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Universidad Técnica De Machala Facultad De Ingeniería Civil Escuela De Informática Trabajo De Matemáticas IV Integrantes: Tanya Lorena Cedeño Medina Johanna Maribel Cueva Castillo Curso: 4to. Quimestre “B” Profesor: Ing. Carlos Sánchez Especialidad: Ingeniería En Sistemas Año Lectivo 2010 – 2011


Índice

MATEMATICAS IV Introducción ................................................................................................ ................................ ..................................... 3 Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden ............................... 3 Ecuaciones de variables separables ........................................................... ........................... 3 Ecuaciones Homogéneas ................................................................ ...................................... 4 Ecuaciones Lineales De Primer Orden ................................................ ................................ 5 Ecuación Diferencial De Bernoulli ...................................................... ...................... 5 Tutorial De Las Siguientes Ecuaciones ............................................................ ............................ 6 Ecuaciones Diferenciales Lineal De Primer Orden .......................................... ................................ 6 Ecuación #1: ................................................................................................ ................................ ................................... 6 Ecuación #2: ................................................................................................ ................................ ................................... 9 Tutorial del Manejo del Programa Winplot ................................................ ................................ 13 Grafica de la Ecuación #1 ................................................................ ............................................ 16 Grafica de la Ecuación #2 ................................................................ ............................................ 18

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Ecuaciones Lineales De Primer Orden Introducción Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

O en su forma implícita:

Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones de variables var separables Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:

Se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:

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 Ecuaciones Homogéneas Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:

Sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por x3 o y3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son: O bien Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) u ) por su valor como función que se ha establecido. El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de d la forma:

Introduciendo la variable u = y/x;; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

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 Ecuaciones Lineales De Primer Orden La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

Y la solución de la misma viene dada por:

En el caso particular

y

, la solución es:

 Ecuación Diferencial De Bernoulli Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:

Donde P(x) y Q(x)) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1 viene dada por:

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Tutorial De Las Siguientes Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales Lineal De Primer Orden Ecuaciรณn #1: Ecuaciรณn Original    4 2 0

 Igualamos la ecuaciรณn   4  2  La t lo dividimos a los demรกs tรฉrminos para no alterar la ecuaciรณn  4 2   Despejamos la ecuaciรณn  4  2    A Continuaciรณn Aplicamos La Siguiente Forma:     pรกg. 6


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Donde P ^Q son funciones o constantes luego: Reemplazamos Y=uz  

 

4   2 

 Separamos Variables  4      2     Separamos la ecuación que esta dentro del paréntesis y lo igualamos a cero.  4   0    Separamos términos e igualamos la ecuación.  4   

 Después de Igualar la ecuaciones pasamos a resolver :

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Determinamos “u� Integramos 

 4    

Separamos la constante    4   ln u = 4 ln t Aplicamos la propiedad de logaritmos ln u = 4 lnt   Determinamos “z�   2 



 2 

2   

   2   2   4 1

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   2  ! 3 3  2    

 

6 # 

 Reemplazamos los valores de U y Z de la ecuaciรณn origina para luego encontrar el valor de S. S= uz    

6 # 

6     #    6 # 

Ecuaciรณn #2: Ecuaciรณn Original    4 2   A Continuaciรณn Aplicamos La Siguiente Forma:     pรกg. 9


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Donde P ^Q son funciones o constantes luego: Reemplazamos Y=uz 4 %  $ $   2   Separamos Variables  4     1      Separamos la ecuaciĂłn que esta dentro del parĂŠntesis y lo igualamos a cero.  4   0    Separamos tĂŠrminos e igualamos la ecuaciĂłn.  4   

 DespuĂŠs de Igualar la ecuaciones pasamos a resolver :

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Determinamos “u� Integramos 

 4     ln u = 4 ln x

Aplicamos la propiedad de logaritmos ln u = 4 lnx   Determinamos “z� 

 1 

 1   

  

4  

 1    

   1 ! 4 1   !  1 3 3  1   

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&

+c

 Reemplazamos los valores de U y Z de la ecuaciรณn origina para luego encontrar el valor de S. Y= uz

3      #  3    #    3 # 

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Tutorial sobre el Manejo del Programa Winplot El software Winplot es un programa que distribuye gratuitamente el Profesor Richard Parris de la Philips Exeter Academy en Exeter, New Hampshire. Se puede descargar en la dirección: El presente tutorial está creado con el objeto de introducir al estudiante que cursa ecuaciones diferenciales en el Instituto Tecnológico de Puebla, México, con medios gráficos de solución. Cualquier comentario, crítica o sugerencia se puede enviar a la dirección de correo electrónico de su autor:

Presentación. La primera vez que se accesa a Winplot, aparece una pantalla como esta:

Figura 1

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Donde se distinguen dos menús: Windows y About. Damos un doble clic en el botón izquierdo del ratón y obtenemos la pantalla:

Figura 2

Seleccionamos con un clic en el botón izquierdo del ratón 2-dim y obtenemos una ventana nueva que tiene nombre por omisión noname1.wp2.

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Figura 3

El objetivo de este tutorial, es el manejo de este paquete para la visualización de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, a través de su representación como un campo de pendientes. Por este motivo, nos concentraremos en la descripción del tutorial en el manejo de los comandos relacionados con el diseño, solución y animación de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. Antes de entrar en las diferentes ventanas del paquete, es importante conocer la manera en que se introducen las ecuaciones y su nomenclatura.

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Grafica de la Ecuación #1 ECUACION

El primer punto cuando la constante “c” “ ” vale 9

El segundo punto cuando la constante “c” “ ” vale 20

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El tercer punto cuando la constante “c” “ ” vale 30

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Grafica de la Ecuación #2 # ECUACION

El primer punto cuando la constante “c” “ ” vale 6

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El segundo punto cuando la constante “c” “ ” vale 12

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El segundo punto cuando la constante “c” “ ” vale 18

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GRUPO 10 - JOHANNA CUEVA - TANYA CEDEÑO  

INTEGRANTE: JOHANNA CUEVA - TANYA CEDEÑO

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