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TABELA DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE !IJ {f(t)} = F(s)

f(t)

!!J {f(t)} =F(s)

f(t)

-

1. 2.

I

3.

I n

4.

5.

..

.

.

n!

- - . num inteiro posll1 vo 5n + 1

I

20.

e"' senh k 1

21.

e"' cosh k1

122.

s -

r scn kt (s2

23.

24.

11 12

2s3/2

r(a + 1). a > - 1

t cos kt

(s' (s 2

senkt - kt cosk t

sen kl

26.

1 scnh kt

8.

cos k1

27.

9.

sen2 kr

a+I

+

4k 2 )

s 2 + 2k 2

s(s 2 + 4k

12.

senh k1

2ks

cosh kt

14.

scnh2 k1

b< e ª' - e

a - b

29 .

30.

- cos k1

31.

32.

33 .

k1-scnk1

a sen bt - b sen at

s(s 2 16.

te

1"e ª'

18.

eª' sen k1

b 2)

34.

35.

(s2

+ a2)(s2 + b 1) 2k 2s

se n kt senhkt

4k 2)

-

1

"'

17.

2k 2

-

cos bt - casar ª 2 _ b2

s(s2 - 4k 2)

cosh2 k1

(s - a)(s - b)

2

ab(a 2

15.

(s - a)(s - b)

k2

k

s2 -

+ k2

t cos h k t

ae ª' - be b< a - b

2)

1 s - a

si - k

13.

+ k 2/

(s' + k 2)2

28.

cos2 kl e "'

+ k 2)2

(s2 _ k 2)2

s(s 2

li.

+ k 2)2 k2

2k 3

52

10.

(l

2ki

sen kt + kt cos kt

25 .

s 7.

sen k1 cos h k1

s 4 + 4k 4 k(s' + 2k 2 )

(s - a) 2

s 4 + 4k 4

_ ___::nc:_!_ _ , n um inteiro positivo

k(s' - 2k 2 )

(s - a)n

+ 1

k (s -

a/+

36.

cosk1 senhki

37.

cos k1 cosh kt

k2

s

4

+ 4k 4 s

3

s 4 + 4k 4

s - a 19.

eª'coskt

-

s2 -

- 112

6. ,a

-+--- -- - - -

38.

J o(k 1)

/,


TABELA DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE !lJ{f(r) } = F (s)

f(l) 39.

e at - e at

.'i - a ln - s - b

--~

52 + k 2 ln - - -

40 _ 2( 1 - coskr)

s1

4 1.

2(1 - cosh kr)

42 .

sen aJ

s 2 - k:? ln - - , -

s-

43.

arctg (

sen ar cos bt

1

-e

145.

--e

e

z1 arcLg -a-b 5-

-a\r;

..jru a

-a~/41

e

2,,f;?

e

46.

erfc

47.

2-

48.

eªbeb'i erre( b..[f +

(__!!.__)

-O 'H

- (/ .r;

2..[I

;_ e -a'l•i \jr;-:

e

aerfc(__E.__) 2..[f

2~) 2,,jr

50.

Õ(I}

5l.

0(1 - to)

52.

eª'J(r)

..[S(..[S + b)

be -a.JS s(..[S + b)

2,,jf

e - slo

F(s - a)

e-ª' F(s)

53. f( r - a) 'Pf(I - a)

e

w,(r - a)

55. 1<• )(1)

s"F(s) -

_,,,

.«"- f(O) 1

· · - /" - 1)(0)

n dª (- 1) dsª F(s)

56. t"J(r)

J'o f(•)g(t -

- avs

s..[S

49. - e 00 eb'r erfc(b,(T+ ~) +erfc(-ª-)

57.

+

5-

-a~/41

1

144.

54.

a +b

2 arctg -

~)

•) d1

F(s)G(s)


TABELA DE INTEGRAIS l.

Judv=mâ&#x20AC;˘- J vdu

2.

J11 11 d11 = -1-u " ... 1 +C.t1'1--I ti+ l

3.

d11 J--;;=lnlul+C

4.

Jeu du =e

6.

Jscn

8.

Jscc 2 u du = tg u + C

7.

Jcos u du = sc n

9.

Jcosec2 u du = -

ti

+

e

cOlg" +

e

li

1.4

e

10.

J sec 111 g11du=sccu+C

I cosec u cotg u du = - coscc" + e

12.

Jtgudu = -

13.

Jcotgudu=lnlsenul +C

14.

J~ecu

16.

Jco~ecudu= lnl cosecu-colgul+C

e

d11 = - cos u +

11.

15.

+

18.

d11

lnlcosu l +C

= ln lsec li+ tg ui+ e

u J- -, - -.. =se n- 1 -;+e ~ du

J--d_,_,-=J.sec -

1 !!...+e

u~ a

20.

a

1 111a 1+C -J--,du--a-2 =-ln 2a u+a 11

21.

' 1 1 Jsen-u.dt1=2u-4sen2u.+ e

22.

Jcos-' u riu = 21 u + 41 sen 2u +e

23.

Jtg2u du = Lg

24.

Jcolg2 u du = - co tg u - u + e

25.

Jse n udu = - 3 (2 + sen- u) cosu+C

26.

J cos 3 udu=~{2+cos2 u)senu +C

27.

1 2 Jtg J udu=itg u+lnlcosul+C

28.

1 ' Jcotg2udu =-2cotg-uln lsenul +e

29.

J sec 3 udu=~sccu tgu +~ lnisccu+ tgul+C

30.

Jcosec

31.

1 11-I n - IJ Jscnn udu=--<:cn ucosu+-sen n-2 udu n

n 1 r1 - I n - IJ n-2 32. J cos udu = ;cos u scnu+-n- cos udu

J

/4 -

u+C

1

'

11

3 u du

= -~cosec u cotgu +~ln k:osecu - cotgul+ C

34.

- 1 nJcotgn u du =;,-:\ cotg

1

u-

J cotg,1 -2u du

35.

1 n -::2 11 -2 J n-2 Jsec udu=;=-itguscc u+~ sec udu

36.

Jcosec, u du =

37.

n(a - b)u sen(a + b)u e Jsenauseri bu d usc= ---------+

38.

n(a -b)u sen(a +b)u Jcos au cos b"du = -se --+----+e

39.

- b)11 cos(a + b)11 Jsenaucos budu =cos(a - - - - - - - - - - +C

40.

J

41.

Jucosudu=cosu+usen11 +C

42.

Ju" sen 11 du = - u

43.

Ju

11

2(a-b)

2(a-b)

11

cos u du = u n sen u - n

n m 44. J sen u cos u du =

15.

2(a+b)

J

u 11

2(a+b)

-

- 1

~

n-2 u + n-2 Jcosccn -2 u du

2(a - b)

li

~

cotg u cosec

2(a+b)

scn u du = sen u - u cos u +e 11

cos u + 11

Ju" - 1 cos u du

1 sen u du

senr. - 1ucosm+ 1u

n+m

Jscn- 1udu =usen- 1u+ ~ +C

n- 1J n+m

+ - - sen

n- 2

m

u cos u du =

46.

sc n" + 1u cosm - 1u m - 1 J n m- 2 + - - se n u cos u du n+m n+m

J cos-

1

udu=ucos

- 1

-~

u+ '11-u"' +C


TABELA DE INTEGRAIS

49. 51.

53.

f ucos udu =-2u-4-cos u~ 4--+C 1 au f"e d11 = 2(tm- l )e +C a f e au scn bu du = -e-""- ( a ..;cn bu - b co... bu) +e 2 -I

- 1

- 1 u ---

011

fu

50.

u +1 Ju tg- 1u du=-2-tg

52.

1

61.

Jsenh u du = cosh

63.

2

f u e du = -a1 u e - -a f u 1e du f eªu. cos bu du =_e__ (a cos bu + b scn bu) +e +b2 =ln Hn ui+ C f -u ln1-du u J m u du. m f umln u du = -u'"m-+-ln1-u - - u ln m+ 1 n

n ou

aii

54.

58. - l u

;+C

+ 1

11

11

11

64.

Jcotg u du = ln lscnh ui+ e

65.

f scch2u

66.

67.

Jscchu tghu du =- sech u +e

73.

e

= tgh u +e

f ~du=~-aln\a+~l+C J __d_u_=lnlu+ ~a 2 +1i21+C

75.

2 2 du- = - -1 ln l .,,/a· +u +a1 +C -f-_/22· u a

""ª

- 1

+C

e

72.

_ -'Ja ""+ u"" 'Ja ' +u "f-,- -du = - - - - - + lnlu+ 'la"-+u""l+C

74.

-f"22 u -f"12 a f -u- -du - = -'la""+u "'- -\nlu+ 'l a"'+u"" l +C

. ,--;;-----::-

- í22

u-

u

76.

J

du

2

~ a1 u

2.f22 U 'JO- + u-

+u

-~ J -~ - - d u = 'lu "'- a"" - acos

~

2

~2

79.

+C

11- - a -

- la

-+C u

u

du _(22

-/.22'

81. - - - = ln lu+ 'lu "' - a""l+C

80.

f

f~

82.

2

li

J~ = !!..~u 2 -a 2 +~ Jnlu +~+C ~2

2

_r:;-:: du

2-'22 u 'lu"'-a""

-/.22'

.,,/,/_a2

- - - d u = - ---+lnlu+ \Ju"'- a L l+C li

"\/" .-a-

u

'lu L-aL

2-/.22'

---+e

+C

a 'lu L-a"'

2 a u

u-/.22' + -a scn _r:;-::du =-'Ja"--u"' f 'la""-u"' 2 2 2

85.

1~1 u-a

~

Jcosech2 u du = - cotghu + C Jcosech u cotgh u du = - cosccb u + C

78.

83.

du = scnh" +

1

68.

' . ., ~ " a2 .., - 2 lnl11 + u--a-l+C J~ du =2u ~ -~ 2-í22 u 2 2-/.22' a 4 Ju 'lu ""-a"'du=g(2u -a )'lu ""-a"--g lnlu+'Ju'-a'l+C

77.

ll

2

~

r1 -

60. J1111u 2 -a 2Jdu=ulnlu 2 - a 21-2u +a\n

Jtgh u du = ln cosh u + e

71.

au

11 -

11

f cosh

d11

u

u-2+ e

62.

+

u + --4-- +

au

56.

59.

li

11 ~ e

- 1

= --4- scn

ª2

Jlnu du=u ln u-u +e

n" [(ri+ 1) 11111 - IJ +C u f u "lnudu=---., (n + l f ., , ., f ln(u .-+a-)du=u ln (u-+a )-2u+2lltg

57.

- 1 sen u du

2

ª2 +b'!.

55.

2u 1 -I

48.

-I U

-+C a

86.

Ju 2 ~du = 8u

4

- 1u a 2 2 2 ~ 2 scn ;; + C (211 - a ) a - u +

8


EQUAÇOES DIFERENCIAIS Volume 1

(

?


-

EQUAÇOES DIFERENCIAIS Volume 1

Dennis G. Zill Michael R. Cullen

Loyola Marymount University

Tradução Antonio Zumpano, Ph. D. Professor de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais

Revisão Técnica Antonio Pertence Jr. Professor Titular de Matemática da Faculdade de Sabará (MG) Pós-graduado em Educação Matemática pela UNT-BH Membro Efetivo da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM)

~

São Paulo

Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela


© 2001 Pearson Education do Brasil Título original: Differential Equations with Boundary-Value Problems © 1993, 1989 PWS Publishing Company, uma divisão da Thomson Publishing lnc.

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânic o, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil.

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Produtora editorial: Eugénia Pessotti Editoração e fotolitos em alta resolução:J.A.G

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Dados de Catalogação na Publicação ~-

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-Zill--, Dennis G. Equações Diferenciais, volume 1 / Dennis G. Zill , Michael R. Cullen; tradução Antonio Zumpano, revisão técnica: Antonio Perten ce Jr. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. Título original: Differential Equations with .Boundary-Value Problems 3rd edition. ISBN: 85-346-1291 -9

2007 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil, uma empresa do grupo Pearson Education Av. Ermano Marchetti, 1435 CEP: 05038-001 - Lapa - São Paulo - SP Fone (11) 2178-8686 Fax (11) 3611-0444 e-mail: vendas@pearsoned.com


AGRADECIMENTOS

R

evisar um texto requer um trabalho cm equipe que envolve muitas pessoas. Somos especialmente gratos a Barbara Lovenvirth, responsável pelo desenvolvimento editorial, Patty Adams, editor de produção, Carol Reitz, copy editor, Warren e Carol Wright, por sua ajuda na preparação do manuscrito e pela produção do excelente manual de soluções, John Ellison do Grave City College, Grave City, PA, por sua valiosa contribuição para o Capítulo 9, e aos seguintes revisores, por seus conselhos, comentários, críticas e elogios: Linda J. S. Allen, Texas Tech University Stephen Breen, Califomia State University Dean R. Brown, You11gstown State University Kalin N. Godev, Penn State University Thomas G. Kudzma, University of Massachusetts ai Lowell Gilbert N.. Lewis, Michigan Technological University Clarence A. McGuff, Austin Community College Queremos também reconhecer e estender nossa sincera consideração aos seguintes indivíd uos, por terem reservado tempo de seu trabalho para contribuir com os ensaios encontrados nesta edição: Michael Olinick, Department of Mathematics and Computer Science, Middlebury College, Dinâmica Populacional.

John H. Hubbard and Beverly West, Department ofMathematics, Cornell University, Caos . Gilbert N. Lewis, Department of Mathematical and Computer Sciences, Michigan Technological University, O Colapso da Ponte Tacoma Narrows. C. J. Knickerbocker, Department of Mathematics, St. Lawrence University, Modelos para o Impulso Nerval. Ruth Favro, Department of Mathematics and Computer Science, Lawrence Technological University, Onde Está o Dó Médio? D.G.Z. M .R.C.

IX


Sumário XV

Prefácio

Novos Aspectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mudanças Nesta Edição . .... . .. .. . . . .... .. . . .. . ..... . . ... .... . .. . Capítulo 1 Introdução Às Equações Diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . l. l Terminologia e Definições Básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Alguns Modelos Matemáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo l Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítu lo 1 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .._J

-

Capítulo 2

Equacões Diferenciais de Primeira Ordem . . . . . . . . . . .

2.1 Teoria Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variáveis Separáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Eq uações Homogêneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Equações de Bernoulli, Ricatti e Clairaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Substituição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Método de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 2 Revisão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 2 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 3

Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem

3.1 Trajetórias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Aplicações de Equações Lineares. . ... . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Aplicações de Equações Não-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 3 Revisão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XV XVI 1

2 13 35 36 38

39 44 52 58 60 68 79 84 88 90 92 94

95 102 118 133

XI


XII

Equações Diferenciais Volume /

Capítulo 3 Exercícios de Revisão.................................................................................. 133 ENSAIO: - Dinâmica Populacional.......................................................................... 135 Capítulo 4 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior . . . 14 3 4.1 Teoria Preliminar..................................................................................................... 142 4.1.1 Problema de Valor Inicial............................................................................ 142 4.1.2 Dependência Linear e Independência Linear.................................... 147 4.1.3 Soluções para Equações Lineares............................................................... 152 4.2 Construindo uma Segunda Solução a Partir de uma Solução Conhecida................................................................................................................. 167 4.3 Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes............... 173 4.4 Coeficientes Indeterminados - Abordagem por Superposição................. 182 4.5 Operadores Diferenciais........................................................................................ 195 4.6 Coeficientes Indeterminados - Abordagem por Anuladores.......................... 201 4.7 Variação dos Parâmetros....................................................................................... 209 Capítulo 4 Revisão.............................................................................................................. 218 Capítulo 4 Exercícios de Revisão........................................................................................ 219 ENSAIO: Caos.................................................................................................................... 221 Capítulo 5 Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem: Modelos Vibratórios..................................................................................... 225 5.1 Movimento Harmônico Simples.......................................................................... 226 5.2 Movimento Amortecido........................................................................................ 236 5.3 Movimento Forçado............................................................................................... 248 5.4 Circuitos Elétricos e Outros Sistemas Análogos................................................ 260 Capítulo 5 Revisão.............................................................................................................. 266 Capítulo 5 Exercícios de Revisão........................................................................................ 267 ENSAIO: O Colapso da Ponte Tacoma Narrows................................................... 270 Capítulo 6 Equações Diferenciais Com Coeficientes Variáveis, . . , . 274 6.1 Equação de Cauchy-Euler..................................................................................... 275 6.2 Revisão de Séries de Potências: Soluções Por Séries de Potências . . 286 6.3 Soluções em Torno de Pontos Ordinários (Não-Singulares)........................... 297 6.4 Soluções em Torno de Pontos Singulares........................................................... 307 6.4.1 Pontos Singulares Regulares: Método de Frobenuns - Caso 1 . 307 6.4.2 Método de Frobenius Casos I e II........................................................ 318 6.5 Duas Equações Especiais....................................................................................... 330 6.5.1 Solução para a Equação de Bessel........................................................................ 330 6.5.2 Solução para a Equação de Legendre.................................................................. 338 Capítulo 6 Revisão.............................................................................................................. 347 Capítulo 6 Exercícios de Revisão........................................................................................ 348


Vi>lw11c I

.1.iu11wrio

XIII

Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

7 . 1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 .2 Transformada Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Teoremas de Translação e Derivada ele uma Transformada . . . . . . . . 7.4 Transformada de Derivadas. Integrais e Fun ções Periód icas . . . . . . . 7 .5 Ap licações . . . . . . .. .. ... .... .. . ... ... .. ..... . .. . . . . .. . . ............ . . 7 .6 Fun çãoDeltadeDirac. Capítu lo 7 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap ítulo 7 Exe rcfcios de Rei·isiio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

350 362 370 385 39-t 412 ...j. J 9 419

Capítulo 7

Apênd ices

................................................

I Função Gama. . . . . . . . . . . . . . li Transformadas ele Lap lace . . Ili Rev isão ele Determinantes.. IV N úm eros Complexos . . . . . .

...... ...... ...... ......

422

............................ . ..................... ..... ....................... ..... .......................

423 ·125 ...J.28 433

Respostas dos Exercícios Selecionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

439

Índice Analítico

467

Volume 2 Capítulo 8

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares . .. .. . .. . . .

Capítulo 9

Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias

97

Capítulo 1O

Sistemas Planos Autônomos e Estabilidade. . . . . . . . . . . .

148

Capítulo 1 1

Funções Ortogonais e Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . .

199

Capítulo 12

Problemas de Valores de Contorno em Coordenadas Retangulares . . . . . . ........

242

Problemas de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas ....

292

Capítulo 14

Método da Transformada Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

315

Capítulo 15

Métodos Numéricos Para Equações de Derivadas Parciais

347

Apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

374

Capítulo 13


PREFÁCIO Es ta terceira ed ição ten ta alcançar um eq uilíbri o e ntre os co nce it os e a apresentação cio material que interessaram aos le itore s elas edi ções anteriores e as muda nças s ign ific a tivas fe ita s para reforçar e modernizar alguns aspcctos do texto. Ac ham os que esse equilíbrio foi alcançado. tornando o texto interessante para u111 público mais a111p lo. Muitas 111uclanças e acréscimos são res ultados de sugestões e co men tár ios ele leitores e revisores. Alé111 disso, essas mudanças fo ram rcitas visa ndo ao público fundamental o estuda nt e que utili La rá o li vro. Por essa raLão. as sol uç ões dr cada exe111pl o foram c uidad,isamc ntc lida s, a fim de torná - la s mais c lara s. O nde ac hamos que poderia ser útil, ac resce ntamos, també111. mais exp li cações ou destacamos pontos crucia is para a seqüê nc ia ela so lu ção. Como a nt es. es te tex to pretende sa ti sfater as necessidades ele um instrutor que almeja mais do que s impl esmente um a introdu ção ao assunto. A lé 111 do mate ria l bás ico de equações diferenciais ordinárias, o livro apresenta um cap íllllo so bre eq uações não -lin ea res e estabilidade e alguns capít ul os sobre equações diferenciais parciais e problemas de va lo res ele co ntorn o. É recomendado para cursos ele um o u dois se mes tres.

N OVOS ASPECTOS Alguns •1-;pect<h no'.'OS. que e-,p.:ramos que l " e-;tud<•ntes achem interess:mtcs e instig,u1kc;, foram <.cresccntaclo-; ao tex to. Ensa ios, escri tos por matc:máticos proeminentes c m sua espcc1ali dad~ fura111 i.icluidos no tina! dus Capítulo., 1.-+ e 5 do volume 1 e 9 e 12 do vu lunic 2. Cada ensaio re fl ete os pensame ntos. c riati vidade e opi niões de seu au tor e te m por finalid ade ilu stra r o mater ial e .postu no cap ítulo precede nte. Esperamos que a inc lu são desses ensai os des pe rte o mteresse d os est udantes, encorajand o-os a ler matemática~ ajuda nd o-os a se consc ientizarcm J~ q ue equações d iferenc iais não são simpl esmen te um a mera co leçi:io sec a de métod os. fa tos e fó rm ulas , mas um ass unto vibra nte com os qu a is as pessoas pode m trabalhar.

XV


XVI

Eq11u1·ric1 f)i/i·l'l'11<·hii.1

Vo/11111<· I

MUDANÇAS NESTA EDIÇÃO Volume 1 A Seção 1.2 trata agora somente do conce ito de uma cquaç;1o di rcrencial como um modelo matemático. O mat e rial sobre a equação diferencia l de uma família de curvas foi suprimido. Uma breve discussão desse conce it o aparece agora na Seção 3.1 (Trajetórias Ortogonais). O método dos cocricicntes indeterminados é um dos tópicos mais controvertidos em um curso de equações dil'erenc iais. Nas três últimas edições. esse tópico fo i abo rd ado usando-se um operador diferencial como uma ajuda para determinar a forma correta de uma so lução em particular. Na preparação desta ed ição, muitos rev iso res apontaram que a abordagem por anu ladores era muito so fi st icada para seus a lun os e solicitaram uma abordagem baseada em regras mais simp les. Outros revi so res, porém, estavam satisfeitos e não desejavam mudança a lguma. Para atender a cada uma dessa s preferências, ambas as abordagens foram apresentadas nesta edição. O instrutor pode agora escolher entre coeficientes indeterminados com base no princípio da superposição para equações diferenciais lineares não -hom ogê ncas (Seção 4.4) ou com base no conceito de anuladores diferenciais (Seção 4.6). Além dis so. nesta edição. a noção de um operador diferencial é agora apresentada em uma seção separada (Seção -1.5). Portanto, observamos que o importante e útil conceito ele operador diferencial deverá ser apresentado de alguma maneira. A revisão de série de potências na Seção 6.2 foi bastante amp li ada. Uma discussão sob re a aritmét ica de séries de potências (adição , multip li cação e divisão de séries) foi também adic ionada. Uma breve discussão sobre determinação do s coeficientes e m uma decomposição de frações parciais e uma nota histórica sobre Oliver Heaviside foram acrescentadas na Seção 7.2. A discussão sobre as propriedades operacionais ela transformada de Laplace foi agora di vidicla em duas seções: Seção 7 .3, Teoremas de Translação e Derivadas de Transformadas: e Seção 7.-1. Transformadas de Derivadas. Integrais e Funçiies Periódicas. Essa separação permite maior clareza e um tratamento mais amplo dos tópicos.

Volume 2 Eliminação Gaussiana, além de eliminação de Gauss-Jordan, é agora discutida na Seção 8.4. A notação para indicar operação nas linhas de uma matriz aumentada foi aprimorada. O Capítulo 9, '·Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias", sofreu uma ampliação significativa e foi parcialmente reescrito. O método de Adams-Bashforth/AdamsMoulton foi adicionado à Seção 9.5 . Seção 9.6, Erros e Estabilidade, e Seção 9 .8. Problemas de Valores de Contorno de Segunda Ordem, são novidades desta edição.


V11/11111e I

l'r<:jiício

XVII

Os programas BASIC. anteriormente no Capítulo 9, foram suprimidos. O Capítu lo 1O, '·Sistemas Autônomos no Plano e Estabilidade", é novidade desta edição. Esses tópicos foram adicionados cm resposta a reações favoráveis de leitores e revisores ela edição anterior. O material dos Capíllllos 1O, 11 e 12 foi ampliado e reorgani zado corno Capítulos 11, 12, 13 e 14 nesta edição. Capítulo 15. ··Métodos Numéricos para Equações Dife renc iai s Parciais", é novidade. Novos problemas, aplicações, ilustrações, observações e notas históricas foram acrescen tadas ao longo cio texto.

Dcnnis G. Zill Michael R. C ullcn

Los 1\11geles


Capítulo

1

INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.1 [OJ

1.2

Terminologia e Definições Básicas Alg un s Modelos Matemáticos Capítulo l Revisão Capítulo l Exercícios de Revisão

Conceitos Importantes Equações diferenciai s ordinárias Equações diferenciai s parciais Ordem de uma equação Equação linear Equação não-linear

So lu ções Solução trivial Soluções explícitas e tmplícitas Família de soluçlk~s n 11- parümelro~ Solução parltcular Solução singular

Solução geral Modelo matemático

As palavras diferencia/ e equações obviamente sugerem a resolução de algum tipo de equação envolvendo derivadas. Na verdade, a frase anterior contém a história completa sobre o curso que você está pt·estes a iniciar·. Mas antes de começar a resolver qualquer coisa. você tem de conhecer algumas definições e terminologias básicas sobre o assunto. Este é o conteúdo da Seção 1.1. A Seção 1.2. aborda a motivação. Por· que você. um futuro cientista ou engenheiro. precisa estudar este assunto? A resposta é simples: equações diferenciais são o supor-te matemático para muitas áreas da ciência e da engenharia. Pot· isso. na Seção 1.2. examinamos, ainda que brevemente, como as equações diferenciais surgem a partir da tentativa de formular, ou descrever, certos sistemas físicos em termos matemáticos.


Vo/111//c I

2

Eq1w<,·cJcs Dlj"erc11ciois

1. I

TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS

Cup.

No curso c..le cá lcu lo, você aprende u que, dada uma função y

= /(r),

a derivada

dv = j''(x)

dx

é também, ela mesma. uma função de x e é calculada por regras aprop ri adas. Por exemplo. se y = ex~. cnlão dr

dx

2xe\

dy ou dx = 2ry.

( l)

O problema com o qual nos deparamos neste curso não é: dada uma função r = Jlx), encontre sua derivada. Nosso problema é: dada uma equação como dv/ dx = 2xi·. encontre. de algum modo. uma função y = j\.r) que satisfaça a equação. Em ou tra s palavras, nós queremos resolver equações diferenciais. DEFINIÇÃO 1.1

Equação diferencial

Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes. em relação a uma o u mais variáveis independentes. é chamada de equação diferencial (ED).

Equações diferenciais são c lass ifi cadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade.

Classificação pelo Tipo Se uma eq uação co ntém some nte derivadas urd in ár ias de uma ou mais variáveis dependentes, com re lação a uma única variáve l dependente, ela é chamada de equação diferencial ordinária (EDO). Por exemp lo, dy dt (r - x) dr

Sy

=

1

+ 4x dy =O

du dv - =r

d.r

dx

·

d"y - 2 dy + Ó\' = () dx2 dx .

são equações diferenciais ordinárias. Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP) . Por exemplo,


av ax

dll

oy

dll dll + .y -dy ax

x-

a"-11 ax 2

li

iJ 2 u a1 2

dll

2

dl

são equações diferenciais parciais.

Classificação pela Ordem A ordem da derivada de maior ordem cm uma equação diferencial é, por definição. a ordem da equação. Por exemp lo , segunda ordem

primeira ordem

+s(dyJ" dx

4y = e'

é uma equação diferencial ordinária de segu nda ordem (ou de ordem doi s). Como a equação difere ncial (y - x) dx + 4x dy = O pode ser escr it a na forma dy 4x dx + y = x dividi nd o-se pe la diferencial dx, trata -se então de uma ordem. A equação

equaç~o

diferenc ial ordimír ia de primeira

é uma equação diferencial parcial de quarta ordem. Embora as equações diferenciais parciais sejam muito importantes. seu estudo demanda um bom conhecimento da teoria de eq uações diferenciais ord in árias. Portanto, na discussão que se seg ue, limitaremos nossa atenção às eq uações diferenciais ordinúrias . Um a equação diferencial ordinária geral de 11-ésima ordem é freqüentemente representada pelo simbolismo

F(

X,

!f.l)

y, -dy ,. . ., dx dx"

O que vem a seguir é um caso especial de (2).

= O.

(2)


.J

Equoçôes Dijúc11ciais

Cap. I

Vo/11111c I

Classificação como Linear ou Não-Linear Uma equação difere ncial é chamada de linea r quando pod e ser escrita na forma

d"y a 11 (x) + dx"

d" - ty

dy

ª" - 1(x) - - -1 +

+ a1(x) dx + ao(x)y

dx"-

=

g(x).

Obse rve que as eq uações d iferenc ia is lin eares são caracter izadas por duas propri edades :· (i)

(ii)

A variáve l dependente_\' e toda, as suas derivada s são do primeiro gra u ; isto é, a potência de cada termo envo lve ndo _\' é 1. Cada coe fi c iente depende apenas da va ri áve l ind ependente.\'.

Uma equ ação q ue não é lin ear é c hamada de não-linear. As equações

~3

e

~

x dv + y dr

=O

y" - 2y' + _\'

=

d-\ dx 3

r1 d2_\' - dx 2

o

+ 3x dy + 5y = e' dx

são eq uações diferenciais ord in árias de prim eira. seg und a e terceira o rd ens, respect ivame nte. Por o utro lado. coefic i ~n 1 e

de v

1

dept!ndl!

potência " 1

1

~ yy" - 2y'

=X

e

d3y

dx 3

+ yl

=o

são equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda e terceira o rdens . respectivamente.

Soluções Como men c ionado antes. nosso objetivo neste curso é resolver ou encontrar soluções para equações diferenciais.

DEFINIÇÃO 1.2

Solu ção para uma Equação Diferencial

Qualquer função f definida em algum intervalo/, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a eq uação a uma identidade, é chamada de solução para a equação no int ervalo. Em outras palavras, uma so lução para uma equação diferencial ordinária F(x, y, y', .. .,y< 11 >) =O


ViJ/11111e I

é uma função f 4ue possui pelo menos

11

/111rvduçüo its Cl/ffaçôrs dif"c rt:•nciois

Cu/'·

5

derivadas e .rntisfá z a equação; isto é.

F(x.J(x).f'(x), .. .f 1" 1(.r)) =O para todo x no int ervalo /. Propositadamente. deixamos vaga a forma precisa do intervalo /na Definição 1.2. Dependendo cio contexto da discussão. I pode repres e ntar um intervalo aberto (a. b). um in1ervalo fec hado [a, bJ, um intervalo infinito (0, oo) e ass im por diante.

EXEMPLO

1

Verifique que y = .r 4 / 16 é uma solução para a e4uação não - lin ear

dy = dx

xy1 12

no interva lo (- oo, oo).

Solução Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma so lução é escrever a equação diferencial como dyl dx - xv 112 = O e verificar, após a substituição, se a diferença acima dvl dx - X\' 112 é zero para todo x no intervalo. Usando

!!J'.

4

1

x 1;o x ) 4ey -= ( 16

dx

1

x -'

-+

percebe mos que

dy _ dx

xyl l'.!

X)

XJ

4

4

o

para todo número real.

EXEMPLO i\ função r

2

'"'" 0 unn solução para

.1

i.:quação lin~ar

r" - 2r' + 110

intervalo

r- ""·

1 -

O

oo). Para verificar ISSO. calculamos

r = xe r + e\ e Observe para todo número real.

y"

= te\

+ 2e \.

2y' + y =(.re' + 2e') - l(xe' +e')+ .re'

o

Note que , nos Exemplos 1 e 2, a função constante y = O também satisfaz a equação diferencial dada para todo x real. Uma so lução para uma equação diferencia l que é identicam e nte nula cm um intervalo/ é em geral referida como solução trivial.


6

Eq11{lçõe.1· Di{ere11ci{lis

Cal'. I

Volume I

Nem toda eq uação difere nc ial que esc revemos possui necessariamente uma so lução.

EXEMPLO

3

(a) As equações diferenc iais de primeira ordem 2

dy ) + 1 = ( dx

o e Vl 2

+ y2 + 4

o

não poss ue m so lu ções. Por qu ê? (b) A equação de segu nda o rd em (y") 2 + 10)'1

O possui somente um a sol ução real. Qua l''

• Soluções Explícitas e Implícitas Voc ê deve es tar familiarizado com as noçõ es de funções ex pl ícitas vistas c m seu est udo de cá lcul o . Similarmente , soluções de equações diferenc iais são divididas em exp lícitas ou imp lícitas. Uma so lução para um a equação diferencial ordin ária (2) que pode ser escrita 11<\ forma y = _f(x ) é cham ada de solução explícita. Vimos e m nossa discussão inicial qu e y =e'- é uma so lu ção ex plícita de dyldx = 2xy. Nos Exem pl os 1 e 2, y = x 4 / 16 e y = xe' são so lu ções ex plícitas de dyldx = xy 112 e y" - 2y' + y = O, respectivamcnte. Di zemos qu e uma relação G(x, y) = O é um a solução implícita de um a equação diferencial o rdin ária (2) em um intervalo !, se ela define um a ou mais so luções exp líc itas cm /.

EXEMPLO

4

Para - 2 < x < 2, a relação x 2 + y 2 - 4 = O é uma so lução implícita para a equação diferencia l

dy dx

= .\' y

Segue, por derivação implícita. que

dy X 2x + 2 dy =O ou ~ = --· y dx dx y

A relação x 2 + y 2 - 4 = O no Exemplo 4 define duas funçõe s diferenc iais exp líc itas: y = '14 - X1- e y = - '14 - x 2 no intervalo (-2, 2). Além disso , note que qualquer re lação da


Vo/1111u' I

Cap. 1

lntrod111·üo <h ec111a(·ões t!iferc11ciais

7

forma .r2 + y 2 - e= O satisfaz, fomw/111 e111e, dyl d.r - .r/ v para qua lqu er constante e. Porém, fica subentendido que a relação deve sempre fazer sent id o no sistema dos núm eros reais; logo. não podemos dizer que .r2 + _v 2 + 1 = O determina uma so lu ção da equação diferencial. Como a distinção entre uma so lução exp lícita e uma so lu ção implícita é intuiti vamente c lara, não nos daremos ao trabalho de dize r sempre: .. aqui temos uma solução exp lícita (implícita)".

Número de Soluções Você deve se acos tumar com o fato de que uma dada equação diferencial geralmente possui um núm ero infinit o de soluções. Por substit ui ção direta, podemos ve rifi car que qu alqu er c urva - isto é . função - da família a um parâmetro y = ce'' , em que e é uma constante arbitrária, satisfaz ( 1). Como indi cado na Figura 1.1, a sol ução trivial é um membro dessa família de so luções. corresponden te a e = O. No Exemp lo 2. também podemos verificar por subst itui ção que y = cxe ·' é uma família de so luções da eq uação diferencial dada.

EXEMPLO

5 c/x + 1 é um a solução da eq uação diferencial de

Para qua lquer valor de e. a função y primeira ordem

dv X

e/~ +

y

no intervalo (O, =).Temos, dy dx

d

e ,1,. (x •<A

-

1

)

+ -d ( 1) dx

- ex -º-

então dv

t

cir

+ \'

Variando o parâmetro e. podemos gerar uma infinidade de soluções. Em particular. fazendo • e = O. obtemos uma solução constante y = 1. Veja a Figura 1.2. No Exemp lo 5 . y = c/.r + 1 é uma so lução da equ ação di ferencia l em qua lq uer int ervalo qu e não co nten ha a origem. A função não é d iferenciáve l em x = O. Em algun s casos, qu and o som amos duas solu ções de um a equação diferencial, ob temos um a outra solução .


8

Cap. 1

Equações D1fere11ciais

Vo/11111t' 1

)'

c >O e> O

e = 0..,.

e= O ,/

.r

c <O

e< O

\1

e +

= -

1

.\

Figura 1.1

EXEMPLO

Figura 1.2

6

(a) As fun ções y = Ct cos 4..r e y = c2 sen 4.r. cm que c 1 e c2 são co nsta ntes arbitrárias, são so luções para a equação diferencial y" + 16y =O.

Para y

c 1 cos4x, as derivadas primeira e seg unda são

y'

= - 4c1

sen 4x e y"

=-

l 6c1 cos 4.r,

então

y" + 16y

= -16c 1 cos4x

+ 16(c 1 cos4.r)

O.

l 6c2 sc n 4.r + l 6(c2 scn -h)

= O.

Analogamente, para y = c2 sen 4.r.

_1·" + 16\'

=-

(b) A soma das duas soluções da parte (a ). 1· = c1 co s . +.r para v" + 16y = O.

EXEMPLO

+

c 2 se n . +.1. tam bém

7

Você deve ser capaz de verificar que

são todas soluções da equação diferencial linear de segunda ordem y" - y =O.

é uma so lução •


Vo/u111e I

/111rod11çüo tis eq 1tll(Ões difere11c iois

Cap. I

Note que y = c 1e' é urna so lução para qualquer esco lh a de c 1• ma s y =e' + c 1 , c 1 satisfaz a eq uação, pois. para essa famí li a de fun ções. ternos y" - _1· = -c 1•

*

9

O. 11ão

m

O próximo exem pl o mostra que um a so lu ção de urna eq uação diferencial pode ser urna função definida por partes.

EXEMPLO

8

Qualq uer fun ção da fa míli a a um parâm etro y = c.r~ é um a so lu ção para a equação diferencial

xy' - 4y

= O.

Temos xy' - 4y = x(4cx3 l - 4cx4 = O. A fun ção definida por partes

y

f-x", l X~,

X<

Ü

~

Ü

X

é também um a so lu ção . Observe que essa fun ção não pode ser o btida a partir de y intermédio de urna única esco lha do parâmetro e. Veja a Figura l .3(b).

ex" por

V

e= 1 l'

= 1,

t"'

o

c= - 1, x < O e= - 1 ( b)

(a)

Figura 1.3

Mais Terminologia O estudo de equações d iferenciais é semelhante ao cálculo integral. Quando calculamos urna antiderivada ou integral indefinida, utilizamos uma única constante de integração. De maneira aná loga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F(x. y, y') = O. normalmente obtemos uma família de curvas ou funções G(x. y. e) = O. contendo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da equação diferencial. Na verdade. quando reso lvemos uma equação de n-ésima ordem F(x, y. y' . ... , y 111 l) = O, em que y'" l significa d< 11 >y/dx 11 , esperamo s uma família a n-parâmetros de soluções G(x, y, c 1, ..• , e,,) = O. Uma solução para uma equação diferencial qu e não depe nde de parâmetros arbitrários é chamada de solução particular. Uma maneira de obter um a so lução particul ar é escolher va lores es pecíficos para o(s) parâmetro(s) na família de so lu ções. Por exemplo, é fácil ver que


/O

Equações Di/ere11 ciois

Cu/>. I

Vo/11111e I

y = ce' é uma família a um parâmetro de soluções para a equação ele primeira ordem muito simpl es y' = y . Para e = O, - 2 e 5, obtemos as soluções particulares y = O, y = - 2e' e y Se", respecti vamente. Às vezes, uma equação diferencial possui uma so lução que não pode ser obt ida espec ific ando-se os parâmetros em uma família de soluções. Tal so lu ção é chamada ele solução

singular.

EXEMPLO

9

Na Seção 2.2, provaremos que um a fam íli a a um parâmetro de so lu ções para v' = xy 112 é dada por y = (x2/4 + c) 2. Quando e =O, a so lu ção particular resultante é y = .r-l / 16. Ne,te caso, a so lução trivial y = O é uma so lução singular para a equação, pois e la não pode se r obtida da família através de um a escolha do parâmetro e. • Se ioda so lu ção para F(x,y,y', ... ,y<"l) =O no intervalo I pod e ser ob tida ele = O por uma escolha apropriada dos e;, i = 1, 2, ... , 11 , dizemo s que a família a n-parâmetros é uma so lu ção geral, ou completa, para a equação diferencial.

G(x, y, Ct, ... ,e,,)

Nota Há duas correntes ele pensamento sobre o conceito de .. so lu ção gera l". Uma definição alterna ti va assegura que uma so lu ção gemi para urna equação diferencial de 11 -ésinw .o rdem é uma família de so luções que contém 11 parâmetros essenciais.* Em o utras palavras, não é necessário que a família contenha todas as so luções para a equação diferencial em algum intervalo. A diferença dessas opiniões consiste na distinção e ntre so luções para equações lineares e para eq ua çõe~ não-lineares. Na resolução de equações diferenciais lin eares, devemos impor restrições relativamente simples aos coeficientes; com essas restrições, podemos assegurar a existênc ia de so lu ção em um intervalo e também que a família ele soluções con tenha realmente todas as possíveis soluções. Outro fato dev e ser mencionado neste momento. Equações não-lineares, com exceção de algumas equações de primeira ordem, são geralmente difíceis ou impossíveis de ser resolvidas em termos de funções elementares, tais como funções algébricas , exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas. Além disso, se acontecer de termos uma família de soluções para uma equação não-linear, não fica óbvio quando essa família consti tui uma "sol ução geral''. Em nível prútico, a designação·· solução geral" é aplicada somente a equações diferenciais lineares.

*

Não tentaremos responder a este conceito. Mas grosso modo significa: não brinque com as constantes. Certamente, y = x + c1 + c2 representa uma família de soluções para y' = I. Trocando c1 + c2 por e, a famfüa tem esse11ciG1/me111é uma constante: y = x + e. Você pode verificar que y = c1 + ln c2x ~ uma solução para x"y" + .ry' = O no intervalo (0, ~)para qualquer escolha de c1 e c2 > O. Então, c1 e c2 são parâmetros essenciais?


Vo/11111 e 1

Cop. 1

/111roduçúu lis e<111o rões di{erc11 ciais

1/

EXERCÍCIOS

1. 1

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 439 e 3-10. Nos Probkmas 1- 10. clas s ifique as equações d iferencia is dizendo se e las são lineares ou não-lineares. a orde m de cada equação.

D~

tamb~m

1. ( l -

- -1.rr' + 5v = cos r

1 )v"

J. _vy' + 2 \' = l + 5.

.r\.1 -! 1 -

· di '

dx

J4+ Y =

O

4. x 2 dy + (y - .rr - xc ' )dx = O

X

+ <--Ir/

.\ 2 \',,

l

2. r d \. - 2 dy

3y = O

d 2v + 9.1· = sen _1, . dx 2

6

dv

--,

7 · dx

10. ( 1 - _1· 1 )dx + xdy = O

9. (s..:n x)r'" - (cos 1 )v' = 2

Nos Prob lema s 11 --10, verifique se a função dada é uma so lu ção para a equação difere ncial. (c 1 e Cz são con s iantcs ).

11. 2y' + y = O: y = e - ' 12 13. dy - 2v dx ·

= e .1 ':

v

= e3x

12. y' + 4y = 32; y = 8 + 10e 1 '

6 6 14. dy dt + 20.v = 24: .\' = 5 - i e- JOr

i:Jx = -{2Ç: dx X

= ({; +

15. y' = 25 + y 2 ; y = 5 tg 5x

16.

17. y' + y = sen .1; y = ~ se n x

18. 2ry dx + (x 2 + 2y) dy

- ~ cos .r

X

2 l. y = 2.1r' +

r( r') 2;

23. r' - .!_ 1·

1:

25.

c1) 2 , X

= O;

x\

> 0. CJ > 0 + /

= CJ

+ 1Oe-.•

l9. r 2dr + 2ry dx = O; r

.r

y

-

= CJ(.1

20 . (r') 1 + .rr' = _r ; ·'

'

+ ~CJ)

.r ln r ..r > O

dX 2 - X dr - (2 - X)( l - X) ; ln - - = r l -X

27. (./ + v 2) d.r + (x 2 = O; c 1(x +

-

xy) dy

y) 2 = x e ''11

22. y'

24.

dP

dt

2 -ri)' 1 : y

+ 1

r

dx

1

acie

= p(a - bP); P =

26. y' + 2xy

"'

e 10 dl +

l : r =e_,· (

c 1e -

o

28. y" + y' - l2y = O; y =

cie 3\ + c:_e-·h

1


12

29. y - 6y' + l 3y = O: y =

Volume/

C"f'·

Eq11(/ções Difere11ci"is

e'

1

30.

cos 2.r

31. y" = y; y = cos h x + se nh x 33. y"

= (y') 2 = O;

y = ln lx + cil + c 2

d\, 35. X--::; + 2 dy dx dx-

37.

2 " X)'

32.

O; y

- 4 dy + 4,.

)' "

o

25y = O; .v = rg r;

O; y =

_1·

X

2

e

e

CI COS

21

+ xe

21

5x

= - cosx ln(secx + rg x)

O; v

x cos( ln x). x

> O

38. y"' - y" + 9y' - 9, = O; y = c1 scn 3x +

39. y'" - 3y" + Jy' - y

O: y

dx

36. x\1" - xy' + 2y

' ' lnx, .1 > O; y = x-+x-

- 3xy' +4y

d.r "!.

34. y" + )'

+ c2x

Ci

d\

c2

cos 3x + 4e'

1

' x >O cix + r 2,\ ln x + 4x -. Nos Problemas 4 1 e 42, verifiq ue se a função ddi ni da por pa rt es é um a so lu ção para a equ ação d ifere ncial dada.

4 1. xy - 2y =O;

V = ,

{-xx ''-- , '

<

X

X ~

o o

42. (y')2

9xy;

y

l º· 1

XJ.

X

<

X~

o o

43. Veri fiq ue qu e um a fa míli a a um paràmelro de so luções para y = xy' + (y') 2 é y = ex + c 2 Dele rmi ne um va lo r de k para q ue y = kx 2 seja uma so lução si ng ula r para a eq uação d ifere ncia l.

44. Verifiq ue q ue uma fam ília a um parâmetro de so lu ções para y = xy' + Mostre q ue a re lação x 2

+/

'1 1+ (y')2

é y =ex +

~

= 1 define uma so lução singular para a equação no in terva lo (- 1, !).

45. Uma família a um parâmetro de soluções para

y'

_I'

-

1 é \'

l + ce 1·1

l - ce 1 '

Por inspeção, * determine uma solução sin gular pa ra a equação dit'c renc1al.

46. Na página 6 , vimos que y = lf4 intervalo (- 2, 2). Explique por qu e

y

.

