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Universidad “Fermín Toro” Vicerrectorado Académico Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Administración

Autor: Wilfredo Giménez Análisis de Problema y Toma de Decisiones


Programación lineal: Esto no es más que un procedimiento o algoritmo matemático que consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo el cual se resuelve un problema indeterminado. En el año 1826 Joseph Fourier anticipa la programación lineal y Carl Friedrich Gauss resuelve ecuaciones lineales por eliminación. El objetivo principal es: • • •

Resolver gráficamente inecuaciones lineales con dos incógnitas Plantear y resolver situaciones con programación lineales Conocer la programación lineal y sus aplicaciones a la vida cotidiana.

Ejemplo: Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750m de tejido de algodón y 1000m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1m de algodón y 2m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5m de algodón y 1 de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50€ y el de la chaqueta en 40€. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima? 1. Elección de las incógnitas. X= número de pantalones Y= número de chaquetas 2. Función objetivo F (x,y)= 50x + 40y 3. Restricciones pantalones chaquetas disponible Algodón

1

1,5

750

poliéster

2

1

1000

x + 1.5y ≤ 750 2x + y ≤ 1000

2x+3y≤1500


Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x ≥ 0 y ≥ 0

4. Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).


2· 0 + 3· 0 ≤ 1 500 Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 2· 0 + 0 ≤ 1 00

La

zona

de

intersección

de

las

soluciones

de

las

inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)


2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

6. Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 50· 0 + 40· 500 = 20000 € f(500, 0) = 50· 500 + 40· 0 = 25000 € f(375, 250) = 50· 375 + 40· 250 = 28750 €

La

solución

óptima

es

fabricar 375

Máximo

pantalones y 250

chaquetas para obtener un beneficio de 28.750 €.


Método simplex Es un método analítico de solución de problemas, capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método grafico sin restricción en el número de variables. Este famosísimo método fue creado en el año 1.947 por el estadounidense George Bernard Dantzig. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Es aplicable a problemas de PL multidimensionales tiene como base el álgebra matricial. Ejemplo: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + d = 24 2. Igualar la función objetivo a cero - 3x - 2y + Z = 0 3. Escribir la tabla inicial simplex En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: Tabla I . Iteración nº 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución x

Y

h

s

d

h

2

1

1

0

0

18

s

2

3

0

1

0

42

d

3

1

0

0

1

24

Z

-3

-2

0

0

0

0

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base


A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto). En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde). Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes puede salir de la base. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3. 5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. También se puede hacer utilizando el siguiente esquema: Fila del pivote: Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote) Resto de las filas: Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote) Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II): Vieja fila de s

2 3

0 1 0

42


Coeficiente

Nueva fila pivote = =

= = =

Nueva fila de s 0 7/3 0 1 -2/3 26

Tabla II . Iteración nº 2 Variable decisión

- - -

-

2 2

2 2 2

2

x x

x x x

X

1 1/3 0 0 1/3 8

=

Base

- -

de Variable holgura

de Valores solución

x

y

H

s

d

h

0

1/3

1

0

-2/3

2

s

0

7/3

0

1

-2/3

26

x

1

1/3

0

0

1/3

8

Z

0

-1

0

0

1

24

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.


Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla: Tabla III . Iteración nº 3 Base

Variable decisión

de Variable holgura

de Valores solución

x

y

H

s

d

y

0

1

3

0

-2

6

s

0

0

-7

0

4

12

x

1

0

-1

0

1

6

Z

0

0

3

0

-1

30

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso: D. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 E. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] F. y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s. G. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla: Tabla IV . Final del proceso Base

Variable decisión

de Variable holgura

de Valores solución

x

y

H

s

d

y

0

1

-1/2

0

0

12

d

0

0

-7/4

0

1

3

x

1

0

-3/4

0

0

3

Z

0

0

5/4

0

0

33

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución


óptima. Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12)

