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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

1. 2.

3. 4.

Instituto Tecnológico del Istmo

PROGRAMA DE CURSO Graficación de funciones con GRAPH. Graficación con funciones de tipo algebraico. • Constante. • Lineal. • Cuadrática. • Orden superior. • Con radicales. • Con valor absoluto. • Con más de una ecuación. Graficación de funciones paramétricas. Graficación de funciones polares. 1.- GRAFICACIÓN DE FUNCIONES CON GRAPH USO DEL PROGRAMA GRAPH

i. ii. iii.

Características Familiarizándose con Graph Gráfica de funciones algebraicas (constante, lineal, cuadráticas, de orden superior, con radicales, valor absoluto) iv. Gráfica de funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales) v. Derivada y área bajo la curva de una función.

1.- CARACTERÍSTICAS

Graph is an open source application used to draw mathematical graphs in a coordinate system. Anyone who wants to draw graphs of functions will find this program useful. The program makes it very easy to visualize a function and paste it into another program. It is also possible to do some mathematical calculations on the functions.

2.- FAMILIARIZÁNDOSE CON GRAPH

Semana Académica Regional de Ciencias Básicas 2007 26, 28-30 Noviembre 2007

QFB Javier Charis López

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

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Para comenzar se identifica el ícono de Graph ya sea en el escritorio ó bien, desde el menú de inicio; una vez ubicado, hacemos clic izquierdo sobre él. La pantalla de inicio del programa es la siguiente:

En ella aparece un mensaje llamado “consejo del día”, el cual proporciona algunos tips acerca del uso del programa y que nos familiariza con él, por lo que entonces podemos obtener un mayor provecho. De acuerdo a nuestra preferencia podemos revisar diferentes tips, podemos dar la indicación de que este mensaje no aparezca más al momento de ingresar al programa. Para comenzar a trabajar con Graph cerramos el “consejo del día”. En la parte superior tenemos la barra de herramientas:

Esta nos muestra, al ubicar el cursor sobre ella, los diferentes instrumentos que nos permiten interactuar con el programa. Se describen de manera breve a continuación.

En el menú Archivo se tiene lo siguiente:

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En este submenú tenemos: Nuevo. Abre un documento nuevo. Abreviatura de teclado Ctrl + N Abrir. Abre documentos que han sido creados con Graph y han sido guardados en alguna carpeta específica. Abreviatura de teclado Ctrl + O. Guardar. Guarda los documentos creados en la carpeta de nuestra elección. Abreviatura de teclado Ctrl + S Guardar como… Guarda los documentos creados en la carpeta de nuestra elección. Permite guardar un mismo archivo con otro nombre. Guardar como imagen. Permite copiar y guardar la gráfica que se haya creado en alguna carpeta de nuestra elección. Abreviatura de teclado Ctrl + B Importar. Abre un documento de Graph que exista en alguna carpeta del disco duro de la PC. El archivo importado se reconoce por la extensión grf además de que es un archivo de graphk ó una serie de puntos. Imprimir. Imprime el gráfico creado. Abreviatura de teclado. Ctrl. + P Salir. Cierra el programa graph. Abreviatura de teclado. Ctrl. + F4 En la parte inferior de este submenú aparecen los últimos gráficos creados y a los cuales puede accederse de manera directa. Otro submenú es el llamado “Editar”

Las herramientas que se disponen: Deshacer. Deshace la última acción ejecutada. Forma abreviada de teclado Ctrl + Z Rehacer. Rehace la última acción ejecutada. Forma abreviada de teclado Ctrl. + Y Cortar. Elimina alguna parte de la gráfica. Copiar. Copia la gráfica creada. Pegar. Pega alguna imagen ó texto copiados desde un archivo de graph. Copiar imagen. Copia y guarda en la carpeta que seleccionemos la gráfica que se haya creado. Forma abreviada de teclado Ctrl. + I Ejes. Edita los ejes coordenados. Forma abreviada de teclado Ctrl. + A

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Opciones. Muestra algunas características que ajustan la gráfica y los datos mostrados. El submenú que se abre es el siguiente:

En esta sección se indican los decimales que aparecen después del punto, la cantidad de archivos que se muestran como recientes, el límite de pasos que se deshacen, tamaño de la fuente, idioma, etc. El siguiente menú “Función” tiene herramientas que nos permiten trabajar de manera directa con el programa, en el sentido de que se dan las indicaciones necesarias para graficar la función que nos interese.

