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GRUPO PITÁGORAS

ARITMÉTICA I BIMESTRE

Pag.1 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


´I n d i c e Pág.

Adición y Sustracción en N ....................... 7 Multiplicación y División en N .................... 17 Números enteros (Z) .......................... 27 Adición y Sustracción en Z - Operaciones combinadas de adición y sustracción en Z .................... 37 Multiplicación y División en Z .................... 43 Conjunto de los números racionales ............... 47 Operaciones con fracciones ..................... 53 Repaso .................................... 67

Pag.2 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Adición y Sustracción en N ADICIÓN EN N A la acción de agregar, agrupar o añadir le llamamos ADICIÓN. ELEMENTOS DE LA ADICIÓN: 1.

Los números que queremos sumar reciben el nombre de SUMANDOS.

2.

El signo para identificar la operación es una pequeña

13 + 27 + 58 = 98

cruz (+). 3.

El resultado de la operación se denomina "suma total".

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES: 1. Propiedad de Clausura. "Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número ______________". Ejemplo: Si: 87  ___ y 13  ___; entonces: 87 + 13 = 100  ___ es decir:

Si: a

Nyb

N; entonces: (a + b)

N

2. Propiedad Conmutativa. "El orden de los sumandos no altera la ______________". Ejemplo: Si: 26  ___ y 14  ___; entonces: 26 + 14 = ___ + ___ = 40 es decir:

Si: a

Nyb

N; entonces: a + b = b + a

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3.a Propiedad Asociativa. "La forma como agrupamos los sumandos no altera la ______________". Ejemplo: Si: 8  ___, 7 ___ y 5  ___; entonces: (8 + 7) + 5 = ___ + (___ + ___) = 20 SUMAS PARCIALES

es decir:

Si: a

N, b

Nyc

N; entonces: (a + b) + c = a + (b + c)

3.b Propiedad Disociativa. "Es una adición, al descomponer uno de los sumandos en dos o más sumandos la suma no se ______________". Esta propiedad es recíproca de la anterior. Ejemplo: Si: 12  ___ y 5  ___; entonces: 12 + 5 = (___ + ___) + 5 = 17, porque 12 = ___ + ___

SUMA PARCIAL

es decir:

Si: a

Nyb

N; entonces: a + b = (x + y) + b; porque: a = x + y

4. Propiedad del elemento neutro. "Si sumamos cualquier número natural con el ______________, el resultado sigue siendo el mismo número natural". Ejemplo: Si: 3  ___; entonces: 3 + ___ = __ + 3 = 3 es decir:

Si: a

N; entonces: a + 0 = 0 + a = a

Nota: En el conjunto Z, el número opuesto o contrario de un número "a" es aquel número (-a) llamado elemento inverso aditivo de "a", ya que sumando nos da el módulo cero. Ejemplo: 6 + (-6) = (-6) + 6 = 0 es decir: a + (-a) = (-a) + a = 0 Pag.4 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.

2.

Completa el nombre de las propiedades: a.

32 + 27 = 59

________________________

b.

210 + 0 = 210

________________________

c.

(7 + 3) + 12 = 7 + (3 + 12)

________________________

d.

23 + 57 = 57 + 23

________________________

e.

7 + 15 = 7 + (3 + 12)

________________________

Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades. a.

b.

Hallar 2 números que sumados resulten: •

10 = 1 + 9 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___

13 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___

17 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___

19 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___

Calcular mentalmente el resultado de la adición:

Ejemplo: 73 + 27 = (70 + 20) y (3 + 7) 90

10 = 100

23 + 72 =

17 + 81 =

64 + 45 =

42 + 51 =

86 + 27 =

76 + 23 =

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c.

Calcular mentalmente, formando grupos de 10. Ejemplo: 2 + 7 + 5 + 1 + 8 + 3 + 4 + 5 + 9 =

10 + 10 + 10 + 10 + 4 = 44

d.

2+7+5+3+8=

1+3+5+9+7+5=

6+2+8+4+7+3=

9+5+1+6+4+9=

Separa convenientemente, formando decenas.

Ejemplo: 79 + 34 =

79 + (1 + 33) (79 + 1) + 33 80

e.

+ 33 = 113

529 + 32 =

249 + 36 =

739 + 13 =

819 + 27 =

Realiza las siguientes adiciones y halla: abc •

2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 22222222 = ...abc

1 + 31 + 131 + 3131 + ... + 1313131313 = ...abc

3 + 33 + 333 + ... + 33333333 = ...abc

32 + 323 + 3232 + ... + 3232323 = ...abc Pag.6

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f.

Adiciones particulares: •

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10 =

n(n + 1) 2

n = ____ = último número •

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 18 + 20 = 2n = ____ = último número

n(n + 1)

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 17 + 19 = n2

2n - 1 = ___ = último número

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

2.

Relaciona correctamente de acuerdo al nombre de las propiedades. a.

4+0=4

(

)

Propiedad Asociativa

b. c.

9+3=8 7+4=4+7

( (

) )

Propiedad del Elemento Neutro Propiedad Disociativa

d. e.

18 + 7 = 18 + (2 + 5) (3 + 4) + 9 = 3 + (4 + 9)

( (

) )

Propiedad Clausura Propiedad Conmutativa

Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades. a.

423 + 17 =

b.

171 + 29 =

c.

524 + 236 =

d.

812 + 428 =

e.

6+8+1+4+2+9+5=

f.

12 + 7 + 23 + 5 + 8 + 15 =

g.

5 + 25 + 525 + 2525 + ... + 2525252525 = ...ab

h.

1 + 2 + 3 + ... + 15 =

i.

2 + 4 + 6 + ... + 16 =

DESAFÍO

f.

1 + 3 + 5 + ... + 17 =

9  99  989  9898  ...  989898 .....   9898    ...abc 20 cifras

Hallar el valor de "a + b + c" Pag.7 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


SUSTRACCIÓN EN N Es una operación inversa a la ADICIÓN. ELEMENTOS DE LA SUSTRACCIÓN:

53

-

26

=

27 Nota: Si: D 1 entonces: M > S

(M)

(S)

(D)

PROPIEDADES PARTICULARES: I.

Si: 53 - 26 = 27, entonces: 53 = 27 + ___ es decir:

Si: M - S = D; entonces: M = D + S

Veamos qué sucede cuando sumamos los tres términos de una sustracción. si: 53 - 26 = 27; entonces: 53 + 26 + 27 = 53 + (26 + 27) = 53 + ___ = 2 ( ) es decir: si: M - S = D; entonces: M+S+D= M + (S + D) M + ____ = 2 (

)

Por lo tanto, la suma de los tres términos de una sustracción es igual a dos veces el minuendo.

M + S + D = 2M Pag.8 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


II. Sustracciones particulares 412 214 198

832 238 594 = ___

abc cba xny = ___

___ + ___ = ___

= ___

___ + ___ = ___

___ + ___ = ___

III. Complemento aritmético (C.A.) Para: 123, su C.A. es: 1000 - 123

1000 123 877

Unidades ___ - 3 = 7 Decenas ___ - 2 = 7 Centenas ___ - 1 = 8

C

D

U

1

2

3

(___ - 1)

(___ - 2)

(___ - 3) Complemento Aritmético

En general: Para: abcd, su C.A. es: 10000  abcd UM

C

D

U

a

b

c

d

(9 - a)

(9 - b)

(9 - c)

(10 - d) Complemento Aritmético

IV. Relaciones de compra y venta: PV - G = Pc

Donde:

• PV : ____________________________ • G : ____________________________ • Pc : ____________________________

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REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.

La suma de los tres términos de una sustracción es 4208. Hallar el minuendo.

6.

Si el C.A. de abc es 327; hallar: a + b + c.

2.

Los tres términos de una sustracción al sumarse da 2040. Hallar el minuendo.

7.

Si el C.A. de 8ab8 es cd4 a ; hallar: a + b + c + d.

3.

¿Cuál es la diferencia en una sustracción cuya suma de términos sea 8424, sabiendo además que el sustraendo es la cuarta parte del minuendo?

8.

Hallar "x", si: mnp  pnm  x 93 .

4.

En una sustracción, la diferencia de los dos menores términos es 44. Si el minuendo es el cuádruple del sustraendo, hallar el mayor de estos dos términos.

9.

Si se cumple: abc  cba  2mn ; hallar: m + n.

5.

10. María vende una bicicleta por S/.750, ganando S/.220. ¿Cuánto le costó la bicicleta?

¿Cuál es el C.A. de 5782?

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DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

La suma de los tres términos de una sustracción es 4800, hallar el minuendo.

2.

¿Cuál es la diferencia, en una sustracción donde la suma de términos es 5400, sabiendo además que el minuendo es el triple del sustraendo?

3.

El complemento aritmético de 2753 es:

4.

El complemento aritmético de 5ab 7 es

6.

Si se cumple: pqr  rqp  7mx hallar: m + x

7.

Víctor vendió un equipo de sonido por S/.970, ganando S/.145. ¿Cuál es el precio de costo del equipo de sonido?

8.

925 453

9.

75683873

10.

23541297

d2cb . Hallar: a + b + c + d

5.

Hallar "a", si: xpc  cpx  29a

DESAFÍO En una sustracción la suma de sus tres términos es 240, y además la diferencia es el triple del sustraendo. Hallar el sustraendo. Pag.11 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Multiplicación y División en N MULTIPLICACIÓN EN N La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse muchas veces. Ejemplo:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 5 = 15

Se repite ____ veces el 3.

SUMANDOS

ELEMENTOS DE LA MULTIPLICACIÓN:

6

12 4 61 492 553

×

3 × 5 5 0 5

7

= 42

Multiplicando Multiplicador ___________________ ___________________ Producto

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN: 1. Propiedad de Clausura. "Si multiplicamos dos o más números naturales, el producto también es otro número natural". Ejemplo: Si: 25  N y 3  N, entonces: 25 × 3 = ____  N es decir:

Si: a

Nyb

N; entonces: (a × b) Pag.12

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N


2. Propiedad Conmutativa. "El orden de los factores no altera el producto". Ejemplo: Si: 12  N y 3  N; entonces: 12 × 3 = ___ × ___ = 36 es decir:

Si: a

Nyb

N; entonces: a × b = b × a

3. Propiedad Asociativa. "Si multiplicamos tres o más factores y juntamos dos sin importar el orden y se reemplaza por el producto parcial, el producto no varia". Ejemplo: Si: 8  N, 3  N y 2  N; entonces: (8 × 3) × 2 = ___ × (___ × ___) es decir:

Si: a

N, b

Nyc

N; entonces: (a × b) × c = a × (b × c)

4. Propiedad del Elemento Neutro o Modulativa. "Cualquier número por UNO es igual al mismo número". Ejemplo: Si: 27  N: entonces: 27 × ___ = 27 es decir:

Si: a

N, entonces: a × 1 = a

5. Propiedad del Elemento Absorvente. "Todo número multiplicado por CERO es igual a CERO". Ejemplo: Si: 43  N, entonces: 43 × ___ = 0 es decir:

Si: a

N, entonces: a × 0 = 0

6. Propiedad Distributiva. a.

Con respecto a la Adición: "El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos

parciales de dicho número por cada uno de los sumandos". Ejemplo: Si: 8  N, 3  N y 7  N, entonces: 8(3 + 7) = 8 × ___ + 8 × ___ = 80 Pag.13 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


es decir:

Si: a

b.

N, b  N y c  N, entonces: a(b + c) = ab + ac

Con respecto a la Sustracción: "El producto de un número por una diferencia es igual a la diferencia de los productos

parciales de dicho número por cada uno de los términos de la sustracción". Ejemplo: Si: 7  N, 23  N y 13  N, entonces: 7(23 - 13) = 7 × ___ - 7 × ___ = 70 es decir:

Si: a

N, b  N y c  N, entonces: a(b - c) = ab - ac

7. Propiedad de Uniformidad. "Si se multiplican miembro a miembro dos o más igualdades, el resultado es otra igualdad". Ejemplo: Si: a = 5 y b = 3, entonces: ___ × ___ = ___ × ___ es decir:

Si: a = a1 y b = b1, entonces: a × b = a 1 × b1 8. Propiedad de Monotomia. a.

"Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número natural, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". Ejemplo: Si: 5 < 7, entonces: ___ × 5 < ___ × 7 es decir:

Si: a < b, entonces: a × c < b × c

b.

"Si se multiplican miembro o miembro dos o más desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". Ejemplo: Si: 3 < 6 y 2 < 5; entonces: ___ × ___ < ___ × ___ es decir:

Si: a < b, c < d; entonces: a × c < b × d Pag.14 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.

2.

Completa el nombre de las propiedades: a.

3×1=3

_______________________

b.

4(5 + 45) = 4 × 5 + 4 × 45

_______________________

c.

8×0=0

_______________________

d.

7×3=3×7

_______________________

e.

23 × 2 = 46

_______________________

f.

(7 × 5) × 9 = 7 × (5 × 9)

_______________________

g.

5(3 - 2) = 5 × 3 - 5 × 2

_______________________

h.

b = 11;c = 5  b × c = 55

_______________________

i.

7<97×3<9×3

_______________________

j.

5<7y3<85×3<7×8

_______________________

Métodos prácticos para multiplicar utilizando las propiedades. a.

b.

Hallar 2 números que multiplicados resultan: •

36 = 12 × 3 = ___ × ___ = ___ × ___

100 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___

60 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___

72 = = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___

Calcular mentalmente, agrupando factores potencia de 10. Ejemplo: 2 × 3 × 5 × 7 =

(2 × 5) × (3 × 7) 10

×

21

= 210

3×5×8×2=

2×7×5×4=

7 × 25 × 8 × 4 =

5×9×2×3=

4 × 3 × 25 × 7 =

25 × 7 × 4 × 5 =

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c.

Calcular mentalmente el siguiente producto: 7 × 32 = 7 × (30 + 2) = 7 × 30 + 7 × 2 = 210 + 14 = 224

Ejemplo: 7 × 32

d.

8 + 32 =

9 × 52 =

6 × 85 =

7 × 51 =

9 × 35 =

5 × 94 =

Calcular mentalmente el siguiente producto:

8 × 19 = 8 × (20 - 1)

Ejemplo: 8 × 19

= 160 - 8 = 152

e.

7 × 19 =

4 × 18 =

6 × 49 =

5 × 19 =

5 × 18 =

8 × 49 =

Resolver las operaciones sacando el factor común:

2×5+3×5+5×5

Ejemplo: 2 × 5 + 3 × 5 + 5 × 5 =

5(2 + 3 + 5) 5(10) = 50

3.

3 × 5 + 3 × 7 + 3 × 18 =

8 × 19 + 8 × 3 + 8 × 8 =

9 × 43 + 9 × 27 - 9 × 70 =

a × 7 + a × 3 - a × 10 =

8a - 4b =

ab - ac + a × a =

Efectuar las siguientes multiplicaciones: •

234 × 56 =

• Pag.16

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597 × 308 =


4.

Resolver las siguientes multiplicaciones: a.

Se compraron 9 libros a S/.2 cada uno, 6 lapiceros a S/.1 cada uno y 4 plumas fuentes a S/.3 cada una. Si se vende todo por S/.20, ¿cuánto se pierde?

b.

Un empresario ocupa los servicios de 10 obreros durante dos semanas pagándoles dominical. Si a 6 de ellos les paga S/.12 diarios y S/.10, a cada uno de los restantes, ¿cuánto desembolsa el día del pago?

c.

Compre 120 caballos a S/.200 cada uno, 50 se murieron y el resto los vendí a S/ .229 cada caballo, ¿cuánto gané o perdí?

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

2.

Completa el nombre de las propiedades: a.

3×0=0

( )

Propiedad Conmutativa

b.

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

( )

Propiedad del Elemento Neutro

c.

3×1=3

( )

Propiedad Asociativa

d.

5(7 + 2) = 5 × 7 + 5 × 2

( )

Propiedad de Clausura

e.

25 × 4 = 100

( )

Propiedad Distributiva (+)

f.

6(9 - 4) = 6 × 9 - 6 × 4

( )

Propiedad Uniformidad

g.

9×8=8×9

( )

Propiedad de Monomomía (a)

h.

x = 4; y = 7  x.y = 28

( )

Propiedad Distributiva (-)

i.

10 < 11  3 × 10 < 3 × 11

( )

Propiedad de Monotomía (b)

j.

2 < 3; 5 < 6  2 × 5 < 3 × 6

( )

Propiedad del Elemento Absorvente

Resolver las siguientes multiplicaciones: a.

2×7×8×5=

b.

9×2×8×5=

c.

25 × 6 × 4 × 7 =

d.

7 × 25 × 9 × 4 =

e.

8 × 27 =

f.

9 × 52 =

g.

7 × 19 =

h.

6 × 39 =

i.

3×2+3×5-3×6=

j. Pag.17

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5 × 29 + 5 × 21 - 5 × 49 =


3.

Resolver el siguiente problema: Nataly venden 60 docenas de platos y hace 2 entregas: - La primera de 170 platos. - La segunda de 180 platos. ¿Cuántos platos le falta entregar? Dato: 1 docena = 12 unidades

DESAFIO Un padre reparte su herencia de la siguiente manera: A Luis le toca $9800, a Juan $200 más que Luis, a María $300 menos que a Luis y a Arturo tanto como a los tres anteriores. ¿Cuánto dinero repartió el padre?

Pag.18 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


DIVISIÓN EN N "La división es una operación inversa a la multiplicación". ELEMENTOS DE LA DIVISIÓN:

32

8

=

4

Veamos qué sucede al multiplicar el divisor por el cociente:

Si:

32  4 ; entonces: 32 = 8 × 4 2

Es decir: El "Algoritmo de la división" es:

Si:

D = q; entonces: D = d × q d

Nota: "32 contiene cuatro veces al divisor 8".

 El cociente (q) indica cuántas veces el divisor (d) está contenido en D. TIPOS DE DIVISIÓN: 1. División exacta. Es cuando en la división el residuo es igual a CERO. Ejemplo: Si: 54 9 54 6

; entonces : 54 = 9 × 6 + 0 donde : "el residuo es igual a CERO"

es decir: Si: D

d q

; entonces: D = d × q

r Pag.19 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

donde: "r = 0"


2. División inexacta. Es cuando en la división el residuo es diferente de CERO. Ejemplo:

Si: 45 6 42 7 3

; entonces : 45 = 6 × 7 + 3 donde : "el residuo es igual a 3"

es decir: Si: D

d q

; entonces: D = d × q + r

donde: "r

0"

r

Nota: El residuo siempre va a ser menor que el dividendo

REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1.

Hallar en cada caso el elemento que falta: a.

D = 85 ; q = 9 ;

d=9;

r = ____

b.

d = 11

; q=3 ;

r=8 ;

D = ____

c.

D = 215 ; q = 21 ;

r=5 ;

d = ____

d.

D = 420 ; d = 32 ;

r=4 ;

q = ____

2.

Si el cociente de una división exacta es 853 y el divisor 23, ¿cuál es el dividendo?

3.

Se reparten S/.741 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca S/.57, ¿cuántas eran las personas?

4.

¿Por qué número hay que dividir a 15 470 para que el cociente sea 17?

5.

Valeria repartió cierto número de caramelos entre 19 personas y después de dar 7 caramelos a cada persona sobraron 6 caramelos. ¿Cuántos caramelos habían?

6.

Vanesa repartió 260 lápices entre sus 47 amiguitos en partes iguales, le sobraron 25 lápices. ¿Cuántos lápices repartió Vanesa a cada uno de sus amigos?

7.

Esteban tenía S/.165 y lo repartió a cierto número de personas. Si a cada uno le repartió S/.23 y le sobraron S/.44, ¿cuántas personas habían? Pag.20

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8.

En una división el cociente es 25, el divisor es 30 y el residuo es la mitad del divisor. Encontrar el dividendo.

9.

Un muchacho compra el mismo número de lápices que de lapiceros por S/.90. Cada lápiz vale S/.3 y cada lapicero S/.7. ¿Cuántos lápices y lapiceros ha comprado?

10. Si al dividir "n" entre 137 el cociente es el duplo del divisor. ¿Qué número es "n"?

DEMUESTA LO APRENDIDO 1.

Hallar el valor que falta: a.

D = 83

; d=9 ;

q=9 ;

r = ____

b.

D = 1 874; d = 80 ;

r = 34 ;

q = ____

c.

D = 102 ; r = 10 ;

q = 23 ;

d = ____

d.

d=8

q = 11 ;

D = ____

; r=3

;

2.

Si 14 libros cuestan S/.84, ¿cuánto costarían 9 libros?

3.

En una división el dividendo es 72, hallar el divisor sabiendo que el cociente y el residuo son iguales a 4.

4.

Tenía S/.2 500, compré víveres por un valor de S/.700 y con el resto compré sacos de arroz a S/.60 el saco. ¿Cuántos sacos de arroz compré?

5.

Si al dividir "x" entre 109 el cociente es el doble del divisor, ¿qué número es "x"?

6.

Se reparten S/.731 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca S/.43. ¿Cuántas eran las personas?

7.

En una división el cociente es 35, el divisor 40 y el residuo es la mitad del divisor. Encontrar el dividendo.

DESAFIO En una división el dividendo es 625 y además se sabe que el divisor es el cubo del cociente. Hallar el divisor. Pag.21 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Números enteros (Z) Son aquellos números positivos y negativos que no tienen parte decimal, incluido el cero.

