42) ˜ 3 = 21 (км) 2) Какое расстояние будет между теплоходами? 455 – 21 = 434 (км) г) С отставанием: 455 + 21 = 476 (км) Ответ: 182 км; 728 км; 434 км; 476 км. 442.

1) 1) 2) 3) 4) 5) 6)

2

3

1

4

5

11

6

12

7

8

10

9

[450 : 5 :(3 ⋅ 6) + 35] ⋅ 7 − 6 ⋅ 40 + (540 : 60 + 7) ⋅ (63 : 9) = 152 3 ˜ 6 = 18 7) 540 : 60 = 9 450 : 5 = 90 8) 9 + 7 = 16 90 : 18 = 5 9) 63 : 9 = 7 35 + 5 = 40 10) 16 ˜ 7 = 112 40 ˜ 7 = 280 11) 280 – 240 = 40 6 ˜ 40 = 240 12) 40 + 112 = 152 7

1

2

4

3

6

5

8

12

9

11

10

2) [500 − (3500 :700 ⋅ 80 − 40 ⋅ 9) ⋅ (64 : 8)]: 9 − (72 : 6) : (81 : 27) = 16 1) 2) 3) 4) 5) 6)

3500 : 700 = 5 5 ˜ 80 = 400 40 ˜ 9 = 360 400 – 360 = 40 64 6 8 = 8 40 ˜ 8 = 320

7) 500 – 320 = 180 8) 180 : 9 = 20 9) 72 : 6 = 12 10) 81 : 27 = 3 11) 12 : 3 = 4 12) 20 – 4 = 16

§ 2. Основные свойства делимости натуральных чисел 460.

Решение: 1) (5 – 3) ˜ 8 = 16 (см) 2) (5 + 3) ˜ 8 = 64 (см) Ответ: 16 см, 64 см.

470.

1) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

4

5

1

3

2

13

6

7

8

10

9

10

11

12

850 :17 ⋅ (336 : 6 − 9 ⋅ 4) − [(8100 : 90 − 34): 7 + 3 ⋅ 8] ⋅ 30 + 60 : 1 = 100 336 : 6 = 56 8) 56 : 7 = 8 9 ˜ 4 = 36 9) 3 ˜ 8 = 24 56 – 36 = 20 10) 24 + 8 = 32 850 : 17 = 50 11) 32 ˜ 30 = 960 50 ˜ 20 = 1000 12) 60 : 1 = 60 8100 : 90 = 90 13) 1000 – 960 = 40 90 – 34 = 56 14) 40 + 60 = 100 1

2

3

4

5

6

13

8

7

14

11

12

9

10

2) [(18 + 19) ⋅ 6 : 3 − 25]:7 ⋅ 90 + 39 ⋅ (52 − 52) − 250 : 50 ⋅ (270 : 3 − 76) = 560 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

18 + 19 = 37 37 ˜ 6 = 222 222 : 3 = 74 74 – 25 = 49 49 : 7 = 7 7 ˜ 90 = 630 52 – 52 = 0

8) 39 ˜ 0 = 0 9) 270 : 3 = 90 10) 90 – 76 = 14 11) 250 : 50 = 5 12) 5 ˜ 14 = 70 13) 630 + 0 = 630 14) 630 – 70 = 560


65

       . .  , . .   

478.

4

3

1

2

1) 106937 â&#x2C6;&#x2019; [3801 + (85447647 + 2319003): 3350] = 76934 2) 87766650 3350 1) 85447647 â&#x2C6;&#x2019; + 6700 2319003 26199 87766650

â&#x2C6;&#x2019;

20766 20100 â&#x2C6;&#x2019;

6666 3350

â&#x2C6;&#x2019;

33165 30150

â&#x2C6;&#x2019;

30150 0 30150 0

3)

+

4)

26199 3801

â&#x2C6;&#x2019;

30000 6

106904 30000 76934

1

4

3

2

5

2) 10518 + [1845 â&#x2039;&#x2026; 267 + 62238 :(39832 â&#x2C6;&#x2019; 39326)]: 41 = 22536 1)

Ã&#x2014;

1845 267

2)

â&#x2C6;&#x2019;

12915 + 11070 3690

39832 39326 506

3)

â&#x2C6;&#x2019;

62238 506 506 123

â&#x2C6;&#x2019;

1163 1012

â&#x2C6;&#x2019;

492615

1528 1528 0

4)

+

492615 123

492738

5)

6) 10518 492738 41 + 12018 41 12018 22536 82 â&#x2C6;&#x2019; 82

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

73 41

â&#x2C6;&#x2019;

328 328 0


2002–2011 гг.

66

501.

Решение: (740 + 260) ˜ t = 1000t (км) 1000 км/ч — скорость удаления Ответ: 1000t км.

502.

Решение: (110 – 70)t = 40t (км) 40 км/ч — скорость сближения Ответ: 40t км.

506.

1)

x =3 18

2)



96 =2 x

x = 18 ˜ 3 x = 54

x = 96 : 2 x = 48 850 + x 850 + x = 6000 : 50 , 190 − = 120 3) (19 ⋅ 700) : 70 − 18 18 850 + x = (190 – 120) ˜ 18 x = 70 ˜ 18 – 850 x = 410 2(x ⋅ 5) ⋅16 − 92 : 4 = 50 000 012 − 49 998 435 4) 74 + 68 142 50000012 × − 1600 49998435 1577

+

852 142

227200 160x − 23 = 1577 142 160x = (1577 + 23) ˜ 142 x = 227 200 : 160 x = 1420

227200 160 160 1420

672 640

320 320 0

507.

Решение: 1) Какое расстояние проплыли на плоту? 32 : 4 ˜ 25 = 200 (км) 2) Какое расстояние прошли по джунглям? 24 ˜ 2 = 48 (км) 3) Какое расстояние пролетели на шаре? 200 ˜ 8 = 1600 (км) 4) Какое расстояние проскакали на лошадях? 1600 : 100 ˜ 15 = = 240 (км) 5) Какое общее расстояние? 32 + 200 + 48 + 1600 + 240 = 2120 (км) Ответ: за неделю прошли 2120 км.

508.

1) 2) 3) 4)

(56 056 + 112) : 56 = 56 056 : 56 + 112 : 56 = 1001 + 2 = 1003 (474 747 – 47 ˜ 5) : 47 = 474 747 : 47 – 47 ˜ 5 : 47 = 10 101 – 5 = 10 096 (16xy – 72) : 8 = 2xy – 9 (3abc + 19a) : a = 3bc + 19


67

       . .  , . .   

514.

1) 44 −

7695 7695 = 44 − 25 = 25 , x x

x = 7695 : 19 x = 405 x − 9⎞ x−9 ⎛ 2) ⎜ 98 : 14 + = 12 ⎟ ⋅ 40 = 480 , 7 + ⎝ 24 ⎠ 24

7695 19 76 405 −

95 95 0

x – 9 = (12 – 7) ˜ 24 x = 120 + 9 x = 129 515.

Решение: 1) Какое расстояние поезд прошёл за 2 часа? 76 ˜ 2 = 152 (км) 2) С какой скоростью поезд шёл вторые 2 часа? 76 + 8 = 84 (км/ч) 3) Какое расстояние поезд прошёл за следующие 2 часа? 84 ˜ 2 = 168 (км) 4) Какое расстояние поезд прошёл за 4 часа? 152 + 168 = 320 (км) 5) Сколько осталось пройти пути? 560 – 320 = 240 (км) 6) Какое время осталось пройти? 7 – 2 – 2 = 3 (ч) 7) Какая должна быть скорость? 240 : 3 = 80 (км/ч) Ответ: поезд должен идти со скоростью 80 км/ч.

516.

30 – (10 – 7)t = 30 – 3t 3 км/с — скорость сближения

521.

1) Решение: x — овец у первого x + 6 — у второго x + (x + 6) = 40 2x = 40 – 6 x = 34 : 2 x = 17 x + 6 = 23 Ответ: у первого 17 овец, у второго — 23. 2) Решение: 1) Сколько заплатили старшие братья? 800 ˜ 3 = 2400 (руб.) 2) Сколько получил младший брат? 2400 : 2 = 1200 (руб.) 3) Сколько стоят три дома? 1200 ˜ 5 = 6000 (руб.) 4) Сколько стоит один дом? 6000 : 3 = 2000 (руб.) Ответ: один дом стоит 2000 руб.

528.

7

1

2

4

Задачи для самопроверки 5

3

6

10

9

8

720 − [(280 : 4) ⋅ 5 + 150 − 20 ⋅ 8]: 2 − 800 :(64 : 4) = 500 1) 280 : 4 = 70 2) 70 ˜ 5 = 350 4) 350 + 150 = 500 5) 500 – 160 = 340 7) 720 – 170 = 550 8) 64 : 4 = 16 10) 550 – 50 = 500

3) 20 ˜ 8 = 160 6) 340 : 2 = 170 9) 800 : 16 = 50


2002–2011 гг.

68



§ 3. Признаки делимости натуральных чисел 537.

1) {236, 340, 1294} 4) {236, 1294} 7) {340}

550.

а) (50x – 85) : 9 + 48 = 83 (50x – 85) : 9 = 83 – 48 50x – 85 = 35 ˜ 9 50x = 315 + 85 x = 400 : 50 x=8

552.

а)

19328 56 168 345

2) {145, 340} 5) {145}

3) {340} 6) {801, 4567}

б) 222 – (560 : y + 43) = 99 560 : y + 43 = 222 – 99 560 : y = 123 – 43 y = 560 : 80 y=7

Проверка: 56 ˜ 345 + 8 = 19 328

×

252 224

+

345 56

2070 1725 19320

288 280 8 îñò.

б)

487120 687 Проверка: 687 ˜ 709 + 37 = 487 120 4809 709 −

6220 6183

+

687 709

6183 4809

487083

37 îñò в)

×

3559000 900 Проверка: 900 ˜ 3954 + 400 = 3 559 000 3954 2700 3954 × 900 8590 − 3558600 8100

4900 4500

4000 3600 400 îñò.

553.

а)

+

7168 5943

13111

б)

5042 298

4744

в)

803603803 95719591

707884212


       . .  , . .   

69

555.

Решение: 1) Сколько было яблок? 160 ˜ 3 = 480 (кг) 2) Сколько яблок осталось? 480 – 160 = 320 (кг) 3) Сколько яблок продали во второй день? 320 ˜ 4 : 5 = 256 (кг) 4) Сколько яблок осталось? 320 – 256 = 64 (кг) Ответ: осталось продать 64 кг яблок.

556.

а) Решение: 1) Какая скорость сближения? 85 – 15 = 70 (км/ч) 2) Через какое время произойдёт встреча? 280 : 70 = 4 (ч) Ответ: встреча состоится через 4 ч. б) Решение: 1) Какая скорость сближения? 14 + 5 = 19 (км/ч) 2) Через какое время произойдёт встреча? 57 : 19 = 3 (ч) Ответ: встреча состоится через 3 ч. в) Решение: 1) Какая скорость сближения? 12 + 9 = 21 (дм/с) 2) Какое было расстояние? 21 ˜ 10 = 210 (дм), 210 дм = 21 (м) Ответ: расстояние было 21 м. г) Решение: 1) Какая скорость сближения? 90 – 32 = 58 (м/мин) 2) Какое было расстояние? 58 ˜ 4 = 232 (м) Ответ: расстояние было 232 м.

557.

1) Решение: 1) Какая скорость пассажирского поезда? 56 ˜ 5 : 4 = 70 (км/ч) 2) Какая скорость сближения? 56 + 70 = 126 (км/ч) 3) Через какое время поезда встретятся? 1134 : 126 = 9 (ч) 4) Сколько прошёл пассажирский поезд? 1134 126 70 ˜ 9 = 630 (км) − 1134 9 5) Какое время встречи? 18 ч 30 мин + 9 ч = 27 ч 30 мин 0 27 ч 30 мин – 24 ч = 3 ч 20 мин Ответ: поезда встретятся в 3 ч 30 мин 6 октября на расстоянии 630 км от Читы. 2) Решение: 1) Какая скорость сближения? 14 + 18 = 32 (км/ч) 2) Через какое время велосипедисты встретятся? 64 : 32 = 2 (ч) 3) В какое время они встретятся? 11ч + 2 ч = 13 ч Ответ: успеют.

558.

1) Решение: 1) Чему равна скорость сближения? 105 : 3 = 35 (км/ч) 2) Какая скорость мотоцикла? 90 – 35 = 55 (км/ч) Ответ: скорость мотоцикла 55 км/ч. 2) Решение: 1) Какая скорость другого всадника? 720 : 8 ˜ 9 = 810 (м/мин) 2) Какое расстояние было между всадниками? 720 ˜ 5 = 3600 (м) 3) Какая скорость сближения? 810 – 720 = 90 (м/с) 4) Через какое время всадники встретятся? 3600 : 90 = 40 (мин)


70

2002–2011 гг.



5) На каком расстоянии от города произойдёт встреча? 810 ˜ 40 = 32 400 (м) 32 400 м = 32 км 400 м Ответ: всадники встретятся через 40 мин на расстоянии 32 км 400 м от города. 559.

Решение: 1) Сколько наживок заготовил Вадик? 30 ˜ 5 : 3 = 50 (н.) 2) Сколько наживок заготовили Гоша и Вадик? 30 + 50 = 80 (н.) 3) Сколько наживок заготовил Денис? 80 + 20 = 100 (н.) 4) Сколько рыб поймал Гоша? 30 : 3 = 10 (руб.) 5) Сколько рыб поймал Вадик? 50 ˜ 3 : 5 = 30 (руб.) 6) Сколько рыб поймал Денис? 100 : 100 ˜ 35 = 35 (руб.) 7) Сколько рыб поймали все мальчики? 10 + 30 + 35 = 75 (руб.) 8) Сколько тарелок ухи можно сварить? 75 : 5 = 15 (тар.) Ответ: мальчики поймали 75 рыб, из которых можно сварить 15 тарелок ухи

565.

1) Решение: 1) Сколько дуэлей провёл Д’Артаньян? 16 : 2 ˜ 3 = 24 (д.) 2) Сколько дуэлей провёл Арамис? 24 : 2 = 12 (д.) 3) Сколько дуэлей провели Атос и Арамис? 16 + 12 = 28 (д.) 4) Сколько дуэлей провёл Партос? 28 : 7 ˜ 4 = 16 (д.) 5) Сколько всего дуэлей провели друзья? 24 + 16 + 12 + 16 = 68 (д.) Ответ: Всего друзья провели 68 дуэлей. 2) Решение: 1) Какая скорость Атоса? 29 + 4 = 33 (км/ч) 2) Какая скорость сближения? 29 + 33 = 62 (км/ч) 3) Через какое время произойдет встреча? 124 : 62 = 2 (ч) 4) В каком часу они встретятся? 9 ч + 2 ч = 11 (ч) Ответ: Арамис и Атос встретятся в 11 ч вечера 3) Решение: 1) Какое расстояние было между графиней и мушкетёрами? 24 ˜ 2 = 48 (км) 2) Какая скорость сближения? 36 – 24 – 12 (км/ч) 3) Через какое время произойдёт встреча? 48 : 12 = 4 (ч) 4) Какое расстояние преодолеют мушкетёры? 36 ˜ 4 = 144 (км) 220 км > 144 км Ответ: графиня Винтер не успеет укрыться в замке. 4) Решение: 1) Какое расстояние было между мушкетёрами и гвардейцами? 700 ˜ 10 = 7000 (м) 2) Какая скорость сближения? 800 – 700 = 100 (м/мин) 3) Через какое время произойдёт встреча? 7000 : 100 = 70 (мин) 4) На каком расстоянии произойдёт встреча? 800 ˜ 70 = 56 000 (м) 56 000 м = 56 км Ответ: стычка между мушкетёрами и гвардейцами произойдёт в 56 км от Парижа. 8⎞ 11 5 9 ⎛ =3 + 1) ⎜ x + 1 ⎟ − 9 ⎝ 17 ⎠ 17 17 17

566.


71

       . .  , . .   

8 14 11 =3 +9 17 17 17 8 8 x = 13 − 1 17 17 x = 12 x +1

2 ⎛ 5 1 7 ⎞ 2) 4 + ⎜ 16 − y⎟ = 15 − 8 ⎝ ⎠ 9 9 9 9 5 3 2 16 − y = 6 − 4 9 9 9 5 1 y = 16 − 2 9 9 4 y = 14 9 568.

6

1

4

3

2

5

89 860 + [1248 ⋅ 634 − 250 848 :(75 800 − 74 996)]:78 = 100 000 1)

×

1248 634

2)

3)

75800 74996

4992 + 3744 7488

804

791232

250848 804 2412 312 −

964 804

1608 1608 0

4)

791232 312

5)

790920

790920 78 78 10140

109 78

6)

+

898860 10140

100000

312 312 0

570.

Решение: 1) Какая скорость сближения? 15 + 10 = 25 (км/ч) 2) Через какое время произойдёт встреча? 100 : 25 = 4 (ч) 3) Сколько пробежала собака? 20 ˜ 4 = 80 (км) Ответ: собака пробежала 80 км.

580.

1) 2) 3) 4)

{42, 534, 8612} {42, 243, 534, 12 345} {42, 534} {8612}

5) {234, 12 345} 6) {73, 347} 7) {42, 534}


2002–2011 гг.

72



591.

1) Решение: Пусть x — задуманное число (3x – 12) – x = 2 2x = 14 x=7 Ответ: задуманное число 7.

2) Решение: Пусть x — задуманное число 7x + 4 – x = 52 6x = 52 – 4 x = 48 : 6 x=8 Ответ: задуманное число 8.

594.

а) Решение: 1) Какая скорость сближения? 70 – 36 = 34 (км/ч) 2) Через какое время произойдёт встреча? 102 : 34 = 3 (ч) Ответ: через 3 ч. б) Решение: 1) Какая скорость сближения? 102 : 3 = 34 (км/ч) 2) Какая скорость второго? 70 – 34 = 36 (км/ч) Ответ: 36 км/ч. в) Решение: 1) Какая скорость сближения? 70 – 36 = 34 (км/ч) 2) Какое расстояние было между ними? 34 ˜ 3 = 102 (км) Ответ: расстояние было 102 км. г) Решение: 1) Какая скорость сближения? 102 : 3 = 34 (км/ч) 2) Какая скорость первого? 36 + 34 = 70 (км/ч) Ответ: 70 км/ч.

596.

Решение: 2 3 1) Сколько продано ткани другому покупателю? 4 + 1 = 6 (м) 5 5 2 2 2) Сколько продали первому и второму? 4 + 6 = 10 (м) 5 5 1 2 4 3) Сколько ткани продали третьему покупателю? 15 − 10 = 4 (м) 5 5 5 4) На сколько метров материи продали третьему покупателю 4 2 2 больше, чем первому? 4 − 4 = (м) 5 5 5 4 2 Ответ: 4 м; м. 5 5

602.

Решение: 1) Сколько часов Шарик догонял Печкина? 15 – 12 = 3 (ч) 1 2) Какая скорость сближения? 22 : 3 = 7 (км/ч) 3 1 1 3) Какая скорость Шарика? 22 + 7 = 29 (км/ч) 3 3 1 Ответ: 29 км/ч. 3


73

       . .  , . .   

603.

Решение: 1 5 8 − 32 = 2 12 12 12 11 8 7 (лет) 2) Сколько лет сестре? 7 + 2 = 10 12 12 12 1 11 = 43 (год) 3) Сколько лет отцу? 35 + 7 12 12 7 Ответ: сестре 10 лет, отцу 43 года. 12 1) На сколько сестра старше брата? 35

604.

а) 4x – 27 = x 3x – 27 = 0 3x = 27 x=9

б) 5x – 12 = x + 60 4x – 12 = 60 4x = 72 x = 18 Задачи для самопроверки

609.

а) {123 400} в) {123 400, 405 405} д) {78 012, 405 405}

611.

1) Решение: а) a + b б) a + b в) a – b г) a – b

612.

[(9825 + 243 000 : 648) ⋅ 8070 − 9080 ⋅ 9006 + 1202730]: 345 = 5050 4) 3) 1) 243000 648 2) 9825 10200 9006 − × × + 1944 375 8070 9080 375

2

2) Решение: 1) Какая скорость Димы? 45 + 10 = 55 (м/мин) 2) Какая скорость сближения? 45 + 55 = 100 (м/мин) 3) Через какое время они встретятся? 200 : 100 = 2 (мин) Ответ: Саша и Дима встретятся через 2 мин. 1

3

5

10200

4860 4536

б) {78 012, 123 400, 888 888} г) {78 012, 405 405, 888 888}

4

6

+

7

714 816

+

82314000

3240 3240

81774480

0 5)

82314000 − 81774480 539520

6)

+

539520 1202730

1742250

7)

1742250 345 1725 −

1725 1725 0

72048 81054

5050


2002–2011 гг.

74



§ 4. Простые числа и делимость 616.

510 2 ⋅ 5 51 3 17 17

510 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 17

1092 2 1092 = 3 ˜ 2 ˜ 13 ˜ 2 ˜ 7 364 2 182 13 14 2 7 7 630.

631.

632.

1430 2 ⋅ 5 1430 = 2 ˜ 5 ˜ 11 ˜ 13 143 11 13 13 1368 3 1368 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 19 456 3 152 2 76 2 38 2 19 19

Решение: 1) Какую часть сада занимают яблони, груши и вишни? 5 2 4 11 + + = 12 12 12 12 11 1 = 2) Какую часть занимают сливы? 1 − 12 12 1 часть сада. Ответ: сливы занимают 12 Решение: 3 1 2 − = 1) Какую часть занимают пирожки с мясом? 10 10 10 2) Какую часть занимают пирожки с рисом, мясом и вареньем? 3 2 3 8 = + + 10 10 10 10 8 2 = 3) Какую часть занимают пирожки с картошкой? 1 − 10 10 4) Сколько пирожков с картошкой? 250 : 10 ˜ 2 = 50 (п.) Ответ: привезли 50 пирожков с картошкой. Решение: 1) На сколько повысилась цена дивана? 2600 : 100 ˜ 10 = 260 (руб.) 2) Сколько стал стоить диван? 2600 + 260 = 2860 (руб.) 3) На сколько повысилась цена стола? 1800 : 100 ˜ 15 = 270 (руб.) 4) Сколько стал стоить стол? 1800 + 270 = 2070 (руб.) 5) На сколько повысилась цена стула? 900 : 100 ˜ 15 = 135 (руб.) 6) Сколько стал стоить стул? 900 + 135 = 1035 (руб.) 7) Какая стоимость покупки до повышения цены? 2600 + 1800 + 4 ˜ 900 = 8000 (руб.) 8) Какая стоимость покупки после подорожания? 2860 + 2070 + 4 ˜ 1035 = 9070 (руб.) 9) На сколько увеличилась стоимость набора? 9070 – 8000 = 1070 (руб.) Ответ: на 1070 р.


       . .  , . .   

633.

635.

2 2 1 1) 3 + 2 = 6 3 3 3 13 11 9 3) 25 + 12 = 38 15 15 15 7 4 5) 11 − 6 = 4 11 11 3 17 6 7) 16 − 15 = 20 20 20 7 25 16 8 9) 8 =3 −4 =3 34 34 34 17

5 8 4 2) 7 + 10 = 18 9 9 9 2 3 4) 17 − 13 = 3 5 5 6 11 6) 23 − 9 = 13 17 17 9 28 21 8) 9 −5 =3 40 40 40

1) 32 = 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 92 = 2 ˜ 2 ˜ 23 240 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 2) 2520 2 ⋅ 5

50 = 5 ˜ 2 ˜ 5 198 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 11 1500 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 5 10780 2 ⋅ 5 1078 2 539 7 77 7 11 11

252 3 84 3 28 2 14 2 7 7 2520 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 7 374400 2 ⋅ 5 37440 2 ⋅ 5 3744 3 1248 3 416 2 208 2 104 2 52 2 26 2 13 13

75

10 780 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 7 ˜ 7 ˜ 11 1742500 2 ⋅ 5 174250 2 ⋅ 5 17425 5 3485 5 697 17 41 41 1 742 500 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 17 ˜ 41

374 400 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 13 639.

Решение: 2 7 9 + = 1) Какая часть учеников получила тройки и четвёрки? 15 15 15 9 6 = 2) Какая часть пятерок? 1 − 15 15 3) Сколько учеников получило тройки? 30 : 15 ˜ 2 = 4 (уч.) 4) Сколько учеников получило пятерки? 30 : 15 ˜ 6 = 12 (уч.) 5) На сколько пятёрок больше, чем троек? 12 – 4 = 8 (п.) Ответ: на 8 пятёрок больше, чем троек.