Insertar función. Este comando es el principal para Graph, la forma abreviada de teclado es Ins. Al hacer clic izquierdo aparece la siguiente pantalla:

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Para el tipo de función se tienen las opciones: función estándar y=f(x), función paramétrica x(t), y(t) y función polar r(t). En la opción “Ecuación de la función” se escribe la ecuación que se desea graficar, de acuerdo al tipo que corresponda. El programa de manera automática reconoce la forma en que debe ingresar la función. Aparece debajo de este primer recuadro, otro que nos permite seleccionar el intervalo de valores para “x”. También se puede dar la indicación de que la gráfica se trace por pasos, quedando en el entendido de que los pasos son solo Insertar tangente /normal. Forma abreviada de teclado F2 Insertar sombreado. Forma abreviada de teclado F3 Insertar f’(x). Forma abreviada de teclado F7 Insertar serie de puntos. Forma abreviada de teclado F4 Insertar línea de tendencia. Forma abreviada de teclado Ctrl + T Insertar relación. Forma abreviada de teclado F6 Insertar etiqueta. Forma abreviada de teclado F8 Editar. Eliminar. Forma abreviada de teclado Ctrl + Del f(t) Personalizar funciones/ constantes. Forma abreviada de teclado Ctrl + F

2.- GRAFICACIÓN DE FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICO. Las funciones cuya gráfica obtendremos serán las elementales ó visto de otro modo, las que son más representativas de los dos tipos que se reconocen: las algebraicas y las trascendentes, aunque claro está, la idea es familiarizarse con el programa para posteriormente, realizar trabajos de mayor interés con las mismas funciones ó con algunas que sean más elaboradas. • CONSTANTE. Las funciones que se tratarán son: f(x) = 3 y g(x)= -2 en forma separada. Para f(x) = 3, ingresamos al programa de acuerdo a las indicaciones que aparecen al inicio de este material, es decir, en la pantalla de inicio seleccionamos insertar función y en el tipo de f(x) = (ya esta dada por default), escribimos la ecuación, en este caso es el número 3:

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Seleccionamos algún intervalo, por decir de -5 a 5 y en el recuadro de pasos no damos indicación alguna.

En los puntos extremos desplegamos los submenús que están indicados con la flecha hacia abajo, da tal manera que podemos seleccionar alguna de las opciones. Este tipo de marcación de los puntos extremos es de utilidad para indicar puntos vacíos ó puntos llenos en las funciones con varias ecuaciones acotadas.

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Si deseamos agregar texto, en el recuadro “texto de leyenda” escribimos lo que nos parezca adecuado. Para este ejemplo indicaremos Gráfica 1.

En “propiedades de la gráfica” podemos seleccionar de las opciones dadas, el “estilo de línea”, que puede ser continua, punteada con guiones ó puntos; del “tipo de dibujo” tenemos las opciones automático, puntos ó líneas; de “color” escogemos alguno de los que ya están dados ó bien, podemos personalizar alguno de nuestra elección; finalmente de “grosor” damos la indicación del grueso de la línea, que puede ser de 1 a 20.

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Al dar clic en “aceptar” la gráfica que se obtiene es la siguiente: y

Gráfica 1

8

6

4

2

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-4

-6

-8

Para la función g(x) = - 3, damos las instrucciones que nos plazcan, en el entendido que la función aparece en el programa como f(x); con las siguientes características de edición:

La gráfica que se obtiene, después de ajustar el eje “x”, únicamente con la idea de que se vea claramente la gráfica, es la siguiente:

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Instituto Tecnológico del Istmo y

Gráfica 2

4

3

2

1

x -14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

-1

-2

-3

-4

LINEAL.

Las funciones que trazaremos son f(x)= x, g(x)= x+3 y h( x) =

5− x 3

Para la función f(x)= x se considera la edición siguiente:

La gráfica que se obtiene es la siguiente:

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Instituto Tecnológico del Istmo y

Gráfica 2

14

12

10

8

6

4

2

x -8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

-2

-4

-6

-8

Para la función g(x)= x+3, con la edición que se muestra a continuación:

La gráfica que corresponde es:

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Instituto Tecnológico del Istmo y

Gráfica 3

14

12

10

8

6

4

2

x -8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

-2

-4

-6

-8

Para la función h( x) =

5− x , estableciendo las condiciones de edición siguientes: 3

La gráfica es la que se muestra a continuación. Note que no se editaron puntos extremos.