=

.r~

e y = -

! -'14~. - 2, x

~ são

so lu ções para dy/d.r = - x/v no

-2 <x< O Ü $ X < 2

Traduzindo, isso significa" faça uma boa est imat iva e veja se funciona".


Volume I

Cap. I

/111rodu1·üo "·' cqt1C1\'ÔC.1 difere11cia1s

13

não é uma so lu ção para a eq uação diferencial no intervalo. Nos Problemas -1-7 e 48. e nco ntre va lores de

/11

para quê y =

e""

seja uma "o lução para cada equação

<li f erencial.

48. y" + 1O/ + 25y = O

47. y" - 5r' + 6r = O Nos Problemas .\9 e 50. enco ntre valores de diferencial.

49 . .\ \" - \' =

o

111

para que r =

1 111

se ja uma so lução para cada eq uação

50 . .r 2 / ' + 6rr' + 4r = O \ 2 c y 2 = ,\ J são ambas so luções para

51. Mostre que ,.1

x 2y" - 4xy' + 6y = O As fun ções, c·1.v 1 e uma

c:~y 2 •

co m c 1 e c 2 co nsta ntes arbitrárias. são també m so luçõ..:s? A so ma.

' 'i +

r2 é

so lu ção·~

o

52. Mostre que _r1

2x + 2 e v2 = - x-12 são ambas so luções ele

As funções. c 1y 1 e c 2y 2, com c 1 e c 2 co nslantes arbitrúrias. são tamb ém so lu ções? A soma Y1 + Y2 t! uma solução?

53. Por inspeção. det ermine, se possível, uma so lução rea l para a eq uação diferencial dada . (a)

1~.:· 1 +

(b)

1

(e)

1::::·1

~.::

[O] 1.2

1

lyl = O

+ lyl + 1 =

o

+ lrl

ALGUNS MODELOS MATEMÁTICOS

Em ciências. engenharia. economia e até mesmo em psicologia, freqüentcmentc desejamos descrever ,iu modelar o comport<.urn:nto Jc algum sistema ou fenómeno em termos matemáticos. Essa descrição começa com (i)

identificando as variáve is que são responsáveis por mudanças do sistema. e

(ii)

um conjunto Je hipóteses razoáveis sobre o sistema.

As hipóteses também incluem algumas leis empíricas que são aplicáveis ao sistema. A estrut ura matemática de todas essas hipóte ses, ou o modelo matemático do s istema, é muitas vezes uma equação difere ncial ou um sistema de equações diferenciais. Esperamos que um mod elo matemático rnzoáve l do sistema tenha uma solução que seja consistente com o comportamento conhecido do sistema.


1-1

Equações Diferenciais

Cap. I

Volume I

Um modelo ma1emá1ico de um sistema físico geralmente envolve a variável te mpo. A so lução do modelo reprcsenla enlão o estado do sistema; e m outras palavras. para va lores apropriados do tempo/, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema no passado, presente e futuro.

Corpo em Queda Livre A desc rição matemática de um corpo caindo vertica lme nte so b a influência da gravidade leva a uma simp les equação diferencial de segunda ordem. A so lução para essa equação fornece-nos a posição do corpo em relação ao solo.

EXEMPLO É be m conhecido que um objeto cm queda li vre pró ximo à superfíc ie da terra é acelerado a uma taxa constante g. Aceleração é a derivada da velocidade, que , por sua vez. é a deri vada da distâncias. Suponha que uma pedra seja atirada do alto de um edifício, como ilustrado na Fi g ura 1.4. Definindo o se ntido po sitivo para cima, enlão o enunciado matcmálico d 2s dt 2

= -g

é a equação diferencial que governa a trajetória ve rtical do co rpo. O s in a l de s ubtração é usado porque o peso do corpo é uma força direcionada para baixo, o u seja. oposta à direção positiva.

T So

l

"º ~ra edifício

T

Figura 1.4

s

! so lo

Se supusermos ainda que a altura do edifício é s 0 e a velocidade inicia l da pedra. v 0 , então temos de encontrar uma solução para a equação diferencial d2.\. d/2 = - g.

o<

t < l 1.

que também satisfaça as condições iniciais, s(O) = s0 e s'(O) = v 0 . Aqui, 1 = O é o instante em que a pedra deixa o telhado do edifício (tempo inicial) e 11 é o in stan te em que a pedra atinge o solo. Como a pedra é atirada para cima na direção pos itiv a, v0 é naturalmente positivo. Note que essa formulação do problema ignora outras forças, como a resistência do ar atuando sobre o corpo. •


Vo/11111e 1

Cap. 1

/111rod11 r<70 i" NJllll\·6cs difere11ciais

15

Sistema Massa-Mola Quando a segunda lei de Newton sobre o movimento é combinada com a le i de Hooke, podemos obter uma equação diferencia l que governa o movimento de uma massa atada a uma mola.

EXEMPLO

2

Para ca lcular o deslocamento vertical x(l) de uma massa atada a uma mola, usamos duas leis empíricas: a seg unda lei de Newton sobre o movimento e a lei de Hooke. A primeira delas di z que a resultante das forças que atuam sobre um sistema em movimento é F = 1110, em que 111 é a massa e a, a aceleração. A lei de Hooke diz que a força restauradora de uma mola esticada é proporcional ao deslocamentos + x: isto é, a força restauradora é k(s + x), em que k > Oé u111a constante. Como mostrado na Figura l .S(b), s é o de s loca111ento da mola quando uma massa é atada em sua extre111idade e o sistema está em posição de equilíbrio (a massa está pendurada na mola e não há movimento). Quando o s iste 111a está em 111ovi111ento, a variável x representa o des locamento da massa em re lação à posição de equilíbrio. No Capítulo 5, provaremos que, quando o sistema está em movimento, a força resultante atuando na massa é s impl esmente F = - k..r. Logo, na ausência de amortecimento ou outras forças ex ternas quaisquer que poderiam estar atuando no sistema, a equação diferencial do movimento vertical cio centro de gravidade da massa é:

c1"x

m - - = - kx d1 2

.

Aqui, o sinal de subtração indica que a força restauradora da mo la atua em direção oposta ao movimento, isto é, na direção da posição de equi líbrio . Na prática, essa equação diferencial de segunda ordem é escrita da segu inte forma :

O,

,

emqucw-

(1)

k/111.

t<O

--r

mola sem alongamento

r(/)

---t-x

s __ _ _ _ .i_ TI/

x(l)

posição de equilíbrio

__ J _ '"

(a)

(b)

Figura 1.5

>O

(e)

=O


16

E<JHll{"Õcs Difere11ci"is

Cup. I

Vo/11111 e I

Unidades Comentaremos os s iste mas de unidades usados para descrever problemas de dinâmica como os ilustrados nos dois últimos exe mplo s. Três sistemas de unidades frcqüentemente empregados são mo st rad os na tabela abaixo. Em cada sistema, a unidade básica de tempo é o seg undo.

Grandeza

Sistema gravitacional inglês

Sistema Internacional (SI) cgs

Força

pou nd ( lb)

newton (N)

dina

Massa

slu g

kilograma (1'.g)

grama (g)

Distância

foot ( ft )

metro (m)

cen tímetro (c m)

Aceleração da gra vidade g

32 ft /s 2

9.8 m/s 2

980 cm/s 1

(aproxi mada mente)

A força grav itaciona l exerc ida pela terra sobre um corpo de ma ss a 111 é chamada de peso W. Na ausência de resistência do ar, a única força que atua sob re um corpo em queda li vre é seu peso. Portanto , pe la seg unda lei de Newton sobre o movimento, temo s que a massa 111 e o peso W estão relacionados por

w=

111g.

Por exe mplo , no s iste ma in g lês, a massa de 1/ 4 slu g corresponde a um peso de 8 lb. Como = W/g, um peso de 64 lb co rrespo nde a uma massa de 64/32 = 2 s lu gs. No s istema cgs, um peso de 2450 dinas tem uma massa de 2450/980 = 2,5 gramas. No sistema SI, um peso de 50 newtons tem uma massa de 50/9,8 = 5,l k il ogramas. Note que

111

1 newton= !05 dinas = 0 ,2247pound

No pró x imo exe mplo. deduziremos a eq uação diferencial qu e descreve o movimento de um pêndulo simples.

Pêndulo Simples Qua lqu er objeto pendurado em movimento pendular é chamado de pêndulo físico. O pêndulo simples é um caso especial de pêndulo físico e consiste em uma haste com Ltma massa atada em uma das extremidades. Para descrever o movimento de um pêndulo simples. desprezaremos qua lqu er força exterior de amortec imento ag ind o sobre o s istema (ta l como a resistência do ar).


Volllm e I

EXEMPLO

Cap. I

111troduçüo às eqll<1("Ões diferen cu11s

17

3

Uma massa 111 de peso W está suspe nsa por uma haste de comprimento /. Queremos determinar o ângu lo e. medido a partir da linha vertical, como uma função do temp o / (consideramos 8 > O à direita de OP. e 8 < O à esquerda de OP). Lembre-se de que um arcos de um círculo de raio / está relacionado com o ângulo central através da fórmula s = 18. Logo. a aceleração angu lar é

e

a Pela seg unda le i de Newton, ternos F = ma = mi

d 2e

--? ·

d1 -

Na Figura 1.6, vemos que a componente tangencial da força devida ao peso W é 111g sen 8. Igualando as duas di ferentes formulações da força tangencial, obtemos,

d 2e

111/ -

1-

~-

2 = - 111g se n e ou -d?e- +

~-

E_ sen

l

e = O.

(2)

o: ~ :e Figura 1.6

:

-efi

--?-:--------- ~ W = mg t

mg sen 8 / mg cos (}

e.

Por causa da presença do sen a eq uaç ão diferencial (2) é não-linear. É sabido que essa eq uação não pode ser resolvida em termos de funções e leme ntares. En tão, fazemos mais urna simplificação. Se o deslocamento a ng ul ar () não for muito gran de. poderemos usar a aprox imação () = (}* Daí, (2) pode ser substi tuíd a pela equação diferencial linear <le segunda ordem

*

o'

Para pequenos valores de(} (em radianos). potências e as de ordem superior podem ser ignoradas na série de Maclaurin , sen (} = (} - 83/3 I + ... , e assim, obtemos sen 8 = 8. Use uma calcu ladora e compare os valores de sen (0,05) e scn (0,005) com 0,05 e 0,005.


18

Eq1111rües Diferrnciois

Cop. I

Vo/11111e I

c1"e d1 2

+ K I

e o

(3)

Colocando w = gll, (3) possui exatamente a mesma est rutura da equação ( 1) que governa vibrações livres de um peso em uma mola. O fato de urna equação diferenc ia l b<ísica poder descrever div ersos fenôrnenos físicos , ou mesmo soc iais/econômicos, é uma ocorrência comum no estudo de matemática aplicada. O relógio de parede e a balança de criança são exemplos de pêndu los. O deslocamento angular() de um pêndulo simples de comprimento 1 é determin ado pe la equação diferencial não-linear de segunda ordem d 2() / dt 2 + (gl l) se n () = O. Quando o deslocamento do pêndulo não é muito grande. podemos fazer a substitu ição sen () ~ () e assim obter aproximadam ente o valor de O resolvendo a eq uação linear d 2() / dt 2 + (gll) () = O. Veja também as páginas 16 e 17.

Corda Giratória Encontramos de novo a equação ( 1) na análise ela corda giratória.


Cop. I

Vo/11111c I

/111rod11çtiu às eq1wç·iíes difér<·11ciuis

19

4

EXEMPLO

Suponha que uma corda de comprimento L, com densidade linear constante igual a p (massa por unidade de comprimento) esteja esticada ao longo do eixo x e fixada nas extremidades .r = O ex = L. Suponha que ela seja então girada em torno desse eixo a uma ve loc idade angular constante igual a w. Isso é análogo a duas pessoas segurando uma corda de pular e rodando-a ele maneira sincronizada. Veja a Figura l .7(a). Queremos encontrar a equação diferencial que determina a forma y(x) ela corda. ou a curva de deflexão em relação à sua posição inicial. Veja a Figura l .7(b). Para isso, cons idere a porção ela corda no intervalo [.r, .r + t..r l. em que t..r é pequeno. Se a magnitude Tela tensão Tatuando tangencial mente à corda for constante ao longo da corda, então a equação diferencial que queremos pode ser obtida igualando duas d ifere ntes formu lações da força resu ltante que atuam na corda no intervalo [.r, .r + Li.ri . Primeiro, vemos na Figura l .7(c) que a força resu ltante vertical é F

= T sen e,

-

(4)

T sen (} 1.

Quando os ângulos B1 e B2 (medidos em radianos) são pequenos, temos sen fh = tg R2 = r'(r + t..r) e sen B1 = tg (JI = y'(.r). e então (-f) torna-se F = T 1/(.r

+

(5)

t..r) - y'(.r)I.

Agora, a força resultante é dada também pela segunda lei ele Newton, F = ma. Aqui, a massa ela corda no intervalo é /11 = p t..r; a aceleração cen trípeta ele um ponto girando com velocidade angular w em um círculo de raio r é c1 = rw 2. Com f'..x pequeno, tomamos r = y . Logo, uma outra formu lação da força resu ltante é (6)

em que o sinal de subtração decorre do fato ele que a aceleração aponta na direção oposta à direção positiva _1'- Agora. igualando (5) e (6), temos T[',,Lr

+ 6x)-1''(1)J

= -

v'(.r+t..r)-_1,,(.r) , (p;':;_r)1·or ou T~·---~~-­

(7)

ii1 l_

__.,_

li

11J 1~. .\ O L

(a)

(b)

Figura 1.7

(e}


20

Equa ções Difcrc11 c iois

Vo/11111 e I

Cap. I

Para óx próximo de zero, [y'(x + 6-x) - y'(x)J/Lix nos dá,

d 2v! d.r 2 , assim a última expressão cm (7)

d 2v

d 2y

T --

1

- p11/y ou T -".;- + pw-y = O.

dx2

(8)

dx-

Co mo a co rd a es tá fi xa e m x = O e x sat isfaça as co ndi ções de fro nteira y(O)

L, es peramos qu e a so lu ção y(..r) da última equ ação

= O e _y(L) = O.

Dividindo a últim a equ ação em (8) por T, ob temos, d2y

-

dx2

pw2

+ -

T

y =O,

o que é a ná logo a ( 1) e (3). Se a magnitude T da te nsão não é co nsta nte no int erva lo [O, L], e ntão pode-se mostrar que a equ ação diferencial para a c urv a el e deflexão da co rd a é

!!_ [ T(x) dy] + pw 2y = O. dx

(9)

dx

Circuitos em Série De acordo com a seg und a le i de Kirchhoff, a di fere nça de potencial E(I) e m um c irc uito fechado é igual à soma das vo ltagens no circuito. A Fig ura 1. 8 mostra os símbo los e as fórmul as para as respectivas voltagens (q ueda de te nsão) através ele um indutor, um ca pac itar e um res istor. A corrente e m circuito, após a c have ser fechada, é denotada por i(I); a carga em um ca pac ita r no instante t é denotada por q(t ). As letras L, C e R são cons tantes co nh eci da s co mo indut ância , capacitância e res istênc ia, respecti vamente.

- Hindutor

capac1tor

rcs ilor

l;f

~q

iR

(b)

(e)

(a)

Figura 1.8

EXEMPLO

5

Considere o circuito s impl es , em série, contendo um indutor, um res istor e um capacitar mostrado na Figura 1.9. Uma equação diferencial de segunda ordem para a carga q(I) em um capacitar pode ser obtida somando as voltagens (queda de tensão):


Volu111e J

L

E

/11/ roduçüo lh eqw.1(6es difere11ciais

Cap. I

R

11

Figura 1.9

e indu tor

__ L-di __ Ld 2q d1

res1tor

iR =

.

e

capac1tor =

L

d1 2

R~ dr

q

e igualand o a so ma à diferen ça ele potencial E(1): d 2q dq 1 L+ R- + - q c11 2

c11

e

E(1).

(10 )

No Exe mplo 5, as co ndições iniciais q(O) e q'(O) re prese ntam a carga no capacitar e a corrente nu c ircuito , respectivamente, no tempo 1 = O. Ainda, a diferença el e potencial ou voltagem E(t) é chamada ele fo1·ça eletromotriz, ou fem . Uma fem, bem como a carga e m um capacitor. ca usa a corrent e no c ircuito. A tabela abai xo mo stra as unidades bás icas el e medida usadas na análise de circu ito.

Grandeza

Unidade

Diferença de pote ncial ou fe m Indutância L Capaci tân cia C

vo lt (V)

Rcsist~ncia

R

Carga q Corrente i

henry

(H)

farad (F) ohm (Q)

coulomb (CJ ampere (A)

Lei de Esfriamento de Newton De acordo com a empírica lei de esfriamento de Newton, a taxa de esfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio amb iente.


Eq1tll(6e< Dijácnciuis

Cup.

Vn/111111' I

Antes de tomar um café, geralmente esperamos um pouco até qu e o liquido esfrie. Uma xíca1·a de café fic a quase intragável se esfriar até chegar à temperatura ambiente. Um a lei empírica de resfriamento atribu íd a a Isaac Newton assegura que a taxa de resfriamento de um corpo e proporc ional à diferença entre a temperatura do co1·po e a temperatura do meio. A frase acima é um a descrição verbal de uma equação diferencial. Veja também a página 107.

EXEMPLO

6

Suponha que T(t) denote a temperatura de um corpo no in sta nte e e que a temperatura do meio ambiente seja constante, igual a T111 • Se dT! dt representa a ta xa Je variação da temperatura do corpo. então a lei de esfriamento de Newton poderá ser expressa matematicame nte da seg uinte forma:

dT

dr

oc

T - T111 ou

dT

dr

/.:(T - T, 11 ).

(ll)

em que /.: é um a cons tante de propo rcionalidade. Como. por hipót(!s<: o corpo i:st:í csL"iandn, devemos ter T > T111 ; logo, k < O.

Cabo Suspenso Suponha um cabo (ou corda) suspenso sobre a ação de seu próprio peso. A Figural. l O(a) mostra um modelo físico para essa situação : um longo fio de telefone pendurado entre dois postes . Como no Exemplo 4, nos so objetivo no próximo exemplo é determinar a equação diferencial que descreve a forma (curva) de um cabo suspenso.


Volume I

EXE MPLO

Cup . I

/111rod11ç-âo às equações di)i-ren l' i<1is

23

7

Vamos exa minar so me nte a porção do cabo entre o po nto mais bai xo P 1 e um ponto arbitnírio P2 . Veja a Fig ura l. IO(b). Três forças es tão agindo no cabo: o peso da porção P 1P'2 e as tensões T 1 e T1 e m P1 e P2, res pec ti vamentc. Se w for a densidade linear (medida, <li gamos. cm N/ m) e s fo r o co mprim e nt o do segme nto P1P2. seu peso será ;i·s.

/'f

T,

cabo

T ,,enB

P, ~T. co>B P,

T ,+-~~r-~~~~~~'

(0. 0)

(x. 0)

(b)

(a)

figura 1.10

Agora, a ten são T2 tem duas compo ne ntes, uma hori zo ntal e outra vert ical (quanti dad es esca la res), T 2 cose e T1 sen e. Como o sis te ma es tá e m equilíbrio, pode mos escrever

Dividindo as duas última s equações, obtemos tg8

WS

Ti ou (12)

Agora, co mo o comp rimento do arco entre os po ntos P 1 e P2 é

dy 1 + ( dx

)2d.1,.

segue de uma <las formas <lo teorema fundamenta l do cálcul o qu e

ds dx

(13)


2-1

Equaçrles Diferenciais

Cap. I

\io/11111<'

I

Derivando ( 12) com relação a x e usando ( 13 ). temos

d 1v

(14)

dx~

Poderíamos conc luir pela Figura 1.1 O que a forma de um cabo s uspenso é parabólica. Porém. não é esse o caso; um cabo (fio ou corda grossa) suspenso sobre efe ito somen te de se u próprio peso toma a forma de um cosseno hiperbólico. Veja o Problema 12, Exercício 3.3. Lembre-se de qu e a curva cuja forma é o gráfico do cosse no hiperbólico é cham ada de catenária, palavra que vem cio latim cate11u . q ue significa "corrente". Os romanos usavam a catena para prender cac horros. Provavelmente o melhor exemp lo gráfico de um a catenária seja o arco Gateway em St. Louis, Missouri, nos Es ta dos Un id os. Para determinar a forma de um cabo suspenso sob a ação de seu próprio peso, tal como um cabo telefônico suspenso entre dois postes. devemos resolver a equação diferencial não-linear

d2yl dx 2 + (w / T) -.J1 + (dyl dx) 2 = O . Pode-se mostrar que o cabo toma essencialm ente a forma do gráfico de um cosseno hiperbólico. Esse gráfico de um cosseno hiperbólico chama-se catenária. O famoso arco Gateway em St. Louis tem a forma de uma catenária invertida.


Cc1p.

Volume 1

/111rodurc.lo i1.' <'l/1turôes d1fere11cl{/is

25

Drenagem Através de um Orifício Em hid rod inâm ica, o teorema de To rri celli nos di z 4ue a ve loc idade v de d lu xo de água at ravés de um pequeno o ri fíc io no fund o de um tanqu e cheio até um a altu ra h é igual à ve loc idade que um corpo (neste caso. um a go ta d 'ág ua) adquire em qu eda li vre de um a altu ra h : V=

'5gh,

cm que g é a aceleração dev ida à grav id ade. A última ex pressão é o btida ig ualand o a energ ia c i nética~ 111v 2 à energ ia po tenc ial 111gh c exp li c itando v.

EXE M P LO

8

Um ta nqu e cheio de ág ua é drenado através de um o rifíc io so bre a inlluênc ia da grav idade. Gostaríamos de calcul ar a altura h da ág ua no tanqu e em q ualquer insta nte de tempo r. Co nside re o ta nqu e mos trado na Fig ura 1. 11 . Se a área do orifício é Ao (e m m 2) e a veloc ida de da ág ua sa indo do tanqu e é v = '12g h (e m m/s), então o vo lume de ág ua qu e sa i do tanque por seg un do é Ao (e m m3 /s) . Logo, se V(r) de nota o vo lume de ág ua no tanq ue no in:,tantc 1. temos

-.J2ih

e/V dl

-Ao ..J2gh.

(15)

cm que o sin al de subtração indi ca qu e V dec resce co m o tempo. No te q ue es tamos ig nora ndo qu alq uer poss ibi lidade de atrito no ori fício, o qu e redu ziria a taxa de vazão da ág ua.

T A., -----~-.-----, -

l"

\Ili Figura 1.11

Agora , suponha que o volume da água no tanque no instante t possa ser escrito como V(I) = A11 ./z, em que A11 . (em m 2 ) é a área da superfície da água (veja a Figura 1.11 ), que não depende da altura h. Daí, dVI dt = Aw(dh/ dt). Substituindo essa última expressão em ( 15), obtemos a equação dife rencial para a altura h da água em fu nção do tempo t:


26

Eq11oçâes Difere11ciais

Cu/!. I

Volwne I

d/1

d!

Ao. ~ - - v2Rh. A \\ . ,

(16)

É interessante observar que ( 16) permanece válida mesmo quando A,.. não é co nstante. Neste caso, devemos expressar a área da superfície da água como uma função de h: r\ 11 = A(/1). Veja o Problema 9 cm Exercícios 1.2 e o Problema l 9 nos Exercícios de Revisão do Capítul o 1.

Deflexão de Vigas Em engenharia, um problema importante é determinar a deflexão estática de uma viga elástica causada por seu peso ou por uma carga externa. Supomos que a viga é homogên ea e tem seções transversais uniformes ao longo de seu comprimento. Seja L o comprimento da viga. Na ausência de carga na viga (incluindo seu peso), a curva ligando os ccntróides de toda s as seções transversais é uma linha reta chamada de eixo de simetria. Veja a Figura l. l 2(a) . Se uma carga for aplicada ii viga em um plano vertical con tendo o eixo de simetria, então, como mostrado na Figura l. l 2(b), a viga sofre uma distorção e a curva ligando os centróides de todas as seções transversais é chamada de curva de deflexão ou curva elástica. No prô x imo exemplo, deduziremos a equação diferencial da curva de deflexão . Essa dedução usa princípios de elasticidade e um conceito do cálculo chamado curvatura. Forças atuando em vigas causam estas distorções. Essa deformação . ou deflexão y(x). é descrita pela equação diferencial de quarta ordem E/ y141 = w(x). Uma viga engastada em uma extremidade e solta na outra é chamada de cantiléver ou viga em balanço. Um trampolim, um braço estendido e uma asa de avião são exemplos comuns de tais vigas; mas mastros de bandeira, arranha-céus e o Washington Monument agem como vigas em balanço. Veja também as páginas 405 , 41 1 e 418.


Vof11111e I

EXEMPLO

Caf'. I

/111rot!11çrio its e<111açries dijáenciuis

27

9

A título ele ilu stração, vamos considerar uma viga fixa (engastada) em sua extremidade esquerda e so lt a em sua ex tremidad e direita, como na Figura 1.1 3. Faça coincidir o extre mo esquerdo da viga com o ponto .r = O, e o extre mo elire it o com o ponto .r = L. O e ixo x co in cide com o eixo de sime tria. e a dclkxão y(.r) é medida a partir desse e ixo e considerada positiva se estive r para ba ixo. Em teoria da e lasticidade. mostra-se que o momento de fletor (lktor) M(x) em um ponto x ao longo da viga está re lacionado com a carga por unidade de comprimento ir(.r) arravés da eq uaçã o

d 2M

( 17)

- - , = w(x).

dr

Ainda, o momento defletor (fletor) M(x) é proporciona l à c urvatura k da curva elüstica:

( 18)

M(.r) = Elk,

,:i~r - - -..- - - - ~~~- - - -1"_;;J M

ciho cJc simclria (a)

~

O

r(.r)

l

L

- - - --- --- - - - - - - - - - - - - e_ - - .!..____f----

·'

T

curva de dcílexão (b)

Figura 1.12

Figura 1.13

em que E e l são constantes; E é o módulo de e la st icidade de Young racionado com o material ela viga. e l é o momento ele inércia ele uma seção transversal ela viga (em relação a um eixo conhecido corno eixo neutro ou linha neutra). O produto E! é chamado de rigidez dellet»1«1 da viga. Agora, do cálculo, sabemos que a curvatura é dada por

y"

K

= [ 1 +(y'hVc.

Quando a deflexão y(x) é pequena, a inclinação y' z O e elaí f 1 + (r') 2 J' 12 z equação ( 18) se torna M = Ely''. A segunda derivada desta última expressão é

d 2M

E! d2? y"

dx 2

dr

1. Se k

r". a

(19)


28

Equações Diferenciais

Cap. I

Volume I

Usando o res ultado obtido e m ( 17 ) para sub stituir d 2MI dx 2 e m ( 19), vemos que a deflexão y(x) satisfaz a equ ação diferencial de quarta ordem Eld 4 y

dx 4

w(x) .

(20)

Como veremos mais tarde, é ex tremamente im portante observar qualquer co nd ição de fronteira que aco mpanh a a eq uação diferencial na descrição matemática de um fenômeno físico. Para a viga em balanço do Exemplo 9, além de satisfazer (20), es peramos que a deflexão y(x) sati sfaça as seg uintes co ndições nas ext remid ades da viga: y(O) = O, pois não há deflexão no ex tre mo esquerd o e ngas tado .

y'(O) = O, po is a curva de deflexão é tangente ao e ixo x na ex tre mid ade esquerd a. y"( L ) = O, pois o momento defletor (fleto r) é nul o no ex tremo li vre .

y"'(L) = O, pois a força de espo li ação (cisa lh ame nto) é zero na ex tremidade direita (l ivre) . A fun ção F(x) = dMI dx = El (d 3y! dx 3 ) é c hamada de força de espo li ação (c isa lh ament o).

Crescimento Populacional Nos próx imos exemplos, exa min amos algu ns modelos matemáticos em crescime nto biológico.

E X EM P LO

10

Parece plausível esperar que a taxa de c resc ime nto de uma popu lação P seja proporcional à população presente naquel e instante. Grosso modo , quanto maior for a popul ação presente, maior ela será no futuro . Logo, o modelo para o crescimento populacional é dado pela equ ação diferencial dP = kP dt '

(21)

em que k é uma constante de propo rcionalidade. Como esperamos que a população c resça, devemos te r dP/ dt > O, e assim k > O. •

---------------E X EM P LO

11

Na disseminação de uma doença contagiosa, uma virose, por exemplo, é razoável supor que a taxa de disseminação, dxldt, seja proporcional não somente ao número de pessoas, x(t), contaminadas, mas também ao número de pessoas , y(t), que ainda não foram contaminadas, isto é,


Volume I

Cap. I

Int rodução às equações difere 11ciuis

dx dt + kxy,

29

(22)

em que k é a co nstante de proporcio nalidade usual. Se uma pessoa infectada fo r int rod uzida em uma população de n pessoas, e ntão x e y es ta rão re lac io nados po r x+y= n + I.

(23)

Usa ndo (23) para eliminar y e m (22), ob te mos dx dl

= kx(n + 1 - x).

A co ndição ini cial óbvia qu e aco mpanha a equ ação (24) é x(O)

(24)

1.

Equação Logística A eq uação de primei ra orde m não- linea r (24) é um caso es pec ial de uma eq uação mais gera l dP dt

= P(a - bP) ,

a e b constantes,

(25)

conhecida co mo equação logística. Veja Seção 3 .3. A solução dessa eq uação é muito importa nt e em eco log ia, socio log ia e mes mo e m ciências co nt ábeis e admini stração.

Capitalização Contínua É m ui to co mum as in s titui ções fi na nceiras anun c ia re m ca pita li zação di ári a dos ju ros. Poderíamos ter capitalização a cada hora o u mes mo a cada minuto. Não há razão para parar aí, ou sej a, ju ros poderi am ser capitali zados a cada seg undo, a cada meio seg und o, a cada décimo de seg undo, a cada mil ési mo de segundo, e assi m po r di ante. Isto que r di zer qu e os ju ros podem ser capi tali zados co ntinu ame nte.

E X E M P L O

12

Q uando os juros são cap itali zados co ntinua me nte, a taxa de crescime nt o é pro porcional ao capita l S. isto é, dS = rS d1 •

(26)

em q ue r é taxa anual de juros. Essa desc rição mate máti ca é a náloga ao c rescime nto popu lac io nal do Exemp lo 10. A taxa de crescime nto será grande qu ando o capital presente também for grande. Tradu zindo geometricamente, isso significa que a reta tangente é mais inclin ada quando Sé gra nde. Veja a Figura 1.14.


30

Equações Diferenciais

Cap. 1

Volume 1

dsl e= e,

m=dt

s

Figura 1.14

A definição de derivada proporciona uma interessante dedução de (26). Suponha que S(t) seja o capital acumulado depois de t anos, quando a taxa de juros r é anual e es tes são

capitalizados continuamente. Seja h um incremento de tempo. Então, os juros obtidos no espaço de tempo (t + h) - t é a diferença dos montantes acumu lados:

S(t + h) - S(t)

(27)

Como os juros são definidos por taxa x tempo x cap ital , podemos aproximar os juros ganhos no mesmo período por rhS(t) ou rhS(t

+

h).

Intuitivamente, rhS(t) e rhS(t + h) são colas in fer iores e superiores, respec tivamenle, para os juros reais (27); ou seja,

+ h) - S(t)

rhS(t) ~ S(t

~

rhS(t

+ h)

ou

S(t

rS(t) ~

Passando ao limite em (28), quando h

~

rS(t) ~ lim h

+

h) - S(t) h ~ rS(t + h).

(28)

O, obtemos S(t

+

__,o

h) - S(t) h ~ rS(t),

e daí segue-se que . S(t + h) - S(t) lim h h

__, o

rS(t) ou

dS

dt

= rS.


Volum e I

Cap. I

Introdução às equações diferenciais

J/

EXERCÍCIOS

1.2

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 440. Nos Problemas 1-22, dedu za a cq uação(es) diferencial(is) que descreve a si tu ação física dada. L.

Em certas circu nstâncias, um corpo B de massa m c m queda , como o pára-quedi sla mostrado na Fi gura 1. 15, e ncontra res istência do ar proporcional à sua ve locidade v. Use a segunda lei de Newton para e nco nt rar a equação diferenc ial para a vc l ocidad~ v do corpo e m qualqu er in stante. Lembre- se de que a aceleração é a = dvl dt. Suponha neste caso qu e a di reção posi ti va é para baixo.

2.

Qual é a equação diferencial para a ve loc idade v de um corpo de mas sa /11 cm queda verti cal através de um meio (ta l co mo a água) que oferece uma resistência proporcional ao quadrado da ve loc idade? S upo nh a a direção positiva para baixo.

f."""·

{ 3.

Pela le i da g ra vitação universal de New ton, a ace leração de queda li vre a de um corpo, tal como o saté lit e mostrado na Fig ura l.1 6 cai nd o de um a g ra nde a ltu ra, não é a cons tante g. Em vez disso, a aceleração a é in versa mente proporcional ao quadrado da di stância r e ntre o centro da terra e o corpo: a = kl r 2 , em que k é a consta nte de proporcionalidade. (a)

Use o fato de que na superfície da terra cionalidade k.

r

= Re

a

= g para determinar a constante de propor-

(b) Use a segunda lei de Newton e a parle (a) para encontrar uma equação diferencial para a distância r.

(e)

Use a reg ra da cadeia na forma

dv dt

dv dr dr dt

para expressar a equação diferencial da parte (b) como uma eq uação diferencial envo lvendo dvldr.

ve

satélite 9fjn

~,l"

M Figura 1.16

Figura 1.15

4.

(a) Use a parte (b) do Probl ema 3 para e ncontrar a equação diferencial para r se a resistência ao satélite em queda for proporcional à sua veloc idade. (b) Próximo à superfície da terra, use a aproximação R

~ r

da parte (a) se reduz à equação deduzida no Problema 1.

para mostrar que a equação diferencial


32

Equações Diferenciais

Cap. I

Volume I

5. Um circuito em série contém um resislor e um indutor, co mo mostrado na Figura 1. 17. Determine a eq uação diferencial para a corrente i(t) se a resistência é R, a indutância é L e a diferença de potencial , E(t).

6. Um circuito em série contém um resisior e um capacito r, co mo mostrado na Figura 1. 18. Determine a equação diferencial para a carga q(t) no capacito r se a res istência é R , a capacilância é C e a diferença de potencial, E(1).

R

E

L e Figura 1.17

Figura 1.18

Suponha que a ág ua de um tanque es teja sendo drenada por um orifício circul ar de área Ao loca li zado no fundo do Ianque. Foi mostrado experimenlalmenle que, quando o atrito da água no orifício é levado em consideração, o vo lume de água que sai do ianque por segu ndo é ap roximadamente 0,6Ao,fi[ih. Enco ntre a eq uação diferencial para a allu ra h de água cm qualquer in s1an1 e t no tanque cúbi co da f'igura l.1 9. O raio do o rifício mede 2 cm e g = 1O m/s 2.

8. Suponha um Ianqu e na forma de um cilind ro circular relo de raio 2 me aliura 10 m. O tanque está inicialmente cheio de água, e a água vaza por um orifício circul ar de raio l / 2 cm no fundo. Use as informações do Problema 7 para obter a eq uação diferencial para a altu ra h da ág ua em qualquer instante de tempo t. 9. Um tanque de água 1em a forma de um hemi sfério com raio 5 m. A ág ua vaza por um orifício circular de l cm no fund o plano. Use as in formações do Problema 7 para obter a equação diferencia l para a altu ra h da água com relação ao tempo 1. 10. A taxa de deca imento de uma substância rad ioativa é proporcio nal à quantidade A(t) da substância remanescente no instante 1. Determin e a equ ação diferencial para a quantidade A (t). 11. Uma droga é inj etada na corrente sangüínea de um paciente a uma taxa constante de r gramas por segundo. Simultaneamente, a droga é removida a uma laxa proporcional à quantidade x( t ) de droga presente no instante 1. Determine a eq uação diferencial que governa a quantidade x(t). 12. Um projétil atirado de uma arma tem peso w = mg e velocidade v tangente à traj etória de seu movimento . Desprezando a resistência do ar e todas as outras forças exceto seu peso, encontre o sistema de equações diferenciais que descreve o movimento . Veja a Figura 1.20. [Su gestão: Use a segunda lei de Newton na direção x e y.]


Volume 1

Cap. I

Introdução às equações diferenciais

33

13. Determi ne as eq uações do movimento se o projétil no Problema 12 enco ntrar um a força de retardamento k (de magnitude k) agind o tangenc ialmente à trajetória mas, oposta ao movimento. Veja a Figura 1.21. [Sugestão: k é um múltiplo da veloc id ade, digamos cv. J

y

X

Figura 1.20

Figura 1.21

14. Dois reagentes qu ími cos A e B são usados para formar um novo composto quími co C. Supondo que as concentrações de A e B decrescem pela mes ma quantidade de composto C formado , enco ntre a equação diferencial que governa a concentração x(t) do composto C se a taxa a que a reação química ocorre é proporcio nal ao produto das concentrações remanescentes de A e B. 15. Uma curva C no plano reflete os raios de lu z de tal modo que todo raio L paralelo ao eixo y é refletido para um único ponto O. Determine a eq uação diferencial para a função y = f(x) que descreve a forma da curva C. (0 fato de o ângu lo de incidência ser igual ao ângu lo de reflexão é um princípio da ótica.) [Sugestão: a Figura 1.22 mostra que a inclinação da reta tangente em P(x, y) é n/2 - (} e podemos 20. (Por quê?) Não tenha receio de usar as iden tidades trigonométricas. J escrever</>

=

Figura 1.22

16. Um barril em forma cilíndri ca, co m s metros de diâmetro e w newtons de peso, flutu a na ág ua. O

barril se movimenta para cima e para baixo ao longo de uma linha vertical. Usa ndo a Figura l .23(b), determine a equação diferencial para o deslocamento vertical y(t), supondo a origem no eixo verti cal na superfície da água qu ando o barril está em repou so. Use o princípio de Archirnedes: o impulso da água no barril é igual ao peso da água deslocada. A densidade da água é 1000 kg/ m3 Suponha o sentido pos itivo para bai xo e ignore a resistência da água.


34

Equações Diferenciais

Cap. 1

Vo lume/

s/2

Q_ ___ _} y{t)

1---

' (a)

--·

(b) Figura 1.23

17. Um foguete é lançado da superfíc ie da terra verticalmente para cima. Depois de esgotado todo o combustível, a massa do foguete é co nstante igual a 111. Use a seg unda le i de Newton para o movimento e o fato de que a força da gravidade é inversame nte proporc ional ao quadrado da di stâ nc ia para e ncontrar a equação difere ncial da di stânc ia y, do centro da terra ao foguete, e m qualquer instante após a queima total do combust íve l. Enuncie condições ini ciais apropriadas (no instante t = 0) associadas co m essa equação difere nc ial. 18. A segunda lei de Newton F = ma pode ser escrita co mo F = dl dt(mv). Quando a massa de um objeto

não é co ns tante, esta última formulação é usada . A massa m(t) de um foguete muda e nqua nt o seu combu stível é cons umido .* Se v( r ) de no ta s ua velocidade no instante r, pode ser mostrado que

dv - mg = m dt

dm

- V dr ,

(29)

em que V é a velocidade de escape dos gases c m relação ao foguete. Use (29) para e nco ntrar a equação difere nc ial de v, supo ndo conhecido que m(t) = m0 - ar e V = - b, em que m0 , a e b são constantes. 19. Uma pessoa P, partindo da origem, move-se na direção positiva do eixo x, puxa ndo um peso ao longo da curva C (chamada tralriz) , como mostrado na Figura 1.24. O peso, ini c ialme nte local izado no eixo y em (O, s), é puxado por uma corda de comprimento s, que é mantida esticada durante todo o movimento . Encontre a equação difere nc ial da trajetó ria do movimento. [Su gestão: A corda fica sempre tange nte a C; considere o ângulo de inclinação() co mo mostrad o na figura.]

20. Suponha uma abertura passando pe lo centro da terra. Um corpo de massa m é atirado na abertura. Denote po rra di stância do centro da terra à massa no in stant e 1. Veja a Figura 1.25. (a) Sejam M a massa da terra e M , a massa da porção da terra limitada por uma esfera de raio r. A força da gravidade atuando em m é F = - kM, mlr2, em que o sinal de subtração indica que a força é uma atração. Use este fato para mostrar que

[Sug estão: Suponha que a terra seja ho mogênca, isto é, a densidade é constante. Use massa = den sidade x volume.]

Estamos supondo que a massa total : massa do veículo + massa do combustível + massa dos gases de escape é constante. Neste caso, m(t) = massa do veículo+ massa do combustível.


Volume 1

Cap. 1

Introdução às equações diferenciais

35

(b) Use a segun da lei de Newton e o resultado da parte (a) para deduzir a equação diferenc ial d 2r 2 - + w r =O

dc2

em que w 2 = kM/ R3

,

= g/ R.

)'

(O. s)

p

Figura 1.24

X

Figura 1.25

21. Em teoria de aprendi zagem, a taxa à qual um assunto é memorizado é proporc ional à quantidade ai nd a a ser memorizada. Se M denota a quantidade total a ser memorizada e A(t) a quantidade memorizada no insta nte 1, encontre a eq uação diferenc ial para A. 22. No Problema 2 1, suponh a que a quantidade de materi al esquec ida é proporcional à quantidade memo rizada no in stante t. Q ual é a equação diferencial para A quando o esqueci menlo é levado em conta?

Capítulo 1

REVISÃO

Class ifi ca mos um a equ ação dife rencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial ; quanto à ordem ; e quanto à li nearidade: linear ou não-linear . Uma solução para um a equação difere nc ia l é qualquer fun ção sufi c ie nt e mente diferenc iáve l que sati sfaça a equação em a lg um intervalo. Quando reso lvemos um a eq uação diferencial ord inári a de n-ésima ordem, esperamos enco ntrar uma família de so luções a n-parâmetros. Uma solução particular é qualquer solução, não dependente de parâmetros, que satisfaça a equação diferencial. Uma solução singular é qualquer so lução que não pode ser ob tida da família de so luções a n-parâ metros através de escolha dos parâmetros. Quando uma família de soluções a n-parâmetros fornece todas as soluções para uma eq uação diferencial em a lgum intervalo, e la é chamada solução geral, ou

completa.


36

Equa ções Diferenc iais

Cap. I

Vo lum e I

Na an álise de um problema físico, muitas equações diferenciais podem ser obtidas igual ando du as diferentes formul ações empíri cas da mes ma situação . Por exempl o, uma equação diferencial sobre cinéti ca pode, em geral , ser obtida simpl es mente igualand o a segunda lei de Newt on sobre o movimento com as fo rças res ultantes qu e atu am em um corpo.

Capítulo 1

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 441. Nos Proble mas 1-4, classifiqu e a equação dada qu a nto ao tipo e à orde m . C lass ifiqu e as equ ações di fe re nciai s ordin ári as qu a nto à linearidade. 2. (sen xy)y"' + 4xy' = O

Nos Proble mas 5-8, verifique que a fun ção indi cad a é uma so lução para a equação difere ncia l dada.

5. y' + 2xy = 2 + x 2 + /; )' =

X

6. x 2y" + xy' + y = O; y =

+ lg X

+

7. y"' - 2y" - y' + 2y = 6; y = c1ex

+ c2e-x +

c3e 2 r

8. /

c2 4l

c1

cos( ln x)

sen(ln x), x > O - 16y

= O;

y

= sen 2x

+ cosh 2x

+ 3

Nos Proble mas 9- 16, dete rmine, por inspeção, pelo me nos uma so lução para a equação dife re ncial dada.

9. y = 2x

10.

~= Sy

11. y " = 1

12.

)'

13. y " = y

14.

2y~

15. y " = - y

16.

)' "

17. Determine um int e r va lo, no qua l + (1 - 2x) dx = o.

y2 -

2y

= x2

dx

=

y3

dx

- x -

- 8

=

= y

l de fin e um a so lu ção pa ra 2(y - 1) dy

18. Explique por que a equ ação difere ncial

l (~dxJ2 =44 - x

2

não possui solução real em lx l < 2, ly l > 2. Há o utras regiões do pla no xy e m que a equação não possui solução?


Vol11me 1

Cap. 1

Introdução às eq11ações diferenciais

19. O tanque cô ni co, mostrado na Figura l .26, derrama água po r um o rifício no fundo. Se a á rea da seção tran sversa l do orifício é l / 4m 2, encontre a equação dife re ncial que representa a altura da água h e m

relação ao te mpo 1. Ig nore a força de atrito do orifício. 20. Um peso de 96 newto ns des liza por um plano inclinado, faze ndo um â ng ul o de 30º co m a hori zonta l. Se o coe fici e nt e de atrito é µ, dete rmine a equação diferencial para a velocidade v(t) do peso no in sta nte 1. Considere o fato de que a fo rça de atrito no sentido oposto ao movime nto é µN. c m que N é a co mpo ne nte no rmal do peso. Veja a Figura l .27.

8m

\

'

l/4 m

Figura 1.26

Figura 1.27


Capítulo

2

EQUAÇOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 [O J 2.6

Teoria Pre lim inar Var iáveis Separáve is Equ ações Ho mogêneas Equ ações Exatas Equ ações Linea res Equações de Bern oulli , Ri catti e C la ira ut

Conceitos Importantes Problema de va lor inicial Condi ção ini cial Ex istência de uma so lu ção Unic idade de uma sol ução Separação de variáveis Função homogênea Equação homogênea Diferencial exata Equação exata Fator de integração Equação linear Solução geral

38

[O] [O]

2.7 2.8

Sub stituições Método de Picard Capítul o 2 Rev isão Capítul o 2 Exercíc ios de Rev isão

Estamos agora em pos1çao de res o lver algumas equações diferenciais . Começamos com as e quações diferenciais de primeira ordem . Se uma equação diferencial de primei ra ordem puder ser resolvida, veremos que a técnica o u método para resolvê-la depende do tipo da equação de primeira ordem com que estamos lidando. Durante anos , muitos matemáticos se esforçaram para resolver diversos t ipos particulares de equações. Por isso, há vários métodos de solução; o que funciona para um tipo de equação de primeira ordem não se aplica necessariamente a outros tipos de equação. Embora consideremos métodos de solução para sete tipos clássicos de equaçõ es neste capítulo, centralizamos nossa atenção em quatro tipos de equações. Alguns desses quatro tipos são importantes nas aplicações.