76

640. 642.

651.

654.

665.

2002–2011 гг.



7⎞ 14 15 17 1 5⎞ ⎛ 8 ⎛ ⎜⎝ 25 − 3 ⎟⎠ − ⎜⎝ 3 + 8 ⎟⎠ = 21 − 11 = 9 18 18 18 18 18 18 18 Решение: 1) На сколько дешевле шкатулка в палатке? 1600 : 100 ˜ 5 = 80 (руб.) 2) Сколько стоит шкатулка в палатке? 1600 – 80 = 1520 (руб.) Ответ: шкатулка стоит 1520 руб., экономия 80 р. 1) 75 = 5 ˜ 5 ˜ 3 НОД (75, 135) = 15 135 = 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3 2) 180 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 НОД (180, 210) = 30 210 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 7 3) 125 = 5 ˜ 5 ˜ 5 НОД (125, 462) = 1 462 = 2 ˜ 3 ˜ 11 ˜ 7 4) 504 = 2 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 7 НОД (504, 720) = 72 720 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 5) 117 = 3 ˜ 3 ˜ 13 НОД (117, 197, 312) = 39 195 = 5 ˜ 3 ˜ 13 312 = 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 13 6) 306 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 17 НОД (306, 340, 850) = 34 340 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 17 850 = 2 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 17 1) 57 = 3 ˜ 19 НОД (57, 86) = 1 86 = 2 ˜ 43 2) 28 = 2 ˜ 2 ˜ 7 45 = 5 ˜ 3 ˜ 3 НОД (28, 45, 60) = 1 60 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 2 3) 333 = 3 ˜ 3 ˜ 37 НОД (333, 7000) = 1 7000 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 7 4) 328 = 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 41 НОД (328, 459) = 1 459 = 3 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 17 1) Решение: 1) Какая скорость сближения? 1 + 1 = 2 (м/с) 2) Какая длина лестницы? 40 ˜ 2 = 80 (м) Ответ: длина наружной части лестницы 80 м. Обратная задача Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск, другой — подъём по соседним эскалаторам, двигались со скоростью 1 м/с. Через какое время они встретятся, если длина наружной части лестницы 80 м? 2) Решение: 1) Какая скорость отставания? 8 – 6 = 2 (м/с) 2) Через какое время один опередит второго на 50 м? 50 : 2 = 25 (с) Ответ: через 25 с. Обратная задача Один мальчик пробегает на коньках 8 м в секунду, а другой — 6 м в секунду. Какое расстояние будет между ними через 25 с, если они одновременно побегут из одного и того же места и в том же направлении?


       . .  , . .   

672.

1) НОД(a, b) = 30 3) НОД(a, b) = 1

2) НОД (a, b) = 1550 4) НОД (a, b) = 87

673.

1) 520 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 13 468 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 13 2) 814 = 2 ˜ 11 ˜ 37 4400 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 11 3) 855 = 5 ˜ 19 ˜ 3 ˜ 3 11 400 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 19

НОД (520, 468) = 52

77

НОД (814, 4400) = 22 НОД (855, 11 400) = 285

674.

Решение: 270 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3 675 = 5 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3 Ответ: 135 подарков.

675.

Решение: 1) Сколько проехал Володя за 6 мин? 250 ˜ 6 = 1500 (м) 2) Какая скорость сближения? 400 – 250 = 150 (м/мин) 3) Через какое время произойдет встреча? 1500 : 150 = 10 (мин) 4) Какое расстояние пробежит пес? 400 ˜ 10 = 4000 (м), 4000 м = 4 км 5) Какое расстояние от деревни Дровино до места встречи? 5 – 4= 1 (км) Ответ: 1 км.

676.

а) Решение: k : (m + n) 24 : (6 + 2) = 3 (ч) Ответ: за 3 ч. б) Решение: a + (a + 4) + (a + a + 4) : 2 22 + 22 + 4 + (22 + 22 + 4) : 2 = 48 + 24 = 72 (уч.) Ответ: в трёх классах учатся 72 ученика в) Решение: 75 ˜ c ˜ b 75 ˜ 24 ˜ 15 = 27 000 (к.) Ответ: погрузили 27 000 карандашей. г) Решение: (5x + 4y) ˜ 7 (5 ˜ 12 + 4 ˜ 16) ˜ 7 = 868 (д.) Ответ: оба рабочих обработают 868 деталей.

678.

1) 560 – 3x = 278 3x = 560 – 278 x = 282 : 3 x = 94 Проверка: 560 = 3 ˜ 94 = 278 560 – 282 = 278 278 = 278

НОД (270, 675) = 135

2) y : 12 + 36 = 111 y : 12 = 111 – 36 y = 75 ˜ 12 y = 900 Проверка: 900 : 12 + 36 = 111 75 + 36 = 111 111 = 111


2002–2011 гг.

78

3) 8000 : (28m + 4) – 15 = 25 8000 : (28m + 4) = 25 + 15 28m + 4 = 8000 : 40 28m = 200 – 4 m = 196 : 28 m=7 Проверка: 8000 : (28 ˜ 7 + 4) – 15 = 25 8000 : (196 + 4) – 15 = 25 8000 : 200 – 15 = 25 40 – 15 = 25 25 = 25 683.



4) 64 – (3n + 8n + n) : 40 = 37 12n : 40 = 64 – 37 12n = 27 ˜ 40 12n = 1080 n = 90 Проверка: 64 – (3 ˜ 90 + 8 ˜ 90 + 90) : 40 = 37 64 – 1080 : 40 = 37 64 – 27 = 37 37 = 37

Решение: x — количество собак, y — количество кошек ⎧x + y = 10 ⎨ ⎩6x + 5y = 56 x = 10 – y 6(10 – y) + 5y = 56 60 – 6y + 5y = 56 60 – y = 56 y = 60 – 56 y=4 x = 10 – 4 x=6 Ответ: было 6 собак и 4 кошки.

686.

689.

1) 28 = 2 ˜ 2 ˜ 7 35 = 5 ˜ 7 2) 16 = 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 56 = 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 7 3) 21 = 3 ˜ 7 1000 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 4) 18 = 3 ˜ 2 ˜ 3 162 = 2 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3 5) 264 = 2 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 11 300 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 3 6) 360 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 1020 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 17 7) 72 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 90 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 96 = 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 8) 58 = 2 ˜ 29 87 = 3 ˜ 29 435 = 5 ˜ 3 ˜ 29

НОК (28, 35) = 140

1) 4 = 2 ˜ 2 125 = 5 ˜ 5 ˜ 5 2) 33 = 3 ˜ 11

НОК (4, 125) = 500

НОК (16, 56) = 112 НОК (21, 100) = 2100 НОК (18 162) = 162 НОК (264, 300) = 6600 НОК (360, 1020) = 6120 НОК (72, 90, 96) = 1440 НОК (58, 87, 435) = 870

НОК (33, 1000) = 33 000


       . .  , . .   

1000 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 3) 111 = 3 ˜ 27 200 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 2 4) 18 = 3 ˜ 3 ˜ 2 1001 = 11 ˜ 7 ˜ 13

79

НОК (111, 200) = 22 200 НОК (18, 1001) = 18 018

695.

Решение: 360 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 2 150 = 3 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 5 НОК(360, 150) = 1800 1800 : 150 = 12 Ответ: наименьшее число этапов — 12.

698.

а) 10 584 = 3 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 7 ˜ 7 168 = 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 7 10 584 : 168 = 63

704.

Решение: 1) Какая длина дистанции? 150 ˜ 10 : 3 = 500 (м) 2) Сколько метров уже пробежал спортсмен? 500 – 150 = 350 (м) Ответ: 500 м, 350 м.

705.

Решение: 1) Какая часть тесьмы осталась после второго отреза? 5 1 1− = 6 6 2) Сколько осталось тесьмы после первого отреза? 8 ˜ 6 = 48 (м)

б) 525 = 5 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 7 13 125 = 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 7 13 125 : 252 = 25

3) Какая часть тесьмы осталась после того, как израсходовали 1 2 = 3 3 4) Сколько было тесьмы? 48 ˜ 3 : 2 = 72 (м) Ответ: было 72 м тесьмы.

1 ? 3

1−

708.

Решение: 1) Какая площадь одной грани? 80 ˜ 80 = 6400 (см2), 6400 см2 = 64 (дм2 ) 2) Какая площадь окрашиваемой поверхности? 64 ˜ 5 ˜ 2 = 640 (дм2) 3) Какой объём бака? 80 ˜ 80 ˜ 80 = 512 000 (см3), 512 000 см3 = 512 (дм3) Ответ: 640 дм3, 512 дм3.

709.

1) a = 2 ˜ 2 ˜ 3 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 7 b = 2 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 11 2) a = 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 13 b = 2 ˜ 2 ˜ 3 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 13 3) a = 2 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 7 b=3˜3˜5˜5˜7 c=2˜2˜2˜5˜5˜5 4) a = 3 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 b=2˜2˜3˜5˜7˜7 c=2˜2˜2˜2˜2

НОК (a, b) = 207 900 НОК (a, b) = 1 560 000 НОК (a, b, c) = 63 000 НОК (a, b, c) = 2 940 000


2002–2011 гг.

80

710.

1) 350 = 2 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 7 630 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 7 2) 2070 = 5 ˜ 2 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 23 48 300 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 7 ˜ 23 3) 18 = 3 ˜ 3 ˜ 2 42 = 3 ˜ 2 ˜ 7 60 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 2 4) 48 = 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 126 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 7 150 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 5

НОК (350, 630) = 3150 НОК (2070, 48 300) = 144 900 НОК (18, 42, 60) = 1260 НОК (48, 126, 150) = 25 200

711.

Решение: Пусть x — осталось сосулек, x + 6 — растаяло x + (x + 6) = 28 2x = 28 – 6 x = 22 : 2 x = 11 x + 6 = 17 Ответ: растаяло 17 сосулек, осталось 11.

712.

Решение: Пусть x — ширина участка, x + 1 — длина (x + (x + 1)) ˜ 2 = 98 2x + 1 = 98 : 2 2x = 49 – 1 x = 48 : 2 x = 24 (м) x + 1 = 25 (м) S = 25 ˜ 24 = 600 (м2) 600 м2 = 6 а Ответ: площадь участка 6 а.

715.

Решение: Пусть x — задуманное число ((5x + 1) ˜ 6 + 2) ˜ 7 + 4) : 16 = 135 (30x + 6 + 2) ˜ 7 + 4 = 135 ˜ 16 210x + 56 + 4 = 2160 210x = 2160 – 60 210x = 2100 x = 2100 : 210 x = 10 Ответ: задуманное число 10.

720.

1) 2) 3) 4) 5)

721.

1) 32 > 23 9>8

23 = 8 27 = 128 32 = 9 35 = 243 13 = 1



6) 19 = 1 7) 02 = 0 8) 026 = 0 9) 103 = 1000 10) 106 = 1 000 000 2) 52 < 25 25 < 32

3) 43 < 34 64 < 81

4) 27 > 72 128 > 49


81

       . .  , . .   

725.

1) a2 02 = 0 12 = 1 62 = 36 3702 = 136 900 40 9002 = 1 672 810 000

× +

370 370

259 111

× +

136900

2) b3 03 = 0 13 = 1 23 = 8 10053 = 1 015 075 125

× +

1010025

3681 1636 1672810000

1005 1005

5025 1005

40900 40900

× +

1010025 1005

5050125 1010025 1015075125

3˜3˜5˜5˜5˜5˜7=3 ˜5 ˜7 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 3 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 = 25 ˜ 3 ˜ 53 8 ˜ 8 + 4 ˜ 4 ˜ 4 – 2 ˜ 7 ˜ 7 = 82 + 43 – 2 ˜ 72 9 ˜ 9 ˜ 9 – 2 ˜ 4 + 5 ˜ 6 ˜ 6 = 93 – 8 + 5 ˜ 62 3 ˜ 3 ˜ 3 ˜ (2 ˜ 2 ˜ 2 + 4 ˜ 4) = 33 ˜ (23 + 42) (7 ˜ 7 ˜ 7 ˜ 7 – 11 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3) : 8 = (74 – 11 ˜ 33) : 8 10 ˜ 10 + (5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 4 + 9 ˜ 9) ˜ 2 :14 = 102 + (53 ˜ 4 + 92) ˜ 2 : 14 2020 – 4 ˜ 4 ˜ 4 ˜ (7 ˜ 7 – 3 ˜ 3 ˜ 3) : (2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2) = 2020 – 43 ˜ (72 – 33) : 24

726.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

727.

1) 4 ˜ 5 = 20 2) 4 ˜ 53 = 4 ˜ 125 = 500 3) (4 ˜ 5)2 = 202 = 400 4) 82 + 32 = 64 + 9 = 73 5) (8 + 3)2 = 112 = 121 6) 8 + 32 = 8 + 9 = 17 7) 53 – 2 = 125 – 2 = 123 8) 53 – 23 = 125 – 8 = 117 9) (5 – 2)3 = 33 = 27 10) 3 ˜ 72 – 25 = 3 ˜ 49 – 25 = 147 – 25 = 122 11) 56 + 3 ˜ 92 = 56 + 3 ˜ 81 = 56 + 243 = 299 12) 43 + 3 ˜ 52 – 26 = 56 + 3 ˜ 25 – 64 = 56 + 75 – 64 = 67

731.

1) 975 = 5 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 13 1980 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 11 2) 840 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 7 2700 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3 3) 162 = 2 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 3 432 = 3 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 1440 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2

740.

Решение: x — масса яблока, y — масса груши ⎧3x + 2y = 540 ⎨ ⎩3x + 5y = 900

2

4

НОД (975, 1980) = 15 НОК (975, 1980) = 128 700 НОД (840, 2700) = 60 НОК (840, 2700) = 37 800 НОД (162, 432, 1440) = 18 НОК (162, 432, 1440) = 12 960


82

2002–2011 гг.



3x = 540 – 2y 540 – 2y + 5y = 900 3y = 900 – 540 y = 360 : 3 y = 120 3x = 540 – 240 x = 300 : 3 x = 100 Ответ: масса яблока 100 г, масса груши 120 г. 742.

Решение: 1) На сколько больше деталей изготовил второй рабочий, чем первый? 29 – 25 = 4 (д.) 2) Сколько стоит изготовление одной детали? 280 : 4 = 70 (дет.) 3) Сколько заработает первый рабочий за месяц? 25 ˜ 70 ˜ 20 = 35 000 (руб.) 4) Сколько заработает второй рабочий за месяц? 29 ˜ 70 ˜ 20 = 40 600 (руб.) Ответ: первый заработает 35 000 руб., второй — 40 600 руб.

743.

Решение: 1) Сколько кусков мела использует первый класс за месяц? 20 : 2 = 10 (кус.) 2) Сколько кусков мела использует второй класс за месяц? 1 ˜ 20 = 20 (кус.) 3) Сколько кусков мела использует третий класс за месяц? 2 ˜ 20 = 40 (кус.) 4) Сколько кусков мела использует начальная школа за месяц? 10 ˜ 4 + 20 ˜ 3 + 40 ˜ 3 + 40 ˜ 2 = 300 (кус.) 5) Сколько коробок мела потребуется? 300 : 20 = 15 (кор.) Ответ: потребуется 15 коробок.

745.

1) (3 ч 32 мин – 1 ч 48 мин + 5 ч 56 мин) : 23 ˜ 72 = = 7 ч 40 мин : 23 ˜ 72 = 460 мин : 23 ˜ 72 = 1440 мин = 24 ч 7 ч 40 мин = 460 мин 2) (17 мин 25 с + 9 мин 46 с – 2 мин 11 с) ˜ 2880 : 400 = = 25 мин ˜ 2880 : 400 = 72 000 мин : 400 = 180 мин = 3 ч 3) (25 т 3 ц 6 кг – 12 ц 48 кг + 1 т 82 кг) : : 30 : 838 = 25 т 1 ц 40 кг : 30 : 838 = 25140 30 − = 838 : 838 = 1 кг 240 838 25 т 1 ц 40 кг = 25 140 кг 114 − 90 −

240 240 0

× +

2880 25

1440 576

72000


83

       . .  , . .   

4) (16 м 8 см + 42 дм 7 см – 95 см) ˜ ˜ 504 : 97 = 194 дм ˜ 504 : 97 = 1008 дм = = 100 м 8 дм

× +

194 504

776 970

97776 97 97 1008 −

776 776

97776 5) (5 га 6 а 8 м – 28 а 40 м + 8 га 32 м ) : : 213 ˜ 260 = 12 га 78 а : 213 ˜ 260 = = 6 ф ˜ 260 = 1650 а = 15 га 60 а 12 га 78 а = 1278 а 2

2

0

2

1278 213 1278 6 0

6) (4 м3 18 дм3 20 см3 + 21 дм3 34 см3 – 38 дм3 854 см3) ˜ 5 : 20 001 = = 4м3 200 см3 ˜ 5 : 20 001 = 20 м3 1 дм3 : 20 001 = 1 дм3 20 м3 1 дм3 = 20 001 дм3 749.

Решение: 1) Какая сторона другого квадрата? 5 ˜ 2 = 10 (см) 2) Какая площадь первого квадрата? 5 ˜ 5 = 25 (см2) 3) Какая площадь второго квадрата? 10 ˜ 10 = 100 (см2) 4) Во сколько раз площадь второго квадрата больше первого? 100 : 25 = 4 (раза) Ответ: в 4 раза. Доказательство. Пусть сторона квадрата b, а удвоенная сторона будет 2b. Тогда площади будут b2 и 4b2. При любом значении b площадь второго будет в 4 раза больше, чем первого квадрата.

756.

1) 360 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 588 = 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 7 ˜ 7 2) 1950 = 2 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 13 3300 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 11 3) 180 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 200 = 2 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 5 ˜ 2 240 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2

762.

1) 780 : (x – 24) + 25 = 90 780 : (x – 24) = 90 – 25 x – 24 = 780 : 65 x – 24 = 12 x = 12 + 24 x = 36 2) (31 – y : 350) ˜ 8 = 200 31 – y : 350 = 200 : 8 y : 350 = 31 – 25 y : 350 = 6 y = 350 ˜ 6 y = 2100

НОД (360, 588) = 12 НОК (360, 588) = 17 640 НОД (1950, 3300) = 150 НОК (1950, 3300) = 42 900 НОД (180, 200, 240) = 20 НОК (180, 200, 240) = 3600 −

780 65 65 12

130 130 0


2002–2011 гг.

84

763.

3) (2x + x + 9 + 8x) : 4 – 26 = 45 4) 52 – (3y + 4 + y + 3y) : 37 = 50 (11x + 9) : 4 = 45 + 26 (7y + 4) : 37 = 52 – 50 11x + 9 = 71 ˜ 4 7y + 4 = 37 ˜ 2 11x = 284 – 9 7y = 74 – 4 11x = 275 y = 70 : 7 x = 275 : 11 y = 10 x = 25 [(500 010 – 497 305) ˜ 309 + 45 875] : 376 + 3210 = 5555 1)

500010 497305 2705

2)

× +

2705 309

24345 8115

835845 5)

+

2345 3210

5555 781.



1) 336 = 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 7 252 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 7 2) 38 = 2 ˜ 19 190 = 2 ˜ 5 ˜ 19 350 = 2 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 7 3) 64 = 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 72 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 288 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2

3)

+

835845 45875

881720

4)

881720 376 752 2345

1297 1128

1692 1504

1880 1880 0

НОД (336, 252) = 84 НОК (336, 252) = 1008 НОД (38, 190, 350) = 2 НОК (38, 190, 350) = 6650 НОД (64, 72, 288) = 8 НОК (64, 72, 288) = 576

782.

Решение: 1) Какая скорость удаления? 12 км = 12 000 м, 12 000 : 8 = 1500 (м/мин) 2) Пусть x — скорость первого мотоциклиста x + 100 — скорость второго x + (x + 100) = 1500 2x = 1500 – 100 x = 1400 : 2 x = 700 (м/мин) x + 100 = 800 (м/мин) Ответ: скорость первого мотоциклиста 700 м/мин, второго — 800 м/мин.

783.

Решение: 1) Какая скорость товарного поезда? 80 ˜ 11 : 16 = 55 (км/ч) 2) Какая скорость удаления? 80 + 55 = 135 (км/ч) 3) Сколько проедут оба поезда за 3 ч? 135 ˜ 3 = 405 (км) 4) Какое расстояние будет между поездами? 405 + 70 = 475 (км) Ответ: 475 км.


       . .  , . .   

787.

Решение: 1) Какая площадь бруса? (3 ˜ 2 + 8 ˜ 3 + 8 ˜ 2) ˜ 2 = 92 (дм2) 2) Сколько понадобится краски? 92 ˜ 3 = 276 (г) Ответ: понадобится 276 г краски.

789.

1) 52 + 34 = 25 + 81 = 106 3) 012 : (76 – 94) = 0

794.

Решение: 1) Пусть x — скорость Винни-Пуха (x + 20) — скорость Робина 3 км 600 м = 3600 м 1 ÷ = 30 ìèí 2

85

2) 3 ˜ 72 – 24 = 147 – 16 = 131 4) 43 + 3 ˜ 53 – 26 = 64 + 375 – 64 = 375

2) Какая скорость Винни-Пуха?

3600 = 30 x + (x + 20)

2x + 20 = 3600 : 30 2x = 120 – 20 x = 100 : 2 x = 50 (м/мин) x + 20 = 70 (м/мин) Ответ: скорость Винни-Пуха 50 м/мин, Кристофера Робина — 70 м/мин. 796.

Решение: 1) Какая высота уровня воды? 45 – 8 = 37 (см) 2) Какой объем аквариума? 8 дм = 80 см, 5 дм = 50 см, 80 ˜ 50 ˜ 37 = 148 000 (см3), 148 000 см3 = 148 дм3 = 148 л Ответ: 148 л воды. Задачи для самопроверки

803.

180 = 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 ˜ 2 396 = 3 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 11

807.

1) 2) 3) 4)

808.

Решение: 1) Какая скорость сближения? 28 + 36 = 64 (км/ч) 2) На сколько сблизятся катера за 2 ч? 64 ˜ 2 = 128 (км) 3) Какое расстояние будет между катерами? 192 – 128 = 64 (км) Ответ: 64 км.

809.

Решение: 1) Какая скорость удаления? 80 – 60 = 20 (м/мин) 2) Какое будет расстояние? 20 ˜ 12 = 240 (м) Ответ: расстояние будет 240 м.

НОД (180, 396) = 36 НОК (180, 396) = 1980

18 мин 36 с + 24 мин 58 с = 43 мин 34 с 5 ч 17 мин – 3 ч 45 мин = 1 ч 32 мин 3 ч 25 мин ˜ 7 = 205 мин ˜ 7 = 1435 мин = 23 ч 55 мин 42 мин 48 с : 24 = 2568 с : 24 = 107 с = 1 мин 47 с


2002–2011 гг.

86

810.



Решение: 1) Какая скорость автомобиля? 45 ˜ 8 : 5 = 72 (км/ч) 2) Какая скорость сближения? 72 – 45 = 27 (км/ч) 3) Через сколько автомобиль догонит автобус? 108 : 27 = 4 (ч) Ответ: через 4 ч. § 5. Еще немного логики

814.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

2a – 3 = 25 œ 2a = 25 + 3 œ 2a = 28 œ a = 28 : 2 œ a = 14 34 + 18 : b = 43 œ 18 : b = 43 – 34 œ 18 : b = 9 œ b = 18 : 9 œ b = 2 (80 – c) : 8 = 7 œ 80 – с = 7 ˜ 8 œ 80 – c = 56 œ c = 80 – 56 œ c = 24 k + 4k + 6k = 55 œ 11k = 55 œ k = 55 : 11 œ k = 5 8m – 3m – 2m = 72 œ 3m = 72 œ m = 72 : 3 œ m = 24 9n – n + 4n = 60 œ 12n = 60 œ n = 60 : 12 œ n = 5 8 + 5x + x = 32 œ 6x = 32 – 8 œ 6x = 24 œ x = 24 : 6 œ x = 4 12y – 3y – 6 = 21 œ 9y = 21 + 6 œ 9y = 27 œ y = 27 : 9 œ y = 3 7z + 8 + z = 48 œ 8z = 48 – 8 œ 8z = 40 œ z = 40 : 8 œ z = 5

818.

1) 45 – 72 : x = 9 œ 72 : x = 45 – 9 œ 72 : x = 36 œ x = 72 : 36 œ x = 2 2) 15y – 2y + y = 84 œ 14y = 84 œ y = 84 : 14 œ y = 6 3) 4z – z – 7 = 20 œ 3z = 20 + 7 œ 3z = 27 œ z = 27 : 3 œ z = 9

820.