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Instituto Tecnológico del Istmo y

Gráfica 4

14

12

10

8

6

4

2

x -8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

-2

-4

-6

-8

CUADRÁTICA.

Para este tipo de funciones tomaremos en cuenta, cuando sea necesario el dominio natural de la función, por lo que se señalara de acuerdo a la notación de conjuntos. Consideremos a las funciones f ( x) = x 2 , g ( x) = x 2 − 5 y h( x) = 3 − 2 x 2 . En f ( x) = x 2 , se tienen las condiciones señaladas y la gráfica correspondiente:

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y

Gráfica 5

18

16

14

12

10

8

6

4

2

x -12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

-2

-4

Ahora para g ( x) = x 2 − 5 , establecemos las condiciones y obtenemos la gráfica.

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

Gráfica 6

14

12

10

8

6

4

2

x -10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

-2

-4

-6

-8

Finalmente en h( x) = 3 − 2 x 2 , editando las condiciones, la gráfica es mostrada también:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

Gráfica 7

6

4

2

x -10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

ORDEN SUPERIOR.

Consideremos ahora algunas funciones de orden superior, por ejemplo f ( x) = x 3 , f ( x) = 2 x 4 + x 2 y f ( x) = 2 x 5 − x 2 + x − 1 Para la función cúbica f ( x ) = x 3 , establecemos las condiciones de graficación, obteniendo la gráfica que corresponde:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

Gráfica 8

3

2

1

x -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

Para la función de grado 4 f ( x) = 2 x 4 + x 2 , damos las condiciones que a nuestro parecer sean suficientes y graficamos.

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

Gráfica 9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

x -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-1

-2

De igual manera para la función de grado 5, f ( x) = 2 x 5 − x 2 + x − 1 se muestran las condiciones y la gráfica:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo 12

y

Gráfica 10

10

8

6

4

2

x -12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

-2

-4

-6

-8

-10

-12

• CON RADICALES. En estas funciones consideremos las siguientes:

f ( x) = x ,

f ( x ) = − x 2 +2

y

f ( x) = 3 x 2 − x − 5 Para f ( x) = x , dadas las condiciones la gráfica es la que se muestra

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas 14

Instituto Tecnológico del Istmo

y

Gráfica 11

12

10

8

6

4

2

x -4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

-4

-6

-8

-10

En f ( x) = − x 2 +2 , señalamos la edición y graficamos.

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

y

Gráfica 12

4

2

x -6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

Y por lo que respecta a f ( x ) = 3 x 2 − x − 5 , tenemos lo siguiente:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas 12

Instituto Tecnológico del Istmo

y

Gráfica 13

10

8

6

4

2

x -6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2

-4

-6

-8

-10

-12

• CON VALOR ABSOLUTO. Para estas funciones, se ingresan las indicaciones pertinentes, de tal manera que el programa interprete correctamente la función con la que estemos laborando. De la gran cantidad de 2 este tipo de funciones trazaremos las gráficas de f ( x ) = x , f ( x) = x − x y f ( x) = 4 +

x 3

Comenzando con f ( x ) = x , establecemos condiciones y graficamos:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

Gráfica 14

30

25

20

15

10

5

x -20

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

-5

-10

-15

2 Continuamos para f ( x) = x − x , por lo que realizando el mismo trabajo previo y

graficando, observamos lo siguiente:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

