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Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve!

Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vívido De amor e de esperança à terra desce, Se em teu formoso céu, risonho e límpido, A imagem do Cruzeiro resplandece.

Brasil, de amor eterno seja símbolo O lábaro que ostentas estrelado, E diga o verde-louro desta flâmula – Paz no futuro e glória no passado.

Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza.

Mas, se ergues da justiça a clava forte, Verás que um filho teu não foge à luta, Nem teme, quem te adora, a própria morte.

Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada! Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

Ensino Fundamental

6

Do que a terra mais garrida Teus risonhos, lindos campos têm mais flores; “Nossos bosques têm mais vida”, “Nossa vida” no teu seio “mais amores”.

ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO PAULO ANTÔNIO FONSECA MACHADO

Descobrindo e aplicando a

MATEMA MATEM ATI TICA CA MANUAL DO PROFESSOR

MATEMA MATEM ATI TICA CA

Se o penhor dessa igualdade Conseguimos conquistar com braço forte, Em teu seio, ó Liberdade, Desafia o nosso peito a própria morte!

Matemática

Deitado eternamente em berço esplêndido, Ao som do mar e à luz do céu profundo, Fulguras, ó Brasil, florão da América, Iluminado ao sol do Novo Mundo!

O

Ouviram do Ipiranga as margens plácidas De um povo heroico o brado retumbante, E o sol da Liberdade, em raios fúlgidos, Brilhou no céu da Pátria nesse instante.

ano

Letra: Joaquim Osório Duque Estrada Música: Francisco Manuel da Silva

Descobrindo e aplicando a

Hino Nacional

6

O

ano

Matemática

Ensino Fundamental

Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada! Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

ISBN 978 85-7319-528-6

9!BMM@L>:PXTQWU!

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ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO PAULO ANTôNIO FONSECA MAChADO

Descobrindo e aplicando a

MATEMATICA manual do proFEssor

6

O

ano

matemática

Ensino FundamEntal 1ª edição, Belo Horizonte, 2012

ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO • Bacharel, licenciado e especialista em Matemática pela UFMG. Atuou como: chefe dos Departamentos de Matemática do Centro Pedagógico, do Colégio Universitário e do Instituto de Ciências Exatas da UFMG; coordenador da área de Matemática do Projeto de Inovação Curricular e Capacitação de Docentes do Ensino Fundamental da Secretaria Estadual de Educação do Estado de Minas Gerais; coordenador da área de Matemática do Projeto de Correção do Fluxo Escolar para o Ensino Fundamental da Secretaria Estadual de Ensino do Estado da Bahia; e membro da equipe de consultores do Projeto de Capacitação de Professores de Ensino Médio da Rede Estadual de Ensino de Minas Gerais.

PAULO ANTÔNIO FONSECA MACHADO • Bacharel e mestre em Matemática pela UFMG, doutor em Matemática pela Unicamp/UFBA. Atualmente é professor associado do Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas da UFMG, do qual foi chefe em vários mandatos.

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M477d

Mazzieiro, Alceu dos Santos Descobrindo e aplicando a matemática; 6º ano / texto de Alceu dos Santos Mazzieiro e Paulo Antônio Fonseca Machado; — Belo Horizonte: Dimensão, 2012. 312 p. il. – (6º ao 9º ano do ensino fundamental – Matemática) ISBN - 978 - 85 - 7319 - 499 - 9 (LA) ISBN - 978 - 85 - 7319 - 528 - 6 (LP) 1.Matemática-ensino fundamental. I.Machado. Paulo Antônio Fonseca.II.Título. III.Série. CDU 51(075.2)

Ficha elaborada por Rinaldo de Moura Faria CRB/6 nº 1006 Copyright © 2004 by Alceu dos Santos Mazzieiro Paulo Antônio Fonseca Machado Fundadores Gilberto Gusmão de Andrade Zélia Almeida Diretora editorial Zélia Almeida Editor Maurício Bouissou Editor de arte Jan Deckers Coordenadora de produção Ana Gabriela Assistente editorial Rúbia Calais PRODUÇÃO EDITORIAL Projeto gráfico/Capa Reginaldo Almeida Ilustrações Júlia Bianchi, Son Salvador e Duke desenho técnico: Sérgio Pessoa, Tuim, Nivaldo Marques e Giselle Vargas

PRODUÇÃO GRÁFICA Editoração eletrônica Tuim Pré-impressão Tuim

Todos os os direitos reservados à EDITORA DIMENSÃO Rua Rosinha Sigaud, 201 - Caiçara Telefax: (31) 3527-8000 30770-560 - Belo Horizonte (MG) www.editoradimensao.com.br 2012

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Estudante, Este livro foi elaborado para que você converse bastante na aula de Matemática. Calma, não estamos dizendo para você perturbar o ambiente. Nada disso. A conversa a que nos referimos tem a ver com os exercícios e atividades aqui propostos, que vão estimular você a participar da aula o tempo todo, sozinho ou em grupo. De que maneira? Fácil: respondendo perguntas, resolvendo e inventando problemas ligados ao dia a dia, montando e desmontando objetos, fazendo contas com a calculadora, interpretando ou fazendo gráficos, desenhando figuras ou interpretando desenhos de figuras, discutindo como resolver ou inventar problemas, descobrindo propriedades dos números e das figuras. Sobretudo, aplicando suas descobertas em problemas da vida prática e em situações relacionadas com as outras matérias que você estuda. Você verá como a aula de Matemática se torna agradável com a participação de todos. Uma última recomendação: crie o hábito de, assim que chegar em casa, fazer os exercícios marcados pelo professor. Principalmente por dois motivos: o primeiro, porque ainda estão em sua memória os assuntos estudados em aula, e o segundo porque, ao deixar para depois, imprevistos podem impedi-lo de resolver os exercícios. E esses são muito importantes para o complemento de sua aprendizagem.

Um abraço, os autores.

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Como você vai usar o livro Este livro é formado de nove capítulos e um glossário. Cada um dos sete primeiros capítulos é dividido em cinco partes, que têm os títulos em destaque a seguir, bem como seus conteúdos e objetivos descritos. O capítulo 8 visa uma revisão dos assuntos estudados e o capítulo 9 contém atividades complementares a cada um dos sete primeiros capítulos. O glossário que se vê após o capítulo 9 permite a você rever os significados de termos usados no livro ou conhecer os significados de novos termos, principalmente ligados ao dia a dia.

TÍTULOS DAS CINCO PARTES DOS SETE PRIMEIROS CAPÍTULOS: EXPLORANDO O QUE VOCÊ JÁ SABE Perguntas sobre assuntos que você já sabe e que são importantes para o estudo que se inicia. APRENDENDO EM SALA DE AULA Diversos exercícios e atividades em sala de aula, que você vai fazer sozinho ou, na maioria das vezes, em grupo, sempre orientado pelo professor ou pela professora. APRENDENDO EM CASA Exercícios e atividades para você resolver em casa. Nunca deixe de fazê-los. Você e seus colegas vão apresentar e discutir as soluções na aula seguinte. EXPLORANDO O QUE VOCÊ APRENDEU E APRENDENDO MAIS Exercícios e atividades propostos no fim de cada capítulo como revisão e, principalmente, aplicação do que você aprendeu em problemas práticos. VERIFIQUE SE VOCÊ APRENDEU Lista de assuntos estudados no capítulo e números dos exercícios correspondentes. Essa lista é muito importante para que você reveja o estudo, descobrindo se aprendeu todos os assuntos, ou, caso contrário, voltando aos exercícios correspondentes e estudando-os novamente.

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Aos pais Não faz muito tempo era bastante comum as pessoas terem aversão a Matemática. Motivo havia de sobra, basta reparar nas maneiras como se ensinava: exercícios sem qualquer aplicação prática, relacionados apenas e tão somente com a própria disciplina, davam a sensação de que havia dois mundos, o da Matemática e aquele em que vivemos. Felizmente, os estudos sobre Educação Matemática e alguns documentos oficiais, como os Parâmetros Curriculares Nacionais, estão contribuindo de maneira decisiva para uma nova visão. É com base principalmente nesses textos e documentos que propomos uma Matemática agradável, participativa e voltada para todos os contextos do nosso dia a dia. Este livro é feito para que seus filhos sejam preparados para os desafios do mundo atual, no qual, todos sabemos, as transformações ocorrem de forma cada vez mais veloz. Essas rápidas transformações requerem de cada um de nós capacidade de decidir sobre situações novas, criatividade, compreensão das diversas linguagens, além de coragem e competência para o exercício da cidadania. Para que a aprendizagem de seu filho seja a mais eficiente possível, é necessário que vocês colaborem acompanhando os estudos dele em casa, discutindo as atividades propostas (nunca as resolvendo) e participando do projeto pedagógico da Escola. Por fim, justificamos com um exemplo cotidiano por que Matemática se deve aprender fazendo. Para entender, observe a reação de uma criança bem pequena que “briga” para tomar a colherzinha da mão de quem a alimenta. Quando consegue, ela começa a levar a colherzinha ao nariz, à testa, até acertar a boca. E daí em diante não admite mais ser alimentada por outra pessoa. Ou seja, ela quer “resolver o problema” sozinha. Esta criança nos ensina, assim, que desde os primeiros meses de idade o ser humano apresenta como característica essa vontade, essa necessidade de aprender fazendo, em vez de esperar que alguém faça por ele.

Um abraço, os autores.

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SumArio CapItulo 1

11

Números naturais, tabelas e gráficos ........................................

16

Vistas e números ......................................................................

21

Os objetos e os ângulos ...........................................................

29

As circunferências.....................................................................

37

Perpendiculares, paralelas e transversais ..................................

40

Verifique se você aprendeu .......................................................

48

-

Figuras e números ....................................................................

CapItulo 2

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- Figuras, números e gráficos

- Figuras, números e medidas

Os objetos e os polígonos ........................................................

51

Os polígonos, seus lados e seus ângulos .................................

55

Os polígonos regulares .............................................................

60

Lendo e escrevendo números naturais .....................................

62

As frações ................................................................................

68

Frações e números decimais ....................................................

78

Medidas de comprimento e os números decimais ....................

85

Verifique se você aprendeu .......................................................

88

CapItulo 3

- Números naturais e o dia a dia

Números naturais, igualdade e ordem.......................................

91

Somando ou subtraindo ...........................................................

93

Adição e subtração de números naturais ..................................

95

Cálculo mental e estimativas .....................................................

98

A multiplicação e o dia a dia ..................................................... 106 A divisão e o dia a dia ............................................................... 111 As possibilidades e a potenciação ............................................ 117 Verifique se você aprendeu ....................................................... 126

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CapItulo 4

- Medidas, frações e decimais

-

Números e medidas.................................................................. Somando ou subtraindo ........................................................... Multiplicando ............................................................................ Dividindo................................................................................... Frações, a divisão e os decimais .............................................. Arredondamentos e estimativas ................................................ Verifique se você aprendeu .......................................................

CapItulo 5

- Números, figuras e o dia a dia

-

Múltiplos de números naturais .................................................. Divisores de números naturais .................................................. Contando e desenhando .......................................................... Caminhos e simetrias................................................................ Verifique se você aprendeu .......................................................

CapItulo 6

129 133 142 147 151 155 164

167 172 176 182 190

- Medidas e o dia a dia

Medidas, o real e o dia a dia ..................................................... 193 Medidas de comprimento e o dia a dia ..................................... 199 Medidas de tempo e o dia a dia ................................................ 204 Medidas de área e o dia a dia ................................................... 209 Volumes e o dia a dia ................................................................ 214

-

Verifique se você aprendeu ....................................................... 220

CapItulo 7

- Figuras, números e proporcionalidade

Razões e grandezas ................................................................. 223 Proporções e grandezas proporcionais ..................................... 230 Ampliações e reduções – semelhanças .................................... 234 Por cento .................................................................................. 240 Verifique se você aprendeu ....................................................... 242

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CapItulo 8

- Revendo e aprendendo mais

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Revendo o capítulo 1 .............................................................. Revendo o capítulo 2 ................................................................ Revendo o capítulo 3 ................................................................ Revendo o capítulo 4 ................................................................ Revendo o capítulo 5 ................................................................ Revendo o capítulo 6 ................................................................ Revendo o capítulo 7 ................................................................

CapItulo 9

- Atividades complementares

Atividades complementares do capítulo 1 ................................. Atividades complementares do capítulo 2 ................................. Atividades complementares do capítulo 3 ................................. Atividades complementares do capítulo 4 ................................. Atividades complementares do capítulo 5 ................................. Atividades complementares do capítulo 6 ................................. Atividades complementares do capítulo 7 ................................. Glossário .................................................................................. Sugestões de leituras e sites para os alunos .............................

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CapItulo 1

Cristiaciobanu | Dreamstime.com

, s a s r s o u o g r c i e Fi f m nú e grá

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Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página. Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, regras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações af irmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que n��o fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como algumas regularidades relacionadas com sequencias numéricas.

Você já conhece várias figuras geométricas e sabe fazer contas com números naturais. Neste capítulo, você vai aprender como: • • • • • • • • •

Identificar figuras planas e figuras espaciais no mundo ao seu redor. Contar faces, arestas e vértices de figuras espaciais. Identificar vistas de objetos ou figuras espaciais. Contar figuras que formam uma figura dada. Construir figuras usando dobraduras ou desenhos. Completar sequências de números ou de figuras. Interpretar informações dadas em tabelas ou gráficos. Resumir informações em tabelas ou gráficos. Resolver problemas relacionados com tabelas, gráficos, números ou figuras.

Este capítulo estabelece conexões entres três blocos de conteúdo: geometria, números e tratamento da informação, como também entre estes e situações do dia a dia. Recomendamos que o professor explore tanto no quadro, quanto usando os mais variados recursos, situações semelhantes às propostas. Houve o cuidado de não explorar, neste capítulo, situações que levassem o aluno a cálculos de adições, subtrações ou multiplicações complexas (“com reserva”). Ele será solicitado a trabalhar essas situações no capítulo 3.

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Figuras e números

Recado ao (à) Professor(a): Os conceitos e proposições da Geometria usados nesta coleção são coerentes com a axiomática de A.V. Pogorélog – Editorial Mir.

Explorando o que você já sabe

Fotos: Nazareth Leite/ Lápis Lazúli, 2006

Observe os dois objetos das figuras abaixo e responda:

• • • •

Qual deles tem a forma de um cubo? Qual é o nome da figura geométrica que o outro objeto lembra? Quantas faces tem cada uma dessas figuras? Qual é o nome das figuras planas que você lembra ao observar as faces de um cubo?

Aprendendo em sala de aula Observe o paralelepípedo e resolva os exercícios de 1 a 3:

1.

Conte e responda:

a) Quantas faces tem o paralelepípedo? b) Quantos vértices? c) Quantas arestas?

1. a) Seis; b) Oito; c) Doze.

2. A face da frente e a da direita do paralelepípedo se encontram em uma aresta. Escreva as posições de duas faces:

2. a) A face da direita e a face da esquerda (ou outros pares); a) Que não se encontram. b) A face da frente e a face de cima (ou outras). b) Que se encontram em uma aresta.

3. No paralelepípedo, a face da frente é oposta à face de trás. a) Qual é a face oposta à face da direita? b) Qual é a face oposta à face de baixo?

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Todas as atividades que iniciam os estudos dos temas têm como título “Explorando o que você já sabe” e devem ser respondidas oralmente pelos alunos. Quando necessário, explore mais as situações com outras perguntas. Procure verificar se todos os alunos compreendem os significados dos termos usados. Sempre que possível, crie situações semelhantes no quadro, explorando-as. • Dado. • Paralelepípedo. • Seis. • Quadrados. É aconselhável anteceder este tema usando modelos, objetos, embalagens, o ambiente da sala de aula, e explorar atividades análogas às propostas nos exercícios e atividades relacionadas com esta sub-unidade. Proponha à turma atividades de identificação entre as faces, arestas e vértices de embalagens e as faces, arestas e vértices dos desenhos correspondentes (veja ilustrações das páginas 11 a 13 ou faça desenhos no quadro, se necessário). Verifique, por meio de perguntas, se todos entendem que os tracejados (dos desenhos) representam partes não visíveis (quando observamos os objetos correspondentes). Por exemplo, pergunte-lhes, em relação ao paralelepípedo representado na página 11: Quais são as faces não visíveis, se olharmos o sólido correspondente na mesma posição da figura? R) A da esquerda, a dos fundos e a de baixo. Por questão de economia de espaço, muitas das respostas inseridas nas margens são breves. Entretanto, é necessário criar nos alunos o hábito de enunciar as respostas coerentes com as perguntas. Exemplo: Quanto Jorge pagou pela bola? Resposta: Jorge pagou R$... pela bola (e não, simplesmente: R$…).

3. a) A face da esquerda; b) A face de cima.

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Professor(a): Para a sequência das atividades das aulas, recomendamos criar o hábito de ler as sugestões que fazemos, antes de explorar os exercícios cujos números das respostas são colocados posteriormente a essas sugestões, porque a maior parte delas ou reforça atividades anteriores, ou, principalmente, prepara os alunos para as atividades seguintes.

Marcelo recortou uma embalagem em forma de paralelepípedo e obteve uma planificação da mesma. Na figura a seguir, você vê uma representação da planificação obtida por Marcelo após cortar abas, na qual cada face está identificada por uma letra.

P Q

Corte uma embalagem de papelão em forma de paralelepípedo retângulo, desdobre-a, corte as abas e encoste-a totalmente no quadro para que os alunos compreendam o que é uma planificação. Explore objetos cujas faces tenham as formas das figuras geométricas estudadas no capítulo. Peça aos alunos que tragam, para a sala de aula, objetos e embalagens que atendam à concretização desse objetivo.

As duas primeiras figuras do exercício 8 são vistas de um cubo e um prisma de base triangular. Comente que, nestas figuras, para se ter ideia do sólido correspondente, as formas de algumas faces ficam deformadas. Por exemplo, na figura do cubo, a face superior e a lateral, que têm forma de paralelogramo, representam faces que, no sólido correspondente, são quadrados. O mesmo fato ocorre com a figura do prisma, em que estão representadas duas faces não visíveis na forma de paralelogramos, mas que, no sólido correspondente, são retângulos. Em exercícios futuros, os alunos irão desenhar essas figuras. Não se deve exigir que os alunos copiem esta ou qualquer outra tabela futura. Basta que escrevam (no caderno) as letras e as respostas convenientes. 8. a) 6; b) 12; c) 8; d) 5; e) 9; f) 6; g) 5; h) 8; i) 5.

N

M

O R

Observe a planificação e responda os itens 4 a 7 a seguir:

4. Quantas e quais faces da embalagem não eram opostas à face O? 5.

4. Quatro faces: R, Q, M e N.

Identifique pelas letras as faces quadradas que tinha a embalagem. 5. Q e M.

6. Identifique pelas letras as faces retangulares que tinha a embalagem 7.

6. As faces P, N, O e R.

Verdadeiro ou falso: R e N representam duas faces opostas que tinha a embalagem. 7. Verdadeiro.

8. Observe as figuras, seus nomes e a tabela:

Cubo

Figura

Prisma de base triangular

Pirâmide de base retangular

Número de faces Número de arestas Número de vértices

Cubo

a

b

c

Prisma de base triangular

d

e

f

Pirâmide de base retangular

g

h

i

12

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Veja que, a letra a da tabela da página 12 deve ser substituída pelo número 6 porque o cubo tem 6 faces. Agora, escreva em seu caderno os números que substituem corretamente todas as outras letras de b até i.

Figura

Son Salvador

Nas figuras anteriores, você vê um prisma de base triangular e uma pirâmide de base retangular. Agora, veja mais outros tipos de prismas e pirâmides:

Nome

Polígono da base

Prisma de base pentagonal

Pirâmide de base hexagonal

9.

Pentágono (5 lados e 5 ângulos)

Hexágono (6 lados e 6 ângulos)

Escreva os nomes das figuras espaciais correspondentes a cada uma a) Cubo; c) Prisma de base triangular; das planificações a seguir: 9. b) Paralelepípedo; d) Pirâmide de base triangular.

a)

c)

b)

d)

Desenhe no quadro alguns polígonos: quadrado, retângulo, triângulo, pentágono e hexágono e peça os nomes. Ve rifique se todos já conhecem o termo “polígono” e, caso necessário, explore seu signi ficado. De se nhe, também, outros prismas e pirâ mides, explorando a identificação dos mesmos. Explore planificações de embalagens para que os alunos identifiquem as formas das figuras espaciais correspondentes. Peça que observem as figuras do exercício 8 (na página 12) e descubram duas delas que têm o mesmo número de faces. Pergunte: a) Quais as duas figuras espaciais mais lembradas quando observamos a forma das embalagens das diversas mercadorias de um supermercado ou de uma farmácia? (R: Paralelepípedos de base retangular e cilindros). b) Vocês conhecem algum artigo cuja embalagem tem a forma de um prisma de base triangular? (R: Alguns chocolates). Peça que associem as formas de três objetos escolares com figuras espaciais (borrachas, lápis sem ponta, caixas de lápis etc.) Sugira ou exiba para os alunos o interessante vídeo “Diálogo geométrico” no site http://www.dominiopublico. gov.br

Trabalhe com modelos em papel, como as figuras do exercício 9, usando-as para formar prismas ou pirâmides.

Neste texto, usamos os termos figura plana e figura espacial de modo intuitivo. Explore os significados desses termos usando material concreto. Observações análogas se aplicam a outros termos que já foram ou serão usados no texto de modo intuitivo, como os listados na relação de revisão do capítulo da página 48. Para a maior parte desses termos, é possível explorar o significado usando material concreto, desenhando ou apresentando exemplos variados.

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Peça aos alunos que tragam para a próxima aula algumas embalagens cujas formas lembrem as que já foram estudadas, explorando-as, no início da aula, com atividades de verif icação ou que acrescentem novos conhecimentos. ATIVIDADE EXTRA A seu critério, explore as atividades que julgar mais pertinentes no momento: Desenhar no quadro retas horizontais, verticais, paralelas, perpendiculares, inclinadas etc., e explorar atividades relacionadas com diversos conceitos como, por exemplo: ser paralelo a, ser perpendicular a, ser inclinado (em relação a), ser horizontal, ser vertical. Separar e classif icar objetos pela forma, pelas dimensões, ou por outras características, usando pequenos sólidos geométricos, bem como formas geométricas planas recortadas em papelão, plástico etc. Usar triângulos, quadrados, retângulos, trapézios, paralelogramos, discos, cubos, esferas, pirâmides, cones, prismas de diversas bases, variando tamanhos e cores. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 1ª. Os exercícios 10 e 11 visam a uma compreensão intuitiva das figuras espaciais neles exploradas. É necessário observar que as formas dos objetos dão uma ideia aproximada das formas das figuras a elas associadas. 2ª. Para simplificar enunciados, constantemente usaremos recursos como, por exemplo, “observe o paralelepípedo” (como no exercício 1) em vez de “observe a f igura que representa um paralelepípedo”. 3ª. A menos que fique explícito no enunciado, ao nos referirmos a pirâmides, cones, cilindros, prismas, estaremos restritos às respectivas figuras não oblíquas. (Veja sugestões ao lado). 4ª. O termo “paralelepípedo” (salvo menção em contrário) deve ser entendido como paralelepípedo de base retangular (que também é chamado de bloco retangular). Comente estes fatos com os alunos. 5. a) Chame a atenção do aluno para o conceito de base. A base de uma figura espacial nem sempre é a parte que numa ilustração aparece na parte inferior: a base é a face que se define como tal. Por exemplo, o prisma de base triangular na ilustração está deitado sobre uma de suas faces, mas estamos chamando de base à face triangular, que aparece, na perspectiva adotada, em nossa direção.

Observe as figuras espaciais representadas na ilustração a seguir. Note que o paralelepípedo, o cubo, a pirâmide e o prisma têm faces contidas em superfícies planas. As outras figuras representadas na ilustração têm faces contidas em superfícies curvas.

PARALELEPÍPEDO DE BASE RETANGULAR

CILINDRO

CUBO

CONE

PIRÂMIDE DE BASE RETANGULAR

PRISMA DE BASE TRIANGULAR

SUGESTÕES 1ª. Exiba modelos (ou faça desenhos no quadro) de algumas figuras espaciais oblíquas. 2ª. Explore o fato de que cilindros e cones não oblíquos (chamados de cilindro reto e cone reto) podem ser obtidos girando, respectivamente, um retângulo em torno de um de seus lados e um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

10. Diga o nome da figura espacial que você associa à forma de cada um dos objetos a seguir:

a) Uma lata de azeite; b) Pilha de aparelho elétrico; c) Ponta de um lápis; d) Bola; e) Aparelho de micro-ondas, f) Rolo de pintura g) Chapéu de palhaço;

h) i) j) k) l) m) n)

Parte inferior de um pião; Casquinha de sorvete; Bola de árvore de Natal; Vela sem pavio; Ponta de um prego; Globo terrestre.

10. a) paralelepípedo; b) cilindro; c) cone; d) esfera; e) paralelepípedo; f) cilindro; g) cone; h) cone; i) cone; j) esfera; k) cilindro l) cone; m) esfera; n) prisma de base hexagonal

Cabeça de parafuso sextavado

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Escreva os nomes das figuras espaciais que você lembra ao observar as formas dos objetos a seguir:

Fotos: Márcia Perillo/Lápis Lazúli, 2006 Dreamstime.com, 2012

11.

12.

Desenhe, em seu caderno ou no papel quadriculado, colorindo o interior:

13.

Escreva os nomes das figuras espaciais representadas a seguir:

a)

d) Um pentágono. e) Um hexágono.

b)

14.

Veja novamente as figuras anteriores, conte e responda:

15.

Escreva o nome da figura espacial que se assemelha a cada uma das formas dos objetos a seguir:

a) Quantas faces, vértices e arestas tem o prisma de base hexagonal? b) Quantas faces, vértices e arestas tem a pirâmide de base pentagonal? a) Uma caixa de dentifrício. b) Uma lata de leite em pó.

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 12. Desenhos do aluno. 13. a) Prisma de base hexagonal; b) Pirâmide de base pentagonal. 14. a) 8; 12; 18; b) 6; 6; 10. 15. a) Paralelepípedo; b) Cilindro; c) Cone; d) Cilindro.

Aprendendo em casa a) Um quadrado. b) Um retângulo. c) Um triângulo.

11. Paralelepípedos, cilindros, cones, esferas e pirâmides.

c) Um funil. d) Uma pilha de rádio.

Caso julgue oportuno, pode-se estabelecer a seguinte atividade com caráter de jogo: Jogo: qual é a figura? Personagens do jogo: objetos com as formas das figuras espaciais estudadas, ou desenhos das mesmas ou planificações. Equipes: duas equipes a e b que sorteiam um representante ra e rb, respectivamente. Ra entrega a você duas personagens do jogo (em qualquer das formas citadas acima) sem que o membro da equipe b as veja. Suponha que sejam um prisma hexagonal e um paralelepípedo. Você começa a dar pistas para rb. Por exemplo: a primeira tem 8 faces (ou: a primeira tem 18 arestas) (ou: a primeira é um prisma). Rb desenha ou escreve o nome no quadro. Se acertar, recebe novas pistas sobre a segunda personagem. Se errar, você começa a dar pistas para ra sobre as personagens que rb entregou, até que ele erre. A cada erro de um representante, você passa a dar pista para o outro representante. Os erros que ra e rb forem cometendo serão anotados em uma tabela no quadro. Ganhará a equipe que menor número de erros cometer. As pistas que você vai dar podem ser relacionadas com números de faces, vértices, arestas, sobre medidas de arestas ou de ângulos ou sobre paralelismo ou não paralelismo de faces ou arestas. Alternativa: as pistas podem ser dadas pelos próprios representantes: ra para rb e rb para ra.

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ATIVIDADES ORAIS • 15 peças. • 3ª feira. Resposta do desafio. Os dois últimos segmentos da 3ª. feira completam, para 5 segmentos, o terceiro quadrinho da 4ª. feira. Como no terceiro quadrinho da 5ª. feira falta um segmento, multiplicamos 5 x 15 (número de linhas x número de quadrinhos como se fossem completos em cada linha) e, do produto obtido, subtraímos l (porque o último quadrinho da 5ª. feira somente tem 4 segmentos). Logo, João pintou ao todo 74 peças (5 x 15 – 1).

Números naturais, tabelas e gráficos Explorando o que você já sabe João é pintor e na semana passada, de segunda a sexta- feira, pintou somente peças em forma de pirâmides de base retangular. Ele anotou em uma tabela quantas peças pintou em cada dia da semana. Para isso, cada segmento representa uma peça pintada. Por exemplo, os quatro segmentos do quadrinho representam 4 peças pintadas.

Leia, no manual (informações úteis para os professores), a parte denominada “A resolução de problemas” seção 8.2, antes de trabalhar os problemas deste e de outros capítulos.

2ª feira

• •

16. a) 30 faces; b) 60 reais. 17. a) 5 x 6 = 30. Porque ele pintou 5 caixas de 6 faces cada uma. b) 30 x 2 = 60. Porque, para pintar cada face, gasta 2 reais. Logo, 30 faces gastam 60 reais.

Nos exercícios 16 e 18 são exploradas estratégias diferentes para resolver um mesmo problema. Sempre que possível, proponha aos alunos que discutam maneiras diferentes de se resolver um mesmo problema e as utilizem. 18. 1ª) 6 x 2 para calcular quanto custa pintar cada caixa (6 faces ao preço de 2 reais por face). 2ª) 12 x 5 para calcular quanto ele gastou para pintar todas as caixas (5 caixas ao preço de 12 reais cada).

Anotações do João: 3ª feira

4ª feira

5ª feira

6ª feira

Quantas peças João pintou na segunda-feira? Em qual dia João pintou mais peças?

Desafio!

Observando a tabela, como faço para calcular quantas peças João pintou ao todo, nesta semana, usando uma adição, uma multiplicação e uma subtração?

Aprendendo em sala de aula 16. Ontem, João pintou 5 caixas cúbicas de mesmo tamanho. Para pintar cada face, João gasta 2 reais em tinta. Calcule:

17.

18.

a) O total de faces das caixas que ele pintou ontem. b) Quantos reais ele gastou para pintar todas essas caixas. Qual conta você fez:

a) Para resolver a parte a do exercício anterior? Por quê? b) Para resolver a parte b? Por quê? O professor disse que, há outras maneiras de calcular quanto João gastou ao todo. Discuta com seus colegas e diga quais seriam essas contas. Justifique sua resposta.

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19. 4 caixas.

19.

Hoje, João gastou 48 reais para pintar todas as caixas cúbicas que ele fez, ao mesmo custo de 2 reais por face. Quantas caixas ele pintou?

20. Quais contas você fez para resolver o exercício anterior? Por quê? 21.

Um prédio tem 10 andares. Cada andar tem 30 janelas. Cada janela tem 2 partes de vidro.

a) O prédio tem quantas janelas? b) Quantas partes de vidro existem, ao todo, nas janelas do prédio?

22. Uma estante de loja tem 10 prateleiras. Cada prateleira tem 30 divisões. Em cada divisão existem 2 peças iguais.

21. a) 300; b) 600. 22. a) 300; b) 600. Ver observação após a resposta 24. 23. 36.

a) Quantas divisões existem, ao todo, nas prateleiras? b) Quantas peças iguais existem na estante?

23. Um prédio de 10 andares tem 360 janelas. Se os andares têm todos a mesma quantidade de janelas, quantas janelas existem em cada um deles?

24. a) Eles têm respostas iguais porque, para resolvê-los, fizemos o mesmo raciocínio e as mesmas contas: 10 x 30 = 300 e 300 x 2 = 600; b) 360 : 10. Nos exercícios 17, 20 e 24, pede-se aos alunos que explicitem as contas que fizeram para resolver os problemas anteriores. Explore sempre que possível esta atividade, mesmo que não esteja proposta no texto.

24. Discuta com seus colegas e responda:

a) O que você e eles notaram de parecido nos problemas 21 e 22? b) Qual conta vocês fizeram para resolver o problema 23? Antes de responder, meus parabéns! Gostei de ver que você quer aprender mais. Agora você vai começar a aprender um pouco sobre gráficos.

Son Salvador

Professor, o que é um gráfico?

20. 48 : 6 = 8; 8 : 2 = 4. Porque, dividindo 48 por 6, encontrei quanto custou para pintar as faces das caixas que ele fez. Como custou 2 reais cada face, dividi 8 : 2 = 4 e concluí que ele fez 4 caixas.

Os dois exercícios 21 e 22 visam explorar contextualizações diferentes de uma mesma situação matemática: uma multiplicação dos fatores 10, 30 e 2. Esta é a primeira situação dentre várias que serão exploradas no sentido de conduzir os alunos a generalizações e a perceberem que diversos problemas pertencem a uma mesma “família”. Gradativamente, eles devem perceber que vários problemas podem ser resolvidos com uma mesma operação, uma mesma equação, um mesmo raciocínio. Observe que os problemas anteriores envolvem multiplicações e divisões “fáceis”, pois o objetivo dos mesmos não é verificar se os alunos sabem resolver operações mais complexas. Ao abordar o capítulo relacionado com essas operações, ofereceremos oportunidade de verificar se os alunos sabem efetuar cálculos das operações ditas “com reserva” , apresentando problemas cu jas so luções requeiram a abor dagem em grau de dificuldade crescente de tais operações.

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Os exercícios que seguem visam uma primeira exploração de tabelas e gráficos. É recomendável que sejam antecedidos com atividades simples, feitas com tabelas e gráficos retirados de jornais ou revistas. Inicialmente, destaque os títulos, as grandezas envolvidas, o que significam os valores numéricos das tabelas ou suas correspondentes re pre sen tações por retângulos (quanto maior o valor, maior o comprimento do retângulo), bem como a fonte. Dê preferência às tabelas ou gráficos que envolvam fatos significativos para alunos do sexto ano, bem como os relacionados com o dia a dia do cidadão comum. Pela grande importância do tema, ele voltará a ser abordado neste volume e nos demais, apresentando, inclusive, outros tipos de tabelas e gráficos. 25. a) Produção do João de 11 a 15 de julho; b) O possível total de peças pintadas a cada dia; c) O total de peças pintadas no dia 12 (17); d) Rosa e azul.

O patrão de João gosta muito de gráficos. Veja como ele resumiu em um gráfico os dados da tabela que João fez: PRODUÇÃO DO JOÃO NA SEMANA DE 11 A 15 DE JULHO

25. Observe o gráfico e responda:

a) Qual é o título do gráfico? b) O que representam os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., escritos na parte inferior do gráfico?

c) O que representa o retângulo amarelo? d) Quais são as cores dos retângulos que representam quantidades iguais de peças pintadas pelo João?

26. Veja outro gráfico feito pelo patrão do João:

Obs.: Futuramente, serão explorados mais detalhes sobre gráficos com títulos, legendas, fontes etc. Explore atividades com passagens de tabelas para gráficos e vice-versa. 26. a) Dia 20; 17; b) Dia 22; 12; c) 62; d) 60; e) de 18 a 21; f) 18 19 20 21 22 Solicite, ao máximo, que os alunos explicitem que contas fizeram para resolver as diversas situações-problema e, principalmente, o raciocínio desenvolvido para resolvê-las. (Como nos exercícios 17, 20 e 24.)

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PRODUÇÃO DO JOÃO NA SEMANA DE 18 A 22 DE JULHO

22 21 20 19 18

TOTAL DE PEÇAS PINTADAS PELO JOÃO

Agora, responda ou faça o que se pede:

a) Em qual dia João pintou mais peças e quantas peças ele pintou nesse dia? b) Em qual dia João pintou menos peças e quantas peças ele pintou nesse dia? c) Calcule quantas peças ele pintou de 18 a 21 de julho. d) Calcule quantas peças ele pintou de 19 a 22 de julho. e) Ele pintou mais peças de 18 a 21 ou de 19 a 22 de julho? f ) Monte uma tabela correspondente ao gráfico.

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27. Observe as duas sequências de números a seguir:

Agora, responda:

a) Como se chamam os números naturais da primeira sequência? b) E os da segunda sequência? c) Quais são os três números que devem ser escritos para continuar a primeira sequência? d) E para continuar a segunda sequência? Quais são os 3 números seguintes?

Aprendendo em casa 28. A turma A tem 25 alunos. A professora anotou as presenças dos dias 12 a 16 de fevereiro (de 2ª a 6ª feira) em uma tabela, e fez um gráfico como o seguinte:

Caso julgue necessário, antes de abordar o exercício 27, explore, no quadro, como construir uma reta numerada. Use régua e compasso para obter equidistâncias entre dois pontos correspondentes aos números naturais sucessivos, enfatizando esse fato. Usando o desenho obtido, explore o conceito de distância entre diversos pares de pontos, criando situações que permitam aos alunos descobrir que a distância entre dois desses pontos é a diferença positiva entre os números correspondentes. No exercício 27, o termo “sequência” está sendo utilizado intuitivamente. Explore o conceito, criando outras sequências. Por exemplo: a) Múltiplos de 3, 4, 6; b) Progressões: 4; 7; 10; 13; ... e 3; 6; 12; 24;... Explore também sequências de figuras. Por exemplo: V; VV; VVV; – (ou outras mais complexas com figuras fazendo “giros” de 90 graus no sentido horário, outras no sentido anti-horário etc.). 27.a) Números pares; b) Números ímpares; c) 14, 16, 18; d) 15, 17 ,19. Nos exercícios 27 e 31, são exploradas as primeiras ideias de regularidade: a descoberta de leis de formação das sequências numéricas. As regularidades serão extremamente úteis na ampliação dos conjuntos numéricos, na descoberta de regras de sinais e na justificativa de algoritmos de operação com números. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

Observe o gráfico e responda ou faça o que se pede:

a) Monte uma tabela correspondente ao gráfico. b) Em qual dia da semana todos os alunos da turma A compareceram? c) Em qual dia houve o maior número de faltas? Quantas? d) Em quais dias houve o mesmo número de faltas? e) Em qual dia houve uma única falta?

28. a) 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª b) 4ª feira; c) 5ª feira; 4; d) 2ª e 6ª feira; e) 3ª feira.

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Nos anos seguintes, ao explorar gráficos, teremos a oportunidade de destacar os conjuntos numéricos aos quais estão associadas as grandezas envolvidas. No momento, achamos delicada tal abordagem. ATIVIDADES EXTRAS A seu critério, explore as atividades que julgar mais pertinentes no momento, como: 1) Coletar, separar, organizar e tirar conclusões a partir de dados colhidos ou fornecidos pelos próprios alunos, informações contidas em jornais ou revistas. 2) Organizar dados em tabelas. Exemplos: 1) Dados relacionados com a família: Cada aluno deve responder à pergunta: quantos irmãos e irmãs você tem? As respostas vão sendo anotadas no quadro, inicialmente uma após a outra. Exemplo: (1, 3) um irmão e 3 irmãs, (2, 1) dois irmãos e 1 irmã etc. Depois, organizam-se os resultados, em uma tabela de duas linhas:

29. Na semana de 19 a 23 de fevereiro, a professora anotou as presenças dos 25 alunos da turma A em uma tabela como a seguinte: 3ª feira

4ª feira

5ª feira

6ª feira

23

20

21

25

22

Use um papel quadriculado para fazer o gráfico correspondente à tabela. Recomendações:

• • •

29. Gráfico dos alunos.

Use cores diferentes nos retângulos do gráfico. Escreva o título do gráfico. Escreva os títulos das grandezas envolvidas.

30. Responda com base na tabela dada e no gráfico que você fez no exercício anterior:

Irmãos 1 2 etc. soma Irmãs 3 1 etc. soma Exploram-se as conclusões: a) Uma das respostas tem o maior número de irmãos possível; qual é ele? b) Existem alunos que têm irmãos e não têm irmãs? Existem alunos que são filhos únicos? No total, existem mais irmãos que irmãs? Discutir as razões pelas quais as famílias da atualidade têm, em geral, menos filhos. Pergunte se algum aluno conhece alguém da família ou do bairro que tem grande quantidade de filhos e, se possível, quantos são. 2) Dados relacionados com figuras geométricas. Dadas várias figuras geométricas de formas ou cores diferentes, organizar tabelas relacionadas com as quantidades de figuras de mesma forma ou de mesma cor. Comente: pela grande importância do tema (tabelas e gráficos), ele será estudado novamente nos diversos volumes. Peça aos alunos que completem com mais três números: a) 1, 4, 7, 10, ...; b) 2, 4, 8, 16,... Peça-lhes que expliquem como resolveram o exercício 31.

2ª feira

31.

30. a) 5ª feira;

b) 20;

c) Quantos alunos compareceram na 3ª feira.

a) O retângulo de maior comprimento corresponde a qual dia da semana? b) O retângulo de menor comprimento corresponde a qual número natural? c) O que representa o número natural encontrado no item b) acima? No primeiro quadro abaixo você vê representados, em uma reta numerada, os cinco primeiros números da sequência: 0, 2, 5, 9, 14, … Observe atentamente o segundo quadro, descubra os valores que devem substituir corretamente cada letra usando a regra sugerida e os escreva em seu caderno. 31. a) 5; b) 6; c) 7; d) 8; e) 20; f) 27; g) 35.

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Vistas e números Explorando o que você já sabe Vista de frente

Fotos: Nazareth Leite/Lápis Lazúli, 2005

Pilha de blocos

Vista da direita

Vista de cima

Observe as figuras e responda ou faça o que se pede:

• • •

Qual é o nome da figura geométrica que cada uma das peças da pilha lhe lembra? Quantas destas peças podemos contar, observando pela vista de frente? E observando pela vista da direita?

Desafio! A pilha tem quantas peças: 9 ou 16?

As atividades que seguem devem ser antecedidas com a exploração de atividades análogas a elas, usando diversos objetos como peças de brinquedos, caixas de fósforos vazias etc., pelo fato de que o universo de vivência dos alunos é o espaço tridimensional. Assim, a exploração dos objetos tridimensionais deve anteceder o estudo das figuras planas, sendo estas apresentadas, inicialmente, como faces, arestas ou vértices dos referidos objetos. Trabalhar a visão espacial do aluno é um dos grandes objetivos deste e de outros capítulos.

Deve-se explorar situações de desenhos de vistas de blocos, formados com caixas de fósforos (das grandes), ou outros objetos em forma de blocos retangulares, colocados sobre a mesa. Em particular, usando blocos retangulares, explore situações análogas às propostas nos exercícios 35 e 36 da página 23, formando sobre a mesa pilhas de peças (como no 35) e pedindo que, após observá-las de perto, desenhem no quadro todas as possíveis vistas: de frente, dos dois lados, de trás e de cima. Visite ou recomende os sites http://web.educom.pt/ pr1305mat_geometri_ solidos.htm http://www.educ.fc.ul.pt/ icm/icm2002/icm204/solidos_geometricos.htm http://math.haifa.ac.il/ROVENSKI/rovenski/rov17_6. html ATIVIDADES ORAIS • Paralelepípedo. • Cinco. • Sete. Desafio! 9 peças (ver exercício 32).

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Aprendendo em sala de aula 32. Leia com os alunos o texto ao lado; depois, explore a solução do desafio.

32. Examine como é possível resolver um problema parecido com o desafio anterior:

Vista de frente

Desafio de frente: 3 1 4 2 5

Pilha de blocos

da direita: 3 4 5

6 7 8

9

de cima: 1 3 6

9

33. a)

Fotos: Nazareth Leite/Lápis Lazúli, 2006

A pilha tem 9 peças.

AM A V

A V

Obs.: AM = amarelo. A = azul. V = vermelho. VR = verde. b) VR AM A V

34. a) VR

A V

AM A V

Vista de cima

a) Na vista de frente, você vê seis blocos (números de 1 a 6). b) Na vista da direita, você vê cinco, porém, três deles já foram contados: 4, 5 e 6; logo, os blocos ainda não contados são dois: números 7 e 8.

c) Na vista de cima, você vê três blocos, mas todos já foram contados: 1, 4 e 7. Logo, a pilha tem 8 blocos (numerados de 1 a 8).

VR A V

Use raciocínio parecido com o desenvolvido nos itens a), b) e c), acima, para resolver o desafio da página anterior.

33.Observe com atenção as vistas da pilha da ilustração anterior e desenhe:

b) amarelo azul verde

Vista da direita

azul vermelho

a) A vista da esquerda. b) A vista dos fundos.

34.Veja novam ente a pilha do problema-desafio e desenhe: a) A vista da esquerda. b) A vista dos fundos.

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35. a)Pode; b) Sim. Pode existir uma peça escondida; logo, podem existir 6 peças.

35. Responda, observando a figura:

a) Ela pode ter apenas 5 peças? b) Ela pode ter mais de 5 peças? Se pode, ex-

Os exercícios 35 e 37 visam mostrar aos alunos que os problemas de matemática podem ter mais de uma resposta correta, dependendo das discussões relacionadas com os seus dados.

plique por que e quantas.

36. Quais das figuras a seguir podem ser vistas de cima se consideramos

36. a e b. (No caso b, uma peça escondida.)

todas as possíveis pilhas representadas pela figura anterior?

37. a) Sete, onze; b) Doze.

a)

Peça aos alunos que expliquem como resolveram o exercício 37.

b)

c)

37. Se a figura c anterior for a vista de cima de uma pilha de duas camadas de peças, responda:

a) Se a camada de cima for incompleta, qual é o menor número de peças que a pilha pode ter? E qual é o maior?

b) Quantas peças tem a pilha se a camada de cima for completa?

38.Observe os paralelepípedos a seguir: Agora, responda:

Observação importante para os alunos: as medidas anotadas nas ilustrações ou descritas nos exercícios são relacionadas com os objetos que elas representam e não com as próprias ilustrações.

a) Quanto mede o comprimento do paralelepípedo representado pela figura da direita?

b) Qual das duas dimensões mede 3 cm: a largura ou a altura? c) Paralelepípedos são figuras de quantas dimensões: duas ou três?

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Do exercício 38 em diante, são exploradas as ideias de dimensões de algumas figuras espaciais, figuras planas e dos segmentos (respectivamente 3, 2 e 1 dimensões). Alguns deles exploram, também, estimativas de medidas, bem como medidas com unidades não convencionais. Recomenda-se a utilização de diversos objetos com as formas exploradas no texto, para identificação dos nomes e medição de suas dimensões. 38. a) 6 cm; b) A largura; c) Três. Ao trabalhar este capítulo, explore situações que esclareçam os fatos que listamos a seguir: Segmentos são entes geométricos que diferem das grandezas “comprimentos” associadas aos mesmos. Por exemplo: (a) desenhe diversos segmentos no quadro e peça aos alunos que meçam seus comprimentos; (b) peça-lhes que decidam se são verdadeiras ou falsas as afirmações: (1) segmentos são figuras geométricas; (2) comprimento de um segmento é um número que representa a medida do segmento; (3) existem segmentos que têm medidas iguais; (4) um número não pode representar a medida de vários segmentos. Figuras planas são entes geométricos que diferem das grandezas “áreas” associadas às mesmas. Por exemplo: peça-lhes que decidam se são verdadeiras ou falsas as afirmações: (1) no exercício 36, estão representadas três figuras geométricas planas; (2) as áreas das três figuras citadas são expressas por números; (3) as áreas das três figuras citadas são iguais; (4) medidas com a mesma unidade de medida de área, podemos afirmar que a área da figura (a) é menor que a área da figura (b), e esta, menor que a área da figura (c).

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Figuras espaciais são entes geométricos que diferem das grandezas “volumes” associadas às mesmas. Como exemplo, imite as situações anteriores usando as pilhas do exercício 39, notando que (a) e (b) têm volumes iguais se medidos com a mesma unidade de medida de volume. As medidas anotadas nas arestas das vistas de um sólido não são proporcionais aos segmentos que, no desenho, representam tais arestas, porque, como se sabe, para dar ideia de que o sólido é tridimensional, as faces na representação em desenho são deformadas. Como exemplo, use a segunda figura do exercício 38, cujos segmentos que representam a largura e a altura deveriam ter como medidas a metade e a terça parte da medida do segmento que representa o comprimento.

39. As pilhas representadas pelas figuras a seguir são formadas de blocos que têm, cada um, as seguintes dimensões: comprimento 6 cm, largura 3 cm e altura 2 cm.

b)

a)

c)

Observação importante para os alunos: as medidas anotadas nas ilustrações ou descritas nos exercícios são relacionadas com os objetos que elas representam e não com as próprias ilustrações. 39. a) 18 cm, 3 cm, 4 cm; b) 12 cm, 3 cm; 6 cm; c) 24 cm; 6 cm; 8 cm. 40. 4 x 3 x 2 = 24. R) 24 blocos. Justif icativa: Como o comprimento de cada bloco mede 6 cm, é possível colocar 24 : 6 = 4 blocos ao longo do comprimento. Como a largura de cada bloco mede 3 cm, existirão 9 : 3 = 3 camadas de 4 blocos, ou seja, 4 x 3 blocos. Finalmente, como a altura de cada bloco mede 2 cm, existirão duas camadas de 4 x 3 blocos, ou seja, 4 x 3 x 2 = 24 blocos.

Calcule o comprimento, a largura e a altura de cada uma das três pilhas.

40. A caixa representada pela figura abaixo tem as seguintes dimensões internas:

Comprimento 24 cm, largura 9 cm, altura 4 cm. Agora, responda: para encher totalmente essa caixa, quantos blocos iguais aos do exercício anterior serão utilizados? Justifique os seus cálculos.

Por coerência com os nomes das dimensões dos paralelepípedos, iremos usar os termos comprimento e altura para os retângulos.

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ALTURA

Observe os nomes das duas dimensões do retângulo a seguir:

COMPRIMENTO

NOSSAS MEDIDAS SÃO AS DIMENSÕES DO RETÂNGULO

41.

A figura a seguir representa um cartão subdividido em 12 retângulos de medidas iguais: comprimento 2 cm e altura 1 cm. Calcule o comprimento e a altura do cartão:

42.O pátio de uma escola tem a forma de um retângulo cujas dimensões são:

comprimento 60 metros e largura 30 metros. Ele vai ser todo cimentado e, para evitar rachaduras, será dividido em quadrados de um metro de lado. Para marcar essas divisões, o pedreiro fez um quadriculado com barbantes. Quantos quadrados ele obteve?

43.O

mesmo pátio do exercício anterior também pode ser dividido em quadrados cujos lados tenham outras medidas inteiras em metros. Por exemplo, quadrados cujos lados medem 2 metros.

a) Dê mais dois exemplos de medidas inteiras dos lados desses quadrados (em metros)

41. 8 cm; 3 cm. Peça que expliquem como resolveram o exercício 41. Antes de abordar os problemas 42 e 43, explore situações análogas, usando o quadro da sala para desenhar alguns retângulos e quadricular os mesmos. Para isso, é possível, inclusive, usar unidades arbitrárias de medidas de comprimento, como, por exemplo, o tamanho do giz, de um lápis etc., obtendo comprimento e largura dos retângulos como múltiplos da unidade arbitrária que foi escolhida. Caso julgue oportuno, explore o exercício 42, para dar uma primeira ideia de área em metros quadrados. Diga que: se o pátio pode ser dividido em 1 800 quadrados de um metro de lado, então a área do pátio mede 1 800 metros quadrados. 42. 60 x 30 = 1 800. R) 1 800. Peça que expliquem como resolveram o exercício 42. 43. a) 6 m e 3 m, porque 60 e 30 podem ser divididos exatamente por 6 e 3; b) 4 m, porque 4 não divide 30 exatamente, e 7 m, porque 7 não divide exatamente 60 nem 30. O exercício 43 permite, de maneira contextualizada, uma primeira exploração (no item a) do conceito de divisor de um número natural. Ao responder, por exemplo, 3 m e 5 m, o aluno irá se basear no fato de que 3 é divisor de 30 e 60, bem como 5 é divisor de 30 e 60. Permite, também, explorar o fato de que um problema pode ter mais de uma solução. Como as respostas sugeridas não são as únicas possíveis, peça aos alunos que ditem, para serem escritas no quadro, o maior número possível de respostas corretas.

e uma razão de elas servirem. b) Dê dois exemplos de medidas inteiras (em metros) que não podem ser usadas e dê uma razão para esse fato.

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Observação importante para os alunos: as medidas anotadas nas ilustrações ou descritas nos exercícios são relacionadas com os objetos que elas representam e não com as próprias ilustrações. Antes do exercício 44, explore atividades análogas com embalagens em forma de paralelepípedo.

44.Um paralelepípedo tem as três dimensões diferentes. Na figura a seguir, você vê dois retângulos que representam duas das faces desse paralelepípedo:

44. a) 8 cm e 10 cm; b) 4 cm, 8 cm, 10 cm. Peça que expliquem como resolveram o exercício 44.

Atividades no quadro: proponha que desenhem algumas retas e destaquem sobre elas, usando régua graduada, segmentos de medidas diferentes, compatíveis com a graduação da régua. Explore: a) a representação por letras maiúsculas dos extremos dos segmentos; b) usando um dos segmentos, peça que exibam pontos da reta que estão entre os extremos e pontos que não estão; c) marque um ponto de um dos segmentos que fica a igual distância dos extremos desse segmento (e diga para os alunos que este ponto chama-se ponto médio do segmento); d) explore com perguntas o fato de o ponto médio do segmento ser caracterizado por duas condições: estar entre os extremos e equidistar dos mesmos. Para isto, usando apenas uma dessas condições de cada vez, pergunte se um ponto que a satisfaz é o ponto médio. Mostre contraexemplos: para a primeira condição, um ponto entre os extremos mas não equidistante, e, para a segunda, um ponto equidistante dos extremos, mas não pertencente ao segmento. Uma última observação: o conceito de “estar entre” para pontos é intuitivo e requer que os pontos pertençam a uma mesma reta.

Discuta com seus colegas para concluir como responder:

a) Quais as dimensões do terceiro par de faces opostas do paralelepípedo? b) Quais as três dimensões do paralelepípedo?

C A

Um segmento tem uma única dimensão: seu comprimento.

D B

O segmento de extremos A e B mede 40 milímetros (40 mm).

O segmento de extremos C e D mede 42 milímetros (42 mm).

Son Salvador

Desenhe no quadro uma reta e, nesta, dois pontos A e B. Destaque com cor o segmento AB. Explore a situação para que o aluno compreenda: 1º.) que a parte destacada em cor chama-se segmento AB; 2º.) que os pontos A e B chamam-se extremos do segmento AB; 3º.) o segmento AB é formado pelos pontos A, B e todos os pontos da reta que estão entre A e B; 4º.) o segmento tem uma única dimensão. Exiba desenhos de segmentos sem destacar as retas que os contêm e proponha que alunos desenhem no quadro segmentos designando os extremos dos mesmos.

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45. Em sua sala de aula existem vários objetos com faces em forma de retângulo, como a capa de seu livro, por exemplo.

a) Descubra pelo menos mais dois objetos com faces em forma de retângulo em sua sala de aula. b) Faça uma estimativa das dimensões da capa de seu livro.

46. O palmo do pai de Frederico tem, aproximadamente, 20 cm. Ele mediu uma porta com seu palmo e encontrou as seguintes dimensões: 11 palmos de altura e 4 palmos de largura.

Márcia Perillo/Lápis Lazúli, 2006

Dê as medidas aproximadas da porta que ele mediu, em centímetros.

47. Observe a figura abaixo e discuta com os seus colegas:

a) Qual é a cor da linha de maior comprimento? b) Qual é a cor da linha de menor comprimento? c) Qual a relação do comprimento da linha vermelha com os comprimentos das outras duas?

48. Para cada objeto a seguir, diga se você o mediria em centímetros ou em milímetros:

a) A espessura de uma caneta. b) O comprimento de uma toalha de banho. c) A largura de uma caixa de sapatos. d) A espessura de um palito.

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45. a) Paredes, portas, pisos etc. b) Respostas variadas. 46. Altura: 220 cm; Largura: 80 cm. O exercício 46 explora, pela primeira vez, o uso de medidas não convencionais. Explore outros modos de medir: com barbantes, varetas etc., reproduzindo situações que podem ocorrer no dia a dia, como a necessidade de medir sem ter, no momento, um instrumento apropriado. O exercício 47 visa a mostrar como é possível aproximar curvas por poligonais para medir seus comprimentos, sendo a medida mais precisa quanto maior for o número de segmentos de tais poligonais. Explore a atividade a seguir: desenhe um grande arco de semicircunferência de extremos A e B no quadro (o maior possível) e uma poligonal com dois segmentos AM e MB com M em uma posição mais próxima possível de dividir o arco AB em dois arcos iguais. Depois, desenhe entre a poligonal de dois lados e o arco AB outra poligonal de lados AC, CM, MD e DB. Se possível, desenhe outra poligonal de oito lados de modo análogo ao anterior. Explore o desenho com perguntas que levem os alunos a descobrir que, quanto maior o número de lados dessas poligonais, mais próximo o comprimento delas fica do comprimento da curva. Não se preocupe, neste momento, em conceituar comprimento do arco ou da poligonal. Use-os de maneira intuitiva. 47. a) Azul; b) Verde; c) A linha vermelha tem comprimento menor que o da linha azul e maior que o comprimento da linha verde. Professor(a): antes de explorar o exercício 48, verifique se os alunos distinguem, exibidos vários objetos, o que seja a espessura dos mesmos. 48. a) mm; b) cm; c) cm; d) mm.

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Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 49. Largura: 120 cm; Altura: 80 cm.

aprendendo em casa 49. O pai de Frederico mediu a janela com o palmo e encontrou as seguintes dimensões: largura, 6 palmos; e altura, 4 palmos. Se o palmo dele mede, aproximadamente, 20 centímetros, dê as medidas aproximadas da janela, em centímetros.

50. a)

b)

50. Examine a pilha, ilustrada abaixo, e use papel quadriculado para desenhar as vistas:

a) Da direita. b) De cima. c) De frente.

Caso seja opor tuno, explore o jogo descrito a seguir: Jogo: quantos blocos tem a pilha? Personagens: três vistas de uma pilha. Equipes: a e b com representantes sorteados (ra e rb). Inicialmente, usando caixinhas de fósforos, cada equipe forma uma pilha e desenha três vistas das mesmas em um papel. Sorteia-se quem vai dar a pri meira pista. Suponha que seja ra o sorteado. Ao começar o jogo, ra copia do cader no para o quadro uma das vistas e rb tenta descobrir quantas caixinhas formam a pilha. Se acertar, ganhou o jogo. Se rb errar, passa a desenhar uma das vistas para que ra tente acertar. O jogo continua até que um dos representantes acerte. Po dem acon tecer tenta tivas, mes mo depois de desenhadas as três vistas. Destaque para os alunos que as medidas anotadas na figura do exercício 51 correspondem a segmentos representados na figura e não aos segmentos da figura (cujas medidas são evidentemente bem menores).

Não existem caixas escondidas atrás da pilha.

Son Salvador

c)

51.

No quadro abaixo, você vê representadas, na cor laranja, duas curvas AB e CD. Calcule as medidas aproximadas dessas curvas, em centímetros. Justifique.

51. AB: 30 cm; CD: 38 cm. Justificativa: O comprimento da curva AB é um valor próximo ao comprimento da poligonal cujos lados medem 8 cm, 8 cm e 14 cm. O comprimento da curva CD é um valor próximo ao comprimento da poligonal cujos lados medem 19 cm e 19 cm.

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Professor(a) . Em atividades futuras, usaremos os conceitos de perímetro e área de alguns polígonos. Explore exercícios que esclareçam estes conceitos sem maiores preocupações de formalizações. Como sugestão, para perímetros, veja a observação na margem da página 54 e, para áreas, veja as atividades 46 a 48 da página 177.