Решение: Пусть x — было учеников 1 1 3 x + x + x + x + 1 = 100 , 2x + x = 99 , 11x = 99 ˜ 4, x = 36 2 4 4 Ответ: у учителя было 36 учеников.

834.

Солдаты будут стоять в 16 шеренг по 16 солдат в каждой шеренге.


       . .  , . .   

87

ЧАСТЬ 2 ГЛАВА 3 ДРОБИ § 1. Понятие дроби 16.

22.

1)

1 9 1 27 ; ; ; 10 10 100 100

3)

1 1 1 49 ; ; ; 60 20 3600 3600

1)

x = 15 ⇔ x = 15 ⋅15 ⇔ x = 225 15

2)

1 16 1 85 ; ; ; 1000 1000 10 10

96 96 ⇔y=6 = 16 ⇔ y = y 16 k−2 = 8 ⇔ k − 2 = 8 ⋅17 ⇔ k − 2 = 136 ⇔ k = 136 + 2 ⇔ k = 138 3) 17 336 336 4) = 7 ⇔ n + 29 = ⇔ n + 29 = 48 ⇔ n = 48 − 29 ⇔ n = 19 n + 29 7 2)

37.

1) (863 + 256 ˜ 0) ˜ (214 : 214) – 1 ˜ 863 = 863 – 863 = 0 2) 0 ˜ (996 + 7008 ˜ 32 + 74 359) + 785 : 1 – (543 – 543) : 9374 = 785 3) [596 – 0 : 1249 + (188 : 188) ˜ 4] : 1 – (712 – 60 928 : 952) ˜ ˜ (38 – 38) = 600 4) 72 ˜ (49 : 49) – [(7602 : 14 ˜ 36) ˜ (6815 – 6815) – 0 : 325 + 12 : 1] ˜ ˜ 1 = 72 – 12 = 60

40.

1) Решение: Пусть x — задуманное число (777 – x) : 7 + 7 – 100 = 7, 111 − x = 11 ˜ 7, x = 77 Ответ: задуманное число 77. 2) Решение: Пусть x — задуманное число

x x x + 7 − 100 = 7 , 18 − = 7 , = 11 , 7 7 7

555 ⎞ 555 555 555 ⎛ 2 = 50 , , x = 111 =5, x = ⎜⎝ 55 − ⎟ ⋅ 5 : 5 = 10 , 55 − x ⎠ x 5 x Ответ: задуманное число 111. 44.

Решение: 1 15 1 ÷ = ÷ , 24 ⋅ = 6 (км), 6 км = 6000 м 4 60 4 2) 6000 м < 8000 м Ответ: не успеет.

1) 15 ìèí =


2002–2011 гг.

88

47.



1) 79 797 979 + x = 1 067 452 399 2) x = 544 544 = 11 756 686 x = 1 067 452 300 – 79 797 979 x – 544 544 + 11 756 686 x = 987 654 321 x = 12 301 239 −

1067452300 79797979

+

987654321 3) x : 9307 = 8640 x = 8640 ˜ 9307 x = 80 412 480 9307 × 8640

11756686 544544 12301230

4) 5 540 200 : x = 564 x = 4 540 200 : 564 x = 8050 −

37228 + 55842 74456

4540200 564 4512 8050 −

2820 2820 0

80412480 51.

Решение: 1) Сколько мёда собрали со второго улья? 1350 ˜ 8 : 5 = 2160 (кг) 2) Сколько ульев на первой пасеке? 1350 : 90 = 15 (ул.) 3) Сколько ульев на второй пасеке? 2160 : 90 = 24 (ул.) 4) На сколько ульев больше? 24 – 15 = 9 (ул.) Ответ: на второй пасеке на 9 ульев больше.

55.

1)

450 =9 x 450 x= 9 x = 50 9+ a = 23 3) 9 9 + a = 23 ˜ 9 9 + a = 207 a = 207 – 9 a = 198

56.

65.

2)

y =9 7 y=9˜7

y = 63 504 4) = 72 b − 18 504 b − 18 = 72 b – 18 = 7 b = 7 + 18 b = 25

Решение: 1) Какая скорость лодки? 300 : 2 = 150 (м/мин), 27 км/ч = 450 м/мин 2) Какая скорость сближения? 450 – 150 = 300 (м/мин) 3) Через сколько часов теплоход догонит лодку? 36 км = 36 000 м, 36 000 : 300 = 120 (мин), 120 мин = 2 ч Ответ: через 2 часа. 18 3 6 6 1) > > 75 56 25 112


       . .  , . .   

107.

109.

91

3) 100 : [19 + (15x – 84) : 6] = 4 4) [72 – 64 : (40 – 8x)] ˜ 4 = 272 72 – 64 : (40 – 8x) = 272 : 4 19 + (15x – 84) : 6 = 100 : 4 (15х – 84) : 6 = 25 – 19 64 : (40 – 8x) = 72 – 68 15x – 84 = 6 ˜ 6 40 – 8x = 64 : 4 8x = 40 – 16 15x = 36 + 84 8x = 24 x = 120 : 15 x=3 x=8 1) Решение: 1) Пусть x — количество денег у Маши, (x + 80) — у Вити x + 80 x− = 10 , 2x – (x + 80) = 20, 2x – x – 80 = 20, x = 20 + 80, 2 x = 100 (руб.) 2) Сколько денег было у Вити? 100 + 80 = 180 (руб.) 3) Сколько денег у Вити и у Машин? 100 + 180 = 280 (руб.) Ответ: 280 руб. 2) Решение: Пусть x — количество жителей во втором посёлке x x + x + (x − 500) = 6000 , + 2x = 6000 + 500 , 5x = 13 000, x = 2600 (ж.) 2 2 Ответ: во втором посёлке 2600 жителей. 3) Решение: Пусть x — скорость мотоциклиста, x – 30 — скорость велосипедиста 90 90 − =4 x − 30 x 90 90 − =4 Ответ: x − 30 x 4) Решение: Пусть x — планируемая скорость, x + 1 — фактическая скорость 12 12 − =1 x x +1 12 12 Ответ: − =1. x x +1 1) Решение: 1) Какая скорость сближения? 40 + 30 = 70 (верст/дн.) 2) Через сколько дней произойдёт встреча? 700 : 70 = 10 (дн.) Ответ: через 10 дней. 2) Решение: 1) Сколько прошёл первый юноша? 40 ˜ 1 = 40 (верст) 2) Какая скорость сближения? 45 – 40 = 5 (верст/дн.) 3) Через сколько дней один догонит другого? 40 : 5 = 8 (дн.) 4) Какое расстояние от Москвы прошли юноши? 45 ˜ 8 = 360 (верст) Ответ: на расстоянии 360 верст. 3) Решение: 1) Какая скорость зайца? 500 : 2 = 250 (саж./мин) 2) Какая скорость собаки? 1300 : 5 = 260 (саж./мин)


2002–2011 гг.

92



3) Какая скорость сближения? 260 – 250 = 10 (саж./мин) 4) Когда собака догонит зайца? 150 : 10 = 15 (мин) 5) На сколько сократится расстояние через 10 мин? 10 ˜ 10 = 100 (саж.) 6) Какое расстояние будет между ними через 10 мин? 150 – 100 = 50 (с.) Ответ: 50 сажен; 15 мин. 114.

(20 844 : 18 – 3384 : 36) ˜ 205 – (255 – 48)2 + 24 729 = 200 000 2) 3384 36 3) 1158 4) 1) 20844 18 1064 − − − × 18 324 94 1158 94 205 − −

28 18

1064

144 144

104

+

218120

0

90

5)

144 − 144

× +

0

5320 2128

6)

207 207

218120 7) 175271 + 42849 24729

175271

1449 414

200000

42849 240 ˜ 609 + 720 ˜ [114 240 : (266 000 : 4750) – 1531] – 1027 : 13 ˜ 160 = = 500 000 4) 2040 2) 266000 4750 3) 114240 56 1) 609 − − − × 23750 112 1531 56 2040 240 +

2436 1218

146160 5)

× +

509 720

1018 3563

28500 28500 0

6)

+

146160 366480

512640

366480

118.

1)

3 ⋅ 5 ⋅ 28 15 ⋅ 28 28 4 = = = 15 ⋅ 49 15 ⋅ 49 49 7

509

224 224 0

7)

1027 13 8) 91 79

117 117 0

2)

× +

79 160

474 79

12640

12abd 3a = 8bdx 2x

9)

512640 12640

500000

200000 2 = 500000 5


93

       . .  , . .   

m2n m = 6mn 6 3x + 3y 3(x + y) x + y 5) = = 7y 21y 21y 3)

120.

1)

4)

14 40 è 75 75

2)

10 9 è 24 24 72 49 è 5) 945 945 15 16 è 7) 6a 6a

123.

81 64 è 144 144

21 52 è 96 96 156 220 45 6) , è 300 300 300 106 8nc 8) è 80cd 80cd

4)

3)

122.

29 â&#x2039;&#x2026; 38 â&#x2C6;&#x2019; 29 â&#x2039;&#x2026; 23 29 â&#x2039;&#x2026; (38 â&#x2C6;&#x2019; 23) 15 1 = = = 29 â&#x2039;&#x2026; 60 29 â&#x2039;&#x2026; 60 60 4

1) 3x â&#x20AC;&#x201C; 16 = 17 3x = 17 + 16 3x = 33 x = 33 : 3 x = 11

2) 4x + 39 = 67 4x = 67 â&#x20AC;&#x201C; 39 4x = 28 x = 28 : 4 x=7

3) 2x â&#x20AC;&#x201C; 125 = 52 2x â&#x20AC;&#x201C; 125 = 25 2x = 25 + 125 x = 150 : 2 x = 75

4) 10x + x = 484 11x = 484 x = 474 : 11 x = 44

1) [(185 â&#x20AC;&#x201C; 5x) Â&#x2DC; 15 â&#x20AC;&#x201C; 90] : 45 = 58 (185 â&#x20AC;&#x201C; 5x) Â&#x2DC; 15 â&#x20AC;&#x201C; 90 = 45 Â&#x2DC; 58 (185 â&#x20AC;&#x201C; 5x) Â&#x2DC; 15 â&#x20AC;&#x201C; 90 = 2610 (185 â&#x20AC;&#x201C; 5x) Â&#x2DC; 15 = 2610 + 90 185 â&#x20AC;&#x201C; 5x = 2700 : 15 185 â&#x20AC;&#x201C; 5x = 180 5x = 185 â&#x20AC;&#x201C; 180 5x = 5 x=5:5 x=1 2) [(8y â&#x20AC;&#x201C; 98) : 2 + 56] Â&#x2DC; 36 â&#x20AC;&#x201C; 268 = 2000 [(8y â&#x20AC;&#x201C; 98) : 2 + 56] Â&#x2DC; 36 = 2000 + 268 (8y â&#x20AC;&#x201C; 98) : 2 + 56 = 2268 : 36 (8y â&#x20AC;&#x201C; 98) : 2 = 63 â&#x20AC;&#x201C; 56 8y â&#x20AC;&#x201C; 98 = 7 Â&#x2DC; 2 8y = 14 + 98 8y = 112 y = 112 : 8 x = 14

45 58

â&#x2C6;&#x2019;

2700 15 15 180

360 225

â&#x2C6;&#x2019;

120 120

Ã&#x2014; +

2610

0

â&#x2C6;&#x2019;

2268 36 216 63

â&#x2C6;&#x2019;

108 108 0


2002–2011 гг.

94



127.

Решение: 1) Какая скорость сближения? 232 : 8 = 29 (км/ч) 2) Какая скорость второго велосипедиста? 29 – 15 = 14 (км/ч) Ответ: 14 км/ч. 2) Решение: 1) Какая скорость удаления? 56 + 72 = 128 (км/ч) 2) Какое время двигались оба? 12 – 10 = 2 (ч) 3) Какое будет между ними расстояние? 56 + 128 ˜ 2 = 312 (км) Ответ: 312 км 3) I. Движение с отставанием Решение: 1) Какая скорость убывания? 300 – 200 = 100 (м/мин) 2) На какое расстояние удалятся дельфины друг от друга за 5 мин? 100 ˜ 5 = 500 (м) 3) На каком расстоянии будут дельфины? 700 + 500 = 1200 (м) d = 700 + 100t Ответ: 1200 м II. Движение вдогонку Решение: 1) Какая скорость сближения? 300 – 200 = 100 (м/мин) 2) На сколько сократится расстояние за 5 мин? 100 ˜ 5 = 500 (м) 3) Какое будет расстояние через 5 мин? 700 – 500 = 200 (м) d = 700 – 100t Ответ: 200 м.

129.

1) 2) 3) 4)

До первой остановки ехал 3 ч До остановки проехал 36 км Велосипедист отдыхал 2 ч До остановки скорость была 12 км/ч, после остановки — 24 км/ч

144.

а)

2 4 8 9 ; ; ; 3 5 9 10

147.

1)

13 27 < 25 50

2)

15 10 < 77 33

3)

5)

19 7 > 7 19

6)

35 36 > 36 37

7) 5

1 3 11 55 ; ; ; 5 7 15 59

б)

6 3 < 59 29 41 43 <7 98 100

4)

1 2 > 64 135

8) 6

9 8 <6 25 11


       . .  , . .   

148.

а) б) в) г) д)

150. 152.

160.

8 4 < 25 11 9 5 > 63 > 55 ⇒ 11 7 5 9 105 < 117 ⇒ < 13 21 7 11 < 210 < 220 ⇒ 20 30 4 3 148 > 135 ⇒ > 35 37 88 < 100 ⇒

a b d c c b a c > 2) > 3) > 4) < b a c d a d d b 1) Решение: 5 x 60 = ⇔ 6x = 5(x + 12) ⇔ 6x = 5x + 60 ⇔ x = 60 , x + 12 6 72 60 . Ответ: 72 2) Решение: Пусть x — задуманное число 11 + x 3 = œ (11 + x) ˜ 8 = (41 + x) ˜ 3 œ 88 + 8x = 123 + 3x œ 41 + x 8 œ 5x = 35 œ x = 7 Ответ: задуманное число 7. 70 14 750 15 5 а) = б) = = 105 21 1200 24 8 1)

в)

3 ⋅14 ⋅ 62 14 = 31 ⋅10 ⋅ 27 45

г)

56 ⋅15 ⋅ 38 7 ⋅ 38 7 ⋅19 7 = = = 75 ⋅16 ⋅ 57 5 ⋅ 2 ⋅ 57 5 ⋅ 57 15

д)

8xyz x = 24yz 3

е)

30a2 5a = 12ab 2b

з)

6a − 6b 6(a − b) a − b = = 2 12 12

ж) 165.

8 4 ∨ ⇔ 8 ⋅11 ∨ 25 ⋅ 4 ⇔ 88 ∨ 100 25 11 9 5 ∨ ⇔ 9 ⋅ 7 ∨ 11 ⋅ 5 ⇔ 63 ∨ 55 11 7 5 9 ∨ ⇔ 5 ⋅ 21 ∨ 13 ⋅ 9 ⇔ 105 ∨ 117 13 21 7 11 ∨ ⇔ 7 ⋅ 30 ∨ 20 ⋅11 ⇔ 210 ∨ 220 20 30 4 3 ∨ ⇔ 4 ⋅ 37 ∨ 45 ⋅ 3 ⇔ 148 ∨ 135 45 37

95

n2 + 2n n + 2 = 12n 12

1) Решение: 1) Какая скорость сближения? 96 : 3 = 32 (км/ч) 2) Какая скорость второго велосипедиста? 32 – 15 = 17 (км/ч) 3) Какое расстояние будет через 2 ч после встречи? 32 ˜ 2 = 64 (км) Ответ: 17 км/ч; 64 км. 2) Решение: 1) Какая скорость сближения? 75 – 60 = 15 (км/ч) 2) Через сколько времени автомобиль перегонит автобус на 30 км? (45 + 30) : 15 = 5 (ч) Ответ: через 5 ч.


2002–2011 гг.

96

177.



Решение: 2 1) Какая скорость теплохода? 225 ⋅ = 150 (м/мин) 3 2) Какая скорость сближения? 225 – 150 = 75 (м/мин) 3) Какое расстояние будет через 15 мин, если сейчас 3 км? 3 км = 3000 м, 3000 – 75 ˜ 15 = 3000 – 1125 = 1875 (м) 4) Через какое время катер догонит теплоход? 3000 : 75 = 40 (мин) 5) На каком расстоянии будут через 10 мин после встречи? 75 ˜ 10 = 750 (м) Ответ: 1875 м; 40 мин; 750 м.

182.

[(90 480 ˜ 364) : 312 : 104 : 29] ˜ (70 000 – 69 942 + 2)2 = 126 000 90480 3) 105560 104 1) 2) 32934720 312 − − × 312 104 364 105560 1015 36192 + 54288 27144

32934720 4)

1747 1560

1015 29 87 35

1734 1560

156 104

1872 1872

520 520 0

5)

0

145 145

× +

0

35 3600

210 105

126000

[1 022 200 : 3800 – (197 745 600 : 2080 – 18 899) : 4009] ˜ 1092 = = 273 000 1)

1022200 3800 76 269

262 228

2)

197745600 2080 3) 95070 − 1872 18899 95070

342 342 0

126000 126 6 6 6 = = ; < 273000 273 13 13 7

76171

1054 1040 −

1456 1456 0

4)

76171 4009 4009 19

3608 3608 0

5)

× +

1092 250

5460 2184

273000


97

       . .  , . .   

Задачи для самопроверки 3 8 = 11 11 8 3 x= − 11 11 5 x= 11

5 4 2) x − 2 = 1 7 7 4 5 x =1 +2 7 7 2 x=4 7

4 5 3) 6 − x = 9 9 4 5 x=6 − 9 9 8 x=5 9

193.

1) x +

195.

Решение: 1) Какая скорость товарного поезда? 90 – 20 = 70 (км/ч) 2) Какая скорость сближения? 90 + 70 = 160 (км/ч) 3) На сколько сократится расстояние между ними через 2 ч? 160 ˜ 2 = 320 (км) 4) Какое будет расстояние? 960 – 320 = 640 (км) Ответ: 640 км.

196.

Решение: 1) Какое расстояние было до пешехода перед выездом велосипедиста? 80 ˜ 20 = 1600 (м) 2) Какая скорость сближения? 1600 : 10 = 160 (м/мин) 3) Какая скорость велосипедиста? 160 + 80 = 240 (м/мин) Ответ: 240 м/мин. § 2. Арифметика дробей

202.

13 5 4 7 13 + 4 5 + 7 12 3 + + + = + =1 =1 17 16 17 16 17 16 16 4 ⎛ 11 9 ⎞ ⎛ 5 19 ⎞ 11 + 19 9 + 5 1 1 + + + = + = + =1 б) ⎜ ⎝ 60 28 ⎟⎠ ⎜⎝ 28 60 ⎟⎠ 60 28 2 2 а)

⎛ 29 1 ⎞ 7 29 − 7 1 1 1 4 2 + − = + = + = = в) ⎜ ⎝ 44 6 ⎟⎠ 44 44 6 2 6 6 3 1 ⎛ 5 19 ⎞ 1 5 19 − 1 5 1 9 г) ⎜ + ⎟ − = + = + = =1 ⎝ 8 36 ⎠ 36 8 36 8 2 8 8

204.

д)

35 ⎛ 1 7 ⎞ 35 − 1 7 1 7 11 + 7 18 9 −⎜ + ⎟= + = + = = = 68 ⎝ 68 22 ⎠ 68 22 2 22 22 22 11

е)

14 ⎛ 1 1 ⎞ 14 − 1 1 1 1 4 − 1 3 1 −⎜ + ⎟ = − = − = = = 39 ⎝ 12 39 ⎠ 39 12 3 12 12 12 4

a 5 ay + 5x + = x y xy n 7 n − 28 − = 4) 4t 4t t 1)

7)

a 18k + am 9 + = 10km 5m 10k

8 b 8n − bm − = m n mn p 2q pc + 2qb 5) + = acb ab ac

2)

8)

2b c 16b − ct − = xt 8x 8xt

c d 2c + d + = k 2k 2k d m 2d − m 6) − = 3y 6y 6y 3)


98

2002–2011 гг.



205.

1) Решение: 9 3 9 + 15 24 1 1) Сколько продали фруктов? + = = = 1 (ц) 20 4 20 20 5 1 7 12 7 5 1 − = = (ц) = 2) Сколько продали после обеда? 1 − 5 10 10 10 10 2 1 Ответ: продали после обеда ц. 2 2) Решение: 1 1 3 10 + 8 + 12 3 1) Какую часть пути проехал за 3 ч? + + = = 4 5 10 40 4 3 1 2) Какую часть осталось проехать? 1 − = 4 4 1 Ответ: часть пути. 4

207.

1) Решение: 4 1 8 +1 9 = = (дм) 1) Какая длина второй стороны? + 5 10 10 10 9 7 18 − 7 11 − = = (дм) 2) Какая длина третьей стороны? 20 20 10 20 1 4 9 11 16 + 18 + 11 45 3) Чему равен периметр? + + = = = 2 (дм) 20 20 4 5 10 20 1 Ответ: периметр равен 2 дм. 4 2) Решение: 1 3 10 + 12 22 11 1) Какая длина прямоугольника? + = = = (м) 4 10 40 40 20 32 12 6 5 + 11 ⎛ 1 11 ⎞ ⋅2 = =1 =1 (м) 2) Чему равен периметр? ⎜ + ⎟ ⋅ 2 = ⎝ 4 20 ⎠ 20 20 20 10 Ответ: периметр равен 1

208.

6 м. 10

1) Решение: 1 7 1 1 1+ 3 4 2 = + = 1) Какую часть бассейна наполнили? + = = 6 14 6 2 6 6 3 2 1 2) Какую часть бассейна осталось наполнить? 1 − = 3 3 1 Ответ: часть. 3 2) Решение: 4 4 16 + 12 28 7 1) Какую часть бассейна наполнили? + = = = 9 12 36 36 9 7 2 2) Какую часть осталось наполнить? 1 − = 9 9 2 Ответ: часть. 9


       . .  , . .   

210.

1) Решение: 1 1 4+5 9 = 1) Какую часть проехали? + = 5 4 20 20 9 11 = 2) Какая часть осталась? 1 − 20 20 11 часть расстояния. Ответ: осталось проехать 20 2) Решение: 1) Какую часть расстояния сократил второй автомобиль? 1 1 5−4 1 − = = 4 5 20 20 1 19 = 2) Какая часть осталась? 1 − 20 20 19 Ответ: часть. 20

216.

1)

3)

217.

15 3 = a + 15 7 3(a + 15) = 15 ˜ 7 3a + 45 = 105 3a = 105 – 45 3a = 60 a = 60 : 3 a = 20 5x − 7 1 = 12 4 4(5x – 7) = 12 5x – 7 = 12 : 4 5x = 3 + 7 5x = 10 x = 10 : 5 x=2

2)

4)

1) 7

5 11 16 4 1 = 11 = 11 + 3 = 10 12 12 12 12 3

2) 5

8 ⎛ 4 7⎞ 8 11 10 − ⎜1 + 2 ⎟ = 5 − 3 = 1 13 13 13 13 ⎝ 13 13 ⎠

4 60 − m = 5 40 5(60 – m) = 4 ˜ 40 5m = 300 – 160 5m = 240 m = 240 : 5 m = 48 2 30 = 3 27 + 2y 2(27 + 2y) = 3 ˜ 30 54 + 4y = 90 4y = 90 – 54 4y = 36 y = 36 : 4 y=9

7⎞ ⎛ 4⎞ 7 4 3 1 ⎛ 5 3) ⎜ 4 − 2 ⎟ + ⎜ 6 − 1 ⎟ = 1 + 6 − 1 = 6 = 6 ⎝ 9 9⎠ ⎝ 9⎠ 9 9 9 3 9⎞ 3 8 5 1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 7 4) ⎜ 5 + 4⎟ − ⎜ 3 − 2 ⎟ = 9 − =8 =8 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ 10 10 10 2

99


2002–2011 гг.

100



220.

Решение: 1) За каное время преодолеет дистанцию первый лыжник? 4 км 800 м = 4800 м, 4800 : 320 = 15 (мин) 2) Какое расстояние преодолеет второй лыжник за 15 мин? 300 ˜ 15 = 4500 (м) 3) Сколько осталось до мишени? 4800 – 4500 = 300 (м) Ответ: 300 м.

221.

Решение: 1) За какое время преодолеет дистанцию первый велосипедист? 12 км = 12 000 м, 12 000 : 500 = 24 (мин) 2) Какая скорость второго? 500 – 20 = 480 (м/мин) 3) Какое расстояние преодолеет второй велосипедист за 24 мин? 480 ˜ 24 = 11 520 (м) 4) Какое расстояние останется до финиша? 12 000 – 11 520 = 480 (м) Ответ: 480 м.

