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Introduccion Juego Star Trek Teoría de Juegos Cuánticos Conclusiones

Caso Práctico de Teoría de Juegos Cuánticos Análisis Clásico VS Análisis Cuántico Víctor Mejía vmejiaec@hotmail.com Escuela Politécnica Nacional

Viernes 16 de abril del 2010

Víctor Mejía

Física Aplicada a las Finanzas


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Temas a tratar... 1

Introduccion

2

Juego Star Trek

3

Teoría de Juegos Cuánticos

4

Conclusiones

Víctor Mejía

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Introduccion La teoría de juegos ha alcanzado grandes logros en el análisis la interacción de los actores financieros en situaciones complejas.

Víctor Mejía

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Teoría de Juegos En la teoría clásica se han analizado los escenarios económicos más representativos, encontrando soluciones generales que implican el concepto de equilibrio. Dilema del Prisionero Duopolio de mercado en base de productos de Cournot. Duopolio de mercado en base de precios de Bertrand. Duopolio de Stackelberg.

Víctor Mejía

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Dilema del Prisionero Ejemplo de juego clásico con dos equilibrios de Nash, uno de ellos inestable.

Víctor Mejía

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Duopolio de mercado en base de productos de Cournot Considera las acciones de los otros agentes del mercado como un dato, sin tener en cuenta la influencia de sus propias acciones. Comportamiento “ingenuo”

Víctor Mejía

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Duopolio de mercado en base de precios de Bertrand Considera las acciones de los agentes enfocadas a una batalla por precios y no por productos. Comportamiento “agresivo”

Víctor Mejía

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Duopolio de Stackelberg Considera las acciones del lider del mercado el cual es seguido por un competidor a la espera de sus decisiones. Comportamiento “Simon say”

Víctor Mejía

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Juego a analizar hoy... Primero Picard coloca un electrón con el espín Arriba y cambia de turno; le toca a Q luego Picard y finalmente mueve Q; cada uno decide darle o no la vuelta al espín del electrón. Q gana si al final el espín del electrón esta “arriba”.

Víctor Mejía

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Voltear o No Voltear Tanto Picard como Q, no pueden saber si el otro volteó o no el espín del electrón. Es un juego de información incompleta. Solamente al final les está permitido mirar (medir) el estado del electrón para saber quien ha ganado.

Víctor Mejía

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Un juego de prueba El juego siempre comienza con el electrón con su espín “Arriba”

Víctor Mejía

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Un juego de prueba El primer turno es de Q, quien decide voltear el electrón, dejando su espín en estado “Abajo”

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Un juego de prueba El segundo turno es de Picard, quien decide no voltear el electrón, dejando que su espín se mantenga en estado “Abajo”

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Un juego de prueba El tercer y último turno es de Q, quien decide no voltear el electrón, dejándolo finalmente en el estado “Abajo”.

En este juego de prueba, Picard ha ganado. Víctor Mejía

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Un juego de prueba El desarrollo de este juego de prueba puede ser representado por la siguiente cadena:

U↑ D↓ D↓ D↓

Víctor Mejía

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La matriz de pagos Si representamos con 1 la ganancia y con -1 la pérdida, podemos elaborar la siguiente matriz de pagos con todas las posibilidades de Picard y Q: Q Picard

N F

NN

NF

FN

FF

-1, 1 1,-1

1,-1 -1, 1

1,-1 -1, 1

-1, 1 1,-1

Víctor Mejía

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Análisis Clásico De acuerdo con las herramientas del análisis clásico de teoría de juegos, no existen estrategias dominantes y tampoco existe un equilibrio de Nash en estrategias puras. Q Picard

N F

NN

NF

FN

FF

-1, 1 1,-1

1,-1 -1, 1

1,-1 -1, 1

-1, 1 1,-1

Víctor Mejía

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Estrategias MĂ­xtas El teorema de Nash garantiza la existencia de al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas. En este juego existen mĂşltiples equilibrios de Nash, determinados por las siguientes distribuciones de probabilidad:

EN =



1 1 1 1 , , p(NN), − p(NN), − p(FF ), p(FF ) 2 2 2 2

VĂ­ctor MejĂ­a

FĂ­sica Aplicada a las Finanzas




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Estrategias como matrices Es natural definir un espacio vectorial V de dos dimensiones con bases (U, D) y representar las estrategias de los jugadores por matrices de dos por dos. Para la estrategia de voltear el espín tenemos:   0 1 F = 1 0 Y para la estrategia de no voltear el espín estará representada por la siguiente matriz:   1 0 N= 0 1 Víctor Mejía

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Estrategias mescladas Una estrategia mezclada consiste en una combinación lineal de F y N, la cual actúa como una matriz de 2x2:   1−p p p 1−p Si el jugador voltea el espín con probabilidad p ∈ [0, 1]. Una secuencia de acciones mezcladas pone el estado del electrón en una combinación lineal convexa aU + (1 − a)D, 0 ≤ a ≤ 1

Víctor Mejía

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Notación cuántica de las estados Up y Down En la notación estándar de Dirac la base de V está escrita así: (|Ui , |Di) Un estado cuántico puro para el electrón es una combinación lineal de la siguiente forma: a |Ui + b |Di , a, b ∈ C , a¯a + bb¯ = 1 lo cual significa que si el espín es medido, el electrón estará en el estado arriba con probabilidad aa.