Os objetos e os ângulos Explorando o que você já sabe

Fotos: Nazareth Leite/Lápis Lazúli, 2006

Em cada objeto a seguir, você vê, em destaque, um ângulo:

Recomende ou explore a leitura de: “Atividades e jogos com ângulos” Marion Smoothey – Tradução de Sérgio Quadros. Coleção Investigação Matemática Editora Scipione

ATIVIDADES ORAIS

• Em qual dos objetos você vê o ângulo “mais aberto”: na tesoura, no compasso ou nas pernas da mesa?

Aprendendo em sala de aula

Fotos: Márcia Perillo/Lápis Lazúli, 2006

52. Observe os ângulos dos ponteiros dos relógios:

• Na tesoura. Com o objetivo de tornar claro que nosso estudo inicial ficará restrito a ângulos que medem, no máximo, 180 graus, destacamos o interior dos mesmos com um pequeno setor colorido, com exceção apenas para ângulos retos, cujo destaque se faz com pequenos quadradinhos. Coerentemente, solicitamos que, ao propor exercícios aos alunos, se proceda de modo análogo. Se possível, use um relógio grande ou um despertador para repro duzir situações como as que seguem. Ex plore, também, um compasso de madeira (dos usados para desenhar no quadro), mantendo um dos lados fixos e movimentando o outro, abrindo ou fechando, para que os alunos associem ângulos com giros.

Agora, responda:

a) O ângulo mais aberto corresponde a quantas horas? b) Qual das horas corresponde ao ângulo mais fechado: uma ou três horas? c) Qual dos três ângulos ilustrados corresponde aos ângulos de cada um dos quatro cantos das páginas de seu livro de Matemática?

52. a) 5 horas; b) Uma hora; c) O segundo (3 horas).

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53. Qual dos dois ângulos a seguir é maior, isto é, qual deles é “mais aberto”?

53. O primeiro ângulo. Desenhe, no quadro, ângulos de diversas aberturas, tendo os comprimentos dos lados tamanhos me nores quanto maiores forem as aber turas dos ângu los. Em seguida, explore essas figuras até que os alunos compreendam que um ângulo é maior que o outro porque é “mais aberto” e não porque os seus lados têm, no desenho, comprimentos maiores que os lados de outro ângulo desenhado. Observe que nem faz sentido falar em “comprimento” dos lados de um ângulo porque são semirretas.

Segundo ângulo

Você deve ter observado que, nos ângulos, o mais importante é a abertura. O tamanho dos lados não é importante.

Son Salvador

Explore situações análogas às do exercício 53 para reforçar o que se afirma no balão da ilustração. Para que os alunos não associem medida do ângulo com as áreas dos setores coloridos no interior dos mesmos, desenhe dois ângulos opostos pelo vértice com o setor colorido de um deles com raio bem maior que o setor do outro ângulo. Explore com perguntas: a) Os dois ângulos têm a “mesma abertura”? b) O que podemos afirmar das medidas desses dois ângulos?

Primeiro ângulo

54. Para obter ângulos usando dobraduras, repita cada passo da figura, usando um pedaço de papel:

54. Dobraduras dos alunos.

dobre

desdobre

Fotos: Márcia Perillo/Lápis Lazúli, 2006

desdobre

dobre

30

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55. Para obter quatro ângulos de medidas iguais usando dobraduras, repita cada passo da figura usando um pedaço de papel:

Fotos: Márcia Perillo/Lápis Lazúli, 2006

dobre

desdobre

Professor(a): peça aos alunos para observarem que, ao dobrar pela segunda vez, o vinco da primeira dobra deve se superpor. Usando folhas de papel, refaça atividades como as abordadas nos exercícios 54 e 55 e reforce a observação dada no balão da ilustração relacionada com “ângulos retos”. Um pouco de história: proponha uma pesquisa sobre ângulos e figuras. Sugestão: visite ou recomende o site http://www. somatematica.com.br/historia/ grau. php Aqui, sem falar em medidas, introduzimos as noções de ângulo agudo e ângulo obtuso como sendo ângulos de “aberturas” menores ou maiores, respectivamente, que a abertura de um ângulo reto.

dobre

desdobre

Son Salvador

56. Na figura, você vê três ângulos com aberturas diferentes:

Ângulo reto

56. a)Menor; b) Maior; c) Retos. Observação: evidentemente o aluno responderá pensando nas páginas deste livro, o que o levará a dar a resposta inserida anteriormente.

Na figura anterior, você vê duas retas que se cortam formando quatro ângulos iguais. Cada um deles chama-se ângulo reto.

Ângulo agudo

55. Dobraduras dos alunos.

Ângulo obtuso

Agora, responda:

a) O ângulo agudo é menor ou maior que o ângulo reto? b) E o ângulo obtuso? c) Os ângulos de cada um dos quatro cantos de uma página de seu livro de Matemática podem ser associados a qual tipo de ângulos: agudos, retos ou obtusos?

a) Proponha que alunos desenhem no quadro ângulos agudos, ângulos obtusos e ângulos retos. b) Desenhe no quadro um ângulo reto e um ângulo agudo com o “tamanho” dos lados maior que o “tamanho” dos lados do ângulo reto para verificar se os alunos já compreenderam que as medidas dos ângulos se relacionam com a “abertura” entre os lados, e não com o “tamanho” dos mesmos. c) Desenhe, no quadro, ângulos com um lado vertical (“apontando” para cima) e o outro lado formando aberturas cada vez maiores, até chegar ao ângulo raso (opcionalmente, cite o nome deste) e explique que este é o ângulo de maior medida possível que vamos estudar. Esta sugestão visa, de modo intuitivo, convencionar que consideraremos apenas ângulos de medida, no máximo, de 180 graus.

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57. a) Obtuso; b) Reto; c) Agudo. Faça, no quadro, um esboço das três situações do exercício 57, marcando o interior dos ângulos com arcos coloridos, reforçando o fato de se tratar de ângulos que medem menos de 180 graus.

No exercício 58, usamos o termo semirreta de maneira intuitiva, sem a preocupação de conceituar. Na segunda ilustração, o ângulo é mostrado como a união de duas semirretas distintas, PQ e PR, que têm a origem P em comum.

57. Classifique como agudo, reto ou obtuso o ângulo dos ponteiros de um relógio, quando ele está marcando:

a) 5 horas.

c) 12 horas e 10 minutos.

58. Na figura a seguir, você vê como dar nome a um ângulo e as formas de ler esse nome:

Você vê

Você lê de uma das maneiras a seguir:

M

Ângulo P ou ângulo MPR ou ângulo RPM

p R

58. Ângulo P; Ângulo RPQ; Ângulo QPR. Explore situações de movimentos sucessivos, descrevendo caminhos retilíneos que mudem de direção, formando ângulos retos para a direita, para cima, para a esquerda, para baixo etc.

b) 3 horas.

Agora, escreva em seu caderno algumas maneiras de ler o nome do ângulo da figura a seguir:

R

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque do exercício 58. 59. a) Lados: ED e EF; vértice: E; b) JLM (ou MLJ); c) DEF (ou FED).

Os lados do ângulo RPq da figura são as semirretas PR e Pq. O vértice do ângulo é o ponto P. Q

P

59. Observe a figura : D J

E F

M L

Agora, responda:

a) Quais são os lados do primeiro ângulo da figura anterior? E o vértice? b) As semirretas LJ e LM são lados de qual dos ângulos? c) O vértice de um dos ângulos é o ponto E. Qual é esse ângulo?

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Um instrumento de desenho muito conhecido é o esquadro. Existem dois tipos de esquadros. Veja nas figuras ao lado:

Primeiro esquadro

Leve, para a sala de aula, esquadros de madeira utilizados para desenhar no quadro e explore as situações que seguem, repetindo-as com desenhos no quadro, sempre que possível. Comente com os alunos como se lê: a) 90o (noventa graus), b) 45o (quarenta e cinco graus) etc. O exercício 61 objetiva dar uma ideia aos alunos de ângulos que medem 30, 45, 60 e 90 graus, sem usar o transferidor. Os alunos concluem, observando as figuras, que os ângulos de 30 e 45 graus são, respectivamente, a terça parte e a metade do ângulo reto, enquanto que o de 60 graus é aquele cuja soma com o de 30 graus é o ângulo reto. Atividades de medir ângulos com transferidor serão introduzidas posteriormente.

Son Salvador

60. a) Agudos; b) O segundo.

Segundo esquadro

60.Observe que cada um dos esquadros tem um ângulo reto. a) Os outros dois ângulos dos esquadros são agudos ou obtusos? b) Qual deles tem dois ângulos de medidas iguais?

61. O ângulo reto mede 90º (90 graus). Observe as figuras a seguir e responda quanto medem, em graus:

a) Cada um dos ângulos AOB, BOC e COD da figura A. b) Os ângulos MON e NOP da figura B. c) Os dois ângulos agudos dos esquadros da figura C.

Figura A

Figura B

Figura C

Desenhe no quadro três semirretas OM, OX e ON com OX entre OM e ON, sendo o ângulo MON menor que um ângulo reto. Pergunte aos alunos o que podem dizer das medidas dos ângulos MOX e XON com relação à medida do ângulo MON. 61. a) 30º; b) MON: 30º; NOP: 60º; c) 45º. Peça aos alunos que justifiquem as respostas dos itens do exercício 61. Novamente, sugerimos criar o hábito de cobrar, dos alunos, enunciados de respostas compatíveis e mais completas com relação às atividades propostas como, por exemplo: a) A medida de cada um dos três ângulos é a terça parte da medida do ângulo reto; logo, cada um deles mede 30 graus. b) O ângulo MON tem medida igual à dos três anteriores, ou seja, 30 graus. Como a soma dos dois ângulos da figura é um ângulo reto, o segundo ângulo (NOP) mede 60 graus. c) A medida de cada um dos dois ângulos é a metade da medida do ângulo reto; logo, cada um deles mede 45 graus.

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62. Some

as medidas em graus dos três ângulos de cada um dos dois esquadros. Quantos graus você obteve como soma?

Nos exercícios 62 e 63, apresentamos uma primeira exploração do fato: a soma dos ângulos de um triângulo é 180o. 62. 180º. Use as figuras dos exercícios 62 e 63 para comentar que os quadradinhos nos vértices são usados para indicar que os ângulos são ângulos retos. 63. São iguais. As ideias de perpendiculares e paralelas devem ser exploradas usando diversos objetos: o ambiente da sala de aula, as linhas de ilustrações, fotos etc.

63. As somas das medidas, em graus, dos três ângulos dos dois esquadros são iguais ou diferentes?

As duas retas da figura se cortam formando ângulos retos. Por isso, elas se chamam retas perpendiculares.

Son Salvador

64. a) 90º; b) 90º; c) 180º.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, as figuras e os textos dos professores dos exercícios 63 e 64.

64. Observe a figura e responda à pergunta que a segue: Dizemos que o ângulo AOC da figura ao lado é um ângulo raso. Dizemos também que os seus lados OA e OC são semirretas opostas.

Quanto mede cada um dos ângulos da figura?

a) Ângulo AOB.

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b) Ângulo BOC.

c) Ângulo AOC.

Son Salvador

Desenhe no quadro uma reta e três pontos L, O, P, com O entre L e P. Desenhe setas nos extremos (como na ilustração do exercício 64) para distinguir as representações de retas e de segmentos de retas. Peça aos alunos para identificarem, no desenho: a) duas semirretas opostas; b) o ponto denominado origem dessas duas semirretas. A seu critério, explore ou não perguntas que façam os alunos concluir que: 1) a origem de semirretas opostas separa os pontos das mesmas, isto é, está entre eles. 2) a origem de uma semirreta não separa seus pontos.

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65. Quanto mede, em graus, um ângulo raso?

65. 180º.

66. Você viu, na figura A do exercício 61, que a medida do ângulo reto AOD é equivalente à soma das medidas de três ângulos iguais; logo, cada um deles mede 30o (trinta graus). Agora, responda: quantos ângulos que, medindo, cada um, 1o (um grau) são necessários para que a soma das medidas deles seja equivalente à medida do ângulo reto?

67. Use um esquadro para desenhar um ângulo que mede: a) 30º b) 45º

c) 60º d) 90º

68. Siga os passos da figura para desenhar a perpendicular a uma reta dada, passando por um ponto que não pertence à reta.

66. São necessários 90 desses ângulos.

67. Desenhos dos alunos. 68. Desenhos dos alunos. Repita, no quadro, as construções dos exercícios 68 a 70. Descreva os passos da construção: a) Desenhe uma reta e um ponto que não pertence a ela; b) Coloque uma régua sob a reta; c) Apoie o esquadro sobre a régua, deslizando-o até ficar próximo ao ponto; d) Desenhe a perpendicular. 69. Desenhos dos alunos.

69. Siga os passos da figura para desenhar a perpendicular a uma reta dada, passando por um ponto que pertence à reta.

Descreva a construção. a) Desenhe uma reta e um ponto que pertence a ela. b) Coloque uma régua sob a reta, apoie o esquadro sobre a régua e deslize-o até que fique próximo do ponto. c) Desenhe a perpendicular. Usam-se 2 esquadros para o exercício 70: a) 45º + 30º; b) 90º + 45º; c) 90º + 30º; d) 90º + 60º. Exemplo (a):

30º

70. Use dois esquadros para desenhar ângulos que medem: a) 75º b) 135º

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c) 120º d) 150º

45º

45º + 30º = 75º

70. Desenhos dos alunos.

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71. Basta, por exemplo, desenhar o ângulo de 45o e “dentro dele”, fazendo coincidir em um dos lados, o ângulo de 30o. (Um ângulo “dentro” do outro.) 72. Duas maneiras: a 1 a , como diferença 45o – 30o, e a 2a, como diferença 60o – 45o. 73. a) Não. A soma de dois números menores que 90 é menor que 180. b) É obtuso. Se a soma de 2 números é 180 e um deles é menor que 90, o outro deve ser maior que 90. c) Não. A soma de 2 números maiores que 90 é maior que 180. 74. Respostas variadas. Exemplo: 30º + 45º. 75. Respostas variadas. Exemplo: 60º + 30º.

Recomende ou explore a leitura de: “Ângulos” (p. 5-18) Pra que serve Matemática? Atual Editora Imenes – Jabuko – Lellis Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 76. Desenhos dos alunos, 1 h, 2 h, 4 h, 6 h.

71.

Discuta com seus colegas como desenhar com dois esquadros um ângulo de 15o. Depois, desenhe.

72. Quantas maneiras diferentes vocês acharam para desenhar o ângulo de 15o? Descreva essas maneiras.

73. Discuta com seus colegas:

a) A soma das medidas de dois ângulos agudos pode ser 180º? Justifique. b) A soma das medidas de dois ângulos é 180º. Se um deles é agudo, o que dizer do outro? Justifique.

c) A soma das medidas de dois ângulos obtusos pode ser 180º? Justifique.

74. Dê

exemplos de dois ângulos agudos cuja soma seja um ângulo agudo.

75. Dê exemplos de dois ângulos agudos cuja soma seja um ângulo reto.

Aprendendo em casa 76. Desenhe quatro relógios e, em cada um deles, o ponteiro dos minutos

sobre o 12. Agora desenhe, na parte direita do primeiro relógio, o ponteiro das horas fazendo um ângulo de 30o com o ponteiro dos minutos; no segundo, um ângulo de 60o; no terceiro, um ângulo de 120o; e, no quarto, um ângulo de 180o. Para cada caso, diga qual a hora que o relógio correspondente está marcando.

77. Como se chamam os ângulos cuja medida é menor que 90º? E os que têm medida maior?

78. Faça o que se pede: 77. Agudos. Obtusos. 78. a) Desenho dos alunos; b) Respostas variadas.

79. a) 360º; b) 180º; c) 90º.

80. Não.

a) Desenhe um ângulo e represente, usando três letras, o vértice e os lados. b) Escreva três maneiras diferentes de ler os nomes do ângulo que você desenhou.

79. Imagine o ponteiro dos minutos de um relógio:

a) Se ele der uma volta completa, quantos graus descreverá? b) E se ele der metade de uma volta? c) E se ele der a quarta parte de uma volta?

80. Releia o problema anterior e responda: Conhecer o comprimento do ponteiro é importante para resolver o problema?

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As circunferências Explorando o que você já sabe

Fotos: Márcia Perillo/Lápis Lazúli, 2006

Observe as fotos dos objetos a seguir. Todos eles têm partes com contornos em forma de circunferência:

Você conhece o objeto retratado na foto ao lado?

Qual é a principal utilização dele?

Márcia Perillo/Lápis Lazúli, 2006

Vários objetos, além de lembrar a circunferência, estão relacionados com outro fato: eles fazem rotações.

ATIVIDADES ORAIS * Sim. É o compasso. * Para desenhar circunferências.

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Aprendendo em sala de aula

Proponha a utilização de um compasso para: a) Marcar pontos de uma reta equidistantes de um ponto dado, sugerindo que descubram situações diferentes para esta atividade (ponto dado pertencente ou não à reta), bem como quantas soluções podem ter tais situações. b) Construir pontos equidistantes a dois pontos de uma reta, sugerindo que descubram situações diferentes para esta atividade (pontos em “lados” opostos da reta), bem como quantas soluções podem ter tais situações. Estas atividades são muito importantes para que os alunos percebam a necessidade de discutir a existência de mais de uma solução para certos problemas. Comente: a palavra raio pode se referir a um segmento que liga o centro da circunferência a um ponto da mesma, ou à medida comum a todos os raios da mesma circunferência. 81. a) 3 cm; b) Raios. 82. a)V; b) V.

Desenhando com o compasso

Desenhando com o barbante

Son Salvador

Opcionalmente, comente e explore: é possível usar o compasso para marcar sobre uma reta os extremos de segmentos de medidas iguais à medida de um segmento dado, para construir um triângulo equilátero com lados de medidas iguais à medida de um segmento dado, para desenhar circunferências de raios diferentes, para marcar uma sequência de pontos equidistantes sobre uma semirreta.

Você viu que os objetos da figura anterior têm partes com contornos em forma de circunferência. Veja, agora, três maneiras diferentes de desenhar uma circunferência:

Desenhando com a régua

A

O

Fotos: Nazareth Leite/Lápis Lazúli, 2006

Explore as situações que seguem, desenhando no quadro, seja usando compasso, seja desenhando com um giz amar rado em um barbante, ou usando uma régua com furos.

Observe a primeira figura: nela, o ponto o chama-se centro da circunferência e o segmento oA é um raio da circunferência.

81.

Bráulio desenhou uma circunferência cujo raio mede 3 cm. Chamou o centro de P. Depois, marcou dois pontos x e y sobre a circunferência, e desenhou os segmentos Px e Py. Responda:

a) Qual é a medida dos segmentos PX e Py? b) Em relação à circunferência, como se chamam esses segmentos?

82.Verdadeiro ou falso:

a) Todos os raios de uma mesma circunferência têm a mesma medida. b) A distância entre qualquer ponto de uma circunferência e o seu centro é igual à medida de um raio dessa circunferência.

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83.Observe a figura e identifique:

a) Dois pontos no interior da circunferência. b) Dois pontos no exterior da circunferência. c) Dois pontos da circunferência.

83. a) C, E; b) A, F; c) B, D.

84.O raio de uma circunferência de centro O mede 4 cm. Em cada caso, diga se o ponto pertence ao interior, ao exterior ou à circunferência:

a) Um ponto X cuja distância ao centro O mede 3 cm. b) Um ponto y cuja distância ao centro O mede 5 cm. c) Um ponto z cuja distância ao centro O mede 4 cm.

85. Desenhe uma circunferência. Agora colora em todo o interior da circunferência. Você acabou de desenhar um círculo.

85. Desenhos dos alunos. Professor(a): Apesar de o termo disco ser, talvez, mais sugestivo, optamos pelo nome círculo por duas razões: a primeira, porque a maioria dos textos em Matemática ainda faz uso deste nome, e a segunda, porque a ideia de disco pode induzir o aluno a pensar em uma figura “redonda” que tem espessura.

Não. Mas nós vamos chamá-la de círculo. A circunferência e seus pontos interiores formam o círculo.

Son Salvador

Professor, já vi alguém chamando essa figura de disco. Está errado?

84. a) Interior; b) Exterior; c) z pertence à circunferência.

Aprendendo em casa

Exiba ou sugira aos alunos o ótimo site: http://www.scribd.com/ doc/3969801/Aula-02-Fi guras-geometricas Nele, são apresentadas noções de pontos, retas, planos, semirretas, segmentos, as diversas figuras planas e figuras espaciais associadas a objetos, retas e planos no espaço, vértices, arestas, faces, sólidos de revolução, sólidos truncados e sólidos vazados associados a objetos da área da mecânica (porcas, rebites etc.).

86. Dê os nomes de três objetos cujos contornos lembram uma circunfe-

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os textos das personagens do exercício.

87. Desenhe

86. Respostas variadas.

rência. Ajuda: pense em objetos que giram.

uma circunferência e chame o centro de o. Desenhe dois pontos A e b no interior da circunferência. As distâncias de A e b ao centro o são maiores, iguais ou menores que o raio da circunferência?

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87. Menores.

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88. Iguais.

89. Maiores.

88.Agora, marque dois pontos c e d sobre a circunferência que você de-

senhou. As distâncias dos pontos c e d ao centro o são maiores, iguais ou menores que o raio da circunferência?

89. Desenhe dois pontos e e F no exterior da circunferência que você desenhou. As distâncias dos pontos e e F ao centro o são maiores, iguais ou menores que o raio da circunferência?

90. a) Exterior; b) Interior; c) Exterior.

90. Uma circunferência tem centro P e raio medindo 10 cm. Diga, em cada

caso, se o ponto pertence à circunferência, ao seu interior ou ao seu exterior:

a) Um ponto X cuja distância ao ponto P mede 12 cm.

Comente: Todas as atividades a seguir, envolvendo duas ou mais figuras geométricas, pressupõem que tais figuras estejam contidas em um mesmo plano, a menos que se explicite o contrário.

As ideias de perpendiculares e paralelas devem ser exploradas usando diversos objetos, o ambiente da sala de aula, as linhas de ilustrações, fotos etc.

b) Um ponto y cuja distância ao ponto P mede 8 cm.

c) Um ponto z cuja distância ao ponto P mede 15 cm.

Perpendiculares, paralelas e transversais Explorando o que você já sabe Paulo deu a seguinte informação a um motorista: “Para chegar à rua que você está procurando, basta continuar nesta avenida até encontrar a quarta transversal”.

ATIVIDADES ORAIS * Transversal. * Elas se cortam.

Explore as situações a seguir com desenhos no quadro.

Qual palavra, da informação que Paulo deu, tem o significado mais difícil?

O que significa dizer que uma rua é transversal a uma avenida ou a uma outra rua?

Aprendendo em sala de aula

91. Desenhos dos alunos. 92. Desenhos dos alunos.

91.

Desenhe duas retas que se cortam em um ponto P.

92. Observe a figura abaixo. Nela, você vê desenhadas duas retas, usando

os dois lados de uma régua. Por mais que você prolongue os desenhos dessas retas, elas não se encontrarão. Use sua régua e desenhe duas retas como as da figura.

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93. Discuta com seus colegas: duas retas de um mesmo plano podem se cortar? Podem não se cortar?

As retas de um mesmo plano que não se cortam chamam-se retas paralelas. Son Salvador

Professor, como se chamam essas retas de um mesmo plano que não se cortam?

94. Juliana observou no mapa da cidade as três ruas representadas na figura: a rua Topázio, a rua Turmalina e a rua Turfa, transversal às duas primeiras.

Ru a

Tu r

fa

Rua Topázio

lina

urma Rua T

Figura A

Veja como usar os esquadros para verificar, na figura B, se os ângulos coloridos de amarelo da figura A têm medidas iguais ou diferentes.

Ru a

Tu r

fa

Rua Topázio

lina

urma Rua T

Figura B

a) Os esquadros usados para medir os ângulos são iguais ou diferentes? b) O que você conclui sobre as medidas desses ângulos?

95. Use o resultado do exercício 94 para responder: sem medir os ângulos marcados em vermelho, o que você conclui das medidas deles?

96. A rua Topázio é paralela à rua Turmalina?

93. Sim; Sim.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os textos das personagens do exercício 93. 94. a) São diferentes; b) Os ângulos têm medidas diferentes. É importante verificar se os alunos têm boa ideia intuitiva de reta: eles não podem confundir a ideia de reta com a de um segmento desenhado para representá-la. Sugiro desenhar dois segmentos não paralelos que não se cortam (sem identificar os extremos com letras), dizendo que eles representam retas e perguntar se tais retas se cortam. Se a resposta for não, ela revela que não dominam bem a ideia intuitiva de reta, e deve ser explorada até que a compreendam. Para dar a ideia de reta, sugira aos alunos que imaginem que a linha de encontro do teto com uma das paredes se prolonga indefinidamente nos dois sentidos. Do mesmo modo, a ideia de plano pode ser sugerida, imaginando a superfície das águas de um lago se prolongando indefinidamente em todas as direções. Observe que, embora no desenho não ocorra, as retas que representam as ruas Topázio e Turmalina se cortam. Basta imaginar seus prolongamentos. Depois de esclarecer tais ideias, quando julgar necessário, um bom recurso gráfico é representar segmentos destacando seus pontos extremos, retas com setas nas extremidades e semirretas com o ponto origem e seta no outro extremo. 95. Os ângulos têm medidas diferentes. 96. Não.

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97. São iguais.

97. Use esquadros para verificar se os ângulos destacados na figura têm medidas iguais ou diferentes:

Explore situações que levem os alunos a concluir: a) Duas retas de um mesmo plano ou se cortam, ou são paralelas; b) Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, todos os outros pontos dessa reta também pertencem a esse plano.

98. Verdadeiro. Professor(a): Explore no quadro uma figura como a do exercício 97 pedindo a um aluno que identifique outros pares de ângulos de medidas iguais formados pela transversal com as duas outras retas. Antes do exercício 99, esclareça o significado do termo “alternar”: trocar de posição; revezar. Aproveite a oportunidade para rever com a turma como utilizar um dicionário. Por exemplo, pergunte qual das palavras aparece primeiro no dicionário: cliente, ciente, crente, crescente. Depois, qual a segunda, e assim, sucessivamente. Pergunte a eles se conhecem situação semelhante usando números. (Escrevê-los em ordem crescente.) Sugira que, sempre que houver dúvida sobre o significado de alguma palavra, utilizem o dicionário.

98. Verdadeiro ou falso: na figura acima, a transversal forma com as duas outras retas outros pares de ângulos de medidas iguais.

99. Em quais das figuras a seguir os ângulos destacados se alternam em relação à respectiva transversal?

100. Em quais das figuras a seguir os ângulos destacados estão no interior

das faixas compreendidas entre as duas retas cortadas pelas transversais?

99. 1ª e 4ª. 100. 2ª e 3ª.

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Muito bem! Este é o nome que os matemáticos deram para esses pares de ângulos.

Professora, os ângulos coloridos da terceira figura anterior alternam em relação à transversal e estão no interior da faixa das outras duas retas. Posso chamá-los de “ângulos alternos internos”?

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, as três figuras e os textos das personagens, do exercício 100, e as frases dos itens (a), (b) e (c) do exercício 101. Para facilitar a compreensão, é recomendável que os alunos façam, no quadro, os desenhos correspondentes aos itens do exercício 101.

Son Salvador

Professor(a): Neste volume, exploramos as propriedades dos ângulos alternos internos de modo intuitivo. Elas serão deduzidas em volumes posteriores. Do mesmo modo, no exercício 102, usaremos os seguintes resultados, intuitivamente: a) ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida, b) ângulos adjacentes são suplementares (como c e b da primeira figura).

101.

Discuta com seus colegas e decida se cada uma das frases a seguir é verdadeira ou falsa: Imaginem duas retas cortadas por uma transversal e decidam se cada frase a seguir é verdadeira ou falsa:

a) Se os ângulos alternos internos têm medidas iguais, então as duas retas são paralelas. b) Se as retas não são paralelas, então os ângulos alternos internos não têm medidas iguais. c) Se as retas são paralelas, então os ângulos alternos internos têm medidas iguais. d) Se a transversal for perpendicular às duas retas, elas são paralelas. e) Se as retas são paralelas, então a transversal é perpendicular a elas.

102. Em cada figura a seguir, as retas l e k são paralelas. Calcule todos os ângulos representados por números:

3

m

35º

1 2

k

6

m

5

9

l

Exiba no quadro um contraexemplo da frase (e): duas paralelas e uma transversal formando ângulos alternos internos de medidas iguais, sem que a transversal seja perpendicular às paralelas. 102. 1) 145º; 2) 145º; 3) 35º; 4) 145º; 5) 35º; 6) 145º; 7) 29º; 8) 151º; 9) 112º; 10) 112º; 11) 68º.

m

k

151º 4

l

k

7

101. a) V; b) V; c) V; d) V; e) F.

10

68º

11

8

l

43

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Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 103. a) Ângulos 1, 3, 5 e 7, 120º, Ângulos 2, 4, 6, 8, 60º; b) Ângulos 1, 3, 5, e 7, 100º, Ângulos 2, 4, 6, 8, 80º; c) Ângulos 1, 3, 5, 7, 150º, Ângulos 2, 4, 6, 8, 30º. 104. Respostas variadas. Caso queira, sugira aos alunos a procura de modelos observando paredes, tetos, pisos, desenhos ou fotos que contenham representações de retas que satisfaçam a condição pedida. Os exercícios 105 e 106 sugerem a exploração da “rosa dos ventos” e sua principal utilização: os diversos tipos de navegação. Sugestão: visite ou recomende o site http://pt.wikipedia.org/wiki/ Rosa-dos-ventos Professor(a): No estudo da medida de ângulos, considerar sempre medidas menores que ou iguais a 180 graus. Também, ao desenhar ângulos no quadro, é conveniente marcar o interior dos mesmos com pequenos arcos coloridos em cores diferentes, facilitando para os alunos como distingui-los entre si. ATIVIDADE EXTRA A seu critério, explore as atividades que julgar mais pertinentes no momento: Identificar superfícies planas e superfícies curvas em objetos ou figuras geométricas . Desenhar e identificar lados e vértices de ângulos. Usar esquadros para desenhar ou medir ângulos. Desenhar figuras geométricas unindo, por segmentos, pares de pontos dados (identificados por letras). Compor ou decompor figuras usando colagens ou recortes. Contar figuras em malhas (quantos triângulos amarelos, quantos vermelhos etc.). Identificar posições relativas de duas retas: paralelas, secantes, perpendiculares. Desenhar a circunferência, raios, pontos interiores, pontos exteriores e o círculo.

Aprendendo em casa 103. Na figura, as retas l e m são paralelas. Em cada caso, calcule as medidas dos outros sete ângulos formados por elas e a transversal n:

a) Se o ângulo 1 mede 120 graus. b) Se o ângulo 2 mede 80 graus. c) Se o ângulo 3 mede 150 graus.

n m l

104. Use sua imaginação para citar modelos de retas paralelas, cortadas por uma transversal, usando ou exibindo objetos variados.

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais os ângulos e suas aplicações no dia a dia No dia a dia, os ângulos são utilizados em diversas situações: nas inclinações de ruas, rampas ou telhados, na localização de pontos, nas rotas de aviões ou navios. A seguir, você verá algumas dessas situações: Figura A

Figura B

45º

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105. Observe a figura A. Nela estão representadas as rotas de três aviões que saíram de um aeroporto s. O avião r seguiu na direção leste.

a) Para qual direção seguiu o avião P: nordeste ou norte? b) Quanto mede, em graus, o ângulo formado pelas duas rotas dos aviões R e P? c) Se o ângulo PSq mede 45 graus, para qual direção seguiu o avião q? d) Quanto mede o ângulo RSq?

106. Na figura b, estão representadas rotas de diversos aviões que saíram

105. a) Norte; b) 90º; c) Noroeste; d) Mede 135º.

106. a) 45º, S e T, 180º, R; b) (T); c) Sul. 107. Parte esquerda, 45º, e parte direita, 30º.

de um aeroporto o. Sabendo que o avião s foi para o norte, responda:

a) Quais aviões têm suas rotas formando com a rota do avião A ângulos de 45 graus e 180 graus, respectivamente? Observe que o ângulo TOA tem a mesma abertura que o ângulo NOR e que o ângulo TOS é ângulo reto.

b) Qual avião seguiu para leste?

c) Para qual direção seguiu o avião V?

107. Na figura c, você vê a representação de um carro subindo uma rua

que forma com a horizontal um ângulo de 20º. Esse ângulo chama-se inclinação da rua. Figura C

20º

Figura D

Um arquiteto desenhou como devem ser as inclinações das duas partes do telhado de uma casa, como você vê na figura d. Use seu esquadro e dê essas duas inclinações.

108. Márcia é desenhista e descobriu um fato interessante: no esquadro cujos

ângulos agudos medem 30º e 60º, o lado maior é o dobro do menor. Use esse tipo de esquadro e uma régua graduada para comprovar esse fato.

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Sempre que possível, explore questões envolvendo interdisciplinaridade (como no exercício 105), ou questões contextualizadas (como nos exercícios de 107 a 112). Apoie sobre um espelho uma aresta de algum objeto plano (por exemplo, um dos lados de um esquadro ou o lado menor de uma régua graduada). Mostre aos alunos que, variando o ângulo que o objeto faz com o espelho, o ângulo da imagem varia. Explore esta situação para obter ângulos agudos, retos ou rasos (quando o objeto se situa perpendicularmente ao espelho). Note que a bissetriz de tais ângulos se situa no plano bissetor do plano do objeto e o de sua imagem. Explore ângulos de incidência e ângulos de reflexão, revestindo as laterais de um tabuleiro retangular com borrachas. Jogando uma bola, fazendo ângulo agudo com uma das laterais (ângulo de incidência), ela voltará fazendo um ângulo de mesma medida com a mesma parte da lateral (ângulo de reflexão). Explore também o ângulo de refração, mergulhando, por exemplo, um lápis em um recipiente transparente contendo água e observando uma “aparente quebra” no lápis, na parte introduzida no líquido. Proponha à turma pesquisas relacionadas com o tema estudado: ângulos de incidência, ângulos de reflexão e refração (sugira que procurem um professor de CIÊNCIAS ou livros desta matéria para a pesquisa). 108. Atividades dos alunos.

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109. O ângulo Aob da figura F chama-se ângulo de elevação do ponto A em Explore a figura E perguntando: qual dos dois lados tem como medida a metade da medida do lado maior: o horizontal ou o vertical? R: O vertical.

Figura E

60º

A

1

0

60

m

109. 30º.

30º

112. a) 34 voltas; b) 45 dentes. 113. a) Diversos números; b) São importantes. 114. a) Coluna; b) Paralelas; c) Perpendiculares; d) As somas são iguais; e) As somas são iguais; f) 8; g) 8; h) 64; i) 8 x 8 = 64. Explore situações nas quais se usam os números naturais para expressar quantidades, identificar posição de seres ou objetos (ordinais) ou como códigos identificadores (em documentos de identidade, bancários, certidões, em códigos de barras, em placas de veículos, de residências etc.).

90º

110. Observe as figuras e e F e responda:

a) Qual é a medida do ângulo de elevação do ponto A em relação ao ponto O? b) Se O representa um observador localizado em uma praia e o ponto A representa um avião sobre o mar, qual é a altura do avião em relação ao mar?

As circunferências, os círculos e suas aplicações no dia a dia Uma das máquinas mais simples usadas pelos homens é a roldana. Ela é formada por peças em forma de círculo. A peça formada de duas roldanas que se vê na figura ao lado permite que se levante um objeto, fazendo um esforço equivalente à quarta parte do seu peso normal. É muito utilizada em oficinas mecânicas para retirar motores de automóveis.

Destaque para os alunos que o fator de redução citado no texto ao lado é válido para peças como a da figura. Existem diversas outras peças com outros fatores de redução. 111. a) 40 kg; b) 15 kg.

B

111.

Júlia Bianchi, 2006

110. a) 30º; b) 800 m (ver exercício 108). Peça aos alunos que expliquem como resolveram o exercício 110.

O

Se uma peça como a da figura anterior for utilizada para levantar objetos cujos pesos são dados a seguir, qual é o esforço correspondente para levantá-los?

a) Um motor que pesa 160 quilogramas. b) Uma peça que pesa 60 quilogramas.

Outros recursos muito utilizados em diversas máquinas são as engrenagens. São peças em forma de círculo com “dentes” em seus contornos. Elas permitem aumentar ou diminuir a velocidade de rotação de certas peças. Nos automóveis, são responsáveis, dentre outros fatos, pelas chamadas “marchas”.

Júlia Bianchi, 2006

Chame a atenção dos alunos para dois fatos relacionados com a figura F: primeiro, que o lado OB do ângulo de elevação está contido em um plano horizontal (superfície das águas do mar), e segundo, que o ângulo AOB está contido em um plano vertical (perpendicular ao plano da superfície das águas).

Dary423 | Dreamstime.com

relação ao ponto o. Use o seu esquadro para conferir a medida desse ângulo. Figura F

112. Resolva os seguintes problemas relacionados às engrenagens da figura anterior:

a) Se a engrenagem maior tiver 32 dentes e der 17 voltas, quantas voltas dará a menor, se tiver 16 dentes? b) Se a engrenagem menor tiver 15 dentes e der três voltas enquanto a maior der uma volta, quantos dentes terá a maior?

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113. Leia o texto a seguir: ? ? portas, cor prata, ano de fabricação ...., “Vendo um automóvel de ....

? , apartamento .... ? reais. Tratar na rua Safira, .... ? . Mais ? por .... placa ...., ? informações pelo telefone .....”. Responda:

a) O que está faltando nesse texto? b) Os números são ou não importantes para dar informações?

114. Na figura a seguir, você vê um quadrado mágico criado por um ma-

temático chamado Leonhard Euler. Você vai ver quantos fatos interessantes podem ser observados nesse quadrado. Ele é formado por filas horizontais chamadas de linhas e por filas verticais, chamadas colunas. 1

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31

50

33

16

63

18

30

51

46

3

62

19

14

35

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2

49

32

15

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17

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4

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20

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36

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9

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8

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6

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39

10

59

22

54

27

42

7

58

23

38

11

a) O que se vê colorido de verde é uma linha ou uma coluna? b) Duas colunas quaisquer são paralelas ou perpendiculares entre si? c) Uma linha e uma coluna são paralelas ou perpendiculares? d) Some os números da coluna destacada em verde. Agora, escolha qualquer outra coluna e some os seus números. O que você descobriu?

e) Escolha duas linhas quaisquer. Agora, some todos os números de uma delas e depois todos os números da outra. O que você descobriu?

f) Quantas linhas existem no quadrado mágico? g) Quantas colunas existem no quadrado mágico? h) Quantos retângulos existem no quadrado mágico? i ) Qual conta você fez para responder à pergunta anterior?

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113. a) Faltam diversos números. b) São importantes. Caso seja conveniente, proponha aos alunos o jogo a seguir: O quadrado mágico e ângulos retos formando a letra L. Comece dividindo a turma de dois a quatro grupos com quantidades iguais de alunos, depois passe as seguintes instruções e exemplos, antes de dar a regra do jogo e a ordem de iniciar. Instruções e exemplos: Observe o L na cor laranja formado por quatro quadradinhos. Ele começa no 1 e acaba no 2, passando pelo 30 e pelo 47. Podemos representá-lo usando tais números assim: (1, 30, 47, 2). Usando sucessivamente diversos desses ângulos em forma de L, é possível percorrer todas as 64 casas, passando do 1 para o 2, do 2 para o 3, até chegar no 64. Por exemplo: depois do 1 (1, 30, 47, 2) segue o (2, 49, 32, 3) ou, também, (2, 51, 46, 3), e assim por diante. Regra do jogo: (para cada grupo) Escrever, no quadro, todos esses conjuntos de quatro números que representam o caminho a percorrer para ir do 1 até o número 64 fazendo ângulos retos. Após o esclarecimento, ordene a partida. Ganhará a equipe que completar a tarefa mais rápido. Cada equipe irá conferir se a outra não cometeu erros, o que acarretará eliminação (pode-se até levar um cartão vermelho para apresentar à equipe faltosa). Uma variação no jogo que o torna mais difícil: Observe que cada passo tem sempre duas opções: por exemplo, (1, 30, 47, 2), ou (1, 48, 51, 2). Uma nova regra seria exigir que, em cada passo, fosse escolhida a que tivesse, como segundo número, o menor dos dois (no caso do exemplo, como 30 é menor que 48, a escolha seria obrigatoriamente (1, 30, 47, 2), e assim, sucessivamente).

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Outra variação equivalente seria escolher sempre aquele que tivesse o segundo maior número. E, finalmente, uma terceira opção, ainda mais difícil, é que, a cada dois passos, se alternassem essas regras, isto é, se em um passo o segundo número fosse o menor possível, no seguinte, o segundo número deveria ser o maior possível, no seguinte, o segundo número deveria ser o menor possível, e assim por diante. Esclareça aos alunos que a última seção do capítulo denominada “Verifique se você aprendeu” deve ser utilizada gradativamente, antecipando sempre a resolução dos exercícios de casa. Ela os ajudará na autoavaliação. Caso persistam dúvidas após reverem os exercícios relacionados com a dúvida, os alunos devem anotar e solicitar esclarecimentos ao professor no momento da discussão do para casa. REVISÃO – Ao término do estudo do capítulo, reveja, com os alunos, a seu critério, o significado de alguns termos: figura plana, coplanares, figura espacial, bloco retangular, planificação, cubo, prisma, pirâmide, cone, cilindro, esfera, quadrilátero, trapézio, paralelogramo, losango, retângulo, quadrado, triângulo, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, segmento, ângulo, dimensões, ângulo reto, ângulo agudo, ângulo obtuso, paralelas, perpendiculares, transversal, ângulos alternos internos, tabela, gráfico, sequência, vistas, comprimento, área, volume, medida, esquadros, compasso, circunferência, círculo, inclinação, ângulo de elevação, quadrado mágico. Professor(a): Diga para os alunos que todos os temas estudados neste capítulo e nos demais serão explorados novamente, revendo e acrescentando conhecimentos novos sobre tais temas.

?

Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

Reveja os exercícios

As principais figuras espaciais.

1, 8, 9, 10, 11, 13, 15.

Faces, arestas e vértices de figuras espaciais.

1 a 8, 14, 44.

As principais figuras planas.

5, 6, 8, 12, 41, 42, 43, 52 a 103.

Planificações.

4 a 7, 9.

Como desenhar ou identificar vistas de objetos ou figuras espaciais.

32 a 37, 50.

Como desenhar figuras planas: ângulos, paralelas, perpendiculares, polígonos, circunferências, círculos.

12, 67, 68, 69, 70, 71, 76, 78, 85, 87, 88, 89, 91, 92.

As dimensões de figuras.

38 a 49, 51.

Como interpretar ou organizar dados contidos em tabelas ou gráficos.

25, 26, 28, 29, 30.

Superfícies planas e superfícies curvas.

9, 10.

Como completar sequências de números.

27, 31.

Como resolver problemas com números.

16 a 24, 42, 43.

Como fazer estimativas ou aproximações.

45 a 49, 51.

Ângulos, representações e medidas.

52 a 55, 58, 59, 65, 66, 78.

Como classificar os ângulos.

56, 57, 64, 65, 77.

Como identificar ou medir os ângulos dos dois tipos de esquadros.

60 a 64.

Como usar esquadros para desenhar ou medir ângulos.

60 a 63, 67, 70, 71, 94, 97.

Como usar esquadros para desenhar perpendiculares.

68, 69.

Como resolver problemas com ângulos.

72, 73, 74, 75, 76.

Como associar ângulos com giros.

79, 80.

Circunferência, raio, ponto interior, ponto exterior e círculo.

81 a 90.

Posições relativas de duas retas.

91 a 96.

Retas paralelas e transversais.

93, 97 a 99, 104.

Ângulos alternos internos.

100 a 104.

Ângulos e rotas.

105, 106.

Inclinação.

107.

Ângulo de elevação.

109 a 110.

Círculos, roldanas e engrenagens.

111, 112.

Os números e as informações.

113.

Quadrado mágico de Euler.

114.

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-

CapItulo 2 , s a r s u o r e Fig m Ăş n

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Você já conhece os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … Conhece, também, algumas figuras planas. Neste capítulo, você vai aprender como:

Os conceitos e proposições da Geometria usados nesta coleção são coerentes com a axiomática de A.V. Pogorélog – Editorial Mir. Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página.

• • • Professor(a): Neste • e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, regras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações af irmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como algumas regularidades relacionadas com sequencias numéricas.

• • • • • • • •

Identificar os principais polígonos, contando seus lados. Resolver problemas envolvendo cálculo de perímetro. Classificar triângulos, observando seus lados ou seus ângulos. Representar ou identificar em figuras: ângulos de medidas iguais, lados de medidas iguais, lados paralelos. Identificar os diversos quadriláteros pelas propriedades de seus lados ou seus ângulos. Ler e escrever números naturais e números decimais, usando regras do sistema decimal de numeração. Representar, ler, escrever e interpretar frações e decimais. Calcular frações de quantidades dadas. Ler e escrever medidas de comprimento na forma decimal. Resolver problemas de medidas de comprimento relacionadas com: o metro, o decímetro, o centímetro e o milímetro. Completar sequências de figuras ou de números. Simplificar frações.

90º

45º

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45º

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os objetos e os polígonos Explorando o que você já sabe

Nazareth Leite/Lápis Lazúli, 2006

As faces dos objetos possuem diversas formas. Algumas delas nos lembram polígonos. Os contornos dos polígonos são formados por segmentos de reta que chamamos de lados dos polígonos.

Observe as figuras a seguir e responda às perguntas:

a)

b)

c)

d)

• • • •

Em qual das figuras você vê um pentágono? Qual é o nome do polígono da figura b? Qual das figuras não tem seu contorno formado por segmentos de retas? Qual das figuras não representa um polígono?

Desafio!

Este capítulo estabelece conexões entre três blocos de conteúdo: geometria, números e medidas, bem como entre estes e situações do dia a dia. Recomendamos que o professor explore, tanto no quadro quanto usando os mais variados recursos, situações semelhantes às propostas. Destacamos, neste capítulo, a utilização de exercícios que visam a explorar: a criatividade dos alunos, a criação de estratégias de contagem, a observação de regularidades, as características que diferenciam os diversos quadriláteros entre si, como desenhar os diversos quadriláteros, como usar e interpretar as convenções de marcas análogas para pares de lados de medidas iguais ou pares de ângulos de medidas iguais, como mostrar de maneira intuitiva que as definições em Matemática são proposições do tipo “A se e somente se B”, ou seja, valem simultaneamente o direto e o recíproco, revisão e ampliação do conhecimento do sistema decimal de numeração utilizando o Q. V. L. (Quadro de Valor de Lugar), as representações gráficas das frações envolvidas nos exercícios e problemas, a descoberta de estratégias de resolução de problemas (formulando perguntas do tipo: “O que se conhece no problema?” - “O que se deseja conhecer no problema?” - “O que conhecemos de Matemática pode ser relacionado com o que queremos conhecer?”), a compreensão dos conceitos de frações que representam quantidades menores que uma unidade e frações que representam quantidades maiores que uma unidade, os diferentes significados das frações. ATIVIDADES ORAIS Respostas orais. • d; • Triângulo; • a; • a. Desafio – R) Cinco.

Quantos quadrados podem ser vistos na figura c?

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1. Desenhos dos alunos. a) Pentágono; b) Heptágono. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 1 (nomes dos polígonos). 2. Desenhos dos alunos. 3. a) V; b) V. Explore, através de desenhos no quadro, os seguintes quadriláteros: a) paralelogramo (2 pares de lados opostos paralelos); b) losango (4 lados de mesma medida); c) retângulo (4 ângulos retos); d) trapézio (apenas 1 par de lados paralelos); e) trapézio retângulo (trapézio que tem 2 ângulos retos). Os alunos devem copiar uma figura de cada um dos quadriláteros desenhados e anotar sob eles a propriedade que os caracteriza de forma completa, como no exemplo a seguir: Chama-se trapézio o quadrilátero que tem apenas 2 lados paralelos. Estes lados denominam-se bases do trapézio. Se os outros dois lados têm medidas iguais, ele se chama trapézio isósceles. Observação: Os conceitos de trapézio e trapézio isósceles aqui apresentados são coerentes com a axiomática de A. V. Pogorélov – Livro Geometria Elemental – Editorial Mir. A mesma observação vale para o conceito de triângulo isósceles e diversos outros conceitos contidos neste livro e nos livros dos demais anos.

Cada polígono tem seu nome dependendo do número de lados que possui:

1.

Número de lados do polígono

Nome do polígono

Três

Triângulo

Quatro

Quadrilátero

Cinco

Pentágono

Seis

Hexágono

Sete

Heptágono

Oito

Octógono

Nove

Eneágono

Dez

Decágono

Desenhe em seu caderno ou no papel quadriculado, colorindo o interior e escrevendo o nome:

a) Um polígono de 5 lados.

b) Um polígono de 7 lados.

2. Desenhe em seu caderno ou no papel quadriculado, colorindo o interior: a) Um hexágono.

3. Verdadeiro ou falso:

b) Um octógono.

c) Um decágono.

a) O número de lados de cada polígono dado na tabela é igual ao número de vértices do mesmo polígono. b) O número de lados de cada polígono dado na tabela é igual ao número de ângulos do mesmo polígono.

Professor, ouvi dizer que meu time já foi pentacampeão no campeonato estadual. Isso significa que ele foi cinco vezes campeão?

Isso mesmo! Observe na tabela outros prefixos e seus significados:

Bi

Dois

Tri

Três

Tetra

Quatro

Hexa

Seis

Hepta

Sete

Octa

Oito

Enea

Nove

Deca

Dez

Son Salvador

O aluno será solicitado a desenhar polígonos. Trata-se de “desenho livre”, isto é, sem rigor. Para facilitar tais desenhos, é recomendável a utilização de papel quadriculado.

Aprendendo em sala de aula

Son Salvador

Professor(a): Nos estudos de polígonos, ficaremos restritos apenas aos polígonos convexos. Caso julgue conveniente, faça para os alunos, usando desenhos, a distinção entre polígonos côncavos e polígonos convexos, para depois citar a primeira frase acima. Esclareça também que, por este fato, ao usarmos o termo “polígono”, devem entender “polígono convexo”. Explore desenhos de polígonos convexos e não convexos para que os alunos concluam: um polígono é convexo se fica contido em um mesmo lado (semiplano) das retas que contêm qualquer um de seus lados. Caso contrário, ele é chamado de polígono côncavo. Nos polígonos convexos que desenhou, destaque com pequenos arcos coloridos os ângulos internos dos mesmos. Diga para os alunos que, quando nos referirmos aos ângulos de um polígono, devem entender como ângulos internos.

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Estive pensando: se pentágono é uma figura de cinco ângulos e hexágono tem seis ângulos, então “gono” significa “ângulo”?

Son Salvador

Son Salvador

Desafio!

Você raciocinou corretamente. Agora, descubra a seguir o significado do prefixo “poli”.

Qual é o significado das palavras:

a) Policlínica? b) Policromia?

c) Polidontia? d) Politécnico?

e) Polígono?

Ajuda: As respostas estão nas frases a seguir, fora da ordem das perguntas.

• • • • •

Número de dentes superior ao normal. Quem tem habilidades em diversas artes ou ciências. Figura plana que tem vários ângulos. Conjunto de várias cores. Hospital no qual se tratam diversas doenças.

Triângulo isósceles

Triângulo escaleno

No primeiro triângulo, você vê três marcas iguais sobre os lados. Elas representam que esses lados têm medidas iguais. Como se vê, o segundo triângulo tem dois lados de medidas iguais. Agora, responda:

a) Como se chamam os triângulos que têm os três lados com medidas diferentes? b) Como se chamam os triângulos que têm os três lados com medidas iguais? c) Verdadeiro ou falso: Todo triângulo que tem dois lados com medidas iguais chama-se triângulo isósceles.

Desafio: a) 5a frase; b) 4a frase; c) 1a frase; d) 2a frase; e) 3a frase.

Comente a razão do nome “triângulo”: figura que tem três ângulos. Comente, também, que uma exceção é o polígono de 4 ângulos que, ao invés de chamar-se tetrágono (quatro ângulos), chama-se quadrilátero (4 lados). Recomende ou explore a leitura de: “Atividades e jogos com triângulos” (p. 7-25) Marion Smoothey – Tradução de Sérgio Quadros. Coleção Investigação Matemática Editora Scipione 4. a) Triângulos escalenos; b) Triângulos equiláteros; c) Verdadeiro.

4. Observe os triângulos a seguir:

Triângulo equilátero

Poli, do Grego, siginif ica: “muitos, vários”.

Professor(a): Peça que os alunos anotem em seus cadernos: Se as medidas dos três lados de um triângulo são diferentes, ele se chama triângulo escaleno. Se as medidas dos três lados de um triângulo são iguais, ele se chama triângulo equilátero. Se um triângulo tem dois lados de medidas iguais, ele se chama triângulo isósceles. O terceiro lado chama-se base do triângulo isósceles. Promova uma discussão entre os alunos para decidirem se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: (não é necessário que anotem) 1ª) Se eu tenho 3 reais, então tenho 2 reais. 2ª) Se eu tenho 2 reais, então tenho 3 reais. 3ª) Se um triângulo tem 3 lados de medidas iguais, então ele tem 2 lados de medidas iguais 4ª) Se um triângulo é equilátero, então ele é triângulo isósceles. 5ª) Se um triângulo é isósceles, então ele é triângulo equilátero.

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Desenhe um triângulo isósceles, colorindo o interior e indicando, com marcas iguais, os lados que têm medidas iguais. 5. Desenho dos alunos.

6. Observe o triângulo e o paralelogramo da figura e os cálculos relacionados com a soma das medidas dos lados de um polígono:

6

4 cm

4 cm

Cálculo do perímetro: 10 cm + 4 cm + 10 cm + 4 cm = 28 cm

Agora, resolva:

a) Quanto mede o perímetro de um triângulo equilátero cujos lados medem 12 cm? b) Como se chama a soma dos lados de um polígono? 6. a) 36 cm; b) Perímetro do polígono.

Observação importante para os alunos: as medidas anotadas nas ilustrações ou descritas nos exercícios são relacionadas com os objetos que elas representam e não com as próprias ilustrações.

Aprendendo em casa

Calcule os perímetros dos polígonos das figuras a seguir:

a)

b) cm

7 cm

33

3 cm

53

7 cm

60 cm

c)

7. a) 146 cm; b) 20 cm; c) 166 mm; d) 10 cm.

3 cm

7.

d)

40 mm

m

m

25 mm

36

8. a) Triângulo escaleno; b) Paralelogramo; c) Trapézio retângulo; d) Pentágono.

10 cm

Cálculo do perímetro: 4 cm + 6 cm + 8 cm = 18 cm

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. Ao propor o item (b) do exercício 7, estamos antecipando uma exploração intuitiva, pelos alunos, da propriedade: o quadrilátero convexo que tem os pares de lados opostos de medidas iguais é um paralelogramo (que será demonstrada posteriormente usando o caso LLL de congruência de triângulos e a teoria das paralelas).

10 cm

cm

8 cm

cm

ATIVIDADE EXTRA a) Uma chapa metálica tinha a forma de um quadrado de 5 cm de lado. Ela foi cortada em 4 partes, em forma de quadriláteros, cujos perímetros são: um com 12 cm, dois com 8 cm e um com 14 cm. Desenhe a chapa e destaque, com cores diferentes, essas três partes. R: Uma solução possível é: um retângulo 5 x 1, dois quadrados 2 x 2, e um retângulo 3 x 4. Outra solução: um quadrado 3 x 3, dois retângulos 1 x 3, e um retângulo 2 x 5. Comente com os alunos sobre a possibilidade de várias soluções para problemas propostos b) Três peças metálicas foram soldadas formando uma peça quadrada de perímetro 24 cm. A primeira era quadrada, a segunda e a terceira eram retangulares, de perímetros 16 cm, 12 cm e 16 cm, respectivamente. Desenhe a peça maior e destaque as suas partes, colorindo-as. R: Quadrado 4 x 4, retângulo 4 x 2 e retângulo 6 x 2.

5.

4c m

De modo mais generalizado e não formal, podemos dizer que “perímetro de uma figura plana é a medida do contorno desta figura”. Escreva no quadro apenas a parte entre aspas da frase acima, para que os alunos anotem em seus cadernos. Esta frase permitirá, por exemplo, falar no perímetro do círculo (comprimento da circunferência).

65 mm

2 cm

8. Dê os nomes dos polígonos das figuras anteriores.

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9.

O perímetro de um quadrado mede 120 metros. Responda:

a) Quanto mede cada lado do quadrado? b) Se ele for quadriculado em quadrados de um metro de lado, quantos destes quadrados

10. Diga qual conta você fez e explique por que a fez:

Para facilitar a compreensão dos exercícios, desenhe no quadro um quadrado de perímetro 12, usando como unidade de medida, a medida de um pequeno segmento desenhado, e explore situação análoga à do exercício 9, obtendo um quadriculado 3 x 3.

Os polígonos, seus lados e seus ângulos

9. a) 30 metros; b) 900 quadrados.

Explorando o que você já sabe

Comente que, no item (b), como a superfície do quadrado contém 900 quadrados de l metro de lado, diz-se que a área desse grande quadrado é 900 metros quadrados.

serão obtidos?

a) Para resolver a parte a do problema anterior. b) Para resolver a parte b do problema anterior.

60º 90º

90º

30O + 60O + 90O = 180O

Son Salvador

Professora, eu observei que a soma dos ângulos dos esquadros é 1800. Isso acontece com a soma dos ângulos de qualquer triângulo?

45º

45O + 45O + 90O = 180O

Isso mesmo! Observe as dobraduras da página seguinte e comprove este fato.

Son Salvador

30º

10. a) Dividi 120 por 4, porque o perímetro (120) é a soma das medidas iguais dos quatro lados do quadrado. b) Multipliquei 30 por 30, porque se cada lado do quadrado tem 30 metros, ao quadricular 45º o mesmo, obterei 30 linhas e 30 colunas formando 900 quadrados de 1 metro de lado. No exercício 10, o aluno explicita o raciocínio feito para resolver o problema anterior. Explore esta atividade ao máximo, mesmo que no texto isso não seja solicitado. Faça breve comentário sobre as aplicações do cálculo de perímetros e áreas na indústria, no comércio, nas artes, nas outras ciências ou no dia a dia. Professor(a): Ao lado, a professora afirma que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 graus, evitando que os alunos tenham a falsa ideia de que podem generalizar fatos através de casos particulares.

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A atividade com dobraduras em papel, para calcular a soma dos ângulos de um triângulo, deve ser feita pelos alunos em aula. Faça marcas iguais nos ângulos dos dois lados do papel. Ao completar a terceira dobra, os alunos devem observar que a soma dos três ângulos do triângulo equivalem à medida de um ângulo raso, isto é, 180 graus.

B 2 D

A

• • • • •

12. Hipotenusa XY. Catetos ZX e ZY. 13. a) Triângulo obtusângulo; b) Triângulo acutângulo; c) Triângulo retângulo.

1

3

C

A

1

B

3

1 A

C

3 B

C

Um triângulo pode ter mais de um ângulo reto? Justifique. Um triângulo pode ter um ângulo reto? Se pode, os outros dois são de qual tipo? Um triângulo pode ter mais de um ângulo obtuso? Justifique. Um triângulo pode ter um ângulo obtuso? Se pode, os outros dois são de qual tipo? Um triângulo pode ter três ângulos agudos? Se pode, os três podem ter medidas iguais? Nesse caso, quanto mediria cada um deles?

Aprendendo em sala de aula 11.