Volume I

2.1

Cap. 2

Equações diferenciais de pri111eira ordem

39

TEORIA PRELIMINAR

Problema de Valor Inicial Estamos interessados em resolver um equação diferencial de primeira ordem* d\I dx = f(x,

sujeita à condição inicial y(xo) = arbitrário. O problema

)'Q,

y)

em que xo é um número no intervalo I e Yo é um número real

Resolva:

1; = J(x, y) (2)

Sujeito a: y(xo) = Yo é chamado de problema de valor in icial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferenci al, definida cm algum intervalo l tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, Yo) determinado a priori. Veja a Figura 2.1.

EXEMPLO

1

Vimos (páginas 9-10) que y = cex é uma família a um parâmetro de soluções para y' = y no intervalo (- oo, oo) . Se especificarmos, digamos, y(O) = 3, então substituindo x = O, y = 3 na família, obteremos 3 = ce 0 = e. Logo, como mostrado na Figura 2 .2, a funçã o

y

y /

=

3e' y = 3e'·'

_;,---

y

(1, 3)

X

l+--f--+lx Figura 2.1

Neste texto, supomos que uma equação diferencial F(x, y, y', ... , y (nl) 11 y, y', .. . , y<n - ' l). Há exceções.

y< l = f(x,

Figura 2.2

= O possa ser colocada na forma


40

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume I

é um a so lução para o problema de va lo r inicial

y' = y,

y(O) = 3.

Se tiv éssemos pedido um solução de y' = y que passasse pe lo ponto ( 1, 3) e m vez de (0, 3), en tão y( l ) = 3 iri a nos dar e= 3e- 1, e daí, y = 3ex- I. O gráfico dessa so lução es tá também indicado na Figura 2 .2 . • A ques tão fundamental s urge quando consideramos um problema de va lor ini c ia l como (2): Existe uma so lução para o problema? Se existe uma sol ução, e la é única? Em outras palavras, a equação diferencial dyl d.x = f(x, y) possui uma solução c uj o g ráfico passa pe lo ponto (xo. Yo)? E será que essa sol ução, se exist ir, é única? Como os próximos exemp los mostrarão, a resposta à seg und a questão é: algumas vezes não.

EXEMPLO

2

Você deve verificar que cada um a das funções y e a condição inicial no problema

~

= xy 112 ,

Oe y = x 4 / 16 satisfaça a eq uação dife renc ia l

y(O) =O.

Como ilustrado na Figura 2.3, os g ráficos de ambas as funções passam pe lo ponto (O, 0).

Em gera l, deseja-se saber, antes de cons iderar um problema de valor inic ial, se um a so lução ex iste e , quando ex iste, se é a única so lução para o problema. O segundo teore ma, devido a Picard , * nos dá cond ições suficientes para garantir existência e unicidade de sol uções.

TEOREMA 2.1

Existência de uma Única Solução

Seja Ruma região retangular no plano xy definida por a $ x $ b, e $ y $ d, que contém o ponto (XQ, y0) em seu interior. Se j{x, y) e a fl a y são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial (2) .

Charles Émile Picard (1856-1941) Picard foi um dos proeminentes matemáticos franceses do final do século passado e começo deste século. Fez significativas contribuições nas áreas de equações diferenciais e variável complexa. Em 1899, Picard lecionou na Universidade Clark em Worcester, ; stado de Massachusetts, Estados Unidos.


Vo/111ne /

Cap. 2

Eq ua ções diferenciais de primeira ordem

41

O res ultado anterior é um dos mai s populares teoremas de exis tência e uni cidade para eq uações diferenciai s de primeira ordem, porque os critérios de cont inuidade de /(x, y) e a f /a y são relativamente fáceis de ser verificados. Em geral, não é possível determin ar um intervalo específico l no qu al uma solução está definida sem realmente resolver a equação • diferencial (veja Problema 16). A geometria do Teorema 2.1 está ilustrada na Figura 2.4. y

J

.

.

1

1

1

y=+--'

(O, O)

y=O

1

:: ~ :h-""A---~ 7:::

e

1

l Vc1o.YJ} ! _J ~_J_ ------- _J__ J_ '

~

1 X

a

l-t-1

b

X

Figura 2.4

Figura 2.3

EXEMPLO

. 1

d - ~--~-- -- -----~ --~-•R •

3

Vimos no Exemplo 2 que a equação diferencial dy = xyl /2

dx possui pelo menos duas sol uções cujos gráfico s passam por (0, 0) . As funções f (x, y) = xy l /2 e af = _x_ a y 2Y1 12 são contínuas no semiplano superior definido por y > O. Concluímos do Teorema 2.1 que, dado um ponto qualquer (XQ, y0 ) com y0 > O(por exemplo, (0, 1), existe algum intervalo em torno de xo no qual a equação diferencial dada possui uma única solução y(t) , tal que y(XQ) = YO· •

EXEMPLO

4

O Teorema 2.1 garante que existe um intervalo co ntendo x = O no qual y solução para o problema de valor inicial do Exemplo l:

y' = y,

3ex é a única

y(O) = 3.

Isso segue-se do fato de que j{x, y) = y e a f/ a y = 1 são co ntínuas em todo o plano xy. Pode • ser mostrado ainda que esse intervalo seja (- oo, oo).


42

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap. 2

Vol11111e I

5

Para dy = x2 + y2 dx

observamos que fl.x, y) = x 2 + y 2 e a f/ a y = 2y são co ntínuas em todo o plano xy. Logo, po r qualquer ponto (xo, Yo) passa uma e somente uma solução para a equação diferencial.

Nota (i) Devemos estar cientes da distinção entre a existência de urna so lu ção e poder exibir tal solução. Evidentemente, se encontramos urna solução ex ibindo-a, podemos dizer que ela existe, mas, por outro lado, urna so lução pode existir e não ser possível expressá-la. Pelo Exemplo 5, sabemos que uma solução para o problema dyldx = x 2 + y1, y(O) = l exis te cm algum intervalo em torno de x = Oe é úni ca. Porém, a equação não pode ser resolvid a cm termos de funçõe s elementares ; podemos ex pressa r uma so lução aproximada usa ndo os métodos do Capítulo 9. (ii) As condições enunciadas no Teorema 2.1 são suficie11tes, mas não necessárias. Quando f(x. y) e afia y são contínuas em uma reg ião reta ngular R, seg ue-se sempre que ex iste uma única so lução para (2) quando (xu. Yo) é um ponto interior a R. Porém, se as condições enun ciadas nas hipóteses do teorema não são sa ti sfeitas, então o problema de valor ini cial (2) pode ter ou não so lução, Ler mai s de uma solu ção ou Ler uma única so lu ção . Ainda, a condição de continuidade de af/ a y pode ser enfraquecida um pouco sem alteração da conclusão do teore ma. Este resultado é uma forma mais forte do teorema, mas infelizmente sua ap licabilidade não é tão fácil quanto a do Teorema 2. Na verdade, se não estamos interessados em unicidade, então um famoso teorema elaborado pelo matemático italiano Giuseppe Peano diz que a co ntinuidade de fl.x, y ) em R é suficiente para garantir a existência de pelo meno s um a solução para dyl dx = j(x, y) passando por um ponto (xo , Yo) interior a R .

EXERCÍCIOS

2. 1

As respostas dos exercícios selecionad os estão na página 441. Nos Problemas 1- 10, determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única so lução passando por um ponto (xo. y0 ) na região . 1. dy

=y213

2.

!!:t dx

=y

4.

r!z-y=x dx

6.

( l + y3)y'

= x2

8.

(y - x)y'

= )' +

dx

3. xrjz dx

5. (4 - /)y' 7. (x2 +

= x2

y2)y' =y2

= ..r;y

X


Volume 1

9. ~ = dx

Cap. 2

Equações d ife renciais de primeira ordem

lO. ddy = (x -

XJ COS V

'

43

l )eyl (x - 1)

X

Nos Pro blemas l l e 12, dete rmine, por in speção, pelo menos du as so luções para o prob lema de valor ini cial dado. 11. y'

= 3/13,

y(O)

=O

12.

d)' x-;;; = 2y.

y(O)

=O

13. Po r inspeção, determine uma so lução para a equação d ife rencial não- linear y' = y 3 q ue sati sfaça

y(O) = O. A so lu ção é ún ica? 14. Por inspeção, enco ntre uma so lu ção para o proble ma de va lor ini cial

li,

y' =ly -

=

y(O)

1.

Di ga por qu e as condições do Teorema 2. l não são satis fei tas para essa eq uação di fe rencial. Embora não possamos provar, a so lução para esse prob le ma de va lor inicial é única.

lS . Verifique qu e y = ex o:! uma solu ção para a eq uação di fe renc ial xy' = y para todo va lor do parâmetro e. Enco ntre pelo menos d uas so lu ções para o prob lem a de valor ini cial '

xy'

= y,

y(O)

= O.

O, X<

o

Observe que a função defini da por panes y = {

X,

satisfaz a condição y(O)

= O.

X~ Ü

Ela é uma so lução para o pro bl ema de valor ini cial?

16 . (a) Considere a equação di fe rencial

~ dx

= l + /.

Determine uma região do plano xy tal qu e a eq uação tenh a uma úni ca solução passando por um po nto (xo. Yo) da reg ião. (b) Formalme nte, mostre q ue y = tg x sati sfaz a eq uação dife rencial e a co ndição ini cial y(O) = O.

(e) Explique po r que y = tg x não é uma so lução para o pro bl ema de valor ini cial dv d; =l

+

o y-,

y(O)= O,

no intervalo (- 2, 2). (d) Ex pli q ue po r q ue y = tg x é uma so lução para o pro blema de va lor inic ia l da parte (c) no intervalo (- l , l ). Nos Pro blemas 17-20, verifi que se o Teorema 2. l garante uni cidade de so lução para a eq uação diferencial y' = ~. passando pelo ponto dado. 17. (l, 4)

18. (5, 3)

19. (2 , - 3)

20. (- l , l)


44

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume I

2.2

VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

Nota ao estudante: Na resolução para uma equação diferencial, você terá freqüentemente que utilizar, digamos, integração por partes, frações parciais ou possivelmente uma substituição. Será proveitoso gastar alguns minutos de seu tempo na revisão de algumas técnicas de integração.

Começamos nosso estudo da metodologi a de resolução de equações de primeira ordem com a mai s simples de todas as eq uações. Se g(x) é uma função cbntínua dada, então a equação de primeira ordem

Ex dx

= g(x)

(1)

pod• ser resolvida por integração. A solução para (1) é

y = ---------- --- - -

Jg(x) dx + e.

----

-

- - - - -- - - - -- -- -

EXEMPLO Resolva

(a) É1- = l +e 2x dx

e

(b)

~

= senx.

Solução Como ilustrado acima, ambas as equações podem ser reso lvidas por integração. (a) y =

J (1 +

(b) y =

J senxd.x =

e2x) dx = x

+ ~ e2x +

e

-cosx +e

A eq uação ( l), bem como seu método de resol ução, é apenas um caso especial do seguinte: DEFINIÇÃO 2.1

Equação Separável

Uma equação diferencial da forma ~ - g(x)

dx - h(y)

é chamada separável ou tem variáveis separáveis.

Observe que uma equação separável pode ser escrita como h(y)

~

= g(x) .

É imediato que (2) se reduz a (l) quando h(y) = 1. Agora, se y = j(x) denota uma solução para (2), temos

(2)


Vo/11111e I

Cap. 2

Equações dife rencia is de primeira o rdem

45

h (f(x))f(x) = g(x),

logo,

J Mas dy

h (f(x ) )f (x) dx =

J

+

g(x) dx

(3)

e.

= f(x) dx, ass im (3) é o mes mo qu e

J

h (y) dy =

J

(4)

+ e.

g(x) dx

Método de Sol ução A eq uação (4) indi ca o procedimento na reso lução para equ ações dife renciais separáve is. Uma fa míl ia a um parâmetro de so luções , em geral parada implic itame nte, é obtida integra nd o ambos os lados de h (y) dy = g(x) dx.

Nota pois,

Não há necess idade de usar du as co nstantes na integração de um a equ ação separáve l

J

h (y)dy

+

c1 =

Jh (y) dy = Jg(x ) dx +

J

+

g(x)dx

c2 -

c2

Jg(x ) dx +

c1 =

e,

em que e é co mpl etame nte arb itrári a. Em vári as instâncias, no decorrer dos capítu los seg uintes, não hes itare mos em indexar constantes de uma maneira que possa ser mais co nvenie nte para uma dada equação . Po r e xempl o, múltiplos de constantes o u combinações de co nstantes podem ser trocados por um a única co nstante.

EX EMPLO

2

Resolva

( 1 + x) dy - y dx = O.

Solução

Di vidindo por ( 1 + x)y, podemos escrever, dy/ y

dx/ ( 1

+

x) , da qual se seg ue que

f ~= f ~. )'

) +X

lnlyl = lnll + xl + c 1

y

e lnll +xl +c , elnll + xl X

li + xlé =' ±e'°'( 1

e c'

1•

+

li +xl = 1 +x, x 2:- I li +xl= - ( 1 +x) , x < -1

x)


46

'Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume I

Trocando± ec' por e , temos, y = c( l + x).

Solução Alternativa Como cada integral resulta em um logaritmo, uma escolha co nveniente para a constante de integração seria lnlcl em vez de e: lnlyl = lnl 1 + xl + lnlcl lnlyl = lnlc( l + x)I

ou

y = c( l + x)

assim,

Mesmo que as integrais indefinidas não sejam todas logarítmicas, ainda pode ser vantajoso usar lnl cl. Porém, nenhuma reg ra pode ser dada. •

E XEMPLO

3

Resolva o problema de valor inicial dy dx

Solução

X

y(4)

y

3.

De y dy = - x dx, obtemos

Jydy=-J xdx

e

f =-~

+c1.

Essa solução pode ser escrita como x 2 + y2 = c 2, trocando as constantes 2c 1 por c 2• A solução representa uma família de círculos concêntricos. Agora, quando x = 4, y = 3 temos 16 + 9 = 25 = c 2 . Logo, o problema de valor inicial determina x 2 + y2 = 25. Em vista do Teorema 2.1 , podemos concluir que este é o único • círculo da família que passa pelo ponto (4, 3). Veja a Figura 2.5. y

Figura 2.5


Volume I

EXEMP L O

Equações diferenciais de primeira ordem

47

4 xe - " sen x dx - y dy = O.

Resolva

Solução

Cap. 2

Depois de multiplicar por e", obtemos

x sen x dx = yeY dy. A integração por partes e m ambos os lados da equação res ulta em

-xcosx + senx =yeY -:_,..-eY +e.

EXEMPLO

5 xi dx + (y 2 + 2)e- 3x dy = O. ·

Resolva

Solução

• (5)

Multip licando a equação dada por e 3x e dividindo por y 4 , obtemos 1 y2 + 2 xe· x dx + - - - dy = O ou xe 3x dx + (y- 2 + 2y-~) dy = O.

y4

(6)

Usando integração por partes no primeiro termo, temos

_!_xe3x _ _!_e 3x _ y-1 3 9

-32 y -

3 = CJ .

A família a um parâmetro de soluções pode também ser escrita como 3

9 y

6 + e, y3

e x(3x - 1) = - + em que a constante 9c 1 foi trocada por e.

(7)

Doi s pontos devem se r mencionados neste instante. Primeiro, a menos que seja importante ou conveniente, não há neces sidade de tentar resolver y como função de x em uma expressão que representa uma família de soluções. A equação (7) mo stra que essa tarefa pode apresentar prob lemas que vão além da enfadonha manipulação de símbo los. Como eonseqüência, é freqüente o caso em que o intervalo no qual uma solução é vá lida não é aparente. Segundo, deve-se estar atento à separação de variável para ter certeza de que os divisores não são nulos. Uma solução constante pode facilmente ser esquecida no embaralhamento do processo de reso lução para o problema. No Exemplo 5, observe que y = O é uma so lução para (5), mas não pertence ao conjunto de soluções definido em (7).


48

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap. 2

Volume I

6

Resolva o problema de valor inicial !Í..2'.. = y 2 - 4, dx

Solução

y(O) = - 2.

Colocamos a eq uação na forma

_!/;L_ y2 - 4

= dx

(8)

e usamo s frações parciais no lado esquerdo. Temos

[ ---=i__ y+2 assim

Logo,

+

_J_ ] dy

= dx

y-2

(9)

1 1 -4lnly + 21+ 4lnly - 2l=x + c 1.

ln

1

y - 2 y + 2

1

= 4x

(10)

+ c2

y - 2 4 - - = cex y + 2 '

e

em que trocamos 4c 1 por c2 e éi por e. Finalmente, resolvendo y na última equação, obtemos 1 + ce 4 x y = 2---

1

(11)

ce 4x

A substituição x = O, y = - 2 acarreta o seguinte dilema

-2 - 1+ e

=1+

1+ e 2-1 - e

e ou - 1

=

1.

Examinaremos a equação diferencial mais cuidadosamenle. O fato é: a equação d}' dx = (y + 2)(y - 2)

é satisfeita por duas funções constantes, a saber, y = - 2 e y = 2. Inspecionando as equações (8), (9) e (10), vemos que as soluções y = - 2 e y = 2 não foram consideradas (pois anulariam o denominador). Mas é interessa nte observar que a solução y = 2 pode ser subseqüentemente recuperada fazendo e = O em ( 11 ). Porém nenhum valor de e nos dará a solução y = - 2. Esta última função constante é a única solução para o problema de valor inicial. Veja a Figura 2.6 . •


Volume 1

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

49

Se, no Exemplo 6, tivéssemos usado lnlcl como a constante de integração, então a expressão da família a um parâmetro de soluções seria e

+

e4x

y = 2- - - . e -

(12)

e4x

y

Figura 2.6 X

Note que ( 12) se reduz a y = - 2 quando e = O, mas agora nenhum valor de e nos dará a solução constante y = 2. Quando uma solução para um problema de valor inicial pode ser obtida escolhendo um parâmetro particular em uma família a um parâmetro de soluções para uma eq uação diferen cial de primeira ordem, os estudantes (e os professores) naturalmente se contentam com isso. Na Seção 2.1, vimos porém que uma solu ção para um prob lema de va lor inicial pode não ser única. Por exemplo, o problema !!:1.

dx

= xyt 12 '

y (O) = O'

(13)

possui pelo menos duas soluções, a saber, y = O e y = x 4 /16 . Estamos agora em posição de reso lver a equação. Separando as variáveis

e integrando temos

2y 11 2 =

~

+

C1

OU

y = (

~2

+

C

r

Quando x = O, y = O, então necessariamente e = O. Logo, y = x 4 / 16. A solução y = O foi desconsiderada quando dividimos por y 112 . Ainda, o problema de valor inicial (13) possui infinitas soluções, pois, para cada escolha do parâmetro a <': O, a função definida por partes X

< a

X<': a


50

Equações Diferencia is

Cap. 2

Volume /

sati sfaz o pro blema de va lor ini cia l. Vej a a Figura 2.7 y

a>O /

I

I 1 I

(O, O)

I 1

Figura 2. 7

I X

Nota Vimos em algun s exe mpl os que a co nstante na fa míli a a um parâ me tro de so luções para uma equação difere nc ia l de prime ira orde m pode ser trocada quand o co nve ni e nte. També m, pode fa c ilm enl e aco nt ece r qu e du as manei ras di stintas de reso lução levem a respos tas difere nt es. Po r exe mplo, por separação de va ri áve is, pode mos mos trar que arc tgx + arc lgy = e o u arc tgx + arctgy = arctgc ou

~ l - xy

= e.

são famíli as a um parâmetro de so lu ções para ( l +y2 ) dx + ( l + x 2 ) dy = O. Q uando você es ti ve r es tuda nd o as próx im as seções, tenh a e m mente o fa to de que fa mílias de so luções podem ser eq ui va lentes no seg uint e sentido: uma fa míli a pode ser ob tida de outra po r uma troca de constante ou po r manipul ação al gébrica e tri go no métri ca.

EXERCÍCIOS

2 .2

1

0

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 44 l.

Nos Probl emas 1-40, reso lva a equação di fe rencial dada por separação de variáve l. l.

t!:1 = sen dx

5x

2.

~~

= (x + l )2

=O

3. dx + e 3x dy =O

4. dx - x2 dy

.1- = x + 6 5. (x + l ) !'dx

6

7. xy' =4y

8 t!z+2xy= O

dy

9· dx =

y)

J

dx 2 2 11. --~ dy -

[ +X

·

e"'!'.1-=2x dx

· dx

lQ. t!x dx -- ~ X

12.

dx = l + 2y2 ,dy y sen x


Volume 1

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

51

-dy =e l< + 2r. dx

y2

15. (4y + yx 2 ) dy = (2x + x/) dx = O

16. ( l + x 2 +

17 . 2y(x+ · l)dy=xdx

18. x 2_r2 dy = (y + l) dx

dx

19. y ln x dy =

(y+

- x-

l )

2

2

dy = ( 2y + 3 ) 20 · dx 4x + 5

dS = kS 2 1. dr 23.

+ x 2/)dy = / dx

22. !!_Q = k(Q - 70) dl

dP = p _ p 2 dl

24. dN + N = Nte 1 + dt

2

25. scc2x dy + cosec y dx = O

26. se n 3x dx + 2y cos3 3x dy = O

27. e-' sen 2x dx + cosx(e 2>' - y) dy = O

28. secxdy = xcotgydx

= (l

30. I dy X dx

+

x2) - 112( 1

+

/ J 112

32. 7 dy - .!. - 2x - dx y - y 33 .

t!.1. _ xy

+ 3x - y - 3 dx - xy - 2r + 4y - 8

t!.1.

34 _

?

x"1'!7 dx = dy

39

(e x

·

+

e - x)

dy = dx

+ 2y - X - 2 dx - xy - 3y + x - 3

36. sec y

35 . dx = sen x(cos 2y - coS-y)

37.

t!.1. _ X)'

1; + sen(x -

38. y(4 -

)'2

40. (x

X 2)

y) = sen(x + y)

1/ 2 dy = ( 4

+ -&') t!.1.

= y

dx

+

+ y-' ) 112 dx

-.Jv·

Nos Proble mas 41 -48 , resolva a equação diferencial dada suje ita à condição ini c ial indicada. 41. (e - y + l) sen xdx

= (l

+ cosx)dy,

42. (l + x~)dy + x( l + 4/) dx = O, y(l) = O

y( O) =O

43. y dy = 4x(y2

45.

~ = 4(x 2 +

+ l) 112 dx, y(O) = [),

X (

~) =

[

47. x 2y' = y - xy, y(- l) = - l

44.

t!.1.

46.

dy = l dx ·x 2 - L

dt

+ Iy = )' y( l) = 3 '

l -

y(2) = 2

48. y' + 2y = 1, y(O) = 1_ 2


52

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume l

Nos Problemas 49 e 50, encontre uma solução pa ra a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.

49 ~ - y 2 · dx

= -9 (b) (O, 3)

(a) (O, O)

50.

X

!!2.. dx

= y

2

- y

(a) (O, 1)

{b) (O. O)

(e) (

±. ±)

SI. Encontre uma solução sing ular para a equação do Problema 37. 52. Encontre uma so lução singular para a equação do Problema 39. A uma pequena mudan ça (perturbação) na condição inicial ou na própria equação, freqüe nt e mente corresponde uma mudança radical na solução para uma equação difere ncial. Nos Probl e mas 53-56, compare as soluções dos problemas de valor inicial dado s. 53.

~ dx

!!.l = (y

ss. dx

!!.l

= (y - 1) 2, y(O) = ?

- l t + 0,01. y(O)

54. dx = (y -

=

56.

dv d; = (y

-

?

l t, y(O) = 1.0 1 ?

l t - 0,01, y(O)

=

Uma equação diferencial da forma dy/ dx = fiax + by + e), b -.: O, pode sempre ser reduzida a uma eq uação co m variáveis separáve is por meio da substi tuição u = ax + by + e. Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.

57. dy = (x + y + 1)2 dx 59.

!!.l dx

= tg2 (x + y)

61. dv = 2 + ..fy _ 2x + 3 dx

2.3

58. 60.

!!.l dx

~

=

-x - y X

+ y

= sen(x + y)

dy 62. dx = 1 + e)'

- X+ 5

EQUAÇÕES HOMOGÉNEAS

Antes de considerar o conceito de equação diferencial homogênea de primeira ordem e seu método de solução, precisamos primeiro examinar de perto a natureza de uma função homogênea. Começamos com a definição deste conceito.


Volume l

DEFINIÇÃO 2.2

Cop. 2

Equoções diferenciais de primeira ordem

53

Função Homogênea

Se uma função f sati sfaz

f(tx,

ty)

= t''.f(x,

y)

(1)

para algum número real n, então dizemos que fé uma função homogênea de grau n.

EXEMPLO (a)

fix.

y)

= x2

si

3xy +

-

fi 1x. 1y) = (1x) 2 - 3(1x)(1y)

+

5(1y) 2

A função e! homogênea de grau doi s. (b)

fix, y) =

~x2 + y2

A função é homogênea de grau 2/3. (e)

fix. y) = x 3

+

f!

fi 1x, ty) = 13

y3 +

+ l 13y 3

+ l

°f'

13fix, y)

pois 13./(x, y) = 13x 3 + 13y3 + 13. A função não é homogênea . (d)

fix. y)

= -7X

-Y

fi1x, ly) = _!!._ 21y

+ 4

+4

= 2:.. 2y

+4

= 1ºflx, y)

A função é homogênea de grau zero.

Como as partes (c) e (d) do Exemplo 1 mostram , um a constante adic ionada à função destrói a homogeneidade, a menos que a função seja homogênea de grau zero. Ainda, muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada termo.


54

Equações Diferencia is

EXEMPLO

Cap. 2

Volume 1

2

r (""g;,1\1 3} 4 grau

(a) f(x,y) =

dx/-x('/ grau

2}

2

.

g1au

,

gr.lU-t

A fun ção é homogênea de grau quatro. (. grau

2

(b) f(x,y) = x'-y.

~graus dif..:r..:ntt:~

g.mu [ .,.

A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes.

n

Sef(x, y) for uma função homogénea de grau f(x. y) = x''.f(' •

11,

note que poderemos escrever

e f(x. y) =

y"lU. ,J

(2)

em que f( 1, yl x) e f(xly, 1) são ambas homo géneas de grau zero.

EXEMPLO

3

y2 é homogénea de grau dois.

Vemos que/(x, y) = x 2 + 3xy + f(x, y) =

f(x, y)

x2 [ 1 + 3 (: ) + (:

= y2 [

UJ

+ 3(

~) +

JJ = l]

Logo,

x 2f ( 1, : )

= if

U•

l}

Uma equação diferencial homogénea de primeira ordem é definida cm termos das funções homogéneas. DEFINIÇÃO 2.3

Equação Homogênea

Uma equação diferencial da fonna

M(x, y)dx

+ N(x, y)dy =O

(3)

é chamada de homogênea se ambos os coeficientes Me N são funções homogêneas do mesmo grau .

Em outras palavras, M(x, y) d.x + N(x, y) dy = O é homogênea se M(tx, ty)

= t"M(x,

y) e N(tx, ty)

= t"N(x,

y).


Volume 1

Cap. 2

Equarões diferencia is de primeira ordem

55

Método de Solução Uma equ ação diferenc ial homogênea M(x, y) dx + N(x, y) dy = O pode ser resolvida por meio de uma substituição al gé brica . Especificamente, a s ub stitui ção y = ttx ou x = vy, em que tt e v são as nov as va ri áve is independe ntes, transformará a equação em uma equação diferencial de primeira ordem separá vel. Para ver isso, seja y = ttx; e ntão, sua diferencial dy = u dx + x dtt. Substituind o em (3), temos

M(x, ux)dx + N(x. ux)[ucfr + xdtt ] = O. Agora , pe la propriedade de homogeneid ade dada em (2), pode mos escrever

x"M( l , u) dx + x"N( l , u)[u dx + xdu] = O [M(l, u) + uN(l, u) ]dx + xN( l, u)du = O,

ou

dx

-

ass im,

x

+

N(l. u) du

--~-~---

M(l, u)

+ uN(I , 11)

= O.

A fórmu la acima não deve ser memorizada. O melhor é repetir o processo semp re que for necessário. A prov a que a su bstitui ção x = vy em (3) tam bém leva a um a equação se paráv.e l é deixada co mo exercíc io. Veja o Problema 45.

EXEMPLO Reso lva

4 (x 2 +

y2) dx +

(x 2 - xy) dy = O.

Solução Tanto M(x, y) quanto N(x, y) são homogêneas de grau dois. Se fi zermos y = ux, segue-se que (x 2 + u 2x 2 ) dx + (x 2 -

tix 2 )[

x 2( 1 + u )ll\: +

u dx + xdu] =O

x\ r-

u)du =O

1 - u dx - - du +-=O 1+ U X [ - 1

+ -2- ] du + -dx =O · X 1+ U

Depois de integrar a última linha, obtemos

- u + 2 lnl l + ui+ lnlxl = lnlcl -: + 2 lnl 1 + ;

1

+ lnlxl = lnlcl.


56

Equações Diferen cia is

Cap. 2

Volume I

Usando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a solução precedente como

lnl ;/)2 1 (x

= ;.

A definição de um logaritmo implica

(x + y)2 = cxe vl x

EXEMPLO

5 (2 {ry

Resolva

-

y) dx - x dy = O.

Solução Os coeficientes M(x, y) e N(x, y) são homogêneos de grau um. Se y

ux, a equação

diferencial torna-se, depois de simplificada,

du

2 - 2u. l / 2

+ d.x = O. X

A integral do primeiro termo pode ser calculada substituindo t

+ dx =O.

dt l -

u 112. O resultado é,

)

X

Integrando, temos lnlt - 11 + lnlxl = lnlcl

ln 1

~

-

lnlcl

1 1 + lnlxl

-!;;: -

X

=

C.

~

t = u 112 e u = y/x

1

Você poderia perguntar agora: quando a substituição x = vy deve ser usada? Embora ela possa ser usada em qualquer equação diferencial homogênea, na prática tentamos x = vy quando a função M(x, y) é mais simples que N(x, y). Para reso lver (x 2+y2) dx + (x 2 - xy) dy = O, por exemplo, sabemos que não há diferença significativa entre Me N; logo, y = ux ou x = vy pode ser usada. Também pode acontecer que, depoi s de fazer uma substituição, encontremos integrais que são difíceis ou impossíveis de serem calculadas; uma outra substituição pode resultar em problemas mais fáceis .


Volume J

EX EMPLO

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

57

6

2.x 3y dx + (x 4 + y4l dy = O.

Resolva

Solução Cada coeficiente é uma função homogênea de grau quatro. Como o coeficiente de dx é um pouco mais simples que o coeficiente de dy, tentamos x = vy. Depois de substituir, simp lificamos a equação 2v\ 4 fv dy + y dv] + (v 4y4 + y 4 ) dy 2v 3 dv

para

=O

+ <!1.. = O. Y

3v 4 + l

A integração acarreta

i em que e

ln(3v 4 + 1) + lnlyl = lnlc 11 ou 3.r4y2 +

e,

= e?. Se a sub stituição y = ux tivesse sido usada, então dx

-

X

equ~ão.

y6

+

u. 4

_

Ll )

+ 1

+ 3u.

du =O.

Você deve pensar agora em como calcular a integral do seg undo tenno da última • Uma equação diferencial homogênea pode sempre ser expressa na forma alternativa

dy = dx

p(l)· X

Para ver isso , supon ha que escrevamos a equação M(x, y) dx + N(x, y) dy = O como dy/dx = f(x, y), em que f(x, y) = _ M(x, y). N(x, y)

A função f(x, y) deve ser necessariamente homogênea de grau zero quando Me N são homogêneas de grau n. De (2), segue-se que x"M(

1,;) M( 1,;)

f(x, y)

xnN( L,

n

N ( L, ; )


58

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume 1

A última razão é uma função da forma F(ylx). Deixamos como exercício a demonstração de que uma equação diferencial homogênea pode também ser escrita como dyl dx = G(x/ y). Veja o Prob lema 4 7.

EXEMPLO

7

Resolva o problema de valor inicial x

Solução

rf1.. = y +

xeyl x.

dx

y( 1) = 1.

Escrevendo a equação na forma

dy = ,)'_ + xeYlx <ÍX

X

'

vemos que a função da direita da igualdade é homogênea de grau zero. Pela forma dessa função, somos induzidos a usar u = y/x. Depois de derivar y ux pela regra do produto e subst ituir, obtemos

u + x du dx

=u

+ e" ou e- "du

= dx · X

Integrando e substituindo u = y/x, temo s

-e- "+ e= lnlxl +e= lnlxl.

-e - yl x

Como y = 1 quando x de valor inicial é

=

1, temos - e- 1 + e

e-

2.3

1 -

= O ou c = e- 1• Logo, a solução para o problema

e - yl x = lnlxl.

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 442. Nos Prob lemas l-10, determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso. 1. x3 + /

xy-xy

·

(x + 8y)2

3

3

2xy2 -

y4/x

2.

..Jx

+ y(4x + 3y)

y2

+ --.fx4 + y4

2 2

4.

X


\lolum e 1

Cap. 2

x2

Eq11af;ões diferenciais d e prim eira o rdem

X

5. cos-x + y

6. sen - -

7. ln x 2

8.

X

2 ln y

-

59

+ )'

ln x 3

--3

ln y 10. (x

+ y + 1)2

Nos Problemas 11-30. resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apro priada. ll. (x - y) dx + x dy = O

13.

X

12. (x + y) dx + x dy = O

dx + ( y - 2x) dy = Ü

14. ydx = 2(x + y)dy

15. e/+ yx)dx - x 2dy =o 17.

gy_

16. ci

= )' - X y +X

dx

18.

19. - y dx + (x +

{ry°) dy = O

20.

2 l. 2x 2y dx = (3x 3 + y 3 ) dy 23.

dx

24.

dx - Wy 25. y - =X+ 4ye dy

27. ()' ,+

cotg~ )dx -

29. (x 2 + xy -

y2) dx

tj1._ = dx X

+ 3y 3x + y

X

~ c/x - y = ~ [ + )'-

22. (x 4 + /)dx - 2x 1y dy = O

= )'_ + ~ X )'

gy_

+ yx)dx + x 2dy = o

!!.r dx

=

)'_ X

x2

+-

y2 +

26. (x 2e-yl x + /) dx = xy dy

gy_

= )'_ ln l

xdy =O

28.

- xy dy = O

30. (x 2 + xy - 3/)dx - (x 2 + 2ry )dy =O

dx

X

X

Nos Probl emas 3 l -44 , resolva a equação diferencial dada suje ita à co ndi ção ini cial indi cada. 2!!.r 3 3 3 l. xr d X = y - x, y( I) = 2 • ?

gy_

32. (x 2 + 2/ ) dx = xy dy, y( - 1) =

?

33. 2, - dx = 3xy + y-, y( I) = -2

34. xydx - x 2dy = y.,,// + / dy. y(O) =

35. (x + yey/ x ) dx - xey/x dy = O, y( l ) = o

36. y dx + (ycosf - x )dy = O, y(O) = 2

37. cl + 3xy) dx = (4x 2 + xy) dy, y(l) = 1

38.

39. (x+

&xy)dx+x-y=x !!:1. -l/2 312 y,

y(I)= 1

41. / dx + (x 2 + xy + /) dy = O, y(O) = l

y3 dx

= 2x 3dy - 2x 2y dx, y( l) =

f2

40. ydx + x(lnx - ln y - l)dy =O, y( l) = e 42.

(-./x + 1;)2dx

=

X

dy, y( l) = o


60

Equações Diferenciais

43. (x +

-V/ -

xy) dy = dx

Cap. 2

y. y(-'-2 )

Volume 1

dy }" .- dx X

= 1

44. -

= cos h -XV ,

y( 1)

=O

45. Suponha que M(x. y) dx + N(x, y) dy = O seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x = vy transforma a eq uação em uma com variáveis separáveis. 46. Suponha que M(x, y) dx + N(x, y) dy = O seja uma equação homogê nca. Mostre que a substituição x = r cos 8, y = r scn 8 leva a uma eq uação separáve l. 47. Suponha que M(x. y)dx + N(x, y)dy =O seja uma equação homogênca. Mostre que a equação pode ser escrita na form a alternativa dyl clr = G(x. y). 48. Sejaf(x, y) uma fun ção homogênea de grau

n.

Mo stre que

af af x - + y - = nf ax ay

2.4

EQUAÇÕES EXATAS

Embora a equação

ydx +X dy = Ü seja separável e homogên ea, podemos ver que e la é também equivalente à diferencial do produto de x e y; isto é

ydx + x dy = d(xy) =O. Por integração, obtemos imediatamente a so lução implícita xy = e. Você deve se lembrar do cálculo que, se z = J(x, y) é uma função com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano xy, então sua diferencial total é

af

(1)

af af - d x + -dy =O. ax . ay

(2)

ax

Agora, se f(x, y)

af

+ - dy ay

dz = - d x

e, segue-se de ( 1) que

Em outras palavras, dada uma família de curvas f(x, y) = e podemos gerar uma equação diferencial de primeira ordem, ca lculando a diferencial total.

EXEMPLO

1

Se x 2 - 5xy + y 3 = e, então por (2)


Volume l

(2x - Sy)dx

+

(-Sx

Cap. 2

Equa ções diferenc iais de primeira ordem

+ 3y 2 )dy =O ou

61

dy = Sy - 2x dx - Sx + 3y 2 ·

Para no ssos propósitos, é mai s impo rt ante inve rter o problem a, is to é, dada um a equação como

!!1_ dx

Sy - 2x

+ 3y 2

- Sx

(3)

podemos ide ntifi ca r a eq uação co mo. sendo equiv a le nte a o d(x- - Sxy

+

' yº) = O? ·

Note q ue a equação (3) não é sepa ráve l nem ho mogênea.

DEFINIÇÃO 2.4

Equação Exata

Uma expressão diferenci al M (x, y)dx + N(x. y)dy

é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma funçãoflx, y). Uma equação diferenc ial da forma M(x, y)dx + N(x, y) dy =O é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.

EXEMPLO

2

A equação x 2y 3dx + x 3y 2 dy = O é exata, pois

d{}x3y3) =ix2y3 dx + x3y2 dy .

O teorema seguinte é um tes te para um a diferenc ial exata.

TEOREMA 2.2

Critério para uma Dife.rencial Exata

.Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivada~ parciais contínuas em uma região reiangular R definida por a < x < b, e < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que M(x, y)dx

+ N(x, y)dy

seja uma diferencial exata é iJM iJy

iJN iJ X

(4)


62

Equações Dife renciais

Cap. 2

Volume I

Prova de que a Cond ição é Necessári a

Para simpli ficar, supon ha qu e

M (x, y) e N(x, y) tenh am deri vadas parciais de primeira ord em co ntínu as em todo pl ano (x, y). Agora , se a ex pressão M (x, y) dx + N (x, y) dy é exa ta, existe algum a fun ção f tal que M (x, y)dx

af

+ N(x, y)dy = -

ax dx

af

+ -dy

ay

para todo (x, y) cm R . Logo , M(x, y) = af

aX

e

N (x, y)

=ti aY

ªª~ :y(:~)= ª:.Yx =:x(:~)= ~~· =

A igualdade das derivadas parc iais mistas é uma co nseqü ência da co ntinui dade das deri vadas O parciais de primeira ord em de M (x, y ) e N(x, y). A prova de que a co nd ição do Teo rema 2.2 é sufic iente co nsiste em mostrar que ex iste uma fun ção f tal qu e ajla x = M (x, y) e apa x = N(x. y). A co nstru ção de ta l fu nção na verdade re fl ete um procedimento bás ico na resolução para equ ações exa tas.

Método de Solução Dada a equ ação M (x, y) dx

+

N (x, y ) dy = O

(5)

mostre primeiro qu e

ay

ax

Depois suponh a que

af

a

X

= M (x, y )

daí podemos encontrar f integrando M (x, y) com re lação a x, co nsidera ndo y constante . Escrevemos, j(x , y) =

J M (x,

y) dx

+

g(y ),

(6)

em que a funç ão arbitrária g ( y ) é a constante de integração. Agora, deri vando (6) com relação a y e supondo a jla y = N(x, y ):

a f = ay a J M (x, y) dx + g,(y ) = N(x , y ). ay


Volum e /

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

ay ª I M(x,

,

Assim,

g (y) = N(x. y) -

y) dx.

63

(7)

Finalmente, integre (7) co m relação a y e substitua o resultado em (6). A solução para a eq uação éf(x, y) = e.

Nota

Algumas observações são necessárias. Primeira, é importante perceber que a expressão y) J M(x, y) dx em (7) indepe ndc de X, pois

N(x, y) -

ca /()

: x [ N(x, y) - : y

f

M(x, y) dx] =

~~ -

: y (:x

=~ _ a

ax

f

M(x, y) dx)

M = O.

ay

Segunda , poderíamos també m co meça r o proced ime nt o ac ima com a s upos ição de que af / a y = N(x, y). Depois, integrando N com relação a y e deriv ando o resu ltado, enco ntramos o análogo de (6) e (7), qu e seria, respec tiv amente, f(x, y)

= J N(x,

y) dy

+ h(x) e h'(x)

= M(x,

y) - : x

J N(x,

y)dy .

Em qua lquer caso, nenhuma dessas fórmula s deve ser memorizada. Ainda, para verificar se uma equação é exata ou não, asseg ure-se de que ela seja da forma (5). Freqüentemente, uma eq uação diferencial é esc rita na forma G(x, y) d.x = H(x, y) dy. Neste caso, escreva a equ ação na forma G(x, y)dx - H (x, y)dy =O e aí id e ntifique M(x, y) = G(x, y) e N(x, y) = - H(x, y) .

- - - - - - - - - - - - - - - -- - - -· - - - - - EXEMPLO Resolva

Solução

3 2xydx

+ (x 2

-

l)dy =O.

Co m M(x, y) = 2xy e N(x, y) = x 2 - l , temos

aM aY

aN

2x = -

ax

Logo, a equ ação é exata e, pelo Teorema 2.2, ex iste uma fun ção f(x, y ), tal que

-aaJx = 2xy

af ay = x-

e -

?

- 1.

Da primeira dessas equações, obtemos, depoi s de integrar, f(x, y) = x 2y

+ g(y).


64

Cap. 2

Equações Diferenciais

Volume I

Derivando a última expressão com relação a y e igualando o resultado a N(x, y), temos

af = aJ

2 X

,

+ g (y)

= X-?

-

l.

g'(y) = - 1 e g(y) = - y .

Segue-se que

A constante de integração não precisa ser incluída, pois a solução éf(x, y ) = e. Algumas curvas da família x 2y - y = e são mostradas na Figura 2.8.

Figura 2.8

Nota A solução para a equação não éf(x, y) = x 2y - y. Antes, a solução éf(x, y) = e ou fl.x, y) = O, se uma constante é usada na integração de g'(y). Observe que a equação poderia • também ser resolvida por separação de variáveis.

EXEMPLO Resolva

4 (e 2>' - ycos xy)dx

+ (2xe 2Y - xcosxy + 2y)dy =O.

Solução A equação não é nem separável nem homogênea, mas exata, pois

.+

aM

- - = 2e 21

ay

aN

xysenxy -cosxy = - - .

ax

Logo, existe uma funçãof{x, y) tal que M(x, y) =

haf

e N(x, y) =

af a-y·

Agora, para variar, começaremos supondo a j/a y = N(x, y);

af ay

isto é,

-

f(x, y)

= 2xe 2Y - xcosxy

= 2x J e 2Ydy-xJ

+ 2y

cosxydy

+ 2.

J ydy.


Volume 1

Cap. 2

Equações dife renciais de p rimeira ordem

65

1

Lemb re-se : a razão de podermos tirar o x de frente do símbo lo de integral é que , na integração em re lação a y, x é co nsiderado co mo uma co nstante. Seg ue-se que fl.x, y) = xe 2Y - se n xy + y 2 + h(x)

af · e 2"· - ycosxy + h'(x ) =e-· ?,. - ycosxy, a-;= ass im

=O

h'(x)

e h(x)

= e.

Logo, uma fam ília a um parâmetro de soluções é dada por xe 2Y - sen xy + y 2 + e

---------EXEMPLO 5

=

O.

--- -------

Resolva o prob lema de valor inicial (cosx sen x- xy2)d.x + y(l - x 2 ) dy =O, y(O) = 2.

Solução

A equ ação é exata, pois

aM

aN

-=-2xy=-· ay ax

af =y( I - x2)

Agora,

ay

y2 f(x, y) = 2( 1 - x 2 ) + h(x )

af

a-;= - xy

2

+ h'(x) = cosx sen x - xy 2.

A última equ ação implica h'(x ) = cosx sen x h(x) = -

Logo, ou

)'2

2

J (cosx)(-sen x dx) (1 -

1

2 X

) -

2 COS

=

- ~cos2x.

2 X= C J


66

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume J

em que 2c 1 foi trocado por e . A condição inicial y = 2 quando x = O demanda que 4(1) - cos2(0) = e, ou seja, e = 3. Portanto, a so lução para o problema é

• Fator de Integração Algumas vezes, é possível converter uma equação diferenci al não exata em uma equação exata multiplicando-a por uma função µ(x, y) chamada fator de integração. Porém, a equação exala resultante µM(x , y) dx + µN(x. y) dy = O

pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou gan hos de soluções.

EXEMPLO Resolva

6

1 (x + y) dx + x ln x dy = O, usando µ(x, y) = - em (O, oo). X

Solução Sejam M(x, y) =X+ y e N(x, y) =X lnx. Daí, a Mia y = l e aN /ax = 1 + lnx. A equação não é exata. Porém, se multiplicarmos a equação por µ(x, y) = l lx, obtemos

(1

+ ;)dx + lnxdy =O.

Segue-se desta última forma que escrevemos as identificações: M(x, y) = 1

+ l, N(x, y) = lnx, a M = - = a N · ay

X

X

ax

Portanto, a segunda equação diferencial é exata . Logo, af -ax =1+

V L

X

= M(x,

y)

f(x, y) = x + ylnx + g(y) af

-ay = 0 + assim

,

lnx + g (y)

= ln x

g'(y) = O e g(y) = e.

Então,/(x, y) = x + y ln x + e. Verifica-se facilmen te que x+ylnx+c=O

é uma solução para ambas as equações em (0, oo).