-2

-1

Ejemplos:

-5

6

2

+4; +3; -5; 9; -3; 0; -10

5

3

4

N

Z

-4

-6

-3

Los números enteros se representan en una recta numérica:

... -6

*

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

...

Recordemos que el "0" no tiene signo positivo ni negativo.

1. VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO. Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde: -

Ambos autos parten de un mismo lugar.

-

Viajan en sentido contrario. Viajan a una misma velocidad. ¿La distancia recorrida por los autos para un mismo tiempo será la misma? Rpta.: ___________________

Partida Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de dicho número a cero. Pag.22 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Ejemplo: Observa detenidamente la figura:

... -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 ...

De la figura podemos observar lo siguiente: a.

|-3| = 3, se lee: valor absoluto de "-3" es 3.

b.

|+3| = 3, se lee: valor absoluto de "+3" es 3.

c.

|-7| = 7, se lee: valor absoluto de "-7" es 7.

d.

|+9| = 9, se lee: valor absoluto de "+9" es 9.

2. EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO. Es el número entero cambiado de signo, por ejemplo: •

El opuesto de +7 es -7

El opuesto de -3 es +3

El opuesto de 5 es -5

El opuesto de -1 es +1

3. RELACIÓN DE ORDEN (>, <, =). a.

Un número entero es mayor que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la recta numérica.

b.

Todo número entero positivo es mayor que su antecesor.

c.

Todo número entero negativo es menor que su sucesor.

Ejemplos: * * * *

6 es mayor que 1, porque: +1

+6

0

+4

-3

0

-6

-2

4 es mayor que 0, porque: 0 es mayor que -3, porque: -2 es mayor que -6, porque: Pag.23

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4. DESPLAZAMIENTOS SOBRE LA RECTA NUMÉRICA. Reglas de juego *

Números negativos, indicarán movimientos hacia la izquierda de la recta, con respecto a cero.

*

Números positivos, indicarán movimientos hacia la derecha de la recta, con respecto a cero.

*

El punto de partida es cero "0".

Ejemplo: Representar sobre la recta: - 2 - 5 + 17

3° 2°

-9

-8

-7

-6

-4

-5

1° -3

-2

-1

0

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

+9

+ 10

+ 11 + 12 + 13

5 Partida 2

Llegada

Representar:

a.

b.

c.

d.

e.

-2 - 3 - 1 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 + 5 + 4

5-2-1+3

+4 - 5 - 2

+8 - 2 - 4 Pag.24

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¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1.

2.

3.

Indica en los cuadrados si es ">", "<" o "="; en cada uno de los siguientes casos:

a.

0

1

e.

4

0

b.

-8

0

f.

|-3|

c.

5

+5

g.

0

-4

d.

|-1|

0

h.

0

-60

+3

Completa las siguientes expresiones: a.

36 es opuesto de: ______

e.

El valor absoluto de -4 es: ______

b.

-73 es opuesto de: ______

f.

El valor absoluto de: +35 es: ______

c.

+82 es opuesto de: ______

g.

El valor absoluto de -1 es: ______

d.

5 es opuesto de: ______

h.

El valor absoluto de 14 es: ______

Coloca (V), si la afirmación es verdadera y (F), si es falsa. a.

El opuesto de un número entero negativo es negativo.

(

)

b.

El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo.

(

)

c.

La distancia entre dos números opuestos es el doble de la distancia entre uno de los números y el cero.

(

)

d.

El valor absoluto de un número entero siempre es positivo.

(

)

e.

El opuesto de un número entero negativo es positivo.

(

)

f.

La suma de los valores absolutos de dos números opuestos es cero.

(

)

Pag.25 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


4.

Traza una recta numérica para cada caso y marca en ella los números opuestos correspondientes. (En el cuaderno). a.

-5;+5

b.

+6;-6

c.

-7;+7

d.

8;-8

e.

-3;3

Recuerda: para - 4 y +4

-4 -3

5.

*

0 +1 +2 +3 +4

Completa el siguiente cuadro:

a

6.

-1

>ó<

b

-15

+2

-7

+9

+5

6

-13

15

-100

0

+10

-20

12

-22

4

-8

-7

-7

-14

+14

-1

0

-101

-3

16

+16

-54

52

18

-36

|a|

>, < ó =

|b|

|a| + |b|

En tu cuaderno traza una recta numérica y representa en ella lo siguiente: a.

-8+5

c.

-7-2

b.

+ 4 - 10

d.

+5+3

Pag.26 Observa la siguiente información y responde las interrogantes:

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Temperatura Ciudad Abadia Iquedia Calmadia Antofadia Capia Vallenilla La Serilla Valpedia Pudalia Quintanilla Juantorena Cursima Chillido Conexión Temblido Valdivia Osodio Puertilla Copadirma Balmadia Puntillas 7.

Mínima 14.0ºC 12.1ºC -0.8ºC 13.8ºC 5.5ºC 10.0ºC 7.9ºC 11.8ºC 5.3ºC 7.2ºC 17.9ºC 11.7ºC 14.2ºC 13.4ºC 14.6ºC 7.8ºC 7.0ºC 6.2ºC -3.8ºC -8.1ºC 0.0ºC

Máxima 19.1ºC 17.8ºC 22.7ºC 18.1ºC 21.3ºC 20.0ºC 13.1ºC 13.6ºC 23.6ºC 23.8ºC 18.7ºC 19.6ºC 17.2ºC 14.7ºC 18.8ºC 17.4ºC 16.0ºC 14.6ºC 2.8ºC 1.3ºC 6.3ºC

¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más baja? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el signo negativo en ese caso? ¿Qué indica el número (valor numérico)?

8.

¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más alta? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el número (valor numérico)? ¿Por qué no tiene signo? Si tuvieras que ponerle un signo, ¿cuál le pondrías?

9.

¿Qué indica el cero en esa información? ¿Qué relación tiene el cero con las temperaturas con signo negativo? y ¿el cero lleva signo?

Pag.27 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


10 Resuelve: a.

|-4| × |2| + |-8|

b.

|-6| × |-3| + |16|

c.

|-18|  |-3| -

d.

| 10 |  | 2 | | 5 |

| 4 |

MIS APUNTES:

Pag.28 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

2.

3.

Escribe en cada cuadrado, si es "<", ">" o "=", según convenga:

a.

|-3|

-3

e.

|-48|

48

b.

-1

|1|

f.

+35

35

c.

-2

-38

g.

-8

|+8|

Completa las expresiones siguientes: a.

-8 es opuesto de: ______

d.

El valor absoluto de -5 es: ______

b.

36 es opuesto de: ______

e.

El valor absoluto de 13 es: ______

c.

+15 es opuesto de: ______

f.

El valor absoluto de +14 es: ______

Determina los siguientes conjuntos por extensión: a.

A = {x/x  Z, x < 1} A = {___________________________________}

b.

B = {x  Z/x > -4} B = {___________________________________}

c.

C = {x/x  Z, -8 < x < 8} C = {___________________________________}

d.

D = {x/x  Z, -1 < x} D = {___________________________________}

4.

Traza una recta numérica para cada caso y representa en ella: a.

+7-6

b.

-8 +8

c.

- 10 - 2

d. + 3 + 12 Pag.29

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5.

6.

Ordena los siguientes números enteros en la recta numérica: a.

-7 ; +6 ; 0 ; -1

b.

-10 ; -12 ; -13

c.

-20 ; - 10 ; -6 ; 1

d.

-27 ; -21 ; 1

e.

-10; +2 ; +5; -1

f.

+15 ; -13 ; -14 ; 0

g.

-17 ; +16 ; -15 ; 0

h.

+8 ; -5 ; -4 ; +3

b.

 | 5 |  | 25 |    | 3 |  

Resuelve los siguientes ejercicios:

a.

*

| 7 |  |  18 |  |  3 |  |  100 | | 6 |  |  5 |

2

Un submarino se encuentra sumergido a 50 metros de la superficie, luego realiza los siguientes movimientos: a. b. c.

Primer movimiento: desciende 120 metros. Segundo movimiento: asciende 70 metros. Tercer movimiento: desciende 50 metros.

7.

Luego del primer movimiento, ¿a cuántos metros de profundidad se encuentra el submarino?

8.

Luego del segundo movimiento ¿a cuántos metros de la superficie se encuentra el submarino?

9.

Luego del tercer movimiento, ¿cuál es la distancia que separa el submarino de la superficie?

10. ¿Cuál es la mayor profundidad alcanzada por el submarino? ¿En qué movimiento?

DESAFÍO Considera un número entero "x" y realiza con él las siguientes operaciones sucesivas: multiplícalo por 2, súmale 1, multiplícalo por 3 y réstale 5. Si el resultado final fue 220, el valor de "x" es: A . Un número primo. C. Un número entre 40 y 50. E.

B. Un número par. D. Un número múltiplo de 3.

Un número cuya suma de dígitos es 9.

Pag.30 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Sudoku El objetivo es rellenar una cuadrícula de 9×9 celdas, dividida en sub cuadrículas de 3×3 con las cifras del 1 al 9, partiendo de algunos números ya dispuestos en algunas de las celdas. No se debe repetir ningún número en una misma fila, columna o sub cuadrícula.

Pag.31 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Adición y sustracción de números enteros Sabías que ... La primera consideración sobre el número negativo no llega a Occidente hasta el siglo XVI; sin embargo, en Oriente, durante el siglo IV, ya se manipulaban números positivos y negativos en los ábacos, usando bolas de diferentes colores. ADICIÓN a.

b.

Sumandos del mismo signo: Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo. Ejemplo: a.

(+3) + (+7) + (+10) =

b.

(-7) + (-3) + (-2) =

Sumandos de signos diferentes: Se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del sumando de mayor valor absoluto. Ejemplo: a.

(-16) + (+2) =

b.

(+30) + (-16) =

SUSTRACCIÓN Para restar dos números enteros se suman el minuendo con el opuesto del sustraendo, es decir "se transforma la resta en suma". Ejemplo: a.

(-2) - (-3) =

b.

(+10) - (-4) =

Recuerda • El valor absoluto de un número es el valor del mismo prescidiendo de su signo. • (+4) + (-6) = 4 - 6 (-3) + (-8) = -3 - 8

Pag.32 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1.

2.

3.

4.

Sumar los siguientes números enteros: a.

8;7

 8 + 7 = 15

b.

2;-1

 __________________________________

c.

-3;-4

 __________________________________

d.

+6;-8

 __________________________________

e.

+ 10 ; + 2  __________________________________

f.

-7;+2

 __________________________________

g.

-3;-1

 __________________________________

h.

-7;+9

 __________________________________

Escribir ">", "<" o "=", según corresponde. a.

(-9) - (-4) ______ (-3) - (+6)

b.

(-8) - (+13) ______ (-7) - (+14)

c.

(-18) - (-6) ______ (-9) - (+3)

d.

(-20) - (+33) ______ (+18) - (-36)

e.

(+65) - (+7) ______ (-7) - (-65)

Efectuar las siguientes restas de números enteros: a.

(12) - (+7)

b.

(15) - (8)

c.

(-36) - (+23)

d.

(-36) - (-11)

e.

(-25) - (35)

f.

(-100) - (-100)

g.

(+8) - (-8)

g.

(+9) - (+9)

Afina tu cálculo mental. a.

+4+6+9=

b.

-8-3-6=

c.

+ 11 + 15 + 12 =

d.

- 5 - 12 - 9 =

e.

- 5 + 16 - 14 = Pag.33

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5.

Completa la tabla y continúa desarrollando. a

b

c

-1

3

-2

+4

-2

5

-6

+1

4

(a + b)

(b - c)

(a + c)

(c - a)

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Halla en tu cuaderno el resultado de las siguientes operaciones: a.

- 4 - 7 + 13 - 9

Rpta.: -7

b.

- 13 + 14 + 27 - 18 - 38

Rpta.: -28

c.

53 - 28 + 39 - 47 + 18

Rpta.: 35

d.

- 68 + 4 - 73 - 52 + 106

Rpta.: -83

e.

75 - 49 - 32 + 92 + 18 - 20

Rpta.: 84

f.

36 + 13 + 47 - 12

Rpta.: 84

g.

- 73 + 26 - 14 - 37 + 41

Rpta.: -57

h.

45 + 80 - 5 - 6

Rpta.: 114

i.

- 8 - 16 + 10 - 40

Rpta.: -54

j.

- 10 - 15 + 35 - 14

Rpta.: -4

DESAFIO: La rana obstinada. Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 30m de hondo. En su intento por salir, la obstinada rana conseguía subir 3 metros cada día pero por la noche resbalaba y bajaba dos metros. ¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del pozo?

Pag.34 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros, debemos realizar los siguientes pasos. Ejemplo: *

Efectuar: P = (+7) + (-2) - (+4) + (+10) - (-3) Primero : Transformamos las sustracciones en adiciones por el opuesto: P = (+7) + (-2) + (-4) + (+10) + (3) Segundo : Escribimos los enteros positivos como números naturales: P = (7) + (-2) + (-4) + (10) + (3) Tercero

: Suprimimos los paréntesis: P = 7 - 2 - 4 + 10 + 3

Cuarto

: Agrupamos los números positivos y los números negativos: P = 7 + 10 + 3 - 2 - 4

Quinto

: Sumamos los positivos y los negativos por separado: P = +20 - 6 P = +14

Pag.35 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


DEMUESTRA LO APRENDIDO I.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a.

(-5) + (-2) - (-1) + (+4) - (+6)

b.

(-7) - (+2) + (+8) - (-4)

c.

(-10) + (-2) + (-7)

d.

(-12) + (-11) - (+10) - (-3)

Pag.36 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


e.

(-6) - (-3) + (-2) - (-8)

f.

(-5) + (+8) - (-3) - (+2)

g.

(-4) - (+7) + (-1) - (+10)

h.

(-9) + (-10) - (-11) - (-1)

i.

(+5) - (+3) + (+2) - (+30)

Pag.37 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Multiplicación y división de números enteros Sabías que ... Los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes, hacia el año 650 d.C., el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero.

MULTIPLICACIÓN

(+) (+) = +

(+) (-) = -

Ejemplo:

(-) (-) = +

(-) (+ ) = -

a. (+10) (+20) = b. (-5) (-9) = c. (-2) (+4) = d. (+6) (-2) =

DIVISIÓN

(+)  (+) = +

(+)  (-) = -

Ejemplo:

(-) (-) = +

(- )  ( + ) = -

a. (+100) (+2) = b. (-8) (-1) = c. (+15)  (-3) = d. (-16)  (+4) =

Recuerda • En la multiplicación o división de dos números de igual signo, el resultado •

siempre será un número positivo. En la multiplicación o división de dos números de diferentes signos, el resultado siempre será un número negativo. Pag.38

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¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1.

2.

3.

Realiza las siguientes multiplicaciones: a.

(+3) (+5)

f.

(+40) (+7)

b.

(+8) (-1)

g.

(-1) (-1)

c.

(-5) (-4)

h.

(5) (-3)

d.

(-1) (+78)

i.

(9) (-10)

e.

(+12) (-12)

j.

-9 (-8)

Realiza las siguientes divisiones: a.

14  2

f.

(-1)  (-1)

b.

(-12)  (-4)

g.

(-8)  (+8)

c.

20  (-5)

h.

(+25)  (-5)

d.

(-30)  6

i.

(+100)  (+10)

e.

(-10)  (-2)

j.

(-144)  (+12)

Completa la siguiente tabla:

a

b

-8

a×b

ab

a

b

2

+32

-8

-4

-1

-44

+11

+10

-5

+64

-4

+18

-9

-36

-9

-3

+3

+11

-11

Pag.39 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

a×b

ab


4.

Colorea los triángulos; de color rojo los productos positivos y de color azul los productos negativos:

(+4)(-5)

(-6)(3)

(-8)(4) 20 (+4)

(-7)(+13)

(-10)(-2)

5.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a.

- 5 × 3 + 8 - (4 - 1 × 5)

b.

- 12 × [ - 6 - 10 × ( - 2 - 3)]

c.

- 3 (4 - 2 + 5)

d.

- 15 ( - 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 (8))]

Pag.40 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Si: A = (-8) (+2) - 3 B = (+4) (-2) + 4 C =(50)  (-2) - 6 Halla:

2.

a.

A+B+C

Rpta.: -44

b.

A×B-C

Rpta.: -45

c.

2B - 3A

Rpta.: 49

d.

2A × B

Rpta.: 152

e.

A-B-C

Rpta.: 16

Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno: a.

-5+4×3

Rpta.: 27

b.

6-2×5

Rpta.: -4

c.

32 - 40 × 5 + 128

Rpta.: -40

d.

(8 - 3) × 4 - 1

Rpta.: 19

e.

(- 13 + 6) × (-3) + 4 (-1)

Rpta.: 17

DESAFÍO: El lechero ingenioso. Un lechero dispone de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?

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El conjunto de los números racionales 1. Construcción del conjunto de los números racionales. Los números enteros y los fraccionarios pasan a integrar el conjunto de los números racionales, que se simbolizan por una "Q".

Z

Fracciones = Q

Gráficamente: Q

1 3

Z N

-2

-1

0

1

2

-3 -3 4

N : Conjunto de los números naturales. Z : Conjunto de los números enteros. Q : Conjunto de los números racionales.

1 4

3

5 3

-2 7

2. Representación de Q en la recta numérica. Sabemos que el conjunto Z se representa en la recta numérica así: -3

-2

-1

0

1

2

3

También las fracciones pueden ser ubicadas en la recta numérica, sea por las divisiones sucesivas (de mitad en mitad) o por el uso de las escuadras y el compás para dividir un segmento de recta. -1

-3 4

-1 2

-1 4

1 4

0

-4 5

-3 5

-2 5

-1 5

-8 10

-6 10

-4 10

-2 10

Pag.42 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

1 5 2 10

1 2

2 5 4 10

3 4

3 5 6 10

1

4 5 8 10


De la gráfica se define que: I.

Las subdivisiones de la recta numérica son infinitas.

II. Entre dos números racionales siempre será posible hallar al menos otro número racional. III. No es posible hallar el siguiente o el anterior valor de un número racional cualesquiera. IV. Un mismo punto en la recta numérica puede ser representado por varias fracciones que son equivalentes entre sí. Por lo que se afirma que el conjunto de dichas fracciones (clases de equivalencia) representa al Número Racional respectivo. 3. Densidad en el conjunto de los números racionales. Esta propiedad de densidad en Q, no la poseen los conjuntos N y Z. "Dados dos números racionales diferentes, siempre se puede encontrar otro número racional cuyo valor esté comprendido entre ambos" En forma general: Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

RELACIÓN DE ORDEN DE UN NÚMERO FRACCIONARIO (>, <, =) A . Dados dos números fraccionarios tales como se cumple: a.d = b.c Ejemplos:

8 4  ya que: 8 × 3 = 6 × 4 6 3

6 10  ya que: 6 × 5 = 3 × 10 3 5

5 30  ya que: 5 × 12 = 2 × 30 2 12 Pag.43

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a c a c y  , podemos afirmar que: si b d b d


B.

Dados dos números fraccionarios, podemos determinar que uno es mayor o menor que otro, usando la regla de los productos cruzados. Ejemplos:

8 × 11 > 9 × 7 •

11 9

7 8

entonces:

11 > 9

7 8

4×6<8×7 •

4 8

7 6

entonces:

4 < 8

7 6

12 × 4 < 8 × 20 •

12 8

20 4

entonces:

12 20 < 8 4

¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no. 1 2

3

-2

-

3 5

0

21 3

-

16 4

1 8

-4

-

2 3

N Z Q

2.

Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=".

a.

b.

c.

d.

3 5  4 6

porque: 3 × 6 < 4 × 5

9

3

8

12

7

8

8

10

8

6

4

3

_______________________________________

_______________________________________

_______________________________________ Pag.44

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e.

f. 3.

5

25

2

60

6

3

5

15

_______________________________________

_______________________________________

Completar con ">", "<" o "=" según corresponda: 1 2

3 4

4

2 5

7 8

2 3

3 3 6 9 4 5 2 4 6 8 7

4.

5.

6.

¿Cuál de los siguientes números racionales es mayor?

I.

3 7

II.

4 7

III.

2 7

IV.

5 7

V.

6 7

a.

I

b.

II

c.

III

d.

IV

e.

V

¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

I.

11 3

II.

11 5

III.

11 6

IV.

11 8

V.

11 9

a.

I

b.

II

c.

III

d.

IV

e.

V

¿Cuál de las siguientes fracciones es menor?

I.

2 5

II.

6 7

III.

7 8

IV.

9 11

V.

12 13

a.

I

b.

II

c.

III

d.

IV

e.

V

Pag.45 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no pertenencia.

3 5

6

-

2 3

0

7 9

-2

-

4 2

9 3

5 4

-

N Z Q

2.

Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=":

a.

d.

3.

8

12

12

9

2

3 5

2

b.

5

3

13

17

1

e.

7

3

c.

5

f.

4

17 3

7

28

5

20

Completar con ">", "<" o "=" según corresponda:

4 18

2

3 6

2 5 4 6 3 7 2 9 1 5 3

Pag.46 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

5 2

7 3

5

9 2

1 6


4.

5.

6.

¿Cuál de los siguientes números racionales es mayor?

I.

3 8

II.

1 8

III.

5 8

IV.

2 8

V.

7 8

a.

I

b.

II

c.

III

d.

IV

e.

V

¿Cuál de las siguientes fracciones es menor?

I.

17 4

II.

17 2

III.

17 5

IV.

17 3

V.

17 8

a.

I

b.

II

c.