11. Desenhos dos alunos. Para ilustrar o exercício 12, mostre, nos dois esquadros, os catetos e a hipotenusa. Também, em um primeiro momento, explore os conceitos a seguir, de maneira ingênua, ou seja, sem se preocupar em definir. 1 o ) (Usando o esquadro maior) Lados e ângulos opostos: a hipotenusa (lado) é oposta ao ângulo reto. O cateto maior é oposto ao ângulo de 60 graus, e o menor, ao ângulo de 30 graus. 2o) Quanto maior o ângulo, maior o lado oposto e vice-versa. Por exemplo, a hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo porque o ângulo reto é o maior de seus ângulos. Outro exemplo: no triângulo obtusângulo, o maior lado é o que se opõe ao ângulo obtuso.

2

2

ATIVIDADES ORAIS • Não, porque a soma dos três ângulos ficaria maior que 180º. • Sim; Agudos. • Não, porque a soma dos três ângulos ficaria maior que 180º. • Sim; Agudos. • Sim; Sim; 60º. As perguntas anteriores permitem ao aluno compreender porque se pode definir o triângulo retângulo como sendo um triângulo que tem um ângulo reto (ele já se convenceu de que não pode haver mais de um), bem como def inir o triângulo obtusângulo como sendo aquele que tem um ângulo obtuso (idem, idem).

D

Desenhe:

a) Um triângulo que tenha os três ângulos agudos. Você acabou de desenhar um triângulo acutângulo. Identifique os vértices pelas letras A, B e C.

b) Um triângulo que tenha um ângulo reto. Você acabou de desenhar um triângulo retângulo. Identifique o lado maior por XY e o vértice do ângulo reto por Z.

c) Um triângulo que tenha um ângulo obtuso. Você acabou de desenhar um triângulo obtusângulo. Identifique os vértices pelas letras E, F e G.

12.

No triângulo retângulo, o lado maior chama-se hipotenusa. Os outros dois lados chamam-se catetos. No desenho que você fez do item b do exercício 11, identifique a hipotenusa e os catetos.

13.

Observe as figuras anteriores e verifique, em cada um dos três triângulos, as medidas dos ângulos. Agora, classifique como retângulo, acutângulo ou obtusângulo:

a) O primeiro triângulo.

b) O segundo triângulo.

c) O terceiro triângulo.

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Veja o que a professora combinou com seus alunos: Para facilitar nossos estudos, vamos combinar o seguinte:

Marcas iguais nos ângulos representam que eles têm medidas iguais. Os ângulos N e O têm medidas iguais.

Son Salvador

Setas em mesma quantidade representam paralelas. Os lados PQ e SR são paralelos, bem como os lados SP e RQ.

Agora, observe as figuras abaixo e, com base nelas, resolva os exercícios seguintes:

14.

Quadrilátero

Trapézio

Trapézio retângulo

Trapézio isósceles

Paralelogramo

Retângulo

Quadrado

Losango

Quais os nomes dos quadriláteros que têm:

a) Um único par de lados paralelos? b) Dois pares de lados paralelos? c) Quatro ângulos retos? d) Quatro lados de medidas iguais? e) Um único par de lados opostos de medidas iguais? f ) Dois pares de lados de medidas iguais? g) Apenas um par de ângulos retos? h) Dois ângulos agudos e dois obtusos? i ) Um único ângulo agudo e um único ângulo obtuso?

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Antes de passar aos exercícios seguintes, é bom verificar se todos os alunos compreenderam as convenções feitas, desenhando no quadro, por exemplo, um paralelogramo ABCD e pedindo para que os alunos orientem um colega, que deve colocar todas as marcas relacionadas com a convenção. Explique para os alunos que “convencionar” é um sinônimo de combinar e, portanto, a frase “Veja o que o professor combinou com seus alunos” poderia ser substituída por “Veja o que o professor convencionou com seus alunos”. Observar que, por exemplo, em um retângulo, dois lados de medidas iguais têm um tracinho representando esse fato, enquanto os outros dois têm dois tracinhos. Somente no quadrado poderá ser usado um tracinho nos quatro lados porque todos têm a mesma medida. Mesma observação para marcas de pares de ângulos de medidas iguais. Os exercícios de 14 a 30 exploram características que diferenciam os diversos quadriláteros entre si. Exploram, também, como desenhar os diversos quadriláteros, bem como as convenções de marcas análogas para pares de lados de medidas iguais ou pares de ângulos de medidas iguais. 14. a) Os trapézios; b) Paralelogramo, retângulo, quadrado e losango; c) Retângulo e quadrado; d) Quadrado e losango; e) Trapézio isósceles; f) Paralelogramo, retângulo, quadrado, losango; g) Trapézio retângulo; h) Trapézio, trapézio isósceles, paralelogramo, losango; i) Trapézio retângulo.

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15. 15. A frase (c). O trapézio não é um paralelogramo. 16. Os trapézios têm um único par de lados paralelos. Os paralelogramos têm dois pares de lados paralelos.

Apenas uma das frases a seguir é falsa. Qual?

a) O quadrado é um paralelogramo. b) O retângulo é um paralelogramo. c) O trapézio é um paralelogramo. d) O losango é um paralelogramo. e) Todo quadrilátero tem quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos.

16. Qual é a diferença entre os trapézios e os paralelogramos?

17. Seus quatro ângulos são ângulos retos.

17.

Retângulos e quadrados têm uma mesma propriedade. Qual?

18. Seus quatro lados têm medidas iguais.

18.

Losangos e quadrados têm uma mesma propriedade. Qual?

19.

Desenhe um losango que não seja um quadrado.

19. Basta desenhar um quadrilátero com os quatro lados de mesma medida, mas que não tenha ângulos retos. 20. Basta desenhar um quadrilátero que tenha quatro ângulos retos, mas que não tenha os quatro lados de mesma medida.. 21. A frase falsa é a (c). Pode existir um trapézio isósceles com três lados de medidas iguais. Basta que a base menor tenha a mesma medida dos lados não paralelos. Desenhe um trapézio isósceles cuja base menor tenha a mesma medida dos lados não paralelos, isto é, exiba para os alunos um contraexemplo para a frase (c). 22. Desenhos dos alunos. 23. Desenhos dos alunos. (Verifique se estão obedecendo à recomendação de usarem quantidades de marcas diferentes tanto para pares de lados quanto para pares de ângulos.) Caso haja à disposição um flanelógrafo (um quadro feito de flanela com um barbante para dependurá-lo na frente do quadro-negro), faça modelos maiores em cartolina, com pequenos pedaços de lixa de madeira colados dos dois lados dos modelos para aderir ao flanelógrafo, e explore a situação-desafio com os grupos, exibindo as soluções encontradas.

20. Desenhe um retângulo que não seja um quadrado. 21.

Uma das frases a seguir é falsa. Qual?

a) O trapézio é um quadrilátero que tem um único par de lados paralelos. b) O trapézio retângulo é o trapézio que tem dois ângulos retos. c) O trapézio isósceles é o trapézio que tem apenas dois lados de medidas iguais.

22. Desenhe em um papel quadriculado:

a) Um paralelogramo LKAP. b) Um retângulo NTER. c) Um losango OSGU. d) Um trapézio retângulo PZIG. e) Um trapézio isósceles CSTP. f ) Um quadrilátero que não seja trapézio nem paralelogramo.

23. Nos seis desenhos que você fez no exercício anterior, represente: a) Todos os lados de medidas iguais com marcas iguais. b) Todos os ângulos de medidas iguais com marcas iguais. c) Todos os pares de lados paralelos com a mesma quantidade de setas.

Desafio! Recorte, em folhas de papel branco ou de papel colorido, dois modelos de cada um de seus esquadros. Depois, escreva dos dois lados dos quatro recortes as medidas de cada um dos ângulos. Agora procure, juntamente com seus colegas, resolver as situações a seguir, usando dois jogos de esquadros.

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Primeira: Use os dois modelos dos esquadros maiores (de 30 graus, 60 graus e 90 graus) para, de cada vez, formar as figuras a seguir e, em cada uma delas, verificar qual é a soma dos ângulos:

a) Um retângulo. b) Um quadrilátero com apenas dois ângulos retos. c) Um paralelogramo com dois agudos de 30 graus. d) Um triângulo isósceles. e) Um triângulo equilátero. f ) Um paralelogramo com dois ângulos agudos de 60 graus.

Segunda: Use os dois modelos dos esquadros menores (de 45 graus e 90 graus) para, de cada vez, formar as figuras a seguir e, em cada uma delas, verificar qual é a soma dos ângulos:

a) Um quadrado. b) Um triângulo retângulo isósceles. c) Um paralelogramo com dois ângulos de 45 graus.

Terceira: Usando um modelo de cada esquadro, formar um quadrilátero que tenha apenas um ângulo reto.

Aprendendo em casa Observe os quadriláteros das figuras a seguir:

Sugere-se explorar as situações no quadro, com os alunos se revezando aos pares. Soluções: Primeira: a) Coincidir as hipotenusas; b) Idem, formando quatro ângulos, sendo dois ângulos retos, um de 60o e outro de 120o; c) Coincidir os dois catetos menores de modo a ficarem consecutivos ângulos retos e ângulos de 60 graus; d) Coincidir os dois catetos menores; e) Coincidir os dois catetos maiores; f) Coincidir os dois catetos menores de modo a ficarem consecutivos ângulos retos e ângulos de 30 graus. Segunda: a) Coincidir as hipotenusas; b) Coincidir dois catetos; c) Coincidir dois catetos. Terceira: Coincidir a hipotenusa de um com o cateto maior do outro. Recomende ou explore a leitura de: “Atividades e jogos com quadriláteros” (p. 1 a 51) Marion Smoothey – Tradução de Antônio Carlos Brolezzi Investigação Matemática Editora Scipione ATIVIDADE EXTRA Peça aos alunos que tragam, na próxima aula, embalagens ou objetos cujas faces tenham uma das formas estudadas: triângulos, quadrados, retângulos, pentágonos, paralelogramos. Ilustrações de jornais ou revistas também servem. Explore o material o material solicitando que: a) identifiquem as formas estudadas em alguns deles; b) identifiquem lados, ângulos, lados ou ângulos de medidas iguais, lados paralelos, lados perpendiculares. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

24. Dê os pares de lados de medidas iguais do quadrilátero ABCD. 25. Dê os pares de ângulos iguais do quadrilátero EFGH. 26. Dê os pares de lados paralelos do quadrilátero IJKL. 27. Em relação à figura ABCD, responda: a) Quais são os pares de lados paralelos? b) Quais são os pares de ângulos de medidas iguais? c) Quais são os pares de lados de medidas iguais? d) Como se chama essa figura?

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24. AB e DC, AD e BC. 25. Todos os seis pares possíveis (porque, sendo retângulo, todos os ângulos têm medidas iguais: 90 graus). 26. IJ e LK. 27. a) AB e CD, AD e BC; b) A e C, B e D; c) AB e CD, AD e BC; d) Paralelogramo.

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Proponha no quadro exercícios análogos aos de números 27, 28 e 29: Desenhando dois trapézios isósceles, um deles com a base menor bem menor que os lados não paralelos e outro com a base menor bem maior que os lados não paralelos. Desenhando um retângulo e um trapézio isósceles com as bases contidas em retas não horizontais. Desenhando dois losangos, um com a diagonal maior na vertical, e outro com uma das diagonais não contida em horizontais. Desenhe um quadrilátero qualquer, um paralelogramo e um quadrado e explore, com perguntas: Paralelogramos são casos particulares de quadriláteros? Sim. O que se observa com relação a pares de lados opostos dos mesmos? (Os pares de lados opostos são paralelos); Retângulos são casos particulares de paralelogramos? Sim. O que se observa com relação aos quatro ângulos dos mesmos? (Seus quatro ângulos têm medidas iguais); Quadrados são casos particulares de retângulos? Sim. O que se observa com relação a seus lados? (Seus quatro lados têm medidas iguais.) Os exercícios de 31 a 41 exploram os conceitos de polígonos regulares e cálculos de perímetros de figuras planas. Faça breve comentário sobre as aplicações deste tema na indústria, no comércio, nas artes, nas outras ciências ou no dia a dia.

28. Em relação à figura EFGH, responda:

a) Quais são os pares de lados paralelos? b) Quais são os pares de lados de medidas iguais? 28. a) EF e GH, EH e FG; c) Como se chama essa figura? b) EF e GH , EH e FG;

29. Em relação à figura IJKL, responda:

c) Retângulo.

a) Quais são os pares de ângulos de medidas iguais? b) Quais são os pares de lados de medidas iguais? 29. a) I e J, K e L; c) Como se chama essa figura? b)IL e JK;

30. Em relação à figura MNOP, responda:

c) Trapézio isósceles.

a) Quais são os pares de lados paralelos? b) Quais são os pares de ângulos de medidas iguais? c) Quais são os pares de lados de medidas iguais? 30. a) MN e PO, MP e NO; d) Como se chama essa figura? b) N e P, M e O;

c) Todos os seis pares possíveis; d) Losango.

Os polígonos regulares Explorando o que você já sabe

Antes de abordar o exercício 31, caso julgue necessário, reproduza no quadro as figuras da ilustração, destacando e identificando os ângulos internos das mesmas. ATIVIDADES ORAIS • Todas. • 1ª, 2ª, e 4ª. ATIVIDADE EXTRA Sugira aos alunos que tragam, na próxima aula, embalagens ou objetos cujas faces tenham uma das formas dos polígonos do quadro “Explorando o que você já sabe”. Ilustrações de jornais ou revistas também servem. Explore o material: a) solicitando que identifiquem vértices, arestas, faces, faces opostas, arestas paralelas, arestas perpendiculares; b) identificando também as figuras planas que as faces representam. Desenhar polígonos em papel quadriculado e indicar, com marcas, ângulos de medidas iguais, lados de medidas iguais ou lados paralelos. Identificar polígonos regulares como sendo polígonos que têm todos os lados de mesma medida e todos os ângulos de mesma medida.

• •

Quais das figuras anteriores representam polígonos que têm todos os ângulos de medidas iguais? Quais das figuras anteriores representam polígonos que têm todos os lados de medidas iguais?

Aprendendo em sala de aula 31.

Das quatro figuras anteriores, apenas a terceira não representa um po31. a) Sim; lígono regular. b) Não; Responda: c) Sim.

a) A terceira figura tem todos os ângulos de mesma medida? b) A terceira figura tem todos os lados de mesma medida? c) As outras figuras têm todos os lados de mesma medida e todos os ângulos de mesma medida?

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32. Verdadeiro ou falso:

a) Se um polígono tem todos os lados de mesma medida e todos os ângulos internos

de mesma medida, ele se chama polígono regular. b) Se um polígono é regular, então tem todos os lados de mesma medida e todos os ângulos internos de mesma medida. 32. a) V; b) V.

33. Qual

dos paralelogramos a seguir é polígono regular: o retângulo, o quadrado ou o losango? 33. O quadrado.

34. Existe algum triângulo que seja um polígono regular? Se existe, qual deles é: o isósceles, o equilátero ou o escaleno?

35. Observe o desenho de um hexágono regular:

34. Existe: o triângulo equilátero.

Agora, responda: se um dos lados de um hexágono regular mede 5 cm, quanto mede o seu perímetro? 35. 30 cm. os seus quatro lados têm me36. Por que o quadrado é um polígono regular? 36. Porque didas iguais, bem como os seus quatro ângulos têm medidas iguais.

37. Como desenhar um retângulo que não seja um polígono regular? 38. Por que um losango não é, em geral, um polígono regular?

Aprendendo em casa

38. Porque para ser polígono regular, não basta ter os lados de medidas iguais. Tem que ter, também, os ângulos com medidas iguais.

39. O perímetro de um pentágono regular mede 135 cm. Calcule a medida de um de seus lados.

39. 27 cm.

40. Calcule o perímetro de um octógono regular, sabendo que um de seus lados mede 13 cm.

40. 104 cm.

O exercício 32 tem por objetivo mostrar, de maneira intuitiva, que as definições em Matemática são proposições do tipo “A se e somente se B”, ou seja, valem simultaneamente o direto e o recíproco. Esta é a diferença entre definições e certas proposições para as quais o recíproco não é verdadeiro. Por exemplo, a proposição “Se o algarismo das unidades de um número é zero, então ele é par” é verdadeira, mas a sua recíproca “Se um número é par, então seu algarismo das unidades é zero” é falsa. Contraexemplos: 12, 34, 26 são pares; entretanto, seus algarismos das unidades são diferentes de zero. Explique para os alunos como desenhar o hexágono regular: Primeiro, desenhe uma circunferência de centro O e raio OA. Depois, com o compasso com a mesma abertura (ou seja, igual ao raio), com centro em A, descreva dois arcos que cortem a circunferência em dois pontos B e F. Com centro em B, descreva um arco que corte a circunferência em um ponto C e, com centro em F, descreva um arco que corte a circunferência em um ponto E. Finalmente, com centro em E ou C, descreva um último arco que corte a circunferência em um ponto D. Finalmente, desenhe os segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA, obtendo assim um hexágono ABCDEF. Diga para os alunos que esses 6 segmentos chamamse cordas da circunferência. (segmentos cujos extremos são pontos da circunferência). Peça aos alunos que avaliem se o perímetro da circunferência do exercício 35 é menor ou maior que o perímetro do hexágono. Sobre “perímetro da circunferência”, comente novamente a observação na página 54 após a resposta 6. 37. Basta desenhar um retângulo que não tenha os quatro lados de medidas iguais, isto é, que não seja um quadrado. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

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Jogo relacionado com figuras: pequenos cartazes são mostrados aos componentes de duas equipes que vão se alternando e escrevendo no quadro: nome do polígono de acordo com o número de lados, nome do triângulo observando os seus lados ou os seus ângulos, valor do perímetro de figuras dadas, identificação usando marcas análogas em lados de medidas iguais, ângulos de medidas iguais, lados paralelos. ATIVIDADES ORAIS Esclareça aos alunos que a sequência de triângulos ao lado continua indefinidamente, tendo cada figura sempre um triângulo a mais que a anterior. * 14; * Um; * Basta ir aumentando um triângulo a cada nova figura. A atividade anterior visa a explorar, de maneira contextualizada, o fato de que “não existe o último número natural”, isto é, não existe um número natural que seja maior que todos os outros números naturais. Acrescente também informações de outros tipos de contagem: marcas em pedras, marcas em pedaços de ossos etc. Essas outras abordagens irão facilitar a resolução do exercício que segue. Comente: A criação do símbolo zero surgiu muito depois da criação dos dígitos 1 a 9 e possibilitou grandes avanços nos métodos de numerar e contar, tornando muito mais simples e compreensíveis os métodos de cálculo. Para convencer os alunos desse fato, sugira que calculem a soma de 37 com 43 usando nosso sistema decimal e depois tentem fazê-lo usando os sistema de algarismos romanos (XXXVII + XLIII).

41.

O perímetro de um quadrado é igual ao perímetro de um hexágono regular cujo lado mede 24 cm. Calcule a medida do lado do quadrado. Para a próxima aula de Matemática, tragam fósforos queimados e caixinhas de fósforos, das pequenas. Son Salvador

41. 36 cm. Destaque o uso dos polígonos regulares no dia a dia: nas placas de sinalização, nos cartazes, nas faces de diversas embalagens. Proponha aos alunos uma pesquisa sobre objetos que têm faces em forma de polígonos regulares, bem como placas de anúncios, de sinais, figuras de revistas, jornais etc.

Lendo e escrevendo números naturais Explorando o que você já sabe Observe a seguinte sequência de figuras em forma de triângulo: ........... .......... ...........

A primeira figura tem um triângulo, a segunda dois, e assim por diante. Dada uma figura de 13 triângulos da sequência, quantos triângulos teria a figura seguinte?

Dada uma figura qualquer da sequência, quantos triângulos a mais que ela tem a figura seguinte? Pedrinho disse que é sempre possível desenhar uma figura, dessa sequência, diferente de todas as outras já desenhadas. Como você acha que ele pensou para afirmar isso?

Aprendendo em sala de aula Um pouco de história... Você sabe o significado da palavra dígito? Ela é usada para designar os números naturais de 1 a 9. Mas qual a razão deste nome? A resposta está no fato de que, em latim, a palavra digitus significa dedo, e, como se sabe, um dos primeiros recursos usados pelos povos primitivos para contar eram os dedos das mãos. Aos poucos, a necessidade de comprar, vender, medir forçou o homem a inventar sistemas de numeração e contagem. Nós usamos um sistema de numeração que facilita não apenas contar, mas, principalmente, efetuar cálculos relacionados com os diversos problemas no nosso dia a dia. Mas, sobre números, numeração, contagem, você ficará surpreso com quantos fatos interessantes poderá conhecer, lendo os livros que sugerimos ao final deste volume.

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42. Invente um sistema de símbolos para numerar e use-o, registrando em seu caderno:

a) O número de alunos presentes em sua sala de aula. b) O total de braços e pernas de todas as pessoas presentes em sua sala de aula.

43. Quanto tem cada um? Escreva em seu caderno o que substitui correta-

mente cada letra da tabela a seguir. (Atenção para os cálculos, a partir do Fernando.) Notas de 100 reais

Notas de 10 reais

Notas de 1 real

Total em reais

Antônio

3

1

4

a

Bruno

2

5

3

b

Carlos

4

0

7

c

Dino

1

3

1

d

Eduardo

0

0

8

e

Fernando

1

13

5

f

Geraldo

1

2

17

g

Hélio

2

14

9

h

Ilton

1

11

13

i

João

1

15

11

j

O problema a seguir pode ter respostas diferentes. Leia-o juntamente com seus colegas, e procurem descobrir algumas dessas respostas.

44. Cláudio comprou uma bicicleta por 124 reais. Para pagar, ele tinha uma

nota de 100 reais, 15 notas de 10 reais e 38 notas de 1 real. Quantas notas de cada valor Cláudio pode ter usado para pagar essa compra sem necessidade de receber troco? Dê, no mínimo, três respostas diferentes.

45. Qual a menor quantidade de notas necessária para pagar uma despesa de 234 reais utilizando notas de 50 reais, notas de 10 reais e notas de 45. 9 notas. 2 reais, sem necessidade de receber troco? (4 x 50 + 3 x 10 + 2 x 2).

46. De quantas notas necessito para pagar uma despesa de 126 reais, se possuo apenas duas notas de 50 reais e 34 notas de 1 real?

46. 28 notas (2 x 50 + 26 x 1).

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Antecedendo o exercício 42, explore no quadro sistemas de símbolos para numerar. Exemplo: Z U S T Q C G S O N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Assim, TO = 38. UQ = 14 etc. 42.Respostas variadas. 43. a) 314 reais; b) 253 reais; c) 407 reais; d) 131 reais; e) 8 reais; f) 235 reais; g) 137 reais; h) 349 reais; i) 223 reais; j) 261 reais. Peça aos alunos que expliquem como resolveram o exercício 43 no cálculo dos totais de reais que possuem o Ilton e o João. Aqui, exploramos o dia a dia do aluno (o conhecimento dos valores monetários) e como, agrupando de dez em dez, obtemos valores equivalentes: 10 notas de 1 real equivalem a 10 reais, 10 notas de 10 reais equivalem a 100 reais etc., em íntima correlação com o sistema de numeração decimal que passará a ser abordado. Estabeleça atividades com cartões que representem notas dos diversos valores envolvendo compras, pagamentos, trocos etc. Em particular, chame a atenção dos alunos, no exercício 43, para o fato de que, no cálculo de quanto tem Fernando, 13 notas de 10 reais equivalem a 1 nota de 100 e 3 notas de 10, ou seja, ele possui 1+1 centenas de reais mais 3 dezenas de reais mais 5 reais. Observações análogas para os demais exercícios seguintes ao do Fernando na tabela. 44. Aqui, abordamos problemas que têm mais de uma resposta correta. É importante que os alunos saibam da existência desse tipo de problemas em Matemática. Oportunamente, abordaremos também problemas sem solução, ou seja, impossíveis. R) Uma nota de 100 reais, duas de 10 reais e 4 de 1 real. R2) Uma nota de 100 reais, uma de 10 reais e 14 de l real. R3) Uma nota de 100 reais e 24 de 1 real. R4) 12 notas de 10 reais e 4 de l real.

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47. Observe, novamente, a sequência de triângulos: Caso os alunos tenham obedecido à instrução das atividades de casa e disponham de uma quantidade suficiente de fósforos e caixinhas, o professor pode anteceder os exercícios que seguem, usando fósforos representando unidades, caixinhas com 10 fósforos representando dezenas e grupos de 10 caixinhas representando centenas. Com esses recursos, é possível estabelecer atividades de numeração até centenas. Sugerimos dois tipos de atividades: Primeira: dado um número, representá-lo com fósforos e caixinhas. Segunda: dado um conjunto de caixinhas e fósforos representando centenas, dezenas e unidades, escrever o número assim representado. Outra opção é desenhar no quadro risquinhos representando unidades, conjuntos de dez deles representando dezenas (envolvidos por um quadradinho), retângulos contendo dez destes quadradinhos representando centenas etc. Os exercícios de 47 a 58 visam a reforçar o conhecimento do sistema decimal de numeração. Antes de explorá-los, verifique se são realmente necessários ou se os alunos já dominam a escrita e a leitura de números naturais como os contidos nesses exercícios. É de grande importância que compreendam o Q. V. L. (Quadro de Valor de Lugar).

......... ........ .........

Imagine que, para cada quantidade de triângulos dessa sequência, fosse criado um modo diferente de ler o número correspondente, sem seguir alguma regra. Nenhuma pessoa, por melhor memória que tivesse, conseguiria guardar todos os nomes. Por isso, foram criadas regras que facilitam contar e dar nomes às quantidades. Esses conjuntos de regras chamam-se sistemas de numeração. O sistema de numeração mais usado é o sistema de numeração decimal. Veja, na ilustração a seguir, como fica fácil entender nosso sistema de numeração decimal:

• • • •

Cada pequeno bloco representa uma unidade. Cada grupo de dez blocos representa uma dezena. Cada grupo de dez dezenas representa uma centena. Cada grupo de dez centenas representa uma unidade de milhar.

Observe a ilustração anterior e responda:

47. a) Uma: o cubo; b) Uma; c) Três; d) Uma.

a) Quantas figuras representam uma unidade de milhar? b) Quantas centenas estão representadas por conjuntos de dez dezenas? c) Quantas dezenas estão representadas por conjuntos de dez pequenos blocos? d) Quantas unidades estão representadas por pequenos blocos?

48. Dizemos que a quantidade de blocos da ilustração anterior é: uma unidade de milhar, uma centena, três dezenas e uma unidade, ou, simplesmente, um mil, cento e trinta e um. (Usando algarismos: 1 131.)

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É isso mesmo! Cada dez unidades formam uma dezena, cada dez dezenas formam uma centena, cada dez centenas formam uma unidade de milhar, e assim por diante.

Son Salvador

Son Salvador

Agora entendi a razão do nome “sistema decimal”. É porque vamos formando grupos de dez em dez.

Observe a figura a seguir e escreva duas maneiras diferentes de se ler a quantidade de blocos nela representados:

48. Duas unidades de milhar, uma centena e duas unidades. Dois mil, cento e dois.

4ª ordem

3ª ordem

2ª ordem

1ª ordem

Para abreviar o tempo usado para representar números no quadro, convencione representar milhares por cubos, centenas por retângulos, dezenas por colunas verticais e unidades por pequenos quadrados.

Ordem das unidades de milhar

Ordem das centenas

Ordem das dezenas

Ordem das unidades

Sugerimos a construção de um ábaco e sua utilização em representações, como no exemplo a seguir:

1

1

3

1

Uma unidade de milhar

Uma centena

3 dezenas

Uma unidade

Um mil

cento

trinta

um

49. O número correspondente à ilustração do exercício 47 pode ser escrito assim:

Faça uma tabela como esta para o número correspondente à ilustração do exercício 48 e complete-a.

123 Futuramente, explore as operações usando este mesmo recurso. 49. Atividade dos alunos. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 49.

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51. 3 040.

52. A frase (c) é falsa. Nela, o 7 representa 7 dezenas. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque dos exercícios 52 e 53 (e o modo de ler).

50. Pense

e responda: para representar o número 304, quantos grupos representando centenas devemos desenhar? E quantos grupos representando dezenas?

51.

Laércio representou um número usando apenas 3 cubos representando unidades de milhar e 4 barras representando dezenas. Escreva o número representado por Laércio.

52. Qual das frases a seguir é falsa?

a) Em 7 324, o algarismo 7 representa 7 unidades de milhar. b) Em 3 745, o algarismo 7 representa 7 centenas. c) Em 4 672, o algarismo 7 representa 7 unidades. d) Em 2 387, o algarismo 7 representa 7 unidades.

Son Salvador

50. Três grupos representando centenas e nenhum grupo representando dezenas.

Para escrever qualquer número no sistema decimal, basta:

A compreensão dos quadros a seguir, denominados por alguns de Q. V. L. (Quadros de Valor de Lugar), é muito importante. É através deles que os alunos compreendem os algoritmos das operações com números naturais, principalmente aquelas chamadas de “operações com reserva”. Estes fatos se evidenciarão ao tratarmos das operações com números naturais. Também o Q. V. L. exerce papel fundamental na compreensão da escrita dos números decimais, com base na regularidade da disposição dos algarismos das diversas ordens. Por exemplo, é razoavelmente natural aceitar que, sendo a unidade constituída de 10 décimos, os algarismos das unidades se situem imediatamente à esquerda dos algarismos dos décimos. E, para assinalar a partir de qual algarismo iniciam-se as ordens das unidades, dezenas etc., usa-se o recurso da vírgula. Isto é o que veremos ainda neste capítulo. 53. a) Vinte e três milhões; b) Dezessete mil e dezessete; c) Dez milhões, vinte mil e sete; d) Doze milhões e quarenta. Explore a representação dos números do exercícios 53 no Q. V. L.

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Usar alguns ou todos os dez algarismos a seguir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, e observar que todo algarismo escrito imediatamente à esquerda de outro algarismo igual representa quantidade dez vezes maior que esse outro. Portanto, Para se formar uma dezena, são necessárias dez unidades. Para se formar uma centena, são necessárias dez dezenas. Para se formar uma unidade de milhar, são necessárias dez centenas.

53. Observe o quadro a seguir e o modo de ler cada número nele contido: CLASSES MILHÕES Ordens A

MILHARES

UNIDADES

Centenas Dezenas Unidades Centenas Dezenas Unidades Centenas Dezenas Unidades de de de de de de milhões milhões milhões milhar milhar milhar 2

4

B

7

3

2

1

5

6

4

2

0

2

2

0

3

1

C

2

0

2

3

0

0

5

0

D

3

0

0

0

4

0

0

0

(A) Duzentos e quarenta e sete milhões, trezentos e vinte e um mil, quinhentos e sessenta e quatro. (B) Dois milhões, vinte e dois mil e trinta e um. (C) Vinte milhões, duzentos e trinta mil e cinquenta. (D) Trinta milhões e quatro mil.

Agora, escreva como se lê cada um dos números a seguir:

a) 23 000 000;

b) 17 017;

c) 10 020 007;

d) 12 000 040.

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54. Observe, ainda, o quadro anterior e responda:

54. a) Dez; b) Cem unidades; Cem dezenas; milhões? c) d) Mil dezenas.

a) Quantas centenas de milhar existem em uma unidade de b) Se uma centena tem 10 dezenas e cada dezena, 10 unidades, quantas unidades existem em uma centena?

c) Se uma unidade de milhar tem 10 centenas e cada centena tem 10 dezenas, quantas dezenas existem em uma unidade de milhar?

d) Se uma dezena de milhar tem 10 unidades de milhar, cada unidade de milhar tem 10

centenas e cada centena tem 10 dezenas, quantas dezenas existem em uma dezena de milhar?

55. Escreva, usando o sistema de numeração decimal:

a) Trezentos e cinco milhões, duzentos e dezessete mil e quarenta e cinco. 55. a) 305 217 045; b) Dois milhões, dois mil e quatro. b) 2 002 004.

Aprendendo em casa 56.Observe o quadro a seguir: CLASSES

Ordens

MILHÕES

C

MILHARES

UNIDADES

Centenas Dezenas Unidades Centenas Dezenas Unidades Centenas Dezenas Unidades de de de de de de milhões milhões milhões milhar milhar milhar

A B

56. a) Vinte e quatro milhões, setecentos e noventa mil e trinta e um; b) Trezentos e quatro milhões, quatro mil, trezentos e quarenta e sete; c) Dez milhões, duzentos mil, trezentos e cinco; d) Um milhão e quinhentos.

3

2

4

7

9

0

0

3

1

0

4

0

0

4

3

4

7

1

0

2

0

0

3

0

5

1

0

0

0

5

0

0

D

Escreva como se lê cada um dos números representados nesse quadro.

57. Escreva como se lê cada um dos números a seguir: a) 3 402

b) 12 007

c) 108 045

58. Escreva, usando algarismos:

57. a) Três mil, quatrocentos e dois; b) Doze mil e sete; c) Cento e oito mil e quarenta e cinco.

a) Treze mil, duzentos e quarenta e cinco unidades. b) Seis milhões, duzentos e vinte cinco mil e dezessete unidades. c) Quarenta milhões, quatrocentos mil e quatro unidades. 58. a) 13 245; d) Trezentos e noventa e nove milhões. b) 6 225 017;

c) 40 400 004; d) 399 000 000.

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. Dite as frases (a) e (b) da primeira atividade extra, para que os alunos as escrevam, no caderno, usando algarismos ao escrever os números. Depois, peça a um aluno que escreva apenas os números no quadro para que confiram se acertaram. ATIVIDADE EXTRA A seu critério, explore as atividades que julgar mais pertinentes no momento: Escreva no quadro as frases (a) e (b) a seguir: 1a) a) Sabe-se que a temperatura no centro de algumas estrelas atinge 10 milhões de graus centígrados; b) Segundo as teorias científicas mais aceitas atualmente, o universo se formou há aproximadamente 15 bilhões de anos. Proponha aos alunos que, usando notícias de jornais, revistas, internet, enciclopédias ou quaisquer outros recursos, procurem informações relacionadas com as duas frases anteriores. Outras atividades a rever, propor ou explorar: Escrever números naturais como 3 078, 3 708, 3 780, 3 807 etc., em ordem crescente ou decrescente. Situações nas quais os próprios números naturais dão ideia de ordenação como: o ocupante da cadeira 43 do avião etc. Associar a escrita de um número com a leitura do mesmo usando os termos centenas, dezenas, unidades e outras ordens 4 765 = 4 milhares, 7 centenas etc. Representar sequências de números naturais dados na reta numerada. Situações que explorem o “valor de lugar” de um algarismo. Exemplo: os diferentes “valores” do algarismo 2 nos números 2, 27, 235, 2 134. Situações que explorem o significado de números que não contêm o algarismo zero em uma ou mais ordens (como 21, 214, 2547) e de números que contêm o zero em uma ou mais ordens (como 20, 200 e 2 000). Pergunte: qual ou quais deles representam dezenas, centenas ou milhares exatas e quais não representam? 2a) Usando notícias de jornais ou revistas, explore atividades análogas à 1a. atividade extra.

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As frações ATIVIDADES ORAIS

Explorando o que você já sabe Júlia Bianchi, 2006

• Dúzia. • Quatro. • Sexta parte.

• • • Ao abordar os exercícios de 59 a 109, utilize ao máximo desenhos representativos das frações, dos números decimais ou das operações que eles exploram.

Que nome se dá a um conjunto de 12 objetos? A terça parte de uma dúzia contém quantos objetos? Dois objetos formam que parte de uma dúzia?

Aprendendo em sala de aula 59. Observe a tabela e escreva, em seu caderno, o que deve substituir as letras:

59. a) Três partes iguais; b) Quatro partes iguais; c) Sexta parte; d) Quinta parte.

Para obter uma

Devemos dividir a quantidade dada em

Metade

Duas partes iguais

Terça parte

a

Quarta parte

b

c

Seis partes iguais

d

Cinco partes iguais E, em cada caso, separar apenas uma das partes

60. a) 12; b) 25; c) 7.

60.

Calcule:

a) A terça parte de 36.

b) A quarta parte de 100.

c) A quinta parte de 35.

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Son Salvador

Veja como representar uma das partes iguais de uma grandeza dada, usando frações:

Você vê uma das partes iguais destacada em tom escuro

Você representa pela fração

Você pensa

1 2

um meio

1 3

um terço

61. Agora, calcule: a) 1 de 44

62.

b)

1 de 39 3

um quarto

1 4

um quinto

1 5

2 As duas frases a seguir são equivalentes:

c)

1 de 75 5

61. a) 22; b) 13; c) 15. 62. a) 1/3 de 27 é igual a 9; b) 1/5 de 35 é igual a 7.

1a) João calculou a metade de 84 reais. 1 de 84 reais. 2 Use frações para escrever frases equivalentes às seguintes: 2a) João calculou

a) A terça parte de 27 é igual a 9. b) A quinta parte de 35 é igual a 7.

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Observação importante: explique aos alunos que nesta página, em cada figura da coluna “Você vê”, as partes iguais da quantidade são representadas em tom mais escuro. A mesma observação é válida para todas as figuras representando frações das páginas seguintes. Observe que, sem esta observação, nada impede que o aluno entenda, por exemplo, que na terceira figura o tom mais claro (amarelo) represente as partes da quantidade dada, associando assim a fração 3/5 à figura. Na interpretação do significado das frações, é recomendável o uso de um flanelógrafo e pequenos quadrados de mesmo tamanho, alguns brancos e vários de diversas cores. Compondo convenientemente retângulos formados com alguns desses quadrados coloridos e alguns brancos, é possível explorar diversas situações semelhantes às exploradas no capítulo. Por exemplo: Um retângulo formado por 4 quadrados azuis e 3 quadrados brancos permite explorar as ideias de 4/7 e 3/7. Atividade recíproca: peça aos alunos que representem frações dadas. Um jogo usando as duas atividades anteriores pode ser estabelecido entre duas equipes usando diversas peças e dois flanelógrafos.

Veja, agora, como representar mais de uma das partes iguais de uma quantidade dada, usando frações, e como ler essas representações. Você vê

Você pensa

O exercício 63 explora o “método de redução à unidade”: para calcular 2/3 de 12, primeiro calculo 1/3 de 12 (12/3 = 4) e, depois, multiplico o resultado por 2 para obter os 2/3 (4 x 2 = 8).

Você lê

dois terços

2 3

dois terços

três quartos

3 4

três quartos

dois quintos

2 5

dois quintos

cinco sextos

5 6

cinco sextos

três sétimos

3 7

três sétimos

quatro oitavos

4 8

quatro oitavos

dois nonos

2 9

dois nonos

63. Lucimar comprou uma dúzia de ovos 63. a) Três partes; b) 1/3; c) 1/3 + 1/3; d) 4; e) 8; f) 1/3.

Você representa pela fração

1/3

e já usou oito deles para fazer bolos. A parte colorida de verde, da figura a seguir, representa a parte da dúzia já usada por Lucimar:

1/3

1/3

2/3

Responda, com base na figura:

a) Em quantas partes iguais foi dividida a dúzia de ovos? b) Que fração representa cada uma dessas partes? c) A parte colorida de verde pode ser representada por uma soma de duas frações iguais. Que soma é essa? d) Quantos ovos existem em cada uma das partes iguais?

2

e) Que número representa de 12? 3 f ) Que fração representa a parte de ovos que sobrou?

70

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64. Diga se alguma das frases a seguir é falsa: 1

1

2

a) 3 + 3 = 3

b)

2 1 = 2× 3 3

c) Para calcular 2 de 12, basta dividir 12 por 3 e multiplicar o resultado por 2. 3

64. Todas são verdadeiras.

d) Para calcular 2 de um número, basta dividi-lo por 3 e multiplicar o resultado por 2. 3

e) Para obtermos 2 de 12, calculamos: (12 : 3) × 2. 3

Sim. E veja que, para este cálculo, divide-se 12 por 4 e depois multiplica-se o quociente obtido por 3, obtendo 9 como resultado.

O Fernando disse que a ilustração do quadro representa o cálculo de três quartos de 12. Ele está correto?

12

?

No exercício 65, use novamente o “método de redução à unidade”. Calcule inicialmente: em (a), 1/5; em (b), 1/4; em (c), 1/7. Depois, em cada caso, faça a multiplicação conveniente para obter as frações pedidas dos números dados. Caso julgue necessário, ao resolver o exercício 65, faça abordagem análoga à feita nos exercícios 63 e 64. Sugiro, inclusive, contextualizar as três situações utilizando problemas semelhantes ao contido no exercício 63.

Son Salvador

65. a) 14; b) 27; c) 16; d) 1a. 12; 2a. 20.

65.Resolva: a)

2 de 35 = 5

?

b)

3 de 36 = 4

?

c)

4 de 28 = 7

?

d) Quais são os números correspondentes às interrogações nas ilustrações a seguir? 20

? 30

?

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? ?

71

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66. a) Nove quadradinhos coloridos; b) Sete quadradinhos coloridos; c) Cinco quadradinhos coloridos; d) Todos os 9 quadradinhos coloridos; e) Todos os 18 quadradinhos coloridos. Em 66 (e), diga aos alunos que não façam dois retângulos reunidos porque, nesse caso, ao colori-los totalmente, estarão representando 18/18 (um inteiro), e não 18/9, ou seja, dois inteiros. Explore mais exemplos relacionados com a observação acima representando, por exemplo, os números naturais 2, 3, 4, por 2, 3, 4 etc., blocos subdivididos em 5, 7 e 6 partes iguais, respectivamente.

66. Copie os desenhos em seu caderno ou use papel quadriculado para representar as frações, colorindo convenientemente cada um deles:

a)

9 12

? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?

b)

7 10

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ?

c)

5 9

?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

d)

9 =1 9

?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

e) 18 = 2

?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

9

?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

67. a) O denominador; b) O numerador. É recomendável fazer o máximo de representações gráficas das frações envolvidas nos exercícios e problemas. Lembre-se de que uma boa figura vale mais que mil palavras... Por exemplo, na parte (a) do problema 68, representando o número procurado por uma figura dividida em três partes iguais, o desenho a seguir: 4

4

4

“mostra” claramente o raciocínio do problema... 68. a) 12; b) 40; c) 9; d) 13; e) 10;

f) 20/5; g) 2; h) 3; i) 1.

Observações: 1) Em 68 (c), calcule 1/3 (6 : 2 = 3) e, depois, 3/3 (3 x 3 = 9). 2) Em (d) e (e), observe que 5/5 = 1; logo, 5/5 de um número é o próprio número e 12/6 = 2; logo, 12/6 de um número é o dobro do número. 3) Em (f), use o fato de que 5/5 = 1 e, portanto, a soma 5/5 + 5/5 + 5/5 + 5/5 = = 20/5 = 4.

67. Na fração 107

, o 7 chama-se numerador e o 10, denominador. Responda:

a) Qual dos dois representa em quantas partes iguais foi dividida a quantidade dada: o numerador ou o denominador?

b) E qual dos dois representa quantas dessas partes foram reunidas?

68. Pense e responda: (Ajuda: para cada situação, faça o desenho correspondente.)

a) Quatro é a terça parte de qual número? b) De qual número 8 é a quinta parte? c) Seis representa 2 de certo número. Que número é esse? 3

d) Treze representa 5 de certo número. Que número é esse? 5

e) Vinte representa 12 de certo número. Que número é esse? 6

f) Qual é a fração de denominador 5 que equivale ao número 4?

g) Se o numerador de uma fração for o dobro do denominador, ela é equivalente a qual número natural?

h) Se uma fração é igual a três, seu numerador é quantas vezes o denominador?

i) Se o numerador e o denominador de uma fração forem iguais, ela é igual a qual número natural?

72

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69. Mário tinha 320 reais. Gastou a quarta parte na compra de um armário de duas portas, a quinta parte na compra de uma mesa e de um berço. Quanto custou cada objeto?

3 na compra 8

70. Na casa de Lúcio, come-se

1 de queijo a cada refeição. Depois de 5 quantas refeições comerão o queijo todo?

71.

Por questão de economia de espaço, muitas das respostas inseridas nas margens são breves. Entretanto, é necessário criar nos alunos o hábito de enunciar as respostas coerentes com as perguntas. Exemplo: Quanto Laerte pagou pelas revistas? Resposta: Laerte pagou R$… pelas revistas (e não, simplesmente: R$…). 69. Armário: 80 reais; Mesa: 64 reais; Berço: 120 reais. 70. Depois de cinco refeições.

Dê o valor das letras F e G, a seguir: 1 1 1 1 1 a) + + + + = F. 5 5 5 5 5

71. F = G = 5/5 = 1.

b) 5 × 1 = G.

72. Não. Eles comeram quantidades iguais.

5

1 2 de um queijo e Mauro comeu do mesmo queijo. 3 6 Algum deles comeu mais queijo que o outro?

72. Márcia comeu

Faça um desenho que convença os alunos de que as frações 1/3 e 2/6 representam a mesma quantidade da mesma grandeza. 1/3

Muito bem! Agora, um desafio: como representar frações como 5 , usando desenho? 4 Vou dar uma ajuda. Observe que:

Eu sei representar algumas frações com desenhos. Veja:

2/6

5 1 1 1 1 1 4 1 1 = + + + + = + = 1+ 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Son Salvador

3 4

Son Salvador

2 3

Resolver o exercício a seguir é equivalente a resolver o desafio.

73. Qual dos dois desenhos a seguir representa a fração resposta.

1o

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5 ? Justifique sua 4

2o

73. O desenho que representa a fração 5/4 é o segundo. Justificando: no primeiro desenho se vê um retângulo dividido em 5 partes iguais, das quais se destacaram em cor escura 4 delas; logo, ele representa 4 das 5 partes iguais nas quais se dividiu uma grandeza, ou seja, a fração 4/5; no segundo desenho são vistos dois retângulos, um dividido em 4 partes iguais, no qual se destacaram todas elas (portanto, representando 4/4), e o segundo retângulo também dividido em 4 partes iguais (e iguais às do primeiro retângulo), mas foi destacada em cor escura apenas uma dessas partes (logo, representando 1/4). Portanto, o segundo desenho representa a soma 4/4 + 1/4, ou seja, 5/4. Os exercícios de 73 a 75 têm enorme importância na compreensão dos alunos sobre os conceitos de frações que representam quantidades menores que uma unidade e frações que representam quantidades maiores que uma unidade. Se necessário, proponha outros exercícios análogos, até que todos os alunos tenham compreendido estas duas diferentes representações.

73

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74. Observe que a fração 74. Três inteiros e dois quintos.

senta assim:

Para esclarecer as ideias contidas nos exercícios 75, 79, 80, 85, 87, o flanelógrafo é um ótimo recurso.

1

5 1 representa também 1+ e também se repre4 4

1 (que se lê: um inteiro e um quarto) 4

Escreva como se lê: 3

2 . 5

75. Preste bastante atenção! Os alunos devem observar que, na 1a figura do exercício 75, cada barra representa um inteiro. Já na 2a figura, a barra representa um inteiro dividido em 12 partes iguais. 75. a) Primeira, 2 3 ; segunda, 13/15; 5 b) Desenhos dos alunos.

1

3 A figura acima representa 1 3 ou, equivalentemente, 1 + . 6 6 9 : Agora, a figura a seguir representa 12

2 5

a) Escreva, em seu caderno, as frações correspondentes às figuras a seguir:

7 10

Primeira figura 2

Segunda figura

3 4

11 12

Explique aos alunos que números como o que se vê no retângulo em destaque do exercício 74 têm o nome de “números mistos” e explore com exemplos e exercícios as passagens, da forma de número misto para a forma de fração, e as passagens de frações para números mistos (denominadas extração de inteiros). 76. a) Quatro terços igual a um inteiro e um terço; b) Sete quartos igual a um inteiro e três quartos.

b) Desenhe em seu caderno figuras que representem: 1a) 1

2 2 =1+ 5 5

2a)

7 10

3a) 2

3 3 =2+ 4 4

4a)

11 12

76. Escreva como se lê: a)

4 1 =1 3 3

b)

7 3 =1 4 4

74

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77. Laerte possuía 25 notas de um real. Gastou 9 delas para comprar uma revista.

a) Em relação a esta informação, o que representa a fração 9 b) E a fração ? 25

25 ? 25

78. Invente um problema relacionado com a fração cujo numerador é 12 e o denominador é 27.

79. Para cada uma das figuras a seguir, escreva duas frações que representam a mesma parte de uma mesma grandeza:

a)

b)

c)

e)

d)

Son Salvador

Frações que representam a mesma parte de uma grandeza chamam-se frações equivalentes.

77. a) Quanto Laerte possuía; b) Quanto ele gastou. Pergunte aos alunos: No problema 77, cada 1/25 representa quantas notas de um real? 78. Respostas variadas. Exemplo: …. possuía 27 reais e gastou 12 reais. Qual a fração de denominador 27 que representa quanto …. possuía? Qual a fração de denominador 27 que representa quanto …. gastou? 79. a) 1/4 ou 4/16; b) 1/3 ou 2/6; c) 1/4 ou 2/8; d) 1/2 ou 2/4; e) 1/4 ou 3/12. Antes do exercício 80, comente: observe os pares de frações equivalentes dos itens (a) e (b) do exercício 79: 1a ) 1/4 = 4/16; 2o) 1/3 = 2/6. Do primeiro par, notamos que 1 x 16 = 4 x 4 e, do segundo par, 1 x 6 = 3 x 2. Estas duas igualdades são chamadas de “produto cruzado”. Na verdade, podemos dizer que sempre que duas frações são equivalentes, os produtos cruzados são iguais e, se os produtos cruzados são iguais, as frações são equivalentes. Proponha diversos exercícios no quadro para que, usando produtos cruzados: a) Os alunos verif iquem se frações dadas são ou não equivalentes. b) Dados produtos cruzados iguais, os alunos escrevam pares de frações equivalentes. 80. A frase (c) é a falsa.

1 2 e 4 8 são equivalentes. Observe que 2 é o dobro de 1 e que 8 é o dobro de

80. Na terceira figura do exercício anterior, você viu que as frações 4. Agora, diga qual das frases a seguir é falsa:

a) Multiplicando o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número (diferente de zero), obtém-se outra fração equivalente.

b) Dividindo o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero obtém-se outra fração equivalente.

c) Somando um mesmo número ao numerador e ao denominador de uma fração, obtém-

Novamente aqui, há necessidade de um contraexemplo para mostrar que o item (c) do exercício é falso. Basta criar qualquer exemplo, desde que não se use como fração inicial uma fração equivalente à unidade. Caso julgue conveniente, chame a atenção dos alunos para a impossibilidade de divisão por zero (o que não obriga a existência no item (b), do exercício 80, da ressalva que o número pelo qual se dividem numerador e denominador seja diferente de zero).

-se outra fração equivalente à primeira.

75

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81. 81. a) 9; b) 8; c) 50; d) 45. 82. a) 2; b) 4; c) 3.

Copie em seu caderno e complete, para que as frações de cada item sejam equivalentes:

? b) 4  e 

? a) 3 e 8

24

9

c)

18

?

d) 3 =

5  e  9 90

?

3 = 1 15

82. Em cada caso a seguir, diga qual é o número natural equivalente às frações dadas: 8 2 a) = 4 1

b)

20 4 = 5 1

c)

18 3 = 6 1

83. Nas figuras a seguir, você vê frações obtidas dividindo o inteiro em 10 83. a) = 8; b) = 10; c) Cinco décimos; d) Oito décimos.

partes iguais e reunindo algumas dessas partes. Escreva, em seu caderno, o que deve substituir as letras.

Você vê

Você representa

Antes do exercício 84, explore a figura A do mesmo: (a) Quantas linhas, quantas colunas e quantos quadradinhos tem a figura A? R) 10,10 e 100; (b) Qual fração cada quadradinho representa? R) 1/100; (c) E cada linha? R) 1/10; (d) 1/10 contém quantos centésimos? R) 10; (e) V ou F: 1/10 equivale a 10 vezes 1/100. R) V.

Você lê

3 10

Três décimos

5 10

c

a b

d

84. Nas ilustrações a seguir, você vê representadas frações obtidas dividindo 84. a) 17/100; b) 33/100; c) 41/100.

uma grandeza em 100 partes iguais e reunindo algumas dessas partes. Escreva, em seu caderno, as frações correspondentes a cada uma das três representações:

A

B

C

76

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Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

Aprendendo em casa 85. Escreva as frações correspondentes a cada uma das partes coloridas em tom escuro das figuras a seguir:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

86. Uma torta de maçã foi dividida em 10 partes iguais. Pedro comeu 2

delas. Paulo comeu 3 e Roberto comeu 5. Escreva as frações que representam as partes da torta que cada um deles comeu e o modo de ler essas frações.

87. Em cada caso, escreva duas frações equivalentes sugeridas pela parte em tom escuro da figura:

a)

b)

d)

c)

ATIVIDADE EXTRA A seu critério, explore mais atividades com frações como sugerimos: Representar partes de uma quantidade usando frações. Interpretação dos significados do numerador e do denominador. Associar frações 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 com os termos “metade”, “terça parte”, “quarta parte”, “quinta parte” e “sexta parte”. Explorar a compreensão de fração como parte de um todo, de uma coleção, ou como correspondente a um ponto na reta numerada. Explorar, pela ordem: (Desenhos, escrita e leitura, representações na reta numerada) Frações 1/2, 1/3, 1/4, … 1/9 – Frações 2/2, 2/3, 3/3, 2/4, 3/4, 4/4, … 9/9 – Desenhos que representem frações equivalentes: Ex.: 1/2, 2/4, 3/6, etc. Comparar frações observando desenhos que as representam. 85. a) 1/2; b) 1/5; c) 1/3; d) 1/4; e) 1/6; f) 1/8. 86. 2/10 (dois décimos); 3/10 (três décimos); 5/10 (cinco décimos). 87. a) 1/2 e 2/4; b) 1/3 e 2/6; c) 2/5 e 6/15; d) 1/4 e 2/8; e) 2/5 e 8/20.

e)

88. a) 3/2 e 18/12; b) 14/10 e 21/15 (ou outras respostas).

88. Escreva duas outras representações para cada uma das frações a seguir: a)

9 6

b)

7 5

89. Resolva: Vera tinha 48 lápis de cor. Agora, só tem

No exercício 89, use o método de redução à unidade: calcule 1/8 inicialmente. 89. Desenhos dos alunos. 30 lápis.

5 do que possuía. 8

Quantos lápis de cor Vera ainda tem? (Ajuda: faça o desenho correspondente.)

48 5/8 1/8 => 48 : 8 = 6 5/8 => 5 x 6 = 30 Peça aos alunos que expliquem como resolveram o exercício 89.

77

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90. Use um papel quadriculado para representar as seguintes frações: 90. Desenhos dos alunos. Explore atividades com papel quadriculado: (a) Representar, no mesmo quadriculado, (10 x 10), usando cores diferentes: 1/10 (uma linha), 10/100 (dez quadradinhos). Objetivo: 1/10 = 10/100. (b) Análogas para 2/10 e 20/100, 3/10 e 30/100. Objetivo: 2/10 = 20/100, 3/10 = 30/100. (c) Análogas para 10/10 e 100/100, 20/10 e 200/100. Objetivos: 1o) 10/10 = 100/100 = 1; 2o) 20/10 = 200/100 = 2; 3 o) A unidade equivale a 10/10, 100/100 etc.

a)

21 100

c)

88 100

Explorando o que você já sabe CENTENAS

1 • •

• 10 unidades. • 10 dezenas.

b)

Frações e números decimais

Escreva no quadro os números 78 e 469 e explore: Por que, para escrever 7 dezenas e 8 unidades escrevemos 78, isto é, por que o algarismo 7 é escrito à esquerda do algarismo 8? No número 469, o algarismo 4 está em qual ordem: das dezenas ou das centenas? Uma centena equivale a quantas dezenas? No número 469, o algarismo 4 está escrito à esquerda do algarismo 6; o que significa isso?

ATIVIDADES ORAIS

6 10

DEZENAS

UNIDADES

3

2

Quantas unidades formam uma dezena? Quantas dezenas formam uma centena?

Aprendendo em sala de aula

91. Dez vezes.

91.

92. Dez vezes.

92. No número 770, o algarismo das centenas representa quantas vezes o

No número 33, o algarismo das dezenas representa quantas vezes o algarismo das unidades? algarismo das dezenas?

93. 1/10 (Um décimo).

93. A décima parte da unidade é representada por qual fração?

94. Dez vezes.

94. A unidade representa quantas vezes a fração

95. 1/100.

95. A décima parte de

78

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1 ? 10

1 é representada por qual fração ? 10

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96.A fração

1 1 ? representa quantas vezes a fração 10 100 Professor, como faço para escrever no sistema de numeração decimal o número 17 unidades e 3 décimos?

96. Dez vezes.

É simples! Veja: 17,3.

Isto mesmo! E, para separar os algarismos das unidades e dos décimos, usamos uma vírgula. Veja se meu exemplo está certo:

Correto!

Para representar 21 unidades e 6 décimos, escrevo: 21,6.

97. Observe a tabela e escreva o que deve substituir cada letra: Você vê

Você lê

5,3

Cinco inteiros e três décimos ou Cinco unidades e três décimos

12,7

Doze inteiros e sete décimos ou Doze unidades e sete décimos

4,5

a

3,2

b

c

Seis inteiros e 4 décimos

d

Quatro unidades e 1 décimo

Son Salvador

Acho que entendi: Como cada unidade é 10 vezes um décimo, o algarismo das unidades fica à esquerda do algarismo dos décimos.

Comente: Pelos exercícios anteriores, você concluiu que uma unidade equivale a 10 décimos. Logo, se seguirmos a mesma regra para a escrita, se tivermos que escrever 17 unidades e 3 décimos, o algarismo 1 das dezenas deve ficar à esquerda do algarismo 7 das unidades e o algarismo 7 das unidades deve ficar à esquerda do algarismo 3 dos décimos. Mas, se escrevermos 173, estaremos representando 173 unidades e não o que pretendíamos. Para isto, usa-se uma vírgula que passa a representar a separação entre a ordem das unidades e a ordem dos décimos. Confirme este fato lendo o diálogo aluna x professor nesta página. 97. a) 4 inteiros e cinco décimos (ou 4 unidades e 5 décimos); b) Três inteiros e dois décimos (ou 3 unidades e 2 décimos); c) 6,4; d) 4,1.

79

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98. 82,35 90,27 23,09 0,42

DEZ. 8 9 2 0

UNI. DÉC. CENT. 2 3 5 0 2 7 3 0 9 0 4 2

98. Você sabe que

1 1 é a décima parte de ; logo, como cada décimo 10 100

1 , o algarismo dos décimos se escreve à esquerda do 100 algarismo dos centésimos.

é dez vezes

Copie a tabela em seu caderno e complete-a corretamente: 99. a) Treze inteiros e cinquenta e dois centésimos; b) Oito inteiros e vinte e quatro centésimos; c) 6,17; d) 4,83. ATIVIDADE EXTRA Explore: a) Exercícios que envolvam valores monetários correspondentes aos decimais da tabela do exercício 99 (R$ 7,32; R$ 4,46; etc.). b) A interpretação dos centavos como centésimos do real. c) Exercícios que envolvam medidas de comprimento correspondentes aos mesmos decimais: 7,32 m; 4,46 m; etc. d) A interpretação dos centímetros como centésimos do metro.