Vo lume 1

Cap. 2

Equações difere ncia is de primeira ordem

67

EXERCÍCIOS

2.4

As respostas dos exercícios selecionados etão na página 442 e 443. Nos Probl emas 1-24, verifiqu e se a equ ação dada é exata. Se fo r, reso lva. 1. (2x- l )dx+(3y+7) dy= O

2. (2r - y) dx - (x + 6y) dy = O

3. (5x + 4y) dx +(4x - 8y3) dy = O

4. (sen y - ysen x) dx + (cosx + xcosy

=o

- y)dy

5. (2/x - 3)dx + (2yx 2 + 4 )dy =O

6. (2y -

.!.x + cos3x)rjy_ + L dx x1

- 4x 3

+ 3y sen 3x = O 7. (x 9.

+ y )(x - y)dx +

x(x - 2y) dy =O

8. (1 + ln x + ; }/x=( l - ln x)dy

ci -

10. (x 3 + /) dx + 3x/dy = O

/sen x - x)dx + (3x/ +2ycosx)dy=O

11. (y ln y - e-xy)dx +

(~

+x ln y )dy = O

2r x2 12. -)' dx - 2 dy =

O

)'

13.

X

dy dx

= 2xe

15. ( l -

~+

X

- y +

6 2

14. (3x 2y + eY) dx + (x 3 + xe» - 2y) dy = O

X

y )dx + ( l -

~

+

X

)dy = Ü

16. (eY + 2xy cosh x )y' + xy 2 senh x

+ /cos h x =O 23

17. (X y

l

dx )? - - - -) - + X y- = Ü 1 + 9x 2 dy

18. (5y - 2x)y' - 2y

19. (tg x - sen x sc n y) dx + cos x cos y dy = O

21. ( l - 2x

2

dy 3 - 2y) dx = 4x + 4xy

=O

20. (3xcos3x+se n 3x-3)dx + (2y+5 ) dy =O 22. (2ysen xcosx - y + 2/ex/ )dx

= (x 23. (4x\·- l 5x 2 - y)dx + (x 4 +3/-x)dy = O

24.

' dy - sen2x - 4xyexy-)

(.!.x + J_ _ _ l ' _ )dx + (ye» + - x-)dy = O x2 x 2 + / x 2 + y2

Nos Proble mas 25-30, resolva a equação diferencial dada suje ita à condição inicial indi cada. 25. (x + y )2 dx + (2xy + x 2 - 1) dy

27. (4y

+ 2x -

5) dx

= Ü, y(- 1)=2

+

(6y

= O,

+ 4x -

y( 1)

1) dy

=1

26. (ex+y ) dx + (2 + x + yeY) dy = O, y(O) = 28. ( 3/

- x

y5

2

)rjy_ +~= O, dx

2y4

y( l ) = 1


68

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume 1

29. (/cosx - )x 2y - 2x)dx + (2ysenx - x 3

30. ( - -1-2 [ + y

2xy)~ddX = y(y

+ cosx -

+ sen x), y(O) = l

+ lny)dy =O, y(O) =e

Nos Problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.

31. (y 3 +

kx/ - 2x) dx

=O

+ (3x/ + 20x 2y3) dy

32. (2x - y sen xy + ky 4 ) dx - (20xy3

+ x scn xy) dy = O 33. (2xy 2 + yex) dx + (2x 2y ·+ kex -

l) dy = O

34. (6xy 3 + cosy)dx + (kx 2/

-

xscn y)dy =O

35. Determine uma função M(x, y) para que a seguinte equação diferencial seja exata:

M(x, y) dx + ( xe xy + 2xy + :;:1 ) dy

= O.

36. Determine uma função N(x, y) para que a seguinte equação diferencial seja exata:

(

+

yl l \-1 12

~)dx X

+ N(x, y)dy =O.

+ y

Nos Problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verifica ndo que a função indicada µ(x, y) seja um fator de integração . 37. 6xy dx + (4y + 9x 2) dy =O, µ(x, y)

= y2

39. ( - xysenx + 2ycosx)dx + 2rcosxdy

= O,

µ(x, y)

= xy

38. -/dx+(x 2 +xy)dy =O, µ(x, y) = l lx 2y

40. y(x + y + l) dx + (x + 2y)dy = O, µ(x, y) = ex

41. (2/ + 3x) dx + 2xy dy = O,

µ(x, y) = x

42. (x 2 + 2xy - /) dx + (y 2 + 2xy - x 2) dy = o, µ(x, y) = (x

+

y)- 2

43. Mostre que qualquer equação diferencial separável de primeira ordem na forma h(y) dy - g(x) dx = O é também exata.

2.5

EQUAÇÕES LINEARES

No Capítu lo 1, definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como, a 11(x)

~ dx"

+ an _ 1(x) ~ + ... + a1(x) ~ d + ao(x)y dx"-1

X

= g(x).

Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando n = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem.


Volume I

DEFINIÇÃO 2.5

Cap. 2

Equações diferenciais de prime ira ordem

69

Equação Linear

Uma equação diferencial da forma a 1(x)

* +

ao(x)y = g(x)

é chamada de equação linear.

Dividindo pelo coeficiente

7x +

a, (x), obtemos uma forma mais útil de uma: equação linear: (1)

P(x)y = ft..x) .

Procuramo s uma so lução para ( l ) em um intervalo l no qual as funçõ es P(x) ef(x) são co ntínu as . Na discussão a seg uir, supomo s tac itamente que ( l) poss ui uma solução.

Fator de Integração Usando diferenciais, podemos escrever a equação (1) como dy

+

[P(x)y - ftx)] d.x = O

(2)

Equações lineares possuem a agradável propriedade através da qual podemos sempre encontrar uma função µ(x) em que ~t(x) dy

+

µ(x) [P(x)y - ft..x)] dx = O

(3)

é uma equação diferencial exata. Pelo Teorema 2.2, o lado esquerdo da equação (3) é uma diferencial exata se

a µ(x) a; ou

=

a µ(x)[P(x)y ay

- ftx)]

(4)

dx = µP(x).

Esta é uma equação separável em que podemos determinar µ(x ). Temos dµ = P(x ) d.x µ

assim

lnlµl =

JP(x) dx

(5)

µ(x) =

ef P(x) d.x.

(6)


70

Eq11aç·ões Diferenciais

Cap. 2

Volume I

A fun ção µ(x) definida em (6) é um fator de integração para a equação lin ear. Note que não precisamos usar uma co nstante de integração em (5), poi s (3) não se altera se a multiplicarmos por uma constante. Ainda, µ(x) ~ O para todo x em /. e é contínua e diferenciável.

É interessante observar que a eq uação (3) é ainda uma eq uação diferencial exata mesmo quando fi.x) = O. Na verdade, fi.x) não dese mpenha papel algum na determinação de µ(x), pois vemos de (4) que (a la y)µ (x)flx) =O. Logo, ambas

ef P(x)dxdy + ef P(i)d'[P(x)y

-f(x)Jdx

e são diferenciais exalas. Agora, esc rev emos (3) na forma

ef l'(x)dxdy + ef l'(l)dxp(x)ydx = ef l'(t)dxf(x)dx e verificamos que podemos esc revê- la como d

1ef P(x)d.\ ·]

ef

f'lr)thf(x) dx.

Integrando a ú ltim a equação. temos

ef ou

y =

P(x)

"'y

=

Jef

/'(t)

"'J(x) dx +

e

e-JP(x)dx J ef P(x)d'J(x)dx + ce-JP(.1)tü

(7)

Em outras palavras, se ( 1) tiver uma solução, ela deverá ser da forma (7). Reciprocamente, é imediato que (7) constitui uma família a um parâmetro de soluções para a equação ( 1).

Resumo do Método Nenhum esforço deve ser feito para memorizar a fórmula dada cm (7). O procedimento deve ser repetido sempre, logo, por conveniência, resumimos os res ultados.

(i)

Resolvendo uma Equação Linear de Primeira Ordem Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma ( 1); isto é, faça o coeficiente de dy/ dxümçidyçi ç"

(ii)

Identifique P(x) e encontre o fator de integração

(iii)

P(x)dx_ Multiplique a equação obtida em (i) pelo fator de integração:

ef

ef P(x)dx~

+

P(x)ef P(x)dxy =

ef P(x)dxfi.x).


Vo lume I

(iv)

Cup. 2

t:quuções difere nciais de primeira ordem

71

O lado esquerdo da equ ação em (iii ) é a derivada do produt o do fator de integração e a vari ável dependente y; isto é,

1

_J

[e f P(r)dxy ] = ef P(x)dxf(x )7Ç)ç R ).é

Integre ambos os lados da equação encontrada em (iv).

(v)

-

-

EXEMPLO Reso lva

Solução

Esc reva a equ ação co mo

(8) di vidindo po r x. Co mo P(x)

- 4/x, o fa tor de integração é e- 4

J dxl x

=

e - 4 1n lrl

=

elnx

" = x_,.

Aqui , usa mos a identid ade bás ica b 10 1lbN = N, N > O. Ago ra , mu ltipli ca mos (8) por es te termo (9)

(10)

e obtemos Segue-se da integ ração po r partes que

ou

EXEMP L O Reso lva

Solução

2

<!1_ dx

3y = O.

A equação já es tá na fo rma ( 1). Logo, o fa tor de integração é ef (- 3)dx = e - 3x

Você deve calcular muitas vezes as deri vadas indicadas para fi car convencido de que todas as equações, tais como (8), (9) e ( 10), são formalmente equivalentes.


72

Equações Dife re11cia is

Cap. 2

Volume J

_ ,, dv 3 - 3r O e · d , - e · y=

Port ant o,

ass im,

Solução Geral Por hipótese, P(x) e f (x ) são co nt ínu as em um in te rva lo I e xo é um po nto desse interva lo . Então, seg ue-se do Teo rema 2.1 q ue ex iste um a úni ca solução para o proble ma de val or ini cial.

~~

= f (x ),

+ P(x)y

y(xo)

= YO ·

( li )

Mas vimos antes qu e ( 1) poss ui uma fa míli a de so lu ções e qu e toda solu ção para a equ ação no interval o / tem a forma (7) . Logo, o bter a solução para ( 11 ) é um a simpl es qu estão de enco ntrar um va lor apropri ado de e em (7). Co nseqüentemente, es tamos certos em chamar (7) de solução geral da equ ação di fe rencial. Você deve se lembrar de qu e em vá ri as ocasiões enco ntram os solu ções sin g ul ares para equações não- linea res . Isso não pode aco ntecer no caso de um a equ ação linear em que P(x ) ef(x) são contínu as.

EXEMPLO

3

Enco ntre a solução geral para (x2 + 9) dy + "Y = O. 7 dx dy

Solução Escrevemos

dx

A fun ção P (x) = xl(x 2 + 9) é co ntínu a em (-

ef xdxl(x2 +

assim

9)

= el /2

oo,

=).

+ __x_Y = 9 X~

+ 9

.

O fa tor de integ ração para a equ ação é

f 2x dxl(x2 + 9) = el /2 ln (x2 + 9) = {;L+9

~!!i_ + dx

X

~

y = Q

;x [~y]

=0

~y =c.


Volum e I

Cap. 2

Equações difere11ciais de primeira ordem

73

- - - - - - - ·Portanto, a so lução gera l no intervalo é

y=

EXEMPLO

e

~x2 + 9

.

4

*

Resolva o problema de va lor inicial

+ 2xy =

Solução

y(O) = - 3.

X,

As funçõe s P(x) = 2x ef(x) = x são contínuas em (- 00,00). O fator de integração é

assim d 2 2 - [ex y ] = xex

dx

2

ex y =

J xex2 dx

=

21 ex2 +

e.

Portanto, a so lu ção geral para a equação diferencial é

l 2 Y = -2 + ce- x . A condição y(O) = - 3 corresponde a e = - 7 / 2, logo a so lução para o problema de valor inicial no intervalo é

Veja a Fig ura 2.9, na próxima página .

-EXEMPLO

5

Resolva o prob lema de valor inicial

=2x ' X ~+)• dx

y( l )-0 - .

Solução Escreva a equação na forma dv 1 . :::L+-y= 2 . dx X ._!:;/

-

- - - - - --


74

Eq uações Difere nc ia is

Cap . 2

Vo lum e /

e obse rve qu e P(x ) = l l x é contínua em qu alquer interva lo que não contenha a origem. Tend o em vi sta a co nd ição ini cial, reso lv emos o pro blema no intervalo (O, oo ).

O fat or de integ ração é e lnlrl =X

d dx [xy ]

e daí imp lica

2x

xy =.e

1

+

e.

A so lução ge ral para a equ ação é

e

(12)

)' = X+ X

Mas, y( I )

O impl ica e = - 1. Logo, o btemos y=

X

Q < X < oo.

-

(13)

X

Co nsiderada como um a famíli a a um pa râmetro de curv as, o g ráfico de ( 12) está representado na Fig ura 2. 10. A solução ( 13) para o problema de val o r inicial é indicada pela • porção ac in ze ntada do gráfi co.

/

(O, - 3) Figura 2.9

EXEMPLO

Figura 2.10

6

Resolva o problema de va lor inicial y(- 2)

O.


Vo/11111e 1

Cal'· 2

Equaç(}es d1fe re 11 c iais de primeira ordem

75

Solução

Esta eq uação diferencial não é sepa ráve l, ho mogênea, exa l<t ou linea r na va ri áve l y. Poré m, se in verterm os as variáve is, lere mos dx dy

=X +

?

y-

OU

dx dy -

?

X

= _y-.

Esta última equ ação é lin ear em x. ass im o fa tor de integração co rrespo nde lll e é e-Y Lo go.

Integ rando duas vezes por partes , ob te mos

e- Yx = - y2e - Y - 2ye - y x = - y2 - 2y - 2 + ceY Quando x = - 2, y

O, encontramos e = O e daí X

= -

y2 -

2y - 2.

O próximo exemplo ilustra uma maneira de resolver ( 1) qu a nd o a função fé descon -

tínu a.

EXEMPLO

7

Encontre um a so lu ção co ntínu a sa ti sfazendo [, Ü S X S dy dx + y = f(x) , em que f(x) = { O, X> 1

e a co ndição inic ia l y(O) = O.

Solução Pe la Figura 2. l I , ve mos que fé descontínua cm x = 1. Co nseqüentemente, reso lvemos o proble ma e m dua s pa rtes. Para O s x s 1, temos

!!1.

+ y dx d - [exy ] dx

y Como y(O)

O, de vemos ter c 1 = - l , portanto

y = 1 - e-x, Os x s l.

ex

l + c 1e - x.


76

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volu me /

dy dx + y =O,

Para x > 1, temos

o que impli ca

Logo. podemo s escrever

X > 1' Agora, para y ser uma fun ção co ntínu a, certame nte devemos ter li mx ...., 1• y(x) = y(t). Para isso, c2e - 1 = 1 - e- 1, o u seja, c 2 = e - 1. Como mo stra a Figura 2. 12, a fun ção Ü ~X~ 1 X

> 1

é contínua, mas não di fere nc iável em x = 1. y

y

X

X

Figura 2. 11

Figura 2. 12

Nota A fórmula (7), representando a solução geral para (1 ), consiste na so ma de duas solu ções. Definimos Y = Yc + Yr·

( 14 )

em que Yc = ce - f P(x )dx e Yp = e- f P(x)dx

Jef P(x)dxf(x)dx.

A fun ção Yc é a so lu ção gera l para y' + P(x)y = O, e Yp é um a so lução particular para y' + P(x)y = f(x). Como veremos no Capítulo 4, a pro priedade ad itiva de soluções ( 14) pa ra formar uma solução é uma propriedade intrínseca de equações lineares de qualquer ordem.


Volurne I

Cap. 2

Equações difere11ciais de prim eira ordem

77

2.5 EXERCÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados começam na página 4-B. Nos Problemas 1-40, encontre a so lução geral para a equação diferencia l dada. Especifique um intervalo no qual a so lu ção ge ral é definida.

dv 1. d:r = :iy

2. dr + 2v = O dx ·

3. 3 0:. + l 2v = 4 dx

4.

S. dy + y = e3x dx

r/\' X 6. d~ = y + e

7.

y'

=

3x\·

x2

=

dv + 2v = 3 dx

x ~

8. y' + 2ry 0

to. y'

= 2y

= x3 + x2 + 5

ll. (x + 4/)dy + 2ydx =O

l2. dx dy

t3.

14. (! + x 2 )dy + (xy + x 3 + x)dx =O

xdy = (xscnx - y)dx

=X+)'

t dv \ 1S. ( l + e") d:r + e· y = O

16. (l -

17. cosx 0:. dx + yscnx =

18. dy + v cotg x = 2 cos x

l9.

X

0:. dx

+ 4y =

X

3

-

dx

= ex

25. y dx + (xy + 2r - ye>) dy = O

X

+

(3x

+

29. y dx - 4(.r +

= e- 3 '

l )y

h

dy =

dy 1 - e- 2x 31. dx + y = -.;.--_-,

e +e

dx = Jx-y

)

?

'

=x

+ x2

22. xy' + (1 + x)y = e-x sen 2t

23. cos2.rsen x dy + (.v ~os 3 x - 1) dx

27. xddy

3 dy

20. (l + x)y' - xy

X

21. x 2y' + x(x + 2)y

X

o

=O

24. (1 - cosx)dy + (2ysenx - tgx)dx =O

26. (x2 + x)dy =(x5 + 3xy + 3y)dx ,8 ~ . (x + l) = dy dx + (x + 2)y = 2re - ·'

30. xy' + 2y 32.

0:. dx

y

= e-'

+ ln x

= senh x


78

Equações Diferenciais

Cap. 2

\!o/11111e I

33. ydx + (x + 2r/ - 2y)dy =0

34. y dx = (re ,. - 21) cfr

dr 35. d() r sec () = cos 8

36.

37. (x +

, dr 2r-;;; = 5-

dP dt

+ 2rP = P + 41 - 2 dy

7

,

38. (.e - l ) dx + 2y = (x + 1)-

8y - 4xy

39. y' = ( 10 - y) cosh x

40. dx

= (3e'

- 2r) dy

Nos Pro bl emas 4 1-54, reso lva a equ ação dife rencial dada sujeit a à co ndi ção in ic ial in dicada . 42. y' = 2y + x(eJx - e2.'), y(O) = 2

41. r!.x_ + 5y = 20. y( O) = 2 dx

di

0 = io 43. L di+ Ri =e E; L, R e E co nstantes, i()

Q = 5x 4 Q Q(O) = -7 ,6. ddx '

45. y' + (tg x)y = cos2x, y(O) = - 1 47.

dT dr =k( T -

dx o ( _ 4 4 .y dy - x = 2y-, y 1) =)

50); k uma constante, T(O) = 200

48. xdy + (xy + 2y - 2e - ')dx =O, y( I ) =O

49. (x + 1) r!.x_ + y = ln r y( I ) = 10 dx ·'

50. xy' + y = e,., y( I ) = 2

SI. x(x - 2)y' + 2_v = O, y(3) = 6

52. sen x r!.x_ + (cos x )y = O, y ( - .'.'.. ) = dx 2

53.

r!.1-= dx

_ I _ , y(5) = )' -

? r!.154. coS-x + y = 1. y(O) = - 3

2

dx

X

Nos Proble mas 55-58, enco ntre uma so lução contínua sati sfaze ndo cada equação di fe rencial e a condi ção inicial dada. dy l, 55. dx + 2y -- j(x), j(x) -- { O,

56.

~+y

= j(x), j(x) = { _ : :

57. rjJ_ dx + 2ry -- j(x), j(x) -- {X, O, 58. ( 1 + x 2 )

r!.1dx

+ 2ry =

0 S

X

X>

3

$ 3

0 S

XS

X>

l

y(O) =O

y(O) = 1

OSx< X

j(x), j(x) =

~

y(O) = 2

1

' {X-x.

0 S X< ~ l

X

y(O) =O


Cap. 2

Volume l

[O]

Equações diferenciais de primeira ordem

79

2.6 EQUAÇÕES DE BERNOULLI, RICATTI E CLAIRAUT*

Nesta seção, não es tudarem9s nenhum tipo particular para equação diferencial. Consideraremos três equações clássicas que podem ser transformada s em equações já estudadas nas seções anteriores .

Equação de Bernoulli A equação diferencial

2

+ P(x)y = f{x)y 11 ,

(1)

e m que n é um número real qualqu e r, é chamada de equação de Bernoulli. Para n a equação ( 1) é 1i near em y. Agora, se y # O, ( l) pode ser eseri ta como ySe fizermos w = y 1

- ", 11

#

O, n

11

dy dx

+ P(x)y 1

-

"

= J(x).

Oe

11

= l,

(2)

l , então

#

dw __ ( l dx

-

) _ n !ir dx

11 )'

.

Com essa substituição, (2) tran sforma-se na equação linear

dw dx

+ (1 - n)P(x)w = (1 - n}f\x).

Resolvendo (3) e depoi s fazendo y 1 -

/1

(3)

= w, obtemos uma solução para ( 1).

Jacques Bernoulli (1654-1705) Os Bernoullis foram uma fanu1ia suíça de acadêmicos cujas contribuições à matemática, fisica, astronomia e história datam do século XVI ao século XX. Jacques. o primeiro dos dois filhos do patriarca homônimo Jacques Bernoulli, deu várias contribuições ao cálculo e à probabilidade. Originalmente, a segunda das duas divisões principais do cálculo era chamada de calculus summatorius. Em 1696, por sugestão de Jacques Bernoulli (filho), este nome foi mudado para calculus integra/is, como é conhecido atualmente. Jacob Francesco Ricatti (1676-1754) filósofo.

Um conde italiano, Ricatti foi também matemático e

Alex Claude Clairaut (17 13-1765) Nascido em Paris em 1713, Clairaut foi uma criança prodígio que escreveu seu primeiro livro sobre matemática aos li anos. Foi um dos primeiros a descobrir soluções singulares para equações diferenciais. Como muitos matemáticos de sua é'poea, Clairaut foi também físico e astrônomo.


80

Equações Diferenciais

EXEMPLO

Cap . 2

\lolum e I

1

-dy + -1 y = xy 2

Resolva

dx

X

Solução Em (l) , identificamos P(x) = 1/x ,f(x) = x e n = 2. Logo, a mudança de variável w = y- 1 nos dá dll'

dx

1 - w = -x. X

O fator de integração para essa equação linear cm, digamos , (O, oo) é e - f dxl x

= e-l nlxl = e'"td - 1 = x d ---- -

_,,.,,,,...-

(

-

. . - [x - lw] = - 1. ' .. dx

assim

'.

.

Integrando essa última forma , obtemos

x - 1w = - x + e ou w = - x 2 + ex. Como w = y -

1,

então y = 1/ w ou

y = -x2 +ex

Para IZ > O, note que a solução trivial y = O é uma solução para ( l ). No Exemp lo 1, y = O é uma solução singular para a equação dada.

Equação de Ricatti A equação diferencial não-linear

ix

= P(x)

+

Q(x)y

+

R(x)y 2

(4)

é chamada de eq uação de Ricatti. Se y 1 é uma so lução particu lar para (4), então as substituições dv dy1 du y = YI + u e =... = + dx dx dx em (4) produzem a seguinte equação diferencial para u:

du

1

dx - (Q + 2y,R)u = Ru -.

(S)

Corno (5) é urna equação de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida à equação linear


Vo lu me I

Cap. 2

Equações d ifere nciais de primeira ordem

dw

(6)

dx + (Q + 2y 1R )w = - R

através da substitui ção w = u-

1•

81

Vej a os Pro bl emas 25 e 26 .

Co mo o Exe mpl o 2 mos tra, em muitos casos, uma so lu ção para uma equ ação de Ri catt i não pode ser ex pressa em termos de fun ções elementares.

E XEM P L O

2

!!:1-

Reso lva

= 2 - 2xy

dx

+

)'2

Solução Verifi ca-se fa cilmente que y 1 = 2x é uma solução parti cul ar para um a equ ação. Em (4), faze mos as identifi cações P(x) = 2, Q(x) = - 2x e R(x ) = 1. Reso lvemos então a equ ação li near (6): -I .

ddx w + (- 2x + 4x ) w = - 1 o u dw dx + 2x w O fator de integração para essa últim a equ ação é ex-. ass im

d

2

1

dx [e·' w] = - ex .

Ago ra , a integ ra l J·· e 12 dt não pode ser ex pressa em term os de fun ções elementares.* Po rtant o, escreve mos 2

2

e 1 dt + e o u

ass im

e1 dt + e,

é

u

e -

2

r

e 1'- dt

Xo

Uma solução para a equação é então y

2x

+

u.

Equação de Clairaut Co mo exercício você deverá mos trar qu e um a solução para a equ ação de C lairaut y = xy' + .ft.y')

(7)

Quando uma integral fflx) dx não pode ser resolvida em termos de fun ções elementares, ela é normalmente escrita como ( Jtt) dt , em que xo é uma constante. Quando uma condição inicial é especificada, é imperati vo que essa forma seja usada.


82

Cap. 2

Eq11ar;ões Dife renc iais

Vol11me I

é a fam ília de relas y = ex + f( c). em que e é uma constante arbitrária. Veja o Problema 29 . Ainda. (7) pode também possuir uma solução em forma paramétrica: X

= -F(t),

y

= f(t)

(8)

- l{(t).

Essa última so lução é singular, poi s, sef"(t) 7' O, ela não pode ser obtida da família de soluções y = ex + f(c).

EXEMPLO

3 y = xy '

Resolva

+ 21 (~')' '-" -.

Solução Primeiro, fazemo s a identificação fly') = (l/2)(y') 2, o que implica .f(t) Segue-se da di scus são precedente que uma família de soluções é

(1/2)1 2 .

y = ex+ _!_ c 2 2

O gráfico dessa família é mostrado na Figura 2.1 3. Como F(t) = t, uma so luçã.o singular é obtida de (8): X

= - l,

)'

= ~ t2

-

t X 1

= - ~ t 2.

Depois de el imin ar o parâmetro, vemos que esta última solução é a mesma qu e )' = _ _!_x2 2 .

Percebemos facilmente que esta função não faz parle da família (9) . Veja a Figura 2.14. y

y X

X

y =- -X ' 2

/ Figura 2.13

Figura 2.14


Volum e 1

Cop. 2

Eq11aç6es dife renciais de primeira ordem

83

EXERCÍCIOS

2.6

As respos tas dos exercícios selecionados estão nas páginas 443 e 444. Nos Probl e mas 1-6, reso lva a equ ação de Bernoulli dada . l =---, y-

dr +y dx

1.

x~

3.

t!1. = y(xy3 dx

5. x2 dy + / dx

dy .t 2. - -y =ey 2 dx 1)

4.

= xy

dr · dx

( 1 + x)y

,,..~-

6. 3( 1 +

X

2

)

= xy 2

t!1. = 2.xy(y 3 dx ·

-

1)

Nos Problemas 7- 10, resolva a equação diferencial dada sujeita à co ndi ção inicial indi cada. d

.

1

· 7. x 2 ~ - 2.xy = 3/, y( I) = -2 dx

8. y

d

- ?

9. xy( I + xy-)z = 1, y( l) =O

10. 2

1/1

0:.

- dx

+ y ) / ?-

=

1, y(O)

=4

0:_ = l'__ - ?X ' y(I) = 1 dx

y-

.>

Nos Problemas 11-16, reso lva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma so lução co nh ec ida para a eq uação.

!!.I

11. 0:. dx = - 2 - y + y 2 , y 1 = 2

dy 13. dx

4

= - x2

1 -

; y

2

+ y ' YI

2

=;

dy 2r ? X 2 X 15. dx = e + ( 1 + _e )y + y , y 1 = - e

0:.

?

17. Resolva dx = 6 + 5y + y-.

?

12. dx = l - x - y + xy-, y1 = l

!!.I = 2.x-?

14. dx

16.

I

?

+ ; )' - 2y-,

0:.dX = sec2x

18. Resolva 0:. dx

)'I

=X

- (tgx)y + /, )' t

=9

= tgx

+ 6y + y 2 .

Nos Problema s 19-24, resolva a equação de C lairaut dada . Ob ten ha uma solu ção sing ular. 19. y = xy' + 1 - ln y

20.

)' = xy'

+ (y')-2

3

21.

)' -

-

X

dy - ( 0:_ )

dx

23. xy' - )'

= eY

dx

22. y = (x + 4)y' + (y') 2 24.

)' -

X)'

= ln y

25. Mostre qu e, se )' 1 fo r uma so lução para (4). então a sub stitui ção y = y1 + "em (4) impli ca (5).

26. Mostre que (5) se reduz a (6) por meio da substituição

w = " - 1•

27. Quando R(x) = - 1, a eq uação de Ricatti pode ser escrita como y' + y2 - Q(x)y - P(x) = O. Mostre que a subs tituição y = 1v' / w concju z à eq uação linear de seg unda o rde m w" - Q(x}w' - P(w)w = O (Quando Q e P são també m constantes, não é difícil reso lver equações deste tipo.)


84

Equações Diferenciais

Cap. 2

Volume 1

28. Uma definição alternati va para a eq uação de Clairaut é qualquer equação na forma F(y - xy', y') = O. (a) Mostre que uma família de soluções para a última equação é F(y - ex, e) = O.

(b) Use o res ultado da parte (a) para reso lver (xy' - y)º = (y') 1 + 5.

29. Mostre que y = ex + fle ), em que e é uma constante arbitrária, é uma solu ção para (7). 30, Mostre qu e (8) é uma so lução para (7). [Su gestão: Deri ve ambos os lados de (7) co m relação a x e considere dois casos. Use diferenciação paramétrica para mostrar

i!:1.. dx

= dyldt = 1 dxl dt '

J"(t) te. O.

Note que, como a inclinação de y = ex +fie) é constante, a so lu ção singular não pode ser obtida desta família.]

[O]

2.7 SUBSTITUIÇÕES

Nas seções precedentes, vimos que em certas situações uma equação diferencial podia ser transformada, por meio de uma substituição, em uma forma em que era possível resolvê-la por, um método padrão. Uma equação pode parecer diferente de todas as que vimos e estudamos, mas mudando a variável , talvez um problema aparentemente difícil possa ser facilmente resolvido. Embora não haja uma regra geral que indique qual substituição deve ser feita, um axioma prático é o seguinte: tente alguma coisa' Algumas vezes custa caro ser engenhoso.

EXEMPLO A equação diferencial y(I

+ 2xy)dx + x(l - 2.xy)dy =O

não é separável, homogênea, exata, linear ou Bernoulli. Porém, se olharmos bem a equação, podemos ser impelidos a tentar a substituição u = 2xy ou y = u

2x

Como

dy

xdu - udx

2x2


Cop. 2

Volume I

Equaçnes diferenciais de primeira ordem

85

a eq uação se torna depois de simplificada,

2u 2 d.x + (1 - 11)xd11

O.

Percebemos que a última equação é separável, e daí,

2 dx +

~du =O

X

Ll 2

2 lnlxl - u-

implica

1 -

lnl11I = e

1 e+2.xy X

2y

em que ec foi trocada por c 1. Podemos também trocar 2c 1 por

c2

se desejarmos.

Note que a equação diferencial do Exemplo 1 pos sui a so lução trivial y = O, mas essa função não está inc luída na família a um parâmetro de soluções.

EX EMPLO

2 2.xy dy + 2y 2 = 3.x - 6. dx

Resolva

Solução

A presença do termo 2y ~ nos impele a tentar u = y-, pois 1

2 dy ydx.

du dx

du dx

Agora

x - + 2u

tem a forma linear

du dx

+l u

3x - 6 = 3 - 6

X

X

assim, multiplicar pelo fator de integração e f<2 l x) "' =

d

-

dx

x 2u

=x 3

-

3x 2

1

.

[rui = 3x

2

+ e ou x 2y2

e 1" x' = x 2 acarreta

6x

= x3

-

3x 2 + e.


86

Equações Diferencia is

EXEMPLO

Cap. 2

3

Reso lva

Solução

Volume I

X

Seja

li

dy dx - y

XJe >·h. )'

= y/x. A equação diferenci al pode ser simplificada para ue- " du= dx.

Integrand o por partes e troca nd o - e por c 1, temos -ue - u

e - u = x +e li

Substituímos então

li

+ 1 = (c1 -

x)e".

= y/x e simplifica mos: y

+

x = x(c1 - x)e-"1x.

Algumas equ ações diferenciais de ordem mais alta podem ser reduzidas a eq uações de primeira ordem por sub stituição.

EXEMPLO

4 y" = 2x(y')2.

Resolva

Solução

Faça u = y'; então, du/ dx = y" e a eq uação' se torna separáve l. Temos,

du

dx

= 2xll 2

ou du u2

- u - 1 =x2

= 2xdx

+

cr.

A constante de integração é esc rita como cf por co nveni ência. A razão ficará óbvia nas próximas etapas. Como u- 1 = lly', seg ue-se que

dy dx

x2 +

cT

f dy =

y + c2=

o u dy

dx -=- x2

+

d

f - dx2 +

cT

- __!__ CJ

tg- 1 ..:!__ CJ


Volume J

Cap. 2

Equações diferen ciais d e primeira ordem

87

2. 7 EXERC ÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados estão na página 444. Nos Problemas l -26. resolva a equação diferencial dada usan do um a s ubs titui ção apro priada. l

·

Jn

xeiy dy + ely dx

X

2. y' + y 1n y = ye-'

X

3. ydx + (l + ye')dy = O

4. (2 + e -

rir)

~ ) dy

d.x + 2 ( 1 -

= O

dy

6. dx +X+ y+ 7. 2yy' + x 2 + y2 +

X

8. y = y + x(y + l )2 + ·1

9. 2x csc 2y ~ = 2x - ln(tg y)

) dy

4

7

10. X- dx + 2xy = x y - + 12. xe"y' - 2eY = x 2

13. y + l = e -

(x • y)

sen x

dx dy

14. seny se nh xdx + cosycos h xdy = O

,.

dy

15. y - + 2 tln x = xe

16. x sen y dx + cosy

17. y" + (y') 2 + l = O

18 . . xy"

=y

?

\

= -x-e·

+ x(y' )2

19. xy" = y' + (y') 3

+ (y') 2

21. xy - xy" - (y" )3

22. y" = l

23. xy" - y = O

24. y" + (tg x)y' = O

25. y" + 2y(y') 3 = o

26.

[ Su gestão: Faça u

= y'

para que y

y2y'' ,,

du

= y

du dy dx

= dx = dy

=

du dy

11 ·

27. No cá lc ul o, a c ur vatura de uma curva de equ ação y = j(x) é definida pe lo número K =

-~y'_' __ [ l + (y')2 ]3/ 2

De te rmine uma função para a qual K = 1. [Sugestão: Po r simplicida de, ignore constantes de int egração. Ta mbé m considere uma s ubstitui ção trigo no mé tri ca. ]


Cap. 2

88

Eq uações Diferenciais

Vo ltlme I

[O]

2.8 MÉTODO DE PICARD

O prob lema de va lo r inicial

y'

= f(x,

y),

y(xo)

= Yo,

(1)

co nsiderad o na Seção 2. 1 pode ser escrito de ou tra manei ra. Sej a f um a fun ção co ntínu a em um a reg ião q ue co ntém o po nto (xo, Yo). Integrando am bos os lados da equ ação d iferencial em re lação a x, o btemos y(x) = e

r

+

j(r, y(t)) dt.

Xo

r

o

Agora,

y(xo)

=e

+

j(r. y(t)) dr

=e

ro

impli ca e = yo. Logo,

y(x) = Yo

+

J' f(t, y( t )) d t.

(2)

Xo

Recip roca mente, se co meça rmos co m (2), podemos obter ( 1). Em o utras palavras, a eq uação integ ral (2) e o pro blema de va lor in ic ial ( 1) são equi va lentes . Tentaremos agora reso lver (2) por um método de aproximações sucessivas . Sej a Yo(x ) uma fu nção co ntínua arb itrá ri a. Como j(x, Yo(x)) é um a fun ção co nhecida, de pendendo apenas de x, ela pode ser in tegrada. Co m y(t ) no lugar de Yo(t ), o lado direito de (2) defin e uma o utra fun ção, que esc revemos co mo Y1(x) = Yo

+

r

f( t, Yo(t)) dt.

Xo

Espera-se qu e es ta nova fun ção es teja mais próx ima da so lução . Quand o re petimos o procedi mento, uma outra função é defin ida por Y2(x) = Yo +

r

f(t, Y1(t)) dt.

-'o

Dessa maneira, obtemos uma seqü ência de fun ções, y 1(x), Y2(x), y3(x), . . . cuj o n-és imo termo é definid o pe la relação Y11(x ) = Yo

+

r

f(t, J 11 - 1(t))dt,

n

= 1, 2,

3,. . .

(3)

Xo

Na aplicação de (3), é uma práti ca co mu m escolher Yo(x ) = Yo co mo fun ção inicial. O uso repetitivo da fó rmul a (3) é co nhecid o co mo método iterativo de Picard .


Volume /

EXEMPLO

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

89

1

Considere o problema

y' = y - 1,

y(O) = 2.

Use o método de Picard para encontrar as aproximações Y1, Y2· y3, y4 .

Solução torna-se

Seidentificarmosxo

= 0.yo(x) = 2eft.t,

y,, _ 1(1))

= y,,

_ 1(1) - 1,aequação(3)

X

Yn(X) = 2

+Ia

l)dt,

Ó'n - 1(1) -

n

1, 2, 3,.

Integrando esta última expressão, temos

2 +X X

Y2(x)

2 + f0

y3(x)

2 +

=

(1 + t) dt

fax ( l x2

+

t

x2

2

2 + x +

~ )dt

+ x3

2+x+-+--2 2 X 3

y4 (x)

2 +

=2

+

fax ( l x2

X

+ -

2

+ t +

~+2:

3 Jdt

x3

x4

2x3

2x3x4

+ --- + -----

Por indução, pode-se mostrar que o 11-ésimo termo da seqüência de funções é

y,,(x)

1+ k

n

k

L,

~I.

=o

Desta última forma, vemos que o limite de Yn(x) quando /1 ~ oo é y(x) = l + ex. Surpreendentemente, verificamos que a função é uma solução exata do problema de valor inicial dado. V:ocê não deve se deixar enganar pela relativa facilidade com que as iterações foram obtidas neste exemplo. Em gera l, a iteração envo lvida no processo de gerar cada Yn(x) pode facilmente se to rn ar muito complicada. Também não é ·sempre aparente que a seqüência


90

Equações Dife renciais

Cap. 2

Vo lume I

{y,,(x )} co nverge pa ra um a simpl es e explíc ita fun ção. Po ré m é necessá ri o pe rgu nta r: o método de Pica rd é um me io prá ti co de reso lver uma equ ação de pr ime ira o rd e m y' = f(x, y) s uj eita a y(xo) - y0 ? Na maioria dos casos, a res pos ta é não . De ve mos perguntar aind a, co m o esp ír ito ele um cienti sta o u enge nheiro : para qu e se rve es te método? A res posta não é de todo favoráve l: o método de iteração de Picard é uma ferra me nta teó ri ca usada e m co nside rações de existência e uni cid ade ele solu ções para equ ações di fere nc iais. Sob certas co ndi ções em f(x, y), pode-se mos trar qu e, qu and o 11 ---t oo, a seq üê neia (y,,(x)} definid a po r (3) co nve rge para uma fu nção y(x) qu e sati sfaz a equ ação integ ral (2) e portanto o problema de va lor ini cial ( 1). Na ve rdade, o mé todo de aprox im ações sucess ivas ele Piea rd é q ue é usado na pro va do teo rema de Pica rd na Seção 2. 1. Po ré m, a prova do Teore ma 2. 1 usa co nceitos avançados de cálcul o e não será aprese ntada aqui . Nosso pro pós ito ao int roduzir esse tópi co é dar uma idéia do potencial do procedime nto e obter pe lo menos um a leve fa miliarid ade co m um a técnica iterativa. No Capítul o 9, co nsiderare mos o utros métodos de solu ções apro ximadas pa ra equ ações diferenc iais qu e ta mbé m utili za m iteração.

EXERCÍCIOS

2 .8

As respostas dos exc1·cícios selecionados estão na página 444. Nos Problemas l -6, use o método de Picard para e ncontrar y 1, y 2 , y 3, {y11 (x)} qu ando n ~ =.

=X

y~.

Determine o li mite da seqüência

+ y, y(O) = l

l.

y' = - y, y(O) = l

3.

y' = 2xy, y(O)

5.

y' + /

7.

(a )

Use o método de Picard para enco ntrar y1, y2. y3 do pro bl ema

(b )

Resolva o problema de va lor in ic ial da parte (a) por um dos métodos deste capítu lo.

=

l

= O, y(O) = O

2.

y'

4.

y' + 2xy =

6.

y' = 2ex - y, y(O) = l

X,

y(O)

=o

y' = l + /. y(O) = O

(e) Compare os res ultados da parte (a) e (b). 8.

=

No método de Picard , a escolha inic ia l yo(x) yo não é necessári a. Refaça o Problema 3 co m (a ) yo(x) = k uma constante e k 7' 1, e (b) yo(x) = x.

Capítu lo 2

REVISÃO

Um problema de valor inicial consiste em e ncontrar um a solução para

!1:1. dx --

f(x, y ), y(xo) = Yo.


Vo lume I

Cap. 2

Equações diferenciais de primeira ordem

91

em um interva lo l co ntendo x 0 . S e f( x, y) e a fia y são co ntínu as em um a reg ião retangul ar do pl ano xy co m (xo. Yo) em se u interi or, ent ão é ga rantido qu e ex iste um interva lo cm to rn o de x 0 no qu al o probl ema ap resenta um a úni ca solução. O método de sol_ução para a equação di ferenc ial de primeira o rd em depende de uma class ifi cação apropriada da equ ação . Nós res umimos cinco casos. Uma equ ação é separável se puder ser colocada na fo rm a h (y) dy so lu ção decorre da integração de ambos os lados da equ ação.

= g(x) dx.

A

Se M (x, y) e N(x, y ) são fun ções homogêneas de mes mo grau, ent ão M (x, y) dx

+ N(x, y ) dy = O pode ser tran sfo rm ada em uma equação separá vel através da substitui ção y = ux ou x = vy. A escolha da sub stitui ção de pende da simplicidade de cada coefi ciente.

A e qu ação dife re nc ia l M (x, y) dx + N (x, y) dy = O se r á exata se a fo rm a + N(x, y) dy fo r um a di fe rencial exa ta. Qu ando M (x, y) e N(x, y ) são co ntínuas e poss uem deri vadas parciais contínu as , a M I a y = a NI a x é um a co ndi ção necessá ri a e sufi ciente para que M(x, y ) dx + N(x, y ) dy sej a exata. lsso signifi ca qu e ex iste al gum a fun ção f(x, y) tal que M(x, y) = apa X e N(x, y) = afl a y. o método de solu ção para um a equ ação exata co meça pela integ ração de uma dessas ex pressões. M (x, y ) dx

Se uma equ ação de primei ra o rd em puder ser colocada na fo rm a dy/ dx + P(x )y = f(x ), di zemos que ela é linear na vari ável y . Reso lvemos a equação encontrando primeiro o fator de

integração, ef P(x ) dx, multiplicando ambos os lados da equ ação por esse fa tor e de pois integrando ambos os lados de

;X [ef P(x) dxy ] = ef P(x) dxf(x ). Equação de Bernoulli é dyl dx + P(x )y = f (x)y'\ em qu e n é qu alquer número real. Quando n ~ O e n ~ 1, a equação de Berno ulli pode ser tra nsform ada em uma equ ação linea r atra vés da sub stitui ção w = y 1 - n_ Em certas circun stâncias, uma equação diferenc ial pode se r reduzid a a uma fo rma fa mili ar através de um a substituição apropri ada , ou mudança, de variável. C laro que j á sabemos qu e esse é o procedimento para reso lver um a eq uação ho mogênea o u de Bern o ulli . Em um contex to geral, nenhuma regra de sub stituição pode ser dada. Co nvertendo um problema de va lor inicial em uma equ ação integ ral equi va lente, o

método de iteração de Picard é um a maneira de o bter um a aprox imação da solução para o problema.


92

Equações Difere11 ciais

Capítulo 2

Cap. 2

Volume I

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 444 e 445. Reso lva os Problemas 1-4 se m consullar o texto. Complete o es paço cm branco o u responda verdadeiro/fal so.

/l

1.

A eq uação diferencial y' = 1/(25 - x 2 po ss ui uma úni ca so lu ção passa ndo pelo pon10 (xo. yo) na(s) região(ões) definida(s) por _ _ _ _ _ _ __

2.

O problema de valor inicial xy'

3.

O problema de va lor inicial y' = y 112 , y(O) po nlos da rela y = O - - - - - - - -

4.

= 3y, y(O) = O, possui a so lução y = x 3 e _ _ _ _ _ _ __

= O,

não possui so lução, poi s a pa y é desco nlínua nos

Ex isle um inte rvalo cenlrado e m 2 no qual a única solu ção para o problema de va lo r inicial

y' = (y - t ) 3 ,y(2) = l ,éy = I _ _ _ _ _ __ 5.

Sem resolver, class ifique cada uma das seg uintes equações como: separável, ho mogênea, exala, linear, Bernoulli , Ricatti o u C lairaul. (a)

t!1_ = _ I dx

)' -

ZJ +

(e) ( d (e)

!!x. -

2

X

Z

dy - _ _ l_ (d ) dx - x(x - y)

2y = 2x d

?

dy ? ([) dx = 4 + Sy + y-

y- + y

dx - x2

+x

(h)

(g) y dx = (y - x/) dy

= 2x

(i) xyy' + / (k) y dx

(m)

+

X

!!x. = ~ c/x

)'

dy

!!x. clt

= ye:cly -

(j) 2xyy' +

+ l + 1

l

X

= 2x2

(1)

(x 2 +~}1x=(3- ln x 2 ) dy

(n)

l'... dy + e2.' 1

= O

+ /

x 2 dx

X

(o) y = xy' + (y' - 3) 2

(p) y'

6.

Reso lva (y 2 + 1) dx = y sec 2x dy.

7.

Resolva

8.

Reso lvay(ln x - ln y)dx

9.

Resolva xyy' =

l dy

X

ex

..

- = - suJeitoay(l) = l. x dx ln y

= (x ln x

- xlny - y)dy.

3/ + x 2 suje ito a y(- l)

= 2.

+ sy2 = 3x 4

-

2xy


\fo/11111e I

, 1I_

'

10. Resolva (6x + 1))'- dx + 3x- + .n d X

l l. Resolva ye · -d + xe y

Cap. 2

Eq uações diferenciais de primeira ordem

93

J

2y = O.

