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El Resumencito del bloque C: ď‚– * Profesor Justo Incer. UndĂŠcimo B

By. Virginia c tejada, Arely F Valdivia, Christian Bejarano y Marcela Rivas.


Índice   Capitulo 1  Capitulo 2  Capitulo 3

Teoría de conjunto. Probabilidad. Sistemas de ecuaciones.

Este es un libro pequeño que muestra todos los nuevos conocimientos que el querido profesor Justo nos ha impartido y quedara en nuestra memoria en el segundo bloque cursado :3


Capitulo 1

Teoría de conjunto

H

abía una vez en una aldea muy lejana del monte de los cien acres un grupo de aldeanos que buscaban como encontrar el verdadero conocimiento pero no sabían donde encontrarlo, se encontraban debajo de un árbol pensando donde podrían conocer y aprender, pasaron las horas y ellos pensaban y pensaban cuando de pronto paso un señor que nunca ellos habían visto por la aldea. Uno de los muchachos que estaban en el lugar le grito - ¡¡¡Señor!!!- y el señor asombrado regreso la mirada, el muchacho le pregunto- ¿Sabe usted donde podemos adquirir el verdadero conocimiento?- y el señor le respondió – El verdadero conocimiento se encuentra en tu cabeza, poniendo a trabajar a tu cerebro- el niño extrañado le dijo- en mi?- el señor les dijo a todos, les voy a mostrar como despertar su cerebro y puedan ver que en ustedes esta el verdadero conocimiento.


 El señor les dijo- les mostrare una manera sencilla de comprender su entorno y poner a trabajar al cerebro:) El les pregunto: sabían ustedes que cada objeto, cosa, sea animado o inanimado mientras tenga características en común forma parte de un conjunto- los muchachos se quedaron viendo unos a otros confundidos. El señor le dijo que iría paso a paso, mostrándoles como poner a trabajar sus cerebros con ejemplos sencillos para encontrar el verdadero conocimiento. Y el prosiguió diciendo- un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc.


 Y el siguió- Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}, -¿comprenden?- les pregunto. Y ellos les respondieron- es sencillo-.El les siguio diciendoLos conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los  planetas en elSistema Solar es finito (tiene ocho elementos).


 Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.


Los conjuntos pueden definirse por extensión o por comprensión.  Extensión Se escriben los elementos que forman parte del conjunto, uno por uno separados por una coma y entre paréntesis de llaves. - C = {norte, sur, este, oeste}  Comprensión Decimos que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que se cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo ellos. - C = {x / x es un punto cardinal} Y se lee de la siguiente manera: “C” es el conjunto de todos los elementos x, tal que x es uno de los puntos cardinales. Para definir un conjunto por compresión, es necesario saber algunos símbolos matemáticos: 1. < “menor que” 2. > “mayor que” 3. / “tal que” 4. ^ “y”  Decimos que dos conjuntos son iguales, sólo si contienen los mismos objetos.


Los jóvenes estaban entusiasmados con los nuevos conocimientos que estaban adquiriendo y al señor le encantaba compartir lo que sabia para que los jóvenes pudieran saber y encontrar soluciones a sus problemas poniendo a trabajar su cerebro. Y el señor les dijo- hay algo importante que no tiene que olvidar de los conjuntos- y ellos les dijeron- ¿que cosa don?- y el les respondió -Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como: Propiedad de la extensionalidad Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B. Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo.


 Los conjuntos también pueden tener subconjuntos, Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos): Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B. Por Ejemplos: El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}. Pero así como los conjuntos tienen subconjuntos también pueden ser disjuntos; Un conjunto A es disjunto a otro B si los elementos de A no pertenecen a B. la disjunción de conjuntos es reciproca y si A es disjunto de B, B es disjunto de A. Los conjuntos A y B son disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.


 Como les había dicho los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto: El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal. El cardinal se denota por | A|, card(A) o #A. Pero en un conjunto infinito no hay un número finito de elementos-. Los jovenes interesados por lo que les decia el señor de preguntaron- ¿Se pueden obtener conjuntos uniendo otros conjuntos?- el les repondio- si se puede, ahora mismos les voy a explicar mejor como y lo que se debe hacer.- y prosiguio- Con conjuntos también se pueden realizar operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:


• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B), es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B. • Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B. • Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B. • Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A ∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene. • Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.


 Los muchachos de la aldea estaban tan interesados por el tema que les explicaba el señor que se les había olvidado preguntarle el nombre a aquel hombre sabio que los estaba ayudando a encontrar el conocimiento, uno de los le pregunta- ¿ cual es su nombre?- el le responde – Justo- pronto ellos se percataron que ya era muy tarde y que sus madres los esperaban en casa, ellos tristes le dijeron a aquel amable señor- debemos irnos pero realmente queremos seguir aprendiendo mas sobre las matemáticas, realmente son interesantes- el profesor de aquellos jóvenes interesado por seguir ayudando a aquellos muchachos le dijo que fueran a sus casas y que al día siguiente podrían verse en ese mismo lugar y a la misma hora. Todos alegres por lo aprendido se dirigieron a sus casa esperando que llegara el día siguiente para seguir aprendiendo.


