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9

CÁLCULO DE ÁREAS 9.1 Definición

Del latín área, referido a un espacio de tierra comprendido entre ciertos límites, es decir, es la región o superficie comprendida en una figura de dos dimensiones, esta se expresara en unidades de medida superficiales de tres maneras: metros cuadrados (m²), hectáreas (ha) o fanegadas (fg).

Figura 9.1 Unidades de Área

Para mejor entendimiento e interpretación de los planos y cálculos de un levantamiento topográfico se recomienda expresar el área con las tres unidades anteriores. 9.2 Métodos de Cálculo de áreas

1


Cuando se realiza un levantamiento topográfico se puede calcular el área por diferentes métodos teniendo en cuenta las mediciones que se realicen en campo estas son:

División de la superficie en figuras geométricas (levantamiento con cinta)

Por coordenadas (levantamiento con teodolito y estación total)

Dibujo asistido por computador (Autocad)

Para calcular áreas con base en medición de mapas, es decir, teniendo cartografía o el plano del levantamiento, se puede determinar:

Conteo de cuadros (malla de puntos, papel milimetrado o cuadriculado)

Planímetro

9.2.1 Calculo de Áreas por Figuras Geométricas Este método consiste en adaptar la superficie de

terreno en figuras geométricas para luego

determinarle el área a cada una de ellas. Primero se debe delimitar el terreno con un polígono para poderlo dividir respectivamente, como se muestra en la figura 9.2

2


Figura 9. 2 Área a Levantar

En el caso donde el terreno no sea recto o uniforme se traza el alineamiento adaptándolo al lindero del terreno tratando de compensar el área que se excluye con alguna que se incluya.

Con base en el polígono se divide en figuras geométricas conocidas, regularmente triángulos y rectángulos, ya que con otras figuras no se tiene la certeza de tener los ángulos rectos.

Figura 9.3 División del terreno en Figuras Geométricas

3


Con base en los datos tomados directamente en campo o las distancias a escala tomadas del plano, podemos calcular el área de cada figura geométrica y sumarlas para obtener el área total del polígono. A continuación en la tabla 1 se explican los cálculos para determinar el área total del terreno. Tabla 9.1 División en Figuras Geométricas No.

FIGURA

ELEMENTOS

FÓRMULA

b= 31.748

RESULTADO

A=

1

1188.471 h= 74.869

a= 31.748

A = b*a

2

715.695 b= 22.543

b= 31.748 A=

625.785

h= 39.422 3 b= 29.311 297.566 4

(

B= 50.127

)

h= 24.803

S=

a= 136.834

12358.116 5

b= 636.088 c= 506.380

√ (

)(

)(

))

S=

a= 145.626

46247.897 6

b= 660.166 c= 636.088

√ (

4

)(

)(

))


S=

a= 24.882

8846.548 7

b= 658.626 c= 660.166

√ (

)(

)(

))

S=

a= 50.127

14316.020 8

b= 582.642 c= 569.653

√ (

)(

)(

))

S=

a= 144.008

37704.871 9

b= 582.642 c= 658.626

√ (

)(

)(

))

S=

a= 57.863

12737.573 10

b= 440.286 c= 442.610

√ (

b= 337.390

)(

)(

))

40732.251

A=

11 h= 241.455

S=

a= 427.089

60422.956 12

b= 373.663 c= 336.993

√ (

)(

)(

))

S=

a= 291.312

61744.232 13

b= 442.610 c= 600.559

√ (

)(

)(

))

S=

a= 600.559

103359.415 14

b= 373.663 c= 569.653

√ (

5

)(

)(

))


AREA TOTAL

401297.396

A continuación se presentan las fórmulas para determinar el área de las principales figuras geométricas:

Tabla 9.2 Calculo del Área por Figuras Geométricas NOMBRE

CUADRADO

DEFINICION

FIGURA

Polígono de cuatro lados (cuadrilátero) los cuales forman ángulos de 90°

TERMINOS

L = Lado

FORMULA

A = L²

d= diagonal

b= base

PARALELOGRA MO

Cuadrilátero el cual tiene sus lados opuestos iguales y paralelos

b= base

RECTANGULO

Paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos

Cuadrilátero el cual sus dos diagonales se cruzan en ángulo de 90°

D= base mayor

a= altura

h= altura

A = b*a

A = b*a

A= d= base menor

6


ROMBO

TRAPECIO

Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos lados no.