III

d.

IV

e.

V

¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

I.

3 5

II.

5 8

III.

3 11

IV.

4 6

V.

2 7

a.

I

b.

II

c.

III

d.

IV

e.

V.

Pag.47 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Operaciones con fracciones Con las fracciones se pueden realizar las operaciones que hemos aprendido a efectuar con números enteros: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación. I.

ADICIÓN. Para efectuar la suma o adición de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados.

A. Método del mínimo común múltiplo. •

Hallamos el m.c.m de los denominadores y lo escribimos como denominador del resultado.

Para hallar el numerador dividimos el m.c.m. entre cada denominador y luego se multiplica por el respectivo numerador.

Finalmente se suma en el numerador.

Ejemplo:

3

×

2 3

3

+

5

+

7 30

=

2 × 10 + 3 × 6 + 7 × 1 30

=

20 + 18 + 7 30

=

45 30 2

Calculando el m.c.m. 3

5

30

3

1

5

10

2

1

5

5

5

1

1

1

m.c.m. [3;5;30] = 3 × 2 × 5 = 30

Pag.48 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

=

3 2


B. Regla de productos cruzados. Esta es una regla práctica, recomendable para sumar dos fracciones de términos pequeños.

a b

c

+

a×d+b×c

=

d

b×d

×

Ejemplo:

1 3 1  7  5  3 7  15 22     5 7 57 35 35

¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones:

+ 1 3 1 5

2.

1 2

1 7

2 3

Calcular "A + B", si:

A

a. 3.

3 4

2 1 1  ; B2 3 5 3

12 5

b.

4 9

c.

16 5

d.

12 8

e.

5 5

73 72

e.

31 72

Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar:

5 2 3   12 9 8

a. 4.

19 72

b.

23 72

c.

49 72

Efectuar la siguiente operación:

3

1 1 7 2 3 Pag.49

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d.


a. 5.

53 6

b.

59 6

65 6

c.

68 6

d.

e.

69 6

e.

4

Completar con los signos ">" o "<", según corresponda:

I.

III.

1

+

2

2

5

3

6

1

1

7

9

+

1

IV.

8

1

2

II.

2

4

1 2

+

2 3

+

1

1

3

3

1 3

1

+

4

¿Cuántos signos ">" salen? a.

0

b.

1

c.

2

d.

3

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones:

+ 2 5 3 4

2.

1 3

2 5

5 4

Calcular "A + B", si:

A3

a. 3.

1 2

2 1 1  ; B 1 4 4 4

4

b.

3

2 4

c.

4

3 4

d.

5

e.

6

64 36

e.

72 18

Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar:

2

a.

1 4 5   3 9 6

48 18

b.

42 36

c.

65 18

Pag.50 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

d.


4.

Efectuar la siguiente operación:

2

a. 5.

3 2 1 5 5

3

b.

3

2 5

c.

4

1 5

d.

4

e.

5

e.

4

Completar con los signos ">" o "<" según corresponda:

I.

III.

5 8

+

7

4

8

5

3

2

5

3

+

II.

1

IV.

4

3 2 3

1

1

2 +

3 4

+

1

1

5

3

1 4 +

2 5

¿Cuántos signos ">" salen? a.

0

b.

1

c.

2

d.

3

DESAFÍO Un caño puede llenar un depósito en 10 minutos y otro caño puede llenar el mismo depósito en 20 minutos. ¿En cuántos minutos se puede llenar un depósito si abrimos al mismo tiempo los dos caños?

a.

16 3

b.

18 3

c.

7

Pag.51 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

d.

20 3

e.

9


II. SUSTRACCIÓN. Para efectuar la sustracción de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados. Ejemplo: Resolver aplicando el método del mínimo común múltiplo. 4

×

4

4

-

6

10

=

4×5-4×3 30

=

20 - 12 30

=

8

=

30

4 15

15

Calculando el m.c.m. 6

10

3

3

5

2

1

5

5

1

1

m.c.m. [2;3;5] = 2 × 3 × 5 = 30 Ejemplo: Resolver aplicando el método del producto en aspa o productos cruzados. 3

6

1

3

-

8

18

4

6

7

3 4

-

1 6

=

3×6-4×1 4×6

=

18 - 4 24

=

14 24

=

7 12

12

×

¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones:

-

1 9

2 7

2 5 1 3

Pag.52 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

1 3

1 4


2.

Calcular "A - B", si:

A2

a. 3.

4.

6 12

4 12

b.

c.

5 12

d.

7 12

e.

9 12

Indicar cuál es la mayor diferencia. I.

3 1  5 2

II.

1 1  3 4

III.

1 1  2 3

a.

I

b.

II

c.

III

d.

I y II

e.

iguales

b.

c.

1 8

d.

1 2

e.

17 4

c.

1 6

d.

3 8

e.

0

Restar: 1

a. 5.

1 3 ; B 1 3 4

3 1 de 2 4 2

3 4

1 2

1 1 1 De:    restar 6 2 3 a.

1 3

2 5

b.

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones:

-

2 5

1 4

8 16

2 6

4 3 5 7

2.

Calcular "A - B", si:

A2

a.

1 2

1 3  ; 2 4

B 1

b.

3 4 3 4

3 2 Pag.53 c.

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d.

1 4

e.

2 3


3.

4.

Indicar cuál es la menor diferencia:

I.

2 1  5 3

II.

4 2  7 6

III.

1 1  4 5

a.

I

b.

II

c.

III

d.

I y III

e.

iguales

b.

4 15

c.

8 5

d.

1 15

e.

3 10

8 12

c.

3 20

d.

3 10

e.

11 20

Restar: 2

a.

5.

3 2 de 2 5 3

3 5

1 3 1 De:    restar 5 5 4

a.

7 10

b.

DESAFÍO Encontrar el número racional entre

1 1 y cuya distancia al primero sea el doble de 7 4

la distancia al segundo.

a.

9 14

b.

7 14

c.

6 14

Pag.54 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

d.

5 14

e.

8 14


III. MULTIPLICACIÓN En la multiplicación de fracciones el numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores, el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores. Es decir: a

c

×

b

a×c

=

d

b×d

Ejemplo: 1 3

12 15

×

6 8

=

3

12 × 6 15 × 8 5

=

1×6 5×2

2

=

3 5

1

¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada:

2 3

× 5 3 1 4

2.

4 7

6 10

Calcular "A × B", si:

A

a. 3.

1 5

3 3 5 3 1 18   ; B   3 5 2 2 9 5 2 3

b.

4 10

c.

3 5

d.

3 10

e.

5 9

1

d.

3 2

e.

1 4

Se sabe que: A

3  1 4 4  1    ; 5  4 3 5

B

1 2 3   2 3 4

calcular: "A × B"

a.

2 5

b.

1 5

c.

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4.

Simplificar:  1  1  1  2    3   1   3  4   3

a. 5.

7 9

b.

11

b.

9 50

8 9

3 28

c.

1

c.

7 25

d.

1 6

e.

10

d.

2 25

e.

1 25

Simplificar:

6 36 12 3    90 15 8 12

a.

3 50

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Completar el siguiente cuadro, simplificando el resultado de la operación indicada.

× 4 3 8 6

2.

21 12

6 8

9 16

4 18 9 5 3 9   ; B   9 6 8 6 10 21 calcular "A × B" Si: A 

a. 3.

15 8

6 56

b.

3 54

c.

9 56

d.

15 56

e.

10 56

2 3

d.

1 4

e.

3 4

Se sabe que: A

2  1 1 6 3 4 5  2    ; B    3  2 4 5 4 5 6

calcular "A × B"

a.

1 2

b.

1 3

c.

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1 9


4.

Simplificar:  2   15   5   3      1   3   16   11 

a. 5.

3

b.

3 5

c.

5

d.

5 6

e.

5 9

4 9

c.

2 9

d.

7 9

e.

6 5

Simplificar:

8 14 36 12 15     27 40 42 18 4

a.

3 5

b.

DESAFÍO

1 1 de su longitud y de su anchura. ¿Qué 4 3 longitud de la tela nueva hace falta emplear para tener 20 metros cuadrados de tela Una tela se encoge al ser mojada

después de mojada? Esta tela antes de ser mojada tenía 8 metros de ancho. a.

2m

b.

3m

c.

4m

d.

5m

e. 6m

IV. DIVISÓN Para dividir una fracción

a c entre otra no nula , equivale a multiplicar la primera b d

a c por la inversa de la segunda . b d

fracción Es decir:

a

c

b

d

a

=

b

×

d c

Ejemplo: 1

4 6

8 9

=

4 6

×

9 8

=

3

4×9 6×8 2

=

3 4

2

Pag.57 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

=

a×d b×c


¡LISTOS, A TRABAJAR! 1.

Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas 3 2

1 2

5 3

6 8

1 2 3 5

2.

Escribir la expresión más simple equivalente a:

7 36 5 18

I.

3.

a.

4 7

II.

45 13 90 11

a.

1 5

b.

7 10

c.

10 7

d.

3 7

e.

2 7

b.

11 26

c.

3 22

d.

22 3

e.

26 11

c.

12 9

d.

15 7

e.

6 9

d.

3

e.

2

Hallar el valor de "A × B"; si:

1 1 1 1   A 2 3; B 7 5 1 1 4 3

a. 4.

8 7

b.

24 7

b.

0

Calcular:

2 3  7 7 5 8 8 7 a.

4

c. 1 Pag.58

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5.

Calcular:  1 4 18 1   6 1 1 15           2 3 2 9 3 4 5 2  a.

5 6

b.

8 9

3 4

c.

d.

9 8

e.

7 3

DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.

Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas: 1 3

2 5

1 2

1 4

3 4 2 3

2.

Escribir la expresión más simple equivalente a:

30 11 36 22 a. 3.

7 10

b.

5 3

c.

10 3

d.

3 10

e.

10 56

c.

4 3

d.

5 2

e.

6 2

d.

29 16

e.

31 16

Reducir a su máxima expresión:

16 3 8 5 a. 4.

10 3

b.

3 10

Hallar el valor de "A + B", si:

1 1  4 5; A 3 10 a.

15 16

1 1  3 4 B 4 9 b.

19 16

27 c. 16 Pag.59

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5.

Resuelve: Q  P

Q

1 7  ; 3 3

a.

16 7

P

2 14  3 6

b.

24 5

c.

12 7

d.

3 4

e.

7 12

DESAFÍO Una fracción se divide por su inversa y da por resultado

144 . Hallar la suma de los 169

términos de la fracción. a.

22

b.

23

c.

25

Pag.60 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

d.

26

e. 27


¡Repasemos lo aprendido! ADICIÓN EN N. 1) Resolver: 109 + 291 + 300 + 150 + 50 2) Hallar el valor de "a": 1a  2a  3a  ...  9a  522

3) Hallar el valor de "a":

1 2 3 9    ....   15 a a a a 4) Resolver: 23 + 71 + 17 + 19 + 20 5) Resolver: 49 + 39 + 21 + 31 SUSTRACCIÓN EN N. 1) La suma de los tres términos de una sustración es 4 820. Hallar el minuendo. 2) La suma de los tres términos de una sustracción es 144 y además el sustraendo es el doble de la diferencia. 3) Hallar el complemento aritmético de 32 517. 4) Hallar el valor de x + y.

pqr rqp xy3 5) Si vendo una casa en $48 000, ganando $1 300, ¿cuánto es el precio de costo de la casa? MULTIPLICACIÓN EN N. 1) Resolver: 357 × 28 3) Resolver: 27a - 9a

2) Resolver: 253 × 908 4) Resolver: 7 × 12 + 7 × 8 - 7 × 19 Pag.61

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5) En la siguiente lista de compras, sacar la cuenta: Precio 2kg pollo

1kg pollo

1

1 leche

1,50

2kg arroz

1kg arroz

1,20

1 kg papa 2

1kg papa

0,80

leche

S/.3,20

DIVISIÓN EN N. 1) Si: D = 347; d = 19; r = 5, hallar el valor de "q". 2) Si: D = 560; r = 8; q = 23, hallar el valor de "d" 3) Se reparten 348 chocolates entre 17 alumnos, si se sabe que fueron repartidos equitativamente y sobraron 8 chocolates. ¿Cuántos chocolates le tocaron a cada uno? 4) Un jarrón se parte en varios pedazos, Ricardo intentando recoger los pedazos, forma tres grupos (grandes, medianos y pequeños). Si se sabe que en cada grupo hay 9 pedazos y además se le perdieron 2 pedazos. ¿En cuántos pedazos se rompió el jarrón? 5) En una división el dividendo es 684, el divisor dos unidades menos que el cociente, el cociente es el triple del residuo. Si se sabe que el residuo es 9, hallar el valor del divisor. NÚMEROS ENTEROS Z. 1) Resolver: 2

a.

 | 10 |  | 2 |    | 5 |  

c.

| 24 |  | 6 |  | 15 |  | 10 | | 3 |

| 4 | 

d.

(| 2 |)2 | 9 |  | 2 |   (| 3 |  | 6 |)2 | 4 | | 4|

2) Hallar el valor de:

A

3 ; si: 14

A

|  8 |  |  3 |  | 1 |  | 1 |  | 5 | | 2 |  | 1 |

| 2 |  | 6 | | 2 |

b.

Pag.62 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


3) Determinar el valor de "2B", donde: B  | 8 |  | 2 | 

|  36 |  | 4 | | 20 |

4) La secuencia "22" se describe a si misma pues ella está formada por exactamente dos 2. Analógicamente la secuencia "31123315" se describe a si misma, pues está formada por exactamente tres 1, un 2, tres 3 y un 5. ¿Cuál de las siguientes secuencias no se describe a si msma? a. c. e.

21322316 3122331719 41322324151618

b. d.

31123318 2132332415

5) ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor absoluto? a. c. e.

10 × 0,001 × 100 100  0,01 0,1 × 0,01 × 10 000

b. d.

0,01  100

10 000 × 100  10

OPERACIONES COMBINADAS. 1) - 15 × (- 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 × 8)] 2) - 3 × [ - 5 + 2 (- 3 + 6 × 8)] + 1 3) 6 ( - 5 - 4) - 8 [4 - (2 × 3 - 5) + 1] 4) [14 ( - 3 ) + 7 (- 2 × 8 + 10) + 1 ] - ( - 3 ) (5 - 4) 5) 1 - 2 {4 + 5 [ 3 - 8 (1 - 6) + 4 - 6 ] - 15} OPERACIONES CON FRACCIONES: Adición.

49 3 km a la derecha de su escuela y Pedro vive a veces esa distancia, 20 7 pero a la izquierda de la misma escuela. ¿Qué distancia hay entre las casas de Andrea y Pedro?

1) Andrea vive a

a.

2km

b.

3

7 2 Pag.63 c.

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d.

4

e.

9 2


2) Una persona gasta la mitad de su dinero en un almacén y

2 de lo que queda en otro 5

almacén. Si después de efectuadas las compras le quedan S/.2400, determinar el dinero que tenía al principio. a.

S/.3600

3) Carlos destina

b.

4000

c.

6000

d.

8000

e.

10000

9 2 del día para trabajar; del día, para transporte y alimentación; y,, 24 12

finalmente, 7 horas, para dormir. ¿Cuántas horas de tiempo libre le quedan? a.

2

b.

3

c.

4

d.

5

e.

6

3 1 de las personas son mujeres, son hombres y el resto son 7 5 niños. ¿Qué fracción del total de personas asistentes no son niños?

4) En una reunión los

a.

11 35

b.

15 35

c.

5) Un campesino tiene tres vacas. Una da 16 por día y otra, 12

a.

29

37 20

18 35

d.

22 35

e.

24 35

1 3 litros de leche por día, otra de 15 litros 2 5

3 . ¿Cuántos litros dan las tres vacas por día? 4

b.

33

37 20

c.

35

37 20

d.

39

37 20

e.

43

37 20

Sustracción. 1) Jessica dibuja dos circunferencias de tal manera que sus centros se encuentran a una

19 7 7 cm. Si los radios de las circunferencias son cm y cm, determinar la 2 3 4 distancia que hay entre los puntos más cercanos de ambas circunferencias. distancia de

a.

55 cm 12

b.

59 12

c.

63 12

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d.

65 12

e.

67 12


2) El perímetro de un triángulo es de 8cm. Si dos de sus lados tienen de longitud

11 10 cm y cm . Hallar la longitud del tercer lado. 6 3 a.

13 6

b.

3) Juan tiene 19

15 6

c.

17 6

d.

19 6

e.

21 6

1 3 años y Andrés 17 años. ¿Cuál es la diferencia de sus edades en 2 5

años?

a.

13 10

b.

15 10

c.

4) La suma de dos números es 20

a.

9

26 35

b.

10

26 35

17 10

d.

19 10

e.

21 10

3 6 y el menor es 8 . ¿Cuál es el mayor de los números? 5 7

c.

11

26 35

d.

12

26 35

e.

13

26 35

3 5 días durante un año, estuvo incapacitado durante 20 12 8 días y el resto de días disfrutó de vacaciones. ¿Cuántos días estuvo de vacaciones? (1 año < > 365 días)

5) Si una persona trabajó 309

a.

251 8

b.

261 8

c.

271 8

d.

281 8

e.

291 8

Multiplicación. 1) Hallar "a + b"; si: 1  1  1  1 1  a   1    1    1    1  .........1   3  4  5  6 21  b   a.

21

b.

22

c.

23

d.

25

e.

26

3

c.

4

d.

5

e.

6

2) Hallar "a - b"; si: 0

30  7  5 b     9 4 a 40

a.

2

b.

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3) Una persona realiza un viaje en automóvil. Si recorre 4

4 km por galón de combustible, 13

determinar la distancia que recorrió si se gastó un total de 11 a.

36km

b.

40

c.

42

d.

1 galones de combustible. 7 48

4) Determinar el perímetro de un cuadrado si la longitud de su lado es de 6 a.

23cm

b.

5) Determinar los a.

24

c.

25

e.

52

3 cm. 4

d.

27

e.

28

3 2 7 de los de los de 150. 4 7 5

25

b.

35

c.

45

d.

55

e.

65

b.

28 30

c.

43 30

d.

46 30

e.

52 30

c.

4

d.

5

e.

6

División. 1) Hallar "S"

1

S 1 2

1 3

a.

17 30

1 4

2) Hallar "F"

 12   (5)  (10)    3  F 15   (3) 3 a.

2

b.

3

3) El producto de dos números racionales es 

2 5 . Si uno de ellos es  , determinar el 3 8

otro número racional.

a.

12 15

b.

14 15

c.

16 15

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d.

17 15

e.

18 15


4) Mónica recorre

a. 5.

2s

80 4 m/s. ¿Cuánto tiempo empleará para recorrer una pista de 26 m? 9 6 b.

3s

c.

4s

d.

5s

e.

6s

Si un obrero demora 28 días para realizar una obra completamente. ¿Qué parte de la obra realiza en cuatro días y medio?

a.

4 56

b.

6 56

c.

7 56

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d.

9 56

e.

12 56


GRUPO PITÁGORAS

ÁLGEBRA I BIMESTRE

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ÍNDICE

Pág.

Introducción ................................ 77 Operaciones combinadas en N ................... 81 Operaciones combinadas en Q................... 85 Potenciación I ............................... 87 Potenciación II............................... 93 Radicación I ................................ 95 Radicación II ................................ 99 Operaciones combinadas con potenciación y radicación ............................ 101

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Introducción ¿Qué conoces acerca del origen de la palabra Álgebra? El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comunmente llamado ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú, escribe su famoso libro "AL DJABR W'AL MUKABALA" que quiere decir "Transposición y Reducción de términos semejantes". Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte para llamar simplemente "Al djabr", o sea Álgebra, a la teoría de las ecuaciones. ¿Quién fue el principal forjador del Álgebra moderna?

PACCIOLI (1445 - 1519) Estuvo muy ligado al arte y a la técnica renacentista italiana; en 1494 publica su monumental obra "Summa de Aritmética,

Álgebra

y

Geometría", en la cual vuelca cuidadosa y detalladamente todo

el

conocimiento

matemático hasta entonces desarrollado, y cuya rápida difusión fue el inicio de un nuevo florecimiento del Álgebra. Paccioli también se adelantó con esta obra a dar una visión de los progresos que en los siglos posteriores se llegarían a hacer.

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SIMBOLOGÍA ALGEBRAICA SÍMBOLO ×;•;( )

SIGNIFICADO Operadores de la multiplicación. Operadores de la división. Operador radical.

( );[ ];{ }

Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves, respectivamente.

M(x;y) = 2xy2

Monomio de variables "x" e "y".

P(x) = x2 + 2x + 1

Polinomio de variable "x".

x

Variable, es decir letra que puede tomar varios valores. Para todo. Diferente.

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EJERCICIOS Utilizando los operadores de multiplicación y división, efectuar:

*

La multiplicación de 3 por 8 se escribe:

*

3 × 8 = 24

La división de 14 entre 2 se escribe:

14  2 = 7

3 . 8 = 24

14 : 2 = 7

(3 × 8) = 24

14 7 2

Completa según los ejemplos anteriores:

I.

II.

La multiplicación de 5 por 7

A.

La división de 35 entre 5

se escribe: _______ = _______

se escribe: _______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

La multiplicación de 9 por 8

B.

La división de 48 entre 6

se escribe: _______ = _______

se escribe: _______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

III. La multiplicación de 6 por 9

C.