y

Gráfica 15

35

30

25

20

15

10

5

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-5

-10

Concluimos con f ( x) = 4 +

x , indicamos valores y graficamos. 3

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo 50

y

Gráfica 16

40

30

20

10

x -16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-10

-20

-30

-40

• CON COCIENTES A medida que hemos avanzado con el uso del software, hemos tratado de tocar las funciones que son representativas y a la vez, son las que pueden graficarse de una manera que nos permita, por simple inspección, verificar la construcción de la gráfica; ahora, con las funciones que vamos a revisar, debemos considerar el dominio natural para que al momento de trazar la gráfica podamos interpretar la existencia de asíntotas, de intervalos en los que no hay gráfica, etc., por lo tanto, antes de dar por asentado que los intervalos de graficación son los que aparecen por default en el editor de funciones, es conveniente tomar en cuenta los valores permitidos para la variable independiente y los que va a tomar la variable dependiente. Consideremos algunas funciones muy sencillas, para más adelante, trabajar con funciones en las que se tengan características de los tipos que ya se han revisado. Grafiquemos entonces a 1 3 2 + 3x f ( x) = , f ( x) = 2 y f ( x) = 3 . x x −8 x −1 1 Para f ( x) = establecemos las condiciones de graficación y obtenemos lo siguiente: x

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

y

Gráfica 17

8

6

4

2

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-4

-6

-8

Ahora en la siguiente función f ( x) = funciones anteriores:

3 realizamos el mismo procedimiento que en las x −8 2

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

y

Gráfica 17

8

6

4

2

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-4

-6

-8

2 + 3x , de nueva cuenta graficamos después de señalar las x3 − 1 condiciones para trazar la gráfica. Terminamos con f ( x ) =

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

y

Gráfica 17

12

10

8

6

4

2

x -12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10

• VARIADAS En esta parte del curso, con el apoyo de GRAPH, construiremos la gráfica de funciones cuyas ecuaciones involucran algunas características de las funciones que ya hemos graficado. Considero que es importante señalar, que para el trazado correcto, debemos tener en cuenta los valores que están permitidos en el dominio natural y el contradominio, para de esta manera tener una noción acerca de los intervalos donde debemos tener la gráfica. Si al momento de trazar la gráfica, no apareciera la curva correspondiente, entonces podemos manipular los ejes, ya sea desde el comando de arrastre ó bien, desde el submenú de edición de los ejes. Semana Académica Regional de Ciencias Básicas 2007 26, 28-30 Noviembre 2007

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Instituto Tecnológico del Istmo

f ( x) =

Consideremos las funciones f ( x) =

3

x2 + 2 , 1 − x3

f ( x) =

5− x , x − x2

f ( x) = x +

x + 10 2− x

y

x2 − 3 . x+5

Para f ( x) =

x2 + 2 tenemos la siguiente edición y la gráfica correspondiente: 1 − x3

y

Gráfica 20

12

10

8

6

4

2

x -12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10

En f ( x) =

5− x con la edición indicada: x − x2

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

y

Gráfica 21

14

12

10

8

6

4

2

x -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-2

Continuando con f ( x) = x +

x + 10 marcamos lo siguiente: 2− x

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

40

y

Gráfica 21

35

30

25

20

15

10

5

x -15

-10

Terminamos con f ( x ) =

-5

3

5

10

15

20

25

x2 − 3 que nos muestra la gráfica correspondiente: x+5

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

y

Gráfica 23

30

25

20

15

10

5

x -18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

• CON MÁS DE UNA ECUACIÓN. Este tipo de funciones suelen ser un poco mas elaboradas en su gráfica, ya que se pueden establecer dos ó más ecuaciones y, para cada una de ellas, se pueden asignar intervalos para la variable independiente. Es común que en este tipo de gráficas aparezcan la cantidad de curvas que corresponden al número de ecuaciones, además de que también es posible mostrar puntos vacíos y puntos llenos, para los cuales la señalización se ve facilitada con el uso de los marcadores de extremos.

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

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3 x, Las funciones cuya gráfica construiremos son las siguientes: f(x)=   x ,

 3 − 2 x  3 f(x)=  x − x   x −1  x + 1

si x ≤ -3 si -3 < x < 3 y f(x)= si x ≥ 3

 3x − x 2   5− x   x+ 4  x − 9

si x < 0 , si x ≥ 0

si x ≤ -12 si -12 < x ≤ 3 si x > 3

Este tipo de funciones nos permite hacer uso de manera más eficiente del programa, ya que por la problemática de señalar con claridad cada curva, podemos colorear a las diferentes ecuaciones, además de que, por la notación de relación, hay que marcar donde existen puntos vacíos y puntos llenos, situación que se resuelve al emplear los marcadores de inicio ó terminación. si x < 0 3 x, Comenzando con f(x)=  . Editando y graficando para cada ecuación por si x ≥ 0  x , separado, de acuerdo a los intervalos que se establecen en la función, tenemos lo siguiente para la primera ecuación:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