Víctor Mejía

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Primera acción de Q en el juego Puesto que el electrón empieza en el estado |Ui, este es el estado del electrón si la primera acción de Q es la operación unitaria:

U1 = U(a, b) =

Víctor Mejía



a b ¯ b −b¯



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El turno de Picard Picard esta usando una estrategia probabilística clásica en la cual es voltea el espín con probabilidad p. Después de su acción el electrón está en un estado cuántico mezclado, en otras palabras, están en el estado puro b |Ui + a |Di con probabilidad p, y en el estado puro a |Ui + b |Di con probabilidad 1 − p. Víctor Mejía

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Resultado del primer turno El electrón empieza en el estado puro: ρ0 = |Ui hU| y la primera acción de Q aplicarlo al estado puro:   a¯a ab¯ ρ1 = U1 ρ0 U1 = b¯a bb¯

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Resultado del segundo turno Los acciones mezcladas de Picard actúan en esta matriz de densidad, no como una matriz estocástica de un estado probabilístico, sino como una combinación lineal convexa determinista de transformaciones: ρ2 = pF ρ1 F + (1 − p)Nρ1 N = 

pbb¯ + (1 − p)a¯a pb¯a + (1 − p)ab¯ pab¯ + (1 − p)b¯a pa¯a + (1 − p)bb¯

Víctor Mejía



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Resultado del tercer turno Puesto que Q no puede hacer nada mejor para ganar con probabilidad 1, esta es su estrategia cuántica óptima: 1 1 1 1 [pF + (1 − p)N], [U( √ , √ ), U( √ , √ )] 2 2 2 2 la cual es un equilibrio mezclado cuántico con valor -1 para Picard, y es por ello que pierde todas las ocasiones.

Víctor Mejía

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Juego de dos jugadores Un juego cuántico de dos jugadores se representa mediante los siguientes elementos: (H, ρ, SA , SB , PA , PB ) H Es el espacio asociado de Hilbert del sistema físico que representa al juego. ρ Es el estado inicial del sistema físico y pertenece al conjunto de todos los posibles estados en el espacio asociado. SA , SB Son los conjuntos de las posibles operaciones cuánticas que se pueden aplicar al sistema físico. PA , PB Son las funciones de utilidad de cada uno de los jugadores. Víctor Mejía

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Estrategia cuántica Los elementos de los conjuntos SA , SB se denominan estrategias cuánticas, y representan sendas operaciones físicas que se pueden realizar sobre el sistema para alterar su estado. sA ∈ SA , sB ∈ SB El juego inicia en el estado ρ y mediante la aplicación de la estrategia (sA , sB ) cambia al estado σ cuyo pago está representada por el par (PA , PB ). ρ −→ (sA , sB ) −→ σ =⇒ (PA , PB )

Víctor Mejía

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Dominación Cuántica El concepto clásico de estrategias estrictamente dominadas se mantiene en los juegos cuánticos. Una estrategia cuántica sA se denomina una estrategia cuántica dominada por la estrategia sB , si se cumple que: PA (sA , sB′ ) ≥ PA (sA′ , sB′ ) A la pareja de estrategias (sA , sB ) se la llama un equilibrio de estrategias cuánticas dominantes, si cada una de las estrategias son estrategias cuánticas dominantes.

Víctor Mejía

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Equilibrio de Nash en Estrategias Cuánticas Una combinación de estrategias (sA∗ , sB∗ ) se llama Equilibrio de Nash si se cumple simultáneamente que: PA (sA , sB ) ≥ PA (sA∗ , sB ) y PB (sA , sB ) ≥ PA (sA , sB∗ ) La estrategia de Nash (sA∗ , sB∗ ) en estrategias cuánticas es la mejor respuesta que puedan elegir los jugadores en un juego cuántico.

Víctor Mejía

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Moraleja La lección del ejemplo anterior es que la teoría cuántica nos ofrece, al menos para este tipo de juegos, una clara ventaja sobre las estrategias clásicas. Por lo tanto, es una propuesta práctica y válida para el campo de la teoría de juegos. En el nuevo campo de teoría de juegos cuánticos, hay dos preguntas que guían la investigación: Bajo que condiciones un jugador puede tener ventaja al utilizar estrategias cuánticas, Qué tipos de juegos pueden clasificarse como exclusivamente juegos cuánticos, sin contrapartida clásica.

Víctor Mejía

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Investigación en Economía Definición de tipos de juegos y casos de estrategias donde se requieren nuevos puntos de vista. Las soluciones clásicas han alcanzado un límite o no son capaces de dar respuestas óptimas.

Víctor Mejía

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Investigación en Física Construcción de modelos cuánticos más cercanos a las condiciones de los juegos económicos, que reflejen las complejas interrelaciones entre los agentes y sus beneficios.

Víctor Mejía

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Investigación en Computación Creación de algoritmos y programas más eficientes y rápidos para el cálculo numérico que requieren las soluciones de los juegos cuánticos. Disminuir notablemente el poder de cálculo requerido actualmente para la complejidad NP

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Temas tratados 1

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