6.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje
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En cada volumen
b
a
En cada nivel la sección transversal
FIGURA 6.6 Principio de Cavalieri. Estos sólidos tienen el mismo volumen. Esto puede ilustrarse con una pila de monedas (ejemplo 2).
EJEMPLO 3
Volumen de una cuña
Se corta una cuña curva de una cilindro con radio 3 en dos planos. Uno de los planos es perpendicular al eje del cilindro; el otro cruza al primero formando un ángulo de 45° en el centro del cilindro. Determinar el volumen de la cuña.
2!9 " x 2
Dibujamos la cuña y bosquejamos una sección transversal representativa, perpendicular al eje x (figura 6.7). La sección transversal en x es un rectángulo de área
Solución y x
x 0
45° x
–3
3
⎛x, –!9 x 2 ⎛ " ⎝ ⎝
FIGURA 6.7 La cuña del ejemplo 3 es rebanada en sentido perpendicular al eje x. Las secciones transversales son rectángulos.
Asxd = salturadsanchod = sxd A 2 29 - x2 B = 2x 29 - x 2 .
Los rectángulo van desde x = 0 hasta x = 3, de modo que tenemos V =
La
b
Asxd dx =
L0
3
3
2 = - s9 - x 2 d3>2 d 3 0 = 0 +
2x 29 - x 2 dx
Sea u = 9 - x 2, du = -2x dx , integrando y sustituyendo.
2 s9d3>2 3
= 18.
Sólidos de revolución: el método de los discos El sólido generado al hacer girar una región plana alrededor de un eje se denomina sólido de revolución. Para determinar el volumen de un sólido como el que se muestra en la figura 6.8, sólo necesitamos tener en cuenta que el área de la sección transversal A(x) es el área de un disco con radio R(x), la distancia entre la frontera de la región plana y el eje de rotación. En consecuencia, el área es Asxd = psradiod2 = p[Rsxd]2 . De este modo, la definición de volumen nos da
V =
La
b
Asxd dx =
La
b
p[Rsxd]2 dx .