Page 1

PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ BÀI HỌC 4

BÀI HỌC 4 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

TOÁN 8

TRANG 1


PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ BÀI HỌC 4

I)

PHƯƠNG PHÁP

Giả sử cần phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + 4x + 3 Với 3 phương pháp đã biết trong ba bài học 1, 2, và 3, bạn sẽ bắt đầu đặt ra câu hỏi: 1. Các hạng tử trong đa thức trên có nhân tử chung hay không ? Câu trả lời nhận thấy ngay là không, điều này có nghĩa là không thể sử dụng ngay phương pháp trong bài học 1. 2. Các hạng tử trong đa thức trên có tạo ra những hằng đẳng thức hay không? Câu trả lời thật đơn giản là không, điều đó có nghĩa là không thể sử dụng ngay phương pháp của bài học 2. 3. Có thể sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử hay không? Câu trả lời thật đơn giản là không. Điều đó có nghĩa là không thể sử dụng ngay phương pháp đã học trong bài học 3. Như vậy, cần có thêm một phương pháp khác để tạo ra được những nhân tử chung. Ý tưởng được tạo ra từ việc đánh giá theo chiều ngược lại của công việc: (x+ 1) ( x + 3) = x ( x+ 3) + ( x + 3) = x2 + 3x + x + 3= x2 + 4x + 3 Từ đó có thể tổng quát sơ bộ như sau : “ Cho đa thức : A+B+C Nếu không thể sử dụng các phương pháp trong các bài toán 1, 2, 3 thì hãy thử với ( A + B1) và ( C + B2) , trong đó B = B1 + B2, ( phương pháp được mở rộng khi thay vai trò của B bằng A hoặc C)’’. Từ đó ta có thể thực hiện phân tích đa thức trên theo các cách : Cách 1: ( Sử dụng phép tách theo B) : Ta có: TOÁN 8

TRANG 2


PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ BÀI HỌC 4

x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3= (x2 + x)+ (3x + 3) = x( x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x+ 3). Cách 2: ( Sử dụng phép tách theo A): Ta có : x2 + 4x + 3 = 4 x2 – 3x2+ 4x + 3 = (4 x2 +4x) – (3x2- 3) = 4x( x + 1) – 3( x2 – 1) = 4x( x + 1) – 3( x – 1) ( x + 1) = (x + 1) ( 4x – 3x + 3) = ( x + 1 ) ( x + 3) . Cách 3: Sử dụng cách tách theo C: Ta có: x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1= (x2 – 1) + ( 4x + 4) = ( x – 1) ( x + 1) + 4( x + 1) = ( x + 1)( x – 1 + 4 ) = ( x + 1) ( x + 3) . Cách 4: Sử dụng phép tách tạo hằng đẳng thức. Ta có : x2 + 4x + 3 = x2 + 2. 2x + 4 – 1 = (x + 2)2 – 1 = (x + 2 - 1)(x + 2 + 1) = (x + 1) (x+ 3). Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. I)

VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2  2 x  2

Giải : Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Sử dụng phép tách theo B. Ta có :

x2  2 x  3  x2   x  3 x  3  x 2  x   3 x  3 tach  2 x  x 3 x

 x  x  1  3  x  1   x  1 x  3

Cách 2: Sử dụng phép tách theo A. Ta có :

TOÁN 8

TRANG 3


PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ BÀI HỌC 4 2 x 2  2 x  3x  3 x  2 x 2  2 x  3   3x 2  3   2 x 2  2 x   tachx 2 3 x 2  2 x 2

 3  x 2  1  2 x  x  1  3  x  1 x  1  2 x  x  1   x  1 3  x  1  2 x    x  1 x  3

Cách 3: Sử dụng phép tách theo C. Ta có :

x2  2 x  3  x2  2 x  2 1  x2 1   2x  2  tach 32 1

  x  1 x  1  2  x  1   x  1 x  1  2    x  1 x  3

Cách 4: Sử dụng phép tách tạo hằng đẳng thức. Ta có : x 2  2 x  3  x 2  2.x.1  1  4   x  1  4 2

tach 31 4

  x  1  2  x  1  2    x  3 x  1

Chú ý : Để việc học đạt hiệu quả cao nhất, các em học sinh hãy thông qua ví dụ trên để tổng quát phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho các đa thức dạng: x 2  bx  c ax 2  bx  c

Từ đó có thể vận dụng cho đa thức dạng P2  bP  c

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

 x  y

2

 8  x  y   12

Giải Ta có :

 x  y

2

 8  x  y   12   x  y   2  x  y  4  16  4 2

  x  y   4   22   x  y  4   22 2

2

  x  y  4  2  x  y  4  2    x  y  6  x  y  2  TOÁN 8

TRANG 4


PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ BÀI HỌC 4

Nhận xét: Lời giải trên sử dụng phép tách để tạo thành hằng đẳng thức. Cũng như ví dụ trên ta có thể thực hiện phép phân tích bằng các phép tách theo A, B, C. Phương pháp tách để tạo hằng đẳng thức cho phép thực hiện được yêu cầu xác định về dấu của đa thức. Để minh họa chúng ta sẽ xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Chứng minh rằng đa thức sau luôn dương với mọi giá trị của x: x2  x  1