Capitulo 2

probabilidad

Al día siguiente, los jóvenes se reunieron para ir juntos aquel lugar donde quedaron reunirse con su profesor y tal y como lo había prometido, el estaba ahí en el mismo lugar y a la misma hora. El les dijo- No perdamos tiempo, el conocimiento nos espera-. Los jóvenes se sentaron y el les dijo- hoy les hablare de un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.


La probabilidad de un evento es una medición numérica que va de 0 a 1 de la posibilidad de que un evento ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de uno es casi seguro que ocurra. Se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q: P (a): nº de resultados en que ocurra a Para comprender mas la probabilidad de que ocurra algo les dare un ejemplo: Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria .


Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Es decir, P=n(E) / n (S). En otras palabras *Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 ó un 6 es 2/6. Los experimentos o fenómenos aleatorios  son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.  • Espacio muestral: es el conjunto formado por todos los posibles resultados deEjemplos: un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E En un dado, E={1,2,3,4,5,6} En una moneda, E={C,+}


Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. P.E: Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por: S= {, {C}, {X}, {C,X}}.Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro . Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es 2n . Podemos usar combinatoria para encontrar la probabilidad de que ocurra un evento, combinatoria es un subconjunto de r elementos seleccionados de entre n elementos distintos. La combinatoria nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles y favorables , al aplicar la regla de Laplace . Especialmente si hay un gran número de sucesos.  Por ejemplo : Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: -4 ases.


 La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.El tiempo paso volando y los jóvenes tan interesados y entusiasmados por lo nuevo que les había enseñado su profesor no se percataron que de nuevo se les había hecho tarde, ya estaba oscuro y uno de ellos le dijo al profesor- ¿mañana nos volveremos a ver?- y el les respondió- claro que si, estaré aquí a la misma hora- . Se despidieron de el y se dirigieron cada uno a sus casas.


Capitulo 3

Sistemas de ecuaciones

Al siguiente día, los jóvenes se reunieron para ir al árbol donde los esperaba su profesor pero esta vez el profesor no estaba ahí, ellos se extrañaron y decidieron esperarlo. Paso una hora y el profesor no había llegado al punto de reunión. Decidieron esperarlo un rato mas, cuando ya estaban por irse el profesor llego al lugar y les ofreció una disculpa por la tardanza, les dijo que la lección de ese día había sido bien preparada para completar los conocimientos que ellos deseaban conseguir.


 Hoy le voy a hablar sobre Sistemas de ecuaciones- les dijo el maestro- En las matemáticas, un sistema de ecuaciones  es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias  incógnitas que conforman unproblema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. En un sistema de ecuaciones algebraicas  las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano.  el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.  Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.


 Nos vamos a enfocar en las ecuaciones lineales. un sistema de ecuaciones lineales , también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de  ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un  anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. Existen varios métodos para encontrar los valores desconocidos de las variables


 Les explicare cada uno de ellos, comenzaremos con el método de sustitución.  El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.


 Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón  Segundo nivel  Tercer nivel  Cuarto nivel  Quinto nivel


 Otro método es el de igualación, este método se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Primero se despeja una de las variables en las dos ecuaciones para igualarlas, luego se procede a resolver las operaciones buscando la manera de encontrar el valor de la variable que quedo en el sistema, una vez encontrado su valor se procede a sustituir en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.



 El siguiente método es el de reducción. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Cuando ya encontramos el valor de una variable procedemos a sustituir su valor en una delas ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable, dando así la solución del sistema.



Otro método es el de Gauss-Jordan. El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con nincognitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.  Eliminación de Gauss-Jordan  Una variante de este método, denominada eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la  matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.



 Y el ultimo método es la Regla de cramer que se apoya en la regla de sarrus. La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:

Pero para saber los determinantes se utiliza la regla de sarrus. La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3


 Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:  En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos).

Así


 Se usa cramer para dar solución a ecuaciones lineales en términos de determinantes.


Y así concluyo el profesor, aquellas clases que ayudaran a los jóvenes a pasar en un futuro, tal vez cercano, Un examen de una universidadEl profesor le dio las herramientas necesarias para poner a trabajar su cerebro y poder sobresalir y triunfar como seres en potencia que son, y el esta seguro que llegaran lejos por que cree en ellos. Aquellos jóvenes, después de esa sección se dispusieron a ir a sus casas y poner en practica todo lo aprendido para hacerlo útil toda su vida.

Y colorin colorado este resumencito se ha acado…

Fin.

El resumencito del bloque  

Este es un resumen que contiene todo lo visto en el 2do bloque en la clase de matematicas para Undecimo grado:)

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