J

= l 2y- sujeito a y(O)

- 1.

12. Resolva x d.v + (xy + y - x 2 - 2x) dx = O. dv = 2x - 8xy suj eito a y(O) = - 1. 13. Resolva (X-' + 4) J;;

14. Resolva (2r + y)y' = 1. 15. Resolva x dy + 4v = x 4y2 sujeito a y( l ) = l. d.r •

16. Resolva - xy' + y = (y' + 1)2 suj eito a y(O) = O.

Nos Problemas 17 e 18, resolva a equação difere nci al dada por meio de uma substitui ção. 3 1 17. ~ +xysec-:;-=0

y-

dx

18. y" =

X -

y'

19. Use o método de Pi card para enco ntrar aproximações y1 e Y1 para y' = x 2 +

y2, y(O)

= 1.

20. Resolva y' + 2y = 4 , y(O) = 3 por um dos métodos usuai s. Resolva o mes mo problema pe lo método de Pi card e co mpare os res ultados.


Capítulo

3

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 3.1 3.2

Trajetóri as Ortogonais Aplicações de Equações Lineares

3.3

Aplicações de Equações Não-lineares Capítulo 3 Re visão Capítulo 3 Exercícios de Revisão Ensaio : Dinâmi ca Populacional

Conceitos Importantes Trajetórias ortogonais Cresc imento e decrescimento exponenciai s Meia-v ida Cronologia do carbono Termo transitório Termo estacio nário Equação log ísti ca Reações químicas Veloc idade de escape

Na

Seção 1.2, vimos que uma equação diferencial usada para descrever o comportamento de alguns sistemas reais, sejam físicos , sociológicos ou mesmo económicos, é chamada de modelo matemático. Modelos matemáticos para fenómenos como decrescimento rad ioativo , crescimento populacional , reações químicas, resfriamento de corpos, velocidade de um corpo em queda, taxa de memorização ou corrente em um circuito em série são fre qüentemente equações diferenciais de primeira ordem. Neste capítulo, preocupamo-nos com a r esolução para algumas equações diferenciais lineares e não-lineares que aparecem freqüentemente nas aplicações.


Vo lume 1

3. 1

Cap. 3

Aplicações de equações diferencia is de prime ira orde m

95

TRAJETÓRIAS ORTOGONAIS

Equação Diferencial de uma Família de Curvas No fin al da Seção 1. l ex pressa mos a ex pectati va, o u melho r, a es perança de que um a di fe re ncial ordin ári a de n-és ima o rdem levasse a uma fa míli a a n-parâmetros de so lu ções. Por outro lado, sup onh a que in vertamos o problema: Começando co m um a fa míli a a 11-pa râmetros de curvas, será que podemos enco ntrar uma equ ação diferencial de n-és ima ordem assoc iada a essa famíli a? Na maiori a das vezes a res pos ta é si m. Na di sc ussão que seg ue, estamos interessados em enco nt rar a equ ação diferencial dyl dx = f(x , y) de um a fa míli a a ri -parâ metros de cur vas.

EXEMP L O

1

Enco ntre a equ ação diferencial da fa mília

Solução

Deriva ndo, temos

dy = 3c 1x 2 dx · Podemos eliminar o parâmetro c 1 da equação usando c 1 = y!x 3 obtido da primeira equação:

!!J.. dx

= 3(L x3

Jx

2

ou

dy = 3 l. dx X

Curvas Ortogonais Lembre-se, do nosso es tud o de geometri a analítica, de q ue du as retas L 1 e Li não paralelas aos eixos coordenados são perpendicul ares se, e so mente se, seus respec ti vos coefi c ientes ang ul ares sa tis fi ze rem a re lação, min12 = - 1. Po r essa razão, os g rá fi cos de y = (- l/2)x + 1 e y = 2x + 4 são obvi amente perpendi culares. Duas curvas '(!,e rr,, são ortogonais em um ponto se, e so ment e se, suas retas tangentes T 1 e T2 fore m perpendicul ares no pont o de interseção. Veja a Figura 3.1. Exceto no caso em qu e T 1 e T2 são parale las aos eixos coo rdenados, isso s ig nifica que os coefi cien tes angul ares das tangentes são negati vos in versos um do outro .

EXEMPLO

2

Mos tre que as curva s <e, e <e, definid as por, y = x 3 e x 2 + 3y 2 ponto(s) de interseção.

4 são ortogo nais no(s)


96

Equações Diferenciais

Volume 1

Cap. 3

Solução Na Figura 3.2, vemos que os pontos de interseção dos gráficos são ( 1, 1) e (- 1, - 1). Agora, a inclinação da rela tangente a y = x 3 em qualquer ponto é dy/ dx = 3x 2. Logo. dv dx

:::.L

I

d" dx

:::.L

-

-

X :;::

1

I X :

-

-

3

·

- 1

Usamos derivação implícita para obter dy/dx na segunda curva:

d\I = 2x + 6y :::.L dx

o

ou

dy - -~ 3y dx -

~~ 1(1. 1) = ~ 1(- 1.- 1) = -t-

e portanto

(*

Então, em (1, !) e cm (- ! , - 1), temos

)~,

X (

~~

i,

= - 1.

8 fácil mostrar que qualquer curva '&,da família y = c 1x 3, c 1 ~ O é ortogonal a cada curva '&, da família x 2 + 3y2 = c2, c 2 > O. Pelo Exemplo 1, sabemos que a eq uação diferencial da primeira família é dy - 3 L. X dx Derivação implícita de x 2 + 3y2 = c2 conduz exatamente à mesma eq uação diferencial de 2 = 4 no Exemplo 2, ou seja, x2 +

3y

dy

X

dx = - 3y.

Logo, no ponto (x, y) em cada curva,

(:il.1 (:ií.1 dx

Figura 3.1

X

r:,

dx

l'.t

=

(3yx )(-~) 3y = -1.

Figura.3.2 ·


Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações diferenc iais de prim eira ordem

Como as inclinações das retas tan ge ntes são nega ti vas in versas, as c urvas ortogona lme nte.

re, e

~,se

97

interceptam

Es ta di sc ussão leva à seg uinte defini ção. DEFINIÇÃO 3.1

Trajetórias Ortogonais

Quando todas as curvas de um a fa mília G(x, y, c 1) = O interceptam ortogo nalmente todas as curvas de outra fa mília H(x, y, c 2) = O, então dizemos qu e as fa míli as são trajetórias ortogonais uma da outra.

Em outras palav ras, uma traj etóri a o rtogo nal é uma c urva que intercepta toda a c urva de um a famíl ia e m ângul o reto.

EXEMPLO

3

(a ) O g ráfico de y = (- 1/2)x + 1 é uma traj etóri a ortogo nal de y = 2x + c 1. As fa míli as y = (-1 /2) x + c 2 e y = 2r + c 1 são traj etóri as o rtogo nais.

(b) O gráfi co de y = 4x 3 é uma trajetó ri a o rtogo nal de x 2 + 3y2 x 2 + 3y 2 = c2 são traj e tóri as ortogo nais.

= c2 . As

(e) A Fig ura 3.3 mos tra a fa míli a de retas y = c 1x e a fa míl ia x 2 + concêntricos. Essas fa míli as são traje tóri as o rtogo nais .

fa míli as y

y2

= c 1x 3 e

= c 2 de c írc ul os •

Traj etóri as ortogonais oco rre m naturalmente na co nstru ção de mapas meteo rol óg icos e no es tudo de eletricidade e mag ne ti smo . Por exempl o, em um ca mp o elé trico e m vo lta de dois corpos de ca rgas o postas, as linhas de fo rça são pe rpendi c ul ares às c urvas eqüipo tenciais (isto é, curvas ao longo das qu ais o potencial é constante.) As linhas de fo rça estão indicadas na Fi gura 3.4 po r linh as po ntilh adas . y

X

Figura 3.3

Figura 3.4


98

Eq11ações Difere11 ciais

Cap. 3

Volume l

Método Geral Para encontrar as trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, prime iro encontramos a equação diferencial dy = JCx, y) dx

que descreve a família. A equação diferencial da família ortogonal é então dy - -=-.!__ dx - JCx, y)

--------EXEMPLO

-

4

Encontre as trajetórias ortogonais da família de hipérboles, CJ

y = -. X

Solução

A derivada de y

c 1/x é

Trocando c 1 por c 1 = xy temos a equação diferencial da família dada: dy = -l. dx X A equação diferencial da família ortogonal é portanto dy dx

-1

X

(- y/x)

y

Resolvemos esta última equação por separação de variáveis: ydy = xdx

J y dy

=

J xdx

em que substituímos 2cí por c2. Vemos que esta solução representa uma outra família de hipérboles. O gráfico de ambas, para vários valores de c 1 e c2, está representado na Figura

3.5.


Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

99

Figura 3.5

EXEMPLO

5

Enco ntre as trajetórias ortogonais de C JX

y =

Solução

+x

Pe la reg ra do quociente, calculamos dy dx

CJ

( 1 + x) 2

ou

dy dx

y

x( l + x)

pois c 1 = y( I = x)lx. A equação diferencial da s trajetórias ortogo nais é portanto dy=_x(l+x) dx y

Novamente, por separação de variáveis , temos: y dy = -x( l + x)dx

J y dy = - J (x ou

+ x 2 ) dx

3y2 + 3x 2 + 2r 3

c2.

Curvas em Coordenadas Polares

Vimos no cálculo que, para um gráfico de uma equação polar r =

f (8),

de

r dr = tg1/J,

em que 1/J é o ângulo positivo anti-horário entre a reta radial e a reta tangente. Veja a Figura 3.6. Deixamos como exercício mostrar que duas curvas polares r = f 1(8) e r = f2(8) sãq ortogonais em um ponto de interseção se, e somente se, (tg1/J1)'l',(tg1/J2)'6', = - 1.

(1)


100

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume 1

Veja o Problema 42 . Figura 3.6

reta tangente -

EXEMPLO

--- -- - - --

- - --

-

---

6

Encontre as trajetórias ortogonais de r = c 1(1 - sen8).

Solução

Para a curva dada, podemos escrever dr d8

= - e,

d8

assim

r dr

cose

sen

- r cos

l - sen

e e

e

= - __c_o_s_e_ = tg 1/Ji.

Logo, por ( 1), a equação diferencial das trajetórias ortogonais é de r dr

=-

cose 1 - sen

e = tgljJ?.-

Separando as variáveis, obtemos

assim

dr r

1 - scn cos e

lnlrl

lnlsec

e+

lnlc2( l Portanto,

r = c2( l

e d8

= (sec e - tg 8) d8

tg 81 + lnlcos 81

+ ln c2

+ sen 8)1.

+ sen 8).

3. 1 EXERCÍCIOS As respostas dos exe rcícios selecionados estão nas páginas 445 e 446.

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.


Vo/11me 1

1.

)'

Cap. 3

Aplicações d e eq uações diferenciais de primeira o rdem

2. 3x + 4y =

= c 1.1

4. .\' =

3. y = c ix 5. cix

2

+

)'

\'

cie -

9. y

c ix

7.

2

3

12. r =

13. 2x2 + y 2 = 4cix 15. y

+ 3x 2y =

16. y

Ci

2

2

2

2

-

1 +X

19. 4y +x + 1 + c ie

2r

o

1

22. y

23. se nhy = c ix

24. y

+

= 2c ix = c ix 3

+X

20. y

21. r = - · ln c ix

X

X

Ci

2

25.

l - c ix

18. )'

---2

1 3

1

ix - +-c-

14. X + y

Ci

17. r

cT

cix". a e b constantes

10. /'

1 + c ix

3

?

y2

'

X

11. y

Ci

Ci ) 2

(X -

6. 2x 2 +

101

y l/ 3 = Ci

ln (tgx + c 1)

= e 1 se n x

26. xª + yª = c 1,

a T- 2

27. Encontre as curvas das traj etórias ortogonais de x + y = c 1e» que passa m por (0, 5). 28. Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de 3xy2 = 2 + 3c1x qu e passa m por (O, 10) .

Nos Problemas 29-34, encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas. 29. r = 2c1cos 8

30. r = c 1(l + cos IJ)

31. r 2 = c 1 sen 21J

32. r =

33. r = Ci sec

CJ

+cose

34. r = c ie o

e

35. Uma família de curvas que intercepta uma dada família de curvas com um â ngulo espec ífico constant e a T- n / 2 é chamada de família isogonal. As duas famílias são chamadas de trajetórias isogonais uma da outra . Se dyl dx = fi.x, y ) é a equação dife rencial da família dada, mos tre qu e a equ ação diferencial da famíli a isogo nal é ~

_

f(x , y) ± tg a

dx - l +f(x, y) tga


102

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

Nos Problemas 36-38, use os resultados do Problema 35 para encontrar a família isogonal que intercepta a família a um parâmetro y = c 1x, com o ângu lo dado . 36. a

= 45 º

37. a= 60 º

38.

a = 30º

Uma família de curvas pode ser a uto-ortogonal uma vez que um membro das trajetóri as on ogonai s é também um membro da família original. Nos Problemas 39 e 40, mostre que a família de curvas é auto-ortogonal. 39. parábolas

y2

= c 1(2x + c 1) 2

40. cônicas confocais

2

_x__ +L= Ci + 1 Ct

41. Verifique que as trajetórias ortogo nai s da família de curvas dada pelas equações paramétricas, x = c 1e 1 cos 1, y = c 1 e 1 sen t são x = c2 e

- 1

cos 1, y = c 2e

- l

sen 1.

[Sugestão: dy/ dx = (dyldt)/(dxldt).]

42. Mostre que duas curvas polares r somente se,

3 .2

= /1(8) e r = h(8) são ortogonais em um ponto de interseção se, e

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES LINEARES

Crescimento e Decrescimento O problema de valor inicial

dx = kx, dt

-

x(to) = xo.

(1)

em que k é uma cons tante de proporcionalidade, oco rre em muitas teorias físicas envo lvendo crescimento ou decrescimento. Por exemplo, e m biologia, é freqüentement e observado que a taxa de crescimento de certas bactérias é proporcional ao número de bactérias presentes no dado instante. Durante um curto intervalo de tempo , a população de pequenos animais, tai s como roedores, pode ser prevista com alto grau de precisão pela so lu ção para ( 1). E m física, um problema de valor inicial como ( l) proporciona um modelo para o cálculo aproximado da quantidade remanescente de uma subs tânci a que está sendo desintegrada através de radioat ividade. A eq uação diferencial em ( l ) pode ainda determinar a temperatura de um corpo em resfriamento. Em química, a quantidade remanescente de uma substância dura nte certas reações também pode ser descrita por (l). A constante de proporcionalidade k em (l) é positiva ou negativa e pode ser determi nada pela solução para o problema usando um valor subseqüente de x em um instante 11 > 10.


Vo/11111e I

Cap. J

Aplicações de equações diferenciais de primeira o rdem

JOJ

EXEMPLO Em uma cu ltura, há inicialmente No bactérias. Uma hora depoi s, e = l, o número de bactérias passa a ser (3 /2)No. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique .

Solução

Primeiro, re solvemos a equação diferencial

dN = kN dt

(2)

sujeita a N(O) = No. Então, usamo s a condição empírica N(l) consta nte de proporcionalidade k.

(3/2)No para determinar a

Agora, (2) é separável e linear. Quando colocada na forma

dN - kN =O dt ' vemos, por inspeção , que o fator de integração é epor esse termo, obtemos imediatament e

ki.

Multiplicando ambos os lados da equação

Integrando ambos os lados dessa última equação, temos

e - krN =e Emt

O, concluímos que No

ce 0 = e; assim, N(t) = Noek 1. Em t

23 No logo, k

N(t) = cek 1.

ou

= Noe

k

ou

k

e =

l , temos

23

ln(3 / 2) = 0,4055 com quatro casas dec imais. A expressão para N(t) é portanto

N(t) = Noe0.40551. Para encontrar o tempo necessário para que o número de bactérias seja triplicado. reso lvemos 3No = Noe0 ,40551. Segue-se des sa equação que 0,40551 = ln 3 e daí 1

Veja a Figura 3.7.

ln 3 = 0 4055

=

2,71 horas.

Nota Podemos escrever a função N(t) obtida no Exemplo 1 em uma forma alternativa. Pela lei dos expoentes,


104

Equaçries Dife renciais

Cap. 3

N(t)

\lo/11111e I

= No(ek)r = No

u}

pois ek = 312. Essa última so lução proporcio na um método co nveniente de calc ular N(t) para va lores inteiros pequenos de t. Ela também mos1ra claramente a influência da observação experimental subseqlient e em t = 1 na solu ção durante todo o tempo. Notamos também que o número aluai de bactérias presentes no instante t = O não afeta o tempo de tripli cação. Como mos trado na Figura 3.8, a funç ão expo nenc ial ekr c resce com o tempo qu and o k > O, e decresce qu ando k < O. Logo, problemas que descrevem crescimentos, co mo população, bac téria o u mes mo capital, são ca rac teri zado s por um valor positivo de k; por outro lado, problemas envolvendo decrescimento, como desintegração radi oa tiva, co nduzem a um valor negativo de k. y

\) 1

',

e", k > O crcsc ime n lo

'-.._

,,

e .k<O 1 =2.7 1

Figura 3.7

decresci rn cnto

Figura 3.8

Qualquer fenômeno que tenha como modelo a equação diferencial dx/ dt = kx possui crescimento (k > O) ou decrescimento (k < O) exponencial. O crescimento da popul ação P d e bacté rias , insetos ou mesmo de seres humanos pode ser previsto durante pequenos períodos de tempo pela so lu ção exponencial P(t ) = cek' . O estudo de substâncias que se desintegram pela radioatividade levou à descoberta da cronologia do carbono, que é um m eio de datar fósseis ou m es mo uma múmi a. Veja também o ensaio no final do Capítulo 3.


Volume l

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

/05

Meia-Vida Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial Ao se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro e lemento. Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável ela é. Por exemplo, a meia-vida do ultra-radioativo rádio, Ra -226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em radôni o, Rn-222. O isótopo de urânio mais comum, U-238 , tem uma meia-v ida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transmutada em ch umbo, Pb-206. ---------------- -

EXEMPLO

-

2

Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043 % da quantidade inicial Ao de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.

Solução Denote por A(t) a quantidade de plutô ni o remanescente no instante t. Como no Exemplo l, a solução para o problema de valor inicial

~~

= kA ,

A(O) = Ao,

A(t) = A 0ek 1.

é

Se 0,043% dos átomos de Ao se desintegrou, en tão 99,957% da substância permaneceu. Para calcular k, usamos 0,99957Ao = A(l 5); isto é,

0,99957A 0 = A0e t Sk_ Resolvendo, 15k = ln (0,99957), ou k =

ln (0,99957) 15 = - 0,00002867. A(t) = Aoe- 0.00002867 1_

Logo,

Agora, a meia-vida é o tempo t no qual A(t) = A 0!2. Calculando o valor de t nessa equação, temos

Ao + Aoe- o,00002s611 ou _!_ = e - 0,000028671

2

2

- 0,00002867 t = ln ( ln 2

t = 0,0000 2867

~)

= - ln 2

24, 180 anos.


106

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

Cronologia do C arbo no Por volta de l 950, o químico Willard Libby inventou um método para determinar a id ade c.le fósseis usando o carbono radioativo. A teo ria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a quantidade c.le C-14 para ca rbono ordinário na atmosfera parece ser uma constante e, como co nseqüência, a proporção da quantidade de isótopo presen te cm todos os organismos vivos é a me sma propo rção da quantidade na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa. Logo. comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em um fóssil com a razão constante encontrada na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil. O método se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cerca de 5.600 anos. Por esse trabalho, Libby ganhou o Prêmi o Nobel de quími ca em 1960. O método de Libby tem sido usado para datar mobílias de madeira nos túmulo s egípcios e os pergaminhos do Mar Morto.

EXEMPLO

3

Um osso fossilizado co ntém l / 1.000 da quantidade original do C- 14. Determine a idade do fó ss il.

Solução O ponto de início é novamente A(t) = Aoek'. Para determinar o valor de k, usamos o fato de que Ao/2 = A(5.600), ou Aol2=Aoe 5 ·600 k. Temos então 5 .60(}'( = ln (

t)

= - ln 2

ln 2 k = - 5.600 = - 0,00012378 .

A(t) = Aoe- o.000 1231u

Logo, Quando A(t) = Ao/1000, temo s

~ = A 1.000

assim

e - 0.000123181

o

- 0,000123781 = ln (

l.~OO) =

- ln l.000

ln l.000 t = O,OOOl 2378 ~ 55.800anos.

O resultado do Exemplo 3 está no limite de precisão deste método. A téc ni ca do carbono 14 é limitada a meia-vidas do isótopo, ou seja, cerca de 50.000 anos. Uma razão é que a análise química necessária para obter uma medida acurada do C-14 remanescen te se torna muito sofisticada além do ponto Aoll.000. Também, essa aná lise exige a destruição de uma grande quantidade de amostra do espécimen. Se essa medida fosse feita indiretamen te, baseada


Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações dife renciais de p rimeira ordem

107

na radi oa tivid ade real do espécimen, seri a muit o di fíc il di stin guir a radi ação do fóss il e da radiação no rm al de fund o. Atu almente, o uso de um acelerado r de part íc ulas tem poss ibilitado aos cienti stas separar o C- 14 do estável C- 12 diretamente. Cal cul ando o va lo r preciso da razão de C- 14 e C- 12, a precisão desse método pode se r es tendid a a 70.000- 100 .000 anos. Outras téc ni cas isotópicas , co mo potáss io 40 e argô ni o 40, podem fo rnece r datas de vá ri os milhões de anos. M étodos não- iso tópicos, baseados no uso de amin oácidos , algum as vezes também são possíve is. Resfriamento A lei de resfri amento de Newto n di z q ue a taxa de variação de temperatu ra T(t ) de um corpo em res friamento é proporcio nal à diferença entre a temperatu ra do corpo e a temperatu ra co nstante Tm do meio ambi ente. isto é,

dT = k (T - T ) dt Ili '

(3)

em que k é uma constante de propo rc io nalidade .

EXEMPLO

4

Quando um bolo é retirado do fo rno, sua tempera tu ra é de 300º F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200º F. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele fo i colocado fo r de exatamente 70º F?

Solução Em (3), fa zemos a identificação Tm = 70. Devemos então reso lver o problem a de valor in icial dT dt

k(T - 70),

T(O) = 300,

e determin ar o val or de k para que T(3) = 200. A equ ação (4) é linear e separável. Separand o as va ri áveis, temos

_!II_ - k d t T - 70

lnl T - 701

kt + c 1

T = 70 + c2ek 1•

Quando l = O, T = 300; assim 300 = 70 + c 2 e c 2 = 230. Logo, T = 70 + 230 ek1•

(4)


108

Equações Diferenciais

De T(3)

Cap. 3

Volume I

200, encon tramos e3k =

ll 23

ou

k = l1nll = -0 190 18 3 23 ' .

T(t) = 70 + 230e - 0.190181.

Então,

(5)

Notamos que (5) não fornece nenhuma solução finita para T(t) = 70 pois lim1 - t oo T(t) = 70. Intuitivamente, esperamos que o bolo atinja a temperatura de seu meio ambiente após um longo período de tempo. O que é um longo período de tempo? C laro que não devemos ficar perturbados com o fato de o modelo (4) não ser tão fiel à nossa intuição física. As partes (a) e (b) da Figura 3 .9 mostram c laramente que o bolo estará aproximadamente em sua temperatura ambiente de 70º F em cerca de meia hora. • T

300 150

T = 70 15

30

T(t) 75º 74º 73º 72º 71º 70.5º

t(minutos) 20.l 21.3 22.8 24.9 28.6 32.3 (b)

(a)

Figura 3.9

Circuitos em Série Em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor (L(di/ d1)) e da queda de tensão no resistor (iR) é igual à voltagem (E(t)) no circu ito. Veja a Figura 3 .1 O. Logo, obtemos a equação diferencial linear para a corrente i(t),

L di dt + R'1 = E, (t),

(6)

em que L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente é algumas vezes chamada de resposta do sistema . A queda de potencial em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)IC, em que q é a carga no capacitor. Então, para o circuito em série mostrado na Figura 3 . 11, a segunda lei de Kirchhoff nos dá E(t)

(7)


Volum e 1

Cap. 3

Aplicações de equações diferen ciais de primeira ordem

109

t, -

R L

E

e

R

Circuito em Série R-C

C ircui to em Série L-R

Figura 3.11

Figura 3. 10

Mas a corren te i e a carga q estão re lacionadas por i = dq/ dt, logo, (7) torna-se a equação diferencial lin ear

dn 1 R=- + -q = E(t) .

EXEMPLO

(8)

e

dt

5

Uma bateria de 12 vo lts é conectada a um ci rcuito em série no qual a indutância é de 1/ 2 henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corren te i se a corrente inicial é zero.

Solução

De (6), vemo s que devemos reso lver

.!_ di + IOi 2 d1

= 12

sujeita a i(O) = O. Primeiro, multiplicamos a equação diferencial por 2 e tiramos o fator de integração e 201 . Obtemos então

.!!__ dr

[e20r i]

= 2 4e201

e201i

= 24 e201 20

i =

Agora, i(O)

O implica O

§.5 +

+

c

ce- 201

.

615 + e. ou e = - 615. Logo, a resposta é i(t) =

§. - §. e-201 5

5

Por (7) da Seção 2.5, podemos escrever uma so lução geral para (6): i(t) =

e-(RI L)1

--L-

f

e(RI L)1E(t)dt

+

ce- (RI L)1.

Em particular, quando E(t) = Eo é uma constante, (9) torna-se

(9)


110

Equações Diferencia is

Cap. J

Volume I

i(t) =

~o+

ce - (Rl l)1.

(10)

Note que, quando t ~ oo, o segundo termo da equação (10) se aproxima de zero. Tal termo é usualmente chamado de termo transitório; qualquer termo remanescente faz parte do estado estacionário da so lução. Neste caso, E0 !R também é chamado de corrente estacionária. Após um longo período de tempo, a corrente no circu ito é praticamente governada apen as pela lei de Ohm (E= iR).

Problemas de Misturas Na mistura de dois fluido s, muitas vezes temos de lidar com equações diferen ciai s lineares de primeira ordem. No próx imo exemplo, consideramos a mistura de duas soluções salinas com diferentes concentrações.

EXEMPLO

6

Inicialmente, 50 gramas de sal são di sso lvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução bem mi sturada é então drenada na mes ma taxa. Veja a Figura 3.12. Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer in stante. Quantos gramas de sal estão presentes após 50 minutos? E depois de um longo tempo?

constante Figura 3.12 3001.

')··. ,,"·i Solução Seja A(t) a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante desse tipo, a taxa de variação de A(I) é dada por dA = (

dt

taxa de entradade sal

J- (

taxa de saída de sal

J

= Ri _ Ri.

Agora, a taxa pela qual o sal entra no tanque é, em gramas por minuto, Ri = (3 l/min) x (2g/I) = 6 g/min,

1.

Para problemas

(11)


Vo/llm e /

Cap. 3

Aplicações de eqllações diferenciais de primeira ordem

f//

e a taxa pela qual o sa l sa i é A l/g ) = IOo A l/ mm. . R2 = (3 l/min) x ( 300

Com isso, a equação ( l I) torna-se (12) a qual devemos resolver sujeita à condição A(O) = 50. Como o fator de integração é

!!_

e 11 100,

[et/ IOOA]

dt

= 6e1/ IOO

600e 11 100

assim A

Quando t

podemos escrever (12) como

0,A

600 +

+

e

ce11 100_

(13)

50, logo encontramos e = - 550. Finalmente, obtemos

ºº·

A(t) = 600 - 550e - ' 1 1

(14)

Em t = 50, encontramos, A(50) = 266,41 gramas. Também, quando t ~ oo, podemos ver em (14) e na Figura 3.13 que A ~ 600. Claro que esperávamos isso; durante um longo período de tempo, a quantidade de sal na solução deve ser

(3001)(2 g/I) = 600 g.

No Exemplo 6, supomos que a taxa na qual a solução entrava era a mesma taxa na qual a solução saía. Porém, isso pode não ser o caso; a solução salina pode ser drenada a uma taxa maior ou menor do que a taxa de bombeamento. A equação diferencial resultante nesta última situação é linear com um coeficiente variável. A

A = 600

t(minutos)

500

50 100 150 200 300 400

(a)

A(g) 266.41 397.67 477.27 525.57 572.62 589.93 - - -( b)

Figura 3.13


112

Equações DifereHciais

EXEMPLO

Cap. 3

Vo/11111e I

7

Se a solução do Exemplo 6 for drenada a uma taxa de 2 litros por minuto , então a so lução se acumula a uma taxa de (3 - 2) l/ min = Depoi s de portanto

1

1

l/min.

minuto s há 300 + r litros de so lu ção no tanque. A taxa na qual o sal é drenado é

R? = (2 l/min) x ( A g/l ) = ~ g/min. (300 + t) 300 + t A equação ( 11) então torna -se dA dt

6-~ 300 +

1

ou dA+~=ó. dt 300 + (

Encontrando o fator de integração e resolvendo a última equação, obtemos A(t) = 2(300 +' 1) + c(300 + 1)- 2 .

A condição inicial A(O)

= 50 acarreta e = - 4,95

x l 0 7 , assim

A(I) = 2(300 + 1) - (4,95 X 107 )(300 + 1) - 2 .

Nota Considere a equação diferencial do Exemplo l que descreve o crescimento de bactéria. A solução N(1) = NoeOAOSSi do problema de valor inicial dN/dr = kN, N(to) = No 5t é evidentemente uma função contínua. Mas , no exemplo, estamos falando sobre uma população de bactérias, e o bom senso dita que N toma apenas valores inteiros positivos. Ainda, a população não cresce necessariamente de maneira contínua, isto é, cada seg undo, cada milésimo de segundo e assim por diante, como previsto pela função N(i) = N 0 4 551 , dev~m existir intervalos de tempo (1 1, 12 ] em que não há crescimento algum. Talvez, então, o gráfico mostrado na Figura 3. l 4(a) seja uma descrição mais reali sta de N que o gráfico dado por uma função exponencial. O ponto é, em muitas circunstâncias, que um modelo matemático descreve um sistema apenas em termo s aproximados. Freqüentemente, é mais conveniente e acurado usar uma função contínua para descrever um fenômcno discreto . Porém, para alguns propósitos, estaremos satisfeito s se nosso modelo descrever o sistema acuradamente quando visto macroscopicamente, como na Figura 3. l4(b) e (c), em vez de microscopicamente.

eº· º


Vo lum e 1

Ca1>. 3

Aplicações de equações dife renciais de p rime ira o rde m N

N

N

N, e" ~

N,

11J

,.,.-

N,

/

11 (a)

(b)

(e)

Figura 3. 14

3.2

EXERC ÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão na página 446. l. Sabe-se que a popul ação de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcio nal ao número de

pessoas prese ntes em qualquer in stante. Se a população dupli cou cm 5 anos. qu ando e la triplicará? Quando quadrupli cará? 2. Suponha que a população da comunidade do Problema 1 sej a 10.000 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qu al será a popul ação cm 10 anos? )/ A pop ulação de uma cidade cresce a uma taxa proporc ional à população em qualque r tempo. Sua J pop ulação ini cial de 500 hab itantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a po pul ação e m 30 anos?

4. A população de bactéri as em uma cultu ra cresce a uma taxa proporciona l ao número de bactéri as presentes e m qu alquer te mpo. Após 3 horas, observa-se que há 400 bacté ri as prese ntes. Após 1O horas, ex istem 2000 bactérias presentes. Qu al era o número inici al de bactéri as'> 5. O isótopo radioati vo de chum bo, Pb-2 09, decresce a uma taxa proporcional à qu antidade presente em qualq uer te mpo. Sua meia-v ida é 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está prese nte ini cialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? 6. Ini cial mente, hav ia 100 mili gramas de uma sub stância radioati va presente. Após 6 horas, a massa di min uiu 3%. Se a taxa de decresc imento é proporcio nal à quantidade de substância presente em qualquer tempo, encontre a quantidade remanescente após 24 horas. 7. Det<!rmine a meia-v ida da substâ ncia radi oati va descrita no Probl ema 6. 8. Mostre qu e a me ia-v ida de uma sub stância radioati va no caso geral é


114

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume l

9. Quando um raio de lu z ve rtica l passa a tra vés de uma s ubs tânc ia tran sparent e, a taxa na qual sua intensidade f decresce é propo rc io nal a / (1), cm que t representa a espess ura do meio (em me tros) . No mar, a inte nsidade a 3 me tros abaixo da superfíci e é 25% da intensidade ini c ia l l o do raio incident e. Qual é a inten sidade do raio a 15 metros abaixo da s upe rfíc ie? IO. Quando a capita li zação é fe ita de ma neira co ntínua, a quantidade de dinheiro S aume nta a uma taxa proporc io nal à quantidade presente c m qualquer te mpo: dSI dt = rS, em que ré a taxa an ual de juros (veja (26) da Seção l .2).

(a) E nco ntre a quantidade de dinheiro acumulad o no final de 5 anos , quando $5.000 são depositados em uma poupança co m taxa anual de juros de 5,75% e ca pitali zação co ntínua. (b) Em qu a nto s a nos a so ma inic ial depositada duplicará?

(e)

Use uma calc ul adora e co mpare o número ob tido na parte (a) com o valor 5(4)

s

= 5 ººº( 1 + º·º175

J

Esse valor representa a quantidade ac umulada quando a capita li zação é trimestra l.

ll. Em um pedaço de made ira queimada, o u carvão, verifi cou-se que 85,5% do C- 14 tinha se desintegrado. Use a informação do Exemplo 3 para determinar a idade aproximada da madeira. (Foi precisamente este dado que a rqueolog is tas usaram para d atar pinturas pré-histórica s em uma caverna cm Lasca ux, França.) 12. Um termô me tro é re tirado de dentro de uma sa la e colocado do lado de fora, c m que a temperat ura é de 5ºC. Após 1 minuto, o tc rmômetro marcava 20ºC; após 5 minutos, lOºC. Qual a temperatura da sala? 13. Um tcrmômetro é removido de uma sa la , em que a temperatura é de 70º F, e co locado do lado de fora, e m que a te mperatura é de IOº F. Após 0,5 minuto, o te rmô me tro marcava 50ºF. Qual será atemperatura marcada no tc rmô me tro no in stante t = 1 minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar l 5º F?

14. A fórmula (3) ta mbé m é válida q ua ndo o corpo absorve calo r do meio ambie nte. Se uma pequena barra de metal , c uja te mperatura ini c ia l é de 20 ºC, é co locada em um vasilhame de água em ebul ição, quanto tempo levará para a te mperatu ra da barra atingir 90ºC se é fato conhecido que sua temperatura aumenta 2º em 1 segundo? Quanto tempo levará para a te mperatura da barra chegar a 98 º C? 15. Uma força e le tromatri z (fcm) de 30 volt s é aplicada a um circuito e m série L-R no qual a indutância é de 0,5 he nry e a resistência, 50 o hm s. Encontre a corrente i(I ) se i(O ) = O. Determine a corrente quando t ~ ~. 16. Resolva a equ ação (6) s upo ndo E( t ) = Eo sen wt e i(O) = io. 17. Uma força c letromoti va de 100 volts é ap licada a um c irc uito R-C e m série no qu al a resis tência é d e 200 o hms e a capac itâ nc ia, 10- 4 farad. Encontre a carga q(t) no capaci tor se q(O) = O. Encontre a corrente i(t). 18. Uma força e lctromatriz (fem) de 200 volts é aplicada a um circuito R- C em série no qual a resistência é 1000 o hms e a capacitância, 5 x 10- 6 farad. Encontre a carga q(t) no capaeitor se i(O) = 0,4. Determine a carga quando t ~ ~.


Volume l

Cap. 3

Aplicações de equações dife ren ciais de primeira ordem

11 5

19. Uma força e lclromalri z. E(t) = {

120,

o$

O,

1

1

$ 20

> 20

é ap li cada a um c ircuilo L-R em série no qual a indutância é de 20 he nrys e a re sis1ê ncia, 2 ohms. Encontre a co rre nle i(t) se i(O) O.

=

20. S upon ha que um circuito R-C e m sé ri e lenha uma res istê ncia variável. Se a resistê nc ia no in stante t é dada por R = k1 + k11, c m que k1 > O e k1 > O são co nsta ntes. cn1ão (8) !orna-se (k1 + k11) Mos Ire que, se E(I)

~

+

z

q = E(t).

Eo e q(O) = q0 • então

k

q(t) =EoC+ (qo - EoC) ( - -1-

k1 + k1t

)l/Ck, -

21. Um tanque contém 200 litros de fluido no qual são dissolvidos 30 g de sal. Uma so lução salina contendo l g de sal por lil ro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto; a mistura é drenada à mes ma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal A(I) no tanque em qualquer instante.

22. Resolva o Problema 21 s upondo bombeamento de ág ua pura no Ianque. 23. Um ta nque contém 500 litros de água pura. Uma so lução salina contendo 2 g de sal por litro é bombeada para dentro do ta nque a um a taxa de 5 litros por minuto. A mi stura é drenada à mes ma taxa. Encontre a quanlidade de gramas de sal A(t) no tanqu e e m qualquer in stante.

24. Resolva o Problema 23 s upondo qu e a so lução seja dre nada a uma taxa de 10 litros por minuto. Quando o tanque estará vazio? 25 . Um tanque está parcialmente che io com 100 litros de fluido nos quais LO g de sa l são di ssolvidos. Uma so lu ção sa lina contendo 0,5 g de sal por litro é bombeada para de ntro do ta nque a uma taxa de 6 litros por minuto . A mi stura é então drenada a uma taxa de 4 litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque após 30 minutos. 26. Uma bebida contendo 6% de álcool por litro é bombeada em um tone l que inicialmente contém 400 litros de bebida com 3% de álcoo l. A taxa de bombeamenlo é de 3 litros por minuto , enquanto o líquido misturado é dre nado a uma 1axa de 4 litros po r minuto . Enconlrc quantos litros de á lcool A(I) há no tanqu e em qualquer in stante. Qual é a porcentagcm d e á lcoo l no tanque após 60 minutos? Quando o tanque estará vazio?

Aplicações Diversas 27. A eq uação diferencial para a velocidade proporcional à velocidade in stantânea é

v de uma massa em queda m s uj ei ta à resi stênc ia do ar

md.!:!_ = mg - kv ,

dt


11 6

Equa ções Dife renciais

Cap. 3

Vo lum e I

e m que k é uma constante de proporcionalidade pos iti va. (a) Reso lva a equ ação suje ita à condi ção ini cia l v(O)

= v0.

(b) Dete rmine a velocidade lim ite, ou terminal, da massa. (e) Se a di stâncias es tá relac ionada co m a veloc idade através da igualdade dsl dr expressão ex plícita pa ras, supondo que s(O) = s0 .

v, enco ntre urna

Sob certas circunstâncias, um corpo movendo-se através do ar encontra uma resistência que é proporcional à sua velocidade v. Em geral , a resistê ncia do ar é diretamente proporcional a uma potência positiva da velocidade do corpo - quanto mais rapidamente o corpo se move, maior a resistência. Para corpos movendo-se em alta velocidade, tais como projéteis ou pára-que distas em queda livre, a resistência do ar é freqüentemente tida como proporcional a v 2 . Veja també m o Problema 8, página 134. 28. A taxa na qual uma droga é di sseminada na corrente sanguínea é dada pela equação diferencial em que A e B são constantes pos iti vas. A fun ção X (t ) descreve a co ncentração de droga na corre nte sanguínea em relação ao tempo t . Encontre o valor limite de X quando r --7 ~. Quand o a conce ntração atinge a metade desse va lor limite? Su po nha que X(O) = O. 29. Um marcapasso, como mostrado na Figura 3.1 5, co nsiste em uma bateria, um capacitor e o coração co mo res istor. Qu ando a chave S está em P, o capacitor é carregado; quando S es tá em Q, o capacitor é descarregado, e nviando um impulso elétri co ao coração. Du rante esse tempo, a vo lt agem E apli cada ao coração é dada por

em que R e C são constantes. Determine E (t ) se E(t 1) = E0 . (É cl aro que a chave é aberta e fechada periodi camente para simular o batimento cardíaco natu ral. )


Volum e l

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

f 17

JO. Suponha uma cé lula s uspe nsa em uma so lu ção contendo um so l vente de co nce ntração co nstante e,. Suponha ainda que a célula tenha vo lume constante V e que a área de sua superfície permeável também seja co nstante igual a A. Pela lei de Fick , a taxa de variação de sua massa m é diretamente proporcional à área A e à diferença C 5 - C(t). em que C(t) é a concentração do solvente dentro da célula no in stante e. Encontre C(1) sem = VC(t) e C(O) = Co. Veja a Figura 3.16.

f ~

- ~ '-.

Figura 3.15

~7( oncetração

q11

\

con~tração e,

moléculas de soluto passando através da membrana ~ celular Figura 3.16

31. Em um modelo de variação populacional P(t) de uma co munidade, é suposto que dP

dB

dD

di=d/-d/' c m que dB/ dt e dD/ dt são as taxas de nascimento e óbito, rcspectivamente . (a)

Reso lva para P(1) se dB dD dt = k1P e dr = k1P.

(b) Analise os casos k 1 > k1 , k 1 32. A equação diferencial dP dt = (k

cos t)P,

em qu e k é uma cons tante positi va, é freqüentcmcnt e usada como um modelo de uma população sujeita à tlutuaçõcs sazonais. Encontre P(I) e faça um gráfico da solução. Suponha P(O) P0 .

=

33. Em coordenadas polares, o momento angular de um corpo em movimento de massa m é definido por L = mr\dO/d t). Suponha que as coordenadas do corpo sejam (ri. 01) e (rz, 0 2) nos instantes 1 = a e t = b, a< b, respectivamente. Se L é constante, mostre que a área A varrida por ré A = L(b - a)/2m. Quando o sol é colocado na origem, isso prova a segunda lei de Kepler sobre movimento planetário.*

Johannes Kepler formulou e publicou em 1609 três leis sobre o movimento planetário. A primeira, e provavelmente a mais famosa, diz que um planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, com o Sol em um dos focos. A segunda diz que o raio vetor ligando o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.


/1 8

Eq11ações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

Figura 3.17

34. Quando o esquec imento é levado em conta. a taxa de memorização de uma pessoa é dada por

em que k 1 > O, k~ > O, A(t) é a quantidade de material m~m o rizada no instante 1, M é a quantidade total a ser memorizada e M - A é a quantidade resta nte a ser memorizada. Encontre A(t) e esboce um gráfico da so lução. Suponha A(O) = O. Calc ul e o valor limit e de A quando t -7 ~ e interprete o resultado.

3.3

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO- LI N EA RES

Vimos que , se uma população Pé desc rita por dP = kP

de

'

k > O,

(1)

então P(t) apresenta .um crescimento exponencial não limitado. Em muitas circunstâncias, essa equação diferencial proporciona um model o irreal de crescimento de uma população, isto é, o que se observa de fato difere substancialmente do prev isto pela equação. Por volta de 1840, o matemático-biólogo P. F. Yerhulst preocupou-se com as formulações matemáticas para previsão de populações humanas de vários países. Uma das equações estudadas por ele foi

dP dt

P(a - bP) ,

(2)

em que a e b são constantes posi tivas. A eq uação (2) fico u conhecida como a equação logística, e sua solução é chamada de função logística (seu gráfico é naturalmente chamado de uma curva logística). A equação ( 1) não representa um modelo acurado para crescimento populacional quando esta é muito grande. Condições de superpopulação com as consequentes deteriorações do meio ambiente, tais como poluição e excessiva e competitiva demanda por alimento e combustível, podem ter um efeito inibidor no crescimento populacional. Se a, a > O, é uma taxa


Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

119

média de nascimento, vamos supor que a taxa média de óbito seja proporcional à população P(t) no instante t. Logo, se (li P)(dP / dt) é a taxa de crescimento por indivíduo em um a população, então J__ dP = ( taxa média ) - (taxa média ) = a _ bP. P dt de nascimento de óbito

(3)

em que b é uma constante positiva de proporcionalidade. Multiplicando (3) por P, obtemos imediatamente (2). Como veremos, a solução para (2) é limitada quando I ~ N. Se escrevermos (2) como dP/ dt = aP - bP 2 , o termo - bP 2 , b > O, pode ser interpretado como um·· inibidor" ou "competidor". Ainda , na maioria das aplicações, a constante positiva a é muito maior que a constante b. Curvas logísticas são modelos bem acurados para previsão de crescimento populacional, em um espaço limitado, de certos tipos de bactérias, protozoários, pulgas d ' água (Daphnia) e moscas das frutas (Drosophila). Já vimos a equação (2) na forma dx/ dt = kx(n + l - x), k > O. Essa equação diferencial proporciona um modelo razoável para descrever a disseminação de uma epidemia trazida inicialmente pela introdução de um in divíduo infectado em uma população estática. A solução x(t) representa o número de indivíduos infcctados em qualquer tempo t (veja Exemplo 11, Seção 1.2). Sociólogos e mesmo analistas financeiros têm usado este último modelo para estudar a propagação de informações e o impacto de anúncios em certos centros populacionais.

Solução Um método para resolver a equação (2) é a separação de variável.* Usando frações parciais. podemos escrever __ d_P__ = dt P(a - bP)

[ l /a + P

__/?_!!!_] dP =

dt

a - bP

.!_ lnlPI - .!_ lnla - bP1 = t + e a a ln , _ P_ , = at + ac a - bP __P__ =e era 1 a - bP

*

(4)

Na forma (dP/dt) - aP = - bP 2, devemos considerar a equação logística como um caso especial da equação de Bernoulli (veja Seção 2.6).


120

Eq11ações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

Segue-se da última equação que

ac 1e" 1

P(t)

ac 1

+ bc 1eª 1

(5)

bc1 +e- ar.

