Volume 1
Cap. 6
Equações diferenciais com coeficie11tes variáveis
C3 + Cz
CS =
4X5
= 2
X
CJ 3X 4
X
305
1 5 = 120 CJ
e ass im por d iante. Logo, uma outra solução é [ 4 1 5 + ]. 1 3 y 2(x) = c 1 [ x + 6x + T2x + lWx
•
Cada séri e co nverge para todos os valores de x.
Coeficient es Não-polinomiais O próxi mo exemplo ilustra como encontrar um a solução, e m série de potências, para um a equação di ferencial em to rn o de um ponto o rdin ário quando seus coeficie ntes não são polinômios . Nesse exempl o, vemo s um a ap licação de multiplicação de du as séries de potências que foi di scutida na Seção 6.2.
EXEMPLO
9
y" + (cos x)y = O.
Reso lva
Solução Como cos x pondo então y = :E:;'=
0
=
1-
x2
21
x4
+ 41 -
x6
6r
+ ... , vemos que x
,
. , .
= O e um ponto ord mano.
Su-
c,,.x", temos
y" + (cosx)y =
n
~ n(n -
l)c 11x 11
2
2
-
+ ( l
x2
- 21
x4
+ 4! - · · ·
J I~
e,/'
n = O
= (2c2 + 6c3 + l 2c4x 2 + 20csx 3 + ... )
+ (
2
1 - x2
+
~:
- .. }co
= 2c2 + CQ + (6c3 + CJ )X+ ( l 2q + C3
Como devemos ter a última linh a identicamente nula, e ntão
2c2 +
co
= O
6c3 + Cj = Ü 1 l 2c4 + c2 - 2 co= O 1
20cs + c3 - 2e 1
O
r(
+ c 1x + c2x 2 + CJX 3 + ... )
-t
CQ
2ÜC5 + C3
-t
CJ}} + .. ..