B= base mayor b= base menor

(

)

h= altura

CIRCULO

Lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figura que equidistan de un punto llamado centro

r= radio

A= π r

b= base

A=

Porción del plano limitada por tres segmentos de recta

TRIANGULO

TRIANGULO

h= altura

1. Cuando se conoce la base y altura

2. Cuando se conoce dos lados y el ángulo que forman

β= ángulo b, c =lados

7

A=


3. Cuando se conocen los tres lados

S=

TRIANGULO

a,b,c = lados

√ (

)(

)(

9.2.2 Calculo de áreas por Coordenadas Este método consiste en determinar el área de la figura geométrica por dos métodos matemáticos los cuales se fundamentan en un mismo principio, teniendo en cuenta las coordenadas planas del polígono trazado sobre el plano del área a calcular o las que directamente se calculan con el levantamiento topográfico.

(9.1)

A

(9.2)

N i * Ei1   ( Ei * N i1 ) 2

A

N i  N i1  * ( Ei  Ei1 ) 2

Siendo: N: coordenadas norte E: Coordenadas Este Para iniciar el cálculo del área es necesario enumerar los puntos de manera consecutiva y en sentido de las manecillas del reloj para mejor entendimiento, cabe anotar que no es necesario que sea el mismo número con el que se realizó el levantamiento.

8

))


Figura 9. 4 Numeraci贸n de Puntos

Figura 9.5 Calculo de coordenadas de los Puntos

9


A continuación se explica el cálculo de áreas por los dos métodos matemáticos. 9.2.2.1. Método 1. Aplicando la fórmula 9.1

Primero se debe calcular las coordenadas de cada punto y es necesario repetir el primer punto al final para tener una mejor precisión en el área.

Tabla 9.3 Calculo de área Método 1 PUNTO

NORTE

ESTE

ni * ei 1 

(ei * ni 1 )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

818.449 684.406 612.876 374.153 312.663 171.599 59.175 304.784 378.817 401.367 446.237 464.037 481.532 507.018 506.327 762.905

628.895 1048.280 1378.001 1341.789 1010.453 1039.423 946.860 440.480 406.829 406.829 440.481 447.819 431.289 445.769 474.731 612.687

857963.718 943112.152 822350.275 378064.021 324989.113 162480.229 26065.404 123994.970 154113.741 176794.538 199833.407 200134.054 214652.038 240697.162 310220.057

430419.511 642465.653 515583.208 419527.774 173392.724 61507.856 288587.778 166861.312 163287.735 181542.152 204399.482 215639.179 218671.286 225704.880 362174.654

1

818.449

628.895

479787.140

501453.202

Ʃ

5615252.020 4771218.388

Aplicando la fórmula se tiene A

N i * Ei1   ( Ei * N i1 ) (9.1) 2

Tabla 9.4 Resultado de área Método 1

10


ITEM

RESULTADO

 n i * ei 1 

5615252.020

(ei * ni 1 )

4771218.388

Área m²

422016.816

Ha

42.202

Fa

65.940

Primero se debe calcular las coordenadas de cada punto y es necesario repetir el primer punto al final para tener una mejor precisión en el área. 9.2.2.2. Método 2. Aplicando la fórmula 9.2 Tabla 9.5 Calculo de área método 2

Ni  Ni 1  ( Ei  Ei 1 ) (Ni  Ni 1 * ( Ei  Ei 1

PUNTO

NORTE

ESTE

1 2 3 4

818.449 684.406 612.876 374.153

628.895 1048.280 1378.001 1341.789

134.043 71.530 238.723

1677.175 2426.281 2719.790

224813.569 173551.880 649276.428

5

312.663

1010.453

61.490

2352.242

144639.361

6 7 8

171.599 59.175 304.784

1039.423 946.860 440.480

141.064 112.424 -245.609

2049.876 1986.283 1387.340

289163.708 223305.880 -340743.190

9

378.817

406.829

-74.033

847.309

-62728.827

10 11 12 13 14 15

401.367 446.237 464.037 481.532 507.018 506.327

406.829 440.481 447.819 431.289 445.769 474.731

-22.550 -44.870 -17.800 -17.495 -25.486 0.691

813.658 847.310 888.300 879.108 877.058 920.500

-18347.988 -38018.800 -15811.740 -15379.994 -22352.700 636.065

16

762.905

612.687

-256.578

1087.418

-279007.579

1

818.449

628.895

-55.544

1241.582

-68962.440 844033.632

11


Aplicando la fórmula se tiene A

(Ni  Ni 1  * ( Ei  Ei 1 )) 2

(9.2)

Tabla 9.6 Resultado de área método 2 ITEM

RESULTADO

(Ni  Ni 1 * ( Ei  Ei 1

844033.632

Área m² ha Fa

422016.816 42.202 65.940

Por cualquiera de las formulas escogidas anteriormente el resultado debe ser el mismo.