230.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

234.

11 5 3 20 + 27 47 + = = =1 36 36 36 9 4 19 3 19 − 9 10 1 − = = = 60 20 60 60 6 13 7 39 − 28 11 1 − = = = 44 33 4 ⋅ 3 ⋅11 4 ⋅ 3 ⋅11 12 46 23 23 17 1 51 − 5 − = = = = 150 90 5 ⋅ 3 ⋅ 30 5 ⋅ 3 ⋅ 30 15 ⋅15 225 4 7 5 48 + 42 − 25 65 1 + − = = =1 5 10 12 60 60 12 9 ⎛ 3 3 ⎞ 5 9 ⎛ 15 − 12 ⎞ 5 9 3 5 −⎜ − ⎟ + = −⎜ − + = ⎟⎠ + = ⎝ ⎠ ⎝ 10 4 5 8 10 20 8 10 20 8 15 3 36 − 6 + 25 = =1 =1 40 40 8

1) Решение: 1) Какую часть овса израсходовали с января до апреля? 5 1 7 + = 16 8 16 5 7 12 3 2) Какую часть овса израсходовали? = + = 16 16 16 4 3 1 3) Какая часть осталась? 1 − = 4 4 1 Ответ: осталась часть овса. 4 2) Решение: 2 2 16 + 10 26 13 = = 1) Какую часть работы выполнят за 2 ч? + = 5 8 40 40 20


101

       . .  , . .   

13 7 = 20 20 7 Ответ: осталось выполнить часть. 20 3 x−9 32 − y 5 = 2) = 1) 4 16 24 8 4(x – 9) = 3 ˜ 16 (32 – y) ˜ 8 = 24 ˜ 5 x – 9 = 48 : 4 32 – y = 120 : 8 x – 9 = 12 y = 32 – 15 x = 12 + 9 y = 17 x = 21 2) Какая часть осталась? 1 −

237.

3)

7 35 = 11 40 + 3z 40 + 3z = 11 ˜ 5 3z = 55 – 40 z = 15 : 3 z=5

239.

Решение: 1) Какая скорость мотоциклиста? 900 : 100 ˜ 75 = 675 (м/мин) 2) Какая скорость сближения? 900 + 675 = 1575 (м/мин) 3) Через какое время произойдет встреча? 25 км 200 м = 25 200 м, 25 200 : 1575 = 16 (мин) 4) Какое расстояние будет через 4 мин после встречи? 1575 ˜ 4 = 6300 (м), 6300 м = 6 км 300 м Ответ: через 16 мин; 6 км 300 м.

240.

Решение: Пусть x — задуманное число 3 ⎛ 2 1⎞ 4 3 1 4 2 4 5 8 − ⎜x + 4 −3 ⎟ = 2 , 8 − x − = 2 , x =7 −2 , x = 4 7 ⎝ 7 7⎠ 7 7 7 7 7 7 7 5 Ответ: 4 . 7

247.

1) 1 −

7 2 = 9 9

2) 3 −

4 1 =2 5 5

1 5 3) 8 − 2 = 5 6 6

2 1 4) 5 − 4 = 3 3

3 5 6 5 1 5 4 15 8 7 6) 3 − = 3 − =3 5) 6 − = 6 − = 6 4 8 8 8 8 6 9 18 18 18 11 7 33 14 19 7) 9 − − =9 =9 16 24 48 48 48 15 3 60 52 8 2 − =4 8) 4 − =4 =4 49 14 196 196 196 49 7 2 35 8 27 9 −2 =3 =3 9) 5 − 2 = 5 12 15 60 60 60 20 1 11 2 11 4 7 10) 4 − 3 = 4 − 3 = 1 = 1 14 7 14 14 14 2 13 7 39 28 11 1 −1 = 3 11) 3 −1 =2 =2 44 33 132 132 132 12 11 13 44 39 5 1 −3 =6 =6 −3 =9 12) 9 60 80 240 240 240 48


2002–2011 гг.

102



30 56 30 26 3 6 21 =1 − = 13) 2 − 1 = 2 − 1 5 7 35 35 35 35 35 4 12 4 8 1 4 3 14) 10 − 5 = 10 − 5 = 9 − 5 = 4 3 9 9 9 9 9 9 4 9 8 9 34 9 25 =8 15) 8 − 3 −3 =7 −3 =4 26 13 26 26 26 26 26 4 3 16 75 116 75 41 −2 =6 −2 =4 −2 =7 16) 7 100 25 4 100 100 100 100 249.

Решение: 1) Какая высота башни с громоотводом? 38 2) Какая высота шпиля над уровнем моря? 5 21 125 + 252 77 784 + 41 = 825 = 826 (м) 12 25 300 300 77 м. Ответ: 826 300

250.

252.

1 4 21 + 3 = 41 (м) 25 5 25

Решение: 1) На сколько старшему сыну больше лет, чем младшему? 7 28 4 1 2 ⋅4 = 8 = 10 = 10 12 12 12 3 3 1 9 4 5 2) Сколько лет младшему сыну? 11 − 10 = 11 − 10 = 1 (лет) 4 3 12 12 12 7 5 1 3) Через сколько лет родится следующий сын? 2 − 1 = 1 (лет) 12 12 6 5 1 Ответ: младшему сыну 1 лет; через 1 года. 12 6 1 7 3 ⎛ 5⎞ 2 2) 4 + ⎜ y − 2 ⎟ = 5 1) (4 − x) + 1 = 3 5 60 5 ⎝ 6⎠ 3 7 1 2 3 5 4−x =3 y =5 −4 +2 −1 5 60 3 5 6 20 18 25 7 12 −1 +2 4−x =3 y=5 −4 30 30 30 60 60 11 27 9 x = 4 −1 y=3 =3 10 12 30 1 x=2 12 2 ⎛ 3⎞ 1 1 +5 3) 1 + ⎜ t − 2 ⎟ = 3 ⎝ 8 ⎠ 24 2 2 13 2 t−2 = 5 −1 8 24 3

1 13 1 ⎛ 1 ⎞ 4) ⎜ 7 − k⎟ − 1 = 6 − 2 ⎝ 12 ⎠ 3 18 4 7

1 17 1 −k = 4 +1 12 36 3


       . .  , . .   

21 3 +2 24 8 1 t=6 4

1 29 −5 12 36 5 k =1 18

t=3

254.

256.

k=7

Решение: 1) Сколько собрали клубники со второй грядки? 4 1 16 5 1 1 + =1 + =2 (кг) 5 4 20 20 20 4 1 16 1 17 =1 +2 =3 (кг) 2) Сколько собрали с двух рядок? 1 + 2 5 20 20 20 20 17 1 27 7 + =3 =4 (кг) 3) Сколько собрали с третьей грядки? 3 20 2 20 20 7 3 1 −2 = 2 (кг) 4) Сколько собрали с четвёртой грядки? 4 20 10 20 5) Сколько клубники собрали с четырёх грядок? 17 7 1 1 3 +4 +2 = 10 (кг) 20 20 20 4 1 Ответ: собрали 10 кг клубники. 4 19 ⎛ 1 5 ⎞ ⎛ 19 5⎞ 1 1 1 + ⎜ 5 + 1 ⎟ = ⎜ 3 + 1 ⎟ + 5 = 5 + 5 = 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 9 24 9 24 24 24 9 8⎞ ⎛ 9 3⎞ ⎛ 5 3⎞ ⎛ 8 9⎞ ⎛ 5 2) ⎜ 1 + 4 ⎟ + ⎜ + 2 ⎟ = ⎜1 + 2 ⎟ + ⎜ 4 + ⎟ = 4 + 5 = 9 ⎝ 8 17 ⎠ ⎝ 17 8⎠ ⎝ 8 8 ⎠ ⎝ 17 17 ⎠ 1) 3

3) 7

16 ⎛ 11 1 ⎞ ⎛ 16 11 ⎞ 1 1 1 1 − ⎜ 3 + 4 ⎟ = ⎜7 −3 ⎟ −4 = 4 −4 = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 35 56 35 35 56 7 56 8 35

5⎞ 56 56 56 5 5 ⎛ 56 +1 ⎟ − 4 =4 −4 4) ⎜ 4 +1 = 1 ⎝ 789 6⎠ 789 789 789 6 6 267.

38 98 <2< 23 47 238 623 >2> в) 107 345 а)

д)

274.

103

612 8586 <6< 111 1401

23 1 47 > > 38 2 98 107 1 345 г) < < 238 2 623 б)

е)

111 1 1401 > > 612 6 8586

1) 7

4 1 8 7 15 5 =9 +2 =7 +2 =9 21 6 42 42 42 14

2) 3

5 19 25 76 129 43 =1 =1 −1 =3 −1 36 45 130 180 180 60


2002–2011 гг.

104

3) 3 4) 2



5⎞ 7 4 1 11 5 7 ⎛ 1 2⎞ ⎛ 5 6 1 − ⎜4 −1 ⎟ + ⎜4 − 4 ⎟ = 3 +1 − 4 = 4 = = −4 30 ⎝ 6 15 ⎠ ⎝ 9 9⎠ 30 30 6 30 30 30 5

2 7 8 ⎛ 7 1⎞ 21 8 7 1 28 + 6 − ⎜ 5 − 1 − 3 ⎟ = 2 + 6 − 5 + 1 + 3 = 3 + 10 − 5 = 9 36 3 36 9 12 9 ⎝ 36 3⎠ 36 9

279.

Решение: 1) Сколько стоит килограмм мяса? 180 : 90 ˜ 100 = 200 (руб.) 2) Сколько стоит пакет молока? 200 : 100 ˜ 20 = 40 (руб.) 3) Сколько стоит десяток яиц? 40 : 4 ˜ 5 = 50 (руб.) 4) Сколько стоит три десятка яиц? 50 ˜ 3 = 150 (руб.) Ответ: 150 руб.

284.

Решение: ⎧x + y = 14 ⎨ ⎩10x + y − (10y + x) = 36 y = 14 – x 10x + 14 – х – (10(14 – x) + x) = 36 10x + 14 – x – 140 + 10x – x = 36 18x = 162 x=9 y = 14 – 9 = 5 Ответ: 95 и 59.

300.

1 1 8 49 1 ⋅ 7 1 2 1 2 3 1 а) 1 ⋅ 3 = ⋅ = =3 б) ⋅1 = ⋅ = 7 16 7 16 1 ⋅ 2 2 9 2 9 2 3 1 2 25 42 5 ⋅ 7 9 5 48 13 ⋅ ⋅ = = 35 г) 3 ⋅1 = =6 в) 4 ⋅ 8 = 6 5 6 5 1 ⋅1 13 8 13 8 5 1 54 7 7 1 7 16 7 ⋅ 2 14 2 д) ⋅ 5 = ⋅ = = =4 е) 7 ⋅1 = ⋅ =9 7 6 7 6 8 3 8 3 3 3 3 4 2 9 20 3 ⋅ 4 1 4 9 14 9 ⋅ 7 63 3 ж) 1 ⋅ 6 = ⋅ = = 12 з) 4 ⋅ 2 = ⋅ = = = 12 1 5 5 5 5 3 5 3 2 5 2 5 3 1 36 22 12 ⋅ 2 ⋅ = = 24 и) 3 ⋅ 7 = 1 11 3 11 3 2 2 72 11 8 ⋅11 88 4 к) 10 ⋅1 = = = 12 ⋅ = 7 7 7 7 9 7 9 1 18 5 18 1 ⋅ 9 4 1 8 36 35 4 ⋅ 5 = ⋅ = =1 м) 5 ⋅ 3 = ⋅ л) 2 ⋅ = = 20 5 2 25 2 25 1 ⋅ 5 7 9 7 9 1 ⋅1 1 14 9 14 1 ⋅ 7 2 3 5 18 45 9 ⋅ 9 81 1 =1 о) 3 ⋅ 5 = ⋅ = = = = 20 = ⋅ н) 4 ⋅ 2 45 2 45 1 ⋅ 5 5 5 8 5 8 1⋅ 4 4 4 1 1 25 56 5 ⋅14 35 2 п) 1 ⋅11 = ⋅ = = = 11 24 5 24 5 6 ⋅1 3 3 4 1 64 25 8 ⋅ 5 ⋅ р) 12 ⋅ 3 = = = 40 5 8 5 8 1 ⋅1


       . .  , . .   

302.

1 1 3 ⎛ 1⎞ а) 1 ⋅ 3 = ⎜ 1 + ⎟ ⋅ 3 = 3 + = 4 ⎝ 2⎠ 2 2 2

105

1 1⎞ 7 ⎛ б) 2 ⋅ 7 = ⎜ 2 + ⎟ ⋅ 7 = 14 + = 15 ⎝ 7 7⎠ 7

2 2⎞ 5 5⎞ 12 20 1 ⎛ ⎛ = 28 г) 3 ⋅ 4 = ⎜ 3 + ⎟ ⋅ 4 = 12 + = 14 в) 4 ⋅ 6 = ⎜ 4 + ⎟ ⋅ 6 = 24 + ⎝ ⎝ 3 3⎠ 8 8⎠ 3 8 2 303.

1) Решение: 1) Какой объём кубика? 5 ˜ 5 ˜ 5 = 125 (см3) 2 2⎞ 250 ⎛ = 300 (г) 2) Сколько весит кубик? 125 ⋅ 2 = 125 ⋅ ⎜ 2 + ⎟ = 250 + ⎝ 5 5⎠ 5 Ответ: 300 г. 2) Решение: 1) Сколько литров воды в двух бочках? 500 ˜ 2 = 1000 (л) 2) Сколько килограммов морской воды? 12 ⎞ 12 ⎛ ⋅1000 = ⎜ 1 + ⋅1000 = 1000 + 96 = 1096 (кг) ⎝ 125 ⎟⎠ 125 3) Сколько соли в двух бочках морской воды? 1 16 2 1096 ⋅ = 27 = 27 (кг) 40 40 5 2 Ответ: 27 кг соли. 5 1

305.

1) Решение: 1 3 = 27 (км/ч) 4 4 1 2) Как изменится расстояние через 1 ч? 3 3 1 111 4 111 ⋅ = = 37 (км) 27 ⋅1 = 4 3 3 4 3 3) Какое будет между ними расстояние? 38 + 37 = 75 (км) Ответ: 75 км. 2) Решение: 1 3 1) Какая скорость сближения? 45 − 17 = 27 (км/ч) 4 4 1 3 1 2) Как изменится расстояние через 1 ч? 27 ⋅1 = 37 (км) 3 4 3 3) Какое будет расстояние? 38 – 37 = 1 (км) Ответ: 1 км. 1) Какая скорость удаления? 45 − 17

308.

13 ⎞ ⎛ 1 1 11 ⎞ 4 ⎛ 7 11 ⎞ 4 17 1 ⎛ ⋅ = 1) ⎜ 8 − 7 ⎟ ⋅ ⎜ 2 + 3 − 4 ⎟ ⋅1 = ⋅⎜5 − 4 ⎟ = ⎝ 17 ⎠ ⎝ 4 3 15 ⎠ 17 ⎝ 12 15 ⎠ 17 20 5 10 ⎞ 2 3⎞ 9⎞ ⎛ 9 ⎛ ⎛ 9 2) ⎜ 9 − 7 ⎟ ⋅ 35 + ⎜ 11 − 8 ⎟ ⋅ 20 + ⎜ − ⋅16 = ⎝ 14 ⎝ 15 ⎝ 32 32 ⎟⎠ 21⎠ 25 ⎠ 20 ⎞ 9⎞ 1 1 ⎛ 10 ⎛ 27 = ⎜9 − 7 ⎟ ⋅ 35 + ⎜ 11 − 8 ⎟ ⋅ 20 = 2 ⋅ 35 + 3 ⋅ 20 = ⎝ 42 ⎠ ⎝ ⎠ 42 75 75 6 75


2002–2011 гг.

106

= 70 +



35 20 5 20 1 + 60 + = 130 + 5 + + = 136 6 75 6 75 10

⎛ 4 ⎛ 1⎞ 2 ⎞ 1 3 1 3 1 4 18 3) ⎜ 5 − ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⋅ 8 ⋅1 + 12 ⋅ ⋅ 3 ⋅1 − ⋅ 0 ⋅ 5 = ⎝ 9 ⎝ 3 ⎠ ⎠ 4 20 49 3 4 5 17 1 15 6 ⎛ 4 49 ⎞ 1 3 = ⎜ 5 − ⎟ ⋅ 8 ⋅1 + 12 ⋅ ⋅ ⋅ = 18 ⎝ 9 9 ⎠ 4 20 3 4 5 ⎛ ⎛ 1⎞ 1 1 2⎞ 3 2 5 1 ⎛ 1⎞ 4) ⎜ ⎜ 1 ⎟ ⋅ 4 ⋅ 8 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅1 − 1 ⎟ ⋅12 − 0 ⋅ 8 + 2 ⋅ 7 ⋅ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ ⎠ 5 9 7 6 9 5 3 4 3

2

5 ⎛ 15 5 ⎞ 51 5 5 ⎛ 27 25 8 1 6 5 ⎞ 51 − ⎟ ⋅ +2 =2 =⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +2 = ⎜ ⎝ 8 6 1 81 5 3 ⎟⎠ 4 9 ⎝ 9 3⎠ 4 9 9 325.

1) Решение: НОК (225, 325) = 2925 (см) 225 = 5 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 3 325 = 5 ˜ 5 ˜ 13 Ответ: 29 м 25 см. 2) Решение: 28 = 7 ˜ 4 16 = 4 ˜ 4 Ответ: большее колесо сделает 4 оборота, меньшее — 7 оборотов.

330.

Решение: 1) Сколько голосов у Деточкина? 252 : 14 ˜ 3 = 54 (гол.) 2) Сколько голосов у Лужина? 54 : 2 ˜ 3 = 81 (гол.) 3) Сколько у Деточкина и Лужина? 54 + 81 = 135 (гол.) 4) Сколько голосов у Коридорова? 135 – 30 = 105 (гол.) 5) Сколько голосов у Швабрина? 252 – 135 – 105 = 12 (гол.) Ответ: председателем кооператива стал Коридоров.

335.

1) 2) 3) 4)

336.

Решение: 1 1 1 4+5−8 1 + − = = 10 8 5 40 40 1 часть. Ответ: 40

340.

(25 + x)(x + 3) = 25x + 75 + x2 + 3x = x2 + 28x + 75 (y + 5)(y + 17) = y2 + 17y + 5y + 85 = y2 + 22y + 85 (k + 2)2 = (k + 2)(k + 2) = k2 + 2k + 2k + 4 = k2 + 4k + 4 (3 + n)2 = (3 + n)(3 + n) = 9 + 3n + 3n + n2 = n2 + 6n + 9

8 25 1 ⋅ 5 5 ⋅ = = 35 32 7 ⋅ 4 28 3 4 19 21 1 ⋅1 ⋅ 3 ⋅ ⋅ = = в) 7 40 38 1 ⋅10 ⋅ 2 20 а)

2

5 5 25 ⎛ 5⎞ д) ⎜ ⎟ = ⋅ = ⎝ 9⎠ 9 9 81

52 5 4 ⋅1 4 = ⋅ = 85 39 17 ⋅ 3 51 11 9 10 1 ⋅1 ⋅1 1 г) = ⋅ ⋅ = 36 20 11 4 ⋅ 2 ⋅1 8 б)

3

1 1 1 1 ⎛ 1⎞ е) ⎜ ⎟ = ⋅ ⋅ = ⎝ 4⎠ 4 4 4 64


       . .  , . .   

ж) 344.

a b a ⋅ = b c c

з)

107

m2 4t 2m ⋅ = 2kt m k

1) Решение: 3 1 1 1) Сколько вспахал во второй день? 12 − = 12 (га) 4 2 4 1 6 49 20 7 ⋅ 5 ⋅ = = 35 (ãà) 2) Сколько вспахали в третий день? 12 ⋅ 2 = 4 7 4 7 1 ⋅1 3 1 3) Какая площадь поля? 12 + 12 + 35 = 60 (ãà) 4 4 Ответ: 60 га. 2) Решение: 3 1 8 5 1) Сколько делает вторая бригада? 1 ⋅ 2 = ⋅ = 4 (км) 5 2 5 2 3 3 2) Сколько делают две бригады за день? 4 + 1 = 5 (км) 5 5 3 3) Чему равна длина дороги? 5 ⋅10 = 56 (км) 5 Ответ: 56 км.

351.

Решение: 1) Сколько проголосовали за г-жу Тортикову? 47 212 ⋅ = 188 (чел.) 53 2) Сколько проголосовали за Пирожкова и Тортикову? 212 + 188 = 400 (чел.) 3) Сколько проголосовали за Булкина и Конфеткину? 400 : 100 ˜ 80 = 320 (чел.) 4) Сколько проголосовали за Булкина? Пусть x — количество человек, проголосовавших за Булкина x + (x – 42) = 320 2x = 320 + 42 x = 181 (чел.) 5) Сколько проголосовали за Конфеткину? 320 – 181 = 139 (чел.) 6) На сколько голосов больше получила Тортикова, чем Конфеткина? 188 – 139 = 49 (чел.) Ответ: директором стал Пирожков; на 49 голосов.

353.

Решение: 1 1 > 1) 6 9 1 1 3 2 1 − = (ч.) − = 2) 6 9 18 18 18 1 Ответ: уменьшится на часть. 18


2002–2011 гг.

108

362.

а)

4 2 4 5 10 1 =1 : = ⋅ = 9 5 9 2 9 9

2 4 2 3 1 1 : = ⋅ = = 9 3 9 4 3⋅2 6 7 21 7 16 1 ⋅ 4 4 : = ⋅ = = д) 12 16 12 21 3 ⋅ 3 9 4 8 4 5 1 ⋅1 1 ж) = : = ⋅ = 35 5 35 8 7 ⋅ 2 14

в)

365.

1 25 50 42 2 ⋅ 6 12 5 = = =1 : = ⋅ 49 42 49 25 7 ⋅1 7 7 7 4 72 39 5 : = ⋅ = 18 ⋅ 3 = 54 13 39 13 4 3 23 53 30 =6 10 : 1 = ⋅ 5 30 5 53 2 3 8:2 = 8⋅ = 3 3 8 1 4 12 2 15 : 6 = 15 ⋅ = =2 4 25 5 5 3 27 36 44 4 ⋅ 4 16 1 3 : = ⋅ = = =5 11 44 11 27 1 ⋅ 3 3 3 7 3 16 7 2 ⋅ 7 14 = = 1 :3 = ⋅ 9 7 9 24 9 ⋅ 3 27 10 2 2 45 : 5 = 9 + =9 29 29 29

а) 1 в) д) ж) и) к) м) о)

367.

Решение: 1 3 27 4 13 : = ⋅ = 18 (б.) 2 4 2 3 Ответ: 18 банок.

368.

Решение: 1 5 324 : 1 = 324 ⋅ = 270 (руб.) 5 6 Ответ: 270 руб.

369.

Решение: 4 44 4 8 : 11 = = (м) 5 5 ⋅11 5 4 м. Ответ: 5

б)



2 13 2 24 16 3 = =1 : = ⋅ 3 24 3 13 13 13

15 3 15 10 25 1 : = ⋅ = =3 16 10 16 3 8 8 36 6 36 7 6 е) : = ⋅ = 49 7 49 6 7 3 7 3 100 30 2 з) = =4 : = ⋅ 10 100 10 7 7 7

г)

7 6 7 7 49 = :6 = ⋅ 48 7 48 48 2304 3 1 35 4 5 ⋅1 5 ⋅ г) 4 : 5 = = = 8 4 8 21 2 ⋅ 3 6 7 6 32 25 4 е) 1 : 2 = = ⋅ 25 25 25 56 7 5 32 1 8 з) 3 : 4 = ⋅ = 9 9 4 9 б)

1 21 3 л) 4 : 7 = = 5 5 ⋅7 5 8 2 2 =3 н) 12 : 4 = 3 + 33 33 33 17 1 1 п) 34 : 17 = 2 + =2 42 42 42


       . .  , . .   

371.

109

Решение: 1 3 33 20 = ⋅ = 55 (м) 1) Сколько ткани изготовят за 1 час? 8 : 4 20 4 3 4 2) Сколько изготовят за день? 55 ⋅ 7 = 429 (м) 5 Ответ: 429 м.

379.

381.