101. a) Três inteiros e 784 milésimos ou 3 unidades e 784 milésimos; b) Cinco inteiros e 32 milésimos ou 5 unidades e 32 milésimos.

unidades

décimos

centésimos

82,35

8

2

3

5

90,27

9

23,09 0,42

99. Veja a tabela e escreva o que deve substituir cada letra:

100. a) 5,7; b) 8,6; c) 12,15; d) 3,8; e) 5,17; f) 7,04; g) 34,02. Explore a leitura de: a) 0,7; b) 0,73; c) 0,09 (e outros, se necessário).

dezenas

Você vê

Você lê

7,32

Sete inteiros e trinta e dois centésimos ou Sete unidades e trinta e dois centésimos

4,46

Quatro inteiros e quarenta e seis centésimos ou Quatro unidades e quarenta e seis centésimos

13,52

a

8,24

b

c

Seis inteiros e 17 centésimos

d

Quatro unidades e 83 centésimos

100. Escreva, usando apenas algarismos e a vírgula: a) 5 unidades e 7 décimos.

101.

b) 8 unidades e 6 décimos. c) 12 unidades e 15 centésimos. d) 3 inteiros e 8 décimos.

e) 5 inteiros e 17 centésimos.

f ) 7 unidades e 4 centésimos. g) 34 inteiros e 2 centésimos.

Dividindo a unidade em mil partes iguais, cada uma delas recebe o nome de um milésimo. Como cada centésimo contém 10 milésimos, escrevemos, por exemplo:

80

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2,357 – e lemos: 2 inteiros e 357 milésimos (ou 2 unidades e 357 milésimos). 4,037 – e lemos: 4 inteiros e 37 milésimos (ou 4 unidades e 37 milésimos).

102. a) 5,248; b) 3,218; c) 7,028; d) 8,029.

Agora é com você. Escreva, em seu caderno, as duas maneiras de ler:

a) 3,784

b) 5,032

102. Escreva usando algarismos e vírgula: a) 5 inteiros e 248 milésimos. b) 3 unidades e 218 milésimos.

c) 7 inteiros e 28 milésimos. d) 8 unidades e 29 milésimos.

103. Todas são verdadeiras.

103. Decida se existe alguma afirmação falsa dentre as seguintes:

a) Dividir um inteiro em 100 partes iguais e separar 10 delas é equivalente a dividir o inteiro em 10 partes iguais e separar uma.

104. Todas são verdadeiras.

b) Dez centésimos são equivalentes a um décimo. c) 0,10 são equivalentes a 0,1. d)

1 10 e 10 100

são equivalentes.

104. Verdadeiro ou falso:

105. Não altera.

a) 1,3 = 1,30

b) 2,50 = 2,5

c) 3,4 = 3,40 = 3,400

105. Discuta com seus colegas: acrescentar ou retirar zeros à direita de um número decimal altera ou não o seu valor?

Son Salvador

Observação importante: Agora que já entendeu como escrever e ler números decimais, você pode usar um modo mais simples de ler, como nos exemplos a seguir:

Explore a leitura de: a) 0,135; b) 0,207; c) 0,044; d) 0,009. Explore, também, a escrita em algarismos de: a) Duzentos e sete milésimos; b) Dezenove milésimos; c) Sete milésimos.

4,7 (quatro vírgula sete)

5,32 (cinco vírgula trinta e dois)

0,135 (zero vírgula cento e trinta e cinco)

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Comente: Muitas vezes, você já ouviu alguém ler números como 7,5 e 4,5 assim: sete e meio, quatro e meio. O que justifica esse modo de ler? Caso os alunos tenham dificuldade em responder, sugira que observem, por exemplo, que 1,5 equivale a 1 + 0,5 e proponha que representem 0,5 com um desenho ou como fração para que concluam que representa metade de uma grandeza.

106. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: Número dado 3,257

106. a) Duas ordens decimais: dos décimos e dos centésimos; b) Três ordens decimais: dos décimos, dos centésimos e dos milésimos.

Quantidade de ordens decimais Três ordens decimais: dos décimos, dos centésimos e dos milésimos Duas ordens decimais:

12,25

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 106 (linhas 1 a 3).

dos décimos e dos centésimos

0,94

a

5,986

b

107. Respostas variadas. Explore o exercício. Por exemplo, peça aos alunos que completem: Em 7,235, o algarimo dos centésimos é… Em 7,235, o algarimo dos milésimos é… etc. Recomende ou explore a leitura de: “A invenção dos números” (p. 7 a 36) Oscar Guelli Coleção Contando a história da Matemática Editora Ática. Explore as atividades a seguir: Como se lê: 173/100? Por que a fração 173/100 é maior que a unidade? A fração 173/100 equivale à soma de duas outras de denominador 100, uma delas representando 1 unidade. Quais são elas? Do mesmo modo, 118/100 equivale a 100/100 + 18/100. Você concorda com a igualdade 118/110 = 1,18? Justifique. Qual a parcela que completa a igualdade a seguir: 324, 56 = 3x100 + 2x10 + 4x1 + 5x1/10 + …. Qual a parcela que completa a igualdade a seguir: 320, 89 = 3x100 + 2x10 + 0x1 + .… + 9x1/100. Qual a parcela que completa a igualdade a seguir: 0,56 = 5x1/10 + …. A fração 49/100 é maior ou menor que a unidade? Como representá-la usando números decimais? Qual o número decimal que corresponde a 7 dezenas, 4 unidades, 3 décimos e 8 milésimos? Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

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107. Escreva um número decimal que tenha:

a) Três ordens decimais. b) Duas ordens decimais. c) O algarismo 7 na ordem dos décimos e o algarismo 3 na ordem dos centésimos.

Aprendendo em casa 108. Escreva, usando apenas algarismos e vírgula: a) 4 unidades e 3 décimos. b) 5 décimos. c) 32 unidades e 13 centésimos. d) 5 inteiros e 6 décimos. e) 9 inteiros e 19 centésimos. f ) 2 unidades e 8 centésimos. g) 75 inteiros e 9 centésimos. h) 18 centésimos

108. a) 4,3; b) 0,5; c) 32,13; d) 5,6; e) 9,19; f) 2,08; g) 75,09; h) 0,18

109. Escreva, no mínimo, duas maneiras diferentes de ler: a) 3,25 b) 2,137 c) 1,08

d) 0,18 e) 0,009

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110. Você viu que, para escrever os decimais, usamos um quadro como o seguinte: dezenas

unidades

décimos

centésimos

90,27

9

0

2

7

23,09

2

3

0

9

0,42

0

0

4

2

Do mesmo modo, para representar as frações do metro, usamos um quadro parecido: metros (m)

decímetros (dm)

centímetros (cm)

milímetros (mm)

2,353m

2

3

5

3

9,274m

9

2

7

4

3,096m

3

0

9

6

0,424m

0

4

2

4

Observe o quadro e dê as abreviaturas que representam:

111.

a) O decímetro.

Escreva como se lê:

a) 17 m b) 53 dm

b) O centímetro.

c) O milímetro.

c) 48 cm d) 123 mm

112. Observe a tabela e escreva, em seu caderno, o que deve substituir cada letra:

Medidas

Modos de ler

3,5 m

Três metros e 5 decímetros. Três vírgula cinco metros.

2,45 m

Dois metros e quarenta e cinco centímetros. Dois vírgula quarenta e cinco metros.

5,782 m

Cinco metros, setecentos e oitenta e dois milímetros. Cinco vírgula setecentos e oitenta e dois metros.

4,8 m

a

7,21 m

b

2,742 m

c

0,035 m

Trinta e cinco milímetros. Zero vírgula zero trinta e cinco metros.

0,007 m

d

109. a) 3 inteiros e 25 centésimos, ou 3 unidades e 25 centésimos, ou 3 vírgula 25; b) 2 inteiros e 137 centésimos, ou 2 unidades e 137 centésimos; c) 1 inteiro e 8 centésimos, ou 1 unidade e 8 centésimos, ou 1 vírgula 08; d) 18 centésimos, ou zero vírgula 18 (aqui somente duas maneiras); e) 9 milésimos, ou zero vírgula zero zero nove (idem).

Utilize réguas, fitas métricas, trenas ou outros instrumentos de medida ao explorar os exercícios de 110 a 120, visando a estabelecer a correlação entre as medidas e os decimais. Enfatize, também, a escrita de números decimais, como uma extensão da escrita dos números naturais, utilizando a representação do Q. V. L. (Quadro de Valor de Lugar). 110. a) dm; b) cm; c) mm. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os dois quadros em destaque do exercício 110 e as linhas de 1 a 4 do quadro do exercício 112. 111. a) 17 m = 17 metros; b) 53 dm = 53 decímetros; c) 48 cm = 48 centímetros; d) 123 mm = 123 milímetros. 112. a) Quatro metros e oito decímetros ou quatro vírgula oito metros. b) Sete metros e vinte e um centímetros ou sete vírgula 21 metros. c) 2 metros e 742 milímetros ou 2 vírgula 742 metros. d) 7 milímetros ou zero vírgula zero zero sete metros.

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113. Responda:

a) Quantos decímetros existem em 2,3 m?

113. a) 23 decímetros; b) 45 centímetros; c) 47 milímetros.

b) Quantos centímetros existem em 4,5 dm? c) Quantos milímetros existem em 4,7 cm?

114. Carla 114. Os dois estão certos. Como cada centímetro equivale a 10 milímetros, 7 centímetros equivalem a 70 milímetros e 0,5 centímetro equivale a 5 milímetros, temos: 7,5 cm = 7 cm + 0,5 cm = 70 mm + 5 mm = 75 mm.

é desenhista. Ela mediu o segmento AB da figura e disse: “O segmento AB mede 75 milímetros”. Mas Petrônio, que também é desenhista, disse que o segmento AB mede 7,5 centímetros. O que você acha disso: os dois estão certos? Justifique sua resposta.

115. Observe uma régua de desenhista. Ela se parece com a que se vê no desenho a seguir. Dê exemplos de duas situações diferentes, nas quais a régua é usada. 115. A régua é normalmente usada em duas situações diferentes: 1a) Para medir segmentos, 2a) Para desenhar segmentos com medidas dadas.

116. Observe novamente o desenho de uma régua no exercício 115. Considerando as setas da esquerda para a direita, a distância entre a primeira e a terceira é de 1,5 cm ou 15 mm. Agora, escreva as distâncias (em cm e em mm) da primeira seta da esquerda até cada uma das setas indicadas: 116. a) Segunda seta: 1 cm = 10 mm; b) Quarta seta: 3 cm = 30 mm; c) Quinta seta: 4,1 cm = 41 mm; d) Sexta seta: 4,8 cm = 48 mm.

a) Segunda seta. b) Quarta seta. c) Quinta seta. d) Sexta seta.

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Medidas de comprimento e os números decimais explorando o que você já sabe

• • • • • •

Com os instrumentos acima, que tipo de medidas fazemos? Qual dos profissionais a seguir não usa esses instrumentos em seu dia a dia: carpinteiro, pedreiro, lojista, desenhista ou dentista? Qual desses profissionais usa, mais constantemente, o metro de madeira? O carpinteiro usa, mais constantemente, qual desses instrumentos? A trena é mais usada por qual desses profissionais? O desenhista usa, mais constantemente, qual desses instrumentos?

Aprendendo em sala de aula Para medir objetos que têm menos de um metro, você usa frações do metro. Como o metro é subdividido em 10, 100 ou 1 000 partes iguais, você pode escolher as subdivisões mais adequadas para cada tamanho de objeto a ser medido. Na figura a seguir, estão destacadas duas dessas frações do metro: A distância entre as duas paralelas indicadas pela seta equivale a 1 milímetro (a milésima parte do metro)

A distância entre as duas paralelas indicadas pela seta equivale a 1 centímetro (a centésima parte do metro)

Além dessas frações, existe ainda o decímetro, que é a décima parte do metro.

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ATIVIDADE EXTRA A seu critério, explore mais atividades com decimais como sugerimos: Representar decimais usando quadriculados de 100 quadradinhos. Ex.: Colorindo 5 dos 100 quadradinhos, estaremos representando 5/100 ou, na notação decimal, 0,05. Colorindo 32 quadradinhos, estaremos representando 32/100, ou, na notação decimal, 0,32. Representar, também, decimais maiores que l unidade. Associar as escritas de decimais com as escritas de valores em reais e centavos. Associar as escritas de decimais com as escritas de comprimento em metros, decímetros e centímetros. Calcular somas ou diferenças de números decimais comparando com soma ou diferença de valores monetários. Explorar outros modos de ler medidas de comprimento, como, por exemplo: a) 3,46 m (346 centímetros). b) 0,039 m (trinta e nove milímetros). A T I V I D A D E S ORAIS • Medidas de comprimento. • Dentista. • Carpinteiro. • O metro articulado. • O pedreiro. • A régua graduada. ATIVIDADE EXTRA A seu critério, reveja ou explore as atividades que julgar mais pertinentes no momento: Escrever, ler ou interpretar medidas de comprimento sob forma de decimais: o metro, o decímetro, o centímetro e o milímetro. Desenhar ou medir segmentos usando réguas graduadas. Fazer estimativas de comprimentos de objetos em centímetros ou milímetros. Completar sequências de figuras ou números. Utilize réguas, fitas métricas, trenas ou outros instrumentos de medida ao explorar os exercícios 117 a 120, visando a estabelecer a correlação entre as medidas e os decimais. Enfatize, também, a escrita de números decimais como uma extensão da escrita dos números naturais, utilizando a representação do Q. V. L. (Quadro de Valor de Lugar).

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117. Desenhos dos alunos. 118. a) 45 mm; b) 73 mm; c) 63 mm.

AB = 4,5 cm, CD = 7,3 cm, EF = 6,3 cm.

119. Ponto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

117. Use uma régua graduada e desenhe segmentos cujas medidas são:

distância distância em cm em mm 3 30 10 100 1,1 11 6,5 65 2,5 25 2 20 3,3 33 4,3 43 3,4 34 8,5 85 0,2 2 7 70

118. Escreva quanto medem, em milímetros, os segmentos do exercício 117. 119. Observe a régua, copie a tabela em seu caderno e dê as distâncias do ZERO a cada marca da régua indicada pelos números à esquerda: 2

Ponto 10

121. Considere como unidade de medida de comprimento cada lado dos quadradinhos menores. Assim, esses quadradinhos serão identificados como quadrados de lado l. Os que têm lados de medida 2, identificados como quadrados de lado 2, etc. Assim, temos: De lado (1), 16 quadrados; de lado (2), 9 quadrados; de lado (3), 4 quadrados e, de lado (4), 1 quadrado. Logo, podemos contar 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados. Explore os totais de quadrados de lado 1, 2, 3 e 4 (16, 9, 4 e 1), relacionando-os com os quadrados de 4, 3, 2 e 1. Explore o quadriculado de 5 x 5 e faça observar a regularidade dos totais: (25, 16, 9, 4, 1). Peça que, sem fazer desenhos, façam estimativas dos totais de quadrados para figuras 6 x 6, 7 x 7 etc. Para um quadriculado m x m, irão observar a existência de 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ... + m2 quadrados.

1 3

12 4

120. a) V; b)V; c) V; d) F. O exercício 121 explora a criação de estratégias de contagem e a observação de regularidades. Explore ou proponha aos alunos a criação de outros exercícios semelhantes. Sugestões: contar triângulos equiláteros em malhas triangulares, contar cubos em blocos formados de cubos iguais.

distância em mm

2

Visite ou recomende o site: http://ejad.best.vwh.net/java/ patterns/patterns_j.shtml

distância em cm

4 5 6 7

8 7

9

8

1

9

5

10

6

11 3

12

11

120. Verdadeiro ou falso:

a) 4,5 m = 4,50 m = 4,500 m b) 3,050 m = 3,05 m

c) 6,700 m = 6,7 m d) 4,09 m = 4,9 m

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais 121. Contando quadrados Quantos quadrados você pode contar, na figura ao lado?

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122. Observe a sequência de figuras formadas de quadrados. Para formar a primeira figura, foram usados 4 lados de quadrados. Para formar a segunda figura, foram usados 7 lados de quadrados. Quantos lados desses quadrados foram utilizados para formar:

a) A terceira figura?

b) A quarta figura?

c) A quinta figura?

123. Resolvendo o exercício 122, você observou que:

Para formar a segunda figura, foram usados 4 + 1 x 3 = 7 lados. Para formar a terceira figura, foram usados 4 + 2 x 3 = 10 lados. Para formar a quarta figura, foram usados 4 + 3 x 3 = 13 lados. Agora, escreva quantos lados são necessários para formar:

a) A sexta figura; b) A sétima figura; c) A figura que ocupa a centésima posição.

124. Um quadrado pode ser decomposto em exatamente 16 quadradinhos? 125. Um retângulo pode ser decomposto em exatamente 15 quadradinhos? 126. Você já sabe que as frações

2 4 10 são equivalentes porque repre, , 3 6 15 sentam a mesma parte de um inteiro. Sabe, também, que:

1) Multiplicando o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número (diferente de zero), obtém-se outra fração equivalente.

2) Dividindo o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, obtém-se outra fração equivalente.

Usando a propriedade (1) anterior, é possível utilizar um processo chamado “simplificação de frações” que consiste em, dada uma fração, obter outras a ela equivalentes, de termos menores. Por exemplo, dividindo os termos da fração

10 por 5, obteremos 15

2 , a ela equivalente. Dizemos então que, simplificando a fração 3 10 , obtivemos a fração 2 . 15 3

a fração

Resolva:

a) Simplifique a fração 28 , dividindo seus dois termos por um mesmo número.

35 b) Simplifique a fração 40 , dividindo seus dois termos por um mesmo número. 56

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122. a) 10 lados; b) 13 lados; c) 16 lados. Professor: lembre, através de exercícios, que nas expressões sem sinais de associação, as multiplicações e divisões devem ser feitas antes das adições e subtrações. Deste modo, evitará que nos cálculos do exercício 123 os alunos cometam erros como, por exemplo, 4 + 1 x 3 = 5 x 3 = 15, ao invés do cálculo correto: 4 + 1 x 3 = 4 + 3 = 7. 123. a) Seis retângulos 4 + 5 x 3 = 4 + 15 = 19; b) Sete retângulos 4 + 6 x 3 = 4 + 18 = 22; c) 100 retângulos 4 + 99 x 3 = 4 + 297 = 301. Novamente aqui, faça notar a regularidade: total de lados = 4 + (número de retângulos – 1) multiplicado por 3. 124. Sim (desenhe um quadrado dividido em 4 colunas e 4 linhas formando 16 quadrados). 125. Sim (desenhe um retângulo de 3 linhas e 5 colunas, por exemplo), formando 15 quadrados. Um jogo entre duas equipes é possível de se estabelecer relacionado com decimais: Use duas fichas nas quais estão escritas, em algarismos, números decimais e mostre cada uma delas para um componente de cada equipe. Ele deve dizer como se lê o número. Os componentes vão se alternando. Em outro momento, mostre fichas com os números escritos por extenso para que escrevam no quadro, usando algarismos. Outras opções: mostrar as frações decimais para que representem por números decimais ou vice-versa. Outro jogo: cada equipe recebe uma série de cartões com números decimais escritos e deve escrevê-los no quadro, em ordem crescente ou decrescente. A escrita desses números deve variar tanto na quantidade de algarismos quanto na troca de ordem dos mesmos, ou na inserção de zeros entre eles. Por exemplo: 13,043, 13,0043, 13,43, 13,34, 13,403. 126. a) 4/5; b) 5/7.

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Explorar ilustrações de jornais, revistas, anúncios com as formas das principais figuras geométricas planas, para serem identificadas pelos alunos (por exemplo, figuras de diversos móveis).Explorar, também, as faces de diversas embalagens para identificação de figuras, medidas de dimensões, medidas de ângulos, contagem do número de faces, arestas e vértices. Professor(a): Ao elaborar questões de verificação da aprendizagem, um bom recurso é utilizar problemas semelhantes aos explorados no capítulo trocando algum dado pela incógnita e vice-versa (e modificando os respectivos valores). Exemplificando: Situação-problema explorada: Luciana quer comprar um celular, mas possui apenas 3/4 do preço: R$ 321,00. Qual o preço do celular? . Situação-problema de verificação: Luciana quer comprar um celular que custa R$ 640,00, mas possui apenas 3/4 desse valor. Quanto Luciana precisa ter a mais para comprar o celular? Observe que existem, pelo menos, duas maneiras de resolver este problema. Jogo relacionado com figuras: pequenos cartazes são mostrados aos componentes de duas equipes que vão se alternando e escrevendo no quadro: nome do polígono de acordo com o número de lados, nome do triângulo observando seus lados ou seus ângulos, valor do perímetro de figuras dadas, identificação usando marcas análogas em lados de medidas iguais, ângulos de medidas iguais, lados paralelos (a figura tem seu nome escrito no cartaz). Revisão - Ao término do estudo do capítulo, reveja com os alunos, a seu critério, o significado de alguns dos termos: polígono, triângulo equilátero, triângulo isósceles, triângulo escaleno, triângulo acutângulo, triângulo obtusângulo, triângulo retângulo, hipotenusa, cateto, perímetro, polígono regular, ábaco, algarismos, fração, numerador, denominador, frações equivalentes, frações decimais, ordens decimais, metro, decímetro, centímetro, milímetro, simplificação de frações.

?

Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

Reveja os exercícios

Como classificar polígonos pelo número de lados.

1, 2, 3, 8.

Como calcular o perímetro de figuras.

6, 7, 9, 10, 35, 39, 40, 41.

Como classificar os triângulos, observando as medidas de seus lados.

4.

Como classificar os triângulos, observando as medidas de seus ângulos.

11, 12.

Como identificar hipotenusas e catetos.

12.

Como representar ângulos de medidas iguais ou lados de medidas iguais, usando marcas nas figuras, ou representar paralelas usando marcas nas figuras.

4, 5, 14, 24 a 30.

Como classificar os quadriláteros ou paralelogramos de acordo com propriedades de lados ou ângulos.

14 a 30.

Como identificar polígonos regulares.

31 a 41.

Como escrever e ler números naturais, usando as regras de numeração decimal.

47 a 58, 91, 92.

Como resolver problemas sobre o real e os centavos.

43 a 46.

Como representar partes de uma quantidade usando frações e ler as frações correspondentes, inclusive na notação de números mistos.

59 a 62, 66, 72 a 76, 79, 83 a 85, 90.

Como resolver problemas com frações, calcu lando frações de quantidades, representando as frações com desenhos.

63, 64, 65, 68, 69, 70 a 75, 71, 77, 78, 86, 89.

Como identificar numerador e denominador.

67, 68.

Como identificar ou calcular frações equivalentes a outras frações e a números naturais.

80, 81, 82, 87, 88.

Como interpretar o significado de números decimais como partes de uma grandeza.

93 a 96, 103.

Como ler ou escrever números decimais, usando o sistema de numeração decimal.

97 a 102, 104 a 109.

Como escrever, ler ou interpretar medidas de comprimento sob forma de decimais: o metro, o decímetro, o centímetro e o milímetro.

110 a 120.

Como contar figuras contidas em outras.

121.

Como completar sequências de figuras ou números.

122, 123.

Como fazer estimativas de quantos quadrados necessitase para formar outros quadrados ou retângulos.

124, 125.

Como simplificar frações.

126.

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CapItulo 3 s o r e m a s i i Ăş a d r N u t a a n a i d o e

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Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página. Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, reg ras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações af irmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como algumas regularidades relacionadas com sequencias numéricas.

Você já usou os números naturais para contar. Neste capítulo, você vai aprender como: • • • • • • • • • • •

Ler, escrever e usar os números ordinais. Calcular somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências de números naturais. Identificar os termos da adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação por seus nomes e estabelecer relações de comparação entre os mesmos. Resolver problemas relacionados às operações com números naturais e diversas situações do dia a dia. Usar as relações entre a adição e a subtração, bem como entre a multiplicação e a divisão, para resolver problemas. Interpretar a multiplicação como adição de parcelas iguais, bem como a potenciação como multiplicação de diversos fatores iguais. Interpretar o significado dos parênteses como sinais de associação nas expressões numéricas. Usar propriedades de operações para facilitar o cálculo mental. Fazer arredondamentos e estimativas de somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de números naturais. Calcular somas, diferenças, produtos, quocientes, potências, usando calculadora ou o cálculo mental. Enumerar todos os números naturais que satisfaçam uma desigualdade dada. 133 137

140

148 150

160

Júlia Bianchi, 2006

130

139

2

2

2

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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Números naturais, igualdade e ordem Explorando o que você já sabe 133 130

139 137

148

140

160

150

Observe alguns números naturais representados na reta numerada, a partir do número 130. Responda:

• •

Qual é o menor dos números naturais representados nessa semirreta?

Lendo os números da figura acima, da esquerda para a direita, eles estão em ordem crescente ou em ordem decrescente?

• • • • •

O número 133 está mais próximo de 130 ou de 140?

Começando do 150, quantos números naturais devem ser representados até se chegar ao número 160? Quais são eles?

De qual centena 148 está mais próximo? Quais são todos os números naturais entre 130 e 140? Quais são todos os números naturais desde o número 130 até o número 140? Como se lê:

a) 3 < 9?

b) 21 > 18?

c) 13 = 13?

Aprendendo em sala de aula 1.

Celso escreveu os números 8, 45, 23, 77 e 42, em ordem crescente. Júlia escreveu os mesmos números, em ordem decrescente. Escreva em seu caderno:

a) O que Celso escreveu. b) O que Júlia escreveu.

2. Responda:

a) Lídia disse que tem menos de 5 reais. Quais são os valores em reais, sem considerar os centavos, que representam quanto ela pode ter?

b) Quais são os números naturais menores que cinco? c) Se x representa números naturais e se x < 5, quais são os números que x representa? d) Discuta com seus colegas a seguinte afirmação: os itens b) e c), anteriores, são duas maneiras diferentes de perguntar sobre um mesmo fato?

e) Qual dos itens b) ou c), anteriores, usa linguagem corrente e qual usa símbolos

Este capítulo enfatiza o estudo dos números naturais: as operações e seus algoritmos; o cálculo mental e as estimativas; o significado dos sinais de associação; o uso das propriedades das operações no cálculo mental; o uso de tabelas; problemas contextualizados envolvendo números naturais; casos particulares de multiplicação ou divisão por potências de dez; as relações da adição com a multiplicação e com a subtração; a relação da multiplicação com a divisão; a relação do cálculo de possibilidades com a multiplicação e a potenciação; a descoberta de propriedades da potenciação através da observação de regularidades; o uso consciente da calculadora (fazendo antes uma avaliação do possível resultado); a identificação de números naturais que satisfazem desigualdades ou igualdades dadas; a escrita e leitura dos números ordinais. ATIVIDADES ORAIS • 130. • 11, (150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159,160). • Ordem crescente. • 130. • 150. • 131,132, ..., 139. • 130,131, ..., 140. • a) 3 menor que 9. b) 21 maior que 18. c) 13 igual a 13. 1. a) 8, 23, 42, 45, 77; b) 77, 45, 42, 23, 8. 2. a) 1, 2, 3 ou 4; b) 0, 1, 2, 3, 4; c) 0, 1, 2, 3, 4; d) São; e) O item (b) usa linguagem corrente e o (c), símbolos matemáticos. Explore a reta numerada fazendo observar que: As distâncias entre os pares de pontos consecutivos são iguais. As distâncias entre pontos correspondentes a dois números naturais assinalados na figura correspondem à diferença entre o maior e o menor dos dois, nesta ordem. Ex.: a distância entre 137 e 140 é igual a 140 – 137 = 3. É possível associar distâncias com a adição. Exemplo: as distâncias entre 130 e 133 (3) e entre 133 e 137 (4), somadas, correspondem à distância entre 130 e 137 (7).

matemáticos?

91

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3. a) 4, 5, 6, 7, 8; b) 4, 5, 6, 7, 8; c) 4, 5, 6, 7, 8; d) Sim; e) O item (b) usa linguagem corrente e o (c), símbolos matemáticos.

3.

5. a) Coelho; b) 4a; c) 3a. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 5. 6. a) Trigésimo quinto; b) Quinquagésimo segundo; c) Octogésimo sétimo; d) Nonagésimo primeiro; e) Quadragésimo sexto; f) Septuagésimo quarto; g) Centésimo vigésimo oitavo; h) Centésimo sexagésimo primeiro; i) Centésimo quadragésimo quinto; j) Centésimo septuagésimo nono; k) Centésimo nono; l) Centésimo octogésimo terceiro.

a) Ângela disse que tem mais de três reais e menos de nove reais. Quais são os valores em reais, sem considerar os centavos, que representam quanto Ângela pode ter?

b) Quais são os números naturais entre três e nove? c) Se x representa números naturais e se 3 < x < 9, quais são os números que x representa?

d) Discuta com seus colegas: os itens b) e c), anteriores, são duas maneiras diferentes de perguntar sobre um mesmo fato?

e) Qual dos itens, b) ou c), usa linguagem corrente e qual usa símbolos matemáticos?

4.

4. a) Sim; b) Não. Peça aos alunos que expliquem por que responderam não, no exercício 4(b). (Possíveis respostas: não existe o maior dos números naturais; outra: por maior que seja um número natural, quando somo 1 a ele, obtenho outro maior que ele.)

Responda:

5.

Discuta com seus colegas:

a) É possível escrever todos os números naturais menores que 2 000? b) É possível escrever todos os números naturais maiores que 2 000? Carolina colou 10 figurinhas de animais em seu álbum. Veja a ordem na qual ela colou as figurinhas:

10ª

Observe os exemplos na tabela e resolva os exercícios 6 e 7: 10º

décimo

50º

quinquagésimo

80º

octogésimo

20º

vigésimo

60º

sexagésimo

90º

nonagésimo

30º

trigésimo

70º

septuagésimo

100º

centésimo

40º

quadragésimo

47º = quadragésimo sétimo;

56º = quinquagésimo sexto;

183º = centésimo octogésimo terceiro;

134º = centésimo trigésimo quarto.

a) 35o

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a) Qual é o nome do animal da figurinha colada em oitavo lugar? b) O sapo corresponde a qual posição: 4a ou 9a? c) E o cachorro?

6. Escreva como se lê:

92

Júlia Bianchi, 2006

Visite ou recomende os sites http://www.im.ufrj.br/dmm/ projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/ cap112.htm h t t p : / / w w w. i g m . m a t . br/aplicativos/index. php?option=com_content& view=article&id=121:natur ais1&catid=46:fundamental

b) 52o c) 87o d) 91o

e) 46o

f) 74o g) 128o h) 161o

i) 145o j) 179o k) 109o l) 183o

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7.

Escreva em numerais ordinais:

a) Sexagésimo quarto.

b) Trigésimo primeiro.

c) Septuagésimo oitavo. d) Nonagésimo quinto. e) Vigésimo sétimo.

f) Quinquagésimo terceiro.

7. a) 64o; b) 31o; c) 78o; d) 95o; e) 27o; f) 53o;

g) Quadragésimo segundo.

h) Centésimo octogésimo sexto.

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

i) Centésimo vigésimo nono.

j) Centésimo septuagésimo nono. k) Centésimo quadragésimo.

8. 201, 180, 143, 134, 102, 54, 45.

l ) Centésimo sétimo.

9. 5, 9, 17, 43, 59, 109, 143, 306, 312.

Aprendendo em casa

10. a) Quinquagésimo quinto; b) Septuagésimo terceiro; c) Nonagésimo sétimo; d) Quadragésimo terceiro; e) Octogésimo nono; f) Quadragésimo sétimo; g) Centésimo trigésimo oitavo; h) Centésimo primeiro; i) Centésimo décimo quinto; j) Centésimo trigésimo nono; k) Centésimo nono; l) Centésimo octogésimo terceiro.

8. Ordene decrescentemente: 143, 134, 201, 102, 45, 54, 180. 9.

Ordene crescentemente: 43, 17, 5, 59, 312, 109, 306, 9, 143.

10.

Escreva como se lê:

11.

a) 55o b) 73o c) 97o

d) 43o e) 89o f) 47o

Escreva em numerais ordinais:

a) Sexagésimo nono. b) Trigésimo quinto. c) Septuagésimo segundo.

g) 138o h) 101o i) 115o

j) 139o k) 109o l ) 183o

11. a) 69o; d) 94o; e) 136o; b) 35o; o c) 72 ; f) 189o. Comente com os alunos a importância de saber ler e escrever os numerais ordinais, que são utilizados em diversas situações do dia a dia, como, por exemplo, nas atas de reuniões de diversos órgãos. Dê exemplos de outras situações em que se utilizam os números ordinais.

d) Nonagésimo quarto. e) Centésimo trigésimo sexto. f) Centésimo octogésimo nono.

Somando ou subtraindo Explorando o que você já sabe Você vê

Você pensa

Júlia Bianchi, 2006

dois mais três são cinco 3

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Você representa 2 +3=5 parcelas

três mais cinco são oito

soma

3 +5=8

Em cada problema de adição a seguir, escreva as parcelas e a soma:

Giulia comprou 3 kg de açúcar cristal e 5 kg de açúcar refinado. Quantos quilogramas de açúcar Giulia comprou?

No domingo, um atleta correu 5 km pela manhã e 4 km pela tarde. Quantos quilômetros ele percorreu nesse domingo?

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g) 42o; h) 186o; i) 129o; j) 179o; k) 140o; l) 107o.

É recomendável explorar alguns exercícios de adição sem reserva (ex.: 3 251 + 1 131, 3 150 + 2 045) e, depois, alguns com reserva em grau de dificuldade crescente (reserva apenas nas unidades, dezenas ou centenas, depois em duas dessas ordens etc.) Ex.: 436 + 238, 243 + 372, 534 + 641, 353 + 917, 498 + 334. Também, para as subtrações, abordar gradativamente, pela ordem: sem reserva, com reserva nas unidades etc. Essa revisão gradativa do uso dos algoritmos das operações será abordada no texto. Caberá ao professor decidir, após resolver problemas relacionados com cada uma das etapas dos algoritmos, se deve insistir com mais aplicações ou se pode passar para a etapa seguinte. ATIVIDADES ORAIS • 3 e 5; 8. • 5 e 4; 9.

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Sete menos quatro são três 11

0

Você representa

7

minuendo

4

Onze menos quatro são sete

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

11

4

=

subtraendo

4

=

3 diferença

7

Júlia Bianchi, 2006

Você pensa

Você vê

Em cada problema de subtração a seguir, dê o minuendo, o subtraendo e a diferença:

• Em um curral, existiam 47 vacas. O fazendeiro vendeu 12 delas. Quantas vacas

* 47; 12; 35. * 99; 77; 22.

Comece, aqui, o estudo da adição, inicialmente sem reserva. Ele visa a propiciar que se explore o algoritmo da adição, utilizando o Q. V. L.. Observe a necessidade ou não de enfatizar esta etapa da adição. Caso seja necessário repetir o Q. V. L. no quadro, use o artifício de representar unidades por quadradinhos, dezenas por barras e centenas por quadrados sem quadriculados.

existem agora, após a venda? • Fábio pesava 99 kg e depois de fazer um regime passou a pesar 77 kg. Quantos quilogramas Fábio emagreceu ao terminar o regime?

Aprendendo em sala de aula Veja uma adição e uma subtração que Juliana fez, na aula passada, no quadro da sala de aula: 344 + 423 767

12. 12. a) Parcelas: 344 e 423, soma 767; b) Subtração: minuendo 768, subtraendo 435, diferença 333.

Agora, responda:

a) Na adição, quais são as parcelas e qual é a soma? b) Na subtração, qual é o minuendo? Qual é o subtraendo? Qual é a diferença? Veja como Juliana fez para somar e, depois, para subtrair:

Son Salvador

Sempre que possível, os alunos devem utilizar desenhos que representem a situação descrita no problema. Em particular, a própria reta numerada, sem a preocupação de se guardarem as devidas escalas, colocando simplesmente os números na ordem crescente ou decrescente, representando somas com “andar para a direita” e diferenças com “andar para a esquerda”.

768 _ 435 333

Para calcular 344 + 423: Primeiro, somou as unidades entre si: 4 + 3 = 7. Depois, somou as dezenas entre si: 4 + 2 = 6. Finalmente, somou as centenas: 3 + 4 = 7. Para calcular 768 – 435: Primeiro, subtraiu as unidades entre si: 8 – 5 = 3. Depois, as dezenas entre si: 6 – 3 = 3. Finalmente, as centenas entre si: 7 – 4 = 3.

94

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13.

Os problemas a seguir são resolvidos fazendo-se contas como as anteriores. Resolva cada um deles:

a) Em uma flora há 413 margaridas, 262 rosas e 104 cravos. Quantas flores há ao todo? b) Floriano tinha 738 reais. Quanto tem agora se gastou 312 reais?

c) Em uma estante havia 412 livros. A bibliotecária colocou mais 275 livros e os leitores retiraram 341. Quantos livros há agora na estante?

d) Cândida tinha 693 reais. Gastou 422 reais e ganhou 308 reais. Quanto Cândida tem agora?

Aprendendo em casa 14.

Resolva os problemas a seguir:

a) Em uma caixa havia 217 botões. Foram colocados mais 562 e retirados 444. Quantos botões há na caixa?

b) Um rolo de barbante mede 488 metros. Foram retirados 212 metros e depois mais 133 metros. Quantos metros de barbante ainda restam?

c) Haroldo recebeu certa quantia e gastou 412 reais em uma loja e 232 reais em um mercado, ficando ainda com 114 reais. Quantos reais Haroldo recebeu?

d) Se Anselmo ganhar 407 reais, fica com 629 reais. Quanto ele tem? e) Ieda possuía 468 reais. Quanto ela gastou, se agora tem 113 reais?

f) Gilberto tem 438 reais e Hugo tem 117 reais a menos. Quanto têm juntos?

g) Celina tem 402 figurinhas e Dália tem 103 figurinhas a mais. Quantas figurinhas têm juntas?

Adição e subtração de números naturais Explorando o que você já sabe • Quais são as duas operações que você vê abaixo? 345 + 234 579

897 – 521 376

• Em que ordem você soma os algarismos das parcelas? • Em que ordem você subtrai os algarismos do minuendo e do subtraendo?

É muito importante que os alunos verbalizem o raciocínio desenvolvido e identifiquem sempre, nesses e em futuros problemas, as “contas” envolvidas (se adição, se subtração etc.). 13. a) 779 flores; b) 426 reais; c) 346 livros; d) 579 reais. Observações sobre alguns significados da adição e da subtração: No problema 13 (a), explora-se a ideia de “reunir” associada à adição. No problema 13 (b), explora-se a ideia de transformação associada à subtração (ou à adição, se no problema se dissesse que Floriano teria recebido 312 reais). No problema 13 (c), exploram-se as ideias de reunir (adição) e de “separar”, “retirar” associadas à subtração.

Peça aos alunos que expliquem como resolveram os exercícios 13 (c) e 13 (d). Faça as mesmas recomendações anteriores quanto ao uso de desenhos, para facilitar o raciocínio. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 14. a) 335 botões; b) 143 metros; c) 758 reais; d) 222 reais; e) 355 reais; f) 759 reais; g) 907 figuras.

ATIVIDADES ORAIS

• • •

Adição e subtração; 1º) Das unidades; 2º) Das dezenas; 3º) Das centenas. Idem.

95

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Aprendendo em sala de aula Observe a adição do quadro. Ela é diferente das que você fez até agora. Veja por quê:

1 384

Son Salvador

273

+

8+7=15

657

Ao somar os algarismos das dezenas, temos: Observe que serão abordadas as diversas propriedades das “operações” com números naturais, sem mencionar os nomes das mesmas. O objetivo é que os alunos descubram essas propriedades através de situações contextualizadas e as usem de maneira proveitosa, tanto na resolução de problemas, quanto no cálculo mental. Também serão enfatizados os arredondamentos e aproximações, conhecimentos de grande importância tanto para que os alunos façam estimativas, quanto, principalmente, para que se assegurem, ao utilizar calculadoras, de que os resultados obtidos satisfazem às estimativas feitas.

8 + 7 = 15 = 10 + 5 Observe que, somando 8 dezenas com 7 dezenas, obtivemos um total de 15 dezenas e, como cada dez dezenas equivalem a uma centena, separamos, das 15 dezenas, 10 delas e as transformamos em 1 centena, sobrando ainda 5 dezenas. Portanto, ao somar as centenas, devemos calcular: 1+3+2=6 obtendo, assim: 6 centenas, 5 dezenas e 7 unidades para a soma. Também, a subtração do quadro é diferente das que você já fez. Observe: 3 13

4 3 7 13 – 5 = 8 – 153 284

– 437 153 284

– (300 + 130 + 7) (100 + 50 + 3) 200 + 80 + 4

Não é possível subtrair, de 3 dezenas, 5 dezenas. Mas, como você sabe, cada centena equivale a 10 dezenas. Portanto, o que se fez foi retirar uma centena das quatro existentes no minuendo (437), transformando-a em 10 dezenas, obtendo assim um total de: 10 + 3 = 13 dezenas Assim, tornou-se possível calcular a nova diferença das dezenas: 13 – 5 = 8

96

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E, ao subtrair as centenas, bastou lembrar que o novo algarismo das centenas do subtraendo era 3. Então, basta fazer a subtração 3 – 1 = 2.

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15.

Copie as contas a seguir em seu caderno e resolva como no primeiro quadro da página anterior:

a) 284 + 473

b) 190 + 540

c) 283 + 683 d) 294 + 564

e) 173 + 474

f) 261 + 353

16. Copie as contas em seu caderno e resolva cada uma delas como no segundo quadro da página anterior:

a) 536 – 283

17.

b) 844 – 372

c) 727 – 533

Resolva cada um dos problemas a seguir. Você verá que, em cada um deles, vai precisar fazer contas como as dos quadros de adição ou subtração anteriores.

a) Em uma flora, há 435 margaridas e 318 cravos. Quantas flores há na flora?

b) Em uma granja, há 217 frangos, 125 galinhas e 318 patos. Quantas aves há na granja?

c) Leônidas tinha 443 reais. Gastou 125 reais e ganhou 218 reais. Quanto ele possui agora?

d) Em uma perfumaria havia 842 vidros de perfume. Ontem, foram vendidos 116 vidros e hoje, 154. Quantos vidros de perfume há agora na perfumaria?

e) Juliano tem 625 reais e Flávio tem 438 reais a menos. Quanto tem Flávio?

f) Um laboratório fabricou uma certa quantidade de vacinas e vendeu 247 para uma

farmácia e 188 para outra, ficando ainda com 196 vacinas. Quantas vacinas o laboratório vendeu? Quantas produziu?

g) Suzana tem 245 reais e Ana tem 178 reais a mais. Quantos reais elas têm juntas?

Aprendendo em casa 18.

Resolva os problemas:

a) Júlio comprou 357 folhas de papel ofício e 272 folhas de papel almaço. Qual é o total de folhas que Júlio comprou?

b) Em uma gaveta havia 318 botões. Foram retirados 133 e repostos 292. Quantos botões há agora na gaveta?

c) Uma papelaria vendeu 131 envelopes para um escritório e 118 para outro, ficando ainda com 127 envelopes. Quantos envelopes havia, inicialmente, na papelaria?

d) Em uma sapataria há 812 pares de sapatos em uma prateleira e 329 pares a menos em outra. Quantos pares de sapato há nesta outra prateleira?

e) Catarina tem 176 reais. Se ganhar 285 reais e gastar 274 reais, com quanto ficará? f) Felipe tem 378 reais e Augusto tem 253 reais a mais. Quanto tem Augusto? g) Vicente tem 435 reais e Felipe tem 186 reais a menos. Quanto os dois têm juntos?

15. a) 757; b) 730; c) 966; d) 858; e) 647; f) 614. 16. a) 536 – 283 = 253; b) 844 – 372 = 472; c) 727 – 533 = 194. Peça aos alunos que expliquem como resolveram os exercícios 15 (a) e 16 (a). Por questão de economia de espaço, muitas das respostas inseridas nas margens são breves. Entretanto, é necessário criar nos alunos o hábito de enunciar as respostas coerentes com as perguntas e o mais completas possível. 17. a) 753 flores; b) 660 aves; c) 536 reais; d) 572 vidros de perfume; e) 187 reais; f) 435, 631; g) 668 reais. Peça aos alunos que expliquem como resolveram o exercício 17 (c). Recomende a utilização de desenhos. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. Sugestão: Resolver problemas contextualizados em complemento aos que já foram explorados nesta seção, usando alguns dos significados da adição e da subtração já mencionados anteriormente (problemas 13 a, 13 b e 13 c). 18. a) 629 folhas; b) 477 botões; c) 376 envelopes; d) 483 pares; e) 187 reais; f) 631 reais; g) 684 reais.

97

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Cálculo mental e estimativas Explorando o que você já sabe Observe os números à direita e responda:

27

• Quais deles são dezenas exatas?

43

• Quais são centenas exatas?

50

• Que conta é mais fácil de fazer: 485 + 376 ou 500 + 400?

78

• Se você for somar 485 + 376 usando uma calculadora, a soma que obterá ficará próxima de qual centena: 700 ou 900? ATIVIDADES ORAIS • 50, 90, 180, 990. • Nenhum. • 500 + 400. • 900. • Vicente pensou que poderia calcular assim: (25 – 13) – 10 = 12 – 10 = 2. Ou assim: 25 – (13 – 10) = 25 – 3 = 22.

Professor(a): Nas atividades 31 e 32 e textos que os seguem, esclarecemos como calcular expressões com e sem sinais de associação. Mas, se julgar conveniente, esclareça também neste momento, que, por convenção, calcula-se 25 – 13 – 10 efetuando as operações na ordem em que os termos aparecem, isto é: 25 – 13 – 10 = 12-10=2.

• Vicente, ao tentar resolver a conta 25 – 13 – 10, ficou na dúvida entre dois resultados: 2 ou 22.

146 180 876

Como será que Vicente pensou para dizer isso?

990

Aprendendo em sala de aula Marina, o tapete custa 29 reais, a cortina 59 reais e o cobertor 9 reais. Será que nosso dinheiro dá para comprar?

Dá sim, Hortência, pois nós temos 110 reais e vamos gastar menos de 100 reais.

Veja, a seguir, como Marina fez para responder rapidamente à pergunta de Hortência:

Son Salvador

Se quiséssemos o resultado 22, deveríamos escrever usando parêntesis: 25 – (13 – 10) = 25-3 = 22. Utilize outras expressões para que fique claro o uso da convenção e o cálculo quando existem sinais de associação. Sugestão: 40 – 20 – 10 – 5 – 2; 40 – (20 – 10) – 5 – 2; 40 – 20 – (10 – 5) – 2; 40 – 20 – 10 – (5 – 2).

90

“Arredondou” 29 para 30, 59 para 60 e 9 para 10 e somou: 30 + 60 + 10 = 100 Os arredondamentos são muito importantes. Com eles, fazemos estimativas dos resultados das contas. Foi isso que Marina fez. Por isso, você vai fazer alguns arredondamentos e estimativas nos exercícios a seguir.

98

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19.

Observe a tabela a seguir e complete-a em seu caderno, com os arredondamentos pedidos: Números dados

37

92

77

43

58

64

28

32

87

Arredondamentos

40

90

80

a

b

c

d

e

f

20. Como 35 fica igual à “distância” de 30 ou de 40, vamos convencionar

que o arredondamento de 35 é 30. Agora, observe essas novas tabelas e complete o que se pede, em seu caderno: Números dados

45

376

242

789

633

821

188

430

Arredondamento

40

400

200

a

b

c

d

e

Números dados

2 020 3 500 4 767 8 237 6 231 9 045 5 678 9 099

Arredondamento

2 000 3 000 5 000

Son Salvador

Professor, fiz uma estimativa para a soma 489+ 312 assim: 500 + 300 = 800. A soma de 489 + 312 deve ser próxima de 800.

21.

f

g

h

i

j

Muito bem! Você está correto! Observe que 489+312 = 801 e essa soma é próxima de 800.

Arredonde as parcelas e faça estimativas para as somas a seguir:

a) 714 + 213

b) 695 + 363

c) 325 + 493

22. Agora, calcule as somas anteriores e verifique que elas são próximas das estimativas que você fez.

23. Arredonde o minuendo e o subtraendo e faça estimativas para as diferenças:

a) 592 – 163

b) 419 – 327

c) 834 – 322

24. Calcule as diferenças anteriores e verifique que elas são próximas das estimativas que você fez.

25. Antes de usar sua calculadora para calcular 383 + 290, Patrícia arre-

dondou mentalmente as parcelas e obteve 700 como estimativa para a soma. Ela pensou: (400 + 300 = 700). Depois, digitou os dois números e encontrou como soma 573. Sem fazer a conta, diga: Patrícia errou ao digitar as parcelas? Justifique sua resposta.

Comente com relação aos arredondamentos que eles estão obedecendo ao seguinte procedimento: a) o algarismo da ordem mais elevada é mantido se o algarismo da ordem à direita dele for menor que seis; os demais são transformados em zeros. Exemplos (nº arredondamento) (92; 90), (45, 40), (843; 800), (809; 800). b) acrescenta-se 1 unidade ao algarismo da ordem mais elevada se o algarismo imediatamente à direita dele for maior que cinco; os demais são transformados em zero. Exemplos (nº/arredondamento): (46, 50), (893; 900), (689; 700). Outros tipos de arredondamento serão comentados na margem da página 106. Nos exercícios de 19 a 25 e em diversos outros, são explorados arredondamentos e estimativas das diversas operações com números naturais visando, principalmente, a possibilitar um uso confiável da calculadora por parte dos alunos.

19. a) 40; b) 60; c) 60; d) 30; e) 30; f) 90.

20. a) 800; b) 600; c) 800; d) 200; e) 400; 21. a) 900; b) 1 100; c) 800. 23. a) 400; b) 100; c) 500.

f) 8 000; g) 6 000; h) 9 000; i) 6 000; j) 9 000. 22. a) 927; b) 1 058; c) 818. 24. a) 429; b) 92; c) 512.

25. Errou. Porque a diferença entre a estimativa feita para a soma (700) e o resultado encontrado (573) é maior que 100 (deve-se esperar um resultado que não fique “distante”da estimativa, uma quantidade maior que 100). Comente: Como se viu no exercício 25, arredondamentos são importantes porque, usando-os, podemos fazer estimativas de cálculos, o que permite utilizar calculadoras com segurança de que o resultado obtido é próximo do estimado.

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26. Invente problemas de adição para as situações a seguir: Os exercícios 26 e 27 exploram a criatividade dos alunos. 26. Respostas variáveis.

27. Respostas variáveis.

Júlia Bianchi, 2006

1ª situação

28. a) Continuarão iguais; b) Márcia terá 11 reais a mais; c) Paulo terá 3 reais a mais; d) Paulo terá 17 reais a mais. 29. a) Continuará a mesma inicial; b) Continuará a mesma inicial; c) Diminuirá de 5 reais; d) Aumentará de 5 reais. 30. a) Gabriel; b) Em todas; c) Deve ganhar mais de 10 reais, desde que Mauro continue com 55 reais.

Santos Dumont

Primeira prateleira: 32 livros

nasceu em 1873 e viveu 59 anos.

Segunda prateleira: 25 livros

Júlia Bianchi, 2006

2ª situação

3ª situação

Recebi 153 reais

D. Pedro II perdeu o trono

e paguei 65 reais.

em 1889, com 64 anos.

28.Paulo e Márcia possuem quantias iguais. O que se pode dizer das quantias que eles passarão a possuir, se:

a) Paulo e Márcia ganharem, cada um, mais 13 reais? b) Paulo ganhar mais 12 reais e Márcia ganhar mais 23 reais? c) Paulo ganhar mais 12 reais e Márcia ganhar mais 9 reais? d) Paulo ganhar mais 5 reais e Márcia perder 12 reais?

29. Gabriel tem 45 reais e Mauro tem 55 reais. O que se pode dizer da diferença das quantias que eles passarão a possuir, se:

a) Cada um deles ganhar mais 5 reais? b) Cada um deles perder 5 reais?

c) Gabriel ganhar 5 reais? d) Mauro ganhar 5 reais?

30. Responda, com base no problema anterior:

31. Pedro disse que 13 menos oito, menos cinco, é igual a zero. 32. Kátia disse que 13 menos, oito menos cinco, é igual a dez.

3ª situação

27. Invente problemas de subtração para as situações a seguir: 1ª situação

Os exercícios de 28 a 30 objetivam a “descoberta”, pelos alunos, de como variam a soma ou a diferença quando se alteram valores dos outros termos da adição ou da subtração.

2ª situação

31.

a) Qual dos dois tem menor quantia inicial: Gabriel ou Mauro? b) Em quais situações Gabriel continuou possuindo menos que Mauro? c) O que deve acontecer para que Gabriel passe a possuir mais que Mauro?

Pedro disse que 13 menos oito menos cinco é igual a zero. Copie esta frase em seu caderno, colocando vírgulas para que ela fique correta.

32. Kátia disse que 13 menos oito menos cinco é igual a dez. Copie esta frase em seu caderno, colocando vírgulas para que ela fique correta.

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Para que a frase de Pedro fique correta, devemos escrever:

Son Salvador

13 menos oito, menos cinco, é igual a zero Agora, observe a frase em linguagem matemática a seguir: 13 – 8 – 5 = 0 Para que ela fique correta, devemos escrever: (13 – 8) – 5 = 0 Nas expressões matemáticas, os parênteses têm significado semelhante ao da vírgula nas frases. Eles indicam que as contas devem ser feitas assim: 13 – 8 = 5 e 5 – 5 = 0.

Os exercícios de 31 a 34 têm por objetivo a descoberta, pelos alunos, do significado dos parênteses como sinais de associação. Estabelecem, assim, uma analogia entre o significado da vírgula na linguagem comum e o significado dos parênteses, na linguagem matemática, como indicadores da prioridade da ordem dos cálculos a serem efetuados.

Son Salvador

Para que a frase de Kátia fique correta, devemos escrever:

Treze menos, oito menos cinco, é igual a dez. Em linguagem matemática, para que a frase de Kátia fique correta, devemos escrever: 13 – (8 – 5) = 10. Novamente, aqui, os parênteses indicam qual conta deve ser feita primeiro: 8 – 5 = 3. Depois de 13, deve-se subtrair três, obtendo 10.

Son Salvador

Dos exemplos anteriores, podemos concluir: Em uma expressão matemática, os parênteses indicam qual é a operação que deve ser feita em primeiro lugar.

Fa ç a u m c o m e n t á r i o sobre a correspondência entre a frase: “13 menos oito, menos cinco é igual a zero” e a expressão numérica (13 – 8) – 5 = 0. Depois, pergunte qual expressão numérica corresponde à frase “17 menos, 9 menos 2, é igual a 10”. Esta atividade tem duplo objetivo: verificar se os alunos entenderam o significado da vírgula e dos parênteses e o uso do termo “expressão numérica” de modo intuitivo.

33. Use parênteses para que cada uma das expressões numéricas a seguir fique correta:

a) 15 – 4 + 7 = 4

b) 15 – 4 + 7 = 18

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c) 13 – 8 – 4 = 1 d) 13 – 8 – 4 = 9

33. a) 15 – (4 + 7) = 4; b) (15 – 4) + 7 = 18; c) (13 – 8) – 4 = 1; d) 13 – (8 – 4) = 9.

101

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34. a) Quinze menos, quatro mais sete, é igual a quatro; b) Quinze menos quatro, mais sete, é igual a dezoito; c) Treze menos oito, menos quatro, é igual a um; d)Treze menos, oito menos quatro, é igual a nove. Nos exercícios de 35 a 40 são exploradas as propriedades comutativa e associativa (sem mencionar nomes) visando ao uso das mesmas em cálculos mentais.

34. Escreva as frases correspondentes às quatro expressões da atividade 33, usando as vírgulas nos lugares adequados.

35. Sem fazer as contas, Eduardo disse que 425 + 783 = 783 + 425. a) Você concorda com Eduardo? b) A ordem das parcelas modifica a soma? c) Se 435 + 217 = 652, escreva o resultado de 217 + 435, sem fazer a conta.

36. Nas figuras a seguir, você vê dois armários com duas prateleiras cada um. Nas prateleiras, você vê colocadas, de maneiras diferentes, algumas xícaras. Logo abaixo das figuras, você vê algumas igualdades.

35. a) Sim; b) Não; c) 652.

Comente que chamamos de expressão numérica a toda sequência de operações com números (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação ou radiciação), podendo ou não apresentar os sinais ( ), [ ] e { } (parênteses, colchetes e chaves), chamados sinais de associação. Explique, através de exemplos, a função dos sinais de associação: indicar a ordem na qual os cálculos devem ser efetuados. Mas não exagere!

37. 0, 10; 1, 9; 2, 8; 3, 7; 4, 6; 5, 5. 38. 11, 19; 12, 18; 13, 17;... etc.

(3 + 2) + 1 = 6 5+1=6

3 + (2 + 1) = 6 3+3=6

Júlia Bianchi, 2006

36. a) Cima; b) Baixo; c) Igual; d) Igual.

Observe atentamente e responda:

a) No primeiro armário, (3 + 2) representa o total de xícaras de qual prateleira: a de cima ou a de baixo?

b) No segundo armário, (2 + 1) representa o total de xícaras de qual prateleira: a de cima ou a de baixo?

c) O resultado de (3 + 2) + 1 é igual ou diferente do resultado de 3 + (2 + 1)? d) O total de xícaras dos dois armários é igual ou diferente?

37. Dê todos os pares de números naturais cuja soma seja 10.

38. Use números naturais entre 10 e 20 para dar exemplos de pares de números cuja soma seja 30.

39. O professor pediu para a turma que somasse 3 + 4 + 6. Clarisse fez assim:

39. a) 3 + (4 + 6) = 3 + 10 = 13. b) Como a da Mirtes. Porque é mais fácil somar agrupando parcelas cujas somas sejam dezenas exatas (como 4 + 6).

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(3 + 4) + 6 = 7 + 6 = 13 Mirtes fez a conta de maneira diferente e chegou ao mesmo resultado.

a) Escreva como Mirtes fez essa conta.

b) Se você fosse fazer essa conta, qual das duas maneiras escolheria? Por quê?

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40. Veja o desafio que o professor fez para a turma: descobrir um modo fácil de fazer os cálculos a seguir:

15 + 22 + 17 + 18 + 23 + 25 Lucca venceu o desafio. Veja como ele fez: 15 + 22 + 17 + 18 + 23 + 25 = (15 + 25) + (17 + 23) + (22 + 18) = = 40 + 40 + 40 = 120 Observe que Lucca trocou a ordem das parcelas de modo a associar, duas a duas, aquelas cuja soma seja uma dezena inteira. Agora, faça como o Lucca, para calcular as somas a seguir:

41.

a) 11 + 27 + 35 + 19 + 3 + 15

b) 120 + 170 + 150 + 280 + 350 + 230

Usando tabelas. Um modo prático de resumir em um pequeno espaço a adição de diversos pares de números é utilizando uma tabela. Na tabela da esquerda, você vê em destaque colorido como somar 22 com 18. Nela, podemos obter mais oito somas, representadas pelas letras de a até h. A letra a representa a soma 11 + 35, a letra b representa 11 + 18, a letra c representa 11 + 27, a letra d representa 22 + 35.

a) Escreva as somas que as letras f e h representam. b) Calcule todas as somas representadas pelas letras de a até h.

+

35

18

27

11

a

b

c

22

d

40

e

26

f

g

h

+

121

132

145

378

467

700

Desafio! Observe atentamente a segunda tabela acima à direita. Copie-a, em seu caderno, e complete-a com todos os números e todas as somas que faltam.