Cuando se quiera calcular el área a partir de una cartografía es necesario calcular las coordenadas de cada uno de los puntos que comprenda la figura tomando la distancia tanto en X como en Y, y con la escala correspondiente del mapa realizar los cálculos.

12


9.2.2.3. Cálculo de área para levantamiento por Radiación Simple

Figura 9.6 Cartera de Campo – Levantamiento por Radiación Simple

Para el cálculo del área del ejercicio explicado en el capítulo 3 “ Levantamiento por radicación simple” se deben calcular las coordenadas de todos los puntos que conforman la figura, en este caso la construcción se encuentra delimitada por los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 13. Es necesario siempre cerrar con la misma coordenada del punto de inicio.

Método 1. Aplicando la ecuación 9.1 se tiene: 13


Tabla 9.7 Calculo de áreas por coordenadas Levantamiento por Radiación método 1

ni * ei 1 

(ei * ni 1 )

2860.839

4231927.432

4151679.965

1457.471

2856.810

4184182.469

4169590.739

4

1452.769

2865.637

4176583.327

4150283.280

5

1439.673

2858.322

4152480.101

4125581.049

13

1459.182

2823.401

4064775.251

4170810.313

1

1479.261

2834.618

4136222.306

4176546.751

24946170.885

24944492.097

PUNTO

NORTE

ESTE

1

1479.261

2834.618

2

1464.635

3

ITEM

RESULTADO

 n i * ei 1 

24946170.885

(ei * ni 1 )

24944492.097

Área m²

839.394

Ha

0.084

Fa

0.131

14


Cálculo de área por método 2. Tabla 9.8 Calculo de áreas por coordenadas Levantamiento por Radiación método 2

Ni  Ni 1 

( Ei  Ei 1 )

(Ni  Ni 1 * ( Ei  Ei 1

2834.618 2860.839 2856.810 2865.637 2858.322 2823.401 2834.618

14.626 7.164 4.703 13.095 -19.508 -20.079

5695.457 5717.649 5722.447 5723.959 5681.723 5658.019 Suma Total

83302.074 40958.930 26909.827 74957.421 -110840.808 -113608.655 1678.788

ITEM

RESULTADO

(Ni  Ni 1 * ( Ei  Ei 1

1678.788

Área m² ha fa

839.394 0.084 0.131

PUNTO

NORTE

ESTE

1 2 3 4 5 13 1

1479.261 1464.635 1457.471 1452.769 1439.673 1459.182 1479.261

9.2.2.4. Cálculo de área para Levantamiento por Doble Radiación

15


Figura 9.7 Cartera de Campo – Levantamiento por Radiación Doble.

16


Para el cálculo del área del “Levantamiento por Doble Radiación” explicado en el capítulo 3 se deben calcular las coordenadas de los puntos que conforman la figura según la base medida que se tiene. Para este ejemplo la figura está conformada por los puntos 1,2,3,4,5,6 y 7.

Método 1. Aplicando la ecuación 9.1 se tiene:

Tabla 9.9 Calculo de Coordenadas Levantamiento por Doble radiación Método 1 PUNTO

NORTE

ESTE

1 2 3 4 5 6 7 1

927195.629 927229.248 927225.024 927189.999 927191.383 927191.523 927155.608 927195.629

563013.435 563014.178 563062.177 563057.985 563109.617 563135.463 563101.737 563013.435

ni * ei 1 

(ei * ni 1 )

522024284912.357 522087718534.662 522081453428.809 522109605467.234 522134348955.546 522103157540.013 522001063091.097 3654541631929.720

522042523661.505 522040835010.312 522065619006.314 522062511502.207 522110463686.453 522114202521.518 522105469294.972 3654541624683.280

ITEM

RESULTADO  n i * ei 1  3654541631929.720 (ei * ni 1 ) 3654541624683.280 Área m² 3623.219 ha 0.362 fa 0.566

17


Método 2. Aplicando la fórmula 9.2 se tiene:

Tabla 9.10 Calculo de Coordenadas Levantamiento por Doble radiación Método 2

Ni  Ni 1 

( Ei  Ei 1 )