La división de 63 entre 7

se escribe: _______ = _______

se escribe: _______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

Completar según el ejemplo:

M(x;y;z) = 3x4y5z4a

P(x;y) = -7x6y5

Las variables son: x; y; z

Las variables son: x; y

El coeficiente es: 3a

El coeficiente es : -7 Pag.72

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I.

R(a;b;c) = 7a6b9c7

Q(m;n;p) = -4m7n3p2

Las variables son: _______

Las variables son: _______

El coeficiente es : _______

El coeficiente es : _______

III. F(x;y) = 31x4y8a

V.

II.

IV.

S(x;y) = 2abx9y12

Las variables son: _______

Las variables son: _______

El coeficiente es : _______

El coeficiente es : _______

P(y) = 7y7 + ay6

VI.

R(z) = bz9 + 7z5 - 3z

Las variables son: _______

Las variables son: _______

Los coeficientes son: _______

Los coeficientes son: _______

MIS APUNTES:

Pag.73 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Operaciones combinadas en N REGLAS DE OPERACIÓN Caso 1: Sin signos de agrupación a. b. c.

Primero se resuelven las potencias y raíces a la vez. Segundo se resuelven las multiplicaciones y divisiones a la vez. Por último se resuelven las adiciones y sustracciones a la vez.

Ejemplo: 1.

34 + 2 × 5 -

+

100 + 9 2

-

+

3 × 23 +

2.

=

25  5

+ +

=

Caso 2: Con signos de agrupación a.

Primero se resuelven las operaciones que se encuentran dentro del signo de agrupación más interno, hasta que desaparezcan todos estos signos.

b.

Luego se procede como en el caso anterior (caso 1)

{

[ (

}

)

]

2.

3(5 - 1)2 - [14  2]

Ejemplo:

1.

2(5 + 3) + 5(9 - 7) 2(

) + 5(

)

3(

_____ + _____ =

)2 - _____

_____ - _____ _____ - _____ =

Pag.74 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


¡AHORA, HAZLO TÚ! A . Resolver:

B.

a.

3+2-4-1=

b.

7-3+6-2+8=

c.

11 - 4 + 13 - 2 - 6 + 3 =

d.

19 + 15 - 18 - 10 + 4 - 7 + 9 =

e.

32 - 19 + 43 - 18 + 35 - 53 =

Recuerda resolver de izquierda a derecha.

Resolver: a.

56  8 + 6 + 3 =

k.

10  5 + 4 - 16  8 - 2 + 4  4 - 1 =

b.

16 - 3 + 5 × 8

l.

6 × 5 × 4  20 + 20  5  4 =

c.

3 + 6 - 18  9 =

m. 6 × 5 + 4 - 8  4 × 2 × 3 - 5 + 16  4 - 3 =

d.

7 × 6  2 + 18 =

ñ. 9 + 5 - 4 + 3 - 8 + 5 × 3 - 20  4 × 3 =

e.

24 - 18  6 × 8 =

o. 40  5 × 5 + 6  2 × 3 + 4 - 5 × 2  10 =

f.

24  6 - 2 + 2 =

g.

2×3+5×8=

h.

16 - 10 + 3 - 81  9 =

i.

50 + 15  5 × 3 - 9  3 × 4 + 6 × 4  6 =

j.

4 × 5 - 3 × 2 + 10  5 - 4 × 2 =

C. Completar en lenguaje matemático según convenga: 1.

Seis veces nueve menos cuatro veces cinco. __________________________________________________________

2.

Nueve veces ocho más cinco veces siete. __________________________________________________________

3.

El cuádruplo de seis aumentado en el duplo de once. __________________________________________________________ Pag.75

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4.

El triple de doce disminuido en el duplo de nueve. __________________________________________________________

5.

El séxtuplo de trece disminuido en el triple de veinte. __________________________________________________________

JERARQUÍA - SÍMBOLOS DE COLECCIÓN Observación: Recuerda resolver primero aquellas operaciones combinadas que se encuentran más al interior de los signos de colección. Importante:

{

[

(

)

]

}

Ejemplo 1:

{[(5 + 6 - 7) + (7 - 2 + 10)] + 10 - 3}

"se suprime paréntesis"

{[

"se suprime corchetes"

4

+

15

] + 10 - 3}

{19 + 10 - 3}

"se suprime llaves"

26 •

Ejemplo 2:

30  {(15 - 6)  3 + (18 - 3)  5} 30  {

9

30  {

3

3+

15

 5}

+

3

}

"se suprime paréntesis"

"se suprime llaves"

30  6 5 Pag.76 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


¡AHORA, HAZLO TÚ! •

Resolver las siguientes operaciones combinadas. a.

(5 × 6 + 3) + 7 × 8

Rpta. 89

b.

64  8 × 3 - (48  2 + 1 - 1)

Rpta. 0

c.

{5 + (8 × 3  6) - 7}

Rpta. 2

d.

17 - 10 + {14 - 3 + (5 × 8  20)}

Rpta. 20

e.

{55  11 + 66  11 + (77  11 - 11)}

Rpta. 7

f.

[44  11 + 7] + [88  11 × 5]

Rpta. 51

g.

40 + [25 - (3 + 2)]

Rpta. 60

h.

60 + [(4 + 2) - 5]

Rpta. 61

i.

150 - [(5 - 1) - (4 - 3)]

Rpta. 147

j.

250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)]

Rpta. 259

k.

450 - {6 + [4 - (3 - 1)]}

Rpta. 442

l.

520 + {8 - 3 + [9 - (4 + 2 - 1)]}

Rpta. 529

m. (150 - 5) - {14 + (9 - 6 + 3)}

Rpta. 125

n.

500 - {6 + [(14 - 6) - (7 - 2) + (4 - 1)]}

Rpta. 488

ñ.

(30 - 20)  2 + (6 × 5)  3 + (40 - 25)  (9 - 6)

Rpta. 20

o.

[(9 - 4)  5 + (10 - 2)  4] + 9 × 6  18 + 2

Rpta. 8

p.

(9 + 3)5 - 2  (3 - 2) + 8 × 6  4  2 + 5

Rpta. 69

q.

[15 + (8 - 3)5]  [(8 - 2)  2 + 7]

Rpta. 4

r.

9[15  (6 - 1) - (9 - 3)  2]

Rpta. 0

s.

30  {(15 - 6)  3 + (18 - 3)  5}

Rpta. 5

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Operaciones combinadas en Q Observación Para resolver operaciones combinadas en Q se sigue las mismas reglas que para resolver operaciones combinadas en N, solo que esta vez se usarán números fraccionarios. •

Ejemplo 1: Resolver

+

+ 1 3 5 - 3 4 4 × ×

1 3 + 2 2

1 - 1 2 + 1 - 1 2 ×

4 2

Ejemplo 2: Resolver

4 3 2 2

+ 1 3 + 1 - 2 4 4 × ×

21 15 4 4

+

5 11 + 4 4

6 4

+

16 4

1 2

+

22 4

Ejemplo 3: Resolver

11 1 = 5 2 2

=

Ejemplo 4: Resolver 1

3 4

+

1 2

+

1 3

-

1 4

3 1 × 5 9

3 8

9 16

3

2×3+4×1 + 4×2 6+4 8

4×1-3×1 3×4 4-3 12

+ 10 8

+

1

1 15

1

1 15

1 12

1 15

12 × 10 + 8 × 1 8 × 12

5

4

120 + 8 128 4 1 = = =1 96 96 3 3 3

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2

3 16 × 8 9 2 3 ×

3 2

3

= 1

=

1 10


¡AHORA, HAZLO TÚ! A . Resolver:

B.

1.

1 1  1 1       2 4 2 4

6.

1 1 1 1  1 1        2 5 2 4 2 3

2.

1 1 1 1      3 6 3 6

7.

1 1  1 1        5 10   5 10 

3.

1 1 1 1       4 5 5 4

8.

3  1 5  1       2 10   2 10 

4.

1 1 1 1      2 3  2 3

9.

1 1 1 1        4 3  3 4 

5.

1 1 1 1      5 6 5 6

3 1 2 3 10.        5 3 3 5

Resolver: 1.

1 1 1    7 5 3

R. 1

1 35

9.

2.

2 3 3 3      3 9 5 7

R. 1

3 7

3 3 1 10.      7 2  35

3.

3 1  1 3  2   5 4 4  4

R. 5

3 4

1 1 1 1  3 11.        R. 1 7 2 3 3 4

4.

3  1 2  1 15  7    23  3  9  9 9  9

R. 27

5.

2  3 4  1 3  2    4  3  5  5 5  5

R. 1

6.

3

R. 2

7.

3 2 1 2      5 3  4 7

8.

1  5    3 5     2     2      7    4 7  2 

1 1 1    7 2 3

2 1 1    9 7 2

R.

46 63

R.

135 2

2 1 1 7 12.       5 3 2  30

R. 2

3 5

1 1 1 1 13.       4 2 3  24

R. 1

13 42

1 2  14.  2    2 3 

R. 1

R.

307 420

7 9  15. 1    9 2 

R. 1

R.

15 4

2  18  16.  4    5 5 

R. 1

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2 3

5 7


Potenciación I CONCEPTO: Es una multiplicación repetitiva de un mismo número, una cantidad limitada de veces. DEFINICIÓN:

am = a . a . a . . . a

;m

1; m

N

"m" factores

El resultado: am = se denomina potencia De donde: a  base  m  exp onente *

Ejemplos: a.

35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243

d.

24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

b.

43 = 4 . 4 . 4 = 64

e.

63 = 6 . 6 . 6 = 216

c.

52 = 5 . 5 = 25

f.

25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

A) Expresa lo siguiente: *

Seis elevado al cuadrado

: ___________

*

Ocho elevado al cuadrado

: ___________

*

"x" elevado al cuadrado

: ___________

*

Cuatro elevado al cubo

: ___________

*

Cinco elevado al cubo

: ___________

*

Nueve elevado al cubo

: ___________

*

Tres elevado a la cinco

: ___________

*

Cinco elevado a la seis

: ___________

*

"x" elevado a la cuatro

: ___________ Pag.80

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EXPONENTE NULO (Definición):

a0 = 1 ;

a

0

0

*

0

3 =1

*

5   1 7

*

2 30 = 2 ¿por qué?

*

(2 2 )0  1

*

(1001)0 = 1

B) Completar, desarrollando las potencias.

Recuerda: Las siguientes potencias son las más utilizadas en el curso. Por lo que reciben el nombre de "notables".

20 = ____

21

= ____

22

= ____

23

= ____

24

= ____

25 = ____

26

= ____

27

= ____

28

= ____

29

= ____

210 = ____

30

= ____

31

= ____

32

= ____

33

= ____

34 = ____

35

= ____

40

= ____

41

= ____

42

= ____

43 = ____

44

= ____

50

= ____

51

= ____

52

= ____

53 = ____

54

= ____

60

= ____

61

= ____

62

= ____

63 = ____

70

= ____

71

= ____

72

= ____

73

= ____

Pag.81 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


80 = ____

81

= ____

82

= ____

83

91 = ____

92

= ____

93

= ____

100 = ____

101 = ____

102 = ____

103 = ____

112 = ____

122 = ____

132 = ____

142 = ____

152 = ____

162 = ____

172 = ____

182 = ____

192 = ____

202 = ____

252 = ____

302 = ____

402 = ____

= ____

C) Reduce cada ejercicio segĂşn el ejemplo: 1.

A = 34 + 23 + 40 + 5

2.

B = 22 + 32 + 42

4.

D = 63 - 27 + 32

= 81 + 8 + 1 + 5 = 95

3.

C = 500 + 30 + 20 + 1

Pag.82 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

90

= ____


PROPIEDADES: 1. Producto de potencias de igual base:

am . an = am + n

*

"Resulta la misma base y el exponente final es la suma de los exponentes iniciales".

243 = 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 35 = 33 . 32 = 33 + 2  33 . 32 = 35

Completa: *

43 . 42 = 45

*

73 . 72 = 75

*

29 . 212

= ______

*

78 . 78

= ______

*

32 . 37

= ______

*

113 . 116

= ______

*

39 . 310 . 312 = ______

*

25 . 23 . 24 = ______

2. División de potencias de igual base:

am a

*

*

55 52 47 43

n

= am - n ; a  0

"Resulta la misma base y el exponente final es la diferencia de los exponentes iniciales".

 55  2  53

*

*

96 94 83 81

Observa el siguiente ejemplo:

D

410.4 3.42 6

4 .4

7

410  3  2 4

67

415 13

 4 2  16

4

Ahora reduce lo siguiente:

G

5 4.53.512 59.59

 Pag.83

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PARTE PRÁCTICA 1.

Expresar como potencia cada caso: a.

6 .6 .6....... 6   30 veces

b.

m .m m .m   ......   18 factores

c.

4 .4........ .4   4  20 factores

d.

2 .2 .2 ..........  .. 2  13 veces

2.

Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso: a.

E  [ 123 457  4 ]0  3

b.

F = 40 + 30 + 20 + 10

c.

G = 32 + 3 + 30

d.

A = 20 + 21 + 22 + 23

e.

B = 15 + 32 + 23

f.

B = 15 + 32 + 23

f.

C = 43 + 42 - 4 + 1

g.

X = 53 + 43 - 33 - 23

H. W = 63 - 72 + 32 - 52

3.

Expresar como potencia indicada cada caso:

a.

A = 43 . 42 . 45

b.

B = (13)3 (13)6 (13)0

c.

C = (3)0 (3)1 (3)2 (3)3 . . . . . (3)10

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4.

Reducir cada caso:

a.

X

b.

Y

c.

Z

420.450.4 90 4157

2 4.22.2 4.26.2 8 2 8.216

62.69.67 610.66

MIS APUNTES:

Pag.85 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Potenciación II 1. Potencia de un producto:

(ab)n = an . bn a.

83 = [4(2)]3 = 43 . 23

b.

63 . 73 = {6(7)}3 = 423

c.

x5 . y5 = (xy)5

2. Resolución de ecuaciones exponenciales: Usaremos el criterio de "igualdad por comparación". Ejemplos: a.

Hallar "x" en:

b.

Hallar "x" en:

510.510

3x = 34 . 32 . 35

2x 

 3x = 34 + 2 + 5

x  2 

x

3 =3

11

55.515 510 10 55 15

520 x 2   520

 x = 11

 2x = 50  2x = 1  x = 0 c.

Indicar el valor de "x" en: 513 = 33 . 17x  (3 . 17)3 = 33 . 17x

"Si las bases son iguales los exponentes también son iguales".

 33 . 173 = 33 . 17x  x = 3

Pag.86 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


PARTE PRÁCTICA 1.

Hallar "x" en cada caso:

a.

2.

8x 

4 5.4 3.4 2 410

22.23.210

b.

x

c.

(24)2 = (12)2.2x

d.

5x 

e.

8x = 43

f.

2x = 102 + 102 - 142

g.

x5 = (18)5 . (6)5

h.

x20 = 54 . 56 . 510

i.

72x = 73 . 710 . 77

j.

 310.57.83.120.25  11x  3    200  1  26.52.38.57.23 

29

5 0.51.52.53.5 4 55

Reducir en cada caso:

720

45.410

310.37

a.

E

b.

F = (17)2 - (13)2 + 83 - 52 + 150

c.

G = (20027 - 19805)0 + ()0 + 1;

d.

 (1  3  5)2  53  102  15  H  8   (11)2

718

414

315

( = 3,14159.....)

7

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Radicación I Raíz enésima de un número Dados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a", al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a". n

a = x

si:

xn = a

;n

2

de donde:

a  n x   

 base o radicando  índice  raíz (número real)  operador radical

índice

4

81 = 3

operador matemático radical

radicando

La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 34 = 81. Ejemplos: * * * * * *

3

3

4

5

125  5

 53 = 125

27  3

 debido a que: 33 = 27

16  2

 debido a que: 24 = 16

32  2

 debido a que: 25 = 32

10

1024  2

196  14

 debido a que: 210 = 1024  debido a que: 142 = 196 Pag.88

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raíz


"La radicación es la operación inversa a la potenciación".

î

"Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobre entiende que es el dos (2). Es decir: raíz cuadrada".

3

5

9

 raíz cuadrada de 9

= ______

512

 raíz cúbica de 512

= ______

3125

 raíz quinta de 3125

= ______

PROPIEDADES 1.

Raíz de un producto:

n

n

3

2.

Raíz de un cociente:

n A  A n B B

n

(8)(27) 

3

3

8 . 27

 2.3 6

4 256 

16

4 4

256 16

4 2

2

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¡AHORA, HAZLO TÚ! A . Hallar cada una de las raíces:

3

3

3

3

3

3

3

16 

64 

400 

4 

121 

625 

9 

100 

441 

25 

196 

10000 

36 

225 

256 

49 

169 

576 

81 

144 

900 

27 

64 

8

125 

343 

4

4

5

216 

512 

3

625 

256 

20

32 

30

10

4

4

16 

1024 

5

1

1

243 

(16)(81) 

6

(81) (121) 

3

(8)(64) 

23 

5

25 

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64 


B.

En tu cuaderno reduce adecuadamente cada expresión: 1.

A  16  25  36

2.

B

3.

C  225  196  169

4.

D

5.

E

6.

F

7.

G  4  16  81  121

8.

H

9.

I

3

5

3

6

3

125 

32  8

7

3

64 

27 

5

4

32

16

1  64

64  121  100

121  16 4 9 36  64  100 196  144 5

10. J 

4

81

9  25 

100

1

3

6

32 

11. K  64  12. L 

6

81 

64 

64  3

64

64

13. M  5  16

14. N  31  36

15. O  4 81 

16. P 

3

5

32

64  13 169 

3

23 Pag.91

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Radicación II •

Exponente fraccionario:

x

*

3 4 x 4  x3

*

1 3 3 8 3  81  8  2

*

1 16 2 

*

50 100

*

3

20

4

20

m n

=

n

x

m

;m

n

N; n

16  4 100  3 50  32  9 20  4 20  4

n

x

n

=x  x>0

¡AHORA, HAZLO TÚ! A . Representa cada raíz usando exponente fraccionario: a.

3

b. c. B.

45  27 

4

x3 

Representa cada expresión mediante radicales:

a.

1 27 

b.

2 35 

Pag.92 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

2


c.

2 11 x

C. Considerando la definición del exponente fraccionario y lo estudiado en Radicación I, desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

100  36

1.

A

3.

C  5 2  33 

5.

E

196  169 3

3

7

27

27  49  4 3

3

3

2.

B  6 36  2  36

4.

D

6.

F

8.

H

30

2 60 

36 

9.

G  3  6  5 36

I

532 5

30

6 47 6

46

3100 3

10. J  3

97

D. Efectuar los siguientes ejercicios:

1.

Si: A 

1 1 4   2 3 5

y

B

indicar el valor de "x", si: x 

2.

Si: x 

3

729 ;

1 1  5 6 A B

3

y  512

indicar el valor de: E  E.

x 2  y 2  ( xy )0

Hallar "x" en: x

64 

3120 

85.29.83.26 88.214

Pag.93 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

3

125  64 

3 5

27 32

225  121 4

50

4100

196  25

125  8

3

7.

40

625  441


Operaciones combinadas POTENCIACIÓN - RADICACIÓN Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto poseen la misma jerarquía. Hay que respetar las siguientes reglas: 1º Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son directos para su aplicación. 2º Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que reducir el radicando. 3º Luego se reducen las sumas y restas, respetando los signos. 4º Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde los más internos hacia los más externos. 5º Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha. Ejemplo: 5

 E

 33  121  7 7    4  22  81  14  2 

5

E

 27  11   97  44  

E

 16  5  16   8  1  8  

5

E  1 8 

9 3 Pag.94

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¡AHORA, HAZLO TÚ! A . Reduce en tu cuaderno cada caso: 3

32 9  102  82

1.

A

2.

B  122  52  102  43

3.

C  24 2  7 2  32

4.

D  33  42  25

5.

E

6.

F

3

3

7 

4

53  10 2 2

4

6 

5

35

 23

2  9

3

7.

G  ( 729  23 ) 4  ( 1121 )0

8.

H

9.

I  6 2  82  32  4 2

2

625  4 2  22  34

10. J  2  22  23  2 4  61 Pag.95 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


11. K 

12. L 

13. M 

14. N 

32  4 2  02 3

8  64

23  4 2  52 3

1000  32

3

0

121  125  2006  6  60  1

1 1  4 5 1 1  4 5

MIS APUNTES:

Pag.96 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


GRUPO PITÁGORAS

GEOMETRÍA I BIMESTRE

Pag.97 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


´I n d i c e Pág.

Introducción ............................... 107 Plano Cartesiano: Par ordenado ................. 109 Ampliación y reducción de polígonos.............. 113 Figuras simétricas ........................... 115 Rotación de figuras geométricas................. 119 La recta: rectas paralelas ..................... 121 Rectas secantes ............................ 125 Construyendo un croquis ...................... 129

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Introducción La Geometría egipcia se supera en Grecia. La fama de los egipcios en lo que respecta a sus conocimientos geométricos rebasó sus fronteras; los estudiosos de las civilizaciones de aquel entonces se vieron atraídos hacia el escenario mismo de las pirámides y templos, y los inquietos griegos que visitaron Egipto aprendieron toda su ciencia y la llevaron a su país, a esa Grecia de filósofos, artistas y matemáticos. Era inevitable que la Geometría intuitiva, utilitaria de los egipcios, tuviese que sufrir cambios profundos en ese ambiente en el que se buscaba "el saber por el saber mismo". Pronto los filósofos griegos no se sintieron satisfechos por sólo aprender Geometría egipcia, si no que se dedicaron a estudiar las propiedades de las figuras geométricas, las relaciones que entre esas propiedades existían. Se basaban en verdades nuevas ya demostradas para volver a demostrar nuevas verdades, enriqueciendo y superando en mucho a la Geometría que aprendieron de los egipcios. Aquí algunos ejemplos de ilusiones ópticas.