1) Решение: 3 7 1 = 44 (м) 1) Какая стала сторона участка? 35 + 8 4 20 10 1 10 = 882 ⋅ = 20 (м) 2) Какая ширина участка? 882 : 44 10 441 3 3) Какая была площадь участка? 35 ⋅ 20 = 700 + 15 = 715 (м2) 4 Ответ: 715 м2. 2) Решение: 1 27 1 = 2 (м2) 1) Чему равна площадь стороны? 13 : 6 = 2 2⋅6 4 9 3 1 2) Чему равна длина ребра? x ⋅ x = , x = = 1 (м) 4 2 2 1 Ответ: 1 м. 2 1 2 2 13 11 3 13 1 11 5 − ⋅ = − = =1 1) 2 − 1 : 3 = 6 9 3 6 9 11 6 3 6 6 2 ⎛ 7 3 ⎞ 22 ⎛ 7 26 ⎞ 22 10 4 1 2) 4 : ⎜ = =1 +2 ⎟ = :⎜ + ⎟= ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 10 5 5 10 10 5 33 3 3 3

2

8 16 40 81 120 1 ⎛ 2⎞ ⎛ 4 ⎞ : = ⋅ = =7 3) 5 ⋅ ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ = 5 ⋅ ⎝ 3⎠ ⎝ 9⎠ 27 81 27 16 16 2 5 1 3⎞ 7 2 2 ⎛ 5 11⎞ 9 8 5 43 9 8 5 ⎛5 4) ⎜ + 2 ⎟ : 4 ⋅ 2 − 1 = ⎜ + ⎟ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − = 2− = ⎝6 3 3 4⎠ 9 3 3 ⎝ 6 4 ⎠ 43 3 3 12 43 3 3 1⎞ 4 ⎞ ⎛ 9 3⎞ ⎛ 11 9 5 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 9 :1 ⎟ = ⎜ + ⎟ : 3 : ⎜ − 5) ⎜ 1 + 1 ⎟ : 3 : ⎜ 5 − ⋅ = ⎝ 2 20 9 ⎟⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 20 5 8 2 = 6)

21 ⎛ 11 1 ⎞ 21 4 1 :⎜ − ⎟ = = ⋅ 8 ⋅ 3 ⎝ 2 4 ⎠ 4 21 6 9 1 4 4 ⎛ 1 2 ⎞ 9 15 7 34 ⎛ 6 2 ⎞ ⋅1 : 2 ⋅ 24 − 2 : ⎜ 1 − ⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ 24 − :⎜ − ⎟ = 10 14 7 15 ⎝ 5 3 ⎠ 10 14 18 15 ⎝ 5 3 ⎠

= 9−

34 15 1 3 ⋅ = 9−4 = 4 15 8 4 4


2002–2011 гг.

110

382.



1) Решение: 2 5 1) Какая скорость сближения? 336 : 2 = 336 ⋅ = 140 (км/ч) 5 12 2) Какая скорость первого поезда? Пусть x — скорость первого поезда, x + 5 — скорость второго поезда 1 1 x + x + 5 = 140, 2x = 135, x = 67 (км/ч), x + 5 = 72 (км/ч) 2 2 1 1 Ответ: 67 км/ч; 72 км/ч 2 2 2) Решение: 1) Какая скорость вертолёта? 800 : 4 = 200 (км/ч) 2) Какая скорость сближения? 800 – 200 = 600 (км/ч) 3) Какое было расстояние между самолетом и вертолётом? 1 200 ⋅1 = 300 (км) 2 1 4) Через какое время самолёт догонит вертолёт? 300 : 600 = (ч) 2 1 1 5) В каком часу самолёт догонит вертолёт? 12 + 1 + = 14 (ч) 2 2 1 6) Какое будет расстояние от аэродрома? 800 ⋅ = 400 (км) 2 Ответ: в 14 часов; 400 км.

383.

386.

Решение: 3 3 147 16 4 = 16 (км/ч) ⋅ 1) Какая скорость велосипедиста? 36 : 2 = 4 16 4 35 5 2) Какое время до встречи потратил велосипедист? 4 5 1 70 : 16 = 70 ⋅ = 4 (ч) 5 84 6 3) Какое расстояние до встречи проехал мотоциклист? 168 – 70 = 98 (км) 4) Какое время до встречи потратил мотоциклист? 7 10 5 5 ⋅ = = (ч) 8 21 4 ⋅ 3 12 5) На сколько раньше выехал велосипедист? 1 1 2 25 8 25 − 16 9 − = = = 1 (ч) 4 −2 = 2 6 6 3 6 3 6 1 Ответ: 1 часа. 2 1) 3x + 5x = 7 2) 1 = 6x – 2x + x 8x = 7 1 = 5x 7 1 x= x= 8 5


       . .  , . .   

1 3 3) 7 − x = 9 4 8 1 3 6 x=9 4 8 3 1 x = 9 :6 8 4 75 4 x= ⋅ 8 25 3 x= 2 1 x =1 2 1 ⎛ 7 ⎞ 17 5 +1 5) 3 : ⎜ x − 4 ⎟ = 8 ⎝ 24 ⎠ 18 6 7 1 ⎛ 17 5⎞ = 3 :⎜ +1 ⎟ ⎝ 24 8 18 6⎠ 7 25 18 x−4 = ⋅ 24 8 50 9 7 x = +4 8 24 27 7 x= +4 24 24 5 x=5 12 1⎞ 4 4 8 ⎛ 1 7) ⎜ 4 : x + 1 ⎟ : 2 − = 1 ⎝ 5 ⎠ 3 35 5 15 x−4

4 ⎞ 74 23 4 ⎛ 1 = + ⎜⎝ 4 : x + ⎟⎠ : 5 3 35 15 5 21 4 35 74 :x + = ⋅ 5 3 15 35 21 74 4 :x = − 5 15 3 21 74 − 20 :x = 15 5 21 54 x= : 5 15 21 15 x= ⋅ 5 54 1 x =1 6

7 2 4) 1 : 2 = x + 4 x 9 5 9 2 1⋅ =5 x 25 5 9 2 x= :5 25 5 9 5 x= ⋅ 25 27 1 ⋅1 x= 5⋅3 1 x= 15 1 3 ⎛ 1⎞ 5 6) 24 + 8 = ⎜ x : 1 ⎟ ⋅ 5 14 7 ⎝ 9 ⎠ 12 10 1 5 = 32 : 5 9 2 12 10 65 12 x: = ⋅ 9 2 65 9 x = 6⋅ 10 2 x=5 5 x:

111


2002–2011 гг.

112

393.

399.

5 1 2 −x = 6 −2 12 6 3 5 37 − 16 5 −x = 6 12 5 21 x=5 − 12 6 65 − 42 x= 12 23 x= 12 11 x =1 12

1) 5

1)

m n 7m − n − = k 7k 7k

6a b 2b ⋅ = 9 8a3 9a2 p 3p 5) ⋅3 = q q

3)

405.



1 1 2 11 2) x − 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ − 2 ⋅ = 3 4 8 3 24 1 3 4 11 x−4 − − =3 2 8 3 24 83 108 9 32 + + x= + 24 24 24 24 232 x= 24 2 x=9 3

2)

y 20 + yx 4 + = 15x2 3x2 15x

c2 21d2 3cd ⋅ = 14d 5c 10 5r 5rs 6) 4s ⋅ = 32 8 4)

Решение: 1) Пусть x — возраст среднего брата, y — возраст младшего брата ⎧x + y = 19 ⎨ ⎩x − y = 3 y = x – 3, x + x – 3 = 19, 2x = 22, x = 11 (лет), y = 11 – 3, y = 8 (лет) 2) Сколько лет старшему? 36 – 19 = 17 (лет) Ответ: 17 лет; 11 лет; 8 лет. 2) Решение: 1) Пусть x — возраст старшей сестры, y — возраст средней сестры ⎧x − y = y − 5 ⎨ ⎩x + y + 5 = 24 x = 19 – y, 19 – y – y = y – 5, 3y = 24, y = 8 (лет) 2) Какой возраст старшей сестры? x = 19 – y, x = 19 – 8, x = 11 (лет) Ответ: 11 лет; 8 лет; 5 лет.

406.

Решение: 1) Какая производительность у Сойера? 180 : 6 = 30 (м2/д.) 2) Какая производительность у Гека Финна? 180 : 3 = 60 (м2/д.) 3) Сколько покрасят за день вместе? 30 + 60 = 90 (м2/д.) 4) Сколько понадобится времени? 180 : 90 = 2 (дн.) Ответ: 2 дня.


113

       . .  , . .    2

409.

2

2

3⎞ 4 3 ⎛ 3⎞ ⎛ 4 ⎛ 4⎞ 1) ⎜ 1 ⎟ + 2 ⋅1 ⋅1 + ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 + 1 ⎟ = 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 7⎠ 7 7 7 7 7⎠ 2

2

2

2⎞ 9 2 ⎛ 2⎞ ⎛ 9 ⎛ 9⎞ 2) ⎜ 4 ⎟ + 2 ⋅ 4 ⋅ 5 + ⎜ 5 ⎟ = ⎜ 4 + 5 ⎟ = 100 ⎝ 11 ⎝ 11⎠ 11 11 ⎝ 11⎠ 11⎠ 2

2

2

32 109 ⎛ 109 ⎞ 109 ⎞ ⎛ 32 ⎛ 32 ⎞ ⋅1 + ⎜1 +1 3) ⎜ + 2⋅ ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟ =4 ⎝ ⎝ 141⎟⎠ 141 141 141 ⎠ 141 141 2

2

2

5 7 ⎛ 7⎞ 7⎞ ⎛ 5 ⎛ 5⎞ 4) ⎜ 3 ⎟ + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 3 + 2 ⎟ = 36 ⎝ 12 ⎝ 12 ⎠ 12 12 ⎝ 12 ⎠ 12 ⎠ 419.

а)

6 5 6 6 36 1 =1 : = ⋅ = 7 6 7 5 35 35

8 32 8 49 1 ⋅ 7 7 = = : = ⋅ 21 49 21 32 3 ⋅ 4 12 m b m t m : = ⋅ = д) t t t b b

в)

421.

а) 1

5 8 16 17 34 1 : = ⋅ = =3 11 17 11 8 11 11

б)

4 12 4 23 23 = : = ⋅ 15 23 15 12 45

г)

9 3 9 10 3 ⋅ 2 = =6 : = ⋅ 5 10 5 3 1 ⋅1

б)

18 2 18 5 3 ⋅1 3 = = :2 = ⋅ 25 5 25 12 5 ⋅ 2 10

1 2 16 3 4 5 2 54 7 54 9 1 ⋅ ⋅ = = г) 7 : 4 = = =1 в) 5 : 6 = 3 3 3 20 5 7 7 7 30 30 5 5 4 5 7 ⋅ 5 35 2 3 63 7 2 = = = 11 е) 12 : 9 = = =1 д) 56 : 4 = 56 ⋅ 5 24 3 3 3 5 5⋅9 5 5 3 3 6 6 2 2 15 15 з) 40 : 5 = 8 + = 8+ =8 = 9+ = 9 ж) 27 : 3 = 9 + 17 17 7 ⋅3 7 7 17 ⋅ 5 7 17 1 1 4 к) 0 : 3 = 0 и) 9 : 9 = 1 8 8 13 424.

9 1 3 2 1 35 3 9 21 36 + 21 57 ⋅ = + = = =3 1) 2 + 8 : 6 = 2 + 16 16 16 4 3 4 4 20 4 16 4 2

3

2 16 27 5 5 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 2) ⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ 1 ⎟ : 2 = ⋅ ⋅ = =2 ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ 5 9 8 12 2 2 2 ⎞ 1 6 − 3 1 8 3 10 8 20 4 ⎛ 1 3⎞ ⎛ = ⋅ ⋅ = = ⋅3 ⋅ 3) ⎜ 1 − ⎟ ⋅ ⎜ 5 − 1 ⎟ : 3 = ⎝ 2 4⎠ ⎝ 3⎠ 8 4 3 25 4 3 25 25 5 425.

Решение: 15 2 1) Сколько весит средний мешок? 68 : 1 = 68 ⋅ = 60 (кг) 15 17 3 7 = 42 (кг) 2) Сколько весит маленький мешок? 60 : 1 = 60 ⋅ 7 10


2002–2011 гг.

114



3) Сколько весит урожай? 68 + 60 + 42 = 170 (кг) Ответ: 170 кг. 426.

Решение: 4 13 = 78 (км/ч) 1) Какая скорость автомобиля? 54 ⋅1 = 54 ⋅ 9 9 2) Какое расстояние было перед выездом автомобиля? 1 7 54 ⋅ 2 = 54 ⋅ = 18 ⋅ 7 = 126 (км) 3 3 3) Какая скорость сближения? 78 – 54 = 24 (км/ч) 4) На сколько сократится расстояние через 1 ч 45 мин? 3 3 7 1 ч 45 мин = 1 ч, 24 ⋅1 = 24 ⋅ = 42 (км) 4 4 4 5) Какое будет расстояние между автобусом и автомобилем? 126 – 42 = 84 (км) 6) Какая должна быть скорость сближения, чтобы автомобиль 1 1 2 догнал автобус через 3 ч? 126 : 3 = 126 ⋅ = 36 (км/ч) 2 2 7 7) Какая должна быть скорость автомобиля? 54 + 36 = 90 (км/ч) Ответ: 84 км; 90 км/ч.

432.

1)

n m n − 2m − = 2k k 2k

2)

a 3b2 b ⋅ = 21b a 7

3)

c 3 c ⋅ 4c c2 : = = 12d 4c 12d ⋅ 3 9d

4)

x x x 2x + 9x − 3x 2 + − = = x 18 4 12 36 9

447.

4⎞ 4 ⎛ ⎜⎝ 1 − ⎟⎠ ⋅ 7 7 − 4 3 7 7= а) = = 4 ⎛ 4⎞ 7 + 4 11 1+ ⎜1 + ⎟ ⋅7 7 ⎝ 7⎠ 1−

3 1 ⎛ 3 1⎞ + ⎜⎝ + ⎟⎠ ⋅ 8 6 + 1 7 2 б) 4 8 = 4 8 = = =1 3 1 ⎛ 3 1⎞ 6 1 5 5 − − ⎜ − ⎟ ⋅8 4 8 ⎝ 4 8⎠

⎛ 1 1 1⎞ 1 1 1 + + ⎜⎝ + + ⎟⎠ ⋅12 6 + 4 + 3 13 2 3 4 = = 13 = 2 3 4 = в) 1 1 1 ⎛1 1 1 ⎞ 4 − 2 −1 1 − − ⎜⎝ − − ⎟⎠ ⋅12 3 6 12 3 6 12 2 3 11 ⎛ 2 3 11 ⎞ + ⎟ ⋅ 30 − + ⎜ − 12 − 9 + 22 25 5 5 10 15 = ⎝ 5 10 15 ⎠ = = г) = 1 2 1 1 2 1 15 + 20 − 5 30 6 ⎛ ⎞ + − ⎜⎝ + − ⎟⎠ ⋅ 30 2 3 6 2 3 6 1 1 1 ⎛1 1 1 ⎞ ⋅ ⋅ ⎜⎝ ⋅ ⋅ ⎟⎠ ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅11 1 1 д) 5 9 11 = 5 9 11 = = 2 2 2 ⎛2 2 2 ⎞ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 8 ⋅ ⋅ ⎜ ⋅ ⋅ ⎟ ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅11 5 9 11 ⎝ 5 9 11⎠


       . .  , . .   

115

2 5 3 ⎛2 5 3 ⎞ ⋅ ⋅ ⎜⎝ ⋅ ⋅ ⎟⎠ ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 20 2 ⋅ 5 ⋅ 3 5 е) 3 7 20 = 3 7 20 = = 1 6 13 ⎛ 1 6 13 ⎞ ⋅ ⋅ 1 6 13 13 ⋅ ⋅ ⎜ ⋅ ⋅ ⎟ ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 20 3 7 20 ⎝ 3 7 20 ⎠ 2 1 ⎛ 17 15 ⎞ 1 ⋅2 ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ 5 ⋅ 7 7 ⋅15 3 5 7=⎝ 5 7⎠ = ж) = 3 4 ⎛ 10 14 ⎞ 14 4 10 ⋅1 1 ⋅2 5 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ 7 5 ⎝ 7 15 ⎠ 1 1 1 ⎛ 5 7 9⎞ 2 ⋅2 ⋅2 ⎜⎝ ⋅ ⋅ ⎟⎠ ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 5 ⋅ 7 ⋅ 9 = =3 з) 2 3 4 = 2 3 4 1 2 3 ⎛ 3 5 7⎞ 3 ⋅ 5 ⋅7 1 ⋅1 ⋅1 ⎜⎝ ⋅ ⋅ ⎟⎠ ⋅2 ⋅ 3 ⋅ 4 2 3 4 2 3 4 449.

1)

1 2 3 a− = 2 5 10

2)

2⎞ 3 ⎛1 ⋅2 ⋅5 ⎜⎝ a − ⎟⎠ ⋅ 2 ⋅ 5 = 2 5 10

5 ⎛1 2 ⎞ ⋅12 ⎜⎝ + b⎟⎠ ⋅12 = 4 3 12

5a – 2 ˜ 2 = 3 5a = 7 7 2 a = , a =1 5 5

3 + 8b = 5 8b = 5 – 3 1 b= 4

1 1 5 3) 2 = 1 + c 3 2 6

4) 1

7 ⎛3 5 ⎞ ⋅ 6 = ⎜ + c⎟ ⋅ 6 ⎝2 6 ⎠ 3 14 = 9 + 5c 5c = 5

7 1 1 19 x − x+ x =1 10 4 5 20 1 1 ⎞ 39 ⎛ 7 ⋅ 20 ⎜⎝ x − x + x⎟⎠ ⋅ 20 = 10 4 5 20 14x – 5x + 4x = 39 13x = 39 x = 39 : 13 x=3

7 1 3 =2 − d 16 8 4

23 ⎛ 17 3 ⎞ ⋅16 = ⎜ − d ⋅16 ⎝ 8 4 ⎟⎠ 16 23 = 34 – 12d 12d = 34 – 23 11 d= 12

c=1 5)

1 2 5 + b= 4 3 12

6)

1 2 7 5 = y+ y− y 10 3 15 6 1 7 5 ⎞ ⎛2 ⋅ 30 = ⎜ y + y − y⎟ ⋅ 30 ⎝3 10 15 6 ⎠ 3 = 20y + 14y – 25y 9y = 3 1 y= 3


2002–2011 гг.

116

451.

а)



1 1 2 + > 48 50 49

б)

2 1⎞ ⎛ 1 + ⎟ ⋅ 48 ⋅ 40 ⋅ 49 > ⋅ 48 ⋅ 50 ⋅ 49 ⎜⎝ ⎠ 49 48 50 50 ˜ 49 + 48 ˜ 49 > 2 ˜ 48 ˜ 50 25 ˜ 49 + 24 ˜ 49 > 48 ˜ 50 49 ˜ 49 > 48 ˜ 50 2401 > 2400 1 1 1 1 в) − > − 30 31 31 32 31 ˜ 32 – 30 ˜ 32 > 30 ˜ 32 – 30 ˜ 31 31 ˜ 16 – 30 ˜ 16 > 15 ˜ 32 – 15 ˜ 31 16 > 15 1 1 1 1 − − > г) 57 58 56 57 56 ˜ 58 – 56 ˜ 57 < 57 ˜ 58 – 56 ˜ 58 56 < 58 472.

1 1 1 < + 11 21 23 21 ˜ 23 < 11 ˜ 23 + 11 ˜ 21 21 ˜ 23 < 11 ˜ 44 483 < 484

7008 ⋅ 406 − (2135714 + 709 456) + 93 840 : (10 000 − 245160 : 27) = (116 802 : 567 + 142 800 : 408) : 278 ⋅ [2 483 502 : 609 − (429 + 3559)] =

180 =1 180

1)

× +

7008 406

+

42048 8032

2135714 709456

2845248 2845170

2845170

78

845248 −

245160 27 243 9080 −

10000 9080 920

216 216 0

2)

93840 920 920 102

1840 1840 0

3559 4078 116802 567 142800 408 2483502 609 + − − − 429 3988 2436 1224 350 1134 206 4078 3988 90 4450 2040 3402 − − − 4263 2040 3402 0

0

1872 1872 0


       . .  , . .   

474.

476.

479.

117

2 1 ⎛2 1 ⎞ + ⎜ + ⎟ ⋅14 4 + 1 5 2 7 14 = ⎝ 7 14 ⎠ а) = = =1 9 3 ⎛ 9 3⎞ 9 6 3 3 − − − ⎟ ⋅14 ⎜ 14 7 ⎝ 14 7 ⎠ 3 7 15 3 7 15 ⋅ ⋅ ⋅ 4 ⋅13 ⋅ 29 ⋅ ⋅ 1 3 ⋅ 7 ⋅15 21 ⋅15 3 = = = =1 б) 4 13 29 = 4 13 29 1 10 21 1 10 21 10 21 10 21 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4 ⋅1 ⋅ ⋅ 13 ⋅ 29 4 13 29 4 13 29 8 5 11 8 5 11 ⋅ ⋅ ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅13 ⋅ ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅11 9 7 13 = =1 = 9 7 13 в) 2 1 10 2 22 10 ⋅ ⋅ ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅13 2 ⋅ 22 ⋅10 ⋅3 ⋅ 9 7 13 9 7 13 1)

52 − 12 13 − 3 10 1 = = =3 12 3 3 3

2)

37 ⋅ 8 8 2 2 = = = 37 ⋅16 + 37 ⋅ 4 16 + 4 4 + 1 5

3)

9an3 n2 = 18a2n 2a

4)

(2a − b)c c = (2a − b)d d

Решение: 1 2 = (м) 3 3 2) Какая площадь поля? 60 ˜ 80 = 4800 (м2)

1) Какая длина поля? 1 −

4 = 80 (м2/дн.) 11 4) Какая общая производительность? 220 + 80 = 300 (м2/дн.) 5) Сколько понадобится времени? 4800 : 300 = 16 (дн.) Ответ: 16 дней. 3) Какая производительность Пятницы? 220 ⋅

488.

Решение: 8 = 12 800 (км). 40 000 ⋅ 25 Ответ: диаметр Земли 12 800 км.

490.

Решение: 1) Сколько деревьев Дровосек срубил сегодня? 8 + 2 = 10 (д.) 2) На сколько меньше собирается срубить завтра? 10 : 100 ˜ 10 = 1 (д.) 3) Сколько срубит завтра? 10 – 1 = 9 (д.) Ответ: 9 деревьев.

494.

а) 45 : 3 ˜ 4 = 60 в) 18 : 9 ˜ 2 = 4 д)

33 20 3 ⋅ = 80 11 4

б) 24 : 8 ˜ 7 = 21 15 1 г) 25 : 10 ⋅ 3 = =7 2 2 1 7 15 7 ⋅ =3 е) 2 ⋅ = 7 5 7 5


2002–2011 гг.

118

ж) 48 : 6 ˜ 100 = 800 8 1 =1 a 7 7 100 = 5c л) c ⋅ 20

и) a ⋅

499.



3 100 27 100 27 1 з) 6 ⋅ ⋅ = =4 = 4 150 4 150 6 2 3 3 к) b ⋅ = b 5 5 100 5 м) d ⋅ = d 240 12

Решение: 3 = 6 (км/ч) 40 3 2) За сколько проедет по шоссе? 300 : 80 = 3 (ч) 4 3) За сколько проедет по бездорожью? 30 : 6 = 5 (ч) 3 1 4) На сколько быстрее проедет по шоссе? 5 − 3 = 1 (ч) 4 4 1 Ответ: на 1 ч. 4 1) Какая скорость по бездорожью? 80 ⋅

505.

Решение: 100 : 5 ˜ 3 = 60 (%) Ответ: 60 %.

511.

Решение: 1) Какая скорость мотоциклиста? 15 ˜ 7 : 3 = 35 (км/ч) 2) Какая скорость удаления? 35 – 15 = 20 (км/ч) 3) На каком расстоянии они окажутся через 36 мин? 20 : 60 ˜ 36 = 12 (км) Ответ: 12 км.

512.

Решение: 4 1) Какая скорость трамвая? 60 ⋅ = 48 (км/ч) 5 2) Какая скорость удаления? 60 – 48 = 12 (км/ч) 3) На каком расстоянии будет трамвай через 5 мин? 12 : 60 ˜ 5 = 1 (км) Ответ: 1 км.

516.

Решение: 1 1) Какая ширина параллелепипеда? 1 : 12 = (дм) 12 3 2) Какой объём аквариума? 40 ⋅ = 60 (л) 2 3) Какая площадь основания параллелепипеда? 5 ˜ 4 = 20 (дм2) 4) Какая высота аквариума? 60 : 20 = 3 (дм) 3 5) Какую часть длины составляет высота? 3 : 5 = 5 3 Ответ: часть. 5


       . .  , . .   