(Ni  Ni 1 * ( Ei  Ei 1

563014.178

-33.619

1126027.613

-37856325.43

927225.024

563062.177

4.224

1126076.355

4756357.252

4

927189.999

563057.985

35.025

1126120.161

39442349.89

5

927191.383

563109.617

-1.384

1126167.602

-1558421.311

6

927191.523

563135.463

-0.140

1126245.080

-157949.3015

7

927155.608

563101.737

35.916

1126237.200

40449609.69

1

927195.629

563013.435

-40.021

1126115.172

-45068374.35

Suma Total

7246.438043

PUNTO

NORTE

ESTE

1

927195.629

563013.435

2

927229.248

3

ITEM

RESULTADO

(Ni  Ni 1 * ( Ei  Ei 1

7246.438

Área m²

3623.219

ha

0.362

fa

0.566

9.2.3 Cálculo de áreas con Sistema CAD

Para calcular el área con el programa AutoCad se dibuja el levantamiento según las coordenadas calculadas y escribiendo en la barra el comando área, se inicia en uno de los puntos de la figura, se debe picar en cada uno de los puntos que la conforman, 18


preferiblemente en sentido a las manecillas del reloj. Cuando se calcula áreas con software la precisión es mayor que cuando

se calcula por métodos manuales. A

continuación se explica paso a paso el cálculo de áreas en el programa autocad.

1. Escribir en la barra de comandos AREA.

Figura 9. 8 Calculo de área en Autocad

2. En la barra de comandos va indicando cada uno de los pasos a seguir, el siguiente es dar clic en el punto de inicio, para este caso comenzamos en el punto número 1.

19


Figura 9.9 Punto de inicio para el cálculo de área

3. En sentido a las manecillas del reloj se pica en cada uno de los puntos que conforman la figura y se termina picando en el mismo punto inicial (punto 1). Clic en enter y en la barra de comandos automáticamente aparece el área y perímetro de la figura. Figura 9.10 Calculo de Area y Perimetro

20


Otra forma para determinar el área en autocad es dibujando el polígono o la figura correspondiente con una polyline o haciendo un boundary. Figura 9.11 Polígono con el comando polyline

Se escribe en la barra de comandos list, y pide que se seleccione los objetos así que seleccionamos la polyline. Figura 9. 12 Selección de la polyline

21


Se debe dar Clic en Enter y aparece un cuadro el cual despliega el รกrea y las coordenadas x, y y z de cada uno de los puntos que conforman la polyline. Figura 9.13 Cuadro de รกrea y coordenadas

Figura 9.14 Calculo de รกrea

Por cualquier de los dos procedimientos anteriores el รกrea debe dar el mismo resultado. 22


9.2.4 Cálculo de áreas utilizando malla de puntos Para el cálculo de áreas por este método es necesario elaborar en un papel transparente una red de puntos ortogonales y separados a la misma distancia entre puntos. Se debe realizar el conteo de los puntos que quedan dentro de la figura y conociendo el área que representa cada punto según la escala del mapa se conoce el área total de la figura.

El espaciamiento entre puntos se elige según el tamaño de la figura a calcular, por lo general es de 0,5 a 1 cm. Figura 9.15 Malla de Puntos

La plantilla se coloca sobre el mapa y se contabilizan los puntos que están dentro de la figura, si se encuentran puntos exactamente en el límite de la figura se contabiliza como medio punto.

23


Figura 9.16 Ă rea por malla de Puntos

Figura 9.17 Conteo de punto Malla de puntos

24


Este procediendo se debe realizar por lo menos tres veces cambiando la posición de la plantilla con respecto a la figura para poder calcular un número de puntos promedio (N). Figura 9.18 Posiciones para conteo de puntos

Para calcular el área primero medimos la distancia (d) entre puntos consecutivos de la plantilla y calculamos el área que representa cada punto (Ap) 25


Ap = d²

(9.3)

Calculamos el área de la figura Af= N*Ap

(9.4)

Tabla 9.11 Número de Puntos OBSV

N

1

19

2

22

3

24

Promedio

21.6

Con base en el espaciamiento de los puntos y la escala del plano se determinan el área entre los puntos y multiplicado por número promedio de puntos es el área entre los puntos.