R

S

T

U

Los segmentos RS y TU no parecen paralelos ... ¡Pero lo son!

La circunferencia se ve deformada por el triángulo. M

N

El arco AM parece menor que el arco BN por el trazo de su cuerda.

A

B Pag.99

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SIMBOLOGÍA GEOMÉTRICA SÍMBOLO

SIGNIFICADO

AB

Recta que pasa por los puntos A y B.

AB

Segmento que tiene como puntos extremos a A y B.

OA

Rayo cuyo punto de origen es O y pasa por A.

AB // CD

Recta AB es paralela a la recta CD.

AB

Recta AB es perpendicular a la recta CD.

CD

Ángulo ABC, vértice en B.

î

MN

Arco MN.

m(AB)

Medida del segmento AB.

m AOB

Medida del ángulo AOB.

ACTIVIDADES: 1.

Enseñar el uso de la regla, escuadras, transportador y compás.

2.

Elaborar con material de papel origami diseños a base de papel cuadrado.

3.

Exponer en lugares visibles del aula los trabajos realizados.

Pag.100 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Plano Cartesiano Un plano cartesiano es aquel que está determinado por dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente. Ejemplo: y

Observamos: II

I

• Cuatro partes. • Cada parte recibe el nombre de cuadrante. • Los números naturales se presentan en el I cuadrante.

eje de ordenadas eje de abscisas x

III

IV

Representación de un Par Ordenado. Para representar un par ordenado (x,y) en el plano cartesiano, la primera componente corresponde al eje "x" y la segunda componente al eje "y". ¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.

Observa el ejemplo y representa los siguientes pares ordenados: A(2;5), B(0;10), C(5;0), D(9;3) y 11 10

B(0;10)

9 8 7 6

A(2;5)

5 4

D(9;3)

3 2 1

x

C(5;0) 0

1

2

3

4

5

6

7

Pag.101 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

8

9

10 11


2.

Representa los siguientes conjuntos de pares ordenados en tu cuaderno y luego construye los polĂ­gonos correspondientes uniendo los puntos. Observa el ejemplo; en ĂŠl cada punto representa un vĂŠrtice.. a.

A(2;5), B(9;3), C(8;10)

b.

D(2;2), E(10;0), F(4;5), G(9;4)

c.

H(0;4), I(6;1), J(9;4), K(6;7)

d.

J(9;7), K(1;7), L(9;3) y 12 11 C(8;10)

10 9 8 7 6 5 A(2;5)

4 3

B(9;3)

2 1

x

0

3.

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

En los siguientes casos construye la poligonal. a.

P(1;1), Q(2;3), R(4;1), S(5;6), T(7;2), U(9;7)

b.

V(0;0), W(4;6), X(7;4), Y(10;4)

c.

A(1;2), B(2;4), C(3;2), D(4;3), E(5;2), F(6;4), G(7;2), H(10;2)

d.

M(0;1), N(3;7), O(6;4), P(9;3) y 8 7

U S

6 5 4

Q

3 2

T

1 0

R

P 1

2

3

4

x 5

6

7

Pag.102 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

8

9 10 11 12


4.

DESAFĂ?O Los movimientos que realizamos en el plano cartesiano se asemejan a los movimientos que realizamos en un laberinto. Ahora entra a cada laberinto y encuentra la salida.

E

S

E

S

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Ampliación y reducción de polígonos Observación: *

Para ampliar un polígono, los elementos de cada par ordenado se multiplican por números diferentes de cero (0).

*

Para reducir polígonos los pares ordenados se dividen entre 2; 3; 4; etc.

¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.

Completa las siguientes tablas y luego amplía o reduce el polígono según sea el caso, grafica en tu cuaderno.

a.

a

(x;y)

b.

(2x;2y)

(x/2;y/2)

R(2;1)

R'(4;2)

E(6;2)

E'(3;1)

S(2;3)

S'(4;6)

F(10;2)

F'(5;1)

T(4;3)

T'(8;6)

G(10;8)

G'(5;4)

U(4;1)

U'(8;2)

H(6;8)

H'(3;4)

y

y

8

H

8

7

G

7 S'

6

T'

6

5

5

4

4 S

3

T

2 R 1

3

4

G'

x 5

6

7

8

E

2

U' U

2

H'

3

R'

1 0

r

(x;y)

9

Pag.104 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

1 0

E' 1

2

3

F

F' 4

5

x 6

7

8

9 10


c.

(x;y)

a

d.

(3x;2y)

r

(x/2;y/3)

(x;y) r

(x/3;y/3)

(x;y)

A(1;4)

M(4;6)

B(2;2)

N(2;3)

C(4;4)

L(6;9)

D(5;2)

e.

(x;y)

a

f.

(3x;2y)

R(1;1)

A(3;9)

S(1;3)

B(6;9)

T(3;1)

C(9;6) D(9;3)

g.

(x;y)

a

h.

(2x;3y)

(x;y)

r

T(4;2)

E(6;9)

U(3;3)

F(12;6)

V(4;4)

G(12;12)

W(5;3)

H(6;12)

Pag.105 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

(x/3;y/3)


Figuras simétricas EJE DE SIMETRÍA: Es la línea que divide exactamente una figura en dos partes iguales. Se dice que dos figuras son simétricas, cuando sus puntos están a la misma distancia del eje de simetría. •

Ejemplo 1: Eje de simetría

Eje de simetría

"Ésta figura no es simétrica"

Ejemplo 2: (Usando tu compás) Completa la figura sabiendo que es simétrica respecto al eje de simetría.

B

a

C

b

D

E

B D

A

A

A'

B' C'

C

F

A'

F'

E G

D' B'

E'

C'

Pag.106 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

H

H'

G'

D'

E'


¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.

Completa cada figura sabiendo que es simétrica respecto al eje de simetría.

Pag.107 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


2.

Usando papel lustre: a.

b.

Recorta: •

cuadrados de distintos tamaños

rectángulos

rombos

romboides

otros cuadriláteros como los siguientes:

Imagina, para cada figura, si es posible dividirla en dos partes exactamente iguales haciéndoles un doblez. Anota tus predicciones y luego compruébalas efectuando los dobleces. Por ejemplo:

1er paso

2do paso

Conclusión: Al coincidir los bordes, el doblez representa un eje de simetría.

Marca la línea que se formó al hacer el doblez y escribe su nombre: eje de simetría. c.

Toma cada una de las figuras recortadas y determina , por medio de dobleces todos sus ejes de simetría. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado? ¿Cómo pueden verificar experimentalmente que no tiene otros ejes de simetría? ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo?

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d.

Clasifica los cuadriláteros en aquellos que tienen ejes de simetría y aquellos que no los tienen. Registra la información dibujándola en una tabla como la siguiente: Eje de simetría

Cuadriláteros

4 2 1 0

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Rotación de figuras geométricas USO DEL TRANSPORTADOR Para rotar una figura primero debemos determinar: 1. 2.

El vértice de la figura como centro de rotación. Un ángulo de rotación.

Ejemplo: Rotar el segmento AB, con centro en "A", en un ángulo de 45º y luego, en uno de 90º. B" B'

AB

: segmento rotante

A

: centro de rotación

45º y 90º : medida de ángulo de rotación AB' y AB" : segmentos rotados

90º 45º A

B

La figura rotada conserva su forma y su tamaño.

¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.

Rota el segmento EF en un ángulo de

2.

60º. Centro "E".

Rota el ABC en un ángulo de 90º. Centro "A". C

E

F

A

Pag.110 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

B


3.

Rota el triángulo PQR en un ángulo de

4.

180º. Centro "P".

Rota el polígono MNOP en un ángulo de 90º. Centro "M".

R

P

O

M P

5.

N

Q

Rota el rectángulo ABCD en un ángulo de 45º, cuyo centro es "A". D

C

A

B

6.

Rota el triángulo UVW en un ángulo de 30º, cuyo centro es "U". W

U

7.

Rota el cuadrado HIJK en un ángulo de 45º. Centro de rotación: el punto "H". K

J

H

I

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V


La recta CONCEPTO: ________________________________________________________ ___________________________________________________________________ RECTAS PARALELAS. (Uso del compás) Son rectas que no tienen ningún punto en común.

Notación:

B

AB A

D

CD =

AB // CD Lectura: recta AB es paralela a CD

C

CONSTRUCCIÓN: •

Paso 1: Traza un segmento AB de 2 cm.

A •

B

Paso 2: Con la punta de metal en "A" y la punta del lápiz en "B" traza una circunferencia.

A

punto medio "M" de AB , traza una tercera circunferencia y une con un segmento los puntos de intersección de ésta con las otras dos circunferencias.

C A

B

Paso 3: Ahora, con la punta de metal en "B" y la del lápiz en "A" traza otra circunferencia.

A

Paso 4: Finalmente, con la punta de metal en el

B

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D M

E

B

F

luego: AB // CD; AB // EF; CD // EF


¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.

Construye y denota dos rectas paralelas a PQ , donde: PQ  2cm.

2.

Construye y denota dos rectas paralelas a RS , donde: RS  3cm.

3.

Construye y denota dos rectas paralelas a TU , donde: TU  4 cm.

4.

En el siguiente gráfico prolonga todos los segmentos de los lados del triángulo y cuadrilátero. Usa colores diferentes para cada par de segmentos paralelos. Luego denótalos.

y

B

E

A

D C

F

-x

x

K

L G

N

H

M J

-y

Pag.113 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

I


5. DESAFรO En hojas de papel blanco, usando una regla y una escuadra, traza rectas paralelas en distintos sentidos como las siguientes: Formando cuadrados

Formando rombos

Usando estas rectas como base, busca maneras de formar cuadrados y describe el procedimiento usado, enumerando cada paso realizado. Previa a la descripciรณn se realiza una "lluvia de ideas" con palabras y verbos que pueden ayudar a la descripciรณn.

Pag.114 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Rectas secantes Las rectas SECANTES son aquellas que tienen un punto en común. Ejemplo:

A D

O

Rectas

: AB y CD

Punto común : O B

C

Se denota

: AB

CD = {O}

Rectas perpendiculares (construcción):

Paso 1: Traza un segmento RS de 2cm.

î

Paso 2: Con la punta de metal en "R" y la del lápiz en

î

R

S

R

S

"S" traza una circunferencia.

Paso 3: Ahora con la punta de metal en "S" y la del lápiz en "R" traza otra circunferencia.

î

R

S

P

Paso 4: Finalmente, une con un segmento los puntos de intersección de las circunferencias. Luego: RS

î

R

S

PQ Q

Pag.115 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


¡AHORA, HAZLO TÚ! 1.

Construye y denota una recta perpendicular a AB , donde: AB  2 cm

2.

Construye y denota una recta perpendicular a MN , donde: MN  4 cm

3.

Construye y denota una recta perpendicular a CD , donde: CD  5 cm

4.

Nombra (denota) todas las rectas que se observan en los siguientes trazos:

a.

b. B

A

H

I

C

D

K

AB; Rpta.: ________________________ c.

J

HJ; Rpta.: ________________________ d.

E A H

D

F

B

G C

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________

Pag.116 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


e.

f. S R

X

W

T Z

U

V

Rpta.: ______________

g.

A B

Rpta.: ______________

h.

E

I

F

C

D

J

G L

H

Rpta.: ______________

2.

Y

K

Rpta.: ______________

Observa cada par de rectas y escribe si son secantes o paralelas. Luego denĂłtalas.

a.

b. A

B

C

D

P

B

O A

paralelas: AB // CD

Q

secantes: PQ ď&#x192;&#x2021; AB = {O}

Pag.117 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


c.

d. R

E

T

G

F S

H

U

e.

f. R N

V

M

W

g.

S

T

O U

h.

D

C

D E

C

A F B

Pag.118 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Construyendo un croquis de ubicación (Uso de escuadras y compás) 1.

Dibuja el CROQUIS del lugar donde vives. a.

Ubica tu casa, el camino, casas vecinas, tu escuela y lugares importantes.

b.

Presenta tu CROQUIS a un grupo de compañeros y compañeras, comparen e intenten incorporar a cada CROQUIS la ubicación de las casas de cada uno de los integrantes del grupo.

2.

Trabajando en parejas, inventar un cuento que ocurre en una ciudad, de manera que para la comprensión de la historia sea necesario elaborar o presentar el CROQUIS de la misma. casa

Pag.119 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


´Indice Pág.

å

Matemática recreativa ...................... 133

å

Conteo de segmentos ...................... 141

å

Conteo de figuras ......................... 147

å

Repaso ................................ 153

å

Sucesiones y arreglos literales................. 157

å

Sucesiones II ............................ 163

å

Distribuciones numéricas .................... 165

å

Repaso general ........................... 171

Pag.120 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Matemática recreativa ¡Hola, cómo estás! Bienvenido a esta hermosa familia "TRILCE", seguro que estás muy contento, juntos desarrollaremos el curso de “Razonamiento Matemático" de una forma divertida y didáctica. El primer tema es "Matemática Recreativa", no necesitas saber fórmulas complicadas, ni teoremas complejos, sólo un poco de ingenio y habilidad. ¿Estás preparado?

NO

PROBLEMAS SOBRE GIROS

Sentido Horario (Mov. de las agujas del reloj)

SENTIDO DE LOS GIROS EN EL MOVIMIENTO DE RUEDAS O ENGRANAJES

Sentido Antihorario (Mov. en contra al giro de las agujas del reloj)

*

Casos:

A

B

- Si "A" gira en sentido horario  "B" _________________________ - Si "A" gira en sentido antihorario  "B" _________________________ Conclusión: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ________________________

Pag.121 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


- Si "A" gira en sentido horario  "B"

A

B

_________________________ - Si "A" gira en sentido antihorario  "B" _________________________ Conclusión: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________

A

B

- Si "A" gira en sentido horario  "B" ___________________________ - Si "A" gira en sentido antihorario  "B" ___________________________ Conclusión: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __________________________

B

- Si "A" gira en sentido horario  "B"

A

_____________________________ - Si "A" gira en sentido antihorario  "B" _____________________________ Conclusión: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ____________________________

í

Si "A" gira en sentido horario, ¿podrías decir en qué sentido gira "B"? A

B

í

Si "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido gira "B"? B A

Pag.122 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


PROBLEMAS DE INGENIO 1.

Colocar los números del 1 al 9, uno en cada círculo de tal manera que la suma de cada fila sea 15.

Recuerda que los números no se deben repetir.

2.

Ir desde el 8 hasta el 4 sumando exactamente 29, sin pasar dos veces por el mismo círculo.

8

1

0 Recuerda que los caminos son horizontales o verticales

1

7

y no en diagonal; en este gráfico hay un camino

9

indicado. ¿Puedes encontrar un camino más corto? 9

3.

0

4

Mover dos fichas de tal manera que cada grupo de fichas sumen 15.

4 7

5 8

2 9

1

Pag.123 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

6

3


4.

"DE UN SOLO TRAZO". Unir los puntos con cuatro líneas rectas, trazadas sin levantar el lápiz del papel, ni pasar dos veces por una misma línea.

5.

Colocar en los círculos de este triángulo los números del 1 al 9 de tal manera que la suma de cada lado sea 17.

6.

Si "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido girará la rueda "B"?

A

B

7.

UN SOLO MOVIMIENTO: Moviendo una sola copa, lograr que las llenas y las vacías queden alternadas.

8.

Te ofrecen una moneda como la mostrada:

25 a.C. (25 años antes de Cristo).

25 a.C.

¿La comprarías si fueras coleccionista? ¿Por qué? Pag.124

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9.

Cambiando de lugar tres monedas, transformar el triángulo de la figura (I) en el triángulo de la figura (II).

(I)

(II)

10. Si "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira la rueda "B?

A

B

RETOS (ACERTIJOS LÓGICOS) 1.

Una señora vestida de negro va por flores al cementerio; ¿cómo se llama el difunto? Rpta.: _________________________

2.

A una persona se le cayó su sombrero en una piscina, ¿cómo lo saca? Rpta.: _________________________

3.

¿Cuántos huevos duros se podrá comer una persona con el estómago vacío? Rpta.: _________________________

4.

¿A quién hay que matar para que esté contento? Rpta.: _________________________

5.

¿Cuál es el hombre que come con los dientes ajenos? Rpta.: _________________________ Pag.125

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TAREA DOMICILIARIA 1.

Colocar en los círculos de este triángulo los números del 1 al 9 de tal manera que la suma de cada lado sea 20.

2.

¿Cuál de las siguientes figuras se puede dibujar sin levantar el lapicero y sin regresar por el mismo sitio?

I

3.

II

III

Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira la rueda "B"?

B

A

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4.

Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira la rueda "B"? B A

5.

Disponer números del 1 al 8 en cada recuadro de tal forma que dos recuadros "vecinos" no tengan en su interior dos números consecutivos.

6.

¿Cuántos palitos hay que mover para que la división sea correcta?

Pag.127 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Conteo de segmentos Segmento es una porción de recta y es limitada, el segmento AB se denota así: AB A

í

B

Ejemplo 1: ¿Cuántos segmentos, observas en la siguiente figura?

P

R

O

F

E

Resolución: 1. Asignamos una letra minúscula a 2. Contamos los segmentos de una 3. Contamos segmentos de dos partes cada parte. parte (simples). (compuestos). a P a P

b R

c O

d F

E

b R

R

c O

O

a F

P

d F

E

b

b

R

O

c

d

O

F

R

c O

F

E

4. Contamos segmentos de tres partes 5. Contamos segmentos de cuatro 6. Hallamos la suma. (compuestos). partes (compuestos). N° de Segment os a b c De 1 part e a; b; c; d 4 P R O F De 2 part es ab; bc; cd 3 a b c d De 3 part es abc; bcd 2 P R O F E b c d R

O

F

De 4 part es

E

Rpta.: El número total de segmentos es 10. Pag.128 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

abcd

1

TOTAL

10


Pero hay un método corto utilizando una fórmula especial: es la de la suma de los "n" primeros números naturales

Así: n: Cantidad de segmentos pequeños (simples)

1 P

2

3

R

4

O

F

N° de Segmentos =

í

E

4(4 + 1) 2

=

4(5) 2

=

20

= 10 segmentos

2

Ejemplo 2: ¿Cuántos segmentos hay como máximo?

A

B

C

D

E

F

G

N° de Segmentos = _______ =

í

Ejemplo 3:

D C

E

B

F

A Rpta.: _______

Ten cuidado, porque la fórmula se aplica en una línea recta sin quiebre.

Pag.129 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


EJERCICIOS 1.

Hallar el número total de segmentos. G F

H

E

I

D C

J

B A

2.

N

M

K

L

Hallar el número total de segmentos. E

C

P

R

I

L

M

I

A R

R T

O M

I

X

A M O

3.

Hallar el número total de segmentos.

4.

Hallar el número total de segmentos.

Pag.130 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

L

A

I


5.

Hallar el número total de segmentos de:

Z E

P

M

E O

D

G

R O 6.

Hallar el número total de segmentos de:

7.

¿Cuántos segmentos hay en el siguiente gráfico?

8.

¿Cuántos segmentos hay en el siguiente gráfico?

Pag.131 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


9.

Hallar el número total de segmentos en: T C

O

N E O D

E S

E

G

M

E

N

T

O

S

10. Hallar el número total de segmentos en: N

O

A

M

I

E

N T

Z

O A

M

R

O

C

I

T

A

M

E

T

TAREA DOMICILIARIA Hallar el número total de segmentos de: 1. T

R

I

L

C

E

P

R

I

M A

R

I

A

A

B

C

D

E

F

G H

I

J

L

M N Ñ O

2. P

R

E

O

3.

K

F

E

S

R M

U T

R

R

I

D

C U

E

D

4.

F

G

H

I

J K L

C

M

B

N A

U

T

S

R

Q

P O

Ñ Pag.132

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5.

O

A


Conteo de figuras Hola de nuevo amiguito ya llegamos juntos al segundo nivel (tema). ¿Sabías que los ejercicios de "Conteo de figuras" generalmente forman parte de todos los exámenes de ingreso a los centros de educación superior? No porque sean difíciles, sino; porque evalúan el nivel de análisis, de síntesis y la capacidad de atención y concentración. Así que concéntrate y observa todo lo que tu profesor(a) desarrolle en la pizarra. ¿Estás preparado?

I.

NO

CONTEO DE TRIÁNGULOS: Observa el proceso de contar. Ejemplo 1: En la siguiente figura, ¿cuántos triángulos como máximo observas?

Resolución: 1. Asignamos una letra a cada una de 2. Contamos los triángulos de una 3. Contamos los triángulos de dos las figuras. parte (simples). partes (compuestos). a a

b

c

c d

a

b

a

b

b

c d

e

e

4. Contamos los triángulos de tres 5. Contamos los triángulos de cinco 6. Hallamos la suma: partes (compuestos). partes (compuestos). N° de Triángulos a

a

b

c

c d

d

e

Pag.133 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

De 1 parte

a; b; c; d

4

De 2 partes

ac; ab; be

3

De 3 partes

acd

1

De 5 partes

abcde

1

TOTAL

9


Ahora te toca a ti.

Ejemplo 2: ¿Cuántos triángulos hay como máximo en la siguiente figura?