40. a) 11 + 19 + 27 + 3 + 35 + 15 = 30 + 30 + 50 = 110; b) 120 + 280 + 170 + 230 + 150 + 350 = 400 + 400 + 500 = 1 300. O exercício 41 tem por objetivo explorar o uso e a compreensão por parte dos alunos de tabelas (no caso, da adição). Exercícios futuros explorarão diversos outros tipos de tabelas. Explore atividades no quadro, análogas às do exercício 40, sugerindo que alguns alunos criem as expressões e outros as resolvam. Sugira que algumas delas tenham quantidade ímpar de parcelas para obter dois tipos de somas: algumas com centenas (ou outras ordens) exatas e outras não exatas. 41. a) 26 + 35 e 26 + 27; b) + 35 18 27 11 46 29 38 22 57 40 49 26 61 44 53 Desafio + 121 24 145 335 456 346 467

132 156 467 478

354 378 689 700

Os exercícios a seguir visam, usando adições ou subtrações simples, a abordar diversos termos ou situações do dia a dia, como conta bancária, depósito, cheques, poupança, trimestre, lucro, prejuízo, dívida, contas de água, luz, altitude etc. É importante que se explore cada um desses termos ou situações. Por exemplo: (a) verificar nas contas de água, luz, telefone, as diversas parcelas nelas constantes e os significados das mesmas: quais as unidades de medida usadas, quais os impostos constantes etc; (b) como se utiliza um cheque bancário; (c) pesquisar, em livros de geografia, dados relacionados com altitudes ou com quaisquer outros dados que envolvam números naturais.

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Estimule o uso de desenhos relacionados com as situações descritas nos problemas. Conduza a descoberta de estratégias de resolução, formulando perguntas do tipo: “O que se conhece no problema?” – “O que se deseja conhecer no problema?” – “O que conhecemos de Matemática que possa ser usado para relacionar o que conhecemos com o que queremos conhecer?”. Explore ao máximo, sem identificação dos nomes dos titulares, extratos bancários de contas correntes, de poupança, de aplicações financeiras, de anúncios de preços de artigos diversos, de contas de água, para a criação de problemas contextualizados por parte dos alunos. 42. a) 321 reais; b) 3 007 reais; c) 210 reais; d) 16 045 reais; e) 224 reais; f) Moscou: 300 m de altitude; Madri: 608 metros de altitude; Cidade do México: 2 277 metros de altitude; g) Márcia ocultou 5 anos e Carla ocultou 2 anos. Desafio Está certa. 1a9=1 10 a 89 = 8 90 a 99 = 11 Total: 20. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 43. a) 300 + 300 = 600; b) 5 000 + 6 000 = 11 000; c) 1 000 – 500 = 500; d) 3 000 – 1 000 = 2 000. 44. a) 592; b) 11 381; c) 498; d) 1 806. Os exercícios 45 e 46 exploram uma primeira incursão ao Bloco Álgebra, com atividade envolvendo “letras no lugar de números”.

42. Resolva:

a) Uma pessoa tinha 232 reais em sua conta bancária. Depositou 52 reais em cheques e 37 reais em dinheiro. Quanto ela tem agora?

b) Hélio tinha 3 000 reais na caderneta de poupança. Neste trimestre, a caderneta rendeu 6 reais de juros e 1 real de correção monetária. Quanto Hélio tem agora?

c) Se comprei um objeto por 183 reais e tive um lucro de 27 reais, por quanto o vendi? d) Vendi um automóvel por 13 700 reais, tendo um prejuízo de 2 345 reais. Por quanto o comprei?

e) Paguei 83 reais pela conta da luz, 88 reais pela conta da água e 53 reais pela conta do telefone. Quanto paguei ao todo?

f) A Cidade do México está 1 669 metros acima do nível de Madri. Madri está 308 metros acima do nível de Moscou. Moscou está 235 metros acima do nível de Paris e Paris está 65 metros acima do nível do mar. Qual é a altitude das outras cidades?

g) Márcia tinha 23 anos quando sua filha Carla nasceu. Carla tinha 27 anos quando

nasceu sua filha Perla. No quinto aniversário de Perla, Carla disse ter 30 anos e Márcia disse ter 50 anos. Quantos anos cada uma ocultou?

Desafio! Luciana disse que, para escrever de 1 até 100, ela usou 20 vezes o algarismo 9. Diga se ela está certa ou errada e justifique sua resposta.

Aprendendo em casa 43. Em cada caso, faça os arredondamentos e estimativas: a) 273 + 319 b) 5 014 + 6 367

c) 985 – 487 d) 2 831 – 1 025

44. Calcule

os resultados das contas anteriores e verifique se eles são próximos das estimativas que você fez, calculando as diferenças entre elas.

45. Em cada caso, dê o valor da letra: 7+9=9+a

(7 + 4) + b = 7 + (4 + 5)

4–c=0

4 138 + 0 = d

45. a = 7; b = 5; c = 4; d = 4 138.

46. Em cada caso, calcule o número representado pela letra:

46. a = 17; c = 12; e = 8.

47. Observe:

47. a) 5 + 35 + 21 + 29 = 40 + 50 = 90; b)13 + 17 + 18 + 32 + 9 + 11 = 30 + 50 + 20 = 100.

a) a – 4 = 13

b) 9 + c = 21

c) 17 – e = 9

4 + 13 + 16 + 7 = (4 + 16) + (13 + 7) = 20 + 20 = 40 Calcule:

a) 5 + 21 + 35 + 29

b) 13 + 18 + 9 + 11 + 32 + 17

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48. Em cada caso, diga quanto a primeira soma é maior que a segunda: 49. Observe:

b) 75 + 43; 85 + 23

(17 – 9) – 4 = 8 – 4 = 4

Resolva:

a) (22 – 13) – 6

c) 45 + 29; 35 + 19

49. a) 9 – 6 = 3; b) 22 – 7 = 15.

17 – (9 – 4) = 17 – 5 = 12

b) 22 – (13 – 6)

Para resolver os problemas que seguem, sempre que possível, faça uma figura relacionada com a situação descrita em cada um deles.

Son Salvador

a) 86 + 79; 76 + 79

50. Marcos tem 17 reais a mais que Abel. Abel tem 29 reais. Quantos reais Marcos possui?

51.

Sobre dois números, conhece-se o menor e quanto o segundo é maior que ele. Como calcular o maior desses números?

52. Conhecem-se a diferença e o subtraendo. Como calcular o minuendo? 53. Os dois exercícios anteriores são duas maneiras diferentes de perguntar o mesmo fato. Qual deles usa linguagem corrente e qual usa termos da Matemática?

Professor, vi escrito em uma embalagem de barras de sabão o seguinte: peso bruto: 13 kg peso líquido: 12 kg O que significa isso?

48. a) 10 unidades; b) 10 unidades; c) 20 unidades.

Peso líquido significa o peso apenas das barras de sabão contidas na embalagem, quando ela está cheia. Peso bruto significa a soma do peso da embalagem com os pesos de todas as barras.

Exercícios para prática do cálculo mental, explorando regularidades: 30 + 70, 300 + 700, 3 000 + 7 000, 30 000 + 70 000, 9 – 4, 90 – 40 , 900 – 400, 9 000 – 4 000 etc. 14 + 16 = 10 + 4 + 10 + 6 = 10 + 10 + 10 = … ;140 + 160 = 100 + 40 + 100 + 60 = 100 + 100 + 100 = … etc. Sugestões relacionadas com os exercícios 50, 51 e 52: Explore o exercício 50 com perguntas que conduzam os alunos a concluir que o exercício 51 é uma generalização de uma família de problemas (à qual, em particular, pertence o problema 50). Para o exercício 52, escreva duas ou mais subtrações fáceis no quadro, explore os conceitos de minuendo, subtraendo e diferença, para que depois os alunos possam inferir como calcular o minuendo conhecendo a diferença e o subtraendo. 50. 46 reais. Os exercícios 51 e 52 exploram “problemas sem números”. Tais problemas propiciam generalizações, bem como a explicitação, por parte dos alunos, dos raciocínios desenvolvidos para resolvê-los. 51. Somam-se os dois valores conhecidos. 52. Soma-se a diferença com o subtraendo. 53. No exercício 51, linguagem cor rente; no exercício 52, termos da Matemática.

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Son Salvador

Son Salvador

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os textos das personagens do exercício 53.

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54. A embalagem pesa 1 kg. 55. Subtraí do peso bruto o peso líquido. 56. Verdadeiro. No exercício 57, exploram-se intuitivamente as ideias de divisor e divisor comum. 57. Os de 4 kg, porque a embalagem de 18 kg não pode conter número inteiro de barras desse peso, e os de 5 kg, porque nenhuma das duas embalagens pode conter número inteiro de barras de 5 kg. Peça aos alunos que tragam, na próxima aula, embalagens nas quais constem o peso bruto e o peso líquido. Professor(a): Na página 99, foram feitas abordagens sobre arredondamentos. Aqui, voltamos ao tema sugerindo outro tipo de atividades de arredondamentos Veja o exemplo: Dado o número 4 738, • ar redondá-lo para a dezena mais próxima é escrever 4 740; • ar redondá-lo para a centena mais próxima é escrever 4 700; • ar redondá-lo para a unidade de milhar mais próxima é escrever 5 000. Explore este fato propondo atividades análogas para os alunos. Professor(a): Nas páginas 106 e 107, exploramos um importante significado da multiplicação: como adição de parcelas iguais. Outros significados da multiplicação serão explorados no estudo de outros temas como, por exemplo, a proporcionalidade e as combinações, bem como, em algumas atividades, simultaneamente com significados da divisão. ATIVIDADES ORAIS * 4 e 100; 400. * 3 e 120; 360.

54. Use a explicação que o professor deu para responder: qual é o peso da embalagem que o aluno viu?

55. Que conta você fez para resolver o exercício anterior? 56. Verdadeiro ou falso: Peso bruto = peso da embalagem + peso do produto contido na embalagem (cheia).

57. Duas embalagens de barras de sabão têm os seguintes pesos líquidos:

12 kg e 18 kg. Dois dos pesos a seguir não podem ser pesos das barras de sabão: 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg. Quais são eles? Justifique sua resposta.

A multiplicação e o dia a dia Explorando o que você já sabe Você vê

Você pensa

duas vezes três são seis

Você representa

2

× 3

=

6

2 + 2 + 2 = 6 2 × 3 = 6 fatores 2

2

2

produto

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 +2 + 2 + 2 = 8 2 × 4 = 8

duas vezes quatro são oito

2

× 4

=

8

Em cada problema de multiplicação a seguir, dê os fatores e o produto:

• Em um armário há quatro gavetas, cada uma com 100 parafusos. Quantos parafusos há no armário?

• Ana leu três livros, cada um com 120 páginas. Ana leu quantas páginas?

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Aprendendo em sala de aula 58. Observe:

3

+

3

+

3

+

multiplicando multiplicador produto = 3 × 4 = 12

3

Escreva como soma de parcelas iguais:

a) 4 × 5 b) 6 × 4

c) 1 × 6 d) 0 × 5

59. Em cada caso do exercício anterior, destaque o multiplicando, o multiplicador e o produto.

60.

Observe atentamente o quadro abaixo Ele representa uma multiplicação vista como soma de parcelas iguais: Dezenas

Unidades 1º 2º 3º 1

27 27 54

27

20 + 7

7

2

4

27

20 + 7 × 2 × 2

×2

+1

54

40 + 14

4

5

27 54

14

Observe que multiplicar 27 por 2 equivale a somar 27 + 27. Ao somar as unidades: 7 + 7 = 14 (ou 7 × 2 = 14), observamos que 14 = 10 + 4, ou seja, uma dezena + quatro unidades.

É importante que os alunos entendam multiplicação como adição de parcelas iguais para facilitar a compreensão do algoritmo da multiplicação e, futuramente, a compreensão da multiplicação de decimais ou de frações por números naturais. 58. a) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20; b) 6 + 6 + 6 + 6 = 24; c) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6; d) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. 59. Multiplicando: a) 4 c) 1 b) 6 d) 0 Multiplicador: a) 5 c) 6 b) 4 d) 5 Produto: a) 20 c) 6 b) 24 d) 0 É extremamente útil para a compreensão trabalhar com fósforos e caixinhas. No caso do exercício 60, são necessárias 5 caixinhas e 54 fósforos. Usamos, inicialmente, 2 conjuntos de 2 caixinhas com 10 fósforos dentro de cada uma e sete fósforos fora. Ao reunir os 2 conjuntos, dos 14 fósforos, separamos 10 na 5ª caixinha, sobrando 4, resultando, assim, 5 caixinhas (5 dezenas) e 4 fósforos (4 unidades).

Portanto, após multiplicarmos as dezenas 2 × 2 = 4, devemos somar, às 4 dezenas obtidas, a dezena que foi formada com 10 unidades das 14 unidades obtidas anteriormente. Finalmente, obteremos como produto (4 + 1) dezenas + 4 unidades, ou seja, 54. Agora, copie as multiplicações a seguir em seu caderno e resolva cada uma delas:

a) 12 × 6

d) 15 × 2

g) 23 × 4

j) 19 × 2

c) 13 × 5

f) 17 × 3

i) 18 × 4

l) 46 × 2

b) 14 × 3

e) 16 × 4

h) 25 × 3

k) 29 × 3

60. a) 72; b) 42; c) 65; d) 30; e) 64; f) 51; g) 92; h) 75; i) 72; j) 38; k) 87; l) 92.

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61. Verifique o conhecimento dos termos dobro, triplo, quádruplo etc. Professor(a): Diversas vezes relacionamos respostas de modo abreviado, por economia de espaço. Porém, crie nos alunos o hábito de dar respostas coerentes com as respectivas perguntas.Assim, as respostas do exercício 61 devem ser: a) Getúlio ganhou 95 bombons. b) Gastarei 768 metros de tela etc. 61. a) 95 bombons; b) 768 metros; c) 946 reais; d) 792 carrinhos. 62. a) São iguais; b) O segundo, porque é mais fácil multiplicar primeiro 8 x 5 (dezena exata: 40). Os exercícios anteriores relacionam-se com a propriedade associativa da multiplicação e possibilitam aos alunos, agrupando convenientemente fatores cujos produtos sejam dezenas ou centenas exatas, calcularem mentalmente certos produtos. 63. a) 12 apartamentos; b) 24 apartamentos. 64. a) 12 gavetas; b) 24 gavetas. Os exercícios 63 e 64 exploram problemas, em contextos diferentes, relacionados com as mesmas expressões envolvendo multiplicações. 65. Para resolvê-los, fizemos as mesmas contas com os mesmos números. Os exercícios 66 e 67 exploram a variação do produto com a variação dos fatores. 66. 24. 67. 6. 68. a) 40; b) 20; c) 60.

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Leia cada um dos problemas a seguir e discuta com seus colegas como resolvê-los. Depois, faça os cálculos necessários para resolver cada um deles e escreva as respostas.

a) Getúlio ganhou 5 caixas de bombons, cada uma com 19 bombons. Quantos bombons Getúlio ganhou?

b) Vou cercar um terreno quadrado com tela. Quantos metros de tela gastarei, se cada lado mede 192 metros?

c) Carlos tem 473 reais e Domingos tem o dobro. Quanto tem Domingos? d) Em uma loja de brinquedos há 132 carrinhos em cada uma das seis prateleiras. Quantos carrinhos há ao todo na loja?

62. Observe como os parênteses indicam em que ordem as contas devem ser feitas:

• •

3 × 4 × 5 = (3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60 3 × 4 × 5 = 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60

Responda, sem calcular:

a) (3 × 8) × 5 é igual ou diferente de 3 × (8 × 5)?

b) Se você fosse calcular 3 × 8 × 5, qual dos dois modos iria preferir: o primeiro ou o segundo do item (a) anterior? Por quê?

63. Dois prédios estão sendo construídos com 4 apartamentos em cada andar. O primeiro deles já tem 3 andares construídos. Responda:

a) Quantos apartamentos já foram construídos no primeiro prédio? b) Se o segundo prédio já tem o dobro dos andares do primeiro, quantos apartamentos já foram construídos nesse prédio?

64. Um

carpinteiro está fazendo dois armários com 4 gavetas em cada prateleira. O primeiro deles vai ter 3 prateleiras. Responda:

a) Quantas gavetas vai ter o primeiro armário? b) Se o segundo armário vai ter o dobro de prateleiras do primeiro, quantas gavetas ele vai ter?

65. Discuta com seus colegas: o que os dois problemas anteriores têm de parecido?

66. O produto de dois números é 12. Se um deles for multiplicado por 2, qual vai ser o novo produto?

67. O produto de dois números é 60. Se um deles for dividido por 10, qual vai ser o novo produto?

68. Uma florista recebeu uma encomenda de arranjos de flores. Cada ar-

ranjo deve conter 8 rosas e 4 margaridas. Se foram encomendados 5 arranjos, responda:

a) Quantas rosas serão necessárias para fazer os arranjos? b) Quantas margaridas serão necessárias para fazer os arranjos? c) Quantas flores serão necessárias para fazer os arranjos?

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69. Sim.

69.Um outro tipo de arranjo tem 8 rosas e 4 cravos. Para calcular quan-

tas flores serão necessárias para fazer 5 desses arranjos, a florista pensou: “Como cada arranjo tem 12 flores (8 + 4), então vou precisar de 5 x 12 = 60 flores”. Ela está certa?

70. Observe os problemas anteriores e responda: 71.

a) O resultado das contas 5 × 8 + 5 × 4 é o mesmo resultado de 5 × (8 + 4)? b) Verdadeiro ou falso: 5 × (8 + 4) = 5 × 8 + 5 × 4. Veja como o que você descobriu é útil para cálculos mentais:

• • •

70. a) Sim; b) Verdadeiro. 71. a) 6 x (10 + 4) = 6 x 10 + 6 x 4 = 84; b) 5 x (10 + 9) = 5 x 10 + 5 x 9 = 95. Comente que o procedimento descrito nas respostas do exercício 70 é válido em geral, sistematizando a regra correspondente assim: Dados três números naturais representados por a, b e c, podemos afirmar que: a x (b + c) = a x b + a x c.

7 × 13 = 7 × (10 + 3) = 7 × 10 + 7 × 3 = 70 + 21 = 91 6 × 17 = 6 × (10 + 7) = 60 + 42 = 102

Os exercícios 70 e 71 exploram a propriedade distributiva, de larga aplicação no cálculo mental de alguns produtos.

13 × 9 = 9 × 13 = 9 × (10 + 3) = 90 + 27 = 117

Agora, escreva como você calcularia mentalmente:

a) 6 × 14

b) 5 × 19

72. Observe:

72. a) 1 800; b) 3 200; c) 5 400; d) 80 000; e) 300 000.

Uma estimativa para o produto 43 × 78 é: 40 × 80 = 3 200. Uma estimativa para o produto 521 × 473 é: 500 × 500 = 250 000. Dê uma estimativa para cada um dos produtos a seguir:

a) 33 × 62 b) 42 × 78

c) 87 × 57 d) 213 × 418

e) 983 × 308

73. Invente um problema de multiplicação para cada uma das seguintes situações:

a) 12 andares com 4 apartamentos em cada andar.

b) 5 caixas de bombons com 32 bombons em cada caixa.

73. Respostas variadas.

74. Observe as duas tabelas a seguir:

Escreva, em seu caderno, os produtos que devem ser escritos no lugar das letras da tabela da esquerda.

Copie em seu caderno a tabela da direita e complete-a para ter todos os produtos e fatores que faltam:

×

14

18

22

11

a

b

c

5

d

90

e

100

f

g

h

×

Professor(a): Explore ou proponha situações contextualizadas que convençam da necessidade de estimativas de produtos. Por exemplo, pergunte aos alunos: Se um de vocês fosse o responsável pelo estoque de um estabelecimento comercial, necessitando fazer uma estimativa de quanto gastaria pela compra de quatro dúzias de determinado artigo que custa R$ 58,00 cada um, que multiplicação deveria fazer? R) 50 x 60 = 3 000

12

74. x 14 11 154 5 70 100 1 400 x 5 3 4

12 60 36 48

18 198 90 1 800

22 242 110 2 200

16 80 48 64

7 35 21 28

16

60

35 48 28

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Conduza à descoberta de estratégias de resolução, formulando perguntas do tipo: “O que se conhece no problema?” - “O que se deseja conhecer no problema?” - “O que conhecemos de Matemática que possa ser usado para relacionar o que conhecemos com o que queremos conhecer?” (veja diversos exercícios resolvidos nos textos, bem como no Manual do Professor). Anteceda o exercício 75 explorando situações que envolvam os conceitos de velocidade e velocidade média. Sugestões: (a) O que é mais provável: um automóvel percorrer longas distâncias mantendo sempre a mesma velocidade ou a velocidade dele variar nesse percurso? (b) Se for possível um automóvel passar pelo marco do quilômetro 20 de uma estrada com a velocidade de 50 km por hora e manter essa velocidade durante uma hora, por qual marco ele estará passando ao fim desta hora? (c) Durante exatamente uma hora, um automóvel percorre, sem parar, 70 km com a velocidade variando. É possível dizer que a “velocidade média” desse automóvel foi de 70 quilômetros por hora (70 km/h) durante esse percurso? (d) Se você conhece a velocidade média e o tempo gasto para fazer um percurso, que conta faz para calcular a distância percorrida? (e) Se você conhece a velocidade média e a distância percorrida, que conta faz para calcular o tempo gasto para fazer todo o percurso? (f) Se você conhece a distância percorrida e o tempo gasto para fazer todo o percurso, que conta faz para calcular a velocidade média? Recomende ou explore a leitura de: “Jogando com a Matemática” (p. 33-43) Oscar Guelli Coleção Contando a história da Matemática Editora Ática. 78. a) Basta escrever dois zeros à direita do número; b) Basta escrever três zeros à direita do número; c) Basta escrever quatro zeros à direita do número. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, a frase em destaque azul do exercício 78.

75. Resolva:

a) A luz percorre 300 000 quilômetros por segundo e leva 8 minutos e 18 segundos para vir do Sol à Terra. Qual é a distância entre ambos?

b) O barulho de um trovão foi ouvido 2 minutos após ter caído o raio. A que distância

de quem ouviu o trovão o raio caiu, se o som tem velocidade de 340 metros por segundo?

c) A distância da Terra à Lua é aproximadamente 60 raios da Terra, cuja medida aproximada é de 6 370 km. Escreva a distância aproximada entre a Terra e a Lua.

75. a) 149 400 000 km; b) 40 800 m; c) 382 200 km.

Aprendendo em casa 76. Resolva os problemas a seguir:

a) Em uma cerâmica, são produzidos 43 jarros por dia. Mantida a mesma produção diária, quantos jarros serão produzidos em sete dias?

a) 301 jarros.

b) Em uma loja há 244 bonecas em cada uma das três prateleiras. Quantas bonecas há, ao todo, na loja?

b) 732 bonecas.

c) Em cada uma de três caixas, há 408 laranjas. Quantas laranjas há ao todo?

77.

c) 1 224 laranjas;

Observe: 3 × 10 = 30

3 × 100 = 300

3 × 1 000 = 3 000

Calcule:

a) 4 × 10

b) 5 × 100

c) 7 × 1 000

d) 4 × 10 000

77. a) 40; b) 500; c) 7 000; d) 40 000.

78. Você observou, no exercício anterior, que multiplicar um número natural por 10 corresponde a escrever um algarismo zero à direita dele. Agora, escreva regras que expliquem como multiplicar um número:

a) Por 100

b) Por 1 000

c) Por 10 000

40 × 100 = 4 000

400 × 100 = 40 000

79. Observe: 40 × 10 = 400

Calcule:

a) 50 × 10

b) 50 × 100

c) 600 × 10

d) 600 × 100

79. a) 500; b) 5 000; c) 6 000; d) 60 000.

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a) Em cada uma das multiplicações do exercício anterior, a soma dos algarismos zero

Usando a multiplicação como adição de parcelas iguais, os alunos compreenderão facilmente os resultados das multiplicações de um número natural por 10, 100, 1 000 etc.

b) 300 × 100 = 3 000

80. a) V; b) F.

80. Verdadeiro ou falso:

dos fatores é igual ao total de algarismos zero do produto.

81.

Observe: 10 × 10 = 100. 10 × 10 × 10 = 1 000.

81. a) 400; b) 7 000; c)70 000; d) 3 000 000.

Logo, 3 × 10 × 10 = 300 Logo, 5 × 10 × 10 × 10 = 5 000

Calcule:

a) 4 × 10 × 10 b) 70 × 10 × 10

c) 7 × 100 × 100 d) 300 × 10 × 1 000

82. Observe:

82. a) 1 500; b) 14 000. Professor(a): Em algumas atividades, exploramos modelos seguidos de atividades análogas. Porém, eles são seguidos de questionamentos que possibilitem aos alunos a descoberta de fatos importantes (como nos exercícios 77 a 82).

2 × 10 × 7 × 10 = 2 × 7 × 10 × 10 = 14 × 10 × 10 = 1 400 4 × 10 × 3 × 100 = 4 × 3 × 10 × 100 = 12 × 1 000 = 12 000

Calcule os seguintes produtos:

a) 3 × 10 × 5 × 10

83. Resolva:

b) 2 × 10 × 7 × 100

83. a) 180 segundos; b) 420 minutos; c) 3 600 segundos; d) 600 centímetros.

a) 1 minuto tem 60 segundos. Quantos segundos equivalem a 3 minutos? b) 1 hora tem 60 minutos. Quantos minutos equivalem a 7 horas? c) Quantos segundos equivalem a uma hora?

d) Um metro equivale a 10 decímetros e um decímetro equivale a 10 centímetros. Quantos centímetros equivalem a 6 metros?

A divisão e o dia a dia Explorando o que você já sabe 15 : 3 = 5 15 0

3 5 20 : 5 = 4 18 : 3 = 6

Dividendo Divisor Quociente Dividendo Divisor Quociente

9 1

2 4

Dividendo Divisor Quociente Resto

• Na primeira divisão ao lado, quais são: o dividendo, o divisor e o quociente? • E na segunda divisão? • Dê dois exemplos de divisão com resto 1. • Dê dois exemplos de divisão com resto 2.

ATIVIDADES ORAIS • 20; 5; 4. • 18; 3; 6. • 21 : 5; 19 : 3 (ou outros). • 22 : 5; 20 : 3 (ou outros).

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Aprendendo em sala de aula No que segue, serão notadas abordagens análogas às feitas para a multiplicação, relacionadas com a divisão: variação do quociente, uso de propriedades em cálculos mentais, estimativas para quocientes e problemas contextualizados.

84. Tereza disse que 20 : 5 = 4. Carlos disse que distribuiu 20 balas em quantidades iguais para 5 meninos e observou que cada um deles recebeu 4 balas. Discuta com seus colegas e responda:

a) As duas frases anteriores estão relacionadas com uma mesma conta. Qual: adição, divisão ou subtração?

84. a) Divisão; b) A primeira usa símbolos matemáticos e a segunda usa linguagem corrente.

b) Qual das duas frases usa símbolos matemáticos e qual usa linguagem corrente?

85. O professor pediu que Ana e Beatriz resolvessem o problema da distribuição das 20 balas pelos 5 meninos.

Ana disse que cada menino recebeu 4 balas porque fez as contas assim: Exercícios que relacionam multiplicação e divisão como inversas são importantes para aplicações futuras, principalmente para a compreensão da divisão de frações ou decimais.

20 : 5 = 4 porque 4 × 5 = 20 Beatriz disse que pensou assim: 20 – 5 = 15 (1 menino recebeu 5 balas e ainda sobraram 15 balas).

85. Verdadeiro. 86. Primeira: 15 : 3 = 5 porque 5 x 3 = 15 Segunda: 15 – 3 = 12 (1 vez), 12 – 3 = 9 (2 vezes), 9–3=6 (três vezes), 6–3=3 (4 vezes), 3–3=0 (5 vezes). Logo, 15 : 3 = 5 porque consigo retirar 3 de 15 exatamente 5 vezes. 87. a) 60 : 12 = 5 porque 5 x 12 = 60; b) 45 : 9 = 5 porque 5 x 9 = 45; c) 32 : 8 = 4 porque 4 x 8 = 32. 88. a) Divisão; b) A primeira usa símbolos matemáticos e a segunda, linguagem corrente.

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15 – 5 = 10 (2 meninos receberam 5 balas cada um e ainda sobraram 10 balas). 10 – 5 = 5 (3 meninos receberam 5 balas cada um e ainda sobraram 5 balas). 5 – 5 = 0 (4 meninos receberam 5 balas cada um. Não sobraram balas). Responda se é verdadeiro ou falso: dividir 20 por 5 é equivalente a contar quantos grupos de 5 cabem em 20.

86. Escreva duas razões para justificar que, ao dividir 15 por 3, encontra-se 5 para quociente.

87. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: 16 : 8 = 2 porque 2 × 8 = 16

60 : 12 = 5 porque ....(a)....

45 : 9 = 5 porque....(b)

32 : 8 = 4 porque (c) ....

88. Luciana disse que 31 : 10 = 3 e o resto é 1 porque 31 = 3 × 10 + 1. Lolita disse que repartiu 31 figurinhas em quantidades iguais para 10 meninos e que cada menino recebeu 3 figurinhas, tendo sobrado uma. Discuta com seus colegas e responda:

a) As duas frases anteriores estão relacionadas com uma mesma conta. Qual é ela? b) Qual das duas frases usa símbolos matemáticos e qual usa linguagem corrente?

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89. O professor disse aos alunos: “Ontem, eu reparti 19 balas para cinco pessoas. Cada uma delas recebeu a maior quantidade possível e todas receberam quantidades iguais.”

“Quantas balas cada pessoa recebeu e quantas balas sobraram comigo?”

89. Carlindo, porque, pela resposta que ele deu, cada pessoa recebeu a maior quantidade possível de balas (3), e a quantidade que sobrou (4) não daria para distribuir mais uma para cada uma das cinco pessoas.

Carlindo respondeu: “Cada pessoa recebeu 3 balas e sobraram 4”. Já Petrônio disse que “cada pessoa recebeu 2 e sobraram 9 balas”.

Professor(a): Observe que o exercício 90 completa o raciocínio envolvido no 89.

Depois, perguntou:

Qual dos dois está certo? Justifique sua resposta.

90. Observe o problema anterior: a) Que conta você fez para responder à pergunta do

90. a) 19 : 5; b) Dividendo: 19; problema? Divisor: 5; Quociente: 3 Resto = 4; c) Ao dividendo.

b) Destaque o dividendo, o divisor, o quociente e o resto.

c) Multiplique o divisor pelo quociente e some com o resto. O resultado que você encontrou é igual a quê?

91.

Para a compreensão dos exercícios 89 a 94, é recomendável explorar as situações com material concreto (veja que balas, moedas, pedrinhas, seriam o bastante para isto).

Márcia disse que em uma divisão o divisor é 6, o quociente é 7 e o resto é 2. Calcule para ela o valor do dividendo. 91. 44 (6 x 7 + 2).

92. Juliana disse que em uma divisão o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 9. Discuta com seus colegas o que há de errado nessa divisão.

93. Se em uma divisão o divisor é 6, qual é o maior valor possível do resto? Justifique sua resposta.

94. Em uma divisão, o divisor é 5. Enumere todos os possíveis restos dessa divisão.

94. 0, 1, 2, 3, 4.

95. Pedro tem 2 notas de 10 reais e 6 moedas de 1 real. a) Quanto Pedro tem ao todo?

b) Se Pedro for doar o que tem para duas pessoas, em quantidades iguais, quantas notas

92. O erro é que o resto dessa divisão é maior que o divisor. Isso não pode acontecer. Explore o exercício 92. Peça que respondam: Como completar a frase? “No problema da Juliana, se o divisor é 7, o que se está procurando é quantos grupos de… cabem no …”. R) (7) (dividendo) “Logo, o resto não pode ser 9 porque de 9 poderíamos ainda tirar um grupo de… passando o quociente a ser … e o resto …” R) (7); (8 + 1 = 9); (2). 93. 5. Em uma divisão, o resto não pode ser igual ou maior que o divisor. Como o divisor é 6, estamos procurando quantos grupos de 6 cabem no dividendo. Se o resto fosse 6, caberia mais um grupo de 6 no dividendo e o resto seria zero. Se o resto fosse 7, caberia mais um grupo de 6 no dividendo e o resto seria 1. Qualquer outro número maior que 6 admitido como resto vai gerar um ou mais grupos de 6 que caberiam no dividendo e restos variando de zero a cinco.

de 10 reais receberá cada uma? E quantas moedas de 1 real?

c) Quanto receberá, ao todo, cada pessoa?

96. Observe:

95. a) 26 reais; b) Uma de 10 reais e três de 1 real; c) 13 reais.

26 = 20 + 6 = (10 + 10) + (3 + 3) = (10 + 3) + (10 + 3)

96. 36 : 3 = (10 + 10 + 10) + (2 + 2 + 2) = (10 + 2) + (10 + 2) + (10 + 2). Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, todo o exercício 96, inclusive a resposta.

Faça como acima, para dividir 36 em três partes iguais.

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Professor(a): Não é objetivo deste capítulo abordar todas as situações de divisão de números naturais que, neste ponto, já devem ser dominadas pelos alunos. Entretanto, caso sinta necessidade de revisão, sugiro a leitura do que segue, usando, sempre que julgar conveniente, a comparação entre os dois processos de divisão: o longo e o abreviado Como se sabe, o processo de dividir requer abordagem em grau de dificuldade crescente. Como sugestão, será apresentada a seguir uma série de divisões que podem e devem ser exploradas para que se tenha certeza de que todas as etapas foram atingidas: Dividendo com três algarismos e divisor com um, sendo todas as ordens do dividendo múltiplas do divisor: 846 : 2, 933 : 3, 466 : 2 etc. Dividendo com dois algarismos e divisor com um, com o algarismo das dezenas não sendo múltiplo do divisor: 45 : 3, 75 : 5, 68 : 4 etc. Dividendo com 3 algarismos e divisor com 1, com os algarismos das centenas e/ou dezenas não múltiplos do divisor: 366 : 2, 846 : 6, 702 : 3, 812 : 7. Dividendo com três algarismos e divisor com 1, surgindo a necessidade de “separar dois algarismos” no dividendo para iniciar a divisão (pelo fato de ser o algarismo das centenas menor que o divisor): 415 : 5, 316 : 4, 234 : 3, 644 : 7 etc. Dividendo com três algarismos e divisor com 1, surgindo um algarismo zero nas dezenas e/ou unidades do quociente: 327 : 3, 416 : 4, 432 : 4, 721 : 7 etc., 362 : 3, 563 : 4 etc. Divisões nas quais o divisor é formado de dezenas exatas: 80 : 20, 83 : 20, 97 : 30, 160 : 20, 162 : 20, 70 : 20, 73 : 20, 435 : 60. Divisor com dois algarismos: 96 : 32, 84 : 21, 87 : 41, 104 : 31, 100 : 22, 246 : 41, 260 : 41, 255 : 51, 270 : 51 etc. Divisor com três algarismos: 377 : 109, 340 : 109, 416 : 104, 420 : 104, 360 : 120, 380 : 120, 510 : 230, 901 : 432 etc.

Observe os dois quadros a seguir. No primeiro deles, você vê como dividir 26 por 2 por um método chamado “processo longo” e, no segundo, a mesma divisão pelo “processo abreviado”. 26

2

–2 06

13

Processo abreviado

2 : 2 = 1 1 × 2 =2

26

2 – 2 =0

06 13

6 : 2 = 3

– 6

0

3 × 2 = 6

0

2

6 – 6 = 0

97. Para

resolver os problemas a seguir, você irá fazer contas como as divisões que aprendeu até agora. Resolva cada um deles:

a) Em uma estação, há 84 vagões para serem colocados em igual quantidade em 4 locomotivas. Quantos vagões serão colocados em cada uma das locomotivas?

b) Serão colocados 56 postes em sete quarteirões de uma rua. Quantos postes serão colocados em cada quarteirão?

97. a) 21 vagões; b) 8 postes.

98. Em um depósito, há 63 queijos distribuídos igualmente em 9 caixas. Quantos queijos há em cada caixa? 98. 7 queijos.

99. Trezentos

reais foram distribuídos entre 5 pessoas; logo, cada uma recebeu 60 reais. Se a mesma quantia tivesse sido distribuída por 15 pessoas, quanto cada uma delas receberia? 99. 20 reais.

100. Responda, sem fazer a conta: se 300 : 5 = 60, qual o quociente da divisão de 300 por 15?

100. 20.

101. O que há de comum entre os exercícios 99 e 100?

101. Para resolvê-los, fizemos o mesmo raciocínio.

102. O problema 100 pode ser proposto assim: Na divisão 300 : 5 = 60, se

multiplicarmos o divisor por 3, o que acontece com o quociente? Responda e justifique. Veja resposta na página 115.

103.

Observe:

Uma estimativa para 432 : 107 é 400 : 100 = 4 Uma estimativa para 775 : 383 é 800 : 400 = 2

Dê estimativas para os seguintes quocientes:

a) 834 : 195

104.Resolva:

b) 932 : 286

103. a) 4; b) 3.

a) Gastei 216 reais comprando 9 livros de mesmo preço. Qual é o preço de cada livro? b) Paguei 60 reais por 7 cadernetas de mesmo preço e recebi de troco menos de sete reais. Qual é o preço de cada caderneta, e quanto recebi de troco?

104. a) 24 reais; b) 8 reais; 4 reais.

114

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105. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente cada letra na terceira coluna: Polígono

Perímetro

Medida de cada lado

Quadrado

204 cm

a

Losango

700 cm

b

Triângulo equilátero

189 cm

c

102. O quociente f ica dividido por 3. Justif icando: na divisão 300 : 5, estamos procurando quantos grupos de 5 cabem em 300; logo, cabem 60 grupos. Já na divisão 300 : 15 (observe que multiplicou-se o dividendo 5 por 3), estamos procurando quantos grupos de 15 cabem em 300; logo, cabem 20 grupos. Observa-se, então, que o quociente que inicialmente era 60 passou a ser 20, ou seja, foi dividido por 3.

105. a) 51 cm; b) 175 cm; c) 63 cm. 106. Respostas variadas.

106. Invente um problema de divisão para cada situação a seguir: a) 112 janelas e 16 apartamentos.

b) Caixas de 36 lápis e 216 lápis ao todo.

Desafio! Os quocientes das divisões de um número por 9 e por 8 são iguais a 4. O resto da divisão desse número por 8 é o maior possível. Qual é o resto da divisão desse número por 9?

Aprendendo em casa

Desafio O resto da divisão por 8 é 7 (maior resto possível). Logo, o número é 8 x 4 + 7 = 39. Dividindo 39 por 9, obteremos quociente 4 e resto 3. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 107. a) 8 tubos; c) 6 maçãs; d) 7 sacos. 108. a) 216; b)24; c) 200.

107. Resolva:

a) Uma transportadora tem 6 caminhões de igual capacidade para transportar, de uma única vez, 48 tubos. Quantos tubos cada caminhão irá transportar?

b) Se vou colocar 3 dúzias de maçãs em igual quantidade em 6 caixas, quantas maçãs colocarei em cada caixa?

c) Em uma mercearia, há 49 sacos de leite distribuídos, igualmente, em 7 caixas. Quantos sacos há em cada caixa?

108. O pátio de uma escola tem a forma de um retângulo que tem comprimento de 240 metros por 90 metros de largura.

a) Quadriculando este pátio com quadrados cujos lados medem 10 metros, quantos desses quadrados serão obtidos?

b) E com quadrados cujos lados medem 30 metros? c) Com retângulos de 9 metros de comprimento e 12 metros de largura, quantos retângulos serão obtidos?

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109. 65. 110. a) Porque 3 x 7 = 21; b) Porque 5 x 9 = 45; c) Porque 12 x 12 = 144. Exercícios que relacionam multiplicação e divisão como inversas são importantes para aplicações futuras, principalmente para a compreensão da divisão de frações ou decimais. Nos exercícios 111 e 112, exploramos a regularidade da divisão por potências de 10 e a relação da divisão como inversa da multiplicação. 111. a) 13; b) 15; c) 17. 112. a) 1300; b) 130; c) 2400. 113. a) (60 : 10) : 2 = 6 : 2 = 3; b) 60 : (12 : 2) = 60 : 6 = 10; c) 48 : (8 : 2) = 48 : 4 = 12; d) (48 : 8) : 2 = 6 : 2 = 3.

Novamente, no exercício 114, os “problemas sem número”. 114. a) Subtraio, do segundo número, o primeiro; b) Somo os dois números; c) Divido o total de objetos pelo total de grupos; d) Subtraio, do total de objetos que tinha, a quantidade retirada; e) Multiplico o número de grupos de objetos pela quantidade de objetos de cada um. 115. a) Respostas variadas. Justificativa: porque, se o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8, o número é divisível por 2, isto é, é número par; b) Respostas variadas. Justificativa: porque, se o algarismo das unidades for 1, 3, 5, 7 ou 9, o número não é divisível por 2 (o resto da divisão é sempre l); c) São pares; d) São ímpares.

109. Um terraço teve seu piso coberto com 6 760 peças retangulares iguais. Se no comprimento foram usadas 104 peças, quantas dessas peças foram usadas na largura?

110. Dizemos que 12 : 4 = 3 porque 3 × 4 = 12. Escreva por que: 21 : 7 = 3

111.

Você sabe que:

a) 10 × 13 = 130 Agora, calcule:

a) 130 : 10

112. Calcule também: a) 13 000 : 10

45 : 9 = 5

144 : 12 = 12

b) 15 × 100 = 1 500

c) 17 × 1 000 = 17 000

b) 1 500 : 100

c) 17 000 : 1 000

b) 13 000 : 100

c) 240 000 : 100

113. Observe: (40 : 10) : 2 = 4 : 2 = 2 Calcule:

a) (60 : 10) : 2 b) 60 : (12 : 2)

40 : (4 : 2) = 40 : 2 = 20

c) 48 : (8 : 2) d) (48 : 8) : 2

114. Qual conta você faz para:

a) Dado certo número, saber quanto falta para completar outro número?

b) Dados dois números, saber qual é o número que representa a reunião das quantidades que esses dois números representam?

c) Repartir certo número de objetos por grupos em quantidades iguais?

d) Dado certo número de objetos e retirados alguns deles, saber quantos sobraram?

e) Dado certo número de grupos contendo a mesma quantidade de objetos, saber o total de objetos contidos em todos esses grupos?

115. Se a divisão de um número natural por dois for exata, dizemos que ele é par; caso contrário, dizemos que ele é ímpar.

a) Dê exemplos de números pares com 2, 3, 4 e 5 algarismos e justifique por que são

pares. b) Dê exemplos de números ímpares com 2, 4 e 6 algarismos e justifique por que são ímpares. c) O que você observa a respeito dos algarismos das unidades dos números pares: são pares ou ímpares? d) O que você observa a respeito dos algarismos das unidades dos números ímpares: são pares ou ímpares?

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As possibilidades e a potenciação Explorando o que você já sabe

ATIVIDADES ORAIS * 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 28. * Multiplicando: 2 x 6 = 12.

Observe a tabela contendo algarismos: Na primeira linha, você vê dois algarismos: 1 e 2. Na segunda linha, você vê dois 1 2 conjuntos de três algarismos que, combinados com os al3 4 5 6 7 8 garismos acima deles, formam números. Por exemplo, 17 é um deles. Usando os algarismos da primeira linha para indicar as dezenas e os da segunda linha para indicar as unidades, responda: ❋ Quais são todos os números de dois algarismos que podemos formar, combinando os algarismos dados e usando a regra estabelecida? ❋ Como calcular o total de números, sem contar ou somar?

Aprendendo em sala de aula 116. Observe, agora, a tabela ao lado: Combinando os algarismos 1 ou 3 nas centenas, com os algarismos 2 ou 6 nas dezenas, e estes com os algarismos 3, 5, 7, 9 nas unidades, podemos formar números de 3 algarismos, como, por exemplo: 123, 127, 165, 329.

a) Escreva todos os números de três al-

garismos possíveis de se formar dessa maneira.

b) Diga qual é o total deles.

c)É possível calcular esse total, multiplicando 3 números. Quais são eles?

A partir de agora, será abordado, de maneira simples e gradativa, o cálculo de possibilidades usando multiplicações, bem como será apresentada a potenciação como uma multiplicação de fatores iguais.

Centenas Dezenas Unidades

2

3

1

5

3

7 6

Explique os cálculos relacionados com a primeira tabela: a) Começando com o algarismo 1, posso formar 6 números de dois algarismos com os algarismos da segunda linha. b) Começando com o algarismo 2, também posso formar 6 números de modo análogo. c) Logo, posso for mar 2 x 6 = 12 números ao todo. Comente com os alunos que o resultado é o produto da quantidade de algarismos das duas linhas. Caso julgue conveniente, desenhe, no quadro, a árvore das possibilidades assim: a) Em uma mesma vertical, escreva os algarismos 1 e 2. b) A partir de cada um desses algarismos, crie seis segmentos para a direita, formando ângulos entre si, e, no extremo direito, escreva, em cada um, um dos algarismos 3, 4, 5, 6, 7 e 8. c) Esta árvore exibe 12 “galhos” correspondentes às 12 possibilidades encontradas como resposta.

9

Os exercícios de 116 a 122, 129 e 130 exploram o conceito e o cálculo de possibilidades. Também, o conceito de “sigla”. 116. a) 123, 125, 127, 129, 163, 165, 167, 169, 323, 325, 327, 329, 363, 365, 367, 369; b) 16 números; c) 2 x 2 x 4. Desenhe, no quadro, a árvore de possibilidades relacionada com o exercício 116.

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117. Use os dados da tabela a seguir para resolver o problema proposto nela e para justificar a resposta.

117. 24 números de 4 algarismos. Justif icando: Temos duas possibilidades para o primeiro algarismo (4 e 3) e 3 possibilidades para o segundo algarismo (6, 1 e 8); logo, temos 2 x 3 = 6 possibilidades para os primeiros dois algarismos. Por raciocínio análogo, teríamos, ao todo, 2 x 3 x 2 x 2 = 24 possibilidades.

Escrevendo na ordem em que aparecem na tabela os algarismos das quatro colunas, posso formar, por exemplo, os números 4 152 e 3 889. Procedendo assim, quantos números de quatro algarismos podemos formar? Justifique sua resposta.

1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna 4ª coluna

4

6

8

2

5

9

1 3

8

118. Que conta você fez para resolver o exercício 117? 119. Você sabe que, no Brasil, as placas que identificam automóveis são alfanuméricas, isto é, usam letras e números.

Organize os dados do exercício 119 em uma tabela semelhante às dos exercícios 116 e 117. Opcionalmente, use a árvore de possibilidades.

119. 4 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64. 64 automóveis. Temos 4 possibilidades para começar com grupos de letras e 2 possibilidades para o primeiro algarismo à direita das letras (1 ou 2), e, pela ordem, 2 possibilidades para segundo algarismo, 2 para terceiro e 2 para quarto algarismo. Logo, 4 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 possibilidades ao todo.

Calcule quantos automóveis foram emplacados. Justifique sua resposta. Professor, eu li, em um jornal, a seguinte notícia: “Temporal em BH e em SP”. Como se chama esse modo de representar abreviadamente os nomes de Belo Horizonte e São Paulo?

Chama-se sigla: é um conjunto de letras iniciais de um nome.

Son Salvador

118. 2 x 3 x 2 x 2.

Na semana passada, placas começadas por ABC, ACD, ADE ou AEF e seguidas por (1 ou 2), (3 ou 8), (4 ou 7), (0 ou 9) foram todas utilizadas para emplacar automóveis de certa cidade. Por exemplo, ABC1849 foi uma dessas placas.

120. Observe algumas siglas conhecidas: UFMG – Universidade Federal de Minas Gerais USP – Universidade de São Paulo

120. Respostas variadas.

ONU – Organização das Nações Unidas IRPF – Imposto de Renda de Pessoas Físicas

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Agora, discuta com seus colegas e escreva, pelo menos, três siglas e seus significados.

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121. É possível formar grupos de letras que não sejam siglas; como, por exemplo, nas placas de automóveis.

Resolva os exercícios relacionados com formação de grupos de letras:

a) Quantos grupos de 4 letras podem ser formados usando apenas as cinco vogais?

b) Considere os seguintes grupos de letras: (M, N), (O, A), (T, R) (A, E, O). b) Usando uma letra de cada um deles, pela ordem, podemos formar grupos de 4 letras (por exemplo, MATO). Calcule o total de grupos possíveis de serem formados dessa maneira.

122.Observe o quadro a seguir: Tipos de bicicletas da fábrica SELIM DE OURO De alumínio

Azul

De 4 marchas

Para adultos

De aço

Verde

De 8 marchas

Para crianças

Por este quadro, você vê que é possível encomendar na fábrica, por exemplo, uma bicicleta de alumínio, verde, de 4 marchas, para crianças.

a) Indique a multiplicação necessária para calcular todos os tipos de bicicletas diferentes que podem ser compradas na fábrica.

b) Quantas vezes você escreveu 2 como fator para responder o item (a)?

121. a) 5 x 5 x 5 x 5 = 625; b) 2 x 2 x 2 x 3 = 24. Em 121 (a), use parte da árvore de possibilidades indicando o primeiro “galho” vertical com a, e, i, o, u, o segundo apenas a partir do a mais cinco “galhos com a, e, i, o, u. Esta ilustração será bastante útil para argumentar que, como para primeira letra existem 5 possibilidades, e observando o que acontece com o a, para cada uma das 5 primeiras letras existem 5 possibilidades para a segunda letra; existirão, até então, 5 x 5 possibilidades para duas letras. O raciocínio é análogo para as demais possibilidades, totalizando 5 x 5 x 5 x 5 = 625 possibilidades. Em 121 (b), é possível explorar totalmente a árvore de possibilidades. O mesmo se afirma com relação ao exercício 122 quanto ao uso da árvore de possibilidades.

c) Calcule o produto da multiplicação que você escreveu. d) O que representa o produto que você encontrou?

123. Uma multiplicação, como a do item (a) do exercício anterior, chama-se

potenciação. Identifique, dentre as multiplicações a seguir, aquelas que são potenciações:

a) 3 × 4 × 5 × 6

b) 7 × 7 × 7 × 7

c) 3 × 4 × 3 × 4 × 5

122. a) 2 x 2 x 2 x 2; b) 4 vezes; c) 16; d) Todos os tipos diferentes de bicicletas que podem ser comprados.

d) 3 × 3 × 3 × 3 × 3

124. Observe como podemos representar, de maneira abreviada, uma po-

123. São potenciações: (b) e (d).

tenciação:

3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 37 (três elevado a sete) Agora, escreva a representação abreviada de cada potenciação a seguir e, também, o modo de se ler:

a) 3 × 3 × 3 × 3 b) 4 × 4 × 4

c) 2 × 2 × 2 × 2

124. a) 3 4 : três elevado quatro; b) 43: quatro elevado três; c) 2 4 : dois elevado quatro; d) 42: quatro elevado dois.

a a a a

d) 4 × 4

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125.Na representação 23, o dois chama-se “base” e o três chama-se “expoente”. Em cada caso a seguir, destaque a base e o expoente:

125. a) Base 3, expoente 2; b) Base 2, expoente 3; c) Base 4, expoente 3; d) Base 3, expoente 4. 126. a) 3 x 3 = 9; b) 2 x 2 x 2 = 8; c) 4 x 4 x 4 = 64; d) 3 x 3 x 3 x 3 = 81.

No que segue, exploraremos regularidade das potências decrescentes de dois e de três, para serem apresentados os cálculos de potências de expoentes um e zero. 127. a) 2 e 1; b) 3 e 1. 128. Todas verdadeiras. Obs.: Em 128 (f), achamos conveniente não falar no caso da base zero. Afirme que os itens (e) e (f) do exercício 128 são verdadeiros para evitar que os alunos pensem que podem generalizar a partir de casos particulares. Recomende ou explore a leitura de: “História de potências e raízes” (p. 19-22; 27-29; 51-53) Oscar Guelli Coleção Contando a história da Matemática Editora Ática. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 129. CNPJ, Cadastro Nacional de Pessoas Jurídicas. CPF, Cadastro de Pessoas Físicas. 130. Respostas variadas. 131. a) Base 10, expoente 3, potência 1 000; b) Base 10, expoente 4, potência 10 000; c) Base 10, expoente 5, potência 100 000.

120

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a) 32

b) 23

c) 43

d) 34

126. Como 23 = 2 × 2 × 2, temos que 23 = 8 e dizemos que 8 é a potência. Escreva como multiplicação de fatores iguais e calcule a potência, em cada caso:

a) 32

b) 23

c) 43

d) 34

127.Observe a seguinte tabela de potências: 25

24

23

22

21

20

32

16

8

4

a

b

35

34

32

32

31

30

243

81

27

9

c

d

a) Veja que as potências de 2 vão decrescendo: 32, 16, 8, 4, isto é, cada uma delas é a anterior, dividida por 2. Que valores você colocaria nos lugares das letras a e b? b) Note que as potências de 3 vão decrescendo: 243, 81, 27, 9, isto é, cada uma delas é a anterior, dividida por 3. Que valores você colocaria nos lugares das letras c e d?

128.Verdadeiro ou falso: a) 21 = 2

c) 31 = 3

b) 20 = 1

d) 30 = 1

e) Se o expoente é um, o valor da potência é igual à base. f) Se o expoente é zero, o valor da potência é um.

aprendendo em casa 129. Pesquise os significados das seguintes siglas: CNPJ e CPF. 130. A sigla GFC, no futebol, representa Guarani Futebol Clube. Qual é a sigla do seu time de futebol preferido?

131. Em cada caso a seguir, dê a base, o expoente e a potência: a) 103

b) 104

c) 105

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132. Para calcular uma potência de 10, escreve-se o algarismo 1 seguido de tantos algarismos zero quantas forem as unidades do expoente.

132.Escreva uma regra para calcular potências de dez. 133. Observe:

32 000 = 32 × 1 000 = 32 × 103 120 000 = 12 × 10 000 = 12 × 104

Escreva os números a seguir como produtos de um número natural multiplicado pela maior potência possível de dez:

a) 25 000

134. Calcule:

b) 132 000

a) 1132

b) 01 256

c) 170 000

c) 1010 d) 130

d) 230 000 000

e) 1 9821

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais 135.Dizemos que as desigualdades 2 < 7 e 3 < 9 são desigualdades de mesmo sentido, porque são dadas pela mesma correspondência: “menor que”. Por outro lado, dizemos que as desigualdades 4 < 7 e 8 > 3 são desigualdades de sentidos contrários.

a) Dê um exemplo de desigualdades de mesmo sentido.

b) Dê um exemplo de desigualdades de sentidos contrários.

136. Escreva quantos números naturais há entre: a) 3 e 5

b) 3 e 10

c) 3 e 20

a) 5 e 3

b) 10 e 3

c) 20 e 3

137. Calcule a diferença entre:

138. Discuta com seus colegas: há alguma relação entre os itens dos dois exercícios anteriores?

139.Use a conclusão a que você e seus colegas chegaram para calcular quantos números naturais existem entre:

a) 17 e 319

b) 45 e 514

140. Verifique que existem 5 números de 4 até 8. Agora, resolva ou faça o que se pede:

a) Quantos números naturais há de 9 até 19? b) Discuta com seus colegas e responda: como fazer para calcular quantos números naturais há de um número natural até outro maior que ele?

141. Você

viu que 3 × 4 × 5 = 60. Este conhecimento ajuda a calcular 30 × 40 × 50 com facilidade? Explique como.

133. a) 25 000 = 25 x 103; b) 132 000 = 132 x 103; c) 170 000 = 17 x 104; d) 230 000 000 = 23 x 107. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 133 e a resposta do exercício 132. 134. a) 1132 = 1; b) 01 256 = 0; c) 1010 = 10 000 000 000; d) 130 = 1; e) 1 9821 = 1 982. Escreva no quadro: “Sabe-se que a massa do Sol é de, aproximadamente, 2 x 1030 kg”. Peça a um aluno que vá ao quadro e escreva a massa do Sol em kg, sem usar a potência 1030. Objetivo: tornar claro para os alunos como a notação de potências de dez simplifica diversas escritas de números. Peça a outro aluno que escreva de duas maneiras diferentes, usando algarismos, a distância média entre a Terra e o Sol: 150 milhões de quilômetros. 135. Respostas variadas. 136. a) Apenas um (o 4); b) 6; c) 16. 137. a) 5 – 3 = 2; b) 10 – 3 = 7; c) 20 – 3 = 17. 138. Sim: o total de números naturais entre dois números é igual à diferença dos dois números, menos um. 139. a) (319 – 17) – 1 = 302 – 1 = 301 R) Existem 301 números entre 17 e 319. b) (514 – 45) – 1 = 469 – 1 = 468 R) Existem 468 números entre 45 e 514. 140. a) Onze números. b) Para calcular quantos números naturais há de um número natural até outro maior que ele, calculamos a diferença entre eles e somamos 1 a essa diferença. 141. Decompondo: 30 x 40 x 50 = 3 x 4 x 5 x 1000 = 60 000.

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142. Observe: 30 × 40 × 50 = (3 × 10) × (4 × 10) × (5 × 10) = (3 × 4 × 5) × (10 × 10 × 10) = 60 × 1 000 = 60 000

143. A informação está correta. Como existiam apenas duas equipes, a que ficou em primeiro lugar está também classificada como penúltima (veja, abaixo, o significado dessa palavra). Penúltimo: aquele que antecede imediatamente o último. 144. A décima pessoa (existem 9 antes dela e 9 depois), (total: 9 + 9 + 1 = 19). O exercício 145 apresenta uma “álgebra” dos asteriscos: asteriscos em lugar de algarismos de operações para que os alunos descubram os seus valores. 145. a) 7 824 – 2 531 = 5 293; b) 4 739 – 2 563 = 2 176. Explore o uso da potenciação no sistema de numeração decimal, propondo atividades como a que se vê a seguir, bem como sua recíproca: Observe: 3 248 = 3 000 + 200 + 40 + 8 = 3 x 103 + 2 x 102 + 4 x 101 + 8 x 100 Desenvolva como no exemplo: 7 639 = ... Faça o caminho inverso: 5 x 103 + 8 x 102 + 7 x 101 + 9 x 100 = ...

Son Salvador

Son Salvador

142. a) 2 x 12 x 5 x 5 = (2 x 5 ) x (12 x 5) = 10 x 60 = 600; b) 4 x 14 x 6 x 5 x 5 x 5 = (4 x 5) x (14 x 5) x (6 x 5) = 20 x 70 x 30 = 42 000.

Sim, professor: o resultado é 24 000.

Cláudio, você é capaz de multiplicar mentalmente: 8 x 6 x 4 x 5 x 5 x 5?

Veja como Cláudio fez as contas mentalmente, trocando a ordem de fatores, de modo a obter pares de fatores cujo produto seja um múltiplo de dez: 8 × 6 × 4 × 5 × 5 × 5 = (8 × 5) × (6 × 5) × (4 x 5) = 40 × 30 × 20 = 24 000 Agora, faça as multiplicações a seguir, como o Cláudio:

a) 2 × 12 × 5 × 5

b)

4 × 14 × 6 × 5 × 5 × 5

143. Duas equipes disputaram uma corrida. A equipe que perdeu publicou

no jornal da escola que ela terminou a corrida em segundo lugar e que a outra equipe terminou a corrida em penúltimo lugar. Está correta a informação?

144. Existem 19 pessoas formando fila para entrar em um teatro. Qual é o número ordinal que corresponde à pessoa que ocupa exatamente o meio da fila?

145. Nas subtrações a seguir, substitua cada asterisco (*)

pelo algarismo

correto.

Observação: os asteriscos não têm que representar o mesmo algarismo.

a)

78*4 *53* 5 93 *

b)

4*3* *5*3 2176

Usando a calculadora: Neste capítulo, você fez estimativas para diversas contas. Agora você vai ver como utilizar a calculadora para calcular os resultados e confirmar que eles são próximos das estimativas que você fez.

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Vamos resumir, aqui, algumas dessas estimativas: Operação dada

714 + 213

592 – 163

322 × 413

440 : 110

Arredondamento

700 + 200

600 – 200

300 × 400

400 : 100

Estimativa

900

400

120 000

4

Agora, veja nos quadros a seguir as operações a serem efetuadas, as instruções passo a passo, as teclas a serem utilizadas e o que se vê, a cada momento, no visor da calculadora:

1o Quadro: cálculo de 714 + 213 Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite 714

714

714

Digite +

+

714

Digite 213

213

213

Digite =

=

927

Siga os seguintes passos

Começar

Resposta

Nas atividades envolvendo calculadoras, fique atento aos comandos indicados nos exercícios, pois estes podem variar, dependendo dos modelos e marcas das calculadoras. Oriente os alunos neste sentido.