Para el siguiente ejemplo se calculara teniendo en cuenta que la malla de puntos es de 1 cm * 1 cm y que la escala del mapa es 1:500

Realizando el cálculo y análisis respectivo 1 cm equivale a 5 m en el mapa. Aplicando la fórmula 9.3 se tiene: Ap = 5² Aplicando la fórmula 9.4 se tiene Af= 21.6 * 25 26


Tabla 9.12 Calculo del Área por Malla de Puntos ELEMENTO Y FÓRMULA

RESULTADO

Espaciamiento (d)

5 m²

Área entre puntos (Ap= d²)

25 m²

Número de Puntos

21.6

Área (Af= N*Ap)

540 m² 0.0540 Ha 0.0844 Fa

9.2.5. Cálculo de áreas utilizando Papel milimetrado

Este método consiste en contar el número de cuadros, de (1mm * 1mm) o (5 mm * 5 mm) o (1cm*1cm), de acuerdo a la precisión que se quiera alcanzar, entre más pequeño sea el cuadro mejor será la precisión del área a determinar.

Figura 9.19 Área por papel milimetrado

27


La figura se debe calcar sobre el papel milimetrado y se deben contar los cuadros completos que estĂĄn dentro de la figura, y los cuadros incompletos se cuentan como medio cuadro, por aproximaciĂłn los cuadros incompletos que sean menores que medio cuadro se pueden compensar para completar cuadros completos.

El procediendo anterior se realiza por lo menos tres veces calcando la figura en el papel milimetrado en diferentes direcciones que permita tener una promedio de la cantidad de puntos. Figura 9. 20 Posiciones para el conteo de puntos

Tabla 9.13 NĂşmero de Cuadros OBSERVACIONES

N

1

84

2

87

3

89

Promedio

86.6

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Con base en el cuadro tomado como base y la escala del plano se determinan el área del cuadro base y multiplicado por número promedio de cuadros por el área del cuadro se obtiene el área de la figura.

Para el siguiente ejemplo se tiene se va a calcular con los cuadro de 5mm*5mm y con un mapa a escala 1: 500

Realizando el cálculo y análisis respectivo 1 cm equivale a 5 m en el mapa, por lo tanto 0.5 cm equivalen a 2.5 en el mapa.

Tabla 9.14 Cálculo del Área por Papel Milimetrado Elemento y Fórmula

Resultado

Lado del cuadro (d)

2.5 m

Área del cuadro A = d²

6.25 m²

Numero de Cuadros

86.6

Área

541.7 m² 0.5417 Ha 0.0846 Fa

9.2.6. Cálculo de áreas utilizando Planímetro

El planímetro es un instrumento de precisión que se utiliza para determinar áreas exactas sobre superficies planas irregulares. Existen dos tipos de planímetros, los polares y los rodantes.

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Figura 9.21 Clases de Planímetros

PlanímetroPolar

Planímetro Rodante

Los planímetros polares disponen de un punto fijo, por lo tanto a la superficie que se le quiera determinar el área, debe ser limitada por el tamaño del brazo del instrumento, en dado caso que la superficie sea grande habrá que dividirla en partes y tomarlas por separado y al finalizar sumarlas todas. El planímetro rodante puede medir superficies de cualquier tamaño.

Este equipo permite trabajar en los dos sistemas de unidades, el ingles y el internacional, de igual manera permite configurar las unidades en las se quiera obtener el resultado (m², cm², km²). Para determinar el área con un planímetro polar es necesario preparar el instrumento para evitar que los brazos de este formen ángulos próximos a 0° o 180 °, por esto es necesario colocar el equipo en la posición como se muestra en la figura 9.20.

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Figura 9.22 Calculo del Área por Planímetro polar

Se debe marcar el punto de inicio y en sentido horario se comienza el recorrido cuidando que la cruz del visor no se separe de la línea límite de la figura y se debe terminar en el mismo punto para cerrar el recorrido.

Figura 9.23 Recorrido para el cálculo del Área por Planímetro polar

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Para determinar el área con un planímetro rodante es necesario primero ingresar la escala del plano o cartografía, y dar inicio en un punto del límite del área, y con el visor, recorrer todo el límite de la zona sin pegar el carro al equipo ni tampoco levantando el equipo de la superficie ya que se generaría error. Al volver al punto de inicio, en la pantalla del equipo se puede leer el área de acuerdo a las unidades configuradas.

Figura 9.24 Calculo del Área por Planímetro rodante

Para determinar el área es necesario realizar al menos tres veces el recorrido para obtener el área promedio.

Tabla 9.15 Calculo del Área por Planímetro rodante OBSERVACION ÁREA 1 3450 2

3420

3

3490

Promedio

3453.33

Área m2

3453.33

Área (Ha)

0.3453

Área (Fa)

0.5395

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Area