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《应用高等数学》


【本课程的性质、地位和作用 】: 《应用高等数学》课程是高等职业技术学院相关专业的 一门必修基础课,是为培养社会主义建设需要的高技能人 才服务的。 学生通过本课程的学习,系统地获得“基础模块”:微积 分,“专业模块”:线性代数、概率统计、积分变换、离散 数学,“实践模块”:数学软件与数学建模等基本知识,掌 握必要的基础理论和常用的计算方法,初步受到用数学方 法解决实际问题的能力训练。这些内容的设置是为学生学 习后继的专业课程和今后的实际工作提供数学基础知识和 方法。 通过各个教学环节,逐步培养学生的抽象概括问题的能 力、应用数学软件的能力、逻辑推理能力、自学能力,较 熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题 的能力。


【课程考核形式】: 本课程考核以平时过程考核和期末考试相结合的方式。 考核成绩由平时成绩和期末考试成绩两部分组成,考核成 绩满分为100分,60分为及格。其中平时成绩占考核成绩的 40%,期末考试成绩占考核成绩的60%。平时过程考核包 括平时作业(10%)、考勤及课堂表现(10%)、期中考 试(20%)等,期末考试包括笔试(50%)、上机操作 (10%)。

【教材及其配套练习册 】: 胡桐春《应用高等数学》、 《应用高等数学练习册》 高等教育出版社,2011.9


一、常量与变量 二、函数的定义 三、函数的性质 四、基本初等函数 五、复合函数和初等函数


一、常量与变量 在观察自然现象或技术的过程中,会遇到各种 量,一般可分为两类:一类是指在过程中数值保 持不变的量,称为常量,如圆的周长公式C = 2π R 中的 2和 π 都是常量,常量可以是字母也可以是数 值.  另一类是指在过程中数值不断发生变化的量, 称为变量,如圆的周长公式C = 2π R 中的 R 和 C . 


二、函数的定义 二、函数的定义 1. 函数定义及其表示: 函数定义及其表示:  设 D 为一个非空实数集合,若存在确定的对应规 则 f ,使得对于数集 D 中的任意一个数 x , 按照  f 都 有唯一确定的实数 y 与之对应,则称 f 是定义在集合  D 上的函数 .  记作 

x f (  ) 

y

y = f (x )  自变量 

x 的取值集合

定义域 D 

y 的取值集合

值域 M 

对应法则 因变量 (函数值)


几点说明: 定义包含三个内容定义域、对应法则和函数值。 1、定义域 (1)对于实际问题,要根据实际意义来确定; (2)对非实际问题,则要使函数解析式有意义。  2、对应法则 3、函数值

即函数关系的具体表现,是函数概念中最本质 的因素。公式表示,图象表示,列表表示。 当x

= x 0 时,对应的  y 的值 y 0  ,记为 

以图形表示函 以表格形式表示函数 以数学式子表示 f ( x 0 )  或  y x = x  的方法叫做函数的表格表 0  函数的方法叫做函数 数的方法叫做函数 4、相同函数 示法,它是将自变量的值 的公式表示法,公式 的图示法,图示法 只有当函数的两要素(定义域和对应法则)均相 法的优点是便于理论 的优点是直观形 与对应的函数值列为表 等时,我们才认为这两个函数是同一个函数. 格,表格法的优点是所求 推导和计算 象,且可看到函数 的函数值容易查得.  例如, f ( x 的变化趋势. ) = sin 2  x + cos 2  x 与j ( x ) = 1 是相同的函数;  x 2  - 1  f ( x ) =  与j ( x ) = x + 1 却不是相同的函数.  x - 1 


例1 设某种练习本的单价是2元,买 x ( x Π{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 })  本这样的练习本需y元,试用三种表示法来表示函数.  解 (1)解析法: y = 2x ,  ( x Î {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 })  (2)表格法:买练习本的数量 x 与 y 所需钱的关 系,如下表所示; 

x(本) y(元) 

1 2 

2 4 

3 6 

(3)图像法:如右图所示.

4 8 

5 10 

6 12 


例2 已知f ( x ) =  x 2 - x - 1 , 求f ( 0 ),  f ( 1 ),  f ( - x ),  f ( x + 1 ). 

解:

f ( 0 ) = 0 2 - 0 - 1 = -1 f ( 1 ) = 1 2 - 1 - 1 = -1  f ( - x ) = ( - x ) 2 - ( - x ) - 1 

= x 2 + x - 1  f ( x + 1 ) = ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 ) - 1 

= x 2 + x + 1 

位置代换法


例3 求下列函数的定义域:  ( 1 ) y = 

4

; 2 x  - 1 

( 2 ) y =  6 + x - x 2 + ln( x + 1 ). 