517.

524.

Решение: 3 1) Сколько зелёных шаров? 40 ⋅ = 24 (ш.) 5 3 2) Сколько жёлтых шаров? 24 ⋅ = 36 (ш.) 2 3) Сколько всего шаров привезли? 40 + 24 + 36 = 100 (ш.) 1 = 2 (ш.) 4) Сколько лопнуло красных шаров? 40 ⋅ 20 1 = 2 (ш.) 5) Сколько лопнуло зелёных шаров? 24 ⋅ 12 1 = 1 (ш.) 6) Сколько лопнуло жёлтых шаров? 36 ⋅ 36 7) Сколько лопнуло шаров? 2 + 2 + 1 = 5 (ш.) 100 − 5 95 19 = = 8) Какую часть надули? 100 100 20 19 часть. Ответ: привезли 100 шаров, надули 20 2 3 2b + 3a 3 9 12 − 9 3 + = 2) − = = c 1) a b ab c 4c 4c 4 3)

525.

119

x y x 2 − y2 − = y x yx

4)

m 3m 2m + 3m m + = = 2n 5n 10n 10n

2 ⎛ 5⎞ 5 1 − ⎜ x + 3 ⎟ :5 = 7 ⎝ ⎠ 15 14 8 3

7 ⎛ 3 2⎞ 6 4 2) 2 : ⎜ 3 y − 11 ⎟ + 1 = 2 ⎝ ⎠ 9 4 3 7 21

5 ⎞ 5 122 22 ⎛ − ⎜⎝ x + 3 ⎟⎠ : 5 = 14 8 15 3

25 ⎛ 15 35 ⎞ 46 13 :⎜ y − ⎟ = − 9 ⎝ 4 5 ⎠ 21 7 15 35 25 7 y− = : 4 3 9 21 15 25 21 35 y= ⋅ + 4 9 7 3 15 25 35 y= + 4 3 3 15 y = 20 : 4 4 y = 20 ⋅ 15 16 y= 3

1) 8

5 122 − 110 45 = ⋅ 15 8 14 47 3 ⋅ 3 x+ = 14 2 9 47 x= − 2 14 63 − 47 x= 14 8 x= 7 1 x =1 7 1 y=5 3 x+3


2002–2011 гг.

120

3)

4 4 2 t+ + t =1 5 15 3 12t + 4t + 10t = 15 26t = 15

2 4 1 5 4) 1 + z + 2 z = 5 3 9 3 9 5 4 7 50 + z+ z= 3 9 3 9 15 + 4z + 21z = 50

15 26 2 z =1 5

t=

537.

539.

1) 220 ⋅

5 = 100 11

5 1 3) x :100 ⋅ 250 = x = 2 x 2 2 5 а) x = 90 9 5 x = 90 : 9 9 x = 90 ⋅ 5 x = 162 в)

20 2 x= 100 5 2 20 x= : 5 100 2 100 x= ⋅ 5 20 x=2

544.



z = 35 : 25

1 4 45 15 3 2) 1 : 100 ⋅ 45 = ⋅ = = 3 3 100 25 5

7 5 x=5 3 6 35 7 x= : 6 3 35 3 x= ⋅ 6 7 5 1 x= , x=2 2 2 125 г) x=y 100 125 x = y: 100 100 x= y, 125 4 x= y 5

б)

Решение: 2 = 6 (шт.) 1) Сколько монет XVII века? 45 ⋅ 15 7 2) Сколько монет XVIII века? 6 ⋅ = 14 (шт.) 3 3) Сколько монет XVII и XVIII века? 6 + 14 = 20 (шт.) 4) Сколько остальных монет? 45 – 20 = 25 (шт.) 3 5) Сколько монет XIX века? 25 ⋅ = 15 (шт.) 5 6) Сколько дореволюционных монет XX века? 45 – 20 – 15 = 10 (шт.)


       . .  , . .   

2 7) Какая часть монет XIX века? 10 : 45 = 9 2 Ответ: части. 9 545.

1 ⎛ 1⎞ 1 14 1) 9 − ⎜ 5x − 4 ⎟ : 11 = 8 5 ⎝ 2⎠ 4 15 9 ⎞ 45 46 134 ⎛ = − ⎜⎝ 5x − ⎟⎠ : 2 4 5 15 9 138 − 134 45 ⋅ 5x − = 15 4 2 9 5x = 3 + 2 15 x= :5 2 3 x= 2 1 x =1 2

559.

Решение: 1) Какую часть составляет мука и манная крупа? 4 1 40 + 1 41 + = = 5 50 50 50 41 9 2) Какую часть составляют отруби? 1 − = 50 50 9 = 200 (кг) 3) Сколько было пшеницы? 36 : 50 4 4) Сколько получили муки? 200 ⋅ = 160 (кг) 5 1 = 40 (кг) 5) Сколько получили манной крупы? 200 ⋅ 50 Ответ: 160 кг; 40 кг.

560.

1) Решение:

2)

5 2 7 1 y + 3 +1 y = 5 18 12 9 8 5 15 91 29 − y+ y= 12 8 18 9 10y + 45y 91 − 58 = 24 18 33 ⋅ 24 55y = 18 33 ⋅ 4 y= 3 ⋅ 55 4 y= 5

3 1) Пусть x — количество страниц в рукописи, x — набрал 7 5 x — набрал второй оператор первый оператор, 14 3 5 6 5 x− x =7 , 2) Сколько страниц в рукописи? x − x = 7 , 7 14 14 14 1 x = 7 , x = 98 (стр.) 14 Ответ: 98 страниц.

121


122

2002–2011 гг.



2) Решение: 2 1) Пусть x — длина намеченного пути, x — проехал в первый 5 ⎛ 2⎞ день, ⎜ 1 − ⎟ x — проехал во второй день ⎝ 5⎠ 2) Какой путь проехал автотурист? 2 2 2 4 1 ⎛ 2⎞ ⎜⎝ 1 − ⎟⎠ x − x = 80 , x − x − x = 80 , x − x = 80 , x = 80 , 5 5 5 5 5 5 x = 400 (км) 2 3) Сколько проехал в первый день? ⋅ 400 = 160 (км) 5 4) Сколько проехал во второй день? 160 + 80 = 240 (км) Ответ: 160 км; 240 км. 561.

1) Решение: 1) Сколько саженцев яблок? 3200 : 100 ˜ 55 = 1760 (саж.) 2 2) Сколько саженцев сорта «Память воина»? 1760 ⋅ = 320 (саж.) 11 Ответ: 320 саженцев. 2) Решение: 1) Сколько учеников прошло отбор по математике? 3 400 ⋅ = 120 (уч.) 10 2) Сколько записано в гимназию? 120 : 100 ˜ 60 = 72 (уч.) 3) Сколько пятых классов в гимназии? 72 : 24 = 3 (кл.) Ответ: 3 класса.

562.

1) Решение: 1 1 1) Сколько корма съела кошка в первую неделю? 3 ⋅ = (кг) 6 2 1 1 2) Сколько осталось корма после первой недели? 3 − = 2 (кг) 2 2 1 4 2 = (ч.) 3) Сколько съела во вторую неделю? 2 ⋅ 2 25 5 1 2 25 − 4 21 1 4) Сколько корма осталось? 2 − = = =2 (кг) 2 5 10 10 10 1 кг. Ответ: 2 10 2) Решение: 2 1) Сколько банок с абрикосами? 60 ⋅ = 24 (б.) 5 2) Сколько банок за вычетом банок с абрикосами? 60 – 24 = 36 (б.) 3 3) Сколько банок с вишней? 36 ⋅ = 27 (б.) 4 4) Сколько банок с персиками? 60 – 24 – 27 = 9 (б.) 5) На сколько больше банок с абрикосами, чем с персиками?


123

       . .  , . .   

24 – 9 = 15 (б.) Ответ: на 15 банок больше. 566.

1) Решение: Пусть x — первое число, y — второе число 4 ⎧ 22 ⋅ 7 4 4y + 7 y ⎪x = y , y + y = 22 , , y = 14, = 22 , 11y = 22 ˜ 7, y = 7 ⎨ 11 7 ⎪⎩x + y = 22 7 4 ⋅14 = 8 7 Ответ: первое число 8, второе 14. 2) Решение: Пусть x — первое число, y — второе число x=

3 ⎧ y 3 35 ⋅10 10y − 3y ⎪x = , y− y = 35 , = 35 , 7y = 35 ˜ 10, y = 10 ⎨ 10 10 7 ⎪⎩y − x = 35 3 ⋅ 50 = 15 y = 50, x = 10 Ответ: 15 и 50. 568.

1) Решение: 1 3 1) Пусть x — весь путь, x + 12 — проехал велосипедист, x + 9 — 4 8 осталось проехать 1 3 5 2) Сколько составляет весь путь? x + 12 + x + 9 = x , x + 21 = x , 4 8 8 5 8 3 x − x = 21 , x = 21 , x = 21 ⋅ , x = 56 (км) 8 3 8 Ответ: 56 км. 2) Решение: Пусть x — длина всего пути 13 11 = 1) Какую часть пути проехал поезд? 1 − 24 24 11 1 11 1 11x − 8x x − 14 = x , x − x = 14 , = 14 2) Какая длина пути? 24 3 24 3 24 14 ⋅ 24 , x = 112 (км) 3x = 14 ˜ 24, x = 3 Ответ: 112 км.

569.

1) Решение: 1) Пусть x — количество страниц в книге,

1 x 5

— прочи-

1 ⎞ 5 ⎛ тал в первый день, ⎜ x − x⎟ ⋅ — прочитал во второй день, ⎝ 5 ⎠ 8 ⎛ 1 1 ⎞ 5⎞ 1 ⎛ 16 + ⎜ x − x − ⎜ x − x⎟ ⋅ ⎟ ⋅ — прочитал в третий день ⎝ ⎝ 5 5 ⎠ 8⎠ 3


124

2002–2011 гг.



1 1 ⎞ 5 ⎛ 1 1 ⎞ 5⎞ 1 ⎛ ⎛ x − x − ⎜ x − x⎟ ⋅ − ⎜ x − x − ⎜ x − x⎟ ⋅ ⎟ ⋅ − 16 = 0 , ⎝ ⎝ 5 5 ⎠ 8 ⎝ 5 5 ⎠ 8⎠ 3 4 x ⎛4 x⎞ 1 2⎛4 x⎞ 8x − 5x 3 3x x − − ⎜ x − ⎟ ⋅ = 16 , ⎜ x − ⎟ = 16 , = 16 ⋅ , = 24 5 2 ⎝5 2⎠ 3 3⎝5 2⎠ 10 2 10 x = 80 (стр.) Ответ: в книге 80 страниц. 2) Решение: 1 1) Пусть x — количество картофеля, x — купил первый 4 1 ⎞4 3 4 1 ⎛ покупатель, ⎜ x − x⎟ = x ⋅ = x — купил второй, ⎝ 4 ⎠9 4 9 3 1 1 ⎞ 4 ⎛3 1 ⎞ 4 9x − 4x 4 1 ⎛ ⋅ = x, ⎜⎝ x − x − x⎟⎠ ⋅ = ⎜⎝ x − x⎟⎠ ⋅ = 4 3 5 4 3 5 12 5 3

582.

1 10 + x — купил третий покупатель 3 1 1 1 3 2 9x − 8x x − x − x − x − 10 = 0 , x − x = 10 , = 10 , x – 120 (кг) 4 3 3 4 3 12 1 2) Сколько купил первый покупатель? 120 ⋅ = 30 (кг) 4 5 5 3) Сколько купил второй покупатель? > (кг) 8 9 1 4) Сколько купил третий покупатель? 10 + 120 ⋅ = 50 (кг) 3 Ответ: 30 кг, 40 кг и 50 кг. 2 1 1 1 2) 2 + x = 3 1) x − 1 = 5 5 2 3 6 11 7 19 7 x= + x= − 2 5 6 3 55 + 14 19 − 14 x= x= 10 6 69 5 x= x= 10 6 9 x=6 10 2 43 54 4) < 3) x :3 = 1 3 88 99 5 64 x = ⋅3 x= :4 3 5 16 1 x= , x=3 x=5 5 5


       . .  , . .   

9 3 :x = 32 16 9 3 x= : 32 16 9 16 x= ⋅ 32 3 3 1 x = , x =1 2 2 2 2 7) 4 − x = 3 7 7 2 2 x = 4 −3 7 7 x=1 5)

125

5 2 =2 6 5 12 5 x= ⋅ 5 6

6) x :

x=2

2 8) 5 x = 0 9 x=0

594.

1) Решение: 4 2 x — проехали в первый день, x — 1) Пусть x — весь путь, 15 5 проехали во второй день 10x 4 2 4x + 6x 15x − 10x = 100 = 100 , x + x + 100 = x , + 100 = x , x − 15 15 15 5 15 100 ⋅15 x= , x = 300 (км) 5 Ответ: 300 км. 2) Решение: 2 1) Пусть x — намеченная площадь, x — вспахали в первый 7 2 день, x − x — вспахали во второй день 7 2 2 7 3 x − x − x = 84 , x = 84 , x = 84 ⋅ , x = 196 (га) 7 7 3 7 2 2) Сколько вспахали в первый день? ⋅196 = 56 (га) 7 3) Сколько вспахали во второй день? 196 – 56 = 140 (га) Ответ: 56 га и 140 га.

595.

1) Решение: 1) Сколько победителей районной олимпиады? 600 : 100 ˜ 15 = 90 (шк.) 2) Сколько призёров городской олимпиады? 90 : 100 ˜ 10 = 9 (шк.) Ответ: 9 школьников. 2) Решение: 3 Пусть x — вся собранная вишня, x — пошло на варенье, 4 3 ⎞ 1 1 ⎛ x — засушили ⎜⎝ x − x⎟⎠ ⋅ = 4 3 12


2002–2011 гг.

126



9x + x 3 1 =4 x+ x+4= x , x− 12 4 12 12x – 10x = 48, 2x = 48, x = 24 (кг) Ответ: собрали 24 кг вишен.

2) Сколько собрали вишен?

596.

Решение: 1 1) Какой путь осталось пройти? 150 : = 450 (км) 3 2) Какой весь путь? 150 + 450 = 600 (км) 3) Какое время движения? 600 : 60 = 10 (ч) 4) Какое время катер был в пути? 10 + 2 = 12 (ч) Ответ: 12 ч.

599.

1) Решение: 1) Пусть x — количество яблок в I корзине, y — количество яблок во II корзине ⎧x + y = 56 56 ⋅11 3 3y + 11y ⎪ , y = 44 (ябл.) , y + y = 56 , = 56 , y = 3 ⎨ 14 11 11 x = y ⎪⎩ 11 3 x = ⋅ 44 = 12 (ябл.) 11 Ответ: 12 и 44 яблока. 2) Решение: 1 1) Пусть x — длина всей верёвки, x — отрезала первый раз, 4 1 x — отрезала второй раз 3 7 1 1 5 x = 10 2) Сколько было верёвки? x + x + 10 = x , x − x = 10 , 12 4 3 12 x = 24 (м) 3) Сколько потребовалось верёвки? 24 – 10 = 14 (м) Ответ: 14 м.

610.

Решение: 1) Пусть x — денег у первого ученика, y — денег у второго ученика 2 ⎞ 1 5 ⎞ 4 ⎛ ⎛ ⎜⎝ x − x⎟⎠ = x — осталось у первого, ⎜⎝ y − y⎟⎠ = y — осталось 3 3 9 9 у второго 2) Сколько было денег у каждого ученика? ⎧x − y = 60 4 4 1 ⎪ 4 , x = y , y − y = 60 , y = 60 , y = 180 (руб.) ⎨1 3 3 3 x = y ⎪⎩ 3 9 x = 180 + 60 = 240 (руб.)

2 3) Сколько заплатил первый ученик? 240 ⋅ = 160 (руб.) 3


       . .  , . .   

5 4) Сколько заплатил второй ученик? 180 ⋅ = 100 (руб.) 9 Ответ: 160 руб. и 100 руб. 613.

1) Решение: 1 (дороги) — первая машина за день 1) 1 : 36 = 36 1 2) 1 : 45 = (дороги) — вторая машина за день 45 1 1 5+4 1 3) + = = (дороги) — обе за день 36 45 180 20 1 = 20 (дн.) 4) 1 : 20 Ответ: за 20 дней. 2) Решение: 1 — проезжает автобус за 1 ч 1) 1 : 12 = 12 1 2) 1 : 6 = — проезжает автомобиль за 1 ч 6 1 1 1 + = — проезжают оба за 1 ч 3) 12 6 4 1 4) 1 : = 4 (ч) 4 Ответ: через 4 ч.

615.

1) Решение: 1 1) 1 : 6 = — заполняет первая труба за час 6 1 2) 1 : 5 = — заполняют две трубы за час 5 1 1 1 − = — заполняет вторая труба за 1 час 3) 5 6 30 1 = 30 (ч) 4) 1 : 30 Ответ: за 30 ч. 2) Решение: 1 1) 1 : 6 = — вспахивали оба за 1 час 6 1 — вспахал первый за 1 час 2) 1 : 15 = 15 1 1 5−2 1 3) − = = — вспахал второй за 1 час 6 15 30 10

127


2002–2011 гг.

128



1 = 10 (ч) 10 Ответ: за 10 ч. 4) 1 :

617.

Решение: 1 1) 1 : 6 = (снега) — убирают две машины за 1 ч 6 1 1 2) ⋅ 3 = (снега) — убирают две машины за 3 ч 6 2 1 1 3) 1 − = (снега) — убирает вторая машина за 5 ч 2 2 1 1 (снега) — убирает вторая машина за 1 ч 4) : 5 = 2 10 1 = 10 (ч) — работала вторая машина 5) 1 : 10 1 1 10 − 6 1 − = = (снега) — убирает первая машина за 1 ч 6) 6 10 60 15 1 = 15 (ч) 7) 1 : 15 Ответ: за 15 ч и 10 ч.

618.

Решение: 1 1) 1 : 9 = (задания) — выполнит первый за 1 день 9 1 (задания) — выполнит второй за 1 день 2) 1 : 12 = 12 1 2 3) ⋅ 6 = (задания) — выполнил первый за 6 дней 9 3 2 1 4) 1 − = (задания) — выполнял второй 3 3 2 1 2 5) : = ⋅ 9 = 6 (дн.) — работал первый каменщик 3 9 3 1 1 1 = ⋅12 = 4 (дн.) — работал второй 6) : 3 12 3 7) 6 + 4 = 10 (дн.) Ответ: за 10 дней.

620.

Решение: 1 (водоёма) — выкачает первый насос за 1 ч 36 1 1 ⋅2 = (водоёма) — выкачает второй насос за 1 ч 2) 36 18 1) 1 : 36 =


       . .  , . .   

3) 4) 5) 6) 7)

129

1 1 1 + = (водоёма) — выкачают оба насоса за 1 ч 36 18 12 1 1 1 : = ⋅12 = 4 (ч) — работали оба насоса 3 12 3 1 2 1 − = (водоёма) — выкачал первый насос 3 3 2 1 2 : = ⋅ 36 = 24 (ч) — работал второй насос 3 36 3 4 + 24 = 28 (ч)

Ответ: за 28 ч. 622.

626.

635.

Решение: 1) 4 ч 49 мин = 288 мин 4 ч 48 мин + 3 ч 12 мин = 8 ч — был в пути пассажирский поезд 8 ч = 480 мин 3 2) 288 : 480 = (пути) — прошёл пассажирский поезд до встречи 5 3 2 3) 1 − = (пути) — прошёл товарный поезд до встречи 5 5 2 4) 288 : = 720 (мин), 720 мин = 12 ч 5 Ответ: 12 ч. 1 1 3 1 1 5 1 1 3 3) 1) + = + = 2) + = 3 1 x 2x 40 x 18 x 14 3 x x 7 2 2 +1 3 = 1 3 2x 40 3 +1 3 1+ 2 7= 5 2x = 40 = 1 3 18 x = 20 3 x 14 x 2 7 180 x= 9 10 15 2 = 3 7 = 5 7 3 18 x 14 x 2 7 9 7 10 ⋅18 3 ⋅ 5 ⋅14 = x ⋅ 3 = x 2 2 7 7 7x = 3 ˜ 14 x=6 4 3 4 1 64 15 48 33 ⋅ − ⋅ 12 ⋅ 3 − 4 ⋅ 4 5 4 11 8 = 5 4 11 8 = 16 ⋅ 3 − 6 ⋅ 3 = 30 ⋅17 = 17 = 4 1 1) 120 2 4 1 35 18 4 120 4 4 ⋅ ⋅ 11 ⋅ 2 : 4 17 3 7 4 3 7 17


2002–2011 гг.

130



4 2 1 1 49 3 10 3 147 5 147 + 175 + 9 : 4 + 3 :1 ⋅ + ⋅ 70 5 3 3 3 = 5 14 3 4 = 70 2 = 2) = 23 3 1 23 2 23 ⋅ 5 :2 10 4 2 4 5 10 =

322 ⋅10 14 = =2 23 ⋅ 70 7

2 3 ⎞ 3 1 ⎛ 3 8 15 ⎞ 18 2 18 + 32 + 45 18 2 ⎛ 1 ⋅ ⋅ ⎜ + + ⎟⋅ ⋅ ⎜⎝ 1 + 2 + 3 ⎟⎠ ⋅ 3 : 2 2 3 4 5 2 = ⎝2 3 4 ⎠ 5 5 = 12 5 5= 3) 1 1 121 5 55 14 − 14 − ⋅ 14 − 15 : 2 8 5 8 11 8 19 ⋅ 3 19 ⋅ 3 ⋅ 8 8 3 5 = = = =1 112 − 55 57 ⋅ 6 5 5 8 641.

642.

Решение: 1) 2 ч 40 мин = 160 мин, 8 ч = 480 мин 1 160 : 480 = (пути) — прошёл Винни-Пух до встречи 3 1 2 2) 1 − = (пути) — прошёл Пятачок до встречи 3 3 2 3 3) 160 : = 160 ⋅ = 240 (мин) 3 2 240 мин = 4 ч. Ответ: 4 ч 1 1 3 1 1 7 1 7 1 1) + = 2) + =6 3) + = 4x x 8 x 3 x 12 2x 5x 3 4 1+ 4 3 5 + 2 ⋅ 7 19 = = 3 10x 3 4x 8 +1 7 4 10x ˜ 19 = 19 ˜ 3 12x = 40 = 3 12 40 3 x x= x= 4 12 10 7 3 1 ⋅12 = x ⋅ 7 x=3 4 4 3 3 x=3 4 x=4 Задачи для самопроверки

655.

1)

5 3 20 + 9 29 5 + = = =1 6 8 24 24 24

2)

3 4 9−4 5 − = = 7 21 21 21


       . .  , . .   

131

4 5 22 11 44 + 33 77 5 3) 2 + 1 = + = = =4 9 6 9 6 18 18 18 2 1 7 12 − 7 5 = =1 4) 4 − 2 = 4 − = 3 3 3 3 3 7 11 3 41 3 164 − 9 155 5) 2 − = − = = =2 60 60 12 15 20 15 20 1 4 19 19 95 − 38 57 9 6) 3 − 1 = − = = =1 6 15 6 15 30 30 10 656.

3⎞ 1 ⎛ 1 7 ⎞ 1 19 ⎛ 17 15 ⎞ ⎛ −⎜ − ⎟= ⎜⎝ 10 − 9 ⎟⎠ + 3 − ⎜⎝ 4 − 1 ⎟⎠ = + 4 6 4 8 4 6 ⎝ 4 8⎠ =

657.

658.

3 + 38 34 − 15 41 19 82 − 57 25 1 = = =1 − = − 12 8 12 8 24 24 24

Решение: 4 3 28 + 53 81 1 1) 2 + 5 = = =8 (кг) — пошло на окраску пола 5 10 10 10 10 2) Сколько всего израсходовали краски? 2 1 4 1 35 + 28 + 81 144 = = = 14 (кг) 3 +2 +8 10 10 5 2 5 10 2 Ответ: 14 кг. 5 1 ⎛ 5⎞ 17 16 13 17 26 − 17 , 5 − ⎜x +2 ⎟ =1, x + = −1 , x = − , x= ⎝ ⎠ 6 3 6 6 3 3 6 9 1 , x =1 6 2 7 10 5 5 ⋅ = = 1) 8 21 4 ⋅ 3 12 x=

660.

3) 8 ⋅

3 =6 4 3

12 9 35 3 ⋅ 7 3 = =1 ⋅ ⋅ 5 16 27 4 ⋅ 3 4

3 1 18 10 4) 3 ⋅1 = ⋅ =4 5 9 5 9 3

125 17 ⎛ 2⎞ ⎛ 5⎞ =4 5) ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 27 27 661.