Agora, se for dada uma condição inicial P(O) = Po, Po 7' a/b, * a equação (4) implica c 1 = Po / (a - bPo). Substituindo esse valor em (5) e simplificando, obtemos P(t) =

aP0 bPo+ (a -bPo)e-ª 1

(6)

·

Gráficos de P(t) A forma básica do gráfico da função logística P(t) pode ser obtida sem muito esforço. Embora a variável t represente usualmente o tempo e raramente nos preocupemos com exemplos em t < O, será interessante incluir esse intervalo na elaboração dos vários gráficos de P . A partir de (6), vemos que, P(t)

~

aPo a = - quando t bPo b

~ oo

e P(t)

~

O quando t

~

Agora, derivando (2) pela le i do produto, obtemos d 2P = P(-b dP) +(a - bP) dP ~2 dt ~ =

dP -;J; (a

- 2bP)

= P(a - bP)(a - 2bP) = 2b 2 P ( p -

~ )( p

- ;b }

(7)

No cálcu lo, vimos que os pontos em que d 2 P! dt 2 = O são os possíveis pontos de inílexão, mas P = O e P = a/b podem obviamente ser desca rtados. Logo, P = a/2b é o único va lor poss ível no qual a concavidade do gráfico pode mudar. Para O < P < a/2b, seg ue-se de (7) que P" > O e a/2b < P <alb implica P" < O. Portanto, o gráfico passa de convexo para côncavo no ponto correspondente a P = a/2b . Quando o valor inicial sat isfaz O < Po < a/2b, o gráfico de P(t) assume a forma de um S, como podemos ver na Figura 3. l8(a). Para a/2b < Po < a/b, o gráfico é ainda em forma de S, mas o ponto de inflexão ocorre cm um valor negativo de t, como mostrado na Figura 3. l 8(b).

*

Note que P = alb é uma solução singular para a equação (2).


Volume I

Cap. J

Aplicações de equações diferen ciais de primeira ordem

121

Se Po < a/ b, a equação (7) mostra que P" > O para todo t no domínio de P(r) no qual p > O. Quando P < O, a equação (7) implica P" < O. Porém, P = O não é um ponto de inflexão , pois, quando a - bPo < O, uma inspeção de (6) revela um a as s íntota vertica l em

t = - _!_ln ( a

bPo )· bPo - a

O gráfico de P(t) nes te caso é mostrado na Figura 3. 19. p

p

----- ------------- - - alb

-

------------- alb !'_,___ ________ a/2b

~

---- -- -- -· ----------- a/2b P,

(b)

(a)

Figura 3. 18 p

!\

: '-.. P,

- ------- ~- --

' ''

---- alb Figura 3. 19

\ <

1 = -.!.1n(~) a bP, - a

EXEMPLO Suponha que um es tud ante in fectado com um vírus da gripe retorne a um a fac uld ade isolada no campus onde se e ncon tram 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na qual o vírus se espa lh a é proporcional não somente à q uantid ade x de a lun os in fectados , mas também à quantidade de alu nos não infectados, determine o número de alun os infectados após 6 dias se ainda é observado que depo is de 4 dias x(4) = 50.

Solução Supondo que ninguém saia do camp us enq uan to durar a ep idemia , devemos resolver o problema de va lor ini cia l

dx dt

kx( I OOO - x),

x(O)

1.


122

Volum e I

Cap. J

Equações Diferenciais

Fazendo as identificações a = 1.OO<lk e b = k, conclu ímos imediatamente de (6) que l.OOQ/c

1.000 l + 999e- l.OOOkt

x(t) = - - - - - - -

k + 999ke-

l.OOOkt

(8)

Agora, usando a informação x(4) = 50, determinamos k através da equação

o __ 50 = _ _1_.o_o_ 1 + 999e- 4000k 19

- 1

k = 4 _000 ln 999 = 0,0009906.

Encontramos

1.000

x(t) = - - - - - + 999e- 0,99061

Logo, (8) torna-se

1.000 x(6) = - - - - 5 -9- 3-6 = 276estudantes .

Finalmente

+ 999e- ·

4

Valores adici onais de x(t) são dados na tabela da Figura 3.20.

X X =

t(dias)

x(número de infectados)

4 5 6 7 8 9 10

50 (observado) 124 276 507 735 882 953

1000

500

5

10

1

(a)

( b)

Figura 3.20

Curvas de Gompertz Uma modificação da eq uação logísti ca é

dP dt

= P(a - b lnP) ,

(9)

em que a e b são constantes. Mostra-se facilmente por separação de variável (veja Problema 5) que uma solução para (9) é P(l) =

eªl be- ce

- b•

,

(10)


Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações dife renciais de primeira ordem

123

em que e é uma co nstante arbitrária. Notamos que, se b > O, P ~ eª 1", quando 1 ~ oo. enquanto para b < O, e > O, P ~ O, quando 1 ~ 00 . O gráfico da função ( 10), chamado curva de Gompertz, é muito semelhante ao gráfi co da funç ão logístic a. A Figura 3.21 mostra du as poss ibilidades para o gráfico de P(1). Funções tais co mo (10) são enco ntrad as, por exe mpl o, nos estudo s de cresc iment o ou decrescimento de certas populações, no cresc imento de tumores, em previsões atuariai s e no es tudo de cresci ment o de rend a na ve nda de um produto co mercial. p

p alb

alb

e P,

e b < O, e> O P,

~> 0,c > O /

Figura 3.21

Reações Químicas A desintegração de uma sub stân cia radioativa, governada pela equação(!) da seção precede nte, é chamada de reação de primeira ordem. Em química, poucas reações seguem a mesma lei empíri ca: Se as moléculas de uma sub stância A se decompõem em moléculas menores, é uma suposição natural que a taxa na qual essa decomposição ocorre seja proporcional à qu antidade da primeira substânci a que não tenh a se submetido à co nversão; isto é, se X(t) é a quantidade de substância A remanescente em qualquer tempo, então dX = kX

dt

'

em que k é negati vo, pois X é decrescen te. Um exemplo de uma reação química de primeira ordem é a conversão de t-cloreto butílico em 1-álcoo l butílico:

Somente a concentração do 1-cloreto butílico controla a taxa de reação. Agora, na reação

para cada molécul a de cloreto metílico, uma molécula de hidróxido de sódio é consumida, formando assim uma molécula de álcool metílico e uma mol écula de cloreto de sódio. Neste caso, a taxa na qual a reação se processa é proporcional ao produto das concentrações remanescentes de CH3CI e de NaOH. Se X denota a quantidade de CH30H formad a e a e p são as


124

Equações Diferenciais

Cap. 3

\folume 1

quantidades dadas dos dois primeiros compostos químicos A e B, então as quantidades instantâneas não convertidas em C são a. - X e p - X, respectivamente. Portanto, a taxa de formação de é dada por

e

dX di

= k(a. - X)(p - X),

(11)

em que k é uma constante de proporcionalidade. A reação descrita pela equação ( 11 ) é chamada de segunda ordem.

EXEMPLO

2

Um composto C é formado quando dois compostos químicos A e B são comb in ados. A reação resultante entre os dois compostos é tal que, para cada grama de A, 4 gramas de B são usados. É observado que 30 gramas do composto C são formados em 10 minutos. Determine a quantidade de C em qualquer instante se a taxa da reação é proporcional às quantidades de A e B remanescentes e se inicialmente havia 50 gramas de A e 32 gramas de B. Qual a quantidade do composto C que estará presente após 15 minutos? Interprete a solução quando t -? oo .

Solução

Seja X(t) a quantidade em gramas do composto C, presente em qualquer instante. Claramente, X(O) = O e X(lO) = 30.

Agora, por exemplo, se houver 2 gramas do composto C, teremos usado, digamos, a gramas de A e b gramas de B, de tal forma que

a + b

=2

e

b

= 4a.

Portanto, devemos usar a = 21 5 = 2( l / 5) g do composto A e b caso geral , para X g de C devemos usar

X 5

-g de A

e

4 5X g

8/ 5

2(4/ 5) g de B. No

de B.

As quantidades de A e B remanescentes em qualquer instante são então 50 - !S_ 5

e

32 -

±x 5 '

respecti vamente. Agora, sabemo s que a taxa na qual o composto C é formado satisfaz

~

oc (

50 -

~ ) ( 32 - ~X}

Para simplificar, fatoramos 115 do primeiro termo e 4/5 do segundo, e daí introduzimos a constante de proporcionalidade:

dX dt

k(250 - X)(40 - X).


Volume I

Ca p. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

125

Separando as variáveis e usando frações parciais, podemos escrever ____ d_ X_ _ _ = k d1 (250 - X)(40 - X)

1/ 2 10 dX + 1/ 210 dX = kdt 250 - X 40 - X ln 1 250 - X 40 - X

1

= 2 1Okt + e 1

250 - X = coe 2 10" . 40 - X -

(12)

Quando t = O, X = O; logo , seg ue-se que c2 = 25/ 4. Usando X = 30 em 1 = LO, encontramos 210k

=w1 ln 88 25

= 0 , 1258.

Com essa informação, reso lvemos ( 12) explicitando X: 1 _ e-0. 12581 X(t) = 1000

(13)

11 - · 25 - 4e - 0 · _) 8'

O compo rtamento de X como uma função do tempo é ilustrado na Figura 3.22. É c laro, pelo acompanhamento da tabela e pela equação (13), que X ~ 40 quando t ~ oo. Isso s ignifica qu e há 40 gramas de composto formado, deixando

e

e

50 -

±(40)

32 -

1(40) =

= 42 gramas de A

O grama de 8.

X ---- -;_--.= -- - - - X = 40

t(minutos)

X(gramas)

10 15

30 (medido)

34.78 37.25 38.54 39.22 39.59

20 25 10 20 30

30

35

(a)

---- ---(b)

Figura 3.22


126

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume 1

Lei de Ação das Massas O exemplo precedente pode ser general izado da seg uinte maneira. Suponha que a gramas de substância A são combinadas com b gramas de substância B. Se há M partes de A e N partes de B formadas na combinação, então as quantidades de substâncias A e B remanescen tes e m qualquer instante são, respectivamente, a - ___!!__X M+N

Assim,

dX dl

[

oc

e

b - __ N_X. M+N

a - M M. + NX ][ b - M N+ NX ] .

(14)

Procedendo como antes, se fatorarmos Ml(M + N) no primeiro tem10 e Nl(M + N) no segundo, a equação diferencial resu ltante é a mesma de ( 11 ): dX

dl a=

em que

= k(a - X)(/3 - X),

a(M + N)

e

(15)

f3 = b(M + N) .

M

N

Os químicos se referem às reações desc ritas pe la equação ( 15) como a lei de ação das massas. Quando a ~ {3, pode-se mostrar facilmente (veja Problema 9) que um a solução para ( 15) é

-1 - ln

a-{3

a -

1--X 1=

{3 -X

kt +e.

(16)

Quando supomos a condição inicial natural X(O) = O, a equação ( 16) conduz à seguinte so lução exp lícita

X(l) =

af3[1- e<a-/J)k1] f3 - ae<a - íJík1 .

(17)

Sem perda de generalid ade, podemos supor em ( 17) que f3 > a ou a - f3 < O. Como X(t) é uma função crescente, esperamos k > O, e então segue-se imediatamente de ( 17) que X ~ a quando t

~

oo.

Velocidade de Escape No Exemplo l da Seção 1.2, vimos que a equação diferencial de um objeto em queda de massa m próximo à superfície da terra é dada por m

2

d s d/l

. ·r· d 2s = - mg ou sunph 1que d/l = - g,


Volume I

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

Cap. 3

127

em que s representa a distância da superfície da terra ao objeto e a direção positiva é considerada para cima. Em outras palavras, essencialmente, está sendo considerado aqui que a distância s ao objeto é pequena quando comparada com o raio da terra R; posto de outra maneira, a distânci a y do centro da terra ao objeto é aproximadamente a mesma que R. Se, por outro lado, a distância y a um objeto, tal como um foguete ou uma sonda espacial, for grande se comparada com R, então combinamos a segunda lei de Newton sobre o movimento e sua lei universal de gravitação para deduzir uma equação diferencial na variável y. A solução dessa equação diferencial pode ser usada para determinar a velocidade mínima, chamada velocidade de escape, necessária para um foguete se livrar da atração gravitacional da terra.

EXEMPLO

3

Um foguete é lançado verticalmente, como mostrado na Figura 3.23. Se considerarmos a direção positiva para cima e se a resistência do ar for ignorada, então a equação diferencial do movimento depois de esgotado o combustível é

i!..l_

= - k mM ou

y2

m dt 2

i!..l_

= - kM ,

y2

dt 2

(18)

em que k é uma constante de proporcionalidade, y é a distância do centro da terra ao foguete, M, a massa da terra e 1n, a massa do foguete. Para determinar a constante k, usamos o seguinte fato: quando y = R, mM

k - - = mg ou k

R2

2

PR =-=M

Logo, a última equação em (18) torna-se

(19)

v,

Figura 3.23 Uma bola ou um foguete lançado diretamente para cima voltará à terra sob a influência da gravidade, a menos que seja lançado com uma velocidade suficientemente grande. A equação diferencial de segunda ordem mcry/dt2 = - kMm/y2 pode ser usada para determinar a assim chamada "velocidade de escape" que um objeto necessita para se livrar da atração gravitacional de um corpo celeste tal como a terra. A velocidade de escape independe da massa do objeto, assim a velocidade de escape na superficie da terra para uma bola é a mesma que para um foguete.


128

Equações Diferenciais

Cap. 3

Vo /11111e I

Embora isso não sej a uma eq uação de primeira o rd em, se esc revermos a ace le ração co mo d 2y d1 -

dv dt

dv dy dy d t

dv dy

~=-=--=v-,

então ( 19) torna -se uma equ ação de prim e ira orde m e m v; isto é, dv

vdy

R2 y-

= -g--o·

Es ta última equação pode se r reso lvid a po r separação de va ri áveis. De

f v dv = - gR f y 2

2dy obte mos v 2 = g R 2

2

y

+

e.

(20)

Se supomo s qu e a veloc id ade é v = v0 qu ando o co mbu stív e l acabar e qu e y ~ R nesse mome nt o, podemos obte r o valor (apro ximado) de e. De (20), e ncontram os e = - gR + vo 21 2. Substituindo esse va lo r e m (20) e multipli ca ndo a equ ação res ultante po r 2, o btemos, 2 R2 ? v = 2g - - 2gR + v 0- .

y

(21)

Você pode a rg ume ntar qu e, no Exempl o 3, não reso lve mos rea lm ente a equação o rig inal em y. Na verdade, a so lução (2 1) nos forn ece muita informação . Agora que fi zemos a parte mai s difíc il , de ixa mo s co mo exercíc io de te rm inar a ve loc id ade de escape da terra. Vej a o Problema 11 .

3. 3

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 447 e 448. 1. O número de supermercados C( t ) no país qu e estão usand o um sistema co mput adori zado é desc rit o

pelo problema de valor inicial

~~

= C( l - 0,0005C),

C(O) = 1,

cm que t > O. Quantos supermercados estarão usando sistemas computadori zados qu ando l = 1O? Quantas companhi as estarão adotando esse novo procediment o depois de um longo período de tempo? 2. O número de pessoas N(t) em uma comunidade que são ex postas a um anúncio em particul ar é dado pela equação logística. Inici almente N(O ) = 500, e é observado que N( I) = 1000. Está prev isto que o número máximo de pessoas na co munidade que verão o anúncio será 50 .000. Detertninc N(t ) em qualquer tempo. 3. A população P(t) de uma grande cidade é descrita pelo problema de valor ini cial


Volume I

Cap. 3

dP

dr

Aplicações de equações difere nciais de primeira ordem

= P(l0-

1 -

10-

7 P),

P(O)

/ 29

= 5000,

em quer é med ido em meses. Qual é o va lor limite da população'' Quando a população será ig ual à metade desse valor limite? 4. Encontre uma so lu ção para a eq uação logística modificada .

~ = P(a

- bP)( I - cp - \

a, b, c

> O.

5. (a) Reso lva a eq uação (9): (b) Determine o va lor de c na equação ( 10) se P(O) = /'o. 6. Supondo O < Po < eª 1 h e a > O, use a eq uação (9) para enco ntrar a ordenada do ponto de inflexão

de uma curva de Gompertz. 7. Dois compos tos químicos A e B são combin ados para fo rmar um terceiro co mposto C. A taxa ou

velocidade da reação é proporcional à quantidade in stantânea de A e B não co nvertida em C. Inicialmente, há 40 gramas de A e 50 gramas de B, e para cada gra ma de B, 2 gramas de A são usados. É observado que 1O gramas de C são formados em 5 minutos. Quanto é fo rmado em 20 minutos? Qual é a quant id ade limite de C após um longo período de tempo? Qua l é a quanlidade remanescent e de A e B depois de um longo período de te mpo? 8. Reso lva o Prob lema 7 se l 00 gramas de A estão presentes ini c ia lm ente. Quando temos a metade do composto C fo rmada ? 9. Obte nha uma solu ção para a eq uação

dX dt = k(a

- X)(/3 - X)

que governa as reações de segu nd a ordem nos dois casos: a

#

f3 e a = {3.

10. Em uma reação química de terceira ordem, a quantidade de gramas X de um composto obt ido pela comb inação de três outros co mpostos é governada pela eq uação

dX dt = k(a Resolva essa equação supo nd o

a

#

f3

#

- X)(/3 - X)(y - X)

y

ll. (a) Use a equação (2 1) para mostrar que a velocidade de escape do fogue te é dada por v0 = [Suges rão: faça y -7 ~em (2 1) e suponha v > O para todo 1.J

'12gR.

(b) O resultado da parte (a) é vá lido para qualquer corpo no sis tema so lar. Use os va lores g = 9,8 m/s e R = 6350 km para mostrar que a ve locidade de escape da terra é de aprox im adamente v 0 = 11,2 km/s. (e)

Encontre a ve loc idade de escape da lu a se a aceleração da gravi dade é igual a O, 165 g e R = 1738km.


130

Equações Diferen ciais

Cap. 3

Volum e 1

Outras Aplicações 12. No Exemplo 7 da Seção l. 2. vimos que a equ ação diferencial que descreve a forma de um fio de densidade linear co nstante w suspenso sob a ação do próprio peso é

em que T 1 é a tensão horizontal no fio e m seu ponto mais baixo. Usa ndo a substitu ição p reso lva essa equação sujeita à condi ção inicial y(O) = l , y'(O) = O.

dyldx,

13. Uma equação se melhante a do Problema 12 é

Neste caso, a equação surge no es tudo da forma do ca minh o que um perseguidor, correndo a uma veloc id ade v 2 , deve percorrer para interceptar uma presa corre ndo a uma ve loc id ade 1• 1. Use a mesma substitui ção do Problema 12 e a condi ção inicial y(I) = O, y'(I) =O para resolver a eq uação. Considere os dois casos v 1 = V2 e v 1 7' V2. 14. De acordo com a lei de Stcfan sobre radiação, a taxa de variação da temperatura de um corpo com temperatura abso luta T é

dT dt

cm que T m é a temperatu ra absoluta do meio ambiente. Encontre uma so lução para essa equação diferencial. Pode ser mostrado que, quando T - Tm é pequena e m comparação a Tm , essa equação particular é aproxi mad a pe la lei de resfriamento de Newton [Equação (3), Seção 3.2J. 15. A altura h da água que está íluindo através de um orifício no fundo de um tanque cilíndrico é dada por dh Ao _r= - - '42gh, dt A.,.

2

g = 32m/s,

em que A.,. e Ao são as áreas das seções tran sversais da água e do orifício, respectivamente (veja Exemplo 8, Seção 1.2). Resolva a equação se a altura ini cia l da água era 20 m, A.,. = 50 m2 e Ao = 1/ 4 m2. Quando o ianqu e estará vazio? 16. A equação diferencial não- linear

dr ) 2 =2µ - + 2/i ( -dt '

em que µ e h são constantes não- negativas, aparece no estud o do problema de dois corpos em mecânica celeste. Aqui, a variável r representa a distância entre as duas massas. Resolva a eq uação nos doi s casos: h = O e h > O. 17. Reso lva a equação diferencial da tratriz


Volume I

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

dy

}'

dx

.\1,,..-------,s~ - y~

13 J

(veja Problema 19, Exercícios l.2) . Suponha que o po nto inic ial no eixo dos y seja (O, l O) e compri mcnto da corda seja s = l O m.

0

18. Um corpo de massa m caindo através de um meio viscoso encontra uma força de res istê ncia pro porcional ao quadrado de sua velocidade instantânea. Nessa situação a equação diferencial para a velocidade v (1) é

dv mdt

= mg

_ kv2,

em que k é uma constante positi va de proporcionalidade. Resolva a equação sujeita a v(O) é a velocidade limite do corpo em qued a?

v0 . Qual

19. A equação diferencial X

dx dx )2 + 2y( -dy dv

=X,

e m que x = x(y), ocorre no estudo de ótica. A equação descreve o tipo de curva plana que refletirá todo raio de luz incidente para o mesmo ponto (veja Proble ma 15, Exercícios l .2). Mostre que a curva é uma parábola. [Sugestão: use a substituição w = x 2 e reexamine a Seção 2.6.J 20. Resolva a equação do Problema 19 com a ajuda da fórmula quadrática. 21. As equações de Lotka e Yolterra*

dy dt

= y(a

- ~x)

dx d1 = x(-y + Õy),

A.J. Lotka (1880-1949) Lotka, nascido na Áustria, foi um biomatemático americano. Vito Volterra (1860- 1940) Nascido em Ancona, Itália, Vito Volterra mostrou desde cedo aptidão para a matemática. Estudou cálculo por conta própria e investigou problemas em gravitação quando ainda estava com 12 anos. Apesar dos problemas financeiros, Volterra rapidamente obteve proeminência como cientista e matemático. Foi também ativista político e indicado para senador do reino da Itália em 1905. Volterra interessou-se pelas aplicações da matemática à ecologia em meados dos anos 20, e formulou esse siste ma de equações diferenciais em uma tentativa de explicar as variações na população de peixes no Mediterrâneo como resultado de interações predador-presa. (Lotka, trabalhando independentemente, chegou ao mesmo sistema de equações e publicou o resultado em 1925 em seu texto Elements of Physical Biology.) Através de sua pesquisa de modelos matemáticos de populações, Volterra estabeleceu a base para um can1po da matemática conhecido como equações integrais. Um homem de princípios, Volterra recusou-se a assinar um juramento de lealdade ao regime fascista de Benito Mussolini e, conseqüentemente, renunciou à sua cadeira de matemática na Universidade de Roma e a todas as participações em sociedades científicas italianas.


132

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

em que a, /3. y e l5 são co nstan tes pos iti vas, ocorrem na análi se do equilíbri o bi ológ ico de duas espécies de anim ais. ta is como predador e presa (por exe mplo, raposas e coelho s). Aqui , x( r) e y( r ) denotam as populações das dua s espécies no tempo r. Embora não ex ista nenhuma solução ex plícita para esse sistema, so luções podem ser encontradas relacionando as duas populações cm qualquer tempo. Di vida a primei ra equação pela seg und a e reso lva a equação diferencial não-linear de primeira ordem re sultante . 22. Um probl ema clássico cm cá lcul o das variações é enco nt rar a forma de uma curva '75 tal que, uma conta , sob a influência da gravidade, escorregue de A(O , 0) a B(x1 , y 1) cm te mpo mínimo. Veja a Figura 3 .24. Pode se r mo s trado qu e a e qu ação diferen c ia l para a forma d o ca minho é y[ l + (y') 2J = k, em qu e k é uma constant e . Primeiro, resolva para dx cm termos de y e dy, e então use a sub stitui ção y = k sen2 (J para obter a forma paramétrica da solu ção. A curva '7f será uma cicl óide. A(O, O) X

Figura 3.24

'\.,conta

r"'---~

~ B(x,, y,)

mg )'

23. O problema de valor ini cial qu e descreve o movimento de um pêndulo simpl es co m ve loci dade inicial > oé zero e ângul o ini c ial

eo

d 2(J

dt 2

ecoi

=

+

s_ sen (J = O

/

I

e0,

d8

dt

I 1

=o

o.

(a) Obtenha a equação de prime ira ordem d8 2 2 ( - ) = !:K (cos (J - cos 80) . dr l [Sugestão: multiplique a equ ação dada por 2d8/ dt.]

(b) Use a equação da parte (a) para mostrar que o período de movimento é

T = 2-

{2[

-\J g · O

d8

..Jcos 8 - cos 80


Volume I

Capítulo 3

Cap. 3

Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

/ JJ

REVISÃO

Se toda curva e m uma família a um parâmetro de c urvas G(x, y, c 1) = O é o rto go nal a toda c urva em um a seg unda família a um parâmetro H(x, y, c2) = O, di ze mos que as duas famílias são trajetó r ias ortogonais. Duas curvas são ortogonais se sua s retas tan gentes são perpendi culares no ponto de interseção. Quando dada uma família, enco ntramos s ua eq uação difere ncial dyldx = f(x, y) derivando a equação G(x, y, c 1) = O e eliminando o parâmetro c 1. A equação diferencia l da seg unda família ortogo nal é então dyl dx = - 1/ f(x, y). Reso lve mos essa última equ ação pelos mé todo s do Capítulo 2. Na a nálise mate máti ca de crescimento popu lacional, dec resc ime nto radioativo ou mi sturas químicas, freqü entemente encontramos equações diferen ciai s lineares, tai s como

dx =a + bx d! ou não-lineares, tais como

dx dt

= x(a - bx) e

dx dt

R

= k(a - x)( I-' - x).

Você deve ser capaz de reso lv er essas eq uações sem hes itação. Não é um a boa id éia simpl esmente memorizar soluções para equações diferenciais.

Capítulo 3

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As r es postas dos exercícios selecionados estão na pági na 448. l.

Encon tre as traj etórias ortogonais da família de curvas y(x 3 + c1) = 3.

2.

Encon tre a trajetóri a o rt ogo nal da família y = 4x + 1 + cie 4 ' que passa pelo po nto (0, 0).

3.

Encontre as traj etó rias ortogo nai s da família de parábolas convexas co m vértices cm ( 1, 2).

4.

Mos tre que. se uma po pul ação cresce a um a taxa proporcional ao número de pessoas presentes c m qualquer tempo, então o tempo de duplicação da população é T = (ln 2)/k, c m qu e k é a tax a positiva de crescimento. Essa é a conhec ida lei de Malth us .

5.

Em março de 1976, a po pul ação mundial era de 4 bi lhões. Uma rev ista prev iu que, com uma taxa de cresc imento anual méd ia de 1,8%, a população mundi al seria de 8 bilhõcs em 45 anos. Co mo esse va lor pode ser co mparado com o prev isto pelo modelo que diz que a taxa de cresci menl o é proporcional à população em qualquer tempo?

6.

Ar contendo 0,06% de dióxido de carbono é bombeado em um sa lão cujo vo lume é de 8000 m 3. A taxa na qual o ar é bombeado é de 2000 cm3/ min, e o ar circulante é então bombeado para fora a uma mesma taxa. Se ha via inicialmente uma concentração de 0,2% de dióxido de carbono, determine a quantidade subseqü ente no salão em qualquer in stante . Qual será a concentração em 1O minutos? Q ual é a co ncentração estacionária (ou de equilíbrio) de dióxido de carbono?


/ 34

7.

Equações Diferenciais

Cap. 3

Volume I

As populações de duas espécies de animais são descritas pelo siste ma não-lin ear de equações diferenciais de primeira o rdem

Resolva o s istema obtendo x e y e m termos de 8.

1.

Um projétil é atirado verti ca lmente no ar com uma ve locidade inicial de vo ml s. Supondo que a res istência do ar é proporcional ao quadrado da ve locidade in stantânea, o movimento é descrito pelo par de equações diferenciais: m dv = - mg - kv 2 , dt

k > O,

eixo dos y positivo para cima, origem no so lo de forma que v = v0 em y m

dv

d/

, = mg - kv-,

Oe

k > O,

eixo dos y positivo para baixo, o rigem na altu ra máx ima de forma que v = O cm y = h. A primeira e segu nda equações descrevem o movimento do projétil subindo e descendo. respecti vamente . (a) Determine a velocidade limite ou term inal do projétil em queda. Compare essa velocidade terminal com a ob tida no Problema 27 nos Exercícios 3.2.

(b) Prove que a velocidade de impacto v; do projéti l é menor que a velocidade inicial v0 . Pode também ser mostrado que o tempo 11 necessário para atingir sua altura máxima h é menor que o tempo 12 que ele leva para cair dessa altura. Veja a Figura 3.25.

Figura 3.25 X

9. Considere a lei de resfriamento de Newton, dT/d1 = k(T - Tm), k < O. em que a temperatura do meio ambiente Tm varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja Ti e que a temperatura inicial do meio ambiente seja T2 e Tm = T2 + B(T1 - n, em que B > O é uma constante. (a) Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante (b) Qual é o valor limite da temperatura quando

(e)

Qual é o valor limite de T,,, quando

1.

1 ---? ~?

1 ---? ~?

lO. Um circuito em série L-R possui um indutor variável com a indutância definida por

L

1

t o :o; -TO,

O,

~

(

t < 10 10

Encontre a corrente i(I) se a resistência é de 0,2 ohm, a voltagem é E(1) gráfico de i(I).

4 e i(O )

O. Esboce o


Volume I

Ensaio

Dinâmica populacio11a/

I 35

ENSAIO Dinâmica Populacional

Michael Ol inick

Departamento de Matemática e Ciência da Computação Universidade de Middlebury

O

fato de que a ecologia é essencialmente um assunto matemático é cada vez mais aceito", escreve Evelyn C. Pielou[2]. " Ecologistas em toda parte estão tentando formular e resolver seus problemas por raciocínio matemático." Historicamente, o primeiro e talvez mais importante ramo da ecologia matemática é a investigação da dinâmica populacional: como populações crescem e decrescem. Equações diferenciais de primeira ordem têm sido uma ferramenta crucial nesse estudo. Muitos tentam modelar o crescimento populacional começando com a suposição de que a taxa de crescimento populacional depende do tamanho da população. Se P representa a população no instante t, então todos os modelos têm a forma

~

= f(P),

em que fé alguma função da quantidade de habitantes P. Como f deve ser escolhida? A figura central na história da população é Thomas Robert Malthus (1766-1834). Malthus graduou-se em matemática na Universidade de Cambridge, ordenou-se pastor da Igreja da Inglaterra e foi professor de história e economia política. Em um trabalho seminal, An Essay on the Principie of Population [3], Malthus argumentou que a forma apropriada paraj(P), pelo menos quando a popu lação fosse pequena, deveria ser um múltiplo constante de P, isto é, dP = rP dt '

em que ré uma constante. Como temos visto, esse modelo conduz ao crescimento exponencial, pois a solução para a equação diferencial é


136

Equações Diferenciais

Volume I

Uma característica do crescimento exponencial é tempo de duplicação constante: leva exatamente a mesma quantidade de tempo, (ln 2)/ r, para a população se duplicar de Po para 2P0 , independentemente do tamanho inicial P0 . Uma outra maneira de examinar o crescimento exponencial é verificar a população em unidades sucessi vas de tempo: P(O), P(l), P(2), P(3), ... , P(k), P(k

Como P(k)

Poerk

+

1),

Po(er) ' , essas populações formam uma seqüência geométrica

com termo inicial a = Po e razão constante e = er Mallhu s, de fato, começa seu famoso ensaio com a observação: ·'Olhando a natureza, ficamos perplexo s com o prodigioso poder de crescimento das plantas e animais ... quer eles aumentem devagar ou rapidamente, sua tendência natural é crescer em uma razão geométrica, isto é, por multipli cação; e seja qual for a taxa de crescimento durante qualquer período, se nenhum obstáculo lhes for imposto, eles prosseguirão em uma progressão geométrica". Depois de exam inar cuidadosamente dado s coletados durante os primeiros censos do s Estados Unidos e compará -los com outros países , Malthus conclui que "o crescimento natural de populações" foi de natureza exponencial com um tempo de duplicação de 25 anos para os humanos . Como esse modelo assegura que não há limite para o número de indivíduos nessa população, fica claro qu e o modelo exponencial não é um quadro completamente realístico . O modelo exponencial pode ser realístico para crescimento de algumas populações durante um intervalo de tempo relativamente curto . A população dos Estados Unidos, durante o período de 1790 a 1860, aumentou exponencialmente, com um a taxa anual de crescimento em torno de 3%.

É instrutivo examinar o real censo nos Estados Unidos, comparando esses dados com os dados de um modelo exponencial de crescimento. Na Tabela E. l , mostramos a população real e a população prevista em milhões. A coluna "erro" mostra a diferença entre o número real e o número previsto . A coluna final, "% erro", é calculada pela razão entre o erro e a população real. " A população real" são os dados colhidos pelo U.S. Census Bureau. A '· população prevista" é gerada pela equação P(t) = 3,929 eO.ü'.'.96551_ Pela tabela, vemos que o modelo de crescimento exponencial representa os dados reai s do censo acuradamente para o período de 70 anos, começando em 1790; o maior erro é menor que 2%. '· Realidade" e previsão do modelo começam a divergir cm 1870; o modelo não tinh a como prever a guerra civil, que durou de 1861a1 865 e na qu al morreram mais de meio milhão de jovens americanos. Finalizamos a tabela em 1890. A discrepância entre a população real e a população prevista torna-se enorme no século XX, atingindo um impress ionante erro de 495% em 1990! Uma das conseqüências que podemos deduzir desse modelo é que, se a população dos Estados Unidos tivesse continuado a crescer na mesma taxa da primeira metade do século XIX, teríamos hoje uma nação seis vezes mais populosa. Va le a pena pensar nisso quando você estiver parado em um congestionamento ou na fila de um supermercado!


Vo/11me I

Ensaio

Dinâmica pop11/ac iona/

137

TABELA E.1 Ano

População Real

Pop ulação Prevista

1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890

3,929 5,308 7,24 9,638 12.866 17 ,069 23,192 31,433 38,558 50, 156 62,948

3,929 5,285 7, li o 9,564 12.866 17,307 23,282 31,319 42,131 56,675 76,240

Erro

-

------

0,000 0,023 0,130 0,074 0,000 0,238 0,090 0,114 3,573 6,519 13,292

% Erro

0,00 0,43 1,80 0,76 0,00 - 1,40 - 0,39 0,36 - 9,27 - 13 ,00 - 21., 12

----

Há várias generalizações desse modelo. No mode lo de crescimento logístico, desen volvido primeiramente pelo matemático belga Pierre-Franco is Yerhulst ( 1804-1849), supomos que r não é constante, mas uma variável que decresce de forma linear simples quando a população cresce. Com isso, podemos representar r como a - bP, em que a e b são constantes positivas . Isso conduz ao modelo dP/dt = (a bP)P, o qual possui uma solução da forma P(t)

=

K 1 + ed -

(1/

·

Embora Yerhulst tenha tentado testar seu modelo em populações reais, frustrou-se com as informações imprecisas dos censos disponíveis na década de 1840, quando empreendeu seus estudos. Como os dados populacionais existentes na época eram inadequados para formar um teste efetivo do modelo logístico, o trabalho de Verhulst ficou esquecido por aproximadamente 80 anos. Foi redescoberto independentemente por dois cientistas americanos que trabalhavam na Universidade Johns Hopkins, Raymond Pearl e Lowell J. Reed. Em 1920, Pearl e Reed examinaram a proximidade da curva de crescimento populacional do s Estados Un idos com curva logística. Usando dados dos censos de 1790, 1850 e 191 O para encontrar valores para K, de a, verificaram que a equação logística p ( l) = ----,19.....,7..,...,2.,--7_4..,.-,-,-,l + eJ.896 - 0,03 Ir correspondia à imagem da população atual para um período de 120 anos, começando cm 1790. De fato , o modelo logístico nos fornece um excelente retrato das variações populacionais dos Estados Unidos de 1790 a 1950. A Tabela E.2 mostra a comparação entre as previsões desse modelo logístico e os dados do censo dos Estados Unidos.


138

Equações Diferenciais

\lo /um e I

TABELA E.2

Ano

1790 1800 18 10 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 19 10 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Popul ação Prev ista

População Censo

3,929 5,336 7,228 9,757 13, 109 17,506 23 , 192 30,4 12 39,372 50, 177 62,769 76,870 9 1,972 107 ,395 122,398 136,3 18 148 ,678 159,230 167 ,944 174,94 1 180,437

3.929 5,308 7,240 9,638 12,866 17 ,069 23, 192 31 ,433 38 ,558 50, 156 62,948 75,996 91,972 105 ,7 11 122,775 131 ,669 150,697 179,323 203, 185 226,546 248,7 10

Erro

%

Er ro

0,000 0,028 - 0,012 0, 119 0,243 0,437 0,000 - l. 02 1 0,8 14 0,02 1 - 0, 179 0,874 0,000 1,684 - 0,377 4,649 - 2,0 19 - 20,093 - 35 ,24 1 - 51 ,605 - 68,273

0,00 0,5 3 - 0, 17 1,23 1,89 2,56 0,00 - 3,25 2, 11 0,04 - 0,28 1, 15 0,00 1,59 - 0,3 1 3,5 3 - 1,34 - 11 ,20 - 17 ,34 - 22,78 - 27,45

Temos uma excelente concordância entre as previsões do modelo e a população observada entre 1790 e 1950. O maior erro fo i de cerca de 3,5 %. Enqu anto o modelo prevê um nivelamento populacional que deveri a continu ar depo is da metade do séc ul o, os dados reais mostram o •· baby boom" dos anos 50, que aumentou a popul ação em quase 30 milhões em 1O anos. É impress ionante que um modelo re lati vamente si mples co mo o logístico possa fo rnecer res ultados tão ac urados co mo esses po r um período de 160 anos . A curva logística particul ar calcul ada por Pearl e Reed poderia ter sido dedu zida em 19 1 l , quand o os resultado s do censo de 19 10 fora m pu blicados. S ua equação poderi a te r sido usada po r 40 anos para fo rnece r projeções precisas de populações que teria m sido úte is em planos govern ame ntais. Co mo tem crescido a po pul ação dos Estados Uni dos na seg un da metade do sécu lo XX? Pode um simples modelo ex plicar as vari ações observadas e fo rnecer-nos uma razoável previsão para o futu ro próximo? Q uando as populações se tornam grandes, freqüe ntemen te observamos um retardament9 na taxa de crescimento. Vári as razões para isso têm sido dadas, e a principal é a co mpetição por recursos limitados.


Volume I

Ensaio

Dinâmica populacional

J39

Vamos olhar para a mais simples suposição matemática que podemos fazer: a taxa de crescimento é inversamente proporcional à população. Nosso modelo matemático é expresso pela equação

dP

b p com P(O)

d1 em que b é uma constante positiva

A equação diferencial é facilmente resolvida por separação de variável e integração. Obtemos P(l) = '12b1 + Pi .

Se b for positivo, esse modelo prevê que a população continuará crescendo indefinidamente. Se a população é observada em um tempo anterior determinar o valor do parâmetro b como

11 como

sendo P 1, então podemos

b Como um teste para esse modelo simples, observaremos os dado s do censo dos Estados Unidos. Fazendo t = O corresponder com o dado de 1950 de 150,697 milhões e 1 = 1, com o censo de 1960 de l 79,323 milhões , obtemos um valor de 4723,58 para b. Com isso, nosso modelo tem a forma P(1) = '19447, 161

+ (150,697) 2

em que cada unidade de tempo t representa 10 anos. Com esses valores, podemos comparar as previsões do modelo com as melhores estimativas do censo dos anos 1970, 1980 e 1990: TABELA E.3 Ano

- ---· - - - 1970 1980 1990

População Atual

População Prevista

% Erro

203,302 226,505 248,71 o

203,970 225,945 245,964

0,33 0,24 1, 10

(Aqui, ambas, atual e prevista, são dadas em milhões; o erro percentual é obtido comparando o valor absoluto da diferença entre valores atuais e previstos com o número de habitantes atuais.) Observamos que esse simples modelo surpreendentemente fornece resultados acurados pelo menos para um conjunto de dados reais. Nosso valor em t = O corresponde aos dados


140

Equações Diferenciais

Volume 1

do censo do dia 12 de abril de 1950. O U.S. Ccnsus Bureau faz projeções populacionais para o primeiro dia de julho . Uma projeção recente para 1º de julho do ano 2000 é de 268,266 milhões . Usando o valor correspondente para t de 5,025 , nosso mode lo prevê um a popu lação de 264,9 18 milhões. A diferença é de cerca de 1,25%. Modelos mais acurados de crescimento populacional pod em ser obtidos refinando os mode los logísti cos de várias maneiras difere ntes. A fun ção f(P) - que é quadrática no mod elo logís tico - pode ser trocada por um polinômio de gra u mais a lto de tal forma que efeitos de maio r ordem no tamanho da população possa m ser incluídos na taxa de cresc ime nto. Fatores adicionais podem ser acrescidos à equação diferencial para incorporar o conceito de que a taxa de variação da população é fun ção não só da popul ação, mas també m do tempo; isto é, você pode estudar modelos da forma

dP

dt

= f(P, t) .

Devemos observar qu e o modelo de Gompertz também pode ser visto como uma generalização do modelo exponencial dP/dt = rP, com a constante r sendo substituída por uma variável r(t) , que decresce a uma ta xa percentual constante, isto é,

dr

dt

= ar,

em que a é uma constante negativ a. Isso nos dá r como roeª', e o modelo de Gompertz toma a forma

dP

di

=

roe

ai

Generalizações do modelo de Gompertz incluem abordagens em que r(t) é um polinômio em t de grau fixo. Demógrafos usam cada vez mai s sofisticados e complexos modelos matemáticos de caráter determinístico e probabilístico para estudar variações no crescimento populacional no passado e fazer projeções sobre o futuro . Embora haja muita s abordagens diferentes para a criação de tais modelos, na maioria das vezes são extensões ou generalizações de uma equação diferencial não-linear de primeira ordem .

REFERÊNCIAS 1.

Pearl, Raymond e Lowell Reed. "On the Rate of Growth of Lh e United States Population Since 1790 and lts Mathematical Representation. " Proceedings of the Nacional Academy of Sciences 6 ( 1920): 275-288.

2.

Pielou, E. C. An lntroduction to Mathematical Ecology, 2• ed. Nova York: Wiley, 1977.

3.

Malthus, Thomas R. An Essay 011 the Principie of Population anda Summary View ofthe Principie of Population. Baltimore: Penguin, 1970.


Capítulo

4

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR 4.1 4.2 4.3 4.4

Teoria Pre liminar Co nstruindo uma Seg unda Solução a Partir de um a Solução Conhecida Eq uações Lin eare s Hom ogêneas com Coefici e ntes Cons ta ntes Coeficie ntes Inde te rmin ados Abordagem por Superpos ição

Conceitos Importantes Problema de valor ini cial Condições iniciais Prob lema de va lor de co ntorno Condições de co ntorno Dependê ncia linear Indepen dência linear Wro nskiano Equação homogênea Equação não- homogênea Princípio de superposição Conjunto fundamental de so lu ções Solução geral Solução completa Solução parti cular Função co mplementar Redução de ordem Equação aux il iar Equação característi ca Fórmula de Eu ler Coeficientes indeterminados Operador diferencial Operador anulador Variação dos parâmetros

4.5 4.6 4.7

Operadores Dife re nciai s Coe fi c ientes Ind e te rminad os Abordagem por Anulador Variação do s Parâmetros Capítulo 4 Rev isão Capítulo 4 Capítul o 4 Exercícios de Rev isão E nsa io: Caos

Examinarem.os agora soluções para equações diferenciais de ordem dois ou maior. Embora possamos resolver algumas equações não-lineares de primeira ordem através de técnicas consideradas no Capítulo 2, equações não-lineares de ordem maior geralmente resistem à solução. Isso não significa que uma equação não-linear não tenha solução, mas sim que não existem regras ou métodos pelos quais sua solução possa ser exibida em termos de funções elementares ou outros tipos. Como uma conseqüência, na tentativa de resolver equações de ordem maior, devemos deter-nos às equações lineares. Começamos este capítulo primeiramente examinando a teoria subjacente às equações lineares. Como fizemos na Seção 2.5, colocamos condições na equação diferencial sob as quais podemos obter sua solução geral. Lembramos que uma solução geral contém todas as soluções para a equação em algum intervalo. No restante do capítulo, desenvolvemos métodos para obter uma solução geral para uma equação linear com coeficientes constantes. Veremos que nossa habilidade para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem com coeficientes constantes depende de nossa . habilidade para resolver uma equação polinomial de grau n. O método de solução para equações lineares com coeficientes não-constantes será visto no Capítulo 6.

141


Cap. 4

Volume 1

142

Equações Diferen ciais

4.1

TEORIA PRELIMINAR

Começamos a discussão sobre equações diferenciais de ordem maior, como fizemos com equações de primeira ordem, com a noção de um prob lema de va lor inicial. Porém , concentramos nossa atenção nas equações diferenciais lineares .

4. 1. 1 Problemas de valor inicial e de valor de contorno Problema de valor inicial Para uma equação diferencial de n-ésima ordem, o problema . d"y d 11 - 1y dy Resolva. a,,(x) +a,, _ 1(x) - - - + ... + a1(x)-d + ao(x)y = g(x) dx" dx" - l X Sujeita a: y(x0 )

= Yo,

y'(x0 )

= YÓ, .. . ,y<

11 -

ll(xo)

= Yo<"

- t)

(l)

em que y0 , YÓ, ... , y0<11 - 1) são constantes arbitrárias, é chamado de um p roblema de valor inicial. Os valores específicos y(xo) = Yo . y'(xo) =YÓ , ... , y< 11 - 1>(xo) =ycf 11 - I) são chamados de cond ições iniciais. Procuramos uma solução em algum intervalo l contendo xa. No caso de uma equação linear de segunda ordem, uma solução para o problema de valor inicial

d2

a2(x)~

+a,(x)

d

d~ +

ao(x)y =g(x),

y(xo) = Yo. y'(xo) = yó,

é uma função que satisfaça a equação diferencia l em l cujo gráfico passa pelo ponto (xo. Yo) com inclinação igual a YÓ· Veja a Figura 4.1. O próximo teorema nos fornece condições suficientes para a existência de uma única solução para ( 1).

y

soluções da ED

~ ~ . .

; m = y', Figura 4.I

:~i . ..(x,,y,) '

f+-- J ---+!

X


Vo lume I

TEOREMA 4.1

Cap. 4

Equações diferenciais /i 11 eares de orde111 superior

143

Existência de uma Única Solução

Sejam a11 (x), a 11 _ 1(x), ... , a 1(x), ao(x) e g(x) contínuas e m um intervalo I com a 11 (x) # O para todo x neste intervalo. Se x = xo é algum po nto deste intervalo, então ex iste uma única solução y(x) para 0 problema de valor ini cial ( l ) neste intervalo.

EXEMPLO

1

Você deve verificar que a fun ção y = 3eh + e- 2-' - 3x é uma solução para o prob lema de valor inici<ú

y" - 4y = 12x,

y(O) = 4, y'(O) = 1.

