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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA DE INFORMÁTICA

PROYECTO DE MATEMÁTICA IV

TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

CURSO: CUARTO QUIMESTRE “B”

INTEGRANTES: JOHANNA SALAZAR LUIS CAMPOVERDE

DOCENTE: ING. CARLOS SÁNCHEZ

AÑO LECTIVO: 2010 - 2011


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

INTRODUCCIÓN

En la actualidad el uso de software informático en las distintas áreas de enseñanza se ha convertido en un medio muy

común de aprendizaje. Es por ello que el

presente trabajo fue realizado con la finalidad de hacer una breve introducción al estudio de ecuaciones diferenciales, haciendo uso de estos programas y orientando más el tema a la carrera de Ingeniería en Sistemas. Entendemos por ecuación diferencial

a una ecuación en la que intervienen

derivadas de una o más funciones. En el desarrollo de este proyecto se ha optado por un tipo específico de ecuaciones diferenciales, las ecuaciones lineales. De acuerdo a lo estudiado, para que una ecuación sea lineal se deben cumplir las siguientes condiciones: •

Ni la función ni sus derivadas estén elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

EJERCICIO 1: RESOLUCIÓN ࢊ࢟ ૛࢟ + = ૛ ‫࢞ ܛܗ܋‬ ࢊ࢞ ࢞

Comprobamos que el ejercicio sea de la forma:

ௗ௬ ௗ௫

+ ‫ݍ = ݕ݌‬

Donde: ‫ = ݌‬2‫ = ݍ ; ݔ‬2 cos ‫ݔ‬

Al satisfacer la forma procedemos a resolver

‫ݖ∙ݑ= ݕ‬

 Derivamos:

ௗ௭

ௗ௨

ௗ௭

ௗ௨

ௗ௭

ௗ௨

ௗ௭

ௗ௨

ଶ ‫ݕ‬ ௫

ௗ௭

ௗ௨

ଶ ‫ݖݑ‬ ௫

ௗ௭

ௗ௨

ଶ௨ ቁ‫ݖ‬ ௫

‫ ݑ‬ௗ௫ + ‫ ݖ‬ௗ௫

‫ ݑ‬ௗ௫ + ‫ ݖ‬ௗ௫ = ‫ ݍ‬− ‫ݕ݌‬

 Ahora igualamos ଶ

‫ ݑ‬ௗ௫ + ‫ ݖ‬ௗ௫ = 2 cos ‫ ݔ‬− ௫ ‫ݕ‬ ‫ ݑ‬ௗ௫ + ‫ ݖ‬ௗ௫ + ‫ ݑ‬ௗ௫ + ‫ ݖ‬ௗ௫ + ‫ ݑ‬ௗ௫ + ቀௗ௫ + ௗ௨ ௗ௫