2)

6)

a 10 2 ⋅ = 5b a2 ba

Решение: 3 1 1 1) Какая скорость сближения? 56 + 71 = 127 (км/ч) 10 5 2 1 3 255 ⋅ 8 2) На сколько сблизились два поезда? 127 ⋅1 = = 204 (км) 2⋅5 2 5 1 1 3) Какое расстояние между поездами? 467 − 204 = 263 (км) 2 2 1 Ответ: 263 км. 2


2002–2011 гг.

132

662.



Решение: 2 7 12 15 3 ⋅ 3 1 ⋅ = = 4 (дм) 1) Какая длина параллелепипеда? 2 ⋅1 = 5 8 5 8 2 2 2) Какая высота параллелепипеда? 1 1 1 9 7 27 − 7 20 = = 3 (дм) 4 −1 = − = 6 6 3 2 6 2 6 3) Чему равен объём параллелепипеда? 2 1 1 12 ⋅ 9 ⋅10 2 ⋅4 ⋅3 = = 36 (дм3) 5 2 3 5⋅2⋅3 Ответ: 36 дм3. 2

667.

⎡⎛ 3 11 3 ⎞ 1 1 ⎛ 1 3⎞ ⎤ ⎢⎜⎝ 5 8 : 1 32 − 6 5 : 3⎟⎠ ⋅ 4 6 − 2 6 : ⎜⎝ 3 12 − 2 ⋅1 8 ⎟⎠ ⎥ = ⎣ ⎦ 2

⎡⎛ 43 32 33 ⎞ 25 13 ⎛ 37 22 ⎞ ⎤ = ⎢⎜ ⋅ − − :⎜ − ⎟ = ⎟⋅ 6 ⎝ 12 8 ⎠ ⎥⎦ ⎣⎝ 8 43 5 ⋅ 3 ⎠ 6 2

2

2

⎡⎛ 11⎞ 25 13 24 ⎤ ⎡⎛ 9 25 39 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 45 39 ⎞ ⎤ − ⎟ ⎥ = ⎢⎜ − ⎟⎥ =1 = ⎢⎜ 4 − ⎟ − ⋅ ⎥ = ⎢⎜ ⋅ 5⎠ 6 6 8 ⎦ ⎣⎝ 5 6 6 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 6 6 ⎠⎦ ⎣⎝ 669.

Решение: 1) Какая скорость второго пешехода? 2 1 11 3 11 3 3 :1 = ⋅ = = 2 (км/ч) 3 3 3 4 4 4

2 1 11 5 1 = 1 (км) ч? 3 ⋅ = 3 2 6 6 2 2 2 44 3 3) Какое время потратит первый пешеход? 14 : 3 = ⋅ = 4 (ч) 3 3 3 11 2 3 44 4 1 4) Какое время потратит второй пешеход? 14 : 2 = ⋅ = 5 (ч) 3 4 3 11 4 5) Какая скорость сближения? 2 3 11 11 44 + 33 77 5 3 +2 = + = = =6 (км/ч) 4 3 4 3 12 12 12 6) Какое расстояние было на момент начала движения вторым 5 2 5 88 − 11 77 = = 12 (км) пешеходом? 14 − 1 = 6 6 6 6 3 7) Через какое время второй пешеход встретится с первым? 5 5 77 12 12 : 6 = ⋅ = 2 (ч) 6 12 6 77 1 Ответ: за 4 ч и 5 ч; через 2 ч. 4 Решение: 1 1) 8 : 24 = (суток) — продолжительность сна 3 2) Сколько прошёл первый переход за

673.


       . .  , . .   

133

1 2 = (суток) — человек бодрствует 3 3 2 Ответ: суток. 3

2) 1 −

674.

Решение: 3 5 1) Какая часть страниц свободна? 1 − = 8 8 5 8 2) Сколько страниц в альбоме? 20 : = 20 ⋅ = 32 (стр.) 8 5 Ответ: в альбоме 32 страницы.

675.

Решение: 1) На какую часть больше выполнил заказ второй рабочий? 5 3 2 1 − = = 16 16 16 8 1 2) Сколько стоит весь заказ? 800 : = 800 ⋅ 8 = 6400 (руб.) 8 3 3) Сколько заработал первый рабочий? 6400 ⋅ = 1200 (руб.) 16 5 = 2000 (руб.) 4) Сколько заработал второй рабочий? 6400 ⋅ 16 Ответ: заказ стоит 6400 руб., рабочие получили 1200 руб. и 2000 руб.

677.

Решение: 1 1) Сколько съели сыра за завтраком? 800 ⋅ = 200 (г) 4 2) Сколько сыра осталось? 800 – 200 = 600 (г) 3 3) Сколько съели за обедом? 600 ⋅ = 360 (г) 5 4) Сколько съели за ужином? 600 – 360 = 240 (г) Ответ: за ужином съели 240 г сыра.

678.

Решение: 2 x — засушили 1) Пусть x — количество собранных грибов, 5 5 ⎛ 2 ⎞ 3 5 1 грибов, ⋅ ⎜ x − x⎟ = x ⋅ = x — засолили грибов 9 ⎝ 5 ⎠ 5 9 3

681.

2 1 15x − 6x − 5x = 28 , 2) Сколько собрали грибов? x − x − x = 28 , 5 3 15 4x = 28 ˜ 15, x = 105 (гр.) 1 Ответ: собрали 105 грибов, засолили . 3 Решение: 1 1) 1 : 6 = (огорода) — выкопает отец за 1 ч 6


2002–2011 гг.

134

2) 1 : 8 =



1 (огорода) — выкопает старший сын за 1 ч 8

1 (огорода) — выкопает младший сын за 1 ч 12 1 1 1 4+3+2 3 + + = = (огорода) — выкопают вместе за 1 ч 4) 24 8 6 8 12 3 8 2 5) 1 : = = 2 (ч) 8 3 3 2 Ответ: выкопают вместе за 2 часа. 3 Решение: 1 1) 1 : 5 = (бассейна) — наполнят обе трубы за 1 ч 5 1 2) 1 : 6 = (бассейна) — наполнит большая труба за 1 ч 6 1 1 6 −5 1 − = = (бассейна) — наполнит маленькая труба за 1 ч 3) 5 6 30 30 2 1 2 = ⋅ 30 = 20 (ч) 4) : 3 30 3 Ответ: за 20 часов. 3) 1 : 12 =

682.

683.

Решение: 1 (рукопись) — напечатает первая за 1 ч 10 1 (рукописи) — напечатает вторая за 1 ч 1 : 15 = 15 1 1 3+2 1 + = = (рукописи) — напечатают вдвоём за 1 ч 10 15 30 6 1 2 ⋅ 4 = (рукописи) — напечатают вдвоём за 4 ч 6 3 2 1 1 − = (рукописи) — будет печатать вторая 3 3 1 1 1 : = ⋅15 = 5 (ч) — будет печатать вторая машинистка 3 15 3 4 + 5 = 9 (ч)

1) 1 : 10 = 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Ответ: напечатают за 9 часов.


       . .  , . .   

135

ГЛАВА 4 ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 1 Понятие десятичной дроби 708.

716. 718.

719.

7a − 2a 5a a а) = = 35 35 7 в)

8c − 2c c(8 − 2) 6 3 = = = 8c + 2c c(8 + 2) 10 5

д)

25x2z z = 125x3 y 5xy

б)

12 12 4 = = 2b + b b(2 + 1) b

г)

4 23 ⋅ 3 ⋅ 52 22 = = 2 3 2 ⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5 15

2,4; 0,39; 1,05; 3,048; 9,0715; 0,00001; 4,000024 47 534 а) = 53, 4 = 4,7 б) 10 10 в)

985 = 9, 85 100

г)

7805 = 78, 05 100

д)

14756 = 147,56 100

е)

583021 = 583, 021 1000

Решение: 1) Пусть x — площадь большой комнаты,

3 x + 8 — площадь средней комнаты 8 3 3 42 ⋅ 8 8+6 , x + x + x + 8 = 50 , x = 50 − 8 , 14x = 42 ˜ 8, x = 8 8 14 8 2 x = 24 (м ) 3 2) Какая площадь средней комнаты? ⋅ 24 + 8 = 17 (м2) 8 3 3) Какая площадь маленькой комнаты? ⋅ 24 = 9 (м2) 8 Ответ: 24 м2, 17 м2 и 9 м2. 7 91 7 ⋅13 = = = 0,35 1) 260 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅13 20 кой комнаты,

732.

3 x — площадь малень8

2)

3 63 3 ⋅ 3 ⋅7 = = = 0, 075 840 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 7 40

3)

847 7 ⋅11 ⋅11 77 = = = 0,154 5500 5 ⋅11 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 2 500

4)

459 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅17 9 = = = 0, 0225 20400 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅17 400


2002–2011 гг.

136

740.

Решение: 3 1) a — масса ягод бузины, 7



3 ⎞ ⎛ ⎜⎝ a + a⎟⎠ : 100 ⋅ 40 — масса листьев мяты. 7

3 ⎞ ⎛ 2) Сколько заготовили мяты? ⎜ a + a⎟ : 100 ⋅ 40 при a = 21 ⎝ 7 ⎠ 3 ⎛ ⎞ ⎜⎝ 21 + ⋅ 21⎟⎠ : 100 ⋅ 40 = 12 (кг) 7 Ответ: заготовили 12 кг мяты. 751.

а)

4 4 4 ≈ 1,3; ≈ 1,33; ≈ 1,333 3 3 3

б)

16 16 16 ≈ 1,1; ≈ 1, 07; ≈ 1, 067 г) 15 15 15 19 19 19 д) ≈ 1,58; ≈ 1,583 е) ≈ 1,6; 12 12 12 45 45 45 ≈ 6, 4; ж) ≈ 6, 43; ≈ 6, 429 7 7 7 в)

7 7 7 ≈ 0, 8; ≈ 0,78; ≈ 0,778 9 9 9 5 ≈ 0,5; 11 59 ≈ 2, 8; 21

5 ≈ 0, 45; 11 59 ≈ 2, 81; 21

5 ≈ 0, 455 11 59 ≈ 2, 810 21

764.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7a + 18a – a – 9a = 15a 12b – 5b – 4b + b = 4b 6c + 4d + c + 3d = 7c + 7d = 7(c + d) x + 2y + 3x + 4x = 2y + 8x = 2(y + 4x) 15 + m + 6 + 2m = 21 + 3m = 3(7 + m) 3k + 11 + 9 + k = 4k + 20 = 4(k + 5)

765.

1)

18 ⋅ 75 ⋅ 49 2 ⋅15 ⋅ 7 30 15 1 = = = =2 28 ⋅ 35 ⋅ 27 4 ⋅ 7 ⋅ 3 12 6 2

2)

300 + 400 + 500 12 = =3 400 4

3)

36abc2 4c = 81a3bc 9a2

4)

24d 24 3 1 = = =2 24d − 8d 16 2 2

766.

7 8 4 35 − 24 + 4 1 − + = = 15a a 3a 5a 15a 1 4 7 3b + 16 + 7b 2(8 + 5b) 8 + 5b 2) + + = = = 4 3b 12 12b 12b 6b 1)

775.

29,5306 | 29,5

778.

Решение: 1 1 1 Пусть x — масса арбуза, x — съел папа, x — съела мама, x — 4 5 6 съел сын 1 1 1 15x + 12x + 10x 37x x + x + x + 2300 = x , + 2300 = x , + 2300 = x , 4 5 6 60 60 60x − 37x 23x = 2300 , x = 6000 (гр.), 6000 г = 6 кг = 2300 , 60 60 Ответ: арбуз весил 6 кг.


137

       . .  , . .   

779.

Решение: 1 Пусть x — количество абрикосов, x — взял брат, 7 1 ⎞ 1 6 1 3 ⎛ x — взяла сестра ⎜⎝ x − x⎟⎠ ⋅ = x ⋅ = 7 4 7 4 14 5 1 3 14x − 5x = 18 , 9x = 18 ˜ 14, x + x + 18 = x , x − x = 18 , 14 14 7 14 18 ⋅14 x= 9 x = 28 (абр.) Ответ: мама положила 28 абрикосов.

782.

2⎞ ⎛ 5 7 ⎞ 1 ⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 ⎜⎝ 4 − 1 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 2 + 3 ⎟⎠ ⋅ 8 ⋅ ⎜⎝ 1 : 4 ⎟⎠ 15 3 12 12 3 4 7 = [240768 + (4638 + 476392 : 94) ⋅ 7080 − 57390832)] : 718 : 1007 =

35 3 = 2 = 2,1875 ≈ 2,2 16 16

25 5 7 ⎛ 61 5 ⎞ ⎛ 29 43 ⎞ 25 ⎛ 5 7 ⎞ 36 ⋅6⋅ ⋅ ⋅ = 35 − ⎟ ⋅⎜ + ⎟ ⋅ ⋅⎜ ⋅ ⎟ = ⎜⎝ 15 3 ⎠ ⎝ 12 12 ⎠ 3 ⎝ 4 30 ⎠ 15 3 4 30 −

476392 94 470 5068 −

+

9706

639 564

752 − 752 0

68959248 − 57390832 11568416

4638 5068

11568416 718 718 16112

4388 4308 −

804 718

− −

861 718

× +

9706 7080

77648 67942

+

68718480 240768

68959248

68718480

16112 1007 1007 16

6042 6042 0

1436 1436 0

799.

а) 9999 < 10000 5 5 г) > 8 9 39 39 > ж) 40 50

б) 25612 > 2569 8 2 д) 2 < 3 17 17 43 54 з) < 88 99

в) 45870436 > 45809437 96 97 е) < 97 96 10 4 и) < 19 7


2002–2011 гг.

138

804.

1) Решение: 130 : 25 = 5,2 | 5 (лож.) Ответ: примерно 5 столовых ложек 2) Решение: 3 220 : 30 = 7 ≈ 7 (лож.) 10 Ответ: примерно 7 ложек.

805.

1 11 2 3 а) 7 x + x − 2 x + 1 x = 5 4 12 3 5 29 35 5 28 x+ x= x+x− 4 12 3 5 87x + 12x − 35x + 20x 28 = 12 5 28 ⋅12 84x = 5 28 ⋅12 x= 84 ⋅ 5 28 4 x= = 35 5 13 1 ⎛ 3 ⎞ 1 в) ⎜ 2 − x⎟ : 3 + 2 = 3 ⎝ 8 ⎠ 4 15 6



2 1 3 +x=9 б) 1 + 2 x + 7 3 14 18 + 3 7x + 3x + =9 14 3 10x 21 = 9− 3 14 126 − 21 ⋅3 10x = 14 1 105 ⋅ 3 x= =2 14 ⋅10 4

1 1 ⎛ 2⎞ 5 г) 4 − 5 : ⎜ 20x − 14 ⎟ = 1 2 3 ⎝ 3⎠ 6

⎛ 19 ⎞ 1 19 43 − x⎟ : 3 = − ⎜⎝ ⎠ 4 6 15 8

16 ⎛ 44 ⎞ 9 11 : ⎜ 20x − ⎟ = − 3 ⎝ 3⎠ 2 6

19 95 − 86 13 −x = ⋅ 8 30 4 19 9 ⋅13 −x = 30 ⋅ 4 8 19 39 x= − 8 40 95 − 39 x= 40 2 x =1 5

16 ⎛ 44 ⎞ 27 − 11 : ⎜ 20x − ⎟ = 3 ⎝ 3⎠ 6 16 ⎛ 44 ⎞ 16 : ⎜ 20x − ⎟ = 3 ⎝ 3⎠ 6 44 16 16 20x − = : 3 3 6 44 16 6 20x − = ⋅ 3 3 16 44 20x = 2 + 3 6 + 44 x= : 20 3 50 x= 3 ⋅ 20 5 x= 6


       . .  , . .   

807.

Решение: 1) Какая длина поля? 15 ˜ 100 : 75 = 20 (м) 2) Какая площадь поля? 15 ˜ 20 = 300 (м2) 2 3) Сколько засеяли капустой? 300 ⋅ = 120 (м2) 5 4) Сколько засеяли морковкой? 300 – 120 = 180 (м2) 5) Сколько собрали капусты? 120 ˜ 12 = 1440 (кг) 6) Сколько собрали морковки? 180 ˜ 10 = 1800 (кг) 7) Какой урожай собрали? 1440 + 1800 = 3240 (кг) 8) Сколько получилось мешков? 3240 : 40 = 81 (меш.) 1 9) Сколько мешков увезли в первый раз? 81 ⋅ = 27 (меш.) 3 10) Сколько мешков осталось? 81 – 27 = 54 (м.) 5 11) Сколько мешков увезли во второй раз? 54 ⋅ = 30 (меш.) 9 12) Сколько мешков увезли в третий раз? 54 – 30 = 24 (меш.) Ответ: 24 мешка.

813.

а) 0,70 < 0,8 в) 0,4 > 0,16 д) 40,001 < 40,01 ж) 4,32509 < 4.3251 и) 1,2121212121 < 1,221221

815.

817.

б) г) е) з)

0,03 < 0,2 2,75 < 3,45 19,8 = 19,800 5,09348 >5,09062

40 2 , x=2 15 3 1⎞ 4 4 5 ⎛ 12 13 ⎞ 11 41 22 ⎛ 2 2) ⎜ 2 x + 6 ⎟ : 1 − 2 = 4 , ⎜ x + ⎟ : = + , ⎝ 5 2⎠ 7 9 9 ⎝ 5 2⎠ 7 9 9 9 5 12 13 11 12 13 12 22 − 13 12 9 , x= , x+ = 7⋅ x = 11 − , x= , x= ⋅ 2 12 2 5 2 7 5 2 5 5 2 15 x= = 1, 875 8 1) 14x – 2x + 9x – x – 5x = 40, 15x = 40, x =

Решение: 1) Сколько Жюв прошёл пешком? 288 : 16 = 18 (км) 2) Сколько пролетел на самолете? 438 + 288 + 18 = 744 (км) 3) Сколько проплыл на теплоходе? 744 : 100 ˜ 75 = 558 (км) 4) Какое расстояние преодолел Фантомас? 288 + 18 + 744 + 558 = = 1608 (км) Ответ: 1608 км. Задачи для самопроверки

824.

139

57 = 3,57 100 6 в) = 0, 00006 100000 а) 3

98 = 0, 098 1000 2 = 0, 4 г) 5

б)


2002–2011 гг.

140

д)

1 = 0, 04 25



7 = 0, 035 200

е)

831.

а) 0,388 < 0,4

б) 20,7 > 2,09

832.

7,1; 7,021; 7,02; 0,72

в) 5,60103 < 5,6021

§ 2 Арифметика десятичных дробей 845.

1) x + 5,95 = 761,5 x = 761,5 – 5,95 x = 755,55

761,5 5, 95

755,55

4) x – 84,52 = 218,48 x = 218,48 + 84,52 x = 303

+

218, 48 84,52

303, 00

2) x – 74,85 = 338,563 338,563 5) 30,58 + x = 476,146 476,146 x = 338,563 + 74,85 + 74, 850 x = 476,146 – 30,58 − 30,58 x = 413,413 x = 445,566 413, 413 445,566 3) 64,021 – x = 9,7 x = 64,021 – 9,7 x = 54,321

64, 021 9,7

54,321

6) 256 – x = 28,73 x = 256 – 28,73 x = 227,27

256, 00 28,73

227,27

846.

а) 2,37 + 35,8 = 38,17 в) 50,6 + 95 = 145,6 д) 12,0 + 3,8 = 15,8

850.

1) Решение: 1) Какая длина второй стороны треугольника? 32 см = 3,2 (дм), 7,4 + 3,2 = 10,6 (дм) 2) Какая сумма первой и второй стороны? 7,4 + 10,6 = 18 (дм) 4 3) Какая длина третьей стороны? 18 ⋅ = 14, 4 (дм) 5 4) Какой периметр треугольника? 18 + 14,4 = 32,4 (дм) Ответ: 32,4 дм. 2) Решение: 1) Какая длина второй стороны треугольника? 4 дм 3 см = 43 (см), 43 – 16 = 27 (см) 2) Какая сумма длин первой и второй стороны? 43 + 27 = 70 (см) 3) Какая длина третьей стороны? 1,24 м = 124 см, 124 – 70 = 54 (см), 54 см = 0,54 м Ответ: 0,54 м.

853.

1) 90, 09 −(87, 44 −(12, 85 + 3, 9) + 0,381) = 19, 019

4

+

12, 85 3, 9

16,75

2

б) 7,52 – 3,6 = 3,92 г) 18,3 – 0,79 = 17,51 е) 48,3 – 4,25 = 44,05

1

87, 44 16,75

70,69

3

+

70,69 0,381

71, 071

90, 090 71, 071

19, 019


141

       . .  , . .    3

2

1

4

2) 5,53 + (9,7 −(8, 93 + 0,748)) − 5, 4813 = 0, 0707 +

8, 930 0,748

9,678 861. 863.

9,700 9,678

0, 022

1) 2,5 + 9,14 = 9,14 + 2,5 3) 7,9 – 2,12 < 9,7 – 2,12 1 а) 1 + 0,574 = 1,5 + 0,574 = 2, 074 2 2 в) 4 − 2,17 = 4, 4 − 2,17 = 2,23 5

+

5,530 0, 022

5,552

5,5520 5, 4813

0, 0707

2) 3,46 + 5,877 > 3,46 + 5,2 4) 8,04 – 1,56 > 8,04 – 1,6 б) 8,32 − г) 5,6 +

3 = 8,32 − 0,75 = 7,57 4

5 = 5,6 + 0,625 = 6,225 8

864.

Решение: 1) Какая масса бегемота? 0,7 + 2,9 = 3,6 (т) 2) Какая масса слона? 8,1 – 3,6 = 4,5 (т) Ответ: 4,5 т.

870.

1) Пусть x — неизвестное число x + 0,8 – 0,32 + 2,54 – 3,2 + 9,601 – 34,39 = 55,111 x = 55,111 + 24,969, x = 80,08 2) Пусть x — задуманное число x + 10 ˜ 0,5 – 10 ˜ 0,49 = 12,44 x + 5 – 4,9 = 12,44, x = 12,44 – 0,1, x = 12,34 Ответ: 12,34.

879.

Решение: 6 1) Какая скорость второго велосипедиста? 15 ⋅ = 18 (км/ч) 5 а) Навстречу друг другу: 1) Какая скорость сближения? 15 + 18 = 33 (км/ч) 2) На какое расстояние сблизятся через 3 ч? 33 ˜ 3 = 99 (км) 3) Какое будет между ними расстояние? 132 – 99 = 33 (км) б) Вдогонку: 1) Какая скорость сближения? 18 – 15 = 3 (км/ч) 2) На какое расстояние сблизятся через 3 ч? 3 ˜ 3 = 9 (км) 3) Какое будет между ними расстояние? 132 – 9 = 123 (км) в) В противоположных направлениях 132 + 99 = 231 (км) г) С отставанием 132 + 9 = 141 (км) Ответ: 33 км; 123 км; 231 км; 141 км

880.

Решение: 1) Какая скорость сближения? 60 + 80 = 140 (м/мин) 2) Какое расстояние прошёл первый пешеход за 5 мин? 60 ˜ 5 = 300 (м) 3) Какое было расстояние перед выходом второго пешехода? 4 км 500 м = 4500 м, 4500 – 300 = 4200 (м)


2002–2011 гг.

142

885.



4) Через какое время произойдёт встреча? 4200 : 140 = 30 (мин) 5) На каком расстоянии от Бекасова произойдёт встреча? 80 ˜ 30 = 2400 (м), 2400 м = 2 км 400 м Ответ: 30 мин; 2 км 400 м. 1 14 6a2 2 ⋅ 2a 4 8b b3 8b 25 8 ⋅ 5 ⋅ = = a 2) 1) : = ⋅ 3 = 2 = 40 2 b b 3a 49 7 7 5 25 5 b c 5d 1 x2 2x x2 y3 xy2 3) : = ⋅ = ⋅ = 4) 4 2y y3 2y 2x 15d c2 3c

894.

1) (7,5 + x) – 2,94 = 5,67 7,5 + x = 5,67 + 2,94 x = 8,61 – 7,5 x = 1,11

2) 50 – (x + 6,4) = 16,33 x + 6,4 = 50 – 16,33 x = 33,67 – 6,4 x = 27,27

897.