1 2 3 4 5

Pregunta a tu profesor si hay algún método corto para la resolución de este problema.

Anota lo que tu profesor te diga.

Pag.134 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


EJERCICIOS 1.

¿Cuántos triángulos hay como máximo en la siguiente figura? Resolución:

Rpta.: ______

2.

¿Cuántos triángulos hay como máximo en la siguiente figura? Resolución:

Rpta.: ______

3.

Hallar el número total de triángulos en: Resolución:

Rpta.: ______

4.

Hallar el número total de triángulos en: Resolución:

Rpta.: ______

Pag.135 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


5.

¿Cuántos triángulos tienen un (*) asterisco en su interior? Resolución:

Rpta.: ______

II. CONTEO DE CUADRILÁTEROS: Observa el proceso de contar. Ejemplo 1: ¿Cuántos rectángulos como máximo observas?

Resolución: 1. Se asigna una letra a cada parte.

2. Contamos los rectángulos de una 3. Contamos los rectángulos que se forman con dos part es (compuest os). sola part e. a

a b d

b

c

e

d

f

b c

b e

e f

d

H ay ____ rect ángulos

H ay ____ rect ángulos

4. Contamos los rectángulos que se 5. Contemos el total de rectángulos. forman con tres partes (compuestos). N° de Partes N° de Rect ángulos a 1 a; b; c; d; e; f ___ b d

c

2

__________

___

3

__________

___

TOTAL

___

e f

H ay ____ rect ángulos

Pag.136 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

e

c


EJERCICIOS 1.

¿Cuántos cuadriláteros hay?

2.

Hallar el número total de cuadrados.

3.

Hallar el número total de rectángulos.

4.

Hallar el número total de cuadrados.

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5.

Hallar el número total de rectángulos y cuadrados en el siguiente gráfico y colocar a cada afirmación "V" si es verdadero y "F" si es falso: I. El total de rectángulos es 9 ..................................................... ( II. El número total de cuadrados es 6 .......................................... ( III. Hay tres rectángulos más que cuadrados ................................. (

) ) )

TAREA DOMICILIARIA 1.

Hallar el número total de cuadrados.

2.

Hallar el número total de rectángulos en la siguiente figura:

3.

4.

Hallar el número total de triángulos en el siguiente gráfico:

5.

Hallar el número total de cuadrados.

¿Cuántos paralelogramos hay?

Pag.138 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Repaso Hoy haremos un repaso de los tres temas que hemos visto hasta ahora. Si no has comprendido algunos problemas, lo harás en este repaso. ¡APROVÉCHALO!

EJERCICIOS 1.

Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira la rueda "B"?

4.

B

A

Coloca los números del 1 al 9 en los círculos de la figura mostrada (sin repetirlos), de tal manera que la hilera vertical y horizontal sumen lo mismo y ésta sea igual a 27. ¿Cuál es la cifra que debe estar en el círculo central?

Rpta.: ___________ 2.

¿Cuántas cifras se deben mover como mínimo para formar una verdadera igualdad? 13 - 32 = 4 Rpta.: ___________

3.

Rpta.: ___________

Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira la rueda "B"?

5.

B A

Rpta.: ___________

Pag.139

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Colocar los números del 1 al 9 en los círculos de la figura mostrada (sin repetirlos), de tal manera que todas las hileras formadas por tres círculos sumen lo mismo y ésta sea igual a 12. ¿Cuál es la cifra que debe estar en el círculo central?


= 12

¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

=

12

8.

T U

E

= 12

M

C L

E

=

J

12

I

O

R T

Rpta.: ___________ 6.

Colocar del 1 al 9 en cada casillero de tal manera que la suma horizontal, vertical y diagonal sea 15.

N

O

I

C

P

O

R

Rpta.: ___________ 9.

Hallar el número de segmentos que hay en la siguiente figura:

15 = = 15

= 15 = 15

= 15

= 15

= 15 = 15

Rpta.: ___________ 7.

Rpta.: ___________

¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

10. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

Rpta.: ___________ Rpta.: ___________

Pag.140 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

14. Hallar el número total de cuadriláteros en:

Rpta.: ___________ Rpta.: ___________ 12. Hallar el número total de triángulos que hay en la siguiente figura:

15. Hallar el número total de cuadriláteros en:

Rpta.: ___________

Rpta.: ___________

13. Hallar el número total de rombos en:

Rpta.: ___________

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TAREA DOMICILIARIA 1.

Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido girará la rueda "B"? A

2.

B

Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido girará la rueda "B"?

A

3.

B

¿Cuántas cifras se deben mover como mínimo para formar una verdadera igualdad?

32 - 23 = 1 4.

¿Cuántos triángulos tienen un (*) en su interior?

*

5.

¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

Pag.142 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Sucesiones y arreglos literales Querido amigo, el tema que desarrollaremos hoy es uno de mis favoritos; yo sé que también será de tu agrado, me refiero, al tema de Sucesiones y Arreglos Literales. Pero ¿qué es una sucesión? Veamos el concepto.

SUCESIÓN: Es un conjunto ordenado de números de acuerdo a una ley de formación. Dichos números son los términos de la sucesión.

Por ejemplo, el siguiente conjunto ordenado de números: 1; 3; 5; 7; 9; . . . tiene una ley de formación. En efecto, si aumentamos dos unidades a cada uno de los números, obtendremos el siguiente. Por lo tanto: (1; 3; 5; 7; 9; . . . ) es una SUCESIÓN, donde los términos mantienen un orden y se les nombra del modo siguiente: 1: 3: 5: 7:

primer término segundo término tercer término cuarto término, etc. Ahora veamos otra sucesión: 5; 7; 10; 14; . . . ¿Podrías hallar el término que sigue?

Para resolver este problema, debemos encontrar la ley de formación, como se muestra a continuación: 5; +2

7;

10;

+3

+4

14; . . . +5

Por lo tanto el número que sigue deberá ser: 14 + 5; esto es 19. Pag.143 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


ARREGLOS LITERALES: Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Para encontrar el criterio de ordenamiento de las letras en un problema dado, es necesario conocer bien el abecedario, tener en cuenta la posición de cada letra y no se debe considerar las letras compuestas "CH" y LL".

Por ejemplo: ¿Qué letra sigue? A; C; F; J; . . .

Este arreglo tiene cierto criterio de ordenamiento. En efecto, observemos lo siguiente:

A;

C; B

F;

DE

J GHI

Entre "A" y "C" hay una letra intermedia; entre "C" y "F" hay dos letras intermedias; entre "F" y "J" hay tres letras intermedias. Por lo tanto entre "J" y la letra que sigue deben haber cuatro letras intermedias.

A;

C; B

F;

DE

J; . . .

GHI

KLMN

Entonces la letra que sigue es: ______ Nota: Se puede resolver el problema anterior de otra manera, lo único que necesitamos saber es, la posición que ocupa cada letra del arreglo dado, en el abecedario.

A

B 1

C 2

Ñ

O 15

D 3

P 16

E 4

Q 17

F 5

R 18

G 6

S 19

H 7

I 8

T 20

U 21

J 9

V 22

K 10

W 23

Recuerda que no se consideran las letras compuestas "CH" y "LL" en arreglos literales.

Pag.144 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

L 11

24

M 12

X

Y 25

N 13

14

Z 26

27


Ahora observa cómo se resuelve el problema anterior, pasando del arreglo literal a una "SUCESIÓN":

Posición en el abecedario

A;

C;

F;

J;

. Ñ. .

1;

3;

6;

10;

...

+2

+3

+4

15

+5

Como verás, el número que sigue en la "sucesión" es 15, ahora sólo tenemos que buscar la letra que ocupa la posición número 15 en el abecedario y ésta es la letra "Ñ".

¡Ahora, hazlo tú! ¿Qué letra sigue en el siguiente arreglo literal? C; F; J; M; P; . . . C;

F;

J;

M;

P; . . .

Rpta.: _______

EJERCICIOS PARA LA CLASE I.

Encontrar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones: 1) 7; 10; 15; 22; . . .

4) 64; 32; 16; . . .

2) 3; 9; 5; 15; 11; . . .

5) 2; 4; 8; 14; . . .

3) 2; 2; 4; 12; . . .

6) 2; 3; 4; 7; 8; 11; . . .

Pag.145 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


7) 5; 3; 6; 4; 8; 6; 16; . . .

10) 18; 16; 12; 6; . . .

8) 1; 1; 2; 6; . . .

11) 10; 12; 6; 8; 4; . . .

9) 2; 3; 4; 5; 8; 7; 16; . . .

12) 3; 4; 8; 5; 9; 45; . . .

II. Encontrar la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales: 1) A; D; G; J; . . . 4) B; C; F; G; N; . . .

2) B; D; G; I; L; . . .

5) A; B; D; D; G; F; J; . . .

3) A; D; I; O; . . .

6) B; C; E; H; L; . . .

Pag.146 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


TAREA DOMICILIARIA I.

Hallar el nĂşmero que sigue en cada una de las siguientes sucesiones. 1) 2; 5; 10; 13; 18; . . . 2) 2; 3; 6; 13; 18; 23; . . . 3) 26; 18; 11; 5; . . . 4) 4; 8; 5; 10; 7; 14; . . . 5) 5; 6; 12; 9; 10; 20; . . .

II. Hallar la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales. 1) A; C; B; D; C; E; . . . 2) W; L; F; . . . 3) C; D; G; L; . . . 4) A; A; B; D; G; K; . . . 5) A; B; D; H; . . .

Pag.147 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Sucesiones II En este capítulo veremos una gran "variedad de sucesiones" y tenemos que encontrar la ley de formación de cada una de ellas, para luego hallar la que nos piden.

EJERCICIOS PARA LA CLASE I.

Encontrar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones: 1) 3; 4; 8; 11; 12; 24; 27; . . .

2) 2; 3; 6; 6; 18; 9; 54; . . .

3) 1; 1; 1; 2; 12; . . .

4) 1; 3; 8; 17; 31; . . .

5) 3; 3; 5; 9; 15; . . .

Pag.148 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


II. Encontrar el valor de "x + y" en cada una de las siguientes sucesiones: 1) 3; 1; 4; 2; 8; 6; x; y; . . .

2) 2; 5; 4; 6; 8; 7; x; y; . . .

3) 1; 3; 4; 7; 11; x; y; . . .

4) 3; 4; 6; 10; 18; 16; x; y; . . .

5) 1; 1; 2; 3; 4; 5; 8; 7; x; y; . . .

TAREA DOMICILIARIA 1.

¿Qué número sigue? 4; 5; 7; 10; 14; 19; . . .

2.

¿Qué número sigue en la siguiente sucesión? 2; 6; 3; 9; 6; 18; . . .

3.

¿Qué número sigue? 1; 17; 32; 44; 51; . . .

4.

Hallar "x + y" en: 4; 9; 12; 17; 20; x; y; . . .

5.

Hallar "y - x" en: 1; 3; 2; 6; 4; 9; 8; x; y; . . .

Pag.149 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Distribuciones numéricas Observa cómo se han distribuido los números en cada una de las siguientes figuras: 1

9

4

5

2 17 2

3

5

6

x 3

¿Podrías hallar el valor de "x"?

Claro que sí, sólo tenemos que buscar la relación que existe entre los demás números dados. Veamos: De la primera figura tenemos que: de la segunda figura tenemos que:

4×2+1=9 3 × 5 + 2 = 17

y

Como verás, se ha encontrado una misma relación para las dos primeras figuras y esa relación se debe dar también en la tercera figura. Por lo tanto; de la tercera figura tenemos que: x = 6 × 3 + 5. Es decir el valor de "x" es 23

Ahora veamos una distribución literal. A

B

C

D

E

F

F

L

?

C

E

G

¿Qué letra falta?

Pag.150 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Para resolver este problema, sólo basta con reemplazar cada una de las letras con los números que indican la posición de éstas en el abecedario. Así tenemos:

1

2

3

4

5

6

6

12

?

3

5

7

De la primera figura se tiene que: 1 + 2 + 3 = 6 y de la segunda figura se tiene que: 3 + 4 + 5 = 12 Por lo tanto; en la tercera figura el número que falta es: 5 + 6 + 7; esto es 18. Entonces tenemos que buscar la letra número 18 en el abecedario y ésta es la letra "Q".

EJERCICIOS PARA LA CLASE I.

Hallar el valor de "x" en cada una de las siguientes distribuciones numéricas. 1)

7

35

5

8

56

7

10

x

9

Rpta.: _____ 2)

12 14 26 17 19 36 8

25

x

Rpta.: _____ 3)

4

3

26

2

9

36

5

7

x

Rpta.: _____

4)

8

3

5

9

6

1

3

10

x

Rpta.: _____ Pag.151 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


5)

31 13 18 17 10 20 91

x

34

Rpta.: _____

6)

3

4

5

17

2

8

6

22

5

3

1

16

4

9

0

x

Rpta.: _____

7)

5

x

1

8

5

3

7

18

2

5

7

5

4

6

5

Rpta.: ___________ 8)

3

2 25

5

2

7 27

3

5

4 x

2

Rpta.: ___________ 9)

3

1

2

2 30 5

4 20 5

3

2

7

x

6

3

Rpta.: ___________ 10)

13

2

8

5

8

6 5

7

4

8

x 6

Rpta.: ___________ Pag.152 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

7

6

5


II. Hallar la letra que falta en cada una de las siguientes distribuciones literales: 1)

C

B

E

J

F

J

F

N

?

A

C

G

Rpta.: _______ 2) C A

E F

C

D

D H

F

B

J ?

Rpta.: _______ 3) I B

O D

E

? C

Rpta.: _______ 4)

B

H

D

E

Ă&#x2018;

C

G

?

C

Rpta.: _______ 5)

B

C

G

C

D

M

E

A

?

Rpta.: _______ Pag.153 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

A

G


TAREA DOMICILIARIA I.

Hallar el valor de "x" en cada caso:

1)

4

36

9

12

72

6

2)

8

(21) 13

13

(10) 24

16 (34) 18

45

(18) 18

11 (x) 13

23

106

(x)

Rpta.: _______

Rpta.: _______

(x)

3)

31

Rpta.: _______

II. Hallar la letra que falta en cada caso: 4)

C

F

D

J

B

L

J

Ã&#x2018;

?

H

X

K

5)

F J

C B

G

? H

Pag.154 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

37

I

E


Repaso general ¿Cómo estás amiguito? Ésta es nuestra última clase del primer bimestre, siento una inmensa alegría al saber que has aprendido mucho. Hoy repasaremos los temas de: Matemática Recreativa, Conteo de Figuras I y II, Sucesiones I y II y Distribuciones. Tienes que aprovechar este repaso al máximo, pues "ya se viene" la evaluación bimestral. ¿Nervioso(a)? no te preocupes que yo te acompaño.

PROBLEMAS 1.

La siguiente columna de cinco filas contiene 15 cifras impares.

Resolución: 1

1

1

3

3

3

5

5

5

7

7

7

9

9

9

Rpta.: ______

El problema consiste en tachar nueve cifras. Eligiéndolas de manera, que al sumar las columnas de las seis cifras restantes se obtenga el número 111. 2.

Hallar el número total de cuadrados en:

Resolución:

Rpta.: ______

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3.

¿Cuántos triángulos hay en el siguiente gráfico?

Resolución:

Rpta.: ______

4.

Hallar el número total de triángulos que tengan un

¨ en su interior.

Resolución:

Rpta.: ______ 5.

Hallar el número total de segmentos en el siguiente gráfico:

Resolución:

Rpta.: ______ 6.

Hallar el número total de cuadrados en el siguiente gráfico:

Resolución:

Rpta.: ______

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7.

Hallar el número total de rectángulos.

Resolución:

Rpta.: ______ 8.

Hallar el número total de cuadriláteros.

Resolución:

Rpta.: ______ 9.

Hallar el número total de segmentos.

Resolución:

Rpta.: ______ 10. ¿Qué números siguen en las siguientes sucesiones? 3; 4; 7; 12; . . . . ; . . . . . 2; 3; 6; 2; -2; 3 . . . . ; . . . . . Rpta.: _______ 11. ¿Qué letras siguen en los siguientes arreglos literales? A; B; D; H; . . . . . E; F; H; K; . . . . ; . . . . . Rpta.: _______ Pag.157 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


12. ¿Qué número falta?

14. Hallar el valor de "x".

15

(40)

25

17 23

(97) (x)

80 60

 

Rpta.: ____________

12 3

3 15

11 6

 

4

1

x

Rpta.: ____________

13. ¿Qué número falta?

15. Hallar el valor de "x".

18

(6)

12

3

6

8

32 48

(14) (x)

18 16

 

5

4

7

15

24

x

Rpta.: ____________

Rpta.: ____________

TAREA DOMICILIARIA 1.

Si la rueda "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido gira "B"?

A

B

2.

Hallar el número total de triángulos.

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3.

¿Qué número sigue en la siguiente sucesión? 12; 24; 14; 22; 16; 20; . . . . .

4.

¿Qué letra continúa? G; J; M; 0; . . . . .

5.

Hallar el valor de "x".

6.

¿Cuántos segmentos hay en el siguiente gráfico?

7.

Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿cuántas de estas ruedas girarán en sentido antihorario?

Pag.159 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


8.

Hallar el total de triángulos en la siguiente figura:

9.

¿Qué número sigue? 1; 2; 4; 7; 11; . . .

10. ¿Qué número falta?

Pag.160 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


´Indice Pág.

å

La reproducción humana: Aparato reproductor femenino - Ciclo menstrual .................. 179

å

Aparato reproductor masculino ................ 183

å

Infecciones de transmisión sexual .............. 187

å

El inicio de la vida - El desarrollo embrionario ...... 189

å

El Sistema Nervioso: Sistema Nervioso Central .................... 195

å

El Sistema Nervioso Periférico ................ 203

å

El Sistema Endocrino ....................... 209

å

Genética: ¿Por qué somos diferentes? ........... 215

Pag.161 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


La reproducción humana ¿Sabías que la reproducción humana es un proceso? En la primera etapa se forman los gametos. ¿Y sabes dónde se forman los gametos? Pues en el sistema reproductor. En una segunda etapa, los gametos deben unirse y formar el cigote, ese es el momento de la fecundación. Con la fecundación se inicia el embarazo, que culminará en el momento del parto.La etapareproductivaterminacuando elhijologra alimentarsesolo.

EL SISTEMA REPRODUCTOR FEMENINO En la mujer, el sistema reproductor está formado por los ovarios, las trompas de Falopio, el útero y la vulva. Trompas de Falopio

Los ovarios son dos órganos, derecho e izquierdo, donde se forman los óvulos. Una vez que estos maduran,

Út ero

son liberados a las trompas de Falopio uno por uno, una vez al mes aproxima-

Vagina Ovarios

damente. Vulva

Las trompas de Falopio son dos tubos que comunican a los ovarios con el útero. Ellas trasladan el óvulo maduro hasta el útero.

El útero, también llamado matriz, es un órgano muscular hueco en forma de pera donde se aloja el cigote (óvulo fecundado) para desarrollarse durante nueve meses, hasta convertirse en bebé.

La vagina es un conducto o canal musculoso y elástico que comunica el útero con el exterior y permite la salida del bebé.

La vulva es el órgano genital externo femenino, está formado por pliegues de piel llamados labios que protegen la entrada de la vagina. Pag.162

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CONOCEMOS NUESTRO CUERPO. Durante la niñez, una niña tiene ya los órganos necesarios para fecundar un bebé, pero aún no están maduros. Durante la adolescencia, sus órganos sexuales comienzan a desarrollarse hasta madurar completamente. Así como el sistema reproductor masculino, también en el fememino podemos destacar los órganos genitales internos y externos. *

Coloca los nombres de los órganos femeninos en el lugar que correspondan:

*

Ahora completa los recuadros:

Órganos internos

Órgano externo

• __________________

• __________________

• __________________ • __________________ • __________________

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UN CICLO IMPORTANTE:

Tengo 10 años y he empezado una etapa muy importante en mi vida. Mi sistema reproductor ha madurado. Mis ovarios están produciendo unas células sexuales llamadas óvulos, que son eliminadas a través de un fluido sanguíneo llamado menstruación. Esto ocurre cada 28 días de la siguiente manera:

CICLO MEN STRUAL Inicio

27

28

1

3

25 El óvulo se dirige al útero, que continúa engrosando sus paredes. Si no es fertilizado, se elimina en la siguiente menstruación

Ocurre la menstruación que dura 4 días, aproximadamente.

2

26

4

24

Durante los primeros 14 días el óvulo va madurando dentro de un ovario.

5

23 6 22 7 21 8 20

9

19

10 18

11 17 16

12 15

14

Se produce la ovulación. Probables días fértiles.

13

El ciclo menstrual tiene 3 etapas: (coloca los nombres de cada etapa en los recuadros según la descripción). 1. Etapa preovulativa El ciclo menstrual se inicia con el primer día de la menstruación. Dentro del ovario, un óvulo va madurando en los folículos. Al mismo tiempo el folículo, secreta la hormona llamada estrógeno la cual hace que la pared uterina se haga más gruesa para recibir al óvulo fecundado.

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2. Etapa ovulativa El día 14 del ciclo, se libera el óvulo maduro del folículo en un proceso llamado ovulación. El óvulo es conducido al útero a través de las trompas de Falopio. 3. Etapa postovulativa Durante los días restantes, el óvulo avanza hacía el útero y el folículo se convierte en el cuerpo lúteo.El cuerpo lúteo secreta progesterona, una hormona que hace al endometrio del útero más grueso. Si el óvulo no es fecundado, el cuerpo lúteo deja de producir progesterona, por lo que se desprende el endometrio produciendo la menstruación o regla.