927

2o Quadro: cálculo de 592 – 163 Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite 592

592

592

Digite –

592

Digite 163

163

163

Digite =

=

429

Siga os seguintes passos

Começar

Resposta

429

123

Mat6Cap3_NOVA2012.indd 123

10/05/13 17:14


3o Quadro: cálculo de 322 × 413 Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite 322

322

322

Digite ×

×

322

Digite 413

413

413

Digite =

=

132 986

Siga os seguintes passos

Começar

Resposta

132 986

4o Quadro: cálculo de 440 : 110 Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite 440

440

440

Digite :

:

440

Digite 110

110

110

Digite =

=

4

Siga os seguintes passos

Começar

146. Estimativas: a) 700 + 400 = 1 100; b) 300 + 500 = 800; c) 600 – 200 = 400; d) 400 – 300 = 100; e) 40 x 80 = 3 200; f) 90 x 60 = 5 400; g) 300 x 400 = 120 000. Cálculos: a) 695 + 363 = 1 058; b) 325 + 493 = 818; c) 592 – 163 = 429; d) 419 – 327 = 92; e) 42 x 78 = 3 276; f) 87 x 57 = 4 959; g) 322 x 413 = 132 986.

Resposta

4

146. Agora, faça estimativas para os resultados das contas a seguir. Calcule

os resultados usando uma calculadora e verifique se eles são números próximos das estimativas que você fez.

a) 695 + 363 b) 325 + 493 c) 592 – 163

d) 419 – 327 e) 42 × 78 f) 87 × 57

g) 322 × 413

Veja como é fácil calcular potências de números naturais usando calculadora. Seja, por exemplo, calcular as potências: 22, 24, 25. Você verá que basta digitar 2, depois x e depois vários sinais “=”. O primeiro deles corresponderá a 22, o segundo, a 23, o terceiro, a 24 e assim por diante.

124

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5o Quadro: cálculo de potências Siga os seguintes passos

Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite 2

2

2

Digite ×

×

2

Digite =

=

4

Digite =

=

8

Digite =

=

16

Digite =

=

32

Começar

Respostas

147. Agora, calcule: a) 34

23 = 8

25 = 32 148. a) 757; b) 535; c) 252 756; d)394.

b) 43

c) 54

148.Use a calculadora para obter os resultados: a) 532 + 225

24 = 16

147. a) 34 = 81; b) 43 = 64; c) 54 = 625.

b) 749 – 214

c) 531 × 476

d) 43 340 : 110

Proponha problema do tipo “adivinhe qual é o número?”. (Resolvendo de trás para frente.) Exemplo: pensei em um número, multipliquei por 3, somei 9 e dividi por 3, encontrando 11 como resultado. Adivinhe o número em que pensei! 11 x 3 = 33, 33 – 9 = 24, 24 : 3 = 8. R) Pensei no número 8. JOGOS Exploração de jogos do computador transportados para atividades matemáticas. Por exemplo, no jogo da memória: fazer duplas de cartões, um com uma operação e outro com o resultado (ou um com um problema e outro com o resultado) etc. O jogo da “forca” envolvendo dados sobre números, figuras, expressões, quadrados mágicos, “números cruzados” , “figuras cruzadas”. Recomendação: utilize recursos tecnológicos (como a calculadora) como instrumento de verificação de resultados, correção de erros, realização de atividades de exploração e investigação.

125

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REVISÃO – Ao término do capítulo, reveja com os alunos, a seu critério, o significado de alguns termos: números ordinais, ordem crescente, ordem decrescente, adição e termos (parcelas, soma), subtração e termos (minuendo, subtraendo, diferença), arredondamentos, estimativas, cálculo mental, sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves), peso bruto e peso líquido, multiplicação e termos (fatores, produto, multiplicando, multiplicador), divisão e termos (dividendo, divisor, quociente e resto), número par, número ímpar, possibilidade, sigla, potenciação e termos (base, expoente, potência).

?

Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

Como escrever números naturais em ordem crescente ou decrescente. Como interpretar desigualdades do tipo x < 5 ou do tipo 3 < x < 9, com números naturais.

126

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1, 8, 9. 2, 3, 4.

Como escrever e ler números ordinais.

5, 6, 7, 10, 11, 144.

Como somar ou identificar parcelas e soma.

12, 15.

Como subtrair ou identificar minuendo, subtraendo e diferença.

12, 16.

Como relacionar a adição e a subtração como inversas.

46.

Como multiplicar ou identificar fatores e produto.

58, 59, 60, 63 a 70, 78 a 83.

Como dividir ou identificar dividendo, divisor, quociente e resto. Como variam os resultados das operações quando alteramos os termos. Como fazer arredondamentos e estimativas.

Professor(a): Ao elaborar questões de verificação da aprendizagem, bom recurso é utilizar problemas semelhantes aos explorados no capítulo trocando algum dado pela incógnita e vice-versa (e respectivos valores). Exemplificando: Situação-pro blema explorada: Luciana quer comprar um celular, mas possui apenas 3/4 do preço: R$ 321,00. Qual o preço do celular? Situação-problema de verificação: Luciana quer comprar um celular que custa R$ 640,00, mas possui apenas 3/4 desse valor. Quanto Luciana precisa ter a mais para comprar o celular? Observe que existem, pelo menos, duas maneiras de resolver este problema.

Reveja os exercícios

84 a 106. 28, 29, 30, 48, 66, 67, 99, 100, 102. 19 a 25, 43, 44, 72, 103, 146.

Como usar propriedades das operações para facilitar os cálculos.

13, 14, 17, 18, 26 a 30, 37, 38, 42, 45, 50 a 57, 61, 63, 64, 65, 73 a 76, 95, 98, 99, 104 a 109, 143 a 144. 35, 36, 39, 40, 45, 47, 66 a 71, 77 a 83, 111, 112, 113, 141, 142.

Como fazer cálculos mentais.

35, 39, 40, 48, 70, 71.

Como utilizar parênteses para indicar qual operação se faz, inicialmente, no cálculo de expressões. Como identificar a relação entre a multiplicação e a adição.

31 a 34, 36, 39, 40, 45, 47, 49, 62, 113.

Como calcular divisão com resto.

88 a 94.

Como identificar a relação que existe entre a multiplicação e a divisão.

85, 86, 87, 110.

Como identificar números pares e ímpares.

115.

Como resolver problemas com números naturais.

Como relacionar a linguagem corrente com termos matemáticos. Como usar tabelas para registrar ou calcular somas ou produtos. Como calcular possibilidades de formação de números ou de palavras. Como calcular potências e identificar bases, expoentes e potências. Como identificar desigualdades de mesmo sentido e de sentidos contrários. Como calcular quantos números existem entre dois outros. Como descobrir algarismos representados por símbolos nas operações. Como calcular somas, diferenças, produtos, quocientes e potências, usando a calculadora.

58, 60.

51 a 53, 84, 99 a 101, 114. 41, 74. 116 a 122. 123 a 128, 131 a 134. 135. 136 a 140. 145. 146, 147, 148.

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-

CapItulo 4 raçõese decimais

Striver | Dreamstime.com

, s a d i Med

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Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, regras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações afirmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como algumas regularidades relacionadas com sequencias numéricas.

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Você já conhece alguns números e figuras e já resolveu alguns problemas usando números, figuras e gráficos. Neste capítulo, você vai aprender como:

• •

Usar métodos usuais e não usuais para medir segmentos ou superfícies.

• •

Desenhar ou medir usando réguas graduadas ou outros recursos.

Fazer estimativas e arredondamentos de somas, produtos, quocientes ou diferenças de decimais.

• • • • •

Calcular quocientes com aproximação de decimais, usando a calculadora.

Resolver problemas relacionados com medidas, dinheiro, frações ou decimais.

Fazer estimativas de comprimentos de objetos em centímetros ou em milímetros. Calcular somas, diferenças, produtos, quocientes de frações, decimais ou números naturais.

Ler ou escrever medidas de comprimento usando decimais. Ler ou escrever medidas de dinheiro: o real e os centavos. Calcular quocientes com aproximação decimal. Medir, usando régua graduada, a distância entre dois pontos, bem como a distância entre um ponto e uma reta.

2 3 + = 6 6

0 0 4

1 4

+

3 8

2 8

+

3 8

4 4

3 4 1 4

2 4

3 4

4 4

2 5 4

6 4

7 4

3 4 + = 4 4

8 4

Júlia Bianchi, 2006

Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página. Neste capítulo, serão apresentadas as operações com frações e decimais e as suas aplicações. O professor notará fatos importantes: (a) a apresentação dos decimais antecedendo as frações torna, no nosso entendimento, muito mais fácil a compreensão dos algoritmos das operações; (b) a apresentação simultânea dos decimais com as medidas de comprimento e com os valores monetários, em reais e centavos, possibilita, partindo de fatos contextualizados vividos no dia a dia dos alunos, passar para uma descontextualização na forma de decimais, facilitando, assim, a compreensão dos algoritmos; (c) maior ênfase aos decimais do que às frações não decimais, por serem aqueles muito mais ligados ao cotidiano dos alunos do que as frações; (d) a opção por dar poucos problemas envolvendo frações não decimais, pois a grande maioria deles é revestida de artificialidade, nada tendo em comum com o nosso cotidiano. Desta forma, foram preferidas as aplicações com decimais, principalmente na forma de medidas ou de valores monetários.

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Números e medidas Explorando o que você já sabe Na primeira figura, você vê um quadrado s e um quadrado U, usado para medir s. •

Qual é a medida do quadrado s, usando o quadrado U como unidade de medida de área?

Se você usar o lado do quadrado U como unidade de medida de comprimento, quais são as medidas dos lados do quadrado s?

ATIVIDADES ORAIS • 9. • 3. • 27. • 3.

Na segunda figura, você vê uma pilha cúbica formada de vários pequenos cubos iguais ao cubo U, visto ao lado da pilha. •

Qual é a medida da pilha usando o cubo U como unidade de medida de volume?

Se você usar a aresta do cubo U como unidade de medida de comprimento, quais são as medidas das três dimensões da pilha?

Aprendendo em sala de aula 1.

O professor pediu para Joana medir o comprimento da barra da figura, usando a tira de papel a seguir: tira de papel barra

Ela observou que o comprimento da tira cabia uma vez na barra e sobrava uma parte sem medir: sobra

Muito esperta, ela dobrou a tira em duas partes iguais e observou que uma dessas partes media exatamente a parte da barra que havia sobrado:

Recomendamos que os exercícios de 1 a 6 sejam antecedidos por atividades usando de papel para medir outras tiras dadas. Prepare essas tiras cortando várias delas de mesmo tamanho e depois separando uma e dividindo as demais em metades, quartas partes etc., bastando para isso dobrá-las uma, duas, três etc. vezes, sucessivamente. Depois, basta cortar em cada uma delas tamanhos diferentes, para se obterem medidas fracionárias da tira separada. É possível também (e se deve) escolher uma das tiras dobradas para medir as demais. Explore duas situações: primeira, sendo a tira a ser medida maior que a tira usada como unidade de medida; e segunda, sendo a tira a ser medida menor que a tira usada como unidade de medida (obtendo, assim, medidas maiores que a unidade e medidas menores que a unidade, respectivamente). O principal objetivo desses exercícios é fazer entender que, para medir comprimentos ou distâncias, na quase totalidade das vezes, é necessário usar subdivisões da unidade de medida e que, quanto mais subdividida a unidade, mais precisa será a medida. Antes do exercício 2, recorde como se leem números mistos. Neste volume, nos restingiremos a medidas racionais. 1. a) 1/2; b)Três.

Responda:

a) Cada parte igual da tira de papel representa qual fração da tira? b) Quantas dessas partes foram usadas para medir o comprimento da barra?

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Professor(a): Muitas vezes, em um abuso de linguagem, diremos “medir uma barra” com o significado de “medir o comprimento de uma barra”. Esta forma de nos expressarmos também ocorrerá em enunciados relacionados com outras medidas, quando o contexto deixar claro o significado da grandeza à qual nos referimos, ou porque, em texto anterior e próximo, citamos qual seja essa grandeza.

2. Joana disse para o professor que, usando a tira de papel para medir a barra, a medida do comprimento da barra é 1 1 . 2 Celso e Carla mediram a mesma barra com a mesma tira. Celso disse 3 que a medida é 1,5 e Carla disse que é . O professor disse que eles 2 também estão certos!

2. Basta representar as frações 1 1 e 1 5 em de10 2 senhos para comprovar a equivalência. 1 2

1

Discuta com os seus colegas por que essas medidas são equivalentes à medida que Joana fez. Procure fazer desenhos para justificar as suas conclusões.

3. Joel foi medir o comprimento de uma barra com uma tira de papel e

observou que a barra media pouco mais que três vezes o tamanho da tira de papel. Ele dobrou a tira em duas partes iguais e depois, sem desdobrar, deu outra dobra, em duas partes iguais.

5 10

1

Se necessário, recorde: a) que a representação decimal da fração 5/10 é 0,5; b) que as frações 1/2 e 5/10 são equivalentes; c) que 1,5 = 1 + 0,5; portanto, 1,5 é a representação decimal do número misto e da fração 3/2. Estimule o uso de desenhos ou de material concreto para facilitar a resolução dos exercícios 3 e 5. 3. a) E m q u a t r o p a r t e s iguais; b) 1/4; 3 c) 3 ou 15/4. 4 É conveniente discutir com os alunos a necessidade da existência de padrões de medida. Por exemplo, podese perguntar: “O que vocês acham, se em cada lugar fossem usados instrumentos de medidas de ‘tamanhos’ diferentes? Seria possível, por exemplo, comprar tecidos medidos ‘a palmo’? Ou medir distâncias contando passos? Esses dois modos de medir são confiáveis? Se um adulto e uma criança usarem o palmo para medir um tecido, vão obter o mesmo número como medida? Qual é o instrumento de medida de comprimento que os homens criaram e que é usado em todas as partes do mundo?”

a) Em quantas partes Joel dobrou a tira de papel?

b) Qual é a fração da tira de papel que cada uma dessas partes representa?

c) Se o que sobrou da barra contém exatamente três dessas partes, como você escreveria a medida dessa barra, usando um número misto? E usando apenas uma fração?

4. Para medir o segmento AB, usou-se o segmento CD. A

B

C

D

a) O que se fez com o segmento CD para medir o segmento AB?

b) Quantas das partes iguais do segmento CD foram utilizadas para medir o segmento AB?

c) Qual das duas frações a seguir representa a medida do segmento AB em relação ao segmento CD:

5.

2 3 ou ? 3 2

4. a) Foi dividido em 3 partes iguais; b) Duas; c) 2/3.

Leila mediu o comprimento de um segmento EF usando o comprimento de outro segmento GH como unidade de medida e descobriu que GH 5. a) Maior; b) Cinco; mede 5 3 . c) Quatro; 4

a) O segmento EF é maior ou menor que o segmento GH?

d) Três.

b) Quantas vezes inteiras o segmento GH cabe no segmento EF?

c) Em quantas partes iguais Leila teve que subdividir o segmento GH para medir o que sobrou do segmento EF?

d) Quantas dessas partes foram usadas para medir a sobra?

130

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6. Observe as imagens dos objetos na foto a seguir. Usando sua régua,

escreva as medidas aproximadas dos comprimentos de cada uma delas, em centímetros.

6. Medidas dos alunos. Chave: entre 2 e 3 cm; Alfinete: entre 1 e 2 cm; Caneta: pouco maior que 8 cm; Pauzinho: pouco maior que 6 cm; Fósforo: entre 2 e 3 cm.

Nazareth Leite/Lápis Lazúli, 2006

Professor(a): Chame a atenção dos alunos para o fato de que os exercícios 6 e 7 envolvem medidas de comprimentos de imagens de objetos, e não destes objetos.

7.

Os comprimentos das mesmas imagens podem ser medidos com maior precisão. Para isso, basta utilizar uma régua graduada em milímetros. Usando uma dessas réguas, escreva as medidas dos comprimentos das imagens, em milímetros.

7. Medidas aproximadas dos alunos. Chave: 24 mm; Alfinete: 14 mm; Caneta: 81 mm; Pauzinho: 60 mm; Fósforo: 26 mm. 8. Medidas aproximadas dos alunos. Alfinete: 1,4 cm; Caneta: 8,1 cm. Pauzinho: 6,0 cm; Fósforo: 2,6 cm. 9. Desenhos dos alunos. 10.Desenhos dos alunos.

8. Deodato disse que as medidas dos comprimentos das imagens podem

ser dadas em centímetros, usando decimais. Por exemplo, o comprimento aproximado da imagem da chave é 2,4 cm. Escreva as medidas dos comprimentos das outras imagens, em centímetros, usando decimais.

9.

Use uma régua graduada e desenhe três segmentos cujas medidas sejam:

a) 3 cm

b) 5 cm

c) 8 cm

10.

Use uma régua graduada e desenhe três segmentos cujas medidas sejam:

11.

Use decimais para escrever as medidas, em centímetros, dos três segmentos que você acabou de desenhar.

12.

a) 14 mm

b) 27 mm

c) 32 mm

Antônio mediu as superfícies de duas folhas de papelão S1 e S2, representadas na figura abaixo, com um molde quadrado (U). Considerando o molde como unidade de medida de superfície, qual a medida da superfície da primeira folha?

11. a) 1,4 cm; b) 2,7 cm; c) 3,2 cm. Para introduzir as atividades que envolvem medidas de superfície, use folhas de papel quadriculado para medir áreas. Usando de 4 a 5 folhas de qualquer papel de 12 cm por 18 cm, quadricule-as em quadradinhos de 3 cm de lado. Depois, recorte em uma delas 2 retângulos de 6 cm por 9 cm e um de 6 cm por 18 cm. Separe um dos 2 retângulos em dois: um contendo 2 quadradinhos, e o outro, 4. Separe o outro em dois retângulos, cada um com 3 quadradinhos. Com isso, se obterão diversas unidades de medida para medir as outras folhas que ainda não foram recortadas. Agora, recorte as folhas restantes para obter figuras que permitam atividades semelhantes às dos exercícios que seguem. Antes de resolver o exercício 12, explique como se lê S1 : S índice 1 (ou apenas S1). 12. Quatro.

131

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Explore desenhos de retângulos quadriculados 3 x 12, 4 x 9, 6 x 6 como figuras que têm áreas iguais. Explore estimativas de áreas de figuras de formas irregulares contidas e contendo figuras de áreas cujo cálculo se faça mentalmente (com tais áreas, estime o valor mais próximo possível da área a avaliar). Explore a igualdade de áreas de figuras que coincidem exatamente quando superpostas. Diga que figuras que têm áreas iguais são chamadas de f iguras equivalentes. 13. a) Quatro vezes; b) 4 3 . 4

ATIVIDADE EXTRA 1a) Desenhe, no quadro, um quadrado quadriculado contendo 25 pequenos quadrados. Explore: a) se cada pequeno quadrado é uma unidade de área, então a área do quadrado desenhado mede 25 unidades; b) peça que destaquem, com cores ou retículas diferentes, as seguintes partes do quadrado desenhado: um retângulo de área 5 unidades; outro de área 8 unidades; e um terceiro retângulo de área 2 unidades. 2a) Peça aos alunos que desenhem uma forma de montar uma peça quadrada de 36 unidades de área composta por três peças: uma quadrada de 16 unidades de área e duas retangulares de áreas com 8 e 12 unidades, respectivamente. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 14. a) 14; b) 16; c) Uma; d) 3 1 . 16

13.

a) Quantas vezes o molde coube por inteiro na segunda folha?

b) Usando o molde como unidade de medida de superfície, qual a medida da superfície da segunda folha?

Aprendendo em casa 14.

Observe as duas figuras a seguir: U1

U2

a) Qual é a medida da superfície da primeira figura S1, usando como unidade de medida o quadrado U1 que se vê à direita dela?

b) Para medir a superfície da segunda figura S2 com o quadrado U2, à sua direita, em quantas partes iguais foi necessário dividir esse quadrado?

c) Quantas das partes de U2 foram usadas para medir a pequena saliência à direita, na segunda figura?

d) Usando o quadrado U2 como unidade de medida de superfície, qual a medida da superfície da segunda figura?

15.

Use uma régua graduada e desenhe três segmentos cujas medidas sejam:

a) 4 cm

16. Use

b) 6 cm

c) 9 cm

uma régua graduada e desenhe três segmentos cujas medidas sejam:

15. Desenhos dos alunos.

a) 16 mm

16. Desenhos dos alunos. 17. a) 1,6 cm; b) 2,3 cm; c) 3,7 cm.

Ao medir a superfície da segunda folha, Antônio observou que o molde coube uma quantidade inteira de vezes e sobrou um pequeno pedaço, menor do que o molde.

17.

b) 23 mm

c) 37 mm

Use decimais para dar as medidas dos três segmentos que você acabou de desenhar, em centímetros.

132

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Observação: As medidas se referem aos objetos representados e não às ilustrações.

Somando ou subtraindo Explorando o que você já sabe A

B

C

Segmento AB

Na figura acima, você vê representados os dois segmentos AB e BC, contidos em uma mesma reta.

• •

Para cada par de medidas dadas na tabela ao lado, calcule as medidas do segmento AC. Que conta você fez para calcular a medida AC, nos quatro casos?

Segmento BC

17 cm

9 cm

13 cm

8 cm

19 cm

11 cm

15 cm

5 cm

Segmento AC

Aprendendo em sala de aula 18.

Desenhe dois segmentos AB e BC contidos em uma mesma reta, como na figura anterior, com B entre A e C, e que tenham as seguintes medidas:

a) AB = 3,4 cm e BC = 2,3 cm

b) AB = 0,4 cm e BC = 0,5 cm

19. Em cada caso dos desenhos obtidos, use a régua e meça o segmento AC.

20. Verdadeiro ou falso:

a) 3,4 cm + 2,3 cm = 5,7 cm

Son Salvador

Acho que descobri um processo prático para calcular essas somas:

Mat6Cap4_NOVA2012.indd 133

b) 0,4 cm + 0,5 cm = 0,9 cm Para somar números decimais, usamos o mesmo processo. Veja:

Basta escrever as medidas com “vírgulas debaixo de vírgulas”. Por exemplo, a primeira eu fiz assim: 3,4 cm + 2,3 cm 5,7 cm

Nas atividades orais, as medidas dadas na tabela se referem aos segmentos representados na figura, e não às medidas da figura. Diferentemente, nos exercícios de 18 a 20, os alunos desenharão e medirão segmentos de medidas dadas usando réguas graduadas. Nesta seção, exploramos a adição de segmentos de modo intuitivo. Convencionando que m(AB) significa “medida do segmento AB”, este conceito pode ser apresentado da seguinte forma: “Dados três pontos A, B, C, de uma mesma reta, com B entre A e C, então m(AB) + m(BC) = m(AC)”. Dependendo do sistema axiomático que se adotar para formalizar a geometria euclidiana, esta afirmação pode ser, ela mesma, um dos axiomas, ou pode ser um teorema, consequência dos axiomas adotados. ATIVIDADES ORAIS • 26 cm. • 21 cm. • 30 cm. • 20 cm. • Adição. Justifique a razão do processo prático descrito no exercício 20; Inicialmente, retorne ao quadro após o exercício 12 da página 94. Por analogia, calcule como somar, ordem a ordem, primeiro, os algarismos dos centésimos, depois, os dos décimos e, finalmente, os das unidades 18. Desenhos dos alunos. 19. a) 5,7 cm; b) 0,9 cm.

20. a) V; b) V. A adição e a subtração de

3,02 + 5,42 + 1,18: 3,02 + 5,42 1,18 9,62

decimais antecedem às mesmas operações com frações decimais e são introduzidas, nos exercícios, através das operações com medidas de comprimento e com valores monetários.

133

10/05/13 17:20


21. 21. a) 15,9 cm; b) 14,5 cm; c) 45,06 cm.

3

a) 2,7 cm + 13,2 cm

b) 13,9 cm + 0,6 cm

c) 1,23 cm + 43,54 cm + 0,29 cm

22. Como você já sabe, retirar ou acrescentar zeros à direita de um decimal

Antes de resolver o exercício 22, explore as seguintes atividades: Exercícios relacionando os decimais 3,4 e 3,40 com as frações decimais equivalentes correspondentes. Leitura das duas frações anteriores: 34 décimos e 340 centésimos. Explicar que as leituras anteriores justificam ler 3,4 e 3,40, como 34 décimos e 340 centésimos. Use também uma representação desses decimais, no quadro de valor de lugar, contendo as ordens dos décimos e dos centésimos. dezenas unidades

Calcule as somas a seguir:

décimos centésimos

4

0

Lê-se: 3 unidades e 4 décimos, ou 34 décimos, ou 340 centésimos.

22. a) 34,85; b) 12,823; c) 200,95.

23. a) 20,78; b) 156,55; c) 35,79.

não altera o valor dele.

Por exemplo, 3,4 = 3,40 = 3,400 = .... Assim, para calcular 3,4 + 5,25, você deve se lembrar desse fato e escrever 3,40 + 5,25 e depois somar, colocando vírgula debaixo de vírgula. Agora, calcule as somas a seguir, acrescentando algarismos zero nas parcelas quando necessário:

a) 2,4 + 32,45

b) 0,123 + 12,7

23. Você já sabe que 3 = 3,0 = 3,00 = ....

Agora, calcule as somas a seguir, acrescentando algarismos zero nas parcelas quando necessário:

a) 3,78 + 17

b) 0,25 + 12,3 + 144

25. Organogramas dos alunos.

c) 30 + 5 + 0,7 + 0,09

24. Você viu, no item (c) do exercício anterior, que 35,79 é a soma de quatro números: 30, 5, 0,7 e 0,09. Agora, proceda de modo análogo, escrevendo cada número a seguir como soma de quatro parcelas.

a) 34,78

b) 18,47

c) 19,75

25. Usando a calculadora.

Fábio usou uma calculadora para conferir os resultados da soma do item (a) do exercício 23 e registrou seus passos na tabela que se vê abaixo. Passos dados

Teclas Apertadas

Visor

Limpei a calculadora

On/C

0

3,78

3,78

Digitei +

+

3,78

Digitei 17

17

17

Digitei =

=

20,78

Digitei 3,78 24. a) 34,78 = 30 + 4 + 0,7 + 0,08; b) 18,47 =10 + 8 + 0,4 + 0,07; c) 19,75 = 10 + 9 + 0,7 + 0,05.

c) 197,5 + 3,45

Agora, faça duas tabelas como a que Fábio fez e escreva nelas todas as passagens dos cálculos na calculadora das somas dos itens (b) e (c) do exercício 23.

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26. Denilson é muito bom aluno e trabalha em uma carpintaria. Certo dia, ele teve que cortar quatro pedaços de madeira medindo 2,3 m, 3,5 m, 1,7 m e 1,5 m.

Observação importante para os alunos: as medidas anotadas nas ilustrações ou descritas nos exercícios são relacionadas com os objetos que elas representam e não com as próprias ilustrações.

3,5 m 3m

1,7 m

4m

1,5 m

Júlia Bianchi, 2006

2,3 m

Medidas fora de escala.

Denilson não gosta de dar prejuízo ao patrão e, preocupado em não cortar tábuas sobrando pedaços, procurou usar a Matemática para resolver essa situação. Ele sabia que no depósito encontraria tábuas de 3 m, 4 m, 5 m e 6 m para cortar.

26. 4 metros e 5 metros. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 25 e os três quadros do exercício 26.

Inicialmente, ele pensou na quantidade total de madeira que iria gastar: 2,3 m + 3,5 m + 1,7 m + 1,5 m

27. 3 metros e 5 metros.

Denilson observou que: 0,3 + 0,7 = 1,0 = 1 e 0,5 + 0,5 = 1,0 = 1 Então, ele percebeu que trocando a ordem das parcelas da primeira soma acima e agrupando-as, obtém-se: (2,3 m + 1,7 m) + (3,5 m + 1,5 m) = 4 m + 5 m Com base neste resultado, Denilson escolheu duas tábuas para cortar. Responda: quais foram as medidas das duas tábuas que Denilson escolheu?

27. Discuta com os seus colegas quais os comprimentos das tábuas que Denilson escolheria para cortar pedaços medindo 1,2 m, 2,4 m, 2,6 m e 1,8 m.

28. Os lados de um quadrilátero medem 3 cm, 3,5 cm, 0,98 cm e 2,7 cm. Calcule o perímetro desse quadrilátero.

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28. 10,18 cm. ATIVIDADE EXTRA 1a) Desenhe, no quadro, triângulos, retângulos, paralelogramos, trapézios, losangos, com as medidas dos lados em valores como os usados no exercício 28. Chame um aluno (um por figura) até o quadro para calcular o perímetro. 2a) Atividade análoga: desenhe triângulos escalenos faltando a medida de um dos lados. Conhecendo os perímetros, o aluno deve calcular a medida dos terceiros lados (crie um valor compatível com as dimensões do lado incógnito).

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Sugira uma pesquisa sobre os diversos significados do termo “moeda”. Sugira também que pesquisem sobre moedas correntes de outros países.

29. Observe como representamos com decimais alguns valores em nossa moeda corrente:

29. a) 1/100 ou 0,01; b) 100; c) Um centavo; d) 5 e 10; e) 10/100 ou 0,10; f) 0,17; g) 17 e 50.

Valores

Representação

UM REAL

R$ 1,00

DOIS REAIS

R$ 2,00

TRÊS REAIS

R$ 3,00

CEM REAIS

R$ 100,00

Agora, responda:

a) Dividindo um inteiro em 100 partes iguais, qual é a fração que representa uma dessas partes? Como se representa essa fração, usando número decimal?

b) Quantas moedas de um centavo são necessárias para formar um real?

c) R$ 0,01 representa a centésima parte do real. R$ 0,01 representa quantos centavos? d) R$ 0,05 representa quantos centavos? E R$ 0,10?

e) Qual é a fração que representa que o inteiro foi dividido em 100 partes iguais e foram reunidas 10 delas? Como se representa essa fração, usando um número decimal? f) Represente a fração 17 usando número decimal. 100 g) R$ 0,17 representa quantos centavos? E R$ 0,50?

30. a) R$ 7,19; b) Treze reais e quarenta e três centavos; c) R$ 207,73; d) Duzentos reais e vinte e sete centavos.

30. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, quais expressões, por extenso ou simbólicas, que substituem corretamente as letras::

Sete reais e dezenove centavos

a

b

R$ 13,43

Duzentos e sete reais e setenta e três centavos

c

d

R$ 200,27

136

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31.

Valéria fez uma pesquisa de preços nos supermercados Baratissimi e Levipagi antes de fazer suas compras. Veja o que ela anotou para artigos de mesma marca e mesmas quantidades. Baratissimi

Levipagi

Leite em pó

R$ 3,69

Leite em pó

R$ 3,40

Pizza

R$ 4,25

Pizza

R$ 4,15

Milho verde

R$ 0,65

Milho verde

R$ 0,60

Talharim

R$ 1,28

Talharim

R$ 1,14

Açúcar refinado

R$ 0,75

Açúcar refinado

R$ 0,70

a) Em qual dos dois supermercados Valéria fez as compras? Por quê?

b) Tendo comprado uma unidade de cada artigo das tabelas, quanto Valéria economizou?

32. Celina comprou três objetos nos valores de R$ 3,12, R$ 5,18 e R$ 1,35. Quanto Celina gastou ao todo?

13 100 podem indicar: que se dividiu uma grandeza em 100 partes iguais e se reuniram 13 dessas partes. Agora, observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras:

33. Você já sabe que tanto o número decimal 0,13 quanto a fração

Número decimal

0,17

0,32

Fração equivalente

17 100

a

1,73 1

2,39

73 100

b

c 3

132 1000

34. Faça o que se pede:

a) Calcule: 0,17 + 0,32. 17 b) Você já sabe que 0,17 = . Escreva também na forma de fração o número 0,32 e 100 o resultado da soma do item (a).

c) Com base nos itens (a) e (b) anteriores, copie a expressão abaixo em seu caderno e a complete:

?

17 32 + = 100 100 100

d) Agora, calcule as seguintes somas: 1a)

15 22 + 100 100

2a)

27 23 + 100 100

31. a) No super mercado Levipagi, porque os preços de todos os artigos pesquisados são mais baratos do que no supermercado Baratissimi; b) R$ 0,63. Professor(a): Explore situações semelhantes às do exercício 31 usando tabelas nas quais os preços de alguns artigos de um supermercado são menores e outros maiores do que os mesmos artigos do outro supermercado. Promova discussões sobre como comprariam (nos dois supermercados) para obter a compra mais vantajosa, ou compare vantagens/desvantagens ao comprar em um único deles. Varie, também, as quantidades de unidades compradas por artigos, com o objetivo de tornar mais signif icativa a economia feita. Destaque o fato de que existem, em diversas cidades, páginas da internet que permitem aos cidadãos conhecerem preços dos mais variados artigos sem ter que comparecerem aos diversos estabelecimentos. 32. R$ 9,65. ATIVIDADE EXTRA Explore: a) Exercícios semelhantes aos 31 e 32, com dados de anúncios retirados de revistas, jornais ou folhetos de propaganda. b) O significado dos termos: preço, custo, pagamento, troco, economizou (e, se julgar conveniente, outros como: desconto, pagamento com cheque, pagamento com cartão de crédito, pagamento à vista, pagamento parcelado etc.). 33. a) 32/100; 39 b) 239/100 (ou 2 ; 100 c) 3,132.

3a)

145 235 + 1 000 1 000

35. Complete, em seu caderno, a seguinte frase: a soma de frações de de-

(a) nominador 100 é outra fração de denominador …....…, cujo numerador (b) é a …...… dos numeradores das frações parcelas.

34. a) 0,49; b)32/100 e 49/100; c) 49/100; d) 1a) 37/100 2a) 50/100 3a) 380/1 000. 35. a) 100; b) Soma.

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36. A soma de frações de denominador 1 000 é outra fração de denominador 1 000, cujo numerador é a soma dos numeradores das frações parcelas.

36. Escreva uma frase que explique como somar frações de denominador 1 000.

37. Observe, também, como calcular outras somas de frações:

37. a) 8; b) 1/8; c) 3/8 + 2/8; d) 8; e) 1/8; f) 3/8, 2/8, 5/8. Chame a atenção dos alunos para dois fatos importantes: a) as figuras usadas para representar frações são divididas em diversas partes iguais, isto é, do “mesmo tamanho”; b) as distâncias entre pares de pontos consecutivos nas retas numeradas correspondentes a frações são todas iguais entre si, ou seja, os pares de pontos são equidistantes. Explore atividades como as propostas nos exercícios de 37 a 39 usando desenhos ou recortes de papel quadriculado. As figuras dos círculos podem ser substituídas por retângulos quadriculados por ser mais fácil de serem construídos. Proponha que grupos de alunos inventem atividades análogas para que outros grupos as resolvam. 38. 5/6 e 7/4. Assegure-se de que não existem alunos somando ou subtraindo frações erradamente. Um erro muito comum é somarem, entre si, os numeradores e, entre si, os denominadores. Sugerimos escrever no quadro adições de frações de denominadores iguais, de acordo com o número de alunos da turma, e propor uma delas para cada um. Caso um ou mais cometam tais erros, procure convencê-los do erro. Um bom recurso é utilizar o que é muito fácil de se entender: 3 cm + 5 cm = 8 cm. Logo, como frações do metro, 3/100 + 5/100 = 8/100 (e não 8/200).

3 2 5 + = 8 8 8

0

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

8 8

0 0

1 3 8

2 8

a) Em quantas partes iguais está dividido o círculo? b) Qual é a fração que representa cada uma dessas partes? c) A reunião das duas partes coloridas representa qual soma de frações? d) Em quantas partes iguais foi dividida a parte da reta entre o zero e o um? e) Qual fração representa cada uma dessas partes? f) As duas setas curvas representam a soma de duas frações. Quais são as duas frações e qual é a soma delas?

38. Calcule as somas representadas pelas figuras a seguir: 2 3 + =? 6 6

3 4

4 4

3 4 + = 4 4

0

0 4

1 4

Acho que descobri como somar frações de denominadores iguais:

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

7 4

? 2

8 4

Correto! Mas, e quando os denominadores não forem iguais?

O denominador da soma é o mesmo denominador das parcelas. O numerador da soma é a soma dos numeradores das parcelas.

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Veja as ilustrações a seguir e descubra como somar frações de denominadores diferentes: Você vê

Você calcula

1 4

+

3 8

1 3 2 3 5 + = + = 4 8 8 8 8

5 8

ou 2 8

+

I

II

III

3 8

39. Observe as ilustrações anteriores e responda:

a) As duas primeiras figuras representam uma soma de duas frações. Qual é essa soma?

b) As frações cuja soma está sendo representada pelas duas primeiras figuras, têm denominadores iguais ou diferentes?

c) A primeira e a terceira figuras representam duas frações equivalentes. Quais são elas?

d) Júlio disse que somar 1 + 3 é o mesmo que somar 2 + 3 . Por que ele está certo, 4

ao afirmar isso?

8

8

8

? 3 e) Agora, copie e complete em seu caderno: 1 + 3 = + = ? 4

8

?

8

40. Copie em seu caderno e calcule as somas a seguir: a) 3 + 4 = ? + ? = ?

d) 7 + 9 = ? +? = ?

b) 4 + 1 = ? + ? = ?

e) 3 + 3 = 3 +? = ?

c) 5 + 5 = ? + ? = ?

f) 4 + 2 = 28 + 2 = ?

8 12 9

9

6

10

24

24

24

18 18 90

90

6

10

5

30

5

7

?

30

5

7

Celso já sabe que, para números naturais, se 2 + 3 = 5, então 5 – 3 = 2. Ele escreveu esses números em forma de fração e concluiu:

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque antes do exercício 39 (Você vê, ...) e, também, os dois quadros em destaque do exercício 40 (no final da página 139 e antes do exercício 41, na página 140). 39. a) 1/4 + 3/8; b) Denominadores diferentes; c) 1/4 e 2/8; d) Porque 1/4 e 2/8 são equivalentes; e) 1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8. Explique aos alunos como obter os numeradores das duas parcelas nos itens do exercício 40. Por exemplo, em (a) o denominador 8 da fração 3/8 foi multiplicado por 3 para obter o denominador 24 da fração ?/24. Como queremos torná-las equivalentes, basta multiplicar o numerador 3 da fração 3/8 também pelo mesmo número, obtendo 3 x 3 = 9, ou seja, obtendo 3/8 = 9/24. Note, na prática: para obter o numerador procurado, podemos proceder assim: (24 : 8) x 3 = 3 x 3 = 9. Do mesmo modo, ainda em (a) teríamos para o numerador da segunda fração: (24 : 12) x 4 = 2 x 4 = 8. 40. a) 3/8 + 4/12 = 9/24 + 8/24 = 17/24; b) 4/9 + 1/6 = 8/18 + 3/18 = 11/18; c) 5/9 + 5/10 + 50/90 + 45/90 = 95/90; d) 7/6 + 9/10 = 35/30 + 27/30 = 62/30; e) 3/5 + 3 = 3/5 + 15/5 = 18/5; f) 4 + 2/7 = 28/7 + 2/7 = 30/7. Explore os signif icados de  e . O primeiro, , significa uma implicação do tipo “... se... então...” Exemplo: dois números são pares  a soma deles é par (se dois números são pares, então a soma deles é par). Observe que a recíproca não é verdadeira, isto é, a soma de dois números pode ser par sem que os dois sejam pares. Já o símbolo  deve ser entendido como uma dupla implicação (ou seja, são verdadeiros o direto e o recíproco). Pode ser visto como “... se e somente se...”. Exemplo: 7 x 4 = 28  28 : 4 = 7 (o produto de 7 por 4 é 28 se e somente se o quociente de 28 por 4 for igual a 7).

Se 4 + 6 = 10 , então 10 − 6 = 4 . 2 2 2 2 2 2

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Celso perguntou ao professor se a conclusão dele estava correta. O professor disse que sim, e, para ajudá-lo a compreender melhor como subtrair frações, fez no quadro as figuras a seguir, nas quais cada seta representa a parte que foi retirada: B

A

10 2 − = 12 12

?

C

6 2 − = 10 10

?

1−

1 5 1 = − = 5 5 5

?

41. a) 8/12; b) 4/10; c) 4/5.

41.

42. a) Igual; b) Diferença.

42. Escreva, em seu caderno, o que deve completar a frase a seguir, subs-

Agora, copie em seu caderno as três subtrações relacionadas com as figuras que o professor fez e escreva os resultados das subtrações correspondentes. tituindo as letras destacadas abaixo:

Antes do exercício 43, no quadro, faça propostas de adições usando figuras correspondentes a frações ordinárias somadas a números inteiros, números mistos e frações impróprias. Idem, com subtrações. 43. a) 4/11; b) 2/4; c) 4/2. Explique aos alunos como obter os numeradores no minuendo e no subtraendo dos itens do exercício 44.

A diferença de duas frações de denominadores iguais é uma fração cujo denominador é ....(a).... ao denominador das duas frações e cujo numerador é a ....(b).... dos numeradores das duas frações.

43. Calcule as seguintes diferenças: 9

5

a) 11 – 11

45. 1/4. Primeiro, 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4; depois, 4/4 – 3/4 = 1/4

4

4

4

c) 9 – 2 1 = 9 – 5

4

2

2

44. Copie em seu caderno e calcule as seguintes diferenças: 5

4

? ? ?

– = – a) = 8 12 24 24 24

b) 5 – 1 = 44. a) 5/8 – 4/12 = 15/24 – 8/24 = 7/24; b) 5/9 – 1/6 = 10/18 – 3/18 = 7/18; c) 8/9 – 5/10 = 80/90 – 45/90 = 35/ 90; d) 7/6 – 9/10 = 35/30 – 27/30 = 8/30; e) 23/5 – 3 = 23/5 – 15/5 = 8/5; f) 4 – 2/7 = 28/7 – 2/7 = 26/7.

b) 1 3 – 5 = 7 – 5

9

6

– c) = 8 9

5 10

?– ? ?

18

18

? ? ?

= – 90 90

7 9 d) = – 6

10

?= ? –

30

5

5

5

2 28 2 f) = 4– = – 7

?

7

2

?

30

23 ? e) 23 = = –3 –

2

? ?

45. Beatriz usou dois recipientes graduados de mesmo volume para fazer um coquetel de frutas. Mediu 1 recipiente de suco de pêssego e despejou no se2 gundo recipiente. Depois mediu 1 suco de acerola e virou no recipiente que 4 continha o suco de pêssego, e completou com água o que faltava para encher o recipiente. Que fração do recipiente representa a quantidade de água usada para completar o coquetel? Que contas você fez para calcular a resposta?

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46. Veja

como calcular 1,23 + 43,54 – 0,29, usando a calculadora. Depois, faça uma tabela em seu caderno e registre nela como calcular 30,5 – 0,7 – 0,09. Siga os seguintes passos

Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite

1,23

1,23

Digite

+

1,23

Digite

43,54

43,54

Digite

44,77

Digite

0,29

0,29

Digite

=

44,48

Resposta

46. Tabela do aluno. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

44,48

Aprendendo em casa 47. Sendo a = 12,4 cm, b = 8,7 cm, c = 5,3 cm, d = 3,4 cm, e = 0,9 cm, calcule: a + b, a – b,

48. Sendo a + b, a – b,

a + c, a – c,

a + d, a – d,

a+e a–e

a = 15,4, b = 12,32, c = 8,09, d = 5,6, e = 0,27, calcule: a + c, a – c,

a + d, a – d,

a + e, a – e,

b + c, b – c,

b + d, b – d,

b + e, b – e,

47. Valores em centímetros: 21,1 17,7 15,8 13,3 3,7 7,1 9 11,5

c + d, c – d,

c + e, c – e,

d+e d–e

48. 27,72 23,49 21 15,67 20,41 17,92 12,59 13,69 8,36 5,87 3,08 7,31 9,8 15,13 4,23 6,72 12,05 2,49 7,82 5,33.

49. Nas figuras A e B, estão representadas duas operações com frações: A

B 3 2 5 + = 6 6 6

6 1 5 – = 8 8 8

a) Qual é a operação representada na figura A: adição ou subtração? b) Qual é a operação representada na figura B? c) Qual é o significado da seta na figura A? d) Qual é o significado da seta na figura B?

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49. a) Adição; b) Subtração; c) A reunião de 2/6 com 3/6; d) Que de 6/8 estão sendo retirados 1/8. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque do exercício 49.

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50. Observe a figura a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras a, b e c:

50. R) 2/10 + 3/10 = 5/10.

1 3 ou a + b = c + 5 10

ou

1 5 51. a) 7/8 + 5/12 = 21/24 + 10/24 = 31/24; b) 2/9 + 5/6 = 4/18 + 15/18 = 19/18; c) 2/9 + 3/10 = 20/90 + 27/90 = 47/90; d) 1/6 + 3/10 = 5/30 + 9/30 = 14/30; e) 2/5 + 1 = 2/5 + 5/5 = 7/5; f) 2 + 1/7 = 14/7 + 1/7 = 15/7.

+

3 10

a) 7 + 5 = 8

12

? +? =? ; 24

24

24

b) 2 + 5 = ? + ? = ? ; 9

9

Explore situações usando receitas culinárias relacionadas com dados fracionários.

b

51. Copie em seu caderno e calcule:

6

18

c) 2 + 3 = 52. a) 3/8 – 1/12 = 9/24 – 2/24 = 7/24; b) 7/9 – 1/6 = 14/18 – 3/18 = 11/18; c) 11/9 – 7/10 = 110/90 – 63/90 = 47/90; d) 11/6 – 7/10 = 55/30 – 21/30 = 34/30; e) 23/5 – 2 = 23/5 – 10/5 = 13/5; f) 3 – 2/7 = 21/7 – 2/7 = 19/7.

a +

10

6

e)

18

?+? =?; 90

90

? ? d) 1 + 3 = + = ? ; f)

10

30

30

? ?; 1 ? ? 2+ = + =? . 7 ? 7 2 2 +1= + = 5 5 5

52. Copie em seu caderno e calcule: a) 3 − 1 = 8

12

b) 7 − 1 = 9

6

9

10

? ? ? 24

24

=

24

;

? −? =? ;

18

18

? ? c) 11 − 7 = − = ? ; 90

90

d) 11 − 7 = 6

10

? −?

30

30

=

?;

? e) 23 − 2 = 23 − = ? ; 5

5

5

f) 3 − 2 = 21 − 2 = ? . 7

7

7

Multiplicando Explorando o que você já sabe Observe as frases (a) e (b):

ATIVIDADES ORAIS • 3 + 3 + 3 + 3 = 12; • 3 x 4 = 12; • 1/10 + 1/10 + 1/10 + 1/10 = 4/10; • 1/10 x 4 = 4/10.

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a) Comprei quatro canetas que custam três reais cada uma. b) A mãe de Mauro repartiu um bolo em dez fatias iguais e, durante quatro dias

• • • •

seguidos, Mauro comeu uma dessas fatias por dia. Como representar, com adições, quanto paguei pelas quatro canetas? Como representar, usando uma multiplicação, quanto paguei pelas quatro canetas? Como representar, com adições, a parte do bolo que Mauro comeu? Como representar, com uma multiplicação, a parte do bolo que Mauro comeu?

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Aprendendo em sala de aula 53. Você acabou de ver que: 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 4 = 12 e

4 1 1 1 1 1 + + + = ×4 = 10 10 10 10 10 10

Como a x b = b x a, também é fácil concluir que: 2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 . 9 9 9 9 9 Agora, escreva cada soma a seguir como o produto de um número natural por uma fração e também como uma única fração:

a) 1 + 1 + 1 9

9

9

b) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 7

7

7

7

c) 7 + 7 + 7

7

4

4

4

d) 3 + 3 + 3 + 3 7

7

7

7

54. Nos exercícios anteriores, você aprendeu que: 4×

1 4 = 10 10

2 6 = 9 9

53. a) 3 x 1/9 = 3/9; b) 5 x 1/7 = 5/7; c) 3 x 7/4 = 21/4; d) 4 x 3/7 = 12/7.

3 12 = 7 7

Discuta com seus colegas e descreva como se faz para multiplicar uma fração por um número natural.××

Desafio!

O professor propôs um desafio: Multiplicar 3 × 2, escrevendo esses números como frações.

9 , o 2 pela 3 9 10 10 fração equivalente . e escreveu a multiplicação, obtendo × 3 5 5 Juliana sabe que o resultado tem que ser uma fração equivalente a 6 (porque 3 × 2 = 6). Juliana fez assim: substituiu o 3 pela fração equivalente

Ela tentou multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. Veja o que Juliana obteve:

54. O produto de uma fração por um número natural é uma fração de denominador igual ao da fração dada, cujo nume rador é o produto do número natural pelo numerador da fração dada. Antes de se abordar o desafio, reveja com os alunos o conceito de frações equivalentes, bem como o modo de se obterem frações equivalentes a uma fração dada (multiplicando ou dividindo os termos por um mesmo número diferente de zero). Em particular, recorde por meio de exercícios: (a) 90/15= (90 : 15)/(15 : 15) = 6/1 = 6; (b) 3 = 3/1 = 6/2 = 9/3; (c) 2 = 2/1 = 4/2 = ... = 10/5; (d) 1 = 1/1 = 2/2 = ….

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque dos exercícios 53 e 54.

9 10 90 6 × = = =6 3 5 15 1 90 . 15 Mas, para simplificar essa fração, dividiu os dois termos por 15 e obteve Observe que, inicialmente, Juliana encontrou a fração

a fração

6 , que é equivalente a 6. 1

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55. a) 15; b) 15.

55. Faça como Juliana, escrevendo, em seu caderno, o que completa o exercício a seguir:

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 55, bem como a frase em destaque azul. Recado ao professor. No retângulo ao lado, estamos dizendo que o professor confirmou uma regra. Objetivamos, com isso, evitar que os alunos entendam que, de casos particulares, podemos inferir conclusões gerais. Quando dizemos que o professor afirmou é porque ele tem suficiente conhecimento matemático para garantir que o fato é geral, mesmo sem prová-lo. 56. a) 3/5 x 7/8 = 21/40; b) 2/3 x 4/5 = 8/15; c) 3/8 x 5/6 = 15/48; d) 9/8 x 4/3 = 36/24.

Ao resolver o exercício 57, o aluno já está assumindo a regra enunciada pelo professor. 57. a) V; b) V; c) V; d) F (por exemplo, 3/4 vezes 4/3 resultam em 12/12, que equivalem a l). Aqui, mais uma vez, exploramos “contraexemplo”, ou seja, um exemplo de que uma frase é falsa. 58. a) 7/5, 14/10, 28/15 etc.; b) 9/4, 18/8, 27/12; c) 1, ou uma fração equivalente a 1. Recado ao professor: comente que um modo prático de encontrar a inversa de uma fração, é trocar o numerador com o denominador, mas enfatize o fato de que, qualquer fração equivalente à obtida com tal inversão, também é inversa da fração primitiva. 59. a) 6/5, 12/10, 18/15, etc. b) 9/7,18/14, 27/21, etc. c) 1/4, 2/8, 3/12, etc.

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3 × 5 = 15; logo, 9 × 10 = 90 = a = b. 3 2 6 1 Juliana perguntou ao professor se, para multiplicar frações que não são equivalentes a números naturais, poderia usar a mesma regra. O professor respondeu para ela: “Você está correta, ou seja, para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si”.

56. Use a regra que Juliana descobriu para multiplicar: a) 3 × 7 = ? × ? =?

c) 3 × 5 = ? × ? = ?

b) 2 × 4 = ? × ? =?

d)

5

3

8

5

?× ? ?

8

?×? ?

6

? ×? ?

9 4 × = 8 3

? =? ? ? ? × ×

57. Verdadeiro ou falso:

a) Multiplicando duas frações, obtemos, como produto, uma terceira fração.

b) O numerador do produto de duas frações é o produto dos numeradores delas.

c) O denominador do produto de duas frações é o produto dos denominadores das frações. d) O produto de duas frações não pode ser equivalente a um número natural.

58. Observe os exemplos a seguir: Primeiro exemplo,

5 7 × = 1. 7 5

Segundo exemplo,

5 21 × = 1. 7 15

21 7 são frações equivalentes, como você já sabe. Elas e 5 15 5 são exemplos de frações inversas da fração . 7 5 a) Dê exemplos de outras frações inversas da fração . 7 4 b) Dê exemplos de frações inversas da fração . 9

As frações

c) Discuta com seus colegas e escreva, em seu caderno, o que são frações inversas, completando a frase a seguir:

?

Duas frações são uma a inversa da outra se o produto delas for .......

59. Encontre frações inversas para cada uma das seguintes frações: a)

5 6

b)

7 9

c) 4 = . 4 1

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60. Dê um exemplo de duas frações que sejam inversas e iguais. 61. Observe: 3 7 3×7 21 = × = 10 10 10 × 10 100

Logo, 0,3 × 0,7 = 0,21

13 4 13 × 4 52 = × = 100 10 100 × 10 1000

Logo, 0,13 × 0,4 = 0,052

Quantas ordens decimais tem:

a) O número 0,3?

c) O número 0,21?

b) O número 0,7?

e) O número 0,4?

d) O número 0,13?

f) O número 0,052?

62. Copie, em seu caderno, e faça como no exercício anterior: primeiro,

multiplique as frações e, depois, os números decimais correspondentes:

a) b)

?? ? ? ? ? ? ×?.... ...... ? 22 6 .... × = = 100 10 .... × .... ...... ? ? ? 5 9 ... × ... ..... × = = 10 10 ... × ... .....

Para multiplicar 0,4 por 0,9, Petrônio fez assim:

? ? ??

?

? ? ??

?

Logo, .......... × .......... = ....... Logo, .......... × .......... = .......

Primeiro multiplicou como se fossem os números naturais 4 e 9: 4 x 9 = 36. Depois, contou as ordens decimais dos fatores e somou: 0,4 tem uma ordem decimal.0,9 tem uma ordem decimal. Como 1 + 1 = 2, Petrônio separou duas ordens decimais no produto: 0,36. Finalmente, escreveu: 0,4 x 0,9 = 0,36.

tituir corretamente as letras:

Número de ordens decimais

60. Todas as frações com numerador igual ao denominador servem de exemplo. 61. a) Uma; b) Uma; c) Duas; d) Duas; e) Uma; f) Três.

63. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve subsMultiplicação

No exercício 58, introduzimos o conceito de frações inversas como sendo duas frações que, multiplicadas uma pela outra, resulta numa fração equivalente a 1. Sugira que os alunos invertam e multipliquem frações diversas, como foram apresentadas nos exercícios 58 e 59, para observarem que o produto das mesmas é sempre uma fração equivalente a 1. Peça ainda que escrevam outras frações equivalentes às que encontraram e multipliquem pelas frações originais, para fixar o conceito de frações inversas

Número de ordens decimais do produto

Do 1º fator

Do 2º fator

0,4 × 0,9 = 0,36

1

1

1+1=2

0,15 × 0,03 = 0,0045

2

2

2+2=4

0,28 × 0,2 = 0,056

a

b

c

0,7 × 0,9 = 0,63

d

e

f

62. a) 45/100; logo, 0,5 x 0,9 = 0,45; b)132/1000; logo, 0,22 x 0,6 = 0,132. 63. a = 2; b = 1; c = 3; d = 1; e = 1; f = 2. Faça com os alunos o seguinte exercício oral (pedindo que completem as frases a seguir): Escreva no quadro: Para multiplicar decimais: Multiplicamos como se fossem… ; Contamos o número de ordens decimais dos fatores e…; Escrevemos o produto como um decimal que tenha tantas ordens decimais quantas forem as unidades da … obtida anteriormente. Depois, peça aos alunos que escrevam estas frases completas, no caderno. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 63 (exceto as duas últimas linhas).

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64. 0,6, 0,96, 0,048, 2,64, 0,4, 0,02, 1,1, 0,032, 1,76, 0,088. 65. R$ 66,29. Proponha exercícios que façam recordar como se multiplica um número natural por 10, 100, 1 000 etc., bem como as razões das igualdades 32,50 = 32,5, 7,43000 = 7, 4300 = 7,430 = 7,43 etc. 66. a = 73,280; b = 73,28; c = 7,328 x 10 = 73,28; d = Ao multiplicar por 10, a vírgula deslocou uma ordem decimal para a direita; e = 732,800 f = 732,8 g = 7,328 x 100 = 732,8; h = Ao multiplicar por 100, a vírgula deslocou duas ordens decimais para a direita. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 66 (duas primeiras linhas). ATIVIDADE EXTRA Proponha exercícios análogos ao 65, usando também compras de tecidos (em metros e em centímetros) a preços em reais e em centavos para gerar produtos de decimais. Em particular, utilize, em tais problemas, situações que levem o aluno a multiplicar decimais por potências de dez. Sugira que resolvam: o regulamento de uma prefeitura exige que: a) as construções ocupem, no máximo, 3/4 da área do terreno, b) exista, no mínimo, um cômodo cuja área seja 2/45 da área da construção. Perguntas: 1a) Qual fração do terreno representa a área do cômodo mencionado? 2a) Qual é a área máxima de construção permitida em um terreno de 360 metros quadrados? 3 a) E qual é a área do cômodo mencionado? R) 6/180 = 1/30; 270 m2; 12 m2. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 67. a) 6/35; b) 21/72; c) 20/63; d) 42/20. 68. 3 2,25 0,175 1,3 1,08 0,084 0,624 0,063, 0,468 0,0364.

64. Sendo:

a = 1,2, b = 0,5, c = 0,8, d = 0,04, e = 2,2, calcule:

a × b, a × c, a × d, a × e, b × c, b × d, b × e, c × d, c × e, d × e.

65. Lauro parou seu automóvel em um posto. Abasteceu o tanque com 28,4 litros de gasolina ao preço de R$ 1,85 o litro e comprou 2,5 litros de óleo para o motor ao preço de R$ 5,50 o litro. Qual foi a despesa total de Lauro nesse posto?

66. Observe a tabela a seguir. Nas duas primeiras linhas, multiplicamos os números como se fossem inteiros e separamos no produto as quantidades de ordens decimais, como vimos anteriormente. Agora, escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras nas outras linhas. 3,25 × 10 = 32,50 = 32,5 logo, 3,25 × 10 = 32,5.

Ao multiplicar por 10, a vírgula deslocou uma ordem decimal para a direita. Ao multiplicar por 100, a vírgula deslocou duas ordens decimais para a direita.

3,25 × 100 = 325,00 = 325 logo, 3,25 × 100 = 325. 7,328 × 10 = a = b logo, c.

d

7,328 × 100 = e = f logo, g.

h

Aprendendo em casa 67. Copie, em seu caderno, e complete:

? ? 7 5 ? ×? ? ?×? ? 3 7 × = =  × 8 9 ? ? ?

? a) 2 × 3 = × = 

? ? ? c) 4 × 5 = × = 

b)

d) 6 × 7

68. Sendo a = 2,5,

b = 1,2,

7

5

c = 0,9,

9

4

? ×? ? ?×? ? = =  ? ×? ?

d = 0,07, e = 0,52, calcule:

a × b, a × c, a × d, a × e, b × c, b × d, b × e, c × d, c × e, d × e

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69. Calcule os produtos a seguir, deslocando a vírgula para a direita quantas ordens decimais forem necessárias:

a) 2,345 × 10 = ?

b) 2,345 × 1 000 = ?

c) 2,345 × 100 = ?

d) 2,345 × 10 000 = ?