Решение: 1) Какое было расстояние перед выходом пассажирского поезда? 56 ˜ 2 = 112 (км) 2) Какая скорость сближения? 84 – 56 = 28 (км/ч) 1 3) На сколько сблизятся поезда за 1 ч 30 мин? 28 ⋅1 = 42 (км) 2 4) Какое будет расстояние через 1 ч 30 мин? 112 – 42 = 70 (км) 5) Через какое время пассажирский поезд догонит товарный? 112 : 28 = 4 (ч) Ответ: 70 км; 4 ч.

899.

Решение: 1) Каким стал вес после отдыха на даче? 42,45 + 3,9 = 46,35 (кг) 2) Каким стал вес после путешествия? 46,35 – 1,75 = 44,6 (кг) Ответ: 44,6 кг.

915.

1) 73,8 : 10 = 7,38 4,25 : 10 = 0,425 0,76 : 10 = 0,076 0,004 : 10 = 0,0004 3) 7819,2 : 1000 = 7,8192 15,3 : 1000 = 0,00153 4,16 : 1000 = 0,00416 0,074 : 1000 = 0,000074

927.

1) Решение: 1) Какая цена после первой уценки? 3000 – 3000 : 100 ˜ 10 = 2700 (руб.) 2) Какая цена после второй уценки? 2700 – 2700 : 100 ˜ 10 = 2430 (руб.) Ответ: 2430 (руб.) 2) Решение: 1) Какая цена после первого подорожания? 800 + 800 : 100 ˜ 10 = 880 (руб.) 2) Какая цена после второго подорожания? 880 + 880 : 100 ˜ 10 = 968 (руб.) Ответ: 968 (руб.)

2) 228,3 : 100 = 2,283 50,6 : 100 = 0,506 2,9 : 100 = 0,029 0,05 : 100 = 0,0005 4) 560,9 : 10000 = 0,05609 0,86 : 1000000 = 0,00000086 34,82 : 100000 = 0,0003482 253 : 10000000 = 0,0000253


       . .  , . .   

938.

143

Решение: 1 (бака) — наполняет основной кран за 1 мин 15 1 (бака) — наполняет запасной кран за 1 мин 2) 1 : 25 = 25 1 1 3) ⋅ 3 = (бака) — наполняет основной кран за 3 мин 15 5 1 4 4) 1 − = (бака) — наполнят оба крана 5 5 1 1 8 + = (бака) — наполняют оба крана за 1 мин 5) 15 25 75 4 8 15 : = = 7 ìèí 30 ñ 6) 5 75 2 7) 7 мин 30 м + 3 мин = 10 мин 30 с Ответ: 10 мин 30 с. 1) 1 : 15 =

942.

1) 0,96 ˜ 10 = 9,6 8,34 : 10 = 0,834 35,79 ˜ 100 = 3579 0,63 : 100 = 0,0063 3) 0,085 ˜ 100 : 10 = 0,85 56,8 : 10 ˜ 1000 = 5680 0,9036 ˜ 10000 : 100 = 90,36 4,5 : 100 ˜ 1000000 = 45000

2) 1,38 ˜ 1000 = 1380 29,7 : 10000 = 0,00297 0,094 ˜ 100000 = 9400 2,5 : 1000000 = 0,0000025

945.

Решение: 1) Во сколько раз 1 кг больше 100 г? 1 кг = 1000 г, 1000 : 100 = 10 (раз) 2) Сколько витамина C в 1 кг смородины? 250 ˜ 10 = 2500 (мг), 2500 мг = 2,5 г 3) Сколько суточных доз витамина C в 1 кг смородины? 2,5 : 0,05 = 50 (д.) Ответ: 2,5 г; 50 суточных доз.

950.

Решение 1 (перелёта) — летит утка за 1 день 10 1 (перелета) — летит гусь за 1 день 2) 1 : 15 = 15 1 1 1 3) + = (перелёта) — пролетают оба за 1 день 10 15 6 1 4) 1 : = 6 6 Ответ: встретятся через 6 дней. 1) 1 : 10 =


144

2002–2011 гг.



963.

Решение: 1) Какая скорость стрижа? 19,5 ˜ 1,4 = 27,3 (м/с) 2) На сколько скорость стрижа больше, чем скворца? 27,3 – 19,5 = 7,8 (м/с) а) 7,8 ˜ 1 = 7,8 (м) б) 1 мин = 60 с, 7,8 ˜ 60 = 468 (м) Ответ: 7,8 м; 468 м.

965.

Решение: 1) Какая ширина участка? 30,2 – 9,7 = 20,5 (м) 2) Какая площадь участка? 30,2 ˜ 20,5 = 619,1 (м2) 3) Какой периметр участка? (30,2 + 20,5) ˜ 2 = 101,4 (м) 4) Сколько стоит погонный метр изгороди с установкой? 250 + 50 = 300 (руб.) 5) Сколько стоит установить изгородь? 101,4 ˜ 300 = 30420 (руб.), 30420 р. | 30,4 тыс. р. Ответ: 619,1 м2; 30420 р.; | 30,4 тыс. р.

967.

1) Решение: 1) Какая длина сарая? 7,5 ˜ 1,68 = 12,6 (м) 2) Какая высота сарая? 12,6 – 9,4 = 3,2 (м) 3) Какой объём сарая? 7,5 ˜ 12,6 ˜ 3,2 = 302,4 (м3) 4) Какая масса сена? 302,4 ˜ 0,6 = 181,44 (ц) Ответ: 181,44 ц 2) Решение: 1) Какой объём бака? 0,6 ˜ 0,6 ˜ 0,6 = 0,216 (м3) 2) Какая площадь стороны куба? 0,6 ˜ 0,6 = 0,36 (м2) 3) Какая площадь наружной поверхности бака? 0,36 ˜ 5 = 1,8 (м2) 4) Какая площадь наружной и внутренней поверхности бака? 1,8 ˜ 2 = 3,6 (м2) 5) Сколько потребуется краски? 3,6 ˜ 0,2 = 0,72 (кг) Ответ: 0,216 м3; 1,8 м2; 0,72 кг.

976.

1) Решение: 1) Какой второй множитель? 2,4 : 100 ˜ 62,5 = 1,5 2) Какой третий множитель? 2,4 ˜ 0,4 = 0,96 3) 2,4 ˜ 1,5 ˜ 0,96 = 3,456 Ответ: 3,456. 2) Решение: 1) Какая длина каждого из двух других ребер? 2,25 : 100 ˜ 80 = 1,8 (м) 2) Какой объём параллелепипеда? 2,25 ˜ 1,8 ˜ 1,8 = 7,29 (м3) Ответ: 7,29 м3.

978.

1) Решение: 1) Сколько олова в сплаве? 150 : 100 ˜ 78 = 117 (г) 2) Сколько сурьмы в сплаве? 150 : 100 ˜ 16 = 24 (г) 3) Сколько меди в сплаве? 150 : 100 ˜ 6 = 9 (г) Ответ: 117 г; 24 г; 9 г. 2) Решение: 1) Сколько белка в 25 кг сои? 25 : 100 ˜ 40 = 10 (кг)


       . .  , . .   

145

2) Сколько белка в 25 кг фасоли? 25 : 100 ˜ 23 = 5,75 (кг) 3) На сколько больше белка в 25 кг сои? 10 – 5,75 = 4,25 (кг) 4) Сколько крахмала в 25 кг фасоли? 25 : 100 ˜ 55 = 13,75 (кг) 5) Сколько крахмала в 25 кг сои? 25 : 100 ˜ 29 = 7,25 (кг) 6) На сколько больше крахмала в 25 кг фасоли? 13,75 – 7,25 = 6,5 (кг) Ответ: 4,25 кг; 6,5 кг. 981.

Решение: 1) Какое расстояние прошли лыжники в первый день? 80 : 100 ˜ 25 = 20 (км) 2) Какое расстояние осталось пройти? 80 – 20 = 60 (км) 3) Сколько прошли за второй день? 60 ˜ 0,6 = 36 (км) 4) Сколько лыжники прошли в третий день? 80 – 20 – 36 = 24 (км) Ответ: 24 км.

984.

Решение: 1) Сколько проехал автомобиль по городу без пробок? 7,3 – 1,8 = 5,5 (км) 2) Сколько затратил бензина при движении по городу без пробок? 5,5 : 10 ˜ 1 = 0,55 (л) 3) Сколько затратил бензина в пробках? 1,8 : 10 ˜ 1,5 = 0,27 (л) 4) Сколько затратил бензина при движении за городом? 28,5 : 10 ˜ 0,8 = 2,28 (л) 5) Сколько бензина затрачено на весь путь? 0,55 + 0,27 + 2,28 = 3,1 (л) Ответ: 3,1 л.

991.

Решение: 1) Какое время в пути был катер? 11 ч 15 мин – 8 ч = 3 ч 15 мин, 3 ч 15 мин = 3,25 ч 2) Какое расстояние прошёл катер? 18,2 ˜ 3,25 = 59,15 (км) 3) Какое время в пути был теплоход? 11 ч 15 мин – 9 ч 30 мин = 1 ч 45 мин 1 ч 45 мин = 1,75 ч 4) Какое расстояние прошёл теплоход? 26,6 ˜ 1,75 = 46,55 (км) 5) Какое между ними расстояние? 59,15 – 46,55 = 12,6 (км) Ответ: 12,6 км. 2 a 6 + a2 4 3 4c − 3b + = 2) 2 − = 1002. 1) b bc b2 c 3a 9 9a 3 5d − 3 3 3 + kn 4) 3) 5 − = +k= d d n n a 4bc b m m 5) ⋅ = 6) ⋅ (2n) = 16c a2 4a 6n2 3n 7)

5x 6y 5 5x x2 : = ⋅ = 42yz 6y 42yz x2 7zx

8)

d3 2 d3 d :d = 2 = 9 9d 9


146

2002–2011 гг.

1010. 1) 5,6a + 1,25a + 3,15a = 2,7 10a = 2,7 a = 2,7 : 10 a = 0,27 3) 12x – 11,99x + 83,4 = 117,96 0,01x = 117,96 – 83,4 x = 34,56 : 0,01 x = 3456



2) 9,18b + 78,4b + 12,42b = 3,5 100b = 3,5 b = 3,5 : 100 b = 0,035 4) 358,4y + 641,6y – 172,5 = 604,5 1000y = 604,5 + 172,5 y = 777 : 1000 y = 0,777

1019. Решение: 15 ˜ 4,8 + 25 ˜ 2,04 + 18 ˜ 1,5 = 72 + 51 + 27 = 150 (руб.) Ответ: хозяйка заплатила 150 руб. 1020. Решение: 1) Какая площадь листа? 2 ˜ 15,6 ˜ 20,5 = 639,6 (см2) 2) Какая площадь всех страниц? 639,6 ˜ 24 = 15350,4 (см2), 15350,4 см2 = 1,53504 (м2), 1,53504 | 1,5 (м2) Ответ: | 1,5 м2. 2) Решение: 1) Какая будет общая длина? 15,6 ˜ 24 = 374,4 (см) 2) Какой периметр? (374,4 + 20,5) ˜ 2 = 789,8 (см) 789,8 см = 7,898 (м), 7,898 | 7,9 (м) Ответ: | 7,9 м. 1024. Решение: 1) Какой объем класса? 10,25 ˜ 7,5 ˜ 4,8 = 369 (м3) 2) Какая масса воздуха? 369 ˜ 1,21 = 446,49 (кг) 3) Какая масса кислорода? 446,49 : 100 ˜ 24 = 107,1576 (кг), 107,1576 | 107,2 Ответ: | 107,2 кг. 1025. Решение: 1) Сколько весит белок? 80 : 100 ˜ 55 = 44 (г) 2) Сколько весит желток? 44 : 100 ˜ 75 = 33 (г) 3) Какая масса скорлупы? 80 – (44 + 33) = 3 (г) Ответ: 3 г. 1026. Решение 1) Какая скорость второго лыжника? 8,3 + 1,9 = 10,2 (км/ч) 2) Какая общая скорость? 8,3 + 10,2 = 18,5 (км/ч) 3) Какая длина трассы? 8,5 ˜ 0,4 = 7,4 (км) Ответ: 7,4 км. 1029. Решение: 1) Пусть x — заготовил младший брат, 2x — заготовил средний брат, 3,5 ˜ 2x = 7x — заготовил старший брат 2) Сколько дров заготовили вместе? 6 – 0,6 = 5,4 (м3) 3) Сколько заготовил младший брат? x + 2x + 7x = 5,4, 10x = 5,4, x = 0,54 (м3) 4) Сколько заготовил средний брат? 2 ˜ 0,54 = 1,08 (м3) 5) Сколько заготовил старший брат? 7 ˜ 0,54 = 3,78 (м3) Ответ: 0,54 м3, 1,08 м3, 3,78 м3.


       . .  , . .   

147

1052. 1) Решение: 2800 : 3500 ˜ 100 = 80 (%) Ответ: 80 % 2) Решение: 57,6 : 360 ˜ 100 = 16 (%) Ответ: 16 %. 1053. 1) Решение: 1) Сколько получили отходов? 8 – 6,8 = 1,2 (ч) 2) Какую часть составили отходы? 1,2 : 8 ˜ 100 = 15 (%) Ответ: 15 %. 2) Решение: 1) Какую массу потеряла рыба при вялении? 19,5 – 11,7 = 7,8 (кг) 2) Сколько процентов массы теряет рыба? 7,8 : 19,5 ˜ 100 = 40 (%) Ответ: 40 %. 1057. Решение: 1) Сколько стоили гвозди? 140 ˜ 0,15 = 21 (руб.) 2) Сколько стоили шурупы? 14 : 10 ˜ 12 = 16,8 (руб.) 3) Сколько стоит вся покупка? 160 ˜ 0,78 + 96 ˜ 0,45 + 74 ˜ 2 + 16,8 + 15 + 27,5 ˜ 2 + 26 + 21 = =124,8 + 43,2 + 148 + 16,8 + 15 + 55 + 21 + 26 = 449,8 4) Сколько папа сэкономил? 2460 – 449,8 = 2010,2 (руб.) Ответ: 2010,2 руб. 1058. Решение: 1) Какая длина второго рулона? 17,5 + 5 = 22,5 (м) 2) Сколько ткани в двух рулонах? 17,5 + 22,5 = 40 (м) 3) Сколько сшил рубашек? 40 : 2,5 = 16 (рубаш.) 4) Какая стоимость пошива и торговой надбавки? 800 : 100 ˜ 40 = 320 (руб.) 5) Какая стоимость ткани для одной рубашки? 800 – 320 = 480 (руб.) 6) Какая стоимость метра ткани? 480 : 2,5 = 192 (руб.) Ответ: 16 рубашек; 192 руб. 1059. Решение: 1) Какая сторона участка? 200 : 4 = 50 (м) 2) Какая площадь участка? 50 ˜ 50 = 2500 (м2), 2500 м2 = 25 а 3) Какая стоимость участка? 25 ˜ 5800 = 145000 (руб.) 4) Какая цена двух калиток? 3600 ˜ 2 = 7200 (руб.) 5) Какая длина ограды? 200 – 2 ˜ 1,25 = 197,5 (м) 6) Какая стоимость ограды? 197,5 : 10 ˜ 6000 = 118500 (руб.) 7) Сколько часов работала бригада? 8 ˜ 2 = 16 (ч) 8) Сколько стоила работа бригады? 350 ˜ 16 = 5600 (руб.) 9) Сколько стоит ограда вместе с установкой? 7200 + 118500 + 5600 = 131300 (руб.) Ответ: 145 тыс. руб.; 131,3 тыс. руб. 1063. Решение: 1) Какая скорость удаления? 4,4 : 0,08 = 55 (км/ч) 2) Какая скорость полёта второй стрекозы? 55 – 28,8 = 26,2 (км/ч) Ответ: 26,2 км/ч


148

2002–2011 гг.



1064. Решение: 1) За какое время почтовый поезд пройдёт 174,6 км? 174,6 : 45,6 = 3,6 (ч) 2) На сколько позже выехал скорый поезд? 9 ч 30 мин – 7 ч 54 мин = 1 ч 36 мин, 1 ч 36 мин = 1,6 ч 3) Какое время двигался скорый поезд до того, как догнал почтовый? 3,6 – 1,6 = 2 (ч) 4) С какой скоростью шёл скорый поезд? 174,6 : 2 = 87,3 (км/ч) Ответ: 87,3 км/ч. 1068. 1) 2,16a – 0,7a + 1,04a = 11,77 2,5a = 11,77 a = 11,77 : 2,5 a = 4,708 3) 4,8d + 5,91 + 13,2d = 150 18d = 150 – 5,91 d = 144,09 : 18 d = 8,005 5) (2,3x+0,9):0,04–19,176=9,074 (2,3x+0,9):0,04=9,074+19,176 2,3x + 0,9 = 28,25 ˜ 0,04 2,3x = 1,13 – 0,9 x = 0,23 : 2,3 x = 0,1 7) 10,72 + 0,324 : (5,5 – t : 78) = 10,8 0,324 : (5,5 – t : 78) = 10,8 – 10,72 5,5 – t : 78 = 0,324 : 0,08 t : 78 = 5,5 – 4,05 t = 1,45 ˜ 78 t = 113,1

2) 15,05b + 3,2b – b = 34,5 17,25b = 34,5 b = 34,5 : 17,25 b=2 4) 0,2c + 1,6c + 1,1 = 52,5 + 3,5 1,8c = 56 – 1,1 c = 30,5 6) 4,505 : (0,4y – 0,02) + 2,29 = 3,54 4,505 : (0,4y – 0,02) = = 3,54 – 2,29 0,4y – 0,02 = 4,505 : 1,25 0,4y = 3,604 + 0,02 y = 3,624 : 0,4 y = 9,06 8) 25,12 – 5,12 ˜ (4,5 – 3z) = = 0,056 ˜ 380 5,12 ˜ (4,5 – 3z) = 25,12 – 21,28 4,5 – 3z = 3,84 : 5,12 3z = 4,5 – 0,75 z = 3,75 : 3 z = 1,25

1071. 1) Решение: 1) Какая скорость сближения? 21,3 : 0,6 = 35,5 (км/ч) 150 = 1,5x — 2) Пусть x — скорость первого велосипедиста, x ⋅ 100 скорость второго

x + 1,5x = 35,5, 2,5x = 35,5, x = 35,5 : 2,5, x = 14,2 (км/ч) 3) Какая скорость второго велосипедиста? 14,2 ˜ 1,5 = 21,3 (км/ч) Ответ: 14,2 км/ч; 21,3 км/ч. 2) Решение: 1) Какое расстояние прошли оба пешехода за 0,4 ч? 6,8 – 3,2 = 3,6 (км) 2) Какая скорость удаления? 3,6 : 0,4 = 9 (км/ч) 3) Пусть x — скорость первого пешехода, x + 0,6 — скорость второго пешехода x + x + 0,6 = 9, 2x = 9 – 0,6, x = 8,4 : 2, x = 4,2 (км/ч) 4) Какая скорость второго пешехода? 4,2 + 0,6 = 4,8 (км/ч) Ответ: 4,2 км/ч, 4,8 км/ч.


       . .  , . .   

149

1091. Решение: 1 3 3 1) Сколько кислоты необходимо для опыта? 84 − 1 = 82 (г) 5 5 5 3 1 4 2) Сколько кислоты взял при повторном опыте? 82 + = 82 (г) 5 5 5 3) Сколько кислоты осталось? 2 кг = 2000 г, 1 4 2000 − 84 − 82 = 1833 (г), 1833 г = 1 кг 833 г 5 5 Ответ: 1 кг 833 г. 1104. Решение: 1) Сколько самолёт пролетел во второй день? 2400 : 8 ˜ 10 = 3000 (км) 2) Сколько самолёт пролетел за два дня? 2400 + 3000 = 5400 (км) 3) Сколько пролетел самолёт в третий день? 5400 : 4,5 = 1200 (км) 4) Какая длина воздушного пути? 5400 + 1200 = 6600 (км) Ответ: 6600 км. 1105. Решение: 1) Сколько продал картошки фермер во второй день? 320 ˜ 0,6 = 192 (кг) 2) Сколько продал в третий день? 8 ц = 800 кг, 800 – 320 – 192 = 288 (кг) 3) Какую часть продал в первый день? 320 : 800 ˜ 100 = 40 (%) 4) Какую часть продал во второй день? 192 : 800 ˜ 100 = 24 (%) 5) Какую часть продал в третий день? 288 : 800 ˜ 100 = 36 (%) Ответ: 288 кг; 40 %, 24 %, 36 %. 2) 0,32y – 7,29 = 5,67 1111. 1) 5,8x + 7,04x = 3,21 0,362y = 5,67 + 7,29 12,84x = 3,21 y = 12,96 : 0,32 x = 3,21 : 12,84 y = 40,5 x = 0,25 3) (2,61 – 4z) : 0,03 + 4,6 = 90 4) 8,36 – 5,36 : (0,2k + 0,47k) = 7,56 5,36 : 0,67k = 8,36 – 7,56 (2,61 – 4z) : 0,03 = 90 – 4,6 0,67k = 5,36 : 0,8 2,61 – 4z = 85,4 ˜ 0,03 k = 6,7 : 0,67 4z = 2,61 – 2,562 k = 10 z = 0,048 : 4 z = 0,012 1113. Решение: 1) На сколько сократилось расстояние за 1,5 часа? 84 – 58,8 = 25,2 (км) 2) Какая скорость сближения? 25,2 : 1,5 = 16,8 (км/ч) 79 x — скорость второго 3) Пусть x — скорость первого поезда, 100 поезда 79 21 x = 16, 8 , x = 1680 : 21, x = 80 x = 16, 8 , 100 100 79 4) Какая скорость второго поезда? ⋅ 80 = 63,2 (км/ч) 100 Ответ: 80 км/ч, 63,2 км/ч. x−


2002–2011 гг.

150



Задачи для самопроверки 1132. Решение: 1) Какая скорость сближения? 75,8 + 64,4 = 140,2 (км/ч) 2) На сколько изменится расстояние через 15 мин? 1 1 15 ìèí = ÷ , 140,2 ⋅ = 35, 05 (км) 4 4 3) Какое между ними будет расстояние через 15 мин? 56,08 – 35,05 = 21,03 (км) 4) Через сколько встретятся? 56,08 : 140,2 = 0,4 (ч), 0,4 ч = 24 мин Ответ: 21,03 км; 24 мин. 1137. Решение: 1) Какая длина прямоугольника? 3,6 : 0,45 = 8 (м) 2) Какая площадь прямоугольника? 3,6 ˜ 8 = 28,8 (м2) 3) Какая стала ширина? 3,6 + 3,6 : 100 ˜ 25 = 3,6 + 0,9 = 4,5 (м) 4) Какой стала длина? 8 + 8 : 100 ˜ 20 = 8 + 1,6 = 9,6 (м) 5) Какой стала площадь? 4,5 ˜ 9,6 = 43,2 (м2) 6) На сколько увеличилась площадь? 43,2 – 28,8 = 14,4 (м2) Ответ: 14,4 м2. Задачи на повторение 5a a 15a − 2a 13a − = = 16 24 48 48 28c d 4 ⋅ = 3) d2 21c 3d

1152. 1)

4 7 20 + 7 27 + = = b 5b 5b 5b 12x3 9x2 12x3 10y 8x 4) : = ⋅ = 25y 10y 25y 9x2 15

2)

1157. 1) 53,76 : (4,248 – 1,56x) + 3,8 = 55, 53,76 : (4,248 – 1,56x) = 55 – 3,8 4,248 – 1,56x = 53,76 : 51,2, 1,56x = 4,248 – 1,05, x = 3,198 : 1,56 x = 2,05 2) (2,7y + 3,08y) : 1,7 – 3,08 = 12,22, 5,78y : 1,7 = 12,22 + 3,08, 5,78y = 15,3 ˜ 1,7, y = 26,01 : 5,78, y = 4,5 1161. Решение: 1) Какое расстояние проехал велосипедист за 0,3 ч? 15 ˜ 0,3 = 4,5 (км) 2) Какое расстояние от деревни до станции? 9 + 4,5 = 13,5 (км) 3) Какая скорость мотоциклиста? 13,5 : 0,3 = 45 (км/ч) 4) Какое время ехал велосипедист? 13,5 : 15 = 0,9 (ч), 0,9 ч = 54 мин 5) Сколько проехал мотоциклист за 10 мин? 1 1 10 ìèí = ÷ , 45 ⋅ = 7,5 (км) 6 6 1 6) Сколько проехал велосипедист за 10 мин? 15 ⋅ = 2,5 (км) 6 7) На каком расстоянии был мотоциклист от велосипедиста через 10 мин после выезда? 9 + 2,5 – 7,5 = 4 (км) Ответ: 45 км/ч, 13,5 км, 54 мин, 4 км.

ГДЗ - Математика. 5 класс.&nbsp; Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you