+

ௗ௨ ௗ௫

=−

ଶ௨ ௫

ௗ௨ ௨

=−

ଶௗ௫ ௫

‫׬‬

ௗ௨ ௨

ଶ௨ ௫

=0

= −2 ‫׬‬

ௗ௫ ௫

log ‫ = ݑ‬−2 log ‫ݔ‬ log ‫ = ݑ‬log ‫ି ݔ‬ଶ ‫ି ݔ = ݑ‬ଶ

= 2 cos ‫ݔ‬ = 2 cos ‫ݔ‬ = 2 cos ‫ݔ‬

Reemplazamos valores Enviamos −

ଶ ‫ݕ‬ ௫

al primer miembro

 Reemplazamos ‫ݖ ∙ ݑ = ݕ‬  Sacamos factor común ‫ݖ‬

Integramos por partes


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

ௗ௭

‫ ݑ‬ௗ௫ = 2 cos ‫ݔ‬ ௗ௭

‫ି ݔ‬ଶ ௗ௫ = 2 cos ‫ݔ‬

Reemplazamos el valor de u

‫ ׬ = ݖ݀ ׬‬2 ‫ ݔ‬ଶ cos ‫ݔ݀ ݔ‬

Integramos por partes

݀‫ݔ‬ ‫ݔ‬ଶ 2‫ݔ‬ 2 0

න ݀‫ݔ‬

cos ‫ݔ‬ sin ‫ݔ‬ −cos ‫ݔ‬ −sin ‫ݔ‬

+ +

‫ = ݖ‬2‫ ݔ‬ଶ sin ‫ ݔ‬+ 4 cos ‫ ݔ‬− 4 sin ‫ ݔ‬+ ܿ ‫ݖ∙ݑ= ݕ‬ ‫=ݖ‬

Reemplazamos los valores de u y z

1 ሾ2‫ ݔ‬ଶ sin ‫ ݔ‬+ 4 cos ‫ ݔ‬− 4 sin ‫ ݔ‬+ ܿሿ ‫ݔ‬ଶ

‫ = ݖ‬2 sin ‫ ݔ‬+

4 cos ‫ݔ‬ sin ‫ݔ‬ − 4 ଶ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

EJERCICIO 2: RESOLUCIÓN ࢊ࢟ − ૝࢞࢟ = ࢞ ࢊ࢞

‫ = ݌‬−4‫ݔ = ݍ ; ݔ‬ ‫ݑ‬

݀‫ݖ‬ ݀‫ݑ‬ + ‫ݖ‬ = ‫ ݍ‬− ‫ݕ݌‬ ݀‫ݔ‬ ݀‫ݔ‬ ௗ௭

ௗ௨

‫ ݑ‬ௗ௫ + ቀௗ௫ − 4‫ݑݔ‬ቁ ‫ݔ = ݖ‬ ௗ௨ ௗ௫

‫׬‬

− 4‫ = ݑݔ‬0

ௗ௨ ௨

= 4 ‫ݔ݀ݔ ׬‬

log ‫ = ݑ‬4 log ‫ݔ‬ log ‫ = ݑ‬log ‫ି ݔ‬ଶ ‫ ݁ = ݑ‬ଶ௫

‫ݑ‬

݀‫ݖ‬ =‫ݔ‬ ݀‫ݔ‬

‫ି ݁ ׬ = ݖ݀ ׬‬ଶ௫ ‫ݔ݀ݔ‬

1 మ ‫ = ݖ‬− ݁ ିଶ௫ + ܿ 4

‫ݖ∙ݑ= ݕ‬

‫ ݁ܿ = ݕ‬ଶ௫ − 1/4

Una vez lista la ecuación solución del ejercicio vamos a obtener su gráfica. Hemos optado por la utilización del Winplot, una herramienta educativa para el estudio de funciones gráficas.


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

PASOS PARA OBTENER LA FUNCIÓN GRÁFICA EN WINPLOT. Para explicar paso a paso la creación de funciones gráficas en el Winplot, tomamos como ejemplo la ecuación obtenida de nuestro segundo ejercicio. మ

‫ ݁ܿ = ݕ‬ଶ௫ − 1/4 1. ABRIMOS EL PROGRAMA WINPLOT Y SELECCIONAMOS LA PESTAÑA “VENTANA”

2. ELEGIMOS 2-DIM Al seleccionar la pestaña podremos graficar en 2 dimensiones que es lo que necesitamos con coordenadas (x, y).

3. NOS DIRIGIMOS A LA PESTAÑA ECUA


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

4. SELECCIONAMOS “1. Explícita …”

5. INGRESAMOS NUETRA ECUACIÓN Añadimos nuestra función tal y como lo muestra las gráficas de abajo:

6. DEFINIMOS LAS PROPIEDADES Además de insertar la función, la ventana actual nos permite definir el ancho del lápiz y la densidad del dibujo. También podemos cambiar el color de las curvas.

Otra opción muy útil es la de poder determinar la longitud del plano cartesiano, tanto en su abscisa como en su ordenada.

7. SELECCIONAMOS OK Y OBTENEMOS LA CURVA Al definir todas las propiedades de la gráfica finalizamos dando clic sobre OK.


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

El resultado es la siguiente gráfica:

8. EXPLORAMOS EL INVENTARIO A la vez que se muestra nuestra gráfica, en otra ventana se nos indica el inventario de ecuaciones que hemos ingresado. Dicho inventario consta de varias opciones indicadas en cada uno de los botones del formulario de abajo.

9. DUPLICAMOS LA ECUACIÓN Nuestra ecuación solución es la siguiente: మ

‫ ݁ܿ = ݕ‬ଶ௫ − 1/4 Para obtener nuestra gráfica es necesario reemplazar la constante c por algún número positivo o negativo. Duplicamos la ecuación con la finalidad de cambiar c por más de un valor, obteniendo más de una curva en el plano. Ingresamos entonces, 5 valores positivos y 5 negativos. Para ello damos clic sobre el botón duplicar: Se presentará nuevamente la siguiente ventana:


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Volvemos al paso 5. Esta vez cambiamos el valor de nuestra constante por otro. Desde aquí repetimos los pasos hasta llegar nuevamente al 8. La gráfica ahora será la siguiente:

Repetimos los pasos hasta llegar a 10 valores ingresados los cuales indicamos anteriormente (+,-)


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

FUNCIÓN GRÁFICA DE SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1 Solución: ࢠ = ૛ ‫ ࢞ ܖܑܛ‬+

૝ ‫࢞ ܛܗ܋‬ ࢞

− ૝

‫࢞ ܖܑܛ‬ ࢞૛


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

FUNCIÓN GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 2 Solución: ૛

࢟ = ࢉࢋ૛࢞ − ૚/૝


GRUPO 2 - LUIS CAMPOVERDE - JOHANNA SALAZAR