Folículo

Ovocito

Folículo

Ovocito II

Ovocito II

Cuerpo lúteo

Óvulo

Proceso de maduración del ovocito dentro del ovario

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El Sistema Reproductor Masculino En el hombre, el sistema reproductor está formado por los testículos, los conductos deferentes, las vesículas seminales, la próstata y el pene. •

Los testículos son los órganos encargados de producir los espermatozoides. Ambos están rodeados por una membrana a modo de bolsa llamada escroto.

Los conductos deferentes llevan los espermatozoides de los testículos hasta

Vejiga de la orina

la uretra, en el pene. •

Conduct os deferent es

Las vesículas seminales son dos glándulas que producen un líquido que sirve de alimento a los espermatozoides.

Vesículas seminales

La próstata es una glándula que segrega sustancias

que

permiten

a

Escrot o

Próst ata Test ículos

Pene

los

espermatozoides moverse con más facilidad. •

El pene es el órgano genital externo masculino. Presenta un conducto interno llamado uretra a través del cual salen los espermatozoides.

Los espermatozoides son expulsados con otras sustancias que los protegen y los alimentan y que en conjunto forman el semen.

En cada centímetro cúbico de semen hay aproximadamente 200 millones de espermatozoides.

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A medida que un niño va llegando a la adolescencia, sus órganos reproductores sufren cambios. El sistema reproductor masculino consta de órganos externos y órganos internos. •

Observa la figura y escribe los nombres de los órganos que se señalan.

APLICA LO APRENDIDO 1.

Escribe el nombre de los órganos externos e internos del sistema reproductor masculino, según corresponda.

Sistema Reproductor Masculino Órganos externos

Órganos internos

• • •

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2.

Lee los nombres de los órganos en los recuadros de abajo y colorea según la clave.

azul

órganos externos masculinos

celeste

órganos internos masculinos

rosado

órganos internos femeninos

rojo

órganos externos femeninos

conductos deferentes

vagina

útero

ovarios

3.

pene

trompas de Falopio

escroto

testículos

vesícula seminal

vulva

próstata

Escribe los nombres de los órganos de cada sistema reproductor en los recuadros, según como indique la figura. 1

1

2 3

3

5 4

2 4

5

1.

________________

1.

________________

2.

________________

2.

________________

3.

________________

3.

________________

4.

________________

4.

________________

5.

________________

5.

________________

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4.

Relaciona correctamente. Hay uno que sobra. a.

Se encarga de la producción de la hormona masculina testosterona.

b. c.

Gameto masculino. Medio de transporte de los espermatozoides.

d. e.

Llamados también oviductos. Llamado también matriz.

f.

Gameto femenino.

(

)

Trompas de Falopio.

( (

) )

Óvulo. Útero.

(

)

Testículos.

( (

) )

Espermatozoide. Semen.

(

)

Líquido seminal.

Los elementos sexuales se llaman gametos y los órganos especializados donde se forman, se llaman genitales o gónadas.

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Infecciones de transmisión sexual (I.T.S.) Como su nombre lo indica, las I.T.S. son enfermedades adquiridas durante las relaciones sexuales. Estas enfermedades son muy contagiosas. Hay una gran variedad de I.T.S. Pueden ser causadas por bacterias, hongos o virus que se instalan en el semen, en los fluídos vaginales o en la sangre. Las I.T.S. más comunes son la sífilis, la gonorrea, el herpes genital y el SIDA. •

La sífilis es una enfermedad de transmisión sexual ocasionada por la bacteria Treponema pallidum. La enfermedad evoluciona por etapas. Etapas: ç ç ç ç

1ª etapa

: Se presenta una ulceración rojiza en la zona de contacto que dura de una a cinco semanas. 2ª etapa : Erupciones y manchas en el pecho, espalda, brazos y piernas. Etapa latente : En esta etapa no hay síntomas notables y la persona infectada no puede contagiar a otros. 3ª etapa : Úlceras, en la piel y en órganos internos, inflamación de los pies, manos, rodillas... también pérdida de sensibilidad en los brazos y las piernas, y dolores e incapacidad debido a lesiones en el corazón, vasos sanguíneos, médula espinal y/o cerebro.

La gonorrea es causada por la bacteria Neisseria gonorrhoeae. En los hombres, los síntomas pueden incluir secreción de color amarillento por el pene y sensación de escozor al orinar. En las mujeres, aparece leve aumento del flujo vaginal, sensación de escozor al orinar, transtornos menstruales y dolores abdominales.

El herpes genital es una enfermedad de transmisión sexual de tipo ulcerosa que afecta la piel, empiezan con comezón o ardor en el área infectada y después aparecen pequeñas ampollas.

El SIDA, el virus de inmunodeficiencia humana (VIH), es responsable del síndrome de inmunodeficiencia adquirida (SIDA) y ataca a los linfocitos T4 que forman parte fundamental del sistema inmunológico del hombre. El VIH se puede transmitir por vía sexual, a través del contacto con sangre, tejidos o agujas contaminadas y de la madre al niño durante el embarazo o lactancia. Pag.170

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APLICA LO APRENDIDO 1.

2.

Menciona algunas infecciones de transmisión sexual: •

_______________________

_______________________

• •

_______________________ _______________________

• •

_______________________ _______________________

Identifica el tipo de I.T.S. por los síntomas que se indican a continuación: Síntomas

Enfermedad

Se caracteriza por una secreción amarillenta en los varones. Se caracteriza por la aparición de pequeñas ampollas. Los síntomas se presentan en tres etapas. Ataca al sistema inmunológico.

3.

¿Qué diferencia existe entre un paciente infectado con VIH y un paciente con SIDA? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

4.

Completa: I : _________________________

S : _________________________

T : _________________________

I : _________________________

S : _________________________

D : _________________________ A : _________________________

V : _________________________ I : _________________________ H : _________________________ Pag.171 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


El inicio de la vida

Recuerda que el óvulo es 500 veces más grande que el espermat ozoide.

¿Sabías que de 100 millones de espermatozoides por cm 3 que entran al cuerpo de la mujer, solo uno llega a ent rar al óvulo?

Observemos más de cerca la entrada del espermatozoide al óvulo -

El óvulo libera unas sustancias químicas que atraen a los espermatozoides, de los cuales ingresa solo uno.

-

Después de ingresado el espermatozoide, el óvulo forma una barrera química que evita que ingresen otros espermatozoides.

-

La fecundación termina cuando el material nuclear de ambas gónadas se funde y se restablece el número de cromosomas.

-

A este óvulo fecundado se le llama cigoto.

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EL DESARROLLO EMBRIONARIO EL CRECIMIENTO DEL CIGOTO Un día después de la fecundación, el cigoto comienza a dividirse por mitosis: primero en dos células, después en cuatro, en ocho, y así sucesivamente. A los tres días, el embrión tiene el aspecto de una bola de células llamada mórula, por su parecido con una mora. Después de estas divisiones, las células empiezan a diferenciarse y forman el embrión. Siete días después de la fecundación, el embrión llega al útero y se implanta, es decir, se adhiere a la pared del útero. El embrión permanecerá en el útero durante nueve meses hasta completar su desarrollo. LA GESTACIÓN El óvulo fecundado se desarolla en el útero materno. Este período se llama gestación o embarazo y tiene una duración de 280 días aproximadamente. Durante los dos primeros meses, el nuevo ser que se está desarrollando se denomina embrión. A partir del tercer mes, el embrión ya tiene órganos formados y recibe el nombre de feto. ÓRGANOS QUE PROTEGEN AL EMBRIÓN Al mismo tiempo que se desarrolla el embrión, también se forman órganos encargados de proteger y nutrir al embrión y, más tarde, al feto. Éstos son el saco amniótico y la placenta. •

El saco amniótico es una bolsa llena de líquido amniótico dentro de la cual el feto "flota" y es protegido de golpes y presiones.

La placenta es el órgano que comunica al feto con la madre. A través de la placenta el feto recibe oxígeno y alimento de su madre, y elimina tanto los desechos como el dióxido de carbono.

La placenta y el feto están unidos por el cordón umbilical, el cual es cortado durante el parto; el ombligo es la cicatriz que queda tras la rotura del cordón umbilical en el bebé.

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OVULACIÓN Y FECUNDACIÓN Encuentro del óvulo y los espermatozoides

Cigot o

Recorrido del óvulo por la t rompa

Fecundación Trompa de Falopio Óvulo

Ascenso de los espermat ozoides Implant ación en el út ero

ALGUNAS ETAPAS DEL DESARROLLO EMBRIONARIO •

Al cuarto día después de la fecundación, el embrión es microscópico y recibe el nombre de mórula.

A las tres semanas, el embrión mide 6mm. Se empiezan a formar algunos órganos, como el cerebro y el corazón.

A los dos meses y medio, el feto se encuentra flotando en la bolsa amniótica. En esta etapa, se forma la placenta.

A los tres meses, el feto ya tiene formados todos los órganos. Pesa aproximadamente 28g y mide 7cm.

A los cinco meses, se forman el aparato digestivo y los riñones. Ya tiene pelos y uñas. La madre empieza a notar sus movimientos. Mide 30cm y pesa 450g.

A los siete meses, está bien formado y puede nacer y vivir. Distingue luz y oscuridad y oye sonidos del exterior. Mide 40cm y pesa 1,5kg.

A los nueve meses, está totalmente desarrollado. En los últimos dos meses ha engordado hasta pesar 3kg y medir 50cm.

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CASOS ESPECIALES: MELLIZOS Y GEMELOS. En los humanos, los embarazos múltiples son poco frecuentes; sin embargo, algunas veces se forman a un mismo tiempo dos o más bebés que pueden ser mellizos o gemelos. •

Los mellizos se forman cuando los ovarios producen dos óvulos al mismo tiempo y cada uno es fecundado por un espermatozoide distinto. Ambos se desarrollan en el útero como dos bebés diferentes, que pueden ser de igual o de distinto sexo.

Los gemelos se forman cuando un óvulo fecundado por un espermatozoide da lugar a un embrión que, cuando aún tiene unas pocas células, se separa en dos partes, dando origen a dos bebés. Los gemelos comparten la misma placenta y tienen la misma información genética, por lo cual serán siempre del mismo sexo y muy parecidos físicamente. GEM ELOS M ELLIZ OS

D ESARROLLO IN TRAU TERIN O Saco amniót ico Líquido amniót ico

Cordón Vasos umbilical sanguíneos

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Z ona de int ercambio de sangre ent re el út ero y la placent a.

Placent a

Út ero


LA DULCE ESPERA Averigua y contesta acerca de uno de los momentos más importantes y más hermosos de la mujer: el embarazo. ¿Cuánto dura el periodo de gestación? ___________________________________________ ¿Qué pasa durante el primer trimestre? ___________________________________________ ___________________________________________ ¿Qué órganos se desarrollan en el segundo trimestre? ___________________________________________ ___________________________________________ ¿Cómo se alimenta y respira el bebé? ___________________________________________ ___________________________________________ ¿Qué ocurre en el tercer trimestre? ___________________________________________ ___________________________________________ ¿Qué órganos desarrolla la mujer durante el embarazo? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ¿Cómo se llama el bebé durante el primer trimestre? _____________________ ¿Cómo se llama el bebé durante el segundo y tercer trimestre? ____________________________________________________________________ ¿Qué cuidados debe tener la gestante durante los 9 meses? a.

________________________________________________________________

b. c.

________________________________________________________________ ________________________________________________________________

d. e.

________________________________________________________________ ________________________________________________________________

f.

________________________________________________________________

g.

________________________________________________________________ Pag.176

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DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE 1.

Observa el siguiente gráfico y describe lo que está ocurriendo. Reconoce cuál es la mórula. Escribe debajo de cada figura el nombre que le corresponde.

______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 2.

Escribe los órganos involucrados en el proceso del embarazo.

3.

Escribe el nombre del órgano al que se refiere cada una de las descripciones: a.

Bolsa o membrana que rodea al bebé, contiene el líquido amniótico.  ___________________

b.

Estructura de vasos sanguíneos del bebé y de la madre que se forma en el útero.  ___________________ Pag.177

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Sistema Nervioso El cuerpo humano es una compleja máquina que requiere de armonía en cada una de sus piezas para poder llevar una vida normal. Al igual que todas las máquinas de alta tecnología, necesita de una computadora central que administre y controle cada una de sus funciones y movimientos. ¿Y qué creen? ¡La tenemos!; pero nuestra computadora es mucho más completa, ya que además nos permite pensar, sentir, actuar y decidir. Esta computadora es el Sistema Nervioso, constituido por un conjunto de órganos que nos permiten ponernos en contacto con el mundo exterior y dirigir las funciones orgánicas. Su trabajo consiste en recoger los estímulos que recibimos tanto en el ámbito consciente: por ejemplo, ver televisión, jugar, bailar una canción de moda; como en el inconsciente: como puede ser el daño que provoca una bacteria en los dientes, los latidos del corazón que transforma en impulsos nerviosos, etc.

La neurona: célula fundamental La neurona es la célula fundamental y básica del sistema nervioso. Las neuronas miden menos de 0,1 milímetro. Se distingue de una célula normal por su incapacidad para reproducirse, lo cual explica que toda lesión cerebral sea definitiva.

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Es una célula alargada, especializada en conducir impulsos nerviosos. En las neuronas se pueden distinguir tres partes fundamentales, que son: soma, axón y dendritas. Axón

Soma

Dendritras

Éstas tienen una doble misión: por una parte, conectan a las neuronas entre sí –proceso denominado sinapsis- y, por otra, al reunirse con cientos o miles de otros axones, dan origen a los nervios que conectan al sistema nervioso con el resto del cuerpo.

Sinapsis neuronal Dendritas Núcleo

Axón

En comparación con el de los otros animales, el Sistema Nervioso del hombre es el de mayor complejidad. Está dividido en: o o

Sistema Nervioso Central (S.N.C.) Sistema Nervioso Periférico (S.N.P.)

Sistema Nervioso Central (S.N.C.) Las estructuras que forman el S.N.C. se ubican dentro de los huesos del cráneo y por la columna vertebral. Además de esta protección, el S.N.C. cuenta con unas membranas llamadas meninges y un líquido llamado céfaloraquideo; que también lo protegen. Pag.179 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


SISTEMA NERVIOSO CENTRAL (S.N.C.)

El S.N.C. está constituido de la siguiente manera: 1. Cerebro: Órgano encargado de la actividad motora sensitiva y las funciones superiores (razonamiento, memoria, juicio, abstracción, inteligencia).

A. ENCÉFALO

2. Tronco encefálico: Controla funciones vitales como la respiración, la circulación, etc. Es el encargado del estado de vigilia y conciencia. 3. Cerebelo: Órgano encargado del equilibrio y coordinación de los movimientos del cuerpo.

B. MEDULA ESPINAL: Estructura cilíndrica que se ubica dentro de la columna vertebral, comunica el encéfalo con el cuerpo y es el centro de los actos reflejos, como el rotulario.

SISTEMA NERVIOSO CENTRAL

Cerebro Cerebelo Tronco encefálico

Médula espinal

El encéfalo humano

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DEMENCIA SENIL

Una quinta parte de las personas mayores de 60 años muestran síntomas de demencia senil: Olvidan algunas cosas, descuidan su aspecto personal, preguntan varias veces lo mismo y después olvidan las respuestas. El 15% de las personas afectadas por la demencia senil sufre daños cerebrales causados por una serie de apoplejías. Esto se produce cuando diminutos vasos sanguíneos quedan bloqueados a veces durante varios años.

Vaso sanguíneo

zonas de tejido cerebral muerto

Vaso sanguíneo bloqueado

APLICA LO APRENDIDO 1.

2.

Marca verdadero "V" o falso "F" según corresponda: a.

El cerebro se encarga de la actividad motora.

(

)

b.

El cerebro se encarga de las funciones superiores.

(

)

c.

El encéfalo está constituido por el cerebro y el cerebelo.

(

)

d.

La neurona tiene dos partes fundamentales.

(

)

e.

El sistema nervioso está constituido por neuronas.

(

)

Relaciona ambas columnas según corresponda: a.

Incapacidad para reproducirse.

(

)

cerebelo

b. c.

Órgano encargado del estado de vigilia. Cerebro, cerebelo y tronco cerebral.

( (

) )

encéfalo neurona

d.

Órgano encargado de la coordinación de movimientos y equilibrio.

(

)

tronco cerebral

e.

Centro de actos reflejos.

(

)

médula espinal

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3.

Marca la respuesta correcta: •

El S.N.C. está constituido por el encéfalo y ... a. d.

el tronco cerebral

teledendrón soma o cuerpo

b. mielina e. dendritas

c.

axón

neurona - membranas - conectado sinapsis - neuronas - interconectado neurosis - neuronas - alerta

Las ______________________ son las "asistentes" que se encargan de alimentar y reparar las _________________ a. b. c.

4.

c.

La __________ es un proceso mediante el cual se comunican unas _________ con otras, manteniendo ___________ el cuerpo. a. b. c.

b. el cerebelo e. la médula espinal

La ___________ es la capa que cubre el axón. a. d.

el cerebro la neurona

neurona - neuroglías neuronas - astrocitas neuroglías - neuronas

Señala las partes de la neurona:

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EXPERIMENTEMOS Observando un encéfalo. I.

Objetivo Observar la estructura externa e interna del encéfalo de un mamífero.

II. Materiales - Encéfalo de res. - Frasco de boca ancha. - Equipo de disección. III. Procedimiento 1.

Coloca el encéfalo en el recipiente, luego observa: c)

¿Cuántas partes tiene el encéfalo?

b) ¿Cuántos hemisferios observaste en el encéfalo? c)

__________ __________

Dibuja el encéfalo tal como lo observaste y señala las partes:

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2.

Practica un corte por la cisura interhemisférica, dividiendo el encéfalo en 2 partes iguales y luego responde: a)

¿Qué se observa en el centro de los hemisferios? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

b) ¿Qué membranas cubren los órganos del encéfalo? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ c)

Las membranas en conjunto, ¿qué nombre reciben? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

d) Dibuja todo lo observado en el interior del encéfalo.

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TAREA DOMICILIARIA 1.

Contesta las siguientes preguntas: a.

¿Cuál es la función del cerebro? ________________________________________ ________________________________________

b.

¿Cómo se llama la capa que cubre al cerebro? ________________________________________ ________________________________________

Colorea los lóbulos de acuerdo c. alaclave: rojo

:occipital

azul verde

:parietal :temporal

amarillo :frontal

2.

d.

¿En cuántos hemisferios se divide el cerebro y cuáles son? ________________________________________ ________________________________________ ¿Cuántas cisuras presenta el cerebro y cuáles son? ________________________________________ ________________________________________

Investiga y copia en tu cuaderno: a.

¿Cuánto mide la neurona más grande de tu organismo?

b.

¿Cuánto pesa el encéfalo del hombre y cuánto el de la mujer?

c.

El cerebro de Albert Einstein, ¿fue uno común y corriente o fue diferente?

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Sistema Nervioso Periférico El S.N.P. controla las actividades de carácter involuntario y también las actividades que permiten a nuestro cuerpo mantenerse informado de lo que ocurre en el mundo exterior y responder a dichos cambios. Está formado por nervios que se ubican fuera del S.N.C. y por ganglios (que están en el trayecto de los nervios). Estos nervios se dividen en 12 pares de nervios craneales y 31 pares de nervios espinales. Estos nervios llevan la sensibilidad del cuerpo hacia el S.N.C y, a su vez, conducen las respuestas de éste hacia el cuerpo. Los nervios craneales se ubican a lo largo de la cabeza y cuello, y los espinales están ubicados en el resto del cuerpo.

SISTEMA NERVIOSO PERIFÉRICO Nervios craneales Plexo cervical Plexo branquial

Nervio frénico

Nervios torácicos

Nervio radial Plexo lumbar Nervio cubital

Plexo sacro-croxígeo

Nervio ciático

Nervio saferno Nervio femoro-cutáneo

Nervio peroneo común Nervio cutáneo lateral

Nervio cutáneo medial Nervio tibial Nervio sural

Rama plantar lateral Rama plantar medial

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Los reflejos Los reflejos son respuestas innatas e involuntarias frente a un determinado estímulo. Esta actividad refleja, afecta solo a determinadas partes del cuerpo a las que llega el estímulo. Los reflejos no solo se observan en los animales más simples, sino también en el hombre. Por acción de los actos reflejos, se llevan a cabo una serie de actividades que no implican un control voluntario y son vitales para el buen funcionamiento del organismo. Por ejemplo: la tos, el estornudo, los movimientos respiratorios, los movimientos cardíacos -o del corazón-, la variación del grado de abertura de la pupila, el diámetro o calibre de las arterias, el parpadeo, etc. EL ACTO REFLEJO Un reflejo es una respuesta involuntaria y predecible ante un estímulo, generada cuando las fibras nerviosas motoras transmiten la señal al músculo, el cual se contrae. Esto ocurre, por ejemplo, cuando se da un golpe en la rodilla -específicamente en el tendón de la rótula-, por lo que automáticamente la pierna da una ligera patada. Este reflejo es muy importante ya que nos permite Estímulo mantenernos en pie. Para que se produzca un acto reflejo, Tendón las neuronas de la médula espinal rotuliano informan a las motoras, sin la intervención del cerebro. Este camino del impulso nervioso se llama "acto reflejo". Un movimiento reflejo de gran importancia es la activación de las glándulas salivales frente al estímulo de un alimento.