Agora, a equ ação d ife rencia l é linear, os coefi c ie ntes, bem co mo g(x) = l 2x, são co nt ínu os e a?(X) = 1 ~ O e m qu a lqu er in terva lo co nte ndo x = O. Co nc luím os a parti r do Teo re ma 4. 1 que a _fun ção dada é a úni ca so lução.

EXEMPLO

2

O prob lema de va lor ini c ia l 3y'" + 5y" - y' + 7y = O,

y( l ) = O,

y'( l ) = O,

y" ( I ) =O,

poss ui a so lução tri vial y = O. Co mo a eq uação de te rceira ordem é linea r com coeficie ntes co nstantes, segue-se qu e tod as as cond ições do Teo re ma 4. 1 são sa ti sfe itas . Logo, y = O é a única so lu ção e m qu alque r inte rva lo con te ndo x = 1. •

EXEMPLO A fun ção y =

±se n

3 4x é um a so lução para o probl em a de va lor ini c ial y"

+ 16y = O, y(O) =O, y'(O) = l.

Seg ue-se do Teo rema 4. 1 qu e, cm q ualqu er intervalo contendo x = O, a so lu ção é ú ni ca.

No Teo rema 4. 1, a continuidade de a;(x ), i = O, l , 2, .. . , 11 e a hi pótese a,,(x) ~ O pa ra todo x em! são ambas importantes. Especificamente, se a,,(x) = O para algum x no intervalo, então a so lução para um problema de valor inicia l linear pode não ser úni ca ou nem mesmo ex istir.

EXEMPLO

4

Verifique que a fun ção y = cx 2 + x + 3 é uma so lução para o probl e ma de valor ini c ial

x 2y" - 2xy' + 2y = 6,

y(O) = 3,

/(O) = 1,


144

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

no intervalo (- oo, oo) para qua lquer escolh a do parâmetro e.

Solução

Corno y'

= 2cx +

1 e y"

= 2c, segue-se que

x 2y" - 2xy' + 2y = x 2(2c) - 2x(2cx + l) + 2(cx 2 + x + 3) = 2cx 2 - 4cx 2 - 2x + 2cx 2 + 2x + 6 = 6.

Ainda,

e

y(O) = c(0) 2 + O + 3 = 3

y'(O) = 2c(Oj + 1 = 1.

Embora a equação diferencial do Exemplo 4 seja linear e os coeficientes e g(x) = 6 sejam con tínuos em toda a reta , as dificuldades óbv ias são que a 2(x) = x 2 se anul a cm x = O e que condições iniciais são impostas também no ponto x = O.

Problema de Valor de Contorno Um outro tipo de prob lema consiste em resolver uma equação diferencial de o rdem dois o u maior na qual a variáve l dependen te y ou suas derivadas são especificadas em pontas difere111es. Um problema como

d 2y dy Resolva: a2(x) - , + a1(x) d- + ao(x}y =g(x) dxX Suje ita a: y(a) = Yo,

y(b) = Yt

é chamado de problema de valor de contorno. Os va lores especificados y(a) = y 0 e y(b) = y 1 são chamados de condições de contorno ou de fronteira. Uma solução para o problema em questão é uma função que satisfaça a equação diferencial em algum interva lo /, co ntendo a e b, cujo gráfico passa pelos pontos (a, Yo) e (b, y 1). Veja a Figura 4.2

Figura 4.2


Volume I

EXEMPLO

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

/.J5

5

Você deve verificar que, no intervalo (O, oo), a função y = 3x 1 - 6x + 3 satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno do problema de valor de contorno

x\" -

2xy' + 2y = 6,

y(l) =O,

y(2) = 3.

Para uma equação diferencial de segunda ordem, outras condições de contorno podem ser y'(a)

= YÓ,

y(a) = Yo.

ou

y'(a) = YÓ,

y(b)

= y,;

y'(b) = YÍ; y'(b) = YÍ,

em que yo, yó, y 1 e YÍ denotam cons tantes arbitrárias. Estes três pares de condições são casos especiais das condições gerais de contorno

a ,y(a) + /31/(a) = 'Y1 ª2Y(b) + f32Y'(b) = 'Y2·

Os próximos exemplos mostram que, mesmo quando as condições do Teorema 4.1 são satisfeitas, um problema de valor de contorno pode ter (i)

várias soluções (como mostrado na Figura 4.2),

(ii)

uma única solução, ou

(iii)

nenhuma solução.

EXEMPLO

6

No Exemplo 6 da Seção 1.1, vimos que uma família a dois parâmetros de soluções para a equação diferencia l y" + l 6y = O é

y = c1 cos 4x + c2 sen 4x. Suponha agora que queiramos determinar aquela sol ução para a equação que também satisfaça as condições de contorno y(O)

= O,

Observe que a primeira condição

O = cl cos O + c2 sen O 1


146

EqLtações Diferencia is

implica c 1

Cap. 4

VoLLtme 1

c 2 se n 4x. Mas, quando x = n /2, temos

O; assim, y

O=

c2

sen 27t.

Como sen 2n = O, esta última condição é satisfeita com qualquer escolha de c2 . Segue-se então que uma so lução para o problema

y" + 16y

O,

y(O)

O,

é a família a um parâmetro y = c2 sen 4x.

Como a Figura 4.3 mostra, há uma infinidade de funções sati sfazendo a equação di fe rencial cujos gráficos passam pelos pontos (O, 0) e (n/2, 0). Se as condições de contorno fossem y(O) = O e y (n/8 ) = O, então necessariamente deveriam ser ambas nulas. Logo, y = O seria uma solução para esse novo problema de valor de contorno. De fato , como veremos mai s tarde nesta seção, ela é a única solução.

c 1 e c2

Figura 4.3

EXEMPLO

7

O problema de valor de contorno

y" + 16y = O, não possui solução na família y

= c 1 cos

y(O) = O,

4x + c2 sen 4x . Como o Exemplo 6, a co ndi ção

y(O) = O ainda implica c 1 = O. Logo, y = c2 scn 4x e, quando x = n/2, obtemos a co ntradição i= ~X 0=0 .

Problemas de valor de contorno são frcqüentemente encontrados nas aplicações de equações diferenciais parciais.


\lolt1111e I

Cap. -1

Equações difere11ciais lineares de ordem st1perior

147

4. 1.2 Dependência Linear e Independência Linear Os dois próximos conceitos são básicos para o estudo de equações difere nc iai s lin ea res.

DEFINIÇÃO 4.1

Dependê ncia Linear

Dizemos que um co njunto de funções f 1(x),f2 (x), ... , f,,(x) é linearmente dependente em um intervalo l se existem consta ntes c 1, ci. ... , e,, não todas nulas, tai s que

cif1(x) + c2f2(x) + .. . + c,J,,(x) = O para todo x no interva lo.

DEFINIÇÃO 4.2

Independência Linear

Dizemos que um conjunto de funções / 1(x),f2(x), ...,f,,(x) é linearmente independente em um intervalo l se ele não é linearmente depende nte no intervalo.

Em outras palavras, um conjunto de funções é linea rmente independente em um intervalo se as únicas co nsta ntes para as quais

+ c,,f,,(x) = O, para todo x no interva lo, são c 1 = c2 = .. . e,, = O.

É fácil de entender essas definições no caso de duas funções/1(x) efi(x). Se as funções são linearmente dependentes em um intervalo, então ex istem constantes c 1 e c2, que não são ambas nulas, tai s que, para todo x no intervalo, cJ1(x) + c2f2(x) Portanto, se supom os c 1

~

O.

O, segue-se que /1(x) =

C?

_-=:

c1

fi(x);

isto é, se duas ji111ções são linearmente dependentes , então uma é simplesmente uma constante múltipla da outra . Reciprocamente, se/1(x) = c2f2(x) para alguma constante e, então (- 1) x f1(x)

+ c2f2(x) =O

para todo x em algum intervalo. Logo, as funçõe s são linearmente dependentes, pois pelo menos uma das constan tes (a saber c 1 = - l) não é nula. Co ncluímos que duas funções são linearmente independentes quando nenhuma delas é múltipla da outra em um intervalo.


148

Equações Diferenciais

EXEMPLO As funções /1(x)

Cap. 4

Volume 1

8

= se n 2x

e fi(x )

= senx

cosx são linearmente dependentes no intervalo

(-oo, oo), pois

e 1 sen 2x + c2 sen x cos x = O

1/ 2 e c2 = - 1. (Lembre-se da identidade trigonométrica

é satisfeita para todo x real se c 1 sen 2x = 2 sen x cosx.)

------EXEMPLO

-

9

As funções f1(x) = x e h(x) = lxl são linearmente independentes no intervalo (- 00 , oo). Inspecionando a Figura 4.4, convencemo- nos de que nenhuma função é múltipla da outra. Logo, para • ter c J 1(x) + c7f2(x) = O para todo x real, devemos escolher c 1 = Oe c 2 = O. y

X

(a)

(b)

Figura 4.4

Na consideração de dependência linear ou independência linear, o intervalo no qual as funções são definidas é importante. As funções f 1(x) = x e f2(x) = lxl do Exemplo 9 são linearmente dependentes no intervalo (O, oo), pois

é satisfeita se, por exemplo, c 1 = 1 e c2 = - 1.

EXEMPLO

10

As funções/1(x) = cos 2x,f2(x) no intervalo (- 7t/2, 7t/2), pois

= sen 2x,J3(x) = sec 2x,J4 (x) = tg 2x são linearmente dependentes

c1 cos2 x + c2 sen2 x + c3 sec2x + c4 tg2 x = O, quando c 1 = c2

= !, c3 = -

l, c4

=

!. Observamos que cos2x + se n2x

=l e 1 +

tg2x

= sec2x.


Volume I

Cnp. 4

Equações diferenciais linea res de ordem superior

J-1 9

Dizemos que um conjunto de fun çõesf1(x), fz(x), ... , J,,(x) é linea rmente depend e nte em um intervalo se pelo menos uma função pode se r ex pressa co mo um a combinação linear d as outras funções.

--

--------

EXEMPLO

-

-

--

------

11

As fun ções f1(x) = i"":r + 5, fz(x) = f"":r + Sx, h(x) = x - l , /4(x) = x 2 são linearmente dependentes no interval o (0, = ), poi sfl pod e ser escrita co mo uma combinação lin ea r de/1..(1 e/~. Observe que fz(x) = l

para todo

X

X

f1(x) + 5

X

h (x) + O

X

/4(x)

no instante (O, oo).

Wronskiano O seg uinl e teorema proporci o na condição suficiente para a independência linear de 11 funções em um intervalo. Supomos qu e cada função seja difere nciáve l pelo me nos n - 1 vezes .

TEOREMA 4.2

Critério para Independência Linear de Funções

Suponha quef1(x),f2(x), ... ,f,,(x ) sejam diferenciávei s pelo menos n - 1 vezes . Se o determinante

!1

Í2

Ín

li

1,;

for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo/, então as funçõesf1(x), fi(x), ... ,f,,(x) serão linearmente independentes no intervalo. O determinante do teore ma precedente é de notado por W(f1(x), fz(x), .. ,f,,(x))

e é chamado o Wronskiano* das funçõe s.

Josef Maria Hoene Wronski (1778-1853) Nascido na Polônia e educado na Alemanha, Wronski passou a maior parte de sua vida na França. Mais um filósofo do que um matemático, ele acreditou que a verdade absoluta pode,ria ser alcançada através da .matemática. Sua única contribuição digna de nota à matemática foi o determinante acima. Sempre um excêntrico, eventualmente tinha crises de insanidade.


150

Equações Diferenciais

- - - - - - - - -- - -

Cap. 4

Volume I

Demonstração Provamos o Teorema 4 .2 por con tradi ção no caso em que n = 2. Supon ha que W(f1 (xo), fl(xo)) O para um xo fixado no intervalo l e que, f1(x) e fi(x) sejam linearmente dependentes no intervalo. O fato de que as funções são linearmente depe ndentes significa que existem constan tes c 1 e c 2, não ambas nulas, para as qua is

*

para todo x em /. Derivando essa combi nação, Lemos

Obtemos então um sistema de equações lineares

(2) cif ( (x) + c2fi. (x) = O. Mas a dependência linear def1 eh implica que (2) possui uma so lu ção não trivial para cada x no intervalo. Logo,

f1(x)

fi(x)

f( (x)

fi. (x)

W(f1(x) , h(x)) =

=o

para todo x em /. * Isso contradiz a suposição de que W(f1(xo), fi(xo)) .,t O. Concluímos que / 1 e são linearmente independentes. O

h

COROLÁRIO Se f 1(x),fi(x), .. .fn(x) possuem pelo menos n - l derivadas e são linearmente dependentes em /, então

W<J1(x).f2(x), ... fn(x))= O para todo x no intervalo

E X E M P L O

12

As funções fi(x) = sen 2x e fi(x) = 1 - cos 2x são linearmente dependentes em (- oo, oo). (Por quê?) Pelo corolário precedente, W(sen2x, - cos 2x) = O para todo número real. Para ver isso, fazemos o seguinte cá lcul o: W(sen2x, 1 - cos 2x) =

*

1

sen2x 1 - cos 2x 2 senx cosx 2 sen 2x

Veja o Apêndice lll para obter uma revisão sobre determinantes.

1


Volume I

Cap. 4

Eq uações diferenciais lin eares de ordem superiur

15 1

= 2 se n2x sen 2x - 2 se n x cos x

+ 2 se n x cos x cos 2~ sen 2x[2 se n2x -

+ cos 2x J

sen 2x[2 se n2x -

+ cos 2x - se n2x ]

se n 2x(sen 2x + cos 2x - I] = O Aqui. usa mo s as identidad es tri go nométri cas sen 2x e sen2x + cos2x = 1.

E X E M P L O

= 2 se n x

cosx, cos 2r

= cos 2x

- sertx •

13

Paraf1(x) = e 1111 x, h(x) = e 1112·\ m1 7' mz,

W(e"'i-', emlx) =

e"'ix

1

n11em 1.x

e"'2x 1 = (m2 - m1)e<"'1

+ m 2)x

ni2en"':!.x

*O

para todo valor rea l de x. Logo, f 1 eh são linearmen te independentes em qualqu er interv a lo do • eixo x.

E X E M P L O

14

Se a e f3 são números reais, f3 7' O, então Y I = eªx cosf3x e Y2 = eªx senf3x são linearmente independentes em qualqu er intervalo do e ixo x, po is

W(eªx cos {3x, cru se n{Jx)

= 1-

eax cos {3x eªx sen {3x {3eax sen f3x + aeax cos {3x {3eªx cos {3x + aeªx sen {3x

1

= {3e 2ax (coi2{3x + se n2{3x) = {3e 2ªx 7' O.

Observe qu e, qu and o a = O, cos{Jx e se n{Jx, f3 qualquer intervalo do eixo x.

E X E M P LO

*

O, são também linearmente inde pendentes em •

15

As fun ções f 1(x) = e·<, fi(x) = x<!< e fJ(x) = x 2ex são linea rm ente independentes em qualquer intervalo do eixo x , poi s


152

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume/

ex xex W(ex, xex, x 2ex) =

x 1ex

ex xex + e' xex

2e3x

x 2ex + 2xex

ex

+ 2ex

x 2e-'

+ 4xe-' + 2e-'

não se anula em ponto algum.

E X E M P L O

16

No Exemplo 9, vimos quef1(x) = x ef2(x) = lxl são linearmente independentes em (-oo, oo) ; porém, não podemos calcular o Wronskiano, pois h não é diferenciável em x = O. • Deixamos como exercício mostrar que um conjunto de funções f 1(x), fz(x), ... ,J,,(x) pode ser linearmente independente em algum intervalo, mesmo que o Wronskiano seja nulo. Veja o Problema 30. Em outras palavras , se W(f1(x ),f2(x), ... J;,(x) = O para todo x em um intervalo, isso não implica necessariamente que as funções sejam linearmente dependentes.

4. 1.3 Soluções para Equações Lineares Equações Homogêneas Uma equação diferencial de n-és ima ordem da forma d"y

a 11 (x) -

dx"

+ a 11

_

1(x)

d" -

1

dx" -

1

--- +

+ a i(x)

:i; + ao(x)y = O

(3)

é chamada homogênea, enquanto d"y + a 11 a 11(x) dx"

_

d" - 1 y dy 1(x) - - - + ... + a1(x) dx + ao(x)y = g(x), dx" - 1

(4)

com g(x) não identicamente zero, é chamada de não-homogênea. A palavra homogênea neste contexto não se refere aos coeficientes como sendo funções homogêneas. Veja a Seção 2.3.

EXEMPLO (a) A equação

17 2y" + 3y' - Sy = O

é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogênea. (b) A equação

x 3y"' - 2xy"

+ Sy' + 6y =

e-'


Vo/11111e l

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

153

é uma equação diferencia l ordinária linear de terceira ordem não-homogênea. Veremos na última parte desta seção, e também nas seções subseqlientes deste capítulo, que, P,ara resolv_er uma eq uação não-homogênea (4), devemos primeiro resolver a . equação homogenea associada (3) . Nota Para evi tar repetições desnecessárias no decorrer deste texto, faremos sempre as seguintes suposições importantes com relação às equações lineares (3) e (4) . Em algum intervalo/,

os coeficientes a;(x), i = O, 1, . . . , n , são contínuos; a função g(x) é con tínu a; e a,,(x)

*

O para todo x no intervalo.

Princípio de Superposição No próximo teorema, vemos que a soma, ou superposição, de dua s ou mai s so luções para uma equação diferencia l linear homogênea é também uma solução. TEOREMA 4.3

Princípio da Superposição - Equações Hornogêneas

Sej am y 1, y 2, ... , Yk soluções para a equação diferencial linear de n-ésima ordem homogênea (3) em um intervalo /. Então, a combinação linear

y = C1Y1(x)

+ C2)'z(X) + ... + Ck)'k(x),

(5

em que os e;, i = l, 2, ... , k, são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo.

Demonstração

Provaremos o caso n = k = 2. Sejam y 1(x) e Y2(x) soluções para a2(x)y"

+

a1(x)y'

+

ao(x)y = O.

Se definirmos y = c1Y 1(x) + C2)'2(x), então a2(x)[c1y1"

+ C2.Yi' l + a1(x)[c1YÍ + c2Yi l + ao(x)lc 1Y1 + C2J2I

= c1[a2(x)y('

+

a 1(x)yí

+

ao(x)y1]

Ct X Ü

+ ci[a2(x)y:[' + a1(x)yi + ao(x)Y2]

+ C2

X Ü

O.

COROLÁRIOS (A) Um múltiplo y = c 1y 1(x) de uma solução y 1(x) para uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução. (B)

1,Jma equação diferencial linear homogênea sempre possui a solução trivial y = O

o


154

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

O princípio da superposição definido por (5) e seu caso especial dado no Corolário (A) são propriedades que equações diferenciais não-lineares, em geral, não possuem. Veja os Problemas 3le32.

E X E M P L O

18 y 1 = x 2 e y 2 = x 2 ln x

As funções

são ambas soluções para a equação homogênea de terceira ordem x 3y"' - 2xy' + 4y = O

no intervalo (O, oo). Pelo princípio da superposição, a combinação linear y = c 1x 2 + c2x 2 lnx

é também uma solução para a equação no intervalo.

E X E M P L O As funções

YI = ex,

19 e 2'

Y2

e )'3 =

e 3x

satisfazem a equação homogênea

~ - 6 ~ + 11 ~ -

6y =

o

em (- oo, oo). Pelo Teorema 4.3, uma outra solução é y = c,ex + c2e2x + c3e 3x.

E X EM P LO

20

A função y = x 2 é uma solução para a equação linear homogênea x 2y" - 3xy' + 4y = O

em (O, oo). Portanto, y = cx 2 é também uma solução . Para vários valores de e, vemos que y = 3x 2 , y = ex 2, y = O, ... são todas soluções para a equação no intervalo. • Soluções Linearmente Independentes

Estamos interessados em determinar quando n soluções Yi. y2 , ... , Yn para a equação diferencial homogênea ('3) são linearmente independentes. Surpreendentemente, o Wronskiano não nulo de um conjunto de ri soluções em um intervalo I é necessário e suficiente para a independência linear.


Volume l

TEOREMA 4.4

Cap. 4

Equações diferenciais Linea res de ordem superior

J55

Critério para Independência Linear de Soluções

Sejam y 1, y2, ..• , Yn n soluções para a equação diferencial linear bomogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo l. Então, o conjunto de soluções é linearmente independente em I se e somente se para todo x no intervalo.

Demonstração Provemos o Teorema 4.4 no caso n = 2. Primeiro, se W(y 1, y 2) *O para todo x em /, segue-se imediatamen te do Teorema 4.2 que y 1 e Y2 são linearmente indepen dentes. Agora, devemos mostrar que, se YI e Y2 são soluções linearmente independentes para um a equação diferencial linear homogênea de segu nd a ordem, então W(y1, Y2) # O para todo x em /. Para ver isso, vamos supor que YI e Y2 sejam linearmente independentes e que exista um ponto xo em I para o qual W(y 1(xo). Y2(xo)) = O. Logo, existem c 1 e c2, não nulas, tais que

Se definirmos

c1Y1(xo) + c2Y2(xo)

O

c 1YÍ (xo) + c2Yi (xo)

O.

(6)

y(x) = c1Y1(x) + C2Y2(x),

então, em vista de (6), y(x) satisfaz também y(xo) =

O,

y'(xo) = O.

(7)

Mas a função identicamente nula satisfaz a eq uação diferencial e as condições iniciais (7). Portanto, pelo Teorema 4. 1, ela é a única solução. Em outras palavras, y = O, ou seja,

para todo x em / . Isso contradiz a suposição de que y 1 e y 2 são linearmente independentes no intervalo . O Da discussão acima, concluímos que , quando y 1, y 2, . . , y11 são n so luções para (3) em um intervalo/, o wronskiano é identicamente nulo ou nunca se anula no intervalo.

PEFINIÇÃO 4.3

Conjunto Fundamental de Soluções

Qualquer conjunto y 1, y2, .. . , Yn de n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-és.ima ordem (3) em um intervalo l é chamado de conjunto fundamental de soluções no intervalo.


156

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume 1

TEOREMA4.5 Sejam y 1, y 2, ... , Yn n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo !. Então, toda solução Y(x) para (3) é ,uma combinação linear das n soluções independentes y 1, y2, . ·.. , Yn• ou seja, podemos encontrar constantes C 1, C2, .. . , Cn, tais que

Demonstração Provamos o caso n = 2. Seja Y uma solução e sejam y 1, y 2 duas soluções linearmente independentes para az(x)y"

+ a,(x)y' + ao(x)y = O

em um intervalo I. Suponha que x = t seja um ponto desse intervalo para o qual W(y, (t), yz(t)) te O. Suponha também que os valores de Y(t}e Y'(t) sejam dados por Y'(t) = kz.

Y(t) = ki.

Se examinarmos agora o sistema de equações C1Y1(t) + C2Y2(t) = k1 C1YÍ (t) + C2Y:i (t) = k1.

segue-se que podemos determinar C 1 e C2 de maneira única, desde que o determinante dos coeficientes satisfaça Yt(I)

1YÍ (t)

yz(t)

YÍ (t)

11'

O .

Mas esse determinante é simplesmente o wronskiano calculado no ponto x hipótese, W te O. Definindo então a função,

=t

e, por

observamos que: (i)

G(x) satisfaz a equação diferencial, pois ela é a superposição de duas soluções yl e y2.

(ii)

G(x) satisfaz as condições iniciais G(t) = C 1y 1(t) + C2Y2(t) = k, G'(t)

(iii)

= C1YÍ (t)

+

C2Yí (t)

= kz .

Y(x) .satisfaz a mesma equação linear e as mesmas condições iniciais.


Volume 1

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

157

Como a solução para esse problema linear de valor inicial é única (Teorema 4.1 ), temos Y(x) = G(x), ou

D A questão básica de existência de um conjunto fundamental para uma equação linear é respondida no próximo teorema. T EOREMA 4.6

Existência de um Conjunto Fundamental

Existe um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo/. A prova deste resultado segue-se do Teorema 4.1 . A justificativa do Teorema 4.6 no caso especial de equações de segunda ordem é derivada como exercício. Como mostramos que qualquer solução para (3) é obtida por uma combinação linear de funções em um conjunto fundamental de soluções, podemos dar a seguinte definição. DEFINIÇÃO 4.4 Solução Geral ~ Equações Homogêneas Sejam y 1, y2, . .. , y 11 n sol uções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo /. A solução geral para a equação no intervalo é definidayor

y = C1Y1(x) + C2)'2(x) + ... + CnJn(X), em que os e;, i

= 1,

2, ... , n são constantes arbitrárias.

Lembre-se de que a solução geral, como definida na Seção 1.1, é também chamada de solução completa para a equação diferencial.

------------------ -- E X EM P LO

----

---

21

A equação de segunda ordem y" - 9y = O possui duas soluções YI = e3x Como

W(e3x, e-

3x) =

e Y2 = e-

1 1

e3x

1

3e3x

3x.

e-3x 1 - 3e-

3x

1 1

-6 te.

o

para todo valor de x, y 1 e Y2 formam um conjunto fundamental de soluções em (- oo, oo). A solução geral para a equação diferencial no intervalo é


158

Equações Diferenciais

E X EM P LO

Cap. 4

Volume I

22

Você deve verificar que a função y = 4 senh 3x - 5e - 3x também sat isfaz a equ ação diferencia l do Exemplo 21. Escol hendo c 1 = 2, c2 = - 7 na so lu ção gera l y = c 1e 3x + c2e - 3x, obtemos

y = 2e3x - 7e - 3x = 2e3x - 2e - 3x - se - 3x = 4(

e3x_e-3x) - se - 3x 2

= 4 senh 3x - se - 3x.

--------E X EM P LO

23

As fun ções YI = ex, Y2 = e 2 r e y3 = e 3x satisfazem a equação de terceira ordem

d 3y d 2y dv - 6+ 11 3 dx dx 2 dx

=- -

Co mo

W(ex, e2r, e3x) =

6y = O.

ex

e2r

e3x

ex

2e2r

3e3x

ex

4e2r

9e 3x

2e6x cF. O

para todo valor real de x, YI> Y2 e y3 formam um conjunto fundamental de soluções em (- oo, =). Concluímos que

é a so lução gera l para a equação di fere ncia l no intervalo.

Equações Não-homogêneas Vo ltamos agora nossa ate nção para a definição de so lução geral para um a equação linear

não-homogênea. Qualquer função Yp· independente de parâmetros, que sati sfaça (4) é chamada de solução particular para a equação (algumas vezes é chamada de integral particular).

E X EM P LO

24

(a) Uma solução particular para y"

+ 9y

= 27


Volum e I

é Yr

Cap. 4

= 3 pois y;' = O e O+

9yP

Equações diferenciais linea res de ordem superior

159

= 9(3) = 27.

(b) Yp = x- x é uma solução particular para

x 2 y" + 2xy' - Sy

4x 3 + 6x

. Yp' = 3x 2 - l , Yp" = 6x, e pois

x2y1; ' + 2ry1;

-

Syp = x 2<6x) + 2x(3x2 - 1) -8

(x3 -

x) = 4x3 + 6x .

TEOREMA4.7 Sejam y 1, Y2· ... , Yn soluções para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3) em um intervalo I e seja Yp qualquer solução para a equação não-homogênea (4) no mesmo intervalo. Então,

+

y = C1Y1(x)

C2Y2(x) + ... + Ck:Yk(x)

+ Yp(x)

é também uma solução para a equação não-homogênea no intervalo para quaisquer constantes c1. c2, . . . , ck.

Podemos agora provar o análogo do Teorema 4.5 para as equações diferenciais nãohomogêneas .

TEOREMA4.8 Seja Yp uma dada solução para a equação diferencial linear não-homogênea de n-ésima ordem (4) em um intervalo I e sejam {Yi. y 2 , ... , Yn} um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada (3) no intervalo. Então, para qualquer solução Y(x) de (4) em /, podemos encontrar constantes C" C2, . .. , e. tais que

Demonstração

Provamos o caso n = 2. Suponha que Y e Yr sejam ambas soluções

para a2(x)y "

+

a1(x)y'

+

ao(x)y = g(x).

Se definirmos uma função u por u(x) = Y(x) - Yp(x), então a2(x)u" + a1(x)u' + ao(x)u

= a2(x)[Y" -

y;'J +

a1(x)[Y' -

y;J +

ao(x)[Y -

Yrl

= a2(x)Y" + a1(x)Y' + ao(x)Y- [a2(x)y/' + a1(x)y/ + ao(x)yp] = g(x) - g(x) = O.


160

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

Portanto, em vista da Definição 4.4 e do Teorema 4.5 , podemos escrev

Y(x) - Yp(x) = C1Y1(x) + C2Y2(x)

o

Y(x) = C 1Y1(x) + C2Y2(x) + Yp(x).

ou

Logo, chegamos à última definição desta seção.

DEFINIÇÃO 4.5

Solução Geral - Equações Não-homogêneas

Seja Yp uma dada solução para-a equáção diferencial linear não-homogênea de ·n-ésima ordem (4) em um intervalo l e seja

+ C2Y2(x) + ··· + CnYn(x)

Yc = C1Y1(x)

a solução geral para a equação homogênea associada (3) no intervalo. A solução geral para a equàção não-homogênea no intervalo é definida por

y = CJY1(x) + C2Y2(x) + ... + CnY,,(x) + Yp(x) = yc(x)

+ Yp(x).

Função Complementar

Na Definição 4.5, a combinação linear Yc(x) = C1Y1(x)

+ C2Y2(x) + ... + CnYn(x),

que é a solução geral para (3), é chamada de função complementar para a equação (4). Em outras palavras, a solução geral para uma equação diferencial linear não-homogênea é · y = função complementar + qualquer solução particular.

E X EM P LO

25

Por substituição~ ve~ificamos ~acilmente que a função Yp = lar para a equaçao nao-homogenea d 2v

d 3v =._L_

dx3

-

~;

d

6 =._L_ + li ~ - 6y = 3x dx2 dx .

-

~ x é uma solução particu(8)

Para escrever a solução geral para (8), devemos também ser capazes de resolver a equação homogênea associada <f.3v d 2v .L_L3 - 6 =._L_2

dx

dx

+ 11

dv =dx

6y =

o.


\folume 1

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem supe rior

161

Mas no Exemp lo 23 vimos que a so lução geral para essa última equação no intervalo (- oo, oo) era

Portanto , a so lução gera l para (8) no intervalo é li 12 -

1

2 x.

Outro Princípio de Superposição O últim o teorema dessa discussão será útil na Seção 4.4, quando considerarmos um método para encontrar soluções particul ares para equações não-homogêneas.

TEOREMA 4.9

Princípio de Superposição - Equações Não-homogêneas

Sejam Ypl> Yp 2, ... , Ypk k soluções particulares para a equação diferencial linear de n-ésima ordem (4) em um intervalo/, correspondendo a k funções distintas g " g 2, ... , gk. Isto é, suponha que Ypi seja uma solução particular para a equação diferencial correspondente

em que i '5 l , 2, ... , k. Então, Yp = Yp1(x}

+ Yp2(x) + ... +

Ypk(x)

é uma solução particular para an(x)y(n) + ªn - 1(x)y<11

•'

= g1(x)

+

g1(x)

- l) + ... + a1(x)y' + ao(x)y + ... + gk(x).

Deixamos a prova desse resultado q uando k = 2 como exercício. Veja o Problema 50.

E X EM P LO

26

Você deve verificar que Yrl

= -4x 2

é uma solução particular para

y"

3y'

+ 4y

=-

Yp2

= e2x

é uma solução particular para

y"

3y'

+ 4y

= 2e2x

Yp3 = xex

é uma sol ução particular para

y

3y'

+ 4y

= 2xex

,,

16x 2

Segue-se do Teorema 4.9 que a superpos ição de Ypl• Yp2 e Yp3•

+ 24x - 8

X

e.


162

Equações Diferenciais

Cap. 4

+

Y = Ypl

Volume l

Yp2

+

Yp3 =

-4x 2 + e2.x + xex,

é uma solução para y" - 3y' + 4y

= - l6x 2 '

+ 24x - 8 + 2e2x + 2xex - ex

-------

~

g1(x)

,,_____.,

gJ(x)

Antes de realmente começarmos a resolver equações diferenciais homogêneas e nãohomogêneas, precisamos ainda da teoria ad icional apresentada na próxima seção. Nota Um sistema físico que varia com o tempo e cujo modelo matemático é uma equação diferencial linear a11 (t)y< 11 > + a11

_

1(1)y< 11

-

I)

+ ... + a1(t)y'

+ao(t)y = g(t)

é chamado de sistema linear. Os valores das variáveis y(t), y'(t), ... , y< 11 - 1l(1) em um tempo específico to descrevem o estado do sistema. A fun ção g é chamada de função aplicada, função de força ou função de excitação. Uma solução y(t) para a equação diferencial é chamada de saída ou resposta do sistema. A dependência da resposta à função ap licada é ilustrada na Fi gura 4.5.

função aplicada

sistema

saída ou resposta

Figura 4.5

Para que um 's istema físico seja um sistema linear, é necessário que o princípio de superposição (Teorema 4.9) seja válido no sistema; isto é, a resposta do sistema a uma superposição de ap licações é uma superposição de respostas.

4. 1

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecio nados estão nas páginas 448 a 450. (4.1.l]

l.

Sabe-sequey

= c1ex +

c2e -x

é uma fanu1ia a dois parâmetros de soluções para y" - y = O no intervalo (- ~. membro dessa farru1ia satisfazendo as condições iniciais y(O) = O, y'(O) = 1.

~) .

Encontre um


Vo lume 1

Cap. 4

Equações dife renciais lin ea res de ordem superio r

163

2. Encontre uma so lução para a eq uação d ifere ncia l do Pro bl ema 1 sati sfazendo as condi ções de conto rno y(O) = O, y( l ) = 1. 3. Sabe-se que y = c 1eü + c2e - x

é uma fa míli a a do is pa râ metros de so lu ções pa ra y" - 3y' - 4y = O no inter va lo (- oo, oo). Enco ntre um membro dessa fa míli a q ue sati sfaça as co nd ições ini cia is y(O) y = e1

4. Sabe-se que

+

C2

cos x +

c3

=

l . y'(O) = 2.

sen x

é uma famíli a a três parâmetros de so luções para y"' + y' = O no interva lo (- oo, oo). Encontre um membro dessa fa míli a q ue sa ti sfaça as co ndições ini c iai s y(n ) = O. y' (n ) = 2, y" (n) = - l .

y = c 1x + c:ix ln x

S. Sabe-se que

é uma famíli a a do is parâmetros de so luções para x 2y" - xy' + y = O no intervalo (-oo, oo). Encontre um memb ro dessa famíli a que sati sfaça as co ndições in ic iais y( l ) 3, y'( l ) = - l.

=

6. Sabe-se que

)' =

Ci

+

C2X 2

é uma fa míli a a dois parâmetros de so luções para xy" - y' = O no intervalo (- oo, oo ). Mostre que não ex istem constantes c 1 e c2 para q ue um membro dessa fa míl ia saü sfaça as cond ições ini cia is y(O) = O, y'(O) = l . Ex pliq ue po r que isso não constituí uma vio lação do Teorema 4. 1.

7. Encontre do is membros da fa mília de sol uções para xy" - y'= O dada no Problema 6, que sati sfaçam as condições inic iais y(O) = O, y'(O) = O.

= Odada no Problema 6, que sati sfaça as condições de contorno y(O) = l , y'( l ) = 6. O Teorema 4 . l garante q ue esta so lução é única?

8. Encontre um me mbro da fa mília de so luções para xy" - y'

9. Sabe-se qu e é uma famfli a a do is parâmetros de so luções para y" - 2y' + 2y = O no intervalo (- oo, oo). Encontre, se ex istir, um me mbro dessa famíl ia que sati sfaça as condi ções (a) y(O) = l ,

y' (O ) = O

(b ) y(O) = l , y(n ) = - l

(e) y( O) = l ,

y( n /2) = l

(d ) y(O)

= O,

y(n ) = O.

)' = CtXZ + C2X~ + 3

1O. Sabe-se qu e

+ 8y = 24 no int erva lo (- oo, oo) . Enco ntre , se ex istir, um me mbro dess a fa míli a qu e saü sfaça as co ndi ções

é uma famíli a a do is parâmetros de so luções para x 2y" - 5xy'

(a) y(- 1) = O,

y( l ) = 4

(c) y(O) = 3,

y( l )

(b) y(O) = l , y( l )= 2

=O

(d ) y(O) = 3,

Nos Probl e mas l l e 12, encontre um interva lo em torno de x tenha uma única solução . 11. (x - 2)y"

+ 3y = x ;

12. y" + (tg x )y

= e';

y(O) = O, y'(O) = 1 y(O)

= 1,

y'(O) =

O

y(2) = IS.

= O no qual o proble ma de valo r ini cial dado


Volume I

Cap. 4

Equações Diferenciais

164

13. Sabe-se que y = c1 cos Àx + c2 sen Àx é uma família de soluções para a equação diferencial y" + À.2y = O. Determine os valores de parâmetro À para os quais o problema de valor de contorno y" + À2y =O,

y(O) = O,

y(7t)

= O,

possua soluções não triviais. 14. Determine os valores do parâmetro À para os quais o problema de valor de contorno

y(O) = O,

y(5) = O,

possua soluções não triviais. Veja o Problema 13.

(4.1.2] Nos Problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em (-~. ~) .

15. f1(x)

= X,

f2(x)

16. J i(x)

= O,

17. f1(x) = 5,

= x 2,

f3(x)

= 4x

f2(x) =X,

f3(x)

=e

f2(x) = cos2 ,

f3(x)

= sen2x

=

f3(x)

= cos2 x

18. fi(x)

= cos 2x,

f2(x)

19. f1(x)

= x,

f2(x) = X - l ,

20. f1(x) = 2 + X, 21. f1(x)

= 1 + X,

22. f1(~) = ex,

Jz(x)

l,

=2 +

X

ÍJ(X) =X

+3

lxl,

fz(x) =X, Jz(x) = e

- 3x 2

-x

f3(x)

= x2

f3(x)

= senh x

Nos Problemas 23-28, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.

24. [ +X, x 3 ; (-~, ~) 25. senx, coscx; (O, 7t)

26. tgx, cotgx; (O, 7t/2) 28. x, x ln x, x 2 ln x; (0, ~)

29. Observe que, para as funçõesf1(x)

=2 1

Isso implica que as funções X

= O?

f 1 e fz

X

e f2(x)

!1 (O)

- 2

(b) Mostre que W (f1 (x),

h

X

fz(O) = O.

são linearmente dependentes em qualquer intervalo contendo

= xlxt são linearmente independentes em (- ~. = O para todo número real.

30. (a) Mostre graficamente que J1(x) = x 2 e fz(x) (x))

= ex,

~).


Vo/11111e 1

Cap. 4

Eq11ações diferenciais linea res de o rdem rnperior

165

[4.1.3) 31. (a) Verifique que y valo (O,=).

= l /x é uma solu ção para a equação difere nci al não- linear y" = 2y 3 no inter-

(b ) Mostre que um múltiplo y = e/ x não é uma solução para a equação quando e # O,± 1.

32. (a) Ve rifiqu e qu e y 1 = l e y 2 = ln x são so lu ções para a eq uação diferencial não- lin ear y" + (y') 2 = O no interval o (O,=).

+ y 2 é uma so lução para a equação? c 1y 1 + Ci)'z, c 1 e c 2 constantes arbitrárias, é uma so lução para a equação?

(b) y 1

Nos Problemas 33-40, verifique que as funções dadas fo rmam um conjunto fundamental de solu ções para a equação diferencial no interval o indi cado. Forme a solução geral.

33. y" - y' - l2y = O; e- Jx, e 4", (- =, =) 34. y" - 4y = O; cosh 2r, senh 2x, (- =, =)

35. y " - 2y' + 5y = O; e" cos 2x, e" sen 2x, (- =, =) 36. 4y" - 4y' + y

= O;

e"12, xe"12 , (- =, =)

37. x 2y" - 6xy' + l2y = O; x 3, x 4 , (0, =)

38. x 2y" + xy' + y

= O;

cos(ln x), sen(ln x) , (O, =)

39. x 3y"' + 6x 2y" + 4xy' - 4y = O; x , x- 2 x - 2 ln x, (0, =)

40.

y<4 l +

y" =O; l , x, cosx, sen x, (-=, =)

Nos Problemas 41-44, verifique que a dada fanulia a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não-homogênea no intervalo indicado.

41. y" - 1y' + lOy = 24e" y

= cie2x +

c2e 5"

+

6e". (- =, = )

42. y" - y = sec x y = c 1 cosx + czsen x + x sen x + (cosx) ln(cosx), (-n/2, n / 2)

43. y" - 4y' + 4y y

= cie 2 '

= 2e2x

44. 2x 2y" + 5xy' + y

)' = CJX

+ 4x - 12

+ cixe2x + x 2e 2' + x - 2, (- =, = )

-112

+

C2X

= x2 - 1

- x

l 2 + lS X

-

6l X,

(O

,

=)

45. (a) Ver ifique que y 1 = x 3 e y2 = lxl 3 são linearmente independentes da equação diferencial x 2y" - 4xy' + 6y ,= O em (- =, =).


166

Equações Dife rencia is

Ca p. 4

Volume 1

(b) Mostre q ue W(y 1, y 2 ) = O para todo número real. (e)

O res ultado da parte (b) viola o Teore ma 4.4?

(d) Verifiqu e qu e Y1 = x 3 e Y2 = x 2 são também so luções lin earmente independentes para a equ ação diferencia l no interva lo (- oo, oo). (e) Encontre uma solu ção para a equação que sati sfaça y(O) = O, y'(O) = O. (f)

Pelo princípi o da superpos ição a mbas as co mbinações lineares

são so luções para a equação di fe rencial. Qual delas é a so lução geral para a equação d iferencial em (- oo, oo)? 46. Considere a equação diferencia l de segund a ordem (9)

em que a 2(x), a 1(x) e a0(x) são contínuas e m um intervalo 1 e a 2(x ) ot- O para todo x no interva lo. Pelo Teorema 4. 1, ex iste so mente uma solução y 1 para a equação que sati sfaça y(xo) = l e y'(x0 ) = O, em que x 0 é um ponto de / . Da mes ma fonna, ex iste uma única solução y 2 para a equação que satisfaça y(x0 ) = O e y'(x0 ) = l. Mostre que y 1 e y 2 fo rm am um conjunto fundamental de so luções para a equação diferencia l no intervalo /. 47. Sej am y 1 e y2 duas soluções para (9). (a) Se W(yi. y 2 ) é o Wronski ano de y 1 e y 2, mostre que

(b) Dedu za a fórmula de Abel *

em que e é uma constante.

Niels Henrik Abel (1802-1829) Abel foi um bálhante matemático norueguês cuja morte trágica aos 26 anos, devida à tubercul9se, representou uma perda inestimável para a matemática. Seu grande feito ioi a solução para um problema que confundiu os matemáticos por séculos: ele mos.Irou que uma equação polinomial geral para quinta ordem não pode ser resolvida algebricamente -isto é, em .:!~nno~ '!:e. r3?icais. Çon~rânC? de ,t\pel; o~ Eyarl,ste . Galo~, ~ntãg provou que .eçi impossível reso.lver quâlquer equação geral para grau maíoc que q~o algebricamente. Galois é outra figura trágica na história da matemática; ativista P.<>Ütico, foj morto em um duelo aos 22 anos deidade.


(e)

Equações diferenciais lineares de ordem superio r

Cap. 4

Volume 1

167

Usando uma forma allernativa da fórmula de Abel

W

-r

= ce

la,(t)la,(r)ldr

para x 0 e m / , mostre que

(d) Mostre que, se W(x0 ) = O, então W = O para todo x em / , e nquanto, se W(x0) ct O, e ntão W ct O para todo x no intervalo. Nos Problemas 48 e 49, use os resultados do Problema 47. 48. Se)'! e

)'2

são duas soluções para {l - x 2 )y" - 2xy' +

em (- 1, 1), mostre que W(y1 , )'2)

= c/( l

-

11(11

+ l)y

=O

x\ em que eé uma constante.

49. No Capítulo 6, veremos que as soluções y 1 e y2 para xy" + y' + xy = O, O < x < infinitas. Suponha que considerei.nos as condições iniciais

e

Y1(xo)

= k1 ,

YÍ (xo)

= k2

Y2(XQ)

= k3,

YÍ (xo)

= k4

~.

são séries

para x0 > O. Mostre que

50. Suponha que um modelo matemático de um sistema linear seja dado por

d d2 a 2(1) ~ + a 1(t) ~d + ao(t) y = E(t)

I

dt

1

Se y 1 é uma resposta do sistema a uma aplicação E 1(1) e y 2 é uma resposta do mesmo sistema a uma aplicação E2(1), mostre que, y 1 + y 2 é uma resposta do sistema à aplicação E 1(t) + E2(t).

4.2

CONSTRULNDO UMA SEGUNDA SOLUÇÃO A PARTIR DE UMA SOLUÇÃO CONHECIDA

Redução de Ordem Um dos fatos mais interessantes e importantes no estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem é que podemos construir uma segunda solução a partir de uma solução conhecida. Suponha que y 1(x) seja uma solução não trivial para a equação


168

Cap. 4

Equações Diferenciais

a2(x)y"

Volume 1

+

a1(x)y'

+

ao(x)y =

O

(1)

Supomos, como fizemos na seção precedente, que os coeficientes em (1) são contínuos e a 2(x) 7' O para todo x em um intervalo !. O processo que usaremos para encontrar uma segunda solução y 2 (x) consiste em reduzir a ordem da equação ( 1), transformando-a em uma equação de primeira ordem. Por exemplo, verifica-se facilmente que Yl = ex satisfaz a equação diferencial y" - y = O. Se tentarmos determinar uma solução da forma y = u(x)ex então

y" - y

assim

Como ex 7' O, esta última equação implica que u" + 2u' = O. Se fizermos w = u', então a equação acima será uma equação linear de primeira O. Usando o fator de integração e2x, podemos escrever, ordem em w, w' + 2w

Logo, CJ

assim,

y = u(x)ex = -2e

-X

+

c2e

X

Escolhendo c2 = O e c 1 = - 2, obtemos a segunda solução Y2 = e-x. Como W(e X, e-x) 7' O para todo x, as soluções são linearmente independentes em (- oo, oo), portanto a expressão para y é de fato a solução geral para a equação dada.