Observe o esquema que lembra o símbolono quadro após o título Aprendendo em Sala de Aula.

Dividindo Explorando o que você já sabe Em cada caso, o que substitui a interrogação corretamente?

12 × 7 = 84  84 : 7 = 12 3 2 6 × = 4 5 20 0,12 × 0,7 = 0,084 3,458 × 10 = 34,58 3,458 × 100 = 345,8

69. a) 23,45; b) 2345; c) 234,5; d) 23450.

• 84 : 12 = ? 6 2 : = 20 5

?

• 0,084 : 0,7 = ?

Em seguida, será estudada a divisão. Recomendamos recordar com os alunos o fato de que “quem conhece o produto, conhece o quociente” (multiplicação e divisão como inversas), através de exercícios como os que seguem: a) Como 3 x 4 = 12, o que podemos afirmar da divisão 12 : 4? b) Como 7 x 5 = 35, o que podemos afirmar da divisão 35 : 5?

ATIVIDADES ORAIS • 7; • 3/4; • 0,12; • 3,458; • 3,455.

• 34,58 : 10 = ?

• 345,8 : 100 = ?

Aprendendo em sala de aula Jorge sabe que, se 7×4 = 28, então 28 : 4 = 7. Sabe também que:

7

×4

28

Se 3 × 2 = 6 ,, então 6 : 2 = 3 . (E observou que 6 : 2 = 3 e 20 : 5 = 4.) 20 5 4 4 5 20 Se 2 × 4 = 8 , então 8 : 4 = 2 . (E observou que 8 : 4 = 2 e 15 : 5 = 3.) 15 5 3 3 5 15 Jorge, então, pensou na seguinte regra: “Para dividir uma fração por outra, basta dividir o numerador da primeira pelo numerador da segunda e o denominador da primeira pelo denominador da segunda.” Mas Leila, que é muito esperta, perguntou para Jorge: “Como eu poderia 7 3 usar sua regra de divisão de frações para calcular : ? Observe que as divisões de 7 por 3 e 9 por 4 não são exatas!” 9 4

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Neste momento, o professor pediu a atenção de todos os alunos para que observassem no quadro, como se vê a seguir, dois processos diferentes de dividir frações: o primeiro, visto na coluna da esquerda, usando a relação entre a multiplicação e a divisão como inversas, e o segundo, visto na coluna da direita, multiplicando a primeira fração pela inversa da segunda.

Recordar: 60/100 = (60 : 20)/(100/20) = 3/5; 40/60 = (40 : 20)/(60/20) = 2/3; 10/12 = (10 : 2)/(12 : 2) = 5/6; 18/40 = (18/2)/(40 : 2) = 9/20.

Usando a relação entre a multiplicação e a divisão

Observe, novamente, a preocupação de dizer que o professor escreveu a regra da divisão de frações. Quando dizemos que o professor afirmou algum fato, é porque ele tem conhecimento matemático bastante para garantir que o fato é verdadeiro, mesmo sem demonstrá-lo. Com isto, visamos a evitar que os alunos criem a falsa ideia de que é possível concluir regras gerais, de quaisquer casos particulares.

3 4 12 × = 5 5 25 2 4 8 × = 3 5 15

Divisão usando multiplicação

Logo, 12 : 4 = 3 25 5 5

12 4 12 5 60 3 : = × = = 25 5 25 4 100 5

Logo, 8 : 4 = 2 15 5 3

8 4 8 5 40 2 : = × = = 15 5 15 4 60 3

Observe que, ao invés de dividir pela regra do Jorge, o que se fez foi multiplicar a primeira fração por uma inversa da segunda fração. Depois, as frações obtidas foram simplificadas, dividindo seus termos por um mesmo número (no primeiro exemplo, 60 e 100 foram divididos por 20 e, no segundo, 40 e 60 foram divididos por 20). Note agora que, pelo segundo processo, é possível obter a

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os dois quadros em destaque antes do exercício 70.

divisão

70. a) 24/35; b) 10/12; c) 18/40; d) 27/32.

7 3 : . 9 4

Assim:

7 3 7 4 28 : = × = 9 4 9 3 27

Observe também que, quaisquer que sejam duas frações dadas, pelo segundo processo sempre será possível efetuar a divisão, o que não ocorre com a regra que Jorge imaginou ser válida.

71. a) 2; b) 2.

O professor, então, escreveu no quadro a seguinte regra: “Para dividir frações, basta multiplicar a primeira por uma inversa da segunda.”

70. Use a regra acima para calcular as seguintes divisões de frações: 3 7

71.

a) 5 : 8

2 4

b) 3 : 5

3 5

c) 8 : 6

3 4

d) 8 : 9

Observe as respostas às letras (b) e (c), do exercício anterior, para responder:

a) Por qual número deve-se dividir o numerador e o denominador da fração obtida no 5 , isto é, para simplificá-la? 6 b) Por qual número deve-se dividir o numerador e o denominador da fração obtida no 9 , isto é, para simplificá-la? item (c) para se obter a fração equivalente 20 item (b) para se obter a fração equivalente

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72. Observe a tabela a seguir. Nela você vê as quantidades iguais de refrigerantes que cada menino pode ganhar em uma festa: Total de refrigerantes

Total de meninos

Quantidades iguais de refrigerantes para cada menino

6 2= ( ou 3

= 6 :3

2)

Júlia Bianchi, 2006

6 = 6 : 6 1= (ou 1) 6 1 6 ( ou = 2 12

6 : 12 =

1 ) 2

Nair disse que a fração 6 representa a divisão de 6 por 3 e a fração 3

6 representa a divisão de 6 por 12. Ela está certa ou errada? 12 72. Ela está certa!

73. Quatro amigos tomaram juntos a mesma quantidade de refrigerante. Se

eles tomaram ao todo 3 litros, represente a quantidade que cada um tomou:

a) Usando uma fração.

b) Usando uma divisão.

73. a) 3/4; b) 3 : 4.

74. Você sabe que 1,2 x 0,7 = 0,84. Logo, 0,84 : 0,7 = 1,2. Observe que: 84 : 7 = 12. 0,84 tem duas ordens decimais, 0,7 tem uma ordem decimal, e 1,2 tem 2 – 1 = 1 ordem decimal. Agora é com você!

Escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras:

3,4 x 1,2 = 4,08.

Logo, 4,08 : 1,2 = a.

4,08 tem b ordens decimais, 1,2 tem c,

74. a) 3,4; b) Duas; c) Uma; d) Uma.

Obs.: Explore os diferentes significados das frações: Parte-todo: uma grandeza dividida em partes equivalentes (em área, em volume, em capacidade, em massa, ou mesmo em número de elementos iguais), na qual se consideram algumas dessas partes. A fração representa a relação existente entre o número dessas partes e o total de partes. Exemplos: a divisão de uma pizza em partes iguais, um litro de refrigerante em quatro copos de 250 mililitros etc. Fração como quociente: divisão de um número natural por outro (a : b = a / b 0). Para o aluno, ela se diferencia da interpretação anterior, pois dividir uma pizza em 3 partes e comer 2 dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 pizzas para 3 pessoas. No entanto, nos dois casos, o resultado é representado pela mesma notação: 2/3. Fração como índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, isto é, interpretada como razão. Exemplos: 1o) 3 de cada 4 passageiros de um avião são homens; 2o) A possibilidade de sortear um número menor que 5 de uma caixa onde existem cartões numerados de 1 a 10 é 4/10 = 2/5; 3o) A escala usada no desenho é de 1 para 100 (1/100); 4o) A porcentagem de preferência por futebol pelos alunos de uma escola: 40 em cada 100 alunos da escola gostam de futebol (40%). Oportunamente, será explorado um quarto significado das frações: como operador (por exemplo, num problema do tipo “Que número devo multiplicar por 5 para obter 3?”). Ilustrando a segunda observação, temos: Fração como parte-todo A figura abaixo representa a fração 2/3.

Imagine uma barra de chocolate dividida em três partes iguais e que você comeu duas. Fração como quociente de 2 por 3. A figura abaixo representa a divisão de 2 por 3. 2 : 3 = 2 x 1/3 = 2/3. Imagine duas barras de chocolate divididas por três meninos. A parte que cada menino recebeu é representada por 1/3 + 1/3 = 2/3.

e 3,4 tem d.

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Explore diversas dessas situações para que os alunos façam a distinção entre esses dois significados. Depois dessas atividades, comente que toda fração representa a divisão do numerador pelo denominador.

Recorde novamente a relação entre a multiplicação e a divisão. Ela justifica por que completar o quadro do exercício 75 com 0,4 e 0,15. Esses resultados também podem ser obtidos usando a divisão das frações decimais correspondentes a 0,36 e 0,9, bem como 0,0045 e 0,03, simplificando a fração quociente de modo a obter, no denominador, potências de dez. 75. a) 0,4; b) 0,15.

75. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: Multiplicação

Divisão

0,4 × 0,9 = 0,36

0,36 : 0,9 = a

0,15 × 0,03 = 0,0045

0,0045 : 0,03 = b

Marina disse ao professor que pensou na seguinte regra para dividir números decimais: Dividimos como se fossem números naturais; Subtraímos, do número de ordens decimais do dividendo, o número de ordens decimais do divisor; Escrevemos o quociente como um decimal que tenha tantas ordens decimais quantas forem as unidades da diferença obtida anteriormente. Veja o que o professor disse: “Para certos casos é assim mesmo. Mas, e se o número de ordens decimais do dividendo for menor que o número de ordens decimais do divisor?” Outra pergunta: “E se, quando formos dividir como se fossem números naturais, a divisão não for exata?” Diante destas perguntas, Marina ficou curiosa e pediu ao professor que explicasse como proceder nestes dois casos em que ela não havia pensado. Mas o professor disse que, antes de estudar esses casos, seria necessário aprender outros fatos; por exemplo, como dividir decimais por potências de 10.

76. a) Uma ordem; b) Duas ordens; três ordens.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 75 (Multiplicação...) e os dois quadros do exercício 76.

Veja então, a seguir, alguns exercícios sobre essas divisões:

76. Você já sabe como multiplicar decimais por 10, 100, 1 000 etc. deslocando a vírgula. Por exemplo:

3,458 × 10 = 34,58 e 3,458 × 100 = 345,8

É claro, então, que: 34,58 : 10 = 3,458 e 345,8 : 100 = 3,458

Responda:

a) Para dividir um decimal por 10, a vírgula deve se deslocar quantas ordens decimais para a esquerda?

150

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b) E para dividir por 100? E por 1 000?

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77.

Maria pagou R$ 12,50 por 10 metros de pano. Preciso comprar 3 metros desse mesmo pano. Quanto irei pagar? (Sugestão: procure calcular quanto custa 1 metro desse pano.)

78. Agora, um desafio: discuta com seus colegas e escreva os resultados das seguintes divisões:

a) 32,4 : 10

77. R$ 3,75.

c) 32,4 : 1 000

b) 32,4 : 100

e) 18 : 100

d) 18 : 10

f) 18 : 1 000

78. a) 3,24; b) 0,324; c) 0,0324; d) 1,8; e) 0,18; f) 0,018.

Aprendendo em casa 79. Calcule: a)

3 5 : 7 8

b)

2 3 : 4 5

c)

a) 346,8 : 10

d) 346,8 : 10 000

c) 346,8 : 1 000

e) 125 : 100

81.

d)

3 8 : 5 6

80. Escreva os resultados deslocando a vírgula: b) 346,8 : 100

f) 125 : 10

9 4 : 8 3

g) 125 : 1 000

h) 125 : 10 000

Calcule dividindo como se fossem números naturais e depois separando as ordens decimais do quociente:

a) 0,175 : 0,5 b) 0,153 : 0,9 c) 0,153 : 0,17

d) 3,25 : 1,3 e) 3,25 : 2,5 f) 0,325 : 1,3

g) 0,0325 : 0,25 h) 0,135 : 0,5 i) 37,17 : 5,31

Frações, a divisão e os decimais Explorando o que você já sabe Observe as frações à direita e responda:

• • • •

O exercício 77 é um, dentre diversos problemas que serão propostos ao longo do curso, cujas estratégias de resolução utilizam o “método de redução à unidade”.

A primeira fração representa uma divisão. Quais são o dividendo, o divisor e o quociente dessa divisão? A segunda fração representa uma divisão. Quais são o dividendo, o divisor e o quociente dessa divisão? Imagine que você tem cinco copos de refrigerante para dar quantidades iguais a dois meninos. Qual é a quantidade que cada um deles receberá? Qual das frações à direta representa, em linguagem matemática, a situação descrita na pergunta anterior?

10 =2 5 5 1 = = 0, 5 10 2

Depois de resolver o exercício 78, proponha análogos ao 77, explorando divisão de decimal por 10 e por 100.

Recomende ou explore a leitura de: “Frações e números decimais” (p. 5-30). Coleção Pra que serve Matemática? Atual Editora. Imenes - Jabuko - Lellis Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 79. a) 24/35; b) 10/12; c) 18/40; d) 27/32. 80. a) 34,68; b) 3,468; c) 0,3468; d) 0,03468; e) 12,5; f) 1,25; g) 0,125; h) 0,0125.

81. a) 0,35; b) 0,17; c) 0,9; d) 2,5; e) 1,3; f) 0,25; g) 0,13; h) 0,27; i) 7. ATIVIDADES ORAIS • 10,5 e 2. • 5,10 e 1/2 (ou 0,5). • Dois copos e meio. 1 • 5/2 (ou 2 ). 2

5 1 =2 2 2

151

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Aprendendo em sala de aula 82. Você sabe que as frações representam divisões: a divisão do numerador

pelo denominador. Sabe, também, que existem divisões que não são

Antes de resolver o exercício 82, explore as seguintes atividades: Represente 1 como fração de denominador 10, 100, 1 000 etc. Use os resultados anteriores para concluir que 1 = 1,0 = 1,00 = 1,000, ou seja, 1 equivale a 10 décimos ou 100 centésimos ou 1 000 milésimos. Represente 5 como fração de denominador 10, 100, 1000 etc. Use os resultados anteriores para concluir que 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000, ou seja, 5 equivale a 50 décimos, ou 500 centésimos, ou 5 000 milésimos.

exatas. Por exemplo, a divisão de 5 por 2, representada pela fração Observe:

Mat6Cap4_NOVA2012.indd 152

1

2

Agora, uma pergunta: e se estivermos interessados em encontrar um quociente decimal para essa divisão? Para ajudar a resolver esse problema, você vai observar a tabela a seguir e, em seu caderno, vai completar corretamente cada frase do quadro abaixo: a

?unidades. Uma dezena tem …

b

? unidades. Uma centena tem …

c

? décimos. Uma unidade tem …

d

? centésimos. Uma unidade tem …

83. Como uma unidade tem 10 décimos, 5 unidades têm 5 x 10 = 50 décimos.

Portanto, dividir 5 por 2 é equivalente a dividir 50 décimos por 2, o que nos dá para quociente 25 décimos. Indicamos esse fato assim:

5,0

2

1,0

2,5

0

Son Salvador

152

2

O quociente de 5 por 2 é 2, e o resto é 1. Isto significa que 5 = 2 x 2 + 1.

82. a) 10; b) 100; c) 10; d) 100. Observe que, no exercício 83, ao se dividir 5 por 2 para obter o quociente com uma ordem decimal, o resto é zero, o que confirma o fato de que 5/2 e 2,5 são duas maneiras diferentes de representar o mesmo número. Observação análoga se faz com relação à fração 5/4 e o decimal 1,25, como se vê no exercício 85. Todos os exercícios desta seção relacionam-se com divisões que geram, como quocientes, decimais que representam as frações cujo numerador é o dividendo e cujo denominador é o divisor, ou seja, visam a obter os decimais que representam os mesmos números que as frações dadas. Tais exercícios e as explicações contidas nos textos dos exercícios 83 e 85 servirão de base para os estudos da seção seguinte.

5

5 . 2

Observe como fizemos os cálculos: Primeiro, escrevemos 5 unidades como 50 décimos. Depois, dividimos como se fossem números naturais: 50 : 2 = 25. Por último, separamos uma ordem decimal no quociente, porque o dividendo tem uma ordem decimal e o divisor, zero ordens decimais; logo, 1 – 0 = 1.

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Agora, calcule as divisões a seguir para obter, como quocientes, números decimais:

a) 7 : 2

c) 10 : 4

b) 9 : 6

83. a) 3,5; b) 1,5; c) 2,5; d) 2,5.

d) 20 : 8

84. Use os resultados do exercício anterior para escrever as frações a seguir como números decimais:

a)

7 2

c)

10 4

b)

9 6

d)

20 8

84. a) 3,5; b) 1,5; c) 2,5; d) 2,5.

85. Como uma unidade tem 100 centésimos, 5 unidades têm 500 cen-

5,00

4

10 20 0

1,25

Son Salvador

tésimos. Logo, dividir 5 por 4 é equivalente a dividir 500 centésimos por 4.

Observe como fizemos os cálculos: Primeiro, escrevemos 5 unidades como 500 centésimos. Depois, dividimos como se fossem números naturais: 500 : 4 = 125. Por último, separamos duas ordens decimais no quociente, porque o dividendo tem duas ordens decimais e o divisor, zero ordens; logo, 2 – 0 = 2.

Agora, calcule as divisões a seguir para obter, como quocientes, números decimais:

a) 7 : 4

b) 9 : 4

c) 124 : 16

d) 45 : 20

86. Use os resultados do exercício anterior para escrever as frações a seguir como números decimais:

a) 7

4

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b) 9

4

c) 124 16

d) 45 20

85. a) 1,75; b) 2,25; c) 7,75; d) 2,25. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro e os dois textos dos exercícios 83 e 85. 86. a) 1,75; b) 2,25; c) 7,75; d) 2,25.

153

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87. Usando a calculadora. Veja como escrever uma fração como decimal, usando a calculadora: 7 como decimal 4 Siga os seguintes passos

Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite

7

7

Digite

:

7

Digite

4

4

Digite

=

1,75

Escrever

7 = 1,75 4

Resposta

Agora, use a calculadora para conferir os resultados dos itens b, c e d do exercício 86.

87. Atividades dos alunos. 88. R$ 0,75.

89. 44,55m. Faça um desenho que convença os alunos de que entre 11 postes existem 10 “distâncias”.

88. Valéria pagou R$ 3,00 por quatro caixas de fósforos de preços iguais. Qual é o preço de cada uma delas?

89. No lado de uma rua que mede 445,5 metros de comprimento, vão ser

colocados 11 postes com a mesma distância entre si. Qual é essa distância?

90. 40,5 m. Lembre: 11 distâncias.

90. No problema anterior, se o número de postes fosse 12, qual seria a

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

Aprendendo em casa

91. a) 1,5; b) 2,5; c) 2,5.

92. a) 1,5; b) 2,5; c) 2,5.

distância?

91.

Calcule as divisões a seguir para obter quocientes com uma ordem decimal:

a) 18 : 12

b) 15 : 6

c) 30 : 12

92. Use os resultados do exercício anterior para escrever as frações a seguir como números decimais:

a) 18 12

b) 15 6

c) 30 12

154

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Arredondamentos e estimativas Explorando o que você já sabe Conta

Arredondamento e estimativa

714 + 213

700 + 200 = 900

592 – 163

600 – 200 = 400

33 × 62

30 × 60 = 1 800

812 : 231

800 : 200 = 4

Observe as duas colunas à esquerda e faça estimativas para as contas a seguir:

• 412 + 321 • 885 – 674 • 769 + 386 • 821 – 432 • 49 × 28 • 923 : 318

ATIVIDADES ORAIS • 400 + 300 = 700. • 900 – 700 = 200. • 800 + 400 = 1 200. • 800 – 400 = 400. • 50 x 30 = 1 500. • 900 : 300 = 3.

Aprendendo em sala de aula Veja como fazer estimativas quando as contas são com números decimais: Primeiro exemplo Você viu no quadro anterior que, para a soma 714 + 213, fizemos um arredondamento das parcelas, obtendo 700 + 200 = 900. Portanto, podemos dizer que a soma 714 + 213 é, aproximadamente, 900, ou seja, 900 é uma estimativa dessa soma. Do mesmo modo, se formos somar 7,14 + 2,13, inicialmente, pensamos nos números sem a vírgula e, como você viu acima, uma estimativa para a soma 714 + 213 é 900. Logo, uma estimativa para a soma 7,14 + 2,13 é 9,00, ou seja, 9 (se você fizer a conta, encontrará 9,27, cujo arredondamento é 9). Segundo exemplo Uma estimativa da diferença 19,324 – 15,18 se faz assim: Primeiro, igualamos o número de ordens decimais dos dois números: 19,324 – 15,180; Depois, pensamos nos números naturais correspondentes: 19 324 – 15 180 e em seus arredondamentos: 19 000 – 15 000 = 4 000.

Observe que os arredondamentos 19 000 e 15 000 foram obtidos colocando zeros nas ordens decimais (dos décimos, centésimos…) dos números cujas diferenças queremos estimar: 19,324 e 15,180.

Portanto, uma estimativa para 19,324 – 15,158 é 4,000 = 4 (se você fizer a conta, encontrará 4,144, cujo arredondamento é 4).

155

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Estimativas de valores têm grande aplicabilidade no dia a dia de todos nós. Explore a tabela e os exercícios que a seguem e, de preferência, proponha outros até que os alunos tenham amplo domínio dessa atividade. 93. a) 6 – 2 = 4; 4, 29; b) 3 x 6 = 18; 20, 46; c) 8 : 2 = 4; 4. 94. Laércio quer gastar, aproximadamente, 23 + 18 = 41 reais. Logo, tem quantia suficiente para comprar o disco e a agenda. 95. Leonardo tinha uma quantia próxima de 18 reais e gastou aproximadamente 9 reais, restando-lhe um valor próximo de 9 reais. Portanto, não poderá comprar a revista cujo preço é próximo de 10 reais. 96. O total de peças é próximo de 40 e o preço de cada uma, próximo de 2 reais. Portanto, o valor total das mesmas é próximo de 40 x 2 = 80 reais. O vendedor está correto. 97. Pedro pagou um valor próximo de 120 reais por, aproximadamente, 60 salgadinhos. Logo, pagou por salgadinho, aproximadamente, 2 reais. Portanto, vendendo cada salgadinho por R$ 2,40, ele terá lucro. Como motivação para o exercício 98, proponha o problema a seguir: Um carpinteiro serrou uma tábua de 5 metros em dois pedaços do mesmo comprimento. a) Qual o comprimento de cada um desses dois pedaços de tábua? b) E se fossem quatro pedaços do mesmo tamanho? Explore a equivalência do metro com o decímetro (5 metros = 50 decímetros), para resolver o item (a), e do metro com o centímetro (5 metros = 500 centímetros), para resolver o item (b). 98. a) 9,5; b) 8,75; c) 5,875. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, a tabela do exercício 98.

156

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93. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: Conta

Arredondamento e estimativa

Conta

Arredondamento, estimativa e conta

592 – 163

600 – 200 = 400

5,92 – 1,63

a

33 × 62

30 × 60 = 1 800

3,3 × 6,2

b

812 : 203

800 : 200 = 4

8,12 : 2,03

c

94. Laércio tem R$ 42,30 e quer comprar uma agenda por R$ 23,25 e um

CD por R$ 18,35. Faça uma estimativa e diga se o dinheiro que Laércio tem vai dar para ele comprar o CD e a agenda.

95. Leonardo tinha R$ 18,25 e gastou R$ 8,85. Ele quer comprar uma revista que custa R$ 9,90. O dinheiro que sobrou vai dar para Leonardo comprar a revista?

96. Em uma loja, existem 38 peças que custam R$ 1,80 cada uma. O ven-

dedor disse para um comprador que o preço total das 38 peças é de, aproximadamente, 80 reais. Faça uma estimativa e diga se você concorda com esse vendedor.

97. Pedro disse que pagou R$ 126,00 por 62 salgadinhos que comprou

para a cantina. Ele disse que, se vender cada salgadinho por R$ 2,40, vai ter lucro. Faça uma estimativa de quanto custou cada salgadinho e verifique se Pedro tem razão.

98. Observe a tabela a seguir, que contém divisões que você já viu nos exercícios 83 e 85, das páginas 152 e 153, e releia as observações feitas pelo professor e pela professora nesses exercícios. Você diz que

Você vê

5,0 1,0 0

5,00 10 20 0

2 2,5

2,5 é o quociente de 5 por 2

4 1,25

1,25 é o quociente de 5 por 4

Agora, calcule os seguintes quocientes:

a) 19 : 2,

b) 35 : 4,

c) 47 : 8.

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Son Salvador

Professor, eu notei que, nos exemplos e exercícios anteriores, o dividendo é maior que o divisor. Mas, nos casos em que o dividendo é menor que o divisor, como devo proceder?

Son Salvador

Vou dar exemplos para que você compreenda. Veja que, nestes casos, precisamos transformar o dividendo em décimos, ou em centésimos, ou em milésimos, ou até mesmo em decimais com um maior número de ordens decimais, para obtermos um quociente diferente de zero.

Exemplo 1: Calcular o quociente de 4 por 7 com uma ordem decimal. Como 4 unidades equivalem a 40 décimos, podemos calcular 4,0 : 7.

4,0

7

5

0,5

Observe que dividimos como 40 : 7 e depois usamos a regra da diferença das ordens decimais do dividendo e do divisor para obtermos as ordens decimais do quociente: (1 – 0 = 1). Logo, o quociente de 4 por 7 com uma ordem decimal é 0,5. Exemplo 2: Calcular o quociente de 4 por 7, com duas ordens decimais.Como 4 unidades equivalem a 400 centésimos, podemos calcular 4,00 : 7.

4,00 50

Observe que as divisões dos exemplos 1 e 2 não são exatas, porque os restos de ambas são diferentes de zero. Logo, não se pode dizer que 4/7 e 0,5 representam o mesmo número, bem como 4/7 e 0,57. Comparando tais divisões com as divisões não exatas de números naturais, e usando a propriedade: dividendo = divisor x quociente + resto, é possível afirmar que, no caso do primeiro exemplo, 4 = 7 x 0,5 + 0,5 (veja que o resto é 0,5) e, no caso do segundo exemplo, que 4 = 7 x 0,57 + 0,01 (veja que o resto é 0,01). Por estes motivos, podemos dizer que: a) o quociente aproximado de 4 por 7 com uma ordem decimal é 0,5; b) o quociente aproximado de 4 por 7 com duas ordens decimais é 0,57. Comente estes fatos com os alunos. Para melhor compreensão, recomenda-se desenvolver os exemplos e exercícios 99 a 100 no quadro, bem como propor atividades semelhantes.

7 0,57

1

Observe que dividimos como 400 : 7 e depois usamos a regra da diferença das ordens decimais do dividendo e do divisor para obtermos as ordens decimais do quociente: (2 – 0 =2). Logo, o quociente de 4 por 7 com duas ordens decimais é 0,57.

99. Calcule: a) Calcule o quociente de 7 por 11 com uma, duas e três ordens decimais. b) Calcule o quociente de 5 por 231 com quatro ordens decimais.

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99. a) 0,6; 0,63; 0,636; b) 0,0216.

157

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Observe como Telma fez as divisões a seguir: 1a) 0,05 : 0,0016, obtendo um quociente inteiro. 2a) 0,05 : 0,0016, obtendo um quociente com uma ordem decimal. 3a) 0,05 : 0,0016, obtendo um quociente com duas ordens decimais. Para fazer a primeira divisão, Telma igualou, usando algarismos zero, o número de ordens decimais dos dois números dados, assim: 0,0500 : 0,0016 Depois, escreveu os dois como se fossem números naturais: 500 : 16 Para calcular 0,05 : 0,0016, obtendo um quociente inteiro, dividiu 500 por 16: 500 20 4 100. a) 21; b) 21,8; c) Comprovação pelos alunos; d) 21,87.

Após o exercício 100, comente: 0,05 = 0,0016 x 31 + 0,0004 0,05 = 0,0016 x 31,2 + 0,00008 0,05 = 0,0016 x 31,25 (resto zero).

16 31

E escreveu: o quociente inteiro de 0,05 por 0,0016 é 31.

Em seguida, Telma fez a divisão como descrito no quadro abaixo: Para calcular 0,05 : 0,0016, com uma ordem decimal, Telma dividiu 500,0 por 16: e escreveu: o quociente de 0,05 por 0,0016 com uma ordem decimal é 31,2.

500,0 20 40 8

16 31,2

Finalmente, a terceira divisão começou assim: Para calcular o quociente de 0,05 por 0,0016, Telma dividiu 500,00 por 16.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, todo o texto do exercício 100, inclusive as respostas.

100. Leia e faça o que se pede:

a) Calcule, como Telma, o quociente inteiro de 0,07 por 0,0032.

b) Agora, calcule o quociente de 0,07 por 0,0032 com uma ordem decimal.

c) Termine a conta que Telma começou para a terceira divisão e comprove que o quociente é 31,25.

Son Salvador

d) Divida, também, 0,07 por 0,0032 com duas ordens decimais.

158

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Se o dividendo tiver quantidade menor de ordens decimais que o divisor, primeiro, eu uso algarismos zero para igualar a quantidade de ordens decimais dos dois. Depois, divido um pelo outro, como se fossem números naturais.

10/05/13 17:20


101. Veja como calcular os quocientes a seguir, usando a calculadora: a) 15 : 8

b) 4 : 7

c) 0,05 : 0,0016

a) 15 : 8 Siga os seguintes passos

Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite

15

15

Digite

:

15

Digite

8

8

Digite

=

1,875 15 : 8 = 1,875

Resposta

b) 4 : 7 Siga os seguintes passos

Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite

4

4

Digite

:

4

Digite

7

7

Digite

=

0,5714285

Resposta

4 : 7 = 0,5714285

c) 0,05 : 0,0016 Siga os seguintes passos

Aperte as teclas

Leia no visor

Limpar a calculadora

On/c

0

Digite

0,05

0,05

Digite

:

0,05

Digite

0,0016

0,0016

Digite

=

31,25

Resposta

0,05 : 0,0016 = 31,25

Agora, calcule 0,07 por 0,00032 e verifique que o quociente é 218,75.

101. Comprovação pelos alunos.

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Aprendendo em casa 102. Calcule os seguintes quocientes: Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

102. a) 11,5; b) 4,75; c) 0,6; d) 5,875; e) 0,47; f) 0,0344444... 103. 0,02064. 104. a) 28; b) 28,1; c) 28,12. 105. Verificação feita pelos alunos. 106. Dividindo os preços pelas quantidades de gramas, obtemos os quocientes 0,00102 e 0,00105, respectivamente (que representam frações decimais de 1 real pagas por grama ao comprar cada embalagem). Como 0,00102 é menor que 0,00105, Carla fez a opção correta.

a) 23 : 2;

d) 47 : 8;

c) 9 : 15;

f) Agora, complete a expressão 0,0031 : ? = 0,09.

b) 19 : 4;

e) 8 : 17, com duas ordens decimais;

103. Calcule o quociente de 9 por 436 com 5 ordens decimais. 104. Calcule os quocientes a seguir. Para isso, comece usando algarismos

zero para igualar o número de ordens decimais dos dois números e escrevendo os resultados como se fossem números naturais. Depois, faça as divisões pedidas.

a) 0,09 : 0,0032, para obter um quociente inteiro. b) 0,09 : 0,0032, para obter um quociente com uma ordem decimal. c) 0,09 : 0,0032, para obter um quociente com duas ordens decimais.

105. Verifique os resultados do exercício anterior usando uma calculadora. 106. Carla viu, na prateleira de um supermercado, dois pacotes da mes-

ma mistura para bolo. Uma delas, pesando 500 gramas, ao preço de R$ 0,51, e outra, de 400 gramas, ao preço de R$ 0,42. Ela preferiu comprar a de 500 gramas porque pagou mais barato por grama. Faça as contas que comprovam que Carla agiu corretamente.

107. 28 x 132 = 3 696. Logo, temos: a) 28 x 13,2 = 396,6; b) 28 x 1,32 = 36,96; c) 2,8 x 132 = 369,6; d) 0,28 x 0,132 = 0,03696; e) 2,8 x 13,2 = 36,96; f) 0,28 x 1,32 = 0,3696.

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Son Salvador

O exercício anterior explora uma situação do dia a dia que deve ser conhecida pelos alunos. Explore a ideia com outros exercícios. Peça aos alunos que pesquisem nos supermercados embalagens diferentes de um mesmo produto, anotem os dados e tragam para discutir em aula. Discuta, também, por qual motivo compor quantidades iguais usando embalagens diferentes resulta em preços diferentes (em geral, embalagens maiores têm preços proporcionalmente menores).

107. Calcule 28 x 132. Use o resultado e escreva, em seu caderno, as respostas das multiplicações a seguir:

a) 28 × 13,2

d) 0,28 × 0,132

c) 2,8 × 132

f) 0,28 × 1,32

b) 28 × 1,32

e) 2,8 × 13,2

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108. Jorge foi comprar material escolar. Fez uma pesquisa de preços e anotou, na tabela a seguir, os menores preços e a quantidade comprada: Artigo

Preço unitário em reais

Quantidade comprada

Lápis

0,50

2

Esquadros

1,35

2

Tesoura

1,20

1

Borracha

0,40

1

Régua

0,85

1

Compasso

1,45

1

Cadernos

2,40

4

1,3

5

0

0,5

Duke

108. R$ 17,20.

1,2 0

0,4

0,85

0

5

1,4

2,40

Calcule quanto Jorge gastou ao todo.

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais 109. Em cada caso a seguir, escreva em seu caderno a fração que representa a parte colorida da figura:

Recomende ou explore a leitura de: “Atividades e jogos com estimativas” (p. 7-58). Marion Smoothey – Tradução de Sérgio Quadros. Coleção Investigação Matemática. Editora Scipione

Os três exercícios a seguir visam, pela ordem, a explorar os conceitos de fração como parte de uma grandeza, como quociente de dois números e como um operador, ou seja, um número que permite calcular uma parte de certa quantidade.

109. a) 2/5; b) 7/10.

a) b)

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110. Resolva:

a) A professora das turmas A e B pagou 98 reais por 60 lápis de preços iguais, que comprou para os alunos. Quanto custou cada lápis que a professora comprou?

110. a) R$ 1,40; b) R$ 1,40; c) R$ 1,40.

b) Paulo comprou 15 metros de tela por 21 reais. Quanto pagou por metro de tela? c) Para ir cinco vezes de ônibus de um bairro a outro, pagando o mesmo preço de cada vez, Paula gastou 7 reais. Quanto Paula pagou de cada vez? Sim, todos eles têm a mesma resposta: R$ 1,40. Por que isso aconteceu?

É muito simples entender. Veja:

Son Salvador

Você observou algum fato interessante nos problemas a, b, c anteriores?

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, a parte da direita do quadro em destaque do exercício 110.

111. a) 21 litros, 16 litros, 19 litros; b) R$ 80,00, R$ 180,00, R$ 150,00, R$ 190,00.

Os três problemas estão relacionados com frações equivalentes. E, como cada fração representa o quociente do numerador pelo denominador, todas elas equivalem ao decimal 1,4.

98 = 60

21 = 15

7 = 1, 4 5

111. Em cada caso, calcule a fração da grandeza dada:

a) A capacidade total do tanque de gasolina de uma caminhonete é de 56 litros. Em dois percursos seguidos, foram gastos 3 e 2 , respectivamente, dessa capacidade. 8 7 Calcule quantos litros foram gastos em cada percurso e quanto ainda restou.

b) A turma do Jonas conseguiu arrecadar 600 reais de doações para quatro orfanatos. O primeiro orfanato recebeu 2 dessa quantia, o segundo, 3 , o terceiro, 1 , e o quarto 15 10 4 orfanato recebeu o restante. Calcule quanto cada orfanato recebeu de doação.

Distâncias

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Dalva disse que a distância entre dois pontos A e B é a medida do segmento AB. O professor disse que ela está correta. Você vai usar o que a Dalva disse para resolver o exercício 112.

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112. Observe a figura a seguir: A

B

C

D

Use uma régua graduada e calcule as distâncias entre os seguintes pares de pontos:

a) AB

b) AC

c) AD

d) BC

e) BD

Na primeira figura a seguir, você vê uma reta XY e quatro segmentos ZM, ZN, ZP e ZR:

a)

Z

112. Respostas dos alunos. X

M

N

R

P

b)

Y

S

Aproximadamente: a) 15 mm. b) 35 mm. c) 85 mm. d) 20 mm. e) 70 mm.

B 113. Respostas dos alunos. M

N

Q

C

Élcio disse que o único segmento perpendicular à reta XY é o segmento ZP e que a distância do ponto Z à reta XY é a medida do segmento ZP. O professor disse que Élcio está correto. Você vai usar o que o Élcio disse para resolver o exercício 113.

113. Observe a figura b anterior, e use uma régua graduada para calcular as distâncias a seguir:

a)Distância do ponto B à reta MN. b)Distância do ponto B à reta QS.

114. Verdadeiro ou falso:

c) Distância do ponto C à reta MN. d) Distância do ponto C à reta QS.

A distância de um ponto a uma reta é a medida do segmento de reta perpendicular que liga o ponto a um ponto da reta.

115. Resolva os problemas:

a) Qual é o lucro de um negociante que comprou 75 metros de fio elétrico por R$ 3,50, o metro, e revendeu todo o fio por R$ 5,70, o metro?

b) Com 1 350 metros de tecido, foram feitas 750 toalhas. Quantas toalhas de mesmo

Aproximadamente: a) 6 mm. b) 16 mm. c) 13 mm. d) 19 mm.

114. Verdadeiro. Novamente, aqui, sugerimos o método de redução à unidade para resolver os itens do exercício 115. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 114. Explore, antes do exercício 115, os conceitos de lucro e prejuízo em termos adequados ao nível da série. 115. a) R$ 165,00; b) 640 toalhas; c) 966 m; 1 207,5 m; d) R$ 4,83.

tamanho das anteriores podem ser feitas com 1 152 metros do mesmo tecido? (Sugestão: calcule, inicialmente, o comprimento de uma toalha.)

c) Um rolo de barbante tem 120,75 m. Quantos metros de barbante existem em 8 rolos do mesmo tamanho? E em 10 rolos?

d) Se cada metro de barbante do problema anterior custa R$ 0,04, quanto custa cada rolo?

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?

Verifique se você aprendeu Reveja os exercícios

Se ainda tem dúvidas sobre REVISÃO – Ao terminar o estudo do capítulo, reveja com os alunos, a seu critério, o significado de alguns dos termos: o real e os centavos, números decimais, quociente aproximado, distância entre dois pontos, distância entre um ponto e uma reta.

Como medir ou desenhar segmentos, usando régua ou outros recursos.

1 a 11, 15, 16, 17, 18, 19.

Como medir a superfície de uma figura usando quadrados.

12 a 14.

A seu critério, utilize dentre as sugestões a seguir, a atividade de revisão que julgar necessária, visando a verificar: a) a compreensão de fração como parte de um todo, como quociente de dois números ou correspondente a um ponto na reta numerada. b) o uso correto de figuras para representar frações ou decimais, para comparar valores (maior, menor, equivalente), para representar o todo e suas partes na representação de dados e incógnitas em problemas, para compreender os algoritmos da adição e subtração. c) a correlação entre valores monetários, medidas de comprimento do sistema decimal e os números decimais, visando à compreensão da escrita, leitura e cálculos com decimais. d) o uso correto de arredondamentos e estimativas no cálculo de somas, produtos, quocientes ou diferenças de decimais e a validação dos resultados usando calculadoras. e) a compreensão dos conceitos de distância entre dois pontos e entre um ponto e uma reta.

Como somar ou subtrair medidas de comprimento ou números decimais.

20 a 24, 47, 48.

Como somar decimais, usando a calculadora.

25, 46.

Como somar decimais mentalmente.

26 e 27.

Como decompor números decimais como soma de suas diversas ordens decimais.

24.

Como relacionar frações e números decimais.

33 e 34.

Como somar ou subtrair frações de denominadores iguais ou diferentes.

35 a 44, 49 a 52.

Como multiplicar frações ou números decimais por números naturais.

53, 54.

Como multiplicar frações ou decimais.

55 a 69, 107.

Como dividir frações ou decimais.

70 a 81.

Como interpretar uma fração como o quociente do numerador pelo denominador.

82 a 92.

Como fazer arredondamentos e estimativas de somas, diferenças, produtos ou quocientes de decimais.

93 a 97.

Como calcular quocientes com aproximação decimal.

98 a 106.

Como calcular quocientes aproximados, usando a calculadora.

87, 101.

Como medir a distância entre dois pontos ou entre um ponto e uma reta, usando régua graduada.

112 a 114.

Como resolver problemas relacionados com frações, decimais, perímetros ou valores monetários.

28 a 33, 45, 65, 77, 88, 89, 90, 94 a 97, 106, 109 a 111, 115.

Como fazer medidas aproximadas de comprimento em centímetros ou milímetros.

6.

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-

CapItulo 5 a iguras i d a a e o di

_Nikolay Petkov | Dreamstimecom

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Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página. Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, reg ras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações af irmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como algumas regularidades relacionadas com sequencias numéricas.

Você já resolveu diversos problemas com números naturais e com figuras. Neste capítulo, você vai aprender como: • • • • • • • • • • • • • • •

Júlia Bianchi, 2006

• • •

Calcular ou identificar múltiplos ou divisores de números naturais. Escrever sequências de múltiplos ou de divisores de um número que satisfaçam condições dadas. Calcular ou identificar múltiplos comuns ou divisores comuns de números naturais. Destacar, dentre os diversos múltiplos comuns de números naturais, o mínimo múltiplo comum. Destacar, dentre os diversos divisores comuns de números naturais, o máximo divisor comum. Resolver problemas relacionados com múltiplos comuns, divisores comuns, mínimo múltiplo comum ou máximo divisor comum. Contar em quantos triângulos, quadrados, retângulos, paralelogramos, hexágonos ou trapézios uma figura dada pode ser decomposta. Resolver problemas relacionados com sequências de números ou de figuras. Decompor uma figura dada em uma quantidade inteira de outras figuras de mesma forma e de mesmo tamanho. Desenhar paralelepípedos em papel quadriculado para que fiquem visíveis as faces da frente, a de cima (ou a de baixo) e a da direita (ou da esquerda). Desenhar paralelas, perpendiculares, retângulos, triângulos retângulos, trapézios. Desenhar e caracterizar, por suas propriedades, o ponto médio de um segmento. Identificar, através de desenhos dados, diversas figuras. Desenhar figuras simétricas em relação a uma reta. Desenhar caminhos entre dois pontos, usando segmentos consecutivos que façam ângulos retos. Identificar eixos de simetria de figuras. Simplificar frações usando o máximo divisor comum dos dois termos. Obter pares de frações equivalentes, usando o mínimo múltiplo comum dos denominadores.

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múltiplos de números naturais Explorando o que você já sabe Leia, com atenção, o problema a seguir: Um letreiro luminoso é formado de lâmpadas vermelhas e lâmpadas azuis. As lâmpadas vermelhas piscam de 4 em 4 segundos, e as lâmpadas azuis, de 5 em 5 segundos. Agora, responda:

A sequência 4, 8, 16, 20, ... corresponde aos temos (em segundos) em que um dos dois tipos de lâmpadas pisca, sucessivamente. Qual é a cor dessa lâmpada?

Liste alguns números da sequência que representam os intervalos de tempo em que as lâmpadas azuis piscam.

Qual é o primeiro número diferente de zero que aparece tanto na primeira quanto na sequência que você escreveu, referente às luzes azuis?

Aprendendo em sala de aula Marta trabalha como caixa de uma padaria. Para facilitar a cobrança nas vendas de bolos, escreveu a tabela a seguir: 1 bolo

2 bolos

3 bolos

4 bolos

5 bolos

6 bolos

7 bolos

8 bolos

4 reais

8 reais

12 reais

16 reais

20 reais

24 reais

28 reais

32 reais

Son Salvador

1.

a) Se Marta continuasse a escrever a tabela para 9, 10, 11, 12 bolos, quais preços ela escreveria? b) Para saber esses preços, ela multiplicaria o total de bolos sempre por um mesmo número. Qual é esse número?

Apresentamos aqui, pela ordem, os conceitos de múltiplo, múltiplos comuns e de mínimo múltiplo comum. O professor pode usar no quadro a reta numerada, para explorar o fato de que múltiplos sucessivos de um mesmo número são equidistantes. Também, na reta numerada, fica fácil ver os múltiplos comuns de dois números dados e, consequentemente, o m.m.c. Outros recursos que podem ser usados: o calendário do mês, ou a lista de chamada, ou a própria disposição de um determinado grupo de alunos em uma única fila. ATIVIDADES ORAIS • Vermelho. • 5, 10, 15, 20, 25. • 20. Os exercícios de 1 a 9 introduzem a ideia de múltiplos de um número natural, usando contextualizações e verbalizações por parte dos alunos, tanto para expressar o que seja múltiplo, quanto para justificar por que os números dados são ou não são múltiplos de determinado número, ou também para listar múltiplos de um número dado. Comentar com os alunos que, no dia a dia, é comum dar descontos para quem compra uma grande quantidade de um mesmo produto, ou seja, nem sempre há uma proporcionalidade direta entre a quantidade do mesmo produto e o preço a ser pago. Por exemplo, se compro uma caneta, pago certo preço por ela, mas, se um comerciante compra 300 destas mesmas canetas, é bem provável que terá um desconto no preço a pagar, isto é, não pagará 300 vezes o que paguei. Feita essa observação, esclareça que, ao resolver problemas, não estaremos considerando fatos como estes. Professor(a): Neste capítulo, abordaremos diversos fatos sobre números naturais. Esclareça, desde já, que, ao nos referirmos a número ou números nas diversas atividades a seguir, deve ser entendido que estamos nos referindo a “números naturais” (a menos que mencionemos outros números, explicitamente). 1. a) 36, 40, 44, 48; b) Quatro.

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2. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, os valores ou expressões que substituem cada letra:

2. a) 7 x 3; b) 7 x 4; c) 28; d) 7 x 5; e) 7 x 6; f) 42; g) 7 x 7; h) 49; i) 7 x 8.

3. Múltiplos de sete.

Múltiplos de sete 0

7

14

21

c

35

f

h

56

63

7×0

7×1

7×2

a

b

d

e

g

i

7×9

3. Ainda observando a tabela anterior, responda: em relação ao sete, como se chamam os números 0, 7, 14, 21, ...?

4. a) 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42; b) 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28; c) 0, 3, 6, 9, 12.

4. Escreva:

5. Multiplicar o número por 0, 1, 2, 3, 4, 5.

5.

6. Sempre é exata.

6. A divisão de um múltiplo de um número diferente de zero por esse nú-

a) Os oito primeiros múltiplos de 6. b) Todos os múltiplos de 4 menores que 30. c) Os cinco primeiros múltiplos de 3. Para obtermos os seis primeiros múltiplos de um número natural, por quais números devemos multiplicá-lo?

mero é exata? Pode não ser exata?

7. a) Os dias 13, 20, 27; b) Terças-feiras.

7.

Em janeiro de 2014, a primeira segunda-feira foi dia 6. Leia, discuta com seus colegas e responda:

8. a) Porque 40 = 8 x 5; b) Porque 63 = 7 x 9; c) Porque não existe número natural que, multiplicado por nove, tenha como produto o número 40. 9. a) Para se obter um múltiplo de um número natural, basta multiplicá-lo por qualquer um dos números naturais: 0, 1, 2, 3 etc. b) Para saber se um número é múltiplo de outro, basta dividi-lo por esse outro. Se a divisão for exata, o número dado é múltiplo do outro. Caso contrário, não é.

a) Quais outros dias desse mês foram também segunda-feira? b) Os dias desse mês que foram múltiplos de sete foram as terças-feiras ou as quartas-feiras?

8. Responda:

a) Por que 40 é múltiplo de 5? b) Por que 63 é múltiplo de 9? c) Por que 40 não é múltiplo de 9?

9.

Discuta com seus colegas e escreva duas frases que expliquem:

10.

Leia a informação a seguir:

a) Como obter um múltiplo de um número natural. b) Como saber se um número é múltiplo de outro.

Manuel e Paulo têm um amigo em comum: Cláudio. O que significa esta informação?

10. Significa que Cláudio é amigo de Manoel e de Paulo.

11.

Leia a informação: Um dos múltiplos comuns de 4 e 6 é 12.

11. Que 12 é múltiplo de 4 e de 6.

O que significa isso?

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12.

Observe a tabela a seguir. Nela estão destacados alguns múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6 e 12. Múltiplos de 2

0

2

4

6

8

10

12

14

Múltiplos de 3

0

3

6

9

12

15

18

21

Agora, resolva:

a) Escreva os dez primeiros múltiplos de dois. b) Escreva os oito primeiros múltiplos de três. c) Use suas respostas anteriores para escrever os quatro primeiros múltiplos comuns

Proponha aos alunos que obtenham todos os múltiplos de zero e, depois, todos os múltiplos de l. Em seguida, peça a eles que escrevam duas frases que resumam o que descobriram sobre: a) os múltiplos de zero (apenas o zero é múltiplo dele mesmo); b) os múltiplos de 1 (todo número natural é múltiplo de 1). Verifique se eles sabem qual o nome que se dá aos múltiplos de dois.

de dois e três.

d) Agora, complete a sequência que você escreveu com mais cinco múltiplos comuns de dois e três.

13.

Qual é o menor múltiplo comum de 2 e 3, diferente de zero?

14.

Faça o que se pede, ou escreva:

a) Os onze primeiros múltiplos de três. b) Os sete primeiros múltiplos de cinco. c) Os múltiplos comuns de três e cinco, dentre os listados nos itens (a) e (b). d) Complete a sequência do item anterior com mais quatro múltiplos comuns de três e cinco.

15.

13. 6.

14. a) 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30; b) 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30; c) 0, 15, 30; d) 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90.

Use os dados da tabela a seguir para resolver os itens que a seguem: Múltiplos de 4

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...

Múltiplos de 5

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...

Múltiplos de 6

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

Múltiplos de 8

0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...

Escreva, em seu caderno, o menor múltiplo comum diferente de zero dos seguintes pares de números:

a) 4 e 5 b) 4 e 6 c) 4 e 8

d) 5 e 6 e) 5 e 8 f) 6e8

16. Qual é o menor múltiplo comum de três e cinco, diferente de zero? 17.

12. a) 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18; b) 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21; c) 0, 6, 12, 18; d) 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48.

Nas frases seguintes, qual sinônimo você usaria para substituir as palavras em destaque?

a) Paulo pagou o preço mínimo pelo caderno. b) O número mínimo de peças produzidas pela máquina foi 278. c) Faz sentido dizer que o preço mínimo de um caderno é zero real? Por quê?

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15. a) 20; b) 12; c) 8; d) 30; e) 40; f) 24. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 15. 16. 15.

17. a) Menor; b) Menor; c) Não. Porque nenhum objeto pode ter como preço zero real.

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18.

Complete, em seu caderno, os valores que devem substituir as letras de a até g.

Professor(a): Explore atividades de identificação do mínimo múltiplo comum de três números: a) escrevendo as sequências de múltiplos de 2 até 12; b) pedindo m.m.c. de (2, 3 e 6), (2, 3 e 4), (2, 3 e 5), (3, 4 e 6), (3, 4 e 8), (2, 3, 4, 6) etc. Comente que, posteriormente, aprenderão uma maneira prática de calcular o m.m.c. de dois ou mais números.

Números

18. a) 14; b) 12; c) 15; d) 6; e) 12; f) 8; g) 10.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, as cinco primeiras linhas do quadro em destaque, do exercício 18, e o segundo quadro.

19. a) F; b) V; c) V. Recorte 10 folhas de papel retangulares de 6 cm por 15 cm e monte o quadrado do exercício 20. (Se possível, use o flanelógrafo.) 20. a) Então, devo calcular o mínimo múltiplo comum de 6 e 15: Os múltiplos de 6 são: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36,… Os múltiplos de 15 são: 0, 15, 30, 45,… Os múltiplos comuns de 6 e 15 são: 0, 30, 60,… Logo, o mínimo múltiplo comum de 6 e 15 é 30. b) O lado do quadrado deve medir 30 cm.

Na tabela a seguir, você vê: Na primeira coluna, pares de números naturais. Na segunda coluna, alguns múltiplos comuns desses pares de números. Na terceira coluna, o mínimo múltiplo comum desses dois números.

Comente com os alunos que, muitas vezes, o nome mínimo múltiplo comum é representado abreviadamente assim: m.m.c.

Múltiplos comuns

Mínimo múltiplo comum dos dois números

2e3

0, 6, 12, 18, 24, 30, ...

6

2e4

0, 4, 8, 12, 16, 20, ...

4

2e5

0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...

10

2e6

0, 6, 12, 18, 24, 30, ...

6

2e7

0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, ...

a

3e4

0, 12, 24, 36, 48, 60, ...

b

3e5

0, 15, 30, 45, 60, 75, ...

c

3e6

0, 6, 12, 18, 24, 30, ...

d

4e6

0, 12, 24, ...

e

4e8

0, 8, 16

f

5 e 10

0, 10, 20

g

Observando os exercícios anteriores, é possível concluir que: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor múltiplo comum desses números, diferente de zero.

19.

V ou F:

a) 12 é o mínimo múltiplo comum de 3 e 6. b) 10 é o mínimo múltiplo comum de 2 e 5. c) 30 é o mínimo múltiplo comum de 6 e 15.

20. O professor pediu a Leopoldo que calculasse o lado do menor quadrado possível de se formar, usando peças retangulares de 6 cm por 15 cm. Veja como Leopoldo pensou: “A medida do lado do quadrado deve ser um múltiplo de 6 cm. Também, deve ser um múltiplo de 15 cm. Logo, deve ser um múltiplo comum de 6 e 15.”

a) Escreva, em seu caderno, o que você acha que o Leopoldo pensou para continuar a resolução do problema.

b) Escreva a resposta ao problema.

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21.

Uma árvore de Natal tem lâmpadas verdes, vermelhas e azuis. As verdes se acendem de 4 em 4 segundos, as vermelhas, de 6 em 6 segundos, e as azuis, de 9 em 9 segundos. Ao ligá-las, todas se acenderam. Depois de quantos segundos se acenderão juntas, novamente, pela segunda vez? E pela terceira vez?

22. Dois carros partiram, ao mesmo tempo, para correr em torno de uma pista. O primeiro dá uma volta completa a cada 8 minutos, e o segundo, a cada 12 minutos.

Depois de quantos minutos os dois se encontrarão pela primeira vez no ponto de partida? Suponha que cada carro mantém velocidade constante.

23. Na tabela de horários da rodoviária de São Paulo, existem as seguintes informações:

Ônibus para o Rio de Janeiro: saída de 3 em 3 horas.

Explore o exercício 21 para que os alunos observem a necessidade do cálculo do mínimo múltiplo comum de mais de dois números. 21. 36 segundos; 72 segundos. 22. 24 minutos.

Explore cálculos do m.m.c. de, números tais que um seja multiplo dos demais.

Duke

Ônibus para Porto Alegre: saída de 4 em 4 horas. Ônibus para Belo Horizonte: saída de 6 em 6 horas.

Ontem, ao meio-dia, saíram, simultaneamente, ônibus da rodoviária de São Paulo para essas três capitais. Depois dessa saída, quando saíram novamente pela primeira vez:

a) Ônibus para o Rio e para Porto Alegre? b) Ônibus para o Rio e para Belo Horizonte? c) Ônibus para Belo Horizonte e para Porto Alegre?

Desafio!

Maurício disse que tem, em reais, uma quantia que pode ser dividida totalmente em pacotes de 8 ou 12 reais. Disse, também, que tem mais de 80 e menos de 100 reais. Quanto Maurício possui?

23. a) Às 24 horas; b) Às 18 horas; c) Às 24 horas.

Desafio 96 reais. (Procure um múltiplo do m.m.c. de 8 e 12 entre 80 e 100.)

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

Aprendendo em casa 24. Escreva, em seu caderno, o que deve substituir cada letra da tabela a seguir:

Número

Cinco primeiros múltiplos do número

7

a

8 11

b c

24. a) 0, 7, 14, 21, 28; b) 0, 8, 16. 24. 32; c) 0, 11, 22, 33, 44.

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25. a) Léa, 3 dias; Marina, 4 dias; Léa, 6 dias; Marina, 8 dias. b) 72 reais, 96 reais. (Múltiplos de 24)

25. Léa guarda 8 reais diariamente, enquanto Marina guarda 6 reais. Assim, as sequências de valores economizados pelas duas, em dias sucessivos, são: Léa

8, 16, 24, 32, 40,48, 56, 64, 72, 80, ...

Marina

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

Observe as duas sequências e responda: 26. Às 19 horas.

a) De quantos dias cada um necessitará para economizar 24 reais? E 48 reais? b) Dê os valores de mais duas quantias iguais que elas poderão economizar.

26. Marina toma 2 remédios diariamente. Um de 3 em 3 horas, outro de 4 em 4 horas.

Hoje, Marina tomou dois remédios às 7 horas da manhã. A que horas de hoje ela deverá usar os dois remédios ao mesmo tempo novamente? 27. a) 0, 14, 28; b) 14; c) 0, 21, 42; d) 21; e) 0, 9, 18; f) 9; g) 0, 15, 30; h) 15; i) 0, 24, 48; j) 24; k) 0, 22, 44; l) 22.

27. Escreva, em seu caderno, o que deve substituir cada letra da tabela a seguir:

Números

Três primeiros múltiplos comuns

Mínimo múltiplo comum

2e7

a

b

3e7

c

d

3e9

e

f

5 e 15

g

h

6e8

i

j

2 e 11

k

l

Divisores de números naturais Serão explorados agora, ordenadamente, os conceitos de divisor, divisor comum e máximo divisor comum. Serão dadas algumas aplicações contextualizadas desses conceitos que voltarão a ser abordados em outros volumes.

ATIVIDADES ORAIS • Sim; oito. • Sete. • 24.

Explorando o que você já sabe Cecília separou 24 figurinhas e doou todas elas para crianças. Ela disse para Yolanda que deu a mesma quantidade para cada uma das crianças.

Cecília pode ter feito a doação para 3 crianças? Se fez, quantas figurinhas cada uma ganhou?

Um dos números a seguir não pode representar a quantidade de crianças que receberam a doação: 4, 6, 7, 8, 12. Qual é ele?

Qual é a maior quantidade de crianças que pode ter recebido doações?

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28. 6 figurinhas. 29. 24 : 4 = 6.

Aprendendo em sala de aula

30. Não; todas têm resto zero, isto é, são divisões exatas.

28. No problema anterior, se 4 crianças receberam a doação, quantas figurinhas cada uma delas ganhou?

29. Qual conta você fez para resolver o exercício anterior? 30. Catarina disse que Cecília pode ter doado as 24 figurinhas para as seguintes quantidades de crianças: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24.

Discuta com seus colegas: se vocês dividirem 24 por esses números, alguma das divisões vai ter resto diferente de zero?

31.

Observe a tabela: Múltiplos

Divisores

6 é múltiplo de 1, 2, 3 e 6.

1, 2, 3 e 6 são divisores de 6.

10 é múltiplo de 1, 2, 5 e 10.

1, 2, 5 e 10 são divisores de 10.

Agora, diga se cada frase a seguir é verdadeira ou falsa:

a) Se 12 é múltiplo de 6, então 6 é divisor de 12. b) 8 não é divisor de 10 porque 10 não é múltiplo de 8. c) 4 é divisor de 12 e de 20. d) 6 é divisor de 12 e de 20. e) Se um número a é múltiplo de outro número b diferente de zero, então b é divisor de a.

32. Escreva, em seu caderno, os números que completam a tabela a seguir:

33.