求定义域应该一般考虑的几个方面: 1、分母不能为零;  2、开偶次根式,被开方数为非负数;  3、对数的真数大于零;  4、型如 x - n ( n ³ 0 ) 的式子中,x ¹ 0 ; 

5、实际问题中要使问题有意义.


例3 求下列函数的定义域:  ( 1 ) y = 

解:

4

; 2 x  - 1 

( 2 ) y =  6 + x - x 2 + ln( x + 1 ). 

(1)要使函数有意义,则 x 2 - 1 ¹ 0 ,  即  x ¹ ±1 \ 定义域为 {x | x ¹ ±1 }. 

ìï6 + x - x 2  ³ 0  (2)要使函数有意义,则 í ïî x + 1 > 0 

ì- 2 £ x £ 3  即  í î x > -1  \ 定义域为[ -2 , 3 ] I [ -1 , +¥) = ( -1 , 3 ]. 


例4 如图,从边长为 a 的正三角形铁皮上剪一个矩形, 设矩形的一条边长为 x ,周长为P,面积为A,试分别将  P和 A表示为 x  的函数.  解: 设矩形的另一边为h,则 

a - x  3 ( a - x )  × tan 60 ° = h =  2  2 

\ P = 2 ( x + h ) = ( 2 -  3 ) x + 3 a ,  x Î ( 0 , a )  3  3  2  x Î ( 0 , a )  ax -  x  ,  A = x × h = 2  2 

x h


2. 分段函数: 分段函数: 有些函数在其定义域内,当自变量在不同的范围内取 值时,要用不同的解析式表示,这类函数称为分段函数. 如符号函数:  x > 0,  ì1, ï y = sgn x = í0, x = 0,  ï-1, x < 0,  î

注意: 分段函数是用几个解析式合起来表示一个函数, 而不是表示几个函数.


ì 2 x , x £ 0,  ï f ( x ) = 例5  设  í1 - x, 0 < x £ 1,  ï1, x > 1,  î 1 求 f ( 0 ) 、 f (  ) 和 f ( 2 )  ,并作出函数图像.  2 

解: f ( 0 ) = 2 0 = 1  1 1  1  f ( ) = 1 - = 2  2  2 

f (2 ) = 1 


3、反函数 1、前提条件:自变量 x 与因变量 y  一一对应;  2、求反函数的步骤(①求x ②求值域③ x与y互换); 例6:求 y = x 2 ( x ³ 0 )  的反函数.  解: Q y = x 2 ( x ³ 0 ),  \ x =

y ( y ³ 0 ), 

\ y = x ( x ³ 0 ) 为原函数的反函数. 


3、反函数 1、前提条件:自变量 x 与因变量 y  一一对应;  2、求反函数的步骤(①求x ②求值域③ x与y互换);  3、互为反函数的两个函数图象关于直线 y = x 对称. 


二、函数的性质 1.函数的单调性: 设函数y=f(x)在区间I上有定义, x 1 ,x 2 为I上任意两点, 且x 1 <x 2 , 如果恒有f(x 1 )<f(x 2 ), 则称f(x)在I上是单调增加的; 如果恒有f(x 1 )>f(x 2 ), 则称f(x)在I上是单调减少的. 区间I称为单调区间.


二、函数的性质 1.函数的单调性: 设函数y=f(x)在区间I上有定义, x 1 ,x 2 为I上任意两点, 且x 1 <x 2 , 如果恒有f(x 1 )<f(x 2 ), 则称f(x)在I上是单调增加的; 如果恒有f(x 1 )>f(x 2 ), 则称f(x)在I上是单调减少的. 区间I称为单调区间. 例7 指出函数在指定区间上的单调性:  ( 1 ) y =  x 2 ,  x Î ( 0 , +¥) 

(单调增加)

π 3π  (2) y = sin x, x Î ( , )  (单调减少) 2 2 


2.函数的奇偶性: 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(-x)=-f(x), 则称f(x)为奇函数. •奇偶函数的图形特点:

偶函数的图形关于y轴对称

奇函数的图形关于原点对称


2.函数的奇偶性: 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(-x)=-f(x), 则称f(x)为奇函数. 例8 讨论下列函数的奇偶性: 

( 1 ) f ( x ) =  x 2 

(偶)

( 2 ) f ( x ) =  x 3 

(奇)

2

( 3 ) f ( x ) =  x 

奇+奇=奇;偶+偶=偶; 奇+偶=非奇非偶; 奇* 奇=偶;偶*偶=偶; 奇* 偶=奇.