Lógica de Bayesiana Es un tipo de inferencia que se emplean para actualizar o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta. El teorema de Bayes se formuló por primera vez en 1.763 por Thomas Bayes, busca a través de las estadísticas la realidad. Ejemplo:


Teoría de juegos Este es utilizado para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos, y llevar a cabo procesos de decisión. En otras palabras, estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los beneficios de cada opción no están fijados de antemano, sino que dependen de las elecciones de otros individuos. La teoría de juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en teoría de juegos. La teoría de juego consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Un ejemplo mas sencillo es: La forma normal (o forma estratégica) de un juego es una matriz de pagos, que muestra los jugadores, las estrategias, y las recompensas (ver el ejemplo a la derecha). Hay dos tipos de jugadores; uno elige la fila y otro la columna. Cada jugador tiene dos estrategias, que están especificadas por el número de filas y el número de columnas. Las recompensas se especifican en el interior. El primer número es la recompensa recibida por el jugador de las filas (el Jugador 1 en nuestro ejemplo); el segundo es la recompensa del jugador de las columnas (el Jugador 2 en nuestro ejemplo). Si el jugador 1 elige arriba y el jugador 2 elige izquierda entonces sus recompensas son 4 y 3, respectivamente. Cuando un juego se presenta en forma normal, se presupone que todos los jugadores actúan simultáneamente o, al menos, sin saber la elección que toma el otro. Si los jugadores tienen alguna información acerca de las elecciones de otros jugadores el juego se presenta habitualmente en la forma extensiva. También existe una forma normal reducida. Ésta combina estrategias asociadas con el mismo pago.


El jugador 2 elige izquierda

El jugador 2 elige derecha

El jugador 1 elige arriba

4, 3

-1, -1

El jugador 1 elige abajo

0, 0

3, 4

Método de Localización y Transporte Busca determinar la cantidad que se enviara de cada fuente a cada destino con la finalidad de minimizar el costo del transporte total. Este modelo tiene como datos principales: a- Nivel de oferta en cada fuente y en la cantidad de demanda en cada destino. b- El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino. También cuenta con unas técnicas como es determinar una solución factible, se debe determinar la variable que entra y se hace mediante el uso de la condición de optimalidad del método simplex de lo contrario se determinara la variable que sale que se busca la factibilidad del método simplex. Ejemplo MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centro de distribución son:

Los Ángeles Detroit Nueva Orleans

Denver 1 000 1 250 1 275

Miami 1 690 1 350 850

Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i jdel modelo original:


Denver 80 100 102

Los Ángeles Detroit Nueva Orleans

Miami 215 108 68

Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad. Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32 Sujeto a: X 11

X 12 X 21

X 11

X 22 X 31 X 31

X 21 X 12 X ij

X 22

X 32 X 32

= 1 000 = 1 500 = 1 200 = 2 300 = 1 400


Técnica de Monte Carlos Esta técnica se dio a través de la segunda guerra mundial a través de un trabajo que contenía la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes de difusión de neutrones en el material de fisión. Por lo que su finalidad es proporcionar soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. También se puede decir que es una técnica computarizada que permite tener en cuenta el riesgo en análisis cuantitativos y tomas de decisiones. La distribusiones de probabilidades son una forma de mucho más realista de describir la incertidumbre en las variables y las más comunes son: normal, lognormal, uniform, triagular, PERT, discrete. Ejemplo de una variable aleatoria


Referencias Bibliogr叩ficas -

Joseph Fourier a単o 1.826

-

George Bernard Dantzig a単o 1.947

-

Thomas Bayes a単o 1.763

-

es.scribd.com/doc/16957105/Simulacion-Montecarlo

-

https://www.google.co.ve/search?q=tecnica+de+monte+carlo&oq=tecnica+d e+monte+carlo&aqs=chrome..69i57j0l5.10758j0j8&sourceid=chrome&espv= 210&es_sm=93&ie=UTF-8#q=metodo+de+localizacion+y+transporte


Analisis de problemas y toma de decisiones