Escreva:

Divisores de 4

1, 2, 4

Divisores de 5

1, 5

Divisores de 6

a

Divisores de 7

b

Divisores de 8

c

Divisores de 9

d

Divisores de 10

e

Divisores de 11

f

Divisores de 12

g

a) Todos os divisores de 18. b) Todos os divisores comuns de 12 e 18. c) O maior dos divisores comuns de 12 e 18.

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31. Somente a (d) é falsa. Peça a um aluno que escreva no quadro todos os 12 primeiros múltiplos de 1. Depois, peça a ele que escreva no quadro o que se pode afirmar sobre os múltiplos de 1 (todo número natural é múltiplo de 1). Peça a outro aluno que escreva no quadro todos os 12 primeiros múltiplos do zero. Depois, peça a ele que escreva no quadro o que se pode dizer sobre os múltiplos do zero (o único múltiplo do zero é o próprio zero). Comente: você viu que 1, 2, 3 e 6 são divisores de 6 porque 6 é múltiplo de todos eles. Agora, responda: Por que 0 não é divisor de 1, 2, 3, 4, 5, ... etc.? (Porque 1, 2, 3, 4, 5, ... não são múltiplos de zero). ATIVIDADE EXTRA As medidas de um retângulo, em centímetros, são expressas por números inteiros. Calcule essas medidas sabendo que a área mede 40 cm2 e o perímetro mede 26 cm. Solução: devemos encontrar dois números cujo produto é 40 e cuja soma é 13 (metade do perímetro). Como os divisores de 40 são 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40, basta observar que, dentre eles, o par de divisores cuja soma é 13 é dado pelos números 5 e 8. Resposta: 5 cm e 8 cm. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque do exercício 31. 32. Divisores de 6: 1, 2, 3, 6; Divisores de 7: 1, 7; Divisores de 8: 1, 2, 4, 8; Divisores de 9: 1, 3, 9; Divisores de 10: 1, 2, 5, 10; Divisores de 11: 1, 11; Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 33. a) 1, 2, 3, 6, 9, 18; b) 1, 2, 3, 6; c) 6.

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34. Na tabela a seguir, você vê

alguns tipos de quadrados, identificados por letras maiúsculas, e as medidas de seus lados:

34. a) 6 cm; b) 4 cm; c) 10 cm; d) 14 cm; e) 12 cm; f) 15 cm; g) 24 cm; h) 24 cm. A

A

A

A

A

A

A

A

A

6 cm

Quadrado

A

B

C

D

E

F

G

Medida do lado

2 cm

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

7 cm

8 cm

Responda: Qual é a medida do lado do menor quadrado que pode ser recoberto exatamente por quadrados dos tipos: B

B

B

B 6 cm

Acima, a figura do item (a). Faça figuras para os demais itens. 35. Divisores de 10: 1, 2, 5, 10; Divisores de 15: 1, 3, 5, 15; Divisores comuns de 10 e 15: 1 e 5; Maior divisor comum de 10 e 15: 5.

a) A ou B?

b) A ou C?

c) A ou D? d) A ou F?

e) B ou C?

f ) B ou D?

g) B ou G? h) E ou G?

35. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, como completá-la: Divisores de 8: 1, 2, 4, 8 Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores comuns de 8 e 12: 1, 2, 4 Maior divisor comum de 8 e 12: 4

? ? ? ?? Divisores de 15: ? ? ? ? ? Divisores comuns de 10 e 15: ? ? Maior divisor comum de 10 e 15: ? Divisores de 10:

36. Nas frases seguintes, qual sinônimo você usaria para substituir as palavras em destaque?

36. a) Maior; b) Maior. 37. a) m.d.c. (8, 12) = 4; b) m.d.c. (12, 16) = 4; c) m.d.c. (8, 16) = 8; d) m.d.c. (15, 18) = 3. Comente com os alunos que muitas vezes o nome máximo divisor comum é representado abreviadamente assim: m.d.c. 38. a) A capacidade da lata deve ser o m.d.c. de 4 e 12, ou seja, deve ser capaz de acomodar o volume correspondente a 4 vezes o volume da lata em uso. b) Ele vai medir o cimento usando uma vez a lata, e a areia, usando 3 vezes a lata. 39. Para usar o menor número possível de jaulas, ela deve distribuí-los na maior quantidade possível em cada jaula. Como essa quantidade deve ser a mesma em cada jaula, ela será o m.d.c. de 12 e 16, isto é , 4 animais em cada jaula.

a) O máximo atraso permitido é de 10 minutos. b) A máxima velocidade atingida pelo trem foi de 70 quilômetros por hora.

37. O maior divisor comum de dois ou mais números é também chamado

de “máximo divisor comum” deles. Em cada caso a seguir, escreva os divisores dos dois números, depois os comuns e, finalmente, destaque o máximo divisor comum:

a) 8 e 12

b) 12 e 16

c) 8 e 16

d) 15 e 18

38. Um pedreiro usava uma mesma lata para preparar uma massa. A cada

4 latas de cimento, misturava 12 latas de areia. Mas ele estava perdendo muito tempo. Por isso, pediu ao empreiteiro que comprasse uma lata de maior tamanho possível, que possibilitasse medir o cimento e a areia mais rápido. Responda:

a) Qual deve ser a capacidade desta nova lata, em comparação com a lata em uso? b) Usando essa nova lata, quantas vezes ele medirá a areia? E o cimento? Considere, em todas as situações, as latas totalmente cheias.

39. Renata,

que é veterinária, tem 16 cachorros e 12 gatos internados para tratamento em sua clínica. Esses animais ficam distribuídos em quantidades iguais nas jaulas. Quantos animais existem em cada jaula, sabendo-se que ela usou o menor número possível de jaulas para colocá-los? (Lembre-se: gatos e cachorros separados.)

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40. Júlio é muito esperto e disse que sabe dizer qual é o máximo divisor comum dos pares de números a seguir, sem fazer nenhum cálculo.

a) 4 e 8

b)

5 e 15 c)

6 e 24 d)

1e6

e)

1 e 10

Faça como o Júlio. Escreva o máximo divisor comum desses números, sem fazer nenhum cálculo. Justifique. 40. a) 4; b) 5; c) 6; d) 1; e) 1. Justificativa: se um número é divisor de outro, ele é o m.d.c. dos dois.

Desafio!

Joana tinha dois rolos de barbante, um com 36 m e outro com 48 m de barbante. Ela disse que dividiu o barbante de cada rolo em diversos pedaços, todos do mesmo tamanho. Disse, também, que fez a menor quantidade de cortes possíveis nos dois barbantes. Quantos pedaços ela obteve e qual é o tamanho de cada um deles?

Aprendendo em casa 41.

Escreva, em seu caderno, o que deve substituir cada letra da tabela a seguir: Número

Divisores do número

20

a

24

b

30

c

36

d

É conveniente justificar o estudo do m.d.c. para os alunos. Por exemplo, destaque uma aplicação: a simplificação de frações. Exemplifique: dada a fração 36/84, é possível obter a fração 3/7, equivalente à mesma, calculando o m.d.c. de 36 e 84 (que é 12) e dividindo ambos pelo m.d.c.: 36 : 12 = 3 e 84 : 12 = 7. Desafio: Como os tamanhos devem ser os maiores possíveis e divisores de 36 e 48, eles devem ser o m.d.c. de 36 e 48, ou seja, 12 m. Logo, Joana partiu o menor barbante em 3 pedaços e o maior em 4 pedaços. ATIVIDADE EXTRA Uma caixa em forma de paralelepípedo tem as seguintes dimensões internas: 90 cm por 60 cm por 45 cm. Calcule: (a) Qual a maior medida das arestas das embalagens cúbicas que, em conjunto, podem preencher totalmente o espaço interno desta caixa? (b) Quantas destas embalagens são necessárias para que isso ocorra? Solução: A medida das arestas, em centímetros, deve ser o m.d.c. de 90, 60 e 45, ou seja, 15 cm. Logo, cabem 6 x 4 x 3 = 72 dessas embalagens. SUGESTÃO: Explore desenhos relacionados com esta atividade. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

42. Escreva, em seu caderno, o que deve substituir cada letra da tabela a seguir:

Números

Divisores comuns

Máximo divisor comum

20 e 24

a

b

20 e 30

c

d

20 e 36

e

f

24 e 30

g

h

24 e 36

i

j

30 e 36

k

l

41. 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20; 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9 ,12, 18, 36. 42. a) 1, 2, 4; b) 4; c) 1, 2, 5, 10; d) 10; e) 1, 2, 4; f) 4; g) 1, 2, 3, 6; h) 6; i) 1, 2, 3, 4, 6, 12; j) 12; k) 1, 2, 3, 6; l) 6.

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43. a) 6; b) 8; c) 1; d) 1. Sugira que os alunos criem situações particulares para os casos a e b do desafio a seguir, para que tirem suas conclusões.

43. Faça

como o Júlio! Escreva o máximo divisor comum dos pares de números a seguir, sem efetuar cálculos:

a) 6 e 12

44.

d) 1 e 12

a) Se um número é múltiplo de outro, qual é o máximo divisor comum deles? b) Se um número é múltiplo de outro, qual é o mínimo múltiplo comum deles?

Relembre o significado das siglas m.m.c. e m.d.c.

Lembre aos alunos que definimos retângulo como quadrilátero que tem 4 ângulos retos. Logo, o quadrado é um retângulo. Observe que a recíproca não é verdadeira.

c) 1 e 8

Desafio!

44. a) O menor deles; b) O maior deles.

45. a) 24; b) 4; c) 24 x 4 = 96; d) 8 x 12 = 96; e) O produto do m.d.c. pelo m.m.c. de 8 e 12 é igual ao produto de 8 por 12. Comente com os alunos que este fato não é uma coincidência, mas sim uma propriedade do m.m.c. e do m.d.c., isto é, este fato ocorre quaisquer que sejam dois números dados.

b) 8 e 24

45. Neste exercício, usamos a sigla m.m.c. para representar “mínimo múltiplo comum”, e a sigla m.d.c. para representar “máximo divisor comum”. Faça o que se pede:

a) Calcule o m.m.c. de 8 e 12. b) Calcule o m.d.c. de 8 e 12. c) Multiplique o m.m.c. pelo m.d.c. encontrados nos itens (a) e (b). d) Multiplique 8 x 12. e) O que você descobriu nos itens anteriores?

Contando e desenhando Explorando o que você já sabe Observe as figuras e responda:

Para explorar a ilustração com as figuras espaciais, é recomendável apresentar aos alunos modelos físicos dessas ilustrações como, por exemplo, os construídos com papelão. Isto permitirá que os alunos compreendam que, nos desenhos, pela perspectiva necessária para dar ideia de figura espacial, as faces retangulares se apresentam como paralelogramos, os círculos das bases do cone e do cilindro se apresentam como uma oval etc. ATIVIDADES ORAIS • • •

Paralelepípedo e cubo. Cilindro e cone. Prisma de base triangular e pirâmide.

• • •

Quais são as figuras espaciais que têm todas as faces em forma de retângulo? Quais são as figuras espaciais que têm algumas faces em forma de círculo? Quais são as figuras espaciais que têm algumas faces triangulares?

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Aprendendo em sala de aula 46. Observe o quadrado amarelo e calcule quantos quadrados iguais ao destacado em tom escuro ele contém:

47. Observe o paralelogramo amarelo e calcule quantos triângulos iguais ao destacado em tom escuro ele contém:

As atividades a seguir visam a explorar: uma abordagem intuitiva do conceito de área, a identificação de diversos tipos de polígonos, a exploração de sequências, o conceito de divisor, as ideias intuitivas de forma e tamanho, o uso de papel quadriculado para desenhar paralelepípedos em diversas posições permitindo visões diferentes de suas faces, desenhos de paralelas, perpendiculares, bem como alguns polígonos, a identificação de diversos quadriláteros pelas propriedades que os caracterizam (pares de lados paralelos ou de mesma medida, pares de ângulos iguais). Antes dessas abordagens, pode-se explorar atividades semelhantes no quadro ou com modelos de figuras em papel, embalagens, geoplano, papel quadriculado, réguas, esquadros, ou quaisquer outros materiais úteis para o desenvolvimento dessas atividades. 46. 4 x 4 x 4 = 64. 47. 4 x 4 = 16. Visite ou recomende o site http://web.educom.pt/ pr1305/mat_geoplano.htm

48. Observe a ilustração e conte quantas das figuras a seguir ela contém: a) Triângulos.

b) Paralelogramos.

c) Trapézios.

48. 10 triângulos: a)ABH, BHI, BCI, ICD, HGI, FGI, IFD, EFD, AGC, EGC; 13 paralelogramos: b)ABIH, BCDI, HIFG, IDEF, ACDH, HDEG, HBIG, HBCI, GIDF, IFDC, ABFG, BCEF, ACEG; 10 trapézios: c)ACIH, BCDH, ABIG, HBFG, BCDF, ICEF, HBCG, CGFD, HDFG, IDEG.

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49. A seguir, você vê uma sequência de figuras formadas por quadrados: a primeira tem um quadrado; a segunda, dois; a terceira, três; etc. ... 49. a)19 quadradinhos. Professor(a): Comente com os alunos que o total de lados para formar sucessivamente a 1ª, 2ª, etc. figuras formam uma sucessão: 4, 7, 10, 13… Peça que confirmem este fato e depois procurem o termo correspondente à sexta figura. Faça comentários sobre o que seja “regularidade”, exemplificando com outras sequências numéricas ou de figuras. b) 1 + 2 + 3 +…+ 8 = 36. Explore a soma anterior assim: (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) = 9 x 4 = 36. Use fatos análogos para somar alguns dos primeiros números naturais (por exemplo, de 1 a 14, de 1 a 18, de l a 21 etc.).

a) Quantos lados de quadradinhos serão usados para formar a sexta figura?

b) Até a terceira figura foram utilizados, ao todo, 1 + 2 + 3 = 6 quadradinhos. Quantos quadradinhos serão usados até a oitava figura?

50. Copie a figura em um papel quadriculado. Depois, usando cores diferentes, divida-a em 6 partes de mesma forma e tamanho, sem utilizar o quadradinho em tom escuro.

51.

No pátio representado abaixo, você vê 4 pedras em forma de octógono e uma pedra em forma de meio octógono.

a) Quantas pedras em forma de octógono ainda cabem no pátio? b) Quantas pedras em forma de meio octógono ainda cabem no pátio?

50. Uma solução é dada por 6 figuras em forma da letra L (3 + 1 quadradinhos).

51. a) Quatro; b) Uma (na parte superior da figura). Professor(a): Novamente, aqui, lembro a necessidade de cobrar dos alunos respostas coerentes com as perguntas e as mais completas possíveis.

52. Na figura, você vê quatro maneiras diferentes de desenhar um parale-

lepípedo usando um papel quadriculado. Na primeira, você vê como desenhar de modo que fiquem visíveis a face da frente, a face de cima e a face da direita.

Agora, responda: quais faces ficam visíveis quando: 52. a) Frente, esquerda, cima; b) Baixo, frente, direita; c) Baixo, frente, esquerda.

a) Desenhamos o paralelepípedo usando a segunda figura como modelo? b) Desenhamos o paralelepípedo usando a terceira figura como modelo? c) Desenhamos o paralelepípedo usando a quarta figura como modelo?

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53. Use um papel quadriculado para desenhar: a) Duas retas paralelas.

b) Uma reta e duas perpendiculares a ela. c) Um paralelogramo.

53. Desenhos dos alunos. Nos exercícios de 54 a 56, será abordado o conceito de ponto médio de um segmento. Para resolver os exercícios a seguir, solicite que os alunos utilizem réguas graduadas.

d) Um quadrado. e) Um losango.

f ) Um trapézio retângulo. g) Um trapézio isósceles.

h) Um triângulo retângulo.

54. O ponto R.

i ) Um triângulo isósceles.

54. Desenhe um segmento AB de medida 16 cm. Marque, sobre esse seg-

mento, pontos P, Q, R tais que: PA = 5 cm e PB = 11 cm, QA = 4 cm e QB = 12 cm, RA = 8 cm e RB = 8 cm. Responda:

Qual dos três pontos P, Q, R você chamaria de “ponto médio” do segmento AB?

55. Berenice desenhou um segmento XY que mede 10 cm. Depois, marcou sobre o segmento XY um ponto Z tal que ZX = 4 cm.

a) Qual é a medida do segmento ZY? b) Você diria que o ponto Z é ponto médio do segmento XY? Justifique a resposta.

Son Salvador

Você deve ter concluído que, se um ponto M pertence a um segmento AB e MA = MB, então M é ponto médio do segmento AB.

A

M

56.Geraldo disse que um ponto M é ponto médio do segmento AB. a) O ponto M pertence ou não ao segmento AB? b) O que se conclui sobre as distâncias MA e MB?

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B

55. a) 6 cm; b) Não, porque X Z  ZY. Explore contraexemplos para esclarecer que não basta um ponto equidistar dos extremos de um segmento para ser o ponto médio desse segmento. Desenhe um segmento XY e, sobre a vertical que passa por seu ponto médio (mediatriz do segmento), exiba diversos pontos que equidistam de X e Y mas, por não pertencerem ao segmento, não são pontos médios do mesmo. O exercício 56 visa a reforçar o fato de que uma definição é uma proposição da forma “p, se e somente se q”, isto é, se valem as propriedades de pertencer ao segmento e equidistar dos extremos, então, o ponto é ponto médio e, reciprocamente, se o ponto é ponto médio, então, valem as duas propriedades.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o que diz a professora da ilustração.

56. a) Pertence; b) UK = KL.

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Aprendendo em casa Professor(a): Retome a convenção do alto da página 57.

57. Copie as figuras a seguir em um papel quadriculado.

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 57. Atividades dos alunos.

Quadrado

Paralelogramo

Retângulo

Trapézio retângulo

Losango

Trapézio isósceles

Triângulo equilátero

Trapézio

Agora, marque em todas as figuras que você desenhou:

a) Os lados de medidas iguais com marcas iguais. b) Os ângulos de medidas iguais com marcas iguais.

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c) Os pares de lados paralelos com o mesmo número de setas.

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58. Observe as figuras e, em seguida, responda às perguntas:

1

4

5

2

6

3 7

8

a) Qual delas representa duas retas paralelas? b) Qual representa duas retas perpendiculares? c) Qual representa um ângulo obtuso? d) Qual representa dois ângulos de lados paralelos?

59. Dentre as figuras anteriores, qual representa um triângulo retângulo? E

Professor: Recorde que consideramos apenas ângulos cujas medidas, em graus, são menores que ou iguais a 180 graus. 58. a) 2; b) 3; c) 7; d) 8; 59. A figura 4; A figura 5.

qual representa um triângulo isósceles?

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182

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da frente tenha comprimento de medida 5 e altura de medida 3. (Sugestão: imite as posições do paralelepípedo do exercício 52. Use um papel quadriculado, considerando o lado de cada quadradinho como unidade de medida de comprimento. Para a largura, use uma medida 60. Desenhos dos alunos. qualquer.)

61. Use um papel quadriculado e copie as figuras que você vê desenhadas a seguir. Depois, escreva o nome de cada uma delas:

61. a) Prisma de base pentagonal; b) P i r â m i d e d e base quadrangular.

a

b

Caminhos e simetrias Explorando o que você já sabe •

Qual dos dois instrumentos permite ao pedreiro obter verticais e qual per mite obter horizontais?

Se você colocar verticalmente um espelho sobre cada uma das retas tracejadas das três figuras (do boneco, da casa e da borboleta), o que você verá no espelho?

Júlia Bianchi, 2006

ATIVIDADES ORAIS • O prumo. O nível. • O outro lado da figura. As atividades que seguem permitem explorar: os conceitos de horizontal, vertical, ângulo reto e contagem, a visão espacial, os conceitos de simetria em relação a uma reta (de pares de pontos, pares de segmentos e pares de figuras), o conceito de eixo de simetria de figuras quaisquer (tendo ou não formas geométricas usuais) e a identificação de eixos de simetrias de algumas figuras geométricas usuais.

60. Desenhe, em quatro posições diferentes, um paralelepípedo cuja face

Júlia Bianchi, 2006

É recomendável exibir para os alunos um prumo e um nível ou esclarecer, mostrando a figura na ilustração, como são constituídos e principalmente como são utilizados na prática. O prumo é composto por um peso em formato de pião preso a uma corda ou barbante chamado fio de prumo. A direção do fio de prumo, quando tensionado pelo peso, indica a direção da vertical do lugar. O nível é formado de um tipo de régua grossa (de materiais diversos) tendo dentro de uma abertura situada no meio uma ampola cilíndrica contendo água, com as bases paralelas às faces das extremidades da régua. A ampola é totalmente fechada, e a água nela contida não a preenche totalmente, de modo a se formar uma pequena bolha. Para verificar se as direções de determinada superficie plana estão situadas no sentido horizontal, coloca-se o prumo sobre tal superfície e na direção a examinar. Se a bolha se situar exatamente dentro de duas marcas contidas na ampola (marcas paralelas às faces da extremidade da régua e a igual distância das mesmas), significa que tal direção está na horizontal. Se a bolha se deslocar para fora de uma dessas marcas, significa que a direção não é horizontal. Levantando ou abaixando as peças sobre as quais o nível está apoiado, até que a bolha fique situada exatamente entre as duas marcas, o pedreiro consegue assentar essas peças com as faces em uma horizontal. Explore (ou peça ao professor de ciências que explore) o processo de nivelar que os pedreiros utilizam usando uma mangueira de água transparente, baseados no princípio dos vasos comunicantes.

Figuras com eixo de simetria

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Aprendendo em sala de aula 62. Observe os pontos A e B no quadriculado da figura. Percorrendo os lados

dos quadradinhos, é possível ir de A até B fazendo apenas um ângulo reto, passando por 9 lados de quadradinhos, como se vê no exemplo. O trecho vertical do caminho passa por 5 lados de quadradinhos e o trecho horizontal passa por 4 lados de quadradinhos.

Agora, responda:

a) É possível ir de A até B fazendo um único ângulo reto e passando por outro caminho? Se for possível, por quantos lados de quadradinhos se passa?

b) De quantas maneiras é possível ir de A até B passando por nove lados de quadradinhos e fazendo dois ângulos retos?

63. Na figura, você vê, em destaque, um caminho que liga o vértice A ao

vértice G de um paralelepípedo: ele passa pelos pontos B e C e, por isso, vamos chamá-lo de caminho ABCG. Existem 5 outros caminhos que ligam os vértices A e G e que têm o mesmo comprimento do caminho ABCG.

Quais são esses caminhos ? (Use 4 letras dos vértices para identificá-los.)

Pode-se utilizar o ótimo recurso do espelho para exibir figuras simétricas para os alunos, dividindo as atividades em duas fases: em um primeiro momento, usando figuras quaisquer retiradas de revistas. Superpõe-se o espelho verticalmente sobre partes dessas figuras (mudando diversas vezes a posição dele para que os alunos vejam a figura simétrica da parte da figura que fica entre eles e o espelho). A linha de contato entre o espelho e a figura representa, em cada caso, o eixo de simetria. Em um segundo momento, o professor utiliza figuras geométricas para mostrar: a) a simetria das figuras em relação ao espelho: modelos de triângulos, quadriláteros, círculos etc; b) eixos de simetrias: no quadrado, passando verticalmente sobre as diagonais ou pelos pontos médios dos lados; no triângulo isósceles sobre a mediatriz da base. Também sugerimos atividades análogas às propostas nos exercícios de 72 a 74, que são semelhantes a diversas atividades propostas com utilização do Tangram. (Veja um modelo de Tangram no exercício 7, capítulo 1 do 7o ano.) Outro modo de se obterem eixos de simetria é derramar um pouco de tinta em um papel e dobrá-lo, com a dobra passando sobre a parte na qual a tinta esteja. Ao desdobrar o papel, obtém-se uma figura cujo eixo de simetria é representado pela dobra. 62. a) Sim, nove; b) Sete.

Júlia Bianchi, 2006

63. ABFG, ADCG, ADHG, AEFG, AEHG.

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64. Na figura, X e Y são pontos simétricos em relação à reta R porque estão a igual distância dessa reta e em mesma perpendicular a ela.

64. a) Porque as distâncias de S e Z à reta P são iguais e estão sobre a mesma perpendicular à reta R; b) O ponto M; c) O ponto B; d) Porque os dois pontos não estão na mesma perpendicular à reta R; e) Porque as distâncias de Q e B à reta R são diferentes.

a) Por que os pontos S e Z são simétricos em relação à reta R? b) Qual é o ponto simétrico do ponto A em relação à reta R? c) Qual é o ponto simétrico do ponto V em relação à reta R? d) Por que o ponto Z não é simétrico do ponto B em relação à reta R? e) Por que o ponto Q não é simétrico do ponto B em relação à reta R?

Professor(a): Um modo intuitivo de esclarecer que uma reta é chamada eixo de simetria de uma figura é verificar se essa reta divide a figura em duas partes que podem ser superpostas. Assim, na segunda ilustração da página, dobrando o papel sobre a reta P, os segmentos AC e BD vão se superpor e, na terceira ilustração, dobrando o papel sobre a reta N, os triângulos XZT e YVW vão se superpor.

Z

65. Na figura, os pontos A e B são simé-

65. a) YV; b) YW; c) VW.

66. Desenhos variados.

tricos em relação à reta P, bem como os pontos C e D. Por isso, dizemos que o segmento AC é simétrico do segmento BD em relação à reta P. Agora, cite os simétricos em relação à reta N contida na figura do exercício 66:

a) Do segmento XZ. b) Do segmento XT. c) Do segmento ZT.

66. Porque

os lados do triângulo XZT são simétricos dos lados do triângulo YVW, dizemos que esses triângulos são simétricos em relação à reta N.

Desenhe uma reta M e dois triângulos ABC e XYZ simétricos em relação a essa reta. (Use papel quadriculado.)

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67. Observe o quadrado ABCD e os pontos médios E, F, G e H dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente:

Qualquer ponto do quadrado ABCD tem um simétrico em relação à reta que contém o segmento EG. Por isso se diz que essa reta é um eixo de simetria do quadrado ABCD. Identifique outro eixo de simetria do quadrado ABCD e justifique. 67. A reta que contém o segmento HF.

68. Afrânio disse que existem mais duas retas que são eixos de simetria

do quadrado ABCD. O professor disse que ele está correto. Quais são O exercício 68 permite promover uma discussão essas duas retas?

entre os alunos para que descubram outros eixos de simetria do quadrado.

Aprendendo em casa

68. As retas que contêm as diagonais AC e BD.

69.Exercício usando papel quadriculado, lápis e régua ou esquadro. Você vai usar os lados dos quadradinhos do quadriculado para medir comprimentos ou distâncias e fazer o que se pede:

a) Desenhe uma reta vertical V, no meio do papel. b) Do lado esquerdo dessa reta, desenhe três pontos A, B e C em horizontais diferentes,

cujas distâncias à reta V sejam 3, 6 e 2, respectivamente. c) Desenhe, agora, os simétricos M, N e P, de A, B, C, respectivamente, em relação à reta V. d) Desenhe os segmentos AB, AC, BC, MN, MP e NP. e) O que se pode dizer dos triângulos ABC e MNP que você acabou de desenhar em relação à reta V? 69. Desenhos variados.

70. Felício

recortou um retângulo ABCD, como se vê na figura, e colou uma linha de costura passando pelos pontos médios R e S de dois lados. Depois, girou o retângulo, observando que, ao girar, os lados AB e CD trocavam de posição a cada giro. Justifique por que isto aconteceu. 70. Porque a reta RS é eixo de simetria do retângulo.

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e)São simétricos em relação à reta V.

A

B

D

C

R

S

R

S

D

C

A

B

ATIVIDADE EXTRA Nas atividades 1 e 2, sugira que, após cumpridas, façam dobras sobre o(s) eixo(s) de simetria obtido(s) para comprovar a superposição das partes simétricas em relação a tais eixos: 1. Desenhe os polígonos a seguir em um papel quadriculado: a) Trapézio; b) Retângulo; c) Paralelogramo; d) Losango; e) Triângulo isósceles; f) Trapézio isósceles; g) Triângulo retângulo isósceles. Alguns desses polígonos têm eixos de simetria. Faça o desenho desses eixos de simetria usando cores diferentes. 2. Use um papel quadriculado e desenhe, no meio do quadriculado, superpondo uma de suas linhas verticais, uma reta. Agora, desenhe as seguintes figuras simétricas em relação a essa reta: a) Dois pontos A e B; b) Dois segmentos XY e VW paralelos à reta; c) Dois segmentos PQ e ST não paralelos à reta; d) Dois triângulos retângulos com um dos catetos paralelos ao eixo de simetria. 3. Se você desenhar uma circunferência com centro na reta vertical do exercício anterior, o que você pode dizer dessa reta em relação à circunferência? 4. Verdadeiro ou falso: Toda reta que passa pelo centro de uma circunferência é eixo de simetria da mesma. APRENDENDO EM CASA Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. Proponha aos alunos que tragam, na próxima aula, figuras que tenham eixos de simetria, recortadas de jornais, revistas ou quaisquer outros recursos gráficos. Sugira sempre o uso de dobras convenientes para comprovar as simetrias. Um site interessante sobre simetria: h t t p : / / we b. e d u c o m . p t / pr1305/mat_geometri_simetria.htm

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71. Atividade exercida pelo aluno. 72. a) 1ª e 2ª ou 3ª e 4ª. b) 2ª e 3ª ou 3ª e 4ª. a) Base da 2ª junto a um dos lados menores da 1ª ou base menor do trapézio junto ao cateto menor. b) Base do triângulo junto à base maior do trapézio.

71.

Recorte um quadrado ABCD, cole uma linha que passe por A e C e gire o quadrado. Você verá que os pontos B e D trocarão de posição a cada giro.

72. Copie as figuras ilustradas abaixo, recorte e monte usando duas peças: a) Um triângulo retângulo. b) Um pentágono com um ângulo reto.

Visite ou recomende o site http://web.educom.pt/ pr1305/mat_tangram.htm

73. Copie as figuras ilustradas abaixo, recorte e, usando todas as quatro, 73. Atividade exercida pelo aluno. a)

monte:

a) Um quadrado.

b) Um losango.

c) Um trapézio isósceles.

A B

C D

A e D invertidas; b) 2 invertidas; c) 1 invertida. 74. Atividade feita pelo aluno. a) 2 e 3; b) 1 e 2. a) Base do triângulo 3 junto ao lado médio do triângulo 2. b) Base do triângulo 2 junto ao maior lado do quadrilátero 1.

A

B

C

D

74. Copie as figuras ilustradas abaixo, recorte e, usando em cada caso duas delas, monte:

a) Um triângulo.

b) Um pentágono. 2

1

75. 9 equipes de 4, 6 equipes de 6, 4 equipes de 9, 3 equipes de 12 e 2 equipes de 18.

3

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais 75. A turma A tem 36 alunos. O professor de educação física quer formar

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equipes com a mesma quantidade de alunos tendo, no mínimo, 3 alunos em cada equipe. Carlos disse que ele poderá formar 12 equipes com 3 alunos cada. Descreva todas as outras equipes possíveis de se formar sempre com o mesmo número de participantes. Todos os alunos devem ser utilizados na formação das possíveis equipes.

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76. Um avião, após decolar, retorna ao aeroporto Santos Dumont de 15

em 15 horas, e outro, de 20 em 20 horas. Se na próxima segunda-feira vão decolar juntos às 6 horas da manhã, em que dia e hora estarão retornando ao mesmo tempo a esse aeroporto pela primeira vez? E pela segunda vez?

77.

O canal 456 de TV exibe anúncios de 8 em 8 minutos, enquanto que o canal 789 exibe anúncios de 12 em 12 minutos. Ontem, às 20 horas, ambos iniciaram exibição de anúncios. Qual é o primeiro horário no qual voltaram a transmitir anúncios ao mesmo tempo?

78. Duas caixas de tabletes de chocolates têm os pesos líquidos de 80 gra-

mas e 64 gramas, respectivamente. Cada tablete tem o mesmo peso e cada caixa tem a menor quantidade possível de tabletes, qual é o peso de cada tablete e quantos deles existem em cada caixa?

Professor, o Luciano me disse que o máximo divisor comum é muito útil para simplificar frações.

76. Os aviões voltarão a decolar juntos, novamente, de 60 em 60 horas (m.m.c. de 15 e 20). Observe que 60 horas = 2 x 24 horas + 12 horas. Logo, a primeira vez que voltarão a decolar juntos será dois dias e 12 horas após as 6 horas da 2a feira, ou seja, às 18 horas de 4a feira, e, a segunda vez, às 6 horas de domingo. 77. 20h 24min.

Ele tem razão. Veja, a seguir, como usá-lo na simplificação de frações.

78. Cada tablete pesa 16 gramas. Na primeira caixa, existem 5 tabletes, e, na segunda, 4 tabletes.

Son Salvador

Simplificar: 8 12

Son Salvador

Peça aos alunos que expliquem como resolveram o exercício 78.

Você já viu, no exercício 37, que o máximo divisor comum de 12 e 8 é 4. Se dividirmos os dois termos da fração 8 por 4, encontraremos a 12 fração 2 equivalente a ela. 3 Observe que, tendo dividido os dois termos pelo seu máximo divisor comum, obtivemos uma fração que não pode ser mais simplificada porque o máximo divisor comum de seus termos (2 e 3) é 1. Por essa razão, esta fração é chamada de fração irredutível.

Para as aplicações do m.d.c. e do m.m.c. a seguir, relembre com os alunos as duas importantes propriedades: Multiplicando o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número (diferente de zero), obtém-se outra fração equivalente. Dividindo o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra fração equivalente. (Explore alguns exemplos do uso dessas duas propriedades.)

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79. Use a tabela a seguir para simplificar frações, usando o máximo divisor

comum de seus termos. Escreva, em seu caderno, as frações que devem substituir corretamente cada letra da tabela:

Após o estudo do texto contido na página, explore o exemplo de subtração da mesma, usando como denominador comum múltiplos de 24 (que é o m.m.c. de 8 e 12). Por exemplo, use 48 e 72. Comente com os alunos que tal subtração poderia ser feita usando tais denominadores. Entretanto, isto implica obter para numeradores números bem maiores que os do exemplo. Procure convencê-los de que o uso do m.m.c. nos leva a trabalhar com números menores e, portanto, a cálculos mais simples. 79. a) 5/6; b) 2/3; c) 5/9; d) 4/5; e) 2/3; f) 5/6.

Números

Divisores comuns

Máximo divisor comum

Fração dada

Fração simplificada irredutível

20 e 24

1, 2, 4

4

20 24

a

20 e 30

1, 2, 5, 10

10

20 30

b

20 e 36

1, 2, 4

4

20 36

c

24 e 30

1, 2, 3, 4, 6

6

24 30

d

24 e 36

1, 2, 3, 4, 6, 12

12

24 36

e

30 e 36

1, 2, 3, 6

6

30 36

f

Você viu que, para somar ou subtrair frações de denominadores diferentes, é necessário encontrar frações equivalentes e que tenham denominadores iguais:

Por exemplo, você viu que: Verif ique se os alunos sabem explicar por que os novos numeradores são 15 e 8, respectivamente: 24 : 8 = 3; 3 x 5 = 15; 24 : 12 = 2; 2 x 4 = 8.

5 4 15 8 7 . − = − = 8 12 24 24 24

Observe que os denominadores 8 e 12 foram substituídos pelo denominador 24, que é o mínimo múltiplo comum de 8 e 12. Note, portanto, que o mínimo múltiplo comum tem ótima aplicação prática: ele é o denominador comum que devemos encontrar quando tivermos que calcular somas ou diferenças de frações de denominadores diferentes, obtendo frações de denominadores iguais, equivalentes às frações dadas.

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80. Use a tabela a seguir para somar ou subtrair frações, usando o mínimo múltiplo comum de seus denominadores. Escreva, em seu caderno, as frações que devem substituir corretamente cada letra da tabela:

Números

Múltiplos comuns diferentes de zero

Mínimo múltiplo comum

Frações dadas e as equivalentes de denominadores iguais

Resultados

9e6

18, 36, 54,…

18

8 5 16 15 1 − = − = 9 6 18 18 18

1 18

9 e 10

90, 180, 270,…

90

8 5 − = 9 10

?

a

6 e 10

30, 60, 90,…

30

7 9 − = 6 10

?

b

5e1

5, 10, 15, 20,…

5

23 −3= 5

?

c

9e6

18, 36, 54,…

18

5 1 + = 9 6

?

d

Dizemos que 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12 porque é múltiplo de todos esses números. Em geral se diz que: um número natural é divisível por outro número natural se é múltiplo desse outro.

81.

Você sabe como decidir se um número é divisível por 2, 3, 5 ou 10 sem efetuar as divisões? Existem regras que permitem responder a essa pergunta, denominadas “regras de divisibilidade”. Algumas das atividades a seguir foram criadas para que você tente descobrir algumas delas.

a) Divida 45, 102 e 4 029 por 3. Verifique se as divisões são exatas. b) Some os algarismos desses números e verifique se essas somas são números múltiplos de 3.

c) Marilda disse que um número é divisível por 3 se e somente se a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3. Ela está correta ao afirmar isso?

d) Divida 48, 51, 38 e 97 por 2. e) No item acima, quais divisões foram exatas? f) Divida 45, 47, 50, 52 e 55 por 5 e diga quais divisões foram exatas. g) Discuta com seus colegas e escreva frases que, no seu entendimento, possam ser regras de divisibilidade por 2, 5 e 10.

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80. a) 8 0 /90 – 4 5 / 9 0 = 35/90; b) 35/30 – 27/30 = 8/30; c) 23/5 – 15/5 = 8/5; d) 10/18 + 3/18 = 13/18.

81. a) São; b) São: 9, 3 e 15 são múltiplos de 3; c) Sim; d) Atividades dos alunos; e) As divisões de 48 e 38, por 2. f) Atividades dos alunos; as divisões de 45, 50 e 55 por 5. g) “Um número é divisível por 2 se e somente se o algarismo das unidades do mesmo for 0, 2, 4, 6 ou 8”; “Um número é divisível por 5 se e somente se o algarismo das unidades do mesmo for 0 ou 5”; “Um número é divisível por 10 se e somente se o algarismo das unidades do mesmo for 0”. Professor(a): Comente que as regras de divisibilidade descritas nas respostas do exercício 81 são válidas em geral. Escreva diversos números no quadro e solicite aos alunos que verifiquem a divisibilidade de tais números por 2, 3, 5 e 10. Explorar as seguintes atividades: a) Desenhar figuras simétricas em quadriculados. b) Usar os esquadros e réguas para traçar caminhos, dados os ângulos e as medidas de cada trecho. c) A divisibilidade e a regularidade (padrões): - Divisibilidade por 2: escrever, no quadro, uma sequência de múltiplos de dois, como a seguinte: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …

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... Fazer notar que o algarismo das unidades é sempre 0, 2, 4, 6 ou 8. Daí, concluir a regra de divisibilidade. – Divisibilidade por 3: escrever, no quadro, uma sequência de múltiplos de três como a seguinte e, imediatamente abaixo de cada múltiplo, a soma de seus algarismos: Múltiplos de 3: 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... 1 + 2 = 3; 1 + 5 = 6; 1 + 8 = 9; 2 + 1 = 3, ... Fazer notar que a soma dos algarismos de um múltiplo de 3 é sempre um múltiplo de 3. Daí, concluir a regra de divisibilidade. – Divisibilidade por 5: Escrever uma sequência de múltiplos de 5 e fazer notar que o algarismo das unidades é sempre 0 ou 5. Daí, concluir a regra. REVISÃO – Ao término do estudo do capítulo, reveja com os alunos, a seu critério, o significado de alguns dos termos: múltiplo, múltiplo comum, mínimo múltiplo comum, divisor, divisor comum, máximo divisor comum, ponto médio de um segmento, caminho, simetria em relação a uma reta, eixo de simetria, simetria em relação a um ponto, fração irredutível, reduzir frações ao mesmo denominador. Sugestões para verificações: Usar recíprocas de situações dadas. Exemplificando: Dadas as medidas dos lados de um quadrado, pedir para calcular a medida do lado do hexágono regular que tem o mesmo perímetro do quadrado. Verificação: Dadas as medidas dos lados de um hexágono regular, pedir para calcular as medidas dos lados de um quadrado que tem o mesmo perímetro do hexágono. A seu critério, utilize, dentre as sugestões a seguir, a atividade de revisão que julgar necessária visando a verificar: a) a resolução de problemas relacionados com a contagem de figuras contidas em outras, usando diferentes estratégias; b) a representação em perspectiva de figuras planas ou espaciais em papéis quadriculados; c) a resolução de problemas relacionados com o desenho de caminhos formados de segmentos obedecendo a instruções do tipo: tantos quadrinhos para a direita, ... esquerda, ... para cima..., para baixo, bem como, dados dois pontos do quadriculado, desenhar ou descrever os menores caminhos a percorrer de um ponto a outro desses pontos dados;

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?

Verifique se você aprendeu Reveja os exercícios

Se ainda tem dúvidas sobre Como identificar ou calcular múltiplos de números naturais.

1 a 9.

Como identificar ou calcular múltiplos comuns ou mínimo múltiplo comum de números naturais.

10 a 27.

Como identificar ou calcular divisores de números naturais.

28 a 33.

Como identificar ou calcular divisores comuns ou máximo divisor comum de números naturais.

34 a 45.

Como resolver problemas sobre múltiplos comuns, mínimo múltiplo comum, divisores comuns ou máximo divisor comum.

1, 20, 31, 32, 33, 75 a 78.

Como decompor uma figura em diversas outras ou contar quantas figuras formam uma figura dada.

46 a 48, 50, 51.

Como resolver problemas relacionados com sequências de números ou de figuras.

49.

Como desenhar paralelepípedos usando papel quadriculado de modo a obter vistas variadas de três de suas faces.

52, 60.

Como identificar figuras planas dadas por seus nomes.

58, 59.

Como desenhar figuras planas em papel quadriculado.

53.

Como desenhar polígonos em papel quadriculado e indicar, com marcas, ângulos de medidas iguais, lados de medidas iguais ou lados paralelos.

57.

Como resolver problemas relacionados com pontos médios de segmentos.

54 a 56.

Como desenhar pirâmides ou prismas usando papel quadriculado.

61.

Como percorrer ou contar caminhos que ligam dois pontos através de segmentos no plano ou no espaço.

62, 63.

Como desenhar ou identificar figuras simétricas em relação a uma reta.

64 a 66 e 68.

Como identificar eixos de simetria de figuras dadas.

67 a 71.

Como montar figuras planas com peças recortadas.

72 a 74.

Como simplificar frações usando o m.d.c. dos termos.

79.

Como somar ou subtrair frações de denominadores diferentes.

80.

Regras de divisibilidade por 2, 3, 5 e 10.

81.

d) a formação de figuras compostas a partir de figuras dadas ou recortadas de outras figuras. Recomende ou explore a leitura de: “Jogando com a Matemática” (p. 29-32) Oscar Guelli, Coleção Contando a história da Matemática. Editora Ática.

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CapItulo 6

Gene Lee | Dreamstime.com

, a i s d a d a i d a i Me e o d

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Você já conhece alguns instrumentos de medida como o metro, a balança, o termômetro, o relógio. Conhece, também, algumas unidades de medida como o quilograma e o metro. Neste capítulo, você vai aprender como:

Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página.

Identificar qual ou quais são os instrumentos adequados para se medir uma grandeza dada.

• • •

Decidir quais instrumentos ou métodos de medida são confiáveis e quais não são.

• • • • • • •

Fazer correspondências entre grandezas e unidades de medidas.

Usar instrumentos de medidas não usuais para medir grandezas. Identificar grandezas que se medem usando instrumentos e grandezas que se medem contando quantidades. Interpretar centavos como frações do real. Ler ou escrever valores monetários usando o real e os centavos. Resolver problemas relacionados com o real e os centavos. Interpretar os significados de área e de volume. Calcular áreas de figuras compostas de retângulos.

Júlia Bianchi, 2006

Calcular volumes de figuras compostas de paralelepípedos retângulos.

altura 3 cm

Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, regras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações af irmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como algumas regularidades relacionadas com sequencias numéricas.

base 4 cm

2,5 3

6

3

3

2,5

2,5

2,5

2,5

3

3

3 3

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2,5

6

2,5

2,5

3

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medidas, o real e o dia a dia Explorando o que você já sabe Faça a correspondência entre as frases do lado esquerdo e as frases do lado direito Devo

Para saber

1a) Se estou com febre.

2a) Qual é o comprimento da sala.

3a) Qual é a largura da página do meu livro.

a) b)

4a) Qual é a quantidade de arroz de um pacote.

c)

6a) Quanto paguei por objetos comprados.

e)

5a) Quanto estou pesando.

7a) Qual é o comprimento da quadra de vôlei.

d)

Somar os preços. Usar uma régua. Usar uma balança. Usar um termômetro. Usar um metro ou uma trena.

Aprendendo em sala de aula 1.

Qual das duas grandezas a seguir é medida e qual é contada?

a) O tempo de duração de um jogo de vôlei. b) O número de páginas de um livro.

2. Dê dois exemplos de cada uma das situações do seu dia a dia:

3. 4. 5.

a) Situações nas quais você tem que contar. b) Situações nas quais você tem que medir.

Para medir o tempo de duração de um jogo, o juiz de futebol usa um instrumento de medida. Qual é o nome desse instrumento? Ao marcar uma falta contra um time de futebol, o juiz mede a distância entre a bola e a “barreira” contando certo número de passos. Esse modo de medir é confiável? Se você fosse juiz e quisesse que essas medidas fossem mais confiáveis, diga pelo menos dois tipos de recursos diferentes que você usaria.

6. Todo sábado Marta faz um bolo para os seus netinhos comerem no do-

mingo. Para cada bolo, ela mede sempre 3 copos completos de leite. É possível garantir que a quantidade de leite que ela usa é sempre a mesma? Por quê?

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ATIVIDADES ORAIS • 1ª => d • 2ª => e • 3ª => b • 4ª => c • 5ª => c • 6ª => a • 7ª => e Explore situações pedindo aos alunos que respondam como se comparam grandezas dadas, contando ou medindo e, no caso de medir, com qual unidade de medida. Sugestões: batata: quilograma; óleo: litro; leite: litro; flores: contando; tecido: metro; plástico: metro; fio elétrico: metro; álcool: litro; carne: quilograma; refrigerante: litro; limão: contando; arroz: quilograma; botões: contando; peixe: quilograma; tinta: litro; lápis: contando; queijo: quilograma; barbante: metro. Explore, também, situações de medida com instrumentos não usuais: comprimentos medidos com barbantes ou réguas, vasilhames para medir líquidos, pedras para medir massas, usando balanças de dois pratos. Os exercícios a seguir têm por objetivo explorar situações: a) Nas quais são citadas grandezas que são medidas e grandezas que são contadas; b) Que tenham correlação com o surgimento de certas unidades de medida ao longo dos tempos, como, por exemplo, as medidas de comprimento que começaram com os “pés”, “palmos”, “braços”, pequenas varas etc., até evoluírem para medidas convencionais: metro, polegadas e suas subdivisões; c) Que solicitem “contar ou medir”, usando medidas com instrumentos não usuais; d) Situações de verbalização por parte dos alunos, relacionando grandezas x unidade de medida apropriada, medidas confiáveis ou não confiáveis. 1. a) Medida; b) Contada. 2. Respostas variadas. 3. Cronômetro. 4. Não. 5. Respostas variadas. Por ex.: uma trena, um barbante. 6. Não. Porque os copos podem ter medidas diferentes.

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7. 7. a) F; b) V; c) V; d) V; e) V; f) V.

c) Dizer que a porta mede 7 réguas é dizer que o comprimento da porta é 7 vezes o comprimento da régua.

d) Medir um comprimento de um objeto é contar quantas vezes ele contém o comprimento de outro objeto, usado como unidade de medida.

Professor(a): Caso julgue conveniente, explore o uso de instrumentos de medida de objetos minúsculos usando um paquímetro ou um micrômetro, ou sugira que os alunos pesquisem sobre como utilizar tais instrumentos de medida. O paquímetro é utilizado, em geral, para medir o diâmetro ou sulcos de peças de pequenas dimensões com grande precisão, enquanto que o micrômetro é mais utilizado para medir a espessura de pequenas peças, também com grande precisão. Veja o arquivo http://fisica.coeel.googlepages.com/ paqmic.pdf(sobre o uso do paquímetros) e o sitewww. ipem.sp.gov.br, onde é possível encontrar várias informações sobre pesos e medidas. Em particular, no endereço http://www.ipem. sp.gov.br/5mt/cv2/index.htm pode-se trabalhar com a conversão de unidades dos mais variados tipos de medidas.

10. Na loja “Tudo a metro”. Porque as medidas a metro são mais confiáveis que as medidas “a palmo”.

e) Se um garrafão contém 5 litros de água mineral, seu conteúdo pode encher completamente 5 garrafas, cada uma com capacidade total de l litro.

f ) Medir uma grandeza é compará-la com outra de mesma espécie considerada como unidade de medida.

8. Se uma balança de dois pratos tem, de um lado, 4 pesos de 1 kg cada e, do outro, um pacote de arroz, você pode afirmar que o pacote de arroz pesa 4 kg?

9.

10.

Se os dois pratos de uma balança estiverem nivelados tendo de um lado 4 pedras e de outro um pacote de farinha, é possível dizer que o peso da farinha é 4 vezes o peso de uma pedra?

Son Salvador

9. Não. Porque as pedras podem ter pesos diferentes.

a) Medir distâncias contando passos é um modo confiável de medida. b) Medir pequenas distâncias usando uma régua graduada ou um metro é um modo confiável de medida.

Caso julgue conveniente, proponha aos alunos a construção de uma balança de dois pratos com material caseiro. 8. Somente se os dois pratos da balança estiverem nivelados.

Verdadeiro ou falso:

Observe a ilustração e responda: em qual das lojas você compraria? Por quê?

Loja “Tudo a palmo” 20 palmos de tecido “alinhado” Preço: R$ 1,00, cada palmo Loja “Tudo a metro” 4 metros de tecido “alinhado” Preço: R$ 5,00, cada metro

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11.

Observe duas relações de materiais usados na construção de uma casa: 1a) Tijolos, telhas, torneiras, pias, chuveiros. 2a) Madeiras de telhados, fios elétricos.

12.

a) Qual das relações contém materiais que são contados? b) Qual das relações contém materiais que são medidos?

11. a) A primeira; b) A segunda.

Escreva em seu caderno:

a) Uma relação contendo os nomes de três objetos diferentes, usados na construção, que são contados.

b) Uma relação contendo os nomes de três objetos diferentes, usados na construção, que são medidos.

Para medir comprimentos, no comércio, na indústria e em diversas outras áreas das atividades do dia a dia, usamos o metro (e também seus múltiplos e seus divisores). O metro é uma unidade de medida de comprimento.

12. Respostas variadas. Exemplos: a) Azulejos, portas, janelas, sacos de cimento. b) Canos, areia, brita.

Nazareth Leite/Lápis Lazúli, 2006

13.

Agora, observe as duas colunas da tabela a seguir e escreva, em seu caderno, todas as correspondências possíveis entre as grandezas e as unidades que podem ser utilizadas para medi-las: A grandeza a b c d e f g

Tempo Comprimento Massa Capacidade Temperatura Velocidade Valor a ser pago

pode ser medida em 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

gramas reais horas metros quilômetros centímetros quilogramas centavos metros por segundo graus centígrados minutos litros milímetros

Muitos objetos custam menos de um real. Também, a maioria dos preços dos mais variados artigos contêm frações do real. Por isso, como você já sabe, o real é dividido em 100 partes iguais, chamadas centavos. Assim, R$ 3,26 significam 3 reais e vinte e seis centavos, ou 3 reais mais 26 centésimos de real.

13. a: 3 e 11; b: 4, 5, 6, 13; c: 1 e 7; d: 12; e: 10; f : 9; g: 2 e 8.

Passaremos, agora, às atividades que caracterizam o centavo como fração centesimal do real. Podem ser exploradas, em sala de aula, diversas situações semelhantes às propostas usando tabelas no quadro ou, de preferência, “cédulas” e “moedas” confeccionadas em papel. Exploraremos o real e o centavo, as diversas maneiras de se obter uma certa quantia pela escolha de cédulas ou moedas disponíveis, problemas “tinha-ganhei-tenho”, “tinha-gastei-tenho”, “facilitando o troco” etc.

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14. 14. a) A centésima parte; b) 1/100; c) Um centavo; d) Treze reais e vinte e sete centavos.

A atividade a seguir pode ser antecedida por grupos de alunos fazendo “trocas” de moedas de papel.

15.

Proponha aos alunos que inventem um jogo com base nesta e em outras atividades seguintes. Pode-se, também, fazer duas tabelas iguais ou semelhantes no quadro e colocar duas equipes para resolvê-las, ganhando a equipe que terminar mais rápida e corretamente. Estabeleça o número de pontos perdidos, em caso de erros. Recomende especial atenção para o e e o ou na tabela do exercício 15.

17. a = R$ 4,35; b = R$ 2,52; c = R$ 2,75; d = R$ 4,09.

a) 0,01 representa qual fração de uma unidade? b) R$ 0,01 representa qual fração de R$ 1,00? c) Escreva como se lê: R$ 0,01. d) Escreva como se lê: R$ 13,27.

Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: Posso substituir uma moeda de

por

cinco centavos

a moedas de um centavo

dez centavos

b moedas de cinco centavos

dez centavos

c moedas de um centavo e d moedas de cinco centavos

dez centavos

e moedas de um centavo ou f moedas de cinco centavos

um real

g moedas de dez centavos

dez centavos

h moedas de um centavo

um real

i moedas de um centavo

16. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: (Se quiser, use a calculadora.)

15. a = 5; b = 2; c = 5; d = 1; e = 10; f = 2; g = 10; h = 10; i = 100. 16. a = R$ 0,91; b = R$ 1,63; c = R$ 17,27; d = R$ 22,15; e = R$ 4,58; f = R$ 1 107,66; g = R$ 2 986,68.

Relembre o que você já estudou, escrevendo, em seu caderno, como completar ou responder cada item a seguir:

Eu tinha

Ganhei mais

Agora eu tenho

R$ 0,35

R$ 0,56

a

R$ 0,76

R$ 0,87

b

R$ 12,07

R$ 5,20

c

d

R$ 11,32

R$ 33,47

R$ 4,67

e

R$ 9,25

R$ 73,34

f

R$ 1 034, 32 g

17.

R$ 2 045,32

R$ 5 032,00

Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: Moedas de

Quantidade

R$ 0,01

0

7

5

9

R$ 0,05

8

1

3

0

R$ 0,10

2

4

3

5

R$ 0,25

1

0

3

4

R$ 0,50

7

4

3

5

Quanto tenho

a

b

c

d

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18.

19.

Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: Gastei

Paguei com

Possíveis trocos

R$ 19,00

R$ 20,00

2 moedas de a ou 10 moedas de b ou 4 moedas de c

R$ 98,50

R$ 100,00

15 moedas de d ou 6 moedas de e ou 3 moedas de f

Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: Se eu tiver que pagar

e, para facilitar o troco, eu der

receberei de troco

R$ 3,21

R$ 5,21

a

R$ 2,67

R$ 3,17

b

R$ 4,12

5 reais mais c centavos,

d

R$ 3,62

5 reais mais e centavos,

R$ 1,50

R$ 9,80

10 reais mais f centavos,

R$ 0,50

20. Diga o que é mais razoável:

a) Comprar um aparelho de televisão pagando com moedas de um centavo ou com cédulas de R$ 50,00?

b) Medir o comprimento de sua sala de aula usando sua régua ou um metro de carpinteiro? c) Dar o peso de uma pessoa em gramas ou em quilogramas? d) Dar o peso de um lápis em gramas ou em quilogramas?

21.

Muitas vezes, dizemos que uma distância é grande, média ou pequena. Também costumamos classificar comprimentos em grandes, médios ou pequenos. Dê um exemplo para cada um desses três tipos de distâncias ou comprimentos.

22. Discuta com seus colegas e responda se é verdadeiro ou falso:

a) Qualquer que seja o objeto, usa-se sempre, para medi-lo, a mesma unidade de medida. b) Existe sempre uma unidade de medida mais adequada ao tamanho do objeto que se quer medir.

c) Qualquer que seja a unidade de medida usada para medir um objeto, obtém-se sempre um mesmo número que representa sua medida na unidade usada.

18. a) R$ 0,50; b) R$ 0,10; c) R$ 0,25; d) R$ 0,10; e) R$ 0,25; f) R$ 0,50. 19. a = R$ 2,00; b = R$ 0,50; c = 12; d = R$ 1,00; e = 12; f = 30. 20. a) Com cédulas de R$ 50,00; b) Um metro; c) Em quilogramas; d) Em gramas. Promova uma discussão relacionada com as possíveis respostas do exercício 21, bem como situações que justifiquem as respostas dadas aos quatro itens do exercício 22. 21. Nesta atividade, chame a atenção para os alunos que “distância e “comprimento” podem ser sinônimos, mas que, no dia a dia, usamos distância em relação à posição de objetos, cidades, etc., e comprimento em relação a medir coisas e objetos variados. Respostas variadas. Exemplos: distância entre duas cidades, entre dois postes de iluminação, entre duas paredes de uma sala. Comprimento de um poste, de uma porta, de um lápis. 22. a) F; b) V; c) F; d) V.

d) Os números que expressam medidas das mesmas partes de um objeto, com unidades de medidas diferentes, podem ser diferentes.

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Aprendendo em casa Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. É recomendável, neste momento, que seja feito um comentário sobre três fatos: a) A necessidade da existência de padrões universais de medida. b) A necessidade de, para um mesmo tipo de grandeza, existirem unidades de medidas que permitam medir valores pequenos, médios ou grandes. Comente sobre a existência da unidade medida “polegada” e suas frações, muito utilizada em países de língua inglesa e que ainda exerce influência em nossa cultura. Por exemplo, até hoje ainda medimos telas de aparelhos de televisão ou de computadores com polegadas. Pode-se, nesse caso, solicitar uma pesquisa: conseguir, em uma oficina mecânica, porcas, parafusos, chaves de boca ou estria que utilizam a polegada como medida, bem como outros instrumentos de medida em polegada. c) A existência de diversas unidades de medida monetária, citando as mais conhecidas, pedindo, inclusive, uma pesquisa em jornais ou em revistas sobre os valores monetários mais citados e, se possível, a equivalência desses valores com o real. Visite o site http://www4. bcb.gov.br/pec/conversao/conversao.asp 23. a = R$ 7,19; b = Treze reais e quarenta e três centavos; c = R$ 207,73; d = Duzentos reais e vinte e sete centavos; e = R$ 1 050,90; f = R$ 300,07. 24. a = R$ 2,75; b = R$ 3,02; c = R$ 4,09; d = R$ 4,58; e = R$ 4,35.

23. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras:

Sete reais e dezenove centavos

a

b

R$ 13,43

Duzentos e sete reais e setenta e três centavos

c

d

R$ 200,27

Mil e cinquenta reais e noventa centavos

e

Trezentos reais e sete centavos

f

24. Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras:

Quantidade

Moedas de R$ 0,01

5

7

9

3

0

R$ 0,05

3

1

0

4

8

R$ 0,10

3

4

5

1

2

R$ 0,25

3

2

4

5

1

R$ 0,50

3

4

5

6

7

Quanto tenho

a

b

c

d

e

25. Maria

e Ângela foram ao supermercado fazer compras. Observe as tabelas de preços e as compras que elas fizeram e depois responda às perguntas (a), (b) e (c): Preços em reais Por dúzia

Por unidade

Por kg

Por kg

Laranja

1,20

Alface

0,60

Arroz

0,80

Filé

8,00

Banana

0,80

Repolho

0,80

Feijão

1,20

Alcatra

5,00

Limão

0,60

Couve

0,50