3 (非奇非偶) + x 

(4 ) f ( x ) = x sin x 

(偶)


3.函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数T,使 得对于任意xÎD有(x±T)ÎD, 且 f(x+T)=f(x), 则称f(x)为周期函 数, T称为f(x)的周期. 例如,正弦(余弦/正切)函数,常数函数等都是周期函数. 注意: ①通常说的函数周期即指函数的最小正周期;

如y =

2π A sin(w x + j )  的 周 期 :| w | . 

②并不是每个周期函数都有最小正周期 如 常数函数  y = C  ì1  当 x 为有理数时 狄立克莱(Dirichlet)函数 f ( x ) = í î0  当x 为无理数时


4.有界性: 设函数 f  (x)  在区间  I  上有定义,若存在一个正数  M ,当 x Î I 时,恒有  f ( x )  £  M  则称函数 f (x) 为在 I 上的有界函数, 如果不存在这样的正数 M,则称函数 f (x) 为在 I 上的无界函数 . 例9  判断下列函数在指定区间内是否有界:  π  π  ( 1 ) y = sin x ,  x Î R (有界) (2) y = tan x, x Î (-  , ) (无界) 2 2  1  1  (3 ) y =  ,  x Î ( 0 , 1 ) (无界) (4 ) y =  ,  x Î ( 1 , +¥) (有界) x  x 


三、基本初等函数 ①常数函数 y = C ( C 为常数 )  a  ②幂函数  y = x  ( a为实数)  x  ③指数函数  y = a  (a > 0 , a ¹ 1 ) 

④对数函数 y = log a  x ( a > 0 , a ¹ 1 ) 

常用对数 y = lg x ;  ⑤三角函数(6类)

自然对数y = ln x  y = sin x ;  y = csc x ; 

y = cos x ;  y = tan x ;  y = sec x ;  y = cot x ; 

⑥反三角函数(4类) y = arcsin x ;  y = arctan x ; 

y = arccos x ;  y = arc cot x ; 


四、复合函数和初等函数 四、复合函数和初等函数 1、复合函数  [引例] 

设 y = u ,  u = 1 - x 2 ,  y= f (u ) 

u = j (x ) 

y = 1 - x 2  y = f  ( j ( x )) 

在 u ³ 0 , 即M u  Í D f 的条件下, 

我们称 y = 1 - x 2  为 x  的复合函数 .  x ¬ 自变量,  u ¬ 中间变量 , 

y ¬ 因变量


四、复合函数和初等函数 四、复合函数和初等函数 1、复合函数 [定义]  设函数 y =  f (u )  的定义域为 D f  ,函数 u = j (x ) 的值域 为 M j  ,若 D f  I M j ¹ f ,则将 y =  f ( j ( x )) 称为 y =  f (u )  与 u = j (x )  复合而成的复合函数.  x ¬ 自变量, 

u ¬ 中间变量, 

y ¬ 因变量

注意: ①并不是任何两个函数都可以复合; 2  问  :  y = u  1  与 u  = x  ?  M j Í D f 能复合吗 ;  ②复合函数中, 

③复合函数可以推广到有三个及以上的有限次复合.


例10 指出下列函数的复合过程: 

要点:从外向内,

x ( 2 ) y = ln tan  . 2 

逐层分解.

( 1 ) y = 3 2 x + 1 ; 

解: ( 1 ) y = 3 2 x + 1 是由 y = 3  u 与u = 2 x + 1 复合而成; x  x  ( 2 ) y = ln tan  是由 y = ln u ,  u = tan v ,  v = 复合而成.  2  2 

例 11  已知f ( x ) 的定义域为[ -1 , 1 ], 求f (ln x ) 的定义域.  解:由题意知,  - 1 £ ln x £ 1 , 

1 £ x £ e,  得  e  1 故所求定义域为 [ , e].  e 

位置代换法


2、初等函数: 由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次 复合,且可用一个解析式表示的函数,称为初等函数. x 例如, y = x + e 、 y = 2 x + 1和 y = ln tan  都为初等函数. 2  2 

x

注意:①除初等函数以外的函数称为非初等函数, 如,符号函数、狄立克莱函数都是非初等函数. ì 1 ,  x > 0  ②分段函数一般为非初等函数,但有个别函数例外. ì1 ,  当 x 为有理数时 ï f ( x ) = í y = sgn x = í 0 ,  x = 0  0 ,  当x 为无理数时 î ì x , x ³ 0  ï- 1 , x < 0  y = | x | = í 如,绝对值函数就是初等函数.  î î- x , x < 0 


六、小结(本节要点)

• • • • •

1.函数的定义域与和表示方法 2.函数的性质 3.复合函数(重点:会分解) 4.初等函数 5.会根据实际问题建立简单的函数关系. 七、练习与作业 (1)课堂练习:练习题1.1 (2)课外作业:练习册第一章练习一

1.1 函数  
1.1 函数  

1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数1.1 函数...