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Músculo del muslo Fibra nerviosa motora

Fibra nerviosa

Nervio Médula espinal


APLICA LO APRENDIDO 1.

Observa la siguiente figura y contesta: Encéfalo M édula espinal

Médula Espinal

Vértebras

Nervios

Nervios

2.

a.

¿De dónde salen los nervios? _____________________________________________________________

b.

¿Qué conforman los nervios? _____________________________________________________________

c.

¿A qué sistema nervioso pertenecen los nervios? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

d.

¿Hacia dónde van los nervios? _____________________________________________________________

e.

Entonces, ¿cuál es la función de los nervios? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

Observa y responde: a.

¿Qué es lo que hace la señorita? ____________________________________________ ____________________________________________

b.

¿Es un acto voluntario? ¿Por qué? ____________________________________________ ____________________________________________ Pag.188

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c.

Cita cinco ejemplos de actos voluntarios. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Las reacciones voluntarias son las que se piensan antes de hacer. 3.

Observa y responde: médula espinal

a.

¿Hacia dónde va la neurona sensorial? ___________________________________

b.

¿En dónde se conecta la neurona sensorial con la neurona motora? ___________________________________ ___________________________________

c.

¿Hacia dónde va la neurona motora? ___________________________________

d.

¿Qué sucede con la pierna? ___________________________________

e.

¿Es una acción voluntaria? ¿por qué? ___________________________________

neurona sensorial neurona motora 1º

Las reacciones involuntarias se ejecutan sin pensar. Es conocido como acto reflejo una respuesta automática que no implica la participación del cerebro.

4.

Marque verdadero (V) o falso (F) según sea el caso: a.

El S.N.P. permite que nuestro cuerpo esté informado de lo que ocurre en el mundo exterior y responda a dicho cambios.

( )

b.

Los nervios craneales en total son 31 pares.

( )

c. d.

Los nervios espinales en total son 12 pares. Los nervios craneales conducen los estímulos de la cabeza y cuello.

( ) ( )

e.

Los nervios espinales conducen los estímulos del resto del cuerpo.

( )

Pag.189 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


TAREA DOMICILIARIA 1.

2.

Busca en el pupiletras los siguientes términos: - nervios craneales

- estímulo

- nervios espinales - médula espinal

- respuesta - acto reflejo

- columna vertebral

- ganglios

a n o l t

d c t a c

i u a r i

d e c b u

a c r e s

m e u t o

e a n r s

l m l e a

s o i v r

e l o a m a e n f m

a l s u t

e u e l j

n d n o e

a a s r r

r r e s p

c l l r a

b e n s c

u r i e h

e s p i n

v t s h t

u n e r v

e t u c r j

t o h o a e

t l a m r m

a l q u i e

t i m u l o

a y a a n d

n g e o a i

c a t a r g

e n f e t o

o g f n n y

e i h d s q

a o e l o u

s s n m a e

a t o e l t

u e s t a e

y d m b e j a m h g u g a e n m a u

i k l j o d

a l e l l a

r l v c h n

i o s l a p

u l o c a o

b n a l u

Investiga y copia en tu cuaderno: a.

¿Qué es la hemiplejia?

b.

¿Por qué se dice que una persona está en "estado vegetal"?

c.

¿Qué es la muerte cerebral?

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Sistema Endocrino El sistema endocrino se encarga de mantener el equilibrio químico, necesario para que todo el cuerpo funcione correctamente. Este sistema está formado por las glándulas endocrinas ubicadas en distintas partes del cuerpo, produciendo hormonas que regulan los procesos metabólicos; es decir, son responsables de mantener equilibrados los niveles de las sustancias que determinan el correcto funcionamiento de todos los tejidos y procesos del cuerpo. Las glándulas denominadas endocrinas, vierten las hormonas al torrente sanguíneo para que se dirijan a la zona del cuerpo que deben controlar. Las hormonas son los mensajeros químicos del cuerpo, transmiten la información que controla el ritmo al que funcionan los procesos y órganos del cuerpo. Las glándulas endocrinas tienen un sistema de autocontrol que fiscaliza los niveles hormonales presentes en la sangre. Cuando una glándula secreta más hormonas de las que necesita el cuerpo, el sistema endocrino la desconecta o disminuye su ritmo. Al revés, cuando el cuerpo requiere que la glándula acelere su funcionamiento, el sistema la conecta o acelera. Entre las principales glándulas tenemos:

Hipotálamo Hipófisis Tiroides Paratiroides

Suprarrenales

Páncreas Ovario Testículos

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A. Hipotálamo Es una estructura que se ubica en la base del cerebro. Produce dos hormonas que, tras almacenarse en la hipófisis, actúan directamente sobre otros tejidos: la antidiurética y la oxitocina. La hipófisis y el hipotálamo trabajan en equipo, ya que este último órgano actúa como puente entre el Sistema Nervioso y el Endocrino. B. Hipófisis Llamada también pituitaria, tiene forma ovoide y mide seis por doce milímetros; se ubica en la base del cerebro, colgando mediante un pedúnculo del hipotálamo. Está formada por dos lóbulos: el anterior y el posterior. La hipófisis controla el funcionamiento hormonal de las glándulas tiroides, suprarrenales y las gónadas, influyendo directamente en el crecimiento, la maduración y la reproducción, por eso es conocida como la jefa de las glándulas. Entre las hormonas que elabora tenemos: la hormona del crecimiento, la hormona prolactina, la hormona estimulante de la tiroides. C. Tiroides Es una glándula situada en la parte anterior del cuello. Es la glándula endocrina más grande del cuerpo. Está formada por dos lóbulos: derecho e izquierdo, unidos mediante una porción estrecha o istmo, de forma similar a una mariposa. Mide cinco centímetros de ancho, cuatro de alto y algo más de un centímetro de espesor. Tiene las siguientes funciones:   

Aumenta el metabolismo, lo que provoca mayor producción de calor. Estimula el crecimiento y desarrollo corporal. Produce la hormona tiroxina.

El excesivo funcionamiento de la tiroides provoca bocio; por el contrario, la producción deficiente de las hormonas tiroideas produce cretinismo y mixedema. D. Paratiroides Se ubican detrás de la tiroides, son cuatro glándulas ovaladas del tamaño de una semilla de manzana, que se localizan sobre la pared posterior de la tiroides y tienen una función complementaria a ella. Producen una hormona llamada parathormona, que regula el metabolismo del calcio y el fósforo del organismo. Pag.192 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


E. Glándulas suprarrenales Las suprarrenales o adrenales son dos pequeñas glándulas de forma triangular ubicadas sobre los riñones. Entre las hormonas que producen, está la adrenalina que prepara al organismo en situaciones de emergencia. F.

Páncreas El páncreas es un órgano glandular blando de diez a quince centímetros de longitud, ubicado detrás del estómago. Su función es secretar dos hormonas: la insulina y el glucagón, que regulan la concentración de glucosa en la sangre.

G. Testículos Son dos glándulas que se encuentran en una bolsa de piel y músculo denominado escroto. Producen la hormona testosterona, responsable de los caracteres sexuales primarios y secundarios del hombre. H. Ovarios Son dos glándulas que se encuentran en la pelvis y tienen forma de almendras. Producen las hormonas estrógenos y progesterona, que se encargan del desarrollo de los caracteres sexuales secundarios en la mujer y de la preparación del útero para la recepción del óvulo, respectivamente. ÉPOCA DE CAM BIOS Debido a la acción de las hormonas sexuales -estrógenos, progesterona y testost erona-, todos los niños alrededor de los doce años empiezan a experimentar una serie de cambios físicos y psicológicos. Éstos no se detendrán hasta los 17 ó 20 años. El esquema muestra las modificaciones físicas más importantes. La piel se vuelve más grasosa. Es común la aparición de acné. Aparece vello facial. Las mamas crecen y se dest acan los pezones.

La voz cambia. Aparecen vellos en las axilas.

Los hombros se ensanchan.

Se desarrollan los músculos.

Los genitales se engruesan. Aumenta el grosor de los muslos.

Surge el vello púbico. Los vellos en los brazos y piernas aumentan y se engruesan.

Pag.193 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

El pene aumenta de t amaño y se oscurece. Los test ículos se agrandan.


APLICA LO APRENDIDO 1.

Marca la respuesta correcta: A . Las glándulas suprarrenales se ubican en:

B.

a.

hígado

b.

estómago

d.

riñones

e.

corazón

c.

bazo

Glándula ubicada en la parte anterior e inferior del cuello, tiene forma de "H": a.

ovarios

b.

paratiroides

d.

hipófisis

e.

tiroides

c.

páncreas

c.

tiroides

c.

el cerebro

C. La adrenalina es elaborada por: a.

glándulas suprarrenales

b.

hipófisis

d.

paratiroides

e.

páncreas

D. Las glándulas vierten las hormonas hacia:

E.

2.

a.

la sangre

b.

afuera

d.

la orina

e.

N.A.

Hormona responsable de los caracteres sexuales primarios y secundarios del hombre: a.

progesterona

b.

parathormona

d.

testosterona

e.

N.A.

c.

estrógenos

Relaciona ambas columnas según sea el caso: a.

paratiroides

(

)

secreta la tiroxina

b.

tiroides

(

)

produce la progesterona

c.

glándulas suprarrenales

(

)

es impar

d.

hipófisis

(

)

nos prepara para emociones extremas

e.

ovarios

(

)

son 4 glándulas

f.

páncreas

(

)

jefa de las glándulas

Pag.194 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


3.

Completa:

Sistema Endocrino formado por:

producen:

como:

secretadas

que es la

jefa de glándulas

que controla el

crecimiento del cuerpo

se ubica en la

corteza renal

glándulas suprarrenales - hormonas - hipófisis glándulas - tiroides - en la sangre 4.

Busca en el pupiletras los siguientes términos: - sistema - hormonas - tiroides - ovarios

s s a c h g e c g f i m n

i d a c i l i t l e i u s

- endocrino - sangre - páncreas - testículo

s i v r p u i n a o r u u

t s b a o t o c n n p c p

e e o u f e i k d r a u r

m ñ c t i o e d a m n l a

a a i c s s r r l p c o r

a c i x o r o j l l c u i s n s e l r k m a e g a s d e t e r e a s h o r e n

- glándulas - hipófisis - suprarrenales - bocio

o n j a e n a l i a o r d t i r o v e o e l a n i e l s t i s u y r m o a l e

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s d n n r a p d z c w n s

a o g t o r l u c u r a r

n c e n i i p l z l w s e

g r m e d o p a d o s d s

r e s i n o g e m t n e e s n r i o l p v s a a c z r a p i r w o t a s o m d


TAREA DOMICILIARIA 1.

Observa las imรกgenes y analiza

c.

a.

El bocio se produce porque: _______________________________________ _______________________________________

b.

Este transtorno se caracteriza por: _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________

El enanismo se produce porque: _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________

d.

Este transtorno se caracteriza por: _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________

e.

La acromegalia se produce porque: _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

f.

Este transtorno se caracteriza por: _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ Pag.196

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¿Por qué somos diferentes? ¿Sabes por qué eres diferente de los demás? Porque todas tus características: el color de tus ojos, la forma de tu rostro, el color de tu piel, la forma de tus orejas, tu nariz, tu tipo de sangre, etc., lo heredastes de tus padres y antepasados en una combinación única: tú. ¿QUÉ ESTUDIA LA GENÉTICA? La Genética estudia los caracteres semejantes que se transmiten de padres a hijos, aquellos que los hace parecerse entre sí. También estudia aquellos caracteres que no son semejantes, que varían, y a los cuales dentro de esta ciencia se les denomina "variaciones", y que también son transmitidos genéticamente, o son influenciados por el medio ambiente. •

La clave está en los cromosomas. Cada característica nuestra responde a una "instrucción" que se encuentra en los cromosomas. Los cromosomas están en el núcleo de la célula. Cada cromomosa tiene una pareja exactamente igual, excepto las células sexuales, como veremos más adelante.

LOS CROMOSOMAS: Los cromosomas están formados por una sustancia química llamada ADN. El ADN codifica la información de lo que somos.

Los cromosomas: lugar donde reside la información genética.

ADN

Si estirásemos el ADN veríamos que tiene forma de escalera de caracol. Si juntásemos todas las letras del código genético de todas las células de nuestro cuerpo, tendríamos 3 000 000 000 000 de letras (¡tres millones de millones!). Más aún, si las escribiésemos en libros llenaríamos más de 1000 enciclopedias que, puestas una sobre otra, formarían una pila de libros de 50 metros de altura. Pag.197 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Forma de oreja

"B" Tipo de sangre

Tipo de pelo

Una sola característica, como la instrucción que determina el color de tus ojos, está codificada por varios escalones o moléculas. Este grupo de moléculas se llama gen. En un cromosoma puede haber cientos de genes. •

Transmitiendo características. Ya sabes que cada cromosoma puede contener cientos de genes y que cada gen decide una característica: el color de tus ojos, la forma de tus manos, tu estatura, etc. Estos cromosomas que llevan la información de los padres, pasan a los hijos a través de los gametos.

CU AD RO DE CARACTERÍSTICAS H U M AN AS QU E N O S D ISTIN GU EN ÓRGAN O QU E PRESEN TA LAS CARACTERÍSTICAS

CARACTERÍSTICA DOM IN AN TE

CARACTERÍSTICA RECESIVA

Nariz

Aguileña Ancha (orificios nasales anchos) Larga

Respingada Fina (orificios nasales pequeños) Pequeña

Labios

Labios interiores gruesos

Labios normales

Mentón

Partido

Sin partir

Pelo

Oscuro (negro, castaño oscuro) Rizado Ondulado

Claro (rubio, castaño claro) Lacio Lacio

Orejas

Lóbulo inferior libre Borde superior en punta Largas

Lóbulo inferior pegado Borde superior redondeado Cortas

Iris

Oscuro

Claro

Lengua

Aptitud para hacer la "U"

Sin la aptitud

Dientes

Incisivos junt os

Incisivos separados

Pag.198 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


El dibujo representa un cromosoma imaginario y muestra cómo los genes pueden definir ciertas características del individuo. Estos genes pertenecen a distintos cromosomas en la vida real.

1

X

6

13

Y

2

7

3

8

14

15

21

4

9

16

10

17

18

5

11

19

12

20

22 Cariotipo de un varón normal.

DETERMINACIÓN DEL SEXO El cromosoma encargado de definir que un ser humano sea hombre o mujer es el par 23. ¿Cómo sucede esto? Las células sexuales; es decir los gametos, tienen la mitad de los cromosomas de las células del resto del cuerpo. Las células sexuales masculinas; es decir los espermatozoides, tienen 23 cromosomas en su núcleo, pero el cromosoma 23 puede tener forma de X o de Y. Las células sexuales femeninas; es decir los óvulos, tambien tienen 23 cromosomas, pero todos tienen forma de X. Cuando se une un espermatozoide Y con un óvulo, se forma una célula cigote XY, que dará lugar a la formación de un bebé hombre. Pero cuando se une un espermatozoide X con un óvulo, se forma una célula cigote XX, que dará lugar a la formación de un bebé mujer. La célula cigote, resultante de la unión del espermatozoide con el óvulo, tendrá 46 cromosomas, 23 del padre y 23 de la madre. ¡Ahora sabes por qué las células sexuales solo tienen 23 cromosomas! Pag.199 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


22 + X

22 + X

XX

22 + Y

22 + X

XY

¿Quién manda? El siglo pasado, un monje austríaco llamado Gregor Mendel observó que al cruzar plantas de arveja que tenían semillas lisas con plantas de arveja con semillas arrugadas, las plantas hijas aparecían todas con semillas lisas. Mendel llamó a la característica de la semilla lisa, dominante y a la de la semilla arrugada, recesiva. Cuando se unen los cromosomas del padre y de la madre y en la información de los genes del padre dice "ojos marrones" pero la de la madre dice "ojos azules", el bebé no sale con un ojo azul y otro marrón. Ocurre que algunos genes predominan sobre otros, imponiendo sus características. Por eso los hijos a veces se parecen más al papá, a veces a la mamá, y a veces salen mitad y mitad.

Los genes pueden cambiar su clave: mutación Como ya sabes, el género humano tiene 46 cromosomas en sus células. Estos cromosomas llevan aproximadamente un millón de genes. Cada gen tiene una clave y una posición dentro del cromosoma. Si el número de cromosomas o la clave del gen varían, aparece una mutación. Un ejemplo de mutación es el albinismo -la pérdida de pigmento de la piel- que se debe a una falla en la clave del gen que determina el pigmento melanina.

ANOMALÍAS GENÉTICAS La ciencia moderna nos ayuda a entender por qué diferentes generaciones de una familia tienen el mismo color de ojos o calvicie, así como otros rasgos hereditarios, ya sean útiles, inocuos o nocivos, o por qué a veces se dan aunque no haya antecedentes en la familia. El asesoramiento en genética ayuda a las personas a identificar y entender qué rasgos particulares pueden transmitir a sus hijos y también a determinar los riesgos particulares que podrían influir sobre el resultado del embarazo. Pag.200 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


Algunas veces, un gen anormal puede causar o contribuir a la aparición de un defecto de nacimiento. Los defectos de nacimiento también pueden ser resultado de factores ambientales, como abuso de drogas o alcohol, ciertas infecciones o la exposición a ciertos medicamentos u otros productos químicos. Con frecuencia, los defectos de nacimiento parecen reflejar una combinación de herencia y entorno. Los defectos de nacimiento pueden ser causados por errores en la totalidad o parte de un cromosoma. Estos errores se producen durante la formación del óvulo o del espermatozoide. Generalmente se produce porque hay un cromosoma adicional o falta alguno o está roto. •

Frecuencia del síndrome de Down y edad de la madre Las probabilidades de tener un hijo con síndrome de Down aumentan con la edad de la madre. Este es un error de herencia cromosómica causado por una alteración del cromosoma 21. Los afectados con el síndrome de Down presentan estatura baja, cabeza redondeada, frente alta y aplanada, lengua y labios secos y fisurados. Presentan epicanto, pliegue de piel en la esquina interna de los ojos. Las palmas de las manos muestran un único pliegue transversal. Tienen retraso mental moderado y problemas cardíacos. Los padres que han tenido un bebé con un trastorno cromosómico deben consultar a un asesor en genética. Estos profesionales ayudan a las familias a entender lo que se conoce sobre las causas de los defectos de nacimiento y las probabilidades de que puedan ocurrir en otro embarazo. Afortunadamente, en la mayoría de los casos, los padres de un bebé con el síndrome de Down usualmente tienen un riesgo de uno por ciento de tener otro bebé afectado, en adición al riesgo que la madre corra basado en su edad.

Pag.201 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


1

X

6

13

Y

2

7

3

8

14

9

15

21

4

16

22

10

17

18

5

11

19

12

20

Cariotipo de un hombre con síndrome de Down (45 cromosomas + XY)

APLICO LO APRENDIDO 1.

¿Qué estudia la Genética? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

2.

Completa: A D N

3.

: ___________________________ : ___________________________ : ___________________________

Piensa y responde: a.

¿Dónde se encuentran y cómo están formados los cromosomas? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

b.

¿Qué información tienen los cromosomas? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

c.

¿Qué es un gen? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ Pag.202

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d.

¿Qué diferencia hay entre los cromosomas del espermatozoide y los del óvulo? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

e.

¿Por qué es el hombre quien determina el sexo del bebé? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

f.

¿Qué es una característica dominante? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

g.

¿Qué es una mutación? _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

4.

¿Puedes determinar el sexo de las siguientes combinaciones genéticas?

22X + 22Y

5.

22X + 22X

Construye el árbol genealógico de tu familia usando las fórmulas cromosómicas sobre la determinación del sexo.

Abuelo

Abuela

22X __

22__X

Abuelo

Padre

Hermano

Abuela

Madre

Yo

Hermana

Colorea los recuadros de las formas que determinan el sexo de sus descendientes (hijos). Pag.203 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.


TAREA DOMICILIARIA 1.

2.

El síndrome de Down se produce porque: a.

Solo hay un cromosoma en el "par 23".

b.

Ocurre una trisomía en el "par 21".

c.

Ocurre una trisomía en el "par 23".

d.

Solo hay un cromosoma en el "par 21".

e.

N.A.

Marque verdadero "V" o falso "F" según corresponda: a.

Los cromosomas están compuestos por ADN.

(

)

b.

Los genes constituyen los cromosomas.

(

)

c.

Los cromosomas se ubican en el núcleo celular.

(

)

d.

La especie humana tiene 46 pares de cromosomas.

(

)

e.

El padre determina el sexo de su hijo.

(

)

f.

La célula cigoto de una mujer será: XY.

(

)

g.

La célula cigoto de un hombre será: XX.

(

)

h.

El "padre de la genética" es Gregor Mendel.

(

)

i.

El cabello negro del peruano es determinado por un gen recesivo.

(

)

j.

La mutación se produce cuando hay una alteración en el número de

(

)

cromosomas o del gen. 3.

Investiga y anota en tu cuaderno sobre "El Genoma Humano" y "La Clonación". Luego realiza una exposición.

Pag.204 An evaluation version of novaPDF was used to create this PDF file. Purchase a license to generate PDF files without this notice.

libro de 6to grado Isaac Newton  

Libro de sexto grado de primaria para modificar

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