EXEMPLO

1

Sabendo-se que y 1 = x 3 é uma solução para x 2y" - 6y trar uma segunda solução no intervalo (O, oo).

Solução Defina y = u(x)x 3 em que

O, use redução de ordem para encon-


Volume 1

Cap. 4

Equações diferenciais lin eares de ordem superior

169

desde qu e u(x) seja uma solução para x 5 u" + 6x 4 u' =O ou u"

Se w

+~u' X

=O.

= u', obtemos uma equação linear de primeira ordem w' +

~w X

=O ,

a qual poss ui o fator de integração e 6 f dxlx = e 61 " x = x 6 . Agora,

!!:_ [x 6 w) dx

=O

implica x 6w

= e,.

' e,

w = u = -

Portanto,

x6

Y = u(x)x 3 = _ __:_i_ + Sx 2

C?x 3.

-

Escolhendo c2 = O e c 1 = - 5, obtemos a segunda solução Y2 = l/x 2.

Caso Geral Dividindo a equação (1) por az(x), esta toma a forma padrão y" + P(x)y' + Q(x)y = O,

(2)

em que P(x ) e Q(x) são contínuas em algum intervalo!. Vamos supor ainda que y 1(x) seja uma solução conhecida para (2) em l e que y 1(x) e# O para todo x no intervalo. Se definirmos y = u(x)y 1(x ), segue-se que y' = uy í + y 1u' y" = uy í' + 2yí u' + y,u" y " + Py' + Qy

= u[yí'

+ Pyí + Qyi] + y,u" + (2yí + Pyi)u'

= O.

Isso implica que devemos ter Yiu" + (2yí + Py1)u'

ou

= O

Y1w' + (2yí + Pyi)w = O,

(3)


170

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume 1

em que sub st ituímos w = u '. Observe q ue a equação (3) é linea r e se parável. Apli cando esta última técni ca, obtemos

dw YÍ -+2-dx+Pdx= O YI

w

lnlwl+ 21nly1I= lnlwyil= -

f

Pdx + e

J Pdx + e e- J Pdx

w = u'

e-f Integrando novamente

YT

P d.x

--2- dx + C2,

Lt

e,- - - .

e portanto

YI

-JP(x)dx

y

Escolhendo

c2

= Oe c 1

u(x)y,(x) = C1Y 1(x)

J e y 21(x)

dx+ C2J1(x) .

1, concluímos que uma segunda so lução para a equação (2) é

Y2

= Yi(x)

J

e- J P(x)d.x 2

Yi(x)

(4)

dx .

É um bom exercício de derivação começar com a fórmula (4) e verificar que a equação (2) é satisfeita. Agora, Y i(x) e Y2(x) são linearmente independentes, pois

-f f _e_

Pd.x

Yt

Yt

2-dx

YI

W(yi(x), Y2(x)) =

e- J Pdx YÍ - - - + YÍ YI

=

f

e- f Pdx

e- J P dx dx

YT

é diferente de zero em qualquer intervalo em que y 1(x) seja diferente de zero.*

*

Uma maneira alternativa é: se Y2 = u(x)y 1, então W(y1 , Y2) = u'(yi)2 1' O, pois, y1 1' O para todo = O, então u' =constante.

x em algum intervalo. Seu'


Volume I

EXEMPLO

Cap. 4

Equações diferen ciais lineares de ordem superior

17 1

2

A função Y 1 = x 2 é uma solução para x 2y" - 3xy' + 4y = O. Encontre a solução geral no intervalo (0, 00 ). Solução

Como a equação pode ser escrita na forma alternativa

3 y ' +?y= 4 y " - -x

xJ

Y2 = x 2

obtemos de (4)

= x2 A solu ção gera l em (0,

00 )

é dada por y =

y =

EXEMPLO

o,

J dxlx

~ e''tM. = e1n..-' = x1 \

J _e_x4_ dx J dx = x 2 ln x. X

C1)'1 C 1X 2

+ +

Cl)'z ;

isto é,

czx 2 ln X.

3

-rx

_ ? ,, , 2 1 Pode ser ven.f.1ca do que y 1 = sen x e, uma so 1uçao para x-y + xy + (x - 4 )y = O em (O, 7t). Encontre uma segunda solução. x

Solução

Primeiro, ponha a equação na forma y"

= ;- y' + ( 1 -

4~2 }

= O.

Então, de (4) temos ~

Y2

J cosec2x

=

se:Jxx

=

sen x cos x ,,[; (-cotgx) = - ,,[; ·

e- f<bh = e,,,,_, = x -11

dx

Como a equação diferencial é homogênea, podemos desconsiderar o sinal negativo e obter a • segunda solução Y2 = (cos x)/,,f;_


172

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume l

Observe que y 1(x) e Y2(x) no Exemplo 3 são soluções linearmente independentes da equação diferencial dada no intervalo maior (O, oo).

Observação Deduzimos e ilustramos como usar (4) porque você verá essa fórmu la novamente na Seção 6.1. Usamos (4) simplesmente para economizar tempo na obtenção do resultado desejado. Seu professor irá dizer-lhe se você deve memorizar (4) ou se deve saber os primeiros princípios de redução de ordem.

4.2 EXERCÍCIOS As respostas dos exercícios selecionados estão na página 450. Nos Problemas l-30 , encontre uma segunda solução para cada equação diferen cial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) co mo ensinada. Suponha um intervalo apropriado. l. y"

+ 5y' = O; y1 =

3. y" - 4y' + 4y

= O;

2. y" - y' YI =e 2x

= O;

YI

=

4. y" + 2/ + y = O;

YI = xe

5. y" + 16y = O; y1 = cos 4x

6. y" + 9y = O; y1 = sen 3x

7. y" - y = O; y1 = coshx

8. y" - 25y = 0; YI = e 5' 10. 6y" + y' - y

9. 9y" - 12y ' + 4y = O; y1 = e 2 </ 3

= O;

-X

y1 - e'13

11. x 2y" - 7xy' + 16y = O; Y I = x 4

12. x 2y" + 2xy' - 6y = 0;

13. xy" + y' =O; y1 = ln x

14. 4x 2y" + y = O; x 112 lnx

15. (1-2x-x 2 )y"+2(l+x)y'-2y=O;y1=x+l

16. ( l -x 2 )y"-2xy'=O; y1 = 1

17. x 2y" - xy' + 2y = O; y 1 = xsen(ln x)

18. x 2y" - 3xy' + 5y =O; y1 = x 2 cos(ln x)

19. (1 + 2x)y" + 4xy' - 4y = O; y1 =

20. (l + x)y" + xy' - y

e - 2x

x2

YI =

= O;

y1

=x

21. x 2y" - xy' + y = O; y1 = x

22. x 2y" - 20y = 0; YI = x- 4

23. x 2y" - 5xy' + 9y = O; y1 = x 3 ln x

24. x 2y" + xy' + y = O; y1 = cos(ln x)

25. x 2y" - 4xy' + 6y = O; YI = x 2 + x 3

26. x 2y" - 7xy' - 20y = 0;

27. (3x + l)y" - (9x + 6)y' + 9y = O; 29. y" - 3(tg x)y' = O; y1 = l

YI

= e 3"

YI

28. xy" - (x + l )y' + y = O;

= x 10 YI

=e

X

30. xy" - (2 + x)y' = O; YI = l

Nos Problemas 31-34, use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação não-homogênea dada. A função indicada y 1(x) é uma solução para a equação homogênea associada. Determine uma segunda solução para a equação homogênea e uma solução particular da equação não-homogênea.


Volume l

31. y" - 4y

= 2;

33. y" - 3y' + 2y

YI

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

= e -2.x

= 5e 3';

173

32. y" + y' = I; YI = I

y 1 = e-'

34. y" - 4y' + 3y = x; y1 = ex

35. Verifique por substituição direta que a fórmula (4) satisfaz a equação (2).

4.3

EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES

Vimos que a equação linear de primeira ordem dy/ dx + ay = O, em que a é uma constante, possui a sol ução exponencial y = c 1e-ax em (-oo, oo). Portanto, é natural procurar determinar se soluções exponenciais existem em (- oo, "") para equações de ordem maior como ªnY(n) + ªn -

1/11

-

I)

+ ... + ª'lY" + ª1Y' + ªoY = O,

(1)

em que os a;, i = O, l, .. ., n são constantes. O fato surpreendente é que todas as soluções para ( J) são funções exponenciais ou construídas a partir de funções exponenciais. Começamos considerando o caso especial da equação de segunda ordem ay" + by' + cy = O.

(2)

Equação Auxiliar Se tentarmos uma solução da forma y (2) torna-se am 2 emx + bmemx

= enu, então y ' = me"zx e y" = m 2e'nx; assim a equação

+ cenu

= O ou emx(am 2

+ bm + e)

= O.

Como e 11ix nunca se anu la para valores reais de x, então a única maneira de fazer essa função exponencial satisfazer a equação diferencial é escolher m de tal forma que ele seja raiz da equação quadrática

am 2 + bm +e= O

(3)

Essa última equação é chamada de equação auxiliar ou equação característica da equação diferencial (2). Consideramos três casos, a saber: as soluções para a equação auxiliar correspondem a raízes reais distintas, raízes reais iguais e raízes complexas conjugadas. CASO 1 Raízes Reais Distintas Com a hipótese de que a equação auxiliar (3) possui duas raízes reais distintas m 1 e m2, encontramos duas soluções

Vimos que essas funções são linearmente independentes em (- oo, oo) (veja Exemplo 13, Seção 1.4) e portanto formam um conjunto fundamental. Segue-se que a solução geral para (2) nesse intervalo é


174

Equações Dife renciais

Cap. 4

Vo lume l

(4)

CASO li

Raízes Reais Iguais Qua ndo m 1 = m 2, o bte m os some nte uma sol ução ex po ne nc ia l y 1 = emix. Po ré m , seg ue-se ime di a ta me nte d a d is cuss ão d a Seção 4.2 que uma seg unda so lu ção é -

Y2 - e

m1x

f

-(bla~t

e

(5)

-::z;n;x e i d.x ·

M as, d a fo rma qua drá ti ca, te m os que m 1 = - b/2a, po is a única m a ne ira de ler = m2 é te r b 2 4ac = O. Em v is ta do fato de que 2m 1 = - bla, (5 ) to rn a-se

m1

A so lu ção gera l para (2) é e ntão

(6) CASO Ili

Raízes Complexas Conjugadas po de m os escrever m 1 =a

+ i/3

Se m 1 e m 2 são co mpl exas, e ntão

e m2 =a -

if3,

e m que a e f3 > O são re ai s e i 2 = - 1. Form a lme nte, nã o há dife re nça e ntre este caso e o Caso 1, e m que

Po ré m , na prati ca, prefe rimo s traba lha r c o m funções reai s em ve z de ex po nenc iais compl e xas . Para este fim , usa mo s a fó rmula de Euler:*

e;e = cos e + i sen e,

Leonhard Euler (1707-1783) Um homem com uma memória prodigiosa e um poder de concentração fenomenal , Euler teve interesses universais; foi teólogo, físico, astrônomo, lingüista, psicólogo, conhecedor dos clássicos e, principalmente matemático. Euler foi considerado um verdadeiro gênio do século. Em matemática, fez contribuições permanentes para a álgebra, trigonometria, geometria analítica, cálculo, cálculo das variações, equações diferenciais, variável complexa, teoria dos números e topologia. Sua produção matemática parece não ter sido afetada pelos 13 filhos ou pela cegueira que o acometeu em seus 17 últimos anos de vida. Euler escreveu mais de 700 trabalhos e 32 livros sobre matemática e foi responsável pela introdução de muitos símbolos (tais como e, 7t e i = H) e notações que ainda são usadas (como/V;), E, sen x ecos x). Euler nasceu em Basiléia, Suíça, em 15 de abril de 1707 e morreu de derrame cei:ebral em São . Petersburgo em 18 de setembro de·1783, quanpo trabalhava na corti: ct;i. imperatriz russa Catarina, .ª .. . .., . Grande. Veja o Apêndice N para obter uma revisão sob;e ll\ÍffillíOS com~lexos e uma dedução da fórmula dé Euler.


Volume l

e m que

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

175

e é qualquer número rea l. Segue-se desta fórmula que eif3x

= cosf3x +

= cosf3x

i senf3x e e- if3x

- i sen{Jx,

(7)

em que usamos cos (-{3x) = cosf3x e sen (-{3x) = - sen{Jx. Note que somando e depois subtraindo as duas equações em (7), obtemos , respectivamente, eif3x

+ e- if3x

= 2cos{3x

e eif3x - e- if3x

= 2isen{3x.

Como y = C 1e(a +if3~r + C2e(a - ; 13~, é uma so lução para (2) para qualquer escolha das cons tantes C1 e C2, fazendo C1 = C2 = l e C1 = l, C2 = - 1, temos , nesta ordem, duas so luções: YI =e<ª + if3~< +e <ª - i f3~< e Y2 =e<ª + if3M - e<ª - if3i r_

Mas,

Yi = eª x(eif3x + e- if3x) = 2eªx cos {3x

e

Y2 = eª x(eif3x - e- if3x) = 2ieª x sen{Jx.

Portanto, pelo Corolário (A) e o Teorema 4 .3, os dois últimos resultado s mostram que as funções érx cosf3x e eª x sen{3x são soluções para (2). Ai nd a, do Exemplo 14 da Seção 4.1, temos que W(eªx cosf3x, eª x sen{3x), = {3e 2ax 7:- O, f3 > O, e daí podemos concl uir que as duas funções formam um conj unto fundamental de soluções para a equação diferencial em (- oo, oo). Pelo princípio de superposição, a solução geral é

(8) EXEMPLO

1

Resolva as seguintes equações diferenciais

(a) 2y" - Sy' - 3y = O (b) y" - lOy' - 25y = O (e) y"

+ y' + y

Solução

(a)

= O

2m 2 - 5m - 3

= (2m

+ l )(m - 3)

=O

= -±•

m2

m1

(b) m2 -

lOm + 25

= (m

- 5) 2

=3

=O m1

= m2 = S


176

Cap. 4

Equações Diferenciais

Volume 1

(e) m 2 + m + 1 = O

• EXEMPLO

2

Resolva o problema de valor inicial y" - 4y'

+ 13y =O,

y(O) = - 1,

y'(O) = 2.

Solução As raízes da equação auxiliar m 2 - 4m + 13 = O são m 1 = 2 + 3i e m2 = 2 - 3i. Logo, y

= e2x(c 1 cos 3x +

c2 sen 3x).

A condição y(O) = - 1 implica e 0(c1

- l =

cos O + c2 sen O) =

CJ,

assim podemos escrever

y =

e2x(- cos 3x

+ c2 sen 3x).

Derivando essa última expressão e usando y'(O) = 2, obtemos

y' =

e2x(3

sen 3x + 3c2 cos 3x) + 2e2x(- cos 3x + c2 sen 3x)

2 = 3c2 - 2 e c2 = 4/3. Portanto,

y =

EXEMPLO As duas equações

e2x ( -

cos 3x +

~

sen 3x}

3 (9)

(10) '


Volume l

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

177

são encontradas freqüentemente no estudo de matemática aplicada. Para a primeira equação diferencial, a equação auxi liar m 2 + k 2 = O tem raízes m 1 = ki e m2 = - ki. Segue-se de (8) que a solução geral para (9) é y=

m1

c 1 coskx

+

c2

sen kx.

(11)

A equação diferencial (LO) tem a equação auxiliar m 2 k. Daí, a solução geral é

-

k2

O, cujas raízes são

= k e m2 = -

y = c 1ekx + c 2e- kx. Note que, se escolhermos

(12)

1/ 2 em (12), então

c1

e kx

y =

+ e - kx

= cosh kx

2

é também uma solução para ( 10). Ainda, se e 1 = 1/ 2 e

c2 = -

'12, então ( 12) torna-se

ekx - e- kx

y =

2

= senh kx .

Como cosh kx e senh kx são linearmente independentes em qualquer intervalo do eixo x, elas form am um conjunto fundamental. Logo, uma forma alternativa para a solução geral para (LO) é (13)

Equações de Ordem Superior No caso geral, para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem ªnY(n)

em que os ai, i de grau n

+

ªn - tY(n - I)

+ ··· +

ª2.Y"

+

ªtY'

+

ªoY

= O.

(14)

O, 1, ... , n, são constantes reais, devemos resolver uma eq uação polinomial

(1 5)

Se todas as raízes de (15) são reais e distintas, então a solução geral para (14) é (16) É um pouco mais difícil resumir os análogos dos Casos II e III porque as raízes de uma equação auxiliar de grau maior que dois podem ocorrer com várias combinações. Por exemplo, uma equação de grau cinco pode ter cinco raízes reais distintas, ou três raízes reais distintas e duas complexas, ou uma raiz real e quatro complexas, ou cinco raízes reais e iguais, ou cinco raízes


178

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume l

reais, mas duas delas iguais etc. Quando m 1 é uma raiz de multiplicidade k de uma equação auxiliar de grau n (isto é, k raízes são iguais a m 1), pode ser mostrado que as soluções linearmen te independentes são

e a solução geral tem de conter a combinação linear

Por último, devemos lembrar que, quando os coeficientes são reais, raízes complexas de uma equação auxiliar sempre aparecem em pares conjugados. Logo, por exemplo, uma equação polinomial cúbica pode ter no máximo duas raízes complexas.

------EXEMPLO

4 y"' + 3y" - 4y

Reso lva

Solução

O.

Por inspeção, verificamos que m 3 + 3m 2 - 4

é raiz de m1

=O

l. Agora, se dividirmos m 3 + 3m 2 - 4 por m - 1, encontramos m 3 + 3m 2

-

4 = (m - l)(m 2 + 4m + 4) = (m - l)(m + 2) 2 ,

logo, as outras raízes são m2 = m3 = - 2. A solução geral é portanto y = c iex

+ cze -

2x

+ c:ixe-2x.

É claro que a maior dificuldade na resolução para equações com coeficientes constantes é encontrar as raízes das equações auxiliares de grau maior que dois. Como ilustrado no Exemplo 4, uma maneira de resolver uma equação é "adivinhar" uma raiz m 1. Se tivermos encontrado uma raiz m 1, então sabemos pelo teorema de fatoração quem - m 1 é um fator do polinômio. Dividindo o polinômio por m - m 1, obtemos a fatoração (m - m 1)Q(m). Tentamosentão encontrar as raízes do quociente Q(m). A técnica algébrica de divisão sintética é também muito útil para encontrar raízes racionais de eq uações polinomiais. Especificamente, se m 1 = pi q é uma raiz racional (p e q inteiros primos entre si) de uma equação auxi li ar

a,,m" + ... + a1m + ao =O com coeficientes inteiros, então pé um fator de ao e q é um fator de a,,. Logo, para determinar se uma equação polinomial possui raízes racionais, precisamos examinar somente as razões entre cada fator de ao e cada fator de a,,. Dessa maneira, construímos uma lista de todas as possíveis raízes racionais da equação. Testamos cada um desses números por divisão sintética. Se o resto é zero, o número m 1 testado é uma raiz da equação, assim, m - m 1 é um fator do polinômio. O próximo exemplo ilustra esse método.


Volume I

E X EMPLO

Cap. 4

179

5

Resolva Solução

Equações diferenciais lineares de ordem superior

3y"' + Sy" + lOy' - 4y

O.

3m 3 + 5m 2 + lOm - 4

O.

A equação auxiliar é

Os fatores de

ao

-4 e a,,

3 são p:±l , ±2,±4 e

q:±l,±3,

respectivamente. Portanto, as possíveis raízes racionais da equação auxiliar são

!!_. -1 q"

'

l -2 2 -4 4 _ _!_ , _!_ , -~. ~. '

'

'

'

'

3

3

3

3

_±, ±. 3 3

Testando cada um desses números por divisão sintética, encontramos coefic ientes da equação auxiliar

iJ

5

3

6

3

10

-4

2

4

12

~

resto

Conseqüentemente, m 1 = 1/3 é uma raiz. Ainda, você deve verificar que ela é a única raiz racional. Os números 3, 6 e 12 na divisão acima são os coeficientes do quociente. Logo , a equação auxiliar pode ser escrita como

(m

-t

)c3m 2 + 6m + 12) =O

ou

(3m - l)(m 2 + 2m + 4) =O.

Resolvendo m2 + 2m + 4 = O pela fórmula quadrática, encontramos as raízes complexas m2

=-

1 +

f3i e m 3 = -

f3i.

l -

Portanto, a solução geral para a equação diferencial é

• EXEMPLO

6

ód.x4

Resolva Solução

+

2Ó d.x2

+y

=o .

A equação auxiliar

m4 + 2m 2 + 1

(m2

+ 1)2

o


180

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume 1

possui raízes m1 = m3 = i e m 2 = m4 = - i. Logo, pelo Caso III, a solução é

y = C1ei x + C2e - ix + C}Xeix + C,p:e- ix. Pela fórmula de Euler, C1eix + C2e - ix pode ser reescrito como

e 1 cos x +

c2

sen x

após uma troca de constantes. Analogamente, x(C3eix + C4 e - ix) pode ser expresso como + c4 sen x). Então, a solução geral é

x(c3 cos x

y =

CJ

cos

X

+

Cz

sen

X

+

C3 X

cos

X

+

C4X

sen

X.

O Exemplo 6 ilustra um caso especial quando a equação auxiliar possui raízes complexas repetidas. No caso geral, se m 1 = a + i/3 é uma raiz complexa de multiplicidade k de uma equação auxiliar com coeficientes reais, então seu conjugado m2 = a - i/3 é também uma raiz de multiplicidade k. A partir das 2k soluções complexas

e<ª+ ifJ>x, xe<ª + ifJ><, x 2e<ª + ;pµ, ... , xk - 1e<ª + i{Jµ e<ª - if3µ, xe<ª - ifJµ, x 2e(a - if3>', .. ., xk - Je(a - ifJir concluímos, com a ajuda da fórmula de Euler, que a solução geral para a equação diferencial correspondente tem então de conter uma combinação linear das 2k soluções reais linearmente independentes

eax cosf3x, xeªx, cosf3x, x 2eax cosf3x, ... , xk - 1eª x cosf3x eax senf3x, xeax, senf3x, x 2eax senf3x, ... , xk - 1eax senf3x No Exemplo 6, temos k = 2, a = O e f3 = 1.

4. 3

EXERCÍCIOS

As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 450 e 451. Nos Problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. 1. 4y" + y' =o

2. 2y" - Sy' =O

3. y " - 36y =o

4. y " - 8y =o

5. y" + 9y =o

6. 3y" + y =o

7. y " -y - 6y =o

8. y " - 3y' + 2y =o

d2 d 9. !:..]'. + g!!l: + 16y =o dx2 dx

11. y" + 3y' - Sy = O

d2 d 10. !:..]'. - 10 !!l'. + 25y = o dx2 dx

12. y" + 4y' - y =o


Volume I

=o

13. 12y" - 5y - 2y

14. 8y" + 2y' - )' = o

o

18. 2y" + 2y' + )'

20. 4y'" + 4y" + y' =

19. y'" - 4y" - 5y' = o 21. y"' - y =

o

22. y"' + 5y" =

=o

23. y"' - 5y" + 3y' + 9y

-l

29. t:!....I. + dx 4

d.x 3

o

o =o

28. y"' - 6y" + l 2y' - 8y

+

~ =o dx 2

,

4

32.

33.

o

,

3

!!....x.

o

26. y"' + y" - 4y =

27. y"' + 3y" + 3y' + y =

o

24. y'" + 3y" - 4y' - l 2y =

o

25. y"' + y" - 2y =

o =o

16. 2y" - 3y' + 4y =

15. y" - 4y' + 5y = o

17. 3/' + 2y' + )' =

181

Equações diferenciais lineares de o rdem superio r

Cap. 4

!!....x. d.x 4

7

~ dx 2

- l 8y

=o

- 16 .'d.x.!.l:: = o ó.5 d.x

Nos Problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. 37. y" + l6y =O,

y(O) = 2,

y'(O) = -2

3JI. y" + 6y' + 5y = O,

y(O) = O,

41. 2y" - 2y' + y = O,

y(O) = - 1,

43. y" + y' + 2y = O, 45. y" - 3y' + 2y = O, 47. y"' + 12y" + 36y' = 1,

y ' (O) = 3 y'(O) = O

y(O) = y'(O) = O y'(l) =

y(I) = O,

= O,

y(O)

= O,

y'(O)

38. y" - y = O, y(O) = y'(O) = 1 40. y" - 8y' + l7y =O,

42. y" - 2y' + y = O,

y(O) = 4, y'(O) = - l y(O) = 5,

44. 4y" - 4y' - 3y = O, 46. y" + y = O,

y'(O) = 10

y(O) = 1,

y(n/3) = O,

y'(O) = 5

y'(n /3) = 2

48. y"' + 2y" - 5y' - 6y = O, y(O)

y"(O) = - 7

= y'(O) = O,

y"(O) = l

4

49. y"' - 8y = O,

y(O) = O,

y'(O)

= - l , y"(O) = O d d2 d3 d4 51. ~ - 3~ +3 ~ - ~=O y(O) = y'(O) • dx dx2 dx3 dx4 = O,

y"(O) = y"'(O) = l

50.

~

= O,

y(O) = 2,

y'(O) = 3,

y"(O)

= 4, y'"(O) = 5 d4 52. ~ - y =O y(O) = y'(O) = y"(O) • dx4 =O,

y"'(O) = 1


I 82

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume I

Nos Problemas 53-56, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. 53. y" - IOy' + 25y= O, 55. y" + y = O,

y(O) = 1,

y'(O) = O,

y' (

54. y" + 4y = O,

y(I) =O

i)

y(n ) = O

56. y" - y = O, y(O ) = l, y'( 1) = O

= 2

57. As raízes de urna equação auxiliar são correspondente? 58. As raízes de urna equação auxiliar são correspondente?

y (O) = O,

m1 =

4,

m 2 = m 3 = - 5.

m1 = - ~. m2 =

Qua l é a equação diferencial

3 + i, m 3 = 3 - i . Qual é a equação auxiliar

Nos Problemas 59 e 60, encontre a solução geral para a equação dada, em que y 1 é urna solução conhecida. 59. y'" - 9y" + 25y' - 17y =O; YI

=e'

60. y"' + 6y" + y' - 34y =O;

YI = e- 4x cos x

Nos Problemas 61-64, determin e urna equação diferencial lin ear hornogênea com coeficientes co nstantes que tenham a solução dada. 62. 10 cos 4x, -5 sen 4x 63. 3, 2t, -

64. 8 senh 3x, 12 cosh 3x

e ?x

65. Use as identidades

para resolver a equação diferencial

d4 ~4

, dx

= y = o.

[Sugestão: Escreva a equação auxiliar m4 + 1 =0 corno (m 2 + 1)2 - 2m 2 ·=O . Veja o que acontece quando você fatora.]

4.4

COEFICIENTES INDETERMINADOS - ABORDAGEM POR SUPERPOSIÇÃO

Para o professor Nesta seção, o método dos coeficientes indeterminados é desenvolvido do ponto de vista do princípio de superposição para equações diferenciais não-homogêneas (Teorema 4.9). Na Seção 4.6, uma abordagem inteiramente diferente desse método será apresentada, utilizando o cõõceito de operadores diferenciais anuladores. Faça sua escolha.

Para obter a solução geral para uma eq uação diferencial linear não-homogênea temos que fazer duas coisas: (i)

Encontrar a fu nção complementar Yc·


Volume 1

(ii)

Cap. 4

Equações diferenciais Lineares de o rdem superior

183

Encontrar qualquer solução particular Yp da equação não-homogênea .

. Lembre-se da discussão da Seção 4. 1 de que uma solução particular é qualquer função , independente de parâmetros, que satisfaz a equação diferencial identicamente. A solução geral para uma equação não-homogênea em um intervalo é então y = y,. + Yp· Como na Seção 4.3 começamos com equações de segunda ordem, agora veremos o caso de equações não-homogêneas da forma ay" + by' + cy = g(x),

(1)

em que a, b e e são constantes. Embora o método dos coeficientes indeterminados apresentado nesta seção não se limite a equações de segunda ordem, ele se limita a equações lineares ·não-homogêneas que têm. coeficientes constantes, e em quê g(x) é uma constante k, uma função polinomial , uma função exponencial eªx, senf3x, cosf3x, ou somas e produtos dessas funções. Nota Para ser preciso, g(x) = k (constante) é uma função polinomial. Como uma função constante não é provavelmente a primeira coisa que vem em mente quando você pensa em uma função polinomial, continuaremos, para enfatizar, usando a redundância, " função constante, polinomial, ... " O que segue são exemplos de tipos de funções aplicadas g(x) que são apropriadas para essa discussão: g(x) = 10

g(x) = x 2 - Sx

+ 8e- 4x

g(x)

!Sx - 6

g(x)

sen 3x - Sx cos 2x

g(x)

ex cos x - (3x 2 -

l)e - x

Ou seja, g(x) é uma combinação linear de funções do tipo

k (constante),

x",

x"eªX, x"eªx cos f3x

e x 11eªx sen f3x,

em que n é um inteiro não negativo e a e f3 são números reais. O método dos coeficientes indeterminados não se aplica a equações da forma ( 1) quando, por exemplo, g(x) = ln x,

g(x)

= -X1 ,

g(x)

= tg

x,

g(x) = sen- 1x.

Equações diferenciais com esses tipos de funções aplicadas serão consideradas na Seção 4.7 .


184

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume 1

O conjunto de funções que consiste em co nstantes, polinômios, exponenciais eªx, senos, co-senos, tem a notável propriedade: derivadas de suas somas e produtos são ainda somas e produtos de constantes, polinômios, exponenciais eªx, senos e co-senos. Como a combinação linear das derivadas ay;' + by; + cyp tem de ser identicamente igual a g(x), parece razoáve l supor então que Yp tem a mesma forma que g(x). Essa suposição poderia ser mais bem caracterizada como uma boa conjectura. Os dois próximos exemplos ilustram o método básico.

EXEMPLO

1 y" + 4y' - 2y

Resolva

2x 2 - 3x + 6.

(2)

Solução Primeiramente, resolvemos a equação homogênea associada y" + 4y' - 2y = O. Pela fórmula quadrática deduzimos que as raízes da equação auxiliar m2 + 4m - 2 = O são m1 = - 2 - % e m2 = - 2 + %. Então, a função complementar é

Passo l.

Yc = c1e -< 2 + .[(;~, + c2e <- 2 + .[(;µ _

Passo 2. Agora, como a função aplicada g(x) é um polinômio quadrático, vamos supor uma solução particular que tenha também a forma de um polinômio quadrático: Yp = Ax 2 + Bx + C. Devemos determinar coeficientes específicos A, B e C para os quais Yp seja uma solução particular para (2). Substituindo Yp e as derivadas

y;

= 2Ax + B

e

y;'

2A

na equação diferencial (2) obtemos, y1;' + 4y; - 2yp = 2A + 8Ax + 48 - 2Ax 2 - 2Bx - 2C = 2x 2 - 3x + 6.

Como a última equação é supostamente uma identidade, os coeficientes de potências iguais de x devem ser iguais:

ou seja,

-2A = 2 8A-2B=-3

2A + 48 - 2C = 6.


Volume I

Cap. 4

Equações diferenciais Lin ea res de ordem superior

Resolvendo esse sistema de equações obtemos os valores A · urna solução particular é Yp = - x 2 - l2 Passo 3.

X

-

-1,8

185

- 5/2 e C = - 9. Logo,

9.

A solução geral para a equação dada é: Y = Yc + Yp = c ,e - <2

EXEMPLO

+

./6)x + c2e<- 2 +

-16~< -

x2 -

%x

- 9.

••

2

Encontre uma solução particular para y" - y' + y = 2 sen 3x.

Solução Um palpite natural para urna solução particular seria A sen 3x. Mas, corno derivações sucessivas de sen 3x produzem sen 3x ecos 3x, somos persuadidos a procurar uma solução particular que inclua ambos os termos Yp = A cos 3x + 8 sen 3x. Derivando Yp e substituindo os resultados na equação diferencial, obtemos, depois de reagrupar,

y;' - y;

+ Yp = (- 8A - 38) cos 3x + (3A - 88) sen 3x = 2 sen 3x

ou igual 1

l-8A -38lcos 3x +

~ 1 1 ~ sen 3x =Ocos 3x + 2 sen 3x.

Do sistema resultante de equações -8A - 38 =O 3A - 88 = 2

obtemos A

6/73 e 8

- 16/73. Uma solução particular para a equação é

6 16 YP = 73 cos 3x - 73 sen 3x. Como mencionamos, a forma que escolhemos para a solução particular Yp é plausível; não é uma adivinhação às cegas. Essa escolha deve levar em consideração não somente e tipo de funções que formam g(x), mas também, como veremos no Exemplo 4, as funções que formam a função complementar Yc· •


/86

Equações Diferenciais

EXEMPLO Resolva

Cap. 4

Volume I

3 y" - 2y' - 3y = 4x - 5 + 6xe 2 '.

(3)

Solução Passo 1. Primeiramente, a solução para a equação homogênea assoc iada y" - 2y' - 3y = O é Yc = c,e-x + c2e3x Passo 2. Agora, a presença de 4x - 5 em g(x) sugere que a solução particular tenha um polinômio linear. Ainda, como a derivada do produto xeà produz 2xe2t e e 2 \ supomos também que a solução particular inclua ambas, xeà e eh_ Em outras palavras, g é a so ma de dois tipos de funções básicas: g(x) = g 1(x) + 82(x) = polinomial + exponenciais..

De maneira correspondente, o princípio da superposição para equações não-homogêneas (Teorema 4.9) sugere que procuremos uma solução particular Yp = Yp1

+

Yp 2•

em que Ypl = Ax + B e Yp2 = Cxe à + Deà. Substituindo, Yp = Ax

+ B + Cxe 2 ' + De 2 '

na equação (3) e agrupando os termos, temos, y;' - 2y; - 3yp = - 3Ax - 2A - 38 - 3Cxe2t + (2C - 3D)e2t = 4x - 5 + 6xe2t. (4)

Desta identidade, obtemos um sistema de quatro equações e quatro incógnitas: -3A = 4 -2A - 38 = -5 -3C = 6 2C - 3D =O. A última equação deste sistema resulta do fato do coeficiente de e 2 ' do membro direito de (4) ser zero. Resolvendo, encontramos A = - 4/3, B = 23/9, C = - 2 e D = -4/3. Conseqüentemente,

Passo 3.

A solução geral para a equação é y = cie- x + c2e

3x

- -4 x + -23 -

, 3

9


Volume I

Equações diferenciais lineares de ordem superior

Cap. 4

187

Em vista do princípio da superposição (Teorema 4.9), podemos também solucionar o Exemplo 3, dividindo-o em dois problemas mais simples. Você deve verificar que substituindo

Ypi = Ax + B

e

= Cxe 2 < +

Ypl

acarreta Ypl = - (4/3)x + 23/9 e portanto Yp = Yp l + Yp2·

De 2 < Yp2

em

y" - 2y' - 3y = 4x - 5

em

y" - 2y' - 3y

= - (2x

= 6xe 2'

+ 4/3)e2t. Uma solução particular para (3) é

O próximo exemplo mostra que algumas vezes a escolha "óbvia" para a forma de y1, não é a escolha correta.

EXEMP L O

4

Encontre uma solução particular para

y" - 5y' + 4y

= 8ex.

Solução A derivação de ex não produz novas funções. Logo, procedendo como antes , podemos simplesmente supor uma so lução particular da forma

Yp = Aex. Mas, neste caso, a subslituição dessa expressão na equação diferencial conduz à afirmação contraditória

e, portanto, concluímos que fizemos a escolha errada para y,,. A dificuldade aqui fica clara depois de examinarmos a função complementar Yc = c 1ex + c2e 4x. Observe que nossa escolha Aex já se encontra presente em Yc· Isso significa que e' é uma solução para a equação diferencial homogênea associada, e um múltiplo Aex quando substituído na equação diferencial necessariamente anula esta identicamente.

Qual deve ser então a forma de y,,? Examinando o Caso II da Seção 4.3, veremos se podemos encontrar uma solução particular da forma

Usando y1;'

-

5y/, + 4yp = Axe' + 2Ae' - 5Axe-' - 5Ae' + 4Axe' = 8ex

ou Desta última equação, vemos que o valor de A é agora determinado por A = - 8/3. Portanto,

tem de ser uma solução particular para a equação dada.


188

Equações Diferenciais

Cap. 4

Volume l

A diferença nos procedimentos usados nos Exemplos 1-3 e no Exemplo 4 sugere que consideremos dois casos. O primeiro deles reflete a situação dos Exemplos 1-3. CASO 1 Nenhuma função da suposta solução particular é urna solução para a equação diferencial hornogênea associada.

Na tabela seguinte, ilustramos alguns exemplos específicos de g(x) em ( l) juntamente com a forma correspondente da solução particular. Estamos, evidentemente, tomando por garantia que nenhuma função da suposta solução particular Yp faça parte da função complementar Yc · Tentativas para Soluções Particulares Forma

g(x) l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

1 (qualquer constante)

d_ e_y ~p_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Sx + 7

A Ax + 8

3x 2 - 2

Ax 2

+ Bx + C + Bx 2 + Cx + D A cos 4x + 8 sen 4x A cos 4x + 8 sen 4x

3

-x+ sen 4x cos 4x e5x

Ax 3

(9x - 2)e 5x x2e5x

(Ax + B)e 5x (Ax 2 + Bx + C)e 5x Ae Jx cos 4x + Be 3' sen 4x (Ax 2 + Bx + C) cos 4x + (Dx 2 + Ex + F) sen 4x (Ax + B)e 3x cos 4x + (Cx + D)e3x sen 4x

X

Ae5x

e 3x sen 4x 5x 2 sen 4x xe 3x cos 4x

.

'·''

EXEMPLO

5

Determine a forma de uma solução particular para (a) y"- 8y'+ 2Sy

Solução

= Sx 3e - x

-7e - x

e

(b) y"+ 4y

=x

cos x.

(a) Podemos escrever g(x) = (Sx 3 - 7)e - x.

Usando o número 9 da tabela como modelo, escolhemos uma solução particular da forma Yp = (Ax 3 + Bx 2 + Cx + D)e-x.

Note que não há duplicação entre os termos em Yp e os termos na função complementar + c2 sen 3x).

Yc = e4x(c1 cos 3x


Volume I

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

189

(b) A função g(x) = x cos x é semelhante à entrada 11 na tabela, exceto, é claro, pelo uso de um polinômio linear em vez de quadrát ico ecos x e sen x em vez de cos 4x e sen 4x na forma de Yp: Yp = (Ax

+ B) cos x + (Cx + D) sen x.

Observe novamente que não há duplicação ,de termos entre Yp e Yc = c1 cos 2x + c2 sen 2x. • Se g(x) consiste na soma de, digamos, m termos do tipo listado na tabela, então (como no Exemp lo 3) a supos ição para uma solução particular Yp consiste na soma das formas escolhidas Ypi• Yp 2, ... , Ypm correspondente a esses termos: Yp = Yp1

+

Yp2

+ ·· · +

Ypm·

Posto de um outro modo:

A forma de Yp é uma combinação linear de todas as funções linearmente independentes que são geradas por repetidas derivações g(x).

EXEMPLO

6

Determine a forma de uma solução particular para

y" - 9y' + 14y = 3x 2

5 sen 2x + 7xe 6x

-

Solução Ypi = Ax 2

Correspondendo a 3x 2, esco lhemos :

yp 2 =

Correspondendo a - 5 sen 2x esco lhemos: Correspondendo a 7xe6x esco lhemos :

yp 3 =

+ Bx + C

D cos 2x + E sen 2x

(Fx + G)e 6x

A escolha para a so lu ção part icular é portanto Yp

= Ypi +

Yp 2

+

Yp 3

= Ax 2 +

Bx + C + D cos 2x + E sen 2x + (Fx + G)e 6x .

Nenhum termo dessa esco lha duplica um termo em Yc = c 1e2x + c2e ?x

CASO li Uma função na solução particular escolhida é também uma solução para a equação diferencial homogênea associada. O próximo exemp lo é semelhante ao Exemp lo 4.

ÍÉX EM

P LO

7

Encontre uma solução particular para

y" - 2y' + y = ex.


/90

Equações Diferenciais

Cap. 4

Vo lume I

Solução A fun ção complementar é Yc = c 1ex + c2 xex. Como no Exemplo 4, a escolh a Yp = Aex não funciona, pois é evidente a partir de Yc que ex é um a solução para a equação homogénea associada y " - 2y' + y = O. Ainda, não seremos capazes de encontrar uma solução particu lar da forma Yp = Axex, pois o termo xexé também parte de Yc· Tentamos então Yp = Ax2ex. Substituindo na equação diferencial dada, ob temos

2Aex = ex e daí A

1/2.

Logo, uma so lução particular é

• Suponha novame nte que g(x) co nsista de m termo s do tipo dado na tabe la e supon ha ainda que a suposição usual para uma solução particular sej a Yp = Yp1

+ Yp2 + · · · + Ypm•

em que os Ypi• i = 1, 2, m, são as formas de sol uções particu lares tentadas correspondentes a esses termos. Sob a c ircunstância descrita no Caso II, podemos fo rmular a seguinte regra

geral: Se alg uma Ypi conl ém termos que duplicam termos em Yco então, esta Yp i tem de ser multiplicada por x", em que n é o menor inteiro positivo que elimina essa dup licação. - - - -·- - - - - - -

EXEMPLO

8

Reso lva o problema de valor inicial y"+ y = 4x + 10 sen x,

Solução

y(n )

= O,

y'(n)

= 2.

A solução da eq uação homogé nea associada y "+ y = O é Yc = c 1 cos x

+

c2

sen x.

Agora, como g(x) é a soma de um polinômi o linear e uma função seno , nossa escolh a normal para Yp das entradas 2 e 5 da tabela de tentativas de soluções seria a soma de Ypi = Ax + B e Yp2 = e cos X + D sen x: Yp = Ax

+ B +

e

cos

X

+ D sen

X.

(5)

Mas há uma óbvia duplicação dos termos cos x e sen x nesta forma escolhi da e dois termos na função complementar. Essa duplicação pode ser eliminada simplesmente multiplicando Ypi por x. Em vez de (5) usamos agora · Yp = Ax

+ B + Cx cos x + Dx sen x.

(6)


Volume l

Cap. 4

Equações diferenciais lineares de ordem superior

191

Derivando essa expressão e substituindo os resultados na equação diferencial, te mos

y" + Yp = Ax + B - 2C sen x + 2D cos x = 4x + l O sen x e daí,

A= 4

B=O - 2C = 10

2D =O. As soluções do sistema são imediatas: A obtemos

= 4,

8

O, C

=-5

e D

O. Portanto, de (6)

Yp = 4x - 5x cos x . A solução geral da eq uação dada é

y = Yc + Yp = c1 cos x + c2 sen x + 4x - 5x cos x. Agora, aplicamos as condições iniciais prescritas à solução geral para a equação. Primeiro, y(rr) = c 1 cos 7t + c2 sen 7t + 4rr - 5rr cos 7t = O implica c 1 = 9rr pois cos 7t = - l e sen 7t = O. Prosseguindo, da derivada

y' = - 9rr sen x +

c2 co

y'(rr) = - 9rr sen 7t + c2 cos

e

x + 4 + 5x sen x - 5 c_os x 7t

+ 4 + 5rr sen 7t

-

5 cos

7t

= 2

encontramos c2 = 7. A solução para o problema de valor inicial é então

y = 9rrcosx + 7 senx + 4x - 5xcos x.

EXEMPLO Resolva

Solução

9 y" - 6y' + 9y

6x 2 + 2 - 12e 3x.

A função complementar é

e baseado nas entradas 3 e 7 da tabela, a escolha us ual para uma solução particular seria Yp = Ax2 + Bx + C + De 3x.

Inspecionando essas funções, vemos que um termo em Yp2 coincide com um termo de Yc· Se multiplicarmos Yp 2 por x, notamos que o termo xe 3x é ainda parte de Yc· Mas multiplicando Yp2 por x 2, eliminamos todas as duplicações. Logo, a forma eficaz de uma solução partiéular é


192

Equações Diferen ciais

Cap. 4

Volum e 1

Yp = Ax 2 + Bx + C + Dx 2e 3x

Derivando esta última forma, substituindo na equação diferencial e ag rupando os termos, obtemos, 9Ax 2 + (- 124 + 9B)x + 24 - 68 + 9C + 2De 3x 6x 2 + 2 - 12e 3x

Segue-se desta identidade que A Y = Yc + Yp é

= 2/ 3, B = 8/ 9,

= 2/ 3 e

C

8x + 2 Y = c,e 3x + c2xe3x + l3 x 2 + 9 3

D

= - 6. Logo,

-

6x2e 3x_

a so lução geral

Equações de Ordem Superior O método dos coeficientes indetermin ados dado aq ui não é restrito a eq uações de segunda ordem; mas pode ser usado com equações de ordem superior a,,y<11 > + a 11

_

1) +

1/

11 -

... +

a1y'

+

aoy = g(x)

com coeficientes constantes. Só é necessário que g(x) consista nos tipos próprios de funções discutidas acima.

E X E M P LO

10 y"' + y" = ex cos x.

Resolva

Solução As raízes da equação característica m 3 + m 2 = O são m 1 = m2 = O e m3 = - 1. Então, a solução complementar para a equação é Yc = c 1 + c2x + c3e - x. Com g(x) = ex cos x vemos na entrada 10 da tabela de tentativas de soluções particulares que devemos escolher Yp = Aex cos x + 8ex sen x.

Como não há nenhuma função em Yp que coincida com funções da solução complementar, procedemos da maneira usual. De

y;" + y;'

= (-24 + 4B)ex cos x + (-4A - 2B)ex sen x = ex cos x

-24 + 48 = 1

obtemos

-4A - 28 =O.

Desse sistema, determinamos A Yp

=-

1110 e 8 }

=-toe

X

=

115. Logo, uma solução particular é

cos x +

}

5e

X

sen x.


Volume 1

Cap. 4

Equações diferenciais lin eares de ordem superior

193

A solução geral para a equação é

-'y = Yc + Yp = C1 I'

E X EM P LO

C2X

+

C3e -x -

_l_ex cos x +.!_ex sen x . 10 5

11

Determine a forma de uma solu ção particular para y(4) + y'" =

- e- x.

Solução Comparando a função complementar

com nossa escolha normal para uma solução particular Yp = A + Be -x,

~~