Giải Ta có: 2

2

1 1 3  1 3 x  x  1  x  2.x.       x    2 2 4  2 4 2

2

2

2

1 1 3 3 Vì  x    0x  R nên  x     x 

2

2

4

4

Vậy x2  x  1 luôn dương với mọi giá trị của x. Chú ý : Qua ví dụ trên các em học sinh có thể thực hiện được yêu cầu: “ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P = x2  x  1 . Thật vậy 2

1 3 3  P   x     . Suy ra P min = ¾, đạt được khi x = ½.” 2 4 4 

Chúng ta sẽ minh họa thêm việc thực hiện yêu cầu về tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của đa thức bằng ví dụ sau: Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức: P  4 x2  y 2  4 x  2 y  3

Giải

TOÁN 8

TRANG 5


PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ BÀI HỌC 4

Ta có

 

P  4 x2  y 2  4x  2 y  3  4 x2  4 x  1  y 2  2 y  1  1   2 x  1   y  1  1 2

2

Vì  2 x  1  0 với mọi giá trị của x 2

 y  1

2

 0 với mọi giá trị của y

Nên P   2 x  1   y  1  1  1 với mọi giá trị của x và y 2

2

1  x  Dấu “= ”xảy ra khi và chỉ khi  2  y  1

Chú ý: Việc tách để tạo thành hằng đẳng thức như trên cho phép thực hiện được yêu cầu xác định về dấu của đa thức, nhưng trong một vài trường hợp lại không thể thực hiện tiếp việc phân tích đa thức thành nhân tử . Với đòi hỏi này các em học sinh sẽ có được hai phương pháp để lựa chọn được minh họa bằng ví dụ sau: Ví dụ 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x6  26 x3  27

b) x4  3x2  4

Giải Ta có :

   2.x 13  13  196   x  13  14   x  13  14  x  13  14    x   x  1  x  x  1  x  3  x  3x  9  x 6  26 x3  27  x3 3

2

2

2

2

3

2

3

3

3



 1 x3  27

2

b) Ta có : TOÁN 8

TRANG 6


PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ BÀI HỌC 4

x 4  3x 2  4  x 4  4 x 2  x 2  4  x 4  4 x 2  4  x 2

2



 x2  2  x2  x2  2  x x2  2  x

Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2  xy  y 2

Giải Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Ta có:

 

2 x 2  xy  y 2  x 2  x 2  xy  y 2  x 2  y 2  x 2  xy

  x  y  x  y   x  x  y    x  y  x  y  x    x  y  2 x  y 

Cách 2: Ta có :

 

2 x 2  xy  y 2  2 x 2  2 xy  xy  y 2  2 x 2  2 xy  xy  y 2

 2 x  x  y   y  x  y    x  y  2 x  y 

Cách 3: Ta có: 2 x 2  xy  y 2  2 x 2  xy  2 y 2  y 2   2 x 2  2 y 2    xy  y 2   2  x 2  y 2   y  x  y   2  x  y  x  y   y  x  y    x  y  2 x  2 y  y    x  y  (2 x  y )

Chú ý : Phương pháp tách một hạng tử được mở rộng tự nhiên cho trường hợp cần tách nhiều hạng tử trong đa thức Để minh họa ta xét ví dụ sau: Ví dụ 7: Tìm x biết : x3  6 x2  x  30  0

Giải Ta có:

TOÁN 8

TRANG 7


PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ BÀI HỌC 4

x3  6 x 2  x  30  x3  8 x 2  2 x 2  15 x  16 x  30   x3  2 x 2    8 x 2  16 x   15 x  30   x 2  x  2   8 x  x  2   15  x  2    x  2   x 2  8 x  15    x  2   x 2  3x  5 x  15    x  2   x  x  3  5  x  3    x  2  x  3 x  5 

Từ đó ta được : (x+2 ) ( x – 3) ( x – 5) = 0 . Suy ra x = -2, x = 3, x = 5. Ví dụ 8: Chứng minh rằng : (n 4 6n3  27n2  54n  32) chia hết cho 2 với mọi n nguyên

Giải Ta có : n 4 6n3  27n 2  54n  32  n 4  n3  5n 3 5n 2  22n 2  22n  32n  32

   n  1  n

  n  1 n3  5n 2  22n  32 3

 2n 2  3n 2  6n  16n  32

  n  1 n  2  n 2  3n  16

Bởi ( n – 2) và ( n – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp, do đó tích của chúng chia hết cho 2, do đó ta có điều phải chứng minh.

TOÁN 8

TRANG 8

Bài học 4  
Bài học 4  

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Advertisement