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Relatório Técnico Vetores e Matrizes Ortogonais Wagner Oliveira de Araujo

Lecture Report March

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Relatório de Disciplina 2013

-

Março

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Vetores e Matrizes Ortogonais Wagner Oliveira de Araujo ∗ woa2009@gmail.com

Resumo. Este meta-artigo descreve um passo a passo a utilização de matrizes e vetores ortogonais. Palavras-Chave: Ortogonais. Normalização. Matrizes. Vetores.

1 Introdução Dois vetores a e b do mesmo tamanho são referidos como sendo ortogonais [1] se a = (a1 , a2 , . . . , an ) e

b = (b1 , b2 , . . . , bn )

a’b = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn = 0.

(1) (2)

Geometricamente, vetores ortogonais são perpendiculares. Se a’a = 1, o vetor √ é dito normalizado. O vetor pode sempre ser normalizado dividindo-se pelo seu comprimento, a’a. Assim c= √

a a’a

(3)

é normalizada de modo a que c’c = 1. A matriz C = (c1 , c2 , . . . , cp ) cujas colunas são normalizadas e mutuamente ortogonais é chamada uma matriz ortogonal. Uma vez que os elementos de C’C são produtos de colunas de C, que possuem a propriedades ci 0 ci = 1 para todo i e ci 0 cj = 0 para todo i 6= j, temos C0 C = I1 .

(4)

Se C é satisfeita pela Equação (4), segue-se necessariamente que CC0 = I,

(5)

a partir do qual podemos ver que as linhas de C também são normalizadas e ortogonais entre si. É forma clara Equação (4) e Equação (5) que C−1 = C0 para uma matriz ortogonal C. Ilustra-se a criação de uma matriz ortogonal, iniciando com 

1 1 1   1 1 −1 A=  1 −2 0 ∗ 1

Responsável pelo texto do relatório. Representa a matriz identidade

1

(6)


2

Relatório Técnico

Aplicando a Equação (3) por cada coluna da Matriz (6) temos h

h

h

i

1 1 1

1 1 −2

1 −1 0

i

i

1 √  × 1   = 1(1) + 1(1) + 1(1) = 3 ⇒ 3 1 

1 √   ×  1  = 1(1) + 1(1) − 2(−2) = 6 ⇒ 6 −2 1 √   ×  −1  = 1(1) − 1(−1) + 0(0) = 2 ⇒ 2 0

cujas colunas são ortogonais √ √ entre √ si, para normalizar as três colunas, dividimos pelos respectivos comprimentos, 3, 6 e 2 obtém  

C= 

√1 3 √1 3 √1 3

√1 6 √1 6 − √26

√1 2 − √12

0

  . 

(7)

Note-se que as linhas tornaram-se também mutuamente ortogonais e normalizadas, de modo que satisfaça tanto C Equações (4 e 5).

Referências [1] Alvin C. Rencher. Methods of Multivariate Analysis. Jonh Wiley & Sons, 2th edition, 2002.

2 Código do programa em MATLAB 1 2 3

%% Vetores e Matrizes Ortogonais % Criado por: Wagner Oliveira de Araujo % Data 30/03/2013

4 5 6

A=[1,1,1;1,1,-1;1,-2,0]; B = orth(A)

7 8

% Prova

9 10

B’*B

11 12

B*B’

13 14

%Resposta

15 16

B =

17 18 19 20

-0.4082 -0.4082 0.8165

-0.5774 -0.5774 -0.5774

-0.7071 0.7071 -0.0000

0 1.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 1.0000

21 22 23

ans =

24 25 26 27 28 29

1.0000 0 -0.0000


3

Relat贸rio T茅cnico

30

ans =

31 32 33 34

1.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 1.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 1.0000


Matrizes e Vetores Ortogonais