Ecuación 1

10 8 6 4 2

x -20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22 -24 -26 -28 -30

Note que se ha empleado un marcador de círculo sin relleno para indicar que se trata de un punto vacío. Para la segunda ecuación tenemos:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

f(x)=x ^ (1/2)

9 8 7 6 5 4 3 2 1

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Dado que la función comprende a las dos ecuaciones, entonces la gráfica de f(x) es:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

f(x)=3x

10

f(x)=x^(1/2)

8 6 4 2

x -20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22 -24 -26 -28 -30

Note que el punto vacío de la primera ecuación está traslapado con el punto lleno de la segunda ecuación, lo que debe ser considerado para señalar algunas características de la función, como el contradominio. Para la segunda función, realizamos el mismo procedimiento, por lo que se muestra solo la gráfica:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

f(x)=3-2x

50

f(x)=x^3 - x f(x)=( ( x-1) / (x+1 ) ) ^ (1/2)

45

40

35

30

25

20

15

10

5

x -40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

30

35

40

-5

-10

-15

-20

-25

-30

Para la tercera función, después de editar cada una de las ecuaciones de acuerdo a los intervalos que se les han asignado, tenemos la siguiente gráfica:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

y

f(x)=3 x - x^2 f(x)=(5-x) / (x+4)

70

f(x)=abs(x-9)

60

50

40

30

20

10

x -40

-30

-20

-10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

-10

-20

-30

-40

-50

-60

-70

Para las funciones que se han graficado, existen algunas consideraciones: el dominio natural y el contradominio nos permiten tener una idea acerca de los intervalos en los que existe la gráfica, por lo que la edición de los ejes ó de las ventanas de observación debe ajustarse de ser necesario. Otra característica de GRAPH que nos resulta de ventaja para hacer las modificaciones en la edición de los intervalos de graficación, está la herramienta tabla de evaluación, que se identifica con el icono y nos muestra una tabla de valores que podemos editar en intervalos y en incrementos de x. La tabla es la siguiente:

2.- GRAFICA DE FUNCIONES PARAMÉTRICAS Semana Académica Regional de Ciencias Básicas 2007 26, 28-30 Noviembre 2007

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo

Las funciones paramétricas se representar por la curva C, formada por las ecuaciones x(t) e y(t), que dependen del parámetro t, lo que en una gráfica nos permite, a diferencia de las ecuaciones rectangulares, señalar la dirección que toma dicha curva C. Con GRAPH, la graficación de las funciones nos lleva a seleccionar en el menú de edición la opción funciones paramétricas:

El ingreso de la funciones debe involucrar a la variable independiente t en ambas ecuaciones, la edición de intervalos, marcación de extremos, etc., se hace de la misma manera que para las funciones que ya se han graficado. Las funciones que vamos a graficar son las siguientes: 1) x(t) = 2t+5, y(t)=t-3; 2) x(t) = t21, y(t)=

t −2 ; 3) x(t) = t +1

t +9

, y(t)=

4t − 5 ; 4) x(t) = sen2t, y(t)=cos2t-2. t

Para la primera x(t) = 2t+5, y(t)=t-3 tenemos lo siguiente:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

Paramétrica 1

20

15

10

5

x -24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-5

-10

-15

-20

-25

En la siguiente ecuación paramétrica definida por x(t) = t2-1, y(t)= la tabulación:

t −2 , ayudándonos con t +1

La gráfica de la función es la siguiente:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

Paramétrica 2

20

15

10

5

x -24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-5

-10

-15

-20

-25

Note que la gráfica tiene dos curvas, las cuales corresponden en la ecuación rectangular y= f(x), a los valores de t = ± x +1 . Para la ecuación paramétrica, definida por x(t) =

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t +9

, y(t)=

4t − 5 se tiene lo siguiente: t

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

Paramétrica 3

20

15

10

5

x -24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-5

-10

-15

-20

-25

Las ecuaciones x(t) = sen2t, y(t)=cos2t-2 corresponden a la siguiente curva paramétrica:

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Grafica de funciones con Graph Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico del Istmo y

x(t)=sin 2t , y(t)=(cos 2t) -2

1.5

1

0.5

x -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-3.5

-4

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Graficos con GRAPH